Ejercicio 1:
Por un prest restam amo o de S/. S/. 1,50 1,500 0 a trei treint nta a días ías el Seño Señorr Ma Marc rcel eliino debe ebe paga agar S/. 1,567.5 al final del plazo establecido; evaluar el crédito. Solución: Capital inicial (Principal) = Capital final (Monto) =
S/. S/.
20,000.0 21,068.0
Interés por pagar
S/.
1,068.0
=
Tasa de interés cobrada =
5.3% mensual
Ejercicio 2:
Corp orpora oracion cion Image magen n y Co Colo lorr SAC SAC ob obttuvo uvo de un banc banco o un avan vance en cue cuenta nta corr corrie ien nte de S/. 1650 por 30 días, al final de lo cual su administrador le indicó que debía depositar en su cue cuenta nta cor corrie riente nte la sum suma de S/. 1779 1779.9 .95 5 para para canc cance elar lar tal tal opera peraci ció ón de cré crédito dito.. Calcular el costo mensual del sobregiro. Solución: Capital recibido Capital devuelto Interés pagado Tasa de interés
= = = =
S/. S/. S/.
1,650.0 1,780.0 130.0 7.9% me m ensual
El costo de un crédito, es igual a la tasa de interés a la cual crece el dinero en la operación. De ninguna manera debemos hacer referencia al interés cobrado como medida del costo de un crédito, aunque ello constituye un error muy común.
Ejercicio 2:
Corp orpora oracion cion Image magen n y Co Colo lorr SAC SAC ob obttuvo uvo de un banc banco o un avan vance en cue cuenta nta corr corrie ien nte de S/. 1650 por 30 días, al final de lo cual su administrador le indicó que debía depositar en su cue cuenta nta cor corrie riente nte la sum suma de S/. 1779 1779.9 .95 5 para para canc cance elar lar tal tal opera peraci ció ón de cré crédito dito.. Calcular el costo mensual del sobregiro. Solución: Capital recibido Capital devuelto Interés pagado Tasa de interés
= = = =
S/. S/. S/.
1,650.0 1,780.0 130.0 7.9% me m ensual
El costo de un crédito, es igual a la tasa de interés a la cual crece el dinero en la operación. De ninguna manera debemos hacer referencia al interés cobrado como medida del costo de un crédito, aunque ello constituye un error muy común.
Ejercicio 3:
Evaluar el costo de las siguientes líneas de crédito: Línea 1: Recibir S/. 10,200.0 hoy dia y devolver Línea 2: Recibir S/. 35,000.0 hoy dia y devolver Cuál de las líneas es más barato.
S/. 11,010.0 dentro de u S/. 36,500.0 dentro de u
Solución: Línea 1: Interés Tasa de interés
= =
S/.
810.0 7.9% me mensual
Línea 2: Interés Tasa de interés
= =
S/.
1,500.0 4.3% mensual
La linea 2 es más barato.
Se observa que en la línea 2, los intereses pagados son mayores que en la línea 1, por lo cual podríamos concluir que esta última es menos costosa. Sin embargo, estaríamos incurriendo en un grave error pues, si bien los intereses son mayores, el prestamo recibido es mayor. En este caso una correcta evaluación consiste en comparar las tasas de interés de cada línea, es decir lo que pagamos de intereses en cada unidad de tiempo por cada nuevo sol que hemos recibido en prestamo. Entoncés la conclusión final es que la línea 2 es la menos costosa, entoncés debe quedar claro que el costo de un crédito es la tasa de interés que pagamos por él.
n mes n mes
Ejercicio 4:
Un capital de S/. 25,000 estará sujeto al régimen de interés simple por 6 meses, a una tasa de 5% mensual; hallar el monto generado al final de dicho plazo. Solución: Capital inicial Tasa interes No periodos
= = =
S/. 25,000.0 5% mensual 6 meses
=
S/. 32,500.0
Entonces: Valor Futuro
Ejercicio 5:
a cu ar e t empo en e cua un cap ta se up ca en e r g men e nter s s mp e si ganará una tasa de 2.5% mensual Solución: Capital inicial Capital Futuro Interés No. Periodos
= = = =
C 2C 2.5% mensual t meses
Entonces
2C = C (1+2.5%*t)
Reemplazamos: Entonces "t"
=
40
meses
Ejercicio 6:
Un capita e S . 3,600 gener un monto o va or uturo e S . 4,500 uego e 10 meses. Si este capital inicial estuvo sujeto al régimen de interés simple, hallar la tasa porcentual de interés mensual de la operación. Solución: Capital inicial Valor Futuro Interes Total No periodos Tasa % total Tasa % mensual
= = = = = =
S/. S/.
3,600.0 4,500.0 900 10 meses 25.0% en 10 meses 2.5% mensual
Ejercicio 7:
Un capital de S/. 5,000 estuvo depositado bajo el régimen de interes simple en un financiera durante un plazo de 9 meses. Si la tasa de interés tuvo el siguiente comporta * 3% mensual por los primeros 4 meses. * 6% mensual por los siguientes 3 meses. * 3% por los últimos 2 meses. Hallar: a) El monto generado al final de los 9 meses. b) La tasa porcentual promedio mensual que se ganó.
Solución: a) Tasa porcentual total = 3% (4) + 6% (3) + 3% (2) = Valor futuro = 6,800
36% en los 9 meses
"Si el capital inicial gana una tasa total de 36%, significa que el valor futuro será igual al capital inicial incrementado en 36%, o equivalente al capital inicial multiplicado por el factor 1.36"
institución iento.
