UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA DINÁMICA APLICADA
GUÍA DE LABORATORIO No.4 OSCILACIÓN DE UN PÉNDULO SIMPLE
1. Objetivos Generales 1.1. Determinar los l os parámetros principales de un sistema de péndulo simple simp le bajo vibración libre no amortiguada. Desarrollar y analizar el modelo matemático. Comparar resultados teóricos y experimentales.
2. Objetivos Específicos 2.1. Medir la longitud, masa y periodo de oscilación de un péndulo simple. 2.2. Obtener la ecuación diferencial diferenci al no lineal del movimiento movimient o de un péndulo simple. Considerar la masa esférica como un punto. 2.3. Obtener la ecuación ecu ación diferencial linealizada con respecto a la posición p osición de equilibrio estático. 2.4. Encontrar la solución de la ecuación diferencial de movimiento desarrollada en el punto 2.3 para y . Obtenga expresiones para la posición la velocidad y la aceleración Grafique los resultados, utilice EXCELL. Para dos ciclos de movimiento. 2.5. Calcule la frecuencia f recuencia natural, natural , el periodo del movimiento movimien to y la frecuencia f recuencia natural angular de oscilación. 2.6. Comparar los resultados resu ltados teóricos con co n los experimentales. Explicar la la diferencia. 2.7. Obtenga la solución de la ecuación diferencial, punto 2.5, mediante MatLab ó SciLab. Grafique la posición, velocidad y aceleración. Para dos ciclos de movimiento.. movimiento 2.8. Desarrolle el diagrama de bloques correspondiente, punto 2.5, y obtenga la solución mediante SIMULINK ó XSICO. Grafique la posición, velocidad y aceleración. Para dos ciclos de movimiento. 2.9. Obtener la ecuación ecua ción diferencial linealizada con respecto a la l a posición de equilibrio estático. Considere la masa como una esfera, mida su diámetro y calcule su momento de inercia de masa con respecto a su centro de gravedad. Repita los puntos 2.5 y 2.6. 2.10. Analice la posición, velocidad y aceleración de la masa m. ¿Qué puede concluir respecto a la amplitud y ángulo de fase de cada movimiento?
( )
() ̇ () ̇ () ()
̈ ()
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3. Equipos y materiales a utilizar 3.1. Hilo de monofilamento de pesca 3.2. Esfera de acero 3.3. Marco para soporte 3.4. Balanza 3.5. Cinta métrica 3.6. Cronómetro 3.7. Micrómetro
4. Metodología 4.1. Escoja una esfera de acero, mida el diámetro de la misma, determine su masa y su momento masa de inercia respecto a su centro de gravedad. 4.2. Fije un extremo del hilo monofilamento al marco, fije el otro extremo a la esfera de acero. Mida una longitud de 20 cm entre el extremo fijo y el centro de masa de la esfera de acero. 4.3. Desplace la esfera de acero de la posición de equilibrio estático y libere. Mida el periodo de oscilación de tres ciclos de movimiento. Obtenga el periodo promedio. 4.4. Determine la frecuencia circular natural y la frecuencia natural de oscilación a partir del periodo natural medido. 4.5. Obtener el modelo matemático del sistema péndulo simple para una masa puntual. 4.6. Resolver la ecuación diferencial de movimiento para la condición inicial del punto 4.3. 4.7. Obtener analíticamente la frecuencia angular natural, la frecuencia natural y el periodo natural de movimiento. 4.8. Obtener el modelo matemático del sistema péndulo simple para una masa esférica. 4.9. Resolver la ecuación diferencial de movimiento para la condición inicial del punto 4.3. 4.10. Obtener analíticamente la frecuencia angular natural, la frecuencia natural y el periodo natural de movimiento. 4.11. Comparar los resultados obtenidos en los puntos 4.3, 4.4, 4.7 y 4.10. Explique las diferencias. 4.12. Graficar la posición, la velocidad y la aceleración. 4.13. Repita del punto 4.2 al 4.12 para las longitudes del hilo monofilamento de 40 cm y 60 cm. 4.14. Comparar los resultados para las longitudes del hilo monofilamento 20cm, 40 cm y 60 cm. Establezca sus conclusiones.
5. Procedimiento 5.1. Seleccione los parámetros (longitud y masa) de un péndulo simple. Para cada una de las tres experiencias a realizar. 5.2. Especifique las condiciones iniciales indicadas en el punto 2.4 de los objetivos específicos.
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5.3. Mida el periodo natural de oscilación para tres ciclos de movimiento. Calcule el periodo promedio de la oscilación. Calcule la frecuencia natural y la frecuencia natural cirular. 5.4. Obtenga la ecuación diferencial de movimiento en función de . Obtener la posición, velocidad y aceleración para: 5.4.1. y . Graficar utilizando: EXCELL, MatLab ó SciLab y SIMULINK ó XSICO. 5.5 . Determine analíticamente el periodo, la frecuencia circular natural y la frecuencia natural del movimiento.
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̇ ()
6. Preguntas 6.1. ¿Qué concluye respecto a las frecuencias angulares naturales, frecuencias naturales y periodos naturales de oscilación, para los sistemas de péndulo simple estudiados? 6.2. ¿Cómo se comparan los resultados teóricos con los experimentales del modelo de masa puntual y del modelo de masa esférica? 6.3. ¿Qué concluye respecto al ángulo de fase de la posición, velocidad y aceleración?
7. Fundamentos Un sistema de péndulo simple vibrará libremente al desplazarse de su posición de equilibrio estático y liberarse. El sistema es conservativo, no está sujeto a fuerzas noconservativas ni a excitaciones externas. La ecuación gobernante del movimiento oscilatorio es una ecuación diferencial de segundo grado, homogénea con coeficientes constantes. La solución de dicha ecuación corresponde a la solución complementaria en donde las constantes dependen de las condiciones iniciales del sistema. Ecuación diferencial de movimiento: Puede obtenerse a partir de la energía total del sistema ó aplicando la segunda ley de Newton. (2.1)
() ̇ () () ̇ ̈ + mg() ̇ ( ̈ ) ̇ = 0 ̈ = 0
(2.2) (2.3) (2.4) (2.5) (2.6)
Utilizando la Segunda Ley de Newton:
̈ ̈
(2.7) (2.8) II Semestre 2012
̈ Para oscilaciones pequeñas ̈ ̅ Para una masa puntual ̅ = 0 y ̈ ̈ = 0
(2.9) (2.10) (2.11) (2.12) (2.13) (2.14) (2.15)
Asumimos la siguiente solución
̈ ( ) ( ) = √ ⁄ √ ⁄ ()
Las constantes
(2.16) (2.17) (2.18) (2.19) (2.20)
(2.21) (2.22)
y se determinan a partir de la condiciones iniciales () y ̇ ().
Remplazando
(2.23) y Resulta () (2.24) (2.25) () ( ) Donde la amplitud y el ángulo de fase se determinan a partir de las siguientes ecuaciones:
√
(2.26)
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(2.27)
8. Referencias: 8.1. Vibraciones Mecánicas. Singiresu S. Rao. Quinta edición. PEARSON EDUCATION, México, 2012.
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