estatica

Universidad Peruana los Andes Facultad de Ingeniería Carrera Profesional de Ingeniería Civil

FUERZAS PROBLEMA 1: Sobre un cuerpo actúa una fuerza F ⃗ =43.3i ⃗ +25j ⃗ de ∆ r ⃗ =25i ⃗

m.

N produciendo produciendo

un desplazamiento

Determina el trabajo realizado por la fuerza.

!u" ocurrir#a si el desplazamiento fuese ∆ r ⃗ =25i ⃗ +25j ⃗ $

Soluci%n &ara determinar el trabajo en cada uno de los casos realizamos el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento desplazamiento'' Se trata simplemente de aplicar la definici%n de trabajo realizado por una fuerza constante (ue produce un desplazamiento rectil#neo.

⃗ ⋅∆ r ⃗ =*43.3i ⃗ +25j ⃗ ⋅*25i ⃗ =,-2.53/ )=F

Deten01monos por un momento en este punto antes de continuar. Si te fijas bien el resultado es el mismo (ue en el caso d el ejercicio rabajo ealizado por Fuerza a &artir del 6n0ulo 7 del Desplazamiento en su tercer apartado. 8fecti9amente el 9ector fuerza (ue a(u# nos dan se0ún sus componentes es el mismo (ue el del ejercicio se:alado s%lo (ue en a(uel caso nos daban su m%dulo 7 el 1n0ulo (ue formaba con la ;orizontal.
Está Es táti tica ca de dell Cue Cuerp rpo o Ríg Rígid ido o

Ing. In g. as as!i !ing ngto ton n C"r C"rdo dova va #o #oni nifa faci cio o 1


8n relaci%n a la se0unda pre0unta recalculamos el trabajo con el nue9o 9ector desplazamiento'

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ %F⃗ ⋅ & ⃗ %'().)i *$+, -⋅'$+i *$+, -%1/.+0 &r %'().)i

&>?8@A 2'

$. i el ángulo con el 2ue un o3,eto re3ota es el 4is4o con el 2ue incide5 con respecto a un e,e perpendicular a la super6cie de i4pacto. 7Cuál de los siguientes sigui entes vectores representaría representaría 4e,or al vector V2 - V185 donde V2 es la velocidad con 2ue re3ota de la super6cie II.


Ing. In g. as as!i !ing ngto ton n C"r C"rdo dova va #o #oni nifa faci cio o $


8n relaci%n a la se0unda pre0unta recalculamos el trabajo con el nue9o 9ector desplazamiento'

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ %F⃗ ⋅ & ⃗ %'().)i *$+, -⋅'$+i *$+, -%1/.+0 &r %'().)i

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$. i el ángulo con el 2ue un o3,eto re3ota es el 4is4o con el 2ue incide5 con respecto a un e,e perpendicular a la super6cie de i4pacto. 7Cuál de los siguientes sigui entes vectores representaría representaría 4e,or al vector V2 - V185 donde V2 es la velocidad con 2ue re3ota de la super6cie II.


Ing. In g. as as!i !ing ngto ton n C"r C"rdo dova va #o #oni nifa faci cio o $


&>?8@A 3'

1. Cal cul eelmódul odel ar esul t ant e( enN)dedosf uer zade4Ny8Nr espect i vame ment eyque f or maunángul ode60° .


Ing. In g. as as!i !ing ngto ton n C"r C"rdo dova va #o #oni nifa faci cio o )


PROBLEMA4: Det er mi neelcosenodelángul oquef or mandosvect or esdei gualmagni t ud,sisur esul t ant eval el a mi t addeel l os.

Estática del Cuerpo Rígido

Ing. as!ington C"rdova #onifacio (


PROB OBLEMA MA5: Dosf uer zasdei gualmodul oyquef or manunángul ode60°ent r esi ,t i eneunar esul t ant ede40√3N. cal cul eelmodul odedi chasf uer zas.


Ing. In g. as as!i !ing ngto ton n C"r C"rdo dova va #o #oni nifa faci cio o +


PROB OBLEMA MA6: Cal cul eelmodul odelvect orr esul t ant e.


Ing. In g. as as!i !ing ngto ton n C"r C"rdo dova va #o #oni nifa faci cio o 9


PROB OBLEMA MA7: Losmó módul osdel osvect or esyson4uy3ur espect i vame ment e.Cal cul eelmáxi moval ordel a oper aci ón| 2 +3 | .


Ing. In g. as as!i !ing ngto ton n C"r C"rdo dova va #o #oni nifa faci cio o 


PROBLEMA8: Segúnl aﬁgur a,hal l e| – | ,siA=8yB=6.