Ejercicio 8:
Determinar el monto generado luego de 6 meses, por un depósito de S/. 850 sujeto a un tasa 42% que se capitaliza mensualmente. Solución Capital inicial Tasa de interes No Periodos
= = =
Valor Futuro
=
Tasa efectiva
850 3.5% mensual 6 meses 1,044.87 22.9% por 6 meses 45.9% por año 3.8% por mes
a
Ejercicio: 09
Calcular el valor futuro "F" al final de 5 años de una inversión de S/. 20,000 con un costo de oportunidad de capital de 20% anual. Solución: Formula: P= i%= n=
20,000.00 20% anual 5 años
F=
49,766.40 Nuevos soles al año 5
Si dividimos: F/P tendríamos 2.48832 a este número se le llama Facto F/P (20%,5) y se encuentra en tablas financieras En Excel: Función VF VF = Año
S/. 49,766.40 Valor Presente Valor futuro 1 20,000.00 23,999.00 2 28,799.00 3 34,559.00 4 41,471.00 5 49,765.40
Año 0 1 2 3 4 5
Valor presente Interes Valor futuro 20,000.00 20,000.00 4,000.00 24,000.00 24,000.00 4,800.00 28,800.00 28,800.00 5,760.00 34,560.00 34,560.00 6,912.00 41,472.00 41,472.00 8,294.40 49,766.40
F = P (1+i%)^n
Ejercicio: 10
Calcular el valor futuro "F" al final de 2 años de una inversión de S/. 20,000 con un cos oportunidad de capital de 20% anual, capitalizable trimestralmente. Solución: 5.0% P= i%= i%= n= n=
20,000.00 20% 5.000% 2 8
anual trimestral años trimestres
Formula:
Tasa efectiva
F = P (1+i%)^n
47.7% por 2 años 23.9% por 1 año
F= 29,549.11 Nuevos soles al año 2 Conclusión: Con S/. 20,000 obtengo un valor de S/. 29,549.11 al cabo de 2 años, a una tasa de 20% anua capitalizable trimestralmente En Excel: Función VF VF =
S/. 29,549.11
Trimestres
Valor Presente 1 2 3 4 5 6 7 8
Año
Valor futuro 20,000.00 20,999.00 22,049.00 23,151.50 24,309.13 25,524.63 26,800.91 28,141.01 29,548.11
Valor presente 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Interes 20,000.00 20,000.00 21,000.00 22,050.00 23,152.50 24,310.13 25,525.63 26,801.91 28,142.01
1,000.00 1,050.00 1,102.50 1,157.63 1,215.51 1,276.28 1,340.10 1,407.10
Valor futuro 21,000.00 22,050.00 23,152.50 24,310.13 25,525.63 26,801.91 28,142.01 29,549.11
o de
l
Ejercicio: 11
Luis nos ofrece S/. 20,000 dentro de 2 años, siempre y cuando le entreguemos una cantida al 20% anual. Cuánto le debemos dar. Solución:
P=
Formula:
19,223.38
F= i%= n=
20,000.00 20% anual 2 años
P=
13,888.89 Nuevos soles al año cero.
Conclusión: Tendría que dar S/. 13,888.89 En Excel: Función VA VA =
S/. 13,888.89
P = F / (1+i%)^n
d
Ejercicio: 12
Determinar la tasa de interes aplicada a un capital de S/. 25,000 que ha generado en 3 años intereses totales por S/. 6,500 Solución: i= P= i%= n= En excel: i=
6,500.00 25,000.00 ??
anual 3 años
8.0082%
Formula: P = F / (1+i%)^n Despejamos "i"
Ejercicio 13
Tenemos una anualidad de S/. 500 anuales, durante 5 años vencidos. Si la t asa de descue Cuál es el valor actual de la anualidad. Solución A= n= i= P= P=
En Excel P=
500 5 años 13% anual ¿?
P = A 1,758.62
S/. 1,758.62
(1+i)^n - 1 i(1+i)^n
nto es 13%
Ejercicio 14
Ud gana la loteria. Cuando va a cobrar, los ejecutivos de la loteria le proponen la siguiente for Cobrar hoy S/. 500,000 ó S/. 3,000 mensuales durante los proximos 25 años, que elige ud? Considere una inflación de 6% anual Solución Alternativa 1: Cobrar hoy S/. 500,000 P= 500,000 Alternativa 2: Cobrar S/. 3,000 mensuales por 25 años Determinanos el valor presente dado una mensualidad A= n= i%= P= P= En Excel P=
3,000 mensual 300 meses 0.5% mensual ¿? 465,620.59 34,379.41 465,620.59
Conclusión: Le conviene la alternativa 1
a:
Ejercicio 15
El dueño de una MYPE, contrae una deuda para saldarla en 5 pagos iguales de S/. 26,913 de cada año, con una tasa de interes anual de 45.6%. Calcular el valor presente de esta ob Solución A= n= i= P=
134565 26,913 5 años 45.6% anual
P =A
¿?
(1+i)^n - 1 i(1+i)^n
A esta formula se le multiplica por (1 +i) P= En Excel P=
72,800.11
S/. 72,800.11 Funcion VA con tipo 1
l inicio ligación.
Ejercicio 16
Para que mis dos hijos estudien becados en una universidad de prestigio, dentro de 10 a es requisito fundamental entre otros, depositar el día de hoy una suma de dinero en un institución financiera que paga mensualmente por ahorros de este tipo el 1.5% y que pe a la institución disponer de S/. 2,500 mensuales a perpetuidad. Cuánto debo depositar e Solución: A= i=
300000 2,500 1.50% mensual
2000 51 102000
P perpetuo = Anualidad perpetua / interes P=
166,666.67
Debo depositar hoy en día S/. 166,666.67, mensualmente el dinero gana S/. 2, 500 de interes. Este interes constituye la beca.
