Introdução Ao Cálculo - Vol I - Paulo Boulos

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO / volume I cálculo diferencial PAULO BOULOS Professor livre-docente do Instituto Instit uto de Matemática Matemáti ca e Estatística da Universidade de Sào Paulo

EDITORA EDGARD BLÜCHER LTDA.

Volume 2: CALCULO INTEGRAL. SÉRIES Volume 3: CALCULO DIFERENCIAL: VARIAS VARIÁVEIS

Editora Edgard Blü Blüccher Ltda. Ltda. © 1 9 7 4 Editora 3.* Reimp Reimpress ressão ão 19 1983 83

É proibida a reprodução total ou parcial por quaisquer meios meios sem autorização escrita da editora

EDITORA EDGARD BLÜCHER LTDA. 01000 C a i x a Po s t a l 5450 E n d . T e l e g r á f ic i c o : Bl ü c h e r l i v r o

Sã o P a u l o — SP — B r a s ilil

Impresso no Brasil Printed in Brazil

AO PAULINHO

CONTEÚDO   efácio..........................................................................................................

XI

CAPÍTU CA PÍTULO LO 1. PRELIMINA PREL IMINARES RES 1.1. .1. N ú m e r o s ................................................. ........................................................................... ................................................ ...................... 1.2. .2. F u n ç õ e s .................................................... .............................................................................. .............................................. .................... 1.3. Distância entre números ....................................................................

1 3 14

CAPÍTU CA PÍTULO LO 2. LIMITE LIM ITE E DERIVADA 2.1. .1. 2.2. .2. 2.3. .3. 2.4. .4. 2.5. .5. 2.6. .6. 2.7. .7.

O p rob ro b lem le m a ,da ,d a t a n g e n t e .......... ............... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........ ... D e r i v a d a ................................................. ........................................................................... ................................................ ...................... L im ite it e .................................................... .............................................................................. .................................................. ........................ C o n tin ti n u id idaa d e .................................................... .............................................................................. ...................................... ............ Regras de d e r iv a ç ã o .......... ............... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....... Deriva De rivação ção im p líc lí c ita it a .......... ............... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........ ... D ife if e r e n c ial......................................... ia l................................................................... .................................................... ............................

18 22 28 48 60 74 77

CAPÍTUL CA PÍTULO O 3. 3. O TEOREMA TEOR EMA DO D O VALOR VALOR M ÉDIO ÉD IO E SU SUAS AS APLICAÇÕES 3.1. .1. O Teore Te orema ma dc R o l l e .......... ............... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..... 3.2. .2. O Teore Te orem m a do valor va lor m é d i o .......... ............... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... 3.3. Aplicação Aplicação do teorema teorem a do valor médio: intervalos onde on de uma função cresce cresce ou dec de c r e s c e .......... ............... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..... 3.4. .4. Máximo Máx imoss e m ín im o s .......... ............... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....... 3.5. Aplicação do teorema dovalor do valor médio: concavidade .................... 3.6. .6. Esboço Esb oço de gráficos gráfic os de f u n ç õ e s ................................................ .......................................................... ..........

81 86 89 96 112 118

CAPÍTU CA PÍTULO LO 4. FUN ÇÃO ÇÃ O INVERS INVERSA A 4.1. .1. O conceito de função in v e r s a

135

APÊNDICE A Números Reais...................................................................................... 151 APÊNDICE B Lim ites................................................................................................... 169 APÊNDICE C Continuidade.......................................................................................... 180 APÊNDICE D Regras de 1.' H ôpital............................................................................ 184 APÊNDICE E A tangente como melhor aproximação linear ............................... 194 APÊNDICE F Assíntota................................................................................................ 196 APÊNDICE G Estimativa do erro na. aproximação diferencial.............................. 202 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS............................... 205 EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES........................................................ 237 RESPOSTAS E SUGESTÕES AOS EXERCÍCIOS SUPLEMENTA RES ........................................................................................................ 251

PREFACIO Este livro c destinado aos estudantes que pela primeira vez estudam o Cálculo. É, portanto, de caráter introdutório. O objetivo foi dar as idéias principais do Cálculo, bem como uma certa habilidade na parte técnica. A maneira com que tal objetivo foi procurado constitui uma característica importante deste livro. Através de uma linguagem clara e simples, muitas vezes coloquial (para não enfadar o aluno), são apresentados os conceitos com grande número de exemplos; os teoremas, com ilustrações que revelam seus conteúdos geométricos (sempre que isso for possível), sendo frequen temente usados raciocínios de caráter intuitivo a fim de tornar os resultados “naturais”; e os exemplos relativos à parte técnica, em número suficiente, de modo a evitar ao aluno o desânimo por excesso de dúvidas. Dentre os exercícios apresentados, encontram-se aqueles que se des tinam a avaliar a compreensão da matéria exposta, e aqueles que objetivam conferir ao leitor uma certa familiaridade com as técnicas operatórias. Asteriscos precedendo um exercício indicam um certo grau de dificuldade, proporcional ao número deles. Os exercícios são apresentados ao final de cada seção, havendo também, no fim do livro, uma série de exercícios su plementares. Entre esses, em geral aparecem exercícios mais difíceis. Uma palavra com relação a rigor e linguagem. Procurou-se, neste livro, dizer a verdade honestamente, sem sofisticações nem uso de simbologia excessiva, que constituem, a nosso ver, um dos entraves para aceitação do Cálculo por parte do aluno. Entenda-se aqui aluno por aluno médio de nossas faculdades, ao qual é dirigida a presente obra. Quanto ao modo de usar o livro, isso vai depender cssencialmcnte dp nível dos alunos. Alguns tópicos foram colocados em apêndices. Outros, no próprio corpo do livro, são opcionais, conforme indicação local. Caberá ao professor decidir quais deles abordar. Note-se que a matéria em apên dices apresenta exercícios. Com isso, pretende-se que o livro possa ser usado em diversos níveis. Críticas e sugestões serão de grande valia para a eliminação de falhas

Desejo agradecer ao prof. João F. Barros pela indicação de diversos erros que ainda se apresentavam na última reimpressão. O Autor

1 - PRELIMINARES 1.1. NÚMEROS

Vamos admitir que você esteja familiarizado com os números naturais: 1, 2. 3. 4....... com os números inteiros: 0, l, -1. 2,-2 com os números racionais, que são da forma p/q, p e q inteiros, q / 0 (logo os números na turais e os números inteiros são também racionais) e com os números reais. Aqui lhe surge provavelmente uma dúvida (pelo menos assim esperamos): como dizer o que é um número real? Observe que o que fizemos acima não foi de modo algum definir número natural, inteiro ou racional. Para definir esses números é necessária uma teoria que foge ao objetivo deste livro*. Apenas a titulo de curiosidade, vamos adiantar o seguinte: existem números reais cujá representação decimal é infinita e apresenta uma parte periódica. Por exemplo, ___ _

j = 0,333 ... ; 0,577577...

Temos também os números cuja representação decimal é finita. Por exemplo, y = 0,500 ... ; 0,006578000... Pois bem, os números desses dois tipos são números da forma p/q , q £ 0, p e q inteiros, isto c, são números racionais. Os outros números reais (aqueles cujas representações decimais são infinitas e não apresentam parte periódica) são chamados irracionais. Exem plos de números irracionais: y 2 = 1.4142...;

71 = 3.14159...

Portanto o conjunto dos números naturais é parte do conjunto dos números inteiros, que é parte do conjunto dos números racionais, que, por sua vez, é parte do conjunto dos números reais.

2

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO cálculo diferencial

Convenção. A fim de abreviar a linguagem, diremos apenas número quando se tratar de número real.

EXERCÍCIOS 1.1.1 —Um número inteiro é par (ímpar) se puder ser escrito na forma 2 k (2k + 1), onde feéum número inteiro. Mostre que, se a é par (ímpar), então a2 é par (ímpar). 1.1.2 —O objetivo deste exercício é mostrar que y f 2 é irracional. a) Suponha y f l = -r- > onde q ^ 0 e p são inteiros. Conclua que p deve ser par. Daí, conclua que q também é par. b) Suponha y f l = — como acima, supondo também que p e q sejam q primos entre si, o que é sempre possível (você cancela todos os fatores pri mos comuns). Conclua por (a) qúe isso é um absurdo. *1.1.3 —Mostre que y f l é irracional (tente seguir o método do exercício anterior). 1.1.4 —Mostre que a soma e o produto de números racionais é racional (você pode supor que soma e produto de números inteiros é um número inteiro). V 3 + 1 é irracional. (Se 1.1.5 —Mostre que l i i racional, o que seria

-? E 2• = y f l l ) Idem para — \= • 2 2 v 3 1.1.6 - Se a 0 ó racional e b é irracional, então ab é irracional. 1.1.7 - Se a é racional e b é irracional, então a + b é necessariamente ir racional? E se a e b são ambos irracionais? 1.1.8 —Se a e b são irracionais, é verdade que ab é irracional? 1.1.9 —a) Mostre que by/~2 é irracional, onde b 0 é racional. b) Se a é racional, conclua que a + by/~2 é irracional (veja Exer. 1.1.7). c) Então, s e x e j í são racionais, a relação x + y j 2 = 0 acarreta x =

= y = o.

1.1.10 —Escrever os números seguintes na forma --> p e q ^ 0 inteiros. 9 b) 0,3333...; a) 0,125; d) 0,428571428571...

3

preliminares

3 3 3 3 Sugestão. 0,3333 ... = — + —= + —* + —v + • • • = * 10 102 103 IO4 - s [ I + ií + W + " -]-

3

1

1.2. FUNÇÕES Suponha que A seja um conjunto de números. Uma função definida em A é uma correspondência que, a cada número de A , associa um único número. Se representarmos a função por uma letra, por exemplo,/e, por x, um ele mento de A, então f(x) indicará o número associado a x[/(x) deve ser lido “/ de x”]. O conjunto A é chamado de domínio da função f Se você não entendeu nada, não se preocupe, pois os exemplos a seguir o esclarecerão. Exemplo 1.2.1. Seja A o conjunto de todos os números. Consideremos a correspondência / que, a cada número x, associa seu quadrado x2, isto é,

/(x) = x2. Então /(O) = O2 = 0, /(-1) = (-1)2 = 1, /(l) = l2 = 1. Observe que x2 é o número associado a x, 0 é o número associado a 0, 1 é o número associado a -1, 1 é o número associado a 1. Se indicamos um número por — (z =£ 0), então z

e -r é o número associado a — • z z2 Se você entendeu o que se disse, entenderá também que f ( x + h) = (x + h)2 = x2 + 2xh + h 2. e que x2 + 2xh + h2 é o número associado a x + h. Exemplo 1.2.2. Seja A o conjunto dos números diferentes dc 0. A cor

4

INTRO DUÇÃ O AO CÁLCULO cálculo diferencial

efinida em A. Em símbolos,

/(x) = — x

( x f t 0).

Então 1 3

2

Z 1 Pergunta. Você sabe por que em — é preciso que x ^ 0? x Exemplo 1.2.3. Seja A o conjunto de todos os números. Considere a função / definida como segue: x ^ 0, x < 0. Para os que estranharam essa definição “por partes”, vamos explicar como é a correspondência. Tome um número, por exemplo, x = 3. Como 3 ^ 0 (isso não é erro de imprensa! > 0 lê-se “maior ou igual a zero”), então /(3) = 3. Se você tomar x = -3, então, como -3 < 0, temos/(-3 ) = -(-3) = = 3, pois, nesse caso, /(x) = -x. Costuma-se indicar /(x) = |x| e lê-se “módulo de x”, ou “valor abso luto de x”. Decorre imediatamente que |x| ^ 0, e que |-x| = |x|. Exemplo 1.2.4. Se você estudou Eletricidade, sabe que, se aplicar uma tensão V a um resistor de resistência R, fluirá uma corrente 1 dada por (Fig. 1-1) V

Figura 1-1

5

preliminares

V e R dependem, em geral, do tempo l, de modo que / é uma função de t.

Por exemplo, se V{t) = 2 sen t e R(t) = í + 1, temos /(í) = 2

(aqui

supomos t > 0). Nota. Por simplicidade, diremos, às vezes, 'seja a função f(.x). devendo, nesse caso, subentender-se que x percorre o conjunto de todos os números, salvo se alguma restrição è imposta a x”. Por exemplo, "seja a função f(x) = x3”, subentende-se que x percorre o conjunto dc todos os números, ao passo que ‘seja f(x) =

x ^ 0”,

subentende-se que x percorre o conjunto de todos os números diferentes de 0.

Pode-se representar uma função através de seu gráfico. Tomando um sistema de coordenadas cartesianas num plano, o gráfico de uma função / (definida num conjunto A) é o conjunto dos pontos do plano de coor denadas (x, /(x)), onde x percorre A. Exemplo 1.2.5. Considere a função do Ex. 1.2.1. Como não temos ele mentos para esboçar seu gráfico por ora (esses elementos serão dados no Cap. 3. seção 3.6), fazemos uma tabela, como segue.

X /<*)

0 0

- í í

í í

2 4

-2 4

3 9

-3 9

Marcamos esses pontos (x, /(x)) no gráfico e “estimamos” o jeito da curva (Fig. 1.2). Exemplo 1.2.6. A função f l x ) = ax + b (onde a c b são números), defi nida no conjunto de todos os números, tem por gráfico uma reta, como se sabe da Geometria Analítica. Cuidado aqui para não haver confusão. Os números a e b são dados (fixos) e x percorre o conjunto de todos os números. Como essa função vai ter um papel importante para nós, vamos recordar com mais pormenores seu gráfico.

l.° caso. a = 0 . Nesse caso, f(x) = b e temos uma função constante. A qualquer número x, associamos o mesmo número b. O gráfico é uma

6

INTRO DUÇÃO AO CÁLCULO cálculo diferencial

Figura 1-2

i

b X

Figura 1-3

(No caso da Fig. 1-3 estamos supondo b > 0) 2.° caso. a ^ O . Nesse caso, o gráfico será uma reta não-paralela ao eixo

7

preliminares

Figura 1-4

Dado o gráfico de f(x) — ax + b. você sabe qual o significado geomé trico de a e b? Observe que /(O) = b e a Fig. 1-5.

Figura 1-5

Logo, b é tal que (0, b) 6 o ponto onde a reta corta o eixo dos v. Para relembrar o significado de a, considere dois pontos (xx , ^j) e (x2 , y 2), (x, # x2) de uma mesma reta, gráfico de /(x) = ax + b. Então nx, + b = , ax2 + b = y2. Logo, subtraindo membro a membro, a(x2- x ,) = v2- y , ,

e portanto a = yi - yi x2-x,

Então (veja Fig. 1-6) a = tga. Em particular, o gráfico da função f(x) = x (chamada funçãç identi

8


Figura 1-6

Figura 1-7

Figura 1-8

(No traçado desses gráficos basta a marcação de dois pontos, pois trata-se de retas.) Exemplo 1.2.7. Considere a função do Ex. 1.2.3. Se x ^ 0, temos f (x) = x e o gráfico é o que se acha na Fig. 1-9.

9

preliminares

Combinando os dois, temos o gráfico da função f(x) = |x| (Fig. 1-11).

Exemplo 1.2.8 (contra-exemplo). O gráfico da Fig. 1-12 não pode ser gráfico de uma função. De fato, ao valor x0 estão associados 3 números.

Uma função só pode associar a cada número um único número. Então, para que uma curva possa ser o gráfico de uma função, ela deverá interceptar toda reta vertical no máximo em um ponto. Nota. Uma maneira industrial de sc pensar numa função é imaginá-la como uma máquina com uma entrada c uma saida (Fig. 1-13). Na entrada, coloca-se x, na saída obtém-se f(x). Como é o mecanismo não nos interessa. Observe que, se/é uma função de domínio A, a máquina só recebe x de A.

Figura 1-13

/

10

INTRO DU ÇÃ O AO CÁLCULO cálculo diferencial

EXERCÍCIOS 1.2.1. Sendo /(x ) = x2 - x , achar /(2); /(1); /(-1 ); / Q - ) ; f(k); x * 0; /( x 2); / ( - x 2); f(-x); f(f(x)).

1.2.2. Sendo /(x ) = ^ y ( . x # 1), achar /(2 ); / ( - 2);

1 * 0,l;/(x +

+ á), x / 1- h. 1.2.3. Sendo /( x ) = — (x ± 0), achar 2/(4)- / ( ! ) - / ( 1); |/ ( x - 1)|2. X 1.2.4. Sendo /(x) = x3, achar /(x + h); f(x + h)- f{x);

+ ^ h

h * 0.

1.2.5. Sendo /(x ) = x + /

1 \

x / 0; / ^ x - —J» x *

(x / 0), achar /(1). /( - I) ; f(w); f ^ x + — 1»-1; */( *)-./(!)•

1.2.6. Uma função definida num conjunto simétrico com relação a 0 diz-se par se/(x ) = /(- x ) c impar se/(x) = - f ( - x ) para todo x do conjunto. Quais das funções seguintes são pares e quais são ímpares? a) /(x ) = ex; b)/(x ) = x; d) /(x) = x2 + J 1 + x2; c) /(x) = x2; ' 1

e) f(x) =

ex + e'

<

0 /(*) = <

X 0

g ) / W = |x | ;

h ) /( x )

X *

0,

x = 0;

xixi.

Qual o aspecto geral do gráfico de uma função par(ímpar)? 1.2.7. Seja / uma função definida num conjunto simétrico com relação a 0. a) Mostre que a função /(x ) + /(-x ) é par e que /( x ) - /( - x ) é impar. b) Exprima / em termos das funções do item a) e conclua que toda fun ção /, como acima, é soma de uma função par e uma função ímpar. 1.2.8. Prove que o produto de duas funções pares ou impares é uma função par. O produto de uma função par e uma ímpar é uma função ímpar. 1.2.9. É dada uma correspondência y = f(x) entre números. Quer-se saber

11

preliminares

e diz: achar o domínio de y = /(x). Achar tais conjuntos nos casos a seguir.

a) y = J X + c) y = y / x ;

2;

b) y = x; d) y = n / - x ;

e) y = — ;

0 y=

X

g) y = N/x ^ -2 x + 1; i) y = y ^ 2 + 3x - 2 ; i) y = i - x 2 + y x 2- 1 + — — - .• x -1 ___

y

.

1

1 f h) y = y x2 + x + 1; j) y = y 1 - X2 + y x2 - 1; m) y = ln x;

X- 1

. o) y « ln (x + y 1 + x 2); n) y = In— — ; x+ 2 p) y = ln [log10 (x2 - x - 2 ) - 1]. (Para os últimos quatro exercícios, você precisa recordar algo sobre logaritmo.) 1.2.10. a) Se f{x) ~ ax + b e ^(x) = cx + d, então o gráfico da função /(x) + 0(x) é uma reta. b) Esboce o gráfico de f x(x) = x + 1, / 2(x) = |x + 11, /j(x) = 2x -1 , / 4(x) = 12x - 11. c) Esboce o gráfico de ft(x) = |x + 1| + |2 x - l |. 1.2.11. Dado o gráfico de /(x) (Fig. 1-14), achar o gráfico de /(x) + c. onde c é um número.

Figura 1-15

1.2.12. Esboce o gráfico dc a) /(x) = x 2 + 1; c) f[x) = sen x -( 1 : 1.2.13. Dados os gráficos de /(x)

b) f(x) = x2 - 1; d) /(x) = x + 4. g(x) (Fig. 1-15), achar os gráficos de

12


1.2.1. A Fig. 116 é o equema de uma bate í e foç  lctromotriz £ = IV, conectada a um resistor de resistência variável r. Sabendo que 0 < r ^ 4 (unidade: ohm), achar o gráfico da corrente I em função da resistência r. Figura 1-16

1.2.15. Um ponto descreve um movimento retilíneo com velocidade escalar constante igual a 1/2 m/s. Dar o gráfico do espaço percorrido em função do tempo (suposto variar no intervalo 0 ^ t < 3, t em segundos). Qual o significado da velocidade no gráfico? 1.2.16. Dos gráficos a seguir (Fig. 1-17), dizer quais podem ser gráfico de uma função. 4 y k 4 >’

x ky

4

Jl C)

X

4

A M O d)

X

e)

Figura 1-17

1.2.17. Esboce o gráfico de * a) f(x) = x + |x|; C) f(x) = - 1* I•' 1 o e) f(x) = (x* 1); |x-l| 1.2.18. Esboce o gráfico de 0 se x < 0, a) /(x ) =•{ 1 se x = 0,

b) /(x) = x - |x |; d) /(x) = -pj(x ^ 0); 1*1 0 /(x) = x|x|.

.b ) /( * > - £ (2x

se se

x < 1, x > 1;

13

preliminares

 < 2, e  se -2 < x < 0, c) /(x ) = < 2 x + 2 se 0 < x; se se d) /(x ) - < 0 x - 2 se X2- X

x s* 1. 1 < x ^ 2, x > 2.

1.2.19. Dado um número x, sabe-se que existe um único número inteiro n tal que w < x < n + l * . Indica-se [x] = n, ou /(x) = n. Esta função é chamada função maior inteiro. Esboçar seu gráfico. Exemplo. 1(0) = 0, /<1) = 1, /(0,5) = 0, 1(,) = 2, /(-0,5) = -1. *1.2.20. Esboçar o gráfico de 1 + í_1)M a) f (x) = ---(x ^ 0); b) /(x ) = [x2]; c) /(x) = x - [x]. ------

1.2.21. a) Desenhe o gráfico de /(x) = x e a seguir, o gráfico = / ( x - 1) = x - 1. b) Idem para /(x ) —x2 e F(x) = /( x - 1 ) = (x -1 )2. c) Idem para F(x) = /( x + 1), / como em a) e b). d) Dado o gráfico de / (x), desenhe o gráfico de F(x) = f ( x é o domínio de /, qual é o domínio de F? 1.2.22. Dizer quanto vale a) |-3|; b) |3|; c) |«|; e> |-2|*; g) |-x2|; 0 Iv-21 D 12—3 1; i> l- x /2 1 ; j) H l l ; P) |(-2)(-3)|; n) |-|2| + |-1||; o) ||2| + - il

de F(x) =

+ a). Se A

d) h) m) q)

|(-2)2|; |(-x)2|; j3 —2 1; |(~2)3|.

1.2.23. Mostre que |x | ^ 0 e que |xj = 0 se e somente se x = 0. 1.2.24. Se a > 0. existe um único número b > 0 tal que b = a**. Esse número b é indicado J~ a. Define-se y õ = o. Então yj~ã ^ 0 e ^ /a = 0 se, e somente se, a = 0. a) Perguntamos: ^ /x 2 = x é verdadeiro? b) Teste sua resposta para x = -1. c) Prove que ^ /x 2 = |x| e que |x |2 = x2. •Veja Exer. A.4.7.. Apêndice A.

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d) Pove que y f x J~y = J~xy ( x,y ^ 0) e que e) Pove que |y| —|| || e que f) Pove que

—7= (  0). V *

\_

( * 0).

X



y

1.2.25. Acha os valores de x tais que a) y f x  = x; c) y j x - x + 1 = 1 - x ; 1.2.26. Idcm para

b) yj (x - 1)2 = x - 1; d) J l ? = x2.

a) |x + l | = |x - l|; c) |x - 11= 12x + 3|; e) jx 1 j2 = |2x + 1|;

b) |x| = |x + 7|;

d) jx - 1|2 = 12x —11; 0 jx | = x 2 + 1.

1.3. DISTÂNCIA ENTRE NÚMEROS Graficamente, os números podem ser representados pelos pontos de uma reta. Escolhem-se dois pontos distintos da mesma, um deles repre sentando 0; o outro, 1. A distância u entre estes pontos servirá de unidade de medida, com a qual se localizará, para cada número, um ponto da retarde maneira óbvia (veja figura). Â esquerda de 0. marcamos os números nega tivos: à direita, os positivos (Fig. 1-18). u

u/ u/ x- x--*

* -----.......... ................

f _______ I__________I------------- 1

- 3 - 2 - 1 0

_________ I

1

2

I____ I___ l _________________

3 | 4 3,5

Figura 1-18

Devido a essa representação, costuma-se referir a números como sendo pontos. Considere agora dois números x e y c suas representações geométricas

u

•*— +-

P i— i--------------- 1 0 1 x  _________ xu

Q

i— y

____________________________________ I

yu

Figu 1-19

A di â ia d de P a Q na unidade de medida u será, no caso da figura, du = yu - xu d = y - x = \ y - x \ . Se teríamos y < x, d = x - y = - ( y - x ) = |y - x |. Em qualquer caso, temos d = \y -x\. Tomaremos esse número por definição de distância entre x e y. Portanto a distância de um número a a 0 será |a| (Fig. 1-20). | u !h m--------- *

---------------- 1---------- 1—

0

a

*— '— y --------- 1----------- 1-----------0 a

Figura 1-20

Em geral, costuma-se omitir, no desenho, a unidade u. Assim, teremos: , --------- W---------- -------------- ,

<*-*!

,

1------------------------ 1---------------- 1----------------- 1 a x y 0 Figura 1-21

----

Vejamos agora um resultado importante. Tome números ò > 0 e x0 e represente x0 , x0 - ô e x0 + S (Fig. 1-22). x0 -

à

x

x 0

Figura 1-22

x0 +

ô

16

INT RO DUÇÃ O AO CÃLCULO cálculo diferencial

Pela figura, vemos que, para todo x entre x„ - ò e x0 + ô, ou seja, para todo x tal que x0 - 6 < x < x0 + S, a distância entre x c x0 é menor que <$. isto é, | x - x 0| < ô. Reciprocamente, se essa desigualdade e x0 + â. Chegamos, assim, por considerações resultado, cuja prova deixamos para os | x - x01 < ô se, e somente se, x 0 - 6 < x

se verifica, x está entre x 0 - ô geométricas, a este importante exercícios: sendo Ò > 0, temos < x0 + <5.

Aplicação. Achar os números x tais que | x —2 1< 3. Temos Ix —2 1< 3 se, e somente _$e,

isto é,

2 - 3 < x < 2 + 3, -1 < x < 5.

EXERCÍCIOS 1.3.1. Calcular a distância entre os números a) 1 e 2; b) -1 e -2; c) -1 e 2; d) 1 e -2; e) ^ 3 e 0; 0 -J~* e 0; g) J~n e 1; h) -> /* e y /n . 1.3.2. Prove que —|x | < x < |x|. 1.3.3. Com o auxílio do Exer. 1.3.2, prove que - M ~ M < x + y < |x| + |y|. 1.3.4. Seja a ^ 0. Então |x| < a se, e somente se, a < x ^ a. Solução. a) Suponha x ^ 0. Então |x | < a se, e somente se, x < a se, e somente se, -a < x ^ a. b) Suponha x < 0. Então | x | < a se, e somente se, -x < a se, e somente

17

preliminares

1.3.5. U  o o Eer. 1.3.3 e o Exer. 1.3.4, conclua que \x + y \ ^ \ x \ +\y\.

1.3.6. Prove que |x - y | ^ |x| + |y|. *1.3.7. Prove que | x |- |y | C \ x - y \ e | y | - | x | ^ |x - y |. Sugestão, y = {y~x) + x; use o Exer. 1.3.5.

*1.3.8. Prove que || x |- |y || < |x - y |. Sugestão. Pelo Exer. 1 3.4 lomos de provar que - \ x - y \ ^ |x |- 1y| ^ |x —y|,

que é resolvido pelo Exer. 1.3.7. 1.3.9. Usando o Exer. 1.3.4, achar os números x tais que b) |x —4 1< 3; a) |x —11< 2 ; c) |x | < 1; d) | x | < -4; e) | x - j i | < y /n ; 0 |x 2 - l | < 1; g) jx2- l | < 3; h) |x2-2x + l| < 0; i) jx2 - 3 x + 3| < 1; j) j 1 —x | < 1; *1) jx2 —4 1< 2. 1.3.10. Achar os números x tais que

l| + |* 2 |* u ’ 2 1 ;

a) |x + 11> 2;

d)|*

b) | x —11^ | x —2 1;

e) |x —11 + |x —2 1> | lO x- 11;

c) | x —11^ 12x —4 1;

f) |x + 1| |x - 2 1 *' Recomendamos muito ao leitor que esboce gráficos ilustrando essas inequações. 1.3.11. Dado e > 0, achar o maior 6 > 0 tal que, para todo x satisfazendo | x - x 0| < ô, tenhamos |/ ( x ) - L | < e, nos casos a) e = 100, x0 = 20, / (x) = x. L = 20; L = 4 ; b) e = 1, x0 = 2, /(x) = x2, c) 8 = 1, x0 = 1, /(x ) = J~ x, L = 1.

2 - LIMITE E DERIVADA 2.1. O PROBLEMA DA> TANGENTE A noç o cent l do Cálculo Diferencial é a de derivada. Vejamos um problema no qual intervém esse conceito. Considere a função y = f(x) = x . Deseja-se a equação da reta tangente ao gráfico de /q u e passa pelo ponto P = (1,1) do mesmo. Antes de mais nada, é interessante que você diga o que entende por reta tangente. A experiência mostra que algumas respostas serão as relacionadas a seguir. ”É a reta que tem um único ponto comum com o gráfico da função”. ”É a reta que passa pelo ponto P e mais se encosta (?) no gráfico da função”. “É a reta que passa por P e deixa o gráfico da função de um mesmo lado”, etc.* A primeira e a terceira não são corretas, como mostra a Fig. 2-1, e a segunda é muito subjetiva.

Figura 2-1

x O objetivo desses comentários é fazer que você sinta o problema: sa bemos intuitivamente o que é reta tangente ao gráfico d e/e m P, mas temos dificuldade cm traduzir a idéia matematicamente. Vejamos como se pode conlornar essa dificuldade. Tomemos um ponto Q ^ P, de coordenadas (x, x2), onde x pode ser maior ou menor que 1. Sabemos calcular o coeficiente angular da reta PQ (Fig. 2-2):

19

limite e derivada y

Q

Figu 22

x

1

Indicamo po  () l coeficiente angular para enfatizar a dependência de x*. O que acontece quando Q se aproxima dc P, isto é, quando x se apro xima dc 1? A reta PQ, que c secante ao gráfico da função, tende a ficar tan gente ao mesmo (no sentido intuitivo da palavra) no ponto P. Na expressão de a(x), vemos que, quando x se aproxima de 1, a(x) se aproxima de 2. Em simbolos, lim a(x) = lim (x -I- 1) = 2. (Leia assim: o. limite de a(x) para x tendendo a 1 é 2.) Temos agora uma reta bem determinada: aquela que passa por P e cujo coeficiente angular é 2. E ela corresponde àquela que gostaríamos que fosse tangente, no sentido intuitivo, ao gráfico d e/e m P. Então cessou aqui a nossa dificuldade. Tomamos tal reta como sendo, por definição, a rela tan gente ao gráfico dc /e m P Repitamos a história, desta vez para um ponto P = (x0, x^) qualquer do gráfico. (Fig. 2-3). Temos, para o coeficiente angular da secantc PQ. = x + x0

(x / x0).

20

INTRODUÇÃ O AO CÁLCULO cálculo diferencial

Po o o coeficiente angular da tangente será lim o(x) = lim (x + x0) = 2x0 . X-*JC0 X—XQ Em geral, considere agora uma função y = /(x) e sejam P = (xn. fíx,,)), Q= H x )). Enião o coeficiente angular da secante PQ será (Fig. 2-4): a(x) = / ( * ) - / ( * o) x-x0 Admita que existe lim a(x) = lim

x->xo

X-+XO

X — x

0

Nesse caso, chama-se reta tangente ao gráfico de / yno ponto P à reta que

limite e derivada

21

EXERCÍCIOS 2.1.1. Acha  equaç o da eta tangente ao g  ico da funç o no ponto de ab i  : a) f(x) = 22 5, x = 1 b) /(x ) = x  + 1, x = -1; c) /(x ) = 2x + 5, x = -1 ; d) f(x) —x  - x + 1, x = 1; e) /(x) = x - 2x3, x = 1;

0 /(x) = — » x = 2. x 2.1.2. Achar os pontos onde a tangente ao gráfico da função dada é para lela ao eixo dos x: a) /(x ) = x 2; b) /(x) = x2 + 2; c) /( x ) = x3 + 10; d) /( x ) = x4 + 4x. 2.1.3. Achar os pontos onde a tangente ao gráfico da função dada é para lela à reta dada: a) /( x ) = x2, y = 4x + 2; t>) /(x ) =

(x # -1), y = -x; x + 1 . c) /( x ) = x3 + 2, y = 12x - 3 ; *d) /(x) = y i y = — x

22

INT RO DU ÇÃ O AO CÁLCULO cálculo diferencial

Sugestão pa  ), multiplicar e dividir por yf~x + N/ x ^ ; usar o fato de que lim N/ x = >/x^ (veja Exer. 2.3.1, n). x-*xn 2.1.4. a) Achar a equação da reta que passa pela origem e é tangente ao grá fico dc f(x) = x* + 1. b) Idem para f(x) — v/~x- 1 2.1.5. A reta normal ao gráfico de uma função y =/(x) num ponto P do mesmo é a reta normal à tangente ao gráfico da função nesse ponto. Achar a normal nos casos a seguir, onde é dada a abscissa de P, a) /( x ) = x3 + 2x - 1, x = 1; b) /(x ) = y/~jc, x = 4.

2.1.6. Achar a equação da normal ao gráfico de /(x ) = N/ x que passa pelo ponto (0,18). 2.2. DERIVADA Vamos considerar funções definidas em intervalos, os quais serão defi nidos a seguir. Sejam a e 6 números tais que a < b. O conjunto dos números x tais que a < x <6, representado por (a,6) ou ]a,ò[, é chamado intervalo aberto de ex tremos a e b. Se escrevermos a ^ x ^ 6, teremos um intervalo fechado de ex tremos a e 6, que será indicado por [a,6]. O conjunto constituido de um só número será considerado intervalo fechado. Os conjuntos dos x tais que « j ^ x < 6 e a < x < 6 são chamados in tervalos semifechados de extremos a e b c indicados, respectivamente, por [a,6) e («i,6]. Também se usam as notações [a,6[ e ]«r,ò], respectivamente. Tomo agora um número c. O conjunto dos números x tais que x > c (ou x > c) diz-se um intervalo infinito. Este mesmo nome é dado ao con junto dos x tais que x < c (ou x ^ c). Vamos considerar o conjunto de todos os números como sendo um intervalo infinito*. Qualquer um dos conjuntos acima serão referidos como intervalo quando o tipo for irrelevante. Convém considerar os intervalos infinitos dados por x > c e x < c como abertos, bem como o conjunto de todos os números. *As vezes, certos abusos de linguagem serão cometidos, para simplificar a ex posição. Por exemplo, diremos “o intervalo x ^ c” querendo nos referir ao intervalo

23

limite e derivada

a

a Fechado b

Aberto b

a Semi-fechado b

a Semi-fechado b

f

Infinitos<

Figura 2-5

Um ponto x dc um intervalo / chama-se ponto interior de I* se x per tence a algum intervalo /, aberto contido em /. Por exemplo, seja / = [a, 6]. Então todo x tal que a < x < b é ponto interior de /, como vemos na Fig. 2.6. Figura 2-6

«.

a

b

Por outro lado, a não é ponto interior dc I — [o, b), uma vez que todo in tervalo aberto ao qual x pertence contém pontos fora de /. A tabela seguinte é feita baseada na definição de ponto interior. Espe ramos que você a entenda. O conjunto dos pontos interiores de um inter valo / é chamado interior de I.

Intervalo I

ia,b) [a,h) (a,b]

Interior de i M ) (a,b) (a,b) (a.b)

.

Todos os números Todos os x > c x < c x > c x < c números

x > c x< c x ^ c x < c

*A definição pode ser dada de maneira mais geral tomando-sc um conjunto

24


Sea ago  / uma função definida num intervalo e x0 , um ponto interior do mesmo. O quociente /( x ) - /( x 0) x - x 0 chama-se razão incrementai de f no ponto xfí relativamente ao acréscimo x - x0 . Se existir lim /( * ) - /( x 0) x -x 0 ’ . . J . df a esse numero, indicado por f (x0), ou — chamaremos de derivada dx *0 de f em x 0 . Diremos então que / é derivável em x0 . Convém dizer o que se entende por função derivável num intervalo /. Se o intervalo é aberto, não há problem a:/ será derivável em 1 se for deri vável em todos os seus pontos. Se I não for aberto, por exemplo, I = [o, b), então / será derivável em / se for derivável no seu interior, e, além disso, existe /( x ) - /( a ) lim -------------- ? x-»a + x - a símbolo esse que expressa o fato de x tender a a por valores maiores do que a. Esse número costuma ser chamado de derivada à direita de / em a (veja Ex. 2.3.5). As definições para os outros casos são óbvias e, por isso, são deixadas para a imaginação e paciência do leitor. Notas. 1) Você não deve perder de vista o significado geométrico da derivada. Se/é derivável em x0, isso significa que seu gráfico admite reta tangente em (x0,/(x0)) e, portanto, deve scr suave nesse ponto, de acordo com o que vimos em 2.2. Além disso, /'( x 0) é o número adequado para ser o coeficiente angular dessa tangente. Assim sendo, deve-se esperar que, se o gráfico de uma função apresenta “bicos”, tal função não é derivável nos pontos correspondentes (Fig. 2-7). 2) As manipulações algébricas às vezes se simplificam pondo h —x - x0 (.’. x = x0 + h). Nesse caso, /(x 0 + h) -/( x 0) /'(x 0) = lim

»-0

como é fácil intuir* (faça uma figura). Você deve saber lidar com as duas formas vistas.

25

limite c derivada

f não é derivável em

/ é dcrivável em x0 (suavidade)

.v0 (existe “bico” em x0) Figura 2-7

Se i4 c o conjunto dos pontos onde / é derivável, a função que, a cada x de A associa /'(x), recebe o nome de ( função) derivada de /, a qual c indicada por / ' ou

-j-- Observe que, para o cálculo de f'(x\ é cômodo escrever

/'(*) = Exemplo 2.2.1. Achar a derivada de y = f(x) = ax + b (Fig. 2-8).

Temos f ( x + h)-f(x) f'{x) —lim A-*0 h — lim ^ - lim a fc—o h (i-o

.. o(x + h) + b - ( a x + b) lim ------------- ;---------------h-*0 h

a.

b x Figura 2-8

Figura 2.9

O resultado confirma a intuição: qualquer reta tàngente ao gráfico de / coincide com o mesmo. Em particular, se a = 0, a função é constante e qualquer tangente a seu gráfico é paralela ao eixo dos x, como vemos na

26


Você podería também fazer assim: f(z) - f ( x ) _ iim flZ + b-(ax + b) f'(x) = lim z-*x z - x z-x z-x

lim a = a. 2

X

Nota. Costuma-se escrever, numa escrita abusiva mas cômoda, assim: (ax + b)’ = a. Exemplo ... Calcular a derivada à direita e a derivada à esquerda no ponto 0 de y = f( x) = |x| (Fig. 2-10).

Figura 2-10

Temos /(O + h)-f(0) h

|0 + 6 | - | 0 | h

h

Se h > 0, então \h\ = h, e portanto a derivada à direita em 0 é /(O + fc)-/(0) f h l im --------- ---------- = lim — = 1. *-*0+ h h~*o+ h Se h < 0, então \h\ = -h e a derivada à esquerda em 0 é /( 0 + h) ~/(0) lim h-*0 — h

lim - — *-»o- h

1.

