Hidráulica.pdf Apostila Em 27 Abr 2018

Canal YouTube: Afonso Carioca Oficial Facebook: Afonso Carioca [email protected] / [email protected] WAPP/TELEGRAM: (62) 98618-3847 / 99469-8239 / 98109-4036 HIDRÁULICA – AFONSO CARIOCA UNIDADE I: RESUMOS TEÓRICOS INTRODUÇÃO Hidráulica, do grego hydor (água) + aulos (tubo, condução), significa condução de água. Atualmente, este conceito é mais amplo. E assim, podemos dizer que hidráulico é o estudo do comportamento da água e de outros líquidos tanto em repouso quanto em movimento. A hidráulica divide-se em: a) Hidráulica Geral ou Teórica  Hidrostática: fluidos em repouso ou em equilíbrio  Hidrocinética: velocidades e trajetórias sem forças e energia  Hidrodinâmica: velocidades, velocidades, acelerações e as forças b) Hidráulica Aplicada ou Hidrotécnica Aplicação dos conhecimentos da Mecânica dos Fluidos (água) nas áreas urbana, rural, instalações prediais e lazer.  Área urbana: sistemas de abastecimento de água, sistemas de abastecimento de esgoto sanitário, sistemas de drenagem pluvial e canais.  Área rural: sistemas de irrigação, drenagem, água potável e esgoto.  Instalações prediais: indústria, comércio e residências. 

Em hidráulica, os escoamentos são conceituados em função de suas características em:  Laminar  Turbulento  Unidimensional e bidimensional  Rotacional e irrotacional  Permanente e variável  Uniforme e variado  Livre e forçado  Fluvial e torrencial NÚMERO DE REYNOLDS (Rey) V Vd d  Vd  (1) Re y   







(2)



onde: V  velocidade média, em m/s d  diâmetro do tubo, em m   viscosidade cinemática, em m²/s   massa específica, em kg/m³   viscosidade absoluta, em Ns/m²

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CONTROLE DOS ESCOAMENTOS 1. Escoamento dos orifícios Os orifícios são perfurações, geralmente de forma geométrica definida, feita abaixo da superfície livre do líquido em paredes de reservatórios, tanques, canais ou canalizações. As aberturas feitas até a superfície do líquido constituem os vertedores.

2. Classificação Os orifícios podem ser classificados quanto a sua forma em: circulares, retangulares, trapezoidais, etc. 3. Natureza das paredes Quanto à natureza das paredes, os orifícios são classificados em: a) parede delgada biselada: e < 1,5 b) parede delgada corte reto: e < 1,5 c) parede espessa: e > 1,5 4. Contração da veia  Seção contraída ou veia contraída (convergência dos filetes)  Linhas de corrente são paralelas  Pressão atuante = pressão atmosférica  O jato que sai do orifício chama-se via líquida e sua trajetória e parabólica 5. Determinação da vazão Considerando o orifício de parede delgada e aplicando-se a Equação de Bernoulli entre dois pontos 1 e 2, temos: P1





P

V12 2 g

 Z1 

P2 



V 22 2 g

 Z 2

 carga piezométrica

 2

V

2 g

 carga cinética

Z  carga geométrica P1 



P 2

Pressão são atmo atmosfé sféric ricaa  0  Pres



Z2  0  Z1  h  Diferença de altura Coeficiente de Velocidade (CV) velocidade real (Vr) C V  velocidade teórica (Vt)

V2 r

 CV . 2gh , onde:


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CONTROLE DOS ESCOAMENTOS 1. Escoamento dos orifícios Os orifícios são perfurações, geralmente de forma geométrica definida, feita abaixo da superfície livre do líquido em paredes de reservatórios, tanques, canais ou canalizações. As aberturas feitas até a superfície do líquido constituem os vertedores.

2. Classificação Os orifícios podem ser classificados quanto a sua forma em: circulares, retangulares, trapezoidais, etc. 3. Natureza das paredes Quanto à natureza das paredes, os orifícios são classificados em: a) parede delgada biselada: e < 1,5 b) parede delgada corte reto: e < 1,5 c) parede espessa: e > 1,5 4. Contração da veia  Seção contraída ou veia contraída (convergência dos filetes)  Linhas de corrente são paralelas  Pressão atuante = pressão atmosférica  O jato que sai do orifício chama-se via líquida e sua trajetória e parabólica 5. Determinação da vazão Considerando o orifício de parede delgada e aplicando-se a Equação de Bernoulli entre dois pontos 1 e 2, temos: P1





P

V12 2 g

 Z1 

P2 



V 22 2 g

 Z 2

 carga piezométrica

 2

V

2 g

 carga cinética

Z  carga geométrica P1 



P 2

Pressão são atmo atmosfé sféric ricaa  0  Pres



Z2  0  Z1  h  Diferença de altura Coeficiente de Velocidade (CV) velocidade real (Vr) C V  velocidade teórica (Vt)

V2 r

 CV . 2gh , onde:


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V2r = velocidade real no ponto 2 Q = vazão Q = Seção contraída  Vr Seção contraída = Ce  A0, onde: Cc = coeficiente de contração A0 = área do orifício Vr

 CV

2 gh

Q  Cc  A0  CV  2gh Cd = coeficiente de descarga

Cd

 Cv  C c , assim:

Q  Cd  A0  2gh Esvaziamento Esvaziamento de reservatórios

vol  Q E  QS t vol  vol E  volS dvol  A.dh dh QS  Cd  A0  2 gh 6. Contração incompleta da veia No caso de orifícios abertos, junto ao fundo ou às paredes laterais, é indispensável a correção. Dessa forma, aplica-se o coeficiente de descarga Cd corrigido. Para orifícios retangulares:

Cd'

 Cd 1  0,15 ,15K  onde:

 K 

Perímetro da parte suprimida Perímetro do orifício


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7. Perda de carga em orifícios Considerando as perdas: V12 2 g



P1 

h 

 Z1 

V22t  V 22 2 g

V22 2 g



P2

 Z 2  h



V2  Cv V 2t  C V    V 2 V  V 2t 2 t  C V  V 2

Logo: V 22 2 V

C

h  h 

 V 22

2 g



V22  CV 2 V22 2 g  C V 2

V22  CV2 V 22t 2 g

8. Orifícios de grandes dimensões Velocidade não é constante ao longo da seção. E definindo: h = carga sobre um trecho elementar de espessura dh L= largura do orifício Para a área dh = l dh, a carga nesse trecho elementar é: Q  Cd Ldh 2gh Assim, a descarga será a integração entre os limites h 1 e h2 (cargas correspondentes ao topo e à base do orifício). Assim: h2



Q  Cd L 2 gh dh h1 h2

Q  Cd L 2 g

1

  h  dh 2

h1 h2

 3   h 2  Q  Cd L 2 g  3     2 h

1

Q

2 3

Cd L 2 g h13  h23

mas como A  L  h2  h1   L 

A h2  h1

, temos que:


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Q

h23  h13

2

Cd A 2g 3 h2  h1 BOCAIS OU TUBOS ADICIONAIS São constituídos por peças tubulares adaptadas aos orifícios e servem para dirigir o jato. São classificados pelo comprimento: a) Bocal: 1,5 

L D

3

b) Tubo curto: 3 

L D

c) Canalização: 500 

d) Canalização longa:

 500 L D L D

 4000

 4000

1. Tipos a) Cilíndrico: externo, interno ou reentrante.

b) Cônico: divergente; convergente.


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Convergente: P1  P 2 e V2

 V1

Divergente: P1  P 2 e V2 < V1 VERTEDOR 1. Conceito Estruturas dispostas transversalmente ao canal como paredes, diques ou aberturas sobre as quais um líquido escoa. Também como obstáculo à passagem da corrente e aos extravasares de represas (orifícios sem a borda superior, mas tendo uma superfície livre). Utilizado para medição da vazão em canais abertos:  extravasares     

tomadas d’água

decantadores canais de irrigação ETA ETE

2. Terminologia H = carga do vertedor p = altura da soleira L = largura do vertedor 3. Classificação dos vertedores 3.1. Forma: a) Simples (Retangulares, trapezoidais, triangulares) b) Compostos (seções combinadas) 3.2. Altura relativa da soleira: a) vertedores completos ou livres (p > p’) b) vertedores incompletos ou afogados (p < p’)

3.3. Natureza das paredes: a) paredes delgadas (chapas ou madeira chanfrada) b) parede espessa (e > 0,66 h) 3.4. Largura relativa a) sem contrações laterais (L = B) b) contraídos (L < B) 4. Vazão nos vertedores


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2 3

 0,62 4,43  1,83 3

Q  1,83  L  H 2 3

Então: Q  Cd  L  H 2

Coeficiente de descarga USBR (United States Bsean ot Reclamaton) H C d  3,22  0,40 P 2 3  H     C d  29  0, 405   1 0, 55 H  P   1000 H      

Bazin Fórmulas práticas Fórmula de Francis: 3

Q  1,838  L  H 2 Fórmula da Sociedade de Suíça de Engenheiros e Arquitetos: 2 3 1,816 H      2 Q  1,816   1  0,5  H  P    L  H 1000 H  1, 6      

4.1. Vertedor retangular com contrações Experiências de Francis

1. contração : L '  L  0,1H  2. contração : L '  L  0, 2 H

3 2 H  2  Q  1,838  L   H 10   3

Q  1,838  L ' H

2

Influência da velocidade de chegada da água


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V = velocidade do canal 4.2. Vertedor triangular Possibilitam maior precisão na medida das cargas correspondentes à vazões reduzidas. Formato isósceles e usual  = 90°. Adota-se a Fórmula de Thompson: 3

Q  1, 4  H 2

4.3. Vertedor circular Vantagens: facilidade de execução e não requer nivelamento da soleira.

Q  1,518  D 0 ,693  H 1,807 4.4. Vertedor de parede espessa Pela Equação de Torricelli: V



2 gLH

h

Q  Lh 2 g ( H

 h)

Q  L 2 g ( Hh ²  h ³) Pelo Princípio da vazão máxima de Belanger h se estabelece de forma a ocasionar uma vazão máxima, quando a derivada (Hh² - h³) é igual a zero. Acompanhe: d ( Hh ²  h ³)

0

dh 2 Hh  3h ²  0 h0 h

2 H

3 Fazendo as devidas substituições:


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 2 H    3 

 

Q  L Q

2 3

2 g  H 

2 H  3

 

 H  2 g    0, 666  2,56 LH 3

LH

3 2

3

Q  1,71LH 2 4.5. Vertedor trapezoidal de Cipolleti 3

Q  3,367bH 2 Este vertedor tem inclinações laterais de 1 : 4 (1 na horizontal e 4 na vertical). 4.6. Barragens Utilizadas como vertedores 3

Q  MbH 2 M = fator experimental

EQUIVALÊNCIA DE CONDUTOS 1. Introdução Muitas vezes há interesse prático, para efeito de cálculo, na determinação das características geométricas e de rugosidade de uma tubulação equivalente à outra ou equivalente a um sistema de tubulações. Um conduto é equivalente a outro (ou a um sistema de condutos) se a perda de carga total em ambos é a mesma para a mesma vazão adotada. A adoção do conceito de equivalência torna-se vantajosa, uma vez que se pode substituir um sistema complexo de tubulações por outro mais simples ou mesmo por um conduto único. Assim, temos duas situações a ser analisadas: a equivalência entre dois condutos simples e a equivalência entre um conduto e um sistema. 2. Equivalência entre dois Condutos Sejam dois condutos de comprimentos, diâmetros e rugosidades diferentes. Para que haja equivalência entre ambos é necessário que H1 = H2 e Q1 = Q2. A perda da carga em termos da vazão é dada por:

fLQ2 (1) H  0,0827 5 . Para as duas tubulações, igualando-se as perdas de carga e simplificando temos: D (2) L2

f1  D2 

 L1   f2  D1 

5

. Expressão que permite determinar o comprimento do segundo conduto, de diâmetro D 2,

equivalente ao primeiro de diâmetro D 1. Utilizando a fórmula de Hazen-Williams, temos:


