Introducción a la Econometria

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMETRÍA GUÍA DIDÁCTICA

Licenciaturas de Economía y ADE

NELSON ÁLVAREZ VÁZQUEZ PEDRO ANTONIO PÉREZ PASCUAL BASILIO SANZ CARNERO Introducción a la Econometría. Guía Didáctica.

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1.- PRESENTACIÓN DE LA GUÍA.

E

l objetivo de esta Guía Didáctica es orientar al alumno en la preparación de una asignatura Introducción a la Econometría (medición de la economía). Es esta una parte de la ciencia económica que reviste dificultad incluso cuando se dispone de clases presenciales. Las dificultades son mayores en la UNED, no sólo por la falta de clases, sino también por la falta de contacto con el profesorado, con los compañeros y con el mundo académico, que es parte esencial de la formación universitaria.

Siendo la econometría una materia por cuantitativa, dominada por los aspectos instrumentales y formales, su aprendizaje requiere haber asimilado otros conocimientos, lo cual ha de plantearse con criterio, y no a modo de inventario, enumeración y yuxtaposición. La formación formación en términos generales, generales, es calidad, calidad, no cantidad, cantidad, es reflexión, reflexión, y es en consecuencia, tiempo, algo que, en términos relativos, es escaso para el alumno de la UNED, muchas veces con trabajo y otras condicionantes. Ni ello exime de aspirar a una formación de primera fila, ni exime por tanto, del cumplimiento de unos objetivos básicos. La presente Guía, trata de adaptarse a criterios estándar, que versan sobre los objetivos, contenidos, criterios de evaluación y orientaciones para el estudio de cada tema. En la bibliografía básica hay aplicaciones resueltas, a nuestro juicio, suficientes, que pueden servir de autoevaluación. Puesto que partimos de la calidad y no de la cantidad, sobre cada problema problema basta con una aplicación aplicación si ésta es bien comprendida, comprendida, no basta con muchas, si falta el conocimiento. Se pone el acento, en que lo que se persigue es la realización de aplicaciones, directamente equiparables a lo que el futuro licenciado (y tal vez doctor) en Economía, debe realizar en su actividad académica y profesional. A los ejercicios dedicados a la comprensión de una técnica dada, se les reserva la denominación de ilustraciones empíricas, de carácter más formal e instrumental, desempeñando por ello, sólo una etapa intermedia en la formación econométrica.

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2. PRESENTACIÓN DEL EQUIPO DOCENTE.

La asignatura se encuentra adscrita al Departamento de Economía Aplicada Cuantitativa I y el Equipo Docente está formado por los profesores:

• Dr. D. Nelson Álvarez Vázquez, Catedrático de Economía Aplicada • Dr. D. Pedro A. Pérez Pascual, Profesor Asociado de Econometría • D. Basilio Sanz Carnero, Profesor Asociado de Econometría El horario de guardia, en el que pueden contactar con el Equipo Docente , es los miércoles de 16 a 20. Los teléfonos y direcciones de contacto son, Nelson Álvarez Vázquez Pedro A. Pérez Pascual Basilio Sanz Carnero

91 3986376 91 3987801 91 3986330

[email protected] [email protected] [email protected]

Con objeto de agilizar las contestaciones, se ruega no enviar simultáneamente el mismo correo electrónico a todos los miembros del Equipo Docente.

3.- INTRODUCCIÓN GENERAL A LA ASIGNATURA.

Esta asignatura pertenece al Primer Ciclo de la licenciatura. Se imparte en el segundo cuatrimestre del tercer curso. Encuadrada en las Enseñanzas Regladas, y se dirige por tanto a aquellos alumnos que se encuentran a punto de terminar el Primer Ciclo de la Licenciatura. La Econometría nació a principios del siglo XX con el objetivo de medir ciclos y teorías económicas, en particular, con el propósito de dotar de contenido empírico a las teorías económicas neoclásicas, calificadas como vacías. Esta es sin duda una respuesta a objeciones concretas, en la que hay que separar lo esencial de lo accesorio. Que las teorías económicas deban tener o no, contenido empírico, es una crítica propia del empirismo que ha informado algunas corrientes de la econometría. El económetra parte de una teoría, proposición racional y abstracta, que no discute en cuanto tal, sino que se limita a medirla. Si se han formulado teorías, quiere ello significar que se busca retener mediante abstracción, lo esencial, y prescindir de lo accesorio, es decir, de los aspectos particulares, en buena medida empíricos, propios de cada experiencia, digamos mercado concreto. Puesto que hemos anticipado el criterio de la constante autoevaluación, este es el momento en que el alumno debe detener la lectura de la Guía, y proceder a recordar y poner por escrito, mejor si breve, cual sea el estado de la cuestión respecto al realismo de los supuestos . La descripción del objeto de la econometría, es sin duda una simplificación, de la que tiempo habrá de ir marcando distancias. El economista habla hoy más de comprobación y contrastación empírica de teorías, y no menos del modelo econométrico, cuya relación con la teoría puede llegar a difuminarse hasta el punto de que algunos no Introducción a la Econometría. Guía Didáctica.

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conserven relación con las teorías económicas. Mencionemos que en la escala de objetivos, fácil de descubrir en la literatura, a veces, el objetivo se establece en la predicción. La evaluación correspondiente debe ser ahora la de desarrollar en no más de dos páginas la relación entre hipótesis, teoría y modelo . Nuestro programa sigue su propia línea que cuenta con antecedentes. Decía Schumpeter que la Economía nunca alcanzaría el prestigio que corresponde a una ciencia madura, mientras no fuera capaz de expresar numéricamente sus resultados. Las teorías económicas no completan su aportación a la Ciencia Económica, mientras no son medidas. De manera que en términos ideales, el programa para ser considerado por superado, ha de servir para que el alumno acredite su capacidad en la medición y comprobación de teorías económicas. Hay una afirmación clásica de que la Econometría es teoría y medida , lo cual es una interpretación a nuestro modo de ver, una tanto laxa de medición de una teoría . Digamos que ésta parece más cerca del lema al que aquélla vino a sustituir en el seno de la Cowles Commission, ciencia es medida. El alumno debe captar desde el principio, la diferencia de matiz. En teoría y medida , se atribuye a la medición una cierta apariencia de sustantividad. En medición de una teoría, ésta es lo sustancial, y la medición el complemento necesario. Se cuenta que Einstein, no publicó su teoría de las lentes gravitacionales hasta unos veinte años más tarde de haberla desarrollado, por considerar que no se podía comprobar empíricamente.  Vamos a ver a lo largo del programa, que la medición de teorías económicas, es un objetivo todavía no culminado a satisfacción de la profesión y de los económetras en particular. De manera que a lo largo de la mayor parte de la historia de la econometría, ésta ha experimentado ciertas derivaciones, a veces, difíciles de reducir al objetivo planteado. Digamos que el programa de la econometría tal como se desprende de la literatura y manuales, puede verse orientado al objetivo de la modelización . No hay una correspondencia necesaria entre medición de teorías y modelización, y en el supuesto de discrepancias, cualquiera de los dos aspectos, dependiendo de la ecuación investigadora del economista, ofrece un amplio campo. En el intento de llevar a cabo la cuantificación, término que junto con el espíritu numérico, es muy del agrado de Schumpeter, cuya obra se supone bien conocida del alumno de econometría, los programas han evolucionado hacia el desarrollo y aplicación de métodos, cada vez más numerosos y sofisticados desde un punto de vista formal, sin que se perciba con nitidez el progreso que de tal inventario de técnicas se deriva. En todo caso, esto es sin duda un juicio de valor, que el alumno ha de afrontar con conocimiento de causa. En este programa, se considera que el conocimiento de los métodos no agota el contenido de la Econometría, aunque es condición necesaria para su estudio. La medición toma los procedimientos de cálculo de la estadística, concebida y formulada para y por ciencias experimentales. Aunque una mirada rápida al programa puede dar la impresión de que se desarrollan múltiples técnicas, puede decirse, que todas ellas gravitan en el empleo del análisis de la regresión , al que aparece asociado el criterio de ajuste de los mínimos cuadrados . No es posible seguir sin establecer el inmediato ejercicio de autocomprobación. Es preciso recordar el significado y empleo de la regresión, de la estimación, de los principales coeficientes, de los criterios de ajuste de la media (regresión I) y de los mínimos cuadrados (regresión II  ), y todo lo relacionado con ello.

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No es analíticamente necesaria la asociación entre regresión y probabilidad, como ilustran los 7 primeros capítulos de la Addenda (1998), pero es frecuente y casi general en los programas de econometría, que se presente de esta forma, siendo una prueba el resto de los capítulos. Por ello es obligado que se proceda a la autocomprobación de los principales conceptos de  probabilidades , desde la ley del azar, las características de distribuciones, especialmente, la normal, ji-cuadrado, t   de Student, y F   de Snedekor, los teoremas de convergencia y leyes de los grandes números, la distribución en el muestreo y sus propiedades (insesgadez, eficiencia y consistencia), métodos de estimación (añádase a los mínimos cuadrados el de máxima verosimilitud y los momentos), construcción de intervalos de confianza y contrastación de hipótesis. Es esencial que la inferencia respecto a una sola variable, sea bien comprendida, porque en la econometría se trata de la inferencia con varias variables, y además, siendo ésta atemporal, se va a generalizar al tiempo, es decir, la variable aleatoria se generaliza al denominado proceso estocástico. Recordados estos métodos, e iniciado en los nuevos, es fundamental que el alumno adopte el planteamiento de que el punto de partida es la economía, a cuya medición pueden contribuir los métodos desarrollados en otras disciplinas. Una alternativa a la que no nos adherimos, es la de aplicar en economía métodos de otras ramas  por ver si  pueden ser útiles. Lo esencial es la medición de teorías y sólo si tales métodos contribuyen a dicha medición, son bienvenidos. Se trata en definitiva, de que el alumno recurra a los métodos adecuados, una vez tiene definido el planteamiento económico, no al revés. Por ello es esencial el conocimiento de los problemas metodológicos de la ciencia en general y de la Econometría en particular, así como la evolución de estos últimos a lo largo de la historia. A estos temas se dedica algún espacio al principio del texto. Para un estudio más detallado de los mismos, es recomendable acudir a Introducción a la evolución de la metodología de la econometría. Dentro de lo que es el programa, el tema 1 hace referencia fundamentalmente a cuestiones de tipo metodológico.  Así se trata de cuestiones como la definición de ciencia, concepto de ley, hipótesis y teorías económicas, definición de econometría, metodología de la econometría, objeto de la econometría, tipos de modelos, etc . Como ya quedó dicho, un tratamiento más detallado de estas cuestiones, se encuentra en Introducción a la Evolución de la  Metodología de la Econometría. Sugerimos que se complemente con los primeros capítulos de las Lecciones de Teoría Económica  del Profesor Castañeda. Conocidos o recordados los fundamentos, se trata de los métodos. De hecho, el programa clásico de Econometría no versa de forma expresa sobre la medición de teorías, sino sobre la especificación y estimación de modelos que expresan no tanto teorías como hipótesis económicas. Siendo cierto que la metodología debe ser comprendida y aplicada, es imprescindible que el alumno realice las aplicaciones prácticas para comprobar el grado de asimilación de los conceptos. Como no existen pruebas a distancia, éstas se sustituyen como requisito imprescindible para aprobar la asignatura, por la presentación de una aplicación práctica. En este sentido los tres últimos temas pueden servir de orientación. 4.OBJETIVOS

Se consideran objetivos básicos de este curso: Introducción a la Econometría. Guía Didáctica.

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4.1 4.2 4.3 4.4

Conocer a grandes rasgos la historia y evolución de la econometría, y los distintos problemas asociados a la medición. Obtener un conocimiento general de las diferentes escuelas econométricas y los enfoques desde los que puede ser abordado el estudio de la materia  Adquirir un conocimiento sólido del uso de los diferentes métodos estadísticos aplicados a la medición. Elaborar una aplicación práctica que verse sobre el objeto propio de la econometría, donde se pruebe la capacidad para redactar un trabajo aplicado razonado extrayendo del mismo las conclusiones económicas pertinentes.

5.- REQUISITOS PREVIOS

Son necesarios conocimientos de, 

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álgebra y análisis matemático: funciones, resolución de sistemas de ecuaciones, derivadas, cálculo matricial, ecuaciones en diferencias finitas, etc. estadística y probabilidad: distribuciones de frecuencias y sus características más significativas, regresión y correlación, distribuciones de probabilidad y teoremas de convergencia, incluidas las leyes de los grandes números, distribuciones muestrales y propiedades de los estimadores, puntuales y por intervalos, así como contrastación de hipótesis. teoría económica, es necesario recordar las principales relaciones postuladas por la teoría, como por ejemplo, la teoría cuantitativa del dinero o la ley de la demanda (oferta).

Puede decirse que la inferencia estadística previa supone, por una parte, lo que se conoce como clásica, siendo objeto de generalización en el programa de econometría a los procesos estocásticos, por otra parte, es la inferencia referida a una variable, siendo generalizada a varias variables en el programa de econometría. 6.- LOS MEDIOS

Los medios de que dispone el alumno pueden clasificarse en: 

PERSONALES

1. Los profesores de la sede central nos encontramos a su disposición en el horario de consulta para ofrecerles la mayor ayuda posible. Las consultas pueden ser personales, telefónicas, postales o por medio de correo electrónico. Se ruega no enviar simultáneamente los mismos mensajes a todos los profesores. 2. Los profesores tutores de los Centros Asociados. Es aconsejable acudir a sus tutorías con regularidad. 3.  Actualmente funcionan también las denominadas tutorías virtuales   a través de la red, de especial utilidad para aquellos alumnos que no disponen de profesor tutor en sus Centros Asociados. Introducción a la Econometría. Guía Didáctica.