Debo depositar hoy en día S/. 166,666.67, mensualmente el dinero gana S/. 2,500 de interes. Este interes constituye la beca.
ños, mite l día de hoy.
Ejercicio 17
Tenemos una tarjeta de crédito cuya tasa de interés es 2.5% mensual. Determine la tasa anual que realmente cuesta. Solución: Tasa nominal =
30.0%
Tasa efectiva =
34.5%
Ejercicio 18
Calcule la tasa de interes efectiva que se recibe de un deposito bancario si la tasa nominal es de 18% y se capitaliza: a) Anualmente b) Semestralmente c) Trimestralmente Formula : i efec = ( 1 + j/m)^m - 1 d) Mensualmente Donde "j" es la tasa nominal e) Diariamiento m: No periodos Solucion: a) Anualmente j = m= I efec =
18% anual nominal 1 en un año hay un periodo anual 18.00% anual efectiva
b) Semestralmente j = m= I efec =
18% anual 2 en un año hay 2 periodos semestrales 18.81% sera lo que se reciba en el año.
c) Trimestralmente j = m= I efec =
18% anual 4 en un año hay 4 periodos trimestrales 19.25%
d) Mensualmente j = m= I efec =
18% anual 12 en un año hay 12 periodos mensuales 19.56%
d) Diariamente j = m= I efec =
18% anual 365 en un año hay 365 periodos diarios 19.72%
Ejercicio 19
Que tasa nominal "j" capitalizable mensualmente resulta equivalente a una tasa de 16% que se capitaliza trimestralmente. Formula: Datos: j = m= m' = j' =
(1+j/m)^m = (1+j'/m')^m'
16% capitalizable trimestralmente 4 trimestres en un año 12 meses en un año ?
Entonces: (1+16%/4)^4 = (1+j'/12)^12 Desarrollando j' = 15.79% capitalizable mensualmente
Que tasa de interes mensual resulta equivalente a una tasa de 12% semestral? Datos: j = m= m' = j' =
12% capitalizable semestralmente 1 semestre 6 meses en un semestre ?
Entonces: (1+12%) = (1+j')^6 para un semestre Desarrollando j' = 1.19% capitalizable mensualmente
Que tasa de interes quincenal resulta equivalente a una tasa de 4% bimestral? Datos: j = m= m' = j' =
4% capitalizable bimestre 1 bimestre 4 quincenas en un bimestre ?
Entonces: (1+4%) = (1+j')^4 para un bimestre Desarrollando j' = 0.99% capitalizable quincenalmente
Ejercicio 20
Que cantidad debe pagarse al trimestre para saldar una deuda de 3 pagos mensuales de S/. 500 cada uno, dada una tasa de interes de 2% mensual? Solucion: Realizamos el grafico en el tiempo Luego ubicamos una fecha focal
0
500
500
500
1
2
3 Fecha Focal
Alternativa 1:
Llevar los valores a la fecha focal
X = 500 (1+2%)^2 + 500 (1+2%)^1 + 500 Resolviendo X= 1,530.20 Alternativa 2: A= i% = n= F= F=
Utilizando en concepto de anualidad 500 mensual 2% mensual 3 meses ? 1,530.20
F = A
(1+i)^n - 1 i
Ejercicio 21
Una empresa adeuda al banco S/. 1,500,000 con vencimiento a 2 años, y S/. 2,500,000 con vencimiento a 6 años. La empresa desea liquidar las deudas con un pago unico. Cual es el tiempo equivalente para el pago de estas deudas, suponiendo un interes de 12.5% anual. Solucion: Realizamos el grafico en el tiempo Luego ubicamos una fecha focal
4,000,000 /(1+12.5%)^x
0
1
2
3
4
1,500,000
Fecha focal Se lleva todo a la fecha focal en este caso año "0" y se hace una equivalencia 4,000,000 (1+12.5%)^-x = 1,500,000 (1+12.5%)^-2 + 2,500,00 (1+12.5%)^-6 Resolviendo se tiene: X= 4.2723 años
5
6 2,50
,000
Ejercicio 22
Al adquirir una casa con valor de S/. 2,000,000 se decide pagarlas con 2 pagos de S/. 1,000,000 a 6 meses y 1 año, mas intereses calculados al 40% capitalizable semestralmente. Al haber transcurrido un trimestre se reestructura la compra, y s e determina pagarla con 3 pagos trimestrales: el primero por S/. 600,000, el segundo por S/. 800,000 y el tercero por la diferencia, considerando en este segundo flujo un interes de 36% capitalizable trimestralmente. Cúal es el importe del tercer pago?. Solucion: Realizamos el grafico en el tiempo Luego ubicamos una fecha focal
1,440,000
1,200,000
meses
0
1
2
3 4 600,000
5
6
7
800,000
8
9
10
11
12
X Fecha Focal
Considerando la situacion inicial tenemos: La tasa de interes es 40% nominal anual capitalizable semestralmente Entonces la tasa semestral sera: i%= 40% anual i%= 20.000% semestral El primer pago a los 6 meses es de 1,000,000 (1+20%)^1 = El segundo pago a los 12 meses es de 1,000,000 (1+20%)^2 = Pago total = 2,640,000 Interes total = 640,000 32% por semestre 64% por año Considerando la situacion de reestructura: La tasa de interes es 36% nominal anual capitalizable trimestralmente Entonces la tasa trimestral sera: i%= 36% anual i%= 9.000% trimestral
1,200,000 1,440,000
Entonces haciendo una relacion de equivalencia en la fecha focal tendremos: X + 600,000 (1+9%)^2 + 800,000 (1+9%)^1 = 1,200,000 (1+9%)^1 + 1,440,000 (1+9%)^-1 Resolviendo tenemos: X= 1,044,240.90 aprox