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C  (3) L2  L1   2   C1 

D   2   D1 

4,87

3. Conduto Equivalente a um Sistema 3.1. Introdução A topologia de um sistema de tubulações pode pertencer a uma das seguintes formas: (i) tubulações em série; (ii) tubulações em paralelo; (iii) tubulações ramificadas: (iv) redes de tubulações. E existe uma analogia formal entre o sistema hidráulico e o sistema elétrico de corrente contínua. A vazão corresponde à corrente elétrica, a perda de carga corresponde à queda de tensão e a resistência hidráulica da tubulação corresponde à resistência ôhmica dos circuitos elétricos. A resistência hidráulica na tubulação é dependente do comprimento, diâmetro e rugosidade e a perda de carga no regime turbulento é proporcional ao quadrado da vazão e, no regime laminar, é proporcional à primeira potência da vazão, semelhante à Lei de Ohm V = RI. 3.2. Tubulações em Série As principais características de um sistema em série são: 1ª) O conduto é percorrido pela mesma vazão  Q = Q1 = Q2 = ... = Qn. 2ª) A perda de carga total entre as extremidades é a soma das perdas de carga em cada tubo. O conduto equivalente, de comprimento L, diâmetro D e coeficiente de atrito f, a um sistema de tubulações em série pode ser determinado da seguinte forma: H  H1  H2    Hn

(4)

fL D5



f1L1 D15



f2L 2 D52





fnLn Dn5

A fórmula de Hazen-Williams correspondente à expressão (4) é a seguinte:

 5

L C1,85  D4,87



L1 C11,85  D14,87



L2 C2 1,85  D2

 4,87



Ln Cn1,85  Dn 4,87

3.3. Tubulações em Paralelo As características principais de um sistema em paralelo são: 1ª) A perda de carga é a diferença de cotas piezométricas na entrada e na saída do sistema, de modo que a perda de carga é a mesma em todos os trechos  H  H1  H2   Hn . 2ª) A vazão de entrada é a soma das vazões nos trechos. Assim, temos as equações de equivalência:

Q  Q1  Q2 

6

D2,5 f 0,5  L0,5

Qn



D12,5 f10,5  L10,5



D22,5 f20,5  L20,5





Dn 2,5 fn 0,5  Ln 0,5

A fórmula de Hazen-Williams correspondente à expressão (6) é a seguinte:

C  D2,63  7  0,54 L



C1  D12,63 L10,54

C2  D22,63  L20,54



Cn  Dn2,63  Ln0,54


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UNIDADE II: EXERCÍCIOS RESOLVIDOS QUESTÕES DA PROVA 01 1. Dois reservatórios A e B de grandes dimensões deságuam num terceiro reservatório quadrado C interligados, conforme esquema baixo, através dos orifícios de parede delgada. O reservatório C possui um orifício de fundo capaz de receber as vazões de A e B, uma vez que a vazão Q1 é o dobro da vazão Q2. Calcular: a) a vazão Q1 b) a carga h2 c) a área do reservatório C Dados: CV1 = CV2 = 0,98 Cc1 = Cc2 = 0,61 A1 = 6,0 cm²; A2



2 3

A1 e A3 = 2,5 A1

Solução: Neste problema devemos utilizar as seguintes fórmulas: Q  Cd  A0  2gh (1)

 Cv  C c A1  6, 0  104 m² A2  4, 0  104 m² A3  15 104 m² Cd

(2)

a) Vazão Q1 Q1  Cd  A0  2gh Cd  Cv  C c C d  0,98 0,61  0,60 h1  3  2  1 m g  9, 81 m / s ² A1  6, 0 104 m ² Substituindo os dados na fórmula (1):


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Q  0, 60  6  10



2  9, 81 1

3

Q  1,59  10 m ³ / s b) Carga h2 Do problema, temos: Q1 1,59  103 Q1  2Q2  Q2  m³ / s  2 2

 Q2  7,95  104 m ³ / s Substituindo os dados na fórmula (1): Q  Cd  A0  2gh 7, 95  104 19, 62h2

 0, 6 4 104



7,95 2, 4



2 9,81 h2

19, 62h2

 3,31,

elevando

ambos os membros ao quadrado, obtemos: 19, 62h2

 10, 96  h2 

10,96 19,62

 0,56 m

 h2  0,56 m 2. Em um reservatório quadrado de 3 m de lado de nível d’água constante, tem -se um bocal interno,

funcionando como veia descolada, com diâmetro de 25 mm à profundidade de 2 m e C V = 0,98 e C C = 0,52. Substituindo-se por um orifício de fundo com C V = 0,985 e C C = 0,51 de 40 mm de diâmetro (centro do lado). Qual é a profundidade mínima do reservatório, sabendo-se que o orifício descarrega o dobro da vazão do bocal? Solução: Do problema, podemos concluir que:  D ²

A1



A1

 4,91 104 m ²

4



3,14   25  103  4

2

m²


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Q1  0, 51 4, 91 104 2  9,81 2 m ³ / s Q1  1,57  103 m ³ / s Q2

 2Q1  2 1, 57 10 3 m³ / s

Q2

 3,14 103  Cd '  A2 2 gh2

Cd'

 Cd (1  0,15k ), mas k 

Cd'

 Cd (1  0,15k )  Cd '   0, 985  0, 51  1  0,15  0, 25 

' d

C

 0, 52 e A2 

 D ²

4



b 2(a  b)



3 12

3,14   40 103  4

 0, 25

2

 1, 26 10 3 m²

Substituindo: 3,14  103 19, 62h2

 0, 52 1, 26 103 

3,14 0,66



19, 62h2

2 9, 81 h2

 4, 76 elevando

ambos os membros ao quadrado, temos: 19,62h 2

 22, 66  h2 

22,66 19,62

 1,15 m  h2  1,15 m

3. A altura de carga inicial num orifício era de 275 cm; ao final do escoamento, ela caiu para 122 cm. Sob que altura de carga constante H, o mesmo orifício descarregará o mesmo volume de água, no mesmo intervalo de tempo? Solução: Volume sob altura de carga decrescente é igual ao volume sob altura de carga constante:


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

h 2

1 2

1

1

1

Cd A0 2 g h12

 h2   1 2

 h2   t  Cd A0 1 2

t

H



275  122

H

 13,81 H  190, 7 cm

2

2gH



H

4. Um canal retangular de 2 m de largura tem um vertedor triangular com altura da soleira de 1,3 m que deságua num reservatório retangular de 1,2 m de lado. Sabe-se que a profundidade da água no canal é de 2 m e na parede oposta do reservatório há um vertedor retangular sem contrações, que serve como extravasor. Se o fornecimento de água no vertedor triangular for interrompido subitamente, quanto tempo o vertedor retangular fornecerá água? Solução: P = 1, 3 m H + P = 2 m  H + 1,3 = 2  H = 0,7 m QUESTÕES DA PROVA 02 1. Um projeto de sistema de abastecimento de uma cidade do interior será executado. A população atual é de 8420 habitantes; a futura será de 12960 habitantes. O volume médio de água por habitante é de 200 l/dia. Para suprir essa demanda futura, serão captadas as águas de um córrego de 1,35 m de largura. Para determinar essa descarga, foi empregado um vertedor retangular de parede delgada, em madeira chanfrada, com 0,80 m de largura. A água se elevou 0,12 m acima da soleira do vertedor. A vazão do vertedor é suficiente para atender a demanda? Justifique sua resposta. Solução: Volume de água necessário hoje: Vatual  8420  200 l / dia  1684000 l / dia Qatual 

1684000 l / s  19, 49 l / s  Q  19, 49 l / s 86400

Volume de água necessário no futuro: Vfuturo  12960  200 l / dia  259200 l / dia Qfutura 

2592000 l / s  30 l / s  Q  30 l / s 86400

Vazão medida: 3

3

Q  1838 L  0, 2H H2  Q  1838 0, 80  0, 2  0,12 0,12 2 l / s Q  59, 3 l / s

Como Q  Qfutura , então, a vazão vertedor é suficiente para atender a demanda. 2. Um projeto de sistema de abastecimento de uma cidade do interior será executado. O número de casas é 1456 e, em média, com cinco moradores por habitação. A demanda média é de 200 litros por habitante, porém, para os dias de maior consumo é 25% maior que a média. O manancial de captação está a uma cota 928 m


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Canal YouTube: Afonso Carioca Oficial Facebook: Afonso Carioca [email protected] / [email protected] WAPP/TELEGRAM: (62) 98618-3847 / 99469-8239 / 98109-4036 acima do nível do mar na encosta da serra. O reservatório da estação de tratamento e distribuição de água está numa cota de 875 m acima do nível do mar. O diâmetro da linha adutora existente é de 150 mm, com 5352 m de extensão, sendo os tubos de ferro fundido com bastante uso (C = 100). Verificar se o volume aduzido diariamente é suficiente para o abastecimento da cidade. Justifique sua resposta. (Obs.: 1 dia = 86400 segundos). Solução: Vazão Diária QD  Nº de habitantes: 1456 x 5 = 7280 habitantes Consumo Normal: 200 litros/habitante Consumo Máximo: 250 litros/habitante Consumo Total em m³: 0,250 x 7280 = 1820 m³ Vazão Diária: consumo total dia 1820 1820 Q m³ / dia  Q  m³ / s  Q  0, 0211 m³ / s 1 86400 Q

Vazão Aduzida QA  L L h 928  875  J S i  J J m / m  J  0, 0099 m / m L L 5352 10, 65Q1,85 J  C1,85  D4,87 J  1,85 4,87  Q1,85  10,65 D C 0, 0099  1001,85  0,1504,87 0, 00482 1,85   Q1,85   QA  0, 0156 m³ / s Q 10, 65

10, 65

Como a vazão aduzida QA  é menor que a vazão diária QD  , o volume aduzido diariamente não é suficiente para abastecer a cidade. 3. Testes num conduto forçado serão realizados. O conduto é de ferro dúctil (C = 100), testando com diâmetro de 1,20 m e 150 m de extensão e parte de uma câmara de extravazão para conduzir 4,5 m³/s de água extravasada para um rio cujo nível está 6,50 m abaixo do nível máximo que as águas poderão atingir na câmara. Na linha existem quatro curvas de 90° (k = 0,4) . Considere as perdas de entrada e saída (k = 1). Determine se o teste como diâmetro é satisfatório. Solução: Dados C = 100 D = 1,20 m L = 150 m Q = 4,5 m³/s k1  4  0, 4  1,6; k2  2  1, 0  2,0   ki 1,6  2,0  3, 6 z  6,50 m


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Canal YouTube: Afonso Carioca Oficial Facebook: Afonso Carioca [email protected] / [email protected] WAPP/TELEGRAM: (62) 98618-3847 / 99469-8239 / 98109-4036 z  H  h H  JL 1,85

10,65   4,5 10,65Q1,85  0, 01413m / m J  1,85 4,87  1,85 4,87 D C 100  1,20 

H  0, 01413  150  2,12 m  H  2,12 m V? 2

D² 3,14  1,20 Q  V  , mas : A  m²  1,13m² A 4 4 4,5 V m / s  V  3, 98 m / s 1,13 2

3,98 V2 h   ki  h  3, 60 m  h  2, 91 m 2g 19, 62 z  H  h  z  2,12  2, 91  5, 03 m Conclusão: como 5,03 m não chegaram ao nível máximo de 6,50 m, o teste com o diâmetro é satisfatório. 4. Numa tubulação nova de aço com 10 cm de diâmetro conduz 757 m³/dia de óleo combustível pesado à temperatura de 33°C. A viscosidade cinemática é   0,000077 m² / s e a rugosidade absoluta é   0,20mm . Determine o tipo de escoamento (laminar ou turbulento) e calcule a perda de carga nessa tubulação de 100 m. Solução: Dados: D  10 cm  0, 10 m 757 m³ / s  8,762  103 m³ / s 86400   0,000077 m² / s  77  106 m² / s 0,20   0, 20 mm  m  2, 0  104 m 1000 L  100 m Q  757 m³ / dia 

A

D2

2



3,14  0,10

m²  7, 85  103 m²

4 4 Q 8, 762  103  V m / s  1,12 m / s A 7, 85  103 VD 1,12  0,10   1454,54 (lamin ar) Re y   77  106

O escoamento é laminar. Logo: f

64 64   0, 044 Re y 1454,54


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Canal YouTube: Afonso Carioca Oficial Facebook: Afonso Carioca [email protected] / [email protected] WAPP/TELEGRAM: (62) 98618-3847 / 99469-8239 / 98109-4036 A perda de carga é dada por: 2