Ing. as!ington C"rdova #onifacio :


PROBLEMA9:

Lar esul t ant edel os4vect or esmost r adost i eneunmodul ode:


Ing. as!ington C"rdova #onifacio ;


PROBLEMA10:


Ing. as!ington C"rdova #onifacio 1


Elvect orsumadel osvect or escol ocadosenelhexágonor egul ares:




PROBLEMA11: Semuest r aunr ect ángul oABCD,elmodul odel ar esul t ant edesumarl osvect or es + es:( encm)

+

+

PROBLEMA 12 Ser1 correcto afirmar (ue los dos sistemas mostrados son e(ui9alentes$

Solución




&ara (ue ambos sistemas sean e(ui9alentes las fuerzas del sistema B debieron estar orientadas tal como se muestra en la fi0ura ,.2 (ue lo denominaremos como Sistema BBB cu7o 9alor de la resultante lo determinamos por la le7 del paralelo0ramo. $

R

III

=

 + $ $(

= $+<

Fi0. ,.2 8n consecuencia los sistemas B 7 BB no son e(ui9alentes a pesar (ue la resultante del sistema B tiene la misma direcci%n 7 sentido (ue la fuerza única del sistema BB.

PROBLEMA 13 :

Si P = 9=< 7 > = +$=<  determine en forma anal#tica la resultante de P 7 Q

Fi0. ,.3



Solución:


19

  $95+9o



 )$    arctg



 1$

  $95+9o

 $(  Fi0. ,.4

θ = $.$95+9 + ;/ =

De esta manera el 1n0ulo (ue forman los 9ectores P 7 1()51$

o

7 la

Q es resultante se calcular1 por la f%rmula'

R= cos

P

$

θ=

+ > $ + $P>

$

$

9 + +$ + o $.9.+$.cos1()51$

= (95(+=<

&ara determinar el 1n0ulo (ue forma la resultante con Q aplicamos la le7 de senos *fi0ura ,.5' R P

sen)95: o :

⇒

γ = ;5/;?

=

senγ

ΑΝC?='5253E

PRODUCTO VECTORIAL

PRODUCTO VECTORIAL 8/8@&?' , 8l producto 9ectorial de los 9ectores si0uiente modo'

7

se calcula del

8pandiendo el determinante

Dando como resultado'

8/8@&?' 2 < a l c u l a r e l po!uc"o #$c"oi%l d e l os 9 e ct or e s 2.

8/8@&?' 3

= *, 2 3 7

= * G , , 

Dados

los

9ect ores

7



;allar

el

po!uc"o

#$c"oi%l d e d ic ;o s 9 ec to re s. < om pr ob ar ( ue e l 9 ec to r ; al la do e s o"o&on%l a 7 .

8 l p r o du c t o 9 e ct o r i al d e

e s o r t o 0o n a l a l o s 9 e c t or e s

7 .

8/8@&?' 4 Dados

los

9ect ores

7

paralelo0ramo (ue tiene por lados los 9ectores



;allar

7

H

el

1rea

del

EJEMPLO: 5

Determinar el '$% !$l "i'n&ulo cu7os 9"rtices son los puntos A *, , 3 > *2 G, 5 7 < *G3 3 ,.

8/8@&?' I Siendo

7

calcular el 9ector

8/8@&?' J 8ncontrar el 1rea del tri1n0ulo cu7os 9"rtices son los puntos

Formamos los 9ectores con estos puntos

7

*podr#an ser cual(uiera dos formados

Ser#a el 1rea del paralelo0ramo

8s entonces el 1rea del tri1n0ulo E(EMPLO: ) 8ncontrar el 9olumen del paralelep#pedo cu7os lados est1n conformados por los 9ectores 8l producto triple escalar en 9alor absoluto en cual(uier no dar1 el 9olumen

combinaci%n

Kolume n

tilizando desarrollo de determinantes por cofactores de la primera fila es f1cil 9er (ue' con los

9ectores

8/8@&?' L Si tenemos

encontrar el producto cruz entre ellos'

• E(EMPLO: 1* Si tenemos

•


E(EMPLO: 11 Si tenemos


•

E(EMPLO: 12 8ncuentre 3 puntos en el plano & ! 7  para la si0uiente ecuaci%n 7 encuentre

&ropon0amos los si0uientes puntos (ue satisfacen la i0ualdad de la ecuaci%n' . 8ncontramos el 9ector

. .

. 8ncontramos el 9ector . . A;ora calculamos . ecordando (ue

.

. . .

E(EMPLO: 13 8ncuentre 3 puntos en el plano @ M 7  para la si0uiente ecuaci%n 7 encuentre

&ropon0amos los si0uientes puntos (ue satisfacen la i0ualdad de la ecuaci%n' . 8ncontramos el 9ector

. .

. 8ncontramos el 9ector . . A;ora calculamos . ecordando (ue

. . .

.

