Manual Matemática Intermedia II
Universidad de san Carlos de Guatemala Centro universitario de oriente –cunori-
Facultad de Ingeniería
Ejercicios Capitulo 14
Materia: Matematica Intermedia II Catedrático: Ing.Industrial Ing.Industrial Manuel Alvarez Alumnos: Mauricio José Vásquez Hernández Carné. 201442792 Christian Estuardo Arriaza Martínez Carné. 201443532 Reny Elton Sánchez Juárez Carné. 201145970
Chiquimula, 10 de mayo de 2015.
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Capitulo 14 14.4.1
Determine una ecuación del plano tangente a la superficie desde el punto específico
Ecuación del plano tangente a la superficie
Fx(x,y) = 4 Fy(x,y) = - 2y + 2 Fx(-1,2) = 4 Fy(-1,2) = -2 Z – 4 = fx(-1,2)[X-(-1)] + fy(-1,2)[y-2) Z – 4 = 4(x+1) – 2(y-2) Z = 4x – 2y + 4
14.3.15 Calcule las primeras derivadas parciales de la función
14.3.16
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Capitulo 14 14.4.1
Determine una ecuación del plano tangente a la superficie desde el punto específico
Ecuación del plano tangente a la superficie
Fx(x,y) = 4 Fy(x,y) = - 2y + 2 Fx(-1,2) = 4 Fy(-1,2) = -2 Z – 4 = fx(-1,2)[X-(-1)] + fy(-1,2)[y-2) Z – 4 = 4(x+1) – 2(y-2) Z = 4x – 2y + 4
14.3.15 Calcule las primeras derivadas parciales de la función
14.3.16
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14.3.21
14.3.51 Determine las segundas derivadas parciales
F(x,y) = x3y5 + 2x4y Fx(x,y) = 3x2y5 +8x3y Fxx(x,y) = 6xy5+ 24x2y Fy(x,y) = 5x3y4+2x4 Fyy(x,y) = 20x = 20x3y3 14.3.61
Encuentre la derivada parcial indicada
F(x,y) = 3 xy4 + x3y2 Fxxx, Fyyy Fx(x,y) = 3y4 + 3x2y2 Fxx(x,y) = 6xy2 Fxxx(x,y) = 6y2 Fy(x,y) = 12xy3+ 2x3y Fyy(x,y) = 36xy2+2x3 Fyyy(x,y) = 72xy Universidad De San Carlos De Guatemala
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14.4.12
Explique por que la función es diferenciable en el punto dado, luego determine la linealización L(x,y) de la función en ese punto. Fórmula 4. pagina. 894 Calculo Multivariable - James Stewart_6ta Edicion
La formula anterior se llama aproximación lineal o aproximación del plano tangente de f en (a,b)
Ver el teorema 8 en la página 895 Calculo Multivariable - James Stewart_6ta Edicion : si las derivadas parciales fx y fy existen cerca de (a,b) y son continuas en (a,b) son continuas en (a,b) entonces f es diferenciable en (a,b) cumple con el teorema 8
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14.4.25 Determine el diferencial de la función
14.4.26
14.4.31
Si
y (x,y) cambia de (1,2) a (1.05,2.1) compare los valores donde
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4.4.34
Una caja rectangular cuadrada mide 80cm, 60 cm y 50 cm en sus tres dimensiones, con un error en la medición de 0.2 cm en cada uno, use diferenciales para estimar el error máximo en el cálculo del área superficial. Z
x=80
Y
y=60 z=50
X
Superficie S= 2(xy+xz+yz)
El máximo error acurre cuando Si usamos
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Encontramos el máximo error de la superficie así: Y Sustituyendo en nuestra ecuación obtenemos
14.4.35
Use diferenciales para estimular la cantidad de estaño en una lata llenado de estaño cuyo diámetro es de 8 cm y altura de 12 cm, si el estaño tiene 0.04 cm de espesor. El volumen de una lata es Lo cual sería un estimado de la cantidad de estaño en el espesor
2R
2r
dr= 0.04 dh=0.08
h
H
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14.5.1 Aplique regla de la cadena para hallar
14.5.2 La presión
, en kilopascales, el volumen
temperatura
, en kelvin, de un mol de un gas ideal, están
relacionados mediante la ecuación
, en litros y la
Determine la razón a
la cual la presión cambia cuando la temperatura es de
y se
incrementa a razón de incrementa a razón de
y se
y el volumen es de .
