UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA Maestría en Ingeniería Civil Dinámica de Estructuras
RESOLUCION DE LA TAREA N° 01
Nombre: Nombre: Wilfredo André Laura Collanqui Collanqui
Cogido: 2015053776
Problema 1 (5 puntos) Deducir la ecuación del movimiento de un sistema de un grado de libertad en vibración libre con amortiguamiento. Escribir un programa en Matlab para calcular y graficar las respuestas de desplazamiento, velocidad y aceleración. Considerar los 3 casos posibles: vibración libre con amortiguamiento subcrítico, crítico y supercrítico. Presentar ejemplos y gráficos.
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Problema 2 (4 puntos) Se tiene un pórtico de concreto armado (E = 2,2x10 6 tonf/m2). Las columnas son C1 (30 cm x 50 cm) y C2 (30 cm x 60 cm) que se somete a vibración libre. La amplitud de las oscilaciones después de 25 ciclos decrece a 1/30 de la amplitud inicial que es de 5cm. Considere H 1=5,00 m; H2 = 3,50 m; L = 4,00 m y m = 9 ton. Vea la figura 1. Calcular (a) la rigidez de total del sistema, (b) la frecuencia circular y natural, (c) periodo de vibración del sistema, (d) el decremento logarítmico, (e) la razón de amortiguamiento, (f) frecuencia amortiguada y (g) graficar las respuestas de desplazamiento, velocidad y aceleración del sistema para vibración libre.
Figura 1. Pórtico propuesto
Se adjunta la resolución del Problema en Físico
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UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA Maestría en Ingeniería Civil Dinámica de Estructuras PROGRAMACION EN MATLAB
% MAESTRIA EN INGENIERIA CIVIL MENCION EN ESTRUCTURAS % CURSO: DINAMICA DE ESTRUCTURAS % ALUMNO: WILFREDO ANDRE LAURA COLLANQUI % TRABAJO N° O1 DINAMICA ESTRUCTURAL % PROBLEMA N° 02 E = 2.2*(10^6); % Modulo de Elasticidad tonf/m2 H1 = 5; %Altura de la columna Articulada (m) H2 = 3.5 ; %Altura de la Columna Empotrada (m) I1 =.3*.5^3/12; %Inercia de Columna Articulada (m4) I2 =.3*.6^3/12 ; %Inercia de Columa Empotrada (m4) k = 3*E*I1/(H1^3)+(12 *E*I2/(H2^3)) %El sisteme tiene una columna articulada y una Columna Empotrada %por lo tanto k = 3EI1/(H1^3) + 12EI2/(H2^3) g = 9.81; % Gravedad m/s2 m = 9; % masa ton u0 = 0.05; % desplazamiento inicial u0p = 0; % velocidad inicial % Calculo de las propieades dinamicas wn = sqrt(k*g/m) % frecuencia circular natural Tn = 2*pi/wn % periodo natural fn = 1/Tn % frecuencia natural n=25; % N° de Ciclos uf=u0/30; %Amplitud despues de 25 ciclos xi = (1/(2*pi*n))*(log(u0/uf)) % razon de amortiguamiento delta = 2*pi*xi % decremento logaritmico wD = wn*sqrt(1-xi^2) % frecuencia circular amortiguada TD = 2*pi/wD; % periodo amortiguado fD = 1/TD; % frecuencia amortiguada % Calculo de la respuesta de desplazamiento A = u0; B = (xi*wn*u0 + u0p)/wD; C = sqrt(A^2 + B^2); theta = atan(B/A); % Grafico de la respuesta de desplazamiento para vibracion libre entonces % xi=0 xi=0; t = (0:0.005:2)'; % eje del tiempo u = C*exp(-xi*wn*t) .* cos(wD*t - theta); % rpta. de desplazamiento % La multiplicacion .* se realiza elemento a elemento % Grafico de la respuesta de velocidad para vibracion libre xi=0 t = (0:0.005:2)'; % eje del tiempo upt = -xi*wn*C*exp(-xi *wn*t) .* cos(wD*t - theta)-C*wD*exp(-xi*wn*t) .* % rpta. de velocidad
sin(wD*t - theta);