E(EMPLO: 1+ Si tenemos


&ara 9er de mejor manera el pr%imo paso lo podemos 9er de esta forma

N E(EMPLO: 1, Si tenemos


&ara 9er de mejor manera el pr%imo paso lo podemos 9er de esta forma

DIA-RAMA DE CUERPO LIBRE

PROBLEMA 2:

1. Una fuer@a le proporciona a la 4asa de $5+ g. una aceleraci"n de 15$ 4Bs$. Calcular la 4agnitud de dic!a fuer@a en
m = 25 O0. a =,2 mPs2. F =$ *M 7 d7n

Solución

<"tese 2ue los datos aparecen en un 4is4o siste4a de unidades '...Para calcular la fuer@a usa4os la ecuaci"n de la segunda leD de
Co4o nos piden 2ue lo eGprese4os en dinas5 3astar1 con multiplicar por ,-5 lue0o'

PROBLEMA 3: !u" aceleraci%n ad(uirir1 un cuerpo de -5 O0. cuando sobre "l actúa una fuerza de 2----- dinas$ D%"o. a =$ m = 25 O0. F = 2----- d7n

Solución ?a masa est1 dada en @.O.S. en cambio la fuerza est1 dada en c.0.s. &ara trabajar con @.O.S. debemos transformar la fuerza a la unida @.O.S. de esa ma0nitud *M

?a ecuaci%n de la se0unda le7 de MeQton 9iene dada por' Despejando % tenemos' Sustitu7endo sus 9alores se tiene'

PROBLEMA +: n cuerpo pesa en la tierra I- Op. 
D%"o. &= I- Op = 5 M &? =$ 0? = ,I mPs2

Solución &ara calcular el peso en la luna usamos la ecuaci%n

(ue al despejar / tenemos'

8sta masa es constante en cual(uier parte por lo (ue podemos usarla en la ecuaci%n *B'

PROBLEMA ,: n ascensor pesa 4-- Op. !u" fuerza debe ejercer el cable ;acia arriba para (ue suba con una aceleraci%n de 5 mPs2$ Suponiendo nulo el roce 7 la masa del ascensor es de 4-- O0. Solución
?a fuerza resultante (ue actúa sobre el ascensor es F R & Aplicando la ecuaci%n de la se0unda le7 de MeQton tenemos'

Al transformar 4-- Op a M nos (ueda (ue' 4-- Op = 4-- * L M = 3L2- M Sustitu7endo los 9alores de P / 7 % se tiene' F R 3L2- M = 4-- O0. * -5 mPs2

F R 3L2- M = 2-- M Si despejamos F tenemos' F = 2-- M + 3L2- M F = 4,2- M

PROBLEMA 0: n carrito con su car0a tiene una masa de 25 O0.
?a fuerza F (ue actúa ;acia la derec;a es contrarrestada por la fuerza de roce Fr (ue actúa ;acia la iz(uierda. De esta forma se obtiene una resultante F R Fr (ue es la fuerza (ue produce el mo9imiento. Si aplicamos la se0unda le7 de MeQton se tiene'

Sustitu7endo F / 7 % por sus 9alores nos (ueda - M R Fr = 25 O0. * -5 mPs2 - M R Fr = ,25 M Si despejamos Fr nos (ueda' Fr = - M R ,25 M Fr = IJ5 M

&>?8@A ' 
m = ,5-- O0. Ko = Kf = 2 mPs2 t = ,2 s

Solución
&or(ue parti% de reposo. Sustitu7endo V 7 " por sus 9alores tenemos'

Si sustituimos el 9alor de % 7 de / en la ecuaci%n *B tenemos (ue'

PROBLEMA :
D%"o. m =$ Ko = F = ,5- M t = 3- s  = ,- m

Kf =$

Solución

Sustitu7endo los 9alores de  7 t en *BB tenemos'

Sustitu7endo a 7 F por sus 9alores en *B'

PROBLEMA 1*:
contra el blo(ue. Solución % ?as fuerzas (ue actúan sobre el blo(ue est1n representadas en la f i0ura , donde se elije un eje de coordenadas cu7o ori0en es el centro del cuerpo mostr1ndose las fuerzas 9erticales' el peso

7 la normal

8l peso del cuerpo direcci%n 9ertical 7 sentido ; acia abajo. Mormal fuerza (ue el plano ejerce sobre el blo(ue. Al dia0rama as# mostrado se le llama !i%&%/% !$ cu$po li4$. 4 &ara calcular la fuerza (ue el plano ejerce sobre el blo(ue aplicamos la se0unda le7 de MeQton'
PROBLEMA 11 8n la fi0ura ,L se muestran dos masas @, = 3 O0. 7 @2 = 5 O0. col0ando de los etremos de un ;ilo (ue pasa por la 0ar0anta de una polea a Tacer un dia0rama de las fuerzas (ue actúan b
Solución % bs"r9ese la fi0ura 2-*a la cual repre senta el dia0rama del cuerpo libre para el cuerpo de masa @,. 8s la tensi%n del ;ilo actuando ;acia arriba. 8l peso del cuerpo de masa @,.

