´ DE PRIMER GRADO ECUACION ´ Melgarejo profesor: Nicolas
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1.
Relacion o ´n de igualdad
En Matem´ atica cuando dos expresiones tienen el mismo valor o representan lo mismo, diremos que atica existe una relaci´on on de igualdad entre ellas. Algunos ejemplos: x = y + z a2 + 3 = a + 5
El ´area area de un tri´angulo angulo equil´ atero puede escribirse de dos formas por lo menos. La primera es una expresi´on atero on que depende de la base y la altura. b·h
A =
2
La otra es en base a la medida de su lado a
√
3 2 a 4 Como ambas expresiones representan exactamente lo mismo, existe una relaci´on on de igualdad entre ellas, entonces A =
b·h
2
2.
=
√
3 2 a 4
Ecua Ecuaci cion ones es
Se denomina ecuaci´ on a una igualdad en donde una o m´ on as variables tienen un valor as desconocido. A estas variables desconocidas se les llama inc´ ognitas ognitas y es costumbre representarlas con las ultimas u ´ ltimas letras del alfabeto, pero ning´ un un caso representa una 1 obligaci´ on on . Por ejemplo:
−3x + 18 = 0
Es una ecuaci´on on porque hay una igualdad en donde se desconoce el valor de una de las variables. Por simple inspecci´on on podr´ podr´ıamos reconocer que el valor de x para que la igualdad sea cierta es x = 6, ya que −3(6) + 18 = −18 + 18 = 0 2.1. 2.1.
Elem Elemen ento toss de una una ecua ecuaci ci´ ´ on on
En las ecuaciones podemos identificar algunos elementos generales que las componen: ponen : miembro, m iembro, t´ermino ermino y grado. gr ado. 2.1.1. 2.1.1.
Miem Miembro
Se denomina primer miembro de una ecuaci´on on a la expresi´on on que est´a a la izquierda de la igualdad, y se llama segundo miembro a la expresi´on on que est´a a la derecha de la igualdad. 1
¿Por qu´e la x es la inc´ ognita? ognita? La x nace de la palabra ´ arabe arabe para representar representar una cantidad num´ erica erica no conocida, esta palabra era shei . Los escritores griegos que traduc´ traduc´ıan textos matem´ aticos aticos ´ arabes, por una cuesti´ arabes, on on de simplicidad, la tradujeron como xei , mucho m´ as a s f´ acil acil de leer en el alfabeto hel´ enico. enico. Con el tiempo los c´ alculos fueron ganando complejidad alculos y xei se fue acortando hasta convertirse en una x. Es as´ as´ı que hoy en d´ıa, en matem´ aticas y muchos otros lados, utilizamos aticas la x para representar una inc´ ognita. ognita.
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2.1.2.
T´ ermino ermino
Cada miembro est´ a formado por t´ on o n (+) y t´ erm er minos in os que se conectan mediante los sinos de adici´ sustracci´ on on (−) 2.1. 2.1.3. 3.
Grad Grado o
En una ecuaci´on on con una sola inc´ognita ognita le llamamos grado al mayor exponente al que est´a elevada la inc´ ognita. ognita. La ecuaci´ on on 3 x − 3 = 12 5 es una ecuaci´on on de primer grado porque la inc´ognita ognita est´ a elevada a 1. En cambio la ecuaci´ on on 5x2 − 12x − 3 = 0
es una ecuaci´on on de segundo grado ya que la inc´ ognita ognita est´ a elevada a 2. 2.1.4.
Ra´ Ra´ ıces
Los valores que satisfacen la igualdad se les llama ra´ıces. ıces. Para el caso de una ecuaci´ on on de primer grado la ra´ız ız es unica, u ´nica, en cambio para una ecuaci´ on on de segundo grado pueden haber hasta 2 ra´ ra´ıces. 2.2. 2.2.
Princi Principio pioss fundam fundamen ental tales es para resolv resolver er una ecuaci´ ecuaci´ on o n de
1
er
grado
, Diremos que resolvemos una ecuaci´ on cuando hallamos los valores de las inc´ognitas on ognitas que satisfacen la igualdad, es decir, sus ra´ıces. ıces. Para lograr esto debemos considerar una serie de principios de procedimiento: Si a ambos miembros de una ecuaci´ on on se s e les le s suma sum a o resta un mismo m ismo t´ermino ermino (num´erico erico o algebrai a lgebraico), co), la igualdad se mantiene. Si a ambos miembros de una ecuaci´ on on se les l es multipli mul tiplica ca o divide di vide por un mismo m ismo t´ermino ermino (num´erico erico o algebraico) positiva o negativa, la igualdad se mantiene. Si ambos miembros de una ecuaci´on on se elevan a una misma potencia real, la igualdad se mantiene. Si a ambos miembros de una ecuaci´ on on se les extrae una misma ra´ ra´ız, la igualdad se mantiene. Podemos entender las ecuaciones como una balanza en equilibrio. Cada vez que agregamos o quitamos a un lado, debemos compensarlo al otro lado en la misma forma para que la balanza siga en equilibrio.
