Control de La Temperatura en Un CSTR

CONTROL DE LA TEMPERATURA EN UN CSTR 1. RESUMEN En el presente trabajo se analizará el modelo matemáco de un sistema lineal inestable invariante con el empo, como es el control de temperatura de un reactor CSTR (Conn (Connuou uously sly Srre Srred d Tank React Reactor) or),, donde donde se reali realiza zará rá la lineal linealiza izaci cin n de las ecuaciones di!erenciales di!erenciales asociadas al sistema sistema por medio de la serie truncada de Taylor Taylor a condiciones de operacin norma para as" poder #allar las !unciones de trans!erencia del proceso para lue$o incluir las !unciones de trans!erencia de los elementos de control y as" analizar el sistema de control por retroalimentacin% retroalimentacin% &demás se empleará empleará 'atlab para analizar la estabilidad del lazo cerrado, mediante las $rácas de lu$ar de ra"z y dia$rama de ode% 2. INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN El reactor de tan*ue a$itado connuo (CSTR) consta de un tan*ue con una a$itacin casi per!ecta, en el *ue #ay un +ujo connuo de mate reaccionante y desde el cual sale connuamente el material *ue #a reaccionado (material producido)% a condicin de a$it a$itac aci in n no es tan tan di-c di-cilil de alca alcanz nzar ar siem siempr pree y cuan cuando do la !ase !ase l"*u l"*uid idaa no sea sea demasiada viscosa% El propsito de lo$rar una buena a$itacin es lo$rar *ue en el interior del tan*ue se produzca una buena mezcla de los materiales, con el n de ase$urar *ue todo el volumen del recipiente se ulice para llevar cabo la reaccin, y *ue no e.istan o *ueden espacios muertos 3. OBJETIVOS DEL TRABAJO / 0btener la !uncin de trans!erencia trans!erencia del lazo abierto del proceso mediante un modelo matemáco matemáco *ue describa la dinámica del proceso y *ue e.prese e.prese la variable a controlar en !uncin de las perturbaciones *ue se presentan% / 0btener la !uncin de trans!erencia del lazo cerrado del proceso con el sistema de control por retroalimentacin *ue se deduce a parr del dia$rama de blo*ues% /1inalmente analizar la estabilidad del lazo cerrado a parr de criterios, los cuales !ueron desarrollados en clase% 4. OBJETIVOS DE CONTROL El objevo de control es lo$rar una conversin adecuada del producto !ormado, y mantener al sistema operando alrededor de sus condiciones de estado estacionario% Variable Temperatura

Raz!e" #r la" $%e "e &eber'a (!)rlar e! a"#e()" &e Seguridad Operatvidad Ambienal Temperaturas 2na temperatura muy altas elevada ende a pueden poner en desco descompo mponer ner el

3

Efciencia &!ecta al rendimiento y selecvidad de la

ries$o se$uridad reactor

la producto, del mientras *ue una temperatura baja resulta en un mezclado incompleto

reaccin

*. VARIABLES Variable &e (!)rl+ 4 Temperatura del reactor Variable &e #er)%rba(i,!+ 4 1lujo de entrada del reactante Variable &e -a!i#%la(i,!5 4 1lujo de vapor . ES/UEMA DEL PROCESO SIN CONTROL

 

 

!(t) pies7 8 min Ti(t), 91

Ts(t) :(s) 91



!(t), pies7 8 min mm

0. DEINICION DEL SISTEMA C-#!e!)e" / Tan*ue /&$itador /'otor /Serpen6n

;

E(%a(i!e" &e &i"e &el )a!$%e

 







=onde5

Tabla 1. Especicaciones del proceso y valores de estado estable de las variables% I!r-a(i,! &el Pr(e" De"(ri#(i,! Variable Valr U!i&a& Volumen del  3 V  3;>   pies reacor  lb Densidad del  ρ ?@ 3 reacane  pies Capacidad de Btu c p calor en el  >,@ lb ∙ ℉  reacor  Coefciene de Btu ranserencia de U  ;,3 3 calor del  min∙ pies ∙ ℉  serpenn  Área de ranserencia de 2  A ;A3,B   pies calor del  serpenn Capacidad  Btu calorífca del  C  M  ;?B, ℉  meal del  serpenn Btu Calor poencial  λ D?? lb de condensacin Se!"rTra!"-i"r ℉  !ango " 3>>/;>>