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MATERIALES

1. Los textos base, elaborados teniendo en cuenta las características de la enseñanza a distancia. 2. La bibliografía complementaria. Si es razonable el dicho antiguo de que hay que temer a la persona de un solo libro, este argumento es más fuerte para quienes preparan un programa, en principio, sin clases presenciales. El material complementario permite una mejor comprensión de la materia, lo que constituye el mejor camino para superar las pruebas correspondientes. 3.  Tanto el manual, que se corresponde con el programa, como la bibliografía complementaria, son únicamente una recomendación, en el sentido de que permiten contestar al programa. Dada la naturaleza universitaria de la institución en la que se imparte la econometría, el alumno puede optar por adoptar su propia selección. 4. Hay además otros documentos, como las instrucciones remitidas a todos los centros  Asociados, que explican la forma de elaborar la aplicación práctica. 5.  Toda la bibliografía relacionada con la asignatura disponible en las bibliotecas de los Centros Asociados y la Biblioteca de la Sede Central, es accesible a los alumnos de la UNED sin más requisito que hacerse el correspondiente carné. 6. Es intención de los responsables de esta asignatura, poner a disposición de los alumnos un paquete informático, para aquellos que no dispongan de otra alternativa. No es necesario que se utilice y más bien es recomendable que la primera vez se haga de forma manual (sin programa informático). Una vez entendida la rutina, puede hacer uso del paquete. En el examen, no dispondrá del programa informático, por lo que no tiene que albergar dudas respecto al proceso de cálculo correspondiente a la parte aplicada del examen. 7.- CONTENIDOS

Los contenidos de la asignatura se han distribuido a lo largo de 13 temas donde se recogen y desarrollan los aspectos que anteriormente señalamos como objeto de estudio de la materia. Destacan como temas más relevantes los números 6, 7 y 8, donde se estudian los instrumentos básicos de la economía cuantitativa. El desarrollo concreto del Temario, es como sigue: Tema 1 Tema 2 Tema 3 Tema 4

Introducción a la econometría  Ajuste de un modelo de regresión simple y múltiple Una introducción al enfoque de componentes inobservados La medición de las teorías económicas basada en la descomposición periódica (análisis del periodograma) de los ciclos empíricos Tema 5 Modelos uniecuacionales en un contexto probabilístico Tema 6 Inferencia en la regresión lineal múltiple Tema 7 Revisión de las hipótesis de trabajo Tema 8 El problema de la multicolinealidad Tema 9 Consistencia de los estimadores Mínimo Cuadráticos Tema 10  Aplicaciones (econométricas) de economía cuantitativa Tema 11 Medición y estimación de las teorías o hipótesis de consumo con datos trimestrales Tema 12 La medición de las leyes de demanda de productos ganaderos respecto a precios de productos relacionados y renta Introducción a la Econometría. Guía Didáctica.

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8.- ORIENTACIONES BIBLIOGRÁFICAS

Los textos base para preparar la asignatura, son: 1.  ÁLVAREZ VÁZQUEZ, Nelson Introducción a la Econometría. Ediciones  Académicas . Madrid 2003 (este puede sustituirse por el texto antiguo) 2.  ÁLVAREZ VÁZQUEZ, Nelson. Aplicaciones de Econometría. Editorial CERA. Madrid, 1999 Para ampliar las cuestiones referidas a la metodología, pueden consultarse: i. EPSTEIN, R.J. (1987): A History of Econometrics. North Holland. Amsterdam ii. MORGAN, M. S. (1990): The History of Econometric Ideas. Cambridge University Press. Cambridge. iii. DARNELL A. C.& EVANS J.L. (1990) The Limits of Econometrics. E. Elgar Publishing Limited. England. iv. DE MARCHI, N. & GILBERT, CH. (1989): History and Methodology of Econometrics. Clarendon Press. Oxford. Para el resto de los temas, puede consultarse cualquier manual general de Econometría, como: i.  ALCAIDE INCHAUSTI A. y otros (1990), Economía Aplicada Cuantitativa I. Cuadernos de la Uned nº 88. Ed. UNED. ii.  AZNAR GRASSA, A. (1984), Problemas de Econometría. Ed. Pirámide iii. DAGUM & DAGUM (1971), Introducción a la Econometría. Ed. Siglo XIX iv. GUJARATI, D (2003), Econometría. McGraw Hill.  v.  JOHNSTON, J, DINARDO, J.(2001), Métodos de Econometría. Ed. Vicens Vives.  vi. MADDALA, G.S. (1977). Econometría. McGraw-Hill.  vii. PINDYCK, R.S & RUBINFIELD, D.L. (1980) Modelos Econométricos. Labor.  viii. PULIDO SAN ROMÁN, A. (1987). Modelos Econométricos. Pirámide. ix. URIEL, E. (1985) Análisis de series temporales. Modelos ARIMA. Paraninfo. x.  WALLIS, K.F. (1972), Introducción a la Econometría. Alianza Universidad. 9.- LAS ACTIVIDADES

En otro lugar de esta guía ya se ha señalado la importancia que tiene en esta asignatura la realización de actividades. El alumno debe intentar realizar por su cuenta las actividades resueltas en el manual de aplicaciones, al principio de forma manual siguiendo paso a paso todo el proceso hasta asegurarse de haberlo comprendido bien. Después puede utilizar el software informático. En el capítulo de orientaciones bibliográficas se ofrecen al alumno algunos textos con los que puede completar las actividades del manual. Consideramos que con los ejercicios de los manuales teórico y práctico señalados como textos base, el alumno dispone de suficientes aplicaciones para preparar la materia. Más que realizar muchas aplicaciones, se trata de que la que se haga, sea comprendida en su totalidad.

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10.- LA EVALUACIÓN

Estará basada en la prueba presencial y en la aplicación práctica a presentar por el alumno de la que se habló en el apartado anterior. La aplicación práctica mejorará la nota obtenida en la prueba personal en función de su calidad, pero es requisito previo para aprobar la asignatura, haber superado la prueba personal. Esta constará de dos partes, una teórica donde se plantearán cuestiones cortas del mismo estilo que las que figuran al final de cada tema, y una pregunta más larga que puede coincidir con algún epígrafe del temario. La segunda parte será de naturaleza práctica y consistirá en la resolución de algún ejercicio parecido a los del manual de aplicaciones.  Ambas han de ser superadas independientemente para aprobar la prueba personal. La ponderación de cada una de las partes será: Teoría: 6 puntos (1 punto las preguntas cortas y 3 puntos la extensa)  Aplicación: 4 puntos.

Los informes de los profesores tutores, cuando existan, siempre tendrán una influencia positiva en la evaluación final. En esta guía se ofrece un ejercicio de examen resuelto.

11.- ORIENTACIONES PARA EL ESTUDIO DE CADA UNIDAD O TEMA

Este apartado pretende orientar al alumno a lo largo del temario con el objeto de ayudarle a superar las dificultades que se encuentre en el proceso de aprendizaje, señalándole los aspectos más relevantes y orientándole en el estudio de los mismos.  Aunque normalmente nos detendremos en cada epígrafe, a veces se han omitido algunos por considerar que no necesitan comentarios adicionales. En particular se ha hecho esto con casi todos los apartados que tratan ilustraciones empíricas, cuyo objetivo obvio, es la ilustración de los aspectos teóricos tratados con anterioridad.

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 Todos los temas se encuentran en el texto base y, en aquellos epígrafes en que se ha considerado necesario, se han proporcionado referencias bibliográficas para ampliar el contenido de los mismos. Tema 1. Introducción a la Econometría

En este tema se tratan cuestiones que no suelen ser objeto de atención en los textos introductorios. No obstante hemos considerado que sin un mínimo conocimiento de los mismos, es difícil que el alumno/a pueda abordar con éxito la medición de las relaciones económicas, objetivo último de la econometría. Las ideas más importantes desarrolladas en cada uno de sus diferentes apartados, se exponen a continuación. 1. Consideraciones metodológicas (versa sobre la evolución histórica de la econometría; la diferencia entre el razonamiento inductivo y deductivo y su relevancia de cara a la cuantificación: las conclusiones inductivas rebasan el alcance de las premisas; la naturaleza causal  de las leyes económicas y el tratamiento de la causalidad en econometría (ha tendido a ser rechazado), así como a las diferencias entre hipótesis, teorías y modelo) 2. El objeto de la econometría. (de entre las dos alternativas básicas que se plantean, se elige como objetivo de la econometría, la medición de las teorías económicas cualitativas. La medición se concreta en proporcionar un signo y un valor para la pendiente (parámetro), comprobando si es acorde con el postulado por la teoría, determinar la dirección de la influencia, y verificar si es o no estable en el tiempo. Siendo esta una alternativa hoy heterodoxa, requiere una justificación que el alumno puede asimismo encontrar en este epígrafe. Es esencial en este sentido, tanto la diferencia entre hipótesis y teoría, como el principio de causalidad que, como consecuencia del historicismo ha sido abandonado en los modelos econométricos. Para la medición es importante tener en cuanta que las leyes han sido formuladas en términos estáticos, en tanto que pretendemos medirlas con series históricas (dinámicas) lo cual genera un importante problema en la cuantificación) . 3. Los manuales de econometría. (En los diferentes manuales aparecidos a lo largo de la historia, puede apreciarse la evolución sufrida por la econometría. Al principio no habría manuales propiamente dichos, sino tratados de métodos estadísticos aplicados a las ciencias sociales (ni tampoco muchos datos) pero poco a poco éstos van siendo reemplazados por los manuales de econometría. En este epígrafe se mencionan algunos de los más importantes) 4. La econometría a partir de los primeros congresos de la Econometric Society (Se comentan las ponencias de los primeros congresos de la Econometric Society, que pueden ayudar a comprender el significado de la econometría) 5. La inferencia estocástica (La econometría actual acepta el uso de la inferencia estocástica . En este apartado se señalan algunas críticas a su utilización, lo que no evita que hoy por hoy sea imprescindible su conocimiento) Introducción a la Econometría. Guía Didáctica.

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6. Ciencia Económica y Econometría (En la interpretación de la econometría que se ha adoptado, lo esencial es la teoría económica, que proporciona al económetra las leyes que éste debe intentar medir, es decir su objetivo es la cuantificación de las regularidades establecidas deductivamente por la teoría, que es un dato para él. Las leyes económicas deben ser simples, un efecto y una sola causa, lo que permite atribuirles un determinado grado de certeza. La cuantificación o medición es el primer paso, siendo posterior la predicción que también posee carácter estático como las propias leyes teóricas que se quieren medir, por más que en la medición se utilicen series históricas (dinámicas). Los cuatro epígrafes siguientes tratan de ilustrar en términos prácticos cuanto se ha señalado anteriormente, tomando como ejemplo la teoría de la demanda, una de las teorías que más atención ha merecido desde el punto de vista aplicado. 7. La teoría económica de la demanda. Se comienza definiendo en términos matemáticos la ley que se pretende medir, lo que puede no ser inmediato. En este caso concreto se supone que la cantidad demanda es función del precio D  = f ( p  ), de manera que la dirección de la causalidad iría de los precios a las cantidades. Esta relación es estática y supone constantes el resto de los factores. Éstos vendrían recogidos en la forma funcional, de manera que si variasen, se desplazaría la demanda. Éste es un cambio diferente al que sucede a lo largo de la función demanda   que se debe sólo a variaciones en el precio: estos son los movimientos que explica la teoría. En estas condiciones la teoría afirma que la pendiente es negativa . El signo y el valor de la pendiente negativa postulada por la teoría, es lo que debemos intentar cuantificar, si bien es previo el tratamiento que hemos de dar a la condición ceteris paribus.

8. El significado de la medición de una teoría económica. Por medición se entiende dar respuesta a las siguientes cuestiones: a) verificación del signo de la pendiente, b) establecimiento de su valor, y c) fundamentación empírica de su constancia en el tiempo. Dada la dificultad extrema de c) en las aplicaciones nos ocuparemos de los dos primeros apartados. La ley a medir tiene una expresión estática y otra dinámica, inequívocamente relacionadas y con el mismo significado económico, aunque contempladas desde perspectivas diferentes. No hay pues contradicción, sino que se trata de dos expresiones de la misma ley . En el caso de la demanda, a la expresión estática, recta con pendiente negativa, corresponderían movimientos contrapuestos en términos dinámicos. Lo contrario sucedería en el caso de la oferta: recta con pendiente positiva en términos estáticos y movimientos sincronizados en el tiempo en términos dinámicos. 9. El descubrimiento del proceso generador de datos Representa una forma alternativa de entender la econometría, si bien hoy por hoy es la dominante. El alumno debe comprender bien las diferencias de enfoque entre una y otra. El último apartado se trata de ilustrar lo que sería una aplicación práctica concreta, aplicada en este caso al mercado del aceite, del que se pretende cuantificar la demanda (oferta). Aquí se exponen los primeros problemas que hay que se presentan en la medición: elección de las contrapartidas empíricas de las variables teóricas, clasificación de las  variables en endógenas (efecto) y exógenas (causas), elección de la forma funcional, etc. Una vez se hayan resuelto estas cuestiones y suponiendo que se opte por una relación lineal Introducción a la Econometría. Guía Didáctica.

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(lo habitual), el siguiente paso es ajustar una recta de regresión utilizando los datos de las  variables empíricas.