8n la fi0ura 2-*b se muestra el dia0rama de cuerpo libre para el cuerpo de masa @2. 8s la tensi%n del ;ilo actuando ;acia arriba. 8l peso del cuerpo de masa @2. 4  Despajando  de la ecuaci%n *A nos (ueda (ue'  = @, . a + &, Sustitu7endo "sta epresi%n en *> tenemos' &2 R *@, . a + &, = @2 . a &2 R &, = @2 . a + @, . a Sacando % como factor común' &2 R &, = a . *@2 + @, Despejando nos (ueda'

*<
 = 3 O0 . 245 mPs2 + 2L4 M  = J35 M + 2L4 M

T 5 306+ 7 ?ue0o

7  = 3I4 M

PROBLEMA 12 8n la fi0ura 2, se muestran dos blo(ues de masa @2 = 2 O0. (ue arrastra sobre el plano ;orizontal al cuerpo de masa @, = J O0.
Solución Antes debemos ;acer un dia0rama del cuerpo libre. &ara el blo(ue ;orizontal se muestra la fi0ura 2,*a 7 para el blo(ue 9ertical el dia0rama de la fi0ura 2,*b.

Torizontalmente se desplaza ;acia la derec;a 7 la única fuerza (ue actúa es la tensi%n por lo (ue puede escribirse de acuerdo con la se0unda le7 de MeQton (ue'  = @, . a.UUUUUUUUUU.UUUUU.U.U *B 8n el blo(ue de masa @2 se lle9a a cabo un mo9imiento 9ertical ;acia abajo pudi"ndose escribir (ue' &2 R  = @2 . a.UUUUUUUUUUUUUUUU *BB Sustitu7endo  de la ecuaci%n *B en *BB se tiene' &2 R @, . a = @2 * a ransponiendo t"rminos se tiene (ue'

&2 = @2 . a + @, * a Sacando % como factor común' &2 = a . *@2 + @, Despejando nos (ueda'

Sustitu7endo todos los 9alores conocidos en la epresi%n *< nos (ueda (ue'

?a tensi%n de la cuerda la obtenemos sustitu7endo en la epresi%n'  = @, . a = 2O0. * 2,J mPs2

T 5 +63+ 7

PROBLEMA 13 Tallar la fuerza con (ue se atraen dos masas de 55 * ,-24 O0. 7 J3 * ,-22 O0. separados por una distancia de 3 * ,- m. Solución F=$ @, = 55 . ,-24 O0. @2 = J3 . ,-22 O0. d = 3 . ,- m

&ara calcular la fuerza de atracci%n entre las m asas @, 7 @2 sustituimos en la f%rmula de la cuarta le7 de MeQton el 9alor de cada una de ellas as# como los 9alores de - 7 de la distancia !'

!uedando la f%rmula como si0ue'

PROBLEMA 1+
Despejando @2 de la f%rmula de la cuarta le7 de MeQton tenemos

Sustitu7endo en la f%rmula los 9alores tenemos'

MOME7TO PARABOLICO

DE CAIDA LIBRE

MOVIMIE7TO PARAB8LICO DE CA9DA LIBRE 1.

$.

).

(.

+.

9.

.

:.

;.

1/.

11.

1$.

1).

1(.

1+.

EQUILIBRIO DE U7A PARTICULA

PROBLEMA 1:

PROBLEMA 2:

PROBLEMA 3:

PROBLEMA 4:

PROBLEMA ,

PROBLEMA 0: Un pasillo mecánico de un aeropuerto, se mueve respecto de unos ejes situados en el suelo a una

velocidad de 1,5m/s. Si un joven corre por el mismo a una velocidad de 3m/s y en el mismo sentido, ¿cuánto valen la velocidad de arrastre, la relativa y la absoluta?. Solución:

La velocidad de arrastre es la del pasillo mecánico, es decir la de los ejes en O' , fig.3.

Y

Y´

V OV =1,5 i m / s

r

V

La velocidad relativa es la que lleva el joven respecto de los ejes

oV

O

O´

v

X´

V

mviles en O´ . r

X

v

Z

V=3i m / s

Z´

La velocidad absoluta. !ig.3

r

r

r

r

v = V V + v V = 1,5 i + 3i = 4,5 i m / s O

"ompru#bese que cuando el joven corra por el pasillo en sentido contrario, la velocidad absoluta es de

G1,5 i m / s .

PROBLEMA 7:

$os automovilistas A y B se despla%an por una carretera con las siguientes velocidades v A = 120 km/h y v B = 100 km/h. $eterm&nese la velocidad relativa' a( cuando viajan en el mismo sentido y b( cuando lo )acen en sentidos contrarios. Solución:

a( "uando viajan en el mismo sentido r

r

v A

v B

r

Las velocidades v A y v B son respectos de los ejes en *+,j,%( fijos en tierra, sin embargo lo que se pide es una velocidad relativa. -ara calcular la velocidad de B respecto de A, debemos considerar en A los ejes mviles *+, y, %( y considerar a la velocidad de #ste v A como si fuera la velocidad de arrastre. Si

r

llamamos con v BV , A a la velocidad relativa de B respecto de A, resulta de aplicar la ecuacin /01. r

v

r

= v

relativa

r

V

v B,A

r

= v B

absoluta

G G

V arrastre

r

v A

r

r

r

= 100 i G 120 i =G20 i km / h

-ara el conductor B, la velocidad relativa es vV A , B y por las mismas ra%ones.

