2011_repartido_03_ soluciones

Física I pa p ara Licenciaturas de Física y Matemáticas

Facultad de Ciencias - Instituto de Física

FÍSICA I -Licenciaturas de Física y Matemáticas

PRÁCTICO Nº 3 - Dinámica de la partícula: fuerza y leyes de Newton Ejercicio 1.- Un objeto de 2,00 kg está sometido a las siguientes fuerzas en el plano xy : F 1 = 10,0 N; θ 1 = 3π /4; y F 2 = 5,00 N y θ 2 = 0; siendo θ el ángulo que forma la fuerza respecto al eje 0 x. En el instante t = t = 0 el el objeto está en el punto r0 = -6,00 m i + 3,00 m j y tiene una velocidad v0 = 2,00 m/s i + 4,00 m/s j a) Determine la aceleración que experimenta el objeto. b) Obtenga la posición y la velocidad en todo instante. c) Determine el módulo y la dirección de la fuerza F 3 necesaria para equilibrar el objeto.

Repartidos de ejercicios -2011 rev1

1

Física I pa p ara Licenciaturas de Física y Matemáticas


Ejercicio 2.- Considere los dos bloques de masas m1 = 10,0kg y m2 = 100 kg mostrados en las tres figuras, sometidos a una fuerza F = 450 N. Los coeficientes de fricción valen: µ E E = 0,350 (estático entre el piso y los bloques), µ C C = 0,300 (cinético entre el piso y los bloques), µ EB EB = 0,550 (estático entre los bloques), y µ CB CB = 0,450 (cinético entre los bloques). a) Para la configuración mostrada en la figura superior, hallar la fuerza de contacto y la aceleración de los bloques. b) Para la configuración mostrada en la parte central, verificar que los bloques no resbalan entre sí y calcular la aceleración de los mismos. c) Para la configuración inferior, determinar el valor de F min para que el bloque m1 no se caiga. Realic Realice e los diagramas diagramas de cuerpo cuerpo libre para cada cada uno de los bloques en cada una de las tres configuraciones.


F

m2

m1

m1 F

F

m2

m2

m1

2

Física I para Licenciaturas de Física y Matemáticas



3




4



Ejercicio 3.- Un obrero arrastra una caja por el piso de una fábrica jalando una cuerda atada a la caja. El obrero ejerce una fuerza de 450 N sobre la cuerda, la cual está inclinada a 38,0º sobre la horizontal. El suelo ejerce una fuerza resistiva horizontal de 125 N, como se muestra en la figura. Calcule la aceleración de la caja: a) si su masa es de 96,0 kg y b) si su peso es de 96,0 N.


5



Ejercicio 4.- Un bloque de masa M 2, descansa sobre un bloque mayor de masa M 1= 5,0M 2. El coeficiente de fricción estática entre el bloque pequeño y el grande es µ s = 0,40, el de fricción cinética es µ k ,2 = 0,30, y el de fricción cinética entre el bloque grande y el piso es

µ k, 1 = 0,50. Ambos bloques se mueven con una rapidez inicial v . ¿Se desliza el bloque pequeño sobre el grande? Calcule la aceleración de cada bloque.


6



Ejercicio 5.- En la figura, A es un bloque de 4,4 kg y B es un bloque de 2,6 kg. Los coeficientes de fricción estática y cinética entre A y la mesa son de 0,18 y 0,15. a) Determine la masa mínima del bloque C que debe colocarse sobre A para evitar que se deslice. b) El bloque C es levantado súbitamente de A. ¿Cuál es la aceleración del bloque A?


7



Ejercicio 6.- Un bloque de masa m 1 = 3,70 kg está sobre un plano inclinado de

m

1

ángulo θ = 28,0º, y unido por una cuerda sobre una polea pequeña, sin fricción y sin masa, a un segundo bloque de masa m 2 = 1,86 kg que cuelga verticalmente, a) ¿cuál es la aceleración de cada bloque? b) Halle la tensión en la cuerda.


m

θ

8

2



Ejercicio 7.- Un bloque de 7,96 Kg descansa sobre un plano inclinado a 22,0º; respecto a la horizontal, como lo muestra la figura. El coeficiente de fricción estática es de 0,250, mientras que el coeficiente de fricción cinética es de 0,150. a) ¿Cuál es la fuerza F mínima, paralela al plano, que impedirá que el bloque se deslice por el plano hacia abajo? b) ¿Cuál es la fuerza F necesaria para mover al bloque hacia arriba a v elocidad constante?

