ALGEBRA
Moisés A. Apaza Quincho P
Q
Q
CONCEPTO: Parte de la mecánica que se encarga de estudiar los cuerpos que se encuentran en equilibrio. EQUILIBRIO: Un cuerpo se encuentra en equilibrio cuando no tiene aceleración (a=0), por lo tanto hay dos posibilidades: está en reposo o se mueve en línea recta con velocidad constante. Equilibrio
1
70° α
7kg 12kg
FUERZAS USUALES EN LA MECANICA: En la naturaleza, nos encontramos con muchos tipos de fuerzas, las más comunes son aquellas que se ejercen por contacto, empujamos, presionamos, comprimimos o estiramos un objeto. En este capítulo, estudiaremos con la finalidad de conocer de manera más detallada, algunas de estas fuerzas, dando especial importancia a aquellas que son de uso más frecuente en los diversos capítulos de la mecánica. Así, en orden de importancia tenemos.
A. PESO (W) Fuerza con que la tierra atrae a todo V=0; a=0 V=Cte.; a=0 cuerpo que se encuentre en su cercanía. Es directamente proporcional a la masa FUERZA: de los cuerpos y la gravedad. Se Cuando suspendemos un cuerpo, representa por un vector vertical golpeamos un clavo, estiramos o dirigido hacia el centro de la Tierra. comprimimos un resorte o empujamos un automóvil, decimos que estamos “interaccionando”; la interacción es pues jalar o empujar los demás cuerpos mg mg entonces: mg La fuerza es la medida de la interacción que se manifiesta B. TENSION (T) entre dos cuerpos Fuerza electromagnética resultante que se genera en el interior de una cuerda, y Unidades de fuerza en el SI: que surge para ponerse a los efectos de estiramiento por parte de fuerzas externas que actúan en los extremos de ellas. Newton (N)
Darwin N. Arapa Quispe T
F
T
2
E. COMPRESION (C) Es aquella fuerza interna que se opone a la deformación por aplastamiento de los cuerpos rígidos (barras).
C. NORMAL (N) Llamada también fuerza de contacto, viene a ser la resultante de las infinitas C fuerzas electromagnéticas que se generan entre las superficies de dos cuerpos cuando estos se acercan a C distancias relativamente pequeñas, predominando las fuerzas repulsivas. Su línea de acción siempre es PRIMERA CONDICION DE EQUILIBRIO perpendicular a las superficies en contacto. “Un cuerpo se encontrará en equilibrio cuando la fuerza resultante que actúa sobre él, sea igual a cero, para esto, las N N fuerzas componentes deben ser necesariamente coplanares y D. FUERZA ELASTICA (Kx) concurrentes” Aparece en los materiales elásticos tales como los resortes, la fuerza CONDICION ALGEBRAICA: elástica se opone a la deformación Sean F1, F2, F3,….. Fn. las fuerzas que longitudinal por comprensión o por actúan sobre un cuerpo en equilibrio, alargamiento, haciendo que el resorte entonces se debe cumplir que: recupere su dimensión original.
K
F F
x
FR= F1+ F2+ F3+…..+ Fn.=0
La fuerza elástica “F” se calcula según la ley de Hooke
F=Kx
Donde: K: N/m x: m
Darwin N. Arapa Quispe
3
CONDICION GRAFICA: de la estática; la 2da ley será estudiada Se sabe que si la resultante de un en el capítulo: “Dinámica”. sistema de vectores es nula, el polígono que se forma será cerrado. Primera ley. (Ley de inercia) “Un cuerpo de masa constante F2 permanece en estado de reposo o de movimiento con una velocidad constante en línea recta, a menos que F3 sobre ella actúe una fuerza”. F1 F4 F1+ F2+ F3+ F4.=0 TEOREMA DE LAMY: Cuando se tienen tres fuerzas concurrentes y coplanares actuando sobre un cuerpo en equilibrio, se cumple: F2 F1 θ α
Tercera ley. (Ley de acción y reacción) “Si un cuerpo le aplica una fuerza a otro (acción); entonces el otro le aplica una fuerza igual y en sentido contrario al primero (reacción)” DIAGRAMA DEL CUERPO LIBRE (DCL): Hacer el DCL de un cuerpo es representar gráficamente las fuerzas que actúan en él. Para esto se siguen los siguientes pasos.