r

r

r

r

r

v V A,B = v A G v B = 120 i G 100 i = 20 i km / h

r

b( "uando viajan en sentidos contrarios, es a)ora v B =G100 i km / h v A

v B

La velocidad de B respecto de A, vale. r

v

r

= v

relativa

absoluta

r

r V

v

= v B

B,A

G

V r

arrastre

r

r

r

G v A

= G 100 i G 120 i =G220 i km / h

r

La velocidad de A respecto de B, vale' v

r

r

r

V A,B = v A G v B = 120 i G * G100 i

 =220 ir km / h

V

s

V Sustituyendo en la primera'

2gualando las componentes resulta'

r

 i + ! " = * 0 G V O V #t i

r

+ * ! o Gvo #t  "

V = o G V O V #t $

! V = !o Gvo #t

 la ecuacin de la trayectoria de las gotas de lluvia para el observador en el automvil, se obtiene eliminando el tiempo entre las dos ecuaciones anteriores. ! V = !o G

vo o V O V

+

vo

 V = % +

V

vo

V

V

O V

OV

4ue es la ecuacin de una l&nea recta de v . 5l ángulo que forma la pendiente o trayectoria de V

OV

las gotas de lluvia con la )ori%ontal es α =ar& t

vo

y para el conductor llueve sesgado.

V

OV

r

b( La velocidad respecto del automovilista que está en movimiento es una velocidad relativa v V r

r

v V= G V O V + v

r o

r

r

=G V O V i Gvo "

"onsiderando que las gotas de lluvia caen a una velocidad de 23 km/h y que el automvil lleva una velocidad de (0 km/h. 5l ángulo con el que cae la lluvia para el conductor es de 14,3) y la velocidad de la r

r

lluvia v V = G25 i G*,4 " m / s . 5l mdulo de esta velocidad es 25,+ m/s = (3 km/h.

PROBLEMA ):

PROBLEMA : $eterminar la aceleracin absoluta de un sat#lite que gira en el 5cuador terrestre, a una altura r6 respecto del centro de la 7ierra y con una velocidad constante respecto de #sta vV , en el mismo sentido de la rotacin terrestre, fig.80. Solución:

Se tomarán unos ejes unidos a la 7ierra y con origen en su centro, serán los ejes mviles * puesto que

)an de girar con ella con velocidad angular constante

ω .

Los ejes que permiten determinar el movimiento absoluto estarán fuera de la 7ierra, para que no est#n afectados por su rotacin. 5l problema requiere varias aproimaciones para poder ser abordado, as& que no se tendrán en cuenta el efecto de arrastre, producido por el movimiento de traslacin de la 7ierra en su trayectoria el&ptica alrededor del Sol, ni el de #ste alrededor del centro de nuestra 9alaia. 5n consecuencia tenemos que tomar' aOV =0 r

:demás al ser la velocidad de rotacin de la 7ierra constante

- ω =0 -t

=%te$

ω 

Sustituyendo estas dos condiciones en la ecuacin cinemática de aceleraciones /;1 resulta. Y´

a=

ω

∧

V

r

r ω

La aceleracin centr&peta r

y la de "oriolis a

r

a

vV

a

r

ω 

r

V r V

r r

H r  2ω Hv

%O

r

r

a&

=ω

r

r

r H *

ω

r Hr V

= 2ω Hv V se dibujan en

la fig.80.

&

r

a

O´

%O

Z´

Y

O X

X´

r V

-ara determinar la aceleracin relativa se debe recordar que estamos considerando el movimiento del sat#lite con relacin a la 7ierra y con velocidad constante vV . Si  es un vector unitario en la direccin radial y cuyo sentido es )acia el centro de la 7ierra *, entonces la aceleracin relativa tiene que ser de la forma'

Z

vV 2

r

r

=

r V  "omo todos los vectores a multiplicar vectorialmente son perpendiculares entre s&, resulta muy fácil determinar sus mdulos. *bservando la figura y teniendo en cuenta el vector unitario  antes definido, se puede epresar la aceleracin absoluta' 2 vV 2 r r r 2 r v r 2 2  a=ω r V  + ω #v V  +  =ω r V + 2ω#v V+ r V r V a V

!ig.80

V

5n el caso particular de una rbita geoestacionaria, v V 0 y la aceleracin absoluta a =

r

r

=ω2 r V  .

PROBLEMA 1*:

n ciclista (ue 9iaja con una 9elocidad de 5- WmP; recibe 9iento de frente de , WmP; (u" distancia recorrer1 en ,2-- s$. Datos:

9 ciclista = 5- WmP;

9 9iento = , WmP; t = ,2-- s

9r = 9 ciclista N 9 9iento 9r = 5- WmP; N , WmP; 9r = 32 WmP; = *32 WmP;.*,--- mPWm.*, ;P3I-- s = L mPs 9 = Pt  = 9.t  = *L mPs.*,2-- s  5 1*0006; /

PROBLEMA 11:

na lanc;a cruza el r#o en forma perpendicular a la corriente con una 9elocidad de ,2 mPs. Si la 9elocidad de la corriente de a0ua es de 4 mPs cu1l es la 9elocidad de la lanc;a respecto de la orilla$. Datos:

9 lanc;a = ,2 mPs 9 rio = 4 mPs &or la acci%n de la corriente del rio la lanc;a se mue9e si0uiendo una dia0onal.

