Espacio T1

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Espacio T1 De Wikipedia, la enciclopedia libre En topología un espacio T1 o de Fréchet  es un caso particular de espacio topológico.

Índice 1 Defi Defini nici ción ón 2 Prop Propie ieda dade dess 3 Not Nota y cas casos os 3.1 3.1 Teor eorema ema 4 Ejempl emplo os 5 Refe Refere renc ncia iass 6 Véas Véasee tam tambi bién én

Definición Un espacio topológico E es T1  si para cada pareja de elementos distintos x distintos  x e  y de  y  de E existe un abierto que contiene a x a x y  y no a y a  y y  y un abierto que contiene a y a  y y  y no a x a  x.. Notar que no es necesario que estos dos abiertos sean disjuntos (si esto ocurriera para todo x e y, sería un espacio de Hausdorff o T2).

Propiedades Sea E un espacio topológico. Son equivalentes: E es un espacio T1. E es un espacio T0 y un espacio R 0. Para cada x cada x de  de E, {x} es cerrado. Todo conjunto de un único punto es la intersección de sus entornos. Todo subconjunto de E es la intersección de sus entornos. Todo suconjunto finito de E es cerrado. Todo subconjunto cofinito de E es abierto. El ultrafiltro principal de x de x converge  converge solamente a x a x.. Para cada punto x punto x de  de E y todo subcojunto S de E, x es un punto límite de S si y sólo sí es un punto de acumulación de S.

Nota y casos Sea (ℕ, T) donde Tx = {A ⊂ ℕ; x ∈ A y ℕ - A es finito}. Entonces T es una estructura topológica sobre ℕ,

llamada estructura topológica cofinita que cofinita que es T1 pero no T2.1

Cualquier espacio T1 finito es un espacio topológico discreto.2

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Sea X = {a, b, c} y la topología que consiste de los siguientes subconjuntos de X: ∅, {b}, {a, b}, {b, c}, X este espacio topológico no es T1. Pues {b} no es cerrado

Teorema Un espacio topológico es T1 si sólo si cada punto es un conjunto cerrado.2

Ejemplos La topología cofinita sobre un conjunto infinito es T1 pero no T2.

Referencias 1. Ayala y otros: "Elementos de topología general" ISBN 84-7829-006-0 2. Simmons: Introduction to Topology and Modern Analysis

Véase también Axiomas de separación

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