7

Consane de tempo

τ t 

>,B

min

V5l6%la &e C!)rl ∆P Constante α  B>

Caída de presin Caracerístca #$ Consane de tempo del  acuador 

τ v

/ /

>,;

min

P%!)" &e O#era(i,! %lu&o de alimenacin 'emperaura de enrada del  reacane 'emperaura del  reacor  'emperaura de condensacin del  vapor  %lu&o de vapor 

 

3

pies min

´f 

3B

´i T 

3>>

℉ 

´ T 

3B>

℉ 

´s T 

;7>,AB

℉ 

´ w

A;,;

lb min

7. PRESUNCIONES     

Sin prdidas de calor% 'ezcla per!ecta% Calor latente de condensacin es constante =ensidad constante a temperatura T i constante

8. ECUACIONES DE BALANCE El balance de ener$"a para el l"*uido en el reactor es5

Vρ c p

dT  ( t ) = f  ( t ) ρCp [ T i ( t ) −T ( t ) ]+ UA [T s ( t )−T ( t ) ] ( 1 ) dt 

3ec%, ; inc(T,Ts) =onde5 T ( t ) : Temperatura del reactor FG1H V : Iolumen del reactor Fpies 7H

A

f  ( t ) : 1lujo de alimentacin Fpies 78minH T s ( t ) :  Temperatura de condensacin del vapor FG1H U  :  Coeciente de trans!erencia de calor Ftu8min%pies 7%G1H  A :  Jrea de trans!erencia de calor Fpies ;H  ρ 5 =ensidad del reactante Flb8pies 7H c p :  Capacidad de calor en el reactor Ftu8lb%G1H

El balance de ener$"a en el serpen6n, suponiendo *ue el mismo se encuentra a la misma temperatura *ue el vapor *ue se condensa5

C  M 

d T s ( t ) dt 

= λ . w ( t )−UA [ T s ( t ) −T ( t ) ] ( 2) ; ec%, 7 inc$ (K)

=onde5 C  M : Capacidad calor"ca del metal del serpen6n Ftu8G1H

 λ :  Calor potencial de condensacin Ftu8lbH w ( t ) :  1lujo de vapor Flb8minH

Como el +ujo másico de vapor es la salida de la válvula de control y una de las entradas del proceso, el mtodo del proceso está completo%

Li!ealiza(i,! 9 )ra!"r-a&a &e La#la(e Se linealizan los trminos no lineales de la ecuacin (3)mediante la serie trunca de Taylor y se obene

´ i+ ´T i [ f  ( t )− ´f  ]+ ´f  [ T i ( t )−T   ´ i ] f  ( t ) T i (t )= ´f  T 

´ + ´T [ f  ( t )− ´f  ] + ´f  [ T  ( t )− T  ´] f  ( t ) T ( t )= ´f  T  1:. ECUACIONES EN ESTADO ESTACIONARIO

´f ρCρT i + UA ( T ´ s−T  ´ )− ´f ρCp ´T =0

B

´ λ −UA (  ´T s− ´T ) =0 w 11. SISTEMA DE ECUACIONES EN VARIABLES DE DESVIACIÓN dГ ( t ) ´ )  ( t )+UAГs ( t )−(UA + ´f ρ c p) Г ( t ) = ρc p ( T i−T  dt 

Vρ c p

C  M 

dГs ( t ) = λ!  ( t )−UA Г s ( t ) +UAГ ( t ) dt 

  ( t )= f  ( t )− ´f 

´  Г ( t )=T ( t )−T   ´ s  Гs ( t )=T s ( t ) −T  12. ECUACIONES EN EL ESPACIO DE LAPLACE Tomando las ecuaciones en el espacio de aplace y al reordenar los trminos, se obene5  Г ( s)=

" f  τs + 1

 Г s ( s )=

  ( s ) +

1

τ c s + 1

" s τs + 1

 Г ( s )+

 Г s ( s ) " w

τ c s + 1

! ( s )

=onde5 τ =

(120 ) ( 68 ) ( 0,8 ) ´f ρ c p + UA ( 15 ) ( 68 ) ( 0,8 ) +( 2,1 ) ( 241,5 ) =4,93 min

 "   =

Vρ c p

=

 ρ c p ( ´T i− ´ T )

´f ρ c p+ UA

=

( 68 ) ( 0,8 ) ( 100−150 ) ℉  =−2,06 3 ( 15 ) ( 68 ) ( 0,8 ) +( 2,1 ) ( 241,5 )  pies min

 " s =

UA

´f ρ c p + UA τ c =

=

( 2,1) ( 241,5 ) ℉  =0,383 ℉  ( 15 ) ( 68 ) ( 0,8 ) + ( 2,1 ) ( 241,5 )

( 265,7 ) = 0,524 min UA ( 2,1 ) (241,5 )

 C  M 

=

?