Ejercicio 8.- Tres bloques están unidos como se muestra en la figura sobre una mesa horizontal carente de fricción y son jalados hacia la derecha con una fuerza T 3 =6,5N. Si m 1 =1,2 kg, m 2 =2,4 kg, y m 3 =3,1 kg, calcule a) la aceleración del sistema y b) las tensiones T 1 y T 2 . Trace una analogía de los cuerpos que están siendo jalados en tándem, tal como si una locomotora jalara de un tren de carros acoplados.

a)

m1

T1

m2

T2

m3

T3

Como las cuerdas no se estiran, la aceleración del sistema es la misma. T 3 6,5 a= = = m1 + m 2 + m3 1,2 + 2,4 + 3,1 (m1+ m2+ m3)a = T 3 ⇒ 0,97015 m/s2

a = 0,97 m/s2 b) T1 = m1.a = (0,97015) (1,2) = 1,164 N T2 = (m1+ m2)a = (1,2 + 2,4) (0,97015) = 3,4974 N

T1 = 1,2 N T2 = 3,5 N

Cuanto más “vagones” tenga el tren, mayor debe ser la fuerza con que debe jalar la “locomotora”.


9



Ejercicio 9.- Una mujer tiene 65 kg de masa, y está parada en el interior de un elevador en una báscula de baño, calibrada en newton. Calcule la indicación o lectura de la báscula en cada uno de los casos siguientes, y explique, en términos de las fuerzas que actúan sobre la báscula, por qué da esas lecturas: a) el elevador está estacionario b) el elevador acelera hacia arriba a 2,0 m/s 2 c) el elevador acelera hacia abajo a 2,0 m/s 2 d) el elevador desciende con velocidad constante e) el elevador cae libremente al romperse su cable

Ejercicio 10.- Un disco de masa

m que está sobre una mesa sin fricción está atado a un cilindro colgante de masa M por medio de un cordón que pasa por un orificio de la mesa (véase la figura). Halle la velocidad con que debe moverse el disco en un círculo de radio r para que el cilindro permanezca en reposo.

a y mg

T T

a =0

x

N

2da. Ley del Newton al disco:

ma = T

A la pesa que está en reposo (a = 0) : Por tanto

a=

Mg

de donde a

Mg

0

v

2

r

=

Mg m

⇒ v

=

T

0 = N - mg

m

= T - Mg ⇒ T = Mg aceleración es centrípeta , a =

pero como la

m

=

v2 r

Mgr m

Ejercicio 11.- Un juego mecánico de feria llamado El rotor consiste de un tambor giratorio con piso móvil, que desaparece cuando el tambor gira rápidamente (véase la figura) en su interior, las personas se mantienen en las paredes gracias a la fricción.


10



El coeficiente mínimo de fricción esperado, entre las ropas de las personas y la pared es de 0,50 (¡No usar ropa de seda!). ¿Qué rapidez de rotación, en revoluciones por segundo (hertz), se requiere para que el piso pueda bajar? El radio del tambor es de 5,0 m.


11



Ejercicio 12.- Un pequeñísimo cubo de masa m se halla en el interior de un embudo (véase la figura) que gira alrededor de un eje vertical a una razón constante de v revoluciones por segundo. La pared del embudo forma un ángulo con la horizontal. El coeficiente de fricción estática entre el cubo y el embudo es µs y el centro del cubo está a una distancia r del eje de rotación. Halle: a) valor máximo de la frecuencia v, b) valor mínimo de la frecuencia v para los cuales el cubo no se moverá con respecto al embudo. c) Hallar los valores numéricos de la frecuencia máxima y mínima en Hz si: m = 10,0 g; θ = 50,0º; r = 4,50 cm y µs = 0,250.


12




13



Ejercicio 13.- La masa de la Tierra, MT = 5,98×1024 kg, equivale a aproximadamente 81 veces la masa de la Luna, ML. El radio medio de la Tierra vale R T = 6,37 ×106 m y la distancia media entre los centros de la Tierra y la Luna vale dc =3,82×108 m. a) ¿A qué distancia del centro de la Tierra las fuerzas de atracción de la Tierra y de la Luna se equilibran? b) ¿Cuánto se reduce la aceleración de la gravedad en un avión que vuela a 10 km de altura, en comparación con su valor en el aeropuerto? c) ¿A qué altura sobre la superficie terrestre la aceleración de la gravedad tiene la mitad del valor que en la superficie? ¿Cuál es el período de un satélite en órbita a esa altura?

