C LCULO VECTORIAL “VECTORES EN EL ESPACIO”
POR VILLEGAS OLVERA EDUARDO DANIEL
ING. CIVIL 2018
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ÍNDICE................................ ................................................. ................................ ................................ ................................. ................................. ................................. ................................. .............................. ............. 2 INTRODUCC INTRODUCCIÓN IÓN ................................. .................................................. ................................ ................................ ................................. ................................. ................................. .............................. .............. 3 1.1 DEFINICIÓN DE UN VECTOR EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO Y SU INTERPRETACIÓN INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA. .... 4 4 Puntos y vectores en Rn. Interpretación geométrica. ............................................................................. 4 Puntos en R2. El plano plano real. ...................................... ....................................................... ................................. ................................. ................................. ............................. ............. 5 Puntos en R3. El espacio espacio real. real. ............................ ........................................... ................................ ................................. ................................. ................................. ..................... ..... 6 Puntos en Rn. Espacio real n-dimensional. ............................................................................................. 7 Rectas y Planos en el Espacio ................................................................................................................. 7 1.2 ALGEBRA VECTORIAL Y SU GEOMETRÍA. ................................................................................................... 9 1.3 PRODUCTO ESCALAR Y VECTORIAL.......................................................................................................... 12 PRODUCTO PRODUCTO ESCALAR ESCALAR ................................ ................................................ ................................ ................................. ................................ ................................ ............................. ............12 PRODUCTO VECTORIAL .......................................................................................................................... 13 1.4 ECUACIÓN DE LA RECTA. .......................................................................................................................... 17 1. – Ecuación general de la recta .......................................................................................................... 17 Ecuación principal de la recta ............................................................................................................... 18 Forma simplificada de la ecuación de la recta ..................................................................................... 19 Pendiente Pendiente de una Recta ................................. .................................................. ................................ ................................ ................................. ................................. ...................... ..... 21 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos..................................................................................... 23 Ecuación de la recta re cta dados punto–pendiente (se conoce un punto y se conoce la pendiente) ........ 25 1.5 ECUACIÓN DEL PLANO. ............................................................................................................................. 26 Deducción de la ecuación general del plano ........................................................................................ 26
Ecuación segmentaria del plano ................................ ................................................. ................................. ................................. ................................. ...................... ...... 33 ECUACIÓN VECTORIAL PARAMÉTRICA DEL PLANO ............................................................................... 35 De la ecuación general a la ecuación vectorial paramétrica ............................................................... 37 1.6 APLICACION APLICACIONES ES ................................. .................................................. ................................. ................................. ................................ ................................ ................................. ....................... ....... 38 CONCLUSIÓ CONCLUSIÓN. N. ................................ ................................................. ................................. ................................. ................................. ................................. ................................ ............................... ................40 BIBLIOGRAFÍ BIBLIOGRAFÍA A ................................ ................................................. ................................ ................................ ................................. ................................. ................................. ................................ ................41
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El estudio de los vectores es uno de tantos conocimientos de las matemáticas que provienen de la física. El concepto de vector es muy amplio y su aplicación se evidencia en los diferentes campos de las ciencias. En matemáticas, un vector es un elemento de una estructura algebraica denominada espacio vectorial. El cálculo vectorial o análisis vectorial es un campo de las matemáticas referidas al análisis real multi-variable de vectores en 2 o más dimensiones; se emplea para la simplificación de problemas físicos de la realidad, representándolos mediante modelos matemáticos. En la ingeniería civil, el cálculo vectorial se usa para el diseño de vías, en especial en el cálculo de la curvatura de la carretera (curvas de transición), también se usa en la determinación de superficies y volúmenes tantos máximos como mínimos; por medio de integrales, derivadas y de esta manera determinar costos mínimos entre otros.
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VECTOR:
Se le conoce como vector al segmento de recta dirigido de P a Q
VECTOR EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO
Los elementos de R n admiten una representación e interpretación geométrica y son la herramienta matemática básica para la manipulación de puntos, coordenadas, vectores, planos, rectas y otros muchos elementos indispensables tanto en matemáticas como en otras materias.