Interprete os resultados geometricamente! Exemplo 2.2.3. Um ponto descreve um movimento tal que a sua velo cidade escalar é dada por

t*í)

1 t+ 1

0 ^ 0).

27

limite e derivada

Temo  1 1 v(t + Aí) - 1>(0 t + Aí + 1 í + 1 lim ----------- --— a(t)  lim àt—O Ãr jf-*o Aí -A í = lim át-*o Aí(í + Af + lKí + 1) -1 1 = lim j»-»o(í 4- Aí + lXí + 1) (í + 1) -----

EXERCÍCIOS 2.2.1. Achar a derivada de /(x) = a) x + 3;

b) x2 - 2x;

c) x3 + 7x2;

d) -1- + x2; x

e) y / x - l ; *2.2.2. Achar a derivada de /(x) = y x num ponto x0 ^ o. Sugestão, x - x0 = (^/x)3- (^ x ^ )3 =

+ Usar o seguinte fato: lim ^f~x = X-Xo

+ ( ^ g 2]-

[veJa Exer. 2.3.1 (/)]. #

2.2.3. Achar a derivada da função maior inteiro nos pontos onde ela é deri va vel (veja Exer. 1.2.19). 2.2.4. Achar os pontos onde existe a derivada de /(x ) = x - [ x ] . 2.2.5. Desenhar o gráfico de /', sendo dado o gráfico de /, nos casos mos trados na Fig. 2.11. 2.2.6. A função /(x ) = x |x | é derivável? Caso positivo, dar /'.

28


2.3. LIMITE* A noç o de limite foi considerada como intuitiva na definição de de rivada. Vamos falar um pouco mais sobre essa noção. Na realidade, vamos defini-la precisamente, mas suas propriedades não vão ser provadas agora. Se você não gosta disso, vá ao Apêndice B, onde as demonstrações estão feitas. As considerações que se seguem têm a finalidade de motivar a definição de limite. Observe os gráficos da Fig. 2-12. O que sucede com/ (x) quando x se aproxima de x0 , mantendo-se porém diferente de x0? Vemos que / (x) se aproxima do número Lnos casos (al (b> e (c). ao passo que/(x) não se aproxima de nenhum número nos casos (d)eíe)**. Então, nos três primeiros casos, du-sc que o limite de /(x) para x tendendo *A matéria a seguir, até o Lx. 2 3 6. inclusive, pode ou ser postergada, ou ser omitida, conforme o critério do professor. **Convém esclarecer o que sucede no caso (e). O gráfico da funçào passa a “vibrar” cada vei mais intensamente à medida que se aproxima da reta x = x0 . No caso (d), quando x se aproxima de x0 pela direita,/(x) se aproxima de um

29

limite e derivada

Figu 212

a 0 é L, e escreve-se (1)

üm /(x ) = L.

Nos outros dois casos, dizemos que tal limite não existe. F. importante observar que não nos importa o que sucede no ponto xn. mas sim o que acontece com f(x) para x nas proximidades de x0. Veja que, no caso (a),/nem está definida em x0*; no caso (b),/está definida em x0 . mas f(x„) ^ L: c no caso (c), aconteceu que f(x0) = L. O que desejamos agora, e isso é difícil, é exprimir em linguagem mate mática o fato expresso por (I). Em outras palavras, "fabricar” uma defi nição de (I) que corresponda à nossa intuição. Vamos ver se você concorda que, ao escrever (I), estamos pensando em algo assim: (II) "f(x) deve ser arbitrariamente próximo de L para todo x suficiente mente próximo de x0 (e diferente de x0)”. *Já no caso da derivada, temos esta situação:

f'(x0) = lim ç»(x),

onde

ç>(.x) =

/(*o )

x ~Xo

30

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO cálculo diferencial

Se assim for, teremos agora o problema de como exprimir “proximidade arbitrária” e “proximidade suficiente”. Mas isso é simples: pense em um número £ > 0, arbitrário. Os números /(x) tais que L - c < /(.x) < L + £ distam de L menos do que £, pois vimos (Sec. 1.3) que essas desigualdades são equivalentes a |/ ( x ) - L | < £. Portanto dizer que/(x ) é arbitrariamente próximo de L é o mesmo que dizer isto: dado £ > 0, temos |/ ( x ) - L | < £. Podemos então refrasear (II) da maneira que segue. (III) “Dado £ > 0, devemos ter | /( x) - L | < e para todo x sufícientemente próximo de x0, com x ^ x0”. Por outro lado, dizer que x é suficientemente próximo de x0 para que |/( x ) - L | < £ significa dizer que a sua distância a x0 é suficiente para que isso ocorra, ou seja, existe <$>0 tal que, s e | x - x 0| < á e x 5* x 0 . então |/ ( x ) - L | < e. Em suma, dando £ > 0 qualquer, você fixa a proximidade de /(x) a L. Então deve ser possível, se é que (I) subsiste, arranjar <5 > 0, em correspondência a £, tal que, para todo x ^ x0 cuja distância a x0 é menor do que ò, tenhamos a distância de /(x) a L menor do que e. Podemos agora refrasear (III) de uma maneira bastante interessante. (IV) “Dado e > 0, existe ô > 0 tal que, para todo x satisfazendo | x - x01 < ô, x # .x0 , verifica-se \ f ( x ) - L \ < c." Observe que (IV) pressupõe que o domínio de / contém os pontos do intervalo (x0 - ó, x0 + <5) com eventual exceção de x0 . Passemos a limpo a nossa discussão, dando precisamente a definição de (I). Seja x0 um ponto de um intervalo (a, b) e L, um número. Seja / uma fun ção cujo domínio contém os pontos do intervalo, com a possível exceção de x0. Dizemos que o limite de f (x) para x tendendo a x0 éL.e escrevemos lim / (x) = L

* x o x -

se dado £ > 0. existe 6 > 0 tal que 0 < | x - x o| < ó

implica

|/(x)-L |<£.

Nota. Caso subsista (I), costuma-sc dizer */(x) tende a L quando x tende a x0”; ou “/(x) se aproxima de L quando x se aproxima de x0”; ou “existe o limite de/(x)

limite e derivada

31

Vamos examinar um exemplo de construção geométrica que ilustra a noção de limite. Observe a Fig. 2-13, onde são dados / x0, L, e.

É claro que lim /(x) = L. Dado e, trata-se agora de achar ô como na definição dada. Fazemos o seguinte: marcamos L + e e L -e no eixo dos y e por esses pontos traçamos paralelas ao eixo dos x, que encontram o gráfico d e /e m A e B. Traçando paralelas ao eixo dos y por esses pontos,

32

INTRO DUÇÃO AO CALCULO cálculo diferencial

obte emo  o ponto  C e D, inte eçõe  e eta  om o eio do  .  oma  6 > 0 tal que x0 -<5 e x0 + <5 sejam pontos do segmento CD. Ob serve que ô não é único. Em geral se toma o maior ò possível, como foi feito na Fig. 2-14. Nota. A construção geométrica vista nem sempre é possível, como veremos em exemplos. Às vezes, uma variante da mesma dá resultado, como é o caso ilustrado na Fig. 2-15.

Figura 2-15

Exemplo 2.3.1. lim(2x-4) = 2 jc-*3

Dado £ > 0, podemos efetuar a construção geométrica que vimos (veja Fig. 2-16).

Considerando o triângulo M NP , temos ò = e ctg a

e, como tga = 2, resulta ò = -y •

33

limite e derivada

Vejamos o que se deve provar. Dado s > 0. tomemos ô - — • Então, £

supondo que 0 < |x-3| < S — — * devemos mostrar que |2 jc —4 —2  < e, isto c, que |2x-6| < e, isto é, que | x - 3 | <

£

Mas isso nós estamos

supondo! Em seguida, escreveremos a solução de maneira ordenada, para que você fique tranqüilo. €

£

Dado e > 0, tomemos <5 = — • Supondo 0 < | x - 3 | < ó = — >resulta 2 1x —3, < e |2x - 6 < e |2x - 4 —2 1< e. lim (2x-4) = 2.

isto e.

Jt-»3

Sabe como adivinhamos as passagens? Basta escrever as desigualdades que estabelecemos no início em ordem inversa da ordem em que aparecem. Uma outra maneira de resolver o problema é a seguinte: temos, por hipótese, 0 < | x —3 1 < —

3-

£ -

<

X

< 3

£ + y

6 - £ < 2x < 6 + £ 2 - £ < 2x - 4 < 2 + t -E < 2 x - 4 -2 < £ |2x 4 - 2 1 < *

(X

3)

(X

* 3) 3) 3) 3).

(X (X (X

Nota. Seja (Fig. 2-17) 2 x - 4 x # 3, 0M x = 3. - { í Observe que, como supusemos x / 3 no cálculo anterior, ficou provado que

34


X

Dado e  0, efetuamo   on  uç o geoméica efe ida no eemplo anterior c obtemos o resultado apresentado na Fig. 2-18.

Para obter a, observe que j (a) = 1 + £. isto é. — = 1 + e a

a = —-— 1+ «

Do mesmo modo, obtemos b = Aqui estamos supondo e < 1, o que 1- £ nào constitui inconveniente (por quê?). E fácil mostrar que, entre os números b - 1 e 1- a, o menor é 1 - a = -----

Portanto 6 =

deverá servir. De fato, dado e > 0, tomemos

35

limite e derivada

<5 = -

ix - i

e uponhamo  0  | - 11  6  - Devemo  p ova  que < e ou seja, que 1 1+ e

-

1 1 -£

------< x < -—

Mas temos, por hipótese, que (Fig. 2-19) 0 < |x - 1 <

1+ £

ou seja, que 1 £ < x < 1 + —— 1+ £ 1+ £

(x # 1)

£ 1 e, como 1 + < ------ (prove!), resulta da hipótese que 1 + £ 1- £ ------

1 1 < x < ------ > 1+ £ 1 -£

------

que é a tese. x varia aqui por hipótese

----------------- *

Figura 2-19

1 1+ e

-i

----------------- 1

1 +.I+£

1 - e"

Esse exemplo já faz prever que o procedimento baseado na construção geométrica deve oferecer, para funções relativamentc simples, dificuldades de ordem algébrica. Existem expedientes que evitam isso em certos casos, mas exigem mais raciocínio. Veja, por exemplo, a solução que segue. 1 £ Dado £ > 0, seja ô o mínimo entre — e — • Então, supondo 0 < |x —1f < < â, virá

36


U  mo o fato dc que,  |  1‘  ò $

ento  

como é

fácil provar; logo, — < 2. x Nessa segunda solução, a escolha de ô não cai do céu. Observe: que remos que

1 — X

nha 6. Então

==

1

1 -x

seja menor que e. Suponha que você já te-

X

1- x

Como x está em denominador, devemos con

seguir um número c tal que |x| > c. Nesse caso, 1 —x

x

6

6

< c '

Finalmente, sc você tomar — < e isto é, ô < cs. a história está terc minada. No caso, tomamos ô <



garantindo, assim, que x = |x | > —



(veja Fig. 2-20). Figura 2-20

_________ ,

1/2

r

. \ x 1

X

~

______

Exemplo 2.3.3. lim x 2 = 4. x * 2

Tente o procedimento como no Ex. 2.3.2 verá como a coisa se complica. Em vista disso, tentaremos uma solução nas mesmas linhas que a anterior. Dado £ > 0, queremos achar 5 > 0 tal que |x 2 - 4 | < e. Suponha que já tenhamos ò. Então |x 2 —4 1= |(x —2)(x + 2)| < á |x + 2|, e vemos que precisamos achar um número c tal que |x + 2| < c. Daí, se £ 6 for escolhido de modo que òc ^ £, isto é, õ < — » então teremos proc vado a asserção (Fig. 2-21). ô 8  * Figura 2-21 ~ ' f- > r \— ------

37

limite e derivada

Vemos que, se tomarmos <5^1, teremos |x + 2| < |x| + |2| < 3 + 2 = = 5, e poderemos tomar c = 5. Impomos também <5^- = c 5 Apenas para pôr ordem na casa, vamos recapitular: Dado ? > 0, seja ò > 0 tal que <$^ 1 e ô ^ y |p o r exemplo, seja <5 o mínimo entre 1 e y ^ - Então, s e 0 < | x - 2 | < á , temos |x 2 - 4 |

= ](x-2K x + 2)| ^ <5-5 ^ y - 5 = s.

Exemplo 2.3.4. lim c = c*. X-*Xo

Pela Fig. 2-22, vemos que, dado e > 0, podemos tomar qualquer ô > 0. De fato, |c- c\ = 0 < c para todo número x; em particular para lodo x tal que 0 < | x - x 0| < ò.

Figura 2-22

Observe que, nesse caso, não se pode efetuar a construção geométrica vista no Ex. 2.3.1. Exemplo 2.3.5. (para introduzir a noção de limite lateral). x Considere a função f(x) = -;—r (x # 0). M

Pergunta: existe lim f(x)l X~* A resposta é não, e é dada por simples inspeção do gráfico da função, que se acha na Fig. 2-23. s dize li

d

fu

definida

f(x)

para todo x.

38


y 

0

x

1 Figu 223

Ob e e que, quando x e ap oima de 0 pela direita, / (x) se aproxima de 1 e, quando x se aproxima de 0 pela esquerda,/(x) se aproxima de -1. O número 1 é chamado limite de f(x) para x tendendo a 0 pela direita, e -1 é chamado limite de /(.t) para x tendendo a 0 pela esquerda. (Esse con ccito já foi usado na definição de função dcrivávcl num intervalo e no Ex. 2.2.2.) Os números -1 e 1 são chamados limites laterais de /(x) em 0. Deixamos para você a tarefa de definir limites laterais de uma função f. E já que vai fazê-lo, aproveite para mostrar que existe o limite de /(x) para x tendendo a x0 se, e somente se, existem e são iguais os limites late rais de /(x) em x0 . Notação para os limites laterais: lim f{x) X-*XO+

(x tendendo a x0 pela direita);

lim /( x) X-*XQ~

(x tendendo a x0 pela esquerda).

Exemplo 2.3.6. lim ^ / x = 0. jc-»0* Dado e > 0, marcamos os pontos sobre o eixo dos y correspondentes a £ e -e. (Fig. 2-24). Queremos achar ó como está indicado na figura. Então

v/ ú = £,

e

ô = e.

Formalmente: dado £ > 0. tomamos ô = e. Então, supondo 0 < x < < ô = e 2, vem 0 < yj~x < £, e portanto |^/x-Ol < e, o que mostra a a firmativa. Uma vez discutido o conceito de limite, faremos agora uma relação de suas propriedades, que serão utilizadas no estabelecimento das fórmulas de derivação. As provas dessas propriedades serão dadas no Apêndice B. Não se preocupe com isso. Procure se convencer geometricamente dos

39

limite e derivada

LI  (Unicidade do limite). Se f ( x ) tende a L quando x tende a x0, c f(x) tende a M quando x tende a x0, então L = M. Suponha L ¥ M: f (x) deve se aproximar simultaneamente de L e de M quando x se aproxima de x0 e, nesse caso, como mostra a Fig. 2-25, / deixa ria dc ser função.

Figura 2-25

L2 —(Conservação do sinal). Se lim /(x) = L ^ 0, então existe um inX - * X Q

tervalo aberto contendo x0 tal que para todo x # x0 do mesmo /(x) tem o mesmo sinal de L. A interpretação geométrica desse resultado c óbvia; a demonstração é tão simples que vamos fazê-la aqui.

40


|L | < ^ — 2

\L\ \L\ < ô implica \ f ( x ) - L \ < ~' >sto c» L — — <

^ essa

relação obtemos, sc L > 0, que 0 < —
2

2

< /( *) < y <0. Gostaríamos muito que você descobrisse por que a escolha e = funcionou na prova. Comece por fazer uma figura. Se / e g são funções de domínio A e k é um número, indicaremos por / + y, -y. kf, fg , — » funções de domínio A dadas por 9 ( / + flXx) = /(*) + »(*); (_í?Xx ) = -g(x);
M

fl(x) onde supomos, no último caso, g(x) / 0. Define-se ta m b ém /-^ = f + (-g) e, portanto, (f-g)(x) =f(x)-g(x)*.

L3 - Se lim / (x) = L, lim g(x) = M, então 1) lim ( / -I- g)(x) = lim f(x) + lim g(x) = L + M ; . X-+XQ

X-*XQ

X ~ * X q

2) lim (fg)(x) = lim /(x) lim g(x) = LM; X - * X Q

X — Xo

X-*XO

L / f \ 3) lim ( — )(x) = x° , , = — ’ supondo, nesse caso, M ^ 0. V g J lim $(x) M Corolários. Nas hipóteses de L3, temos 1) lim k f (x) = k lim /(x) = k L ; 2) lim (/-pXx) = Üm f ( x )- lim g(x) = L-M. X-*X Q

X — Xo

X - * XQ

L4 —(Teorema do confronto). Se lim g(x) = lim h{x) = L e se/é tal *-*Xo

X

JCo

que g(x) < /(x) < h(x) para todo x de um intervalo que contém x0, com eventual exceção de x0 , então lim f(x) = L (Fig. 2-26). • *

JC“ * JCo

*Às vezes, a função que a x associa /(x) + g(x) será referida como ‘a função

41

limite e derivada

Figu 226

Intuitivamente, o eultado é evidente: h(x) e g{x) se aproximam de L quando x se aproxima de x0 e, co m o /é espremida entre h e g à medida que x se aproxima de x0 , não há outra saida senão / (x) se aproximar de L. L5 - Seja / uma função, e x0 , um número. Suponha que, num intervalo aberto contendo x0 , verifica-se /( x ) ^ 0 para todo x desse intervalo, com a possível exceção de x0 ; então, supondo lim / (x) = L, temos L ^ 0. JC- * X o

Corolário. Sejam f e g funções, e v0, um número. Suponha que, num intervalo aberto contendo x0, verifica-se /(x) ^ g(x) para todo x desse intervalo, com a possível exceção de x0 . Então, se

lim /(x) = L

x~* x o

e

lim ^(x) = M , x - » x o

tem-se L ^ M. Com essas propriedades, você pode agora justificar os cálculos de 2.2. Exemplo 2.3.5. Se p é um polinômio, então

lim p(x)

p(x0)

42


Sea p() = anx " + a , . 1 " '1 + • •• + a ,x + aQ. Como lim x = x0 [veja X — .Xo

Exer. 2.3.1(a)], temos, por L3(2), que lim x 2 — lim x ■ x = lim x lim x = Xq ; X-*Xo

X-*X0

X - + X Q

X-*X O

repetindo-se o argumento, vem que lim x' = xj, ' (i = 0,1 ,2,...) X

Xo

e daí, ainda por L3(2) lim atx' = a. xjj. X ^ Xo

Então, usando L3, temos: lim p(x) = lim (a^x" + (/„_, x" 1 + • • • + a,x + a0) = X — XO

x

xo

•

= lim anxH + lim an , x"_1 + • •• + lim ajX + lim a0 = X-»X0

X-»XO

X - > X Q

= a« A + a « - 1 * ô ~ 1 +•

X-X o

•• + «1 x o + a o =

= p(x0). Exemplo 2.3.6. Se r é uma função racional, isto é, quociente de dois polinômios, digamos,

e x0 não é raiz de q, então lim r{x) = r(x0).

x-»x0

Isso é imediato de L3(3): lim p(x) lim r(x) = lim ® = x-*X0 X->X0 q{x) lim q{x) X

X q

p(x o) íí-xo)

^ xo)-

Exemplo 2.3.7. (Um exemplo importante; veja a nota feita após o Ex. 2.11.) Calcular

lim

x2 - 4

(x * 2)

43

limite e derivada

Hra primei ro luga r, lim (  2) = 0, e então. [L3(3)] não se aplica. x -> 

*

Chamemos de / a f unção definida po r  2 — f(x) = — -Z U # 2).  2 , 2   (2)( + 2) . Temo s j ()  ----- — ---------——    2, pois  / 2.  2  2 Consideremos ag ora a f unç ão g(x) =  + 2 definida no conunto de todos os nú meros (Fig. 227).

Temo s / ^ g laramente (elas estão definidas em conunto s diferentes). Sabemos pelo Ex. 2.3.5 que lim 0(x) = g() = 4. Isso quer dizer o scx~*2

guinte: dado c > 0, existe <5> 0 tal que 0 < |x - 2 1< <5.implica |x + 2 - 4 1< Mas o que está escrito acima é exatamente isto:

lim /(x) = 4

x-2

(lembre-se de que 0 < |x - 2 | implica x ^ 2). Na prática, procede-se assim: lim í l l i = lim (X- 2KV x —2 X ~ X ~ 

x-2

2) = lim (* + 2) = 2 + 2 = 4. x-2

x2 - 4 deve-se ter O estudante estranha esse procedimento porque em x -2 x # 2, mas, na terceira passagem, substitui-se x por 2. O que está escrito é uma abreviação do seguinte: li / (x)

x2 —4 li ^

li g(x)

g(2) = 2 + 2 = 4.

44


Nã o se co st uma deta lhar o cá lulo assim, mas é impo rtante saber o que está s fazendo.

1 é intei ro. (A indicaç ão (")' Exemplo 2.3.8. Ca l ular (")\ onde é uma forma ab reviada de f'(x), onde f(x) = \) Temo s /(   h)-f(x) (  h f - x T h ~ h ~ ("  CHtlx ”~l h  C„ xn~h    /i")" ’ h ~ = Cn. i X " '  CHx” h    hn~l : .m



*»o

 C. ,    n x - ' ‘

n

Logo, í"V  nx"-1. Mais tarde (no 2.° volume), provaremos que (x“)' = ax*-1 para qualquer número a (memorize e use nos exercícios!). Nota. Subsistem propriedades referentes a limites laterais análogas às pro priedades L1-L5, cujos enunciados e demonstrações requerem apenas simples adap tações do que foi feito para essas últimas. Por exemplo, um enunciado que corresponde á L3(l) fica assim: Se

lim /(.v) = L,  -

então

Xo

lim g(x) = M, x

lim (/(x) +

*0

g ( x ) )

=

L

+

M .

X — X q

EXERCÍCIOS 2.3.1. Calcular pela definição: a) lim x; X  * X Q

c) lim 2x; jc - * j í o

e) lim f(x), *-»i f) lim x 2;

b) lim /(x), onde /(x) = j * ^ x * x ° ’ (0 se x = x0 ; x~xo d) lim (ax + b); X-»XO 2x se x < 1, onde /(x) = 4 x - 2 se x ^ 1; ’ xJ se x > 0, g) lim/(x), onde f(x) =

{

45

limite e derivada

h) lim f(x), x - 0

onde

/()

se x ^ 0, j x  (0,0 lx se x < 0;

i) li m3 i —o

j) lim x" jc->0

(n natural);

1) lim y jx l ;

*m) lim —

(x0 / 0);

x ->0

X-*XQ

*n) lim J~x

X

(x0 > 0)

X - + X Q

1* Sugestão. | \ Z ^ - \ / * õ l < e se, e somente se, (supondo £ < > / x J x0 + e < x < x0 + eJ~x^ + t 

1^7 x 0 +

-v- 2 e s / ~  ‘ 0 + f.2

Tomar 6 =  z J x 0- e .  “ Sugestão. \J ~ ^ -J ~ x ()\ =

 *~ *  l

J~* 4- J T 0

*o) lim J~x . X~*XQ

2.3.2. Prove que lim /( x ) = L se, e somente se, lim (/(x )-L ) = 0, usanX-»Xo

do apenas a definição de limite. 2.3.3. Calcular a derivada das seguintes funções, justificando cada passagem: a) f(x) = ax + b;

b) f(x) = — ,

c) / ( * ) =

d) /(*) =

;

X

+ e) /(x) = x3; g)/(x) = (x + lKx-4);

+ 1 f) /(x) = x3- x 2» h) f(x) = J~x (x > 0):

i) /(x) = ~^= J x

j) f ( x ) = J~x

X

l

(x > 0);

X

(x # 0).

2.3.4. Este exercício tem a finalidade de mostrar a utilidade do teorema do confronto. Prove que 1

46

INT RO DUÇÃ O AO CÁLCULO cálculo diferencial

(Ob serve que n ã o eiste lim sen — • Isso pode ser provado, mas procure x-0

X

entender o resultado intuitivamente Fig 2-28.) Solução. 1 1 x sen — = \x\ sen — 14 x x Logo, —|x | ^ x sen — ^ | x |. Como lim |x| = 0 e lim (-!x|) = 0, segue-se a afirmação por L4. x~* O

x-> 0

b) lim x 2 sen — = 0; x-0 x c) lim x" sen — = 0 x —O

X

(n = 1,2— );

d) Se / é restrita (isto é, existe M tal que |/(x)| ^ M) e lim g{x) = 0, X—XO então lim /(x)g(x) = 0. x-0

47

limite e derivada

Sugestão. O resultado generaliza a), b), ): \f(x)g(x)\ = | /(  )| |0()| < M |^()| í x )| = | lim g(x)| = 0, lim | /( X

X Q .

.

X -*X o

pela Proposição B.l do Apêndice B. 2.3.5. Calcule -x6 + 2 b) lim *-o 10x7- 2 ’

a) lim ; * »2 X c)

limí.v 3 + x — 2

2x 2 - 3

x

 -4).

2x2 - 3x + 1 o) lim x-»l x -1 x  - a  g) lim jc-.o x2 + 2ax + a ’ x2 - 9 i) lim —r a*-»3 - 3 rx2 - 5x +. 6 x3 + 8 1) lim

d) lim y / 15x ; x — 2

0 lim h—0

(t + h) - t

h 2 -x h) lim — , • . ^ 22 ~ y2 x j )

,.

lim x-»o

m) lim

4 x 3

- 2

x 2 +

3x2 + 2x 8-x3

x

48

INTR OD UÇ ÃO AO CÁLCULO cálculo diferencial

2.3.6. a) Defina limite lateral, conforme foi pedido no texto. x3-l b) Existe lim d) Existe lim T r-1 |x - 1 | *-o |x| + x2 „2

X3 + 8„ c) Existe lim e) Existe lim *-><) x --2 X -2 *2.3.7. Prove que lim /(x ) = lim /( x0 + I?), admitindo que existe lim /(x). * x q x —

h - 0

j c -  x o

2.4. CONTINUIDADE Seja x0 um ponto do domínio A de uma função / Dizemos que / é con tínua em x0 se lim /(x) = /( x 0). X - + X Q

É importante que vocc tenha em mente que, para falar em continui dade num ponto x0, é preciso que esse ponto pertença ao domínio da função. Vejamos qual o significado geométrico da noção de continuidade. De acordo com a definição, / é contínua em x0 se, quando x se aproxima de x0 , / (x) se aproxima de /( x 0). Observe os gráficos da Fig. 2-29. No gráfico (a), quando x sc aproxima de x0. /(x) se aproxima de L # t / ( x0); lo go,/não é continua em x0 . Note que, para que/ fosse contínua em x0, seria preciso que/(x0) = L, isto é, que o ponto (x0 ,/(x 0)) “abaixasse” até se “encaixar” no gráfico de / Nos casos (b), (c), (d),/não c continua em x0 porque nem existe lim f(x). X

* X 

No caso (e), não podemos falar em continuidade no ponto x0, porque esse ponto não pertence ao domínio de /. No caso (f), / é continua em x0 , pois lim /(x) = /( x 0). X - * X o

O mesmo sucede no caso (g). Aqui convém esclarecer o que sucede. À medida que x se aproxima de x0, o gráfico “vibra” cada vez mais, ao mesmo tempo que é “amortecido” (veja linhas pontilhadas). Graças aos teoremas sobre limites, fica fácil provar o que segue. Proposição 2.4.1. S e f e g são contínuas em x0 , então / + g.fy e -- são 9

49

limite e derivada



50

INTRO INT RO DU DUÇÃ ÇÃ O AO CÁLCULO cálculo cálculo difer diferenc encial ial

()  / (  0)  lim g(.\) = g(x0), temos, Prova. Como, po r hipótese, lim / () JC-+ JCO JCO

X — X O

usando L3, lim (/4- 0)(x) = lim f ( x ) + lim g{x) = /(.x0) + y( y ( x0) = (/ + g)(x0); x

 * xn x 

Xo

í í ).. lim {fg)ix) = lim / (x) lim g{x) = f ( x 0)g(x0) (./ /X) /X )g( x0) = (./

lim lim /(x /( x ) lim

lim g(x)

 - ► X o

.Afn) ff(x0 ff( x0))

(Xo)-

 — O

Exe Exercido. S e f e g sào continuas em x0 e k é um número, então -/, j - g, k f são contínuas em x0 . Exemplo 2.4.1. Pelos Exs. 2.3.5 e 2.3.6. vemos que os pojinômios e as funções racionais são continuas em todos os pontos dos seus domínios. Exemplo 2.4.2. Achar a de modo que a função

x3 - 1 x3 /( / ( x ) =<{ x - 1 a

se

x# 1

se

x = 1,

seja contínua em todo x. Para todo x 1, f é claramente contínua (Proposição 2.4.1). Para que / seja conti co ntinu nuaa no po pont ntoo 1, devemos deve mos ter lim f( f ( x ) - /(1) — a ,

ou

X - 1

seja,

x - 1 = a. liim •— x- i x - 1

Mas x3- 1

..

(y - IXx 2 +

X +

1)

l i m ----- - = lim ----------- —— — = x-*l x - 1 x - l x- 1 = lim (x2 (x 2 + x + 1) 1) = 3. 3. Logo, Logo , x— *1

a = 3.

Suponha que uma função / seja eja deri deriváv vável el num ponto po nto x 0 . Geom Geo m etrica mente isso significa, como sabemos, que o seu gráfico admite reta tangente no pon p onto to (x0 , / ( x 0)) e que, porta po rtant nto, o, deve ser Vsuav suave” e” nesse nesse ponto. pont o. K de se esperar então que, ao se aproximar x de x0,/(x) se aproxime de f(x0),

51

limite e derivada

2..2. 2. S e / é derivável em 0, ent ã o f é continua em 0 . Proposição 2.. Prova. Temos, p a ra  /  0 ,

     Í   X 0 ) f ( x ) - f { x o) =    r li m if(x)-f(x0)) = l i m X-+XQ x - x c

X X-+XQ

üm (x-x0) = X — XO

= J" J"{X {X0) 0) 0 = 0

/( .v))  / (  0). .'. li m /(.v x xo A recip roca desse resultado não c verdadeira: se uma função é continua num ponto, ela não tem obrigação de ser derivável nesse ponto. Isso é com preens preensíve ível,l, pois pois pode ocorrer o caso caso de uma função/ tal tal que, que, ao ao se aproxima aprox imarr x dc x0 , / (x) (x) se se aproxime aproxim e dc / ( x 0) c o seu seu gráfico gráfico apresente um bico em ( x0 , / ( * 0)), como com o se vê vê na Fig. 2-30. 2-30.

Um exemplo exemplo concreto concreto dess dessaa situação já é do “folclo “folclore” re”:: /( x ) = |x|. |x |. A fim de enunciarmos outro resultado sobre continuidade, é preciso ensinar a você o conceito de função composta (também conhecido como função de função). Considere a imagem industrial dc uma função / de domínio A c a de uma função g de domínio B (Fig. 2-31); ou seja, pense nelas como máquinas (Sec. 1.2). x de B f - z d e A

Figura 2-31

/

I ./ (')

I {/(-*)

52

INTRO INT RO DU DUÇÃ ÇÃO O AO CÁLCU CÁLCULO LO cálculo cálculo difer diferenc encial ial

Como s a b e m o s,/só aeita na sua ent rada elemento s de A. A. Suponha que o conunto do s valores despejados pela g está contido no conjunto A; isto é, para cada x de B, B, g(x) g(x) pertence a A. A. Nesse caso,/aceita g(x) na sua en trada. Podemos então construir outra máquina, soldando a saída de g na entrad en tradaa de / (Fig (Fig.. 2-32).

Essa Essa máquina, que será batizada de composta de / e g e na qual rotu lamos o símbolo f ° g , se receber x de B, despejará / (g(x)). Formalizando, sejam/e g funções tais que o conjunto dos valores associados pela g esteja contido no dominio de f. A função /<> g, de mesmo domínio que g, dada por (/»3X*) =/(í7(x)) chama-se funçã fun çãoo composta composta de f e g. lê-see “/“/ círculo círcu lo g” ou “/co m p o sta com 'g”. 'g”. fo f o g lê-s Exemplo 2.4.3. a) Sejam as funções g(x) = cosx e /(x) = x3. Temos

cosx) = (cosx) (cosx)33 { f ° 9)(x) =f(g{x)) = / ( cosx) e

 = 9(f(x)) = g{x3) = cosx3. (9 °/ 

Observe Observe qu que, e, nes nesse se caso,/® cas o,/® ^ ^ g o f Portanto muita atenção na ordem: o número ( / o é obtido primeiro primeiro calculand calculandoo g(x) e, depois, calculando / em 0(x) 0(x).. b) Sejam Seja m as funçõ fu nções es
e /(x /( x ) = x 3. Temos

53

limite e derivada

{g°/X) 

9if(x))  g{ g{x3 x3)) = x6

l

P odemo s ag ora enuncia r a pr op opoo sição seguinte, cuja prova está dada no Apêndice B, Exer. B.5. Proposição 2.4.3. Sejam f t g funções tais que existe f ° g . Se g é continua em x0 e / é cont contín ínua ua em em g(xQ), então fo f o g é contínua em x0 . Para o próximo resultado, precisamos de algumas definições.

a) Dizemos que uma função f é contínua num intervalo aberto / se for contínua em todos os seus pontos. Se o intervalo não é aberto, di gamos. / = [a, b),f será continua em / se for continua no interior de / e se lim J( con tinua à direita d ireita em a) a). A dede J ( x ) = f{ f { a) (costuma-se dizer que / é continua

x-* a +

fínição para os outros casos é semelhante. b) Se t (s) é um ponto do domínio dom ínio de uma uma função função / tal tal que. para todo x desse domínio, se tem f ( x ) > f ( t )

(/(*)
então t (s) (s) é chamado ponto de mínimo (má (máxi ximo mo)) d e / e / (í) (/(s) (/(s))) é chamad chamadoo valor mínimo (máximo) de /. Se as desigualdades ocorrem para todo x de uma parte B do domínio de /, t(s) é dito ponto de mínimo mínimo (máximo) de f em B, e f{ f { t ) ( f{ f { s )) é dito valor mínimo (máximo) de f em B. .4.4.. Seja Seja / uma função contínu c ontínuaa num intervalo fechado fechado Proposição 2.4.4 [a, b]. Então existem números s. t de [a. b] tais que, para todo x do mes mo, se tem
54

INTRO INT RO DU ÇÃ O AO AO CÁLCU CÁLCULO LO cálculo cálculo difere diferenci ncial al

Em (a), (b) e (c) n ão existe nem ponto de mínimo nem ponto de máximo. Em (d), existe ponto de máximo, mas não existe ponto de mínimo. Veri fique. em cada caso, quais as hipóteses que não foram cumpridas. Proposição 2.4.5. (Teorema de Bolzano). Se f é uma função continua num intervalo fechado [a. h] e f{a f {a)) j \ b ) < 0, então existe c de (u. b) tal

55

limite e derivada

O re sultado é geometriamente evidente como vemos no gráfico da Fig. 2-35. Como os pontos (a, f(a)) e (b.f(b)) devem ser ligados pelo gráfico de /, o qual é contínuo, um desses pontos está abaixo do eixo dos x, e o outro, acima, vai chegar uma hora em que o gráfico corta esse eixo. Uma prova está feita no Apêndice C.

Corolário. (Teorema do valor intermediário). Se/é uma função contínua num intervalo fechado [a, b], e z é um número entre f{a) e f{b), então existe c de [a,b] tal que f(c) = z (Fig. 2-36).

Prova. Supondo fia) < flh). a função f i \ ) ~ : satisfaz às hipóteses do Teorema de Bolzano. De fato, é contínua, J(a) - z < 0 e f(b) - z > 0. Logo, existe c de [a,b] tal que

/(c) - z = 0. Os outros casos são deixados para o leitor. A idéia da demonstração [na suposição f(a) < /(ò)] foi deslocar o grá

56


dos x, e a da di reita, acima, a fim de po ssibilitar o uso do teorema de Boi* zano. Isso foi conseguido pelo uso da função f ( x ) - z . Exemplo 2.4.4. Mostre que a função /(x) = sen2 x - x tem uma raiz ti

n

entre - — e — 4 2 Como e

r í n \

,

n

n

t

n

n

* \  ) = sen y - y = 1 - y < 0 ’

segue-se, pelo teorema de Bolzano*, que existe c de m

tal que

= 0. Nota. A exigência da continuidade da função/ no teorema de Bolzano é essencial

como se pode ver na Fig. 2-37.

Figura 2-37

Antes de encerrar esta seção, daremos uma tabela de funções continuas. Algumas delas não foram definidas neste livro, como é o caso do seno, co-seno, logaritmo, exponencial. Seria, portanto, difícil para nós que não conhecemos magia, provarmos a continuidade dessas funções agora. Por outro lado, não podemos ficar apresentando exercicios só com polinômios e funções racionais. Desse modo, damos o fato sem demonstração, prome* tendo-a para mais tarde, no segundo volume**. A essa altura, você deve estar dizendo a si mesmo que sabe a definição do seno. Mas o que nós estamos querendo dizer é que você não sabe definir *Veja a tabela à pág. 57.

57

limite e derivada

seno usando exclusivamente a noção de número, sem fazer apelo à Geo metria. Mas o logaritmo só requer números para defini-lo, retrucará você. De fato, sendo a > 0, a / 1, e x > 0, você aprendeu que log,, x é um número b tal que ab = x. Está certo, mas agora perguntamos: o que é a*? Mais con cretamente você é capaz de dizer como se define Aqui temos dois caminhos para resolver a questão. Podemos partir dos números na turais axiomaticamente, construir os números inteiros, racionais e, daí. os números reais. O outro caminho é desenvolvermos o Cálculo Diferencial e Integral até um certo ponto, onde tenhamos elementos suficientes para definir não só tais números, mas também o seno, o co-seno, etc. Nós vamos optar por esse segundo caminho, mais objetivo e conveniente dentro do espírito deste livro. FUNÇÕES CONTÍNUAS EM TODOS OS PONTOS DOS SEUS DOMÍNIOS Função polinômios funções racionais logaritmo (lnx) exponencial a) e* b) a* = exlna seno (senx) co-seno (cosx) tangente (tgx)

i

Justificativa Veja Ex. 2.4.1 Veja Ex. 2.4.1 A ser provado no Vol. 2.

A ser provado no Vol. 2. A ser provado no Vol. 2. A ser provado no Vol. 2. ^ . sen x , ^ , Decorre de tgx = ------ e da Proposição 2.4.1 cosx COS X

cotangcnte (ctgx)

Decorre de ctgx = ------ e da Proposição 2.4.1 sen x

secantc (secx)

Decorre de sec x = — — e da Proposição 2.4.1 cosx

ico-secante (cossec x) Decorre de cossec x = —-— e da Proposição 2.4.1 sen x Veja Exer. 2.3.l(o).

j

58

INTR ODUÇÃO AO CALCULO cálculo diferencial

Usando essa tabela e as Proposições 2..1 e 2..3, você pode construir f unções ontínuas à vontade. EXERCÍCIOS 2..1. Dos gráfios dados na Fig. 238, quais são os de funções contínuas em todos os pontos de seus domínios? y

Figura 2-38

, / k .