100  1,12 LV² H  f  0, 044 m  2, 81 m  H  2, 81 m 2gD 2  9, 81  0,10

5. A água escoa a 20°C em um tubo novo de ferro fundido (C = 130) a uma velocidade de 4,2 m/s. O tubo tem 400 m de comprimento e um diâmetro de 150 mm. Determine a perda de carga por atrito. Solução: Dados: C  130 V  4, 2 m / s L  400 m D  150 mm Calculando a vazão: Q  VA A

2

3,14  0,15

D2

 m²  0, 01766 m² 4 4 Q  4,2  0,01766 m³ / s  0,0742 m³ / s 2

10,65  0,0742 10,65Q1,85 J  1,85 4,87  m / m  0,1095 m / m 1,85 4,87 C D 130   0,15

H  JL  0,1095  400  43, 8 m  H  43, 8 m 6. A água escoa a 20°C em uma tubulação de PVC de 3’’ de diâmetro, em que está instalado um tubo diafragma, com constantes k = 0,677 e m = 0,45, e deriva para uma tubulação de PVC com 1 ½’’ de diâmetro. As leituras no manômetro de mercúrio conectado ao diafragma são 56,7 cm e 55,8 cm. Na tubulação de 1 ½’’ existem duas

tomadas de pressão que distam 3,46 m, cujas leituras no manômetro de mercúrio são 38,9 cm e 33,5 cm. Determine os coeficientes de Hazen-Williams e o fator de atrito da tubulação. Considerando o tubo de PVC liso C = 130, este tubo é liso ou rugoso? Solução: Dados: k  0, 677 m  0, 45 Tubo de PVC de 3’’:

D  3 ''  3  0, 0254  0, 0762 m L1  56, 7 cm  0, 567 m L2  55, 8 cm  0, 558 m

L  L1  L2  0,567  0,558  0, 009m S

D2 4

2



3,14  0,0762 4

m²  0, 004558 m²


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Canal YouTube: Afonso Carioca Oficial Facebook: Afonso Carioca [email protected] / [email protected] WAPP/TELEGRAM: (62) 98618-3847 / 99469-8239 / 98109-4036 Q  kSm 2g  dHg  1 L  0, 677  0, 004558  0, 45 19, 62 13, 6  1  0, 009 m³ / s Q  0,00207 m³ / s Tubo de PVC de 1 ½’’:

D  1,5''  1,5  0,0254 m  0,0381 m L1  38, 9 cm  0, 389 m L2  33, 5 cm  0, 335 m

L  L1  L2  0,389  0,335  0, 054 m L 0, 054 J 13, 6  1  0,19665 m / m  dHg  1  L

J

3, 46

10,65Q1,85 C1,85D4,87

1,85

 0,19665 

10,65  0,00207

4,87

c1,85 0, 0381

0,19665  1,228  107 C1,85  1,153174  104 2, 41423  108 C1,85  1, 153174  104 1,85

C

1 1,85

 4776, 5693  C   4776, 5693

 C  97,34 rugoso 

Fator de Atrito: h1  0, 389 m h2  0, 335 m

h  h1  h2  0, 389  0, 335  0, 054 m Q  0,00207 m³ / s S

D2

2

3,14  0, 0381

 m²  0, 001395 m² 4 4 Q 0, 00207   1, 816 m / s V S 0,001395 h  f

LV2 2gDh 19, 62  0, 0381  0, 054 f   0, 0035  f  0, 0035 2 2gD LV2 3,46  1,816 


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  4, 067  107 m² / s Q  0,10 m³ / s Adote f = 0,03 2

8  965, 5  0, 10 8LQ2  0, 03  4, 69920  103 D  f1  gh 3,14  9, 81  16 5

3

5

D  4, 69920  10

Re y  f

f

D



1

4, 69920  103 5

 D  0,342 m

4Q 4  0,10   9,159  105 turbulento  7   D 4,067  10  3,14  0,342 1,325 1,325  f  2 2

VD



   5,74   ln      3,7D R ey0,9    

     5  104  5,74 ln  3,7  0,342   0,9  5    9,159 10    

1,325

ln 3,9513  104  24,73  106    

2



1,325  0, 022  f  0, 022 60,46

Adote f = 0,022 2

8  965,5  0,10 8LQ2  0, 022  3, 448  103 D  f1  gh 3,14  9, 81  16 5

3

5

D  3, 448  10

Re y 

VD





D



1

3, 448  103 5

 D  0, 322 m

4Q 4  0,10   9,727  105 turbulento  7  D 4,067  10  3,14  0,322


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f

1,325

   5,74   ln      3,7D R ey0,9    

2

 f 

1,325

     5  104  5, 74 ln  3,7  0,322   0,9  5    9,727 10     

1, 325

ln  4,197  104  23,43  106   

2



2

1, 325  0, 022  f  0, 022 59,62

Conclusão: O diâmetro é de 0,322 m. 8. Numa tubulação de 4’’ de diâmetro, material aço soldado novo, rugosidade

  0,10 mm , passa uma vazão

de 12 l/s de água,   1,016  106 m² / s . Dois pontos A e B desta tubulação, distantes 0,51 km um do outro, são tais que a cota piezométrica em B é igual à cota geométrica em A. Determine a carga de pressão disponível no ponto A, em mca. O sentido do escoamento é de A para B. Solução: Dados: D  4 ''  0, 102 m

  0, 10 mm  1, 0  104 m Q  12 l / s  0, 012 m³ / s   1,016  106 m² / s L = 0,51 km = 510 m Equação de Bernoulli de A para B, com referência em B: ZA 

VA2 pA V2 p p   H  ZB  B  B ; mas : B  ZA    2g 2g

ZA

VA2 pA VB2    H  ZB   ZA  2g 2g

pA

 H  0 



pA



 H

Fator de Atrito:


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D2

2



3,14  0,102

m²  8,171  103 m²

4 4 Q 0, 012  V m / s  V  1, 4686 m / s A 8,171  103 VD 1,486  0,102   1, 475  105  turbulento Re y  6   1, 016  10 1, 325 1,325  f  2

   5,74   ln      3,7D R ey0,9    

f

     1, 0  104  5, 74 ln  3, 7  0,102  0,9   5    1, 475 10     

1, 325

ln 2,4697  104  1,2794  104    

2



2

1, 325  0, 0215 61,50

2

510  1, 4686 LV² H  f  0, 0215  m  11, 82 m 2gD 19, 62  0,102 pA p  H  A  11, 82 m





QUESTÕES DA PROVA 04 1. Dado a malha a seguir, faça a 1ª iteração completa e calcule as vazões na 2ª iteração. Em cada nó, a vazão de abastecimento é 2,15 m³/s. Dados:   1,1  106 m² / s e   0, 25 mm .


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a) 1ª Iteração Completa Roteiro: 1º) Adota-se um sentido positivo (sentido horário) de circulação em cada anel. 2º) Numera-se cada trecho (cada tubo). 3º) Calcula-se a vazão em cada trecho, observando que a soma das vazões que chegam a um nó deve ser igual à soma das vazões que deixam o mesmo o nó. 4º) A tabela abaixo deve ser preenchida: Anel I h

(s/m²)

Trecho

L (m)

D (m)

Q (m³/s)

h (m)

+1 +2 -3 -4

128 132 144 145

0,60 0,50 0,50 0,70

6,75 2,60 1,85 4,00

+ 99,12 + 40,10 - 22,14 - 18,24

14,68 15,42 11,97 4,56

SOMA   

98,84

46,63

Q

As fórmulas que devem ser utilizadas são:


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(1) V 

V2 

4  2, 60 m / s  V2  13,24 m / s  0,50 ²

V3 

4  1,85 m / s  V2  9, 42 m / s  0,50 ²

V4 

4  4, 00 m / s  V4  10,39 m / s  0,70 ²

(2) Re y 

VD



23,87  0,60  Re y1  13, 02  106 6 1,1  10 13,24  0,50  Re y2  6, 02  106 Re y2  6 1,1  10 9, 42  0,50  Re y3  4,28  106 Re y3  6 1,1  10 10,39  0,0  Re y4  6, 61  106 Re y4  6 1,1  10 64 (3) f  Lamin ar : Re y  2300  Re y Re y1 

(4) f 

1,325

   5,74   ln  0,9     3,7D Re y 

2

 Turbulento : Re y  4000


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f2 

f3 

f4 

1,325

     2,5  104  5,74 ln  3,7  0,60  0,9     13, 02  106       1,325

     2,5  104  5,74 ln  3,7  0,50  0,9   6    6,02 10     

2

 f 2 

2

 f3 

2

 f 4 

1,325

     2,5  104  5,74 ln  3,7  0,50  0,9     4,28  106        1,325

     2,5  104  5,74 ln  3,7  0,70  0,9   6   6,61 10       fLV² 2gD 0,016  128  23,87 ²

 f1 

2

1,325

ln 1,126  10 4  2,269  10 6   

2

1,325

 f1  0,016

2

 f2  0, 017

2

 f3  0,017

ln 1,351  10 4  4,542  106    

1,325

ln 1,351  10 4  6,175  10 6   

1,325

ln  9,652  105  4,176  10 6    

2

 f4  0, 016

(5) h 

h1  h2  h3  h4 

19, 62  0,60 0,017  132  13,24 ² 19, 62  0,50 0,017  144  9,42 ² 19, 62  0,50

m  h2  40,10 m

m  h3  22,14 m

0,016  145  10,39 ² 19,62  0,70

m  h1  99,12 m

m  h4  18,24 m

5º) Calcula-se o fator de correção Q1

Q1 

 h h 2

Q 98,84 Q1   Q1  1, 06 m³ / s 2  46,63

Repete-se o procedimento para o ANEL II e ao se fazer a circulação deve-se adotar a seguinte convenção: “se o sentido da circulação coincidir com o sentido da vazão, o sinal é positivo; se o sentido da circulação for contrário ao da vazão, o sinal é negativo”.


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(s/m²)

Trecho

L (m)

D (m)

Q (m³/s)

h (m)

+5 -6 -7 -2

134 127 137 132

0,40 0,50 0,50 0,50

2,00 0,15 2,30 2,60

+ 77,89 - 0,136 - 32,55 - 40,10

38,95 0,910 14,15 15,42

SOMA   

5,104

69,43

Q

As fórmulas que devem ser utilizadas são: 4Q D² 4  2, 00 V5  m / s  V5  15, 92 m / s  0,40 ²

(1) V 

V6 

4  0,15 m / s  V6  0,764 m / s  0,50 ²

V7 

4  2,30 m / s  V7  11, 71 m / s  0,50 ²

V2 

4  2, 60 m / s  V2  13,24 m / s  0,50 ²

(2) Re y 

VD



15,92  0, 40  Re y5  5, 79  106 6 1,1  10 0,764  0,50  Re y6  3, 47  105 Re y6  6 1,1  10 11,71  0,50  Re y7  5,32  106 Re y7  6 1,1  10 13,24  0,50  Re y2  6, 02  106 Re y2  6 1,1  10 64 (3) f  Lamin ar : Re y  2300  Re y Re y5 

(4) f 

1,325

   5,74   ln  0,9     3,7D Re y 

2

 Turbulento : Re y  4000


Página 25


f6 

f7 

f2 

1,325 2

 f5 

2

 f 6 

2

 f7 

2

 f 2 

     2,5  104  5,74 ln  3,7  0, 40  0,9     5,79  106        1,325

     2,5  104  5,74 ln  3,7  0,50  0,9   5    3, 47 10      1,325

     2,5  104  5,74 ln  3,7  0,50  0,9     5,32  106        1,325

     2,5  104  5,74 ln  3,7  0,50  0,9   6   6,02 10      

(5) h 

h5  h6  h7  h2 

1,325

ln 1,69  104  4,70  10 6   

2

 f5  0, 018

1,325 2

 f6  0, 018

2

 f7  0,017

2

 f2  0, 017

ln 1,351  10 4  5,924  105    

1,325

ln 1,351  104  5,077  10 6   

1, 325

ln 1,351  10 4  4,542  10 6    

fLV² 2gD

0,018  134  15,92 ² 19,62  0, 40 0,018  127  0,764 ² 19,62  0,50 0,017  137  11,71 ² 19, 62  0,50 0,017  132  13,24 ² 19, 62  0,50

m  h5  77, 89 m m  h6  0,136 m m  h3  32,55 m m  h2  40,10 m

5º) Calcula-se o fator de correção Q2

Q2 

 h h 2

Q 5,104 Q2   Q2  0, 037 m³ / s 2  69,43


Página 26

Canal YouTube: Afonso Carioca Oficial Facebook: Afonso Carioca [email protected] / [email protected] WAPP/TELEGRAM: (62) 98618-3847 / 99469-8239 / 98109-4036 b) Vazões na 2ª Iteração Trecho 1 2 3 4 5 6 7

