1. CAPÍTULO 1 – TEORIA DOS CONJUNTOS Tarefa 1 01 – (ESPCEX/2003) Quaisquer que sejam o número irracional a e o número racional b , pode-se afirmar que, sempre, a) a . a é irracional b) a2 + b é racional. c) a . b é racional. d) b – a + 2 é irracional. e) b + 2a é irracional. 02 – (EEAR/2004-2) Se A = {x N* / x < 9} e B = { x A / x + 1 6}, então o complementar de B em A é igual a: a) {2, 3, 4, 5, 6). b) {1, 2, 3, 4, 5,}. c) {6, 7, 8}. d) {1, 7, 8} 03 – (EEAR/2004-2) É correto afirmar que: a) o número 0,37222... é racional. b) toda raiz de uma equação do 2º graus é um número real. c) o quadrado de qualquer número real é um número racional. d) o número 2 pode ser representado sob a forma p q
sendo p e q inteiros, e q 0.
04 – (Espcex/95) - Sejam A, B e C conjuntos finitos. O número de elementos de A B é 25, o número de elementos de A C é 15 e o número de elementos de A B C é 10. Então, o número de elementos de A (B C) é: a) 30 b) 10 c) 40 d) 20 e) 15 05 – (Espcex/98) (Espcex/98) - Considerando-se que: A B C = {n N / 1 n 10} A B = {2, 3, 8} A C = {2, 7} B C = {2, 5, 6} A B = {n N / 1 n 8} Pode-se afirmar que o conjunto C é: a) {9,10} b) {5,6,9,10} c) {2,5,6,7,9,10} d) {2,5,6,7} e) A B 06 – (Espcex/2001) (Espcex/2001) - Dados os conjuntos: R = {x / x é um número real} Q = {x / x é um número racional}
N = {x / x é um número natural} P = {x / x é um número primo} E considerando as afirmações: I-P Q II - R Q III - P Q IV - 5 (Q P) V - 6 (R Q N P) Estão corretas as afirmações: a) I e III b) II e V c) III e IV d) IV e V e) I e V 07 – (Espcex/96) Sejam os conjuntos A com 2 elementos, B com 3 elementos e C com 4 elementos. O número de elementos do conjunto C - [(A B) C] pode variar entre: a) 2 e 4 b) 2 e 3 c) 0 e 4 d) 0 e 3 e) 0 e 2 08 – (Espcex/96) Sendo R+, o conjunto dos números reais não negativos, Q, o conjunto dos números racionais, Z, o conjunto dos números inteiros, N, o conjunto dos números naturais, a intersecção dos conjuntos R+, Q (N Z) e (Z Q) N é igual a: a) b) R * c) Q* d) N e) Z+ 09 – (Espcex/93) Se A é o conjunto dos números naturais múltiplos de 15 e B o conjunto dos números naturais múltiplos de 35, então A B é o conjunto dos números naturais múltiplos de: a) 15 b) 35 c) 105 d) 525 10 – (Espcex/93) Dos conjuntos X, Y e Z sabe-se que: I) X Y Z = {a,b} II) X Y = {a,b,c,e,f} III) Y Z = {a,b,e,g} IV) X Z = {a,b,c,f,g} Então, o conjunto X é dado por: a) {a,b,e,f} b) {a,c,f,g} Matemática
1
c) {a,b,e,g} d) {a,b,c,f}
e)
11 – (Espcex/94) Sejam A, B e C conjuntos quaisquer com B , tais que: i) B P(A), onde P(A) é o conjunto das partes de A; ii) A e C são disjuntos Com relação às seguintes proposições: I) (A B) C A B C II) (C - B) (A - B) A B C III) (A B) (C B) (A - B) (C B) podemos afirmar que: a) I é a única verdadeira b) I e III são verdadeiras c) III é a única verdadeira d) I e II são verdadeiras e) I, II e III são verdadeiras
15 – (Espcex/96) Numa pesquisa feita junto a 200 universitários sobre o hábito de leitura de dois jornais (A e B), chegou-se às seguintes conclusões: (1) 80 universitários lêem apenas um jornal; (2) o número dos que não lêem nenhum dos jornais é o dobro do número dos que lêem ambos os jornais; (3) o número dos que lêem o jornal A é o mesmo dos que lêem apenas o jornal B. Com base nesses dados, podemos afirmar que o número de universitários que lêem o jornal B é: a) 160 b) 140 c) 120 d) 100 e) 80
12 – (Espcex/95) Qual é a afirmação verdadeira? a) A soma de dois números irracionais é um número irracional. b) O produto de dois números irracionais distintos é um número irracional. c) O quadrado de um número irracional é um número racional. d) A diferença entre um número racional e um número irracional é número irracional e) A raiz quadrada de um número racional é um número irracional. 13 – (Espcex/2000) É correto afirmar que: a) A soma e a diferença de dois números naturais é sempre um número natural. b) O produto e o quociente de dois números inteiros é sempre um número inteiro. c) A soma de dois números racionais é sempre um número racional. d) A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional. e) O produto de dois números irracionais é sempre um número irracional. 14 – (Espcex/99) Em uma pesquisa realizada na EsPCEx com uma turma de 30 alunos, constatou-se que: 15 alunos conhecem a cidade do Rio de Janeiro; 12 alunos conhecem a cidade de São Paulo; 9 alunos conhecem ambas as cidades. Escolhendo ao acaso um aluno dessa turma, a probabilidade de que ele conheça a cidade do Rio de Janeiro ou a cidade de São Paulo é: 1 a) b) c) d)
2
2 2
3 3 5 3 10
9 10
16 – Uma prova era constituída de dois problemas. 300 alunos acertaram somente um dos problemas, 260 acertaram o segundo, 100 alunos acertaram os dois e 210 erraram o primeiro. Quantos alunos fizeram a prova? 17 – (AFA/97) Em um grupo de n cadetes da Aeronáutica, 17 nadam, 19 jogam basquetebol, 21 jogam voleibol, 5 nadam e jogam basquetebol, 2 nadam e jogam voleibol, 5 jogam basquetebol e voleibol e 2 fazem os 3 esportes. Qual o valor de n, sabendo-se que todos os cadetes desse grupo praticam pelo menos um desses esportes? a) 31 b) 37 c) 47 d) 51 18 – (FUVEST) Na figura estão representados geometricamente os números reais 0, x, y e 1. Qual a posição do número xy?
