MATEMÁTICA Y LÓGICA
ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO
Ecuaciones Son igualdades condicionales, en las que al menos debe existir una letra llamada incógnita: Ejemplo:
ax b 0 Solución de la ecuación:
Es una ecuación de incógnita “x”
En: ax
Solución de una ecuación Es el valor o valores de la incógnita que reemplazados en la ecuación, verifican la igualdad. Si la ecuación tiene una sola incógnita a la solución se le llama raíz.
Discusión de la raíz
3 10
Curso: Matemática y Lógica
Son aquellas ecuaciones que adoptan la forma:
2x 1 7 x
Ejemplo: x
CEPRE - ULADECH
Solución o raíz: x
En: ax
Solución o raíz: x
b 0
13
Si: a Si: a Si: a
1. Si de los dos miembros de una ecuación se simplifican o dividen, factores que contengan a la incógnita, entonces, se perderán soluciones. (Esto se evita, si la expresión simplificada se iguala a cero)
b a
raíz: x
0 0 0
b 0 b 0
Ecuación compatible indeterminada Ecuación incompatible Ecuación compatible determinada
Ejemplo: Hallar “ a ” y “ b ”, si la ecuación: indeterminada
Ejemplo: (x 1)(x 1) 7(x 1)
Solución: Despejando “x” se obtiene:
Solución:
x
x 1 7
x
6
5 b a 3
Si es indeterminada: Para no perder una solución:
x 1 0
x
5 b 0 a 3 0
1
b 5 a 3
Ecuación de segundo grado (Cuadrática)
2. Si se multiplica ambos miembros de una ecuación por una expresión que contiene a la incógnita, entonces, se pueden introducir soluciones extrañas. (Esto se evita simplificando previamente)
Forma general:
ax2 bx c 0 Ejemplo: Resolver:
Donde:
x2 1 x 1
5
(x 1) pasa a multiplicar: (x x 1
Resolviendo:
2
1) 5(x 1)
x
4
x Incógnita, asume dos valores a; b; c / a 0 Resolución de la ecuación:
no verifica
1. Por factorización:
(x 1)(x 1) 5 Manera correcta: (x 1)
x 4 ¡Única solución!
x2
7
Luego: C .S.
x 7
Elevando al cuadrado:
x2 7
2
(x 7)2
2
x 6 0
3; 2
Resolver la ecuación: 4 x
2
9 0
Factorizando: (2x 3)(2x 3) 0 Ahora: 2x 3 0 ; 2x 3 0
x2 7 x2 14 x 49 x
Resolver la ecuación: x
Factorizando: (x 3)(x 2) 0 Ahora: x 3 0 ; x 2 0 Despejando: x 3 ; x 2
3. Si ambos miembros de una ecuación se elevan a un mismo exponente, entonces, se pueden introducir soluciones extrañas. Ejemplo:
b a
Entonces:
Observaciones:
Simplificando (x 1)
b 0
Despejando: x
3 (No verifica la ecuación dada)
Luego: C.S.
¡Solución extraña! La ecuación no tiene solución, es incompatible Ecuaciones de primer grado
1
3/2 ; x 3/2 3 3 ; 2 2
(a 3)x b 5 , es
MATEMÁTICA Y LÓGICA
CEPRE - ULADECH
2. Por la Fórmula General Si: x1 ; x2 son las raíces de la ecuación ax
a
Observación: Para determinar la diferencia de las raíces se recomienda utilizar la identidad de Legendre:
bx c 0 ;
0 , estas se obtienen a partir de la relación:
Resolver la ecuación: 3x Observar que: a
2
x1;2
x1;2
52
1. Simétricas, se cumple: x1
0 1
Reconstrucción de la Ecuación Cuadrática en “x” Siendo “s” y “p”, suma y producto de raíces, respectivamente, toda ecuación cuadrática en “x” se determina según la relación:
x2
sx p 0
13 Ecuaciones Cuadráticas equivalentes: Siendo:
3
1
C.S.
x2
2. Reciprocas, se cumple: x1 x2
4
2 2 13 6
6
1
2 ; c
4(x1 x2 )
ax2 bx c 0 ; a 0 de raíces x1 ; x2 , si estas son:
2x 4 0
3; b
x2 )2
Casos particulares: Dada la ecuación cuadrática en ”x”,
( 2)2 4(3)( 4) 2(3)
( 2)
x1;2
2
x2 )2 (x1
(x1
b2 4ac 2a
b
x1;2
2
3
13 1 ;
13 3
ax2 bx c 0 a1 x 2 b1 x c1 0
Discriminante ( ) Dada la ecuación cuadrática en “x”:
ax
2
Se cumple:
a a1
bx c 0 ; a 0
b b1
c c1
Se define como: Ecuaciones cuadráticas con una raíz común: Sean:
b2 4ac Para la ecuación: 2x Su discriminante es:
2
ax2 bx c 0 a1 x 2 b1 x c1 0
5x 1 0
( 5)2 4(2)(1) 25 8 17
Se cumple:
(ab1 a1 b)(bc1 b1 c) (ac1 a1 c)2
Propiedad del discriminante El discriminante de una ecuación cuadrática permite decidir que clase de raíces presenta; es decir:
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1
0 ; la ecuación tiene raíces reales y diferentes 0 ; la ecuación tiene raíces reales e iguales 0 ; la ecuación tiene raíces imaginarias y conjugadas
1. Si: 2. Si: 3. Si:
Sea la ecuación de incógnita “x”
6 Si la solución es x
Relación entre las raíces y los coeficientes (Propiedades de las raíces) de una ecuación cuadrática: Si : x1 ; x2 son las raíces de la ecuación cuadrática en “x”.
