Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VERACRUZ

INGENIERIA MECANICA Investigación: Ecuación de e!n"u##i$ %&t"d" de s"#ución ' e(e%)#"s* Rea#i+ó:  

a!!et" R"d!,gue+$ Rige# de -es.s E/0121340

Mate!ia: Ecuaci"nes Di5e!encia#es*

10*Ma!+"*21/4

ECUACIONES DI6ERENCIALES DE ERNOULLI Las ecuaci"nes di5e!encia#es de e!n"u##i s"n ecuaci"nes de# ti)": $ d"nde n71 ' n7/$ 'a 8ue en es"s cas"s esta!,a%"s ante una ecuación di5e!encia# #inea#* Se !esue#ven a)#icand" e# ca%9i" de va!ia9#e: +' /;n$ d"nde +<=> es #a nueva 5unción incógnita$ c"n #" 8ue tend!e%"s en cuenta 8ue:

$"

*

E# ca%9i" a)#icad" c"nvie!te #a ecuación di5e!encia# de e!n"u##i en una ecuación di5e!encia# #inea# 8ue !es"#ve!e%"s "9teniend" +<=>$ )a!a 5ina#%ente "9tene! '<=> a )a!ti! de #a ecuación de# ca%9i" de va!ia9#e*

M&t"d" de S"#ución* Caso general

Si se descuentan #"s cas"s )a!ticu#a!es en 8ue ?1 ' ?/ ' se divide #a ecuación )"! y ? se "9tiene:

De5iniend":

"$ e8uiva#ente%ente$ Z  y /;? ##eva in%ediata%ente a #as igua#dades:

G!acias a esta .#ti%a !e#ación se )uede !eesc!i9i! c"%":

Ecuación a #a cua# se )uede a)#ica! e# %&t"d" de !es"#ución de una ecuación di5e!encia# #inea# "9teniend" c"%" !esu#tad":

D"nde

es una c"nstante a!9it!a!ia* @e!" c"%" Z   y /;? se tiene 8ue:

6ina#%ente$ #as 5unci"nes 8ue satis5acen #a ecuación di5e!encia# )ueden ca#cu#a!se uti#i+and" #a e=)!esión:

C"n

* D"nde e# 5act"! integ!ante se de5ine en$ )"! e(e%)#"$ 1  =  B

Caso particular: α = 0

En este cas" #a ecuación se !educe a una ecuación di5e!encia# #inea# cu'a s"#ución viene dada )"!:

Caso particular: α = 1

Tene%"s una ecuación di5e!encia# #inea# * En este cas" #a s"#ución viene dada )"!:

E(e%)#"s: @a!a !es"#ve! #a ecuación:

Paso 1: C"n5i!%a! ecuación di5e!encia# de e!n"u##i

Paso 2: Ca%9i" de va!ia9#e

 A"!a !ea#i+" e# ca%9i" de va!ia9#e +'  en #a ecuación$ ' su ve!sión c"n #as de!ivadas es:

Sustitu'" en #a ecuación di5e!encia#:

L#ega%"s a una ecuación di5e!encia# #inea# en +<=>* Paso 3: Res"#ve! #a ecuación di5e!encia# #inea#

La s"#ución de #a nueva ecuación di5e!encia# viene dada )"! #a su%a de #a s"#ución "%"g&nea ' una s"#ución )a!ticu#a!: +++)*

•

S"#ución "%"g&nea:

•

S"#ución )a!ticu#a!:

@a!a enc"nt!a! C<=> en #a s"#ución )a!ticu#a! uti#i+a%"s e# %&t"d" de #a va!iación de #a c"nstante*

Sustitui%"s #a s"#ución )a!ticu#a! )!")uesta ' su de!ivada en #a ecuación di5e!encia# #inea# a !es"#ve!:

Una ve+ "9tenida C<=> 'a )"de%"s )#antea! #a s"#ución )a!ticu#a!:

La s"#ución 5ina# a #a ecuación di5e!encia# #inea# en +<=> se!F )"! #" tant":

Paso 4: O9tene! s"#ución de ecuación di5e!encia# de e!n"u##i

Desace%"s e# ca%9i" de va!ia9#e +' )a!a "9tene! #a s"#ución de #a ecuación di5e!encia# de e!n"u##i '<=>*

La s"#ución "9tenida es en 5"!%at" i%)#,cit"$ )e!" en este cas" )"de%"s "9tene! ta%9i&n #a 5"!%a e=)#,cita de '<=>*

    @a!a !es"#ve! #a ecuación: Se ace e# ca%9i" de va!ia9#e

$ 8ue int!"ducid" en da si%)#e%ente:

Mu#ti)#icand" #a ecuación ante!i"! )"! e# 5act"!:

se ##ega a:

Si se sustitu'e en #a .#ti%a e=)!esión ' ")e!and":

ue es una ecuación di5e!encia# #inea# 8ue )uede !es"#ve!se 5Fci#%ente* @!i%e!a%ente se ca#cu#a e# 5act"! integ!ante t,)ic" de #a ecuación de e!n"u##i:

J se !esue#ve a"!a #a ecuación:

Desaciend" a"!a e# ca%9i" de va!ia9#e:

Teniend" en cuenta 8ue e# ca%9i" 8ue ici%"s 5ue

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