ESTATICA

POR DANIEL HERNÁNDEZ GALICIA

INGENIERIA MECANICA

ESTÁTICA

APUNTES DE ESTÁTICA

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PRINCIPIOS GENERALES


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PRINCIPIOS GENERALES INTRODUCCION A LA MECANICA La Mecánica es la rama de la Física que trata de la respuesta de los cuerpos a la acción de las fuerzas. Por conveniencia, el estudio de de Mecánica se divide en tres partes: Mecánica Mecánica de los cuerpos Rígidos, Mecánica de los cuerpos deformables y Mecánica de fluidos.

MECANICA

MECÁNICA DE CUERPOS RÍGIDOS

ESTATICA

MECÁNICA DE CUERPOS DEFORMABLES

MECÁNICA DE FLUIDOS

DINAMICA

CINEMÁTICA

CINÉTICA

El estudio de la Mecánica de cuerpos rígidos se puede sub dividir, a su vez, en tres secciones principales: Estática, Cinemática y Cinética. La Estática se ocupa de los cuerpos sometidos a fuerzas equilibradas, es decir, cuerpos que estén en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme. Se dice entonces que dichos cuerpos están en equilibrio. La Cinemática se ocupa del movimiento de los cuerpos sin considerar las causas que originan dicho movimiento. La Cinemática también llamada geometría del movimiento. La Cinética se ocupa de los cuerpos sometidos a fuerzas no equilibradas; por tanto, tendrán movimientos no uniformes, o sea, acelerados. El estudio de la Cinética constituye una parte importante del estudio de la Mecánica por que proporciona relaciones entre el movimiento de un cuerpo y las fuerzas y momentos que sobre él actúan. El término DINAMICA se utiliza para referirse a las subdivisiones de la Mecánica a las que se asocia más estrechamente la idea de movimiento, cuales son la Cinemática y la Cinética.


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La rama de la Mecánica que se ocupa de las distribuciones de fuerzas interiores y de las deformaciones que tienen lugar en las estructuras de ingeniería reales y en los componentes de maquinaria, cuando están sometidos a sistemas de fuerzas, se conoce con el nombre de Mecánica de cuerpos deformables. L a rama de la Mecánica que se ocupa de los líquidos y gases en reposo o en movimiento se denomina Mecánica de fluidos. Los fluidos pueden clasificarse en compresibles e incompresibles. Se dice que un fluido es compresible cuando su densidad varía con la temperatura y la presión. Si el volumen de un fluido permanece constante durante un cambio de presión, se dice que se trata de un fluido incompresible. i ncompresible. La parte de la Mecánica de fluidos que trata tra ta de los fluidos incompresibles recibe frecuentemente el nombre de Hidráulica.

ANTECEDENTES ANTECEDENTES HISTORICOS La parte de la Mecánica llamada Estática fue la que primero se desarrolló, según seg ún nos dice la Historia, debido a que muchos de sus principios resultan necesarios para la construcción de edificios. Los constructores constructores de las pirámides de Egipto probablemente comprendieron y utilizaron dispositivos tales como la palanca, la narria y el plano inclinado. El Dr. Ernst Mach de la Universidad de Viena publico en 1893 una Historia de l a Mecánica. A sir Isaac Newton (1642 – 1727) se le atribuye el haber levantado los cimientos de la Mecánica con el descubrimiento de la ley de la gravitación universal y su enunciado de las leyes del movimiento. Euler fue el primero en utilizar el término MOMENTO DE INERCIA y quien desarrollo el teorema de los ejes paralelos para los momentos m omentos de inercia, conocido con con el nombre de teorema de Steiner. MAGNITUDES FUNDAMENTALES DE LA MECANICA Las magnitudes fundamentales de la Mecánica son el espacio, el tiempo, la masa y la fuerza. Tres de ellas – espacio, tiempo y masa – son magnitudes absolutas. Ello significa que son independientes entre si y no pueden pueden expresarse en función de las otras o de manera más sencilla. La magnitud llamada fuerza no es independiente de las otras tres, si no que está relacionada con la masa del cuerpo y con la forma de cómo varía la velocidad del cuerpo respecto al tiempo. El espacio es la región geométrica g eométrica en donde tienen lugar los sucesos físicos de interés en Mecánica. Dicha región se extiende sin límites en todas direcciones. Las medidas relativas a este sistema reciben el nombre de absolutas. El tiempo puede definirse diciendo que es el intervalo que transcurre entre dos sucesos. El tiempo solar es el tiempo de rotación de la Tierra medido respecto al sol y se utiliza para la navegación terrestre y para fines de la vida cotidiana.


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Llamamos materia a toda sustancia que ocupa un luga r en el espacio. un cuerpo es materia limitada por una superficie cerrada. La propiedad de un cuerpo que hace que este se resista a cualquier cambio de movimiento se denomina inercia. La masa es una medida cuantitativa de la inercia. La fuerza se puede definir diciendo que es la acción de un cuerpo sobre otro. Las fuerzas también se pueden ejercer ejercer entre cuerpos que estén separados físicamente. físicamente. Las fuerzas gravitatorias que la tierra ejerce sobre la luna y sobre los satélites artificiales para mantenerlos en orbita terrestre son ejemplos claros. Como un cuerpo no puede ejercer una fuerza sobre otro a menos que este oponga resistencia, una fuerza nunca existirá sola. El efecto exterior de una fuerza sobre un cuerpo es o la aceleración de éste o el desarrollo de fuerzas resistentes resist entes (reacciones) en él.

LEYES DE NEWTON El estudio de la Mecánica técnica se fundamenta en las leyes que formulo y público en 1687 Sir Isaac Newton. En un tratado tra tado llamado PRINCIPIA, Newton estableció las leyes fundamentales del movimiento de un punto material de la manera siguiente. Estas leyes, que se conocen por el nombre de “Leyes de Newton del movimiento”, se suelen

expresar hoy en día en la forma siguiente: 





PRIMERA LEY: En ausencia de fuerzas exteriores, un punto que estuviera inicialmente en reposo o moviéndose con velocidad constante, seguirá en reposo o moviéndose con velocidad constante, seguirá en reposo o moviéndose con velocidad constante en línea recta. SEGUNDA LEY: Si sobre un punto material se ejerce una fuerza exterior, dicho punto se acelerara en la dirección y sentido de la fuerza y el modulo de la aceleración será directamente proporcional a la fuerza e inversamente proporcional a la masa del punto. TERCERA LEY: La reacción es siempre igual y opuesta a la acción; es decir, las acciones que se ejercen dos cuerpos, uno sobre el otro, son siempre iguales y directamente opuestas.

Las tres leyes de Newton se desarrollaron a partir de un estudio del movimiento planetario (movimiento de puntos materiales); por tanto, sólo son aplicables al movimiento de puntos materiales. Durante el siglo XVIII, Leonhard Euler (1707 – 1783) extendió el trabajo de Newton para puntos materiales al caso de sistemas de cuerpos rígidos. La primera ley del movimiento constituye constituye un caso particular de la segunda y contiene el caso en que el punto este en equilibrio. Así pues, la primera ley del movimiento nos da la base para el estudio de la Estática. La segunda ley del movimiento nos da la base del estudio de la Dinámica, la expresión matemática de la segunda ley, que tan ampliamente se aplica en dinámica, es:

 APUNTES DE ESTÁTICA

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Donde: F= es la fuerza exterior que se ejerce sobre el punto, m= es la masa del punto y a= es la aceleración del punto y tiene la dirección del fuerza. La tercera ley del movimiento nos da la base para la comprensión del concepto de fuerza ya que, en las aplicaciones prácticas , con la palabra “acción” se quiere significar fuerza. Así pues, si un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, éste ejerce sobre el primero una fuerza igual y opuesta. La ley que rige la atracción mutua entre dos cuerpos aislados también la formulo Newton y se conoce como “La ley de la g ravitación universal”. Esta ley se puede expresar matemáticamente en

la forma:

  

Donde:

F= es el modulo de la fuerza mutua de atracción entre los dos cuerpos, G= es la constante de la gravitación universal m1= es la masa de uno de los cuerpos m2= es la masa del segundo cuerpo y r= es la distancia entre los centros de masa de los dos cuerpos. Los valores aproximados de la constante de la gravitación universal que son adecuados para la mayoría de los cálculos técnicos son: G= 3.439 x 10-8 ft3/slug * s2 en el U.S. Customary system G= 6.673 x 10-11 m3/kg *s2 en el S.I. de unidades.