Se aísla el cuerpo, de todo el sistema Se representa el peso del cuerpo mediante un vector dirigido F3 siempre hacia el centro de la Tierra. Si existiesen superficies en contacto, F1 F2 F3 = = se representa a la reacción senα senβ senθ mediante un vector perpendicular a dichas superficies y empujando LEYES DE NEWTON siempre al cuerpo. Las leyes de Newton constituyen Si hubiesen cuerdas o cables, se verdaderos pilares de la mecánica, representa a la tensión mediante un fueron enunciadas en la famosa obra de vector que está siempre jalando al Newton “Principios Matemáticos de la cuerpo, previo corte imaginario. Filosofía Natural”, publicada en 1 686. Ellas son conocidas como la 1ra, 2da y Ejemplos: 3ra Ley de Newton, de acuerdo con el Realizar el diagrama del cuerpo libre, orden que aparecen en esta obra citada. de cada cuerpo (esfera y nudo) en los En este capítulo, estudiamos la 1ra y sistemas mostrados en equilibrio. 3ra ley, que nos permitirán analizar el equilibrio del cuerpo, esto es el estudio β
Darwin N. Arapa Quispe 1: esfera
4
DCL(esfera) T
R
N W
2: nudo
θ
DCL(nudo A) T
A
θ
W2
A 2
1
W1
TIPOS DE APOYO: existen diversos tipos de apoyos, los más importantes son los siguientes:
FUERZA DE ROZAMIENTO (f): Es aquella fuerza que se opone al deslizamiento o posible deslizamiento de los cuerpos. Existen dos tipos:
1: Fuerza de rozamiento estático ( fs ) Es la fuerza que se opone al intento de deslizar un cuerpo sobre una superficie debido a las mutuas asperezas entre ambos cuerpos. mg = W F
A) En contacto
m
fs
Sin rozamiento
Con rozamiento
Rx
N
s Rp: Reacción del
R
R
Ry
B) Apoyo fijo: en este caso existen dos reacciones perpendiculares entre sí.
=sN
piso
Reacción del Piso =
s=tanθ
Rx
Donde: fs max : Valor de la fuerza de rozamiento estático máximo (Newton). C) Apoyo móvil: En este caso existe solo s:Coeficiente de rozamiento estático. una reacción que es perpendicular a las N: Valor de la reacción normal de la superficie de apoyo sobre el cuerpo. superficies en contacto. R
Ry
Darwin N. Arapa Quispe
5
2. fuerza de rozamiento cinético ( fk )
Ejemplo 02: La figura es un bloque de 20N de peso, Se presenta durante el deslizamiento en posición de equilibrio. Si el peso de los cuerpos sobre las superficies cada de cada polea es de 4N, ásperas. W=mg determinar la tensión en la cuerda (1). F
m fk N
fk = k N
k
(1)
Rp: Reacción del piso
Solución:
Reacción del Piso =
Hagamos un DCL de todo el sistema: ¡Importante! Siendo las poleas lisas, el valor de la tensión se transmite a lo largo de toda la cuerda (1)
k <s
Donde: fk : Valor de la fuerza de rozamiento cinético. k : Coeficiente de rozamiento cinético N : Valor de la reacción normal.
Problemas resueltos Ejemplo 01: Si el sistema se encuentra en equilibrio calcula el valor de la tensión si: m=35kg. (g=10m/s 2) D.C.L (bloque)
F( )=F ( ) El primer término es la Suma de las fuerzas hacia Arriba, y el segundo, es la suma de las fuerzas hacia abajo. 4T = 24
T=6N
T
m
mg=350N
Solución:
Por equilibrio F( )=F ( ) T=mg T=350N T=350N
Ejemplo 03: En el sistema mostrado en equilibrio, calcular la tensión en la cuerda, si cada esfera pesa 5N. no existe rozamiento. (1)
Darwin N. Arapa Quispe
6
Ejemplo 05: Una barra homogénea de 5kg está en equilibrio entre dos paredes verticales tal como se muestra. Determine el módulo de la reacción sobre la barra por parte de la pared rugosa. (g= 10m/s2) Liso Rugoso g
Solución: Haciendo un DCL del sistema: De la 1ra. Condición de equilibrio: Fy = 0 T–5N–5N=0 T=10N Ejemplo 04: Si el peso de la barra uniforme y homogénea AB es de 72N y la tensión en la cuerda CD es de 75N, hallar la fuerza de reacción en el pasador A (C es punto medio de AB).