% Grafico de la respuesta de aceleracion para vibracion libre xi=0 t = (0:0.005:2)'; % eje del tiempo uppt = -xi*wn*upt-C*wD*(-xi*wn*exp(-xi*wn*t) .* sin(wD*t - theta)+wD*exp(-xi*wn*t) .* cos(wD*t - theta)); % rpta. de aceleracion % La multiplicacion .* se realiza elemento a elemento figure subplot(3,1,1); plot(t, u); grid on; title('Respuesta de desplazamiento del OVE1GDL para Vibración Libre'); xlabel('t seg'); ylabel('u(t) m'); subplot(3,1,2); plot(t, upt); grid on; title('Respuesta de velocidad del OVE1GDL para Vibración Libre'); xlabel('t seg'); ylabel('uop(t)'); subplot(3,1,3); plot(t, uppt); grid on; title('Respuesta de aceleracion del OVE1GDL para Vibración Libre'); xlabel('t seg'); ylabel('ü(t)');
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Problema 3 (4 puntos) Un aparato de aire acondicionado que pesa 1200 lb se atornilla en medio de dos vigas paralelas de acero simplemente apoyadas (figura 2). La luz libre de las vigas es de 8 pies. El momento de inercia de la sección transversal de cada viga es de 10 pulg 4. El motor de la unidad funciona a 300 rpm y, a esta velocidad, produce una fuerza vertical desbalanceada de 60 lb. Desprecie el peso de las vigas y suponga 1% de amortiguamiento viscoso en el sistema. Para el acero E = 30,000 ksi. Co nsidere la fuerza desbalanceada y determine las amplitudes de la respuesta de régimen de desplazamiento y aceleración (en g’s) para las vigas en sus puntos medios.
Datos del Problema: Peso Módulo de Elasticidad Momento de Inercia Longitud de cada viga Fuerza en el Centro Amortiguamiento Gravedad
w = 1200 lbs E = 30,000 Ksi I = 10 pulg4 L = 8 Pies P = 60 lb = 1% g = 386 pulg/seg2
Solución:
∗ ./ ∗∗ ∗ . /
Hallamos la frecuencia Que produce el motor:
Hallamos la rigidez del sistema: Por ser dos Vigas las que sostienen al motor la rigidez es l a siguiente:
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Calculamos la frecuencia Natural el Sistema:
Calculamos la Relación de Frecuencias β
Calculamos el factor de Modificación Dinámica Rd:
/ . / . . . . √ + √. + ∗.∗. . ∗ ∗ . ∗. . . ̈ ∗ / ∗. ./ ̈ . ∗/ ̈ . ∗−
1. La amplitud de la respuesta de régimen de desplazamiento será:
2. La amplitud de la respuesta de régimen de la aceleración será:
Como la Gravedad es:
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PROGRAMACION EN MATLAB
% % % % % %
UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA MAESTRIA EN INGENIERIA CIVIL MENCION EN ESTRUCTURAS CURSO: DINAMICA DE ESTRUCTURAS ALUMNO: WILFREDO ANDRE LAURA COLLANQUI TRABAJO N° O1 DINAMICA ESTRUCTURAL PROBLEMA N° 03
% PROGRAMACION EN MATLAB E = 3*(10^7); % Modulo de Elasticidad psi g = 386; % pulg/seg2 peso = 1200; %Peso 1200 lbs I =10; %Momento de Inercia pulg4 L= 8; %Longitud pies xi=0.01; % Amortiguamiento m = peso/g; % masa Po= 60; %Fuerza desbalanceada lg % Calculo de las propieades dinamicas k = (2*48*E*I/(L*12)^3) %El sisteme tiene 2 Vigas el la carga se produce en el centro %de la luz por lo tanto la rigidez es el doble wn2=k/m wn = sqrt(wn2) % frecuencia circular natural w = (300/60)*2*pi %Frecuencia que produce el Motor Tn = 2*pi/wn % periodo natural fn = 1/Tn % frecuencia natural beta = w/wn % Relacion de Frecuencia Rd= 1/((1-(beta^2))^2+(2*xi*beta)^2)^.5 % Factor de Modificacion Dinamica uest= Po/k %Desplazamiento Estatico pulg uo= uest*Rd Uacel= (w^2)*uo/g de "g"
% Amplitud de la Respuesta de Regimen de Desplazamiento pulg % Amplitud de la Respuesta de Regimen de la Aceleracion pulg en terminos
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Problema 4 (7 puntos) Determinar la respuesta del tanque elevado, mostrado en la figura 3, sometida a la excitación con un periodo de 0,64 segundos como se muestra en la figura 4. Considerar una razón de amortiguamiento del 10%. Considere la excitación como periódica.