Tema 2. Ajuste de un modelo de regresión lineal simple y múltiple

Los cálculos necesarios siendo imprescindibles en las aplicaciones, han de asimilarse bien. En primer lugar, es necesaria la obtención de medias, varianzas y covarianzas entre las  variables, cuya obtención suponemos conocida. Lo que se pretende con el método de los Mínimos Cuadrados Ordinarios  (MCO), es ajustar una recta (u otra función), de forma que $ , sean mínimas. la suma de las discrepancias d t2, entre la variable observada Y t  y la estimada Y  t  2 El motivo de elegir ∑ d t   y no simplemente ∑ d t   es que, si eligiésemos esta última suma, los términos positivos se cancelarían con los negativos y la suma sería cero.  Aplicando las condiciones de mínimo a D = ∑ d t 2   se obtienen las ecuaciones normales (2.11 y 2.12) y, a partir de ellas podemos calcular los parámetros a  y b . Un mecanismo aconsejable es trabajar con desviaciones a las medias, eliminando el término independiente. Así se obtiene (expresión 2.15) el estimador de MCO de b . El término independiente carece de significado económico, siendo su utilidad mejorar el ajuste. Por el contrario, el significado de b , es claro. Representa la tasa de cambio o cambio marginal de la  variable dependiente (endógena) ante una variación unitaria de la independiente (exógena). Puede representar también la elasticidad, si los datos están en logaritmos.  Todo este proceso aparece descrito en el epígrafe 2.2, ilustrándose con los datos del mercado del aceite proporcionados en el tema anterior. Las expresiones más utilizadas en la práctica son las ecuaciones (2.15) y (2.16). Obtenida la recta de regresión interesa conocer el grado de ajuste, para lo que se dispone de diferentes coeficientes. El coeficiente de correlación lineal, r, mide asociación de los movimientos de X e Y en la escala abstracta (-1, 1). En ningún caso cabe interpretarlo como una medida de la causalidad entre las variables. En las aplicaciones se recurre al coeficiente de determinación  R 2, que coincide con el cuadrado del coeficiente de correlación. La razón se debe a que 100*R 2  es el porcentaje de la varianza de la variable endógena explicada por la regresión. Su valor suele tomarse como una medida de la bondad del ajuste. No cabe atribuir tampoco un valor causal a este coeficiente. La causalidad en los modelos estructurales, es una hipótesis previa al tratamiento de los datos. Su valor puede obtenerse  a partir de la expresión (2.20) y elevando luego al cuadrado, o bien recurriendo a la expresión,  R

2

 sr 2

=1 −

 s y2

siendo  sr 2   la varianza residual o varianza de las discrepancias que se calcula con la fórmula 2.19

En el epígrafe 2.3 se presentan diversas formas funcionales que pueden ser de utilidad en la cuantificación, así como el importante concepto de elasticidad   que debe ser ya Introducción a la Econometría. Guía Didáctica.

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conocido. El ejemplo del aceite vuelve a servir de base para ilustrar el cálculo de este concepto. Además en el epígrafe 2.5, se presenta un ejemplo de la medición de la curva de Phillips . Como el alumno/a dispone de los datos y los cálculos intermedios, es conveniente que intente reproducir todo el proceso de cálculo. Puede asimismo ejercitarse eligiendo otras variables empíricas como imagen de las teóricas. Por ejemplo, sustituyendo la superficie por la producción como variable endógena, si bien esta última tiene el problema de estar influida no sólo por la superficie (variable que sí está plenamente determinada por el empresario, el agricultor en este caso), sino por las condiciones climatológicas. En el manual los cálculos están hechos con ordenador utilizando el software Econometric Views (Eviews, 4). Para aquellos que pudedan disponer de él, en la pág. 76 se dan unas indicaciones sobre las instrucciones básicas para obtener las salidas de las tablas 2.4 o similares. Para aquellos otros (entendemos que la inmensa mayoría) que no dispongan de este programa, pueden utilizar cualquiera de entre los muchos que efectúan estos cálculos. En la página web de la asignatura hay algunas direcciones donde se pueden encontrar programas gratuitos. Entre ellos uno que resulta aconsejable tanto por su calidad como por su facilidad de manejo, es Gretl. Puede descargarse de forma gratuita. Para acceder a dicho programa, una vez situados en la web de la asignatura, hay que seguir la ruta, Otros recursos en la red / Recursos en línea para estudiantes de econometría / Software

Una vez aquí, hay que buscar dicho programa (están ordenados alfabéticamente). Como puede observarse hay muchos otros enlaces. Pero no todos los paquetes son gratuitos y, entre los gratuitos, algunos son de difícil manejo o más limitados que el aconsejado. Un programa de gran difusión y que también puede ser utilizado en este curso, es EXCEL del paquete Office. En la última sección de esta guía se ofrecen unas instrucciones básicas (para usuarios no avanzados) con las que el alumno/a podrá efectuar prácticamente todos los cálculos econométricos exigidos en esta asignatura. Con ello se pasa a la regresión múltiple expuesta en los epígrafes 2. 6 y siguientes. El modelo de regresión múltiple no es más que una generalización del modelo simple en el que se incluyen más de una variable explicativa (o variable causa). Aunque es muy utilizado, presenta graves problemas, el más importante de los cuales es el de la multicolinealidad  o dependencia entre las variables explicativas, al que más adelante se dedica el capítulo 8. Éstas y otras dificultades, están recogidas en el epígrafe 2.6.1. A pesar de ello, el alumno debe conocer bien esta técnica. El álgebra matricial, aunque en principio pueda suponer una complicación, es ventajosa a la hora de encontrar los estimadores de los parámetros. En el epígrafe 2.6.2 se explica el proceso de cálculo. El criterio para la obtención de los parámetros sigue siendo el mismo: la minimización de la suma cuadrática de las discrepancias. Si consideramos un modelo con dos variables explicativas más el término independiente, ello conduciría a tres ecuaciones normales en vez de dos, como en la regresión simple. Utilizando el artificio de trabajar con desviaciones a la media se elimina el término independiente y con ello una de las ecuaciones normales, quedando únicamente las dos que se recogen en la expresión (2.70). La fórmula

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(2.69) es la más práctica de cara al calculo de una regresión con dos variables explicativas. Dicha expresión se generaliza inmediatamente para k variables explicativas:

 bˆ1   s 2    1 ˆ ˆb =  b2  =  s21  ...   ...     bˆ   sk1  k  

... s22 ... ... ... sk 2 ... s12

s1k  



s2 k  

...   sk 2 

−1

 s y1   s    y 2   ...     s yk  

Las fórmulas (2.65) o su equivalente que aparece erróneamente numerada como (7.12), permiten calcular los parámetros de una regresión lineal simple utilizando el cálculo matricial. Se ilustra todo ello utilizando nuevamente el mercado del aceite, pero considerando ahora la renta como una nueva variable explicativa además del precio. Los signos esperados son, positivo para la renta y negativo para el precio. Los resultados de la tabla 2.19 muestran que, en el caso de la renta, el signo es contrario al esperado. Para el cálculo del ajuste en la regresión lineal múltiple, son especialmente útiles las expresiones (2.72), que proporciona la suma cuadrática de las discrepancias, y las (2.73) y (2.75), que dan el valor del coeficiente de determinación, según estemos trabajando en desviaciones con respecto a la media o con datos originales. Este capítulo finaliza con la consideración de formas funcionales no lineales. En economía una de las más utilizadas es la parábola, que podría representar la función de ingresos o de costes de una empresa. En este último caso puede emplearse también una función cúbica. El anexo (pp. 114 y ss) no será, en ningún caso, objeto de examen. Erratas advertidas en este capítulo: En la página 69, los datos de la columna Y 2 de la tabla 2.1, son incorrectos. En la expresión (2.18) el numerador debe ir elevado al cuadrado. Inmediatamente más abajo, en la fórmula para calcular b , el numerador debe ser cov ( q ,t   p ). t  Las expresiones (2.34) y (2.35) que corresponden al cambio marginal y la elasticidad de la función logarítmica inversa, deberían ser, bY   X 2 b  X 

 

 

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(2.34) (2.35)

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Tema 3. Introducción al enfoque de componentes inobservados

Debe comprenderse bien la fundamentación de este enfoque, en particular el significado de la inclusión de t  como un regresor más en la regresión, o el criterio de separación entre tendencia y ciclo. Ello es importante de cara a la interpretación de los resultados. Puesto que dentro de esta aproximación, el primer paso es separar la serie histórica en tendencia y ciclo, una vez se ha definido lo que se entiende por ambos tipos de movimiento el alumno ha de aprender a estimar ambos. En este capítulo nos ocupamos de la separación en tendencia y ciclo empírico, y en el siguiente, de la descomposición del ciclo empírico en ciclos teóricos de periodicidades fijas. Los epígrafes 3.3, 3.4 y 3.5 enseñan cómo calcular diversos tipos de tendencias (tasas de variación, diferenciación, medias móviles, tendencias exponenciales, polinómicas, método de la cuerda) a la vez que muestran las ventajas e inconvenientes de cada una de ellas. Están basados en sencillos procedimientos de cálculo y, habiendo comprendido (o recordado) el cálculo de una regresión lineal, no deberían plantear ninguna dificultad. Una vez que hemos calculado la tendencia, el ciclo empírico se obtiene restando de la serie original la de tendencia (ver expresión (3.10)). En el epígrafe 3.6 se expone una primera aproximación a la cuantificación a partir de dichos ciclos empíricos . Debe observarse que la dirección de la causalidad así como la existencia de desfases y su tamaño, son cuestiones que se determinan a posteriori, a partir de la evidencia empírica, ya que la teoría económica no es clara al respecto.  Aparecen dos conceptos nuevos, el de  flexibilidad   que es equivalente al de elasticidad  pero implica que la dirección de la causalidad va de las cantidades a los precios, y el de correlación en el tiempo , que no es más que una generalización del concepto de correlación utilizado en las distribuciones atemporales. Es una herramienta útil para determinar la dirección de la causalidad y la longitud de los desfases. La fórmula utilizada en el cálculo es la (3.14). La interpretación de esta herramienta se ilustra en la tabla 3.7 que se refiere al mercado del aceite. Parte del hecho de que si existe causalidad entre precios y cantidades, la causa debe preceder al efecto en el tiempo. Es decir que si la causalidad va de los precios a las cantidades, entonces los cambios en los precios deben preceder a los registrados en las cantidades. En la columna encabezada con la leyenda “lag ” (retardo), aparece la correlación entre el ciclo de la superficie, CLSUPOLI   (que se mantiene fijo) y el de precios, CLPRACEI , este último retardado 0, 1, 2, ..., 16 periodos. En la columna siguiente, “ lead ” (adelanto), se muestra la correlación del mismo ciclo de la superficie y el del precio adelantado 0, 1, 2, ... 16 periodos. Si la máxima correlación se da en la primera columna, quiere decir que los cambios en los precios (que aparecen retardados) preceden a los habidos en las cantidades, mientras que si ocurre en la columna lead , el significado es el contrario: los cambios en las cantidades preceden a los de los precios. En el primer caso, la causalidad irá de los precios a las cantidades y en el segundo de las cantidades a los precios. El tamaño del desfase vendrá indicado por el valor de i  donde se produce la máxima correlación. Queda claro que en el ejemplo examinado la dirección causal va de las cantidades a los precios, y el tamaño del retardo es 5. Por tanto regresaríamos el ciclo de precios sobre el de cantidades retardado 5 periodos (tabla 3.8). El resultado muestra una flexibilidad de – 2.76 (no –2.83 como erróneamente aparece en la página 141). Como el proceso de cálculo anterior es muy laborioso, se puede optar por la alternativa representada por la ecuación (3.16), cuyos resultados se muestran en la tabla 3.10. Introducción a la Econometría. Guía Didáctica.

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La equivalencia entre ambas, postulada por Frisch y Waugh, se refiere al coeficiente de flexibilidad, no al de determinación. Vemos que la flexibilidad es prácticamente idéntica (no es exactamente igual porque Frisch y Waugh se refieren a los ciclos obtenidos tras eliminar una tendencia lineal mínimo cuadrática, y aquí se ha utilizado la tendencia que pasa por los extremos de la serie, o método de la cuerda). Como antes, conviene que el alumno intente reproducir los cálculos utilizando las tablas de valores intermedios (tablas 3.9 y 3.15), lo que le servirá como ejercicio de autocomprobación. Tema 4 La medición de las teorías económicas basada en la descomposición  periódica.

La medición de la teoría de la demanda llevada a cabo entre los ciclos empíricos no puede considerarse satisfactoria, dada la elevada dispersión que reflejan las figuras 3.20 y 3.22. La inadecuación se debería al hecho de que el ciclo empírico es un movimiento heterogéneo, resultado de la superposición de ciclos teóricos de diferentes periodicidades. La descomposición periódica trata de avanzar un paso más en la cuantificación, descomponiendo el ciclo empírico en ciclos teóricos inobservables de diferentes periodicidades. De ahí el nombre de modelo de periodicidades ocultas. La fundamentación de esta aproximación está contenida en los dos primeros epígrafes, mientras que en el tercero se ilustra el proceso de cálculo de los coeficientes de Fourier , utilizando una vez más el mercado del aceite. Aunque este instrumento pueda suponer una novedad para el alumno, el cálculo no es muy complicado aunque sí algo tedioso. Las fórmulas (4.7) y (4.8) y el hecho de que los distintos armónicos son ortogonales, facilitan dicho proceso. Si se dispone de los datos de varianzas y covarianzas, como en la tabla 4.3 (p. 154), el resultado de las fórmulas anteriores en inmediato. Si no, han de obtenerse las series trigonométricas w ij  . En la tabla 4.2 se ofrecen las correspondientes a los dos primeros armónicos. Un detalle que genera alguna confusión, es que no siempre se advierte que W 0=0.209439 no son grados sexagesimales, sino radianes. La equivalencia es, W 0 =

0.209439·360 =12 2π 

o

que puede ser más cómodo para trabajar con la calculadora. Conocidos los coeficientes de Fourier correspondientes a los diferentes armónicos, la contribución a la varianza de cada uno de ellos se deriva inmediatamente de las expresiones 4.11 y 4.13. Representando gráficamente estos valores en ordenadas y sus periodos en abcisas, se tiene el periodograma, instrumento básico en esta aproximación que nos indica la contribución de cada armónico a la explicación de la varianza. En el de la figura 4.6 se observan  picos  (se entiende por “pico” un valor mayor que los de los dos adyacentes) coincidentes en las periodicidades de 30 y 2,3 años, lo que significa que esos ciclos teóricos son importantes tanto en la serie de precios como en la de cantidades (aquí representada por la superficie). En consecuencia mediríamos la ley de la demanda en dichas periodicidades, calculando previamente los ciclos teóricos correspondientes y efectuando luego la regresión entre los mismos. Este proceso se ilustra Introducción a la Econometría. Guía Didáctica.