Solución
Si se representa el tiempo que transcurre en segundos, entonces en el instante dado . Puesto que
Con la regla de la cadena
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La presión disminuye a razón de casi
14.5.3 Si
, donde
y
, calcule
y
.
y
de
Solución
Al aplicar el caso 2 de la regla de la cadena, obtenemos
14.5.7
Mediante la regla de la Cadena encuentre
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14.5.9
Determine
y
si
Solución Sea
. Entonces
14.5.17
Mediante un diagrama de árbol, escriba la regla de la cadena para el caso dado, suponga que todas las funciones son diferenciales.
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14.5.18
Mediante un diagrama de árbol, escriba la regla de la cadena para el caso dado, suponga que todas las funciones son diferenciales.
14.5.21
Use regla de la cadena para encontrar las derivadas parciales que se piden
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14.5.30
14.5.31
Encuentre
14.5.35
La temperatura en un punto
es
medidas en grados
Celsius. Un animalito se acuesta de tal modo que su posición después de t segundos está definido por
y
donde “x”
y “y” se miden en centímetros. La función de la temperatura cumple con T(2,3)=4 y T(2,3)=3 Universidad De San Carlos De Guatemala
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¿Que tan rápido se eleva la temperatura en la trayectoria del animalito después de 3 segundos?
Después de 3 segundos tenemos que y De tal manera que nuestro
Ahora bien introduciendo a nuestra ecuación de la temperatura obtenemos que
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14.6.4
Determine la derivada direccional de en el punto en la dirección que indica el ángulo
Nuestras derivadas parciales de nuestra ecuación original son:
Teorema 3, Pagina 912 del libro de James Steward 6ta edición.
TEOREMA 3: si es una función diferenciable de x y de y, entonces tiene una derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario
y
Partiendo de este teorema y ahora cambiando Obtenemos la ecuación
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14.6. 5
Si , (a) determine el gradiente de la derivada direccional de en la dirección
y (b) encuentre .
Solución
(a) El gradiente de
es
(b)En (1,3,0) tiene
. El vector unitario en la dirección de es
Por lo tanto la ecuación da
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14.6.6
(a) Si
, determine la razón de cambio de en la dirección de
a
en el punto
.
(b)¿En qué dirección tiene la máxima razón de cambio? ¿Cuál es esta máxima razón de cambio?
Solución
(a) Primero calcule el vector gradiente:
El vector en la dirección de la razón de cambio de
es
en la dirección de
(b) De acuerdo con el teorema, del vector gradiente
, de nodo que a
es
se incrementa más rápido en la dirección . La razón de cambio máxima es
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14.6.7
1) Determine el gradiente de f 2) Evalué el gradiente en el punto P 3) Encuentre la razón de cambio de f en P en la dirección del vector U Ecuación a utilizar. f
1)
x
fi
y
fj
fk
z
Primer inciso 1
f x , y sen 2 x 3 y , P 6, 4 , u 2 (
a ) f ( x , y )
x
fi
y
3i j)
fj cos(2 x 3 y ).2 i cos(2 x 3 y ).3 j
f ( x , y ) 2 cos(2 x 3 y )i 3cos(2 x 3 y ) j 2)
f
Segundo inciso
(6, 4) 2cos(2( 6) 3(4))i 3cos(2( 6) 3(4)) j 2i 3 j 3)
Formula a Utilizar
Duf ( x, y ) f ( x, y ).u
Aplicándola:
Duf ( x, y ) (2i 3 j )(
1 2
( 3i j)
3
3 2
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14.6.17
Calcule la derivada direccional de la función el punto dado en la dirección del vector V g ( x , y , z ) ( x 2 y 3 z ) g
g
3
( x , y , z )
2
1
1
3
1 2
3
( x 2 y 3 z ) (1), ( x 2 y 3 z ) (2), ( x 2 y 3 z ) (3) 2 2 2
2
1
1
1
9
( x 2 y 3 z ) (1),3( x 2 y 3 z ) , ( x 2 y 3 z ) 2 2 9 27 ,9, 2 2 2
2
2
El vector unitario en la dirección del vector 2
V 2 j k
, (1,1, 2), V 2 j k
3
( x , y , z )
g (1,1, 2)
3 2
5
1
j
5
k
Derivada direccional en la dirección del vector unitario es
Dug (1,1, 2) Dug (1,1, 2)
9
2 18 5
,9,
27 2 27
2
. 0,
2 5
,
1 5
9
5 2 5
14.6.19 Calcule la derivada direccional de
, = en 2,8 y 5,4 en la dirección de
, = −⁄ = √ , = 12 −⁄ = 2
Encontrar las derivadas parciales
Ya con las derivadas parciales aplicarlas en la formula, y evaluar el punto que nos indican; para poder encontrar el vector gradiente.