Vazão Q'1  5,69 m³/ s Q'2  1,60 m³/ s Q '3  0, 79 m³ / s Q '4  2, 94 m³ / s Q '5  1, 963 m³ / s Q'6  0,187 m³/ s Q'7  2,337 m³/ s

Q '1  Q1  Q1  Q '1  6,75  1, 06  5, 69 m³ / s  Q '1  5, 69 m³ / s Q '2  Q2  Q1  Q2  Q '1  2, 60  1, 06  0, 037  1, 60 m³ / s  Q '2  1, 60 m³ / s Q '3  Q3  Q1  Q '3  1, 85  1, 06  0,79 m³ / s  Q '3  0,79 m³ / s Q '4  Q4  Q1  Q '4  4, 00  1, 06  2, 94 m³ / s  Q '4  2, 94 m³ / s Q '5  Q1  Q2  Q '1  2  0, 037  1, 963 m³ / s  Q '5  1, 963 m³ / s Q '6  Q6  Q2  Q '6  0,15  0, 037  0,187 m³ / s  Q '6  0,187 m³ / s Q '7  Q7  Q2  Q '7  2,30  0, 037  2,337 m³ / s  Q '7  2, 337 m³ / s Q '2  Q2  Q1  Q2  Q '1  2, 60  1, 06  0, 037  1, 60 m³ / s  Q '2  1, 60 m³ / s

2. Determinar a profundidade da água num canal retangular de 6,25 m de largura com uma declividade de 0,015% com uma vazão de 7,2 m³/s. Solução: Dados: Q  7, 2 m³ / s I0  1,5  10 4 n  0, 013 Am  6,25y0 Pm  2y0  6,25 Rh 

6,25y0 Am  Rh  Pm 2y0  6, 25


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Fórmula de Manning: 2

1

1 Q   Am  Rh3  I02 n 1  6,25y0 7,2  0, 013

2 3

 6,25y0 4     1,5  10  2y0  6, 25 





1 2

2

 6,25y0  3 7,2  0,013 6,25y0      2y0  6, 25  1,5  104 2 3

 6,25y0   7, 642  y 0  2y 6, 25  0 

6,25y0  

2  3

 6,25y 0 7,642     6, 25  2y 0  6, 25 

2 3

 6,2 5y0   1,223 2y 6, 25  0  

y0  

2 3

 6,25y0 Resolvendo por tentativas a equação : y0     1,223  2y 6, 25  0  2 3

 6,25y0 y0     2y0  6, 25 

 1,223 2

 6,25  1,00  3 y0  1, 00 m  1, 00     0,384  1, 223   2 1,00 6,25   2 3

 6,25  1,20   1, 091  1,223  2  1, 20  6, 25 

y0  1, 20 m  1,20  

2 3

 6,25  1,30    1,228  1,223  2  1,30  6,25 

y0  1, 30 m  1,30  

2

 6,25  1,29  3 y0  1, 29 m  1,29     1,214  1,223  2  1,29  6,25  2

 6,25  1,295 3 y0  1, 295  1,295     1,221  1,223  2  1,295  6,25   y0  1, 295 m


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3. Uma instalação de recalque funciona com as seguintes condições: V2 . Para a bomba não cavitar é 2g necessário que a pressão na sua entrada seja pelo menos 4,22 mca. Determine a máxima altura de sucção Hs  . Q  533,5 m³ / h  0,148 m³ / s

Dado:

Patm



Dsucção  15''  0,381 m

Hs  8,56

 9,6 mca .

Solução: V

4Q 4  0,148   V m / s  V  1, 30 m / s 2 D2 3,14  0,381

Escrevendo a Equação de Bernoulli: V02 p1 V12   z0 0  z1 H    Hs s  2g 0 2g 2g

p0 p0

 p1



 Hs  

p0



V12





 Hs 

p1

 V12



 Hs 2

 Hs  4, 22  9, 6  Hs 

1,30

19, 62 Hs  9, 6  0, 086  0, 737  4, 22  Hs  4, 557 m

2

 8,56 

1,30

19, 62

4. Determinar a vazão na seção semicircular com declividade S 0 = 0,35%, rugosidade   0,15 , diâmetro de 5 m e lâmina líquida de 1,15 m.

Solução:


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y0  3, 65 m 2y   2  3,65     2 arc cos 1  0     2 arc cos 1   D  5      2  cos1  0, 46     2  117, 39     234, 78  4,10 rad

Área Molhada do Círculo: D2 52      sen A   4,10  sen (234, 78 ) m 8 8  3,125   4,10  0, 817  Am  3,125  4, 917 m²  Am  15, 36 m²

Am  Am

Perímetro Molhado do Círculo: Pm 

 D 2

 Pm 

4,10  5 m  Pm  10,25 m 2

Área Molhada Semiarco = Área Molhada Círculo – Área Molhada Semicírculo  Amsa   Amc   Amsc  Amsa  15,36 

Pmsa  Pmc

D2

  52

 Amsa  15,36   15,36  9,82  5,54 m²  A msa  5,54 m² 8 8  R  R  Pmsa  10,25  2,5  5  7, 40 m  Pmsa  7, 40 m

Raio Hidráulico: Rh 

Amsa 5,54  Rh   0,749 m  Rh  0,749 m Pmsa 7, 40

Vazão Q: Dados:


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  0,15 Q

Amsa



2

1

 Rh 3  S0 2 1

2 5,54  0,7493  3,5  103 2 m³ / s Q 0,15 Q  36,93  0,825  0,0592 m³ / s  Q  1,80 m³ / s





EXEMPLOS RESOLVIDOS I 1. A ligação de dois reservatórios mantidos em níveis constantes é feita pelo sistema de tubulações mostrado na figura abaixo:

Assumindo um coeficiente de atrito constante para todas as tubulações e igual a f = 0,020, desprezando as perdas localizadas e as cargas cinéticas, determine: a) a vazão que chega ao reservatório R2 b) a vazão em cada um dos tubos de 4” e 6”

c) a pressão disponível no ponto B

Solução: a) Em primeiro lugar, vamos enc ontrar um tubo único de 8” equivalente ao sistema paralelo AB; o comprimento desse tubo equivalente é dado pela expressão: D2,5 f 0,5  L0,5



D12,5 f10,5  L10,5



D22,5 , mas f f20,5  L20,5

 f1  f2 

D2,5 L0,5



D12,5 L10,5



D22,5 , L 20,5

substituindo

os

valores

nesta

última

expressão, temos: 82,5 L0,5

62,5  7500,5

42,5  6000,5



181 181  3,22  1,31  0,5 0,5 L L

 4,53  L0,5 

181 4,53

 40 L  1.600 m

Agora, temo um tubo equivalente de A até C, com diâmetro D = 8” e comprimento L = 2.500 m e sujeita a uma diferença de cotas piezométricas H = 20 m, assim a vazão pedida é calculada através da expressão:


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

0,0064 4,135

 20  0,0827

0,020  2.500  Q2 5 0,20

 Q  0,0393 m³ / s

b) Vazões nos tubos do trecho em paralelo: A cota piezométrica no ponto B pode ser calculada através da perda de carga no trecho BC pela relação: 0,020  900  0,0393 2 CPB  HBC  573,00  CPB  573  0,0827  5 0,20

CPB

 573  7,18  520,18 m

Agora, podemos calcular as vazões pedidas:

H AB  593,00  580,18  0,0827 

0,020  750 2 Q5 0,155

 Q62 

0,000974  Q6 1,245

H AB  593,00  580,18  0,0827 

0,020  600 2 Q5 0,105

 Q62 

0,0001282 Q6 0,9924

 0,028 m³ / s  0,0114 m³ / s

c) A carga de pressão disponível em B é a diferença entre a cota piezométrica e a cota geométrica:

pB

H O

 580,18  544, 20  pB  36  9,8 kN / m² pB  352,80 kN / m²

2

2. (Prova) Um sistema hidráulico consiste de três tubos em série com as seguintes características: Tubo 1 2 3

Diâmetro (mm) 100 200 250

Comprimento (m) 300 450 650

Rugosidade Hazen-Williams 110 118 130

a) Qual o diâmetro de uma tubulação que substitui o sistema em série com o mesmo comprimento, sendo que C = 140? b) Qual o sistema equivalente de dois tubos mais econômico? Solução: a) Temos que:


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

1400 1,85

140

L1 C11,85  D14,87



D

4,87

1400



L2 C21,85  D2 4,87

300 1,85

110

 0,1

4,87





L3 C31,85  D3 4,87

450 1,85

118

 0,2

4,87



650 130

 3720  167,6  68,26

1401,8 5  D4 ,87 1400

 3955,86  D4,87 

1400

D 3955,86  140  D4,87  37,892  106  D  0,124 m  D  124 mm 1,8 5

4 ,87

140

 0,254,87

1,85

1,85



1400 36,947  106

b) Escolhendo dois tubos de menores diâmetros: L C1,85  D4,87



L1 C11,85  D14,87



L2 C21,85  D2 4,87

L1  L2

 L  L1  L2  1400 L1  1400  L2 1400  L2 L2 1400   1401,85  0,1244,87 1101,85 0,14,87 1181,85 0,24,87 1400  L2 L2 1400    303,16  1351,06  0,96504L2  0,02898L2 0,3592

2,6853 1047,9  1126 m L2 0,93606L2  1047,9  L2  0,93606  100  110

0,08064

 1126 m  L1  274 m

mm: 274 m mm: 1126 m

3. Os dois sistemas hidráulicos mostrados na figura abaixo são equivalentes e todas as tubulações possuem o mesmo fator de atrito f. Determine D.

Solução: Vamos achar um conduto equivalente-série: L 65



100 41,5  5 65 4



L 65

 0, 01286  0, 04053 

L 65

 0, 05339 L  415,16 m

Aplicando a relação do conduto euivalente-paralelo: 62,5 415,160,5 D2,5 0,5

700



62,5 8000,5



D2,5 700 0,5



D2,5 700 0,5



62,5 415,16 0,5



62,5 800 0,5

 4,328  3,118  D 2,5  32,014 D  4,00 "


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0,021 e, no ponto B, há uma derivação de 5,0 l/s. Desprezando as perdas de cargas localizadas e as cargas cinéticas, determine: a) a pressão disponível no ponto A b) as vazões nos trechos em paralelo

Solução: Para resolver este problema, vamos seguir o seguinte roteiro: 1º) Transformar o trecho em paralelo BC num conduto equivalente. 2º) Calcular HBC. 3º) Calcular HAB 4º) Encontrar CPA = CGC + HBC + HAB p 5º) Determinar A  CP A  CGA



6º) Achar as vazões no trecho em paralelo aplicando as relações: Q26



HBC  D65 HBC  D85 e Q28  0,0827  f  L 6 0,0827  f L 8

Temos que: QBC = 25 l/s = 0,025 m³/s D = 8” = 0,20 m 82,5 82,5 62,5

L 181 L



790



810

 9,538  L 



181

 6,440  3,098 L 181  18,977 L  360,13 m 9,538

a) CPA = 810,5 + HBC + HAB (1) mas:

H  0,0827 HBC 

fLQ²

D5 0,0827  0,021 360,13  0,0252 0,205

HBC  1,222 m


Página 34


H  0,0827 H AB 

fLQ²

D5 0,0827  0,0211000  0,030 2 0,205

 HAB  4,88 m

Agora, temos: CPA = CGC + HBC + HAB CPA = 810,5+1,22+4,88 CPA = 816,6 m p A



 CP A  CGA 

pA



 816,6  795,4  21,20 mH2 O 

pA



 21,20 mH2 O

b) Calculando as vazões nos trechos em paralelo, temos: HBC  D65 1, 222  0,155 9, 28  105    6,597  105 0,0827  f  L 6 0,0827  0,021 810 1,4067  Q6  0, 00812 m³ / s  8,12 l / s HBC  D85 1, 222  0, 205 39,10  105    28,498  105 Q28  0, 0827  f  L8 0, 0827  0, 021 790 1, 372  Q6  0, 01688 m³ / s  16, 88 l / s Q26



5. Um tanque em forma tem a forma de tronco de pirâmide de base quadrada de 9,8 m na parte superior e 4,9 m na parte inferior. O fundo tem um orifício com diâmetro de 500 mm e Cd = 0,60. Determine o tempo de esvaziamento do tanque, se sua profundidade enquanto cheio é de 10,6 m.