45°
Solución:
DCL de la barra
D
C
a
a 45°
N
α
A
C
2a
B
Solución:
Sobre la barra hay concurrentes Aplicando Pitágoras:
3
fuerzas
B W=mg
R
RA
T=75
A
Sobre la barra concurrentes W=72
R RA =21N Cuando sobre un cuerpo en reposo actúan tres fuerzas y no son paralelas, entonces las tres fuerzas deben ser necesariamente concurrentes
hay tres fuerzas
Del triángulo fuerzas: α N a R tanα = = mg 2a mg Por lo tanto: 2N=mg=50N N N=25N Luego aplicamos el teorema Pitágoras R 𝑹 = 𝟐𝟓 𝟓N
de
de
Darwin N. Arapa Quispe Ejemplo 06: Los bloques A y B de 2kg y 3kg respectivamente, están en equilibrio. Determine la deformación en el resorte de rigidez K=200N/m. No existe rozamiento. Considere: (mpolea=1kg; g= 10m/s2)
7
Ejemplo 07: Determine el ángulo “θ” si los bloques de masas M=2kg y m=1,25kg se mueven con rapidez constante. Desprecie todo tipo de rozamiento. (g= 10m/s2 ) M
m
B
30°
θ
Solución:
A
Solución:
DCL (polea móvil)
El sistema está en equilibrio puesto que se mueve a velocidad constante. Analizando por separado a los bloques M y m. DCL (bloque M)
T
mag
mag
Por equilibrio: Mgsen30°=T……(1)
30°
Mg
mpg Por equilibrio: F( )=F ( ) T=2mag+mpg T=50N DCL (bloque B)
T
N
Kx
F( → )=F (←) T=Kx 50=200x → x=0,25m 𝐗 = 𝟐𝟓𝐜𝐦
Del equilibrio: mgsenθ=T…….(2) θ
mg
R
DCL (bloque m)
mg
Igualando (1) y (2) mgsenθ= Mgsen30° de donde: senθ=4/5 R θ=53°
Darwin N. Arapa Quispe Ejemplo 08: Determine el módulo de la fuerza que debe ejercer el joven para que esté a punto de deslizar de “A” hacia “B” el bloque de 10kg. (g= 10m/s2)
8
Ejemplo 09: El sistema mostrado esta en reposo. ¿Qué valor tiene la reacción en A? (la barra es de 100N
B
u
50N
A
20N 0,6 0,4
Solución:
53°
DCL (barra)
A
50N
50N
Solución: Según el enunciado el bloque está a punto de subir. Por lo tanto la fuerza de rozamiento estará dirigida hacia abajo. DCL (bloque)
R
20N 100N
120N
R
Por el teorema de Pitágoras se tiene: R R=130N
53°
mg
Ejemplo 10: Si la cadena mostrada pesa 12N. Hallar la reacción en el soporte “A”. 60°
Fx = 0 → F-f-Mgsen53°=0……(1) f=usN; N=Mgcos53°
A
B
30°
Se sabe que: k <s
Solución:
Por lo tanto:
s=0,6 En (1) se tendrá:
60°
RA 30°
F= us Mgcos53°+ Mgsen53° De donde: R F=166N
RB
DCL (cadena)
W
Darwin N. Arapa Quispe Triángulo de fuerzas
RA
W
Ejemplo 12: Si la barra homogénea de 3kg se encuentra en equilibrio. Calcular las tenciones en las cuerdas A y B. (g= 10m/s2)
RA =Wsen30° RA =Wsen30° RA =12(1/2)
60°
RB
R
30°
A
RA =6N
Ejemplo 11: Si el sistema mostrado en la figura se encuentra en equilibrio, siendo el peso del bloque “Q” 15N, determinar la tensión en la cuerda AB y la fuerza de compresión en la barra AC de peso despreciable. AB=40cm; AC=60cm.
B
55° 19°
72°
Solución: DCL (barra) TA
A
B
106° 55° 19°
72°
30cm
TB
mg
Construyendo el triángulo de fuerzas Triangulo isósceles TB= TA
Q
C
Solución:
Haciendo el DCL de una porción de la barra y graficando el triángulo de fuerzas: mg
B Q
C
53°
A
T
A
T
C
TB 74°
53°
TA
Q
C
Por semejanza se tiene: Q T C = = BC AB AC De donde: R
9
T=20N
C=30N
Por la ley de senos: TA TB = = 74° 53° 53° TB= TA=25N
Darwin N. Arapa Quispe
10
PROBLEMA 04: Sabiendo que la esfera mostrada pesa PROBLEMA 01: 60N y se encuentra en equilibrio. En el sistema mostrado en la Fig. Calcular la reacción en el piso. No hay Calcular el valor de la fuerza F para que rozamiento. el cuerpo permanezca en equilibrio. W=40N. θ=37° A) 150N
PROBLEMAS PROPUESTOS
A) 40N B) 20N C) 50N D) 30N E) 10N
B) 200N θ F
D) 300N
PROBLEMA 05: Sabiendo que el sistema mostrado se encuentra en equilibrio, determinar el peso del bloque 3 si los pesos de 1 y 2 son 70N y 60N respectivamente. No hay fricción. A) 20N B) 70N
37°
D) 50N
1
E) 40N
θ α
3
2
C) 30N
PROBLEMA 03: Determinar la tensión en el cable en el sistema mostrado, si el peso del bloque es de 640N, sabiendo además que α=30° y θ=37°. A) 400N B) 600N C) 200N D) 300N E) 500N
37°
E) 100N
W
PROBLEMA 02: Se tiene un bloque sobre un plano inclinado. Calcular la tensión en la cuerda y la reacción en dicho plano inclinado, si se sabe que el peso del bloque es 120N. De como respuesta la suma de ambas. A) 170 B) 152 C) 188 D) 168 E) 200
F=30N
C) 120N
30°
PROBLEMA 06: El sistema mostrado se encuentra e equilibrio. Calcular el valor del Angulo θ; 1=80N y 2=60N A) 16° B) 45° C) 30° D) 74° E) 37°
θ
1
2