A) 4 D) 13 2
ax2 bx c 0 ; a 0
x
3
49 . Hallar el valor de “m”. B) 8 E) 2
ax2 2x a 5x 2 3ax 4
1. Suma: s
x1
2. Producto: p
x2
x1 x2
Para la ecuación: 2x
x2
A) -1 D) -1/17
b a c a 2
3
10 ; x1 x 2 2
II. III.
1 2
IV.
2
(a )
B) -16 E) -1/9
Resolver las siguientes ecuaciones mostradas: I.
10x 1 0
C) 5
Resolver la ecuación, si se reduce al primer grado en “x”
Se cumple:
x1
m
(3x 1)(x 8) (2x 7)(x 8) x 2 (8 x)(x 9) 16(x 9)(x 8) 1 1 x2 6 5x x 3 x 3 2x x 2 3x 4
C) -15/17
MATEMÁTICA Y LÓGICA 4
Si la ecuación: 36 x 8 4ax b 13ax Tiene infinitas soluciones. Hallar: a b A) 10 D) 32
x 4 x 1
indicando, luego: x2
1
A) 0 D) 3
B) 2 E) 5
Hallar “x” en:
Resolver:
A) 5/2 D) 2/5
x 1
8
A) 12 D) 54
A) 1 D) 1/4 9
b 1 x b
x 1
A) x D) x
a b C) 2
3 ; e indica la suma de cifras de:
1
1 x
1
1 x
3 x
A) B) C) D) E)
B) 2
1
D) 1
1
E) 5
1
x 2 C) 4
1
1
x a
E)
1
x b
B) a
b
2 C) n m
4 4 3 x 3 5x 1
1
a
1
(n m) 2
A) 3
b
C) x
1
1
x a
x b
b
C) ab
ab
A) 6 D) 24
B) 8 E) 12
C) 32
20 Los 3/4 de un barril más 7 litros son de petróleo y 1/3 menos 20 litros son de agua. ¿Cuántos litros son de petróleo?
C) 26 años A) 124 D) 123
44 x 3
B) 4 E) 11 2
4
19 El jardinero A planta rosas más rápidamente que el jardinero B, en la proporción de 4 a 3. Cuando B planta “x” rosas en una hora, A planta “x+2” rosas. ¿Cuántas rosas planta B en 4 horas?
B) 142 E) 134
C) 132
21 Una de las soluciones de la ecuación mostrada:
Se obtuvo como una de sus soluciones el valor 5. Hallar el valor de “ a ”.
12 Resolver: 2x (x 3)(x e indicar lo correcto:
E)
D)
C) 12
x a
D) n
x2
m2 n2 mn
x n n B) m
A) a
10 En la actualidad, la edad de Pedro es el doble de la edad de Juan más dos años: Hace tres años la relación de sus edades era como de 3 es a 1. Dentro de cinco años la suma de las edades de Pedro y Juan será:
11 Al resolver la ecuación: x 2
x m m
A) m n
18 Calcular “x” en:
C) 1/3
B) 30 años E) 18 años
3x 2 x 3x 1
2x 4 x 2
B) x 2 E) Ec. incompatible
2
17 Resolver:
C) 12
1 1
0
16 Hallar “x” en:
B) 14 E) 10
A) 3 D) 16
C) 72
Se obtiene:
; a b
De un juego de 32 cartas, se sacan primero “x” cartas y tres más; luego se saca la mitad de lo que resta. Si todavía quedan 10 cartas. ¿Cuántas cartas sacó la primera vez?