Algunas consecuencias de los principios de procedimiento para resolver una ecuaci´on on son: Calquier Calqui er t´ermino ermino de una ecuaci´on on puede pasarse de un miembro a otro invirtiendo su signo. Los t´ erminos erminos iguales iguales con el mismo signo en diferent diferentes es miembros miembros de una ecuaci´ ecuaci´ on, se cancelan o suprimen. Los signos de todos t odos los t´erminos erminos de una ecuaci´ on se pueden cambiar sin afectar la igualdad. on
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¡Mira!
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2.2.1. 2.2.1.
Pasos asos genera generales les
Para la resoluci´on on de ecuaciones de primer grado con una inc´ognita ognita se recomienda seguir los siguientes pasos, que despu´ es es de ejercitar lo suficiente se incorporar´ an en la forma de proceder. an 1. Se realizan las operaciones indicadas en la igualdad y se simplifican los t´erminos erminos semejantes 2. Se trasladan los t´ erminos erminos conocidos conocidos a un lado de la igualdad igualdad y las variables ariables desconocidas desconocidas al lado opuesto. 3. Se reducen los l os t´erminos erminos semejantes nuevamente nuevamente 4. Se despeja la inc´ ognita dividiendo ambos miembros de la ecuaci´ ognita on por el coeficiente de la inc´ognita. on ognita.
Ejemplo
Hallar el valor de x para el que la siguiente igualdad se cumple:
10x = 16x − 30 Soluci´ on: on: Siguiendo los pasos generales se obtiene
10x = 16x − 30
0 = 16x − 30 − 10x
30 = 16x − 10x
30 = 6x 30 6x = 6 6 5 = x
Entonces el valor de x para el cual la igualdad se cumple es x = 5. De hecho si en la igualdad reemplazamos 5 nos queda: 10(5) = 16(5) − 30 50 = 80 − 30 50 = 50 Con esto verificamos que 5 es la ra´ ra´ız de la ecuaci´ on. on.
3.
Ecuaciones num´ num´ ericas ericas
Se denomina ecuaci´ on on num´erica erica a aquella a quella donde los t´erminos ermino s conocid con ocidos os de una ecuaci´ e cuaci´ on on sean n´ umeros umeros reales, y por lo tanto la soluci´ on on es un n´ umero umero real.
Ejercicios
1
Hallar la ra´ ra´ız de las siguientes ecuaciones:
4
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1. 8x + 2 = 4
8.
2. 12x = 20x − 18
9. x − (2x + 1) = 16 − (2x + 3) 10. (10 − 6x) − (16x + 12) 12) = −(5x − 6)+(12+ x)
3. y − 10 = 3 + 50
11. 3x − (4x − [12 − 16x] + 5) + (7x + 14)
4. 10y − 100 = −21 + y
4.
−8x − 10 = −3 − x
5. 3x + 8x − 1 = 12x − 42
12. x − [ 5 + 3x − (12 − 9x)] = 30x + [−(6x + 4) − (x + 3)]
6. 32x − 6 + 8 x = 24x + 3x + 21
13. 2(x − 1) = 6 − 3(2x − 3)
7. 4x − 10x + 21x − 11x =
14. 18(x + 4) = 11(4 − x)
−14x + 21x − 13x − 114
Plan Plante teo o y resol esoluc uci´ i´ on o n de prob proble lema mass que que inv involuc olucre ren n ecua ecuaci cion ones es de primer grado con una inc´ ognita ognita
Plantear un problema escrito en lenguaje natural como una ecuaci´ on es uno de los aspectos que hace on m´ as as imprescindible al ´algebra algebra como herramienta para estudiar la naturaleza y describir sus fen´omenos. omenos. Para plantear una ecuaci´on on de un problema necesitamos extraer del enunciado la informaci´ on on relevante como variables, constantes e inc´ognita, ognita, luego de eso debemos identificar c´ omo se relacionan omo relacionan las variables. ariables. Para entenderlo mejor presentamos el siguiente ejemplo. Ejemplo
1. La suma de las edades de 3 personas es 88 a˜ nos. La mayor tiene 20 a˜ nos m´ as que la menor y la del as medio 18 a˜ nos menos que la mayor. ¿Cu´al al es la edad de las tres personas?
nos nos m´ as as que la menor, Soluci´ on: on: Digamos que la edad de la mayor es x . Como la mayor tiene 20 a˜ diremos que la edad de la menor es x − 20. La persona del medio tiene 18 a˜ nos menos que la mayor, nos esto es x − 18. Sabemos que la suma de estas tres edades es 88: x + (x − 20) + (x − 18) = 88 x + x − 20 + x − 18 = 88
3x − 38 = 88
3x = 88 + 38 3x = 126 x = 42
Por lo tanto: La edad de la mayor es x = 42. La edad de la del medio es x − 18 = 42 − 18 = 24.