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en 4.5: en la periodicidad de 30 años se obtiene una ley de demanda, como se muestra en la figura 4.8 donde se aprecia la reducción de la dispersión con respecto a la medición efectuada entre los ciclos empíricos. Por el contrario, en los 2,3 años la ley es de oferta fig. 4.9). No es necesario estudiar el anexo. Erratas advertidas en este capítulo: En la página 153, los primeros valores de las columnas 6, 7, 8 y 9 son positivos, no negativos. Tema 5 Modelos uniecuacionales en un contexto probabilístico

Con la introducción de la probabilidad el objeto de la econometría deja de ser la medición de una teoría establecida a priori, para pasar al descubrimiento de hipótesis. Este cambio de enfoque, operado entre los años 30 y 40 del siglo pasado, fue criticado por importantes economistas, pero acabó imponiéndose y constituye hoy el programa ortodoxo de econometría en cualquier Universidad. En el primer epígrafe se señalan algunos aspectos especialmente delicados de este enfoque. Conviene que el alumno repase sus conocimientos de probabilidad e inferencia antes de abordar el estudio del resto del programa. La introducción de la probabilidad en el modelo de regresión simple presentado en el tema 2, se concreta en la adición de un nuevo término inobservable, V t  que es considerado como una variable aleatoria. La aleatoriedad se traslada así a Y t  y a los valores de a  y b . Las X t  se suponen fijas, es decir no aleatorias o estocásticas. Las series históricas se consideran ahora muestras  de una población hipotética. Con una muestra concreta de Y, obtendremos unos valores concretos para a y b . Pero si dispusiésemos de una muestra diferente, los valores de a  y b serían también distintos. Como en economía sólo disponemos de una serie (una única realización   en la terminología probabilística), su consideración como una muestra  resulta cuestionable. En 5.4 se intenta ilustrar el denominado proceso de muestreo artificial . Respecto de la perturbación aleatoria, cuya imagen empírica son las discrepancias de la regresión, se formulan determinadas hipótesis, necesarias para garantizar que los estimadores de los parámetros poblacionales gocen de las propiedades deseables (insesgadez, eficiencia y consistencia) y para hacer posible el empleo de la inferencia estadística. Las hipótesis más importantes son, media nula, varianza constante, no autocorrelación y normalidad .. Las tres primeras garantizan la insesgadez y la eficiencia y la cuarta, aunque no es necesaria para que se cumplan estas propiedades, sí lo es para el empleo de los procedimientos habituales de contraste. Todas ellas se exponen con detalle en los epígrafes 5.5 – 5.8. En 5.9 se aborda la estimación de los parámetros por los métodos mínimo cuadrático y de la máxima verosimilitud . La estimación por MCO es idéntica a la que se expuso en el tema 2 y también lo es el cálculo del coeficiente de determinación. La de MV, aunque basada en un criterio diferente, conduce en este caso a la misma solución, de manera que basta con un conocimiento teórico de este método. Una novedad es que proporciona un estimador para la Introducción a la Econometría. Guía Didáctica.

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 varianza de las perturbaciones que, aunque máximo verosímil, es sesgado (expresión 5.43). En las aplicaciones es habitual utilizar un estimador insesgado que, como veremos, es algo mayor al dividir la suma cuadrática de las discrepancias, no por n   sino por n- 2, es decir teniendo en cuenta el número de grados de libertad perdidos. En todo caso cuanto mayor sea el número de observaciones, menor será la diferencia entre uno y otro. El epígrafe 5.10 trata de la distribución en el muestreo de los estimadores a  y b . Como dijimos, en el enfoque probabilístico, éstos son variables aleatorias. Aceptada por hipótesis la normalidad de V t , se sigue que tanto a como b , son v.a. normales. Se demuestra (sección 5.10.2) que los estimadores a  y b  son insesgados  y eficientes , es decir son los que poseen varianza mínima dentro de los estimadores de su clase (lineales e insesgados). La demostración de esta última propiedad termina con la expresión (5.59). La fórmula (5.60) ofrece la varianza del estimador b , que va a ser necesaria en los ejercicios de inferencia estadística (contraste de hipótesis, construcción de intervalos de confianza, predicción por intervalos). La varianza de a  viene dada por, 2

var( a) = σ v

 1  X 2   + 2 n x  ∑ t  

en tanto que la covarianza entre a y b, responde a la fórmula (5.87). Finalmente (5.70) proporciona una fórmula para el cálculo del estimador insesgado de las perturbaciones aleatorias: d  =∑

2

2

ˆv σ 

t 

n−2

Con todas estas expresiones y teniendo en cuenta la distribución en el muestreo de los estimadores, podemos efectuar los diversos ejercicios de inferencia que se exponen en 5.12. A pesar de que a  y b   son v.a. normales , no es posible utilizar las tablas de la normal en la contrastación de hipótesis debido al desconocimiento de la varianza poblacional de las perturbaciones aleatorias, que aparece en las fórmulas de la varianza de a  y b  y en cov( a, b  ). Por ello es necesario recurrir a otras distribuciones ( t  –Student, χ2 y F de Snedecor). Hecha esta salvedad, el procedimiento de contraste es el habitual y se ilustra en el epígrafe (5.12) con el ejemplo del mercado del aceite. Por ejemplo, si queremos contrastar la hipótesis de que la elasticidad demanda/precio es significativamente distinta de cero, a) Se postula la denominada hipótesis nula , en este caso H0: β = 0 b) Hemos visto que la expresión ( b-  β )/s( b )  se distribuye según una t  con 29 grados de libertad. Luego si la hipótesis nula es cierta ( β=0), b /s( b )  → t 29. c) Se calcula dicha expresión y se compara el valor obtenido con el tabulado para el nivel de significatividad elegido. Éste suele ser el 95% d) Podemos comprobar en tablas que para una t con 29 grados de libertad el valor estará comprendido en el intervalo (-2,045, 2,045), 95 veces de cada 100, luego si la hipótesis nula es cierta, es decir si el parámetro no es estadísticamente distinto de cero, el valor de b /s( b )  debe comprendido en dicho intervalo. En otro caso (si b /s( b )  es mayor en valor absoluto que 2.045), se rechaza la hipótesis nula , lo que significa que aceptamos la significatividad del parámetro. Introducción a la Econometría. Guía Didáctica.

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El mismo procedimiento seguiríamos si la hipótesis a contrastar fuese H0: β = h , con h  ≠ 0, con la única diferencia de que ahora el numerador de estadístico de contraste será b −  h. Finalmente, la ecuación de regresión estimada puede utilizarse para la predicción, que puede ser por puntos o por intervalos y referirse al  predictor  o a su media teórica. Se demuestra que el predictor Y ˆ0  es una variable aleatoria normal, con media  E (Yˆ0 ) = Y 0  y varianza dada por la expresión (5.93), con lo que el cálculo de un intervalo de confianza para la predicción es similar al descrito para los valores de a  o b . En el caso de que lo que interese pronosticar sea, no el predictor sino su media teórica, la varianza responde a la expresión (5.90). Tema 6 Inferencia en la regresión lineal múltiple

Este tema simplemente generaliza los resultados del tema anterior al supuesto de que haya más de una variable explicativa (regresión múltiple). La estimación de los parámetros del modelo, y del coeficiente de determinación, sigue el mismo procedimiento que se expuso en el tema 2. Las hipótesis sobre la perturbación aleatoria son las mismas que en el tema 5 (6.5), y las características y propiedades de los estimadores a , b 1, ..., b k, son también análogas a las  vistas en el tema 5: es decir son variables aleatorias normales y gozan de las propiedades de insesgadez (6.23) y eficiencia (6.24).  Ahora la expresión (6.24) proporciona una estimación para las varianzas y covarianzas de los estimadores, apareciendo aquéllas en la diagonal principal. En la página 240 una errata: deben suprimirse todas las numeraciones de fórmulas que aparecen a la derecha, de manera que la siguiente fórmula, es decir la (6.25) corresponde a la que aparece al principio de la página 241, que se refiere al estimador insesgado de la varianza de las perturbaciones aleatorias: presenta la única diferencia con respecto al de regresión simple, de que en el denominador se corrige por n-k en lugar de n- 2. Para contrastar hipótesis sobre el valor de σ  2 puede utilizarse (6.28). Con estas expresiones se pueden realizar contrastes de hipótesis y construir intervalos de confianza como se ilustra en las páginas 242-246. En el epígrafe 6.3 se muestran algunos contrastes de hipótesis adicionales que suelen utilizarse en el trabajo aplicado. Comprendidos los anteriores, no deberían plantear ningún problema. Tema 7 Revisión de las hipótesis de trabajo

Decía Pareto que desde un punto de vista teórico (la referencia esta tomada de Haavelmo, 1944), es posible demostrar cualquier proposición. Basta con actuar sobre el alcance de los supuestos. Si se acepta que los números de la lotería del Comisariado de

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Finanzas de Moscú, son series puramente aleatorias en el tiempo, la tesis de la generación de ciclos regulares a partir de la pura aleatoriedad queda establecida de modo necesario. Hasta ahora se ha justificado la racionalidad de aplicar a los movimientos económicos, los supuestos de la teoría de las probabilidades. Cuando se aplica ésta a evidencias empíricas, es decir, a series históricas concretas extraídas de los anuarios, se observan resultados contrarios a lo esperado: las discrepancias de la regresión presentan autocorrelación, varianza no constante, etc. El mantenimiento de la inferencia estocástica como esquema conceptual válido para su aplicación a la economía, requiere revisar tales incumplimientos. Es decir, el economista debe saber como actuar si alguna de las hipótesis no es válida. La revisión del incumplimiento de aquellas hipótesis, incluye la detección del mismo, las consecuencias, así como su corrección. En particular se revisan las hipótesis de autocorrelación, homocedasticidad y normalidad. El próximo tema se dedica al problema de la multicolinealidad. El incumplimiento de las hipótesis relativas a las perturbaciones, puede detectarse en términos intuitivos, con sólo observar su trayectoria en la correspondiente representación gráfica. La econometría provee además de contrastes paramétricos. En lo que sigue se comentan los principales. 7.1 Incumplimiento de la hipótesis de no autocorrelación.  Asumiendo que el concepto de autocorrelación haya sido debidamente asimilado, se mencionan posibles razones del incumplimiento de esta hipótesis: inercia del sistema, métodos empleados para la desestacionalización, sesgos de especificación por omisión de  variables o forma funcional inadecuada, por ejemplo. Si se incumple esta hipótesis, los estimadores obtenidos por MCO son insesgados pero ineficientes. No verifican la propiedad de eficiencia (ELIO). Para la detección se analizan las discrepancias de la regresión, pudiéndose realizar un contraste gráfico y paramétrico. El método gráfico consiste en representar las discrepancias y observar si presentan o no, patrones definidos de comportamiento. El principal contraste paramétrico, es el de Durbin-Watson (7.12), que analiza la autocorrelación de primer orden. Si entre los regresores figurasen variables endógenas retardadas, el empleo del contraste de D-W no sería adecuado, al estar sesgado hacia 2. Se utilizaría el contraste h de Durbin (7.25). Se ofrece una ilustración empírica en las páginas 273-274. Puesto que la autocorrelación implica la aleatoriedad del modelo, caben dos posibilidades. O bien se mantiene el modelo, corrigiendo la no autocorrelación con procedimientos ad hoc , o bien, se especifica un nuevo modelo. Lo primero puede considerarse la alternativa tradicional, lo segundo lo preconizado por modelizaciones más recientes. La primera posibilidad se basa en el supuesto de que mediante D-W, se ha detectado con el análisis de las discrepancias un proceso autorregresivo de primer orden. Introducción a la Econometría. Guía Didáctica.

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En este apartado, cabe incluir los procedimientos, de Cochrane-Orcutt , Hildreth y Lu, de Durbin , y los métodos de los  Mínimos Cuadrados Generalizados ., que se ilustran empíricamente en los epígrafes 7.1.3 y 7.2 y en la Addenda. 7.3 Modelos con perturbaciones heterocedásticas.  Trata del incumplimiento de la hipótesis de varianza constante u homocedasticidad. En el caso de perturbaciones heterocedásticas, los estimadores obtenidos son insesgados pero no eficientes (no son ELIO). De nuevo se hace necesario transformar el modelo econométrico para recuperar la propiedad de la eficiencia. Existen diferentes transformaciones posibles para solucionar al menos en parte este problema, como se ilustran en el manual (epígrafes 7.3.3 y 7.3.4) y Addenda. Es aplicable el procedimiento de los MCG, ilustrado en el epígrafe (7.4) y en la Addenda. Para detectar su presencia (epígrafe 7.3.5), puede ser de utilidad representar gráficamente las discrepancias y ver su variabilidad, observando si esta crece, decrece o permanece constante. Entre los contrastes paramétricos, uno de los más empleados es el debido a Goldfeld-Quandt , considera la partición de la muestra en dos subgrupos, sobre los que se analiza si poseen varianzas o no distintas, problema resuelto en la inferencia estocástica. 7.5 Modelos ARCH Se hace referencia a una formulación reciente de heterocedasticidad en datos de series de tiempo, denominada  ARCH (heterocedasticidad condicional autorregresiva  ), que hace referencia a una especie de autocorrelación en la varianza de las perturbaciones. Esta propuesta se desarrolló a partir de un trabajo seminal de Engle (1982), recientemente laureado con el premio Nobel junto con Granger. Engle sugería que la heterocedasticidad puede darse también con datos de series temporales: en este contexto había observado que los pequeños y los grandes errores tendían a aparecer agrupados, de manera que el pasado inmediato proporcionaría información útil sobre la varianza del término de error.  Aunque el artículo original de Engel ha dado lugar a una gran cantidad de literatura, en un curso introductorio como es el nuestro basta con que el alumno tenga un conocimiento elemental de esta cuestión. 7.6 Incumplimiento de la hipótesis de normalidad. La construcción de intervalos y el contraste de hipótesis están basados en el supuesto de normalidad de las perturbaciones, cuya revisión no es frecuente en las aplicaciones. Ésta puede llevarse a cabo empleando estadísticos formales como el de  Jarque-Bera , cuya expresión es (hay erratas en la expresión 7.104),  N

− K  2 ( K − 3)2    S  + 6  4 

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(7.104) Página 22

donde K   es el coeficiente de curtosis  y S   el de asimetría  . El estadístico anterior se distribuye como una Chi cuadrado con dos grados de libertad. La hipótesis nula es que S  = 0 y K  = 3. La revisión de esta hipótesis puede hacerse también en términos descriptivos, atendiendo a la simetría de la forma de la distribución de las discrepancias de la regresión. Si no es simétrica, no sería aplicable la estimación por intervalos y los contrastes basados en la normalidad.