, = ∇, = 2 2 ∇2,8 = 2 82∗8 2 22∗8 ∇2,8 = 14 Debido a que en el problema nos proporcionan puntos, debemos de obtener el vector de estos; para luego convertir este en un vector unitario.
= 5 2 4 8 = 3 4
Vector
− = − +− = √ =
Vector unitario
Realizar el producto punto, y operar para poder obtener la derivada direccional.
2,8 = ∇2,8 ∙ 2,8 = 14 ∙ 35 45 2,8 = 25 BIBLIOGRAFIA: CALCULO TRANSCENDENTES TEMPRANAS, JAMES STEWART, SEXTA EDICION, CAPITULO 14 PÁG 920.
14.6.21 Determine la razón máxima de cambio de
, = en el punto 2,4
Primero debemos encontrar el gradiente el punto indicado, ya que La magnitud del gradiente en el punto deseado es la razón de cambio máxima.
, = ∇, = − 2 −
Derivadas parciales
∇, = −
Ordenando algebraicamente
∇2,4 = −
Evaluar el punto
∇2,4 = − ∇2,4 = 4 4
Simplificar Resultado
, = |,| 2,4 = |∇2,4| = 4 4 Magnitud del vector gradiente 2,4 = 16√ 2 Resultado BIBLIOGRAFIA: CALCULO TRANSCENDENTES TEMPRANAS, JAMES STEWART, SEXTA EDICION, CAPITULO 14 PÁG 920.
14.6.26 Determine la región máxima de ancho f en el punto dado y la dirección en la cual se presenta.
,, = tan 2 3 5,1,1
Derivando por medio de regla de la cadena cada una de las variables obtenemos:
∇,, =< 2 31, 2 32, 2 33 >
Sustituyendo el punto P en cada una de nuestras variables se obtiene:
∇,, =< 5 21 311,(521 31)2,5 21 313 > ∇,, =< 0,2 0,3 0 ∇,, =< 1,2,3 >
Encontrando la Magnitud de nuestro gradiente obtenemos
|∇,,| =< 1 2 3 > |∇,,| =< √ 14 > La dirección máxima de cambio en la dirección del vector 1,2,3 , y la razón máxima de cambio es
14 .
BIBLIOGRAFIA: CALCULO TRANSCENDENTES TEMPRANAS, JAMES STEWART, SEXTA EDICION, CAPITULO 14 PÁG 920.
14.6.28 Encuentre las direcciones en las cuales la derivada direccional de
f ( x, y ) ye xy en el Punto (0,2)
tiene valor de 1.
Derivando parcialmente respecto a X y Y obtenemos lo siguiente:
f x ( x, y ) ye xy ( y ) y 2 e xy f y ( x, y ) ye xy ( x) e xy f x (0, 2) 4e 0
(1 xy) e
xy
4
f y (0, 2) (1 0) e 0
1
Sustituyendo nuestros valores del punto P se obtuvieron los resultados anteriores. Si se sabe que U es el vector unitario que hace un ángulo pósito con el eje x, tenemos que:
0,2 = 0,2 0,2 Se sabe que 0,2 = 4 y 0,2 = 1 sustituimos: 0,2 = 4 1 De lo cual se obtiene que 0,2 = 4 Nuestra condición dice que 0,2 = 1 entonces: 4 = 1
Despejando senθ y elevando al cuadrado ambos lados de nuestra ecuación obtenemos:
= 1 4 = 1 4 Aplicando identidades trigonométricas 1 = 1 8 16 0 = 8 17 Despejando obtenemos = 2 − 178 θ
BIBLIOGRAFIA: CALCULO TRANSCENDENTES TEMPRANAS, JAMES STEWART, SEXTA EDICION, CAPITULO 14 PÁG 920.