La edad de la menor es x − 20 = 42 − 20 = 22.
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2. La suma de 3 n´umeros umeros enteros consecutivos es 117. ¿Cu´ ales ales son los n´ umeros? umeros? umeros enteros consecutivos pueden ser escritos como x, x + 1 y x + 2. Nos dicen umeros Soluci´ on: on: Tres n´ que la suma es 117, por lo tanto: x + (x + 1) + (x + 2) = 117 x + x + 1 + x + 2 = 117
3x + 3 = 117 3x = 117 − 3 114 x = 3 = 38 Los tres n´ umeros umeros ser´an an x = 38, x + 1 = 39 y x + 2 = 40.
Ejercicios
2
1. Hallar el valor de tres n´ umeros enteros consecutivos que suman 108. umeros 2. El promed promedio io de dos n´ umeros enteros es 11. Si uno de ellos excede al otro en 12 unidades, ¿cu´ umeros al al es el valor de cada n´ umero? umero? 3. La suma de 4 enteros consecut consecutivos ivos es 98. Hallar los cuatro cuatro n´ umeros. umeros. 4. El resultado de multiplicar un n´ umero por 12 es igual al mismo n´ umero umero aumentado en 121. ¿Cu´ umero al al es el n´ umero? umero? 5. La edad de Ariel es el triple de la de Bernardo. Si dentro de 20 a˜ nos la edad de Ariel ser´ nos a el doble de la de Bernardo. Encontrar las edades actuales. 6. Se reparten $36.000.000 36.000.000 de herencia herencia entre entre tres hermanos Pedro, Pablo Pablo y Jos´ Jos´e. e. Si Pablo Pablo recibe el doble de lo que recibe Pedro, Pedro, y Jos´ Jos´e recibe el triple de lo que recibi´ o Pedro, ¿cu´ anto anto dinero recibe Jos´e?
5.
Ecua Ecuaci cion ones es liter literal ales es
Se le denomina ecuaciones literales a las que algunos o todos los coeficientes de las inc´ ognitas ognitas o las cantidades conocidas expresadas en los miembros de la ecuaci´on on son letras. En este caso debemos tener claro cu´ al al ser´ a nuestra inc´ognita ognita y cu´ales ales son los coeficientes literales conocidos. Para resolver una ecuaci´on on literal se aplican los l os mismos principios que usamos en las ecuaciones num´ ericas. ericas. Ejemplo
Resolver la ecuaci´ on on a(x − 3) − x = a (a − 1) + 1.
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ognita ognita es x y a es un valor conocido. Escribiremos a Soluci´ on: on: Debemos asumir en este caso que la inc´ un lado de la igualdad los t´ erminos erminos desconocidos y en otro los conocidos. a(x − 3) − x = a (a − 1) + 1 ax − 3a − x = a 2 − a + 1
ax − x = a 2 − a + 1 + 3a ax − x = a 2 + 2a + 1
x(a − 1) = a 2 + 2a + 1
a2 + 2 a + 1 x = (a − 1)
=
(a + 1)2 (a − 1)
Con las ecuaciones literales podemos estudiar, por ejemplo, la dependencia de dos variables en una situaci´ on on f´ısic ıs ica. a.
Ejercicios
3
1. Al resolver resolver la ecuaci´ ecuaci´ on on mx + 3 = n , el valor de x es. 2. La pendiente pendiente m de una recta puede obtenerse mediante la expresi´on on m = de y en funci´on on de m, y1 , x y x1 . 3. El valor de x en la ecuaci´on on 5 p = 4. Si ax +
b
2
n
2
(x + 3a)
= c , entonces 4ax =
5. Hallar x en la ecuaci´on on
x−b x−a =2− a b
6. A chocolates cuestan $B , entonces ¿cu´ anto anto cuestan N chocolates? a b 4a + = x x 2 m n n 8. Resolver Resolver la ecuaci´ ecuaci´ on on + = +1 x m x
7. Hallar x en
7
y − y1 . Escribir el valor x − x1
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Bibl Bi blio iogr graf´ af´ ıa [1 ]
´ on , Edici´ Algebra
1983 , CODICE S.A. Madrid (1983)
Dr. Aurelio Baldor .
[2 ] Apuntes
´ n de la PSU Matematica ´ tica, Segunda para la preparac preparaciion o a
Pamela Paredes N´ u˜ nez, nez , Manuel Man uel Ram´ Ram´ırez .
8
Edici´ on, 2009 ,