Darwin N. Arapa Quispe PROBLEMA 07: Una esfera de 200N se encuentra en equilibrio con dos bloque Q y R, se sabe que Q=300N y que la reacción del piso sobre el vale 100N. Determine los valores del peso del bloque R y la reacción del piso sobre la esfera. No existe rozamiento. A) 170; 85 B) 160; 80 C) 160; 100 D) 190; 80 E) 40; 50
R 37°
A) 10N B) 30N C) 60N D) 80N E) 50N
PROBLEMA 10: El sistema mostrado se encuentra en equilibrio. Determine la masa del bloque “B”; si el bloque “A” posee una masa de 1kg. Desprecie el peso de las poleas. (g=10m/s2 ) A) 8kg B) 4kg C) 1kg D) 16kg E) 2kg
A
Q
PROBLEMA 08: Si el sistema mostrado se encuentra en equilibrio, calcular la tensión. Calcular la tensión en la cuerda AB si P=4Q=32N y que las tensiones en las cuerdas BC y DE difieren en 30N. A B E
D
C Q
11
B
PROBLEMA 11: Determinar la suma de las deformaciones de los resortes ideales de rigidez K=200N/m. El sistema se encuentra en equilibrio. (g=10m/s2 ) A) 10cm B) 15cm C) 30cm D) 25cm E) 40cm
2kg
3kg
P
PROBLEMA 09: Tres bloques uniformes y homogéneos de pesos =600N, =100N y =300N se mantienen en equilibrio y sostenidos por cables idénticos. Calcular el valor de la reacción en las superficies X e Y
PROBLEMA 12: En el sistema mostrado las cuñas se encuentran en equilibrio. Determinar la deformación del resorte de rigidez K=10N/cm; m=4kg. No existe rozamiento. (g=10m/s2 )
A) 150; 300 B) 100; 200 C) 70; 140 D) 90; 150 E) 80; 160
B) 2cm
X
A) 3cm C) 1cm
A B
D) 2,5cm
C
E) 5cm Y
m
53°
M
K
Darwin N. Arapa Quispe PROBLEMA 15: La figura muestra una barra AB uniforme y homogénea de 2N de peso apoyada en una pared vertical lisa y una superficie horizontal rugosa. Determinar las fuerzas de reacción en los puntos de apoyo A y B A) 2; 2 5N B) 1; 5N C) 1; 2 2N D) 2; 5N E) 1; 3N
A 45°
B
PROBLEMA 14: En el sistema físico mostrado, la barra AB uniforme y homogénea de 6,4kg de masa se encuentra en equilibrio. Si AC=80cm y BC=120cm. Calcular el valor de la tensión en la cuerda y la reacción en la bisagra. A) 48; 80N B) 38; 60N C) 28; 40N D) 36; 70N E) 34; 90N
C
B
12
PROBLEMA 16: Se muestra una barra homogénea de 72N en reposo, determine la deformación del resorte cuya constante de rigidez en K=300N/m A) 0,1m B) 0,2m C) 0,3m D) 0,4m E) 0,5m
1,5m
0,9m
K
PROBLEMA 17: Una cadena uniforme y homogénea cuelga según como se indica en la figura, si la tensión en la argolla B es 100N y el peso total de la cadena es 140N. Calcular la tensión en la argolla A (α+β=π/3) B A) 90N A B) 80N β C) 30N α D) 60N E) 55N
PROBLEMA 18: Un tubo liso de 64cm de longitud PROBLEMA 15: permanece colgado mediante una Una barra homogénea de longitud cuerda que pasa por su interior. L=2m se apoya en una pared vertical y Determine la distancia desde el punto P una superficie cilíndrica de radio al centro de gravedad del tubo. R = 7m. Calcular el ángulo θ que define la posición de equilibrio. No hay A) 40cm fricción R B) 14cm A) B) C) D) E)
30° 37° 45° 53° 75°
A
C) 24cm D) 50cm 𝛉
E) 48cm
P
37°
Darwin N. Arapa Quispe
13
PROBLEMA 19: La barra de 80cm de longitud está en equilibrio. Determine a que distancia del punto A se encuentra el centro de gravedad de la barra.
A) 0,25m B) 0,30m C) 0,35m D) 0,75m E) 0,20m
A) 10cm B) 30cm C) 15cm D) 40cm E) 25cm
PROBLEMA 23: El collarín “A” de 150N puede resbalar sobre una barra vertical sin fricción y está conectada como se indica a un contrapeso “C” de 170N. Hallar la medida de h para la posición de equilibrio. 16cm
A
37°
16° 37°
PROBLEMA 20: Dos poleas mantienen el sistema de cuerdas en equilibrio (ver Fig.) si A) 25cm 1 =100N, determinar 2 y 3 B) 30cm h respectivamente. C) 34cm C D) 12cm A E) 32cm A) 50; 50N 37° 53° B) 75; 85N C) 75; 125N PROBLEMA 24: 𝐖𝟏 𝐖𝟑 D) 85: 125N Un aro fino y liso de peso “P” está E) 200; 300N sujeto a una pared con ayuda de dos 𝐖𝟐 clavos, el primero de ellos se encuentra dentro del aro(punto A) y lo toca de PROBLEMA 21: Determinar el ángulo “α” para que el manera que el radio, trazado al punto sistema esté en equilibrio. Si P y Q de tangencia A, forma con la vertical OC representan pesos. el ángulo AOC=α. El segundo clavo esta fuera del aro(punto B) el ángulo BOC=β Hallar con que fuerza el aro presiona A) 60° 70° α sobre cada clavo. B) 25° C) 50° A) F = ( ) C P Q D) 75° F = ( ) E) 40° A Q
PROBLEMA 22: B) F = Una esfera de peso 200N descansa sobre un plano inclinado, y está unido a F = un resorte de constante elástica k=500N/m, y este forma un ángulo de 16° con el plano inclinado como se C) F = indica en la figura. Hallar la F = deformación del resorte.