Recalcular
Ejercicio 23
El señor Briceño adquiere hoy a credito una Lap Top, este le cuesta S/. 18,000 y convien pagarla en 24 mensualidades vencidas. Cuanto tendra que pagar cada mes si le cobran 1.5% de interes mensual. Solucion: P= n= i% = A= A=
18,000 24 pagos mensuales 1.50% mensual ? 898.6338355
A = P
i(1+i)^n (1+i)^n - 1
Ejercicio 24
En una comunidad agricola se construyo una unidad de riego por bombeo en una zona compuesta por canales y estructuras que permitan un riego eficiente con objeto de incre la produccion actual de maiz. Los campesinos salieron beneficiados con esta unidad, esta conscientes de que los costos para hacer producir una hectarea del terreno son elevados solo a traves del ahorro podran hacer frente a estos gastos, razo por la cual han decidido un fondo de inversion en un lapso de 3 años, cuyos intereses anuales les permitan absor los costos de produccion, para lo cual han decidido efectuar depositos al final de cada tri y de esa forma reunir en 3 años la inversion, para que en el cuarto año produzca los inter que cubran los gastos anuales. Segun los estudios realizados por los usuarios, los gastos son: Semilla, preparacion, etc S/. 100,000 Cuota de riego S/. 120,000 Fertilizantes S/. 70,000 Abono al equipo S/. 200,000 Imprevistos S/. 100,000 Total gastos anuales 590,000 De acuerdo con estos datos, encontrar la cantidad que debe depositarse al final de cada trimestre para poder cubrir la totalidad de los gastos anuales. En primer lugar hay que conocer la cantidad que se debe depositar al cuarto año, para que este produzca intereses por S/. 590,000 que cubran los gastos anuales a una tasa anual de 60% capitalizable trimestralmente. Solucion: Realizamos el grafico en el tiempo Luego ubicamos una fecha focal
M=C
0
1
2
3
4
5
6
12 trimestres = 3 años
7
8
9
10
11
12
1
2
cuarto año
mentar n y que crear er mestre eses nuales
C+I
3
4
Ejercicio 25
Se compra una maquinaria cuyo costo es de US$ 35,400 con un anticipo del 30% de dicho pagos quincenales, con un atractivo adicional para el comprador que consiste en efectuar final de la cuarta quincena. ¿Cuál es el valor de los pagos si la tasa de interés es del 24% an Solucion: Graficando tenemos:
i = 24% anual A 1
0
2
2
3
4
35,400*0.70
30,000 P
La tasa de interés equivalente quincenal es: i = (1+24%)^15/360 - 1 =
0.90033% quincenal
Cuando existen pagos diferidos existen dos tipos de plazos, periodo de gracia y periodo muerto. El más utilizado en el periodo de gracia (sólo se pagan intereses). En este caso no se especifica el tipo de plazo hasta la cuarta quincena, por lo que estamos considerando como un periodo de gracia. Para poder hallar los pagos quincenales requerimos que el valor del costo de la maquinaria se ubique en la terc quincena (un periodo antes del primer pago): P = 24,780 * (1 + 0.90033%)^3 =
25,455.35
Luego calculando un A dado un P Tene Tenemo mos: s:
A = 25,455 25,455.3 .35 5 * [ 0.90 0.90033 033% % / ( 1 - (1+0. (1+0.90 9003 033% 3%)^ )^-2 -24) 4) ] A=
1,184.10
Los pagos quincenales que se deberá realizar son de US$ 1,184.10
osto y el resto en 24 el primer pago hasta el ual?
quincenas
era
Ejercicio 26
Una empresa constructora está vendiendo departamentos departamentos que pueden ser cancelados co de US$ 800 y 18 mensualidades de US$ 650 a partir del primer mes de entrega del depart es el costo del departamento, departamento, si la tasa de interés es del 28% anual? Solucion: Graficando tenemos:
P
0 800
i = 28% anual
2
1 4,000
17
…….
A = 650 Dado que los flujos son mensuales, es necesario hallar una tasa de interes mensual i mes = (1 + 28%)^(30/360) - 1 =
2.0785% mensual
Hallando un "P" dado un "A" P = 650 [ (1-(1+2.0785%)^-18) / 2.0785% ] = Luego el costo del departamento será Costo departamento = Cuota inicial + P Costo departamento =
10,477.92
9,677.92
18
cuotas
n una cuota inicial amento. ¿Cuál
Ejercicio 27
La Caja Rural toma dinero prestado de COFIDE al 11% anual y presta a los agricultores al 20%, con un margen diferencial neto a favor de 9 %. Si sus ingresos anuales ascendieron a US$ 10,800, ¿Cuanto dinero prestó a los agricultores?
I
=
10,800
P
=
?
i
=
0.09
n
=
1
Fórmula:
Sustituyendo las cantidades conocidas se tiene:
I / in
R:
P = I / in
=
120,000
10800/(0.09*1)
120,000
D7/(D9*D10)
120,000
La Caja Rural prestó a los agricultores la suma de US$ 120.000,00.
Ejercicio 28
Si la financiera La Filantrópica tuvo invertidos S/. 57.800.000 durante medio año a interés simple y ganó S/. 6.936.000 de intereses ¿A que tasa tuvo invertido su capital?