8!B?B>B 8M 8? &?AM

PROBLEMA 1:

PROBLEMA 3

PROBLEMA +

PROBLEMA , :

PROBLEMA 0:

TEMA:

MOME7TO DE U7A FUERZA RESPECTO A U7 PU7TO

MOME7TO DE U7A FUERZA RESPECTO A U7 PU7TO PROBLEMA 1 na placa rectan0ular del0ada est1 sostenida por los soportes de bisa0ra en A 7 > 7 por dos cables &! 7 S cu7as tensiones son 2--M 7 3--M respecti9amente. a Determinar el momento de la fuerza ejercida por el cable &! respecto al punto A

b Determinar el 1n0ulo (ue forma el cable S con la l#nea  Solución: a ?a fuerza en el cable &! lo denotamos como & 7 en forma 9ectorial es' P = $// P>

= $//

P> '−/5:-

P

− /5(i + /5) , − /5:=

'−/5(-

$

$

= $//

+ /5)$ +

− /5(i + /5) , − /5:=

/5:;

= −:(5:i + 9)59 , − 19;59= (ue 9a desde A ;asta & *punto (ue

&ara el momento respecto a XAY ele0imos un 9ector rAP pertenece a la l#nea de acci%n &! rAP

= /5:=

?ue0o'

= 

A ' P -

GP

= rAP

i

,

=

/

/

/5 :

− :(5:

9)5 9

− 19;59

 A' P-

= −+/5::i − 95:( , *M.m

/

=i 9)5 9

/5 :

− 19;59

/

− , −

:(5:

/5 :

− 19;59

/

/

−

9)5 9

+= :(5:

Fi0. ,.24 b Determinamos los 9ectores rR  rR 7 calculamos el 1n0ulo (ue forman dic;os 9ectores rR = /5(i + , rR

= /5(i − /5:= R

cos

λ

− /5:=

α=

RI

.λ

R . R

=

R

/5(i + ,

=

RI

$

/5( + 1 '−/5:-

$

$

− /5:=

+

/5(i

.

/5(

$

− /5:=

= /599

+ '−/5:- $

α = arccos'/599- = (:519o

PROBLEMA 2 na placa rectan0ular est1 sostenida por dos m"nsulas en A 7 > 7 por un cable
− 59:i + $:5: , + *M.m $:5:=

Solución: ?a fuerza en el cable
P = P. CJ CJ

− /5)i + /5$( , − /5)$=

= P.

'−/5)-

$

= '−/59i + /5(: , − /59(=-P

+ /5$( $ + '−/5)$- $

&ara el momento respecto a XAY ele0imos un 9ector rAC (ue 9a desde A ;asta el punto < *punto (ue pertenece a la l#nea de acci%n
= /5)i + /5/:=

?ue0o' i

= A GP

= rAC

/5)

,

=

/

/5/ :

/5(: P

−

=i /5(: P

− /59(P

/59P

 A = −/5/):(Pi + /51((P, /51((P=

/5/ :

/

− /59(P

/5 )

− , −

/59P

/5/ :

− /59(P

/5 )

+= −

/ /5(: P

/59P

+

De donde'

P

= $//<

PROBLEMA 3

?a puerta batiente se mantiene en la posici%n mostrada en la fi0ura por medio de dos cables A> 7 A< 7 adem1s por las bisa0ras mostradas. Si las tensiones en los cables son 1 = )/l3 7 $ = ;/l3 . Determinar' a?a ma0nitud resultante

de

la

fuerza

b 8l momento de la fuerza tensional 1 respecto al punto <

Fi0. ,.2I Solución : a Determinamos las coordenadas de los puntos A > 7 < de acuerdo a la fi0ura ,.2J A *2Z -Z 4 > *5Z 2,LZ ,-2I < *-Z 2,LZ ,-2I

Fi0. ,.2J ?ue0o '

λ #A

− )i − $5:1; , + $5;(=

=

'−)-

$

= −/5+;1i − /5+++ , + /5+:+=

+ '−$5:1;- $ + $5;($



1 = 1 .λ 15++=

λ CA

$i

= $

= )/.'−/5+;1i − /5+++ , + /5+:+=- = −15)i − 1959+ , +

#A

$

− $5:1; , + $5;(=

= /5():i − /591: , + /59+$=

+ '−$5:1;- $ + $5;( $



= $ .λ CA = ;/.'/5():i − /591: , + /59+$=- = );5($i − ++59$ , + +:59:=

$

8n consecuencia' 





R = 1 + $

= $159;i − $5$ , + 95$)=

?a ma0nitud de la fuerza resultante' 

R = $159; $ 95$)

$

+ '−$5$- $ + = 1/5$9l3

b &ara el momento respecto a < ele0imos un 9ector rC# (ue 9a desde < ;asta > *punto (ue pertenece a la l#nea de acci%n de la tensi%n 1  rC#



