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TRABAJO INTEGRADOR ECUACIONES DIFERENCIALES GRUPO 6
Simulación de la corriente transitoria en un circuito eléctrico LRC en serie Jonathan Guzmán. e-mail:
[email protected] [email protected] Jose Ortiz e-mail:
[email protected] Byron Zhingre e-mail:
[email protected] [email protected]
solución de Resumen—en este trabajo se prodedio a modelar la solución un circuito LRC en serie, luego de haber obtenido la solución se procedió a simular el circuito mediante la utilización de multisim 12 para para compar comparar ar con los result resultado adoss obtenid obtenidos os al resolv resolver er la ecuación diferencial. Index Terms—vibraciones eléctricas,modelo aplicado
I. O BJETIVOS Figura Figura 2. Símbolos Símbolos,, unidades y voltajes voltajes.. Corriente Corriente i(t) y carga q(t) están medidas en ampers (A) y en coulomb (C), respectivamente.
Aplicar un modelo, validar y verificar un modelo de ecuación diferencial, aplicando a un problema práctico, según la carrera que cursa Comprobar si EDO es aplicable a un problema real y comparar la solución del modelo aplicado con los datos obtenidos mediante la medición. Predecir valores futuros del modelo aplicado.
I I . I NTRODUCCIÓN
En un circuito con el interruptor cerrado, la corriente se denota por i(t) y la carga en el capacitor al tiempo t se denota por q (t). Las letras L,R y C son conocidas como inductancia, resistencia y capacitancia, respectivamente y en general son constantes. Ahora de acuerdo con la segunda ley de Kirchhof, el voltaje aplicado E (t) a un circuito cerrado debe ser igual a la suma de las caídas de voltaje en el circuito. La figura 2 muestra los símbolos y fórmulas de las caídas respectivas de voltaje a través de un inductor, un capacitor y un resistor. Como la corriente i(t) esta relacionada con la carga q (t) en el capacitor mediante i = dq sumamos los tres voltajes dt 2
di = L ddt q ; L dt 2
Consid Considere eremos mos el circui circuito to en serie serie simple simple que tiene tiene un inductor, un resistor y un capacitor que se muestra en la figura 1.
iR = R dq dt
vc =
y
1
C
q
e igualando la suma de los voltajes con el voltaje aplicado se obtiene la ecuación diferencial de segundo orden: 1 d2 q dq + q = E (t) L 2 +R dt dt C
(1)
Si E (t) = 0, se dice que las vibraciones eléctricas del circuito están libres. Debido a que la ecuación auxiliar para 1 (1) es Lm2 + Rm + C = 0, habrá tres formas de solución con 4 0, dependiendo del valor del discriminante R2 − LC . Se R= dice que el circuito es: Figura Figura 1. Circuito Circuito eléctrico eléctrico LRC en serie.
sobreamortiguado si críticamente amortiguado si
R R
− −
4
LC 4
LC
>0
=0
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y subamortiguado s i
R
−
4
LC
<0 t
−
En cada uno de estos tres casos, la solución general de (1) contiene el factor e t así q (t) → 0 conforme t → ∞. En el caso subamortiguado cuando q ( 0) = q 0 , la carga en el capacitor oscila a medida que esta disminuye; en otras palabras, el capacitor se carga y descarga conforme t → ∞. Cuando E (t) = 0 y R = 0, se dice que el circuito no esta amortiguado y las vibraciones eléctricas no tienden a cero conforme t crece sin limite; la respuesta del circuito es armónica simple. −
Qh = e
R 2L
III. D ESARROLLO El circuito que se va a resolver se muestra en la figura 3.
√
√
(c cos(t 3) + d sin(t 3))
∗
∗
Procedemos a encontrar la solución particular: Q p = a sin(120 π
∗ ∗ t) + a ∗ cos(120 ∗ π ∗ t)
∗
Obtenemos la primera y segunda derivada de la solución particular: Q p = 120πa
Q p = π t)
∗
∗ cos(120 ∗ π ∗ t) − 120πa ∗ sin(120 ∗ π ∗ t) 2
2
−14400π a ∗ sin(120 ∗ π ∗ t) − 14400π a ∗ cos(120 ∗
Remplazando en la ecuación original: 2( 14400π2 a sin(120 π t) 14400π 2 a cos(120 π t))+4(120 πa cos(120 π t) 120πa sin(120 π t)) + 8(a sin(120 π t) + a cos(120 π t)) = 5sen (120π t)
− ∗
Figura 3. Circuito LRC a modelar.
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ − ∗ ∗ − ∗ ∗ ∗ ∗
∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
Luego de resolver se obtiene:
Datos: L = 2H
Al sumar la solución homogénea y particular obtenemos la solución general:
C = 0 ,125F R = 2Ω E (t) = 5sen (120π
∗ t)
Identificación de condiciones iniciales: Para obtener la ecuación de la corriente se tiene que derivar g con respecto a t. A continuación se muestra el valor de la corriente y de las tensiones para algunos valores de t.
iL (t = 0) = 5mA vc (t = 0) = 2mV
Según la ley de Kirchhof: vR1 + vc1 + vL1 + = 5sen (120π R1 i + i=
1
c1
i dt + L1
di dt
∗ t)
= 5sen (120π t)
∗
dq dt
2
L ddt q + 2
dq R dt 1
+
q c1
= 5sen (120π t)
∗
2q + 4q + 8q = 5sen (120π t)
∗
Procedemos a encontrar la solución homogénea: 2m2 + 4m + 8 = 0
tiempo s 0 1.500000e-002 3.000000e-002 4.500000e-002 6.000000e-002 7.500000e-002 9.000000e-002 1.050000e-001 1.200000e-001 1.350000e-001 .500000e-001 Simulación:
corriente mA 5.0000 5.8821 8.8222 12.5588 15.5268 16.4551 14.8523 11.1945 6.7436 3.0653 1.4313
vc mV 2.0000 3.4568 4.8387 6.1260 7.3187 8.4365 9.5111 10.5742 11.6460 12.7269 13.7978
vr mV 20.0000 23.5286 35.2887 50.2351 62.1071 65.8203 59.4091 44.7780 26.9745 12.2614 5.7251
vl V -0.0220 -2.9659 -4.7954 -4.8116 -3.0084 -0.0743 2.8700 4.6999 4.7167 2.9139 -0.0195
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Figura 4. Gráfica de la corriente obtenida mediante multisim 12.
Figura 8. Gráfica de la solución obtenida en modellus
V. CONCLUSIONES 4 Puesto que R − LC < 0 el circuito esta subamortiguado El condensador se carga y descarga conforme el tiempo aumenta. t La solución general contiene el factor e como se predijo anteriormente. −
R 2L
R EFERENCIAS Figura 5. Gráfica del voltaje en el inductor obtenida mediante multisim 12.
Figura 6. Gráfica del voltaje en la resistencia obtenida mediante multisim 12.
Figura 7. Gráfica del voltaje en el capacitor obtenida mediante multisim 12.
IV. COMPARACIÓN DE RESULTADOS A continuación se muestra una imagen en la que se gráfica la solución obtenida mediante el software modellus 4.1.
[1] ZILL. DENNIS ; Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera/Cengage Learning/7ł edición/2009. [2] NAGLE, SAFF, SNIDER; Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera/Pearson educacion/4ł edición/2005. [3] ZILL, DENNIS G.; CULLEN, MICHAEL R.Matemáticas avanzadas para ingeniería: ecuaciones diferenciales/ McGraw Hill. México. 3a. edición. Tomo I . 2008.