a) À esquerda do 0; b) Entre 0 e x; c) Entre x e y; d) Entre y e 1; e) À direita de 1. 19 – (ESPCEX/2004) Dados os números a = b = 3 1 e c = 0,1333..., pode-se afirmar que: a) a . b é um número irracional. b) (a – b) . c é um número irracional. c) (a + b) . c é um número racional. d) b . c é um número racional. e) a . b . c é um número racional.
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3
1,
Tarefa 2 Nível 1 – 01 – (UFJF/99) - Sejam A, B e C conjuntos finitos. Denotando por n(x) o número de elementos do conjunto finito X, pode-se afirmar que: a) n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C); b) n(A B C) n(A) + n(B) + n(C); c) n(A B C) n(A) + n(B) + n(C); d) n(A B C) n(A B C). 02 – (UFJF/96) - Sejam A, B e C conjuntos quaisquer num universo U. Assinale a afirmativa correta: a) se A B = A C, então B = C; b) se A possui m elementos e B possui n elementos, então A B possui m + n elementos; c) se A = { , { } }, então Ae A; d) CU (A - B) = (CU A) B, onde CU X é o complementar do conjunto X em relação a U; e) se A possui 7 elementos, então o conjunto formado por todos os subconjuntos não vazios de A possui 128 elementos. 03 - (UFJF/2002-2) Considere o conjunto A = { { }, }, onde o símbolo representa o conjunto vazio. Marque a alternativa incorreta. a) A b) A c) { { } } A d) { { } } A 04 – (UFJF/96) - Considere as seguintes afirmativas: I - O produto de dois números irracionais é um número irracional. II - A soma de um número racional com um número irracional é um número irracional. III - Se um número natural “a” é divisor do produto de dois outros naturais “b” e “c”, então “a” é divisor de
06 - De um total de 800 pessoas examinadas por um grupo de médicos pesquisadores, 500 tinham sintomas da doença A, 200 tinham sintomas da doença B e 130 tinham sintomas das duas doenças. Quantos não tinham sintomas nem de A nem de B? 07 - (EPCAR/2002) No concurso para EPCAR foram entrevistados 979 candidatos dos quais 527 falam a língua inglesa, 251 a língua francesa e 321 não falam nenhum desses idiomas. O número de candidatos que falam as línguas inglesa e francesa é: a) 778 b) 658 c) 120 d) 131 08 – (AFA/97) Entrevistando 100 oficiais da AFA, descobriu-se que 20 deles pilotam a aeronave Tucano, 40 pilotam o helicóptero Esquilo e 50 não são pilotos. Dos oficiais entrevistados, quantos pilotam o Tucano e o Esquilo? a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 09 – (UFJF/2001) A parte hachurada no diagrama que melhor representa o conjunto D = A – (B C) é: a)
b)
c)
“b” ou de “c”.
IV - O produto de um número complexo pelo seu conjugado é um número real. Pode-se afirmar que: a) todas as afirmativas são falsas; b) todas as afirmativas são verdadeiras; c) apenas a afirmativa IV é verdadeira; d) apenas as afirmativas I e III são falsas; e) apenas a afirmativa I é falsa. 05 – (UFJF/99-2) - Marque a alternativa INCORRETA: a) se x e y são números racionais, então x + y é um número racional; b) se x e y são números irracionais, então x + y é um número irracional; c) se x e y são números racionais, então x.y é um número racional; d) se x é um número racional e y é um número irracional, então x + y é um número irracional.
d)
10 – Esta questão, assim como as demais, só admite uma opção correta. O número de paus com que se faz uma canoa pertence ao conjunto: a) N b) Z c) Q d) N* e) R
Matemática
3
11 – Considere os conjuntos: A = { x | x é letra do estado brasileiro cuja capital é Recife} B = { y | y é letra da palavra número} C = { p, a, r, e, o } D = { b, o } Assim, a equação A – [(B – C) U D] é igual ao conjunto de letras da palavra: a) Brigadeiro b) Epcar c) Brasil d) Barbacena e) Aeronáutica. 12 – (EEAR-CFS-2/2002-B) Verdadei ( ) Z IN ( ) Z Z N* N ( ) Z IN ( )Z Z Z ( ) Z Z Z*
Classifique
em
Assinale a seqüência correta: a) F – F – V – V – F b) F – F – V – V – V c) V – F – V – F – F d) V – F – V – V – F 13 – (EPCAR-2001) Assinale a alternativa falsa: a) Z – N = conjunto dos números inteiros negativos b) Q – Z = conjunto dos números racionais nãointeiros c) Z Z d) Z = conjunto dos números inteiros não-nulos 14 – (CESD-2/99) Considere as afirmações: 1 I) 4; 0, 51 e são números racionais 3
II) Todo número inteiro é também racional III) Todo número racional é também inteiro As afirmações I, II e III são, respectivamente: a) F, V, V b) V, V, V c) F, F, F d) V, V, F 15 – Um conjunto A possui 512 subconjuntos. Retirando-se 4 elementos de A forma-se um novo conjunto que terá m subconjuntos. Qual o valor de m?