Los elementos de R n admiten principalmente dos representaciones geométricas. Una de ellas, como punto de una recta, plano o espacio y otra como vector o segmento orientado. En realidad, solamente es posible representar geométricamente los conjuntos R 2 y R3 y, de forma más limitada, R 4. n
Puntos en R .
La primera forma en que podemos representar una upla es en forma de punto.
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Los elementos de R 2 son 2- uplas o pares como por ejemplo (2,3), (3, −1), (0,4). Su representación se efectúa sobre un plano en el cual trazamos dos ejes perpendiculares, uno horizontal, usualmente denominado eje de abcisas, y otro vertical, denominado eje de ordenadas que se cortan en un punto denominado origen u origen de coordenadas. El primer número del par se representa en el eje horizontal y el segundo en el vertical. Así, para representar la upla genérica (x, y) marcaremos x en el eje horizontal y marcaremos y en el vertical del siguiente modo:
El eje horizontal suele denominarse también eje x y el vertical eje y.
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Cada elemento de R 3 o 3-upla tiene 3 componentes (por ejemplo (3, 2, 1) es una 3-upla cuya primera componente es 3, la segunda es 2 y la tercera es 1). Para representar R 3 necesitamos un espacio tridimensional en el que trazamos tres ejes perpendiculares que se cruzan en un punto que llamamos nuevamente origen. Cada una de las tres componentes de una tres upla se representará en el eje que le corresponde. Los dos ejes horizontales son para las dos primeras componentes y el eje vertical es para la tercera. Nuevamente, el signo negativo de las componentes indicará a qué lado del origen, en cada eje, se sitúa el punto que representa a la upla en cuestión. De hecho, los tres ejes suelen denominarse ejes x , y y z, siendo el eje x el que se utiliza para representar la primera componente, el eje y para la segunda y el eje z para la tercera.
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Para representar una 2-upla de R 2 necesitamos dos ejes perpendiculares dentro de un plano, por su lado, la representación de las 3-uplas de R 3 se realiza sobre tres ejes perpendiculares dentro del espacio tridimensional. Utilizando estas ideas podríamos intentar imaginar cuál sería la representación de un 4upla de R 4, de una 5-upla de R 5 o en general de una n-upla de R n. El problema ahora es que para representar una 4-upla necesitaríamos cuatro ejes perpendiculares dentro de un espacio cuatridimensional y tal cosa no es materializable en la realidad ya que evidentemente nos movemos dentro de un espacio que ´únicamente’ es tridimensional. Dicho de otro modo, no es posible realizar una representación efectiva de las uplas de R4, R5 o, en general, de R n. A pesar de ello, las ideas que hemos utilizado para R 2 y R3 nos permiten imaginar o intuir que esas uplas de R 4, R5 o de R n se representan igualmente como puntos trazados sobre un sistema de 4, 5 o n ejes perpendiculares dentro de un espacio n-dimensional. Es por ello que R n se denomina espacio n-dimensional real y a sus uplas las llamamos también puntos ya que podemos imaginar su representación en forma de punto.
Dos planos en el espacio pueden ser: Paralelos : si nunca se cruzan.
Secantes: si se cortan. CÁLCULO VECTORIAL
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Perpendiculares: si se cortan en ángulo recto.
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Adic ió n d e vect ores.
Sumar o componer dos o más vectores es hallar otro vector resultante cuyas componentes sean iguales a la suma de las componentes de los vectores sumados. Gráficamente se pueden sumar vectores usando la ley del paralelogramo.
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Forma trinomia y vectores unitarios. En el espacio tridimensional hemos definido un punto por tres coordenadas (x,y,z). Definimos lo mismo mediante un vector r = r (x,y,z) llamado vector de posición, a la terna ordenada de números (x,y,z) los llamamos componentes coordenados del vector. Si utilizamos un sistema de coordenadas diferente, los tres números cambian a (x´,y´,z´), sin embargo, el vector r es el mismo en ambos sistemas, es decir la definición de vector permanece invariable o independiente del sistema de coordenadas elegido. En un sistema coordenado ortogonal X, Y, Z como en el de la figura, y dándole carácter vectorial a las proyecciones ortogonales, x, y, z; de r sobre los ejes, podemos escribir:
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El producto escalar de dos vectores a y b , representado por el símbolo a.b, se define como un escalar, de módulo el producto de los módulos de los 2 vectores multiplicado por el coseno del ángulo que forman a con b .
