Estru ctur as Di scretas I I
TEORIA DE GRAFOS GRAFOS
Estru ctur as Di scretas I I
Historia de la teoría de Grafos
1736: Solución de los puentes de Konigsberg por Euler. 1936: Konig escribe el primer libro sobre teoría de grafos (en alemán) 1962: Oystein Ore escribe el primer libro en ingles sobre la teoría de grafos:”Theory of Graphs”.Tambien Graphs”. Tambien escribe: Graphs and Their Uses (1963) y The Four-Color Problem (1967) 2007: Multiples aplicaciones debido a su relacion con ciencias de la computacion: optimizacion de redes o clasificacion de datos.
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Historia de la teoría de Grafos
1736: Solución de los puentes de Konigsberg por Euler. 1936: Konig escribe el primer libro sobre teoría de grafos (en alemán) 1962: Oystein Ore escribe el primer libro en ingles sobre la teoría de grafos:”Theory of Graphs”.Tambien Graphs”. Tambien escribe: Graphs and Their Uses (1963) y The Four-Color Problem (1967) 2007: Multiples aplicaciones debido a su relacion con ciencias de la computacion: optimizacion de redes o clasificacion de datos.
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Grafos
Son Diagramas que si se interpretan en forma adecuada proporcionan información, son como los mapas de carreteras, los diagramas de circuitos o de flujos y nos interesan por las conexiones o relaciones que muestren entre varias partes del diagrama.
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Grafos
¿Qué es un Grafo? Es una terna que está compuesta por dos conjuntos finitos: un conjunto |V| vértices un conjunto |E| aristas, j una relación de incidencia, que asocia a cada elemento de |E| un par de elementos de |V|
Se denota G = { V, E, j }
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Grafo Dirigido
Un Grafo Dirigido G es un par (V,E) en donde V es un conjunto finito de vértices (estados) y E es una relación binaria que representa las relaciones entre estado y estado (arcos) Se le llama grafo dirigido porque cada arco tiene una dirección.
1
2
3
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6
V = {1,2,3,4,5,6} E = { (1,2), (2,2), (2,4), (2,5), (4,1), (4,5), (5,4), (6,3) }
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Grafo No Dirigido
Un grafo no dirigido se define de la misma manera que un grafo dirigido, la única diferencia es los arcos no tiene dirección, funcionan como arcos de doble dirección. La relación binaria E que lo representa es simétrica.
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V = {1,2,3,4,5,6} E = { (1,2), (1,5), (2,1), (2,5), (5,1), (5,2), (3,6), (6,3) }
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Vertices: Son los objetos representados por punto dentro del grafo Aristas: Son las lineas que unen dos vertices Aristas Adyacentes: dos aristas son adyacentes si convergen sobre un mismo vértice. Aristas Múltiples o Paralelas : dos aristas son múltiples o paralelas si tienen los mismos vértices en común o inciden sobre los mismos vértices. Lazo: es una arista cuyos extremos inciden sobre el mismo vértice.
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A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j} V = {1, 2, 3, 4, 5}
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Grado o Valencia de Un vértice
Es el número de aristas que inciden sobre un vértice.
g(1)=6;g(2)=3;g(3)=4;g(4)=4;g(5)=3
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Grafo Regular
Un grafo G simple se dice que es K-regular, si en todo vértice de G incide exactamente K-aristas, donde K es una constante.
Este es un Grafo 3-Regular
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Vértice Aislado Es un vértice de grado cero.
Vértice Pendiente Es aquel grafo que contiene sólo una arista, es decir tiene grado 1.
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Aristas Adyacentes Se dice que dos aristas son adyacentes si convergen sobre un mismo vértice.
Aristas Múltiples o Paralelas Dos aristas de un Grafo G se dice que son paralelas si tienen el mismo vértice inicial y el mismo vértice final. Lazo o Aristas Cíclicas Es una arista que parte de un vértice y llega al mismo vértice.
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Cruce Son intersecciones de las aristas en puntos diferentes a los vértices
Grafo Sencillo o Simple Se dice que un Grafo G es Simple si no tiene aristas cíclicas y existe una sola arista entre dos vértices.
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Grafo Completo Un Grafo es completo si cada vértice tiene un grado igual a n-1, donde n es el número de vértice que componen el grafo.
Para saber el número máximo de aristas que posee un grafo completo está dada por: A= (n*(n-1))/2
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A
e4
C
e1
B
e2
e3
e5
D
G=G(V,A) V= A,B,C,D A=>
e1 = (A,B), e2= (B,C) , e3 = (C,D), e4 = (A,C), e5 = (B,D)
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A
C
B
D
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A
B
A
B
C
F
C
D
D
E
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A
B
C
D
E
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A
A
B
B
C
C
X
X
Y
Z
G
Y
Z
G -A
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A
B
C
X
Y
Z
G-B
G-C
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Matriz de Adyacencia a
b
a
a c b c d e d
e
b
0 1 0 1 0
1 0 1 0 1
c
d
0 1 0 1 1
1 0 1 0 0
e
0 1 1 0 0
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MATRIZ DE INCIDENCIA Es una matriz rectangular de orden n x m conformada por dos conjuntos: los cuales tendrán un conjunto n de vértices y otro conjunto m de columnas o arcos.
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Matriz Adyacente para Digrafos Es necesario determinar los vértices adyacentes, teniendo en cuenta la dirección.
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Matriz de Adyacencia de Vertices
X
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Matriz de Incidencia en los Digrafos M(D) = Matriz x de orden n x m donde n es el número de vértices y m el número de arcos. Como es una matriz rectangular, entonces:
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Matriz de Adyacencia de Vertices Xij = 1 Si existe un arco de incidencia Xij = 0 Si no existe un arco de incidencia D = {A; V; d } sin arcos estrictamente paralelos X(D) = n x n |V| = n aij : i = 1,2,3,……..,n j = 1,2,3,……..,n
V1
V2
V3
V4
V5
V6
V1
0
0
1
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0
0
V2
1
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V3
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V5
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V6
1
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Construya la Matriz de Incidencia 1
2
4
3
5
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P1
10
8 9
P2
15
P3
11 P4
P5
20
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Grafo Isomorfo Dos Grafos son Isomorfos si existe una correspondencia biunívoca entre sus vértices tal que dos vértices quedan unidos por una arista en uno de los grafos, si y solo si, los vértices correspondientes del otro grafo quedan unidos por una arista. Dados los Grafos G = { A; V; j } y G’ = { A’; V’; j’} es necesario que cumpla con las siguientes condiciones: Si el número de elementos de G = G’ |V| = |V'| Si hay una correspondencia biyectiva |A| = |A'| Si conserva la relación de incidencia y adyacencia entre los elementos de los conjuntos V y A.
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Las Gráficas G1 y G2 son Isomorfas si y solo si para cierto orden de sus vértices las matrices de adyacencia son iguales.
A
A C
E
D
B
D
C
E
B
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