Figura 3 y 4. Deposito elevado propuesto y función de excitación
Elabore un programa en Matlab para calcular y graficar la respuesta de desplazamiento del sistema. ¿Cuántos términos de la serie de Fourier serán necesarios para obtener una estimación razonable del desplazamiento?
00 ∞ 4 3 + ∑[= 2 + 2 ] ∞
Después de realizar la integración por las series de Fourier obtenemos lo siguiente:
4 32 +2 ∗∑= (1 ()1) +22
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% UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA % MAESTRIA EN INGENIERIA CIVIL MENCION EN ESTRUCTURAS % CURSO: DINAMICA DE ESTRUCTURAS % ALUMNO: WILFREDO ANDRE LAURA COLLANQUI % TRABAJO N° O1 DINAMICA ESTRUCTURAL % PROBLEMA N° 04 %Determinar la Respuesta del tanque elevado, mostrado en la figura 03, %sometida a la excitacion con un periodo 0.64 seg, considrar un %amortiguamiento del 10%, considere la excitacion periodica % PROGRAMACION EN MATLAB % DATOS DEL PROBLEMA xi = 0.10; k = 100000; m = 98000; p0 = 120000; T0 = 0.64; nter = 500;
% % % % % %
razon de amortiguamiento 10% rigidez kp/cm (kp = kilopondio = kilogramo fuerza) masa kp amplitud de la carga kp periodo de la carga periodica numero de terminos de las series de Fourier
% PROPIEDADES DEL SISTEMA wn = sqrt(k/(m)); % frecuencia circular natural w0 = 2*pi/T0; % frecuencia de la carga periodica Tn = 2*pi/wn; % periodo natural % CARGA PERIODICA t = (0: 0.001: 4)'; np = size(t,1); % numero de puntos p = zeros(np,1); % inicializa el vector p(t) u = zeros(np,1); % inicializa el vector u(t) %LUEGO DE RESOLVER LA INTEGRAL DE LA CARGA PERIODICA OBTUVIMOS LA SIGUIENTE ECUACION: % a0=0, aj = 0 y bj = ((4Po)/(?j)^2)(sen(?j/2)-sen(3?j/2)) for j = 1:nter wj = j*w0;
% bucle desde 1 hasta el numero de terminos % frecuenca wj
% Carga p(t) pj = (4*p0/((j*pi)^2))*(sin(.5*pi*j)-sin(pi*j*1.5))* sin (wj*t); p = p + pj; % acumulador de p(t) % Desplazamiento u(t) betaj = wj/wn; % relacion de frecuencias para wj den = (1-betaj^2)^2 + (2*xi*betaj)^2; fac = ((4*p0/((j*pi)^2*k)))*(sin(.5*pi*j)-sin(1.5*pi*j))/den; uj = fac*((1-betaj^2)*sin(wj*t)-2*xi*betaj*cos(wj*t)); u = u + uj; % acumulador de u(t) end figure; subplot(2,1,1); plot(t,p); grid on; title('CARGA PERIODICA vs TIEMPO'); xlabel('t seg'); ylabel('p(t) kp'); subplot(2,1,2); plot(t,u); grid on; title('RESPUESTA DE DEZPLAZAMIENTO vs TIEMPO'); xlabel('t seg'); ylabel('u(t)');
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Grafico en Matlab
El número de términos de la serie de Fourier necesarios para obtener una estimación razonable del desplazamiento es de 1 termino, ya que la funciones son de senos, en cambio para tener un gráfico parecido al de cargas con 10 términos bastarían.