I
=
6,936,000
P
=
57,800,000
i
=
?
n
=
0.5
Fórmula:
i = I / Pn
Sustituyendo las cantidades conocidas se tiene:
I/Pn 6936000/(57800000*0. D7/(D8*D10)
=
0.24
=
0.24
=
0.24
Ejercicio 28
Si la financiera La Filantrópica tuvo invertidos S/. 57.800.000 durante medio año a interés simple y ganó S/. 6.936.000 de intereses ¿A que tasa tuvo invertido su capital?
I
=
6,936,000
P
=
57,800,000
i
=
?
n
=
0.5
Fórmula:
Sustituyendo las cantidades conocidas se tiene:
I/Pn 6936000/(57800000*0. D7/(D8*D10)
R:
i = I / Pn
La financiera La Filantrópica invirtió su capital al 24%.
=
0.24
=
0.24
=
0.24
Ejercicio 29
El banco El País prestó un capital de S/. 78.000.000 al 24% y ganó S/. 9.360.000 . ¿Cuanto tiempo tuvo invertido el capital?
I
=
9,360,000
P
=
78,000,000
i
=
0.24
n
=
?
R:
Ejercicio 30
Fórmula:
n = I / Pi
Sustituyendo las cantidades conocidas se tiene:
n = I / Pi
=
0.5
9360000/(78000000*0.24)
=
0.5
D7/(D8*D9)
=
0.5
En consecuencia el banco El País tuvo invertido su capital durante medio año.
Una persona recibe un préstamo de S/. 10.000 a interés simple durante un año y medio, al 20% anual. Si el pago de intereses se efectua al final del plazo pactado ¿Cuánto dinero recibirá el prestamisra?.
P
=
10,000
i
=
0.20
n
=
1.5
F
=
?
Fórmula:
F =P*(1+in)
Sustituyendo las cantidades conocidas se tiene:
P*(1+in)
=
13,000
10000*(1+(0.2*1.5))
=
13,000
D7*(1+(D8*D9))
=
13,000
R : El prestamista recibirá un monto de S/. 13.000 de los cuales S/. 10.000 son el capital y S/. 3.000 son los intereses.
Ejercicio 30
Una persona recibe un préstamo de S/. 10.000 a interés simple durante un año y medio, al 20% anual. Si el pago de intereses se efectua al final del plazo pactado ¿Cuánto dinero recibirá el prestamisra?.
P
=
10,000
i
=
0.20
n
=
1.5
F
=
?
Fórmula:
F =P*(1+in)
Sustituyendo las cantidades conocidas se tiene:
P*(1+in)
=
13,000
10000*(1+(0.2*1.5))
=
13,000
D7*(1+(D8*D9))
=
13,000
R : El prestamista recibirá un monto de S/. 13.000 de los cuales S/. 10.000 son el capital y S/. 3.000 son los intereses.
Ejercicio 31
¿Cual será el capital cuyo monto ascenderá a S/. 18.000 colocados en 2,5 años al 18% de interés simple?
F
=
18,000
i
=
0.18
n
=
2.5
P
=
?
Fórmula:
P =F / (1+in)
Sustituyendo las cantidades conocidas se tiene:
P =F/(1+in)
=
12,414
18000/(1+(0.18*2.5))
=
12,414
D7/(1+(D8*D9))
=
12,414
R : S/. 12.414 se convertirán en S/. 18.000 luego de dos años y medio colocados al 18% de interés simple anual.
Ejercicio 32
El banco El País compra acciones de la Financiera La Filantrópica por S/. 100.000. Al cabo de 2 años vende las acciones por el mismo precio que pagó por ellas pero recibe S/. 116.000. La diferencia representa el valor de los dividendos acumulados ¿Cual fue la tasa que se recibió como dividendos?
P
=
100,000
i
=
?
n
=
2
F
=
116,000
Fórmula: i =
((F / P) - 1)/n
Sustituyendo las cantidades conocidas se tiene:
((F/P)-1)/n
=
0.08
((116000/100000)-1)/2
=
0.08
((D10/D7)-1)/D9
=
0.08
R : El banco El País recibió un dividendo de 8% anual sobre sus acciones.
Ejercicio 33
¿En cuanto tiempo S/. 100.000 se convertirán en 127.000 al 9% de interés simple anual?
P
=
100,000
i
=
0.09
n
=
?
F
=
127,000
Fórmula:
n = (( F/P )-1 ) / i
Sustituyendo las cantidades conocidas se tiene:
( ( F/P )-1 ) / i
=
3
((127000/100000)-1)/0.09
=
3
((D7/D4)-1)/D5
=
3
R : S/. 100.000 se convertirán en S/. 127.000 al cabo de tres años al 9 % de interés s imple anual
Ejercicio 34
¿Cual será el monto de S/. 350,00 al 4% en tres años, si el interés se capitaliza anual
P
=
350
Fórmula :
i
=
0.04
n
=
3
A pli cand o el fac to r f in anci ero II I y su sti tu yend o las canti dades
F
=
?
conocidas se tiene:
F = P*(1+i)^n
P
x
FFIII
=
393.70
P
x
(1+i)^n
=
393.70
350
x
1.124864
=
393.70
350
x
(1+0.04)^3
=
393.70
D6
x
D7*(1+D8)^D9
=
393.70
R : Por tanto el monto compuesto que producirá un capital de S/. 350,00, impuesto al 4% anual capitalizable anualmente, en tres años será de S/. 393,70
Ejercicio 35
¿Cual es el capital original de una operación que produjo un mon tasa de interés fue de 4% anual capitalizable anualmente, en tres
S
=
393.70
i
=
0.04
n
=
3
F
=
Fórmula :
P= F / (1+i)^n
Aplicando el factor financiero III y s ustituyend conocidas se tiene:
?