MASA Y PESO La masa m de un cuerpo es una magnitud absoluta que no depende de la posición del cuerpo ni de lo que lo rodea. El peso W de un cuerpo es la atracción gravitatoria que sobre él ejerce el planeta tierra o cualquier otro cuerpo masivo como la luna. Por tanto, el peso de un cuerpo depende de la posición de éste relativa a otro cuerpo.

   


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Donde: me= es la masa de la tierra, re= es el radio medio de la tierra y g= G me/re2 es la aceleración de la gravedad. Los valores aproximados de la aceleración de la gravedad, adecuados para la mayoría de los cálculos técnicos son:

   

UNIDADES DE MEDIDA Los sillares de la Mecánica son las magnitudes físicas que se utilizan para expresar sus leyes. Entre dichas magnitudes podemos citar masa, longitud, fuerza, tiempo, velocidad y aceleración. Las magnitudes físicas se dividen en fundamentales y derivadas. Ejemplos de magnitudes que se consideran fundamentales en Mecánica son la longitud y el tiempo. Magnitudes derivadas son aquellas cuyas operaciones de definición se basan en medidas de otras magnitudes físicas, ejemplo de estas magnitudes derivadas en Mecánica son el área de una superficie, el volumen, la velocidad y la aceleración. Algunas magnitudes pueden considerarse o bien fundamentales o derivadas. Como ejemplo de ellas podemos citar la masa y la fuerza. En el Sistema Internacional (SI) de unidades, la masa se considera magnitud fundamental y la fuerza magnitud derivada. En E.S. Customary System of units, la fuerza se considera magnitud fundamental y la masa magnitud derivada. El primer verdadero patrón internacional de longitud fue una barra de platino iridiado conocido con el nombre de metro patrón, que se conserva en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas en Sevres, Francia. La distancia entre dos muescas finas grabadas cerca de los extremos de la barra era, por definición, el metro. Históricamente, se pretendió que el metro fuese la diezmillonésima parte de la distancia entre el Polo y el ecuador medida a lo largo del mer idiano de París. Medidas de precisión efectuadas después de haber construido el metro patrón demostraron que la diferencia entre este y el valor que se pretendía era de un 0.023%. Análogamente, el tiempo se puede medir de varias maneras. Desde tiempos remotos, se acepto como patrón de medida del tiempo la duración de un día. La unidad patrón de tiempo, universalmente aceptada, el segundo (s), se definió en el pasado diciendo que era 1/86 400 de un día solar medio o sea 1/31 557 700 de un año solar medio. Los mejores relojes de cuarzo han marcado el tiempo con un error máximo de 0.02 s por año.


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La unidad de masa, el kilogramo (kg) está definida por un cilindro de platino iridiado (el kilogramo patrón) que se conserva en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas en Sevres, Francia.


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SISTEMAS DE FUERZAS CONCURRENTES


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SISTEMAS DE FUERZAS CONCURRENTES INTRODUCCION En el apartado 1.3 se ha definido la fuerza diciendo que es la acción de un cuerpo sobre otro. La acción puede ser debida al contacto físico entre los cuerpos o puede deberse a un efecto gravitatorio, eléctrico o magnético entre cuerpos separados. La fuerza que se ejerce sobre un cuerpo tiene sobre el dos efectos: (1) uno exterior, que es la tendencia a cambiar su movimiento o a desarrollar fuerzas resistentes (reacciones) en el cuerpo y (2) un efecto interior, que es la tendencia a deformarlo. Cuando se tratan varias fuerzas en conjunto, se dice que constituyen un sistema de fuerzas. Si el sistema de fuerzas aplicado a un cuerpo no da lugar a ningún efecto exterior, se dice que está equilibrado y que el cuerpo que no experimenta cambio alguno de su movimiento esta en equilibrio. Si sobre un cuerpo actúa un sistema de fuerzas no equilibrado, su movimiento deberá experimentar un cambio. De un tal sistema de fuerzas se dice que esta desequilibrado o que tiene una resultante. Dos sistemas de fuerzas se dice que son equivalentes si producen el mism o efecto exterior cuando se apliquen, uno al otro, a un cuerpo dado. La resultante de un sistema de fuerzas es el sistema equivalente más sencillo al que se puede reducir el sistema de fuerzas orig inal. El proceso de reducir un sistema de fuerzas a un sistema equivalente más sencillo recibe el nombre de descomposición. El proceso de desarrollar una fuerza o un sistema de fuerzas dado otro equivalente menos sencillo se denomina resolución o descomposición. Llamaremos componente de una fuerza a una de las dos o más fuerzas en las que puede descomponerse la fuerza dada. LAS FUERZAS Y SUS CARACTERISTICAS Las propiedades que se necesitan para describir una fuerza las l lamaremos características de la fuerza. Las características de una fuerza son: 1. Modulo 2. Dirección y sentido 3. Punto de aplicación El modulo (valor numérico positivo) de una fuerza es la intensidad de la misma. La dirección y sentido de una fuerza son la dirección y el sentido del segmento orientado que se utiliza para representarla. El punto de aplicación de la fuerza es el punto de contacto entre los dos cuerpos. La recta que pasa por el punto de aplicación y tiene la dirección de la fuerza es la llamada recta soporte o línea de acción.


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MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES Las magnitudes escalares son las que quedan completamente descritas por un numero. Ejemplos de magnitudes escalares en mecánica son la masa, la densidad, la longitud, el área de una superficie, el volumen, la celeridad, la energía, el tiempo y la temperatura. Las magnitudes vectoriales tienen modulo, dirección y sentido (recta soporte y sentido) y obedecen a la regla de adición del paralelogramo. Ejemplos de magnitudes vectoriales en Mecánica son la fuerza, el momento, el desplazamiento, etc. Los vectores pueden clasificarse en tres tipos: libres, deslizantes y fijos. 1. Un vector libre tiene modulo, dirección y sentido específicos pero su recta soporte no pasa por un punto definido del espacio. 2. Un vector deslizante tiene modulo, dirección y sentido específicos y su recta s oporte pasa por un punto definido del espacio. El punto de aplicación de un vector deslizante puede ser uno cualquiera de su recta soporte. 3. Un vector fijo tiene modulo, dirección y sentido específicos y su recta soporte pasa por un punto definido del espacio. El punto de aplicación de un vector fijo está confinado a un punto fijo de su recta soporte. PRINCIPIO DE TRANSMISIBILIDAD El principio de transmisibilidad que dice: “el efecto exterior de una fuerza sobre un cuerpo rígido