El símbolo ” . ” del producto a . b, significa producto escalar. Ejemplo típico es el trabajo mecánico: W = F . s . cos α. PROPIEDADES:
a. El producto escalar de un vector por sí mismo es igual al cuadrado del módulo del vector.
b. El producto escalar de dos vectores perpendiculares es nulo.
c. El producto escalar tienen la propiedad CONMUTATIVA.
Como cos α = cos (α), pues
se cumple que
.
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d. Los productos escalares entre los vectores unitarios i, j y k son:
e. El producto escalar de dos vectores, en función de sus componentes, es igual a
El producto vectorial de dos vectores a y b , representado por el símbolo a x b, se define como un vector; de módulo, el producto de los módulos de los 2 vectores, multiplicado por el seno del ángulo que forman a con b; de dirección, perpendicular al plano formado por los vectores a y b ; y sentido, el de avance de un sacacorchos, que apoyada su punta enel punto de corte de ambos vectores, gire de a y b , por el camino más corto.
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El símbolo ” x ” del producto a x b, significa producto vectorial.
PROPIEDADES:
a. El producto vectorial NO ES CONMUTATIVO .
Como sen α = - sen (-α), pues se cumple que:
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b. Si el ángulo que forman los dos vectores es de 0°, es decir, son paralelos, su producto vectorial es nulo.
valores del los ángulos
Recordemos los seno y coseno de de 0° y 90°:
c. Los productos vectoriales entre los vectores unitarios i, j y k son:
d. El producto vectorial de dos vectores, en función de sus componentes, es igual a:
Cuya determinante, que se resuelve aplicando la regla de Sarrus.
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solución nos da un
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Ejemplo: Dados los siguientes vectores
calcular
(a - b) x c.
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La idea de línea recta es uno de los conceptos intuitivos de la Geometría (como son también el punto y el plano). La recta se puede entender como un conjunto infinito de puntos alineados en una única dirección. Vista en un plano, una recta puede ser horizontal, vertical o diagonal (inclinada a la izquierda o a la derecha).
La línea de la derecha podemos verla, pero a partir de los datos que nos entrega la misma línea (par de coordenadas para A y par de coordenadas para B en el plano cartesiano) es que podemos encontrar una expresión algebraica (una función) que determine a esa misma recta. El nombre que recibe la expresión algebraica (función) que determine a una recta dada se denomina Ecuación de la Recta . Para compr ender este proc eder es co mo si la mism a línea solo se cambia de ropa para que sepan de su existencia pero expresada en términos matemáticos (como una ecuación).
Esta ecuación de la recta varía su formulación de acuerdo con los datos que se conozcan de la línea recta que se quiere representar algebraicamente. Dicho en otras palabras, hay varias formas de representar la ecuación de la recta. Esta es una de las formas de representar la ecuación de la recta. De acuerdo a uno de los postulados de la Geometría Euclidiana, para determinar una línea recta sólo es necesario conocer dos puntos (A y B) de un plano (en un plano cartesiano) , con abscisas (x) y ordenadas (y) . Ahora bien, conocidos esos dos puntos, todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación
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Que también puede escribirse como
y que se conoce como: la ecuación general de la línea recta, como lo afirma el siguiente: Teorema
La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0 , donde A, B, C pertenecen a los números reales ( ); y en que A y B no son simultáneamente nulos, representa una línea recta.