-/> v V \ b)

}

£

c)

2.4.2. Quais das seguintes funções são contínuas em todos os pontos de seus domínios? Justifique. •>/(x)-[x];

1 + (_1)M b) /(x ) = —- —— ;

c) /(x) = | x | .

d ) / ( x ) = |x - 11;

e) f(x ) = . , (x # 0); 1X1 g) / (x) = sen x + cos x ;

0 /(*) = 1X2 - 1 1; h) f(x) = ex ln x(x > 0);

/ \ i) f(x) = tg x í x # y + kn);

j) f(x) = | x - l | + |x + 3 |;

l ) / ( x ) = [x] + s e n x ;

m) /(x ) = y x ;

1 + (-l)w • sen nx; *n)/(x)= 2

P) f(x) = x 2 + x - 1 ;

o) /(x) = s e cx t g x ; x 2- 1 q) /( x ) = x4 + 7 ’

r) f(x ) = x 2 —| x | —1. 2.4.3. Se / é contínua em x0 , mostre que | / | também é contínua em x0, o n d e | / | ( x ) = |/(x)|. A recíproca é verdadeira?

59

limite e derivada

2... Para que valores de a a função / é contínua em todo x? a) f (x) = -

1 x sen — se 

x * 0,

se x = 0; (x2 - x + 1 se x < 0, C) /(x) = < [2x2 + x + a se x ^ 0; \ax  + 1 se x < 1, e) /(x) = | [x-4 se x ^ 1; \ealx se x > 0,1 1 g) f ( x ) = J 1cos x se x < 0. 

k 3-

8 r- se x / x 2 b) /(x) = a se x = ax + 1 se x < d) /(x ) = x -4 se x ^ ae* se x ^ 0, 0 f(x) = a se x < 0; ----

2, 2; 1; 1;

2.4.5. Diga quais afirmações dadas a seguir são verdadeiras e quais são falsas. a) Se / é derivável em x0 , então / é contínua em x0 . b) Se / é continua em x0 , então / é derivável em x0 . c) Existem funções/e g que não são contínuas em x0 tais que fg é con tínua em x0. d) Existem funções / e g que não são contínuas em x0 tais que / + g é continua em x0. e) Vale sempre que lim/(x + h) = f(x). *—o 2.4.6. Prove que, se / é continua em x0 .. existem ô > 0 e M > 0 tais que I/ (x) | < M para todo x de (x0-ô , x0 + 5). 2.4.7. (A) Achar f ° g e g ° f nos casos a) /(x ) b) /(x ) c) /(x ) d) /(x )

= = = =

g{x) = cos x; sen x, g(x) = 1 - x; x2 - 3x, ln x (x> 0), g{x) = ex; xx, g(x) = xx (x > 0);

e) f{x) = x2,

g(x) = x  X+ t •

(B) Dada h, achar f t g tais que h = /<>g nos casos a) (sen x + x)3;

b) ^ ^

c) J 1 + x2;

d) lnx.

60


(C) Dar o domínio de f ° g sendo a) f(x) = J ~ x ( x  0), g{x) =  b ) /( )   (  # 0 )

g{x)  .2  1

X

c) f(x) = In  (  0), g(x) = sen x d) f(x)

=

’

0(*)

= Iln * I

< x <® (x

> 0).

2.4.8. Diga por que as funções seguintes são contínuas em todos os pontos de seus domínios. a) /(x) = sen(x2 + 1);

b)/(x) = ln (ex + 1);

c) /(x) = ^x S7Tr;

d)/(x) = tgx2(0 < x

e) /(x) = y / \ n ( l + x2);

0 /(x) =

J

x -1 X +

1

(x # -1).

2.4.9. Seja f{x) = x2 - 1. 1 < v ^ 2, e A o ponto de coordenadas (3.1). Mostre que existe um ponto do gráfico de / cuja distância a A é mínima. Existe algum para o qual essa distância é máxima? Sugestão. Considere a função-distância 1 ^ x $ 2. d(P.A) = N/ (x - 3)2 + (x2 -2 )2.

onde

P = (x, x 2- 1).

2.4.10. Mostre que as equações a seguir possuem pelo menos uma raiz (real). a) x3- 3x + 1 = 0; c) sen x + x = 0; e) x7 + x6 - 4 x + 4 = 0;

b ) x 5- l = 0 ; d) cos x - x = 0; f) 2* + x = 0.

2.5. REGRAS DE DERIVAÇÃO Proposição 2.5.1. S e f e g são deriváveis em x, então

a) ( / + g)'(x) =/'(x) + g'(x); b) (fg)\x) =f'(x)g(x) +f(x)g'(x); \ g j

g (x)

onde

g(x) = (g(x)),

g{x) * 0.

61

limite e derivada

Prova. a) Temos

( /  9)(x + h)-(f+ flX)  f ( x + h) + gjx + h)-(f{x) + g(x)) h h f ( x  h)  f ( x ) g(x + h)  g(x) h h ' Basta passar ao limite para h tendendo a 0 e usar L3(l). b) Temos

= _ _

(M * + f l) -( M x ) _ / ( x + h)g(x + h) -f {x ) g(x) = h h [/(x + h) -/(x ) +f(x)]g(x + h )- f( x) g(x) _ h ~ [ / ( x + h) -/(x)] g(x + h) +f(x)g(x + h)-f(x)g{x) _ _ ’ _ /(« +

+ *, + / (' ) * * + »>-**>■ h h • Passando ao limite para h tendendo a 0, usando L3(l) e (2) e notando que lim g(x + h) = g{x), seguc-se o resultado. O último fato é válido porfc 0 que g, sendo derivável em x, é continua nesse ponto (Proposição 2.4.2). ^ , ., . J /( x + *) - f ( x ) O truque da demonstração foi forçar o aparecimento d e ---- — --------- > h o que se obteve ao se somar e subtrair f ( x ) na segunda passagem, c) Mostremos inicialmente que 1V, ,

(7

Temos

( ) x + j g(x) - g(x + h) g{x + h) g(x)  (

l\t

m

a (x )* =

1 1 g(x + h) g(x)

g(x + h) - g{x)

1 g(x + h) g(x)

62


Basta passar ao limite para h tendendo a 0, usar L3 e que lim g(x + h) = #i—0

= 9(x) (por quê?).

Agora, para o caso /— » aplicaremos o resultado (b), pois /— = /• 1—. 9 9 9 ( l

) M /) w

w=

' «'<*> * g!(x)

g(x)

#(» /'(«)-/(*)« •(*) g*(x)

Corolários. Sendo / e g deriváveis em x, e k , um número,

D (fc/)'(x) = kf'(x);

2) (-/)'(x) = - f \ x ) ;

3) ( / -
Prova. Exercício. Exemplo 2.5.1.

a) ( 4 / 2 x 3)' = 4 / 2 (x3)' = 4 / 2 -3x2 = 1 2 / 2 x 2; b) ^ tt / x + =

= (n /x )' + + 6 •(-3)x

71’

-4

= tt ( / x )' + 6(x~3)' = n

18 ~Ã 1

2 /x 2/ x c) ((x + 5)x2)' = (x + 5)'x2 + (x + 5Xx2)' = = (x' + 5')x2 + (x + 5) • 2x = (1 + 0)x2 + (x + 5)2x = = x2 + (x + 5)2x = 3x2 4- lOx; x2(x + 5)' - (x + 5Xx2)' x2 - (x + 5)2x -x 2 - lOx d) 2 \2 m



(X2)

Vamos adiantar as derivadas de algumas funções para que possamos dar mais variedade aos exemplos. Procure memorizá-las. (sen x)' = cos x

{ex)' = ex

(cos x)' —- sen x

(In x)' = — (x > 0). X

Exemplo 2.5.2.

(tgx)' =

sen x Y _ (cos xXsen x)' - (sen xXcos x)' _ cos x / cos2 x cos x • cos x - (sen xX-sen x) cos2 x + sen2 x

(

1

63

limite e derivada

Exemplo 2.5.3.

(In  sen )' = (ln )' sen  + ln  (sen )' = — sen  + ln  os .  Exemplo 2.5..

(ex +  ln )'  (ex)'  ( ln )'  e*  ' ln    (ln )'  = ex + ln     —  e* + ln   . 

Vamos aprender agora omo se deriva função composta. Isso vai ser extremamente útil, pois, com os recursos que temos até aqui, para derivar y = sen x2, temos de apelar para a definição de derivada. Obteremos antes um resultado auxiliar. Suponha uma função / derivável em x (Fig. 2-39).

Nesse caso, o gráfico de / é suave em P, admitindo reta tangente. Seja h suficientemente pequeno de modo que x + h pertença ao domínio de /. Pela figura, vemos que RQ

=

SQ + SR

Mas RQ = f t x

+ k)-f(x); SQ = htgct = h-fXx).

64


Vamos hamar RS de h(p(h). Então f ( x + h ) - f ( x ) = f ' ( x ) h +
Pela figura, vemos que lim q>(h)h = 0. No entanto pode-se garantir, con /i-*0 forme se verá, que lim
com limç>(/i) = ç>(0) = 0 (.'. q> é contínua em 0).
-f'W

se

h / O,

(0) = 0 por definição. Então tal relação se verifica para todo h (do intervalo referido acima). Além disso, /(X + h)-f(x) lim/'(x) = lim ç{h) = lim
= /'(*)-/'(*) = 0 = ç>(0). Proposição 2.5.3. (Regra da cadeia).

Sejam / e g funções tais que se pode considerar fog. Se g é derivável em x c / é derivável em g(x), então ( f ° 9)'(x) = f\g{x))g\x). Prova. Temos

( /° 0X* + h)- (/o gXx) h

f(g{x + h)-f(g(x)) h

65

limite e derivada

Ponhamos u  #() e definamos a f unção k por k{h) = g{x  h)-g{x) (aqui h varia num intervalo contendo 0). Então g(x + h) = u + k. Subs tituindo na epressão da razão incrementai acima ( / q gXx + h)- ( / q g)(x) f(u + k) -f (u ) h h kf'(u) + ko h

(f\u) + lim (p{k)) = h 0

pois lim — = /i-o h fc-*o

h

0(x)

e, por serem
o k (Proposição 2.4.3) e então lim (k{h)) = (0) = 0. (i-0 *-o . Aqui cabe uma observação importante com relação à notação. A nodf tação — para / ' é muito interessante no caso da regra da cadeia. dx Chamando, como fizemos na prova do teorema u = g{x), temos y = = f{g{x)) = f(u). Então dy dy du dx du dx é a expressão da regra da cadeia, que fica, assim, com aparência de iden tidade algébrica. Exemplo 2.5.5. Calcular a derivada de y = (x2 + x + l)3. Pondo u = x + x + 1, temos y — u3 . dy _dy du _ du3 d(x + x + 1) _ dx du dx du dx = 3u •(2x + 1) = 3(x2 + x + l)2 • (2x + 1),

66


Exemplo 2.5.6. Idem para y  sen x2. Seja u = x2. Então y = sen u e dy dy du , — = — •— = cos u •x = cos x • 2x. dx du dx Exemplo 2.5.7. Idem para y = e*enx. Pondo m = sen x, temos v =

• ^ “ dx

dy du du dx

e“ •cos x = e**“ x • cos x.

Exemplo 2.5.8. Idem para v = —5 :— ^ x3 + ln x ---

Pondo u — x3 + ln x, temos y = —- e u ... ^ = ^ . í u _ ± Y 3x! + - j ________! A xj + dx du dx u2 \ x/ (x3 + In x)2 \ x ____

Com um pouco de prática, você pode dispensar a substituição indicada, tendo presente o que é u, sem porém escrevê-lo. Reexaminemos o Ex. 2.5.6 desse ponto de vista. Desejamos calcular (sen x2)' a) Derivamos o seno no ponto x2: cos x ‘. * _ , . , , d(senu) , , O que fizemos 101 calcular — ; = cos u, onde u = x , sem escrever u. du b) Derivamos x2, que é 2x (estamos calculando u'). c) Multiplicamos os resultados: cos x2 •2x, ----

Vejamos como fica o Ex. 2.5.7: («**"*)'. a) Derivamos a exponencial no ponto sen x:

(calculamos

du

67

limite e derivada

b) Derivamos sen  : cos x. c) Multiplicamos os resultados: é'Stfn1 • cos x. Mais um exemplo para você pegar o jeito da coisa; o Ex. 2.5.5: [(x2 + x + l)3]'. a) Derivamos ( )3, no ponto x 2 + x + 1: 3( )2 = 3(x2 + x + l)2 Estamos calculando ^7- = 3«2 du

(

b) Derivamos x 2 + x + 1. 2x + 1

(estamos calculando u'). c) Multiplicamos os resultados: 3(x2 + x + l)2 • (2x + 1). A regra da cadeia pode ser usada repetidamente. Se y é função de v, v è função de w, e w é função de x, a regra fica: dy _ dy dv dw dx dv dw dx Exemplo 2.5.9. Calcular a derivada de y = ln y f 1 + tg2 (cos x).

Se você entendeu as explicações anteriores, será capaz de escrever direta mente a resposta, que é •— * •(0 + 2 tg (cos x))- sec2 (cos x) • (-sen x)). y f 1 + tg2 COS X 2 y j 1 + tg2 (cos x)

68

INTR OD UÇ ÃO AO CÁLCULO célculo diferencial

a) Calulamos a derivada do logaritmo no ponto y / 1 + tg2 cos: 1 v / T 

t g 2 (C O S )

b) Calulamos a derivada da raiz quadrada no ponto 1 + tg2 (cos): _______ 1________

2 y / 1 + tg2 (cos ) ) Calulamos a derivada de 1 + tg2 cos  : 0 + (tg2 (cos \ )) Aqui usaremos novamente a regra da adeia: (tg2 (cos x))' = 2 tg (cos x) •sec2 (cos x) • (-sen x). d) Multiplicamos os resultados obtidos. Exemplo 2.5.10. A regra da cadeia é freqüentemente usada em problemas de Física. a) Suponha que se despeje água num recipiente cilíndrico dc raio r = = 0,25 metros, à razão constante de TO-3 litros por segundo (Fig. 2-40). Deseja-se saber a velocidade de subida do nível da água.

Seja V o volume de água no recipiente no instante t. O enunciado deu , dV dh f — = 10 3, e o que se pede é — >onde h é altura do nível da água no dt dt instante t. Sabemos que V é função dc k, a saber, V = nrh = 7r(0,25)2/i,

69

limite e derivada

e h é função de t. Pela regra da cadeia, dV_ li

dV dh dh ' dt dV dt_ 10 6 ^•0,00000509 m/s. hd " dt dV 7r(0,25)2 I h

b) O movimento de um ponto P é tal que sua trajetória está contida n gráfico da função y = f ( x ) = In x. A projeção de P sobre o eixo dos x tem velocidade escalar 3 m/s constante (Fig. 2-41). Achar, quando P tem abscissa 3 m, a velocidade escalar da projeção de P sobre o eixo dos y.

Pondo P = (x, y), x e y são funções de t. Foi dado ^ = 3, queremos dt . dy -r- Mas dt

dy dt dy dt

dy dx dx dt 3 d ln x 3= v dx

dy Quando x = 3, resulta — = 1 m/s. dt Nota. Seja / uma função definida num intervalo aberto. Suponhamos que o conjunto de pontos desse intervalo nos quais/ é derivável ainda é um intervalo. Nesse caso, / ' está definida nesse intervalo e pode suceder que exista a função derivada de / ', a qual será denotada por f", ou p o r /<2>(nesse caso, consistentemente, f também se denota p o r/
70


Exemplo 2.5.11.

a) /( )  sen x, /'( x ) = cos x, /"(x ) = -sen x, /" '(x ) = -cos x. b) / ( ) = In , / '(  ) = i

. S" () = - - V

X

XA

c) /(x ) = 3x2 + 1,/'(x ) = 6 x,/"(x) = 6, /'"(x ) = 0; em g e ra l,/‘"'(x) = 0 se n > 3. Por simplicidade, costuma-sc escrever (3x2 + 1)" = 6; (sen x)" = -sen x. Antes de encerrar esta seção, daremos uma tabela de derivadas, que você deve ter de memória. Algumas das derivadas foram provadas, outras só o serão no segundo volume. Função

Derivada

Xa

ax*-1 1

y *

ít

COS X

COS X

-sen x

tgx ctgx

sec2 x -cossec2 x

p*

e*

ln x

=

> 0)

logj x

log.x f senh x

A ser provado no Vol. 2. Decorre da anterior.

 y  x

sen x

 ( 

Justificativa

axln a 1

X 1 x ln a

A ser provado no Vol. 2. A ser provado no Vol. 2. Veja Ex. 2.5.2. Veja Exer. 2.5.37.

j

A ser provado no Vol. 2. Vem de ax = exlna e da Prop. 2.5.3. A ser provado no Vol. 2. Vem dc log. x

=

ex-e~x , e * + e~* cosh x — -----------------= — -— Veja Exer. 2.5.13 2 2 coshx senhx ' Veja Exer. 2.5.14

r— • ln x ln a

f

71

limite e derivada

EXERCÍCIOS Achar f'(x)* nos Eers. 2.5.1 a 2.5.70, sendo dada /(). A) Soma. Produio. Quociente 2.5.1. x  + 2 + .

2.5.2. ax + bx + c.

2.5.3. — + J~x. x  7 2.5.5.  r  54 — r  3.

2.5.4. sen x + cos x.

2.5.7. lyfx + 6^/~x - 3'2.

2.5.8.

X 3

X5

2.5.9. 2 /3  32 /3. 2.5.11. j f l + i y ~ x + sen 3. e* —e~ x 2.5.13. senh  = --------- • 2

(seno hiperbólico de x). 2.5.15. (x + 2Xx + 3). 2.5.17. ^/xsenx. 2.5.19. x3'2 ln x + X. 2.5.21. sen x cos x + tgx. 2x2 + 1 2.5.23. x x 2.5.25. x2 + 1 2.5.27.

y / x + 1 sen x + cos x 2.5.29. sen x - cos x senh x 2.5.31. tgh x = coshx (tangente hiperbólica de x) e* 2.5.33. lnx

2.5.6. x ‘ " + 2x'"r + J 7. y 7  x*Tx 2.5.10. x3 + senx + tgx. 2.5.12. 9* + e* + x 3. ex + e~x 2.5.14. cosh x = ----- ------

2

(co-seno hiperbólico de x) 2.5.16. x3 ln x + 3. 2.5.18. ex cosx + eMnx. 2.5.20. (x2 + 2x - 1) sen x cos x. x + sen x cos x 2.5.22. --------- ---------____

-

2+x x- 3 x2 4- 2 x - 1 2.5.26. 3x2- x + 2 2.5.24.

2.5.28. 2.5.30. 2.5.32.

2.5.34.

1 + J~x  2 +

X +

1

senx + cosx sen x

ln x

*Não se preocupe com as restrições sobre Apenas derive-

72


2.5.35.

1 + ( + l)tg 2.5.37. ctg .

2.5.36. — • V  2.5.38. sec.

2.5.39. cossec.

2.5.0.

X + cosx

B) Função composta 2 . 5 . 4 1 . ( 3 x 4 - 6 ) 100

2.5.2. (22  3 + )5.

1 2.5.3. ( 2      \)3

2.5.. J x 3 + 2 10.

2.5.5.

2.5.6.

,/l-x2

2.5.7. J ' - * V1+X \ /

X

+ yfx.

yi-x2

2.5.8. y r   ? . 2.5.50. \ j

X

+ y / 1 +

X 2.

J l + x 1. sen 2x - 4 sen x. (sen x + cos 3x)4.

2.5.52. cos 2. 2.5.54. ( 2 - x 2) cos x2. 2.5.56. (senh x)3.

$ e* - X + 1.

2.5.58. ln sen x.

In3 x + ln (ln x).

2.5.60. ln(e* + y j 1 - x 2). 2.5.62. sen (cos x). 2.5.64. sen (sen (sen x)).

sen (cos2 x). 1 i x ~ l . 2 ”x + 1

2.5.66. sen10 2x + cos6 x.

í 1 + t g y tg x jc o sx .

, 1- cos X 2.5.68. ln- ----------1 + COS X

2.5.70. sen vf x + N/s ê n x . 2.5.69. 3 *'"' + y s e n 3x. 2.5.71. Calcular J '(x) supondo conhecida a função g, nos casos f(x) — / a) g(x3); b) g(x)x; c) gig(x)) + g{ sen x); d) g(x - 1 ) + gi^/x)2.5.72. Calcular ‘a) J "'(x), sendo /(x ) = x 3 - 1; b) /"(x), sendo /(x) = x4 + 2x3;

73

limite e derivada

) /"(), sendo f(x) = x  1 d) f ín\x), sendo / um polinmio de grau n; *e) / (n,(), sendo /( )  sen e /( )  os; 0 r<"'(). sendo f(x) — ax e flx) = ln.r; g) /"(), sendo /( )  ^ 4  . 2.5.73. Mostre que a derivada em  de f l Si 13 0 02 03 hi h h3

é

/ , f l f l / i f i f i / ; f'i f'i 01 02 03 + 01 02 03 + 01 02 03 h\ h' h\ hl hz h3 hl *2 h3

calulada em  (supondo todas as funções deriváveis em x). 2.5.74. Enuncie precisamente e prove que (fgh)' =f'gh+fg'h+fgh'.

2.5.75. (Derivada logaritmica). Suponha que você quer derivar uma função da forma [/(x)]**’. Lem brando que ab = eblaa, você pode usar a regra da cadeia normalmente. No entanto o procedimento dado a seguir é, cm geral, mais prático. Seja y = [ / M ] * * ’ In y =
Derivando, — = g'(x)\nf(x) + g(x) • ~ f ’(x) y /(^)

Não decore a fórmula, mas sim o procedimento! Calcule f'{x) nos casos /(x) = a) x*; b) (senx)*; c) x tenx; d) (cosx)senjt; e) x l/jt. 2.5.76. a) Despeja-se água num tanque cônico de raio R e altura H a razão constante de a m3 por segundo (Fig. 2-42). Dar a velocidade de subida do nível da água no tanque, em função de sua altura h. b) Um balão esférico é enchido com gás à razão constante de a metros cúbicos por segundo. Supondo que o balão mantenha sempre sua forma

74

INTR OD UÇÃO AO CÁLCULO cálculo diferencial

esférica, achar quão rápido varia seu raio, no instante em que este vale r metros. (Supor a pressão do gás constante.) c) Um ponto P se move de modo tal que sua trajetória está contida no gráfico da função f(x) = ln x. Sabe-se que, num certo instante, as pro jeções de P nos eixos coordenados têm mesma velocidade escalar ^ 0. Achar as coordenadas de P nesse instante. d) Observe a Fig. 2-43. O ponto P se move em direção ao ponto B. Sabendo que, quando P dista a de B, a velocidade de variação de a é b radianos por segundo, achar, nesse instante, a velocidade de P. É dado d. 2.6. DERIVAÇÃO IMPLÍCITA Considere a relação x  + y  = 1 (veja Fig. 2-44). O conjunto dos pontos Ic coordenadas (x,>>) que a satisfazem é uma circunferência, como sabemos.

Não temos aqui uma função, pois, por exemplo, para x = 0, temos dois valores para y: +1 e -1. Acontece que, se impusermos y ^ 0, então

75

limite e derivada

teremos uma função, pois ai V = N/ 1 - Y 2

(-1 ^ X ^

1).

Chamando de f tal f unção, temos f ’(x) 

( <  < ),

J T ^ c  Da mesma forma, impondo y ^ 0, obteremos uma função g, com g(x) = - J 1   2

e

g'(x) =

* J i - x 

(1 <  < 1).

Veja agora como o cálculo das derivadas acima é facilitado encarando o problema de outra maneira. Na relação x  + y = 1

lembre que y é função de x [ou y = /(x ) ou y =
y

(y / 0),

que resume as duas derivadas / ' e g\ obtidas. Acontece que, para o procedimento ser válido, é preciso que se saiba de antemão que a relação x 2 + y  = 1 define y como função de x, e que essa função é derivável. Existe um critério, porém este envolve conheci mentos da teoria das funções de diversas variáveis. Em geral, uma relação do tipo / (x,y) = 0 pode definir várias funções. No entanto pode suceder que a relação seja por demais complicada para que se possa escrever y como função de x. Por exemplo, f(x,y) = y6 + 4 xy + x3 = 0. Exemplo 2.6.1. Suponha que a relação y6 + 4xy + x3 = 0

defina uma função y = f(x) derivável num certo intervalo. Ache f em ter mos de /(x). Temos

(/(x)6 + 4x /(x ) + x3 = 0

76

INTRO DUÇÃ O AO CALCULO cálculo diferencial

Derivando, vem 6(f(x))T(x) +  [ /'()   /()]  32 = 0 [6( /())5  4 ]/'( )  4 / ()  32 = 0  /()  32 /'(  )   6(/())5  4 Exemplo 2.6.2. Considere a função y = /( )  2 /3. Queremos obter sua derivada. (Você tem obrigação de saber qual é Deseamos apenas ilustrar o processo de derivação em questão.) Suponha que a função sea derivàvel. Temos

y3 = x2

y3- x 2 = 0.

Portanto (/(x ))3 - x 2 = 0. Derivando: 3(/(x ))2 /'(x ) - 2x = 0

/ M =

I3 (/(x)»2 *

isto é. f'(x) = - - J L - -= 1— x - 1'3. J { ) 3 (x2/3)2 3

EXERCÍCIOS Admita nos exercícios a seguir que a relação dada define uma função derivàvel y = / (x). Achar /'(x) nos Exers. 2.6.1 a 2.6.5. 2.6.1. x 3 + y3-3 x y + 1 = 0 . 2.6.2. y = 1 + xe’’. x2 v2 2.6.3. -T + i r = 1 (a,b> 0). a o 2.6.4. sen x sen y = 1. 2.6.5. x ' = y*. 2.6.6. Achar /"(x) no caso do Exer. 2.6.3.

77

limite e derivada

2.7. DIFERENCIAL Na seção 2.5, vimos (Proposição 2.5.2) que, se / é uma função deri vável num ponto . entào podemos esrever (para h suficientemente pe queno) f ( x + h)-f(x ) =f '( x) h + h
Com essas notações, o resultado acima fica A/(x,/t) = df(x,h) + h
A figura mostra que, quando h se aproxima de 0, A f se aproxima de df, o que facilmente se comprova: lim (A f(x,h)-df(x,h)) - lim h
78


Muito bem, mas para que tudo isso?, perguntará você. A origem básia dessas onsiderações é um problema de aproimação. Queremos aproimar uma função /, em torno do ponto , por uma outra f unção g, mais simples. Então, se quisermos calcular /(x + h), poderemos usar a função g, calcu lando g{x + h). Todavia o erro cometido, a saber, |/ ( x + h)-g(x + /i)|, deve ser o menor possivel. É bom ressaltar aqui que não desejamos aproximar /(x + h) para um valor fixo de h, mas para todo h de um intervalo (conveniente, a determinar). Uma função simples sem dúvida é uma função linear, isto é, cujo gráfico é uma reta. Portanto é razoável procurar uma função g linear que aproxime / da melhor forma possível. É claro que devemos impor que / e g tenham mesmo valor em x, o que é a mesma coisa que dizer que a reta gráfico de g deve passar por P - (x, /(x)). Em principio, qualquer reta que passa por P nos dá uma aproximação de /. Basta olhar para a Fig. 2-46 para se convencer disso.

De fato, |/ ( x + h)-gt(x + h)| tende a 0 quando h tende a zero. Sucede, no entanto, que a reta tangente c aquela que dá o menor erro, desde que h varie num intervalo sufícientemente pequeno. Precisamente, existe h0 > 0 tal que, se 0 < | h \ < h0 , | /( x + h)-g(x + h)\ < |/(x -h h ) - g ^ x + h)\.

79

limite e derivada

onde g é a função cuo gráfio é a reta tangente ao gráfio de / em (, /()) e gl # g é qualquer f unção linear uo gráfio passa por (, /()). A prova dessa afirmação está dada no Apêndice E. Em vista do que dissemos, oncluise que, dentro do critério da melhor aproimação linear, o valor aproimado de /(  h), para h suficientemente pequeno, deve ser f{x) + df (xM)

(veja a Fig. 2-45! que é precisamente g(x + h). Exemplo 2.7.1. Calcular y j 36,3. Nesse caso, / (x) = N/ x e, como y /3 6 = 6, convém tomar x = 36, h = = 0,3. df(x,h) =f'(x)h =

.-. df(36; 0,3) =

J~ x

1 yf36

0,3.

O valor aproximado de y f 36,3 será /(x) + df (x,/i) = yj~36 + ^ - = • 0,3 = 6,025. yf36 Exemplo 2.7.2. Calcular (1,0012)2. Tomamos f(x) = x 1, x = 1, h = 0.0012 df (x,/i) = f ’(x)h = 2 xh .'. df( 1; 0,0012) = 2 1- 0,0012 = 0,0024 /. (1.0012)2

será aproximadamente igual a f(x) + df(x,h) = l 2 + 0,0024 = 1.0024 O leitor deve se precaver de que não sabemos a ordem de grandeza do erro cometido. Dessa forma, não sabemos se os resultados obtidos são convenientes. Essa conveniência depende naturalmente do grau de pre cisão que exigimos. Por exemplo, o valor exato de (1.0012)2 é 1,00240144. O erro cometido foi, portanto, 1,00240144-1,0024 = 0,00000144. Será pe queno? A resposta dependerá do grau de precisão que for exigido. Feliz mente pode-se obter uma estimativa do erro cometido, o que será feito no Apêndice G.

80


EXERCÍCIOS . 2.7.1. Calular Af(x,h ) e df{xyh) nos asos a) /()  x  + 4x  3;   ; h = ; b) idem para h — 0, e h = 0,01  c) f(x) = x i - y/ H ; x — ; h — 1. 2.7.2. Prove que a) d{f + g)(xyh) - df{x,h ) + dg(x,h); b) d(fg)(x,h) = f( x) dg(x,h) + g{x)df(xyh); . J f \ < u\ g(x)df(x,h)-f(x)dg(x,h) c) d[ — ( xjt ) = -------------- j — ------------ • 9 (x) \ 9 ) 2.7.3. a). Um quadrado de lado  se epande (mantendose quadrado).* Calular a variação AS(, /t) de sua àrea S em função da variação h de seu lado. Calcule dS(x,h). Interprete o resultado geometricamente. Solução. S — x  AS(x,h) = (x + h) - x  = xh + h dS(x.h) =  xh Vemos pela Fig. 2-47 que a área das regiões II e III vale xh = dS{x,h). e que o quadrado íl) tem área h = &S{x,h)-dS(x.h). Portanto àS{xyh) = àrca (11)•+ área (111)+ área (I). ' »--------------- ' <—— ' dS(x,h) h~ --------------

h Figura 2-47

------

1. ,------------- 1r— i

*

L

1|

X

II

! 1 i

IV

>t

111 i _

j

b) Idem para o volume de um cilindro de raio r fixo e altura x. havendo variação h de sua altura. 2.7.4. Calcular aproximadamente a) y T T ;

b) sen 31°;

c)

d) ln 1,01.

2.7.5. Calcule (1,0012)2 tomando x = 2, e compare com o resultado exato (dado no texto). Explique a causa da discrepância.

   TEOREMA DO VALOR MÉDIO E SUAS APLICAÇÕES 3.. O TEOREMA DE ROLLE Um teorema central do Cálulo Diferencial é o teorema do valor médio, do qual estudaremos nesta seção um caso partiular, o teorema de Rolle. Suponha uma função contínua num intervalo fechado [a,h] e derivável em (a,6) tal que f{a) = f(b). Um eemplo típico dessa situação é mostrado através da Fig. 3-1.

Como o gráfico de / tem de ser suave e ligar os pontos A e B de mesma or denada, é intuitivo que deve existir pelo menos um ponto C do mesmo tal que a tangente ao gráfico nesse ponto seja paralela à reta AB; logo, paralela ao eixo dos x. (No caso da figura, existem dois pontos nessas con dições). A afirmação feita é equivalente à existência dc um ponto c de (a,b) tal que f'(c) = 0. Esse é o conteúdo geométrico do teorema de Rolle. A fim de prová-lo, usaremos o lema seguinte. Lema. Seja c ponto de máximo ou de mínimo dc uma função /, a qual se supõe derivável nesse ponto. Então f ( c ) = 0. Prova. Por / ser derivável em c, podemos dizer que existe h0 > 0 tal que os pontos de (~h0 , h0) pertencem ao domínio de /. Supondo c pomo de máximo de f temos f(c) > / (c + h)

para

-h0 < h < h0 .

82


Logo, f ( c + h)-f(c)

0

s

0 < h < ft0

SC

ft0 < h < 0.

e / < 

»

0

Pelo análogo da L5 para limites laterais (vea nota no final da Sec. 2.3), podemos esrever ,im /<« A-0 +

< Q

f{c + h)-f(c) lim -------- ---------- ^ 0, h-*on

ou seja, por / scr derivável em c, A c) ^ 0 6

A c) ^ 0 /. A c ) = 0.

Se c for ponto de mínimo de f, será ponto de máximo de - f c, pelo que provamos, deve valer (-/)'(c) = 0. /.

A c ) = 0.

A recíproca não é verdadeira: se f'(c) = 0, c não é necessariamente ponto de máximo ou de mínimo de /, como pode facilmente ser verificado para f{x) = x3 e c = 0. Nota. A argumentação da prova pode ser interpretada geometricamente. Pd|o fato de c ser ponto de máximo, ao tomarmos h > 0, as retas por (c,/(c)) e (c + h,f(c + h)) têm coeficientes angulares ^ 0, isto è, inclinam-se “para a direita” ; e, ao tomarmos h < 0, elas se inclinam “para a esquerda” (Fig. 3-2). Como, para h tendendo a 0, elas devem tender à tangente cm (c, f(c)), o único jeito é essa tangente scr paralela ao eixo dos x.

83

o teorema do valor médio e suas aplicações

Proposição 3... (Teorema de Rolle). Sea / uma função contínua no intervalo fechado [a,ò] e derivável no intervalo aberto (a,b), tal que f(a) = = f(b). Então eiste c de (a,b) tal que /'()  0. Prova. Os pontos de mínimo e de máimo de / em [a,6] (os quais exis tem pela Proposição 2.4.4) ou ocorrem, ambos, nos extremos do intervalo ou. então, um deles pertence a (a,b). No primeiro caso, como f(a) = f(b) os valores máximo e mínimo são iguais e / é constante. Então, para qualquer ponto x de (a,b), temos/'(x) = 0. No segundo caso, chamando de c o ponto que pertence a (a,b), temos, pelo lema anterior, f'(c) = 0. Nota. As hipóteses do teorema de Rolle são essenciais, conforme ilustra a Fig. 3-3

Figura 3-3

!

a

i^

b x

a)/ não é derivável em a  b)

A

a

b x

b )/n ã o é contínua em [o, b]

c

Exemplo 3.1.1. Achar c como no teorema de Rolle para f(x) = x  + 1, sendo o intervalo [-1,1] (veja Fig. 3-4). Aqui a = -1, b = 1. E fácil ver que / satisfaz às condições do teorema de Rolle; o número c procurado é tal que f'(c) = 0, -1 < c < 1; logo, 2c = 0 -1 < c < 1;

84


e portanto c = 0. 2 Exemplo 3.1.2. Idem para /()  ——» sendo o intervalo Devemos ter f \ c ) = 0,

< C <

s /3 :

isto é, 2(1 c 2) n i W = 0

1

rz

e portanto c = 1, uma vez que 1 não pertence ao intervalo

Figura 35

1

"I v^J

o teorema do valor médio

85

e suas aplicações

EXERCÍCIOS 3.1.1. Achar  omo no teorema de Rolle nos casos: [0,1],

a) f(x) = x3 - x + 2; 1 c) f(x) =

Í - U ] ,

e) f (x) = x J ± ^ L .

[0,1],

X2 +

1

b) f(x) = x2 - 3x + 10, x—3x ~~3 d ,/W - —

[1.2]. [0,1].

3.1.2. O teorema de Rolle é aplicável à função J(x) = ^ / x 2 no intervalo [ - 1. 1]? 3.1.3. O teorema de Rolle não é aplicável no caso em que f é dada por 1 /(* ) = x 4 - l 0

se

x ^ ±1,

se

x = 1 ou x = -1,

e o intervalo é [-2,2], pois / não é contínua em 1. No entanto /'(O) = 0. Existe alguma contradição? *3.1.4. Seja / uma função continua num intervalo fechado [a,b] e derivável em (a,b). Sejam c , , c2, . . . , c„ os pontos de (a,b), onde / ' se anula. Mostre que o valor máximo (minimo) de f em [a,b] é o máximo (mínimo) entre f ( a \ f ( b \ / ( c t),... ,/( c M ). Generalize para o caso em que a derivada não existe em um número finito de pontos de [a,6]. Sugestão. Use a Proposição 2.4.4 e o lema desta seção. 3.1.5. Ache o valor máximo e o valor mínimo de / no intervalo [a,b] nos casos a) /(x ) = x 3 -3 x + 2, a = -3, fc-1; b = 1; a = 0, b) /(x ) = y x(l - x), c) f(x ) = |x 2 - x | , a=-i b = 2' à ) f ( x ) = | x 2 - x | , a ~ ~16’ b —l; a — 0, b — n. e) /(x) = ex sen x, *3.1.6. Se um polinômio de grau 4 tem 4 raizes (reais) distintas, então sua derivada tem 3 raizes (reais) distintas. Generalize. Sugestão. Se x t , x2, x3, x4 são as raizes, aplique o teorema de Rolle nos intervalos [x,, xj+1], i 1,2,3.

86

INT RO DUÇÃO AO CÁLCULO cálculo diferencial

3.2. O TEOREMA DO VALOR MÉDIO Sea / uma função continua no intervalo fechado [a,6] e derivável no intervalo aberto (a,6). Um eemplo típico é o ilustrado na Fig. 3-6.

Observe que existe um ponto P do gráfico da função tal que a tangente em P é paralela à reta AB. Sc AB fosse paralela ao eixo dos x, teríamos o teorema de Rolle. Note que, no caso da figura existe outro ponto, a saber, Q, nas mesmas condições. O fato de a tangente ao gráfico de / em P ser pa ralela à reta AB sfgnifica que elas possuem mesmo coeficiente angular. O coeficiente angular da tangente é /'(c) e o da reta AB é m - f ja ) _ b-a Emào m - m b-a Proposição 3.2.1. (Teorema do valor médio). Se/é uma função continua no intervalo fechado [a,b] e derivável no intervalo aberto (a,b), então existe c de (a,b) tal que f V ) -

f \ c ) =

m  m



b-a

Antes de provarmos o teorema, vamos dar a idéia da demonstração. Observando a figura anterior, vemos que a “distância vertical" do gráfico de f até a reta AB tem o aspecto que é apresentado na Fig. 3-7. Veja que o teorema de Rolle é aplicável e que, justamente nos pontos c e e , a derivada se anula, e esses pontos correspondem, na figura que dá o gráfico de /, aos pontos P c Q, onde a tangente é paralela à reta AB.