es el mismo para todos los puntos de aplicación de la fuerza a lo largo de su recta soporte”. CLASIFICACION DE LAS FUERZAS Se ha definido la fuerza diciendo que es la acción de un cuerpo físico sobre otro. Como la interacción puede tener lugar estando los cuerpos en contacto o estando físi camente separados, las fuerzas se pueden clasificar según dos grandes epígrafes: (1) fuerzas de contacto o de superficie; tales como el empuje o la tracción efectuados por medios mecánicos y (2) fuerzas másicas o de acción a distancia, tales como la acción gravitatoria que la Tierra ejerce sobre todos los cuerpos físicos. Las fuerzas también se pueden clasificar atendiendo a la zona sobre la cual actúa. Un número cualquiera de fuerzas que traten en conjunto constituye un sistema de fuerzas. Los sistemas de fuerzas pueden ser mono – bi – o tri – dimensionales. Se dice que un sistema de fuerzas es concurrente cuando las rectas soporte de todas las fuerzas se corten en un punto común y se dice que es coplanario cuando todas las fu erzas estén en un mismo plano. Un sistema de fuerzas paralelas es aquel en el cual las rectas soporte de las fuerzas son paralelas. En un sistema de fuerzas paralelas, los sentidos de las mismas no tienen por qué ser los mismos. So las fuerzas de un sistema tienen una recta soporte común, se dice que el sistema es colineal.


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DIAGRAMA DE SOLIDO LIBRE Un concepto que resulta fundamental para la resolución de problemas de Mecánica es el diagrama de sólidos libre (DSL) es un dibujo cuidadosamente preparado que muestre el “cuerpo de interés”

separado de los demás cuerpos que interactúan con él y en el cual figuren todas las fuerzas aplicadas exteriormente a dicho cuerpo. El procedimiento para el trazado de un diagrama de solido libre consta de dos etapas esenciales: 1. Decidir que cuerpo (o que parte de un cuerpo o grupo de cuerpos) hay que aislar y analizar. Preparar un esquema del contorno exterior del cuerpo seleccionado. 2. Representar todas las fuerzas, conocidas y desconocidas, aplicadas por otros cuerpos al cuerpo aislado, mediante vectores en sus posiciones correctas. RESULTANTE DE DOS FUERZAS CONCURRENTES Dos fuerzas concurrentes cualesquiera F 1 y F2 que actúen sobre un cuerpo se pueden sustituir por una sola fuerza R, llamada resultante, que producirá sobre el cuerpo el mismo efe cto que las dos fuerzas originales. La resultante de las dos fuerzas se puede determinar sumándolas vectorialmente mediante la regla del paralelogramo. Matemáticamente, la suma de las dos fuerzas viene dada por la ecuación vectorial

 Los métodos gráficos que existen son la regla de adición del paralelogramo y la regla del triangulo, estos métodos gráficos nos sirven para determinar la resultante de dos o más fuerzas, pero exigen un dibujo a escala preciso si se quiere obtener resultados precisos. Para el triangulo mostrado se tiene dos leyes que son:

Y el del coseno dice:


           

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RESULTANTE DE TRES O MAS FUERZAS CONCURRENTES DESCOMPOSICION DE UNA FUERZA EN COMPONENTES En los dos apartados anteriores, se ha estudiado la aplicación de las reglas del paralelogramo y del triangulo a la determinación de la resultante R de dos fuerzas concurrentes F1 y F2 o de tres o más fuerzas concurrentes F1, F2, …, Fn. Tales componentes no tiene que ser concurrentes o coplanarias. Sin embargo, el termino componente se utiliza normalmente para designar una de dos fuerzas coplanarias concurrentes o una de tres fuerzas concurrentes no coplanarias que se pueden combinar vectorialmente para reproducir la fuerza original. COMPONENTES RECTANGULARES DE UNA FUERZA Una fuerza F se puede descomponer en una componente rectangular F X dirigida según el eje x y otra componente rectangular Fy dirigida según el eje y, como se muestra en la figura.

Las componentes Fx y Fy son las componentes vectoriales de la fuerza F. los ejes X y Y suelen tomarse horizontal y vertical. La fuerza F y sus componentes vectoriales Fx y Fy se pueden escribir en forma vectorial cartesiana utilizando los vectores unitarios i y j dirigidos según los sentidos positivos de los ejes X y Y, como se indica en la siguiente figura.


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 Donde los escalares Fx y Fy son las componentes escalares X y Y de la fuerza F. las componentes escalares Fx y Fy están relacionadas con el modulo F = ¡F! y con el ángulo de inclinación (dirección) de la fuerza F a través de las expresiones:



          

Las componentes escalares Fx y Fy de la fuerza F pueden ser positivas o negativas, según cual sea el sentido de las componentes vectoriales Fx y Fy. La componente escalar será positiva si la componente vectorial correspondiente tiene el mimo sentido que el vector unitario asociado y negativo en caso contrario. Análogamente, en los problemas en que sea necesario un análisis tridimensional, una fuerza F en el espacio se puede descomponer en tres componentes rectangulares mutuamente ortogonales Fx, Fy y Fz dirigidas según los ejes de coordenadas X, Y y Z, tal como se indica en la figura siguiente. La fuerza F y sus componentes vectoriales tridimensionales Fx, Fy y Fz se pueden también escribir en forma vectorial cartesiana utilizando los vectores unitarios i, j y k.

     Así pues las componentes escalares Fx, Fy y Fz están relacionadas con el modulo F y con la dirección y sentido de la fuerza mediante las expresiones siguientes:


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                       

Los ángulos son los angulos ( ) que forma la fuerza F con los semiejes de coordenadas positivos. Los cosenos de estos ángulos, llamados cosenos directores, deben cumplir la condición:

  Si un ángulo es mayor de 90°, su coseno es negativo, lo que indica que el sentido de la componente es opuesto al sentido positivo del eje de coordenadas correspondiente. La componente rectangular de la fuerza F según una dirección arbitraria n se puede obtener utilizando la operación vectorial conocida por el nombre de producto escalar. Por ejemplo, la componente escalar de la componente Fx de una fuerza F se obtiene de la forma:

Ya que

Y

                           

De manera más general, si es en un vector unitario asociado a una dirección concreto n, la componente rectangular Fn de la fuerza F será:

   

Con los ángulos que forman la dirección n con los ejes x, y y z son, respectivamente, ; por tanto, el vector unitario en se podrá escribir en forma vectorial cartesiana así:

  

          Asi pues, para la fuerza FN PODEMOS ESCRIBIR:

Ecuación 2 - 5


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Sustituyendo en la ecuación 2 – 5 las ecuaciones 2 – 4 tendremos una expresión de la componente escalar Fn en función de F DE LOS COSENOS DIRECTORES asociados a F y n. así,

     La componente rectangular Fn de la fuerza F se puede expresar en forma vectorial cartesiana multiplicando la componente escalar Fn por el vector unitario en. Así,

    



El ángulo que forma la recta soporte de la fuerza F con la dirección n se puede determinar aprovechando lo que se sabe del producto escalar y l a definición de componente rectangular de una fuerza. Así,

        

Y por tanto



La ecuación 2.8 se puede utilizar para la determinación del ángulo que forman dos vectores cualesquiera A y B o dos rectas cualesquiera utilizando los vectores unitarios e1 y e2 a ellas asociados. Así,

   

O BIEN

   RESULTANTES POR COMPONENTES RECTANGULARES En el caso de un sistema cualquiera de fuerzas coplanarias concurrentes, se pueden determinar las componentes rectangulares F1x y F1y, F2x y F2y, y F3x y F3y. Sumando por separado las componentes x y Y, tenemos:

          APUNTES DE ESTÁTICA

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Según la regla del paralelogramo:

              

El modulo R de la resultante se puede determinar mediante el teorema de Pitágoras:

El ángulo

El ángulo

 

que forma la recta soporte de la resultante R con el eje X es:





se puede también determinar, si fuese más conveniente, mediante las ecuaciones:

        

En las que hay que tener en cuenta el sentido de cada componente asignándole un signo positivo del eje X o del eje Y, y asignándole el valor negativo en caso contrario. Para el caso de tres o más fuerzas se tienen:

                        

L a resultante R se obtiene mediante la expresión:

Y la magnitud de la resultante se obtiene mediante la siguiente ecuación:

                    APUNTES DE ESTÁTICA

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ESTATICA DEL PUNTO APUNTES DE ESTÁTICA

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ESTATICA DEL PUNTO INTRODUCCION En el capítulo 1 s definió a la Estática diciendo que era la rama de la Mecánica del cuerpo rígido que trata de los cuerpos sometidos a un sistema de fuerzas equilibrado (en el que la resultante de todas las fuerzas que se ejercen, sobre el cuerpo es nula) y que por tanto se encuentren en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme. Como en un cuerpo que se considera punto material se supone que la masa está concentrada en un punto y que puede prescindirse de su forma y tamaño, dicho cuerpo podrá estar sometido solamente a un sistema de fuerzas concurrentes. La primera ley de Newton del movimiento dice que “en ausencia de fuerzas exteriores (R=0), un punto inicialmente en reposo o moviéndose con velocidad constante a lo largo de una recta”. Así pues, será condición necesaria para el equilibrio de un punto:

  Un punto material en equilibrio debe también satisfacer la segunda ley de Newton del movimiento, la cual puede expresarse mediante una ecuación en la forma:

  

Para que se cumplan las dos ecuaciones, deberá cumplirse:

Como la masa de un punto material no es nula, la aceleración de un punto en equilibrio será cero (a=0). Así pues, un punto en equilibrio que inicialmente estuviera en reposo seguiría en reposo y un punto en equilibrio que se moviera con velocidad constante mantendría dicha velocidad. Por tanto, la ecuación 1 será condición necesaria y suficiente para el equilibrio de un punto. DIAGRAMA DE SOLIDO LIBRE Se llama diagrama de solido libre (DSL) a un esquema o dibujo preparado cuidadosamente en el que figure el “cuerpo de interés” separado de todos los cuerpos que inter actúen con él. Estas fuerzas pueden ser fuerzas de contacto o fuerzas másicas. Una fuerza másica importante es la atracción que la tierra ejerce sobre un cuerpo (peso del cuerpo). Al dibujar el diagrama de solido libre de un cuerpo dado, se efectúan ciertas hipótesis acerca de la naturaleza de las fuerzas (reacciones) que otros cuerpos ejercen sobre el cuerpo de interés. Dos hipótesis comunes son las siguientes: 1. Si la superficie de contacto a la que un cuerpo aplica a otro una fuerza tiene una rugosidad pequeña, puede suponerse que es lisa (exenta de rozamiento) y por tanto la acción ( o la


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reacción) de un cuerpo sobre el otro estará dirigida normalmente a la superficie de contacto. 2. Un cuerpo cuya resistencia a la flexión sea pequeña, tal como los hilos, cuerdas, cadenas o similares, se puede considerar perfectamente flexible y por tanto, la tracción de un tal cuerpo sobre otro estará dirigida según el eje del cuerpo flexible. EQUILIBRIO DE UN PUNTO En el apartado (introducción), se indico que en estática se utiliza el término “punto” para describir un cuerpo cuando su forma y tamaño no afecten de manera apreciable a la solución del problema en consideración y cuando pueda suponerse que su masa está concentrada en un punto. Si se considera la masa, al cuerpo es más correcto llamarle “punto material”.

Donde



  es el vector suma de todas las fuerzas que se ejercen sobre el punto.

PROBLEMAS BIDIMENSIONALES En el caso de fuerzas coplanarias (en el plano xy) y concurrentes, la ecuación se puede escribir en la forma:

                                                   

Las ecuaciones anteriores se satisfacen solo si:

En forma escalar, estas ecuaciones se convierten en:


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Es decir que la suma de las componentes rectangulares según una dirección CUALESQUIERA debe ser nula. PROBLEMAS TRIDIMENSIONALES En el caso de un sistema tridimensional de fuerzas concurrentes, se puede escribir la ecuación en la forma:

                                         

Las ecuaciones anteriores se satisfacen solo si se cumple:

En forma escalar, estas ecuaciones dan:


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CUERPOS RIGIDOS: SISTEMAS EQUIVALENTES FUERZA/MOMENTO APUNTES DE ESTÁTICA

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INTRODUCCION En el capítulo 2 definíamos la fuerza resultante R de un sistema de dos o más fuerzas concurrentes F1, F2, … , Fn diciendo que era la fuerza única que produce sobre un cuerpo el mismo efecto que el sistema de fuerzas original. Cuando es nula la resultante R de un sistema de fuerzas concurrentes, el cuerpo sobre el cual se ejerce el sistema de fuerzas esta en equilibrio y se dice que el sistema de fuerzas está en equilibrado. En el caso de un cuerpo tridimensional que tenga forma y tamaño definidos, la idealización del punto tratada en el capítulo 3 ya no es válida, en general, pues las fuerzas que se ejercen sobre el cuerpo no suelen ser concurrentes. Para estos sistemas de fuerzas más generales, la condición R=0 es condición necesaria pero no suficiente para el equilibrio del cuerpo. Debe entonces cumplirse una segunda restricción relacionada con la tendencia de las fuerzas a originar la rotación del cuerpo y ello conduce al concepto de MOMENTO. MOMENTO Y SUS CARACTERISTICAS El momento de una fuerza respecto a un punto o respecto un eje es una medida de la tendencia de la fuerza a hacer girar al cuerpo respecto a un punto o respecto a un eje. El momento tiene modulo, dirección y sentido y se suma de acuerdo a la regla del paralelogramo; por tanto, es una magnitud vectorial. El modulo del momento es, por definición, el producto del modulo de la fuerza por la distancia d medida desde la recta soporte de la fuerza al eje.





El modulo del momento es:

    Al punto O se le conoce como centro del momento, a la distancia d se le conoce como brazo de palanca y a la recta AA eje del momento. Si la fuerza tiende a originar una rotación en sentido anti horario, se dice que el momento es positivo, por definición. Análogamente, si la fuerza tendiera a


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originar una rotación en el mismo sentido que las manecillas del reloj, el momento es negativo, por definición. PRINCIPIO DE MOMENTOS TOREMA DE VARIGNON Un concepto que se utiliza a menudo para resolver problemas de Mecánica (Estática, Dinámica, Mecánica de materiales) es el principio de los momentos M de una resultante R de un sistema de fuerzas respecto a cualquier eje o punto es igual a la suma vectorial de los momentos de las distintas fuerzas del sistema respecto a dicho eje o punto. Los módulos de los momentos respecto al punto O de la resultante R y de la fuerza A y B son:

          

EN LA SIGUENTE FIG SE PUEDE VER que:

Sustituyendo las ecuaciones de MOENTOS en la segunda ecuación y multiplicando los dos miembros por h se tiene:

    


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REPRESENTACION VECTORIAL DE UN MOMENTO El momento de la fuerza F respecto a un punto O puede representarse por la ecuación:

    Donde r es el vector de posición que va del punto O al punto A de la recta soporte de la fuerza F, según se ve en la figura. Por definición, el producto vectorial de dos vectores r y F que se cortan es:

  

          

Donde es el ángulo ( ) que forman los vectores r y F que se cortan y e es un vector unitario perpendicular al plano que contiene a los vectores r y F. Se puede observar que es igual a la distancia d del centro de momento O a la recta soporte de la fuerza.