(
)
(
)
O
B (
)
(
)
Darwin N. Arapa Quispe PROBLEMA 25: En el sistema mostrado, determine la fuerza de contacto entre los bloques B y C si se sabe que los pesos de los bloques son =40N, =60N y =80N. No existe rozamiento A) 60N B) 30N C) 50N D) 90N E) 65N
A B
C
30°
PROBLEMA 26: Calcular el peso necesario del bloque Q para el sistema mostrado se encuentre en equilibrio, sabiendo que P=320N 53°
A) 150N B) 160N C) 180N D) 190N E) 170N
37°
14
PROBLEMA 28: Sabiendo que el conjunto de poleas logra equilibrar al bloque que pesa 600N, se pide calcular la tensión en el cable más largo. A) 130N B) 120N C) 60N D) 100N E) 80N PROBLEMA 29: En el sistema mostrado el pequeño bloque es de 2kg, la tabla de 5kg y las poleas son ideales, si el sistema se mantiene en reposo; determine el módulo de la fuerza que el bloque ejerce sobre la tabla (g=10m/s2 )
A) 2,5N B) 3N Q P C) 4,0N D) 7,5N PROBLEMA 27: En la figura se tiene un prisma E) 3,5N rectangular isósceles sobre el cual se encuentran los bloques A y B de pesos PROBLEMA 30: 360N y 480N respectivamente. Calcular En el sistema mostrado, los bloques la medida del ángulo θ que define la están equilibrio. Si sus pesos son posición de equilibrio. No existe P=60N y Q=40N. Calcular con que fuerza se comprimen los bloques. rozamiento Desprecie el peso de las poleas A) 10° Horizontal
B) 6° C) 8° D) 12° E) 9°
B
A) 10N B) 20N
A
C) 15N 45°
θ
D) 5N
P
E) 0N
Q
Darwin N. Arapa Quispe PROBLEMA 31: Considerando que en el sistema todas las superficies son lisas, y que el bloque M recibe una reacción de 160N de la superficie inclinada; determinar la masa “m”, si la polea pesa 20N y el sistema está en equilibrio. (g=10m/s2 ) A) 10kg B) 7kg C) 5kg D) 8kg E) 12kg
A) 30N B) 40N C) 50,85N D) 80N E) 67,85N
15
7kg 12kg
PROBLEMA 34: Sabiendo que el sistema mostrado esta en reposo. Calcular la longitud natural del resorte. F=50N; K=40N/cm
M
A) 5cm 8cm F B) 6cm K C) 7cm 37° D) 8cm PROBLEMA 32: Determinar la fuerza F necesaria para E) 10cm que el sistema mostrado conserve su estado de equilibrio (Desprecie todo PROBLEMA 35: tipo de fricción) El sistema mostrado se suelta de talmodo que los resortes se estiran por A) Wsenα acción del eso del bloque A. calcular la longitud natural de los resortes si sus B) 7Wtgα 3W constantes de elasticidad son C) 12Wcosα F α D) Wtgα =300N/cm y =400N/cm. Peso de 1 2 α W E) 4Wtgα A=600N m
37°
PROBLEMA 32: Si la esfera de 7kg, determine el módulo de la fuerza de tensión y la reacción del plano sobre la esfera (g=10m/s2 ) A) 20 2; 30 B) 30; 7 2 C) 32 2; 50 D) 40; 8 2 E) 32 2; 30
A) 14; 18cm B) 15; 20cm C) 16; 21cm D) 12; 17cm E) 10; 15cm
18cm
1
24cm 2
A
45°
37°
PROBLEMA 33: Determine el módulo de la tensión en el cable (1), si el sistema se encuentra en reposo (g=10m/s2 )
PROBLEMA 36: El bloque de 500N se encuentra en equilibrio apretando un resorte de rigidez K=400N/m. calcular la deformación del resorte A) 15cm B) 30cm C) 5cm D) 10cm E) 40cm
K 53°
F=80N
Darwin N. Arapa Quispe
16
PROBLEMA 37: Sobre un plano horizontal se tiene una caja que pesa 200N ¿Qué fuerza horizontal es necesario aplicar para que se mueva? u =0,5
PROBLEMA 40: Si el peso del bloque mostrado es 10N. Hallar el mínimo de F que se debe aplicar al bloque con la condición de que conserve su estado de equilibrio estático. (u =0,5)
A) 100N D) 50N
A) 5N B) 10N C) 20N D) 15N E) 7,5N
B) 150N
C) 200N E) 10N
PROBLEMA 38: ¿Qué masa “m” debe tener el bloque “A” para que el movimiento del bloque de masa M=25kg se inminente? u =0,4 A) 5kg B) 20kg C) 15kg D) 10kg
m M
E) 25kg
u
PROBLEMA 39: Los bloque mostrados tienen los siguientes pesos A=14N y B=6N. Hallar el mínimo valor de la fuerza F que se debe aplicar al bloque A con la condición de que se conserve su estado de reposo (u =0,4) A) 10N B) 30N
F
A
F
53°