14.6.40 Determine las ecuaciones de 1) El plano tangente 2) La recta normal a la superficie dado en el punto especificado.
= 4,7,3;
ECUACION DEL PLANO TANGENTE
,, ,, ,, = 0 Ver ecuación no. 19 de la página 917 del libro de Calculo Multivariable James Stewart.
y
x
2
2 2 z , (4, 7, 3); x
F x ( x, y , z ) F y ( x, y , z ) F z ( x, y , z )
2
y
z
2 x , F x (4, 7, 3)
8
1; F y (4, 7, 3)
2 z ; F z (4, 7, 3)
0
1
6
Derivando parcialmente respecto a cada una de las variables X, Y y Z se obtiene lo anterior. Sustituyendo datos en nuestra ecuación del plano tangente tenemos que:
8 4 1 7 6 3 = 0 8x-y-6z=7 Ecuación de la rectan normal en un punto, ver página 918 ecuación número 29 del libro de cálculo multivariable james Stewart 6ta. Ed.
x
x0
y
F x ( x0 , y0 , z0 ) x
4
y
8
y0
z
Fy ( x0 , y0 , z0 )
7
z
z 0
Fz ( x0 , y0 , z 0 )
3
1
6
Despejando obtenemos las siguientes ecuaciones paramétricas:
= 4 8 = 7 = 3 6 BIBLIOGRAFIA: CALCULO TRANSCENDENTES TEMPRANAS, JAMES STEWART, SEXTA EDICION, CAPITULO 14 PÁG 920.
14.6.47 Si f(x,y)=xy determine el vector gradiente
f (3,2) y
con este determine la tangente a la curva de
nivel f(x,y)=6 en el punto (3,2) dibuje la curva de nivel, la recta tangente y el vector gradiente. f
y, x ; f (3, 2) 2,3 Es perpendicular a la línea tangente tiene la ecuación:
,, ,, ,, = 0 Sustituyendo el punto P (3,2) en nuestra ecuación obtenemos
2 3 3 2 = 0 2 3 = 12 BIBLIOGRAFIA: CALCULO TRANSCENDENTES TEMPRANAS, JAMES STEWART, SEXTA EDICION, CAPITULO 14 PÁG 920.
14.6.59 Determine las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curva de intersección del paraboloide z f ( x, y, z)
z x
g ( x, y, z) 4 x
2
2
y
2
y
x
y
2
2
y el elipsoide
4 x 2 y 2 z 2 9 en el punto (-1, 1,2)
2
2
z
La línea tangente debe ser perpendicular a los dos gradientes en el punto (-1, 1,2). Tenemos el vector v= f x g tendría que ser paralelo a la línea tangente. f
( x, y , z )
f ( 1,1, 2 ) g ( x,
2 x , 2 y ,1
2, 2,1
y, z ) 8x, 2 y , 2z
g ( 1,1, 2) 8, 2, 4
V
fxg
2 8
2
1
2 4
10i 16 j 12k
Recta tangente a la curva de intersección
x 1 10
y 1 16
z 2 12
x 1 10t y 1 16t z
2 12t
Ecuaciones paramétricas
BIBLIOGRAFIA: CALCULO TRANSCENDENTES TEMPRANAS, JAMES STEWART, SEXTA EDICION, CAPITULO 14 PÁG 920.