              

Así pues, la ecuación podría escribirse como:


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L a ecuación anterior da tanto el modulo de Mo como la dirección y sentido e del momento M. es importante notar que en el cálculo del momento hay que mantener el orden r x F ya que el orden F x r daría un momento de sentido opuesto. MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN PUNTO

                 

En donde el subíndice A/B indica respecto A respecto a B. La ecuación es aplicable tanto en el caso bidimensional (fuer zas en el plano xy, por ejemplo) como en el caso tridimensional (fuerzas con orientaciones cualesquiera en el espacio). CASO BIDIMENSIONAL: Consideremos, en primer lugar, el momento Mo respecto al origen de coordenadas de una fuerza F contenida en el plano xy. L a recta soporte de la fuerza pasa por el punto A. En este caso particular.

                   

Y el vector de posición r que va del origen O al punto A es:

El producto vectorial r x F en este caso bidimensional se puede escribir en forma de determinante:

Así pues, en el caso bidimensional, el momento Mo respecto al punto O de una f uerza F contenida en el plano xy es perpendicular al plano (está dirigido según el eje z).

      Ya que el valor positivo de Mo indica tendencia a girar el cuerpo en sentido anti horario que; en virtud de la regla de la mano derecha, da una orientación en el sentido del semieje z positivo. CASO TRIDIMENSIONAL: El momento Mo respecto al origen de coordenadas O de una fuerza F con orientación espacial (tridimensional) se puede también determinar utilizándola ecuación. En este caso general la fuerza F se puede expresar en forma vectorial cartesiana.

    Y el vector de posición r que va del origen O a un punto arbitrario A de la recta soporte de la fuerza será:


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    En este caso tridimensional, el producto vectorial r x F se puede escribir en forma de la determinante de la manera siguiente:

Donde

                                

Son las tres componentes escalares del momento de la fuerza F respecto al punto O. El módulo del momento es:



      

De otra manera, el momento Mo se puede escribir en la forma:

Donde

                  

Los cosenos directores asociados al vector unitario e son:

Los momentos obedecen las reglas del algebra vectorial y pueden considerarse que son vectores deslizantes cuyas rectas soporte coinciden con los ejes de momentos.

PERO:

Porta tanto:


                 Página 27

                 

Asi pues:

MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN EJE El momento Mo de una fuerza respecto a un punto O se definió mediante el producto vectorial:

   Aun cuando, matemáticamente, es posible definir el momento de una fuerza respecto a un punto, tal magnitud no tiene significado físico en Mecánica por que los cuerpos giran en torno a ejes y no alrededor de puntos. La definición vectorial dl momento respecto a un punto sólo es un paso intermedio de un proceso que nos permite hallar el momento respecto a un eje que pase por el punto.



El momento de una fuerza respecto a un eje, se puede determinar calculando primeramente el momento Mo respecto al punto O del eje. Entonces el vector momento Mo se puede descomponer en una componente paralela al eje OB y otra perpendicular a éste. Si es



                 

un vector unitario dirigido en la dirección n del eje OB, según se indica:

Estas dos operaciones, el producto vectorial r x F del vector de posición r por la fuerza F para obtener el momento Mo respecto al punto O, seguida del producto escalar Mo e del momento Mo respecto al punto O por el vector unitario según el eje del momento, para obtener el momento se pueden efectuar una a continuación de la otra o combinarlas en una operación. La cantidad entre corchetes se denomina producto mixto y se puede escribir así en forma de determinante:





O también:



                                      

PARES


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Dos fuerzas de igual módulo, paralelas, no coloniales y de sentidos opuestos forman un par. Como las dos son de igual módulo, paralelas y de sentidos opuestos, su suma será nula en cualquier dirección. Por tanto, un par tenderá solamente a hacer girar el cuerpo al que esté aplicado. El momento de un par se define diciendo que es la suma de los momentos de las dos fuerzas que constituye el par.

           

Pero

Luego,

Lo que nos indica que el módulo del momento de un par respecto a un punto de su plano es igual al módulo de una fuerza multiplicado por la distancia que los separa.

Pero como

  



                        

Donde es el vector de posición que va desde el punto B cualquiera a otro punto cualquiera de A. POR OTRO LADO LA DEFINICION DE PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES:


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               Donde d es la distancia que se para las fuerzas del par y es el vector unitario perpendicular al plano que contiene al par. EL MOMENTO DE UN PAR NO DEPENDE DE LA SITUACION DEL CENTRO O DEL MOMENTO. ASÍ PUES, EL MOMENTO DE UN PAR ES UN VECTOR LIBRE. Las características de un par, que rigen su “efecto exterior” sobre los cuerpos rígidos, son las siguientes: 1. El módulo del momento del par. 2. El sentido del par (sentido de rotación). 3. El aspecto del plano del par, es decir, la dirección o pendiente del plano (no su situación) definida por la normal al plano n. La ecuación anterior indica que se pueden efectuar diversas transformaciones del par sin que varíe ninguno de sus efectos exteriores sobre un cuerpo. Por ejemplo, 1. Un par puede trasladarse a una posición paralela a su plano o a cualquier otro plano paralelo. 2. Un par puede hacerse girar en su plano. 3. El módulo de las dos fuerzas del par y la distancia que las separa se pueden variar mientras se mantenga constante el producto Fd.



Un número cualesquiera de pares coplanarios pueden combinarse para dar un par resultante C igual a la suma algebraica de los pares individuales. Un sistema de pares en el espacio pueden combinarse para dar un par resultante único C, representando cada par del sistema (ya que su momento es un vector libre) por un vector, dibujado donde convenga, a partir del origen de un sistema de ejes rectangulares. Cada par se puede entonces descomponer en componentes según los ejes de coordenadas. Las componentes rectangulares del par serán , indicadas en la siguiente ecuación:

      

         

El modulo del par será:

     De otra manera el par C se puede escribir

 Donde


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       Los cosenos directores asociados al vector unitario e son:

        


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FUERZAS DISTRIBUIDAS CENTROIDES Y CENTRO DE GRAVEDAD APUNTES DE ESTÁTICA

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INTRODUCCION La distribución puede ser uniformé o no. Otras fuerzas, llamadas fuerzas másicas, debidas a efectos gravitatorios, eléctricos o magnéticos, se distribuyen por toda la masa del cuerpo. Cuando las zonas a las que se aplican las cargas son considerables frente al tamaño del cuerpo, ya no es válida la hipótesis de fuerza concentrada y habrá que introducir en el análisis la distribución real de carga. La fuerza distribuida en un lugar cualquiera está caracterizada por su intensidad y por su dirección y sentido. La fuerza distribuida sobre una superficie y que se ejerce normalmente a está (corrientemente debida a la acción de un liquido o un gas) se le denomina presión. Las fuerzas internas distribuidas en los sólidos (llamados esfuerzos) pueden, o no, actuar normalm ente a la superficie de interés. Las unidades de presión y de esfuerzo son la de una fuerza por unidad de superficie (N/ o lb / ). La fuerza distribuida por el volumen de un cuerpo (fuerzas másicas) se miden en unidades de fuerza por unidad de volumen.