F =

a) Fuerza de gravitación

Gm1m2 2

r

Sea x la distancia al centro de La Tierra que la fuerza gravitacional de la Tierra iguala al de la Luna

GmM T

F =

x

x

2d c M T

= =

x

2

=

GmM L

( d c − x )

⇒ ( d c − x ) 2 M T = x 2 M L ⇒ ( M T − M L ) x 2 − 2d c M T x + M T d c2 = 0

2

± ( 2d c M T ) 2 − 4( M T − M L )( M T d c2 ) 2d c ( 81 M L ) ± ( 2d c 81 M L ) 2 − 4(80 M L )(81 M L d c2 ) 162d = = 2( M T − M L ) 2(80 M L )

± (162 d c ) 2 − 4(80)(81d c2 )

162 d c

= 162

160

x1

=

x 2

=

162 +18 160 162 −18

1,125d c

±

26244 − 25920 160

1,125(3,82 ×10 8 )

=

d c

= 0,900d c = 0,900(3,82 ×108 ) = 3,44 ×10 8 m

=

= 162

±

324

160

d c

= 162

±18

d c

160

4,30 ×10 8 m

d c

=

d c

160 Estos dos valores representan las distancias en que las fuerza de atracción de la Tierra y la Luna se igualan. Sin embargo, el valor en que se cancelan (equilibran) es x 2, pues en ambos casos es atractiva hacia el centro del astro.

Distancia en que se equilibran las fuerzas gravitacionales de la Tierra y la Luna: x

GM T m

b) F =

2

r

GM T m

=

⇒ g (h) =

( RT + h ) 2

GM T

⇒

( RT + h ) 2

g (h) g (0)

= 0,900d c = 3,44 ×108 m 2

 RT  ( RT ) 2    = = 2 2 + R h ( RT + h ) GM T ( RT + h )  T  GM T

2

2 2    RT   6,37 ×10 6 6,37  g ( h ) =   g (0) = 0,99687 g (0) ⇒ ∆g = −0,313%  R + h   g (0) =  6,37 ×10 6 + 0,01 ×10 6   g (0) =  6,38    T   

c) h

2

 R  1 R =  T   = ⇒ T = g (0)  RT + h  RT + h 2

g (h)

=

(

2

1 2

= F =

T = 2π

RT

+h

RT

=

2

⇒h=(

2

− 1) RT

)

1 RT =2,64 ×106 m

−

Periodo de un satélite a esa altura r = RT + h=

ma c

⇒

(

GM T m r 2 2 RT

)

GM T

⇒ ω r = 2

GM T r 2

(

3

= 2π

2

GM 2π ⇒     = 3 T ⇒ T 2 = r  T 

2 (6,37 ×10 6 )

(6,67 ×10


2 RT

−11

)

4π 2 r 3 GM T

⇒ T = 2π

3

)(5,98 ×10

24

)

= 8506,44 s

T = 2π

r 3 GM T

(

= 2π

2 RT

)

GM T

(

2 RT

)

3

GM T

3

= 8,51 × 103 s

14



Ejercicios Opcionales O.1.- Una cuña en triángulo rectángulo de masa M y ánguloθ , que soporta un pequeño bloque de masa m sobre su lado, descansa sobre una mesa horizontal, como se muestra en la figura. a) ¿Qué aceleración horizontal a deberá tener M con relación a la mesa para mantener a m estacionaria con respecto a la cuña, suponiendo contactos carentes de fricción? b) ¿Qué fuerza horizontal F deberá ser aplicada al sistema para obtener este resultado, suponiendo que la cubierta de la mesa no tenga fricción? c) Suponga que no se imprime fuerza alguna sobre M y que ambas superficies carecen de fricción. Describa el movimiento resultante.

c) Diagramas de cuerpo de libre con las aceleraciones experimentadas en la cuña y el bloque:

y A

y N A

x

N θ

Mg

Según x : Según y :

N1

-MA = -N senθ (1) 0 = N 1 – Mg

De (1): A =

Nsenθ M

x

θ mg

a

-mA+ ma.cosθ = N senθ (2) -ma.senθ = -mg + N cosθ y de (3):

a=

(3)

mg − N cos θ msenθ

Sustituyendo en (2):