Esta es otra de las formas de representar la ecuación de la recta. Pero antes de entrar en la ecuación principal de la recta conviene recordar lo siguiente: Cada punto (x, y) que pertenece a una recta se puede representar en un sistema de coordenadas, siendo x el valor de la abscisa (horizontal) e y el valor de la ordenada (vertical). (x, y) = (Abscisa , Ordenada)
Ejemplo: El punto (–3, 5) tiene por abscisa –3 y por ordenada 5. Si un par de valores (x, y) pertenece a la recta, se dice que ese punto satisface la ecuación. Ejemplo: El punto ( 7, 2 ) (el 7 en la abscisa x y el 2 en la ordenada y ) satisface la ecuación y = x – 5 , ya que al reemplazar queda 2 = 7 – 5 lo que resulta verdadero.
Recordado lo anterior, veamos ahora la ecuación de la recta que pasa solo por un punto conocido y cuya pendiente (de la recta) también se conoce, que se obtiene con la fórmula
y = mx + n que considera las siguientes variables: un punto ( x, y ), la pendiente ( m ) y el punto de intercepción en la ordenada ( n ), y es conocida como ecuación principal de la recta (conocida también como forma simplificada, como veremos luego). Al representar la ecuación de la recta en su forma principal vemos que aparecieron dos nuevas variables: la m y la n , esto agrega a nuestra ecuación de la recta dos nuevos CÁLCULO VECTORIAL
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elementos que deben considerase al analizar o representar una recta: la pendiente (m) y el punto de intercepción (n) (también llamado intercepto ) en el eje de las ord enadas (y) .
Respecto a esto, en el gráfico de arriba, m representa la pendiente de la recta y permite obtener su grado de incli nación (en relación a la horizontal o abscisa), y n es el coeficiente de posición, el número que señala el punto donde la recta interceptará al eje de las ord enadas (y).
Si se conoce la pendiente m , y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es ( 0, b ) (corresponde a n en la fórmula principal ya vista), podemos deducir, partiendo de la ecuación de la recta de la forma
Esta es una segunda forma de la ecuación principal de la recta (se la llama también form a explícita de la ecuación ) y se utiliza cuando se conocen la pendiente y la ordenada al origen (o intercepto), que llamaremos b ( no olvidemos que corresponde a la n en la primera forma de la ecuación principal). También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada. Ejemplo: La ecuación y = 4x + 7 tiene pendiente 4 y coeficiente de posición 7, lo cual indica que interceptará al eje y en el punto (0, 7) . CÁLCULO VECTORIAL
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Conocida la fórmula de la ecuación principal (simplificada o explícita, como quieran llamarla) de la recta es posible obtener la ecuación de cualquier recta siempre que se nos den al menos dos variables de ella: puede ser la pendiente, puede ser un punto o puede ser el intercepto. Esto significa que si te dan esa información se puede conseguir una ecuación de la forma y = mx + b que cumple con esas condiciones dadas. Nótese que la ecuación y = mx + b es la forma generalizada de la forma principal y = mx + n; por lo tanto, la b corresponde al valor de n (el intercepto en la ordenada y ). Ejemplo 1:
Hallar la ecuación de la recta que tiene pendi ente m = 3 e intercepto b = 10 . Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b . Usamos la información que tenemos: m = 3 y b = 10 y sustituimos en la ecuación y = 3x + 10 .