 

Como el área de una superficie es una magnitud distribuida, no podremos definir su momento respecto a un eje diciendo que es el producto del área por su distancia a eje (como se hacía en el caso del momento de una fuerza concentrada respecto a un eje), ya que carece de significado la distancia del área al eje. Sin embargo, la superficie en cuestión puede considerarse compuesta por un gran número de elementos de superficie muy pequeños (infinitesimales) del área dA y se podrá definir el momento de un elemento por la distancia de éste al eje. Así,

    Donde el subíndice i designa al elemento i- ésimo. Entonces definiremos el momento de la superficie A respecto al eje y diciendo que es la suma algebraica de los momentos respecto al eje y de los n elementos de superficie. Así,

       En forma de integral

      El momento de una masa, fuerza, volumen, superficie o línea respecto a un eje o a un plano puede definirse de manera análoga. El momento así definido recibe el nombre de PRIMER MOMENTO de la mag nitud que se considera, puesto que en la expresión se utiliza la primera potencia de la distancia (x en el caso que se acaba de ver).


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El signo del momento de un el elementó respecto a un eje puede ser positivo o negativo ya que la coordenada del elemento puede ser positiva o negativa, mientras que las masas, fuerzas, volúmenes, áreas y longitudes son siempre positivas. Análogamente, el momento de la magnitud) masa, volumen, fuerza, área o longitud) respecto un eje o a un plano puede ser positivo, negativo o nulo ya que la suma de los momentos positivos de los elementos puede ser mayor, menor o y igual, respectivamente, que el valor absoluto de la suma de los momentos negativos.

    

La expresión dimensional del momento de una línea es la del cuadrado de la longitud ( ); por lo tanto el momento de una línea respecto a un eje o a un plano se medirá en , , , etc. Análogamente, las dimensiones de los momentos de una superficie y un volumen serán, respectivamente, las del cubo de la longitud ( ) y las de la cuarta potencia de una longitud ( ).





CENTRO DE MASA Y CENTRO DE GRAVEDAD CENTRO DE MASA El término “CNTRO DE MASA” se utiliza para designar el punto de un sistema de punt os materiales

o de un cuerpo físico en donde podría concentrarse toda la masa de manera que el momento de la masa concentrada respecto a un eje o plano cualquiera que fuese igual al momento respecto a dicho eje o plano de la masa distribuida.

                        

     

                           

Donde


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    Si los cuerpos formasen un cuerpo continuo, las sumas se sustituyen por integrales extendidas a toda la masa del cuerpo y tenemos:

                Donde

           

 Las ecuaciones anteriores pueden considerarse en una ecuación vectorial única sin mas que multiplicar la primera, segunda y tercera por i, j y k, respectivamente, y sumar. Así,

                          De donde

               Que se reduce a

      

                    

Ya que el vector de posición del punto i – ésimo respecto al origen, según puede verse es:

Y el vector de posición del centro de masa respecto al origen es:

si los puntos forman un cuerpo continuo, los sumatorios pueden sustituirse por integrales extendidas a toda la masa del cuerpo:


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      O sea

         Donde r es el vector de posición del elemento dm del cuerpo respecto al origen, del elemento y dV es su volumen.



es la densidad

CENTRO DE GRAVEDAD El peso W de un cuerpo es la resultante de las fuerzas másicas distribuidas que la Tierra ejerce sobre los puntos materiales que constituyen el cuerpo. El punto G del cuerpo en el que actúa el peso es, por definición, el “CENTRO DE GRAVEDAD” del cuerpo. Es módulo de la fuerza que la

tierra ejerce sobre un punto material dado del cuerpo depende de la masa de dicho punto y de la distancia a que se encuentre del centro de la Tierra (ley de gravitación universal).

 Donde g es la atracción gravitatoria que la Tierra ejerce sobre el cuerpo. Se multiplica por g la ecuación de momento respecto al centro de masas y se obtiene:

                Donde

           

 Cuando el cuerpo tenga una forma concreta, su centro de gravedad podrá determinarse considerando que el cuerpo está constituido por infinitos elementos cada uno de los cuales tenga un peso dW dado por la expresión:



  

Donde es el peso específico del material, y dV es el volumen del elemento. El peso total W del cuerpo es:


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   Si se elige un sistema de coordenadas xyz tal que la recta soporte del peso W sea paralela al eje z, el momento respecto al eje y del peso dW de un elemento será:

 

En virtud de la definición de centro de gravedad:

         Así pues, la coordenada x de un punto de la recta soporte del peso W será:

   Análogamente:

  

  

CENTROIDES DE CUERPOS COMPUESTOS

                                         

,…, En el caso de una superficie compuesta, si llamamos a las partes en que se divide la superficie A y , ,… , a las coordenadas x de los centroides de las respectivas partes, será

O sea

Análogamente.

     


             

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EQUILIBRIO DE CUERPOS RIGIDOS APUNTES DE ESTÁTICA

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INTRODUCCION En el tema de momento y fuerza se vio, que en el caso de un cuerpo rígido, el sistema de fuerzas más general se puede expresar mediante una fuerza rectangular R y un par resultante C. Por tanto, para que esté en equilibrio un cuerpo rígido deberán anularse la fuerza resultante R y un par resultante C. Estas dos condiciones pueden expresarse mediante las ecuaciones vectoriales:

                       

La ecuación anterior se puede expresar así en forma escalar como:

Las ecuaciones escalares son condiciones necesarias para el equilibrio de un cuerpo rígido. Cuando a partir de estas ecuaciones se puedan determinar todas las fuerzas que se ejercen sobre el cuerpo, serán también condiciones suficientes para el equilibrio. Las fuerzas y momentos que se ejercen sobre un cuerpo rígido pueden ser exteriores o interiores. Las fuerzas que sobre un cuerpo rígido ejerce otro cuerpo (que puede ser la tierra) son fuerzas exteriores. El peso de un cuerpo es otro ejemplo de fuerza exterior. Las fuerzas interiores mantienen unidas las partículas que forman el cuerpo rígido. Si el cuerpo de interés está compuesto de varias partes, las fuerzas que mantienen unidas dichas partes también se consideran interiores. Las fuerzas exteriores pueden dividirse en fuerzas aplicadas y fuerzas de reacción. Las fuerzas aplicadas son las que sobre el cuerpo ejercen agentes exteriores. Las fuerzas que sobre el cuerpo ejercen los apoyos y las conexiones son las fuerzas de r eacción o reacciones vinculares. IDEALIZACION DE APOYOS Y CONEXIONES BIDIMENSIONALES REACCIONES BIDIMENSIONALES EN APOYOS Y CONEXIONES 1. ATRACCION GRAVITATORIA. La atracción gravitatoria de la Tierra sobre un cuerpo es el peso W del cuerpo. La recta soporte de la fuerza W pasa por el centro de gravedad del cuerpo y está dirigida hacia el centro de la tierra. 2. HILO, CUERDA, CADENA O CABLE FLEXIBLE. Un hilo, cuerda, cadena o cable flexible ejerce siempre una fuerza R de tracción sobre el cuerpo. Se conoce la recta soporte de la fuerza R; es tangente al hilo, cuerda, cadena o cable e n el punto de a marre.


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3. CONEXIÓN RIGIDA La conexión rígida puede ejercer sobre el cuerpo una fuerza R de tracción o de compresión. Se conoce la recta soporte de la fuerza R; debe estar dirigida según el eje de la conexión. 4. BOLA, RODILLO O ZAPATA. La bola, rodillo o zapata pueden ejercer sobre el cuerpo una fuerza R de compresión. La recta soporte de la fuerza R es normal a la superficie de a poyo de la bola, rodillo o zapata. 5. SUPERFICIE LISA Una superficie lisa, plana o curva, puede ejercer una fuerza R de compresión sobre el cuerpo. La recta soporte de la fuerza R es normal a la superficie lisa en el punto de contacto del cuerpo con la superficie. 6. PASADOR LISO Un pasador liso puede ejercer sobre el cuerpo una fuerza R del módulo de R y en dirección desconocidos. Debido a ello, la fuerza R suele representarse en el diagrama de solido libre mediante sus componentes rectangulares .

