EJES O ARBOLES Como es conocido, los árboles y ejes son elementos de máquinas sobre los cuales se montan las partes giratorias de las máquinas, resultando ser los verdaderos ejes geométricos de estas partes en rotación∗. Los árboles, a diferencia de los ejes, además de sostener los elementos giratorios trasmiten momentos torsores, por consiguiente, los árboles resultan cargados, no solo por esfuerzos normales debido a los momentos flectores, sino también, por esfuerzos tangenciales generados por momentos torsores, en toda la longitud o en sectores aislados del árbol. Por la forma del eje geométrico del árbol se distinguen los árboles rectos y los árboles acodados (cigüeñales). Los árboles cigüeñales se emplean siempre que se requiera transformar en una máquina el movimiento alternativo en movimiento giratorio o viceversa. Como se comprenderá, los árboles cigüeñales son característicos de construcciones especiales, lo que hace que los criterios para el dimensionado previo y su cálculo no sean tratados en este curso. También los árboles flexibles con ejes curvilíneos constituyen un grupo especial no tratados en este material. En cambio la gran difusión de los árboles rectos en la ingeniería mecánica moderna, hace necesario que sean objetos de estudio, con énfasis en el análisis de los criterios de dimensionado previo y de comprobación de la capacidad de carga. Diferentes tipos de árboles rectos.
1. Ranura para permitir la salida de la muela de rectificado, o un tallado que requiera diferencia de diámetros entre las secciones contiguas. 2. Muñones de apoyo para los cojinetes de rodamiento o deslizamiento. Pueden ser cilíndricos o cónicos y generalmente son zonas endurecidas superficialmente entre los 48 y 52 HRC. En el caso de muñones para cojinetes de rodamientos debe tenerse en cuenta que su diámetro debe coincidir con la serie de los diámetros de montaje de los rodamientos, usualmente múltiplos de 5. 3. Escalón de apoyo. Sirve para absorber las cargas axiales en los árboles, producto de los elementos que se vinculan a el, y trasmitirlas a los apoyos y anclaje de las máquinas. Otro objetivo, es el garantizar la correcta disposición axial de los elementos en el montaje. 4. Zona de ajuste para el montaje. En caso de no estar en un extremo del árbol, se realiza con un diámetro mayor que las secciones contiguas para permitir el
montaje de los elementos. Se recomienda un endurecimiento de la zona entre 48 y 52 HRC. 5. Zona de transición. Son superficies que suavizan los cambios de sección y disminuyen los concentradores de tensión. Suelen ser circulares o elípticas. Es recomendable que sean empleadas superficies con radios mayores al 10% del diámetro menor de las secciones vinculadas. 6. Biseles. Se emplean para centrar las piezas durante el montaje y también para evitar cortaduras de los operarios durante la manipulación de los árboles. 7. Chaveteros. 8. Zona de centraje. Esta es una zona del árbol contigua a una zona de montaje, con dimensiones ligeramente menores que la de montaje, para facilitar esta operación y el centrado de los elementos.