Ejemplo No.1
Calcule Fxxyz, si F(x,y,z) = F(x,y,z) =
sin3x yz )
sin3x yz )
Fx(x,y,z) = (3) cos (3x + yz) ( derivada parcial de x)
Fx(x,y,z) = 3cos (3x + yz)
Fx(x,y,z) = 3cos (3x + yz) Fxx(x,y,z) = -(3) 3sen (3x + yz) (Segunda derivada parcial de x)
Fxx(x,y,z) = -9sen (3x + yz)
Fxx(x,y,z) = -9sen (3x + yz)
Fxxy(x,y,z) = -9sen (z)(3x + yz)(Segunda derivada parcial de x respecto de y) Fxxy(x,y,z) = -9sen z (3x + yz)
Fxxy(x,y,z) = -9sen z (3x + yz)
Fxxyz(x,y,z) = -9(cos) (3x + yz) +9yz sen (3x + yz)
BIBLIOGRAFIA: CALCULO TRANSCENDENTES TEMPRANAS, JAMES STEWART, SEXTA EDICION, CAPITULO 14, PÁG 890.
Ejemplo No.2 Encuentre las derivadas Ux, Uxx, Uy,Uyy de la función U(x,y) =
esen y
esen y Ux(x,y) = e seny (la derivada de e es la misma no cambia) Uxx(x,y) = e seny (Segunda derivada parcial de X) no cambia ya que y es ees la misma en derivadas. U(x,y) =
contante y
esen y Uy(x,y) = e Cosy(derivada parcial de Y, derivada de seno es coseno) Uyy(x,y) = e seny(segunda derivada parcial de Y) U(x,y) =
BIBLIOGRAFIA: CALCULO TRANSCENDENTES TEMPRANAS, JAMES STEWART, SEXTA EDICION, CAPITULO 14, EJEMPLO 8 PÁG 890.
Ejemplo No.3 Determine el diferencial de la función
= Derivamos parcialmente la función de z en la derivada parcial de la función en x + la derivada parcial de la función en y .
= y se escribe de la siguiente manera. , , f = = ∗ = la escribimos con los valores reales ∗ el diferencial de la funcion: = = ( ) BIBLIOGRAFIA: CALCULO TRANSCENDENTES TEMPRANAS, JAMES STEWART, SEXTA EDICION, CAPITULO 14 PÁG 890.
Ejemplo No.4 Al medir el radio de un tronco de madera hemos obtenido 28 cm, con un margen de error de 0.25 cm. Aproximar usando diferenciales el máximo error posible cometido al calcular el área de la sección del tronco.
= =?
= ′ ∗ ∆ ′ = = = = . = BIBLIOGRAFIA: CALCULO TRANSCENDENTES TEMPRANAS, JAMES STEWART, SEXTA EDICION, CAPITULO 14 PÁG 890.
Ejemplo No.5 La regla de la cadena dice que:
= Derivada parcial de z respecto de x por la derivada parcial de x respecto de t
= Derivada parcial de z respecto de y por la derivada parcial de y respecto de t
= −⁄ Formando la ecuación tenemos,
= −⁄ Operando para simplificar,
= √
Como respuesta se obtiene:
= √ BIBLIOGRAFIA: CALCULO TRANSCENDENTES TEMPRANAS, JAMES STEWART, SEXTA EDICION, CAPITULO 14 PÁG 907.
Ejemplo No.6 Mediante un diagrama de árbol, escriba la regla de la cadena para el caso dado. Suponga que todas las funciones son diferenciables.
= ,, = ,,, = ,, Solución: Derivada parcial de u respecto de r
= Derivada parcial de u respecto de s
= Derivada parcial de u respecto de t
= BIBLIOGRAFIA: CALCULO TRANSCENDENTES TEMPRANAS, JAMES STEWART, SEXTA EDICION, CAPITULO 14 PÁG 907.
Ejemplo No.7 La presión P, en kilopascales, el volumen V, en litros y la temperatura T, en kelvin, de un mol de gas ideal, están relacionados mediante la ecuación PV=8.31T. Determine la razón a la cual la presión cambia cuando la temperatura es de 300 K y se incrementa a razón de 0.1 K/s y el volumen es de 100 L y se incrementa a razón de 0.2 L/s. Solución: Si t representa el tiempo que transcurre en segundos, entonces en el instante dado
= .. = ; = .; = ; = . = Con la regla de la cadena se tiene que = . . Insertando los datos en la ecuación, Operamos
= . . . . Como respuesta se obtiene
= . La presión disminuye a razón de
. ⁄
BIBLIOGRAFIA: CALCULO TRANSCENDENTES TEMPRANAS, JAMES STEWART, SEXTA EDICION, CAPITULO 14 PÁG 902.