 " w =

( 966 ) λ ℉  = =1,905 UA ( 2,1 ) ( 241,5 ) lb min

13. UNCIÓN DE TRANSERENCIA EN LA;O ABIERTO CON DIA
 " f  (τ c s + 1)  ( s )

( τs + 1 )− "s   ( s )

+

" s "w. ! ( s )

( τs + 1 ) ( τ c s + 1 )− "s

 " f ( τ c s + 1 ) τs + 1

N

 Г ( s) !  ( s )  " s "w

N

( τs + 1)( τ c s + 1 ) 14. OBTENCIÓN DE LA RESPUESTA EN EL TIEMPO A UN CAMBIO TIPO ESCALÓN EN LA UNCIÓN DE OR;AMIENTO.

C,&i= e! Ma)lab nLF>%;D?HM



dLF;%B@7 B%ABA >%?3HM OLP(n,d) escalonLstep(O) plot(escalon)

1*. ES/UEMA DEL PROCESO CON EL SISTEMA DE CONTROL

1. SENSORTRANSMISOR a temperatura en el reactor es sensada por medio de un elemento primario de temperatura (termocupla o RT=) cuya medicin es transmida por el transmisor TT/;3 a !uncin de trans!erencia para el sensor transmisor es 5 T #t  ( s ) T ( s )

=

" t  τ t  s + 1

=onde5 100−0   $%n&# de s%lid% = =1  " t = ℉   $%n&# de ent'%d% 200−100

Entonces5  (  ( s )=

T #t  ( s ) T ( s )

=

1 0,75 s + 1

@

10. V>LVULA DE CONTROL La válvula de control que se emplea tiene un actuador neumático tipo diafragma y está

diseQada para 3>> de sobrecapacidad con variaciones en la ca"da de presin pueden despreciarse% a válvula es isoporcentual con parámetro de ran$eabilidad de B>% El actuador ene una constante de empo de >%;> min% a !uncin de trans!erencia de la válvula de control

( 42,2 ) [ ln ( 50 ) ]

´ ln ( α ) w !  ( s ) 100 = τ v s + 1  M  ( s ) )v =

=

" v = τ v s + 1

100 0,2 s + 1

  1,651 0,2 s + 1

17. ES/UEMA DEL DIA
R(s)

?

E(s)

'(s)

)c ( s )

sp

?

)v ( s )

:(s)

)s ( s ) ?

@

C(s)

 ( ( s )

Donde:

 " sp = " t =1

) v (s ) =

 (  ( s )=

℉ 

" v !  ( s )   1,651 = =  M ( s ) τ v s + 1 0,2 s + 1

T #t  ( s ) T ( s )

=

" t  τ t  s + 1

=

1 0,75 s + 1

D

Г ( s)

) s ( s )=

" s ∙ " w ( 0,383 ) ∙ ( 1,905 )  T  ( s ) = = !  ( s ) ( τs + 1 ) ( τ c s + 1 )− " s ( 4,93 s + 1 ) ( 0,524 s + 1 )−0,383

) s ( s )=

 T  ( s )   1,183 = !  ( s ) ( 8,34 s + 1 )( 0,502 s + 1)

"   ∙ ( τ c s + 1 ) −2,06 ∙ ( 0,524 s + 1 ) T  ( s ) = = )  ( s )=    ( s ) ( τs + 1 ) ( τ c s + 1 )− " s ( 4,93 s + 1 ) ( 0,524 s + 1 )−0,383

1uncin de trans!erencia del lazo cerrado5  Г ( s)=

  "sp) s ( s ) )v ( s ) )c ( s ) )f   Г set ( s) +   ( s ) 1 + ( ( s ) )s ( s ) )v ( s ) )c ( s ) 1 + (  ( s ) )s ( s ) )v ( s ) )c ( s )

18. CONTROLADOR PID 1uncin de trans!erencia del controlador <= 1+

1

+ τ  s τ  +  s  , ) )c ( s )= " C  ¿ 2:. ECUACIÓN CARACTERSTICA 1 + ( ( s ) )s ( s ) )v ( s ) )c ( s )=0 1+

1+

1 0,75 s + 1

-

 

1,183

( 8,34 s +1 )( 0,502 s + 1)

 

