ECUACIÓN DE BERNOULLI ANTECEDENTES ANTECEDENTES GENERALES.
Hace casi 300 años el físico Daniel Bernoulli estableci los !rinci!ios "e un teore#a $ue %asta %o& "ía resulta fun"a#ental en el c'lculo "e instalaciones "e (ui"os en #o)i#iento* Este !rinci!io es conoci"o co#o teoría "e Bernoulli & !lantea+ “La energía total de un fuido ideal que circula por un conducto se conserva inalterale al fuir este!
Esto in"ica $ue la ener,ía total "e un (ui"o en #o)i#iento se #antiene constante- & se consi"era un (ui"o i"eal a$uel cu&a )iscosi"a" & ro.a#iento son nulos* /ara e!licar "etalla"a#ente el teore#a se e!resa el !rinci!io a tra)1s "el si,uiente ,ra2co- $ue re!resenta un con"ucto arbitrario !or el $ue circula un "eter#ina"o (ui"o con un cau"al "eter#ina"o- en este con"ucto se colocan "os tubos !ie.o#1tricos A & B*
La altura total $ue re!resenta la ener,ía total "el (ui"o- est' co#!uesta !or la su#a "e tres alturas o ener,ías+ = é+ é+ é+ é+ é
Altura Geo"#trica$ La altura ,eo#1trica es la "istancia "es"e un !unto "e
referenciareferencia- o !lano base & el !unto "e estu"io "on"e se "esea anali.ar el (ui"o* eneral#ente se re!resenta !or la letra 4 & re!resenta la ener,ía !otencial "el (ui"o* 5e e!resa en #etros 6#7* Altura Geo"#trica % & Altura 'ie(o"#trica$
Re!resenta la altura $ue !o"ría alcan.ar la colu#na "e a,ua "e!en"ien"o "e la !resin $ue !osee el (ui"o- o sea re!resenta la !resin "el (ui"o en ese !unto* 5e e!resa en #etros 6#7*
Esta ener,ía es "irecta#ente !ro!orcional a la !resin e in)ersa#ente !ro!orcional al !ro"ucto "e la "ensi"a" !or la ,ra)e"a"* Altura Cin#tica$ La altura cin1tica es !ro!orcional a la altura en #etros $ue
alcan.aría un cuer!o lan.a"o )ertical#ente %acía arriba con la #is#a )eloci"a" $ue
tiene un (ui"o en el !unto "e estu"io* 8 co#o+
y "e La ecuacin "e Bernoulli relaciona la !resin p- la ra!i"e. "e (u9o v & la altura "os !untos : & ; cuales$uiera- su!onien"o un (u9o estable en un (ui"o i"eal NO CO
p1 + ρ
1 2 1 2 g y1 + ρ v1 = p2 + ρ g y2 + ρ v2 2 2
Co#!le#entan"o El fluido hidráulico, en un sistema que trabaja contiene energía bajo tres formas: Energía
potencial: que depende de la altura de la columna sobre el nivel de referencia y por ende de la masa del líquido. Energía hidrostática: debida a la presión. Energía cinética: o hidrodinámica debida a la velocidad El principio de Bernoulli establece que la suma de estas tres energías debe ser constante en los distintos puntos del sistema, esto implica por ejemplo, que si el diámetro de la tubería varía, entonces la velocidad del líquido cambia. sí pues, la energía cin!tica aumenta o disminuye" como ya es sabido, la energía no puede crearse ni destruirse, en consecuencia esta variación de energía cin!tica será compensada por
un aumento o disminución de la energía de presión. #o antes mencionado, se encuentra resumido en la siguiente ecuación:
$onde: h % ltura & % &resión γ % &eso específico del líquido v % 'elocidad g % celeración gravitatoria h % Energía potencial &(γ % Energía de presión v)()g % Energía cin!tica o de velocidad &or lo tanto si se consideran dos puntos de un sistema, la sumatoria de energía debe ser constante en condiciones ideales" así se tiene que:
En tuberías hori*ontales, se considera h+ % h)" por lo tanto:
E presión+ E velocidad + % E presión ) E velocidad ) En la realidad, los accesorios, la longitud de la tubería, la rugosidad de la tubería, la sección de las tuberías y la velocidad del flujo provocan p!rdidas o caídas de presión que son necesarias considerar a la hora de reali*ar balances energ!ticos, por lo tanto la ecuación se traduce en:
-ondición real y con altura cero, o sistema en posición hori*ontal. &!rdidas regulares: están relacionadas con las características propias de la tubería &erdidas singulares: se refiere a las p!rdidas o caídas de presión que provocan los accesorios. 'álvulas, codos, reguladoras de presión, etc./ 'role"as de )ernoulli
In)esti,ue en $ue consiste el LA Ecuacin "e Bernoulli- cu'l su funcin & co#o se utili.a- =ue )ariables #i"e & co#o se re,istra la infor#acin* Ba9o $ue con"iciones es )'li"a esta ecuacin "e Bernoulli 6 características "e los (ui"os7
:7 =u1 ti!o "e !1r"i"as re,ulares & sin,ulares se !ro"ucen en la >ubería "e acero
:7 La 2,ura #uestra una bo#ba #onta"a en un siste#a "e con"uccin !ara el trans!orte "e a,ua* Los "i'#etros "e las tuberías- "e entra"a & sali"a- son i,uales & los ca#bios "e ener,ía !otencial "es!reciables* Un )acu#etro #onta"o a la entra"a "e la bo#ba #arca una !resin "e /e ? @ 0-; bar & un #an#etro ubica"o a la sali"a "e la bo#ba #arca una !resin /s ? :-; bar*
Calcular la altura "e ener,ía
$ue la bo#ba le entre,a al a,ua- en #etros*
&e
ρ ρ + × 'e) + γ × he + γ × 0E = &s + × 's) + γ × h s )
)
&or definición:
∴
∴
;7 La 2,ura #uestra una bo#ba #onta"a en un siste#a "e con"uccin !ara el 3 trans!orte "e a,ua 6 γ AUA ? ;- Lbf!ie 7* Los "i'#etros "e las tuberías- "e
entra"a & sali"a- son i,uales & los ca#bios "e ener,ía !otencial "es!reciables* Un )acu#etro #onta"o a la entra"a "e la bo#ba #arca una !resin "e /e ? @ !si & un #an#etro ubica"o a la sali"a "e la bo#ba #arca una !resin /s ? 0 !si* Calcular la altura "e ener,ía $ue la bo#ba le entre,a al a,ua- en !ie*
&e
ρ ρ + × 'e) + γ × he + γ × 0E = &s + × 's) + γ × h s )
)
&or definición:
37 La 2,ura #uestra una bo#ba #onta"a en un siste#a "e con"uccin !ara el trans!orte "e aceite*
La bo#ba !ro!orciona un
cau"al "e 3*00 litros !or #inuto* El "i'#etro "e la tubería "e entra"a es "e :00 ##* & el "i'#etro "e la tubería "e sali"a es "e ##* Un )acu#etro #onta"o a la entra"a "e la bo#ba #arca una !resin "e /e ? @ 0-; bar & un #an#etro ubica"o a la sali"a "e la bo#ba #arca una !resin /s ? :-:3 bar*
La altura ,eo"1sica entre la conein "el
)acu#etro & la conein "el #an#etro es "e 0 c#* Calcular la altura "e ener,ía $ue la bo#ba le entre,a al a,ua- en #etros* &e
ρ ρ + × 'e) + γ × he + γ × 0E = &s + × 's) + γ × h s )
)