Diseño de Ejes Mediante el Código ASME Hace años la ASME publico el Code for Design of Transmission Shafting (Código para proyecto de ejes de transmisión), que fue retirado hace pocos años, pero que ha sido ampliamente utilizado para proyecto de árboles de todas clases. Lo mismo que todos los códigos en general, los resultados que este da suelen ser previsores, pero hay muchas situaciones en que fallan. El procedimiento racional previamente descrito es el recomendable, pero indicaremos brevemente algunas de las prescripciones del Código. Los esfuerzos de cálculo (probablemente pensando en arboles estirados en frio) se dan como sigue: Esfuerzo
o
= 0.30 X resistencia de fluencia en tracción,
cortante de calculo
o bien o
= 0.18 X resistencia máxima a la tracción
tomando el valor que sea más pequeño (teoría de esfuerzo cortante máximo). Para un árbol en flexión solo. Esfuerzo
o
= 0.60 X resistencia de fluencia en tracción,
normal
o bien
de calculo
o
= 0.36 X resistencia máxima a la tracción
tomando el valor que sea más pequeño. El margen para Chaveteros es
(
con chavetero ) = 0.75 X (
como antes, sin chavetero),
Cuando el chavetero está en la sección que se trata proyectar. Para esfuerzos combinados, los esfuerzos de cálculo sin chavetero corresponden a un coeficiente de cálculo de 2 aproximadamente en ; el Código prevé además el uso de coeficiente de servicios, llamados coeficientes de choque y fatiga, como sigue: = coeficiente numérico combinado de choque y fatiga a aplicar en cada caso para multiplicar al momento torsor calculado o potencia
= coeficiente numérico combinado de choque y fatiga a aplicar en cada caso para multiplicar al momento flector calculado Sus valores dependen de lo que piense el proyectista acerca del modo de aplicación de la carga y se toman de la tabla 9.1, donde se observa que el valor mínimo de para un eje giratorio es 1.5, que está destinado en tener en cuenta la inversión de esfuerzo durante cada revolución del árbol. Para flexión o torsión solas, las ecuaciones de cálculo son =
=
o
= (REDONDO MACIZO)
=
=
o
= (REDONDO MACIZO)
Donde D es el diámetro de un eje circular macizo. Para flexión, carga axial F y torsión conjuntamente, el esfuerzo normal empleado es S=
+α
TABLA 9.1 VALORES DE
Y
Tipo de Carga Ejes fijos (esfuerzo de flexión sin inversión): Aplicada gradualmente ………………………….1.0
1.0
Aplicada repentinamente………………………..1.5 a 2.0
1.5 a 2.0
Ejes giratorios (esfuerzo de flexión con inversión): Aplicada gradualmente o constante…………….1.5
1
Aplicada repentinamente, con choque ligero….1.5 a 2.0
1.0 a 1.5
Aplicada repentinamente, con choque fuerte….2.0 a 3.0
1.5 a 3.0
De acuerdo con la teoría de esfuerzo cortante máximo, estos valores de S y
,
con Z y Z´ para árbol hueco (Di / D = B = diámetro interior dividido por el diámetro exterior) dan:
=
[
+(
+
)2 ]1/2
Donde F o B, o ambas pueden ser cero y es el esfuerzo de cálculo del Código. Tanto si se emplea como si no se emplea el Código, cuando haya que hacer varios proyectos análogos, conviene deducir una formula adaptada a la situación y reducirla a su forma más sencilla, como en la ecuación anterior. El código ASME específica para ejes de acero comercial
(permisible) = 8000 psi para ejes sin cuñero (permisible) = 6000 psi para ejes con cuñero El código ASME específico para ejes de acero comprados con especificaciones definidas
(permisible) = 30% del límite elástico sin sobrepasar el 18% del esfuerzo último en tracción, para ejes sin cuñero. Estos valores deben reducirse en 25% si existe cuñero. α = factor de acción de columna. El factor de acción de columna es la unida para campos de tracción. Para compresión, α puede calcularse mediante:
Dimensionado previo según Código ASME Este método fue establecido por la Asociación Americana de Ingenieros Mecánicos (ASME) en 1927 y fue reconocido hasta principios de los años 60. Su fundamento es teórico- empírico y fue empleado para proyectar árboles durante muchos años y, por ello, es una información que debe tener en su poder un proyectista mecánico que trabaje en el área del diseño de transmisiones. El Código ASME establece un valor de esfuerzo tangencial admisible, correspondiente a la más pequeña de las dos magnitudes siguientes;
Dónde: σft : esfuerzo límite de fluencia a tracción del material (MPa). σrt : esfuerzo límite de rotura a tracción del material (MPa). fCT :factor por concentración de tensiones. En caso de existir algún concentrador de tensiones, debido a un chavetero o una zona de transición por cambio de sección, debe de ser tomado fCT = 0,85. En caso de no existir un concentrador de tensiones fCT =1,0. La ecuación para el dimensionado previo según el Código ASME está basada en la teoría de fallo por el máximo esfuerzo cortante, para la cual es calculado un momento torsor equivalente:
Dónde: mte : momento torsor equivalente (Nmm).