La ecuación que se pide es y = 3x + 10 . Nótese que esta forma principal (simplificada o explícita) también podemos expresarla como una ecuación general: y – 3x – 10 = 0 , la cual amplificamos por –1, quedando como – y + 3x + 10 = 0 , que luego ordenamos, para quedar 3x – y + 10 = 0 Ejemplo 2
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2) y tiene pendiente m = – 5 . Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b . Usamos a información: m = – 5 y sustituimos en la ecuación: y = – 5x + b
Ahora tenemos que buscar la b ; usamos el otro dato; la recta pasa por el punto (1, 2) , por lo tanto, ese punto es una solución de la ecuación que buscamos. Se sustituyen esos valores de x = 1, y = 2 en la ecuación que estamos buscando: 2 = – 5 (1) + b Despejamos la variable b en: 2 = – 5 (1) + b 2=–5+b 2+5=b b=7
Sustituimos el valor de b en la ecuación que buscamos: y = – 5x + 7 CÁLCULO VECTORIAL
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La ecuación en su forma principal (simplificada o explícita) es y = – 5x + 7 . La cual también podemos expresar en su forma general: y = – 5x + 7 y + 5x – 7 = 0
la cual ordenamos y queda 5x + y – 7 = 0
Con respecto a la pendiente es necesario conocer los siguientes enunciados: Las rectas paralelas tienen la misma pendiente. Si una recta tiene pendiente m = – 3 y es paralela a otra, entonces esa otra también tiene pendiente m = – 3. Las rectas perpendiculares tienen pendientes recíprocas y opuestas. Si una recta tiene pendiente m = – 5 y es perpendicular a otra, entonces esa otra tiene pendiente 1/5. Además: Si m = 0 la recta es horizontal (paralela al eje x). Si y = 0 , la recta es perpendicular. Si n = 0 la recta pasa por el origen. Determinar la pendiente
Aprendido lo anterior es muy fácil hallar la ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada, o para hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Si nos dicen, por ejemplo, que una recta tiene una pendiente de 2 y que pasa por el punto ( 1, 3 ), sólo tenemos que sustituir estos valores en la ecuación principal y nos quedaría: 3 = 2 · 1 + n,
y despejando n , queda n = 1 . Por lo tanto, la ecuación de esa recta será: y = 2x + 1 .
Si nos dicen que la recta pasa por el punto ( 1, 3 ) y ( 2, 5 ), sólo tenemos que sustituir estos valores en la ecuación principal y obtendremos dos ecuaciones con dos incógnitas: 3 = m · 1 + n, 5 = m · 2 + n.
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Ahora, observemos el gráfico de arriba: Cuando se tienen dos puntos de una recta P 1 (x 1 , y 1 ) y P 2 (x 2 , y 2 ) , la pendiente, que es siempre constante , queda determinada por el cuociente entre la diferencia de las ordenadas de esos dos puntos y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, o sea, con la fórmula
Entonces, a partir de esta fórmula de la pendiente se puede también obtener la ecuación de la recta, con la fórmula: y – y 1 = m(x – x 1 )
Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno solo de sus puntos. Entonces, la ecuación de la recta que pasa por el punto P 1 = (x 1 , y 1 ) y tiene la pendiente dada m, se establece de la siguiente manera: y – y 1 = m(x – x 1 )
Ejemplo Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2, – 4) y que tiene una pendiente de – 1/3 Al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente: y – y 1 = m(x – x 1 ) CÁLCULO VECTORIAL
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y – (–4) = – 1/3(x – 2) 3(y + 4) = –1(x – 2) 3y + 12 = –x + 2 3y +12 + x – 2 = 0 3y + x + 10 = 0 x + 3y + 10 = 0 Volviendo a la ecuación general de la recta (Ax + By + C = 0) , en ella la pendiente ( m ) y el coeficiente de posición ( n ) quedan determinados por:
Ejemplo: ¿Cuál es la pendiente y el coeficiente de posición de la recta 4x – 6y + 3 = 0 ?
Sean P(x 1 , y 1 ) y Q(x 2 , y 2 ) dos puntos de una recta. Sobre la base de estos dos puntos conocidos de una recta, es posible determinar su ecuación. Para ello tomemos un tercer punto R(x, y) , también perteneciente a la recta. Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tener la misma pendiente. O sea y
Luego, la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es:
que también se puede expresar como
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Ejemplo 1:
Determina la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P(1, 2) y Q(3, 4)
y–2=x –1
y – 2 – x + 1 = 0 y – x – 2 + 1 = 0 y–x –1=0
Ejemplo 2:
Determina la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P 1 (4, 3) y P 2 (–3, – 2)
Sabemos que la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es:
Reemplazamos los valores : –2 – 3 = y – 3 –3 – 4 x–4 –5 = y – 3 –7 x–4 y – 3 = x – 4 (–5 /–7) y – 3 = –5 x + 20 –7 –7 (y – 3) = –5 x + 20 –7y +21 + 5x – 20 = 0 5x – 7y + 1 = 0
Que se corresponde con una ecuación de la forma general Ax + By + C = 0 CÁLCULO VECTORIAL
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Donde A=5 B=7 C=1
Por lo ya visto, y por los ejemplos anteriores, sabemos que la ecuación de la recta que pasa por dos puntos está determinada por
pero
Luego, si reemplazamos en la ecuación anterior obtenemos
despejando, llegamos a: y – y 1 = m(x – x 1 )
Ejemplo:
Determina la ecuación general de la recta de pendiente –4 y que pasa por el punto (5, – 3) y – y 1 = m(x – x 1 ) y – (–3) = –4(x – 5) y + 3 = –4x + 20 y = –4x + 20 –3 y = –4x +17
Luego la ecuación pedida es 4x + y – 17 = 0 .