PROBLEMA 41: ¿Cuánto es la deformación del resorte (K=100N/m), si el bloque de 23kg se encuentra en equilibrio cinético? A) 0,3m B) 0,1m C) 0,4m D) 0,2m E) 0,5m
K
37°
F
37°
D) 20N B
0,2 0,4
PROBLEMA 42: ¿Qué valores puede tener la fuerza F para mantener el bloque de 10kg en reposo? (u=0,5 y g=10m/s2 )
C) 80N E) 50N
u
A) ⦋ 10; 50N⦌ C) ⦋ 30; 150N⦌ E) ⦋ 30; 100N⦌
B) ⦋ 20; 100N⦌ D) ⦋ 80; 120N⦌
Darwin N. Arapa Quispe PROBLEMA 43: La figura muestra dos bloques idénticos de peso 50N cada uno, unidos mediante un resorte de masa despreciable. Los coeficientes de rozamiento estático en las paredes verticales (1) y (2) son 0,5 y 0,4 respectivamente. Determine la fuerza mínima desarrollada en el resorte para mantener el equilibrio. A) 100N B) 125N (1) C) 175N D) 150N E) 200N
(2)
17
PROBLEMA46: El bloque mostrado de 2kg se mantiene en reposo unido a un resorte de rigidez K=150N/m que esta comprimido 10cm. Determine la reacción del piso sobre dicho bloque (g=10m/s2 ) A) 15N B) 20N B C) 25N D) 30N E) 32N
K
u= A
0,8 0,4
PROBLEMA 47: Se muestra una barra homogénea a punto de resbalar, determine el coeficiente de rozamiento entre la PROBLEMA 44: Determine el mayor valor de F, si la barra y la superficie. cuña B está a punto de deslizar (m =15kg, m =5kg y g=10m/s2 ) A) 10/41 B) 12/41 liso A) 200N C) 12/31 37° A B) 300N 37° D) 11/37 F C) 240N E) 11/40 B D) 160N u =0,2 E) 50N PROBLEMA 48: La barra mostrada en la figura se PROBLEMA 45: La barra AB uniforme y homogénea que encuentra a punto de deslizar. muestra la figura se encuentra apoyada Determine “u ” en una superficie horizontal cuyo coeficiente de rozamiento es u =0,5 y una pared vertical completamente lisa. A) 5/11 53° Determinar el mínimo ángulo θ B) 5/33 conservando la barra su estado de 2b C) 10/33 equilibrio. D) 2/11 B A) 30° E) 11/20 CG b B) 37° C) 45° D) 74° E) 16° A θ
Darwin N. Arapa Quispe PROBLEMA 49: Calcular el mínimo que debe tener el bloque A para mantener el equilibrio del sistema. =300N, u =0,8 A) 900N B) 700N u C) 100N D) 300N E) 500N
=0,8
37°
A
C B
PROBLEMA 50: El sistema mostrado está en equilibrio, siendo el pesio de la esfera lisa y homogénea 100N. ¿Cuál será el máximo peso posible que puede tener el bloque Q, ci entre este y la pared vertical existe un u =0,8? A) 100N B) 10N C) 30N D) 60N E) 40N
37°
u
PROBLEMA 52: Se muestra una esfera homogénea de 48N a punto de deslizar. Determine el módulo de la fuerza de reacción de la pare sobre dicha esfera (θ=53°;u =0,8) A) 20N B) 30N C) 40N D) 50N E) 60N
us
θ
PROBLEMA 53: Halle el módulo de la fuerza de rozamiento entre de 5kg y el plano inclinado, si el módulo de la tensión en la cuerda que sostiene la canica lisa en reposo es 75N. A) 20N B) 23N C) 25N
Q
PROBLEMA 51: Calcular el ángulo “α” que define la posición de equilibrio del sistema mostrado, donde el semicilindro de peso P soporta al cilindro de peso 2P. Despreciar el rozamiento entre los cilindros. u=0
53° R=0,5m
D) 30N 37°
E) 33N
PROBLEMA 54: Hallar la fuerza F que iniciara el movimiento, si el coeficiente de rozamiento entre los bloques y el plano inclinado es u=0,5. La polea no da lugar a rozamiento. ( 1=10N, 2=20N) A) 32N
u
=0,5
B) 16N
α
C) 64N A) 16° D) 53°
B) 30°
C) 37° E) 74°
18
D) 8N E) 40N
F
2
53°
1
37°
Darwin N. Arapa Quispe 3 PROBLEMA 55: A) θ = tan 1( ) 3 Calcular el valor de F, para que el 3 sistema se encuentre en equilibrio en la B) θ = tan 1( ) 2 posición mostrada. Peso de A=96N. 1 C) θ = tan 1( ) No existe rozamiento. 2
A) 69N B) 70N C) 72N D) 71N E) 73N
2 3 ) 3 3 3 E) θ = tan 1 ( ) 2
B
θ
D) θ = tan 1(
53°
F
19
A
60°