100 alunos não bebem A e nem B. Sendo x o número de alunos que bebem apenas o refrigerante A e y o número de alunos que bebem A ou B, Determine
x y
.
17 – Uma população consome três marcas de sabão em pó: A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado, colheram-se os resultados tabelados abaixo: Marca A B C AeB BeC AeC A, B e C Nenhuma
N.º Cons. 109 203 162 25 41 28 5 115
Determine quantas pessoas fizeram a prova?
18 – (C.Tostes/98) Uma editora estuda a possibilidade de relançar os seguintes clássicos da literatura brasileira: Helena, Senhora e A Moreninha. Pesquisando o mercado, concluiu que em cada 1000 pessoas, 600 haviam lido A Moreninha, 400 haviam lido Helena, 300 haviam lido Senhora, 200 haviam lido A Moreninha e Helena, 150 haviam lido A Moreninha e Senhora, 100 haviam lido Senhora e Helena e 20 haviam lido as três obras. Entre as pessoas pesquisadas, quantas leram pelo menos duas obras? a) 600 b) 500 c) 460 d) 410 e) 400 19 – (FGV-SP) Sejam A, B e C conjuntos finitos. O número de elementos de A B é 30, o número de elementos de A C é 20 e o número de elementos de A (B C) é 15. Então, o número de elementos de A (B C) é: a) 35 b) 15 c) 50 d) 45 e) 20.
16 – (C.Tostes/93) Em uma escola, cujo total de alunos é 600, foi feita uma pesquisa sobre os refrigerantes que os alunos costumam beber, os resultados foram:
20 – (PUCC) Sejam Q e I os conjuntos dos números racionais e dos irracionais, respectivamente. Então, sempre é verdadeira a afirmação: a) x I; y I x + y I; b) x I; y I x . y I; c) x Q; y I x – y I; d) x Q; y Q x/y Q; e) n.d.a.
200 alunos bebem o refrigerante A. 20 alunos bebem o refrigerante A e o refrigerante B.
21 – (F.C.CHAGAS-SP) Um subconjunto X de números naturais contém 12 múltiplos de 4, 7
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múltiplos de 6, 5 múltiplos de 12 e 8 números ímpares. O número de elementos de X é: a) 32 b) 27 c) 24 d) 22 e) 20. 22 – (PUC-SP) Em um exame vestibular, 30% dos candidatos eram da área de Humanas. Dentre esses candidatos, 20% optaram pelo curso de Direito. Do total dos candidatos, qual a porcentagem dos que optaram por direito? a) 50% b) 20% c) 10% d) 6% e) 5%. 23 – (FAC. MED. JUNDIAÍ) Dados os intervalos A = ]-2, 1] e B = [0, 2], então A B e A B são, respectivamente: a) ]0, 1[ e ]-2, 2[ b) ]0, 1] e ]-2, 2] c) [0, 1] e ]-2, 2] d) [0, 1[ e [-2, 2[ e) [0, 1[ e [-2,2]. 24 – (UEBA) Se A = {x | 0 x < 3}, o conjunto A a) [0, 2[ b) ]0, 2[ c) [-1, 3] d) ]-1, 3[ e) ]-1, 3].
c)
d)
| -1 < x < 2} e B = {x B é o intervalo: e)
25 – O gráfico abaixo representa o conjunto: a) ]1,3] x {1,2,3} b) [1,3] x ]1,3]
27 – (CFO/98) Se A e B são dois conjuntos quaisquer, então: a) A – B = B – A b) A B = A B c) A B = B A d) A B = B A
c) {2,3} x ]1,3] d) {1,2,3} x {2,3} e) {1,2,3} x ]1,3] 26 – (UFBA) Sendo R = { x N | x < 5} e S = { x | -3 < x < 1}, o gráfico cartesiano de R x S é:
a)
b)
Z
Nível 2 – 01 – (Epcar/82) Considere o conjunto A = {x N / x23x-4 0}. Assinale a alternativa que indica o número de subconjuntos de A. a)16 b) 32 c) 64 d) 128 e) infinitos 02 – (Epcar/89) Se um conjunto A tiver 4 elementos, e um conjunto B tiver 3 elementos, então o conjunto de todas as partes do conjunto AxB (A cartesiano B) terá um número de elementos equivalente a: Matemática
5
a) 23 b) 24 c) 27 d) 212 e) 214
e) 12%
03 – (EEAR/91) Se A = {x N / x 5} e B = {números naturais pares menores que 8} e C = {x N* / x 4}, então, o conjunto diferença entre a união de B com C e a interseção de A e B é: a) {0, 1, 3} b) {0, 3, 6} c) {1, 3, 4} d) {1, 3, 6} e) {1, 4, 6} 04 – (C.Naval/85) Dados dois conjuntos A e B tais que: O número de subconjuntos de A está compreendido entre 120 e 250. B tem 15 subconjuntos não vazios. O produto cartesiano de A por B tem: a) 8 elementos b) 12 elementos c) 16 elementos d) 28 elementos e) 32 elementos 05 – (C.Naval/86) Representando-se por n(X) o número de elementos de um conjunto X, considere dois conjuntos A e B tais que n(A B) = 4, n(A – B) = 5 e n(A x B) = 36. Podemos afirmar que n(A B) é igual a: a) 4 b) 6 c) 7 d) 9 e) 10 06 – (ESA/93) Marcelo resolveu corretamente 90% das questões de uma prova e André, 70%. Se nenhuma questão da prova ficou sem ser resolvida pelo menos por um deles, e 18 delas foram resolvidas corretamente pelos dois, podemos concluir que a prova constava de: a) 148 questões b) 100 questões c) 50 questões d) 30 questões e) 20 questões 07 – (C.Naval/83) Numa cidade constatou-se que as famílias que consomem arroz não consomem macarrão. Sabe-se que: 40% consomem arroz; 30% consomem macarrão; 15% consomem feijão e arroz; 20% consomem feijão e macarrão; 60% consomem feijão. A porcentagem correspondente às famílias que não consomem esses três produtos é: a) 10% b) 3% c) 15% d) 5%