87


A “distânia vertial” será obtida através da f unção g = f - h , onde h é a função cuo gráfico é o segmento AB. Prova. Sea h a função cuo gráfio é o segmento de etremidades A = - /()) e B  (b, f(b)\ e seja g =f-h . É claro que g{a) — g(b) = 0 e que g é contínua em [a,6] e derivável em (a,b). Pelo Teorema de Rolle, existe c de (a,b) tal que g'(c) = 0. Então f'(c) - h'{c) — 0.

mas h'(c) é o coeficiente angular da reta AB, e portanto h'(c)

m - m b-a

Substituindo na relação anterior, resulta b-a Exemplo 3.2.1. Achar c como no teorema do valor médio para f(x) = x 2,

a = 0,

b = 1 (Fig. 3-8).

Figura 3-8

v

88


Temos m - m /'( )  b -a c  

m - m  0

Exemplo 3.2.2. Mostre que | sen a - sen b | ^ | a - b |. Aplicando o teorema do valor médio a f(x) = sen x, a ^ x $ b, temos

sen b - sen a = cos c (b -a ) (a < c < b) |senh-seno| = |cosc| |fc-a| ^ |ò-o|, pois

|cosc| ^ 1.

Nota. Existe uma interpretação cinemática muito interessante do teorema do valor médio. Suponha um ponto P movendo-se sobre uma curva, e seja s = f(t) a lei horária do movimento (Fig. 3-9).

Figura 3-9

No intervalo de tempo [a, 6], a velocidade média de P será

=

m -m b -a

O teorema do valor médio afirma (sob hipóteses apropriadas) que a velocidade ins tantânea de P assume em (a, b) a referida velocidade média: vm = f \ c \ a < c < b.

EXERCÍCIOS 3.2.1. Achar c, como no teorema do valor médio, nos casos: a) f(x) = x3,

o = 2,

b = 3;

> ) / < * ) a = 0,

b = 3;

X +

1

c) /(x ) = ln x + 3, a = 3, b = 5; d) /( x ) = x3 - 2x2 + 3x, o = 0, b = 2. 3.2.2. Mostre que a corda pelos pontos (o, f(a)) e (b, f{b)) do gráfico de /(x ) = x2 + mx + n é paralela à reta tangente a esse gráfico no ponto (a + b J a + b \\


89

3.2.3. Verifiar se o teorema do valor médio se aplia às seguintes funções, determinando c se for o caso, 1 x ^ ± 1, a = 0, 6 = 5; a) f ( x ) = 1 - x 1  X * +

X

* » m = | ‘ f _ 3x + 2 se 1 < x < 2 3.2.4. Prove que .. b -a , b b-a *a) — - < ln — ^ » b a a -----

„ , 0 < a $ b.

Sugestão. In — = In b - In a. Aplique o teorema do valor médio para a f(x ) = In x, a ^ x ^ b. e“(b -a ) < eb- e a < eb(b -a ). a < b: aqui você pode usar o gráfico b) de e* (Fig. 3-10).

3.3. APLICAÇÃO DO TEOREMA DO VALOR MÉDIO; INTERVALOS ONDE UMA FUNÇÃO CRESCE OU DECRESCE Observe o gráfico da Fig. 3-11. Imaginando um ponto percorrendo a curva “da esquerda para a direita”, você vê que ele sobe de A até B e de pois desce de B até C. Dizemos que a função é crescente no intervalo [a,6] e decrescente no intervalo [6,c]. A fim de formalizarmos a definição, ob serve que, no intervalo [a,6], por exemplo, para x e x ' quaisquer do mesmo, com x < x\ temos f(x ) < f(x') Passemos à definição.

90


Sea / uma função cuo domínio contém os pontos de um intervalo 1. Diz-se que / é crescente (decrescente) em I se, para quaisquer x, x' de /, com x < x’, verifica-se f(x) < /(x ') (/(x) > /(x')). Freqüentemente se diz “/ é crescente” (“/ é decrescente”), caso onde se deve subentender que o domínio de / é um intervalo no qual ela é crescente (decrescente). Olhe novamente para a Fig. 3-11. Perguntamos s e / é crescente ou de crescente. Se você prestou bastante atenção na definição acima, responderá que / não é crescente nem decrescente, mas / é crescente em [u,b], e decres cente em [ M - Observe que a palavra “quaisquer” na definição é impor tante. Por exemplo, não basta verificar só para dois pontos x e x', com x < x\ que f(x ) < f ( x r) para concluir qué f é crescente. A proposição a seguir nos dá um critério para achar os intervalos onde uma função é crescente e os intervalos onde ela é decrescente. Proposição 3.3.1. Seja / uma função contínua num intervalo /. e derivàvel no seu interior. Sc, para todo ponto x interior, vcrifica-sc

a) /'( * ) > 0, então / é crescente em / ; b) /'(x ) < 0, então / é decrescente em I; c) /'(* ) = 0» então / é constante em /*. Os resultados são geometricamente óbvios, como se constata na Fig. 3-12.

Figura 3-12

II I

II I

tga = 0

e)

*Isto é, /(x) = R, para todo x de I.

91


Prova. Seam  e ' pontos quaisquer de / om x < '. Pelo teorema do valor médio, eiste c, com x < c < x', tal que

/( * ')- /(* ) = /'(c X x '-x ), a) Se/'(x) > 0 para todo x de / que não é extremo de /, então, em par ticular, J '(c) > 0 e como x - x > 0, resulta da relação acima que /(* ')- /( * ) > 0, o que mostra que / é crescente em /. b) Deixamos esse caso como exercício. c) Seja x0 um ponto de /. Para qualquer x de / pode-se escrever f ( x 0) - f (x) = /'(cXx0 - x),

onde c é um número entre x0 e x. Como /'(c) = 0, por hipótese, resulta /( x 0) = /(*) para todo x de /, o que termina a prova. Nota. A proposição nos diz que devemos examinar / ' somente nos pontos que não são extremos. No entanto a conclusão vale para 1. Considere, por exemplo, /(x) = x, 1 = [0,1]. / é continua em /, e /'(.\) = 2.x > 0 para todo .x de (0,1). Logo, podemos dizer que/ é crescente em / = [0,1 ], muito em bora/'(0) = 2 0 = 0!

Corolário. Sejam / e q funções contínuas num intervalo 1 e deriváveis no seu interior. Suponha que /'(x) — g'(x) para todo ponto interior x do intervalo. Então existe um número k tal que f(x) = g(x) + k

para todo x de I. Prova. A função & = f - g é tal que

n ) = /'(x)- 0'(x) = o para todo ponto interior x de /. Logo, pela Proposição 3.3.l(c), existe k tal que \ft(x) = k para todo x de /, *St°

/(x ) g(x)

k

para todo x de /.

92


Notas. ) Geometriamente, o corolário nos diz que, se os gráficos de/e g possuem retas tangentes paralelas relativas a um mesmo x de /, subsistindo isso para todo x de /, então cada um pode ser obtido do outro por uma translação "vertical''. 2) Exprime-se, de maneira abreviada, o resultado do corolário da seguinte ma neira: "funções com mesma derivada diferem por uma constante".

Exemplo 3.3.1. Achar os intervalos em que / é crescente e os em que / c decrescente, sendo f(x ) = x2. Como f \ x ) = 2x, então f'{x) > 0 se x > 0 e f'{x) < 0 se x < 0. Então / é decrescente no intervalo x ^ Oe crescente no intervalo x ^ 0 (Fig. 3-13). Se você está pensando que, na conclusão, existe erro de impressão por que escrevemos x ^ 0 e x $ 0, está enganado. Se escrevéssemos x > 0 no lugar de x ^ 0, estaríamos afirmando que / é crescente no intervalo x > 0, o que é verdade. Mas a proposição nos permite dizer mais:/ é cres cente no intervalo x ^ 0.

Figura 3-13

Figura 3-14

Exemplo 3.3.2. Idem para f(x) = senx, -- j- < x

Como f \ x ) = cos x > 0 para -

< x <

y (Fig. 3-14).

resulta que / é crescente

. . ir rc no intervalo - —- ^ x ^ — • 2

2

Exemplo 3.3.3. (Contra-exemplo). Se uma função é contínua num in tervalo /, derivável nos pontos x de l que não são extremos de / e é cres cente nesse intervalo, é verdade que devemos ter, necessariamente,/'(x) > 0

93


para tais ? A resposta é não, omo mostra a f unção /(x) = x3, i qual é crescente, mas /'(x) = 3x2 se anula em 0. (Fig. 3-15).

Figura 3-15

Exemplo 3.3.4. Achar os intervalos onde a função /(x) = x2/3(: + 5) é crescente, e aqueles onde é decrescente.

Temos /'( * ) = —3

x 2/3 + — x

y X - ' ' 3(x

3

+ 2)

(X * 0).

94

INTR OD UÇ ÃO AO CÁLCUL O cálculo diferencial

Vemos que / não é derivável em 0. Estudando o sinal de / ', chega-se facil mente ao seguinte: /'( * ) =

> 0 <0 > 0

se se se

x < -2, -2 < x < 0, x > 0.

Logo, / é crescente no intervalo x < -2, decrescente no intervalo [-2,0], e crescente no intervalo x > 0. Exemplo 3.3.5. Prove que, se x ^ -1, então x3 + 6x2 + 9x > -4. Considere a função / (x) = x3 + 6x2 + 9x + 4. Como /'(x ) = 3x2 + + 12x + 9, temos, estudando o sinal dessa função,

/'(x ) > 0

se

x > -1.

Portanto / é crescente no intervalo x > -1. Logo, por definição de função crescente, teremos x > -1

acarreta f(x) > /( - l) = 0,

isto é, x > -1

acarreta

x3 + 6x2 + 9x + 4 > 0.

EXERCÍCIOS 3.3.1. Para cada função dada a seguir, dê os intervalos nos quais a função é crescente e aqueles nos quais a função é decrescente. Tente, quando pos sível, esboçar o gráfico, /(x) = a) x 2 - x + 1; d) x3; g) x4; j) y / x ( x > 0); . x~l . 4x + 2

b) x2 -1 e) x3 -1 h) x4 —x 1) 1 0)

s) ln x, (x > 0);

t) xln2x (e = 2,71...)

u)

v) y ( x + 1)33  2  2

c) 0 i) m)

a x + bx + c(« & 0); x3-x; x", n = 1. 2. 3. •.. . 0);

X - (x ft 8, -2); # 1); P ) (I-8 H x + 2, 71 q) sen x, 0 < x < n; r) sen x + cos x, 0 < x < — ;

® )

J

I

’

(x > 0);

95


3.3.2. Prove que 2 a) se x > 0, então x - — < ln( l + x); b) se x > 0, então ln(1 + x) < x; c) se x > 0, então 1 + x < ex; x^ *d) se x > 0, x - — < sen x < x. o

2

x2 —1

3.3.3. Derivando /(x) = — =------ e g(x) = —=------ »chega-se ao mesmo rex + 1 x + 1 sultado, Explique. 3.3.4. Sejam / e g funções definidas para todo número tais que /'( * ) = g(x),

g'(x) = -/(.x),

/(O) = 0,

g(0) = 1.

a) Prove que (/(x ))2 + {g(x)) = 1. Sugestão. Considere a função x  = [   x ]2 + [ í 7x ]2 -1 .

Mostre que h'(x) = 0; logo, h(x) = c. Mostre que c = 0 . b) Se /, e gt são funções definidas para todo número tais que: f \ (x ) =

0,(x),

g\ {x) =

-/,(x),

f = fi

e

m

= 0,

0,(0) = 1,

então g^g^

Sugestão. Considere a função s ( * ) = U ( x ) ~ M x ) V + [ 0( x ) - 0 , ( x ) ] 2 .

Mostre que s'(x) = 0 e, portanto, s(x) = k. Mostre que k = 0. Coentário

Compare / e  oom seno e coseno.

3.3.S. Dado um intervalo aberto í, quantas funções de domínio / existem satisfazendo a \ f'{x)

0, l / (x ) = 3 =

(x 0 é um número de /)?

96

INTRODU ÇÃO AO CÁLCULO cálculo diferencial

3.3.6. Sea / uma função definida para todo número tal que /'()  /( ), /(O) = 1. Mostre que f(x) = —— • /( ) Sugestão. Considere h{x) = /( )/( ). Derive e obtenha h'(x) = 0. Comentário. Compare com ex.

3.3.7. Se / é ontínua num intervalo /, derivável em todos os pontos x in teriores de /, para os quais se supõe/'(x) > 0, então, para todo x , , x2 de f com x, < x 2, temos /( x ,) < / ( x 2).

3.4. MÁXIMOS E MÍNIMOS Na solução de problemas práticos, freqüentemente somos levados a procurar o valor máximo ou o valor mínimo de uma função. Por exemplo, quais devem ser as dimensões de uma caixa sem tampa que se pode construir com uma dada chapa retangular de modo que o volume seja o maior pos sível? Outro exemplo: dispondo-se de uma quantidade fixa de aramado, quais devem ser as dimensões de um cercado retangular de modo a englobar maior área possível? Quando o valor máximo (ou o valor mínimo) procurado se refere a uma função continua num intervalo fechado e derivável nos pontos in teriores do mesmo, já sabemos o que fazer (veja Exer. 3.1.4). Vejamos alguns exemplos de natureza prática, que dão origem a casos como esse. Exemplo 3.4.1. Considere o circuito da Fig. 3-17. Temos um gerador de força eletromotriz E constante, de resistência interna r, o qual está conec

tado a uma resistência variável JR, que varia de

até 4r. Deseja-se sa

ber qual a máxima e a mínima potência que podem ser despendidas em R. Pela lei de Ohm, a corrente I que flui no circuito é /

E R + r

97


Figura 37

Como a potência vale P = R I ,

resulta P

R

y

\ R + r)

2

< R ç 4r.

Temos à P

dR

r-R ( R + r)3

E 2

Portanto, igualando a zero, resulta R = r, que está no intervalo [r/2, 4r]. Temos & / E V

w = r(— ) ’

0-25

T

Como

Kt )? e

vem que

£2

P(4r) = 0,16 — , r P(4r) < P ^ - 0 < P(r).

Então 4r é ponto de minimo de P, e o valor mínimo da potência é E P(4r) = 0,16 — , r e r é ponto de máximo de P; Logo, a máxima potência será E P(r) = 0,25 — r

Para você visualizar a situação, utilize o esboço do gráfico de P{R), dado na Fig. 3-18.

98

INTR OD UÇ ÃO AO CÁLCU LO cálculo diferencial

Exemplo 3.4.2. Um indivíduo pa rtind o de um ponto A que r h ega r a um ponto B (vea Fig. 319) no meno r tempo possível. Ele caminha a uma velocidade t>, = 3 km/h no terreno sombreado, e a 4 km/h na estrada OB. Admita que ele parte de A ecaminha em linha reta Como deve o indivíduo proceder?

Seja C o ponto da estrada, distante x de 0, onde ele chega, para depois se dirigir a B, através da estrada. O tempo total do percurso será T(x) =

AC V1

CB _ y / 16 + X2

”2

4- x ------ > 4

0 ^ x < 4.

Um cálculo nos fornece 4x 16 + x2 F(x) 12^ 16 + x2 que se anula somente em x =

12

* e esse número está fora de f0,4l.

Logo, os pontos de máximo e de mínimo devem ocorrer nos extremos.

99


Como 7(0) = y S 2,3

7() 

» .,8,

resulta que  é ponto de mínimo de 7 e, então, o indivíduo deve ir de A a B em linha reta. O gráfico de 7 é dado na Fig. 3-19A.

Exemplo 3.4.3. Achar as dimensões de uma caixa sem tampa, de maior volume possível, a ser construída com uma lâmina retangular de zinco de 2 cm por 4 cm (Fig. 3-20).

Sendo x como na figura, resulta, para o volume, V(x) = x(2 - 2xX4 - 2x),

0 < x < 1.

Aqui consideraremos 0 < x < 1, para podermos aplicar os resultados. Derivando, chegamos a F'(x) = 4(3x2 - 6x + 2),

100

INTRODU ÇÃO AO CÁLCULO cálculo diferencial



----

X

"T

1

!

j

í

2

Figura 3-20

r------------------------ 1-----

X L

i

! 1x f

1

L j *X

4 . , „ 3 + y/~3 3 -7 3 . . 3 - /3 cujas raizes sao x = — e x = — -— »das quais apenas x = — -— ----

pertence a (O.l). Como RO) = 0,

V

RI) = 0,

3- /3 vemos que — ^ — é o ponto de máximo de K no intervalo [0,1], logo, ' . . , 3 - /3 273 será também no intervalo (0,1). As dimensões devem ser — - — * —- » y (3 + 7 3 ) . O gráfico de V é dado na Fig. 3-21.

Figura 3-21

Existem problemas que nos conduzem à procura de valores máximos e mínimos de uma função num intervalo que não é fechado. Um critério útil que muitas vezes pode ser utilizado é o dado a seguir.

101


Proposição 3.4.. Sea / uma função contínua num intervalo / e deri vável no seu interior. Se, para um ponto c desse interior, verifícarem-se

a) f \ x ) < 0 (/'(x) > 0) para todo x do interior de / tal que x < c e b) /'(*) > 0 (/'(•*) < 0) para todo x do interior de / tal que x > c, então c é ponto de mínimo (máximo) de / em /. Prova. Decorre da Proposição 3.3.1 que f é decrescente (crescente) no intervalo constituido pelos x de I tais que \ < c. e é crescente (decrescente) no constituído pelos x de / tais que x $s c (Fig. 3-22). / _____________, ,________________A Figura 3-22

i

— 1<:------------l f é decrescente aqui / é crescente aqui

Isso quer dizer precisamente que /(c)-$/(x) ( f(c ) ^ / (x)) para todo x de /, e a afirmação se segue. Nota. Como se vê pela prova acima, é dispensável ser / derivável em c. Exemplo 3.4.4. Entre todos os retângulos de mesma área (dada), qual o que tem menor perímetro? Sendo a a área dos retângulos, e x. um dos lados, o outro será ajx e o perímetro será

/ ( * ) -

x > 0.

Como estamos procurando um ponto c de mínimo de / no intervalo aberto x > 0, devemos ter (Lema da Sec. 3.1) f'(c) = 0

2( 1 _ ^ ) = 0

c = ±y/~ã-

Só serve c = yj~ã, pois - y f a não pertence ao intervalo x > 0. Como /'(x) < 0 para 0 < x < c e f'(x) > 0 para x > c, como é fácil ver, temos que c = yj~ã é ponto de minimo de / Logo os lados devem ser N/ a e -7= =

J a , ou seja, o quadrado é o que tem menor perímetro.

102


Exemplo 3.4.5. (Método dos mínimos quadrados.) Dados n números al , a  , . . . , a t t , ahar x tal que a soma

/( )  t , (x ~ a.)2 i 1 seja mínima. Aqui x varia no conjunto de todos os números. O número c que mini miza a soma, se existe, é solução de f ( c ) = 0. Mas f \ x ) = 2 [n x -(a , + •• • + a j ] • c = a i + ' " + a» . n *’ Como f'(x) < 0 se x < c e /'(x) > 0 se x > c, segue-se que c é ponto de mínimo de / no conjunto de todos os números. Às vezes, o estudo do sinal de / ' é complicado, e um critério utilizando a derivada segunda de / é mais conveniente: Proposição 3.4.2. Seja / uma função contínua num intervalo /, em cujo interior/ ' é continua e/"(x ) > 0 (/"(x) < 0). Se c é um ponto desse interior tal que f'(c) = 0, então c é ponto de mínimo (máximo) de /e m I. Prova. Suporemos a condição /"(x) > 0, deixando o outro caso para o leitor. Seja x um ponto qualquer do interior de /. Aplicando o teorema do valor médio a / ' no intervalo de extremos c e x, vem

/'(* )-/'(c ) =/"{d)(x-c), onde d é um número entre x e c. Por hipótese, temos /'(c) = 0, de modo que a relação acima fica /'(x )= /" (d X x -c ). Então, como f'(d ) > 0, temos que e

/'( x ) < 0 se

x < c

f ( x ) > 0

x > c.

se

Como / é contínua em /, o resultado segue da proposição anterior.

103


Exemplo 3.4.6. (Reflexão da luz). Um raio luminoso parte de um ponto A, incide sobre a superfície de um espelho, e atinge o ponto B (veja Fig. 3-23). Mostre que o ângulo de incidência i é igual ao ângulo de reflexão r, usando o princípio de Fermat, segundo o qual o tempo gasto pela luz deve ser mínimo. A

Figura 3-23

a

b

Sejam a, b, l, x como na figura («, b, l positivos). Sendo v a velocidade da luz, temos para o tempo de percurso: v

PB _ J a + x2 -I- y j ( l - x )  + b v V

de onde obtemos T A equação T'(x) — 0 nos dá a raiz

a /. c= a+b

Um cálculo desagradável nos fornece V (X + a 2)3 y j [(x -D 2 + b] o que mostra, pela proposição anterior, que o tempo mínimo se verifica

104


Pela figura (substituindo  por c), vemos o b a

l

l a b

l-c a+h l tg r ~ ——  ------ —  ----------b b a+b tg i —tg r .'. i — r. (Por quê?) O resultado podia ser provado também notando que T'(c) = 0 equi vale a c l-c

isto é,

\ / a + c J b1 + (/ - c) sen i = sen r i ~ r.

Nota. Para concluir que c é ponto de mínimo de T. podemos evitar o cálculo de T" da seguinte maneira. Devemos ter T\x) t 0 para todo x < c. pois c è a única raiz de T\ e, por ser V continua no intervalo x < c. T‘ não muda de sinal nesse inter valo, senão, pelo teorema dc Bolzano, havería um zero de T no mesmo. Como

7'(0) = ------ ' ____< 0. r J b 1 + I então T'(.r) < 0 f>ara x < c. Do mesmo modo sc chega a T\x) > 0 para x > c. Basta usar agora a Proposição 3.4.1.

Exemplo 3.4.7. Deseja-se construir um recipiente cilíndrico (sem tampa) de V litros de capacidade. Quais as dimensões do recipiente que requerem o mínimo de material? Sejam h e r a altura c o raio da base do cilindro, respectivamente. (Fig. 3-24) Devemos ter

V= nrh Para o mínimo de material, devemos calcular a área da superfície e minimizá-la:

A(r)

nr1

nrh.

105


Da fórmula do volume, vem h = ~nr 2

V A = nr + — = A(r),

de onde

r > 0,

V A‘{r) = 2nr — =-

Igualando a 0, resulta r = 4V . Como A"(r) = n — j- > 0 (r > 0), concluímos que / — é ponto de n mínimo de Ay e é a resposta procurada. Nota. Problemas como este podem ser resolvidos de uma outra maneira, que, evcntualmentc, dà menos trabalho. Ao invés de procurar exprimir todas as variáveis em função de uma só (como fi/emos. exprimindo A cm função de r). apenas con sideramos que isso pode ser feito e utilizamos uma expressão que defina tal função implicitamente. Por exemplo, na relação •

A(r) = nr1 + nrh, consideramos h como função de r. Derivando, A'(r) —nr + n(lt + rh'(r)). Precisamos calcular h'(r). Sendo V = nr2/»,

06


onsiderando novamente h como função de r, vem, derivando, O = V =  n r h + nrh'(r) h h ( r )>= -----

•.

Substituindo na expressão dc A'(r): A '( r )

r

= 27t(r

h),

que se anula para r = h. Esse valor, levado na fórmula dc V, nos dá V = n r h - n r 3

Para o cálculo de A''(r ) usamos a expressão encontrada de A'(r):

A"(r) = [2rc(r - /»)]' = 2n(l - li(r)) —

>0

f y t e * - é ponto de mínimo de A. V 71 Na Fig. 3-25, apresentamos os gráficos de A{r) para K = 1, V — e V = 3.

Figura 3-25

V= 1

i +i >

I - 4 » .X


107

Um problema que f reqüentemcnte surge na prática é o de determinar o andamento de uma função y = f(x) ao variar x. Isso é obtido, por exemplo, esboçando-se o seu gráfico. Para esse efeito, é bastante importante conhecer os pontos do gráfico nos quais se apresentam “picos” e “vales”. Observe a Fig. 3-26, onde se representa o gráfico de uma função.

Os pontos do gráfico correspondentes a b, d. /s ã o “picos” ; c os corres pondentes a a, c, e, g, pontos de “vale”. Note que, se consideramos valores de x suficientemente próximos de b, esse ponto fica parecido com ponto dc máximo da função, embora não seja isso. Na verdade, ele é ponto de máximo “naquele local vizinho a />”. O mesmo sucede com os pontos d c / Analogamente, os pontos a, i\ e, g se pa recem com pontos de mínimo da função. Essas considerações motivam a definição dada a seguir. Seja / uma função de domínio D, e c e D. Dizemos que c é ponto de máximo local de f se existe r > 0 tal que x e D n (c - r, c + r) => f( x ) < f ( c \ e nesse caso f{c) é dito um (valor) máximo local de f. Trocando ^ por ^ te remos ponto de mínimo local e (valor) mínimo local de f. Eis duas proposições que reconhecem pontos dc máximo e minimo locais. Proposição 3.4.3. Seja / uma função contínua num ponto c. Suponha que existe um intervalo (a,b) contendo c tal que f'(x) < 0 para a < x < c e/'(x) > 0 para c < x < b. Então è ponto de minimo local de/. Trocando

108


entre si f'{x) > 0 e f'{x) < 0 no enunciado, a conclusão é que c é ponto de máimo local d f. Prova. Decorre da Proposição 3..1 e da nota após sua prova. Proposição 3... Sea c um ponto do domínio de uma função / tal que f'(c) = 0. Então a) se /"(c) > 0, c é ponto de mínimo local de f ; b) se f"(c) < 0, c é ponto de máximo local de /. Prova. Por definição, f'(c + h)-f'(c) f"(c) = lim ' -------- — • n *->0 Como f \ c ) = 0, r ( c ) = lim £ ( £ - t* > . h fi-»o Suponha que f"[c) > 0. Então, para h suficientemente pequeno*, deve ser f'(c -|- h) > 0, e, daí, J \ c + h) > 0 se * > 0, /'(c + h) < 0 se h < 0. A conclusão segue da proposição anterior. h

Nota. Uma explicação geométrica do fato de aparecer a derivada segunda nesta proposição será possivel em termos de concavidade de gráfico, matéria que será vista na próxima seção.

Exemplo 3.4.8. Achar os pontos de máximo local e de mínimo local da função f(x) = x 3 - x + 2 / 3 . 9

Temos / (x) = 3x ! - , ■ raizes , > /3 e cujas são

3

*Quer dizer, existe h0 > 0 tal que h varia no intervalo (-h0 h0).

109


Como /"()  6, resulta

r ( ^ ) = 273 > o

e

  27 3 < 0 Então

73 73 é ponto de mínimo local — é ponto de máimo local  ——

de /.

Nota. Se/'(c) = 0 e f"(c) = 0, nada se pode afirmar, pois, se/(x) = x4, 0 é ponto dc mínimo local e /'(O) =  , /"(O) = 0: e, se /(.v) = x3, /'(O) =  , /"(0 ) = 0 e 0 não é nem ponto de mínimo local nem de máximo local. Para se decidir que tipo dc ponto é c, nesse caso é preciso lançar-se mão de derivadas de ordens mais altas. Veremos isso quando estudarmos a fórmula de Taylor. Veja, porém, o Exer. 3.4.15.

EXERCÍCIOS 3.4.1. Um fazendeiro quer construir um galinheiro retangular de modo que um dos lados seja uma parte de um muro de que ele dispõe. Sabendo que o fazendeiro possui l metros de aramado. dimensionar o galinheiro de modo que as galinhas tenham o maior espaço possível para seus afazeres.

110


3.4.2. Uma anela deve ter a f orma de um retângulo encimado por uma smicirunfernia. Sendo seu pcrimctro fixo, achar a relação entre a base e a altura da parte retangular se se requer área máxima de abertura. *3.4.3. Um arame de comprimento l deve ser cortado de modo a se obte rem dois pedaços, um dos quais é usado para construir um círculo e o outro para construir um quadrado. Como deve ser feito o corte para que a soma das áreas englobadas pelas duas peças seja a) minima?

b) máxima?

3.4.4. Dentre todos os triângulos retângulos tendo mesma soma dos catetos, a) qual o de área máxima? b) qual o de hipotenusa mínima? 3.4.5. Achar o trapézio (isósceles) de maior área inscrito num semicírculo dado, sendo sua base maior o diâmetro desse semi-círculo. 3.4.6. Retira-se de um disco um setor e, com a parte restante, constrói-se um cone. Achar o ângulo central do setor removido de modo que o cone tenha volume máximo. 3.4.7. Inscrever numa esfera dada a) o cilindro de área lateral máxima; b) o cone de volume máximo; c) o cone de área lateral máxima. 3.4.8. Escrever um número como soma de dois números de produto máximo. 3.4.9. Sobre um pedestal de altura H coloca-se uma estátua de altura h. A que distância do conjunto deve se postar um observador para que veja a estátua sob ângulo máximo? 3.4.10. No lançamento oblíquo de um projétil no vácuo, qual o ângulo que dá o maior alcance para uma velocidade escalar inicial fixada? 3.4.11. a) Achar o ponto do gráfico de f{x) = x  que está mais próximo do ponto P = (0,1). b) Idem para f(x ) = y j x + 1, P = (0,0). c) Idem para f(x ) — x - 1, P = (0,0). 3.4.12. (Lei da refração da luz). Dois meios (I) e (II) estão separados por uma superfície. A velocidade da luz é t, no meio (I) e v no meio (II). Se um raio luminoso parte de um ponto A x de (I) e atinge A  em (II), o cami nho é tal que o tempo gasto é mínimo (Fermat). Mostre que o raio cruzará a superfície num ponto B (veja Fig. 3-28) tal que

111


3.4.3. Achar os pontos de máimo local e v x  + 1 x a ) ---------; b) x x + 1 x2 - 5x + 9 d) x4 - 4 x 3 + 4x2- 1; e) , x - 6x + 9;; g) e x - x + 3; h) cosh x; (2 - x)3 1) x(l + x)2(l - x ) 3; m) 2(1- x ) ’

de mínimo local de/, sendo/(x) = c) 2x3- 6 x + yf?>\ sen x - cos x + 2 — .. 0 1 + sen, x + (cos x)(cos x -1 ) i) senh x ; j) xex; n) 3*.

3.4.14. Como devem scr a e b para que a função /(.\) = ax -hln(l + x2) tenha a) 2 como ponto de mínimo local; b) -2 como ponto de máximo local. 3.4.15. a) S e /é uma função contínua em c e existe um intervalo (a,b) con tendo c tal que /'(x ) > 0 s e a < x < c e f'(x) > 0 sc c < x < b, então c não é ponto de máximo local nem de mínimo local de /. O mesmo resultado vale se no enunciado trocamos/'(x) > 0 por f'(x) < 0. b) Mostre que 0 não é ponto de máximo local nem de mínimo local de /(x ) = x3. c) Existem a c b tais que a função do Exer. 3.4.14 tenha 1 como ponto de máximo local? (mínimo local?) 3.4.1 . Mostre que 0 é ponto de mínimo local de /(x) = x4. Idem para /(x ) = x2;, n natural. 3.4.17. L dado o gráfico da derivada de uma função. Dar os pontos de máximo local e de mínimo local da função nos casos:

112


O que se pode concluir sobre a eistênia d pontos de máimo e de mínimo? 3.5. APLICAÇÃO DO TEOREMA DO VALOR MÉDIO. CONCAVIDADE Nesta seção veremos que informação geométrica c dada pela derivada dc segunda ordem dc uma função. Suponha que / seja uma função contínua num intervalo /, em cujo in terior esteja definida / " . Suponha também que, para todo ponto x interior de /, verifique-se f"(x) > 0. Como / " é a derivada de / ', isso significa que / ' é crescente no interior de /. (Veja Proposição 3.3.1). Portanto, à medida que x cresce, o coeficiente angular da tangente deve aumentar, e a reta tan gente “roda” no sentido anti-horário. Na Fig. 3-30, é mostrado um caso típico dessa situação. Av

H------ 1---------1--------- 1------------- 1X x Xj x4 X,

►

X

113


Observe: , < 2 < 3 <  < 5 e /'( ,) < / '(  a) < / '(  3) < f ' ( x j < < /'(  5). Quando ocorre um aso como o da figura, dizemos que a função tem concavidade para cima. Se, nas onsiderações feitas, tivéssemos suposto f"(x) < 0, o aspecto do gráfio de um caso típico seria o mostrado na Fig. 331 e, nesse caso, diz-se que / tem concavidade para baixo.

A fim de formalizarmos a definição de concavidade para cima e para baixo, observemos que, no primeiro caso, traçando a tangente em qualquer ponto do gráfico, com exceção do ponto de tangência, todos os pontos do gráfico ficam acima da tangente, (no segundo caso, todos ficam abaixo, com exceção do ponto de tangência)*. Analiticamente, isso pode ser ex presso por (veja Fig. 3-32). A f(x,h) > df (x,h), islo é. /(x + /■ )-/(*) >/'(x)/> f ( x + h)> f{x) + f'(x)h, para certos x e h.

Precisamente, damos a seguinte definição: Seja /u m a função contínua num intervalo / e derivável no seu interior**. Diremos que / tem concavidade para cima (para baixo) em I se, para todo x interior de / e h # 0 com x + h em /, verifica-se AAx,/i) > df(x,h)

(A/(x,/i) < df(x,h)).

Proposição 3.5.1. Seja / uma função contínua num intervalo 1. Suponha que, no interior de / . / ' seja continua e f " esteja definida. Então, se/"(x) > 0 *A matéria a seguir pode ser deixada de lado numa primeira leitura. **Existe uma definição mais geral, que não exige diferenciabilidade.

114

' INT RO DU ÇÃ O AO CÁLCULO cálculo diferencial

para ima (para baio) em /. Prova. Temos, para todo  do interior de / e h ^ 0 tal que  + h per tence a /, A /(,/i)  df x  j   / (  h) -f ( x ) - h f Xx)  = J"(c)h-hf'(x) = h (n c )- f' (x ) ) = hf"(d)(c-x), onde c é um ponto entre  e  + h, c d. um ponto entre c e . (Apliamos duas vezes o teorema do valor médio. Uma vez a / e uma vez a /'.) Temos, por hipótese, que f"(d)  0. Por outro lado, o produto h(c - ) é sempre positivo para h / 0 (vea Fig. 333). Figura 333

 

c xh ' i  h>0

c x h — <----------- |.. ■ | h<0

Logo. À/(x,h)-d/(x,h)  0. O outro caso é deiado como eercício. Exemplo 3.5.1. Dada /(x) = senx, 0 < x < 2n, achar em quais inter valos ta função tem concavidade para cima c cm quais tem concavidade para baixo (Fig. 3-34).

115


Temos f " ( x )  sn. Logo, /"() < 0 se 0 <  < j i e então / tem concavidade para baio em [0,r]. Se n <  < 2n, /"( ) > 0. e então / tem concavidade para ima em [ jt  27l].

Exemplo 3.5.2. Idem para /(x) = Inx, x > 0. (Fig. 3-35).

Temos f"(x) = -

x

< 0; logo. f tem concavidade para baixo no seu

domínio.

Figura 3-35

x2 + x - 3 ( X ¥= - 1) (Fig. 3-36). x+ 1 Através de um cálculo fácil chega-se a que Exemplo 3.5.3. Idem para /(x) =

/"(x) = -

6

(xTT)3

(x # - 1).

Se x < -1, vemos que f"(x) > 0, e f tem concavidade para cima no in tervalo x < -1. Para todo x do intervalo x > -1, temos J "(x) < 0, e / terq concavidade para baixo nesse intervalo.

116

INTR OD UÇ ÃO AO CALCULO cálculo diferencial

Fig ura 336

Nota. Reeamine agora os enunciados das Proposições 3.4.2 e 3.., tendo presente o que se fez coni relação á concavidade Os resultados dessas proposições agora deverão parecer-lhe naturais.

Suponha que / seja derivável num ponto c, e que existam a t b tais que a 0 f"(x) < 0

(/"(*) < 0) para a < x < c, (f"{x) > 0) para c < x < b.

Nesse caso, c é chamado ponto de inflexão de f. Sugestivamente. podemos dizer que. num ponto de inflexão, a função muda sua concavidade.

Figura 3-37 c é ponto de inflexão

\


117

Admita que f " seja continua em (a,ò) (notação e hipóteses como na definição anterior). Tomados um ponto m dc (a.c) e um ponto n de (c,b),f"(m) e/"(«) têm sinais contrários, por hipótese. Pelo teorema de Bolzano, existe um ponto de (m,n) no qual / " se anula, o qual só pode ser <• em vista das hipóteses feitas. Provamos assim.a proposição que segue.

Proposição 3.5.2. Seja c ponto de inflexão de uma função /. Se f " for contínua em c\ então f"(c) = 0. Exemplo 3.5.4. Achar os pontos de inflexão de / (x) = sen x. 0 < x < n. Como /"(x) = - sen x é contínua, se existir ponto de inflexão, deveremos ter /"(c) = 0. 0 < c < 2». No caso, temos c = n. Como /"(x) < 0 para x < n e /"(x) > 0 para x > 7t. segue-se que c = n è ponto de inflexão.

Exemplo 3.5.5. (Contra-exemplo). O fato de f"(c) = 0 não acarreta que c seja de inflexão. Por exemplo, para /(x) = x*. temos /"(x) = 12x2. Então /"(O) = 0. mas 0 não é evidentemente ponto de inflexão de /. pois f"{x) > 0 para todo x ^ 0.

118


f(x) = A'

EXERCÍCIOS Nos eeríios a seguir, estudar a concavidade e os pontos dc inflexão dc f(x ) = 3.5.1. x2. 3.5.4. x 3. 3.5.7. -1 • 3.5.10. (1 + x V . 3.5.13.

3.5.2. 2x2. 3.5.5. x5 + x. x 3.5.8. 1 + X

3.5.11. x 2 v/ x + 1. 3x3 3.5.14. - - — • ln x

3.5.3. ax2 + bx + c (a # 0). 3.5.6. 1 3.5.9. 1 + x2 3.5.12. y í ? .

3.6. ESBOÇO DE GRÁFICOS DE FUNÇÕES As informações das seções anteriores são de grande valia no traçado de gráficos de curvas, como é claro. No entanto é desejável que se tenha uma idéia do comportamento de uma função para valores de x "muito

119


grandes” e para valores de  muito negativos”. Epliquemos melhor, dando um eemplo. Considere a função f(x) = 1/x, (x # 0). É intuitivo que, quando x c muito grande. 1/x é muito pequeno. Quanto maior x, mais 1/x se aproxima dc 0 (veja a Fig. 3-40).

x-» + «

X

Se x se torna muito negativo, por exemplo, x = -1 000000, — tam bém se aproxima de 0 (n o caso. — —------A-___= - 0.000001 \ O fato é J F V x -1000000 indicado assim: ,lim — 1 = 0. x - * — oo

X

Veja mais exemplos através da Fig. 3-41.

120


Nos asos (a), (b) e (c), temos lim /(x) = L e, nos casos (c) e (d), x-++ 00 temos lim /( x ) = L. JC-*- 00 Formalmente, seja / uma função cujo domínio contém um intervalo da forma x ^ a. Então dizemos que / tende a L para x tendendo a mais infinito e indicamos lim f(x) = L se. dado e > 0, existe um número b tal que. X

+ 00

para todo x > b, temos \ f ( x ) - L \ < e. Na Fig. 3-42, você pode observar que. a partir de b, o gráfico da função fica inteiramente contido na faixa sombreada; e, para cada e > 0. você encontra um b e constrói uma faixa do mesmo tipo.