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Dada una dirección en R3, existen infinitos planos perpendiculares a la misma. Si conocemos además un punto del plano, éste queda determinado de forma única. Nos proponemos hallar la ecuación del plano π que pasa por P0(x0,y0,z0) y es perpendicular al vector ⃗ n=
. El Vector ⃗ n se denomina vector normal del plano.
¿Qué condición debe cumplir un punto P(x,y,z) para estar en el plano ππ? Si armamos el vector −→P0P, éste debe ser paralelo al plano, o sea perpendicular al vector normal del plano: P(x,y,z) π
P0P→ n→
P0P→.n→=0
(x–x0, y–y0, z–z0) * (a,b,c) = 0 a (x – x0) + b (y – y0) + c (z – z0) = 0
Ecuación g eneral o i mplícit a del p lano ax + by + cz + d = 0
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Hallar la ecuación del plano perpendicular al vector ⃗n=(3,2,1) que pasa por el punto P0(1,1,–1) Las componentes de ⃗n nos indican los coeficientes a, b y c de la ecuación del plano: π: 3x + 2y + z + d = 0
¿Cómo hallamos d ? El punto debe verificar la ecuación, entonces reemplazamos P0P0 y obtenemos el coeficiente que faltaba: 3.1 + 2.1 – 1 + d = 0
d = –4
Así obtenemos la ecuación del plano: π: 3x + 2y + z –4 =0
Éste es el único plano que pasa por el punto P0 y es perpendicular al vector ⃗n. Para efectuar un gráfico aproximado del plano que obtuvimos, podemos buscar sus intersecciones con los ejes coordenados: Para hallar la intersección con el eje x, debemos plantear y=z=0 y despejar el valor de x. Análogamente para las otras intersecciones, tal como se muestra en el siguiente cuadro:
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Tres puntos no alineados determinan un único plano que los contiene. Trazamos los
segmentos que unen los puntos hallados y obtenemos la representación gráfica de una porción del plano:
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Dados los puntos R(1,2,3) y S(3,–1,2), encontrar la ecuación del plano que corta perpendicularmente al segmento RS en su punto medio. Resolución
Busquemos las coordenadas del punto medio: + +(−) + M=( , ,
= ( , , )
Como el plano corta perpendicularmente al segmento RS, podemos tomar →RS como vector normal del plano: →RS = (2, –3, –1)
Escribimos la ecuación del plano al que llamaremos ββ: β: 2x – 3y – 1z + d =0
Para hallar d reemplazamos el punto M :
2.2–3.12–52+d=0 d=0 Y así obtenemos la ecuación buscada:
β:2x –3y–z=0 Este plano pasa por el origen, o sea que interseca a los tres ejes en (0,0,0)(0,0,0). Necesitamos al menos dos puntos más para graficarlo. Para facilitar el gráfico podemos elegir puntos que estén sobre los planos coordenados. Por ejemplo y=0:
2x – z = 0
z = 2x
Entonces haciendo que x=1 debe ser z=2, y obtenemos el punto P1(1,0,2) Para tomar otro punto del plano podemos hacer que z=0
2x – 3y = 0 CÁLCULO VECTORIAL
y = 2/3x Página 29
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Y si x=3 entonces y =2. Obtenemos el punto P2(3,2,0) Entonces β contiene a los puntos (0,0,0),(1,0,2) y (3,2,0)
Ejemplo
Dados A(4,5,2),B(1,3,4), C(2,2,5) hallar, si es posible, el plano que contiene a los tres puntos. Habíamos dicho que tres puntos no alineados determinan un único plano que los contiene. Hagamos una figura de análisis:
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Con los tres puntos, podemos armar dos vectores, por ejemplo:
→AB=<– , – , > →AC=< –2,–3,3> El vector normal debe ser perpendicular a ambos vectores cómo muestra la siguiente figura:
¿Qué operación nos permite hallar un vector perpendicular a otros dos? (→AB × →AC = (0, 5,5)