CF : coeficiente modificador de la flexión. (Ver tabla 4) CT : coeficiente modificador de la torsión. (Ver tabla 4) Tabla 4- Valores de los coeficientes modificadores CF y CT.
Cálculo de Comprobación Según Norma ASME B106. La referida norma establece que el cálculo de resistencia a la fatiga sea verificado según:
Esta relación nos permite determinar el coeficiente de seguridad a la fatiga del material del árbol, en la sección analizada, empleando la siguiente ecuación:
Dónde: σae : esfuerzo de amplitud equivalente según criterio de Von Mises. (MPa) σme: esfuerzo medio equivalente según criterio de Von Mises.(MPa)
K : coeficiente modificador de la resistencia a la fatiga.
Los valores del esfuerzo límite por fatiga para un flector alternativo σ-1f y del esfuerzo límite por fluencia a tracción σft deben ser precisados para el material del árbol. En caso de árboles de acero, cuando sean desconocidos estos valores (o no se desee emplear la tabla 2), ellos pueden ser estimados según las siguientes relaciones, donde HB representa la dureza en Grados Brinell del núcleo de la sección analizada.
En caso de:
entonces debe ser empleado:
En caso de: σrt > 1389 Mpa, entonces debe ser empleado:
VIBRACION Y VELOCIDADES CRITICAS DE LOS ARBOLES El centro de gravedad de un cuerpo giratorio simétrico no coincide generalmente con su centro de rotación. La causa es que: (1) en la práctica es imposible conseguir que la masa este uniformemente distribuida alrededor del centro geométrico del cuerpo y (2) el árbol sobre el cual gira el cuerpo se deforma flexándose por efecto de la carga, desplazando al centro de gravedad fuera del eje verdadero, el cual pasa por el eje geométrico o línea central de los cojinetes. La rotación puede comenzar alrededor del eje geométrico, pero a una cierta velocidad, la fuerza centrífuga del centro de gravedad desplazado será igual a las fuerzas de deformación que actúan sobre el árbol; este con los cuerpos de que es solidario vibrara entonces violentamente, ya que la fuerza centrífuga varia de sentido cuando gira el árbol. A esta velocidad se la denomina crítica. Para una velocidad mayor que la crítica se vuelve a alcanzar un estado de equilibrio con funcionamiento normal uniforme, cuando el cuerpo gira virtualmente alrededor de su centro de gravedad (fuerzas centrifugas en equilibrio). Las turbinas de alta velocidad funcionan frecuentemente a mayor velocidad que la crítica. Se alcanzan sucesivamente velocidades críticas adicionales, armónicas, más altas que la velocidad fundamental, pero las amplitudes de las vibraciones correspondientes disminuyen progresivamente. Supongamos que la figura represente un árbol con cualquier número de cargas (se eligen tres cargas para la explicación) que deforman el árbol hasta la posición representada. Entonces la velocidad critica n, más baja, o fundamental viene dada por
=
[
∑ =
∑
= 981
]1/2
rpm
⁄
, o bien 386
Donde ∑ representa la suma de todos los términos y∑ representa la suma de todos los términos . En las dos ecuaciones anteriores la aceleración de la gravedad
esta expresada en unidades compatibles con las de y;