Solução: Fazendo um corte transversal no tanque, temos a figura abaixo:


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Onde: D = 9,8 m; d = 4,9 m; H  h1  10, 6 m e por semelhança de triângulo, podemos escrever: 4,9 h  10,6  2x h  h1 2x h  10, 6     2x  d h1 4, 9 10, 6 10, 6 x

4,9 h  10,6  21,2

 x  0,231 h  10, 6 

Mas sabemos que: Qdt  dV  CdA 0 2gh dt  4x 2dh

d20

1

2

 2g  h 2 dt  4 0,231 h  10, 6  dh 4 1 3,14  0,5  ²  19, 62  h2 dt  0,213 h  10, 6 ²dh 0, 60  Cd 

4

1 2

0,522 h  dt  0,213 h²  21,2h  112,36  dh dt   t

0,213 h²  21,2h  112,36  dh 0,522

 h²  21,2h  112,36   dh 1   h2  10,6 

 dt  0, 408 0 t

 dt  0, 408 0

0

0



10,6

h

3 2

1

 21,2h 2  112,36h

 12

3 1  h52 h2 h2 t  0, 408   5  21, 2  3  112,36  1  2 2 2 

 dh 0

    10,6


Página 36

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0

    10,6 0

1   2 5 42, 4 32 t  0, 408   h2  h  224,72h2  3 5  10,6 5 3 1  2 42, 4 t  0, 408 0   (10, 6)2  (10, 6)2  224, 72(10, 6)2 3  5

  

t  0, 408    146, 33  487, 76  731, 64 t   0, 408   1365, 73  557, 2 s  t  9 min 17 s

6. Um tanque tem a forma de tronco de cone, com 2,44 de diâmetro na parte superior e 1,22 m de diâmetro no fundo. O fundo tem um orifício cujo coeficiente médio de vazão pode ser tomado como 0,60. Qual o diâmetro do orifício que esvaziará o tanque em 6 minutos se a sua profundidade enquanto cheio é de 3,05 m? Solução: Fazendo-se um corte transversal no tanque temos:

Onde:


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1,22 h  3,05 6,10

 x  0, 20 h  3, 05 

Mas sabemos que: Qdt  dV  Cd A0 2gh dt   x2 dh Cd 

d20 4

0,60 

1

2

 2g   h 2 dt   0, 20  h  3, 05  dh

  d20 4

1

 19, 62  h 2 dt    0,04  h  3,05 ²dh

1

0, 664d20 h 2 dt   0, 04  h²  6, 10h  9, 303 dh 1

0, 664d20 h 2 dt  0, 04 h²  6, 10h  9, 303 dh d20

360



0

 h²  6,10h  9,303    dh 1 h2  3,05 

dt  0, 060

0

d20

360





0

dt  0, 060

0

360d20



3,05

h

3 2



 6,10h 2  9,303h  2 dh 1

1

3 1  h52 h2 h2  0, 060   5  6,10  3  9,303  1  2 2 2 

0

    3,05

3 1  h52 h2 h2 2 360d0  0, 060   5  6,10  3  9, 303  1  2 2 2 

0

    3,05 0

360d20

1   2 5 12, 2 23  0, 060   h2  h  18, 606h2  3 5  3,05



5 3 1  12, 2 2 (3, 05)2  (3, 05)2  18, 606(3, 05)2   3 5 

360d20  0, 060 0  



360d20

 0, 060     6, 50  21, 66  32, 49

360d20   0, 060   60, 65  360d20  3, 64  d20 

3,64 360

d0  0,100 m  d0  100 mm

7. A altura de carga inicial num orifício era de 275 cm; ao final do escoamento, ela caiu para 122 cm. Sob que altura de carga constante H, o mesmo orifício descarregará o mesmo volume de água, no mesmo intervalo de tempo? Solução: Volume sob altura de carga decrescente é igual ao volume sob altura de carga constante:


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

h 2

1 2

1

1

 h2   t  Cd A0

1

1 2

Cd A0 2 g h12

 h2   1 2

t

H



275  122

H

 13,81 H  190, 7 cm

2

2gH



H

8. Dois reservatórios A e B de grandes dimensões deságuam num terceiro reservatório quadrado C interligados, conforme esquema baixo, através dos orifícios de parede delgada. O reservatório C possui um orifício de fundo capaz de receber as vazões de A e B, uma vez que a vazão Q1 é o dobro da vazão Q2. Calcular: a) a vazão Q1 b) a carga h2 c) a área do reservatório C Dados: CV1 = CV2 = 0,98 Cc1 = Cc2 = 0,61

A1 = 6,0 cm²; A2



2 3

A1 e A3 = 2,5 A1

Solução: Neste problema devemos utilizar as seguintes fórmulas: Q  Cd  A0  2gh (1)

 Cv  C c A1  6, 0  104 m² A2  4, 0  104 m² Cd

(2)

A3  15 104 m² a) Vazão Q1


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Substituindo os dados na fórmula (1): Q  Cd  A0  2gh Q  0, 60  6  104  2  9, 81 1 

Q  1,59  10 3 m ³ / s b) Carga h2 Do problema, temos: Q1 1,59  103 Q1  2Q2  Q2  m³ / s  2 2

 Q2  7,95  104 m ³ / s Substituindo os dados na fórmula (1): Q  Cd  A0  2gh 7, 95  104 19, 62h2

 0, 6 4 104



7,95 2, 4



2 9,81 h2

19, 62h2

 3,31,

elevando

ambos os membros ao quadrado, obtemos: 19, 62h2

 10, 96  h2 

10,96 19,62

 0,56 m

 h2  0,56 m c) Área do Reservatório C A velocidade de saída do jato pelo orifício 1 é dada por: v1  CV 2gh e substituindo os valores: v1  CV 2gh  v1  0,98  19,62  1 m / s  v1  4,34 m / s

O tempo que o jato leva para alcançar o orifício, distante 2x, é o mesmo tempo que leva para cair em queda livre de uma altura de y = 2 m. Assim, podemos escrever:


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1 9.81 4 gt²  2  t²  t²  s²  t  0, 639 s 2 2 9, 81

x  x  vt  2x  4,34  0,639  2x  2,773  x  1,39 m . t A área do reservatório C é dada por: A  9x²  A  9  1, 39 ² m²  A  17, 39 m² Logo, temos que: v 

9. Em um reservatório quadrado de 3 m de lado de nível d’água constante, tem -se um bocal interno,

funcionando como veia descolada, com diâmetro de 25 mm à profundidade de 2 m e C V = 0,98 e C C = 0,52. Substituindo-se por um orifício de fundo com C V = 0,985 e C C = 0,51 de 40 mm de diâmetro (centro do lado). Qual é a profundidade mínima do reservatório, sabendo-se que o orifício descarrega o dobro da vazão do bocal? Solução: Do problema, podemos concluir que: A1 

 D ²

4



3,14   25  103  4

2

m²

A1  4,91104 m²

 Cd  A0  2 gh Cd  Cv  C c C d  0,98 0,52  0,51 h1  2 m g  9, 81 m / s ² A1  4, 9110 4 m² Q1

 0, 51 4, 9110 4 Q1  1, 57 10 3 m³ / s Q1

2 9, 81  2 m³ / s

Q2

 2Q1  2 1, 57 10 3 m³ / s

Q2

 3,14 103  Cd '  A2 2 gh2

Cd'

 Cd (1  0,15k ), mas k 

'

Cd ' d

C

b 2(a  b)

3



12

 0, 25

 Cd (1  0,15k )  Cd '   0, 985  0, 51  1  0,15  0, 25   0, 52 e A2 

 D ²

4

3,14   40 10

3



4



2

 1, 26 10 3 m²

Substituindo:


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 0, 52 1, 26 10 3 

3,14



0,66

19, 62 h2

2 9, 81  h2

 4, 76 elevando

ambos os membros ao quadrado, temos: 19,62h 2

 22, 66  h2 

22,66 19,62

 1,15 m

10. Dois tanques quadrados têm uma parede comum com um orifício de área igual a 0,0233 m² e coeficiente Cd  0, 80 . O tanque A tem 2,44 m lado, e a profundidade inicial acima do orifício são de 3,05 m. O tanque B tem 1,22 m de lado, e a profundidade inicial acima do orifício é de 0,915 m. Quanto tempo levará para que as superfícies da água fiquem no mesmo nível? Solução: Em qualquer instante, a diferença do nível de água nas superfícies pode ser considerada igual à altura h. Então: 1

1

Q  Cd  A0  2gh  Q  0, 80  0, 0233  19,62  h 2  Q  0,0826h 2

E a mudança no volume é dV  Qdt . 1

dV  Qdt  dV  0, 0826h 2dt . No intervalo de tempo dt, a variação da altura da carga é dh. Suponha que o

nível do tanque A tenha diminuído dy; então, a elevação correspondente no nível do tanque B será igual à razão entre as áreas vezes dy. A variação da altura de carga é, portanto: dh  dy 

5,954 dy  5dy  dh  5dy 1, 488

A mudança de volume dV  5,954dy  dV 

5,954 dh  dV  1,19dh 5

Igualando os valores de dV: 1

0, 0826h2 dt  1,19dh  dt  

1,19 1

dh

0,0826h2

 h12  dt  14, 41  h dh  t  14, 41  1 0 2,135  2 t

0

 

t  14, 41 2h

1 2

 12

0 2,135

0

    2,135

 t  28, 82  0  2,135  s  t  42,11s

Outra solução: Vazão Média Q

0,8  0,0233 19,62  2,135 1 CdA0 2gh  Q  m³ / s  Q  0,0603 m³ / s 2 2


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Canal YouTube: Afonso Carioca Oficial Facebook: Afonso Carioca [email protected] / [email protected] WAPP/TELEGRAM: (62) 98618-3847 / 99469-8239 / 98109-4036 O nível em A desce y metros, enquanto em B sobe

5,954 y  4y , com uma variação total de 2,135 m. Logo: 1,488

y  4y  2,135  5y  2,135  y  0, 427 m.

Assim,

a

variação

de

volume

será

V  2, 442  0, 427 m³  V  2, 542 m³ . V 2,542 Dessa forma: t  t s  t  42,16 s 0,0603

Q

11. Dois tanques cilíndricos, um com 9,5 m de diâmetro e outro com 7,5 m de diâmetro estão interligados por um orifício de 8” de diâmetro e Cd  0,80 . A profundidade inicial acima do orifício é de 11,5 m no tanque maior e 3,5 m no tanque menor. Quanto tempo levará para que as superfícies da água fiquem no mesmo nível? Solução: Cálculo das Áreas: SA 

d2A

3,14  9,5 ²

m²  SA  70, 85 m² 4 4 d2 3,14  7,5 ² SB  B  m²  SB  44,16 m² 4 4 A0 

d20 4



2



3,14  0,2032 4

m²  A0  0, 0324 m²

Se o nível da água descer y metros no tanque A, então, deverá subir

SA y metros no tanque B para uma SB

variação total de carga de h  hA  hB . Substituindo os valores:

h  y 

SA S 70,85 y  hA  hB  y  A y  11,5  3,5  y  y SB SB 44,16

8  2, 604y  y 

8 m  y  3, 072 m 2,604

A variação de volume será então: V  SA  y  V  70, 85  3,072 m³  V  217, 65 m³ A vazão média será dada por : 1 1 Qméd  CdA0 2gh  Qméd   0,80  0,0324  19,62  8 m³ / s  Q méd  0,1624 m³ / s 2 2 V Finalmente, o tempo pedido será dado pela expressão: t  . Qméd

t

V Qméd

t

217,65 s  t  1340 s ou t  22 min 20s . 0,1624

12. Água escoa de um reservatório através de um orifício. Os coeficientes do orifício são C v = 0,96 e C c = 0,62. Determine a vazão e a potência do jato nas seguintes situações: a) a pressão atmosférica atua na superfície livre do reservatório.