=

C

= +i

= r C# G1

i

,

=

+

/

/

−

−

15+ 15) 1959+ +

/  i

C

=

/

15+ − , + 1959+

−

+

/

−

15+ +

15)

/

+

+= −

−

15)

PROBLEMA +: S i las ma0nitudes de las

*lb.pie

1959+

P= 1//<

fuerzas determinar'

= −:5+ , − :)5$+=

7 >

$+/<

a ?os momentos de P 7 Q respecto a los puntos  7< b ?as distancias perpendiculares entre los puntos  7 < 7 las fuerzas P 7 Q Solución: 8n este caso es con9eniente utilizar la forma 9ectorial'

P = 1// 9;5: ,

A#

 −

= 1//

− /5+i

+ , /59

 = /5)9

 = −+:51i −

+ (15;= A#

J#



 −

> = $+/ = $+/ −$/$5;i + 1(951= J#



/5:9/



+/5+i /5)9  =

/5919



 =

*M

=

*M

*fi0ura ,.2

Fi0. ,.2

rK# (ue 9a del punto  ;asta

&ara el caso de los momentos respecto al punto  ele0imos un 9ector

> *punto (ue pertenece a la l#nea de acci%n de los 9ectores P 7 Q 7 para el caso de los momentos respecto al punto < ele0imos el 9ector rC# (ue 9a del punto < ;asta el punto > escribi"ndolos en forma 9ectorial' *m rK# = /5)9=

rC#

= −/59 , *m

A;ora determinamos los 9alores de los momentos respecto a los puntos  7 < posteriormente las distancias re(ueridas. a 8l momento de P respecto al punto  ser1'

=  GP

K' P -

= rK#

i

,

/

/

/5)9 = $+51i

−

(15;

− +:51

=

9;5:

8l momento de P respecto al punto < es'

− $/5; , *M.m

= 

C' P -

i

,

=

/

−

/

/59

−

= rC#

+:51

GP

−

= −$+51i −

(15 )(5;= ;

*M.m

9;5:

8l momento de Q respecto al punto  ser1' ,

i

= 

K'>-

/

−

= rK#

=

/

= −)5/ , *M.m

/5)9

$/$5; / 1(951

G>

8l momento de Q respecto al punto < es' i

= 

C'>-

G>

= rC#

/

− $/$5;

,

=

−

/

/59 /

1(95 1

= −:5i − 1$15=

*M.m

b ?a distancia perpendicular del punto  a la l#nea de acci%n de P puede determinarse por'  d

KP

K' P

$+51

$

'−$/5;-

-

= =

= /5)$4

+ $

1/ /

P

?a distancia perpendicular del punto < a la l#nea de acci%n de P es'  d

CP

C' P

'−$+51-

$

'−)(5;-

-

= =

+

= /5()/4

$

1/ /

P

?a distancia perpendicular del punto  a la l#nea de acci%n de Q puede determinarse por'  d

K>

K'>

'−)5/-

= /5$;$4

$

-

= = >

$+ /

?a distancia perpendicular del punto < a la l#nea de acci%n de Q es'  d

C>

C'

>-

= = >

$

+

'−1$15-

$

'−:5-

= /59//4

$+ /

PROBLEMA ,: Si el momento combinado de las dos fuerzas cada una de ma0nitud respecto al punto XTY es cero. Se pide' a Determinar la distancia XdY (ue localiza a XTY

Solución :

b Determ inar el 1n0ulo (ue forman las l#neas 8< 7 8>

Fi0. ,.2 L a
= PEC

P1

= 1//. EC

),

= 1//.

EC

)$

− )=

= /51, − /51=

+ '−)- $

rLC = −d.i / i

/

,

− d

/

− d

/

= P

=1 rLC GP1

L

= −d /

/

/

/5 − 1 /51

=i

− , /5 − /51 1 /

+= − /51 /

/51

 PL1

= −/51d, − /51d= = P$

PE#

rL#

= 1//. E# = 1//. E#

)i

+ ) , − )=

) $ + )$

= +5)i + +5) , − +5)=

+ '−)- $

= ') − d-.i i

= = ') − dL  rL# GP $ P$

,

=

/

/

=i

+5 − ) +5)

+5)

') − d-

+= +5)

/

')

/

/

d-

−

−

− , +5 +5) ) +5 )

/

+

−

+5)

= ') − d-.'+5)- , + '+5)-.') − d-=

+5 )

?ue0o por condici%n del problema'



P1

+P =/ $

L L

− /51d + ') − d-. '+5)-

=/d=

15)(:4

b Determinamos el 1n0ulo (ue forman las l#neas 8< 7 8>

= ), − )= rEC

= )i + ), − )= rE#

EC

cos .λ

=E#

α=λ EC

E#

EC $

=

.

E#

),

− )= )i + ) , − )= .