Deixamos para você a definição de lim /(x), bem como ilustrações X

— cjO

gráficas correspondentes. Os teoremas que existem em conexão com as definições acima são inúme ros e seria bastante desconfortável (tanto para nós como para você) enun ciá-los aqui*. Vamos agir na base da intuição. . x * + x - 1 Exemplo 3.6.1. Calcule o limite de — ^— —— para x tendendo a mais r x* + 10.x infinito c a menos infinito. Temos 2x5 + x - 1 lim x  + ao x5 + lOx

2+ X V ^x3 lim íõ X *• + 30 1 + X4

(dividimos numerador e denominador por x5). *Veja tabela adiante.

121

o torma do vaor médio  suas apiaçõs

. ^ J  i io r Quando x cresce, vemos que -r» —r» —r tendem a zero. Logo, x x x 2x 5 + x -1 . 2 + 0 - 0 ^ lim — ;— —— • = —----- — = 2. X-.+® x5 - lOx 1+ 0 ^ , • . 1 1 10 . Quando x se torna muito negativo. — > — > —j se aproximam de 0. X’ x" x Logo. 2x5 + x  1

2 + 00

x 5 + lOx

1+0

„

hm — t ----—— = —----- — = 2.

x - - oo

x* —1 Exemplo 3.6.2. Calcular o limite de — —— para x tendendo a menos

infinito e a mais infinito. Temos x2- l lim —- = lim x - -‘- 4x - 3x x- + 00

1-

X

00

(dividimos o numerador e o denominador por x2). 1 3 Quando x se torna grande. -j« — se aproximam de 0. Então -X

1 x2



•

1 1--r 3 4 -4 x3

tende a 0 • — = 0. Logo, 4 n ,. *2~1 lim 4 = 0. t- + oo4x - 3x

Do mesmo modo, lim X - * -

00

x2-l - 0. 4x* - 3x

Pode suceder que, quando x se torna muito grande, /(x) se torna muito grande, ou muito negativo (Fig. 3-43).

122


No primeiro caso, indicase lim /(.*) = + oo

e, no segundo,

X “* + 00

lim /( x ) = -oc. X "  *

+ OO

Você já imaginou dar as proposições relativas a esses conceitos, sabendo que, além desses, temos de considerar ainda x

lim f (x) = + oo

e

- oo

lim f (x) = -oo?

* -• —oc

—1 Exemplo 3.6.3. Calcule o limite de —-i—— para x tendendo a mais x4 + 2x + 1 v infinito e a menos infinito. Temos -------

x6-l = lim lim . , ..... c-*+00X + 2x + 1 x-» + ao

<-i)

2 1 1 + ~3 X3 + ~4 X Quando x cresce, também cresce x2 além de qualquer valor, ao passo que

2 1 1 + 3 + 74

se aproxima de 1. Logo, x6- 1 = +oc. lim x — + oc x4 + 2x + 1

Quando x se torna muito negativo, x2 se torna muito grande, e - 7 ,

2

1

1 + X~33 + X~4 se aproxima de 1. O resultado é, portanto, o mesmo.

123


Exemplo 3.6.4. Idem para

Temos

7l -x*  x  

x7l ——7 ---- - ------ -

lim = Um c-*+ oo—2.X + x + 1 x-* + oo

=

- 3 0 .

2 1 “2 + —3 + —4 X X pois, quando x cresce, x3 cresce além de qualquer valor, e ----------------- se

2 1 -2 + -3 + — x* Por outro lado

d

aproxima de

- —•. 2

x7-l —r— - = lim < b) = + 0 0 , *-* —co—2x4 + 2x + 1 »-• - oc> „ 2 1 -2 H 3 H Í X X pois, dessa vez, x3 se torna cada vez mais negativo quando x se torna cada vez mais negativo. Você deve ter percebido que, para calcular limite de funções racionais para x tendendo a mais infinito ou a menos infinito, é conveniente colocar em evidência a maior potência de x no nuraerador e no denominador e simplificar. ..... lim

----

---

--------

X

 J

Exemplo 3.6.5. Idem para x6 - 2x + 10. Temos

lim (x6 - 2x + 10) = lim x6( 1x *

JC-* -f 

+ ao

\

^ )=

00.

Da mesma forma, lim (x6-2 x + 10) = + oo. x— * — 

Exemplo 3.6.6. Idem para x7-2x + 10. Temos

lim (x7- 2x + 10) = lim x7( l - —z + ) = + oc +® Í - + CO \ X6 x 7/ lim (x7- 2x + 10) = lim x7( 1 - --6- +

x-*

-

oo

x->

-

oo

y

X



J

= -oo.

124

INT RODUÇÃO AO CÁLCULO cálculo diferencial

Exemplo 3.6.7. Idcm pa ra  27   6 +   102 + 1. Temo s lim ( 27  6 +   102 + 1) =  ~ 

+ 00

,.

1 10 1\ i( . 1 = x~ + + ao  ry 2 “ TX + X^ X“ ^ + X^ J) = _co Po r outro lado. lim (27   6 +   102 + 1) = A -•



-

ac

 \ ,. 7 / „   0 lim ^ í -2 - — + -3 - -5 + --7 ) = +

x

to

\

X

X X

X 

00

.

Outros casos que ocorrem e que não sc enquadram nas situações que focalizamos vão ilustrados na Fig. 3-44.

125


Ob serv e que, no ca so (a), à medida que  se ap roima de 0 , /( ) cresce cada vez mais, tornando-se arbitrariamente grande. Nesse caso, indica-se assim: lim /(x) = + oo X-*JC0 No caso (c), a indicação é lim /(x) = oc X  * X 

No caso (b), quando x se aproxima de x0 pela esquerda,/(x) se torna arbilrariamente grande; e, quando x se aproxima de x0 pela direita,/(x) se torna muito negativa. Indicamos, respectivamente, lim /(x) = + oo

.X > XÇ

Plll-J v»

UI.

e

lim /(x) = oo X - + X Q

+

.I illilk.lv,,h' V* lim / (x) = X-*X0-

e

lim f(x) = + oo X-*X0+

e

lim /(x) = /( x 0).

No caso (d), temos lim /(x) = oo X -* X ü -

X -* Xo +

E, no caso (f), lim /(x) — +oo X  * X Q _

e

lim / (x) = L. X-**0 +

Tente dar uma defínição precisa para os novos símbolos introduzidos (não é preciso que isso seja feito já, para você não perder o fio da meada). Exemplo 368 lim ------= oo x-l - X - 1

Você pode pensar assim: quando x tende a 1 pela esquerda, isto é, por valores menores que 1, o numerador tende a 1, que é positivo. O denomi nador, por sua vez, tende a 0, por valores negativos, pois x - l < 0 s e x < l . Logo, - —< 0 para x próximo de

pela esquerda, e fica cada vez mais

126


Exemplo 3.6.9. lim K

j c  l 

-------=

+ oo.

  1

Quando x se ap roima de 1 pela direita, isto é, mantendo se maio r do que 1, o nume rado r tende a 1, e o denominado r a 0, mantendo s e positivo, 

Daí, —  0 pa ra x próimo a 1 pela direita, e torna-se grande arbitrariamcntc desde que x esteja suficientemente próximo a 1, mantendo-se maior que 1. = + oo (Fig. 3-45). Exemplo 3.6.10. lim *-o .x Note também que ,. 1 lim = + oo * 0



e

,.

1 lim — = + oc

x — 0 



Daremos a seguir um resumo sobre os tipos de limites que vimos nesta seção. Além das definições, constarão também propriedades, sob forma de uma tabela. As provas de algumas serão dadas no Apêndice B. O leitor não deve interpretar mal a colocação desses resultados nessa altura dos acontecimentos. A idéia é fornecer as definições e os resultados para o leitor que não gosta dc pisar cm terreno inseguro (estamos nos referindo a terreno exclusivamente matemático). Ao invés de procurar decorar as propriedades, você deve intui-las geometricamente. Agora, se você é daqueles que gostam dc tudo certinho. ótimo: estude o Apêndice B.

Sí mbolo 

Significado

lim /(x) = L -♦ + O Q

Dado e > 0. existe b tal que x > b implica |/(x)-L| < e lim J'(-x) = L +oo

lim f{x) = L  



CO

  

lim f{x) — + oo JC“♦ + 00

Dado Aí > 0, existe b tal que x > b implica /(x) > M lim /(-x)= + oo JC-* + ao

lim /(x) = + oo —30

  +

lim ( -/(x)) = + oo + 00

lim f(x) = -oo + 00

JC-*

 ~ 

lim -f(-x) — + oc + ao

lim f(x) = -oo 

X-*

— oo

lim /(x) = + oo X “ » X () +

Dado M > 0, existe b > 0 tal que x0 < x < < x0 + S implica /(x) > M lim /( -x ) = + oo X - * X o +*

lim /(x) = + oo X~*X<> '

lim (-/(x)) = + oo

lim /(x) = -oo JC-»XO +

X - *X o +

lim (-/(-x)) = + oo

lim f(x) = -oo X — X q

X “ *X O +

-

lim (M x )

lim ( A x ) *->D \ 0 /

+ 00

?

-00

+ oo ?

-00

7

-oo

+ oo

7

-00

7

-oc

-oo

-oo

+ 00

7

+ 00

L=0: ? Lí ^ 0 16^ oo

0

lim / (x) x -a

lim $(x) x-D

lim ( / + g\x) x- 0

+ 00

+ 00

+ 00

L

+ 00

X-*

I- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1- - - - - - - - - - -

1

~

I --- - -

»

L = 0 :  L

oo

L

+ 00

L

00

L

0+

L

0

00

0

L ^ 0 : -Cj Oo

+ 00

L = 0 :  L / 0 : cL oo

oo

L= 0 :  L 0 : - s L oo

L L

1

0 1 i + co = 0  : oo ^ 0 : c L oo

jC =

L L

L — 0 + : —oo +o o L — 0  : +oo L =£ 0 : í/oc

0

L= 0:  LyÔ: r.Loo

0

L = 0 :  L ^ 0 : - e Loo

Explicações.

) □ p ode ser ser substituído substituído por qualquer dos símbolo símboloss x0 x 0 , x0 + , x 0 -, + 00, - 00. 2) ? significa que nada se pode concluir. 3) 0 + (0-) significa significa que o limite da função é 0, sendo a mesma mesm a posi tiva tiva (negativ (negativa) a) para x suficientement suficientementee próximo próxim o de □ . Aqui Aqui cabem diversas interpretaçõe interpretaçõess apropriada apro priadass quando □ é substituído substituído pelo peloss vários vários símbol símbolos. os. 4) e, é o sinal de L. valendo a regra dos sinais. Assim, se L < 0, -eLco = = —( — —o o =

+ .

Passemos agora ao esboço de gráficos de funções. Recomendamos o seguinte roteiro a você, que será ilustrado nos exemplos. 1. °) Observe o do domín mínio io da função, e marq ma rque ue alguns po pont ntos os do gráfi da mesma (por exemplo, os pontos do gráfico sobre os eixos coordenados, se houver). 2. °) Ache Ache as regiões regiões onde a função cresce e onde ond e decresce. decresce. Pa Para ra is is você usa a derivada. Aproveite então para achar os pontos onde a derivada se anula, e tente reconhecer os pontos de máximo e mínimo locais. 3. °) Estude a concavidade e investigue pontos de inflexão. 4. °) Veja o que sucede com a função qu quan ando do x cresce cresce mu muito ito e qu quan an se torna torn a muito negativo (isto (isto é, calcule lim /(x /( x ) , lim /(x)). /(x )).  -+  -+   

X

— 

5. °) Verifiqu Verifiquee se existe existem m po ponto ntoss x 0 tai taiss que / (x) (x) se torna torn a m u ita gran ou muito negativo quando x se aproxima de x0 (pela esquerda, pela direita,

129


oç ar o gráfio da função Exemplo 3.6.. Esb oça 2  /( / ( x ) = 4  h Seguindo o roteiro, temos I o)

X

1

0

1 / 2

/ ( X )

3/2

- 1/2

0

2.°)

/'( / '(xx ) =

8

(4x + 2)

Se x < - 4-

/'(x) /'(x) > 0 . ' . f é crescente crescente no intervalo x < - —

Se x > -4 "

/'(x) /'(x) > 0 . ' . f é crescente no intervalo x > - —

2

2

2 2

^ /' não está está defi defini nida da para x = 64 x) = ------------1 '■ ' (4x + 2)3

3.°) Sc x <

1

*/"(x */" (x ) > 0

a conc concav avid idad adee é para cima no intervalo

Se x > - — »/" »/"(x (x ) < 0

a concavi concavidade dade é para baix baixoo no in inte terva rvalo lo

1 x < ~ r

13

INTRO INT RO DU DUÇÃ ÇÃ O AO CÁLCULO cálculo cálculo difer diferenc encial ial

D o me smo modo, chega se a lim 

5°)

f( f ( x ) = —

” * - 00

L

x - 1 lim /(x) — lim —--------- = Jt--JC-»- 1/2- 4x + 2 --- 1/2 -

.. f ( x ) lim f( x 

- 1/2 +

=

.. Um

+ oc,

2x - l

---------- - =  o o  j c- - 1/2 + 4 X + 2

Com essas informações pode-se esboçar o gráfico apresentado na Fig. 3-46.

x

131


l.°) / está definida pa ra todo núme ro.

Figura 347



0

  / 2 / 2

0

X

1 / ( 

)





(Ob serve que / é simét ria om relação à origem, pois f( f ( x )    2 /'( / '(  )  (2 + l )2

2.°)

da d o pelo Como o denominado r é positivo, o sinal de / ' é dad pelo sinal do numerador. Logo,

se x < - 1, temos f' f ' ( x ) < 0 .‘. f é decrescente no intervalo x < - 1 se -1 < x < 1, temos f' f ' ( x ) > 0 .‘. f é crescente no intervalo -1 < x < 1; se x > 1, 1, temos /'( /' ( x ) < 0 / é decr decresc escent entee no interval intervaloo x ^ 1. f ' ( x ) = 0

para par a

x = -1

e

x = 1.

2x(x2 - 3) temos temos / " ( - 1) > 0 e -1 é ponto p onto de mínimo mínimo (x2 + l)3 local lo cal,, ao passo que, que, por ser ser / " ( 1) < 0, concluímos concluímos que 1 é ponto pon to de máximo local. Como /"(x) =

3.°) Para investigarmos o sinal de /", observamos que o mesmo é dado pelo sinal do numerador da expressão acima, isto é, por 2x(x2-3). O quadro abaixo auxilia:

V 

o

y i

x

—

—

+

x2-3 2x(x2 2x(x 2 - 3)

+

—

—

—

+

—

+ + +

! --------- 1

Se x < V ã , então f" concavida de é para par a baixo no in f " ( x ) < 0 .*. a concavidade terva ervallo x ^ - N/ I . Se -y/~3 < x < 0, então /"(x /" (x ) > 0 a concavidade concavidade é para cima cima no

132

INTRO INT RO DU DUÇÃ ÇÃO O AO CÁLCULO cálculo cálculo difer diferenc encial ial

Se 0 <  < ^ 3 , entã o f" .. a conca c oncavida vidade de é pa ra baio no f " ( x ) < 0 .. intervalo 0 ^ x ^ ^ 3 . / " (  ) > 0 a  oncavidade é pa ra ima no inte r Se   y f i , ent en tã o /" valo  ^ v / _3. / " (  )  0 sã o - y / 3 , 0 c y/~3 Como as raízes de /" y/~3,, a ob servaçã o do si nal de f " nos diz q ue esses pontos são de inflexão.

4. c) li lim m /(x /( x ) = lim lim   *  CC

x *

 oo

— = 0; +

lim lim /(x /( x ) = lilim

o x——c

1

JL- * -

OO 

2* 

= 0. 1

5. °) N o caso, esse item não n ão se aplica. aplic a. O esboço fica como mostrado na Fig. 3-48.

2

Figura 3-48

No Nota. Um refinamento no traçado do gráfico de uma função pode ser obtido

133


EXE RCÍCIOS

3.6.1. Ca l u lar lim /(x ) e lim /(x ) nos casos: /(x) =   

 

x ~ 



a) x 2 + 3x - 1; c) x3 + 4x2 - 2x + 1; c) -2x5 + x4 - 3 x 3 + 5x2 g) i) D

n

x3 + 2x2 + 9x + 5 2x + 5 ' x 3 - 5x + 1 -2x7 + 4x4 + 6x2 - 7 ’ -4x 3 + 6x2 - 8x + 12 2x3 - 7x2 - x + 8 ’ x2 - 4x + 8 x2: + 2x + 3 —— + 2x + 3 2x + 1



b) -2x2 + x + 4; d) x4 - 2x3 + 5x2 - x + 2 ; x4 - 3x3 + 4x2 - 3x + 2 0 - x 3 + 7x2 - x + 3 ’ 2x2 - 5x + 4 h) - 2x4 + x3 + 3x2- l ’ 3x2-4x + 1 j) 2x2 + 8 x -3 ’ x2-4 x + 8 x2 + 2 x -3 m) 2x + 1 2x + 3

3.6.2. Completar: a) lim —X

j t  i ( x  i r X3 — 1

c) lim ------*-0 + X 3x2-4 e) lim -i+ (x - 2)2(x + 1) g) lim tg2 x =

X3- l b) lim ------x-*0 - X 3x2 -4 d) lim * - - i - (x- 2)2(x + 1) 3x2 - 4

 Ü5<  2«x + I) h) lim (ln x)2 =

x  * n / 2

i)

v

X2 +

1

lim -------X+ 1

j)

,.

X2 +

1

lim - — - = . X +

1

3.6.3. Esboçar o gráfico das seguintes funções /(x) = b) x 2 - x + 1; a) x2 + x - 2; d) x 1/2; c) x3; 0 x ,/M(n = 1 ,2 ,3 ,...); e) x"(n = 1,2,3,.. .); b) x3 - x2 - 8x + 4; g) (x + lXxr-1)3; + X2 + x - 1 2x2 - 3x - 3

134

INTR ODUÇÃO AO CALCULO cálculo diferencial

m)

(  l )2 e~x: In In  — ;

r) e~x*;

o) q) . s)

t) xe*;

u) sen hx =

n) ex; p) 0;

v) cos hx = ——

e x ----

y) J / x + ;

 .)

-e x ~

sen x 1 + cos x x x2 —1

3.6.4. Mostre, pela definição, que a) lim —z = 0 ;

b) lim

c) lim —- —0 (n natural);

d) lim c = <

x - + co X*

x

>

a o

x

x - + <» X

X

—

= 0 (n natural);

oo

e) lim •— = +oo; x~* 1( x-1)2

0 lim - = + 00; *-o+ x

g) lim — = -oo ;

h) x--oo lim — 7= = 0. 3/^

x-0-

x

4  FUNÇÃO INVERSA 4.. O CONCEITO DE FUNÇÃO IN VE RSA

Sea / uma função definida num conunto A. Pelo fato de ser função, a cada x de A. cia associa um único número. Suponha agora que / tenha a seguinte propriedade adicional: para cada elemento y do conjunto B dos valores de /, existe um único x de A tal que y = f(x). Para não confundi-lo, desenhamos os gráficos que se acham na Fig. 4-1.

O gráfico (a) não é de uma função, poisa x0 estão associados três números. Já o gráfico (b) é de uma função, mas não goza da propriedade adicional a que nos referimos, porquanto >’0 = f(x'0) = f (x'ó) e x'0 # . O gráfico (c), por sua vez, é dc uma função e goza da propriedade adi cional em questão. Nesse caso, podemos definir uma função de domínio B da maneira exposta a seguir. A cada y de B, associamos o (único) número x de A tal que y = f(x). Indicando tal função por f ~ l (leia:/ a menos um), vem r l(.v) = x, í st o é ’ / - ■ ( /( * » = x. / " 1 é chamada função inversa de f e, nessa circunstância, / é dita inversívei Da definição segue (veja Exer. 4.1.4) que f ( f ~ x(y)) = yPela própria definição, decorr / é inv ívcl, tod paralela

136


Figum 

Noia. Observe que/ “ 1"desfaz” o q u e /“faz”: se/associa ao número x o número /(x), então / ” ' associa ao número /(x) o número x. Talvez isso estivesse na mente de quem denominou/ " 1de função inversa de/. Por outro la d o ./“desfaz” o que/ " 1 “faz”, como é lãcil dc se ver. E de se esperar então que/ seja a função inversa d e / -1, isto é ( / -1 )_l = / Propomos isso como exercício (veja Exer. 4.1.4).

Vamos ver geometricamente a relação entre / e / _l . Tomado o ponto (x,.y) do gráfico de / ( y = / (x)), a função / - 1 associará a y o ponto x; logo, (_y,x) pertence ao gráfico de / - 1( / - 1(.v) = x). Observando a Fig. 4-3, onde esses pontos estão marcados, é imediato que eles são simétricos em relação à reta y = x.

refletir este ao longo da reta y = x. Exemplo 4.1.1. A função / dada por y = /(x ) = 2 x - l é inversívcl. De fato, dado y, existe um único x tal que y = /{ x) = 2x - 1, a saber, y + 1 x —

. x "h 1 y -}- 1 Temos f ~ l(y) = —- — Nada nos impede de escrever f ~ l(x) = —-—

137

função invrsa

/

Figura 44

Exemplo 4..2. Sea / uma função continua num inte rvalo /, derivável m todo s os p onto s x d o seu interior, para os quais se supõe f'(x) > 0. Então / é inversível. De fato, / é crescente em /, e mostraremos agora que toda função crescente é inversível: Sejam y t x números tais que j’ = /(x). Não pode existir x, x tal que y = / ( x j , pois, nesse caso, teríam os/(x) = /( x ,) por um lado, e se x l # x, ou x, < x e daí /( x ,) < /(x), ou x, > x e daí /( x ,) > /(x), e o absurdo sempre fica configurado. Como aplicação, temos que a função /(x) = x3 + x é inversível, pois f'(x) = 3x 2 + 1 > 0. Nota. O resultado do Ex. 4.1.2 obviamenle subsiste se a condição f\x ) > 0 é substituída por f'(x) < 0.

EXERCÍCIOS 4.1.1. Dos gráficos apresentados na Fig. 4-5, dizer quais são de funções inversíveis. 4.1.2. Achar a função inversa (se existir) da função / nos casos /( x) = a) 5 x - 2 ; b ) x 2 ( x > 0); c) x2 (x < 0); e) ( x - 1)3; x+ 4 h ) ----- ~(x * 3); x- 3 x ^ 0;

138

D


m) seuhx;

 > 0;

  n) osh x, x ^ 0 ;

o) 2 + In (x + 3) (x > -3); , , ^ ax + b d q ) —-——» a d - b c ^ O , x # -----•• cx + d c

p)1 + F ; N o ta . Recomenda-se

esboçar os gráficos d e /e d e / \ para melhor compreensão.

4.1.3. Mostre que as funções dadas a seguir são inversíveis. a) /(x ) = x 3- 2x2, x < 0 ; b) /(x) = x3 - 2x2, x > y ; c) /(x) =

x 3

- 2

x

4 2 . x > — ;

d) /(x) = senhx [nào use o Excr. 4.1.2.1]; , „ 1 , 1 -I- x e) f(x) = I n - ------ -1 < x < 1. 2 1- x 4.1.4. Mostre que ( / “ * = /, c que/ ( / ” '(>’)) = )’ para todo y do domínio de f T \ sendo / uma função inversível. Verficar isto no Exer. 4.1.2. 4.1.5. Suponha que f é uma função inversível tal que: ~

139

função invrsa

a) M o stre que /()  0. b) M o stre que f ~ 1(2) = 102, sab endo que /(0)  . 4..6. Ca l ule /

geral, /

‘() e

1 no ca so em que f(x) = , e conc lua que, em /()

()   r   

4..7. S e /é uma função inversível tal que (/°/Xx) = x para todo x do seu domínio, então a inversa de / é a própria f (Exemplos:

/(x ) = x,

/(x) = — . x

X

#0.)

4.2. PROPRIEDADES DE UMA FUNÇÃO TRANSMITIDAS À SUA INVERSA Seja/ uma função inversível. Então o gráfico d e / -1 é o simétrico do gráfico de / em relação à reta v = x, como vimos. Essa circunstância nos faz esperar que certas propriedades d e/ sejam transmitidas a f ~ l. As pro posições desta seção, nos dizem algo a respeito. Proposição 4.2.1. Seja / uma função contínua e crescente (decrescente) no intervalo [a,6], que é seu domínio. (Veja Fig. 4-6). Então a) / é inversível, e o domínio d e / -1 é [ /( a ) ,/ ( 6)] ([/(b ),/(a )]) ; b) f ~ l é contínua no seu domínio; c) f ~ l é crescente (decrescente) no seu domínio. ,y .

Figura 4-6

f {a)



m yo f(a)

j

^ r

a

i

!

x0 b

.

x

m

y

~ p v | N. ! a

i b x

Prova. Suporemos / crescente, deixando o outro caso para o leitor.

a) O fato de / ser inversível já foi estabelecido no Ex. 4.1.2. Mostremos que o domínio de/ -1 é [/(a ),/(b )] Dado y0 de [f(a),f(b)]yo teorema do valor intermediário garante que

14

INT RODUÇÃO AO CÃLCULO cálculo diferencial

d e f ~ l ce rtamente contém o inte rvalo [ /(a), / ( 6)]. P o r outro lad o, pelo fato de / ser crescente, nenhum ponto não-pertencente a esse intervalo pode estar no dominio de f ~ l. (Por quê?) b) O fato de / " 1 ser contínua em seu domínio é geometricamente evi dente por ser seu gráfico simétrico do gráfico de / em relação à reta y = x e / ser continua em [a,ó]. A prova desse fato é fácil, mas preferimos dá-la no Apêndice C, apenas para não dispersar a atenção do leitor. c) Se y, e y2 são números do domínio d e / -1 com yj < y2 , então de vemos ter f~1(y1)
e, como / é crescente, / < r l( y i ) ) > / ( / - , (y2)X o que é absurdo. O enunciado da proposição seguinte parecerá horrível a você, mas não se impressione com isso. Nós vamos destrinchá-la. Proposição 4.2.2. Seja / uma função derivável no seu domínio (a,6), tal que f ' (x ) > 0 (/'(x) < 0) se verifica para todo x de (a,b). Nessas condições, temos (/" W M ) =

/'(x)

para todo x de {a,b). Essa fórmula, aparentemente complicada, exprime um fato geomér trico bastante simples, que veremos agora (dessa vez não colocaremos a prova da proposição em apêndice, mas no fim desta seção). Na Fig. 4-7, estão desenhados os gráficos d c / e d e / -1 . Como f é derivável em x, podemos traçar a tangente r no ponto (x,/(x)). Temos tga =/'(x). Pela simetria com relação à reta y = x, o gráfico de / - 1 admite a reta tangente s no ponto (/(x), x), e -

141

função invrsa

n —  a  y, 4 e daí, subtraind o memb ro a memb ro, resulta

de modo que

tg P = ctg a

1 tg a '

ou sea. i

( / ‘n / M )

que é a relação do enunciado da p roposição. Na p rátia, é onveniente o uso de outra notação. Indicando /(x) por y, e f ~ l(y) por x, o resultado se escreve dx dy y

1_ dy_

142


ou, mais brevemente, 1 dy dx que tem a apa rênia de uma identidade a lgébria. Veamos omo funciona. Exemplo .2.1. Sea a funç ão y —f(x) = x , x > 0. Como f'(x) = x  0 se x  0, então / é rescente; logo, é inversível. Calculemos a derivada da inversa. d.x dy

F.ntão dx _ J_ _ j l dy dy x dx Devemos colocar x em função de y. Como y = x  c x > 0. resulta x = — yf~y. Então dx _ 1 d v ~ J~y Retornando à notação anterior, escreve-se d f 

dy ou, como é costume,

1

^

1 2 J~y

143

função invrsa

Exemplo 4.2.2. Sea a funç ão y =f{ x) - sen x.

Como /'(x ) = cos x > 0 para -

n

n

n

/ é crescente em

Logo, é inversível. Sua inversa é chamada arco-seno, c tem por domínio [ - 1,1] (veja Fig. 4-9). Indica-se j ~ x = arc sen.

dx _ 1 _ 1 dy d£ cos x dx . rfx 1_

” dy /

ou seja.

d arc sen y

2’

h

1

^ " T w 1’ usando a notação habitual, (arc sen x)' = *Se x pertence a

. cos x > 0.

1 / 1 _ sen2 x ’ -1 < >• < 1,

- ! < > ’ < 1;

-1 < x < l.

144


n n Exemplo 4.2.3. Sea y —f(x) = tg,  — <  < — • 2

2

logo, é inversível. A função inversa d e /é chamada arco-tangente, e indicada por arc tg. Seu domínio é o conjunto de todos os números. „

7t

71

.

Se y = tg x, - — então 2 .V 2 x = arc tg y <

a

.

<

— - >

1 1 __ 1 dx _ 1 1 + y2 dy dy sec2 x 1 + tg2 x dx 1 d arc tg y ' 1 + y2 ’ dy ___

OU

___

__

I

(arctgxy = Vistos esses exemplos, jà é tempo de dar a prova da Proposição 4.2.2. Prova. Vamos supor f'(x) > 0, deixando o caso f'{x) < 0 para o leitor. Seja y do domínio d e / - \ e x o número de (a.b) tal que y = /(x). Para todo k suficientemente pequeno*, y + k pertence ao domínio d e / -1 (veja Exer. 4.2.10). Supondo k ^ 0 nessas condições, provaremos .que

Mmr v t » w : - J y ) * 0

K

'W'

145

função invrsa

Sea h i k ) = f - l(y + k ) - r 1(v). que, po r simp liidade, esr eve remos h*. Como  = f ~ x(y), vem que h —f *(v + k ) - x f ' l(y + k) = x + h y + k = /(   h), f(x) + k = f ( x + h) He = / (   h)-f(x).

T oda s essas passagens ficarão claras se você olhar a Kig. 4-11.

Da última expressão, vemos que h # 0 para k ^ 0. Além disso, quando k varia num intervalo suficientemente pequeno que contém 0, o mesmo sucede com h (veja Excr. 4.2.10). Então 1 _______ f - \ y + k ) - f '(y) = h______ = k f{x + h) - 7 (x) f ( x + h) - / ( x ) h 1 1 " hf\x) -Th é contínua em 0, com (h(k)) é contínua em k = 0 (Proposição 2.4.3). Logo, lim v(h(k)) = (0) = 0. ___

______

k 

*h é uma função definida no intervalo onde varia k referido na nota dc rodapé

146


Entã o lim r ^ fc-»0

 k t T H y )  |im

i -------

*-*0 /

K

(  ) 
 7w '

EXE RCÍCIOS

.2.1. Mo str e que a função /(.)   o s, 0 <  < n é inv rsível. Sua in versa é indicada arccos (arco co-scno). Mostre que 1

(aa cos x)' = -

-1

< X <

1.

n 4.2.2. Definindo arc ctg x = — - arc tg x,

1» arc sec x = arc cos— x

.x , ^ 1,

arccossecx = arc sen — »

|x| ^ 1, prove que

a) (arc ctg x)' = — — j . 1 + x b) (arcsecx)' = ■ - ■ » M V * - 1 c) (arc cossec x í = ------- /

|x| > 1; >

\ x \ s / x  - l

Ix | > 1. 

4.2.3. Mostre que f{x) = ex + x è inversível e que ( / _ 1)'(1) = $• 4.2.4. Seja / uma função derivável no seu domínio /, o qual c um intervalo aberto. Admita que / é inversível, e que f ~ l è derivável. Sabemos que, para todo x de /, subsiste / “ *(/(*)) = x. Derivando essa relação (use a regra da cadeia), mostre que (/" W W )

1

147

função invrsa

4.2.5. Achar j '(x\ sendo f ( x ) = a) a rtg 2

b) aresen — ;

d) arc sen (sen x); 1+ x ) are sen 0 arctg 1-x ’ V T T 7 ’ g) x(arc sen x)2 - 2x + 2 y j 1 - x2 arc sen x; c) a r  t g ^ /  ;

v

h)

--------------------------- ;

i) ln(arctg ln x).

arc sen x 4.2.6. Mostre que .

X

1 +

X

71

.

>v

a) aresen—===== = arctg . --------- - (x < 1). 4 y / l + x 2 ,x x 1+ x n 1 + v /3 b) ar esen —, — _ = a rc tg + ------ arctg(x > 1). 1 -x l-x/3 \ f 1 + Pergunta. Pode haver algum número c tal que x 1+ x arc sen , = arc tg -----------h c 1- x J i + x para todo x ^ 1? Isso contradiz o corolário da Proposição 3.3.1.? -----

__

"7T

„

x 1 c) arc tg x + arc tg — = < x n - — 2

d) arctg

/ i r

= arc sen x

se se

x > 0, „ x < 0.

(-1 < x < 1).

*4.2.7. Seja / uma função derivável num ponto x0 , e f'{ x 0) = 0; se / for inversível, mostre que f ~ l não é derivável em /( x 0). Sugestão. Use a relação / - 1(/(x)) = x. 4.2.8. Achar: s/3- ; a). aresen-5^

b) arcsen(sen n)\

c) arctg(-l);

d) aresen

e) arc cos

0 arc cos

(i>

Hi>

148


4.2.9. E sb oçar o gráfico de f(x) =

a) ar tg |  |;

x

b) ar s e n ______ : V   2

c) ar tg In .

.2.10. P reencha os deta lh es da pr ova da P ropo sição .2.2. Sugestão. Use a P ropo sição .2.1.

APÊNDICES N o s apêndies serão u sado s os sí m bo los dad o s a seguir.

Símbolo e 4 A V

<=> 1—

Lê-se i

pertence não pertence e ou implica se e somente se associa

APÊNDICE A NÚME ROS REAIS O Cá l ulo Diferencial e Integ ral e, mais geral mente, a Aná lise Mate mática repou sa m sob re a noç ão de núme ro real e suas propriedades. Por tanto um estudo exaustivo de Análise deve incluir uma definição rigorosa de número real. Uma maneira de fazer isso é partir dos números naturais (usando, por exemplo, os axiomas de Pcano) e construir os números inteiros, os números racionais e, finalmente, os números reais. Num estudo de Cálculo não cabe, no entanto, o exame de tais problemas, pois o que se utiliza são as propriedades dos números reais, ao invés da maneira como são construídos. Assim sendo, vamos considerar um con junto com certas propriedades, cujos elementos serão chamados números reais, não nos preocupando em mostrar a existência do mesmo, a qual será suposta como axioma.

A.l. CORPO O conjunto dos números reais é, em particular, um corpo, noção que definiremos a seguir. Definição A. 1.1. Um corpo é um conjunto K munido de operações* (x.v) i—► x + v e (x.y) i—► xj’ tais que:

Ai) (x 4- y) + z = x + (>- + z) para todo x, y, z de K ; A2) Existe OeK tal que x + 0 = x para todo x d q K; A3) Dado x e K , existe - x t K tal que x + (-x) = 0; A4) x + y = y + x para todo x,y de K; M J {xy)z = x(yz) para todo x, y, z de K ; M2) Existe U K , 1 # 0, tal que x • 1 = x para todo x &K; M3) Dado x e K , x ^ 0, existe x-1e K tal que xx-1 = 1; M4) xy = yx para todo x,)1de K; D) x(y + z) = xy + xz para todo x, y, z de K. )

152


0 é ha mado zero (de K); , oposto de   inverso de  1, elemento -unidade. v  y. Proposição A. 1.1. (Cancela mento) .v + r  - y 4 r Prova. P o r A3, existe -r e K tal que ( :) + z = 0. Da hipótese, vem que (x + z ) + (-z) = (y + z) + ( - z ) ou, por Aj, x + ( z + ( - z ) ) = y + ( z + ( - Z ) ) [A 3] x + 0 = y + 0 •• [A2] x = v. Corolário. 0 é o único elemento de K que goza de A2 c o oposto dc um elemento é único. Prova. Se entào •' [A J • • [Prop. A. 1.1.]

x+ 0= x e x + 0 = x + 0' 0 + x = 0' + x 0 = 0'.

x + 0' = x,

A unicidade do oposto fica como exercício. Proposição. A. 1.2. A equação a + x = b tem solução única em K. a saber, x = b + (-a). Prova, a + (b + (-«)) = a + ((-a) + h) ~ (a + í-fl)) + b = 0 + h = b [usamos, sucessivamcnie. A4, A,, A3, A2.] Logo. x = b + (-u) é solução. Para a unicidade. soinar -a a ambos os membros da equação. Convenção, b + (-u) cscrcver-se-ã b - a . Proposição A. 1.3. -(-x) = x; -(x + y) = (—x> + (-y). Prova. Temos x + (-x) = 0e, por A4 , (-x) + x = 0, o que significa que --(-x) = x. pela unicidade do oposto. (x + y) + ((-x) + (-y)) = = x + [y + ((-x) + (-y))] = = x + [y + {{-y) + (— x»j = = x + (v + (y)) + (x)j =

153

apêndi

Logo. pela unicidade do opo st o, vem ~{x + y) = () + (). Proposição A. 1.. (Cance lamento). ( = zy)

a

(y ^ 0) = x = z.

Prova. Eercício. Corolário. 1 é o único elemento de K que satisfaz M, e o inverso de um elemento é único. Proposição A. 1.5. A equação ax = b. a ^ 0. tem solução única cm K. Prova. Exercício. a Convenção, ab 1 escrever-se-á b~ Proposição A. 1.6. (x *) 1 = x (x # 0). (xy)“1= y ~ lx ~ l (x. y / 0). Prova. Como x -1 x = 1, decorre da unicidade do inverso de x * 1 que (x -1) " 1 —x. Deixa-sc o outro resultado como exercício. Proposição A. 1.7. x0 = 0. Prova. 0 + xO = xO = x(0 + 0) = xO + xO [usamos A , . A3 , A4 , D].

Considerando o primeiro e o último membro e levando em conta a Proposição A. 1.1.. vem 0 - xO. Proposição A. 1.8. xy = 0 => (x = 0) v (y = 0). Prova. Se x ^ 0, existe x 1 [M 3]. Então x -1(xy) = x _ ,0 = 0 (Pro posição A. 1.7.) Então

( x - ‘x)y = 0, 1 y = 0, y = o.

[M J [M 3] [ m 2]

Proposição A.1.9. (Regra dos sinais).

a) (-x)j’ = x( y) = -xy;

b) (-xX-y) = xy.

154


Daí deco rr e (faça como exercício) que -x y = x(-y). Utilizando o primeiro resultado, facilmente se prova (b): (-xX-y) =

= xy

Como exercício, justifique, com base nos postulados, as passagens efe tuadas nesta prova. Corolário, -x = (-l)x.

EXERCÍCIOS Provar as seguintes afirmações, sendo x. y. z, w elementos de um corpo: A.1.1. -0 = 0; l 1 = 1. A.1.2. -(x-y) = y - x ; (x-y) -I- (y-z) = x-z. A. 1.3. x(y -z ) = x y -x z. A.1.4. não existe x tal que xO = I.