¿Qué resultado habríamos obtenido si AA, BB y CC estuvieran alineados? El vector (0,5,5) es perpendicular al plano que buscamos, entonces podemos tomar n=<0,5,5> y escribir la ecuación del plano:
α: 5y + 5z + d = 0 Para hallar d podemos reemplazar cualquiera de los tres puntos. Reemplacemos A:
5*5 + 5*2 + d= 0
d= –35
Luego:
5y + 5z – 35 = 0 Podemos dividir por 5 ambos miembros:
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α: y + z – 7 =0 El lector puede comprobar que los puntos B y C verifican esta ecuación. Busquemos las intersecciones con los ejes para graficar el plano: y=z=0 –7=0 Ab su rdo
Entonces α no corta al eje x. ¿En qué punto corta al eje y? (0,7,0) ¿Y al eje z? (0,0,7) Observemos que el plano contiene a todos los puntos de la forma (x,7,0) con x∈R. Lo mismo ocurre con los puntos del tipo (x,0,7) con x∈R.
Podemos observar entonces que:
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a=0
el plano es
al eje x
Ecuación segmentaria del plano Dada la ecuación general de un plano:
π: ax + by + cz + d =0 Si a, b, c, d son distintos de cero, es posible obtener otra ecuación del plano como sigue:
ax + by + cz = –d −
(− )
+
+
+ = − −
(− )
+
(− )
1
=1
Si llamamos p = – d/a , q = – d / b , r = – d/c Resulta: +
+
=1
Ecuación segmentaria del plano
Veamos qué indican p, q y r: ¿Cuál es la intersección del plano con el eje x?
¿Cuál es la intersección con el eje y? (0,q,0)
¿Y con el eje z? (0,0,r)
Podemos observar que p, q y r indican las intersecciones con los ejes.
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ING. CIVIL 2018 Ejemplo
2x – 3y + z – 6 = 0 2x – 3y + z =6
+ =1
+=1
Esta ecuación parece segmentaria pero no lo es por el signo negativo. La reescribimos así:
+
+ −
= Ecuación segmentaria
La ecuación segmentaria es práctica para graficar un plano porque muestra los tres puntos de corte con los ejes:
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Dados dos vectores ⃗ u=(u1,u2,u3) y →v=(v1,v2,v3) no paralelos y un punto P0(x0,y0,z0) ,nos proponemos hallar la ecuación del plano π que pasa por P0 y es paralelo a →u y →v.
¿Cómo podemos obtener un vector perpendicular al plano conociendo dos vectores paralelos a dicho plano?
⃗n=⃗u×⃗v Teniendo ⃗n y el punto P0, podemos hallar la ecuación implícita o general del plano ππcomo habíamos visto previamente. Obtendremos a continuación otro tipo de ecuación del plano, cuya deducción se basa en el concepto de combinación lineal de vectores, tal cómo vimos en el ejemplo. Si P(x,y,z) es un punto cualquiera del plano π, los vectores →P0,⃗u y⃗ v son coplanares Entonces α, β
R | → P0P = α u + β v
Esto significa que el vector →P0P puede expresarse como combinación lineal de ⃗u y ⃗v, como se muestra en la figura:
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(x–x0,y–y0,z–z0)=α.(u1,u2,u3)+β(v1,v2,v3)
Por lo tanto: (x, y, z) = (x 0, y 0, z0) + α (u 1 ,u 2 ,u 3 ) + β (v 1, v 2, v 3) con α, β R O en notación vectorial: (x, y, z) =→OP0 + α. u + β. v Ecuaci n vectorial param trica del plano Ejemplo
Armar la ecuación vectorial paramétrica del plano paralelo a ⃗u=(3,– 1,5) y ⃗ v = (7,3,2) que pasa por el punto P0(0,–1,8). De acuerdo con lo que hemos visto, tenemos toda la información para escribir la ecuación vectorial paramétrica: (x, y, z) = (0, –1, 8) + α (3, –1, 5) + β (7, 3, 2), con α, β
R
Nota: Para cada α y β ∈ R se obtiene un punto del plano. Por ejemplo si α = 1 y β= – 1 se obtiene el punto (x,y,z)=(–4,–5,11) . Busquemos ahora la ecuación general de este plano.