15


-m


Nsenθ M

+m

mg − N cos θ msenθ

cosθ = N senθ

  cos 2 θ m cos θ  + θ sen Ν  senθ + = mg   senθ M senθ   sen 2θ + cos 2 θ + m sen 2θ  = N  1 + m sen 2θ  =     senθ  M  senθ  M  N

mg

cos θ

senθ

mg cosθ De donde: N = m 2 1+ sen θ M mg cosθ senθ mg . senθ . cos θ . Nsenθ Por tanto: A = = m M = 2 2 sen θ 1+ M M + m. sen θ M m g − g sen 2θ − g cos 2 θ g mg cosθ cosθ − . M mg − N cos θ a= = senθ = m m.senθ = 2 m sen θ 1+  2  msenθ senθ 1 + sen θ  M  M 

m g .(1 − cos 2 θ ) − g sen 2θ M  m sen 2θ  senθ 1 +   M 

(

) − g m sen 2θ

g . sen 2θ a=

M

 m sen 2θ  senθ 1 +   M 


 

g . sen 2θ 1 − =

  M  m

 m sen 2θ  senθ 1 +   M 

 

g . senθ 1 − =

1+

m M

  M  m

sen 2θ

16



O.2.- Los automóviles pueden tomar las curvas de una carretera con una rapidez mucho mayor si la carretera está inclinada, o peraltada, y no horizontal a) Una carretera da vuelta en un círculo de radio R = 1,0 km, y tiene θ = 5,0º de ángulo de peralte. ¿Qué rapidez v 1 debe tener el vehículo para que no haya fricción, perpendicular al movimiento, entre los neumáticos y pavimento? b) Si el coeficiente de fricción estática entre los neumáticos y pavimento es µ s = 0,40, ¿cuál es la rapidez máxima, v máx , con la que el automóvil puede correr en la curva? ¿Cómo se compara con la rapidez máxima en una carretera horizontal? c) ¿Qué sucede si la rapidez del automóvil es menor que v 1? ¿Bajo qué condiciones hay una rapidez mínima con la que debe circular por la curva?


17



O.3.- Una bola de 1,34 Kg está unida a una varilla vertical rígida por medio de dos cordones sin masa, cada uno de 1,70 m de longitud. Los cordones están unidos a la varilla con una separación entre sí de 1,70 m. El sistema está girando con respecto al eje de la varilla, quedando ambos cordones tirantes y formando un triángulo equilátero con la varilla, como se muestra en la figura. La tensión en el cordón superior es de 35,0 N. a) Halle la tensión en el cordón inferior. b) Calcule la fuerza neta sobre la bola en el instante mostrado en la figura. c) ¿Cuál es la velocidad de la bola?


18



O.4.- Hoja de cálculo La fuerza neta sobre un proyectil sujeto a la resistencia del aire está dada por: - mg j – bv, donde b es el coeficiente de arrastre (interacción entre el aire y el proyectil), y v es la velocidad. Si se elige que el eje y sea positivo en dirección hacia arriba y el origen el punto de disparo, las coordenadas

x (t ) =

del proyectil en función del tiempo están dadas por

y (t ) =

g + bv0 y b2

v 0 x b

(1 − e − ) bt

(1 − e −bt ) − g t b

Derive las expresiones anteriores para demostrar que las componentes de la velocidad y de la aceleración están dadas por

v x (t ) = v 0 x e −bt

; v y (t ) =

g + bv0 y b

e−

bt

−

g b

;

a x (t )

bt

bv0 x e −

=−

;

a y (t )

( g +bv0 y )e

=−

bt

−

Escriba una hoja de cálculo para determinar las coordenadas x(t) e y(t) y las componentes de la velocidad, para el modelo correspondiente a sin resistencia del aire y con resistencia del aire; y grafique las trayectorias. Trabaje con los siguientes valores n uméricos: Caso 1- v0 = 10 m/s, θ = 45º, b = 0,5, t final = 1,50 s y ∆t = 0,01 s. Caso 2- v 0 = 45 m/s, θ = 60º, b = 0,248, tfinal = 8,00 s y ∆t = 0,01 s. (correspondiente a la figura R.H.K. 5 .16).

Ver los resultados en la planilla Excel: Movimiento de proyectil con resistencia del aire.


19



EXÁMENES Y PARCIALES O.5- Examen Febrero 2009 - Un bloque de masa m descansa sobre la orilla izquierda de un bloque de longitud L y masa M. El coeficiente de fricción cinético entre los bloques es y la superficie donde descansa el bloque M carece de fricción. Una fuerza horizontal constante F se aplica al bloque m poniéndolo en movimiento. a) Calcular la distancia que recorre el bloque M hasta que el bloque m llegue al otro extremo de este. b) Si una vez que m llega al extremo se quita quedando m en reposo respecto de M, calcular la velocidad final del sistema conjunto. (Nota: ambos bloques se ponen en movimiento en cuanto se aplica F )


F

m F

M

L

20



O.6-Examen Diciembre 2005- Un físico del planeta Mongo usa un artificio equivalente a la máquina de Atwood (se supone que la polea es completamente lisa y no rota), para medir la aceleración gravitacional en su mundo, g M. Fija una masa de M = 0,250 kg en cada extremo de la cuerda. Estando ambas en reposo, coloca un cro (una criatura de Mongo semejante a un sapo pero capaz de desmaterializarse y desaparecer) de m = 0,0250 kg en una de las masas. Ese cuerpo y su granuloso pasajero descienden una distancia d1 = 0,500 m y en ese instante el cro se desmaterializa. La masa, ya sin el cro, continúa cayendo hacia abajo una distancia d2 =1,20 m durante un tiempo t2 =3,00 s. ¿Cuánto vale gM en m/s2?