A.1.5. x 2- y 2 = (x -y)(x I- y)(x2 = xx; 2 = 1 + 1) A.1.6. x 2 = y2 (x = y) v (x = -y). A.1.7. x 3- y 3 = (x-y X x2 + xy + y2); x3 + y3 = (x + yXx2- xy + y2) (x3 = xxx; 3 = 2 + 1). A.1.8. j =x. . ^ X z xw + ZY x z A. 1.9. — + — = --------- ----------y w yw y w

A.1.10. — = — = - —

y y

y

x z y w

(y, w ^ 0).

(y # 0 ).

X

V

XW

A.1.11. — = — z yz w -

0'> w, z # 0).

z A.1.12. Sendo y, w ^ 0, — = — <=> xw = yz. y w -A. 1.13. a) 2(x-+ y) = 2x + 2y = (x + x) + (y + y) b) 2(x + y) = (x + y) + (x + y) X

155

apêndi

A.1.1. Sea K um conunto con stituído de doi s elementos a e b (n ^ b), munido da s dua s operações seguinte s a  a  a. aa = a, b + b — a, ab = ba = a, a + b = b + a = b, bb —b. Mostr e que K. munido de ssas operações, é um co rp o. Notas. 1) Costumamse dar as operações através de tabelas.

+ a b

a

b

a

b a

b

a b

a a a

b a b

2) Observe que o O d e # C é a , e o elemento unidade 1 é b. Observe também que b + b ='a = 0 b = - b, isto é, b é seu próprio oposto, e ò # 0 .

A.2. CORPO ORDENADO Definição A.2.1. Um corpo K se diz ordenado se contém uma parle P tal que

a) x, y e P => x + y, x y e P; b) dado x e K , ou x e P , ou x = 0. ou - x e P , e essas alternativas são mutuamente exclusivas. Os elementos de P se chamam elementos positivos do corpo ordenado. Se x e P, indica-se x > 0 ou. equivalentemente. 0 < x. A indicação x ^ 0 ou, equivalentcmente, 0 ^ x significa x > 0 ou x = 0. Definição A.2.2. x > y (x > y) ou equivalentemente y < x (y < x) sig nifica x - y > 0 (x -y > 0). Portanto se y < 0, então -y > 0. Proposição A.2.1. Num corpo ordenado, temos a) (x > y) a (y > z) =* x > z; b) (x > y) a (z > 0) => xz > y z ; c) (x > y) a (z < 0) =* xz < y z ; d) (x > y) A (z > w) =► x + z > y 4- w:

156

INTRODUÇ ÃO AO CÁLCULO cálculo diferencial

Prova a)  > )’ >   y > 0 v > z => y - z > 0 p o r Def. A.2.1.(a), (y) + (yz)  0. isto é, .v  z  ü .'. x > z [Def. A.2.2] b) x > y => x - y > 0 como z  0. (  y)z > 0 [Def. A.2.L(a)] .'. x z - y z  0 vz  yz [Def. A.2.2.] c) Como z < 0 aca rr eta r > 0, p or >/ podemos esreve r

.'.

(r) > y(-z) -x z > -yz

..   z  (  y z )

> 0

.'. y z - x z > 0 .'. xz < yz. d)  > y >   y > 0

[Def. A.2.2] [Def. A.2.2]

Z > W  > Z - » V > 0

(  y)  (z  w) > o .‘.  + z - ( y + w)  0 .'. x + z > y + w. e) Como x > y c z > 0 vem

Como z  w

e

z  yz y  0 vem yz  yw .'. z > yw ^ 0

[Def. A.2.L(a)] [Def. A.2.2] [po r b)]

[po r b)] [p o r a)] Proposição A.2.2. Num co rp o o rd enado, temo s  2 ^ 0  2 = 0 Prova. Pela Def. A.2.1(b), dado , ou   0 e, nesse caso, x2 > 0 [por e)] ou x = 0 e, nesse caso, x2 = 0 ou -x > 0 e, nesse caso, (-.x)2 > 0 [por o)] i.e. x2 > 0 (Regra dos sinais) Deixamos o restante como exercício.

x = 0.

157

apêndi

EXE RCÍCIOS

P r ova r as seguinte s afirmações, sendo x .y.z,w .e,a e lemento s d um co rp o o rd enado. A.2.I.  < y < x <=*• x > -y > . A.2.2. (  0) a (y < 0) = xy < 0. A.2.3.  ^ x; x + 1  . A.2.. ( ^ y) a (y ) =  = y. A.2.5. xy < 0 <= [(  0) a (y < 0)] vf(.\ < 0) a (y  0)J. A.2.6. 0 <  •«= 0 <

•  A.2.7. Se y  0, ent ã o y <  ^ y <= .v2 ^ y2 A.2.8. 0 <  < y = 2 < y2. A.2.9.  2 + y2 ^ 0 2 + y2 = 0 <=  = y = 0. A.2.10. Num co rp o o rd enado, o único e lemento que é igua l ao seu opo st o c ü ( t / Eer. A. 1.14. nota 2). A.2.11. (xy > 0)

(x > y) => — < — • x y A.2.12. Não existe a tal que x < a para todo x de um corpo ordenado. A.2.13. Dados x e y, x # y, existe r tal que x < z < y. a

A.2.14. a) y /x y ^ , x+ i b) — • >

onde x ^ 0. y ^ o e (N ./ »*’ 1

----

- x > 0.

, >0

(2 = 1 + 1).

—+ — * y_ ___

2

A.2.15. A.2.16. A.2.17. A.2.18.

Não existe x tal que x 2 + 1 = 0. Defina |x | e verifique que valem as propriedades usuais do módulo. |x| < |y | <=> x2 < y2. a) Sejam x e y tais que, dado e > 0 qualquer, temos |x - y | < e. Então x = y. *b) Se, dado e > 0 qualquer, verifica-se x - y < e, então x ^ y. A.2.19. Admita que se saiba o que é número natural e o que significa x”, n natural (xxxx ... x). Mostre que

158


a) 0 ^  < y => x” < y"; b) ("  y") a (n í m par) >   y. ) ("  y") a (n par) > (  y) v (   »)

Sugestão, b) M ostre que basta onsid erar , y > 0. e aplique o resultado a.

A.3. CORPO ORDENADO COMPLETO A e strutu ra de co rp o o rd enado n ão serve para caracterizar os números reais. De fato, o conjunto dos números racionais com as operações e ordem usuais é um corpo ordenado. Existe um axioma que os números racionais não verificam, e que caracte riza os números reais. Este axioma é que dá origem aos números irracionais, e será dado na seção seguinte, sendo a presente preparatória. Definição A.3.1. Seja A uma parte de um corpo ordenado K. Se ae K è tal que x ^ a (x ^ a) para todo x e A, então a é denominado uma restri ção superior (restrição inferior) de A, caso em que A é dito restrito superior mente (restrito inferiormente). Definição A.3.2. Seja A uma parte de um corpo ordenado K. Seja b e K tal que a) b é restrição superior (inferior) de A; b) se b' é restrição superior (inferior) de A, então b < b\ (b ^ b').

Nesse caso, b é chamado supremo de A (ínfimo de -4); indica-se b = sup A (b = inf A). Nota. Abreviadamente: sup A t a menor das restrições superiores dc A. Proposição A.3.1. a) sup/C (inf-4), se existir, c único. b) Dado e e K, e > 0, existe x e A tal que sup A - e < x (inf A + e > x).

(A notação é a da Def. A.3.2.) Prova, a) Se existisse b gozando das propriedades (a) e (b) da Def. A.3.2, deveriamos ter b ^ sup A e sup A ^ b sup A = b.

159

apêndi

b) Como sup A - c < sup A e sup A é a meno r das restrições superi ore de A, segue-se que sup A - e não é restrição superior de A ; logo. existe x e A tal que sup A - e < x. Fig. A l

supA-e x sup A I--------------r - I ■■ I c -------- V ) \ A -----

O outro caso é deixado como exercício. Definição A.3.3. Um corpo ordenado completo é um corpo tal que qual quer parte não-vazia* do mesmo, restrita superiormente, possui supremo. No Exer. A.3.4, teremos uma idéia de por que um corpo ordenado com pleto não tem "falhas”. EXERCÍCIOS A.3.1. a) a é restrição superior de A <=> -a é restrição inferior de -A . b) Existe sup A <=> existe inf (-A). Nesse caso sup A = -in f (-.4). c) K é corpo ordenado completo <=> toda parte não-vazia de K restrita inferiormente tem ínfimo. d) Seja A um conjunto restrito**, isto é, restrito superiormente e infe riormente. Mostre que inf (--4) = -sup A inf A = -sup ( >4) c) K é corpo ordenado completo <=> toda parte não-yazia de K restrit inferiormente tem ínfimo. A.3.2. Num corpo ordenado, pode-se definir a noção de intervalo. Por exemplo [o,b] é o conjunto dos x tais que a < x ^ b. Sejam [a„, n = 1,2,3,.. .*** intervalos (num corpo ordenado K ) tais que « i ^ ai+l < bi+i < b; (i= 1,2,3,...) Intervalos assim são chamados encaixantes. Seja A o conjunto dos a ,; B, o dos . *Isto é, que possui pelo menos um elemento. **Diz-se também limitado. Cocrentcmente se fala limitado superiormente (in feriormente) ao invés de restrito superiormente (inferiormente). ***Embora os números naturais sejam definidos mais adiante, não seria natural

16


a) M o stre que qua lq ue r bt é re strição supe ri o r de A. e qua lq ue r at é restrição inferior de B. b) Po rtanto, se K é completo, eistem sup A e inf B. c) Mostre que, pa ra i   , 2,3...., tenis í i;

^ sup A ^ inf B ^ b( .

A.3.3. a) Sea A uma pa rt e de um co rp o o rd enado K c ae K, a se diz ponto dc acumu lação de A se qua lq ue r intervalo abe rt o contendo a contém ponto s de

I Jisiinios dc ./

b) (Teorema de BolzanoWeie rstrass). T odo conunto restrito, pane um co rp o o rd enado comp leto, con stituído de infinito s elementos tem um ponto de acumulação. Sugestão. Sendo A tal conjunto podemos supor >4c[a,b]. Divida esse intervalo ao meio, obtendo [ o ,, />,] com infinitos elementos. Faça o mesmo com [
***A.3.4. Seja ae K. onde K é um corpo ordenado completo, e suponhamos a ^ 0. Então existe um único b e K tal que b ^ 0, e bz = a: b é indicado y Solução. Sc a = 0, então b = 0. Suponha a > 0. Seja S o conjunto dos x > 0 de K tais que x  < a. S é restrito superiormente, pois (1 + n)2 > a, e S não é vazio, pois Logo. existe b ~ supS. Temos apenas uma das alternativas b < a, b = a, b > a. a-b a) Se b < ay como b > 0, existe c > 0 tal que c b. b) Se b > a, seja d =

(b-a) ’ b

0< d
d

Então

2

(b - a)

161

apêndi

Logo, d > x  pa ra todo  e S, e, então, d > x pa ra todo x e S ,o que mo stra que d è restrição supe ri o r de S. Mas d < b, e isso é uma contradição, c) Resulta b = a. Deixamos a unicidadc para o leitor. •A.3.5. Sendo A e B partes de um corpo ordenado, A + B c o conjunto dos elementos da forma a + b, onde a e A e b e B. Mostre que sup (A + B) = = sup A + sup B (supondo a existência desses supremos). Sugestão. 1) (a ^ sup A) a (b ^ sup B) => a + b ^ sup A + sup B. para todo elemento de A + B. Logo, sup A + sup B é restrição superior de A + B. Qual é a menor? 2) Usando a Proposição A.3.I., dado e > 0, temos sup A

<

üq ,

a0e A;

sup B - y < 60 .

b0eB;

.'. sup A + sup B < a0 + b0 + e < sup(>4 4- B) + e .'. sup A + supB ^ sup(/4 + B) [veja Exer. A.2.18(b)]. A.3.6. Se A e B são partes não-vazias dc um corpo ordenado K tais que (« e A) a (beB ) => a ^ b, então a) sup A ^ b, para todo b e B ; b) sup A ^ inf B. A.4. NÚMEROS REAIS Vamos partir do axioma dado a seguir. Axioma. Existe um corpo ordenado completo. Tal corpo será indicado por R, c seus elementos serão chamados números reais. Voltamos a insistir: poderiamos ter partido da existência dos números naturais e daí, através de construções sucessivas, chegar aos números reais, passando pelos números inteiros e racionais. Nesse caso. o axioma acima seria um teorema. Uma questão que se põe naturalmcnte é a seguinte: existe mais de um corpo ordenado completo? Falando vagamente, pode-se dizer que essencialmenlc existe apenas um, num sentido que a seguir explicaremos. Su

162


 um co rp o o rd enado comp leto K. com as operações  , T, e a o rd em <. Provase que e iste uma co rr e sp ondência ent re os elementos de K e K tal que a) se a co rr esp onde a a, e b a b, entã o a + b co rr esp onde a a + b c a b a a b; b) se a < b, entã o a < b; c) a cada e lemento de K co rr esp onde um único de K , c cada ele mento de K é o correspondente de um único elemento de K. Portanto os corpos ordenados são essencialmente “iguais”: pela pro priedade (c), a correspondência “ identifica” os elementos de K com os de K e, pelas duas primeiras, as operações e a ordem são preservadas por essa correspondência. Pode-sc precisar o que se disse, mas não o faremos aqui. A corres pondência, como acima, recebe o nome dc isomorfismo entre K e K. Desejamos agora “reconhecer” os números naturais, inteiros e racionais. Definição A.4.1. Um número real n é chamado número natural sc ele pertence a todo conjunto B de números reais que possui as seguintes pro priedades:

a) l e B :

b) x e B => x -I- 1e B.

B c chamado conjunto indutivo (exemplo de conjunto indutivo: R). O conjunto dos números naturais será indicado por N. Proposição A.4.1. a) l e N ; b) n e N =*• n + 1e N. (Logo Mé um conjunto indutivo.) Prova, a) claro, b) suponha que neN. Então n pertence a todo conjunto indutivo. Mas então n + 1 pertence a todo conjunto indutivo (por defi nição desse tipo de conjunto), e n + 1e N por definição de número natural. Proposição A. 4.2. Seja S um conjunto de números naturais tal que a) 1e S; b) fee S => k + 1e S. Então S = N. Prova. S é um conjunto indutivo por hipótese. Logo, se n é natural, por definição, n deve pertencer a todos os conjuntos indutivos e, em particular, a S. Logo, S = N. Como aplicação, podemos mostrar que é válido um processo muito importante de demonstração —o processo de indução finita. Suponha que,

163

apêndi

a) P(l) é v e rdadei ra e se, b) a ss umindo P(k) verdad ei ra, p odemos prova r que P{k + l)é verdadeira, entã o P(n) é ve rdadei ra para todo natu ral n*. De fato, seja S o conjunto de números naturais n tais que P(n) é verda deira. Como P(l) é verdadeira, leS. Pela propriedade (b), se k e S , então k + 1e 5. Segue-se que S = M pela proposição anterior, isto é, P(n) é ver dadeira para todo n natural. Aqui cabe uma crítica. Usamos o conceito de “propriedade P(/i)’\ não-definida. Para evitar isso, tornando rigorosa cada prova por indução, pode-se imitar a demonstração vista, conforme se faz no Ex. A.4.1. Exemplo A.4.1. Prove que

1 + 3 + 5 + ••• + (2n- 1) = n. Seja S o conjunto dos números naturais n tais que 1 + 3 + 5 + ••• + (2 «- 1) = n. Temos a) obviamente, 1e S e b) supondo 1 + 3 + 5 + • • • + {k- 1) = k, isto é, fceS, vem. so mando k + 1 a ambos os membros, 1 + 3 + 5 + • • • + (k- 1) + (k + 1) = k + k + 1 = [k + l)2 e, portanto, k + 1 e S. Resulta, pela proposição anterior, que S = N. Exemplo A.4.2. Se x > -1 e n eM, então (1 + x)" ^ 1 + nx (desigual dade de Bernoulli). Seja S como sempre. a) 1 e S, pois (1 -I- x)1 1 + lx. b) Suponhamos k e S, isto é, (1 + x)'1^ 1 + kx. Então (1 + x)k+1 = (1 + x)*(l + x) £ (1 + JkxKl + x) = = 1 + fcx + x + k x  ^ l + / c x + x = l + ( f c + l)x, •Intuitivamente: P(2) é verdadeira pois P(l) o é, pela propriedade (b).Mas então,

164


o que mo stra que fc + 1 e S. Entã o S = N. Proposição A..3. a) m, ne N => m  n e N. b) m .ne N = nm e N. Prova, a) Sea S o conunto do s natu rais m tais que a asserçã o é ver dadeira. Temos

) l eS, pois N é ind utivo

e 2) supondo k. neM = fc + n e N, ou sea. que ke S. então (k + 1) + n = {k + n) + 1e N,

pois k + neN p o r hipótese, e N é indutivo. Logo, k + 1e S. Seguesò que S = N. b) Exercício. Proposição A.4.4. N não é restrito superiormente. Prova. Se assim fosse, existiría sup N. Então, como sup N -1 não é restrição superior de N (por definição de supremo), existe n e N tal que sup N - 1 < n, ou seja. sup N < n + 1. Como n + 1e N. isso não pode suceder com sup N. Corolário. Dado x e R, existe n e k tal que n > x. Prova. Se assim não fosse, seria n ^ x para todo n e N, e N seria restrito superiormente. Corolário. Dado x e R, x > 0, existe n e N tal que — < x. n Prova. Imediato. Uma vez caracterizados os naturais, fica fácil definir número inteiro,

apêndi

165

EXE RCÍCIOS

A..I. a) ne N =  n  0 (induç ão) b) N. A..2. Se n e N, define-se sucessor de n por n* — n + l. Prove que (m, «e N sempre): a) b) c) d) e) *0

n* = m* => n = m. 1 não c sucessor de nenhum número natural. n + m* = {n + m)*. nm* = nm + n. n* í n. n # 1 => n > 1 (indução).

Sugestão. Seja S o conjunto constituído pelo número 1 e pelos n tais que a afirmação subsiste.

g) n / 1 => existe a e N tal que n = a*. h) n 5* 1 => n - l e M . *i) (indução sobre m). Sugestão. Se n > k = n - k e N , então, se n > k + 1, temos n - k > 1, logo. n-k = u* = u+ 1 n —k —1 = u e N.

A.4.3. Defina número inteiro, racional e irracional, indica-sc o conjunto dos números inteiros por Z; o dos racionais, por Q. A.4.4. a) m,n e Z => m + n, mn c Z b) m . n e Q => m + n, mrt e Q. *A.4.5. a) Q é um corpo ordenado, mas não é completo. b) N e Z não são corpos. c) O conjunto R - Q dos números irracionais não é corpo. Sugestão, a) Se fosse, existiría um número racional z tal que z2 = 2, pelo Exer. A.3.4.

b) Prove que mn — 1 => m = n = 1. (m. n e N). Para isso, suponha que m / l e então, também n ^ 1 senão m. n — 1. acarreta m = 1. Logo. m =

166


A..6. (P rop ri edade a rq uimediana do s nú meros reais). Se x > 0 e y são números reais, existe n e tal que nx > y. +1. *A.4J. Dado xeR, existe um único n e Z tal que n ^ x < n Sugestão. Se xeZ, nada há a demonstrar. Sc x^Z, suponha x > 0; existe k e N tal que k > x. Existem no máximo k -1 naturais menores que x. Se não existir nenhum, tome n = 0, senão tome n como o maior natural menor que x. .'. n < x < n + 1. Se v < 0. -x > 0, etc. *A.4.8. Mostre que, dados os números reais a e b, com a < b, existe r ra cional tal que a < r < b. Sugestão, a) Se b - a > 1, considere maior inteiro m ^ a. Tome r = m + 1. b) Se a < b, seja n tal que — 1, e aplique a n parte a. •A.4.9. Mostre que, sendo a e b números reais com a < b, existe x irracional tal que a < x < b. J  Sugestão. Mostre que basta supor a racional. Tome x = a + —— > n com neM suficientemente grande. A.4.10. Considere as definições dadas a seguir.

a) Uma sequência {an} de números reais é uma função que, a cada nel^J, associa nBcR.

etc. b) Uma subseqüência de {aB} é uma seqüência {bH} tal que bH = a rn, n = 1,2,3,..., onde r, < r < • • • (r. e N). Exemplos. {an} e {a2»-i} s^° subseqüências de {a„}. c) lim aH= L significa que, dado c > 0. existe N & N tal que

n > N = > | a „ - L | < e. Nesse caso, se diz que {aB} é convergente (aL). *Seja A o conjunto dos an. Mostre que, se A é restrito superiormente,

167

apêndi

Sugestão. Use a P ropo sição A.3.1(b) tomando e = — » n = 1í 2^ 3 1 lí A..11. P rove po r ind uç ão o que segue.

a) l + 2 + 3 + -- + n =

n(n

+ 1)

---- -----

•

b) l 3 + 23 + 33 + ••• + «3 = (1 + 2 + 3 + • + n). n(n + l)(n + 2) c) 1 -2 + 2-3 + •• + n(n + 1) = 3 x'.«+1_ j d) 1 + x + x2 + x" = (x * 1). X - 1

e) 2" > n {ne N). f) Todo natural ou c par ou é ímpar. g) am+* = cT an (am)n = anm, sendo (a1 = a |ü " +1 = a"fl. h) x2" 1 + y " 1 é divisível por x + y. i) 0 < a < 1 => 0 < o" < a < 1; a>l= > a"â. A.4.12. (Princípio da boa ordem). Se A é um conjunto não-vazio de núme ros naturais, então A tem mínimo, isto é. existe a e A tal que a ^ n para todo n e A . o contrário. Então 14 A. Seja S o conjunto dos naSugestão. Suponha « • turais que são menores que todos os elementos de A. Então 1 6 S; supondo k e S , prove que k + 1 e S. Pelo Princípio da indução finita, S = N, o que é absurdo, pois A não é vazio. *A.4.13. Seja a > 0, n e N, n > 1. Mostre que existe um único b > 0 tal que ò" = a. (Indica-se b = ou b = alln.) Sugestão. Considere /(x) = x", x > 0. Mostre que é crescente; se 0 < < a < 1, aplique o teorema do valor intermediário a / no intervalo [0,1]. Se a > 1, então a" > a, pelo Exer. A.4.1 l(i). Aplique o teorema do valor intermediário a / no intervalo [0,a]. A.4.14. Verifique, sendo A o conjunto

a) dos números da forma — » n e N ;

168

C [0


,1);

d) dos  tais que   y/~3;

e) dos nú meros da f orma

G

I »neM

f) do s nú meros da f orma 2( l)n  — ; n e N. n g) ( 1)" + — * ne M, n que se tem, a) inf A b) inf A c) inf A d) inf  e) inf A

resp ectivamente, =0, sup A = 1  =0, sup A = 1 =0, sup i = 1 = yj 3, sup . n ão eiste =0, sup A = 1

APÊNDICE B LIMITES LI. Se /() tende a L quando  tende a 0 e f(x) tende a M quando  tende a 0, ent ão L - M. Prova. Se L ^ M, podemo s supor, sem perda de generalidade, que L > M. Tomemos

a) Existe <5, > 0 tal que • . . . . . L - M . M + L 0 < | x - x 0 | < 5, = > | / ( x ) - M | < - =>J{x) < — - ----b) Existe ò > 0 tal que 0 < | x - x 0 | < S  = > \ f ( x ) - L \ < De (a) e (b), resulta que. tomando ô = min

0 < | x - x o| < ( i = > / ( x ) < /(x). o que é absurdo. Lema. Se lim f(x) = L, então    O

1) existem ô , M > 0 tais que 0 < \x- x 0\ < ô =>|/(x)| < M. e. 2) supondo L # 0, existem a. N > 0 tais que 0 < j x - x o| < a = ^ - !/(x )| > N. Prova. Sc L = 0. dado e = 1. existe ô > 0 tal que

0 < | x - x 0| < <5 => |/( x )| < 1. o que prova (1) nesse caso.

17


Se L 0. (í) e (2) deco rr em imediatamente da p rova de L ap re sentada na Sec. 2.3.

L3. Se lim f ( x ) = L, lim g(x) = M, então JC-* JCo

JC-» Xo

1) lim ( / + #Xx) = L + M 2) lim ( / # ) = LM f \ 3) lim I( — l(x) = L— > supondo, nesse caso, M # 0. x-*o \ g } M Prova. e 1) Dado t > 0, consideremos — •

a) Existe á, > 0 tal que 0 < | x - x 0j < <5, = > \ f ( x ) - L \ < y • b) Existe ô > 0 tal que 0 < |x-x0| < ò = > \g(x)-M\ < y • Decorre que, para ô = min {5,, á2}, 0 < | x - x 0| < ô => | f(x) + g(x)-(L + M)| ^ < | / ( x ) - L | + | g(x) - M | < y + y = e. 2) Temos a) \f(x )g(x)-LM\ = \f{x)g(x)-g{x)L + g(x)L- L M | = = k(xX/(x)-L) + L(g(x)-M) \ < <|f?(x)| \ f ( x ) - L \ + \L\ \ g ( x ) - M |. b) Existem <5,, P > 0 tais que 0 < | x - x 0| < St => |0(x)j nesse caso. existe ô > 0 tal que

0 < | x - x0 j < ô  => | f ( x ) - L | Se L = 0, tomando ô = min {<5,, ò) e considerando (a), (b) e (c), vem 0 < |x-x0| < Ô => \ f {x ) g( x) - LM \ 0 e, nesse caso. existe ô3 > 0 tal que 2 |L|

0 < | x - x 0| < <53 => | g{x)- M | < 2]X[' Tomando <5 = min {5,, ô , 53} vem, considerando (a), (b), (c) e (d), 0 < |x —x01 < ò =» \{ fg \x )- LM \ l |M| b) Existem , N > 0 tais que 0 < | x - x o| < 5 , =^- |^(x)| > N.

(lema anterior).

Dado £ > 0, consideremos c) e | Aí | N, e então existe S > 0 tal que 0

< ]x — X q | < ô=> |g(x)-Aí| < £ |Aí| N.

Tomando ô = min {<$,, ô} e considerando (a), (b) e (c), vem

172

INTRO DUÇÃO AO CALCULO cálculo diferencial

Corolários. Nas hipóteses de L3 temo s

) lim (fc/X*) = kL

(keR):

 -»JtO

2) lim (f(x)-g(x) = L-M. X-*JCO Prova. I) Seja F tal que F(x) = k, para x do domínio de f. Então, por L3(2)

lim (Ff)(x) = lim F(x) lim /( x ) = kL.     O

Mas

  O

X-*Xo

(F/)(x) = F(x)/Xx) = kf(x) = (fc/)(x).

2) lim (f(x)-g(x)) = X-»XO

= lim (/(x) + (-l)^(x)) = lim/(x) + lim (-1   í x  = X-»Xo

X-^XO

X “ *X O

= L + (-1)- M = L - M . Na penúltima passagem, usamos o Corolário (1). L4. Se lim g(x) = lim h(x) — L e se / é tal que g{x) < /(x) ^ h(x) para X “ * X<>

X-»X O

todo t de um intervalo que contém x0, com eventual exceção de x0. então lim /(x ) = L. X-*Xo

Prova, a) Existe <5, > 0 tal que

0 < | x - x 0| < új ==> g(x)- L < f{x )~ L < h(x)-L, como facilmente decorre das hipóteses. Dado z > 0, b) Existe ô > 0 tal que 0 < |x —x01< ô => | g(x)- L | < e = > - £ < g(x)-L. c) Existe ô3 > 0 tal que 0 < |x - x01< ô3 =*> | h{x)- L | < z =*>h ( x ) - L < z. Tomando ô = min {<5,, ô 2 , á3}, vem, considerando (a), (b) e (c). 0 < | x - x o| < ú = > = >-z < g(x) - L < f(x) - L < h(x) - L < z =>

173

apêndi

L5. Sea / uma funç ão, e 0 um número. Suponha que num inte rvalo abert o contendo 0 se verifica /(x) > 0 para todo x desse intervalo, com a possível exceção de x0 . Então, se lim /( x ) = L, temos L ^ 0.   * * 0

Prova. Se L < 0, existe, por L2, ô > 0 tal que

0 < |x-x0| < ò =>/(x) < 0, o que vai contra a hipótese. Corolário. Sejam / e g funções, e x0 um número. Suponha que num intervalo aberto contendo xn se verifica /( x ) ^ g(x) para todo x desse in tervalo. com a possível exceção de xft. Então, se lim /(x) = L x->xo lim g(x) = Aí, temos

Aí.

Prova. Exercício. Proposição Bl. Se lim /(x ) = L, então X-*JCo

lim |/ | ( x ) = |L|,

onde

JC”*Xo

|/ |( x ) = |/(x )|.

Prova. Decorre imediatamente de

||/(x)|-|L|| ^ |/(x)-L|. Nota. Se lim |/|(.x ) existe, não se pode concluir que existe lim f(x). De fato,    o

X — Xo

considere

m ’ F I . . . ,J<# 0)' Temos |/(x)| = l, de modo que lim |/|(.x) = 1,

x-*0 mas não existe lim f(x). 

Examinaremos a seguir alguns casos de limites dos tipos dados na

174


() Sea / uma função e Le R. O sí mbolo lim /(x ) = L significa que, X -* + 0O

dado e > 0, existe b tal que x > b ,=> \ f ( x ) - L \ < e.

(12) O símbolo lim /( x) = + oo significa que, dado M > 0, existe b jf-*+ 00 tal que x > b =>/(x) > M ' (13) lim /( x) = lim /(-x). +00 X~*- 00 E um exercício fácil verificar que (a) sendo Le R, lim /(x ) = L é equivalente ao seguinte: X - * - nr

Dado e > 0, existe b tal que x 0, existe b tal que x /(x) > M. (14) lim /(x) = -oo significa lim (-/(x)) = + oo. x

- * + ao

x - * + oo

É fácil ver que isso é equivalente ao seguinte: dado M < 0, existe b tal que x > b =>f(x) < M. (111) Sendo x0 e R, lim /(x ) = +ao significa que, dado M > 0, existe x-»xo +

ô > 0 tal que

x0 < x < x0 + ò =>/(x) > M. (112) lim /(x ) = -oo significa lim (-/Xx) = +oo, que é equivalente x-*xo+

 ^  Q

4-

ao seguinte: dado M < 0, existe ò > 0 tal que x0 < x < x0 + ò => /(x) < M. (113) lim f( )

li

/(- ).

175

apêndi

É fáil ver que, se lim f (-x) = +oo, isso é equivalente ao seguinte: X - *

Xo +

dado Aí > 0, existe ô > 0 tal que x0 - õ < x < x0 => f(x) > Aí. (E se lim /(-x ) = -oo?) '

 o 

(114) lim f (x) ~ + oo ( lim /(x ) = -oo) significa X - * X 0

’

X ~ * X q

lim f ( x ) =

x-*xo’+

'

lim /(x ) = + oo ( lim /(x ) = lim /(x ) = - oo).

x-*x ©-

x->xo +

x-» xo”

Proposição B.2 Se lim f(x) = + oo, lim
 o 

1) lim ( / + g)(x) = + oo; x- *x o +

2) lim (/gX*) = + oo. X-»Xo +

Aí Prova. 1) Dado Aí > 0, considere - - > 0. a) Existe > 0 tal b) Existe ô > 0 tal Tomando ô = min {<5j, x0

que x0 < x < x0 + áj => f(x) > AÍ/2. que x0 < x < x0 4 ô =>g(x) > AÍ/2. ô 2) resulta dc (a) e (b) que < x < x0 + ò =>/(x) + $(x) > Aí.

2) Exercício (dado Aí > 0, considere y/~M). Corolário. 1) Os resultados subsistem substituindo x0 + por x0 como decorre de (113). 2) Se lim f(x) = + oo, lim g(x) = -oo, então lim {fg)(x) - -oo, e X -» X O +

x-*xo +

X -*X O +

esse resultado vale mudando x0 + por x0 3) Se lim /(x ) = -oo, lim ^(x) = -oo, então lim ( / + áfX*) = -oo X “ *X o +

X “ *X(> +

x -*x 0 +

e lim (fg){x) = + oo. X “»Xo +

Prova. 1) Imediato. 2) Como lim (-^X*) = + oo, vem, pelo provado, que X - *X 0 +

lim f(-g)(x) = + oo, X-*Xo+ e, como f(-g) = -fg, resulta

176


3) Eercício. Nota. No caso do Corolário (2), nada se pode afirmar a respeito de lim ( / +

í Xx



x  xo

Justifique.

Proposição B.3

1) lim f(x) = lim / ( —) x- »+ no

X”*0 +

\

X J

2) lim /(x ) = lim / ( —) x-* —ao

x -» 0 -

y X /

Prova. O Caso (2) será deixado como exercício. Para o Caso (1), devemos considerar várias possibilidades. l.fl possibilidade, lim f ( x ) = L . Le R. Isso é equivalente ao seguinte:   

+

00

dado e > 0, existe b tal que x > b =► | /( x ) - L | < e, onde podemos tomar, como é claro, b > 0. Nesse caso, 0 < — < -7- • Pondo t = — > vem que x b x a afirmação inicial é equivalente à seguinte: dado £ > 0, existe ò > 0 (a saber



< £, ou seja,

tal que 0 < t < ò lim f \ —| = L. 1-0+ \ t )

 “ possibilidade, lim /(x) = +00. 

-

* <30

Nesse caso, dado M > 0. existe b > 0 tal que x > b ^ f(x) > M. Como 0 < — < -r> isso é equivalente ao seguinte: dado M > 0, existe ò > 0 x b I tal que 0 < — < ô - f(x) > M. Basta fazer t = — para â saber, x X concluir que lim / ( — ) = + 00. 1-0+ V*/ 3.fl possibilidade, lim J \ x ) = - o o. Deixamos como exercício. X—+ 00 Proposição B 4 Se

R

Le + lim /(x) - J \ + 00

  +

00

-0 0

'M e R e

lim g(x) x - *

+ 00

j

+ 00

1 - 8

177

apêndi

ent ão

Í

L + M + oo 00

( L M lim (M  ) = + oc

e

+

00

00

Prova. Deco rr e imediatamente d as propo sições vistas e de seus orolários. Corolário. O s r es ultado s sub sistem mudando +oo po r oo no s sím bolos lim /(x), lim g(x). + 00 x~* + 00 Proposição B.5. Se lim f(x) = 0 e, para x num intervalo contendo x0, x~*xo se verifica f ( x) > 0 (/(x) < 0)). com a possivej exceção de x0 . então

(t ')(x_c0

(t )w =

Prova. Consideraremos apenas o caso / (x) > 0, deixando o outro como exercício (considere -/).

Seja M > 0. Consideremos a) Existe, por hipótese,

> 0.

M > 0 tal que

0 < | x - x 0| < <5! - * |/ ( x ) | < b) Por outro lado, ainda pela hipótese, garante-se que existe ò > 0 tal que 0 < | x - x 0] < b =>/(x) > 0. Logo, tomando ô = min {<5,. ò) e considerando (a) e (b), vem

EXERCÍCIOS B.l. Faça alguns dos exercícios propostos no texto e aqueles da tabela da Sec. 3.6 que não foram considerados. B.2. Prove que ) li /( ) lim / ( 2); b) li /(Ixl) li /(x).

178 17 8

INTR OD UÇ UÇÃO ÃO AO CÁLCULO cálculo cálculo difer diferenc encial ial

B.3. a) Se lim /( / (  )  L e g é ta l que, pa ra todo  de um inte rvalo    O

/ (  ) , eceto po ssivelmente abe ab e rt o contendo 0, tenhamo s
b) Se lilim m
  +  O

contendo contendo x0 , / (x) está está entre g(x) e h(x), exceto possivelmente no ponto x0 , então então lim / (x) = L.     O

*B.4. .4. Prove. Sejam Sejam / e g funções tais que a) o do dom m íni ínioo d e / é [a,/ [a,/> >], com a possível exceção ex ceção de d e x0 x 0 , on onde de x 0 e (); b) o domínio de g é [c,J], sendo sendo que os valores valores associados associados pela pela / perten cem a esse intervalo, c) li lim m /(x /( x ) = y0 y 0 , X-»XO

d) g é contín co ntínua ua em y0 . E ntão ntã o lim (g °/Xx) = g( lim /(x)) /(x )) = g{y0). '

X-*Xo

X “*X o

Mostre que o resultado pode falsear se g não é contínua em y0 . Solução, a) Dado e > 0, existe Ôt > 0 ta l que

\y-y \y-y< <>\ < òi ò i =* \9( \ 9(y) y)-g -g(y (y00)\ < « por g ser contínua em y. b) Consid Co nsiderad eradoo > 0, existe existe ò > 0 tal que 0 < |x-x0| <õ => | / ( x ) - y 0 | < ô l porr ser li po lim m / (x) = y0 . x-*xo

Logo, de (a) e (b) segue que, dado s > 0, existe ò > 0 tal que 0 < | x —x 0 1 < 6 => |3(/(x))-0(yo)| < e. B.5. Usando o resultado do exercício anterior, prove a Proposição 2.4.3 (Cap. 2). B.6. .6. Prove a L3(b L3(b)) e (c) utilizando utilizan do o roteir rot eiroo dad d adoo a seguir. seguir. 1. °) A funç fu nção ão f( f ( x ) = x2 é contínua em R. A função /(x) = 1/x é c tínua no intervalo x < 0 e no intervalo x > 0. 2. °) Usand Us andoo o Exer. B.4 B.4,, prove que, sendo lim lim / ( x ) = L, então X-*XO

179

apêndi

3. °) P rove que lim (kf)(x ) = kL, sendo lim /(x /( x ) = Le L e usando esse fato fato kL , sendo X X-*Xo X-*XQ e L3(a L3(a), ), prove prov e que, sendo lim g(x) = M, vale lim {f-g)(x) = L-M. q X->X

X-+ -+XQ

4. °) Prove Prov e L3(b) L3(b) usand usa ndoo a relação (M*) =

9)(x)-(f-9)(*)l

5") Prove Prov e L3(c) (c) usando usa ndo o fato fato de que qu e lim lim —í— = -J->que -J-> que é provado prov ado *-*o / ( x ) . L 1 • usando a l.° parte e o fato fato que qu e f — =/— 9 9 B.7. .7. a) a) Uma Um a função / se diz um infinitésimo infinitésimo para p ara x tendend tend endoo a x0 , ou para pa ra x tenden ten dendo do a + oo, ou par p araa x tendend ten dendoo a -oo, se, se, respectivamente, sucede lim f( 0, lim lim /(x /( x ) = 0. 0. Em Em qualquer dos caca f ( x ) = 0, lim f( f ( x ) = 0, X-*X q JC->+ ->+ 00 X-* - oo sos, / pode ser referida simplesmente sim plesmente como infinité infinitésimo. simo. b) / é da forma “infini “infinitési tésimo mo + constante con stante”” <=> lim /(x ) —constante. c) Soma, produto e diferença de infinitésimos é um infinitésimo. Pro duto de constante por infinitésimo é infinitésimo. B.8. Enuncie e prove resultados análogos ao teorema do confronto para os casos de de limites limites não do tipo lim lim / (x) = L, x0, Le L e R. x x-*xo B.9. .9. Prov Pr ovee qu quee lim f( f ( x ) = L se e somente se lim/(x0 + li) = L. x-».\*o -».\*o Ji-> 0

APÊNDICE C CONTINUIDADE Proposição C .l. Sea / uma função de dominio [a,6], contínua e c res ente (dec rescente) nesse intervalo. Então f ~ l é contínua em seu domínio [/(a), m ] (C/(H /(*)]).

crescente nte,, deixando o outro outr o caso caso para pa ra o leit leitor. or. Prova. Suporemos / cresce a) Seja y0 (a),/(f /(ft)) t)).. Então E ntão pode-se pode-se escrev escrever er y0 = /( / ( x 0), onde ond e x0 e (a,b) y 0 e ( / (a), Dado e > 0, podemos supô-lo, sem perda de generalidade, suficiente mente me nte pequeno peq ueno de modo mo do que (x0 - £, £, x0 + e) esteja contid co ntidoo em (a,ô (a,ô). ).