⃗n=⃗u×⃗v=<3,–1,5> × <7,3,2> = <–17,29,16> Luego:
– 17x + 29y + 16z + d = 0 CÁLCULO VECTORIAL
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Reemplazamos P0P0 para obtener d:
–17*0 + 29 * ( – 1 ) + 16 * 8 + d = 0 ⇒ d = – 99 Luego:
–17x + 29 y + 16 z – 99 = 0 que es la ecuación general o implícita del plano.
Dada la ecuación general de un plano, ¿cómo puede obtenerse una ecuación vectorial paramétrica de dicho plano? Consideremos el siguiente ejemplo:
ω: 2x – y + 3z + 9 = 0 Podemos despejar cualquiera de las variables, por ejemplo y:
Y = 2x + 3z + 9
Entonces:
ω : (x, y, z) = (x, 2x + 3z + 9, z) Reescribimos como suma de tres vectores, de forma tal que uno de ellos tenga los términos con xx, otro los términos con z y otro los términos independientes:
(x,y,z)=(x,2x,0)+(0,3z,z)+(0,9,0) (x, y, z) = x (1, 2, 0) + z(0, 3, 1) + (0, 9, 0), con x, z ∈ R Si llamamos x = α, z = β resulta: ω:(x,y,z)=(0,9,0)+α(1,2,0)+β(0,3,1),conα,β ∈R
El lector puede comprobar que: i) los vectores ⃗u = <1,2,0> y ⃗v = <0,3,1> son perpendiculares a ⃗n = <2,-1,3>, o sea que son paralelos al plano; ii) P 0(0,9,0) ∈ω.
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Hallar un vector perpendicular a otros dos. Cuando se quiere hallar un vector que es perpendicular a otros dos al mismo tiempo, un modo muy sencillo de hacerlo utiliza el producto vectorial. Dado que en 3 dimensiones sólo existe una recta perpendicular a dos vectores no paralelos al mismo tiempo, si hallamos el vector unitario del producto vectorial de los dos vectores, hallaremos el vector unitario de esa dirección. Por último, basta con multiplicar el vector unitario por el módulo del vector que pretendemos calcular para obtener las coordenadas del vector. - Hallar el área del paralelogramo delimitado por dos vectores:
Podemos observar cómo la base del paralelogramo se corresponde con el módulo de un vector y la altura con el módulo del otro vector multiplicado por el valor absoluto del seno del ángulo que forman, de tal manera que conociendo el área de un paralelogramo:
Las funciones vectoriales son aquellas cuyo dominio es un conjunto de números reales tales que su contra dominio es un conjunto de vectores. x= f (t) x=g (t) x=h (t) A continuación mencionaremos las aplicaciones de las funciones vectoriales, estas se aplican en: * Geometría CÁLCULO VECTORIAL
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* Física * Ingeniería Las aplicaciones goemétricas incluyen la longitud de arco, vectores tangentes, normales a una curva y curvatura. En las aplicaciones de física e ingeniería se emplean los vectores para estudiar el movimiento de la partícula a lo largo de una curva, al cual se le denomina movimiento curvilíneo.
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El cálculo vectorial es bastante amplio y a la vez tan especifico como para tratar solo un tema, en este caso nos enfocamos en campos vectoriales aplicados en ingeniería civil, los cuales son de gran importancia en varias ramas de ésta, como por ejemplo en el diseño de curvaturas de las carreteras entre otras.
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