6
08 – (U. E. LONDRINA) Em x , sejam (2m + n; m – 4) e (m + 1; 2n) dois pares ordenados iguais. Então mn é igual a: a) –2 b) 0 c) 1/2 d) 1 e) 2. 09 – (U.E.C.) Se P = {1,2,5,7,8}, então o número de elementos do conjunto W = {(x,y) P2; x
2)
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3)
dia 25/07, a opção que indica o número de dias em que pelo menos um candidato estava participando do cursinho é: a) 10 b) 16 c) 25 d) 36
4)
16 – (CTU/99) Numa aula inaugural do curso de Eletrotécnica, o professor de Eletricidade Básica levou um grupo de alunos para conhecer o laboratório da escola. Desses alunos: 8 já haviam estado num laboratório, mas não conheciam os instrumentos de medição: amperímetro, voltímetro, etc.; 3 já conheciam os instrumentos de medição, mas nunca haviam estado num laboratório; ao todo, 10 conheciam os instrumentos de medição; ao todo, 9 nunca haviam estado num laboratório. Determine o número de alunos.
e as denominações: I – A B, C B, A C II – A B, C B, A C = III – A (B C), B C, C B, A C IV – A C = , A C, B C Então as associações corretas são: a) (1, IV), (2, III) b) (1, I), (4, III) c) (2, II), (3, IV) d) (4, III), (1, II) 13 – Num concurso, foram entrevistados 979 candidatos, dos quais 527 falam a língua inglesa, 251 a língua francesa e 321 não falam nenhum desses idiomas. Representando por P o número de candidatos que falam as línguas inglesa e francesa e representando por Q o número de candidatos que falam as línguas inglesa ou francesa, podemos afirmar que P e Q são respectivamente: a) 120; 778 b) 120; 658 c) 130; 778 d) 130; 658 e) 131; 407 14 – (EEAR-CFS-2/99-B) Foi feita uma pesquisa em uma escola, em que os alunos optaram por um 5 esporte. Do total dos alunos pesquisados, 7
escolheram o futebol e
1 4
dos restantes indicaram o
voleibol. O número de alunos que não optou nem pelo futebol nem pelo voleibol foi 60, portanto o total de alunos pesquisados foi: a) 200 b) 250 c) 280 d) 300 15 – (EPCAR-2001) Três candidatos ao 1º ano do EPCAR/2001 fizeram um cursinho preparatório intensivo. Sabendo-se que o candidato A teve aulas do dia 20/06 ao dia 05/07, o candidato B, do dia 30/06 ao dia 09/07 e o candidato C, do dia 01/07 ao
17 – (EPCAR/2003) De 2 conjuntos A e B, sabe-se que: I) O número de elementos que pertencem a A B é 45 II) 40% desses elementos pertencem a ambos os conjuntos III) O conjunto A tem 9 elementos a mais que o conjunto B Então, o número de elementos de cada conjunto é: a) n(A) = 27 e n(B) = 18 b) n(A) = 30 e n(B) = 21 c) n(A) = 35 e n(B) = 26 d) n(A) = 36 e n(B) = 27 18 – (EPCAR/2001) Numa prova de matemática, havia 2 problemas. Ao corrigi-la, o professor responsável determinou que não consideraria questões meio certas. Assim, a cada prova só poderia ser atribuído 0,5 ou 10. Dos alunos, 25 obtiveram nota 5, 10 alcançaram nota 10,25 acertaram o segundo problema e 20 erraram o primeiro problema. O número de alunos que tiraram nota zero é: a) 0 b) 5 c) 10 d) 15 19 – (EPCAR/2002) Considere os conjuntos: * A = {a N /a < 5} B = {b Z /1 < b < 5} * 2 – C = {c N /2c 8c = 0} D = {x N/x é primo e x < 7} Se A E = {3} e B E = D C, então o conjunto E é igual a: a) {3} b) {3,5} c) {3,5,7} d) {3,4,5} Matemática
7