Como x0 x0 - £ < x < x 0 + c e / é crescente, tem os

181

apêndi

Sea ô = min { /( / (  0  e )  /( / (  0). / (  0)  / (  0 - e}. P o rtanto .* J /U o - e) < /( x 0)-<5; K /() + 4 Supondo ent ã o \ y - y 0 | < <5

,

isto é,

|/(x ) -/(.v 0)| < ô,

isto é,

/( / ( x 0) - S < f(x) < / ( x 0) + S,

vem por () que f ( x 0 - e ) < /(x) < / ( x 0 + e)

e, por ser f ~ l rescente. / - ‘(/ ‘( / ( x o  e  < / - ‘( /( x ) ) < /  ‘ ( / U o + 4 , isto é, isto é, isto é,

x0 - e < x < x 0 + e, |x -x0| < e,

l f ~l(y) ~l(y)--f~l(y ~l(y0)í < £-

b) Rest Restaa mostrar que / 1 é contínua em em f( f ( a ) e f(b f (b)) , o que deixamos como exercício. C.2. Se / é uma função contínua co ntínua num intervalo fechado fechado Proposição C.2 [a,6], então / é restrita superiormente superiorm ente em [a,6], isto é, é, exis existe te M tal que /( / ( x ) < M para tod todoo x e [a,6]. [a,6]. Prova. Seja A o conjunto dos x e [ai>] tais que f é restrita superiormente em [o^x]. Como A não é vazio, pois a e A, e A é restrito restrito superiormente por b, podemos considerar sup A. a) Mostremos que sup .4 = b. Suponhamos que tal não suceder, isto é, que sup A < b. Como Como / é con con tínua em [a,ò], é contínua em sup A; tal q u e / é res restr trit itaa A ; logo, existe ò > 0 tal em (sup A - ô, sup A + ò) (veja Exer. 2.4.6). Por definição de supremo, existe c e A tal que sup A - ò < c. e então f é restrita em [u.c"| (por pertencer a A). restritaa em [c.z]: [c.z]: logo logo / é res res A). Mas, para todo ze(sup A , sup .4 + Ô), f é restrit trita em [a,z] e z e A, o que e absurdo, pois z > sup A. 6 ô Figura Figu ra C-2 ' I " *I í I‘ I

182

INTRO INT RO DU DUÇÃ ÇÃ O AO CÃLCULO cálculo cálculo difer diferenc encial ial

upeeri ormente cm [a,], pa ra b) Pr ovamo s na part e (a) que / é restrita sup todo  e [a,b). M ostr st remo em os ag o ra que / é restrita sup upee ri o rmente em [a,b]. Sabemos que eiste <5 <5,  0 ta l q u e / é restrita em (b - ô , <  < b), p o i s / é  ontínua à e sq ue rda cm b, isto é, lim /( / (  )  f{b). f{ b). Como eiste d e ( b - ó  ,b) ,b) x  * b 

com de A, deco rr e que / é restrita sup upeeri ormente em [a,d], e como o é em [
— l---------------- — i— i—ll----a b-òy d b

opoo sição C.2, / é restrita inf eri ormente Corolário. Nas hipóteses da Pr op em [o,b] (o signifiado da ep ressã o é óbvio). Co nsid ere -f. Prova. Con -f . / é restrita sup upeerior  inf eriormente em [a,b], dizse que / é restrita em Not Notaa. S e /é opoosição anterior e seu corolário nos dizem que/ que/ é restrita restrita cm [a,b]. [a,b]. [_a,b]. Assim, a prop

C.3. S e / é uma função função contínua num intervalo intervalo [a,6], então Proposição C. exis existe te v e [u,b] [u,b] tal tal que /(s) /( s) ^ / (x) para todo x e [a,6]. restritaa em [o,ó], [o,ó], podemos considerar o supremo dos Prova. Como / é restrit números/(x), xe [a,6]*, que indicaremos por S. Temo Temoss /(x ) < S para todo x c [n,ó]. Mostremos que existe s e [a,b] [a,b] tal que / (s) = S. Suponhamos que /(x) # S para todo xe[a,b]. Nesse caso, a função  s í a J , ]

é contínua em [n,b]. Por outro lado, dado e > 0, existe c e [n,b] tal que S - c < f ( c ). por definição de supremo, o que acarreta que 9(c) > — €r e isso quer dizer que g não é restrita em [o,b], o que é absurdo. Corolário. Nas hipóteses da Proposição C.3, existe t e [a,b] tal que / ( f) ^ f ( x ) para todo x e [a,6]. Prova. Considere -f. -f .

183

apôndi

Proposição C.. (Teorema de Bo lzano) Se / é uma função contínua num intervalo [< /,/>] e f(a)f(b) < 0, ent ã o eiste c e (ai>) tal que /(c) = 0. Prova. Suporemos f(a) < 0 < f(b). Seja A o conjunto dos x e [a,b] tais que /(x) < 0 no intervalo [a,x]. Temos que A não é vazio, pois ae A, e A é restrito superiormente por b, pois f{b) > 0. Logo, podemos considerar sup A. a) Temos a 0 tal que, se x e (a, a + Ó,), então f(x) < 0; e existe ô > 0 tal que se x e ( b - S , b), então /(x) > 0. b) Mostremos que /(sup/4) = 0. Se isso não ocorrer, deveremos ter

/(sup A) > 0

ou

/(su p A) < 0.

Suponhamos inicialmcnte /(sup A) < 0. Pela continuidade de /, existe ò > 0 tal que, se x e (sup A - <5, sup A + <5), então f(x) < 0. Por definição de supremo, existe c e (sup A - 5, sup A) tal que c e A. Isso significa que /(x ) < 0 para todo x e [a,c] e, como para todo z e (sup A, sup A + ô), /(z) < 0, resulta que /(x ) < 0 em [a,z], contrariando o fato de ser sup/4 o supremo de A, de vez que ze^4 e z > sup A. Se agora supomos /(supi4) > 0, existe > 0 tal que /(x ) > 0 para todo xe(sup/t-<5j, sup/1 + <5,). Por definição de supremo, existe de (sup A - ôl , sup A) tal que d e A, o que significa que/(x ) < 0 para todo x e [a,d]. Mas isso é absurdo, porquanto /(d) > 0 [observe que de (sup/4-<5,, sup/4 + <5t)]. EXERCÍCIO Prove a Proposição C.2 usando o Exer. A.3.2. Sugestão. Se / não é restrita superiormente em [a,b], não o será ou em £a, Q ^ ^j ou em

Seja \_al , 6j] o intervalo no qual isso

ocorre. Prossiga o raciocínio, obtendo intervalos encaixantes, nos quais a tese não se verifica. Existe c comum a eles. Use a continuidade de / em c para conseguir um intervalo em torno de c onde / é restrita. Deduza daí uma contradição, usando um intervalo encaixante de extensão suficiente mente pequena.

APÊNDICE D REGRAS DE L HÔP ITAL Proposição D.l. (Teorema gene ralizado do va lo r médio). Se / e g sã o funções  ontinua s em [a,£], de riváveis em (a,ó), ent ã o eiste c e (a.b) tal que . m - 9ia))f'(c) = (m - f ( a ) ) g ' ( c ) Prova. A função /(*) 0(x) 1 Mx)= f(a ) 1»xe[a,6], g(a) 1 f(b) g(b) satisfaz às hipóteses do teorema do valor médio. Logo, existe ce(a,b) tal que: f \ c ) g\c ) 0 \J/'(c) = 0, isto é, f(a) g(a) 1 = 0 . f(b) g{b) 1 Desenvolvendo o determinante, chega-se à relação procurada. Proposição D.2. Suponha que

lim f(x) = lim g(x) = 0 e que     o



»o 

rlim — / 'M . —- = ,L. rEntão lim f(x) — - = L. X-XO+ fll(x) X-XO+ g{x) Prova, a) As hipóteses implicam que / ' e g' incluem cm seus domínios um intervalo (x0, x0 + h), onde h > 0, c nele g'(x) # 0. Definindo / (x0) = = g(x0) = 0, vemos que as hipóteses da Proposição D.l estão verificadas por f c g cm qualquer intervalo [x0, x], com x0 < x < x0 + h. b) Dado e > 0, existe ô, 0 < <5 < h, tal que 0 < u - x0 < ó

< e

c) Tomado x tal que 0 < x - x 0 < Ò^ h, podemos escrever, pela Pr posição D.l, que existe c (que depende de x) tal que x0 < c < x e

185

apêndi

Con sid e rand o (b), podemo s esr eve r entã o que /( )  L

<

x

isso subsistindo desde que 0 < x - x0 < ô, o que quer dizer que lim — - = L. *-*o+ g{x) Nota. A proposição subsiste claramente se substituímos x —>x0 -+ por x —>x 0-. Corolário D.l. A proposição subsiste se substituímos x -+ x0- por x -» x0 . Corolário D.2. A proposição subsiste se substituímos x -» x0 + por X - > + Q O, OU X - * - 0 0 .

Prova. Façamos z = — > F(z) =

Sm m 1-0+ G'(z)

 B t ) M = Sm = i —0+ /

1\

Como lim F(z) = lim /(x) = 0 z -* 0 +

G(z) =

X “* + ao

/ 1\

Então

Z

hm  - /+ ®0'(x)

x

e

lim G(z) = lim g{x) = 0, z

+

x  +

+ oo

vem, aplicando a Proposição D.2, que lim = L. Mas i-o+ G(z) F(z) /(x) lim —— = lim —— • i-o+G(z) x—+ oo t/(x) Deixamos o caso x -> -oo como exercício. Corolário D. 3. Suponha que lim /( x ) = lim g(x) = 0 e que •

A -• XO +

hm —— = +oo ( s g{x) \ x - x 0 +

X -* Xo +

 ?

= -oo).

0 ( x )

/

Então ,lim — /<*> —= + oo 1/ rlim

/ ( X )

= -oo

186


x0 + por x -*• x 0-, x —* X q , x -

O re sultado vale se substituímos x + oo, x -» -oo.

lim g'(x) = 0. Logo, podemos aplicar a Proposi-

Prova. Temos que

   O +

f

\



)

ção D.2 e concluir que

lim = 0. x - x 0 + /(x) Por outro lado, definindo /( x 0) = g(x0) = 0, podemos escrever, para x suficientemente próximo de x0, x > x0: 0 = /( x 0) = f ( x ) + /'(xK x0 - x ) + (x0 - x)a(x) 0 = í?(x0) = g(x) + g'(x)(x0 - x) + (x0 - x)0(x) com lim a(x) = lim jff(x) = 0. X~*XQ     O

f(x)g{x) = (xo- x ) 2[/'íx)0'(x) + a(x)^'(x) + p(x)f '{x) + a(x)0(x)].

Para x suficientemente próximo de x0, vemos que/ (x)g(x) tem o mesmo sinal de f(x)g'(x), e este nessas condições é positivo, porquanto

+ao.

X-.X0+ g (x)

Logo,

lim 4 ? - + a >. g(x) Os outros casos são deixados como exercício. x2 —4 Exemplo D.l. Calcular lim ----- —• x-2 x - 2 Temos lim (x2 - 4) = lim (x-2) = 0 x-x0+

x-2

x  2

(x2 - 4)' 2x lim — = lim — = 4.

x-2

-----

(X -2)

Logo,

x-2

1

rlim -----4—~ ,4.

x -2

x -2

Na prática, costuma-sc escrever: lim

x 2 4

,. 2x = lim — = 4.

187

apêndi

x —tg X

Exemplo D.2. Ca l u lar lim ------------ x -o x - s en x

Temos x - t g x

l- se c 2 x

lim -----------= lim -------------

x -o x - s e n x

x -o

1 - cosx

Aqui, ainda podemos repetir o processo, mas é mais conveniente fazer o seguinte: 1- sec2 x 1 - C OS X

1

C O S2 X - 1

cosx + 1

C O S2 x ( 1 - COS x )

c o s2 x

co s* X 1 - C OS

X

que tende para -2 para x tendendo a 0. Logo, x-tgx „ lim ----= 2.

x - o x - se n x

Exemplo D.3. Calcular lim

X

x -0

Temos 6(x -sen x) .. 6(1-co sx ) lim -r = lim -----

-----

x -o

x -0

3 .x 2

Aqui aplicamos novamente o Corolário D.l 6(1-cosx) 6senx Um-----—5------ = lim —- —

x-o

3x

x-o

6x

Podemos novamente aplicar o processo: senx cosx , lim ------ = lim —-— = 1. 1—0 1 x-0 X Portanto

6(x - sen x) lim ------- z------ = 1.

x-0

X 3

Nota. Cuidado ao aplicar a regra. Certifique-se de que numerador e denomi nador tendem a 0. Se isso não for observado, vocc poderá incorrer em erro:

188


Esse resultado não é correto. Na segunda passagem, houve apliação indevida da regra, porquanto o numerador e o denominador não tendem a 0. Resposta certa: x‘ —1

lim xV --x5- = 4*-i Outro erro comum é derivar lim ac-*xo

calcula-se j • Ao invés de se calcular lim 9(x) «-xo g (x)

o que é um erro. sen

•/* Exemplo D.4. Calcular lim jc- + « X- 1/4 Temos 1 1 1_ sen — - X 3/’2COS x 2 lim, v - 1 / 4 = lim -— x •

+x

A

'

x - + oo

-5/4

1 2 cos —— = lim

X-» +00

J

-----

X

X

rZ------- - 0.