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Canal YouTube: Afonso Carioca Oficial Facebook: Afonso Carioca [email protected] / [email protected] WAPP/TELEGRAM: (62) 98618-3847 / 99469-8239 / 98109-4036 b) o reservatório é fechado e a camada de ar sobre a superfície da água tem pressão p. Dados: do = 85 mm; h = 3,8 m e p = 580 mmHg Solução: Considere a figura abaixo:

a) Recipiente Aberto Aplicando a Equação de Bernoulli, na superfície livre da água (ponto A) e no orifício (ponto B), com plano de referência horizontal no orifício, temos: 2 2 Vjato  1  V jato p    1  ZB   B ZA   2g   C2  2g 2g  v  2 VA

pA

2

2

Vjato  1  V jato  1 0 0 0  0  3, 8   2  9, 81  0, 96²  2  9, 81 2 V jato  1  2  1  1   3, 8  V jato  0, 96²  19, 62  3, 8  19,62  0,96²  2  68,71  V jato  8,29 m / s V jato

A vazão é dada por:

 d²  Q  Cc Ao  Cv 2gh  Q   Cc C 2gh, substituindo os dados do problema : 4  v  3,14  0, 075²  0, 96  2  9, 81  3, 8 m³ / s  Q  0, 0227 m³ / s ou Q  22,7 L / s Q  0, 62  4

13. A água escoa através de um orifício de 30 mm de diâmetro com vazão de 4,21 l/s sob uma altura de carga de 4,9 m. O jato de água choca-se com uma parede vertical a uma distância de 140 cm do orifício e a 11,1 cm na vertical abaixo da linha do centro do orifício. Determinar os valores de Cd, Cv e CC . Solução: A trajetória do jato é uma parábola, conforme a figura abaixo:

Dados:


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Canal YouTube: Afonso Carioca Oficial Facebook: Afonso Carioca [email protected] / [email protected] WAPP/TELEGRAM: (62) 98618-3847 / 99469-8239 / 98109-4036 Q  0, 421 l / s  0, 00421 m³ / s; h  4, 9 m; d 0  30 mm  0, 03 m x  140 cm  1,4 m; y  11,1 cm  0,111 m

Sabemos que: Q  CdA0 2gh; 2gh  2  9, 81  4, 9  9, 80

 d20   3,14  0,032   9, 80  0, 00421  Cd   0, 00421  Cd    9, 80  4  4     0,00421  Cd  0,0007065  9,80  0,00421  Cd  0,00692 Cd 

0,00421  Cd  0, 608 0,00692

Da Mecânica, temos que: x  vt  t  y

x 1 v

gt2 2y  gt2  2y  t2  2  2 g

Comparando (1) e (2): 2

2y x2g 1, 42  9, 81 x 2 2       v2  86, 61  v  9,31m / s v v v g 2y 2  0,111  

Sabemos ainda que: v  Cv 2gh  9,31  C v  9, 80  C v 

9,31  C v  0, 950 9,80

Sabemos que: Cd  Cv  Cc  0, 608  0, 950C c  C c 

0,608  C c  0, 640 0,950

14. Dois tanques, um quadrado de 9,56 m de lado e outro cilíndrico de 7,58 m de diâmetro, estão interligados por um orifício de 8” de diâmetro e Cd  0,80 . A profundidade inicial acima do orifício é de 11,57 m no tanque quadrado e 3,52 m no tanque cilíndrico. Quanto tempo levará para que as superfícies de água fiquem no mesmo nível? Solução: Cálculo das Áreas:


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Canal YouTube: Afonso Carioca Oficial Facebook: Afonso Carioca [email protected] / [email protected] WAPP/TELEGRAM: (62) 98618-3847 / 99469-8239 / 98109-4036 SA  L2A  9,56²m²  SA  91, 39 m² SB  A0 

d2B 4

d20 4



3,14  7,58 ² 4

m²  SB  45,10 m² 2



3,14  0,2032 4

m²  A0  0, 0324 m²

Se o nível da água descer y metros no tanque A, então, deverá subir

SA y metros no tanque B para uma SB

variação total de carga de h  hA  hB . Substituindo os valores:

h  y 

SA S 91,39 y  h A  hB  y  A y  11,57  3,52  y  y SB SB 45,10

8, 05  2, 026y  y 

8,05 m  y  3, 973 m 2,026

A variação de volume será então: V  SA  y  V  91,39  3,973 m³  V  363,09 m³ A vazão média será dada por : 1 1 Qméd  CdA0 2gh  Qméd   0, 80  0,0324  19,62  8,05 m³ /s  Q méd  0,1629 m³ / s 2 2 V Finalmente, o tempo pedido será dado pela expressão: t  . Qméd

t

V Qméd

t

363,09 s  t  2228,9 s ou t  37min 9 s . 0,1629

15. Um projeto de sistema de abastecimento de uma cidade do interior será executado. A população atual é de 8420 habitantes; a futura será de 12960 habitantes. O volume médio de água por habitante é de 200 l/dia. Para suprir essa demanda futura, serão captadas as águas de um córrego de 1,35 m de largura. Para determinar essa descarga, foi empregado um vertedor retangular de parede delgada, em madeira chanfrada, com 0,80 m de largura. A água se elevou 0,12 m acima da soleira do vertedor. A vazão do vertedor é suficiente para atender a demanda? Justifique sua resposta. Solução: Volume de água necessário hoje: Vatual  8420  200 l / dia  1684000 l / dia Qatual 

1684000 l / s  19, 49 l / s  Q  19, 49 l / s 86400

Volume de água necessário no futuro:


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Canal YouTube: Afonso Carioca Oficial Facebook: Afonso Carioca [email protected] / [email protected] WAPP/TELEGRAM: (62) 98618-3847 / 99469-8239 / 98109-4036 Vfuturo  12960  200 l / dia  259200 l / dia Qfutura 

2592000 l / s  30 l / s  Q  30 l / s 86400

Vazão medida: 3

3

Q  1838 L  0, 2H H2  Q  1838 0, 80  0, 2  0,12 0,12 2 l / s Q  59, 3 l / s

Como Q  Qfutura , então, a vazão vertedor é suficiente para atender a demanda. 16. Um canal retangular de 2 m de largura tem um vertedor triangular com altura de soleira de 1,3 m que deságua num canal retangular de 1,2 m de lado. Sabe-se que a profundidade da água no canal é de 2 m e na parede oposta do reservatório há um vertedor retangular sem contrações, que serve como extravasor. Se o fornecimento de água vertedor triangular for interrompido subitamente, quanto tempo o vertedor retangular fornecerá água. Solução: Dados: L = 2 m; P = 1,3 m e Z = 2 m Temos que: H  Z  P  H  2  1,3  0, 7 m 5

5

Q  1, 40H2  Q  1, 40  0, 72 m³ / s  Q  0,574 m³ / s

Para o vertedor retangular, temos: 3

3

3

Q  1, 838LH2  0, 574  1, 838  2H2  0, 574  3, 676H2 2 3 3 0,574  H2  0,156  H  0,156  3 m  H  0,290 m H2  3,676 5

5

dV  Qdt  A Thdh  1, 838Lh2  1, 4 4hdh  1, 838  2h2 dt 0,70  3  h 12  1, 44 0,70  52 2  dt  3,676  h  h dh  t  0,392  h dh  t  0,392   1  0 0,29 0,29 2 t





 12

t  0,392   2   0,7

0,70

s

 0,29



 0,29 2 s  t   0,784   0, 662 s  t  0,519 s 1

17. Numa tubulação, que escoa água a uma vazão de 8,0 m³/s, tem uma derivação em paralelo, conforme a figura abaixo:


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Determinar as vazões nos tubos de derivação, considerando a rugosidade dos tubos   0,50 mm e a viscosidade absoluta   1, 0  106 m² / s . Solução: Dados: Q  8, 0 m³ / s L1  120 m D1  500 mm  0, 50 m L2  90 m D2  800 mm  0, 80 m

1  2  0, 50 mm  5, 0  104 m   1, 0  106 m² / s Roteiro: (1) H1  H2 (2) Adote Q1  4, 0 m³ / s e Q2  4, 0 m³ / s (3) Calcule: v1, Re y1, f1, H1 e v2 , Re y2 , f2, H2 Tubo 1 v1 

Q1 4Q 44  v1  21  v1  m / s  v1  20, 38 m / s 2 A1 D1 3,14  0,50 

Re y1 

f1 

f1 

v1D1



 Re y1 

20,38  0,50  Re y1  10,19  106 (Turbulento) 6 1,0  10

1, 325

   5,74   ln      3,7D1 Re y10,9  

2

 f 1 

1,325

     5  104  5,74 ln  3,7  0,5  0,9     10,19  106    

1,325

ln 270,27  106  2,828  106   

2

 f1 

2

1,325  f1  0, 0197 67,33


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0,0197 ,0197  120 120  20,38 f1L 1v12 H1   H1  m  H1  100, 09 m 2gD1 19, 62  0, 5

Tubo 2 Q2 4Q 44  v2  2  v1  m / s  v2  7, 96 m / s 2 A2 D2 3,14 ,14  0,80

v2 

Re y2 

f2 

v2D2



 Re y2 

7,96  0,80  Re y2  6, 368  106 (Turbulento) 6 1,0  10

1, 325

   5,74   ln    0,9    3,7D2 Re y2 

f2 

2

 f 2 

1, 325

     5  104  5, 74 ln  3,7  0,8  0,9    6,368  106       

1, 325

ln 168,92 ,92  10 106  4,31 ,318  10 106    

2

 f2 

2

1, 325  f2  0, 0177 75,01

2

0,01 ,0177  90  7,96 ,96 f L v2 H2  2 2 2  H2  m  H2  6, 43 m 2gD2 19, 62  0, 8

(4) Calcule Q 

Q 

H1  H2  H H2  2 1   Q2   Q1

H1  H2 100 100,09  6,43 93,66  Q   Q   Q  1, 76 m³ / s 106,52  H1 H2   100,09 6,43  2  2    2 Q2  4   4  Q1

(5) Temos as seguintes situações: 1ª) se H1  H2  ok Q1'  Q1  Q 2ª) se H1  H2   ' Q2  Q2  Q

Q1'  Q1  Q 3ª) se H1  H2   ' Q2  Q2  Q


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Q1'  Q1  Q H1  H2   ' Q2  Q2  Q Q1'  Q1  Q  Q1'  4  1, 1, 76  2, 24 m³ / s  Q1'  2, 24 m³ / s Q2'  Q2  Q  Q2'  4  1, 1, 76  5, 76 m³ / s  Q2'  5, 76 m³ / s

Repetir todo o processo para os valores encontrado. (1) Adote Q '1  2, 24 24 m³ / s e Q '2  5, 76 76 m³ / s Re y1, f1, H1 e v2 , Re Re y2 , f2, H2 (2) Calcule: v1, Re Tubo 1 Q '1 4Q1' 4  2, 24 24  v1  2  v1  v1  m / s  v1  11, 41 m / s 2 A1 D1 3,14 ,14  0,50 ,50 

Re y1 

f1 

v1D1



 Re y1 

11, 11, 41  0,50  Re y1  5, 705  106 (Turbulento) 6 1,0  10

1, 325

   5,74   ln      3,7D1 Re y10,9  

2

1, 325

 f 1 

2

     5  104  5, 74 ln  3,7  0,5   0,9  6    5 ,705 10      1, 325 1, 325  f1   f1  0, 0197 f1  2 67,22 6 6  ln 270,27 ,27  10 10  4,76 ,767  10 10   





2

0,0197 ,0197  120  11, 11, 41 f1L 1v12 H1   H1  m  H1  31, 37 m 2gD1 19, 62  0, 5