Tema 8 El problema de la multicolinealidad

No afecta a la insesgadez ni a la propiedad ELIO de los estimadores, pero determina que la varianza de los mismos sea elevada. Ello es debido a que la varianza de los estimadores depende de (  X´X  )-1 y los elementos de esta matriz toman valores elevados cuando el determinante  |X´X | es próximo a cero, lo que sucede si hay multicolinealidad elevada. Como consecuencia, los intervalos se hacen imprecisos y los estadísticos t no significativos. En el supuesto de que exista multicolinealidad, no pueden establecerse por separado las respectivas causalidades. Es decir, si la teoría trata de determinar que parte del movimiento (varianza) de la variable endógena es imputable a cada una de las causas, la multicolinealidad no permite tal conclusión. El problema es grave por cuanto no puede establecerse a partir de qué valor cuantitativo de la correlación entre cada dos explicativas, puede ser cualitativamente grave la multicolinealidad. Se entiende por ello que se recurra a otros criterios, aun cuando tales coeficientes sean bajos (Addenda, pp 201-202, 1998). En el contexto de la inferencia probabilística, se interpreta que el problema sería muestral, dado que la hipótesis afirma que las causas actúan de forma independiente. El procedimiento de eliminar alguna de las variables, nos sitúa fuera del problema: con una  variable explicativa menos u otra distinta, se estaría modelizando una hipótesis diferente. Existen ciertos indicios de multicolinealidad cuando obtenemos signos contrarios a los postulados por la teoría, cuando no sean significativas variables que la teoría señala como causalmente importantes, o cuando coinciden valores elevados de R 2 con estadísticos t no significativos. El cambio en éstos no implica necesariamente que se haya corregido.  Aunque la multicolinealidad no tiene solución, si pueden recomendarse ciertas medidas para intentar atenuarla: 1. Eliminar alguna de las variables explicativas ya se ha comentado. Si de lo que se trata es de descubrir un modelo, y que sea la evidencia empírica el criterio para llegar a la hipótesis económica, se puede eliminar alguna de las variables, puede que entre las menos significativas, y estimar los parámetros correspondientes al resto. 2. Incorporación de información cuantitativa independiente de la muestral, referida a los propios datos o a los parámetros. 3. Complementar la información empleando datos temporales y atemporales. 4. Establecer la regresión entre las primeras diferencias de las variables. 5. Emplear métodos especiales de estimación. Introducción a la Econometría. Guía Didáctica.

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Se incluye una ilustración empírica del problema de la multicolinealidad (8.5). Tema 9. Consistencia de los estimadores MCO

Las hipótesis anteriores suponían constante el tamaño de la muestra. Ahora necesitamos conocer en qué medida, los valores de los estimadores se acercan a los valores de los parámetros, cuando crece el tamaño de la muestra. Establecer este resultado requiere una formalización analítica, con sus correspondientes hipótesis y teoremas. Un estimador se dice que es consistente , si a medida que aumenta el tamaño de la muestra, la probabilidad de que dicho estimador sea igual al valor del parámetro, tiende a la unidad (9.5) Para probar la consistencia de los estimadores MCO es necesario establecer la hipótesis de convergencia. La convergencia establece la existencia de un límite para la sucesión de medias y varianzas de cada variable exógena, cuando el número de observaciones n  tiende a infinito (9.2 y 9.3) En estas condiciones, se demuestra que los estimadores MCO cumplen la propiedad de consistencia (p. 333). No sólo se establece lo anterior sino la tendencia de la distribución en el muestreo a una distribución de probabilidad conocida, denominada distribución asintótica. Se definen en consecuencia las características de esta distribución (epígrafe 9.4). Hasta ahora se ha supuesto que las  X  no eran estocásticas, sino fijas en muestras repetidas. Este supuesto es básico para las propiedades de los estimadores . En el apartado 9.5 se trata el problema de los regresores estocásticos. En este caso   los estimadores no gozan de las mismas propiedades, dependiendo éstas del tipo de relación que se asuma entre las variables y las perturbaciones. En lo anterior, se suponía mediante el axioma de insesgadez, que eran independientes. El epígrafe 9.6 ofrece una ilustración empírica de esta cuestión. Temas 10, 11 y 12

No contienen teoría nueva, sino que tratan de mostrar los principales problemas que surgen cuando se intentan aplicar los métodos econométricos a la medición de teorías. Constituyen una buena orientación para la elaboración el trabajo práctico necesario para aprobar la asignatura. El tema 10 se ocupa de los pasos imprescindibles en cualquier aplicación econométrica: descripción del objeto, elección de la teoría o hipótesis económica, selección de los datos y tratamiento previo de los mismos, medición propiamente dicha, interpretación de los resultados y redacción de un informe final, donde se presenten las conclusiones del trabajo.

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Para los alumnos más indecisos a la hora de seleccionar la teoría, se ofrecen dos sugerencias: la medición de una ley de demanda (oferta) de algún producto agrario, o la medición de la teoría del consumo. Los temas 11 y 12 se ocupan de una medición clásica de la teoría del consumo elaborada en su momento por Schultz. Se enmarcaría dentro de la alternativa del descubrimiento de hipótesis. Puesto que se proporcionan los datos básicos (pág. 390 y diversas tablas a lo largo de la exposición), el alumno está en condiciones de reproducir los resultados.

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12. EJEMPLO DE EXÁMEN INTRODUCCIÓN A LA ECONOMETRÍA Licenciatura de ADE. Junio de 2003. TEORÍA 1.- Objeto de la econometría. 2.- Eliminación de la estacionalidad. 3.- Consistencia del estimador MCO de β en el modelo Y t  = α  + β  X t  + ut . 4.- Estimación de modelos con perturbaciones heterocedásticas (extensa). APLICACIÓN Con los siguientes datos correspondientes al mercado del maíz en USA (Aplicaciones de Econometría, pp. 32 y sig.), obs

T

1867 1868 1869 1870 1871 1872 1873 1874 1875 1876 1877 1878 1879 1880 1881 1882 1883 1884 1885 1886 1887 1888 1889 1890

1.000000 2.000000 3.000000 4.000000 5.000000 6.000000 7.000000 8.000000 9.000000 10.00000 11.00000 12.00000 13.00000 14.00000 15.00000 16.00000 17.00000 18.00000 19.00000 20.00000 21.00000 22.00000 23.00000 24.00000

X  precio 57.00000 46.80000 59.80000 49.40000 43.40000 35.30000 44.20000 58.40000 36.70000 34.00000 34.80000 31.70000 37.50000 39.60000 63.60000 48.50000 42.40000 35.70000 32.80000 36.60000 44.40000 34.10000 23.80000 50.60000

Y  produción 768.3200 906.5270 874.3200 1094.255 991.8980 1092.719 932.2740 850.1480 1321.069 1283.828 1342.558 1388.219 1547.902 1717.435 1194.916 1617.025 1551.067 1795.528 1936.176 1665.441 1456.161 1987.790 2112.892 1489.970

LX Log precio 4.043051 3.845883 4.091006 3.899950 3.770459 3.563883 3.788725 4.067316 3.602777 3.526361 3.549617 3.456317 3.624341 3.678829 4.152613 3.881564 3.747148 3.575151 3.490429 3.600048 3.793239 3.529297 3.169686 3.923952

LY Log produc 6.644206 6.809621 6.773446 6.997829 6.899620 6.996424 6.837627 6.745410 7.186197 7.157602 7.202332 7.235777 7.344656 7.448587 7.085831 7.388343 7.346698 7.493054 7.568470 7.417845 7.283559 7.594779 7.655813 7.306511

TX Tasa precio 20.25316 -17.89474 27.77778 -17.39130 -12.14575 -18.66359 25.21246 32.12670 -37.15753 -7.356948 2.352941 -8.908046 18.29653 5.600000 60.60606 -23.74214 -12.57732 -15.80189 -8.123249 11.58537 21.31148 -23.19820 -30.20528 112.6050

TY Tasa producción -11.47836 17.98821 -3.552790 25.15498 -9.354035 10.16445 -14.68310 -8.809213 55.39283 -2.819005 4.574600 3.401045 11.50272 10.95244 -30.42438 35.32541 -4.078972 15.76083 7.833239 -13.98297 -12.56604 36.50894 6.293522 -29.48196

Tabla 1. Datos originales T X Y LX LY TX TY Medias

T 47.91667 -27.59792 2271.324 -0.677697 1.733351 34.69044 -10.69383 12.50000

X -27.59792 97.70832 -2488.407 2.269648 -1.896475 186.0753 -79.33415 42.54583

Y 2271.324 -2488.407 142175.2 -59.81959 106.5982 -2985.681 2133.984 1371.602

LX -0.677697 2.269648 -59.81959 0.053793 -0.044940 4.266049 -1.718599 3.723818

LY 1.733351 -1.896475 106.5982 -0.044940 0.081451 -2.090813 1.599257 7.184177

TX 34.69044 186.0753 -2985.681 4.266049 -2.090813 1034.494 -490.4068 4.356731

TY -10.69383 -79.33415 2133.984 -1.718599 1.599257 -490.4068 401.1391 4.150932

Tabla 2. Varianzas, covarianzas y medias se pide,

Introducción a la Econometría. Guía Didáctica.

Página 26

a) medir la ley de la demanda indicando el valor de la elasticidad (debe usarse el cálculo matricial, y  b) Construir un intervalo de confianza del 5% (valor crítico = 2) para la predicción en 1891, siendo los valores en dicho año, Y  = 2060.15, X  = 40.6.

SOLUCIÓN A LA APLICACIÓN

a) La teoría de la demanda establece en términos estáticos, una relación inversa entre cantidades demandadas y precios. Dicha relación está sujeta a la cláusula ceteris paribus. La medición con series históricas ha de tener en cuenta esta circunstancia. Una forma de hacerlo consiste en considerar que junto con la tendencia se eliminan el resto de los factores diferentes del precio, que pudieran influir sobre la demanda. Por ello una especificación adecuada sería: Y t  = a + bX t  + cT 

donde Y representa la producción,  X   el precio y T   la tendencia. Para medir directamente la elasticidad, consideramos las dos primeras series en logaritmos. Por tanto: b

−1  0.053793 −0.677697   −0.04494   47.91667 0.677697  −0.04494  =  = 0.4720748     0.677697 0.053793  1.733351  =  −0.677697 47.91667   1.733351    

 22.62025 0.319924  −0.04494  =   =  0.319924 0.025394  1.733351 

 −0.462014   0.02964   

La elasticidad es negativa y la relación inelástica. Ambos resultados son acordes con la hipótesis teórica: el signo de la pendiente ha de ser negativo y, por otra parte, la elasticidad de los productos agrarios suele ser menor que la unidad. El término independiente es: a = Y  + 0.462014 X  − 0.02964T  = 8.534

 b) Para construir el intervalo de confianza del predictor, necesitamos conocer primero la varianza de las perturbaciones, cuyo estimador insesgado es:



d  Y´Y − b´X´Y =∑ = = 2

2

ˆ σ 

t 

n−k

n−k

n  s y2 − ( b1



 s yx1   b2 )    s 2  yx   

n−k

 

 =

  −0.04494   24 0.081451 − ( −0.462 0.02964 )  1.733351     = 0.0106425 = 24 − 3 Introducción a la Econometría. Guía Didáctica.

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Teniendo en cuenta que,

 

ˆ f ) = σ 2 1 +  D 2 (Y  

1

+ x´F (x´x )−1 x F   = n 

 1 1  22.62025 0.319924  −0.02   0.0106425 1 + + ( −0.02 12.5 )   12.5   = 0.012778 0.319924 0.025394 24 24     ˆ F ) = 0.0127 = 0.113 y por tanto  D(Y  La predicción, en desviaciones a las medias, será,  y f

= − 0.462· x f 1 + 0.02964· x f  2 = − 0.462·(3.70377 − 3.723818) + 0.02964·(25 −12.5) = = − 0.462·( − 0.02) + 12.5·0.02964 = 0.37974

Luego el intervalo será:  yˆ f  ± t α  / 2 ·σ  = 0.37974 ± 2·0.113

En valores reales, teniendo en cuenta que  y F = YF  − Y  , el intervalo queda, 7.56374 ± 2·0.113 La solución presentada no es la única posible. Pueden utilizarse también los valores originales (no los transformados en logaritmos), o las tasas de variación. En cualquier caso el modelo empleado debe instrumentar el ceteris paribus. Una forma de hacerlo es incluir la tendencia como un regresor más, interpretando que la influencia del resto de los factores (los incluidos en la cláusula ceteris paribus), se elimina junto con la tendencia. En el caso de emplear tasas de variación, puesto que éstas ya eliminan directamente la tendencia, la medición puede reducirse a una regresión simple.

Introducción a la Econometría. Guía Didáctica.

Página 28

 APÉNDICE 1 Cálculos econométricos con EXCEL

Dadas las dificultades de los alumnos para encontrar paquetes informáticos adecuados para la realización de cálculos econométricos, especialmente las derivadas de su precio, exponemos a continuación una guía para la realización de los cálculos más elementales con la hoja de cálculo EXCEL que, al venir incluido en el paquete OFFICE, está bastante extendido. No hace falta señalar que lo primero que debe hacer el alumno es asimilar bien el proceso manual de cálculo, entre otras cosas porque en la Prueba Presencial tendrá que realizarlo con la única ayuda de una calculadora no programable. Sólo cuando esté seguro de dominarlo, puede utilizar los programas informáticos. Hay que advertir finalmente que no somos expertos en la materia y es seguro que los usuarios avanzados encontraran algo rudimentarios algunos de los procedimientos descritos. No obstante la idea es ayudar a los más necesitados, es decir a aquellos que nunca han manejado la hoja de cálculo. Utilizaremos el ejemplo del mercado del aceite como ilustración, el mismo ejemplo por tanto que en el manual de la asignatura. Ello permitirá comparar los resultados en todo momento. El manual de referencia es el texto nuevo, publicado en 2003 en Ediciones  Académicas. Quienes dispongan del antiguo habrán de remitirse a las páginas correspondientes. 1. Cálculo de una regresión simple Supongamos que deseamos calcular la regresión entre la superficie de olivar y el precio (páginas 69 y ss) .Las instrucciones necesarias para calcular la regresión de la tabla 2.4, serían las siguientes1: 1. Tras arrancar Excel, introducir los datos en la hoja de cálculo. Llamemos por ejemplo Y  a la superficie y X  al precio. 2. Seleccionar una tabla de 5 filas y 2 columnas a la derecha de las columnas que contienen los datos. Es en esta tabla es donde aparecerán los resultados de la regresión. 3. Seleccionar la función  Estimación lineal   que se encuentra dentro del grupo de funciones Estadísticas. Aparece el siguiente cuadro de diálogo:

conocido_y conocido_x constante estadística

   

1

 Hay otra posibilidad seguramente más adecuada para este propósito, que consiste en utilizar Análisis de datos (Menú Herramientas), pero requiere tener esta opción previamente instalada. El funcionamiento es análogo pero las salidas son más completas. Introducción a la Econometría. Guía Didáctica.