1/ 4

f ( X) Exemplo D.5. Pode acontecer que exista lim —— sem que exista lim     0

~~~ 9(x)

x

   o

De fato, seja f(x) = x  sen — (x ^ 0) x

e

g{x) = x.

Então lim = lim x sen — = 0, mas = x sen — - cos — não tem *-o g[x) x x x g(x ) limite para x tendendo a 0. Proposição D.3. Suponha que lim f ( x ) = +oo, X-*Xo +

r /'(* ) e que lim ——

lim g(x) = +oo X - *X o +

.a r lim/ W ——. =r L.r?Então

= L.

189

apôndi

Prova, a) As hipóteses imp liam que / '  g' inluem, em seus domínios, um intervalo (x0 , x0 -f h), onde h > 0, e nele g'(x) # 0. b) Dado e > 0, existe <5, , 0 < 5, < h tal que £ m /'(«) <\\+ r 0 0'(«) c) Seja x0 < x < z < x 0 + ó ,. Então podemos aplicar a Proposição D.l. m - f ( z ) f\c ) onde X < c < z. g{x) - g(z) g\c) Além disso, para h suficientemente pequeno, podemos supor g(x) # 0, pois lim
última relação, vem f(x) / (z) g(x) g(x) g(z) 1-

J'(c) g\c)

9(x)

Logo, e daí Logo

/ , m m V d(x)J g'(c) g(x) 9(2) /'(c) + /(z) f (x ) f \ c ) 9(x) g'(c) g(x) g'(c) g(x) f ' ( c ) f ( 2 ) / w /'(£) < g iz ) + 9 ’ (c ) 9 (x) 9 (x) »(c) g(x) 9(2) m g{x) 9(x)

m g(x)

 * í

de acordo com (b). d) Como, para z fixo, temos .. 9(2) .. /(z) lim — = lim = 0, x-xo+ g{x) x-xo+ g(x) Podemos afirmar que o segundo membro da desigualdade anterior é menor £

que — (os detalhes são deixados para o leitor), desde que 0 < x - x o << $< < z - xn , onde 6 é um número conveniente. Então

0 < x - x0 < ò

m

f(c )

£

19


e) Po r (b). p odemo s esrever f i e ) - L 9\c) X  Xn

<

à

>

/ W

J

<

'

m

< Y ’ Io80,

/ W  / X £ )

y(x)

g'(c)

+

g(c)

e

r.

2

2

Nota. A proposição claramente subsiste se substituímos x -» x0 + por x -» x0Corolário D.3. A proposição subsiste se substituímos x-»x0- por x-»x0. Corolário D.4. A proposição subsiste se substituímos x-»x0 + por x-* + oc, ou x-»-oo. Exemplo D.6. Calcular lim — x- * + ao X

Temos x

ex ex lim — = lim — = + oo. +«

X

x~* + oo 1

tg X Exemplo D.7. Calcular lim —— • *-«/2 tg 2x scc2 x cos2 2x t ----- 5— = + oo. = lim lim = lim x-m/2 tg 2x x-»«/2 2 sec2 2x x -*k I 2 cos2 X Exemplo D.8. Calcular lim — • x — + ao C *

x" nxn l lim — = lim — — = • • • = lim — = 0. + ao x~++ oo C x-* + oo € x

c

Nota. Costuma-se dizer que na situação da Proposição D.2 e na da Proposição D.3 temos uma indeterminação da forma

0

e -30 respectivamente. Outras situa-

co

ções podem ocorrer, as quais serão ilustradas nos exemplos.

(

Exemplo D.9. (Forma oo - oc). Calcular lim cot x x-*0

Temos 1\ ,. ícosx .. ( lim ( cot x ----- = lim ( --------*-o \ x/ *-o \sen x que é da forma — 0

l ----

X

>

,. x cos x - sen x lim -----------------x-o x sen x

191

apêndi

Exemplo D. 0. (F o rma 0 oc). Ca l u lar lim xlnx. jc-0 +

lim x In x = lim  »  

*

   

que é da forma

—• 00

1

Então 1 \

lim x ln x = l i m -----= lim -x = 0.

x -0 +

x - *0 +

1

x -* 0 +

X2 No segundo volume vamos ver a definição da função /(x) = e*. Defi ne-se, para a > 0, a função g{x) =
Admitindo que / é contínua e que existe lim /i(x), temos lim e''
«

= ex~“ , pelo Exer. B.4. Usando esses fatos, podemos achar outros limites. Exemplo D .ll. (Forma 0o). Calcular lim x**"*. x-»0 +

liru

lim x**0* = lim e**"**"* = ex~0 +

x*0 +

sen x ln x

x -^ O-f

As igualdades foram escritas na pressuposição da existência de lim sen x In x. É da forma 0 *oo Calculando pelo processo visto, chega-se

x-*0 +

a lim sen x ln x = 0. Logo, x

 0

+

lim x»en* = e° = 1. *-0 + Exemplo D.12. (Forma oo°) Calcular lim (ctgx)x. Temos (ctg x)x = ex,nc,*x. Mas lim x ln ctg x = 0, o que pode ser calculado como visto (forma 0 • oo) *-»o + Então im „  »  

lim (ctgx)x = e x

x -» 0 +

_

n tg _

^ gO

_

j

9


Exemplo D. 3. (F orma 1®). Ca l ular lim im ( . + 1 Y . X J ♦ + 00 \ Temos

lim x In ( 1 +

x - + oo

\

X 

) = 1,

o que pode ser calculado como visto (forma 0®). Então \ x

lim

lim x In (1 + i)

1 + — ) = e*~ +® x )

= e.

EXERCÍCIOS Provar que: ex-e x D.l. lim x - o sen x

tg D.3. lim

=

^ sen 5x 5 D.2. Um — - - = — x—o 3x 3

2.

B 

= i.

n x ~ 7 In(1 + x) D.5. lim ------ —— = 0.

x3 + x2- l l x + 10 5 D.7. Um -------- =------- ------ = — x—2 3 x - x -  -

(x-1)2 D.9. lim *-*11+ cos nx n 21n(l + x)-2x + x2 D.l 1. lim --------- ------ ----------- 1. 4(x-senx) x-i ----

D.13. lim = — a” x-a x r - c r m

inB

)

D. 15. lim x- +«> arcctgx

= 1.

^ s e n x -x „ D.4. lim ------ —■ = C x-o senhx -

x - are sen x D.6. lim *-o sen3 x _ _ .. sec x - 1 D.8. lim ---------- = 0 x-0

6

X

x 3 —a3 D. 10. lim —= ----- — — 6a5'2 (a > 0, a#x). é*nx-ex = 1. D. 12. lim x - 0 sen x - x a ln ax-b* ~b — (ajbyc,d > 0) D. 14. lim — — x -o c In 7 <  - d x

D.16. lim x s e n — = í. X“* + 00

X

93

apêndice

ln D. 7. lim ---- XJ = X -*+ 00 1

D. 18. lim x — * 00

0.

X

,. ln x D.19. lim. —— . .a = 0 x +

+

00



. .. In senx , D.21. lim --------- = 1. *-o lntgx

D.25.

lim (s e cx -tg x ) = 0. X-»tr/2 -

ln

x- 1

D.29. lim  — - c t g x ) = 0. *- o

\ x

)

D.31. lim x 2 • e x = 0. X + oo

 1

X

 

. o D.24. lim — = + oo (a > 0, a > 0). * - +
D.26. lim ( - --- j = -oo. *-o \ x x /

D.27. lim ( — ----------- % - ) = - i - • D.28. lim ( — * - o \ l - c o s x s e n1 x ) *-o\ln(x+ l)  --



In(l-x) D.20. lim = 0. *‘-**í- ctg (1 - x) x2 D.22. lira — = 0. +® e

(a > 0).

x3-4 x 2 + x - 1  D.23. lim X  * — 00 3x2 + 2x + 7

  

) = -y x / 2

*D.30. lim (x-ex) = -oo. X-* +00 Sugestão. Coloque x em evidência D.32. lim J ^ x ln x = 0. *-o +

D.33. lim xe1/x = +oo. *—o +

D.34. lim (arc cos xXln(l - x)) = 0. *-i -

D.35. lim x* = 1. *-o + D.37. lim x 4+inx = e. x-*0 + / | \ ln(1 +x) -1 . D.39. lim ( — ) x-0 \ X / / i y D.41. lim [ ln — ) = 1 . *->o+ \ x )

D.36. lim (sen x),,Jt = 1. x-0 D.38. lim (tg x) Inserí = e. x-*0 + l D.40. lim x * = 1. X~*+00

l- = — 1 D.43. ilim x x-\ x~*i e

D.44. lim (cosx)c,,Jt = 1. x-*0

1 D.42. lim (cos 2x) * = — * *—o e1

lim * _SenX -— 1i iaqui (na ui não sc aplicam as regras de L’Hôpital). D.45. um *- +«ox + sen x

APÊNDICE E A TANGENTE COMO MEL H OR APROXIMAÇÃO LINEAR Sea / uma função de rivávl em 0. Pela Pr opo siçã o 2.5.2, podemo s diz er que eiste <5  0 ta l que |   jc0 | < <5, = f(x) = /(  0) + f ' ( x 0)(x - x 0) + (    0)ç>() om lim (p{x) = 0. X—XO

(E. l)

A reta tangente ao g ráfio de f em ( v0. /(  0)) tem equaç ão y = f ( x 0) + /'(^ oX^  Xo)

sendo, pois, o gráfico da função

r(x) = f ( x 0) + f' ( x 0)(x - x0).

(E.2)

95

apêndice

S upondo |   0| < 5 ,, seja

<5(x) = |/(x)-í(x)|. Então, por (E.l), <5(x) = |x - x 0| |(x)|,

|x - x01<

.

(E.3)

Consideremos agora uma reta qualquer por (x0 , /( x 0)) que não coin cida com a tangente; ela é o gráfico de uma função da forma h(x) = f (x0) + a(x - x0),

Supondo |x — jc0 | <

com

a ± f ' ( x 0).

, seja A(x) = |/(x)-/*x)|.

Considerando (E.l), temos A(x) = | x - x 0| \f' (x 0) - a + ç>(x)|,

|x - x 0|< < 5 1

(E.4)

Vamos provar que existe ô > 0 tal que 0 < |x - x 0| < 5 => â(x) < A(x), o que significa intuitivamente (veja Fig. E.l) que a tangente é a reta que melhor aproxima a função no ponto (x0 , / ( x 0)). Como lim
—— > q  existe ô > 0 tal que



0 < |x - x 0| < S => |
------

=>

=* I9>(*)l “^ I x - x J M * )| < |x - x 0| \f'( x 0) - a + ç>(x)|

(E.5)

Seja 6 = min ( ô j, <52}. Então, considerando (E.3), (E.4) e (E.5). resulta 0 < | x  x o | < < 5 = > <5(x) < A(x).

APÊNDICE F ASSÍNTOTA Definição F.l. a) S ea / uma função c c, um número. A reta de equaç ão . = c s diz assintota vertical de f se

ou

lim f(x) = +ao,

X »c I

ou

lim f(x) = + oo, x  c

ou



lim / (x) = -oo, JC->c+

ou

lim / (x) = -oo.

x-*c -

b) Seja / uma função; a e b, números. A reta de equação y = ax + b se diz assintota inclinada de f para x tendendo a mais infinito (para x tendendo a menos infinito) se lim ( / (x) - a x - b ) = 0,

X

+ 00

( lim ( f ( x ) - a x - b ) = 0). Assíntotas inclinadas e verticais, às vezes, serão referidas simplesmente como assíntotas. Exemplo F.l. A reta x = 1 é assintota vertical de /(x ) = — - r ? ’ P°*s (x - l)z li 7 x-l (x~-T1)ü = + 00 tFig- F 1(a)-

71 . Exemplo F.2. As retas x = (2k + 1) — (fc inteiro) são assíntotas verticais

de f(x) = tg x, pois lim

x  ( 2 k+ i  | 

[Fig. F.l(b)].

tg x = +oo

C)

98


Exemplo F.3. A reta x = 0 é assíntota de f(x) = ellx(x ^ 0),

pois

lim eilx = + oo

X - O +

[Fig. F.l(c)]. 1 para Exemplo F.4. A reta y = 0 é assíntota inclinada de f(x) = (x- l)2 x tendendo a mais infinito c para x tendendo a monos infinito, pois lim * -* + •» (rX~- W 1)

=0

e

x -,im *-< r

(X - 1)

=0

[Veja Fig. F.l(a)]. Exemplo F.5. A reta y = 1 é assíntota inclinada de /(x ) = eilx para x tendendo a mais infinito e para x tendendo a menos infinito, pois lim (e1/Jt- l ) = 0,

lim (e1/x- l ) = 0

[veja Fig. F.l(c)]. b Exemplo F.6. A reta y = — x (a,b > 0) é assíntota inclinada de a

99

apêndice

Proposição F.l. Seam a e b números, e / uma função cuo domínio con tém um inte rvalo da fo rma  ^ 0. Entã o a reta y — ax + b é a ssíntota inc linada de / para  tendendo a mais infinito se, e somente se, eiste .. /() lim ----- > *-» + oo X e vale a e se existe lim (f(x) - ax) e vale b. + ao (Resultado análogo subsiste para x tendendo a menos infinito. Deixamos como exercício.) Prova, a) Se y = ax + b é assíntota de /(x) para x tendendo a mais infinito, temos (F.l) lim ( f (x ) a x  b ) = 0, X  * + 00 isto é, 1 3 1 lim * (F.2) + 00 L \ x a i Daí* a b lim ( M ( = 0, x* + 00 \ X a X 

isto é,

m

lim ----- = a. + 00 X De (F.l). resulta imediatamente que lim (/(x) -ax) = b

(F.3) (F.4)

 ao

/(x)

b) Se l i m ----- existe e vale a e se existe lim (/(x )-a x ) e vale b,     ao

    ao

então é claro que lim (J (x) - ax - b) = 0.     3

Exemplo F.7. Achar as assíntotas de /(x) =

x2- x + 1 x -1

x2 - x + 1 a) lim = -oo; logo, x = 1 é assíntota vertical. *-i x -1 x2 - x -I- 1 lim = +oc e a mesma conclusão se verifica. x -1 *Se x ( - - - a - —^ = ^(x), então lim \

X

XJ

x-* + «

= 0. Logo,

lim - — = 0

* - + 00

X




x2 - x + l _ _ / () b) lim — = lim a. -• + 00 + 00 x(x-l) 1 x



lim ( f ( x ) - x) = lim — 

+ co X - I

= 0 = b.

v = x é assíntota inclinada de / para x tendendo a mais infinito. Como exercício o leitor deve mostrar que tal reta também c assíntota de/ para x tendendo a menos infinito. Exemplo F.8. Achar as assíntotas de + x  + x - 1 a) As retas x = 1 c x » -1 sâo assíntotas verticais, pois lim/ (x) = -oo 

c

lim f(x) = + oo.

1 -



apêndice

,. 3   2 +   l f(x) lim ----- = lim -------- — — ----- = l = a. *- + <*> X X-+0O x(x2 - 1) x 2 + 2x —1 lim (/(x )- x ) = lim *— -— = 1 = 6 . X —1 a reta y = x + 1 é assíntota de f para x tendendo a mais infinito. Semelhantemente, se chega a que a reta v = x + 1 c assíntota para x tciulcndo a menos infinito (Fig F-3). b

-----

* —  oo

, 

  oo

Exemplo F.9. Achar as assíntotas de /(x ) = x 3- x + 1. a) Não existem assíntotas verticais, como é claro. f (x) b) lim ----- = +oo; logo, não existem assíntotas inclinadas para x x — + 00

X

tendendo a mais infinito. Do mesmo modo, se chega a que não existem assíntotas inclinadas para x tendendo a menos infinito. Exemplo F.10. Achar as assíntotas de f(x) = ln |x|. x # 0 . a) Como lim ln lx l = -oo, a reta x = 0 é assíntota vertical. *—o ' b) lim M . |im Ü i í l = o = „, JC-*+ 30 X JC~*+OO x lim (/(x)-0 x)= 1im ln|x|= + ao. x — -Foo

%- * +

oü

Logo, não existe assíntota inclinada para x tendendo a mais infinito. Do mesmo modo, se chega a que não existe assíntota inclinada para x ten dendo a menos infinito EXERCÍCIOS Achar as assíntotas de /, sendo f(x) = F.l. -2 y j x2 -1 ,

(x < -1 ou x ^ 1);

(x-3)2 F.2. li Ti’ x l . 4(x - 1) sen x + (x + l)eT F.4.

2x2 - 6x - 5 x # -1,5; F.3. (x-5Xx + 1) x 2- 1 F.5. ------- * x ^ 0;

F.6. ellx;

F.7. x3- x + 1;

F.8. polinômio.

APÊNDICE G EST IMATIV A DO ERRO NA APROXIMAÇÃO DIFERENCIAL Proposição G l. Sea / uma função cuo domínio contém o inte rvalo [, x + hi], h > 0 tal que, pa ra t odo l e [,  + hi], se verifique | /" ( 0 | < Aí, onde MeR. Entã o \ A f ( x , h ) - d f ( x , h ) \ ^ h M. Prova. Temos

| A /(, h)  d f (, h) |  | /(  h) - f ( x ) - hf’(x) \ =  | f'(c)h - hf'(x)|  |/(/'()/'())|  \h f"(d )( c - x ) \^ < ,\ h h d \ = h2 \ n d   ^ h 2 M ,

onde c está entre x e x + h; c d, entre c e . Na s passagens, usa mos sucessivamente a definição de A/(x, h)e df (x, h). o teorema do valor médio para /, e esse mesmo teorema para /'. Exemplo G.l. Consideremos o Ex. 2.7.1. onde se calculou o valor apro ximado 6,025 de y f 36,3. Vamos dar uma estimativa do erro cometido. Como /(x) = y/~x, temos que f"(x) = -

1

e

irw l =

Se x > 36, vemos que <

|/"(|

______ 

_ _ _

" 4y/ÕW

1 864’

porque | / " | é decrescente nesse intervalo. Então |A/(36; 0,3) - df (36; 0,3) | < (0,3)2 • - i - = 0,000104166, ou4 que é, no máximo, o erro cometido ao se substituir A f por df

3

apêndice

Nota. Sendo e  0,00010166, a desigualdade anterior fia, numa notação abreviada,

df- e ^ ò f < df + t. ou seja,

f(x) + df-e
df = 0,025 f(x + h) = J W = 6, f(x) =

temos 6,025-0,00010417 < ^ 3 6 3 < 6,025 + 0,00010417, ou seja, 6,02489583 «S

< 6,02510417.

EXERCÍCIOS G.l. Examinar a conclusão da proposição se o intervalo é [x - h, x], h > 0. G.2. Dar estimativas para os erros cometidos nas aproximações feitas nos Exers. 2.7.4(a). (b). (c) e (d).

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

SEÇÃO 1.1 1.1.7. Sim: se a + b = r, raiona l, então b —r-a seria raional. Nã o: y 3 + (  v /3 )  0. ..8. Nã o: J l - A = = 1. n / 3

1.1.10.») y 

28 286 c) 9000 

a , f

SEÇÃO 1.2.  „ ^ 1 , , , 1  1.2. 1. 2 0 2  —  k  - k ; — j -     2  + 2 2 +    2  3 + 4 x .2 1  + h .2.2. 2 —  -----  ------------ • 3 1- t x + h - l 1 1 1. .3. 2  (1)2 1.2.. ( + h)3; 3xh + 3xh + h3; 3x + 3xh + hz. „ „ 1  + 32 + 1    2 + l,‘ , , — — t  21. 1.2.5. 2 2 : w + —  — — — w (^ + 1) ( 1 ) b) impar; 1.2.6. a) nem pa r i em ímpa r; d) par; ) par; 0 impa r; e) pa r; h) í mpa r, g) par: b) todo  1.2.9. a)  ^ 2 • d)  0 c)  > 0 f)  < 1 ou   1 e) ?í0 g) todo  h) todo  i) 1 $ v ^ 2: i) v =' + 1: I) nenhum ,v: m)   0: o) todo  n V <  2 ou   I: pl  < 3 ou   .

6


respostas dos ríios propostos



27

8

l.2.10c)


29


.2.11. O gráfio se de sloca vertial mente pa ra cima dc c unidade s se c  0, e de -c unidades para baio caso c< 0. 1.2. 12.

1.2.15.

1.2.16. (a) e (d)




.2.17.

y

211


.2.19.

y t

x

1.2. 20.






. 2 .2.

d) O gráfio de F é o transladad o do gráfio de / para a esq ue rda (di reita) de a unidades (--a unidades) se a > 0 {-a > 0). c) n 1.2.22. a) 3 d) 4 b) 3 h) x2 e) 4 0 X2 g) x2 m) 1 i) y/ 1) 1 j) 1. o) 3 P) 6 q) 6 n) 1 II % 1.2.24. a) Não b) v /H ) 2 = b) x > 1; c) X ^ 1; d) qualquer 1.2.25. a) x $5 0;

1.2.26. a) 0; d) 2 + y p L 2 - V I 0; SEÇÃO 1.3. 1.3.1. a) 1; c) x/3; 1.3.9. a) -1 < x < 3; c) -1 < x ^ 1;

b)-l;

0 -4 e - j ;

e) 0 e 4;

f) nenhum x. •

b) 1;

o V I

c) g) b) d)

3; sfn-U 1 ^ x < 7; nenhum x;

d) 3; h) yfn.

213


e) n - s/~n $ v ^ n + s f n \ 0  / 2 $  ^ g ) 2 <  < 2 h)  —1 i) 1 <  < 2 ) 0 <  < 2 1)  / 6 ^  ^  / 2 ou y / 2 < X / 6 .  3 5 .3.0. a) x < 3 ou x  1 b) x  — c) — ^  < 3 ,





n 0

x

 / 3 /5 < ---- ---- ou ---- ---- < -

2

2

OU X >

1.3.11. a) 100 SEÇÃO 2.1. 2.1.1. a) y =    7  • c) y = 2 + 5

b) / 5

/5 < ------- --2

1 + J ~ \ 3

2

c) 1

f) y =  ^   + 1.  b) (0,2) d) (1,3) b) (0,1) e (2,1) d) (U).

2.1.2. a) c) 2.1.3. a) c)

2.1.5. a) y =  y  + y 



b) y = 2 d) y = 

e) y = 5 +  (0,0) (0,10) (2,) (2,10) e (2,6)  21 a y = 33h x e

d) qua lq ue r 



b )y = }  . b) y =  + 18.

2.1.6. a) y =  + 18. SEÇÃO 2.2. 2.2.1. a) 2 '

d ~ ?

b) 2   2  + 2x;

c) 32 + 1 1 0  ( + l) 2 ‘

2.2.3. I'(x) = 0 pa ra n < x < n  , onde l(x) = n. Pa ra   n, a derivada à direita eiste e vale 0, ao passo que não existe a derivada à esquerda. 2.2.4. São os pontos dos intervalos n < x < n + 1, n inteiro. Nos pontos x = ru existe a derivada à direita, que vale 1, e não existe a derivada à esquerda.

INTR OD UÇ ÃO AO CÁLCULO cáicuio diferencial

4

2.2.5.

2.2.6. Sim. f'(x) = | SEÇÃO 2.3. 2.3.1. a) 0 e) 2 i) 0

i 2 2

se se

 ^ 0,  < 0.

b) 0 0 0

c) 20 g) 0

) 0

1) 0

d) ax0 + b h) 0 

n) \ J x0 • 2.3.3. a) a; ) 3 2

2.3.5. a)    e) 1 i) 6 2.3.6. b) n ã o

. 1 b) — ã ; X

 1 ) "( 

f) 32  2

g) 23

b) 1

c) 1

d) J T O ;

f) 2í

g) 1 se a # 0; 1 se a = 0;

h) 2;

)  

1) -12;

m) ~6.

c) si m: 0

d) não;

< +

d

2

 jx

e) sim: -12.

215


SEÇÃ O 2.. 2..1. (b). 2..2. Todas, eceto (a), (b) e (1).  se  ^ 0 , /(0)  . M b) a = 12 c) a = 1 a = 0 n ã o eiste a 0 a = 0 e a = 1 é ve rdadei ra : p roposição 2..2 é falsa: /( )  ;

2..3. N ã o: /( )  2... a) e) 2..5. a) b)

) verdadei ra : /() 

t

~t ’

x

d) a = -4; g) qualquer a.

/ 0,/(0)  0, e a() —

\x \ d) ve rdad ei ra : / é a me sma do item (c), e g =  / e) falsa.

2..7. A) a) sen (cos x), b) x2 + x - 2, c) X , x+ 1

d) xA'

,

e) + 1)* • B) a) /(x) = x3

cos (sen x); - x 2 + 3x + 1; x; i xA ; x  x 4 + 1 g{x) - sen x + x; x +

b )/(x ) = — (x ¥> 0) x c) /(x) = J~x (x ^ 0) d) /(x ) = X C) a) x > 0;

g(x) = x* + 1;

tf(x) = 1 + x2; g(x) = ln x (x > 0). b) x / ± 1; ^ 0* < x ^ — 1 ou x > e. c) nenhum x; d) e 2.4 8. São compostas de funções contínuas. SEÇÃO 2.5. 2.5.1. 2.\ + 2. 2.5.3.

+

2.5.2. 2 ax + b. 1

2.5.5. JL J + 20x> + ? | . x4 x6

2.5.4. cos x - sen x. 2.5.6 . -  i x - * " 1 +

2 s / 2

x

^ t

'

1 

6

2.5.7.

INT RO DU ÇÃ O AO CALCULO cálculo diferencial

\  

2.5.9. 2.5.11.

v /r 2 2.5.8. 3 2 3

_L + 8

3

x



2.5.10. 32 + co s  sec2.

1 / 3 _ 2   1 /3

2.5.12. 9Mn9 +
• X 9.

7

2.5.13. cosh  

e* + e

2.5.1. s enh =

2.5.15. 2 + 5. 2.5.17.



x

c o s j c

3y^

ex - e x

2.5.16. 2(l  3 ln ). h

---- ^= s en. yfx

2.5.18.

,nl)

s en + co s  7 \

2.5.19. — y / x ln   J~x  X ln 2. 2.5.20. ( + l)s en 2  (2 + 2   l) o s 2. 2.5.21. co s2 Y s en2  + sec2 \. 2.5.23.

2.5.22. co s 2 X

22 1

5 2.5.2. (3)2 7 2 + lO + 3 2.5.26. (32   + 2)2  + 33 / 2 2.5.28.

X2

12 2.5.25. (2 + l )2 2+ ^ 2.5.27.

(2+ lXs en + co s)  ( 2 +  + lXsenco s) 2.5.30. 2.5.29. ( s enco s)2   sen 2x X cos x - s 1 2.5.31. 2.5.32. X2 cosh2 x 2

2.5.34.

2.5.33.

(ln x)2 1 2.5.35. (1 + ( x + 1) tg x)2 2.5.37. -cossec2 x. 2.5.39. -cossec x ctg x. 2.5.1. 100(3x4 - 6) " • 12x3.

2.5.36.

254

2.5.38. cos x (x + 2.5.42.

1-lnx x2 (2x - 1) 2x3/2 sec x tg x. cos x) - sen x (1 - sen x) (x + cos x)2 5(2x2 - 3x + 4)* • (4x - 3).

217


32 + 2 2s/ x i + 2 10 1 2.5.6. (12)3'2' X2 2.5.8. ^(1 + X3)2 2.5..

2.5.3.  3(2    )”( l  43). 2.5.5.  (1   2)3' 2 1 2.5.7. (1 + x ) J 1   2 1 + yfx

2.5.9.

2.5.50.

( X + y  ) 2

2.5.51.

V X 4 y    X2  j 1 + x2

2.5.52. -2 sen 2x.

J 1 + 2.5.53. 2 co s 2   cos x. 2.5.54. ( 2 - x 2X-senx2)2x + (-2x )cosx 3 2.5.55. 4(sen x + cos 3x)3(cos x - 3 sen 3x). 2.5.56. 3(senh x)2 cosh x.

2.5.57. j (  e x -  x + í)- , 3 (ex 2vln2>. _ _ „ 3 ln2 x 1 2.5.59. -------- + x x ln x 2.5.61. e**"2* •2 sen x • cos x. 2.5.63. cos (cos2 xX2 cos xX-sen x). 2.5.65.

,— xz- 1

2.5.58. ctg x. ex -

2.5.60.

?x + v A - . 2.5.62. cos (cos xX-sen x). 2.5.64. cos (sen (sen x)) •cos (sen x) •cos x.

2.5.66. 10 sen9 2x •cos 2x •2 4 6 cos5 x (-sen x)

2.5.67. 0.

2.5.68. — — • sen x 2.5.70. _____

+ 008J X 2 yf sen x j~x 2.5.71. a) g'(x3) • 3x2; b) g'{x) x + g(x); c) g'(g(x)) • g'(x) + 0'(sen x) cos x;

15,69. (3**"*ln 3 + sen2 x) cos x.

d) g’{x - 1) •2x 4- g’{yfx)

----

= ■

b) 12x 2 . 12x: d) n\an;

2.5.72. a) 6; c) 0; e) sen^x 4f) ax (ln a)",

cos^ x 4- n ( - i r 1—

;

-1 g) 4(4 x vl3'2

8


2.5.75. a) (l  ln); b) (sen )1 (ln sen x + x ctg x); cgn v \ •------ + cos x ln x j;

(

d) (cos x)*en* (cos \ ln cos v • sen x tg x); e) x llx •—r(l - ln x). X *

b) t —2 : SEÇÃO 2.6. x  - y 2.6.1. x - y

SEÇÃO 2.7. 2.7.1. a) 7,6; b) 0,61,0,6; 0,0601; 0,06; 2.7.4. a) 2,025;

(x = 4)

bx 2.6.3. — r - ’ ay

~ -— ey • 2.6.2. -y ln y - ? X 2.6.5. Y• ln x ---- y

2.6.4. -tgyctgx.

1 1 * — >

d) y (a + d).

c) (1,0);

, 2.6.6.

b* j 3 uy

2.7.3. b) AK(x,/i) - dV(x,h) = nrh.

b) 0,5151;

c) 1,9968;

‘ - 7

*

d) 0,01.

= 16)

(x =

2.7.5. 0,0048. SEÇÃO 3.1. 3.1.1. a)

c) 0;

3.1.2. Não. 3.1.5. a ) -1 6 .4 ; _ SEÇÃO 3.2.

Jl j:

3.2.1. a)

3.2.3. a não;

1 b ) 0 ,- ; 2 b) 1;

d) -3 + ^/1;

3.1.3. Não. 5 1 c) 0. — ; d ) 0 , - ; 16 4 c)

In 17

b sim; ^ ou —

5’

e)  l

7* J~ 3*

e) - * — e i 2

d) — 3

-1 + y / 5

2

e-4

219

respostas dos ridos propostos

SEÇÃ O 3.3.

1 1 3.3.1. a) cresente cm  ^ —  decres ente em  ^ —  2

2

b) cres ente em  ^ 0  decres ente cm  ^ 0 ) 1. ° caso: a > 0  b A b cresente em  ^  dec res ente em  <  2a 2a 2. ° caso: a < 0 b J b cres ente em  ^ ----- decres ente em  ^  2a 2a d) cres ente e) cres ente 1 , 1 1 r s r s c e ente em  ^ —— dec e ente em — — ^  ^ —=  crescen0 l  3 v /3 1 le em x ^ —= ; s/i g) crescente em x ^ 0 ; decrescente em x < 0; 1 decrescente em x ^ 1 ; h) crescente em x ^ y i y4 i) n par: crescente em x ^ 0 ; decrescente em x ^ 0 ; sc n é ímpar; crescente; ) crescente em x ^ 0 ; D crescente; m) crescente; 1 1 n) crescente em x < - —; crescente em x > — ; 2

2

o) crescente em x < 1; decrescente em x > 1; P) decrescente em x < - 2; decrescente em -2 < x < 8; decrescente em x > 8;

71

71

371

; decrescente em — < x ^ crcsccnq) crescente em 0 < x ^ — 2 2 2 3tt

„

te em y ^ x ^ 2 t t ; n . 7i , 7i crescente em 0 ^ x ^ — ; decrescente em — x < —; r) 4 4 2



INTR O DU ÇÃ O A O CÁLCU l O cálcuo difrnia

s) resente

t) crescente cm 0 < x ^

e

; crescente em x > 1; decrescente em

-4 e < * < i; u) crescente em x < 1; decrescente em v v) crescente em x

ü; decrescente em 0

1: x <

crescente em

2

3.3.3. As funções diferem por uma constante: g(x)-J\x) = 1. 3.3.5. No máximo uma. SEÇÃO 3.4. 3.4.1. O lado paralelo ao muro tem comprimento — 3.4.2. 2. 3.4.3. a) O lado do quadrado vale —— ; 71 + 4 b) se você quer cortar de qualquer jeito, não existe solução. Senão, transforme o arame todo num círculo. 3.4.4. a) o triângulo retângulo isósceles; b) o triângulo retângulo isósceles. 3.4.5. A base menor é metade da maior. 3.4.6. 2*(l - ^ / y ) 3.4.7. a) cilindro equilátero; b) altura igual a — do raio da esfera; 4 c) altura igual a — do raio da esfera 3.4.8. a = 3.4.9. v///(/i + H).

3.4.1.

n 7

221


c) (1,0). 3.4.3. Os p ontos de mínimo local e máximo local serão, respectiva mente, a) 1, - 1; b) - 1, 1; d) 0 e 2, 1; c) 1, - 1;

e) -3; g) i) I) n)

f) 5 -j- + kn, -j- + kn\

0, não existe; não existe, não existe; -1/2; -1 e 1/3; não existe, não existe.

3.4.14. a)

a

4

1:1

c n

Ín U.

0;

j) - l ; nào existe; m) 1/2, não existe; 4 b) a = ~ — b > 0; 3.4.15.

= — b > 0;

c) nào: não.

3.4.17. a) b é ponto de máximo local; c é ponto de mínimo local; nada se pode concluir quanto a máximos e mínimos; b) b é ponto de mínimo local e ponto de mínimo. SEÇÃO 3.5. 3.5.1. Para cima. 3.5.2. Para cima. 3.5.3. Para cima se a > 0; para baixo se a < 0. 3.5.4. Para baixo em x ^ 0; para cima em x ^ 0. 0 é ponto de inflexão. 3.5.5. Mesma resposta que em 3.5.4. „ . 1 1 . . 1 3.5.6. Para cima em x < — e em x > ——; parabaixo em ------ — < J  J J 1 ^ . 1 ^ x < —— • Pontos de inflexão: ± —= • J l J l ----

3.5.7. Para baixo em x < 0; para cima em x > 0. 3.5.8. Para baixo em x < - 1; para cima em x > -1. 3.5.9. Para cima em x ^

e em x ^

: nara para baixo em - ^ ^

Pontos de inflexão: ± 3 ~ 3 3.5.10. Para cima em x ^ -3 e em x ^ -1; para baixo em -3 ^ x < -1. Pontos de inflexão: -3 e -1. < x^



INT RO DU ÇÃ O AO CALCU LO cálculo diferencial

 -12 + yJ~6 ^ 12 + 2 / 6 3.5.. Para ima em   - - - —- - - >pa ra baio em 1 <  15 " 5 . * -----------12 +  J ~6 • íin P onto de inf lexão: 15 3.5.12. Para baixo em x ^ 0; para baixo em x > 0. 3.5.13. Para baixo em 0 $ x < n; para cima em n ^ x ^ n. Ponto de inflexão: n. 3.5.14. Para cima em 0 < x < 1: para baixo em v > 1. SEÇÃO 3.6*. b) -oo; -oo; 3.6.1. a) + oc; + oc; c) + oo; -oo; d) + oo; + oo: e) -oo; + oo; f) -oo; + oc; g) + oo; +co; h) 0; 0; 3 3 0 0;0; i) 7 ; T i ----

. -7 -7 m) T ; T ;

1) - 2; - 2; n) + oo; -o o; 3.6.2. a) c) e) g) i)

+ oo; -oo; -oo; + *>; +oo ;

b)

.

d) f) h) j)

+ oo; + co; + oo; 4-oo; -oo;

*Agradeço aos estagiários Augusto Ferreira Brandão Júnior e Jorge Stolfi a gentileza de construírem os gráficos a seguir no plotter do Instituto dc Matemática e Estatística da USP.


223

363 a)

b)

¥ *

3

)

3

— 3

JC

respostas dos ríios piupostos

227

b

irOT

'(d ‘(° ‘(u

s)



osh x

3

INT RO DU ÇÃ O AO CÁLCU CÁLCULO LO cálculo cálculo difer diferenc encial ial

Noi Noia. a. f.

um

sn  h os 

sen

----------------x —n + 1  “ COS X

 00.

J+

x T

.. sen x ----- ------= = e lilim m ------------

x* n“

1  COS X

4* co, co,

233


SEÇÃ O .1. .1.1. (c), (c), (e), (f). (f).

b) v G c) f x ( ^ 0) 0) e) */~x + 1 g)

* D

1  X

( Js 0);

d) ^  ; f) ^    ; 3  4 (X ft ); h)  

<  ^ 1

i) nã o eiste

D

+

y  +



( ^^ 0)

------- -------------- ----- I X

-

n) ln (  y j x  —),  ^ ;

P) log og33   1

  1,

m) ln(  y j x   ); o) ex   3 . -dx + b q ) ---------- » cxx - a

a  / — c

34

INTRO INT RO DU ÇÃ O AO CÁLCU CÁLCULO LO cálculo cálculo difer diferenc encial ial

SEÇÃ O .2.

.2.5. a)

b )  = = 

1 + 2  1

c) 1

1

d)

+ * yJ~x

1 e) 1 + 2

0

g) (a r  s en)2

h )

.

1 ar tg ln x 71

_ _

y j    2 (ar sen x)2

b) 0; v 3tt C 4 ’

«f

b) É o gráfico gráfico de / (x) (x) = arc tg x.

4.2.9. a) >'1 ________ ___ _______ ____ 2 __

l\/\ 4

V # í/ í/  y k ;

1 1   (In  )2 

.2.8 .2.8.. a) a) y 

4

co s | o s| _

-

c) 71

y

235


AP A P Ê N D I C E F F.l. y = 2 é a ssíntota pa ra  tendendo a menos infinito  = ~x é a ssíntota pa ra x tendendo a mais infinito. F.2.  = 1 é a ssíntota vertial;  —5 . . . as sínttota inclinada para  t endendo a mais infinito e pa ra ' y  —  é assín

 tendendo a meno s infinito. F.3. A ssíntota s vertiais:  = 5 e  =  l ; y  2 é a ssíntota inclinada para  tendendo a mai s infinito e pa ra  tendendo a meno s infinito. F.. y =  + 1 é a ssíntota inclinada para  t endendo a mai s infinito. F.5.  = 0 é a ssíntota vertial; y   é assínt ota inclinada para  tendendo a mai s infinito e pa ra  tendendo a meno s infinito. F.6.  = 0 é a ssíntota vertial; y   é assínt ota inclinada para  tendendo a mai s infinito e pa ra  tendendo a meno s infinito. F.7. N ão eistem a ssíntota s. F.8. Nã o eistem a ssíntota s. AP A P Ê N D I C E G

Temo em os \ A f - d f \ < _ \ 2



— J  0,000 003304 045; 5;

3 . iQ-2

)

;

d) 0 0"4 "4..

EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES

CAPÍTULO 1 .. NÚME ROS

1. Achar um número irraional entre os nú meros a  ,3458... e b = = 1,36. Supo r a rep resentaç ão decimal de a infinita e nàope riódia. 2. Mostre que J~ + y f l é irraional. 3. a) O cubo de um núme ro pa r (í mpar) é par (í mpar), b) Mostre que x3/"4 é irracional. b 4 Sc a ¥> 0 é raciona) e b é irracional então a + b, a-b, ab, — são a irracionais. 1.2. FUNÇÕES 1. Achar o domínio de /(x) = \!yj x - . 2. O domínio de uma função f è o conjunto dos números x tais que -2 ^ < x < 2. O conjunto dos elementos associados é constituído apenas pelo número 3. Dê o gráfico d t f Tem sentido /(41)? 3. Sendo f(x) — ax ^ ^ , m0stre que /(/(x)) = x ( c x - a ^ 0). cx - a 4. Achar a e b de modo que /(/(x)), sendo /(x ) = a.\ + 1, g(x) = x + b. 5. Uma função / é simultaneamente par e ímpar. Mostre que /(x) = 0 para todo x do seu domínio. 6. Sejam / e g funções de mesmo domínio. Definem-se as funções ( / v 0X*) = máximo entre /(x ) e g{x), ( f a 0)(x) = mínimo entre /(x) c #(x). ambas de domínio A.

38


Esb oce o gráfico dessas funções no caso f(x) - x , g(x) = (x > 0). Dados os gráficos de / e g, achar os gráficos de / c) Prove que \f(x)-g(x)\ + f ( x ) + g(x) ( f v 0)(x) = 

v

g e/

a

x

g.

gtx) = ~ l^ (x) " g(x)l + ^ (x) + g(x)

a

1.3. DISTÂNCIA ENTRE NÚMEROS 1. Prove que a) |x + y + z\ ^ |x| + \y\ + |z|; b) \ x - y \ < | x - z | + | z - y | . 2. Prove que \ x \ - \ y \ ^ |x + y\.

3. A distância entre um número x > 0 e um número y vale 10. A dis tância entre y e 0 vale 2. Quais são esses números? 4. Descreva através de desigualdades a) o conjunto dos números cujas distâncias a -1 são maiores do que7 as distâncias a 2; b) o conjunto dos números cujas distâncias a 3 estão entre 2 e 4 ; c) dê os conjuntos referidos em (a) e (b). 5. Achar os números x tais que a)

CAPÍTULO

<

2;

b)

c)

^ 1.

2

2.1. O PROBLEMA DA TANGENTE 1. Achar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto de abscissa dada: a) /(x ) = 8 - 2x, x = - 2: b) /(* ) =

1+ x

»

x = 5.

ríios supmntars

239

2. Mostr e que, se b > 0, n ã o e istem tangente s ao gráfio de /( )  3   bx  c que são pa ralelas a o eio do s . 3. T ome um ponto A do gráfio de f(x) = 2^ /. Sea B a interseç ão com o eio do s  da reta po r A e no rmal a esse eio seja C a interseção com o eixo dos x da normal ao gráfico de/ em A. Calcule a medida do -segmento BC. 4. Dê o ângulo formado pelos gráficos de f(x) = x3 + 3x2 + 4x + 2 e g(x) = x 2 + 2x + 1 no ponto ( - 1. 0). isto é, dê o ângulo entre as tan gentes aos gráficos dessas funções no ponto ( - 1, 0). 5. Como devem ser os números a, b, c, d, e para que os gráficos de / (x) = = ax + b e g{x) = cx1 + dx + e sejam tangentes em (0, 0)? (isto é, admitam tangente comum nesse ponto). 2.2. DERIVADA 1. Quais das seguintes afirmações são verdadeiras? a) Toda função é derivável. b) Existem funções deriváveis. /( x ) - / ( x 0) , é a derivada de / no ponto x0 . c) X-XA d) A função / dada por /( x ) = —j- se x ^ 0 e /(0) = 0 é derivável. f [ x + h ) -f(x ) c) Uma função / é derivável se existe lim para todo h-*0 x do seu dominio. 0 A razão incrementai de / no ponto x 0 , relativamente a x - x 0 , é o coeficiente angular da reta por (x0 . / (x0)) e (x, /(x)). g) Existe uma fu nçã o/ tal que a razão incrementai de/ relativamente a x - x 0 é a derivada d e/ em x0 , para todo x0 do seu domínio. h) / é derivável cm x0 se, e somente se, a derivada à esquerda de / em x0 é igual à derivada à direita em x0 . 2. Dos gráficos a seguir, quais são os que representam funções deriváveis?

4


3. Diga p o r que as f unções g e h nã o podem ser /'. nos casos dados a seguir:

4. Dada /, seja / ' + (/'_) a função que, a cada x» associa a derivada à direita (esquerda) d e / em x. Desenhar os gráficos de/'* e /'_ para as quairo primeiras funções do Exer. 2.2.5. ^ 2.3. LIMITE 1. Dê exemplos de funções f e g tais que a) não existe lim /(x), não existe lim ^(x), e existe lim (/(x ) + g(x));     o

X~*Xo





o

b) não existe lim /(x), não existe lim g(x) e existe lim f(x)g(x);  —  Q

 —  o

    O

f (*) c) não existe lim f { x \ não existe lim ^(x) e existe lim —— • g(x) 2. Se existe lim / (x) e não existe lim g(x), pode existir lim ( / (x) + gfx))?   +  O

 —  O

    o

JK-*JCO

  +  0

3. Se /(x ) não é limitada e lim g(x) = 0, pode-se concluir que lim X -*.to

/(x)g(x) = 0?

J C- *.V o

241

eercíios supmntars

4. En uncia r pr op ri edade s análogas às prop ri edade s L l L S pa ra limites laterais. 5. Achar a e b de modo que / seja derivável no ponto 1. sendo

(x3 + as /U ) - W

se x < I, se x > 1.

2.4. CONTINUIDADE 1. S e /é uma função tal que |/(x )| ^ |x| para todo x, então / é continua em 0. *. Mostre que a função 0 se x é irracional /(*) = se x é racional 3. *4.

5. *6.

não é continua em nenhum x. Seja / uma função de domínio (a,ò) tal que, para quaisquer x t , x2 de (a,b), tenhamos |/ ( x ,) - /( x 2)| ^ | x , - x 2|. Mostre que f é contínua em todo x de (a,ò). Mostre que a função se x é irracional /(* ) = se x é racional é contínua apenas em 0. Dê um exemplo de uma função /q u e não seja contínua em nenhum número, mas tal que | / | seja contínua em todo número. Seja / uma função tal que para quaisquer x t , x 2 reais, verifique-se f ( x , + x2) = /( x ,) + /( x 2).

a) b) c) d)

Mostre que /(O) = 0. Mostre que / é ímpar. Mostre q u e /(x )- /(x 0) = / ( x - x 0). Supondo / contínua em 0, mostre que / é coi. aua em qualquer número. 7. a) Prove que ( f ° g ) ° h = f ° (g ©h). b) Prove que, se e  são ímpares e g c par, então /j °/2 é ímpar, e g <>/j é par; se h é uma função qualquer, h ° g é par. c) Sendo /(x) = ax + b e g(x) = cx + d, achar uma condição para que = f

f o g

g o f

4


8. Achar um número inteiro p tal q ue eista uma raiz de 3 + 2 1 entre p e p + 1. Tdem pa ra 2.7  2 + 2. **9. Se / uma função continua de domínio [1,1] tal que, para todo  desse intervalo se verifica x2 + [/(x )]2 = 1. mostre que ou/(.x) = y f l - x 2 ou /(x) = - y / 1 - x 2. **10. Seja 0(x) = x, 0 ^ x < 1, e /u m a função contínua, de domínio [0,1], tal que 0 < /( x ) < 1. Mostre que o gráfico de / corta o gráfico de g. Sugestão. Faça uma figura e considere /(x)-x. *11. Seja/ continua em [a,6]. Então o conjunto dos números/(x) associados pela /quando x percorre [a,b] constitui um intervalo da forma [a,/?]. Sugestão. Aplique a Proposição 2.4.4 e o teorema do valor in termediário (Cap. 2).

2.5. REGRAS DE DERIVAÇÃO Calcular /'( x) nos Exers. de 1 a 11. sendo /( x ) = 1. (a + bx T -

2.

-------------

(1 + x)" _______ 4. (3x-4)^(x + l)3.

3. (3x - )y/ (1 + xj3. e“x(a cos bx + b sen bx) 6 C° S X 5. sen2x + b 8. elJC. _____ 7. (tgx),nx.__ ~ , \ Í X + O + y / x + b 10. In (x + y / 1 + x 2). 9- ln v . _ - v. y /X + a - y / X + b 11. logí(a)/(x); aqui / e g têm por domínio um mesmo intervalo aberto /, no qual são deriváveis, c /(x) >  , g{x) >  , g{x) # 1, para todo x de /. 12. S e /é par (ímpar), então / ' é ímpar(par), supondo existir/ '. 13. Um cubo se expande (mantendo-se cubo) de modo que seus lados aumentam à razão constante de a metros por segundo. Quão rápido varia seu volume quando seus lados medem x metros? 14. Um triângulo eqüilàtero se expande (mantendo-se triângulo eqüilátero). Sua área varia à razão de a metros quadrados por segundo. Achar a razão de aumento de seus lados quando sua área for S metros quadrados. -----

243

eercidos supmntars

5. a) Prove que {fg)" = f 'g + f'g' + fg". b) Prove que {fg)’" =f'"g + 3f"g' + 3 f g " + f g ”. c) Prove a regra de Leibniz: UO?"

+ C n , / <  V   + CnJ {' - 'ga '   + f 9 in)(n  . 2,3— )

Simboliamente se escreve: {f g t' = t

c nJ

in~p,g ip\

P - 0

onde f i0i = /. d) Achar /*"\ sendo f{x) = xex, f (x) = x3 ln x. 2.6. DERIVAÇÃO IMPLÍCITA Admita nos exercícios a seguir que a relação dada define uma função derivável y —/(x). Ache f \ x ) nos exercícios de 1 a 5 1. x3 + x y + >'3- 14 = 0 3. x sen xy + cos xy - 3 = 0 5. x7y8 = (x + y)15

2. exy-xy = 0 4. x  + y - lOx + 4y - 19 = 0

2.7. DIFERENCIAL 1. Calcular, usando diferenciais, o valor aproximado de a) cos61°;

b) ln(e + 0,001), sendo e = 2,7182;

c) e11.

. Calcule df(0,h), sendo / dada implicitamente por y - e ~ xiy = 0 {y = f(x)). 3. De a melhor aproximação linear de

a) f(x) = x ò no ponto x = 1; b) /(x) = (sen x)* no ponto x = -y- • 4. Calcule df(x,h), sendo a) f(x) = x ln x - x ;

b) /(x) = e x cos 3x.

44


CAPÍTULO

3

3.. O TEOREMA DE ROLLE

*1. Prove que, s e / é derivável em (a,b) e f'(x) > 0 pa ra todo x desse inter valo, então / tem no máximo uma raiz em (a,6). Sugestão. Suponha o contrário e use o teorema de Rolle. *. Suponha / / ' , / " contínuas em [a,ó] c que / tenha três raízes (distintas) pelo menos em Mostre que / " tem pelo menos uma raiz em [a.6].

3.2. O TEOREMA DO VALOR MÉDIO 1. a) Prove o teorema do valor médio aplicando o teorema de Rolle à função a = b x

J(a) m f(x)

1 1 1

a < x < b.

*b) Dê uma interpretação geométrica da prova. 2. Mostre que a fórmula do teorema do valor médio pode ser posta na forma f{ x + h) = f(x) -I- hf'(x + 9h),

onde

0 < 6 < 1.

Em certos casos, 6 é uma função de h. Calcule lim 9{h) (x fixo) nos casos *- 0 a) f(x) = x 2;

b) /( x ) = x3;

*c) /(x) = — • x

Dê um exemplo em que, para um certo h, exista mais do que um valor 6. 3. Suponha que |/'( x )| < M para todo x de (a.6) e que f è contínua em [a,6]. Mostre que -M(b - à) < J\b) - f(a ) ^ M(b - a).

*4. Seja / uma função tal que f'(x) — k para todo x. Mostre que existem números a e b tais que /(x) = nx -I- b para todo x.

245

eeríios supmntars

3 3. APLICAÇÃO DO TEOREMA DO VALOR MÉDIO: INTERV ALOS ONDE UMA FUNÇÃO CRESCE OU DECRESCE

1 Pa ra ada f unç ão dada a seguir, dê os intervalos nos quais a função é crescente e aqueles nos quais a função é decrescente, nos casos/(x) = a) - - (x # - 1); x + 1

b) x + — f f x 1 + 10; 2

c) ——- (x > 0); x e) ,y x3- 3 x + 2;

d) x*(x > 0); f) x + ln cos x,

0^ x<

•

2. Das afirmações a seguir, di/er quais as verdadeiras e quais as falsas, justificando. a) b) *c) d)

Soma de funções crescentes é uma função crescente. Diferença de funções crescentes é uma função crescente. Produto dc funções crescentes pode ser decrescente. Quociente de funções crescentes pode ser uma função nem crescente nem decrescente. e) Produto de funções crescentes pode ser uma função nem crescente nem decrescente. 0 Composta de funções crescentes é uma função crescente.

3. Sejam f t g deriváveis em todos os pontos de um intervalo aberto /; suponha que f(a) = g(a) para um certo a de / c que /'(x) > g'(x) para todo x de /. Mostre que /(x ) > g(x) se x > a e /(x) < g(x) se x < a. *4. Prove que, se 1 < a < b, então a + — < b + -j-* a b 3.4. MÁXIMOS E MÍNIMOS 1. Achar o cilindro de área lateral máxima, inscrito num dado cone. 2. Circunscrever a uma esfera a) o cone de volume máximo; b) o cone de área lateral mínima; c) o cone de área total mínima.

46


3. É dad o um número a. Esrever esse número como soma de dois números a x e v, sendo -a < x < — * de modo que xy seja ' 4

a) máximo;

b) mínimo.

4. Achar o retângulo de maior perímetro que pode ser inscrito na elipse

5. 6. 7. *8.

x2 v2 T 1T = 1 {ü'b > 0)' a1 + b* Uma folha de papel para um cartaz tem 1 m2 de área. As margens su perior e inferior valem 10 cm e as margens laterais 5 cm. Achar as di mensões da folha, sabendo que a área impressa é máxima. Inscrever um retângulo de área máxima na parte da parábola y  — 4 px, limitada pela reta x = a ( p,a > 0). Mostre que a função/(x) = x* - ax, a ^ 1, tem 1 como ponto de máximo relativo se 0 < a < 1 e 1 como ponto de mínimo relativo se a > 1. Seja / uma função contínua em [ai>] e derivável em (a,b). Suponha que existe apenas um c de (a,b) tal que f ( c ) = 0, e que/(a) < f(c),f(b) < f(c). Mostre que c é ponto de máximo de /.

3.5. APLICAÇÃO DO TEOREMA DO VALOR MÉDIO . CONCAVIDADE 1. Estudar a concavidade e os pontos de inflexão de / nos casos /( x ) = a) x 3(3x-4);

c) xe-ajt

(a > 0); ex-e~x e) s e n h x = — ;

b) —^ V nx-e d) x e~ax (a > 0); 3 f) 2 - x - — e 2/3;

_

x g) n - x ln — • 6'

10

2. Considere a seguinte definição de concavidade: Uma função f tem concavidade para cima num intervalo se, para todo a, x, b do intervalo com a < x < b, temos /(x )-/(fl) ^ f( b )-f(a ) x - a b-a

247

eeríios supmntars

a) Convençase de que, geomet riamente, a condiç ão acima impõe que o segmento de etremidades (a,/(a)) e (b,f(b)) deia abaio o gráfio de / entre esses pontos. *b) Prove que, se / tem concavidade para cima num intervalo / e / é derivável em a, então o gráfico de / fica acima da tangente ao mesmo em (a,/(a)), exceto tal ponto. ***c) Se / é derivável e o gráfico de / fica acima de cada reta tangente ao mesmo, exceto o ponto de tangência, então / tem concavidade para cima (segundo a definição dada neste exercício). *d) Seja /contín ua num intervalo no interior do qual/"(x) > 0. Então / tem concavidade para cima (segundo a definição dada neste exercício). e) Se / tem concavidade para cima em [ai>] (segundo a definição dada neste exercício), então, para todo t de [0,1]. verifica-se f(ta + ( l - t ) b ) ^ í/(a) + (l-/)/(í>).

3.6. ESBOÇO DE GRÁFICOS DE FUNÇÕES 1. Calcule

Sugestão. Multiplique e divida

2. Sendo mostre que

p(x) = anx H + • • ■ + fl0 , a„* 0,
'0

se

+ oo se —co se

n
anbm n m> 0 a„bm < 0. 91

IR

48


3. Esboce o gráfio da s seguintes f unções /() 

 x(xJ + 9 a 2(J + 1)

M ’

* x

3

-

' 2

C) 3  x 2  2  2  x  5

’

e) cos      sen x

d’ (x 5 + 5;

X _I y

(0 < x < 2n).

(Neste exercício o estudo da concavidade é difícil, e você pode deixá-lo de lado.)

CAPÍTULO 4 4.1. O CONCEITO DE FUNÇÃO INVERSA 1. Achar a função inversa (se existir) da função / nos casos /(x ) = a) x2 -2 x + c) x2 - 5x + e) x 2 - 5x + g)

1 (x ^ I); 6 (x > 3); 6 (2 < x ^ 3);

b) x 2- 2 x + 1 (x < 1); d) x2 - 5x -I- 6 (x < 2); 0 2*; se x <0,

2 2 ~ 

h)

2

se 0 < x < —*

v2-x 

senhx i) tghx = cosh x

2

B H

se x > y ;

2. Mostre que as funções dadas a seguir são inversiveis: a) \J 1—x 2 c)  y / x - x

(0 (x

e) 3x4 - 4x3 + 1

x < 1); ^ 1);

b) 2 y f x - x (0 ^ x 1); d) 3x4 - 4 x 3 + 1 (x < 1);

(x > 1);

0 — x

U < é).

3. Se / é uma função cujo domínio é o conjunto dc todos os números tal que f{ab ) = af(b), mostre que /(x) = kx. Se /(1 ) # 0, mostre que / é inversível.

249

eercí ios supmntars

4.2. PROPRIEDADE S DE UMA FUNÇÃO TRANSMITIDAS À SUA IN VE RSA

1. a) A funç ão f(x ) = senh x é invcrsível. Sua inversa é indicada argsen h. Prove que (argsenhx)' =

1 y p T T ’

b) O mesmo sucede com /(x) = tghx: sua inversa é indicada argtgh, e tem por domínio (-1,1). Prove que (arg tgh x)' =

1 \ ^ T 

(-1 < x < 1).

2. Prove que I 2 - x

_____

a) (are sen (1 - x) - y j x - x2)' = ~ yj 'x ~ i i- * 2V ( arc cos ------b) \( arc cos 1 + x 2=J1 = c) (X,rcsenx)' = x

2

( x > ) :

----

1 +

„ J arc sen x v +

ln x

\

4 V (   l x   , / , ^ a rc tg _ _ _ y I n (x + I ) j = a r c tg — d)

/ J

CO S V

l

X

3. As funções /(x ) = arc tg . v 1 + cos x 2 rivada no intervalo kit < x < kn + n, k inteiro. Interprete. **4. Mostre que existe uma funçào / derivávcl cm todo número tal que (/(x))3 + 3/ (x) - x = 0. Sugestão. Considere a função g{x) = x3 + 3x, que é inversível. e mostre que g = / -1.

----------— e g(x) = — possuem mesma de-

RESPOSTAS

E SUGESTÕES AOS EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES

CAPÍTULO 1 .. NÚME ROS

1.

a+b —  po r eemplo.

2. Se fosse racional, seu quadrado 5 + 2V^6 também seria. 1.2. FUNÇÕES

5


.3. D ISTÂNCIA ENTRE NÚMEROS

3.  = 12, y = 2 ou x = 8,  = 2. | + 1|  |2|, . a) 2 < |  31<  b) c) a) : conunto dos  tais q ue   —  b) : conunto do s  tais q ue —1 <  < 1

ou

5. a)   —  

CAPÍTULO

5<<7 C) 6 < X < T '

2

2.1. O PROBLEMA DA TANGENTE 1. a) y = 8  2 3. 2. . 5°. 5. h = d = e = 0, a e c quaisq ue r. 2.2. DERIV ADA 1. b, e, /, g, h. 2 d)

3. a) /'() > 0 s c a < x 0 nesse intervalo, b) Claramente / ' não é constante, c h é constante. Por outro lado, se x, < x2, vê-se que/Txj) >f'{x), mas g i x j < 0(x2)-(x, e x2 estão no domínio de /.)

respostas  sugstõs aos ríios supmntars

2.3. LIMITE 1. a) /(  ) 

2. Não.

0; g(x)  -f(x);

se  < 0 se   0

c 1 se  < 0  { se   0

b) /()  ) m

■» X

se  < 0, «w = {‘ se   0

<7() = /( ).

3. N ã o: /( )  , g{x)  — > 0  0.  5. a  I, b = 2. 2.. CONTINUIDADE se  é i rraional 5 /() se  é raional. 7. ) ad  b  cb  d. 8. p  0; p  .

-u

253

54

INTRO DU ÇÃ O AO CÁLCU LO cálculo diferencial

2.5. REGRAS DE DERI V AÇÃO nx,w 1 2. (1 + )"+1

1. ninbxm~1(a + bx m)a~1. ISX y 

x + 1

21

.

4 ^ 'x

5. eaxcosbx

6.

+

2 -

sen3 

8. e** • (l  ln ).

, ln J ln * _ + ln *1 7 (gx)1  J |_sen  cos  1 9 y /J z + ã )(  W (ln g(x))f'(x)g(x)  (ln f(x))g'(x)f(x) 11. /()0(Xln g(x))

0

 y / T + l ?

3. 3a 2

( l)"6(n4) 5. d) e* + ne*  , " 3

4.     

l"

pa ra

n ^ 4.

2.6. DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 32 + 2y2 1.  22y + 3y2  .  ^+ 2

A

5

~

(1 —y) sen xy + xy cos xy 3. x sen xy - x2 cos xy

z-i i .



2.7. DIFERENCIAL 1. a) 0,4849

b) 1,000367

2. -fc.

3. a) g(x) = 3x - 2. 4. a) (ln x)/i CAPÍTULO

b) g{x) = 1. b) -e~x (3 sen 3x + cos 3x)/i

3

3.2. O TEOREMA DO VALOR MÉDIO3 3. a), b), c ) : y -

/ (*) = x.

c) 2,99


255

3.3. APLICAÇÃO DO TEOREMA DO VALOR MÉDIO: INTERV ALOS ONDE UMA FUNÇÃO CRESCE OU DECRESCE

1. a) cres ente em  ^ 2 e  ^ 0 decres ente em 2 < x < 1 e 1 <  < 0. b) cresente em  < 1 e x > 0 dec resente em 1 <  ^ 0. c) cresente em  < e dec res ente em  ^ c. d) cres ente em x > — '•> e dec res ente em  < — • e e) cres ente cm  $ 1 e em  ^ l; dec res ente em 1 <  < 1. f) cres ente em 0 ^ x < —  , n n decres ente em — <  < — •  2 2. a) V erdadei ra : se  < ' imp lia/() < f{x') e g{x) < g(x') então  < ' implia f(x)  g(x)

d) V erdadei ra : /()  ,  > 0; g(x)  ,  > 0. e) V erdadei ra : /( )  , g(x)  . 0 V erdad ei ra : / sendo crescente, x < x' implica /(x) < f(x' ), e sendo g crescente, tem-se g(f(x)) < g{f (x')).

3.4. MÁXIMOS E MÍNIMOS 1. A altura do cilindro é a metade da do cone. 2. a) altura do cone é o dobro do diâmetro da esfera. b) altura do cone igual a (2 + y/~) vezes o raio da esfera. c) raio da base do cone igual a v/ _2 vezes o raio da esfera.

56


3. a)\    . >

3 a.

b) x = a, y = 2a.

2a3 2b% * 4. lados — y j a1 + b7 6 y / S T T  ' 5.

m e y í l m.

6. y  / l â p  y 

 / 2 3.5. APLICAÇÃO DO TEOREMA DO VALOR MÉDIO: CONCA V IDADE

1. a) pa ra ima em  < 0 pa ra baio em 0 < x < y  pa ra ima em 2

2

• Ponto s de inf le ão: 0 e — • 3 3 e e b) pa ra ima em   —f=\ pa ra baio em  < —= V n V n ^

2

2

2

) para baio em \ ^ —  pa ra ima em  ^ — Ponto de inf le ão: — • a a a 2  y í l

2- y f l

2 + ypl

d) para cima em  < — ——  pa ra baio em — —— ^  < ----- —— : a a a 2 -J ~ 2 2 + yÍ2 para cima em x Ponto s de inf lexão: — —— e • j a a a e) para baixo em x < 0; para cima em x ^ 0. f) para cima em x < 0; para cima em x > 0. -----

g) para baixo em x > ~^=; para cima em 0 < x < —^ • Ponto de in flexão :

1

3.6. ESBOÇO DE GRÁFICOS DE FUN ÇÕES 1. a) 1.

b) -1.

c) 3

d) -oo.

257


ay

b)

 

V 4

58

Introdução Ao Cálculo - Vol I - Paulo Boulos

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