M

a) 3,36

M

b) 5,28

c) 4,64

d) 3,62

e) 4,00

2da. Ley de Newton a la Masa M sin el cro (asciende con aceleración a)

T = M (a + g M )

M a = T – M gM

Sobre la otra masa M, que tiene el cro de masa m: (M+m) a = (M + m) g M – T = (M + m) g M - M(a + g M ) (2M+m) a = (M + m) g M

a

=

m + g M

2 M + m

Cuando desciende una altura d 1, su velocidad será v 1 (al cabo de un tiempo t 1) 1 h1 = at 12 v1 = at 1 2 Al desmaterializarse el cro, el sistema baja con velocidad constante (v 1), durante un tiempo t 2, en el cual recorre una distancia d 2.

= v1t 2

h2

h1

h1

=

1 2

at 12

2

=

=

h2

v1

t 2

=

h2 t 2

= at 1

t 1

=

h2 t 2 a

2

 h2  h22 = a  = 2 2  t 2 a   2at 2 1

h22

=

g M

v1

mg M

=

(2 M + m)h22 2mg M t 22

2 2

t 2 M + m (2 M + m) h22 2 1 2

2 mh t

=

( 2 × 0,250 + 0,025)(1,20) 2 2(0,025)(0,500)(3,00)


2

= 3,36 m/s

2

21



O.7-Examen Diciembre 2006- Una partícula de masa m, realiza un movimiento circular de radio R en el plano horizontal, unida a un resorte de constante elástica k (desconocida) y longitud natural y masa despreciables, como se muestra en la figura. Si la distancia vertical AB vale H, determinar la velocidad angular. gH

a) ω =

R H

2

b)

+ R 2

H 2

4 gH

=

R H

g

c) ω =

ω

2da. Ley de Newton: Dirección radial (er) Dirección vertical (k)

+ R 2

g

d) ω =

+ R 2

2

e) ω =

H

g R

kx

-mar = -kx cosθ 0 = kx senθ - mg mg

De la última igualad resulta k =

k

xsenθ Sustituyendo en la primera, y teniendo en cuenta que la aceleración centrípeta vale ω2R mg mg mgR = = mg mgR x cos θ = tg θ H m(ω2R) = H ⇒ mω2R= xsenθ H R

er

ar mg

g

ω =

De donde:

θ

H

O.8-Parcial 2008- Un plano inclinado de ángulo con respecto a la horizontal = 30,0º y altura h = 0,500m, está fijo sobre una mesa de altura H = 1,20m y con su extremo coincidiendo con el de la mesa, como se muestra en la figura. Se suelta una masa m = 1,00 kg, y desliza sobre la superficie del plano, la cual es rugosa con coeficiente de fricción = 0,150. La distancia R en metros, a la que cae la masa vale: a) 0,794 d) 0,688

1

+ µ mg cosθ L = mgh

mv 2

2

v=

 

2 gh1 − µ

H = vsenθ t +

R

=

b) 0,877 e) 0,913

c) 0,838

L

=

h senθ

senθ 



cos θ  1 2

gt t = 2

− vsenθ + ( vsenθ ) 2 − 4 1 g (− H ) 2

1

t =

− vsenθ + ( vsenθ ) 2 + 2 gH

2 g 2

g

v cos θ t

h (m) 0 0,15 0,25 0,2 0,35 0,1

0,6 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

(º)

H (m) 1,8 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2


Sen 30 30 30 30 30 30

cos

v (m/s) t (s)

R (m)

0,50,866025404 3,42929 0,45588 1,35388 0,50,866025404 2,6933 0,37618 0,87743V1 0,50,866025404 2,35722 0,38901 0,79413V2 0,50,866025404 2,53085 0,38232 0,83795V3 0,50,866025404 1,96445 0,40469 0,68849V4 0,50,866025404 2,8465 0,37051 0,91337V5

22

B A C D E

2011_repartido_03_ soluciones

Recommend Documents