Tubo 2 v2 

Q2 4Q 4  5, 76  v2  2  v1  m / s  v2  11, 46 m / s 2 A2 D2 3,14 ,14  0,80

Re y2 

v2D2



 Re y2 

11, 11, 46  0,80  Re y2  9,168  106 (Turbulento) 6 1,0  10


Página 50


f2 

1, 325

   5,74   ln      3,7D2 Re y20,9  

2

 f 2 

1, 325 2

     5  104  5, 74 ln  3,7  0,8  0,9   6    9 ,618 10     

1, 325

ln 168,92 ,92  10 106  2,98 ,98  10 106    

2

 f2 

1, 325  f2  0, 0176 75,14

2

0,017 ,0176  90  11,46 f L v2 H2  2 2 2  H2  m  H2  13, 25 m 2gD2 19, 62  0, 8


Q 

H1  H2  H H2  2 1   Q2   Q1

H1  H2 31, 37  13, 25 18, 12  Q   Q   Q  0, 56 m³ / s 32,61  H1 H2   31,37 31,37 13,25 13,25   2  2  2 , 24 2 4 5, 76 76  Q Q  2   1

(4) Temos a seguinte situação:

Q1''  Q '1  Q H1  H2   '' Q2  Q '2  Q Q1''  Q '1  Q  Q1''  2, 24  0, 56  1, 68 m³ / s  Q1''  1, 68 m³ / s Q2''  Q '2  Q  Q2''  5, 76  0, 56  6, 32 m³ / s  Q2''  6, 32 m³ / s

Repetir o processo com os valores encontrados 68 m³ / s e Q ''''2  6, 32 32 m³ / s (1) Adote Q ''''1  1, 68 Re y1, f1, H1 e v2 , Re Re y2 , f2, H2 (2) Calcule: v1, Re

Tubo 1


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Canal YouTube: Afonso Carioca Oficial Facebook: Afonso Carioca [email protected] / [email protected] WAPP/TELEGRAM: (62) 98618-3847 / 99469-8239 / 98109-4036 Q '1 4Q' 4  1,68  v1  21  v1  m / s  v1  8,56 m / s 2 A1 D1 3,14  0,50

v1 

Re y1 

f1 

v1D1



 Re y1 

8,56  0,50  Re y1  4,28  106 (Turbulento) 6 1,0  10

1,325

   5,74    ln     3,7D1 Re y10,9 

2

1,325

 f 1 

2

     5  104  5,74 ln  3,7  0,5  0,9     4,28  106        1,325 1,325  f1   f1  0, 0197 f1  2 67,13 ln 270,27  106  6,175  106   





2

0,0197  120   8,56 f1L 1v12 H1   H1  m  H1  17, 66 m 2gD1 19, 62  0,5

Tubo 2 v2 

Q2 4Q 4  6,32  v2  2  v1  m / s  v2  12,58 m / s 2 A2 D2 3,14  0,80

Re y2 

f2 

f2 

v2D2



 Re y2 

12,58  0,80  Re y2  10,064  106 (Turbulento) 6 1,0  10

1,325 2

   5,74   ln      3,7D2 Re y20,9  

 f 2 

1,325

     5  104  5,74 ln  3,7  0,8   0,9  6    10,064 10     

1, 325

ln 168,92  106  2,86  106   

2

 f2 

2

1,325  f2  0, 0176 75,16

2

0,0176  90  12,58 f2L2v22 H2   H2  m  H2  15, 97 m 2gD2 19, 62  0, 8


H1  H2  H H2  2 1   Q2   Q1


Página 52

Canal YouTube: Afonso Carioca Oficial Facebook: Afonso Carioca [email protected] / [email protected] WAPP/TELEGRAM: (62) 98618-3847 / 99469-8239 / 98109-4036 H1  H2 17, 66  15, 97 1, 69  Q   Q   Q  0, 065 m³ / s 26,08  H1 H2   17,66 15,97   2  2  1, 68 6, 32  Q Q  2   1

Q 


Q1'''  Q ''1  Q H1  H2   ''' Q2  Q ''2  Q Q1'''  Q ''1  Q  Q1'''  1, 68  0, 065  1, 68 m³ / s  Q1'''  1, 615 m³ / s ''' ''' Q''' 2  Q ''2  Q  Q2  6,32  0, 065  6,32 m³ / s  Q2  6,385 m³ / s

Repetir o processo com os valores encontrados (1) Adote Q'''1  1,615 m³/ s e Q'''2  6,385 m³/ s (2) Calcule: v1, Re y1, f1, H1 e v2 , Re y2 , f2, H2 Tubo 1 Q '1 4Q1' 4  1,615  v1  2  v1  v1  m / s  v1  8,23 m / s 2 A1 D1 3,14  0,50

Re y1 

f1 

v1D1



 Re y1 

1, 325

   5,74   ln      3,7D1 Re y10,9  

2

8,23  0,50  Re y1  4,115  106 (Turbulento) 6 1,0  10 1,325

 f 1 

2

     5  104  5, 74 ln  3,7  0,5  0,9     4,115  106        1,325 1,325  f1   f  0, 0197 f1  2 67,12 1 ln 270, 27  106  6, 40  106   







2

0,0197  120   8,23 f1L 1v12 H1   H1  m  H1  16,32 m 2gD1 19, 62  0,5

Tubo 2 v2 

Q2 4Q 4  6, 385  v2  2  v1  m / s  v2  12,71 m / s 2 A2 D2 3,14  0,80

Re y2 

v2D2



 Re y2 

12,71  0,80  Re y2  10,168  106 (Turbulento) 6 1,0  10


Página 53


f2 

1,325 2

   5,74   ln      3,7D2 Re y20,9 

 f 2 

1,325

     5  104  5,74 ln  3,7  0,8  0,9   6    10,168 10     

1,325

ln 168,92  106  2,83  106   

2

 f2 

2

1, 325  f2  0, 0176 75,16

2

0,0176  90  12,71 f L v2 H2  2 2 2  H2  m  H2  16, 30 m 2gD2 19, 62  0, 8


H1

H2  Q1  1,615m³ / s e Q2  6,385m³ / s

18. Determine as vazões nos trechos dos reservatórios, considerando os reservatórios 1 e 2 como abastecedores. Dados   1, 1  106 m² / s (viscosidade cinemática) e   0,25mm (rugosidade absoluta).

Solução: Dados: D1  700 mm  0, 7 m L1  3, 5 km  3500 m z1  120 m


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  0, 25 mm  2, 5  104 m   1, 1  106 m² / s (1) Adota-se HJ  z2  100 m (Reservatório Intermediário) (2) Calcula-se H em cada trecho a) H1J  z1  HJ b) HJ2  zB  HJ c) HJ3  HJ  z3 (3) Calcule a vazão explícita em cada trecho

     gDH 1,775  2   ln  Q  0, 955  D   3,7D L gDH  D   L   (4) Conclui-se que: a) se Q1  Q2  Q 3  ok b) se Q1  Q2  Q3  aumentar HJ para diminuir Q1 c) se Q1  Q2  Q3  diminuir HJ para aumentar Q1 (5) Se não repetir com HJ 

HJ 2

média ou outro valor de

HJ

19. Dois reservatórios C (cota = 190, 0 m) e D (cota = 230,2 m) abastecem uma região pelo sistema de tubulação de bifurcação A para um ramal B (cota = 149,2 m). Determine os diâmetros dos trechos DA e CA para as vazões QCA  8,0 l / s e QDA  12, 0 l / s para uma carga de pressão em B de 30 mca. Despreze as cargas cinéticas. Considere a tabela abaixo: Trecho DA CA AB

Diâmetro (mm) 200

Comprimento (m) 1725 509 1803


Coeficiente de Hazen-Williams 130 130 130

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Solução: (1) Listar os dados e fazer as conversões para o Sistema Internacional (SI) HC  190, 0 m HD  230, 2 m HB  149, 2 m QCA  8, 0 l / s  0, 008 m³ / s QDA  12, 0 l / s  0, 012 m³ / s LDA  1725 m;

L CA  509 m;

L AB  1803 m

DAB  200 mm  0, 2 m C  130

(2) Adote HJ HB  HJ  HC  HJ  180,0 m

(3) Calcule hDA e hCA

HDA  HD  HJ HCA  HC  HJ (4) Calcule JDA e JCA JDA 

HDA LDA

e JDA 

HDA LDA

(4) Calcule os diâmetros solicitados através de: DDA 4,87 

10,65  QDA1,85 C1,85  JDA

e

DCA4,87 

10,65  QCA1,85 C1,85  JCA


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20. Deduza a fórmula do tempo necessário ao escoamento por orifício, em recipiente com nível variável, no caso de paredes verticais. Solução: Seja um reservatório de paredes verticais, tendo seção horizontal constante. Não qualquer tipo de inclinação das paredes. Admitimos também que não haja afluxo (alimentação de líquido). Observe a figura abaixo:

Quando a superfície livre (SL) do líquido estiver à distância h do orifício, a vazão será fornecida por: (1) Q  Cd  A o  2gh onde Ao é a área do orifício. Depois de um certo tempo t, o volume escoado será: V = Q.t e para um intervalo de tempo infinitesimal dt, mantida a vazão inicial, teremos: dV= Qdt, ou seja, (2) dV  Cd  Ao  2gh dt Por outro lado, seja A a área da seção transversal do reservatório. No mesmo intervalo dt, a altura de carga diminui de dh e, portanto o volume elementar escoado é: (3) dV = Adh Igualando as expressões (2) e (3), temos: (4) Cd  Ao  2gh dt  A  dh onde o sinal negativo indica que a altura h decresce quando o tempo aumenta. Sejam h1 a altura de carga no início do escoamento (t = 0) e h 2 a altura de carga depois de um certo tempo t. Integrando a expressão (4), obtemos:


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A

dh

Cd  A o  2g

h

t

h2

A

 dt   C  A  d o 0



2g h 1

1 h 2 dh

Invertendo os limites de integração no segundo membro, a integral muda de sinal. Assim: t

 dt 

0

t

t

h1

A



Cd  Ao  2g h 2

h1

1 h2

A

1 h 2 dh

Cd  Ao  2g 1 2 h 2 A Cd  Ao  2g

(5) t 



h1  h2

A Cd  Ao  2g





h1  h2



No caso de esvaziamento total, h 2 = 0, logo a expressão (5) torna-se: (6) t 

A  h1 Cd  Ao  2g

No caso em que haja afluxo, temos: (7) t 

h1



A  dh Q

h2 Q saída

entrada

21. Deduzir a fórmula do tempo necessário ao escoamento por orifício, em recipiente com nível variável, no caso de reservatório hemisférico. Solução: Suponha um reservatório hemisférico com descarga livre por um orifício no fundo, conforme a figura abaixo:


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A

dh

Cd  A o  2g

h

, porém, neste caso, a seção A é variável. Ou seja:

(2) A  x² e da figura temos: R²  (R  h)²  x² x²  R²  (R  h)² x²  R²  (R²  2Rh  h²) x²  2Rh  h²

E substituindo na expressão (2), temos: (3) A   2Rh  h² Substituindo (3) em (1), temos: dt  

 2Rh  h² dh Cd  A o  2g h

Reescrevendo essa expressão: dt   dt   dt  

 Cd  Ao  2g

 Cd  Ao  2g



2Rh  h² dh 1

h2 1 h 2 2rh  h² dh

3  12  2rh  h2  dh Cd  Ao  2g  



Sejam as alturas de carga: h 1 no início do escoamento (t = 0) e h 2 depois de um tempo t. t

 dt  

0

h2

3  12 2 dh  2rh h   Cd  Ao  2g h   1



Invertendo os limites de integração no segundo membro, temos:


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 dt 

0



h1



h1 

3   12 2 dh  2rh h    Cd  Ao  2g h   2

Integrando: t

 dt  C  A  d o 0



2g h  2

1 2Rh2

3 2 h

  dh 

 3 5 h1   2Rh2 h2      t 5 Cd  Ao  2g  3  2 h   2 2   h   3  4 2 52 1   2 t Rh  h  5 Cd  Ao  2g  3 h2   Substituindo os limites de integração:  4 3 2 5 h1   Rh2  h2  t  5 Cd  Ao  2g  3 h2    2 32 1 52   2 32 1 52   2 t  Rh  5 h1    3 Rh2  5 h2   Cd  Ao  2g  3 1    

(4)

t

 2 32 1 52   2 32 1 52   2  Rh  5 h1    3 Rh2  5 h2   Cd  Ao  2g  3 1   

que é o tempo gasto pelo líquido para baixar do nível h 1 até o nível h 2. No caso de esvaziamento total, h 2 = 0, e assim temos:

(5) t 

2  2 32 1 52   Rh  5 h1  Cd  Ao  2g  3 1 

22. Deduzir a fórmula do tempo necessário ao escoamento por orifício, em recipiente com nível variável, no caso de reservatório tronco-cônico. Solução: Suponha um reservatório em forma de tronco de cone, conforme a figura abaixo:


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Solução: Sejam: A = área da seção horizontal do tronco de cone à distância h sobre o orifício. Ao = área do orifício de fundo. H = altura da parte seccionada do cone. No caso do tronco de cone, a seção A também é variável, pois tem raio x, logo: (1) A  x² Por semelhança de triângulos, podemos escrever: 2x hH b  x  h  H b h1  H 2 h1  H

elevando ao quadrado ambos os membros dessa última expressão: x

b 2 h1  H

 h  H 2

  b  h  H x   2 h1  H  2

x2  x2 

b² 4 h1  H ² b² 4 h1  H ²

 h  H  ²  h²  2Hh  H²

Substituindo em (1), obtemos: (2) A 

b²  h²  2Hh  H² 4 h1  H ²


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dt   dt  

A

dh

Cd  A o  2g

h

h²  2Hh  H² dh b²  4 h1  H ² Cd  Ao  2g h12  12

h b²  dt   4 h1  H ²

 h²  2Hh  H² dh Cd  Ao  2g

 h32  2Hh12  H²h12    b²  dh  dt   4 h1  H ² Cd  Ao  2g Integrando esta última expressão:  h3 2 2Hh12 H²h 12      b²   dh dt    4 h1  H ² Cd  Ao  2g t



dt  

0

t  

t  t 

h

b² 4 h1  H ²Cd  Ao 

b² 4 h1  H ²Cd  Ao 

b² 4 h1  H ²Cd  Ao 

b² 4 h1  H ²Cd  Ao 

2 1 1   3    h 2  2Hh 2  H²h 2  dh  2g h  1

3 1  52 2 2  h5  2H h3  H2 h1 2g  2 2  2

h

 2   h 1

h1

 2 h52  4 Hh3 2  2H2h12    3 h 2g  5 2 2  2g  5

 h 5 2 h 52  4 H  h 32 h 3 2  2H2  h 12 h 12    2   1  1  2  3  1  2       

b²

5  3  1  2  5 2 1 4  3  5  h1 2  h2 2   3 H  h1 2  h2 2   2H h1 2  h2 2  4 h1  H ²Cd  A o  2g   5  3 3 1 1 b²  1  52  2  2 H  h 2  h 2   H2 h 2  h 2   t h h       1 2 1 2 1 2 5  3      2 h1  H ²Cd  A o  2g 

t

Esta última expressão nos dá o tempo para que o nível de água no reservatório baixe de um nível h1 até um nível h2. E no caso de um esvaziamento completo (h2 = 0), a expressão torna-se: t

b²

 1  52  2  32  2  12     h1   3 H  h1   H h1   2 h1  H ²Cd  A o  2g  5  

23. Um reservatório tronco-cônico mostrado na figura abaixo:


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tem as seguintes dimensões: H=7,5m a = 12° d = 2,1 m Ao = 110 cm² (área do orifício) Cd = 0,65 Considerando o reservatório inicialmente cheio, em quanto tempo ele será esvaziado pelo orifício? Solução: Considere a figura abaixo:


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h  h1  d 2x h  h1  x , mas : d h1 2h1 tan12 

1,05 1, 05 1, 05  h1   h1  m  h1  5, 0m h1 tan12 0,21

Substituindo : x

h  5 10

 A  x²  A 

 h  52 100

Sabemos que: 2

dt  

A

dh

Cd  Ao  2g

h

h5 

 dt  

100

Cd  Ao  2g

1 h 2dh

 h  52  h  52 h 2dh  h  52 h 2dh  12 dt   h dh  dt    dt    100  Cd  Ao  2g 100  Cd  Ao  2g 100  0,60  110  104  4,43 1

1

t 1  0  12 2  0  32 1  h h  10h  25 dh  t   h  10h 2  25h 2  dh    dt      2, 92 7,5 2, 92 7,5   0





3 1   52 3 1 1 2 2  t  1, 08   h 2  10h 2  25h 2  dh  t  1, 08  h5  10 h3  25 h1     2  2  2 0 

7,5

7,5

 0

7,5

5 3 5 3 1 1  t  1, 08  2 h 2  20 h 2  50h 2   t  1, 08  2 (7,5) 2  20 (7,5) 2  50(7,5) 2  s  5 3 5 3  0    t  1, 08  61, 6  136, 9  136, 9 s  t  1, 08  335,4 s  t  362,2 s

24. Para o tanque mostrado na figura abaixo:

e usando o coeficiente de vazão médio igual a 0,65 para o orifício de 2” (0,0508 m) de diâmetr o. Determine

quanto tempo levará para que o nível no tanque seja de 4 ft (1,22 m) reduzido.

Solução: Da figura, podemos considerar que h1 = 6ft = 1,83 m e h 2 = 0,61 m. Façamos ainda r = x, uma vez que a área da seção horizontal A é variável, podemos escrever:


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dt  

t

A

dy

Cd  A o  2g

y

 dt  

  y  0,837  1 y 2dy d²  2g Cd  4

h

2 4  y12  0, 837y 12  dy  t dt    y12  0,837y 12  dy         Cd  d²  2g  Cd  d²  2g h  0 1

4

4

h1

1   1   y 2  0, 837y 2  dy

Cd  d²  2g h 2

Substituindo os dados do problema na expressão: t

4

h1

 y12  0, 837y 12  dy    Cd  d²  2g h  2

t

4

1,83

1   1   y 2  0, 837y 2  dy

0,65  (0,0508)²  2  9,81 0,61 1,83

1   32 y 2 y  t  538, 3 3  0, 837 segundos 1   2 2  0,61 

1,83   3 1   2 2 2  segundos t  538, 3  y  1, 67y   3  0,61    3 3 1  1    t  538, 3  2 (1, 83) 2  1, 67(1, 83) 2    2 (0, 61) 2  1,67(0,61) 2   segundos  3   3 t  538, 3  1, 65  2, 26    0, 32  1, 30  segundos

t  538,3  3,91  1,62 segundos t  538,3  2,29 segundos t  1.233 segundos


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25. Um reservatório na forma de um tronco de cone como mostrado na figura abaixo:

Inicialmente há um volume de 16 m³ de água no reservatório. Sabe-se que este reservatório é esvaziado completamente no tempo de 6 min. Sendo dado a = 11,3° , C d = 0,6 e d = 2,4 m, determine o diâmetro do orifício. Solução: Considere a figura abaixo:

Usando o conceito de semelhança de triângulos podemos escrever: 2x h1  h d  x h1  h (1) d

h1

2h1

Temos da Geometria Espacial: Vtronco  Vmaior  Vmenor  Vmaior  Vtronco  Vmenor (2) Mas:  d2h1 1  d2 Vmenor   h1   Vmenor  (3)  3 4 12  


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Cálculo de h1 Considere o triângulo:

Utilizando a definição de tangente num triângulo retângulo, podemos escrever: 1,2 1,2  0,2  h1  tan(11,3)  m  h1  6,0 m , e substituindo na expressão (3), vem: h1 0,2 Vmenor 

d2h1 12

 Vmenor 

 2,4 ²  6 12

m³  Vmenor  9, 05 m³

Agora, podemos estabelecer a seguinte proporção: 3  Vmenor D3  d3 Vmaior V D     maior  Vmenor  d  Vmenor d3

Vtronco D3  d3 16 D3  (2, 4)3    Vmenor 9, 05 d3 (2, 4)3 16  13,82  D3  13, 82  24, 43 D3  13, 82  9,05 D3  38,25  D  3, 4 m

Cálculo de H Utilizando a expressão (2), temos:


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Canal YouTube: Afonso Carioca Oficial Facebook: Afonso Carioca [email protected] / [email protected] WAPP/TELEGRAM: (62) 98618-3847 / 99469-8239 / 98109-4036 Vmaior  Vtronco  Vmenor Vmaior  16  9, 05  25, 05 m³ Vmaior 

1  D²  H  h1  3  4 

(3, 4)²  D²   12  H  h1   Vmaior  12 H  6   25, 05   25,05  12  H  8, 26  6  2,26 m  H  2,26 m H6  11,56  3,14 Agora, sabemos que: dt  

dt  

A

dh

Cd  A o  2g

y

(4) , fazendo as devidas substituições:

A

dh (4) Cd  Ao  2g h 2

 d   h  h1  2h1 x² 1  h 12dh dt   h 2dh  dt    Cd  Ao  2g d2 Cd   2g 4

 dt  

d²

Cd  dt  

2

2 4h1

h  h1 

d2

d² 4 2 1 1 h 2dh  dt   h  h1   h 2dh  2 Cd  d²  2g 4h1

 2g

4 1

2  h  h1   h

1 2dh

 dt  

1 2 1 h  6   h 2dh 0,6  6²  4,43

2  2g Cd  h1 1 1 1 1   3 dt   h2  12h  36 h 2dh  dt  0, 0104 h 2  12h 2  26h 2  dh 95,69  





t

0

0

 2,26 

 dt  0, 0104

3

 h

2

 12h

1

2

 36h

 12 

 dh  2,26

1   h52 h32 3 1 2  12   h 2 2 t  0, 0104  h  12h  36h  dh  t  0, 0104  5  3  36 1   2  2 0   2 0

2,26

2,26

3 1   5 t  0, 0104  2 h 2  2 h 2  7 2h 2  3 5 0

5 3 1    t  0, 0104  2 2,26  2  2 2,26  2  72 2,26  2  s 3 5 

t  0, 0104  3, 07  2, 26  108, 24  s  t  0, 0104 113, 57 s  t  1, 2 s

26. Um reservatório tem a forma de um parabolóide de revolução cuja seção transversal vertical é mostrada abaixo:


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Que tempo levará a água para baixar de um nível y1 = 8,0 m até o nível y2 = 0,7 m? Dados: do = 50 mm (diâmetro do orifício) Cd = 0,60 Solução: Temos que: A  x²  x² 

y  x²  0,305y 3,28

 A  0, 305y dt  

dt  

t

A dy 0,305y 1 y 2dy  dt   d² Cd  Ao  2g y  2g Cd  4 1,22

1

Cd  d²  2g 1,22

h1



Cd  d²  2g h 2

y 2dy 

t

 dt  

0

4

h2



Cd  d²  2g h 1

1

y 2dy

1

y 2dy

Substituindo os dados na expressão: t

t

1,22

h1



Cd  d²  2g h 2

1

y 2dy

8 1 1,22  y 2dy 0,60  0,0025  4, 43 0,7

 32 y t  18,36    3  2

8

8  3     t  18,36   2 y 2   3  0,7  0,7

3 3  2  2 0,7 2  segundos  3 3  t  18,36  15,08  0,39 segundos

t  18,36  2 8

t  18,36  14,69 segundos t  269, 7 s

27. Um tanque de seção trapezoidal tem um comprimento constante de 5 ft (1,52 m). Quando a água está a uma altura de 8 ft (2,44 m) de um orifício de 2 in (0,0508 m) e C d = 0,65, a largura da superfície é de 6 ft


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Canal YouTube: Afonso Carioca Oficial Facebook: Afonso Carioca [email protected] / [email protected] WAPP/TELEGRAM: (62) 98618-3847 / 99469-8239 / 98109-4036 (1,83m) e quando está 3ft (0,915 m) acima do orifício a largura da superfície da água é de 4 ft (1,22 m). qual será o tempo necessário para baixar a altura da água dentro do intervalo mencionado?

Solução: A seção transversal vertical do tanque é mostrada na figura abaixo:

Cálculo de b O valor de b pode ser calculado através da semelhança de triângulos: 1, 83 2, 44  b   1,67  1,83b  2,98  1,22b 1, 22 0, 915  b 1, 83b  1,22b  2, 98  1, 67  0, 61b  1,31  b 

1,31 m 0,61

 b  2,15 m A área da seção transversal horizontal do tanque é dada por: A = 5x  A = 0,465 x Calculo de x Por semelhança de triângulos podemos escrever:


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Hidráulica.pdf Apostila Em 27 Abr 2018

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