20 – (EEAR/CFS1/2001-B) Sejam os conjuntos A = [-1,2]; B = [-2,4] e C = [-5,0[ É falso afirmar que: a) (B – C) – A = [2,4] b) (A B) (B – C) = [0,2] c) (B – A) (A B) = [-2,4] d) (B C) – (A B) = ]-5,-1[ ]2,4] 21 – (CFO/2000) Dados 3 conjuntos finitos A, B e C, o número de elementos de A (B C), sabendo-se que A B = 26 elementos, A C = 10 elementos e A B C = 7 elementos, é: a) 17 elementos b) 36 elementos c) 29 elemento d) 33 elementos Nível 3 – 01 – (Epcar/87) Um conjunto A tem m elementos e a subconjuntos; um conjunto B tem n elementos e b subconjuntos e um conjunto C tem p elementos e c subconjuntos. Se b = 8, a = c – 2b e m = 2p – 2n, então a + b + c vale: a) 56 b) 12 c) 32 d) 16 e) 48 02 – (C.Naval/84) Num colégio verificou-se que 120 alunos não tem pai professor; 130 alunos não tem mãe professoras e 5 tem pai e mãe professores. Qual o número de alunos do colégio, sabendo-se que 55 alunos possuem pelo menos um dos pais professor e que não existem alunos irmãos? a) 125 b) 135 c) 145 d) 155 e) 165 03 – (CTU/97) Uma pesquisa de mercado sobre o consumo de três marcas A, B e C de um determinado produto apresentou os seguintes resultados: A – 48% A e B – 18% C – 50% A e C – 15% B – 45% B e C – 25% Nenhuma das três – 5%
04 – (Col.Militar/96) Considere os conjuntos A={n N / n = 2k+1, k N*} e B={n N / n é primo e n 2}. Determinar o conjunto C={x A B / x = 3k, k N e x 30} 05 – (EPCAR/2003) Numa turma de 31 alunos da EPCAR, foi aplicada uma Prova de Matemática valendo 10 pontos no dia em que 2 alunos estavam ausentes. Na prova, constavam questões subjetivas: a 1ª, sobre conjuntos, a 2ª, sobre funções e a 3ª, sobre geometria plana. Sabe-se que dos alunos presentes: nenhum tirou zero; 11 acertaram a 2ª e a 3ª questões; 15 acertaram a questão sobre conjuntos; 1 aluno acertou somente a parte de geometria plana; e 7 alunos acertaram apenas a questão sobre funções. É correto afirmar que o número de alunos com grau máximo igual a 10 foi: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 06 – (EEAR-CFS1/2001-B) Considere os conjuntos A = [1,2] [3,4]; B = ]1,4] – {3}; C = [2,3[ {4} e X = (A – B) (A C). Assinale a alternativa correta: a) X A = B b) X C = X c) X A = X d) X B = C 2. CAPÍTULO 2 – TEORIA DAS FUNÇÕES Tarefa 1 01 – Dados os diagramas:
a) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem as três marcas A, B e C? b) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem uma e apenas uma das três marcas?
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05 – (UFJF/95) Na figura abaixo está o gráfico de uma função f, definida no intervalo [-2,5]. Se g(x) = f(x-2), então considere as afirmativas: I - g(0) + g(3) + g(5) = 1; III - g(7 / 2) 1 g(6)
II - 2g(4) - g(7) = 3;
Podemos afirmar que: a) I, II e IV representam funções de A em B; b) I, III e IV representam funções de A em B; c) I e IV representam funções de A em B; d) IV não representa função de A em B; e) todos representam funções de A em B. 02 – Sendo f: definida por f(x) = 2x, é correto afirmar que: a) f(0) = 0; b) f(1) = f(-1); c) f(1) + f(0) = f(2); d) f(0) . f(2) = 4; e) f(1) + f(2) + f(3) = 10. 03 – (FUVEST) As funções f e g são dadas por 4 3 x a . Sabe-se que f(0) – g(0) = f (x) x 1 e g( x ) 5
1 3
3
1 5
. O valor de f(3) - 3g( ) é:
Assinale a opção correta: a) todas são verdadeiras; b) I e II são verdadeiras; c) apenas II é falsa; d) apenas II é verdadeira; e) todas são falsas. 06 – (UFJF/97) Sendo A = {1,2,3,4,5} e sabendo-se que o gráfico da função injetiva f:A A passa pelos pontos (1,3), (2,5) e (3,4), podemos concluir que: a) o gráfico de f passa pelo ponto (3,1); b) a função f admite inversa; c) a função f é crescente; d) a função f é decrescente; e) o gráfico de f passa pelo ponto (5,4).
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4.
07 – (UFJF/95) Se f é uma função de * em que 2f(x) + f(1/x) = -5x, então f(3) é igual a: a) –15 b) –11 85 c)
04 – (UFJF/2003) A figura abaixo representa, no plano cartesiano, o gráfico de uma função y = f(x) definida no intervalo [-2, 5]. Com base nesse gráfico, é incorreto afirmar que:
d) e)
tal
9 5 3 85 3
08 – (Espcex/93) Considere as funções f: R Re 2 g : R R definidas por f(x) = x + 1 e g(x) = 2x - 3. O conjunto dos valores de x tais que (fog)(x) = f -1(x) está contido em: a) [-2,0] b) [-1,2] c) [-10,-2] d) [1,10] a) f(4) > f(5) b) o conjunto imagem de f contém o intervalo [-1,4] c) f(x) < 0 se – 2 x 0 d) f(f(1)) = 0 e) o conjunto {x [-2,5] / f(x) = 3} possui exatamente dois elementos.