-

  1,651 0,2 s + 1

1.954

( 0.75 s + 1 ) ( 8,34 s + 1)( 0,502 s + 1 )( 0,2 s + 1)

- )c ( s )=0

- )c ( s )=0

21. AN>LISIS DE ESTABILIDAD a) S%")%(i,! &ire()a =esarrollando a parr de la ecuacin caracter"sca y considerando controlador proporcional ) c = " C 

( 0.75 s + 1 ) ( 8,34 s + 1 ) ( 0,502 s + 1 ) ( 0,2 s + 1 )+ 1,954 "c =0 0,628 s

4

+ 5,303 s 3 + 12,73 s 2+ 9,790 s + 1+ 1,954 "c= 0

3>

Sustuyendo s =i.  para  " c = "cu i.

¿ ¿

i.

¿ ¿ 4 0,628 ( i. ) + 5,303 ¿ &$rupando las partes reales e ima$inarias

(0,628  −12,73  +1 +1,954 "c ) +i (−5, 303  +9,790  )=0 + 0 i 4

2

u

u

3

u

u

u

=espejando se obene5 .u =

√

9.790 5.303

=1.359

 '%d s

1.359

¿ ¿

1.359

¿ ¿ ¿ 2− 1 −0.628 ¿  " cu=¿ T u =

2 /  1.359

= 4.6 min

b) L%=ar &e ra'z
33

C,&i= e! Ma)lab+ num=[1.954]; den1=[0.75 1]; den2=[8.34 1]; den3=[0.502 1]; den4=[0.2 1]; den5=conv(den1,den2); den6=conv(den5,den3); den7=conv(den6,den4); rlocus(num,den7)

c) =ia$rama de ode

3;

Con el dia$rama de ode *ue se obene a travs de un pro$rama en 'atlab, se conrma la inestabilidad, ya *ue la se$unda $ráca *ue corresponde al án$ulo de !ase versus la !recuencia, corta cuando el án$ulo de !ase ene un valor de /3@>G

C,&i= e! Ma)lab num=[1.954]; den=[0.628 5.304 bode(num,den)

12.74

9.792 1]

22. AJUSTE DEL CONTROLADOR & parr de la $anancia Ulma y del periodo Ulmo, #allados mediante el mtodo de sustucin directa, se realiz el ajuste del controlador Ti# &e (!)rla&r Pr#r(i!al P Pr#r(i!al i!)e=ra& PI Pr#r(i!al i!)e=ra& &eri6a6


Tie-# I!)e=ra&

Tie-# Deri6a6

 "cu

/

/

=¿ 7%@7

/

 "c=

2

"c=

 "cu

"c=

 "cu

2.2 1.7

L B%; L A%7 L ?%3;

τ i=

 Tu 1.2

τ i=

Tu 2

=2.3

d =¿

 Tu 8

τ ¿

37

=¿

>%BB

PID

23. CONCLUSIONES / a !uncin de trans!erencia del lazo abierto *ue se obtuvo mediante balances de ener$"a, linealizaciones y el uso de la trans!ormada de aplace y de variables de desviacin es la si$uiente5  Г ( s)=

 " f  (τ c s + 1)  ( s )

( τs + 1 )− "s

+

" s "w. ! ( s )

( τs + 1 ) ( τ c s + 1 )− "s

/a !uncin de trans!erencia del lazo cerrado *ue se obtuvo incluyendo los elementos de control como la válvula y el sensor8transmisor es5  Г ( s)=

  "sp) s ( s ) )v ( s ) )c ( s ) )f   Г set ( s) +   ( s ) 1 + ( ( s ) )s ( s ) )v ( s ) )c ( s ) 1 + (  ( s ) )s ( s ) )v ( s ) )c ( s )

/ &l realizar el análisis de estabilidad del lazo cerrado mediante el mtodo de sustucin directa se obene una $anancia Ulma de 3>%A, y al realizar el mtodo de lu$ar de ra"z se obene un valor muy cercano de 3>%A7% &demás mediante el dia$rama de ode, se puede conrma *ue es sistema es inestable 24. REERENCIAS e*ueVe, % (;>>7)% (rocess Conrol) *odeling+ Design+ and Simulaton) 2nited States5 3>)% ,ngeniería de Conrol *oderna) Wuinta Edicin% 'adrid, EspaQa5
Smit#, C%, y Corripio, &% (3DD)% (rinciples and (ractce o Auomatc (rocess Conrol) Second Edion% 2nited States5 Xo#n :iley and Sons%

3A