Ejemplo No.8 Si
= , = , = ,
calcular y
Solución La regla de la cadena dice que:
= Derivada parcial de z respecto de x por la derivada parcial de x respecto de s
= Derivada parcial de z respecto de y por la derivada parcial de y respecto de s
= Formando la ecuación se tiene:
= La regla de la cadena dice que:
= Derivada parcial de z respecto de x por la derivada parcial de x respecto de t
= Derivada parcial de z respecto de y por la derivada parcial de y respecto de t
= Formando la ecuación se tiene:
= BIBLIOGRAFIA: CALCULO TRANSCENDENTES TEMPRANAS, JAMES STEWART, SEXTA EDICION, CAPITULO 14 PÁG 907.
Ejemplo No.9 Escriba la regla de la cadena para el caso dado
= ,,, = ,, = ,, = ,, = ,, Solución: Como R= f(x,y,z,t) es una función diferenciable de x,y,z y t y cada una de estas variables es una función diferenciable de u,v y w entonces se aplica la regla general de la regla de la cadena para cada caso:
= = = BIBLIOGRAFIA: CALCULO TRANSCENDENTES TEMPRANAS, JAMES STEWART, SEXTA EDICION, CAPITULO 14 PÁG 907.
Ejemplo No. 10 Determine las derivadas parciales indicadas
= ; = ; =
,
Solución: Para estos casos nos encargamos de verificar bien de seguir ordenadamente la regla de la cadena, y así evitarnos colocar mal los datos:
= Multiplicado por la derivada del exponente, la cual quedaría de la siguiente manera: 2 = 21 3 . Entonces:
= 21 3 = = 22 0 = BIBLIOGRAFIA: CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA DE DENNIS G. ZILL
Ejemplo No. 11
= 4 5 ; = 8 ; = 2 Encontrar
= 44 1022 2 = BIBLIOGRAFIA: Cálculo con Geometría Analítica de Dennis Zill
Ejemplo No. 12
= ⁄ ; = −; = − Encontrar
= 3⁄ ⁄2− 2− 2 = 3 ⁄ − 3 ⁄ (−) = ⁄− − BIBLIOGRAFIA: CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA DE DENNIS ZILL
Ejemplo No. 13 a) Determine el gradiente de
, = 2 3
b) Evalué el gradiente en el punto P(-6, 4)
c) Encuentre la razón de cambio de f en p en la dirección del vector unitario
√ 3
=
, = ∇, = cos2 3 ∙ 2 cos2 3 ∙ 3 ∇, = 2cos2 3 3cos2 3 Evaluar , = 2cos2 3 3cos2 3 en el punto dado, realizar las a)
operaciones para así obtener el resultado. b)
∇6,4 = 2cos26 34 3cos26 34 ∇6,4 = 2cos0 3cos0 ∇6,4 = 2 3
Realizar el producto punto que indica la formula, multiplicando i*i; j*j para obtener un escalar. c)
= , ∙
ecuacion 9
= ∇ 6,4 ∙ = 2 3 ∙ 12 √ 3 = 12 [(2∙ √ 3) 31] = √ 3 32 BIBLIOGRAFIA: CALCULO TRANSCENDENTES TEMPRANAS, JAMES STEWART, SEXTA EDICION, CAPITULO 14 PÁG 920.
Ejemplo No.14 Calcule la derivada direccional de la función
1,1,2 en la dirección del vector 2
,, = 2 3⁄
,, = 2 3⁄ 1 = 2 3 ,, = 32 2 3⁄ 2 = 3 2 3 ,, = 32 2 3⁄3 = 92 2 3
en el punto
Encontrar las primeras derivadas parciales
,, = ∇,, = 32 2 3 [3 2 3] 92 2 3
∇1,1,2 = 1 2 ∙ 1 3 ∙ 2 = √ 9 = ∇1,1,2 = 3 1 2 ∙ 1 3 ∙ 2 = 3√ 9 = 9 ∇1,1,2 = 1 2 ∙ 1 3 ∙ 2 = √ 9 = ∇1,1,2 = 92 9 272
Evaluar en el punto indicado
Continua
= 2 = − = +− √ √
Vector no unitario Encontrar el vector unitario
Realizar el producto punto, para así obtener la derivada direccional.