  



7. SUPERFICIE RUGOSA Las superficies rugosas pueden resistir una fuerza tangencial de rozamiento Rt así como una fuerza normal Rn de compresión. Debido a ello, la fuerza R que la superficie rugosa ejerce sobre el cuerpo es de compresión dirigida según un ángulo desconocido. La fuerza R suele representarse en el diagrama de sólido libre mediante sus componentes rectangulares Rn y Rt.



8. PASADOR EN UNA GUIA LISA El pasador en una guía lisa sólo puede transmitir una fuerza R que sea perpendicular a las superficies de la guía. El sentido de la fuerza R se da por su puesto en la dirección a 90° o perpendicular a la guía lisa y puede ser hacia arriba, hacia abajo o hacia arriba y a la derecha. 9. COLLAR SOBRE UN ARBOR LISO Un collar sobre un árbol liso y que esté conectado por pasador a un cuerpo solo puede transmitir una fuerza R perpendicular al eje del árbol. Cuando la conexión entre el collar y el cuerpo sea fija, el collar podrá transmitir una fuerza R y un momento M perpendicular al eje del árbol. Si éste no fuera liso, se podría transmitir una fuerza tangencial de rozamiento Rt así como una fuerza normal Rn.


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10. APOYO FIJO Un apoyo fijo puede ejercer sobre el cuerpo una fuerza R y un par C. el modulo de R y la dirección de de la fuerza R no se conocen. Por tanto, la fuerza R suele representarse en el diagragama de sólido libre mediante sus componentes rectangulares.




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FUERZAS INTERIORES EN MIEMBROS ESTRUCTURALES APUNTES DE ESTÁTICA

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INTRODUCCION Cuando un miembro estructural o un componente de maquina (cable, barra, árbol, viga o columna) se halla sometido a un sistema de cargas exteriores (cargas aplicadas y reacciones en los apoyos), se desarrolla un sistema de fuerzas resistentes interiores al miembro que equilibran a las fuerzas exteriores. Consideremos un cuerpo sometido a un sistema de fuerzas. Estas fuerzas tienden a aplastar el cuerpo (compresión) o a hacerlo estallar (tensión). En uno y otro caso, se desarrollan fuerzas interiores (resistentes) que se oponen al aplastamiento o a mantener unido el cuerpo. L a intensidad de estas fuerzas internas (fuerza por unidad de superficie) reciben el nombre de esfuerzos. El problema de determinar distribuciones de esfuerzos en un cuerpo dado correspondientes a un sistema concreto de cargas exteriores se trata en los textos de Mecánica de cuerpos deformables. La distribución de fuerzas interiores sobre el plano aa s e ha sustituido por una fuerza resultante R que pasa por un punto del plano aa y un momento resultante M. La fuerza resultante R se puede descomponer, según se indica en la figura 2, en una componente (fuerza normal) perpendicular al plano aa y una componente (fuerza cortante) tangente a dicho plano. Análogamente, el momento M puede descomponerse en una componente (momento torsor) respecto a un eje normal al plano aa y una componente (momento flector) respecto a un eje tangente al plano aa, según se indica en la figura 3. Las componentes y se pueden descomponer según componentes rectangulares si se utiliza un sistema de fuerzas xyz.



FIGURA 1



   

FIGURA 2

Figura 3


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FUERZA AXIAL Y MOMENTO EN BARRAS Y ÁRBOLES El diagrama de fuerza axial es una gráfica que representa en abscisas distancias a lo largo del miembro y en ordenadas las fuerzas axiales internas en las secciones rectas correspondientes. En la representación de un diagrama de fuerza axial, las fuerzas de tracción son positivas y las de compresión, negativas. De manera análoga, el diagrama de momentos es una gráfica en la que se representa en abscisas distancias a lo largo del miembro y en ordenadas momentos resistentes internos en las secciones rectas correspondientes. FUERZA AXIAL, FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR EN MIEMBROS MULTIFUERZA Las fuerzas interiores en un plano concreto equivalen estáticamente a un sistema constituido por una fuerza y un par, dependiendo este último de la situación de la fuerza. En el caso de sistemas planos de cargas exteriores, que es lo que se va a considerar en este apartado, el sistema equivalente de las fuerzas interiores consistirá en una fuerza axial P, una fuerza cortante V y un momento flector M. FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS FLECTORES EN VIGAS Un miembro estructural o un componente de máquina destinado principalmente a soportar fuerzas que se ejerzan perpendicularmente al eje del miembro recibe el nombre de viga. La diferencia principal entre una viga y un miembro cargado axialmente o un árbol sometido a torsión es la dirección de la carga aplicada. Una viga puede ser recta o curva, según sea la forma de su eje centroidal. La principal deformación que sufre una viga es pro flexión. Algunas vigas están cargadas puramente a flexión, mientras que otras se hallan sometidas a cargas flectoras en combinación con cargas axiales, cortantes y t orsoras. Los miembros esbeltos sometidos a cargas axiales compresivas se denominan columnas. Los miembros esbeltos sometidos a cargas axiales compresivas combinadas con cargas que originan flexión reciben el nombre de COLUMNAS FLECTANTES. En este apartado, sólo se van a considerar vigas esbeltas con cargas transversales en un plano (llamado plano de flexión). Tales cargas solo originan una fuerza cortante y un momento que transmitirá una sección recta cualquiera de la viga.





Los tres tipos de apoyo que se utilizan corrientemente para las vigas son los apoyos de rodillo, los apoyos de pasador y el apoyo fijo. 1. El apoyo por rodillo resiste el movimiento de la viga en la dirección perpendicular a su eje. Luego, la reacción en un apoyo de rodillo de una viga horizontal es una fuerza vertical. La viga puede girar libremente entorno al apoyo de rodillo.


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2. El apoyo por pasador resiste el movimiento de la viga en cualquier dirección del plano de carga. La reacción del apoyo de pasador de una viga horizontal se suele representar mediante sus componentes rectangulares de dicha fuerza. La viga puede girar libremente entorno al apoyo del pasador. 3. Apoyo fijo impide tanto la rotación de la viga como su movimiento en cualquier dirección del plano de carga. La reacción del apoyo fijo puede re presentarse mediante dos componentes de fuerza y un momento.

APOYO POR RODILLO

APOYO POR PASADOR

APOYO FIJO CLASIFICACION DE VIGAS Las vigas se clasifican según el tipo de carga que soportan. Las vigas pueden estar sometidas a cargas concentradas, cargas distribuidas, o pares (momentos concentrados) que actúen solos o en una combinación cualquiera. 1. Las cargas aplicadas a una porción muy pequeña de la longitud de una viga se llama cargas concentradas. Una carga concentrada puede idealizarse mediante una fuerza discreta que se ejerce sobre un punto concreto de la viga. 2. Las cargas que se ejercen a lo largo de una longitud finita de viga se determinan cargas distribuidas. La distribución puede ser uniforme o no. El peso de l a viga constituye un ejemplo de carga distribuida uniformemente. 3. El momento concentrado es un par creado por dos fuerzas de igual modulo y dirección pero de sentidos opuestos aplicadas a la viga en una sección particular. Las vigas también se clasifican atendiendo el tipo de a poyo que utilizan: 1. La viga a poyada en pasadores, rodillos o superficies lisas en sus extremos se dice que esta simplemente a poyada.