1:

=

;

1:. $

+;

= /5:19+

⇒

α = arccos'/5:19+- = )+5$9 o

PROBLEMA 0: Determinar el momento de la fuerza de 5-WM respecto al punto A *fi0ura ,.3-. a sar el m"todo 9ectorial. b sar el m"todo escalar colocando las componentes rectan0ulares de la fuerza en los puntos > < 7 D.

Fi0. ,.3-

Solución: a 8scribimos la fuerza en forma 9ectorial esco0iendo el punto D como inicio del eje de coordenadas en el plano [ pudiendo apreciar (ue el rect1n0ulo es de -Im  o

-m es decir el 1n0ulo AD> es ) . F

= +/ cos ) o i + +/sen) o , = (/i + )/ , *WM

8le0imos el 9ector  del punto A al punto D por facilidad de c1lculo siendo' *m r = rAJ −/5)i

=

sando la forma de determinante para el producto cruz el momento respecto al punto A es' =

i 

A

= rGF = rAJ GF = − /5) (/

, /

/

= =['−/5)-')/-] =

−;=

*WM.m

)/ /

?a ma0nitud de  A es LWM.m 7 la direcci%n de  A es en la direcci%n de \ ne0ati9o (ue por la re0la de la mano derec;a si0nifica (ue el momento respecto al punto A es ;orario. b

8n este problema el c1lculo escalar es tan con9eniente como el m"todo 9ectorial por(ue las distancias perpendiculares entre A 7 cada una de las componentes de fuerza *fi0ura ,.3, pueden determinarse por inspecci%n.

Fi0. ,.3,

' A = ')/-'/5+*sentido ;orario

− '(/-'/59- = −;=<.4

?ue0o analizamos el caso cuando las componentes est1n colocadas en el punto <' A = ')/-'/51*sentido ;orario

− '(/-'/5)- = −;=<.4

Finalmente analizamos el caso cuando las componentes ;an sido colocadas en el punto D'  A = −')/-'/5);orario

= −;=<.4 *sentido

PROBLEMA ; : 8n la si0uiente fi0ura considerando (ue el peso  de la barra es de ,--W0 e9aluar el momento de 0iro en el punto A.

Fi0. ,.32 Solución :
Fi0. ,.33 89aluamos el momento en el apo7o A

A

= −1+/.')5/(- − $$/.'$5$:- − 1//.'151(- = −1/159=g.4

8l sentido es ;orario por ser ne0ati9o

PROBLEMA ):

Determinar la relaci%n aPb sabiendo (ue el momento en la base A del poste es nulo.

Fi0. $

Solución:
el momento respecto a un

punto

es fuerza  distancia

aplicam

os este concepto al presente

proble

ma.

'15+3'$a- =

−;F.'3- − $F.'$3- − 1/F. + 9F.'a- + :F.'15+a- + (F. −$:F3 + $9Fa

&or

condici%n del problema'

A

=

− $:F3 + $9Fa = / De donde'

a

=

15/ 3

PROBLEMA : ?a fuerza F actúa sobre las tenazas del brazo de robot. ?os momentos de F respecto a los puntos A 7 > son de ,2-M.m 7 I-M.m respecti9amente ambos en sentido anti;orario. Determinar F 7 el 1n0ulo

θ

Fi0. $

Fi0. ,.35

Solución : 8fectuamos los momentos respecto a los puntos A 7 > descomponiendo la fuerza F 7 calculando por 0eometr#a las distancias' &M  X AY '

Fi0. $

F cos θ. '1+915$)- − Fsenθ.'1+/&M 1$////  X >Y '

=

F cos θ. '1/(159$− Fsenθ. '(+/- = 9////

$

PROBLEMA 1*: Se coloca una tuerca con una lla9e como se muestra en la fi0ura. Si el brazo  es i0ual a 3- cm 7 el tor(ue de apriete recomendado para la tuerca es de 3- Mm cu1l debe ser el 9alor de la fuerza F aplicada$.



F

Solución:

] t = r  F = -3 m  F = 3- Mm Despejando'

-3 m  F = 3- Mm F = 3- Mm

F 5 1** 7

-3 m

PROBLEMA 11: na 9i0a uniforme de lon0itud ? sostiene blo(ues con masas m , 7 m2 en dos posiciones como se 9e en la fi0ura. ?a 9i0a se sustenta sobre dos apo7os puntuales. &ara (u" 9alor de  *en metros estar1 balanceada la 9i0a en & tal (ue la fuerza de reacci%n en O es cero$.

Datos'

?=Jmd =,m m, = 25 W0 m2 = L W0

$


8s(uematicemos las car0as or(ue en el punto &' ]t =] t = m,.0.*?P2 + d N m2.0. = m,.0.*?P2 + d = m2.0.F
162, / 5 

CE7TRO DE -RAVEDAD


Ing. as!ington C"rdova #onifacio





M

M










<8M D8 CAK8DAD




KE<K JE PRK#NEA

PRK#NEA




PRK#NEA

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PRK#NEA 9



Universidad Peruana los Andes Facultad de Ingeniería Carrera Profesional de Ingeniería Civil PRK#NEA 




PRK#NEA :




PRK#NEA




PRK#NEA



estatica

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