09 – (Espcex/94) As funções f: R R e g: R R são definidas por f(x) = 2x + 3 e g(x) = 3x + m. Se f(g(x)) = g(f(x)), então f(m) vale: a) 3 b) 6 c) 9 Matemática
9
d) 12 e) 15 10 – (UFJF/99) Seja f: uma função tal que f(x + y) = F(x) + f(y) para quaisquer x e y reais. Se f(1) = 1/2, determine f(-1/2). 11 – (Espcex/99) Sendo f uma função real tal que f(x - 2) = ax + b, x R, f(2) = 5 e f(3) = 8, então o valor de a · b é: a) -32 b) -23 c) -21 d) 12 e) 36 12 – (EEAR/2005-2) Seja a função f de -{3} em x 3 {1}, definida por f(x) = . Pela inversa de f, o x
3
número 5 é imagem do número: a) 1/4 b) 1/3 c) 4. d) 3.
c) d)
b) f ( x)
x2 1 . x
uma função é a função
*
.
c) f(x) = x. d) f(x) = x5. 16 – (ESPCEX/2004) Analise os itens abaixo para a função f: : I. Se f (x) + f ( –x) = 0, então f é uma função par II. Se f (x) é uma função constante, então f é função par.
10
x 1 , definida para x x 1
–1,
pode-se afirmar
que a única alternativa correta é: a) g (x) 0 para todo x –{ –1, 0}. b) Não existe x tal que g (x) = 0. c) g (x) 0 para todo x ] –1, + [. d) g (x) < 0 para todo x ] –1, 1[. e) Não existe x tal que g (x) = 2.
afirmar que a função inversa de g (x) é:
15 – (EEAR/2003-2) É par a função f: definida por: 1
g ( x)
e g (x). Se f (x) = x + 2 e f(g (x)) =
1 . 2 1 . 2
a) f ( x )
17 – (ESPCEX/2004) Com relação à função
18 – (ESPCEX/2004) Sejam as funções reais f (x)
13 – (EEAR/2004-2) Para que a relação definida por y x x 4 represente uma função real, os conjuntos Domínio e Imagem dessa relação devem ser, respectivamente, iguais a: a) + e +. b) + e ]4; [. c) [4; [ e [4; [. d) [4; [ e [2; [. 14 – (EEAR/2004-2) Seja: f: bijetora tal que f(5) = 2. Se g: inversa de f, então g –1(5) é igual a: a) 2. b) –2.
III. Se |f (x)| = f (x), então Im (f) +. IV Se |f (x)| = f (x), então f (x) é função bijetora. São corretas as afirmativas: a) I e II. b) II e IV. c) II e III. d) I e III. e) III e IV.
x 2
, pode-se
f (x) . 2 x 4 b) g –1 (x) = . 2
a) g –1 (x) =
c) g –1 (x) = f (x). d) g –1 (x) = 2 f (x). e) g –1 (x) =
x
4 2
.
Tarefa 2 Nível 1 – 01 – (PUC-SP) Dizemos que uma relação entre dois conjuntos A e B é uma função ou aplicação de A em B quando todo elemento de: a) B é imagem de algum elemento de A; b) B é imagem de um único elemento de A; c) A possui somente uma imagem em B; d) A possui no mínimo uma imagem em B; e) A possui somente uma imagem em B e viceversa. 02 – (UFRG) Sendo A = {1, 2} e B = {3, 4}, então podemos definir, no máximo: a) uma função de A em B; b) duas funções de A em B; c) três funções de A em B; d) quatro funções de A em B; e) cinco funções de A em B. 03 – (FUVEST) f:
associa a x o número
Quanto vale f( 4 7 )? a) 1 7 ;
Curso Oficina – Preparatório às Escolas Militares e Vestibulares
1 1 x2
.
b)
7 1 ; 6
a) Im(f) = [1,4];
c)
7 1 ; 8
b) Im(f) = [2,3];
d) 1
7 ; 7
c) Im(f) = ]1,4];
e) 0,0714285. d) Im(f) = ]2,3]; 04 – (UFJF/94) Considere as funções dadas por f(x) = 2x + 1 e g(x) = x 2 -1. Então as raízes da equação f(g(x)) = 0 são: a) inteiras; b) negativas; c) racionais não inteiras; d) inversas uma da outra; e) simétricas. 05 – (MACK-SP) Seja f: Então f(x) . f(y) é igual a: a) f(x.y) b) f(x-y) c) f(x+y) d) f(x/y) e) f xy .
e) Im(f) = [1,3]. 09 – (PUC-SP) Para a função cujo gráfico é:
definida por f(x) = ex.
06 – (CESGRANRIO) Seja f: uma função. O conjunto dos pontos de intersecção do gráfico de f com uma reta vertical: a) possui exatamente dois elementos; b) é vazio; c) é não enumerável; d) possui, pelo menos, dois elementos; e) possui um só elemento. 07 – (GV-SP) Duas curvas A e B se interceptam nos pontos (0,3) e (0,-3). Assinale dentre as afirmações abaixo, a correta: a) A e B podem ser representações gráficas de funções; b) somente A ou B poderá ser a representação gráfica de uma função; c) nem A nem B poderá ser a representação gráfica de uma função; d) A ou B é a representação gráfica da função dada por y2 = 9 - x2; e) A ou B é a representação gráfica da função dada por x = 0. 08 – O digrama seguinte representa uma função f do intervalo [1,3] em . Quanto à imagem é correto afirmar que:
podemos dizer: a) O domínio é ; b) O conjunto imagem é ; c) O domínio é o conjunto - {a}; d) O conjunto imagem é { x | a < x < b }; e) O conjunto imagem é { x | 0 < x < b }. 10 – (PUC-SP) Qual dos gráficos não representa uma função: a)
b)
c)
Matemática
11
d)
12 – (U. Fortaleza) O gráfico abaixo:
e) a) representa uma função f:[a;b] R b) não representa uma função de [a;b] em R porque existe y R que não é imagem de qualquer x [a;b] c) não representa uma função de [a;b] em R porque existe elemento x [a;b] com mais de uma imagem d) representa uma função f:[a;b] [p;d] 11 – (PUC-SP) Qual dos gráficos seguintes representam uma função f de * em ? a)
b)
13 – (UCMG) O valor da expressão y
x2 x
para
x = - 2,1 é: a) –1,6 b) –1,2 c) 1,3 d) 2,6 e) 3,1 14 – (UFPA) Dada a função f:R r definida por: f(x) = - 5 se x é racional f(x) = 3 se x é irracional Qual o valor da expressão f
c)
0,25 0,5
2
f
2 3
?