7 La 2,ura #uestra una bo#ba #onta"a en un siste#a "e con"uccin !ara el trans!orte "e a,ua* La bo#ba !ro!orciona un cau"al "e :;*00 litros !or #inuto* El "i'#etro "e la tubería "e entra"a es "e ;0 ##* & el "i'#etro "e la tubería "e sali"a es "e ;00 ##* Los ca#bios "e ener,ía !otencial son "es!reciables* Un )acu#etro #onta"o a la entra"a "e la bo#ba #arca una !resin "e /e ? @ 0-; bar & un #an#etro ubica"o a la sali"a "e la bo#ba #arca una !resin /s ? 0-F bar* Calcular la altura "e ener,ía $ue la bo#ba le entre,a al a,ua- en #etros*
&e
/or "e2nicin+
ρ ρ + × 'e) + γ × h e + γ × 0E = &s + × 's) + γ × h s )
)
El tuo *enturi
In)esti,ue en $ue consiste el tubo "e Genturi- cu'l su funcin & co#o se utili.a- =ue )ariables #i"e & co#o se re,istra la infor#acin
7 El tubo Genturi "e la 2,ura trans!orta a,ua* El (ui"o #ano#1trico utili.a"o es #ercurio- cu&a "ensi"a" relati)a es "e :3-* 5i la )eloci"a" "el a,ua en el "i'#etro D: es "e G: ? ; 6#s7 & la altura % es "e :; ##*- calcular el )alor "e la )eloci"a" "el a,ua G;- en 6#s7* 5ol+ /or "e2nicin+ ')) − '+)
γ = ) ⋅ g ⋅ h ⋅ 02 − + γ 0)1
7 El tubo Genturi "e la 2,ura trans!orta a,ua a ra.n "e ;F litros !or #inuto* El "i'#etro D: ? ; J*
El (ui"o #ano#1trico utili.a"o es #ercurio- cu&a
"ensi"a" relati)a es "e :3-* 5i la altura % es "e :: ##*- calcular el )alor "e la )eloci"a" "el a,ua G;- en 6#s7* /or "e2nicin+ ')) − '+)
γ = ) ⋅ g ⋅ h ⋅ 02 − + γ 0)1
T+), DE 'RANDTL
7 In)esti,ue en $ue consiste el tubo "e /ran"tl cu'l su funcin & co#o se utili.a- =ue )ariables #i"e & co#o se re,istra la infor#acin F7 El tubo /ran"tl "e la 2,ura esta #onta"o al interior "e una tubería trans!orta
$ue
3 aire 6ρA ? :-;K ,# 7* El (ui"o #ano#1trico utili.a"o en el
instru#ento es a,ua & la altura % es "e :0 ##* Calcular la )eloci"a" "el aire al interior "e la tubería- en 6#s7* /or "e2nicin- el tubo /ran"tl !er#ite #e"ir !resiones "in'#icas* kg m m 3 s 2
m
/DIN ?ρ M , M % D/IN ? :*000 M K-F: M 0-0: ; /DIN ? KF-: N# 6/a7 A"e#'s- !or "e2nicin+ &$34
ρ = ⋅ ')
'
)
=
) ⋅ &$34
'
ρ
=
) ⋅ 56,+ +,)5
G ? :;-33 #s
* K7 El tubo /ran"tl "e la 2,ura esta #onta"o al interior "e una tubería 6ρA
$ue
3 ? :-;K ,# 7*
trans!orta aire
El (ui"o #ano#1trico
utili.a"o en el instru#ento es a,ua & la altura % es "e F ##* Calcular la )eloci"a" "el aire al interior "e la tubería- en 6#s7*
K7
El tubo /ran"tl "e la 2,ura esta #onta"o al interior "e una tubería $ue trans!orta 3 aire 6ρA ? :-:; ,# 7* El (ui"o #ano#1trico utili.a"o en el instru#ento es aceite 65 A ? 0-F7
:07 Dos tan$ues "e a,ua conecta"os !or una tubería "e :;;0 # "e lon,itu" & 0*; # "e "i'#etro* El ni)el en el reci!iente su!erior esta a 3 # !or enci#a "el ni)el "el tan$ue inferior* El ,asto $ue trans!orta la tubería es "e 0*:;F #3s* a7 Deter#inar la !er"i"a "e car,a total* b7 Deter#inar la !resin $ue eiste en la seccin- a la #ita" "e la tubería- si "ic%a seccin se encuentra a la #is#a ele)acin $ue el ni)el "el tan$ue inferior- sien"o $ue la #ita" "e la ener,ía "is!onible se !ier"e "es"e el tan$ue %asta "ic%a seccin* Soluci-n.