Página 29

Tabla 1 donde han de introducirse los datos. En el cuadro de diálogo conocido_y se introducen los datos correspondientes a la variable endógena, en este caso Y . Para hacerlo hay dos opciones. La más sencilla es introducir el rango donde están comprendidos dichos valores, por ejemplo A2:A32, si esas son las columnas que contienen los datos de la superficie. En el siguiente cuadro, hacemos lo propio con los valores de la variable explicativa, B2:B32. En dos cuadros siguientes se introduce simplemente el número “1”. (Son valores lógicos. El primero indica si queremos término independiente (1) o no (0), y el segundo si queremos obtener los estadísticos habituales de la regresión (1) o no (0)). Efectuadas todas estas operaciones, el cuadro debe presentar el siguiente aspecto, A2:A32 B2:B32 1 1

conocido_y conocido_x constante estadística

   

Tabla 2 4. Pulsamos a la vez las teclas CTRL.+ Mayúsculas ( ⇑ )+ Intro (↵ ). El resultado debe ser algo como lo siguiente:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

A

B

Y

X

2148 2153 2167 2194 2295,3 2293 2255,4 2244,4 2239,9 2231,1 2074,9 2145,3 2120,2 2189,2 2054,4 2046,6 2042,3 2013,7 1977,6 1966,8 1961,7 1939,7

C

21,66 22,81 25,04 31,26 28,18 33,15 33,52 34 35,28 33 34,09 36,13 41,91 49,07 61,12 76,32 67,49 72,51 85,78 92,03 102,95 114,33

Introducción a la Econometría. Guía Didáctica.

D

E

-1,590146443 0,194513166 0,6973831 66,83073521 369762,5323

2209,901339 22,07366945 74,3829386 29 160451,8251

Página 30

24 25 26 27 28 29 30 31 32

1932,6 1935,5 1917,1 1929,1 1935,1 1915,3 1899,7 1908,5 1927,4

134,61 138,78 162,52 159,97 173,7 201,45 194,54 251,43 251,83

Tabla 3 Los datos contenidos en la tabla de la derecha (que aparecen en el lugar seleccionado en el paso nº 2) corresponden a los siguientes estadísticos:  B

a

std. error(b) coef. Determinación F Statistic Suma cuadrática regres

std. error(a) std regresión grados libertad Suma cuadrática resid

Tabla 4 que coinciden con los correspondientes en la tabla 2.4 del manual (p. 77). De los estadísticos que habitualmente utilizaremos en este curso, sólo falta el de Durbin y Watson, que puede calcularse fácilmente como veremos más adelante.

2. Cálculo de un regresión múltiple El procedimiento es idéntico. Reproducimos la regresión de la tabla 2.19 (p. 107), donde se hace depender ahora la superficie del precio y de la renta. Lógicamente hemos de introducir los datos de la renta en la hoja de cálculo, por ejemplo en la columna C lo que se tendría: 1 2 3 4 ... 31

A

B

Y

X

2148 2153 2167

21,66 22,81 25,04

... 1927,4

... 251,83

C R 5.533 6.069 6.531 ... 20251

D

E

...

...

Tabla 5 Ahora seguimos el mismo procedimiento que en la regresión simple, con dos únicos cambios, a) seleccionar una tabla mayor para dar cabida a un nuevo parámetro, es decir que ahora se seleccionaría una tabla de 5 filas y 3 columnas, y b) en el cuadro conocido_x se introduce la celda superior izquierda e inferior derecha de las columnas correspondientes a las  variables explicativas (B2:C32). El resultado sería ahora, c

Introducción a la Econometría. Guía Didáctica.

b

a

Página 31

-0,02064726 -0,49767946 2377,31591 0,0061329 0,36495733 53,2171072 0,78458281 63,8685283 50,9901695 28 415997,068 114217,29

Tabla 6

es decir Y t = 2377,31-0.4977*X t-0.021*R t, que coincide con el de la tabla 2.19 (p. 107).

3. Cálculo de una tendencia lineal

3.1. Por regresión con respecto al tiempo

Esta tendencia podría calcularse como una simple regresión con respecto al tiempo, siguiendo el mismo procedimiento que en la regresión simple: Introduciríamos previamente los datos de la serie tiempo, T . Por ejemplo supongamos que queremos calcular la tendencia de los precios del aceite entre 1960 y 1989 (30 observaciones). En la columna D introducimos los valores de la serie T , 1 2 3 4 ... 31

A

B

C

D

Y

X

R

T

2148 2153 2167 ... 1908,5

21,66 22,81 25,04 ... 251,43

5.533 6.069 6.531 ... 19535

1 2 3 ... 31

E

...

Tabla 7

Obtenemos los valores de la ecuación de regresión X = a + bT, siguiendo los pasos del apartado 1, b

a

6,7631079 0,51181967 0,8618006 174,605807 102799,815

-19,8738391 9,08630089 24,2642474 28 16485,1036

Tabla 8

de manera que la ecuación de regresión es X = -19,87 + 6.76T, que proporciona los  valores de la serie de tendencia. Podemos calcularlos de la siguiente manera,

Introducción a la Econometría. Guía Didáctica.

Página 32

En la celda E2 (por ejemplo) introducimos -19,87 + 6.76T pero sustituyendo T por D2 que es donde se halla el primer valor de la serie T. Para ello nos situamos en dicha celda y insertamos desde el teclado “= -19,87 + 6.76*I2”. Después de pulsar Enter, la hoja devolverá el primer valor de la tendencia, –13.11. Para obtener el resto de los valores sencillamente copiamos el contenido de la celda E2 en el portapapeles y a continuación seleccionamos con el ratón el resto de las celdas de la columna E3:E31 y tocamos Pegar. Se debe obtener, 1 2 3 4 ... 31

A

B

Y

X

2148 2153 2167 ... 1908,5

21,66 22,81 25,04 ... 251,43

C R 5.533 6.069 6.531 ... 19535

D T 1 2 3 ... 31

E XT -13.11 -6.35 0.41 ...... 182.93

Tabla 9

Sin embargo Excel este cálculo puede hacerse directamente con la función Tendencia. Para ello seleccionamos con el ratón las celdas de la columna donde han de aparecer los  valores de la tendencia, y después de tocar en el botón de fórmulas, seleccionamos tendencia. Aparece un cuadro de diálogo análogo al de regresión donde únicamente hace falta rellenar conocido_y con el rango de los datos de precios, y constante donde introduciremos el valor “1”. Después de pulsar la combinación de teclas CTRL + Mayúsculas ( ⇑ ) + Intro ( ↵ ), debemos obtener el mismo resultado. Podemos representar gráficamente las series de tendencia y ciclo a través de los siguientes pasos, a) En la barra de herramientas tocamos el botón de Asistente para gráficos, b) Seleccionamos el tipo y subtipo de gráfico preferido, c) En Rango de datos seleccionamos el rango de valores de la serie de tendencia, lo que podemos hacer introduciendo la primera y la última celda o tocando con el ratón el icono a la derecha del cuadro de diálogo y seleccionado toda la columna de datos. d)  Tocamos la pestaña Serie y en el cuadro Serie tocamos Agregar. En el cuadro de diálogo correspondiente a Serie 2 introducimos el rango de valores de la serie original de precios. e) En el cuadro de diálogo de Rótulos del eje de categorías (X), introducimos los  valores de T (o los correspondientes a los años 1960 –1989 si los tuviésemos). Pulsamos Siguiente. f) Introducimos los rótulos y damos formato al gráfico (hay muchas posibilidades). Pulsamos siguiente. g) Elegimos si queremos el gráfico en una hoja nueva (recomendable) o como objeto. Introducción a la Econometría. Guía Didáctica.

Página 33

El resultado final debe ser algo como lo representado en la figura 13.1, Precios, original y tendencia 300

250

200

     s 150      o       i      c      e      r       P100

50

0 1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

27

29

-50

Tiempo

Figura 13.1. Precios, serie original y tendencia

3.2.

Por el método de la cuerda 

Habría que calcular la tendencia a partir de la fórmula (3.10) de la página 133. Procederíamos de la siguiente manera, a) Nos situamos en la columna donde aparecerá la tendencia, por ejemplo en la columna F. En la primera celda de dicha columna introducimos la fórmula (3.10), que en formato Excel y teniendo en cuenta la situación de la serie original de precios, X y de la serie T, sería,

 B$31 − B$2  ( D 2 − 1)   29 El signo “$” sirve para que las referencias a celdas sean fijas.  B$2 +

b)  Tras pulsar Enter debemos obtener el primer valor de la serie de tendencia que en este caso ha de ser igual al primer valor de la serie original de precios. c) Como hicimos antes, seleccionamos el contenido de la primera celda y pulsamos copiar. A continuación seleccionamos con el ratón el resto de los valores de la columna, y Pegar. La hoja devuelve el resto de los valores de tendencia,

Introducción a la Econometría. Guía Didáctica.

Página 34

1 2 3 4 ... 31

A

B

Y

X

2148 2153 2167 ... 1908,5

21,66 22,81 25,04 ... 251,43

C R 5.533 6.069 6.531 ... 19535

D T 1 2 3 ... 31

F  XT2 21.66 29.58 37.51 … 251.43

E  XT -13.11 -6.35 0.41 ...... 182.93

Tabla 10

La figura 2 muestra la serie original de precios y las dos tendencias calculadas, Precios, original y tendencias 30 0

25 0

20 0

     s      o       i      c      e      r       P

15 0

10 0

50

0         0          6          9          1

        1         6          9          1

        2         6          9          1

        3          6          9          1

        4         6          9          1

       5          6          9          1

        6          6          9          1

       7         6          9          1

        8          6          9          1

        9          6          9          1

        0         7         9          1

        1        7         9          1

        2        7         9          1

        3         7         9          1

        4        7         9          1

       5         7         9          1

        6         7         9          1

       7        7         9          1

        8         7         9          1

        9         7         9          1

        0          8          9          1

        1         8          9          1

        2         8          9          1

        3          8          9          1

        4         8          9          1

       5          8          9          1

        6          8          9          1

       7         8          9          1

        8          8          9          1

        9          8          9          1

-5 0

Años

Figura 3

4. Cálculo de los coeficientes de Fourier Supongamos que tenemos los datos ordenados como en la tabla 11. Ilustramos el cálculo de los dos coeficientes correspondientes al primer armónico (el procedimiento sería análogo para el resto), 1. En una casilla arbitraria introducimos (o calculamos) el valor de 2 π  /T  2. Introducimos la fórmula de cálculo correspondiente a la onda de coseno, que denominamos como en el manual w11. Si tuviésemos los datos ordenado s de la forma,

Introducción a la Econometría. Guía Didáctica.

Página 35

1 2 3 4 5 6 31

A

B

C

D

 y

x

R

T

2148 2153 2167 2194 2295,3 ..... 1908,5

21,66 22,81 25,04 31,26 28,18 ..... 251,43

5.533 6.069 6.531 7.202 7.527 ..... 19535

1

E

F

G W 0

0,20943951

2 3 4 5 ..... 30

 Tabla 11 introduciríamos en la celda E2 la fórmula para el cálculo de la onda de coseno, cos (G$2*D2), y copiaríamos esta fórmula en el resto de la columna. Haciendo lo propio en la celda F2 [sen (G$2*D2)] con la onda de seno, obtendríamos :

1 2 3 4 5 6 31

A

B

C

D

E

F

G

 y

x

R

T

W 11

W 12

W 0

2148 2153 2167 2194 2295,3 ..... 1908,5

21,66 22,81 25,04 31,26 28,18 ..... 251,43

5.533 6.069 6.531 7.202 7.527 ..... 19535

1

0,9781476

0,207911691

2

0,91354546 0,406736643

3

0,80901699 0,587785252

4

0,66913061 0,743144825

5

0,5

0,866025404

.....

.....

.....

30

1

0

0,20943951

Tabla 12 Obtenidos los valores de las series trigonométricas correspondientes a las ondas de seno y coseno de este armónico, los coeficientes de Fourier ap y bp se hallarían mediante la correspondiente regresión múltiple. Se obtiene, b1 a1 c 16,70277232 28,74526605 -51,5906667 2,689817368 2,689817368 1,9019881 0,849803934 10,41761787 #N/A 76,38251398 27 #N/A 16579,09385 2930,222577

#N/A

Tabla 13 que es idéntico al de la tabla 4.4 del manual (pág. 156). El coeficiente de determinación obtenido en esta regresión, 0.85, mediría la contribución a la varianza del primer armónico, es decir del ciclo teórico de 30 años. Para calcular el ciclo teórico de 30 años, elegimos una columna donde aparecerán los datos (por ejemplo la H en la tabla 13) y en la primera celda de la misma (después del encabezado C30a) sencillamente introducimos la ecuación de regresión de la tabla 13, Y=Introducción a la Econometría. Guía Didáctica.

Página 36

51.591+28.7453*W11+16.7028*W12 , sustituyendo W11 y W12 por las referencias correspondientes (con la disposición datos de la tabla 12, en la primera celda escribiríamos “=-51.591+28.7453*E2+16.7028*F2”). Obtenido el primer valor del ciclo teórico, con Cortar y Pegar hallaríamos los demás, 1 2 3 4 5 6 31

A

B

C

D

E

F

G

H

 y

x

R

T

W 11

W 12

W 0

C30a

2148 2153 2167 2194 2295,3 ..... 1908,5

21,66 22,81 25,04 31,26 28,18 ..... 251,43

5.533 6.069 6.531 7.202 7.527 ..... 19535

1

0,9781476

2

0,91354546

0,207911691 0,20943951   0,406736643

3

0,80901699

0,587785252

 

-18.518

4

0,66913061

0,743144825

 

-19.944

5

0,5

0,866025404

 

-22.753

.....