a) –10 b) – 8 c) 0 d) 6 e) 8 15 – (FGV) Seja uma função y = f(x), cujo gráfico está representado abaixo. Assinale a afirmação correta:
d)
e)
a) f(0) = 0 b) f(x1) = f(x3) = f(x5) = 0 c) a função é crescente no intervalo [x3 ;x5] d) a função é decrescente no intervalo [x3 ;x5] e) f(x2) = f(x4) = 0 16 – (UFPA) Dada a função de A = (0, 1, 2} em B = {-2, -1, 0, 1, 2} definida por f(x) = x –1, qual o conjunto imagem de f?
12
Curso Oficina – Preparatório às Escolas Militares e Vestibulares
a) {-1, 0, 1} b) {-2, -1, 0, 1, 2} c) {0, 1, 2} d) {-2, -1, 0} e) {0, -1, 2}
05 –
(Espcex/97)
Seja
a
função
f(x)
=
1, se x é irracional 1, se x é racional
O valor da expressão
f ( ) - f(0) - f(1,33...) 3f ( 2 )
é:
a) 1/3 b) -1/3 c) -1 d) 1 e) 2/3
Nível 2 – 01 – (Espcex/93) O diagrama a seguir representa:
06 – (Espcex/98) Os gráficos abaixo representam duas funções reais “f” e “g”, cujas únicas raízes são -1 e 2, respectivamente.
a) uma relação de A em B cuja inversa é uma função de B em A. b) um sub-conjunto de A x B. c) uma função de domínio A e imagem B. d) uma função de A em B que associa ao elemento do domínio um elemento da imagem maior que esse elemento. 02 – (Espcex/93) Sejam f: R R* e g: R funções sobrejetoras tais que: i) f(x) > 0, se e somente se, x 3 ou x -2 ii) g(x) > 0, se e somente se, 1 x 5 Nestas condições, f ( x ) 0, somente se
R*,
g( x )
a) x b) x c) x d) -2
-2 ou 1 x < 3 ou x > 5 -2 ou 3 < x 5 -2 ou x 5 ou 1 < x < 3 x < 3 ou x 5
03 – (Espcex/94) Sendo f: R por: f(x) =
1 , se x Z * e x 2, se x R - Z *
Então (f o g o f o g) (2 + a) -1 1 b)
g(x) = 2)
O conjunto de todos os números reais tais que f(x).g(x) < 0 é dado por: a) x > 0 ou x < -1 b) -1 < x < 0 c) 0 < x < 2 d) -1 < x < 2 e) x < -1 ou x > 2 07 – Se f:
R e g: R
R definida
1, se x Q 1 , se x R - Z * 2
é igual a:
é definida por
f(x)
x 1 x2
2
, então:
a) existem dois valores distintos de x para os quais f(x)=0; b) existe x tal que f(x) = 1; c) o número 2 não pertence à imagem de f; d) o número 1/4 pertence à imagem de f; e) f(-1) = -2. 08 – Se f:N N é tal que:
2
c) 2 d) 1 -
2 2
e) -2 04 – (Espcex/95) Na função f(x) = 3x - 2, sabemos que f(a) = b - 2 e f(b) = 2b + a. O valor de f(f(a)) é: a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2
f (n)
n , se n é par. 2 , n 1 , se n é ímpar . 2
temos que:
a) f(0) = 0 e f(3) = 1; b) a imagem de f é o conjunto dos naturais ímpares; c) os números 2, 3 e 5 não pertencem à imagem de f; d) existem dois números naturais distintos p e q tais que f(p) = f(q); e) existem números naturais distintos p e q tais que f(p) = p(q) = 0.
Matemática
13
09 – (UFBA) Sendo P = {1,2,3}, o conjunto imagem de R = {(x,y) P x P | y = x + 1} é: a) {1,2,3} b) {2,3,4} c) {2,3} d) {1,2} e) {1,3}.
c) 24 d) 32 e) impossível de ser calculado.
10 – (UFPE/85) Dados os conjuntos A = {a, b, c, d} e B = {1, 2, 3, 4, 5}, assinale a única alternativa que define uma função de A em B. a) {(a,1),(b,3),(c,2)} b) {(a,3),(b,1),(c,5),(a,1)} c) {(a,1),(b,1),(c,1),(d,1)} d) {(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(a,5)} e) {(1,a),(2,b),(3,c),(4,d),(5,a)}
a)
11 – (UFPA/84) Sejam os conjuntos A ={1,2} e B = {0,1,2}. Qual das alternativas abaixo é verdadeira? a) f : x 2x é uma função de A em B. b) f : x x+1 é uma função de A em B. c) f : x x2-3x+2 é uma função de A em B. d) f : x x2-x é uma função de B em A. e) f : x x –1 é uma função de B em A.