a7 Usa#os la ecuacin "e Bernoulli !ara una )ena li$ui"a- entre los !untos : & ; "e la fi,ura & %acien"o : & ; i,ual a uno+ Z 1
+
P 1 γ
+ α
1
V 1
2
2 g
= Z + 2
P 2 γ
+ α
2
V 2
2
2 g
2
+ ∑ Hr 1
::7 /ara saber la )eloci"a" "el a,ua en una tubería e#!al#a#os en ella un tubo en for#a "e > "e #enor seccin- coloca#os tubos #ano#1tricos A & B- co#o in"ica la 2,ura & #e"i#os la "iferencia "e altura 6 c#7 entre los ni)eles su!eriores "el lí$ui"o en tales tubos* •
5abien"o $ue la seccin "el tubo estrec%o es :0 )eces #enor $ue la tubería- calcular la )eloci"a" "el lí$ui"o en 1sta* CalcPlese el ,asto- si el 'rea
"e la seccin #a&or es 0 c# ;
:;7 El ,asto en una tubería !or la $ue circula a,ua es ;0F ls* En la tubería %a& instala"o un #e"i"or "e Genturi con #ercurio co#o lí$ui"o #ano#1trico* 5i las secciones "e las tuberías son F00 & 00 c# ;Calcular el "esni)el h $ue se !ro"uce en el #ercurio* Dato+ "ensi"a" "el #ercurio :3* ,rc#3
Los !untos : & ; est'n al #is#o ni)el y 1=y 2 5:):?5;);:0Q5;Q):?5;Q); );?:0Q):!:ST,&:S:;T);:?!;ST,&;S:;T);;6!aS:000QK*FQ%:7S:;:000 Q);:?6!aS:000QK*FQ%;7S:;:000Q:00);:%:%;?0*0 asto ?S1·v 1=S2·v 2?0M:0 VMv 1?0* litross
:37 El ,asto en una tubería !or la $ue circula a,ua es ;0F ls* En la tubería %a& instala"o un #e"i"or "e Genturi con #ercurio co#o lí$ui"o #ano#1trico* 5i las secciones "e las tuberías son F00 & 00 c#;-
Calcular el "esni)el h $ue se !ro"uce en el #ercurio* Dato+ "ensi"a" "el #ercurio :3* ,c#3
5:):?5;);;0FQ:03?F00Q:0Q):?00Q:0Q); );?*;W :)?;*W#s #s!:ST,&:S:;T);:?!;ST,&;S:;T);;!:S:;:000Q);:?!;S:;:000Q);;X!? !:!;?:0:0W/a Diferencia de presión en el manómetro
!:ST,?!;ST,6%7 STH,,%X/?!:!;?6TH,T7,%?6:300:0007QK*FQ%
%?F*;Wc#
:37 A tra)1s "e la contraccin "e la tubería $ue se #uestra en la 2,ura (u&e a,ua* /ara la "iferencia "a"a "e 0-; # en el ni)el "el #an#etro- f "eter#inar el cau"al en funcin "el "i'#etro "e la tubería !e$ueña- D*
:7 En un tPnel "e )iento se usa aire !ara !robar auto#)iles* 6a7 Deter#ine la lectura % "el #an#etro cuan"o en la .ona "e !rueba la )eloci"a" es "e 0 #illas%ora* Note $ue en el #an#etro eiste una colu#na "e : !ul, "e aceite sobre el a,ua* 6b7 Deter#ine la "iferencia entre la !resin "e estanca#iento frente al )e%ículo & la !resin en la .ona "on"e se reali.a la 3 3 !rueba Taire ? 0-00;3F slu,!ie aY ,ua ? ;- lb!ie