⁄ Así =981 si se expresan en W en kg e Y en cm, o bien ⁄ =386=12x32.2 si w en libras e y en pulgadas; pero siempre esta expresado en rpm. Para de determinar los valores de , etc., es adecuado el método gráfico, las deformaciones se hallan para las cargas estáticas, debidas a los pesos de las ruedas, engranajes, etc. Las deformaciones en centímetros o bien en pulgadas tomadas de este diagrama en los diversos puntos de aplicación de las cargas estáticas , etc. son los valores correctos de las y. Si se desea tener en cuenta el peso del propio árbol, se divide este en partes, se calcula el peso de cada parte, se considera el peso de cada una de estas partes como fuerza actuante a través de su centro de gravedad y se procede lo mismo que para un grupo de cargas concentradas. Cuando interviene un gran número de cargas, se tabulan las cargas, las deformaciones, los valores de y los de , para poder comprobar el proceso de cálculo con facilidad. Calculo de un eje Mediante el Código ASME Un eje recibe una potencia de 36 HP a 400 RPM mediante una polea A de 50 cm de diámetro, desde arriba según un ángulo de 45° como lo indica la figura. El 60% de la potencia lo transmite por medio de un engranaje C de 40 cm de diámetro y el 40% restante mediante otro engranaje D de 30 cm de diámetro. Ambos engranados tienen un ángulo de presión 20°. En B y E existen rodamientos. El eje debe ser fabricado con un acero recocido de resistencia: = 3000 ⁄ y = 4000 ⁄ , con chavetero en cada rueda dentada y polea. Determinar el diámetro del eje a la resistencia mecánica, aplicando el código ASME y usando = 1.5 y =1.5
Calculo de los momentos de torsión: =
= 6531.71 kg cm
=
= 3919.03 kg cm
=
= 2612.68 kg cm
Calculo de las fuerzas de flexión y de los momentos flectores Se supone para la correa que la fuerza de flexión es igual a dos veces la fuerza impulsora neta, o sea: = 2F =
=
=
=
x tg20° = 71.32kg
=
= 174.17 kg
=
x tg20° = 63.39kg
= 522.33kg
= 195.95kg
En una transmisión por correas, la fuerza de tracción en el ramal tirante F1 es mayor que la fuerza de tracción en el ramal flojo F2, por lo tanto el sentido de giro de la polea y de los engranajes es como se muestra en la figura. A continuación se muestra en tres dimensiones las cargas de flexión sobre el eje, siendo y las fuerzas de reacción en los cojinetes. Las fuerzas en el plano vertical YZ, están dadas por: = x sen45° = 369.48kg = - x cos30° sen30°= 205.35kg = - x cos30° + sen30°= -119.14kg
Para hallar las componentes así:
y
, se toman momentos con respecto al punto E,
(30cm + 44cm + 32cm) –
369.48 kg (30cm + 30cm + 44cm + 32 cm) + 205.35kg (44cm + 32cm) – 119.14kg (32cm) = 0 Despejando:
= -290.85 kg
Sumatoria de fuerza en el eje Y : 369.48kg – 290.85kg – 205.35kg – 119.14kg +
=0
= 245.86kg El diagrama de fuerzas cortantes y momentos flexionantes en el plano YZ, es como se muestra, de tal manera que: cm y M
M
= 11084.4 kg cm,
= 7867.62 kg cm
Las fuerzas en el plano horizontal XZ, están dada por: ==
x cos45° = - 369.48kg x sen30° x cos30° = 36.21 kg
M
= 13443.3 kg
=
x sen30° -
Calculo de
y
x cos30° = - 141.98kg
:
-369.48kg (30cm + 30cm +44cm + 32cm) + (44cm + 32cm) – 141.98kg (32cm) = 0 Despejando
= 490.94kg
-369.48 kg + 490.94 kg + 36.21kg – 141.98kg + = 15.69 kg
(30cm + 44cm + 32cm) + 36.21kg
=0
Los respectivos diagramas de fuerzas cortantes y momentos flexionantes se muestran en la figura, por lo que:
M
= 11064.4 kg cm ,
M
= 7440.6 kg cm y
M
= 503.12 kg cm. Los momentos de flexión resultantes en los puntos B, C y D se calculan así:
MB = √
= 15675.7 kg cm
MC = √
= 15365.05 kg cm
MD = √
= 7883.69 kg cm
El punto crítico esta en B, ya que en el ocurre el máximo momento de flexión. Se calcula entonces, el diámetro correspondiente al punto B y este será el diámetro proyectado para todo eje.
Según el código ASME, el esfuerzo cortante permisible de diseño, entre los dos valores siguientes: = 0.30 x
= 0.30 x 3000 kg/cm2 = 900 kg/cm2 o
=0.18 x
= 0.18 x 4000 kg/cm2 = 720 kg/cm2
, es el menor
Como existen cuñeros en el eje, entonces: =0.75 x 720 kg/cm2 = 540 kg/cm2 Utilizando la formula recomendada por la ASME, se calcula el diámetro para el punto B
= =
√ √
= 6.21 cm, que es el diámetro proyectado para todo el eje.