PROBLEMA 59: Determine la deformación en el resorte ideal cuya constante de rigidez es PROBLEMA 56: En la figura, el plano horizontal liso K=10N/cm (mbloque=3kg; mpolea=0,5kg) ejerce una fuerza de 35N a la barra de (g=10m/s2 ) el sistema se encuentra en 6kg de masa. Determine el módulo de la equilibrio. fuerza de rozamiento entre la barra y el A) 3,5cm plano inclinado. (g=10m/s2 ) B) 7cm Rugoso C) 7,5cm A) 10N D) 3cm B) 16N E) 6,5cm C) 32N D) 20N 53° E) 14N PROBLEMA 60: Determinar la tensión en la cuerda si el PROBLEMA 57: Encontrar el peso de la rueda en A para resorte (K=180N/m) se encuentra que la barra AB permanezca horizontal deformado 20cm y el sistema si la rueda en B pesa 300N y α=60°. permanece en reposo (g=10m/s2 ) (Despreciar el peso de la barra) A) 30N A) 50N B) 33N A B B) 75N C) 100N C) 20N D) 125N D) 66N α E) 150N E) 36N PROBLEMA 58: 3Kg En la figura se muestra dos cilindros idénticos en equilibrio, donde todas las superficies son lisas, determinar “θ”
Darwin N. Arapa Quispe PROBLEMA 61: Si el sistema mostrado se encuentra en equilibrio y el resorte ideal esta deformado 2,5cm; determine la rigidez K del resorte. Si m=0,2kg; M=1kg y g=10m/s2 37°
A) 80N/m B) 200N/m C) 100N/m
m 53°
D) 150N/m E) 300N/m
M
20
PROBLEMA 64: Si la cadena mostrada pesa 12N. Hallar la reacción en el soporte A B
A) 6N B) 4N C) 3N D) 2N E) 5N
60°
A 30°
PROBLEMA 65: En la figura despreciando el peso de las poleas y sabiendo que P=200N y que el coeficiente de fricción del plano inclinado es 0,10. ¿Entre que límites debe estar el peso “Q” para el equilibrio del sistema?
PROBLEMA 62: En la figura se muestra a un bloque liso en reposo unida a un resorte de rigidez A) ⦋ 10; 43N⦌ K=600N/m, si F1=F5=30N; F2=F4=40N y B) ⦋ 20; 40N⦌ F3=50N ¿Cuánto esta deformado el C) ⦋ 30; 150N⦌ resorte? D) ⦋ 37; 43N⦌ P Q F1 E) ⦋ 37; 50N⦌ F2 A) 10cm 53° K B) 15cm F3 C) 20cm PROBLEMA 66: D) 25cm F4 Los cilindros mostrados tienen igual F5 E) 30cm peso y radio. Hallar el mínimo coeficiente de fricción del piso para que PROBLEMA 63: el sistema esté a punto de perder el Una cadena cuyo peso es 100N, se equilibrio. suspende de los puntos A y B. Hallar la relación entre las reacciones en dichos 3 puntos RA/RB A) 9 B 3 A) 5/13 B) 37° 3 B) 1/2 37° 3 C) C) 3/4 2 A 53° 3 D) 16/25 D) 9 E) 7/24 E) NA
Darwin N. Arapa Quispe PROBLEMA 67: Determine la masa necesaria que debe tener la esfera para mantener el equilibrio del sistema. Desprecie todo tipo de rozamiento. (g=10m/s2) A) 10kg B) 9kg C) 7kg D) 5kg E) 8kg
53°
6kg
21
PROBLEMA 70: La figura muestra dos bloques A y B de igual peso, en posición de equilibrio sobre un plano que se va incrementando lentamente. Hallar el valor máximo del ángulo “θ” de inclinación, tal que el bloque B se mantenga en equilibrio. El coeficiente de rozamiento entre todas la superficies de contacto es u=0,25.
A) 30° B) 37° A PROBLEMA 68: C) 45° B En la figura la esfera pequeña pesa 10N D) 53° θ y la grande 25N. Calcular las reacciones E) 60° de la pared y el piso, si S=25N, 2r=R PROBLEMA 71: A) 50; 60N En el sistema mostrado en la figura los R pesos de los bloques A y B son de 20 y B) 30; 40N 40N respectivamente, y el coeficiente C) 25; 30N r S de rozamiento estático entre todas las D) 25; 35N superficies en contacto es de 0,5. E) 10; 35N Determinar la mínima fuerza horizontal F capaz de iniciar el movimiento del PROBLEMA 69: sistema. Si los bloques A y B del sistema mostrado son de 15N y 45N de peso y A) 25N F el coeficiente de rozamiento entre B) 30N A todas las superficies en contacto es de C) 35N 0,4. Determinar el máximo valor que D) 40N B puede tomar la fuerza horizontal F con E) NA la condición de que el sistema se encuentre en reposo. PROBLEMA 72: A) 20N B) 72N C) 36N D) 48N E) 24N
A B
F
Dos anillos ligeros pueden resbalar en una varilla horizontal rugosa, los anillos están unidos por medio de un hilo de longitud “L”, e cuyo punto medio se cuelga un peso W. determinar la máxima distancia que puede separar a los anillos, si el coeficiente de rozamiento estático entre los anillos y la varilla es u=0,75; L=5m.