.....

.....

...

30

1

0

-22.846

-20.001 -18.537

Tabla 12.bis La representación gráfica del ciclo empírico y el teórico de 30 años, se muestra en la figura siguiente: ARMÓNICO Nº 1 0

     0      1      2      3      4       5      6      6      6      6      6      6      6      6      9      9      9      9      9      9      9 -10      1      1      1      1      1      1      1

      7      8      9      0      1      2      3      4       5      6      6      6      6       7       7       7       7       7       7       7      9      9      9      9      9      9      9      9      9      9      1      1      1      1      1      1      1      1      1      1

      7      8      9      0      1      2      3      4       5      6       7       7       7      8      8      8      8      8      8      8      9      9      9      9      9      9      9      9      9      9      1      1      1      1      1      1      1      1      1      1

      7      8      9      8      8      8      9      9      9      1      1      1

-20

-30

-40

-50

-60

-70

-80

-90

Figura 2.bis De forma análoga podríamos obtener los coeficientes de Fourier correspondientes al segundo armónico. La única diferencia está en que las series trigonométricas correspondientes a este armónico, serían ahora cos(2w0T) y sen(2w0T). Con los datos ordenados como en la tabla 14, donde xc representa el ciclo empírico de los precios,

Introducción a la Econometría. Guía Didáctica.

Página 37

G

H

I

A

B

C

D

E

F

 y

x

xc

T

W 11

W 12

2148 2153

21,66 22,81

0 -6.773

1 2

W 21 W 22 W 0 =cos (2*I$2*D2) =seno (2*I$2*D2 ) 0,9781476 0,207912 0,20943951 0,913545 0,406737

4 5

2167 2194

25,04 31,26

-12.466 -14.169

3 4

0,809017 0,669131

0,587785 0,743145

6

2295,3

28,18

-25.172

5

0,5

0,866025

31

..... 1908,5

..... 251,43

... 0

..... 30

..... 1

..... 0

1 2 3

Tabla 14 introduciríamos en la celda G2 la fórmula cos (I$2*2D2) y en H2 sen (I$2*2D2), siguiendo después el mismo procedimiento que para el primer armónico (copiar y pegar). Así tenemos,

1 2 3 4 5 6 31

A

B

C

D

E

F

G

H

I

 y

x

xc

T

W 11

W 12

W 21

W 22

W 0

2148

21,66

0

1

0,9781476

0,207912

0.91354

0.40674

0,20943951

2153 2167

22,81 25,04

-6.773 -12.466

2 3

0,913545 0,809017

0,406737 0,587785

0.66913 0.30902

0.74314 0.95105

2194 2295,3 .....

31,26 28,18 .....

-14.169 -25.172 ...

4 5 .....

0,669131 0,5 .....

0,743145 0,866025 .....

-0.10453 -0.5 ...

0.99425 0.86603 ...

1908,5

251,43

0

30

1

0

1

0

 Tabla 15 Los resultados para el segundo armónico serían, b2 7,39457402 6,72792832 0,06032931 0,86673515 1176,98351

a2 c 4,87707314 -51,5906667 6,72792833 4,75736374 26,0571544 #N/A 27 #N/A 18332,3329 #N/A

 Tabla 16 Como en la tabla 4.5 (pág. 157). Por tanto la contribución a la varianza del segundo armónico es de 0.06, 0.85 para el primero. Estos serían los dos primeros valores del periodograma. Introducción a la Econometría. Guía Didáctica.

Página 38

5. Autocorrelación El análisis de la hipótesis de autocorrelación puede comenzar con la representación gráfica de los residuos de la regresión. Los valores de los mismos pueden calcularse fácilmente. Lo ilustramos con la regresión entre superficie y precios. Puesto que la ecuación de regresión es (tabla 3) Y ˆ   = 2209.9-1.59·X, podemos obtener los valores estimados para la superficie introduciendo aquella fórmula en la  primera celda de la columna donde elijamos que aparezcan. Sustituyendo X por la referencia correspondiente se tiene el primer valor y luego con Cortar y Pegar, el resto. ˆ Calculado Y ˆ  los residuos se obtienen por diferencia dt = Yt − Y t  ,  A

B

C

Y

X

ˆ Y 

2148 21,66

D dt

=2209,9-1,59*B2

= Yt − Y ˆt 

=A2-C2

2153 22,81 2167 25,04 ...

…

1927,4 251,83

 Tabla 17 Debe obtenerse,  A

B

C

D

Y

X

ˆ Y 

2148

21,66

2175,4606

-27,4606

2153

22,81

2173,6321

-20,6321

2167

25,04

2170,0864

-3,0864

...

…

...

1927,4

251,83

1809,4903

dt

= Yt − Y ˆt 

... 117,9097

 Tabla 18 Una vez obtenidos los valores de las discrepancias, podemos representarlas gráficamente siguiendo el mismo proceso que en el epígrafe dedicado a las tendencias,

Introducción a la Econometría. Guía Didáctica.

Página 39

150

100

50

     s      a       i      c      n      a      p 0      e      r      c      s       i       D -50

        0         6         9         1

        1         6         9         1

        2         6         9         1

        3         6         9         1

        4         6         9         1

        5         6         9         1

        6         6         9         1

        7         6         9         1

        8         6         9         1

        9         6         9         1

        0         7         9         1

        1         7         9         1

        2         7         9         1

        3         7         9         1

        4         7         9         1

        5         7         9         1

        6         7         9         1

        7         7         9         1

        8         7         9         1

        9         7         9         1

        0         8         9         1

        1         8         9         1

        2         8         9         1

        3         8         9         1

        4         8         9         1

        5         8         9         1

        6         8         9         1

        7         8         9         1

        8         8         9         1

        9         8         9         1

        0         9         9         1

-100

-150

Años Figura 3. Discrepancias de la regresión A simple vista se ve que el trazado no corresponde a una serie puramente aleatoria: se aprecia claramente un ciclo largo, 150

100

     s      a 50       i      c      n      a      p 0      e      r      c      s -50       i       D

        0         6         9         1

        1         6         9         1

        2         6         9         1

        3         6         9         1

        4         6         9         1

        5         6         9         1

        6         6         9         1

        7         6         9         1

        8         6         9         1

        9         6         9         1

        0         7         9         1

        1         7         9         1

        2         7         9         1

        3         7         9         1

        4         7         9         1

        5         7         9         1

        6         7         9         1

        7         7         9         1

        8         7         9         1

        9         7         9         1

        0         8         9         1

        1         8         9         1

        2         8         9         1

        3         8         9         1

        4         8         9         1

        5         8         9         1

        6         8         9         1

        7         8         9         1

        8         8         9         1

        9         8         9         1

        0         9         9         1

-100

-150

Años

Figura 4. Discrepancias de la regresión lo que constituye evidencia suficiente para cuestionar la hipótesis de no autocorrelación.

Introducción a la Econometría. Guía Didáctica.

Página 40

El contraste paramétrico habitual se basa en el estadístico de Durbin y Watson, que responde a la expresión,

∑ ( d − d   DW  = ∑ d 

t −1 )

t

2

2

t 

Para calcularlo añadimos al lado de la columna correspondiente a d t  , la serie d t - 1 y a continuación calculamos la diferencia dt − d t −1 E

F

 A

B

C

Y

X

ˆ Y 

2148

21,66

2175,4606

-27,4606

...

...

2153

22,81

2173,6321

-20,6321

-27,4606

6,8285

2167

25,04

2170,0864

-3,0864

...

…

...

-20,6321 ...

17,5457 ...

1927,4

251,83

1809,4903

98.3737

19,536

D d t 

d t-1

... 117,9097

dt

− d t −1

 Tabla 19 La función  N

cuadráticas

SUMA.CUADRADOS   (botón N 

∑ d y ∑ ( d − d  2

t

t =1

t

t −1

fórmulas) calcula directamente las sumas

2

) , pero la primera ya está calculada puesto que forma parte

t = 2

de los resultados de la regresión: en la parte sombreada de la tabla 3, aparece en la celda inferior derecha (160451.8251). Para calcular la segunda, basta con situarse en una celda vacía seleccionar la función y dar el rango de valores correspondiente en el cuadro de diálogo que se abrirá. De esta manera se obtendría 76933,761, y por tanto: DW = 76933.761/160451.833 = 0.479  valor lo suficientemente alejado de 2 como para asegurar la autocorrelación, lo que confirma el diagnóstico obtenido mediante inspección visual.

6. Homocedasticidad

El gráfico de los residuos anterior no parece revelar la presencia de discrepancias heterocedásticas, aunque tampoco es suficientemente claro. Para llevar a cabo el contraste de Goldfeld-Quandt para la regresión simple de la superficie en función del precio, abrimos una hoja nueva con los datos de estas dos variables únicamente. En este caso como la única variable explicativa son los precios, suponemos que la heterocedasticidad va ligada a los mismos, de manera que ordenamos las series de menor a mayor en función de los valores de los precios. Casi lo están ya pues éstos crecen prácticamente todos los años, aunque hay excepciones. Introducción a la Econometría. Guía Didáctica.

Página 41

Para llevar a cabo la ordenación utilizamos el botón Orden ascendente   de la barra de herramientas (si no aparece en la barra, seleccionarlo con Herramientas/Personalizar/Datos/Orden ascendente  ). Seleccionamos con el ratón las columnas de precios y superficie empezando por los precios  y una vez ambas estén seleccionadas, pulsamos el botón Orden ascendente . A continuación efectuamos las dos regresiones de la forma habitual. Por ejemplo, eliminando los 7 valores centrales, se obtienen para los primeros y los últimos 12, los siguientes resultados: 3,08965246 2108,66143 4,1467669 128,747205 0,05259399 68,7357188 0,55513679

10

2622,79876 47245,9904

 Tabla 20 -0,28690571 1978,00331 0,07566455 13,0463306 0,58979127 13,2512318 14,3778334

10

2524,67772 1755,95144

 Tabla 21 Por lo tanto el estadístico vale 1755,95/47245,99 = 0.037 que es menor que el valor en tablas de la F 8, 8 . Por tanto se no se puede rechazar la hipótesis de homocedasticidad.

7. Otras utilidades

La hoja de cálculo dispone de muchas fórmulas que pueden ser de utilidad. Por ejemplo, calcula directamente el coeficiente de correlacion o la desviación típica y puede asimismo utilizarse el álgebra matricial, por ejemplo para calcular, b = ( X´X )-1X´Y

Para ello están disponibles las funciones TRASPONER, MMULT o  MINV que trasponen matrices, las multiplican o calculan la matriz inversa. Por ejemplo, supongamos que deseaos obtener b = ( X´X )-1X´Y para los cinco primeros valores de superficie y precio. Creamos una serie c   cuyos valores son todos 1, que representará al término independiente. A continuación seleccionamos una tabla con 2 filas y 5 columnas, y con la función TRASPONER, obtenemos, 1

1

Introducción a la Econometría. Guía Didáctica.

1

1

1 Página 42

21,66 22,81 25,04 31,26 28,18

que es la traspuesta de X. Para calcular X´X seleccionamos una tabla de 2x2 y con la fórmula MULT., el programa da, 5 128,95 128,95 3387,7533

Con MINVER, se tiene, 10,9048789 -0,4150786 -0,41507867 0,01609456

De nuevo con MULT. calculamos X´Y, 10957,3 283163,284

y finalmente también con MULT.,

1952,99    9,2466 

b = 

que son los valores de los correspondientes estimadores. y 2148 2153 2167 2194 2295,3

c

x 1 1 1 1 1

21,66 22,81 25,04 31,26 28,18

1 21,66

XT

XTX 9,24659761 7,11764474 0,36002521 1,68768466 5312,32752

1952,99025 185,270893 56,1043803 3 9443,10448

1 22,81

1 25,04

5 128,95 T -1 (X X) 128,95 3387,7533 XTY

10957,3 283163,284

b

1 31,26

10,9048789 -0,4150786 -0,41507867 0,01609456 1952,99025 9,24659761

 Tabla 22 La matriz XT se obtiene con la función TRASPONER , XTX, XTX y  b, con MMULT., (XTX)-1 con MINVER . Debajo de los valores originales, la salida de ESTIMACIÓN LINEAL.

Introducción a la Econometría. Guía Didáctica.

1 28,18

Página 43

 APÉNDICE 2. TABLAS ESTADÍSTICAS

NORMAL z 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

0,00 0.5000 0.4602 0.4207 0.3821 0.3446 0.3085 0.2743 0.2420 0.2119 0.1841 0.1587 0.1357 0.1151 0.0968 0.0808 0.0668 0.0548 0.0446 0.0359 0.0287 0.0228 0.0179 0.0139 0.0107 0.0082 0.0062 0.0047 0.0035 0.0026 0.0019 0.0013 0.0010 0.0007 0.0005 0.0003 0.0002 0.0002 0.0001

0.01 0.4960 0.4562 0.4168 0.3783 0.3409 0.3050 0.2709 0.2389 0.2090 0.1814 0.1562 0.1335 0.1131 0.0951 0.0793 0.0655 0.0537 0.0436 0.0351 0.0281 0.0222 0.0174 0.0136 0.0104 0.0080 0.0060 0.0045 0.0034 0.0025 0.0018 0.0013 0.0009 0.0007 0.0005 0.0003 0.0002 0.0002 0.0001

0.02 0.4920 0.4522 0.4129 0.3745 0.3372 0.3015 0.2676 0.2358 0.2061 0.1788 0.1539 0.1314 0.1112 0.0934 0.0778 0.0643 0.0526 0.0427 0.0344 0.0274 0.0217 0.0170 0.0132 0.0102 0.0078 0.0059 0.0044 0.0033 0.0024 0.0018 0.0013 0.0009 0.0006 0.0005 0.0003 0.0002 0.0002 0.0001

0.03 0.4880 0.4483 0.4090 0.3707 0.3336 0.2981 0.2643 0.2327 0.2033 0.1762 0.1515 0.1292 0.1093 0.0918 0.0764 0.0630 0.0516 0.0418 0.0336 0.0268 0.0212 0.0166 0.0129 0.0099 0.0075 0.0057 0.0043 0.0032 0.0023 0.0017 0.0012 0.0009 0.0006 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 0.0001

0.04 0.4840 0.4443 0.4052 0.3669 0.3300 0.2946 0.2611 0.2296 0.2005 0.1736 0.1492 0.1271 0.1075 0.0901 0.0749 0.0618 0.0505 0.0409 0.0329 0.0262 0.0207 0.0162 0.0125 0.0096 0.0073 0.0055 0.0041 0.0031 0.0023 0.0016 0.0012 0.0009 0.0006 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 0.0001

Introducción a la Econometría. Guía Didáctica.