S
/
FFIII
=
350
S
/
(1+i)^n
=
350
393.70
/
1.124864
=
350
393.70
/
1.12486400
=
350
393.70
/
1.124864
=
350
R : En consecuencia, S/. 350,00 se convertirán en S/. 393,70 al cabo de tres años in capitalizable anualmente.
Ejercicio 36 ¿A que tasa se habrán invertido S/. 350,00, si al cabo de tres años se capitalización se hizo anualmente?
P
=
350.00
i
=
?
n
=
3
F
=
393.70
Fórmula : i = ( (F/P)^(1/n) )-1
Sustituyendo las cantidades conocidas se tiene:
((F/P)^(1/n))-1
=
0.04
((393.7/350)^(1/3))-1
=
0.04
((C9/C6)^(1/C8))-1
=
0.04
R : El capital original de S/. 350.00 fue invertido durante tres años a la tasa del cuatro po capitalizable anualmente, convirtiéndose así en S/. 393,70
Ejercico
Cual será el tiempo en el que se invirtieron S/. 350,00 para que al 4% de interés anualmente se convirtieran en S/. 393,70?
P
=
350.00
i
=
0.04
n
=
?
F
=
393.70
Fórmula : n = @Log(F/P)/@Log(1+i)
Sustituyendo las cantidades conocidas se tiene:
n =
@Log(F/P)/@Log(1+i)
= #
n =
LOG(393.7/350)/LOG(1+0.04)
= 3
n =
LOG(D10/D7)/LOG(1+D8)
= 3
R : La operación se efectuó en un período de tres años.
Ejercicio 38
El Banco El País abona a sus depositantes a plazo, intereses a la tasa diaria. Si se depositan por un año S/. 1.000,00, ¿Que cantidad se le d dicho plazo?
P
=
1,000
Fórmula DIARIA : F = P*(1+(j/
n
=
1
m
=
360
Aplicando el factor financiero III
j
=
0.06
conocidas se tiene:
F
=
?
P
x
FFIII
=
1,061.83
P
x
(1+(j/m))^(m*n)
=
1,061.83
1,000
x
1.061831238
=
1,061.83
1, 000
x
(1+(0.06/360))^(360*1)
=
1,061.83
=
1,061.83
C6
x D7*(1+(D10/D9))^(D9*D8)
R : El capital de S/. 1.000,00 depositado a plazo durante un año, con intereses diaria se convertirán en S/. 1.061.83
Ejercicio 39
Se deposita US$ 100,000 en una cuenta que ofrece una tasa de interés efectiva del 20% a es decir que por cada US$ 1.00 colocado por un año ininterrumpido se recibirá al término ¿Cuánto se recibe a los 5 años?
P
=
100,000
n
=
5
i
=
20%
F
=
248,832
Fórmula : F = P * (1+i)^n
R : Luego de 5 años recibirá US$ 248,832
Ejercicio 40
Si Ud. invierte S/. 28,000 a una tasa de interés del 5.5% trimestral. ¿Cuánto tendrá al cabo de 16 semestres?
F 16 semestres 28,000
P
=
t
=
i
=
28,000
Fórmula : F = P * (1+i)^n
16 semestres 5.5% efectivo trimestral
Primer método: Hallar una tasa de interés equivalente semestral isem = (1+0.055)^(180/90) - 1 = F = 28,000(1+0.113025)^16 =
11.3025%
semestral
155,323.35
Segundo método: Hallar el tiempo en trimestres t = 16 semestres*(2 trim/1 sem) = F = 28,000(1+0.055)^32 =
32
trimestres
155,323.35
Tercer método: Hallar la tasa de interés efectiva del período (16 semestres) i 16 sem = (1+0.055)^(2880/90)-1 =
454.7262%
F = 28,000(1+4.547262)^1 =
155,323.35
R : Al cabo de 16 semestres tendrá S/. 155,332.35
por 16 semestres
(31)
Ejercicio 41
Se realiza una inversión de S/. 35,000 a una tasa de interés del 10% semestral. ¿Cuánto tendrá al cabo de 6 meses?
F 6 meses 35,000
P
=
t
=
i
=
35,000
Fórmula : F = P * (1+i)^n
6 meses 10.0% efectivo trimestral
Primer método: Hallar una tasa de interés equivalente mensual imes = (1+0.10)^(30/180) - 1 = F = 35,000(1+0.016012)^6 =
1.6012%
mensual
38,500.00
Segundo método: Hallar el tiempo en semestres t = 6 meses =
1
F = 35,000(1+0.10)^1 =
semestre
38,500.00
Tercer método: Hallar la tasa de interés efectiva del período (6 meses) i 6 meses = (1+0.10)^(180/180) -
10.0000%
F = 35,000(1+0.10)^1 =
38,500.00
R : Al cabo de 6 meses tendrá S/. 38,500
6 meses
Ejercicio 42
Se ha tomado un préstamo de US$ 10,000 a 135 días, a una tasa de interés del 25% efectiva anual a) Calcule el monto que debe pagarse por el préstamo. b) ¿Cuánto de interés se genera mensualmente en esta operación? c) Si realiza un pago por US$ 4,000 el día 45. ¿Con qué monto cancelaría el prestamo el día 135?