Darwin N. Arapa Quispe
PROBLEMA 75: Una grúa sostiene un poste homogéneo de 400kg. Determinar el valor de la fuerza que ejerce el piso sobre el poste. (g=10m/s2; us=0.75)
xmax
A) 4m B) 2,5m C) 1,75m D) 3.25m E) 3m
22
W
A) 800 5N B) 1500 5N PROBLEMA 73: Los bloques de la figura están en C) 1000 5N movimiento inminente, si entre los D) 2500 5N 45° bloques y la superficie horizontal e E) 2000 5N inclinada no hay fricción. Encuentre el coeficiente de rozamiento estático PROBLEMA 76: Los bloques suspendidos se encuentran entre los bloques m1 y m2. en equilibrio. Determinar “α+β” m3=2m1 y θ=37°. m1
u
m2 m3 θ
A) 185° B) 216° C) 243° D) 270° E) 300°
β α 5kg
3kg 4kg
PROBLEMA 77: La esfera mostrada pesa 300N y está apoyada sobre el plano inclinado liso, si la barra es homogénea y pesa 200N. En condiciones de equilibrio hallar “x”. PROBLEMA 74: En el sistema mostrado en la figura los Si: h=2m x pesos de los bloques A y B son de 50 y A) 1m 70N respectivamente y el coeficiente de rozamiento estático entre todas las B) 3m h superficies planas en contacto es de 0,5. C) 4m Determinar la mínima fuerza horizontal D) 2,5m 30° “F” capaz de iniciar el movimiento del E) 2m sistema. PROBLEMA 78: La barra se 17kg articulada en uno de A) 70N sus extremos, se encuentra en reposo, A B) 80N si el dinamómetro ideal “D” registra C) 90N F 50N; determine el módulo de la D) 100N B reacción en la articulación (g=10m/s2) E) NA A) 0,2 D) 0,8
B) 0,4
C) 0,6 E) 0,1
Darwin N. Arapa Quispe A) 130N B) 120N C) 110N D) 100N E) 105N
D
23
semiesférica lisa de 50cm de radio. Calcular el ángulo “φ” que define la posición de equilibrio.
φ O A) 15° B) 16° C) 37° PROBLEMA 79: D) 30° Una barra uniforme y homogénea se E) 45° encuentra apoyada entre dos paredes: Una vertical lisa y otra áspera tal como PROBLEMA 82: se indica en la figura. ¿Para qué ángulo El grafico siguiente corresponde a un “θ” formado por la barra y el piso esta poste inclinado y sujetado en la parte empezará a resbalar? us=0,375 inferior por un pasador. Halle el valor de la tensión y la reacción del pasador. liso A) 44° B) 32° 30° C) 28° 100N aspero D) 64° 30° θ E) 30°
A) 50; 50N C) 200N; 200N E) 100; 100N
B) 150; 150N D) 80; 80N
PROBLEMA 80: Una cadena de longitud “L” y peso uniforme reposa sobre una mesa PROBLEMA 83: áspera. Halle el coeficiente de Una lámpara pende del punto medio rozamiento estático entre la cadena y la “B” del cable ABC fijados en sus mesa para el reposo de la cadena. extremos A y C que se hallan en una misma línea horizontal, si la lámpara pesa150N. Determinar la tensión en el a cable AB. La longitud del cable ABC es 20m y BD=0,1m. Desprecie el peso del cable. a a a A) B) a C) A) 7300N a D) a 1 E) 3 A B) 7500N D C C) 7100N PROBLEMA 81: En la figura se muestra se muestra una D) 7200N varilla rígida informe y homogénea de 70cm de longitud. Esta se encuentra E) 7000N parcialmente en una cavidad
B
Darwin N. Arapa Quispe PROBLEMA 84: El sistema mostrado está en equilibrio, determine la deformación del resorte cuya constante de rigidez es K=500N/m. (g=10m/s2) A) 2cm B) 4cm C) 5cm D) 8cm E) 10cm
12kg K 8kg
PROBLEMA 85: ¿Cuál debe ser el valor del ángulo “θ” para que el movimiento del bloque de 70kg este justo iniciándose hacia abajo? El coeficiente de rozamiento entre todas las superficies en contacto es 1/3 A) arctan(5/9) B) arctan(1/9) C) arctan(7/9) D) arctan(5/3) E) arctan(1/3) PROBLEMA 86: La figura muestra una esfera de radio “r” y peso W=6N, apoyado en una superficie cilíndrica de radio “R”. Hallar la reacción sobre la esfera en el punto A R=3r R
A) 3N B) 2 3N C) 3 3N
A
D) 5 3N E) 5N
B
24
PROBLEMA 87: Dos esferas compactas, homogéneas y lisa de igual tamaño y pesos PA=196N y PB=300N. Si sus centros se encuentran en un mismo plano vertical que contiene al centro O de la superficie semicilíndrica de modo que el conjunto se mantiene en equilibrio. Calcular la medida del ángulo θ que define la posición de equilibrio. A) 30° B) 45° C) 60° D) 53° E) 74° PROBLEMA 88:
A
B
θ
60°