0.05 0.4801 0.4404 0.4013 0.3632 0.3264 0.2912 0.2578 0.2266 0.1977 0.1711 0.1469 0.1251 0.1056 0.0885 0.0735 0.0606 0.0495 0.0401 0.0322 0.0256 0.0202 0.0158 0.0122 0.0094 0.0071 0.0054 0.0040 0.0030 0.0022 0.0016 0.0011 0.0008 0.0006 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 0.0001

0.06 0.4761 0.4364 0.3974 0.3594 0.3228 0.2877 0.2546 0.2236 0.1949 0.1685 0.1446 0.1230 0.1038 0.0869 0.0721 0.0594 0.0485 0.0392 0.0314 0.0250 0.0197 0.0154 0.0119 0.0091 0.0069 0.0052 0.0039 0.0029 0.0022 0.0015 0.0011 0.0008 0.0006 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 0.0001

0.07 0.4721 0.4325 0.3936 0.3557 0.3192 0.2843 0.2514 0.2206 0.1922 0.1660 0.1423 0.1210 0.1020 0.0853 0.0708 0.0582 0.0475 0.0384 0.0307 0.0244 0.0192 0.0150 0.0116 0.0089 0.0068 0.0051 0.0038 0.0028 0.0021 0.0015 0.0011 0.0008 0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 0.0001

0.08 0.4681 004286 0.3897 0.3520 0.3156 0.2810 0.2483 0.2177 0.1894 0.1635 0.1401 0.1190 0.1003 0.0838 0.0694 0.0571 0.0465 0.0375 0.0301 0.0239 0.0188 0.0146 0.0113 0.0087 0.0066 0.0049 0.0037 0.0027 0.0020 0.0014 0.0010 0.0007 0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 0.0001

0.09 0.4641 0.4247 0.3859 0.3483 0.3121 0.2776 0.2451 0.2148 0.1867 0.1611 0.1379 0.1170 0.0985 0.0823 0.0681 0.0559 0.0455 0.0367 0.0294 0.0233 0.0183 0.0143 0.0110 0.0084 0.0064 0.0048 0.0036 0.0026 0.0014 0.0014 0.0010 0.0007 0.0005 0.0004 0.0002 0.0002 0.0001 0.0001

Página 44

DISTRIBUCIÓN F DE SNEDECOR (5%)

g.l denomi nador 

1

2

3

Grados de libertad en el numerador 4 5 6 7 8 9

10

12

15

1 161.4 199.5 215.7 224.6 230.2 234.0 236.8 238.9 240.5 241.9 243.9 245.9 2 18.51 19.00 19.16 19.25 19.3 19.33 19.35 19.37 19.38 19.4 19.41 19.43 3 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79 8.74 8.70 4 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6.00 5.96 5.91 5.86 5 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74 4.68 4.62 6 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10 4.06 4.00 3.94 7 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64 3.57 3.51 8 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39 3.35 3.28 3.22 9 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14 3.07 3.01 10 4.96 4.10 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98 2.91 2.85 11 4.84 3.98 3.59 3.36 3.20 3.09 3.01 2.95 2.90 2.85 2.79 2.72 12 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3.00 2.91 2.85 2.80 2.75 2.69 2.62 13 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67 2.60 2.53 14 4.60 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.70 2.65 2.60 2.53 2.46 15 4.54 3.68 3.29 3.06 2.90 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54 2.48 2.40 16 4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.49 2.42 2.35 17 4.45 3.59 3.20 2.96 2.81 2.70 2.61 2.55 2.49 2.45 2.38 2.31 18 4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46 2.41 2.34 2.27 19 4.38 3.52 3.13 2.90 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.38 2.31 2.23 20 4.35 3.49 3.10 2.87 2.71 2.60 2.51 2.45 2.39 2.35 2.28 2.20 21 4.32 3.47 3.07 2.84 2.68 2.57 2.49 2.42 2.37 2.32 2.25 2.18 22 4.30 3.44 3.05 2.82 2.66 2.55 2.46 2.40 2.34 2.30 2.23 2.15 23 4.28 3.42 3.03 2.80 2.64 2.53 2.44 2.37 2.32 2.27 2.20 2.13 24 4.26 3.40 3.01 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.30 2.25 2.18 2.11 25 4.24 3.39 2.99 2.76 2.60 2.49 2.40 2.34 2.28 2.24 2.16 2.09 26 4.23 3.37 2.98 2.74 2.59 2.47 2.39 2.32 2.27 2.22 2.15 2.07 27 4.21 3.35 2.96 2.73 2.57 2.46 2.37 2.31 2.25 2.20 2.13 2.06 28 4.20 3.34 2.95 2.71 2.56 2.45 2.36 2.29 2.24 2.19 2.12 2.04 29 4.18 3.33 2.93 2.70 2.55 2.43 2.35 2.28 2.22 2.18 2.10 2.03 30 4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 2.16 2.09 2.01 40 4.08 3.23 2.84 2.61 2.45 2.34 2.25 2.18 2.12 2.08 2.00 1.92 60 4.00 3.15 2.76 2.53 2.37 2.25 2.17 2.10 2.04 1.99 1.92 1.84 120 3.92 3.07 2.68 2.45 2.29 2.17 2.09 2.02 1.96 1.91 1.83 1.75

Introducción a la Econometría. Guía Didáctica.

Página 45

DISTRIBUCIÓN CHI – CUADRADO ( 2)

G.L. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100

.995 7.88 10.6 12.8 14.9 16.7 18.5 20.3 22.0 23.6 25.2 26.8 28.3 29.8 31.3 32.8 34.3 35.7 37.2 38.6 40 41.4 42.8 44.2 45.6 46.9 48.3 49.6 51 52.3 53.7 66.8 79.5 92 104.2 116.3 128.3 140.2

.99 .975 .95 .90 .75 .50 .25 .10 .05 .025 .01 .005 6.63 5.02 3.84 2.71 1.32 0.455 0.102 .0158 .0039 .0010 .0002 .0000 9.21 7.38 5.99 4.61 2.77 1.39 0.525 0.211 0.103 .0506 .0201 .0100 1 1.3 9.35 7 .81 6.25 4.11 2.37 1.21 0.584 0.352 0.216 0.115 .0720 13.3 11.1 9.49 7.78 5.39 3.36 1.92 1.06 0.711 0.484 0.297 0.207 15.1 12.8 11.1 9.24 6.63 4.35 2.67 1.61 1.15 0.831 0.554 0.412 16.8 14.4 12.6 10.6 7.84 5.35 3.45 2.20 1.64 1.24 0.872 0.676 18.5 16.0 14.1 12.0 9.04 6.35 4.25 2.83 2.17 1.69 1.24 0.989 20.1 17.5 15.5 13.4 10.2 7.34 5.07 3.49 2.73 2.18 1.65 1.34 21.7 19 16.9 14.7 11.4 8.34 5.90 4.17 3.33 2.70 2.09 1.73 23.2 20.5 18.3 16.0 12.5 9.34 6.74 4.87 3.94 3.25 2.56 2.16 24.7 21.9 19.7 17.3 13.7 10.3 7.58 5.58 4.57 3.82 3.05 2.60 26.2 23.3 21.0 18.5 14.8 11.3 8.44 6.30 5.23 4.40 3.57 3.07 27.7 24.7 22.4 19.8 16 12.3 9.30 7.04 5.89 5.01 4.11 3.27 29.1 26.1 23.7 21.1 17.1 13.3 10.2 7.79 6.57 5.63 4.66 4.07 30.6 27.5 25.0 22.3 18.2 14.3 11.0 8.55 7.26 6.26 5.23 4.60 32 28.8 26.3 23.5 19.4 15.3 11.9 9.31 7.96 6.91 5.81 5.14 33.4 30.2 27.6 24.8 20.5 16.3 12.8 10.1 8.67 7.56 6.41 5.70 34.8 31.5 28.9 26.0 21.6 17.3 13.7 10.9 9.39 8.23 7.01 6.26 36.2 32.9 30.1 27.2 22.7 18.3 14.6 11.7 10.1 8.91 7.63 6.84 37.6 34.2 31.4 28.4 23.8 19.3 15.5 12.4 10.9 9.59 8.26 7.43 38.9 35.5 32.7 29.6 24.9 20.3 16.3 13.2 11.6 10.3 8.90 8.03 40.3 36.8 33.9 30.8 26.0 21.3 17.2 14.0 12.3 11.0 9.54 8.64 41.6 38.1 35.2 32.0 27.1 22.3 18.1 14.8 13.1 11.7 10.2 9.26 43 39.4 36.4 33.2 28.2 23.3 19.0 15.7 13.8 12.4 10.9 9.89 44.3 40.6 37.7 34.4 29.3 24.3 19.9 16.5 14.6 13.1 11.5 10.5 45.6 41.9 38.9 35.6 30.4 25.3 20.8 17.3 15.4 13.8 12.2 11.2 47.0 43.2 40.1 36.7 31.5 26.3 21.7 18.1 16.2 14.6 12.9 11.8 48.3 44.5 41.3 37.9 32.6 27.3 22.7 18.9 16.9 15.3 13.6 12.5 49.6 45.7 42.6 39.1 33.7 28.3 23.6 19.8 17.7 16.0 14.3 13.1 50.9 47 43.8 40.3 34.8 29.3 24.5 2036 18.5 16.8 15.0 13.8 63.7 59.3 55.8 51.8 45.6 39.3 33.7 29.1 26.5 24.4 22.2 20.7 76.2 71.4 67.5 63.2 56.3 49.3 42.9 37.7 34.8 32.4 29.7 28.0 88.4 83.3 79.1 74.4 67.0 59.3 52.3 46.5 43.2 40.5 37.5 35.5 100.4 95.0 90.5 85.5 77.6 69.3 61.7 55.3 51.7 48.8 45.4 43.3 112.3 106.6 101.9 96.6 88.1 79.3 71.1 64.3 60.4 57.2 53.5 51.2 124.1 118.1 113.1 107.6 98.6 89.9 80.6 73.3 69.1 65.6 61.8 59.2 135.8 129.6 124.3 118.5 109.1 99.3 90.1 82.4 77.9 74.2 70.1 67.3

Introducción a la Econometría. Guía Didáctica.

Página 46

DISTRIBUCIÓN t -Student

G.L. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120

0,25 1,000 0,816 0,765 0,741 0,727 0,718 0,711 0,706 0,703 0,700 0,697 0,695 0,694 0,692 0,691 0,690 0,689 0,688 0,688 0,687 0,686 0,686 0,685 0,685 0,684 0,684 0,684 0,683 0,683 0,683 0,681 0,679 0,677

0,20 1,376 1,061 0,978 0,941 0,920 0,906 0,896 0,889 0,883 0,879 0,876 0,873 0,870 0,868 0,866 0,865 0,863 0,862 0,861 0,860 0,859 0,858 0,858 0,857 0,856 0,856 0,855 0,855 0,854 0,854 0,851 0,848 0,845

0,15 1,963 1,386 1,250 1,190 1,156 1,134 1,119 1,108 1,100 1,093 1,088 1,083 1,079 1,076 1,074 1,071 1,069 1,067 1,066 1,064 1,063 1,061 1,060 1,059 1,058 1,058 1,057 1,056 1,055 1,055 1,050 1,046 1,041

0,10 3,078 1,886 1,638 1,533 1,476 1,440 1,415 1,397 1,383 1,372 1,363 1,356 1,350 1,345 1,341 1,337 1,333 1,330 1,328 1,325 1,323 1,321 1,319 1,318 1,316 1,315 1,314 1,313 1,311 1,310 1,303 1,296 1,289

Introducción a la Econometría. Guía Didáctica.

0,05 6,314 2,920 2,353 2,132 2,015 1,943 1,895 1,860 1,833 1,812 1,796 1,782 1,771 1,761 1,753 1,746 1,740 1,734 1,729 1,725 1,721 1,717 1,714 1,711 1,708 1,706 1,703 1,701 1,699 1,697 1,684 1,671 1,658

0,025 12,706 4,303 3,182 2,776 2,571 2,447 2,365 2,306 2,262 2,228 2,201 2,179 2,160 2,145 2,131 2,120 2,110 2,101 2,093 2,086 2,080 2,074 2,069 2,064 2,060 2,056 2,052 2,048 2,045 2,042 2,021 2,000 1,980

0,01 31,821 6,965 4,541 3,747 3,365 3,143 2,998 2,896 2,821 2,764 2,718 2,681 2,650 2,624 2,602 2,583 2,567 2,552 2,539 2,528 2,518 2,508 2,500 2,492 2,485 2,479 2,473 2,467 2,462 2,457 2,423 2,390 2,358

0,005 63,657 9,925 5,841 4,604 4,032 3,707 3,499 3,355 3,250 3,169 3,106 3,055 3,012 2,977 2,947 2,921 2,898 2,878 2,861 2,845 2,831 2,819 2,807 2,397 2,787 2,779 2,771 2,763 2,756 2,750 2,704 2,660 2,617

0,0005 636,619 31,598 12,941 8,610 6,859 5,959 5,405 5,041 4,781 4,587 4,437 4,318 4,221 4,140 4,073 4,015 3,965 3,922 3,883 3,850 3,819 3,792 3,767 3,745 3,725 3,707 3,690 3,674 3,659 3,646 3,551 3,460 3,373

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