A) 36 años D) 20 años
n (x 1) ; es 2
mx 3
B) 18 E) 45
15 Al resolver la ecuación:
B) 1/2 E) 1/5
A) 9 D) 8
C) 8/3
C) 1
B) 11 E) 15
Resolver la ecuación:
B) 4/3 E) 3/4
se
compatible indeterminada
3x 8 A) 10 D) 13
2
14 Calcular: “ m n ” si la ecuación:
1
a b B) a x a b E) ab
x 2
2
13 Si la ecuación: (3a 4)x 2ax 2 ax 2x 18 ; reduce a una de primer grado en “x”. Indicar el valor de “x”
C) 20
a 1 a b x b a x
a b A) x b a b D) 2 7
b 2
B) 24 E) 44
2x 3 5 Resolver: x 1
6
CEPRE - ULADECH
(2a 1)x 2 a(x b)(x 5) 7b(a x)
C) 9 es 2. Dar el equivalente de: E
4) (x 2 9)(x 4) ;
A) 3/4 D) 1/2
a 3b b 1
B) 2/3 E) 7/8
22 ¿Qué valor admite “ a ", si la ecuación: ax tiene una raíz que es igual a -7?
Tiene dos soluciones enteras Tiene tres soluciones negativas La mayor solución es 4 Tiene una solución fraccionaria Tiene tres soluciones
A) 4 D) -1
3
B) 5 E) -2
C) 5/6
2
15x 7 0 C) -3
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23 Si la ecuación:
CEPRE - ULADECH
x 3
x 2
2x 2 2 5
x
Es de primer grado, el valor de “x” es: A) 2 D) -1
32 Hallar “x” en la ecuación: b
B) 3/2 E) 5/2
2(a 4 x) ax(3x 2 2
D) 2
2
B) 6 E)
4) 2(6 x 3 5)
2
C) 3
2
2
2
B) 3 E) -2 ó -3
C) 2 ó 3
26 Hallar el valor de “n” para que la ecuación:
(n2 10)x nn 2
7nx n 1
A) 5 D) 1
16(x 5)
B) 9 E) -4
C) -1
B) 9 E) -6
29 La ecuación:
x 1 x 3
2 x 2 x 11 x 2 5x 6
B) {1} E) { }
A) 1 D) indeterminado 31 Resolver: A) a D) b
b
a a 1 b x
2y 2 y 1 y2 1
B) -1 E) 2
b b 1 a x B) a b E) ab
3 ; dar como respuesta: 2x+1 C) 15
3
x 2 B) 3 E) 5
2x 2 2 5 C) 4
B) 32 C) 38 E) No puede ser determinado
B) 84 E) 86
C) 72
39 Los ahorros de un niño constan de: (P + 1), (3P – 5) y (P + 3) monedas de 5, 10 y 20 centavos respectivamente. ¿A cuánto ascienden sus ahorros, si al cambiarlo en monedas de 25 centavos, el número de monedas obtenidas es el doble del número de monedas de 5 centavos.
C) {2}
30 En la siguiente ecuación, determinar el valor de “y”, si: x
x2 x 2 x2 1
E)
A) 94 D) 96
Tiene como conjunto solución a: A) {3} D) {-3}
D) 20
C) 1/49
38 Habiendo perdido un jugador la mitad de su dinero, volvió al juego y perdió 1/2 de lo que le quedaba, repitió lo mismo por tercera y cuarta vez, después de lo cual le quedaron 6 soles. ¿Cuánto dinero tenia al comenzar el juego?
C) -1
x 5 x 2
B) 21
A) 25 D) 14
1 1 (x 6)(x 2) x 2 (x 2)(x 6) 2 3x 10 x 3x 10
A) 5 D) 1
1 7
37 Tres niños se han repartido una bolsa de caramelos, el primero la mitad de los caramelos y uno mas, el segundo la tercera parte de lo que quedó y el tercero el resto. ¿Cuántos caramelos hubo en la bolsa?
28 Indicar el cociente entre la mayor y menor de las soluciones de:
x2
3x 4
A) 41
x 3
3 x
7
E) 49
x 3
C) 3/11
x
D) 1/ 7
A) 2 D) 1
2 x x 4
9x B)
36 Resolver:
27 Indicar la suma de soluciones de:
x (x 5)
B) 11/3 E) 6/13
A) 1/7
35 Resolver:
B) 5 C) 2 E) Dos anteriores son correctos
2 x x 4
B)
34 Resolver la ecuación:
es compatible indeterminada
2
a 1 b
A) 7/13 D) 5/13
(m2 5m 6)x mm 1 3m
A) 8 D) 7
a
a b
ab 1 C) 1/2 b b D) -1 E) a 1 x 2 x 3 2x 8 33 Hallar el valor de “x” en: 0 x 3 x 4 x 5 A)
25 Para que valor de “m” la ecuación:
A) 2 D) -2
a b
C) 1/2
24 Resolver la ecuación de primer grado en “x”:
A) 5
b
a2
1
5 2
A) 800 D) 400 C) 0
B) 455 E) 360
C) 345
40 Se compran cajones de naranjas a 100 soles cada uno, cada cajón contiene 20 kilos; primero se vende la mitad a 20 soles el Kg, después la cuarta parte a 15 soles el Kg y por último el resto se remata a 10 soles el kg, ganando 11250 en total. ¿Cuántos cajones de naranjas se habían comprado?
1 C) a
A) 65 D) 50
4
B) 70 E) 60
C) 55