US$ 10,000 i = 25% efectiva anual 135 días
F a) P
=
t
=
i
=
t = 135 días =
10,000 135 d ías 25.0% efectivo trimestral 0.375
F = 10,000(1+0.25)^0.375 =
Respuesta:
Fórmula : F = P * (1+i)^n
años 10,872.80
El monto que debe pagarse por el préstamo es de US$ 10,872.80
b) Hallar las tasas de interés im = (1+0.25)^30/360 -1 =
1.8769%
mensual
i15= (1+0.25)^15/360 - 1 =
0.93410%
quincenal
Calculo de los intereses: Se calculará los intereses cada 30 días excepto el último periodo Días
Saldo inicio
Intereses
0
10,000.00
0
30
10,187.69
187.69
60
10,378.91
191.22
90
10,573.71
194.80
120
10,772.17
198.46
135
10,872.80
100.62 interés por 15 días
c)
Si no hubiera pago a cuenta, debería pagarse en el día 135, la cantidad de US$ 10,872.80. La pregunta consiste en determinar en cuanto se reduce este pago final con el pago a cuenta realizado en el día 45. Pago =
4,000
El plazo entre el pago que se realiza en el día 45 y el pago final en el día 135 es de 90 días (135 - 45 = 90 dás), el cual expresado en años sera: t = 90/360 =
0.25
años
Por lo tanto el pago final descontando el pago a cuenta será: F 135 = 10,872.80 - 4,229.49 =
6,643.31
Respuesta: El prestamo será cancelado con US$ 6.643.31
Ejercicio 43 Patricio está afrontando por una crisis financiera, por lo que acude a Ud. su buen y fiel a facilite un préstamo de S/. 20,000 por 150 días. Dada su destreza comercial Patricio logr buen negocio y obtener el dinero suficiente para pagarle a los 100 días la suma de S/. 23, ¿Cuál fue la tasa de interés efectiva mensual del préstamo? Solución
S/. 20,000
150 días
100 S/. 23,000 Formula:
F
ief = (F - P) / P
La tasa de interés efectiva a los 100 días es: ief = (23,000 - 20,000) / 20,000 =
15% por 100 días
Por lo tanto la tasa de interés efectiva mensual es: imes = (1+15%) ^ 30/100 - 1 =
La tasa de interés efectiva mensual es de 4.28%
Formula: 4.28% mensual
imes = (1+idías)
igo, para que le realizar un 000.
^(dias mes/dias) - 1
Ejercicio 44 La empresa agropecuaria "La Lechera S.A." requiere abastecerse de botellas plásticas pa su producto, realiza una compra de 40,000 botellas a S/. 0.35 cada una. Según la política de compras de la empresa, toda factura es cancelada a los 53 días de re El proveedor de botellas, enterado de esta situación, le ofrece un descuento del 6% si ca ¿Cuál es el costo anual del descuento? Solución:
Compra
14000
53 días
23 14,000*0.94 El costo efectivo del descuento será: i30 = (40,000*0.35 - 40,000*0.35*0.94) / 40,000*0.35*0.94 = El costo efectivo anual será: i = (1+6.383%)^(360/30) - 1 =
110.12%
El costo efectivo anual del descuento es del 110.12%
14,000 6.383% por 30 días
a el envasado de alizada la compra. cela 30 días antes.
Ejercicio 45 Según las disposiciones de la empresa que trabaja Manuel, cada 7 años deberá recibir un reconocimiento por la labor realizada dentro de la empresa. Este pago asciende a S/. 40 los 38 años hasta los 66 años. Calcular el valor actual de esos pagos si se sabe que actual 27 años y espera un rendimiento del 20% anual. 2000
Solución:
P
27
Peq
31
400
400
400
400
400
38
45
52
59
66 años
Dado que los flujos son cada 7 años, es necesario hallar una tasa de interés de 7 años y calcular el número de flujos de 7 años que se presentan en el periodo. La tasa de interés equivalente para un período de 7 años será: i7 = (1+20%)^7 - 1 = 258.32% Luego, se determina que el número de flujos de 7 años que hay entre 38 y 66 años son 5. Hallamos el valor presente equivalente de estos pagos Peq = 400 [1-(1+258.32%)^-5 / 258.32%] = P(A,258.32%,5) =
154.5845537 en el año 31
Ahora hay que actualizarlo a la edad de 27 años. P = Peq / (1+20%)^4 = P(F,20%,4) =
74.54887812
El valor actual de los 5 pagos que va a recibir Manuel cada 7 anos es de S/. 74.55
pago "especial" de y lo va a recibir desde ente Manuel tiene
Ejercicio 46 Edinson acaba de ganar el premio de la cuenta millonaria de Interbank que consiste en r vida un ingreso anual de S/. 1,000 los cuales van a ser depositados en una cuenta de aho anual. ¿Cuál será el valor presente de este premio? 25
70
45
49500
Solución:
Peq 1,000
0
1
……………………………………….. 1,000
2
3
4
5
6
7
…… Infinito
Se puede inferir, que bajo condiciones normales, el número de pagos va a ser muy grande por lo que se proc a resolver este problema utilizando anualidades perpetuas. Formula:
P=A/i
P eq = 1,000 / 10% =
para anualidad perpetua 10,000 soles
El valor actual del premio será de S/. 10,000
cibir durante toda su rros que paga 10%
ede
Ejercico Lenin decide vender su terreno de Chaclacayo y para agilizar su venta pública un aviso clas La misma tarde de la publicación del aviso, recibe tres propuestas de compra: a) El primer comprador le ofrece S/. 7,000 al contado. b) El segundo le ofrece S/. 3,500 al contado y 7 pagos bimestrales de S/. 550. (aparentem c) El tercero le propone S/. 2,000 al contado y 12 pagos mensuales de S/. 420 (aparentem ¿Cuál de las tres opciones le conviene más, si sabe que el dinero le reditúa 15% anual? Solución: Para resolver este caso es necesario hallar un valor en cada una de las propuestas que haga posible su compar Lo más práctico es hallar el valor actual o presente de cada propuesta, no se recomienda hallar valores futuros, flujos tiene diferente horizontes de duración y no sería posible llegar a una conclusión a partir de sus valores. Opción (a): La opción (a) el valor presente es obvio por ser al contado será: Opción (b):
7,000
3,500 i=15% anual A = 550 0
2
1
3
4
5
6
7
bimestres
En esta opción es necesario hallar el valor presente de los 7 pagos bimestrales y adicionarle el desembolso inici Como los flujos son bimestrales es necesario hallar la tasa de interes equivalente bimestral: ib = (1+15%)^60/360 - 1 = 2.357% bimestral Peq = 550 [(1-(1+2.357%)^-7 / 2.357%) = P/A(550,2.357,7) = Luego el valor presente será: 3,500 + 3,511.29 =
Opción (c):
3,511.29
7,011.29
2,000 i=15% anual A = 420 0
1
2
3
……………………….