17 – Se f:Z Z é tal que f(n+1) = n – 1, então o valor de f(n –1) é: a) n + 1 b) n c) n – 1 d) n – 2 e) n – 3
12 – (MACK) A função f de R em R é tal que, para todo x R, f(3x) = 3f(x). Se f(9) = 45, então: a) f(1) = 5 b) f(1) = 6 c) f(1) = 9 d) f(1) não pode ser calculado e) não sei
18 – A função de Euler é definida para todo natural n 1 da seguinte maneira: (n) é o número de números naturais primos com n menores que n. Quanto vale (12) a) 4 b) 5 c) 3 d) 6 e) 0
13 – (UFMG) Uma função f : R R é tal que f(5x) = 5f(x) para todo número real x. Se f(25) = 75, então o valor de f(1) é: a) 3 b) 5 c) 15 d) 25 e) 45 14 – (PUC-SP) A função f : R R tem a propriedade: f(m.x) = m.f(x) para m R e x R. Podemos garantir que: a) f(0) = -1 b) f(0) = 1 c) f(0) = 4 d) f(0) = 0 e) f(0) = 2 15 – (CESCEM) É dada a função real tal que: I – f(x) f(y) = f(x + y) II – f(1) = 2 III – f( 2 ) = 4 O valor de f(3+ 2 ) é: a) 3 b) 16
14
2
2
16 – A função f satisfaz a relação f(x + 1) = x f(x), x 0. Se
f
1 2
, o valor de
f
3 2
é:
2
b) 2 c) d) e)
3 2 2
19 – (UFMG) Na figura estão esboçados os gráficos de duas funções f e g. O conjunto {x R; f(x) g(x) 0} é dado por:
a) x b) -1 c) 0 d) -1 e) x
0 ou x -1 x 0 x 2 x 2 -1 ou x 2
20 – (CESCEM) Se f : A B é uma função e se D A, chamamos de imagem de D pela função f ao conjunto anotado e definido por f D = {y B / existe x D tal que f(x) = y}. Se g é a função de R em R cujo gráfico está representado ao lado, então a imagem g [5;9] do intervalo fechado [5;9] é:
Curso Oficina – Preparatório às Escolas Militares e Vestibulares
25 – (UFJF/98) O conjunto X tem 4 elementos e o conjunto Y tem 7 elementos. O número de funções f:X Y que se pode definir é: a) 24 b) 28 c) 840 d) 2.401 e) 16.384.
a) (2; 6) b) (2; 6) c) (3; 6) d) (3; 6) e) (2; 4) 21 – (CESGRANRIO) Seja a função que associa, a cada número real x, o menor dos números (x + 1) e (-x + 5). Então, o valor máximo de f(x) é: a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7 22 – Seja f : R R uma função satisfazendo as seguintes propriedades: I – f(0) = 1 II – f(x + y) = f(x) . f(y) x, y R III – 0 f(1) 1 Então o valor da expressão f(0) + f(1) + f(2) + ... + f(9) é igual a: a)
f (1)10 f (1) f (1) 1
b) f (1)10 1 c) f (1)10 f (1) d)
f (1)10 1 f (1) 1
23 – (UFRN) A imagem da função f : R por f(x) = a) –2 b) 0 c) 1/2 d) 2 e) 5
1 1 x2
R, definida
26 – (MACKENZIE-SP) Se f e g são funções reais dadas por f(x) = x - 1 e g(x) = x2 + 1, então ( g o f ) (2) é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 27 – (Fundação Carlos Chagas-SP) Dadas as funções reais f(x) = 1 - 2x e g(x) = 2x + k, o valor de k de modo que f[g(x)] = g[f(x)] é: a) –3 b) -1 e 1/2 c) -1/3 d) 1/3 e) 1. 28 – (FUVEST) Se f: é da forma f(x) = ax + b e verifica f[f(x)] = x + 1 para todo x real, então a e b valem respectivamente: a) 1 e 1/2 b) -1 e 1/2 c) 1 e 2 d) 1 e -2 e) 1 e 1 29 – (FGV-SP) Sejam f e g funções reais tais que f(x) = x2 + 1 e g(y) = 1/y. Então f[g(2)] é igual a: a) 0 b) 5/4 c) 2/5 d) 5/2 e) 1/5.
, contém o elemento:
24 – (CESGRANRIO) Sendo x 4, o conjunto imagem da função y = x x 4 é dado por: a) {y R / y 0} b) {y R / 0 y 2} c) {y R / y 2} d) {y R / y 4} e) nra
Matemática
15
GABARITO
Capítulo 1 – Conjuntos Tarefa 1 01) 06) E 11) C 16) 450
02) 07) A 12) D 17) C
03) 08) E 13) C 18) B
04) A 09) C 14) C 19)
05) C 10) D 15) D
Nível 1 01) C 06) 230 11) B 16) 3/5 21) D 26) E
02) C 07) C 12) D 17) 500 22) D 27) D
03) C 08) B 13) C 18) D 23) C
04) E 09) A 14) D 19) A 24) A
05) B 10) D 15) 32 20) C 25) E
02) D 07) D 12) D 17) D
03) D 08) C 13) B 18) B
04) D 09) C 14) C 19) B
05) D 10) D 15) D 20) A
01) A
02) D
04) {3, 9, 15, 21, 27}
05) B
06) C
03) a) 10% b) 57%
Nível 2 01) A 06) D 11) B 16) 24 21) C Nível 3
16
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Matemática
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