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2. La viga simplemente apoyada que se prolongue más a ya de sus apoyos en uno o ambos extremos se dice que es una viga sobresaliente. 3. La viga que esta fija por un extremo y libre por el otro se dice que es una viga en voladizo o ménsula. 4. La viga que esta fija por un extremo y simplemente apoyado por el otro se dice que es una viga soportada. 5. La viga que tiene más de dos apoyos simples se denomina continua. 6. La viga que este o bien fija (sin rotación) o binen ligada (rotación limitada) se dice que esta empotrada. Las vigas también pueden clasificarse en estáticamente determinadas (isostáticas) y estáticamente indeterminadas (hiperestáticas). 



Una viga es isostática cuando el número de reacciones es igual al número de ecuaciones de equilibrio. Una viga es hiperestática cuando el numero de reacciones es mayor al número de ecuaciones de la estática, la diferencia de estas dos (reacciones y ecuaciones da el grado de hiperestáticidad de la viga). Entre los ejemplos de vigas hiperestáticas tenemos la viga en voladizo, la viga empotrada, la viga soportada, etc).

Los esfuerzos y deformaciones de las vigas son funciones de l as fuerzas interiores. Las fuerzas interiores que transmiten las secciones rectas de una viga son las fuerzas y momentos que se necesitan para resistir las fuerzas exteriores y mantener el equilibrio.

NOTAS:


               

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MOMENTOS SEGUNDOS DE SUPERFICE Y MOMENTO DE INERCIA APUNTES DE ESTÁTICA

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INTRODUCCION La expresión de la forma

  

recibe el nombre de momento segundo de la superficie.

Euler fue el primero en dar el concepto de “MOMENTO DE INERCIA” a las expresiones de la

forma

  

. Dada la semejanza entre estos dos tipos de integrales, a ambas se les llama

muchas veces momentos de inercia. MOMENTO SEGUNDO DE UNA SUPERFICIE PLANA



El momento segundo de una superficie respecto a un eje se representará por el símbolo cuando el eje esté en el plano de la superficie y por J cuando el eje se a perpendicular a ella.

A las magnitudes A.

   

           se les llama a veces momentos segundos rectangulares a la superficie

Análogamente, el momento segundo de la superficie A, representada en la figura anterior, respecto al eje z, que es perpendicular al plano de la superficie en el origen O del sistema de coordenadas xy, es

           Así pues,

           La magnitud de Jz se conoce con el nombre de momento segundo polar de la superficie A.


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El momento segundo de superficie no es sino la suma de productos de áreas por el cuadrado de distancias. Los momentos segundos siempre serán positivos. Sus unidades más utilizadas son .

  

TEOREMA DE STEINER PARA MOMENTOS SEGUNDOS DE SUPERFICIE Cuando se haya determinado el momento segundo de una superficie respecto a un eje dado, se podrá obtener el correspondiente a un eje paralelo a éste aplicando el teorema de STEINER. Si uno de los ejes pasa por el centroide de la superficie, el momento segundo de su superficie respecto a un eje x´ paralelo a él es:

                                 

Donde tiene el mismo valor para todo elemento de superficie y se ha sacado de la integral. La integral

es el momento segundo de

de la superficie y la última integral es el área total

de A de la superficie. Así pues,

La integral

es el momento primero de la superficie respecto al eje x. como el eje x pasa

por el centroide C de la superficie, el momento primero será nulo y la ecuación quedara en la forma:



    

Donde es el momento segundo de la superficie respecto al eje x que pasa por el centroide y es la separación de los ejes x y x´. de manera análoga, se puede demostrar que:





           

Donde es el momento segundo polar de superficie respecto al eje z que pasa por el centroide y d es la distancia que separa los ejes z y z´. EL TEOREMA DE STEINER DICE QUE EL MOMENTO SEGUNDO DE UNA SUPERFICIE RESPECTO A UN EJE CUALQUIERA CONTENIDO EN EL PLANO DE LA SUPERFICIE ES IGUAL AL MOMENTO SEGUNDO DE LA SUPERFICIE RESPECTO A UN EJE PARA LELO QUE PASE POR EL CENTROIDE DE LA SUPERFICIE MÁS EL PRODUCTO DEL AREA DE ESTA POR EL CUADRADO DE LA SEPARACION DE LOS EJES. El teorema también indica que el momento segundo de una superficie respecto a un eje que pase por su centroide es menor que el correspondiente a cualquier eje paralelo a él ya que.

      APUNTES DE ESTÁTICA

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Téngase presente que el teorema de STENIER sólo es válido para pasar de un eje a uno paralelo centroidal o, al revés, para pasar de un eje centroidal a otro paralelo a él. RADIO DE GIRO DE UNA SUPERFICIE Como el momento segundo de una superficie tiene las dimensiones de la cuarta po tencia de una longitud, se puede expresar en forma de producto del área A de la superficie por el cuadrado de una longitud K. Así pues,

Y de la ecuación de



                               

MOMENTOS SEGUNDOS MIXTOS DE SUPERFICIE El momento segundo mixto (llamado corrientemente producto de inercia de superficie) elemento de superficie dA representado en la figura:



del

   El momento segundo mixto (producto de inercia de superficie) de la superficie total A respecto a los ejes x y y es la suma de los momentos segundos mixtos de los elementos que integran dicha superficie, así:

     Las dimensiones de los momentos segundos mixtos son las mismas que las de los momentos segundos rectangulares o polares pero, como el producto xy puede ser positivo o negativo, el momento segundo mixto podrá ser positivo, nulo o negativo. El momento segundo mixto de una superficie respecto a dos ejes ortogonales cualesquiera será nulo cuando uno de dichos ejes sea eje de simetría.


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El teorema de STEINER para momentos segundos mixtos se puede deducir de la figura 10- 15 en donde los ejes x y y pasan por el centroide C de la superficie y paralelos, respectivamente, a los ejes x´ y y´ será:

  

                         

Ya que son las mismas para todos los elementos de superficie Da. Las integrales segundas y tercera de esta última ecuación son nulas por ser centroidales los ejes x y y. la última integral es el momento segundo mixto respecto a los ejes centoidales. En consecuencia, el momento segundo mixto respecto a un par de ejes paralelos a dos ejes centroidales ortogonales es:

      Donde el subíndice C indica que los ejes x y y son centroidales. El teorema de Steiner para momentos segundos mixtos (productos de inercia de superficie) puede enunciarse de la manera siguiente: el momento segundo mixto de una superficie es igual al momento segundo mixto de la superficie es igual al momento segundo mixto de la superficie respecto del área de la superficie por las coordenadas del centroide respecto a los ejes x y y. MOMENTO DE INERCIA En los análisis del movimiento de un cuerpo rígido, aparecen a menudo expresiones en las que interviene el producto de la masa de un pequeño elemento por el cuadrado de su distancia a una recta de interés. Este producto recibe el nombre de momento segundo de la masa del elemento o, más frecuentemente, de MOMENTO DE INERCIA del elemento.

  El momento de inercia de todo el cuerpo respecto al eje OO es, por definición:

    Como tanto la masa del elemento como el cuadrado de su distancia al eje son cantidades positivas, el momento de inercia de una masa será siempre positivo. Sus dimensiones son Kg



.

Los momentos de inercia de un cuerpo respecto a los ejes de coordenadas de un sistema xyz se pueden determinar considerando un elemento de masa. Por la definición de momento de inercia:

       Para el eje y y el eje z se pueden escribir las ecuaciones análogas.


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ESTATICA

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