11
12 meses
Al igual que la opción (b), es necesario determinar el valor actual o presente de las 12 mensualidades y adicion el desembolso inicial. Como los flujos son mensuales, se requiere la tasa equivalente mensual: imes = (1+15%)^(30/360) - 1 = (1+15%)^(1/12) - 1 = 1.171% 1.171% Peq = 420 [(1-(1+1.171%)^-12 / 1.171%) = P/A(420,1.171,12) = Luego el valor presente será: 2,000 + 4,676.31 =
4,676.31
6,676.31
Luego de analizar las tres opciones, se puede verificar que la opción (b) es la mejor opción.
ificado en el Comercio.
nte : nte :
ción. pues los
al.
rle
7350 7040
Ejercicio 48 Qué renta trimestral sustituye a los pagos quincenales de S/. 45 a una tasa del 6% semes realizados durante 6 meses? Solución:
0
A trimestral
A trimestral
1
A quincenal 4 5 2 3
6
7
A quincenal 8 9 10 11
Primer método: Las tasa de interés equivalentes son: i = (1+6%)^(15/180) -1 = (1+6%)^(1/12) -1 = i = (1+6%)^(90/180) -1 = (1+6%)^(1/2) -1 =
12
0.4868% 2.9563%
quincenas
0.4868% quincenal 2.9563% trimestral
Como no se modifican el horizonte de tiempo ni la tasa de interés definidos inicialmente, no es necesario det el valor presente de los pagos y se puede simplemente reemplazar 6 pagos quincenales por un solo pago tri Este pago trimestral coincidentemente está ubicado en el mismo instante en que se realiza el 6to pago quinc pudiendose considerar como el valor futuro de estos 6 flujos quincenales. A trim = 45 [(1+0.4868%)^6 - 1 / 0.48675%] =
273.31
Segundo método: El valor presente de los pagos quincenales será: Peq = 45 [(1-(1+0.4868%)^-12 / 0.4868%) = P/A(45,0.4868,12) =
523.30
Luego, se debe hallar los dos pagos trimestrales (en 6 meses hay dos trimestres) que se deben realizar para un valor actual de S/. 523.30: A trim = 523.3 [2.9563%) /(1-(1+2.9563%)^-2] =
La renta trimestral equivalente es de S/. 273.31
273.31
tral,
erminar estral. enal
btener
Ejercicio 49 Desde hace 3 años y con pagos semestrales de S/. 2,500 cada uno, Carlos Alberto comezó hipoteca que había contraido por un departamento que adquirió por un plazo de 10 año el sexto pago, decide cancelar el resto de su deuda con pagos trimestrales, sin variar la t definidos inicialmente. ¿A cuánto ascenderán los nuevos pagos si la tasa de interés es de Solución
0 1 2 3
4
5
6
7
8
9
10
Asemestral La tasa de interés equivalente trimestral es: i = (1+6.5%)^(90/180) -1 = (1+6%)^(1/2) -1 =
11
12
13 14 15 A Trimestral
3.1988%
16 17 18 19
20
3.1988% trimestral
Dado que no se modifican los horizontes de tiempo ni la tasa de interés definidos inicialmente, no es necesar determinar el valor actual de los pagos pendientes de pago y se puede simplemente reemplazar un pago semestral por dos pagos trimestreales (A trim), para lo cual se tiene: 2,500 = A trim * ((1+3.1988%)^2-1)) / 3.1988% = A trim =
S/. 1,230.32
La renta trimestral equivalente es de S/. 1,230.32
a pagar una . Luego de cancelar sa ni el plazo l 6.5% semestral?
semestres
io
Ejercicio 50 Se compra una maquinaria cuyo costo es de S/. 35,400 con un anticipo del 30% de dicho c 24 pagos quincenales, con un atractivo adicional para el comprador que consiste en efect pago hasta el final de la cuarta quincena. ¿Cuál es el valor de los pagos si la tasa de interé Solución:
i = 24% anual A = ? 0 1 2 3 4
35,400*70%
……………………………………………………..... 27
quincenas
P
La tasa de interés equivalente quincenal es: i = (1+24%)^(15/360) -1 = (1+24%)^(1/24) -1 =
0.9003%
0.9003% quincenal
Cuando existen pagos diferidos, existen 2 tipos de plazos. Período de gracia o período muerto. El más utilizado de ellos es el período de gracia (sólo se pagan intereses) Entoncés hasta la cuarta quincena consideramos como período de gracia. Para hallar los pagos quincenales requerimos que el costo de la maquinaria se ubique en la tercera quincena, un período antes del primer pago: P´= 35,000*0.7 * (1+0.9003%)^3 = S/. 25,167.72 Luego calculamos la anualidad; A = 25,167.72* (0.9003% / (1-(1+0.9003)^-24) =
Los pagos quincenales que deberán realizar son de S/. 1,179.72
S/. 1,170.72