,, = ,, ∙ 1,1,2 = 92 9 272 ∙ 0 √ 25 √ 15 27 = 9 1,1,2 = √ 185 2√ 5 2√ 5 BIBLIOGRAFIA: CALCULO TRANSCENDENTES TEMPRANAS, JAMES STEWART, SEXTA EDICION, CAPITULO 14 PÁG 920.
Ejemplo No.15
, = Evalué el gradiente en el punto 3,0,2
a) Determine el gradiente de b)
c) Encuentre la razón de cambio de f en p en la dirección del vector unitario
=
,, = ∇, = 2 2 Evaluar el gradiente en el punto indicado y operar. a)
b)
∇3,0,2 = [232] 230 ∇3,0,2 = 1 12 0 = 12 = ,, ∙ = ∇3,0,2 ∙
= 12 ∙ = 0 = −
Realizar el producto punto indicado Operar Resultado
BIBLIOGRAFIA: CALCULO TRANSCENDENTES TEMPRANAS, JAMES STEWART, SEXTA EDICION, CAPITULO 14 PÁG 920.
Ejemplo No.16 Calcule la derivada direccional de la función dirección del vector
3
, = en el punto 2,1 en la
, = ∇, = 4 2 3 Encontrar las derivadas ∇2,1 = 42 221 321 Evaluar el punto ∇2,1 = 32 4 12 Operar ∇2,1 = 28 12 Resultado Ya que el vector proporcionado en el problema no es unitario, es necesario convertirlo a un vector unitario.
= 1 33 = √ 130 = √ 110 √ 310
Ya obtenido el vector unitario ya podemos realizar el producto punto; para obtener la derivada direccional, que es lo que pide nuestro problema.
, = , ∙ , = 28 12 ∙ √ 110 √ 310 , = √ 2810 √ 3610 , = √ 810 BIBLIOGRAFIA: CALCULO TRANSCENDENTES TEMPRANAS, JAMES STEWART, SEXTA EDICION, CAPITULO 14 PÁG 920.
Ejemplo No. 17 Determine la razón máxima de cambio de
, = en el punto 1,0
Encontrar el gradiente
, = ∇, = cos cos Derivadas parciales ∇1,0 = 0 ∙ cos1∙ 0 1 ∙ cos1 ∙ 0 Evaluar en el punto dado ∇1,0 = 0 = Resultado Para encontrar la razón máxima se debe encontrar la magnitud del vector gradiente.
, = |,| , = |∇1,0| = 0 1 2,4 = 1 BIBLIOGRAFIA: CALCULO TRANSCENDENTES TEMPRANAS, JAMES STEWART, SEXTA EDICION, CAPITULO 14 PÁG 920.
Ejemplo No.18 Determine la región máxima de ancho f en el punto dado y la dirección en la cual se presenta.
,, = tan 2 3 5,1,1
Derivando por medio de regla de la cadena cada una de las variables obtenemos:
∇,, =< 2 31, 2 32, 2 33 >
Sustituyendo el punto P en cada una de nuestras variables se obtiene:
∇,, =< 5 21 311,(521 31)2,5 21 313 > ∇,, =< 0,2 0,3 0 ∇,, =< 1,2,3 > Encontrando la Magnitud de nuestro gradiente obtenemos
|∇,,| =< 1 2 3 > |∇ ,, | =< √ 14 > La dirección máxima de cambio en la dirección del vector 1,2,3 , y la razón máxima de cambio es
14 .
BIBLIOGRAFIA: CALCULO TRANSCENDENTES TEMPRANAS, JAMES STEWART, SEXTA EDICION, CAPITULO 14 PÁG 920.
Ejemplo No.19 Determine las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a la superficie dada en el punto específico.
= 3,4,8 = 0 ,, = 2 ,, = 1 ,, = 2 Sustituyendo nuestro punto P en cada una de las variables obtenemos que:
,, = 23 ,, = 1 ,, = 28 ,, = 6 ,, = 1 ,, = 16 -Ahora sustituyendo datos en nuestra ecuación del plano tangente tenemos que:
