Lectura Unidad 2 Metodos Probabilisticos

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 104561 –MÉTODOS PROBABILÍSTICOS

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA PROGRAMA CIENCIAS BÁSICAS

104561 – MÉTODOS PROBABILÍSTICOS VLADIMIR DE JESÚS VANEGAS ANGULO (Director Nacional)

WILLIAM MOSQUERA (Acreditador)

Santa Marta 31 de mayo de 2011

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ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO

El presente módulo fue diseñado en el año 2009 por William Ortegón docente de la UNAD, ubicado en el CEAD de Ibagué el Autor es Ingeniero industrial especialista en logística de producción y distribución. Se ha desempeñado como tutor de la UNAD desde Enero de 2008 hasta la fecha y ha sido catedrático de Universidades de Ibagué. El presente módulo ha tenido 2 actualizaciones la primera realizada por la doctora Gloria Guzmán y la segunda por el ingeniero William Ortegón El material ha sido revisado por el ingeniero William Mosquera y aportado para la calidad del mismo.

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UNIDAD 2 Nombre de la Unidad Introducción

Cadenas de Markov, teoría de colas y programación no lineal El análisis de Markov tuvo su origen en los estudios de A.A.Markov(1906-1907) sobre la secuencia de los experimentos conectados en cadena y los intentos de descubrir matemáticamente los fenómenos físicos conocidos como movimiento browiano. La teoría general de los procesos de Markov se desarrollo en las décadas de 1930 y 1940 por A.N.Kolmagoron, W.Feller, W.Doeblin, P.Levy, J.L.Doob y otros. El análisis de Markov es una forma de analizar el movimiento actual de alguna variable, a fin de pronosticar un movimiento futuro de la misma. Las "colas" son un aspecto de la vida moderna que nos encontramos continuamente en nuestras actividades diarias. En el contador de un supermercado, accediendo al Metro, en los Bancos, etc., el fenómeno de las colas surge cuando unos recursos compartidos necesitan ser accedidos para dar servicio a un elevado número de trabajos o clientes. En matemáticas, Programación no lineal (PNL) es el proceso de resolución de un sistema de igualdades y desigualdades sujetas a un conjunto de restricciones sobre un conjunto de variables reales desconocidas, con una función objetivo a maximizar, cuando alguna de las restricciones o la función objetivo no son lineales.

Justificación

El estudio de las colas es importante porque proporciona tanto una base teórica del tipo de servicio que podemos esperar de un determinado recurso, como la forma en la cual dicho recurso puede ser diseñado para proporcionar un 3


determinado grado de servicio a sus clientes. Debido a lo comentado anteriormente, se plantea como algo muy útil el desarrollo de una herramienta que sea capaz de dar una respuesta sobre las características que tiene un determinado modelo de colas. Intencionalidades Formativas

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Denominación de capítulos

Valorará la importancia que tiene los métodos estudiados en situaciones organizacionales para las empresas en el mundo moderno. Planteará y resolverá problemas en diferentes campos del saber, haciendo un proceso de abstracción de escenarios conocidos a escenarios desconocidos de las temáticas estudiadas.

Capitulo 3 Cadenas de Markov Capitulo 4 Modelos de líneas de espera Capitulo 5 Programación no lineal

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CAPITULO 3: CADENAS DE MARKOV Lección 1: Cadenas de Eventos – Análisis de MARKOV Una cadena de Markov es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que ocurra un evento depende del evento inmediato anterior. En efecto, las cadenas de este tipo tienen memoria. “Recuerdan” el último evento y esto condiciona las posibilidades de los eventos futuros. Esta dependencia del evento anterior distingue a las cadenas de Markov de las series de eventos independientes, como tirar una moneda al aire o un dado. En los negocios, las cadenas de Markov se han utilizado para analizar los patrones de compra de los consumidores, para pronosticar las concesiones por deudores morosos, para planear las necesidades de personal y para analizar el reemplazo de equipo. Aunque no es una herramienta que se use mucho, el análisis de Markov puede proporcionar información importante cuando es aplicable. El análisis de Markov, llamado así en honor de un matemático ruso que desarrollo el método en 1907, permite encontrar la probabilidad de que un sistema se encuentre en un estado en particular en un momento dado. Más importante aún, permite encontrar el promedio a la larga o las probabilidades de estado estable para cada estado. Con esta información se puede predecir el comportamiento del sistema a través del tiempo. Una Cadena de Markov es un proceso estocástico de tiempo discreto que para t=0, 1, 2,.. y en todos los estados se verifica P(Xt+1=it+1 | Xt=it, Xt-1=it-1, ..., X1=i1,X0=i0)=P(Xt+1=it+1|Xt=it) La Hipótesis de estabilidad es la probabilidad P (Xt+1=i t+1t=i)=pij (no depende de t) La probabilidad de transición es pij La Matriz de probabilidades de transición es

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Donde se debe verificar que la Las cadenas de Markov que cumplen la hipótesis de estabilidad se llaman cadenas estacionarias de Markov La distribución inicial de probabilidad de una cadena de Markov es aquella q = [q1,...,qs] donde qi=P(X0=i) EJEMPLO: la ruina del jugador es una cadena de Markov estacionaria Estados: 0, 1, 2, 3, 4 Matriz de transición

La anterior matriz de transición se puede representar con un grafo en el que cada nodo representa un estado y cada arco la probabilidad de transición entre estados.

Gráfica: Esquema de una matriz de transición. Lección 2: DESCRIPCIÓN DE UNA CADENA DE MARKOV La probabilidad de pasar de un evento a otro se llama probabilidad de transición, para describir completamente una cadena de Markov es necesario saber el estado actual y todas las probabilidades de transición. Hay dos formas fáciles de exponer las probabilidades de transición: 1. DIAGRAMA DE ESTADOS: como el que muestra la figura, en ésta se ilustra un sistema de Markov con dos estados posibles: s1 y s2. La probabilidad condicional o de transición de moverse de un estado a otro se indica en el diagrama, por ejemplo la probabilidad de pasar del estado s1 al 6


estado s2 se señala como p12. Las flechas muestran las trayectorias de transición que son posibles. La ausencia de algunas trayectorias significa que esas trayectorias tienen probabilidad igual a cero.

2. MATRIZ DE TRANSICIÓN: Para el ejemplo anterior la matriz se muestra a continuación, nótese que, como existen dos estados posibles, se necesitan 2x2 = 4 probabilidades. También nótese que cada renglón de la matriz suma 1.esto se debe a que el sistema debe hacer una transición.

EJERCICIOS PRACTICOS 1. Teniendo en cuenta el siguiente diagrama de estados, describa la matriz de transición correspondiente.

2. teniendo en cuenta la siguiente matriz de transición describa el diagrama de estados correspondiente.

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3. Escriba las observaciones que puede hacer a partir del diagrama de estados o de la matriz de transición en cada caso. Lección 3: CÁLCULO DE LAS PROBABILIDADES DE TRANSICIÓN

Ahora que se sabe cómo presentar los datos, ¿ qué puede hacerse? Un análisis útil es pronosticar el estado del sistema después de 1, 2, 3, o más periodos. Esto se llama análisis de transición, debido a que es a corto plazo y está enfocado a periodos cortos. EJEMPLO: Considérese la siguiente cadena de Markov: una copiadora de oficina, poco segura. Si está funcionando un día, existe un 75% de posibilidades de que al día siguiente funcione y un 25% de posibilidades de que no funcione. Pero si no está funcionando, hay 75% de posibilidades de que tampoco funcione al día siguiente y sólo un 25% de que si lo haga (se lleva mucho tiempo la reparación) Para comenzar un análisis de transición, se deben conocer el estado actual. Supóngase que se está comenzando y que hay 75% de posibilidades de estar en el estado 1 y 25% de estar en el estado 2. Esto define el estado actual en forma probabilística. ¿Cuál es la probabilidad de que la copiadora al 4 día este funcionando? SOLUCION: ESTADOS: S1= La copiadora funcionando

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S2= La copiadora no funcionando

X0= Representa la proporción de objetos en cada estado al inicio del proceso (vector inicial de distribución probabilística) ESTADO ACTUAL X0= [X1, X2]= [0.75, 0.25] Para hallar la probabilidad de que la copiadora este funcionando al 4 día es necesario determinar las 3 probabilidades anteriores, ya que: X4= x3.p X3= x2.p X2= x1.p X1= x0.p Xn= x0.pn esta ecuación representa la proporción de objetos en el estado i que realizan la transición al estado j durante un período. Entonces las probabilidades para el primer ciclo se calcularían así:

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De esta forma se hallan las otras probabilidades de transición, el resultado final es:

Esto se puede interpretar asi: al cuarto día la probabilidad de funcionamiento de la copiadora es de 51.56% si ella estaba funcionando. asi mismo 48.43% de probabilidades de no funcionamiento.

TALLER 1. Dada la cadena de Markov siguiente:

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Encuentre las probabilidades de transición para los 5 ciclos siguientes, teniendo en cuenta que el sistema se encuentra en el estado 1.

2. Dada la siguiente matriz de tres estados.

a. dibuje el diagrama de estados. b. Encuentre las probabilidades de transición para los siguientes tres ciclos suponiendo el inicio en el estado B.

3. Un gerente de crédito estima que el 95% de aquellos que pagan sus cuentas a tiempo un mes, también lo harán el siguiente mes, sin embargo, de aquellos que se tardan, solo la mitad pagara a tiempo la próxima vez. a. Si una persona paga a tiempo. ¿Cuál es la probabilidad de que pagara a tiempo durante 6 meses desde ahora? Lección 4: CLASIFICACIÓN DE ESTADOS EN UNA CADENA DE MARKOV. Dados dos estados i y j, la trayectoria de i a j es la sucesión de transiciones que comienza en i y termina en j, de forma que cada transición de la secuencia tenga probabilidad positiva. Un estado j es alcanzable desde un estado i si hay una trayectoria de i a j, por lo tanto si dos estados i y j se comunican si i es alcanzable desde j y j es alcanzable desde i. 11


Un conjunto de estados S en una cadena de Markov es cerrado (constituyen una clase de la cadena) sin ningún estado fuera de S es alcanzable desde un estado en S. Un estado i es absorbente si pii=1 Un estado i es transitorio si hay un estado j alcanzable desde i, pero el estado i no es alcanzable desde j. Un estado es recurrente si no es transitorio. Un estado i es periódico con periodo k>1 si k es el menor número tal que todas las trayectorias que parten del estado i y regresan al estado i tienen una longitud múltiplo de k. Si un estado recurrente no es periódico es aperiódico. Si todos los estados de una cadena son recurrentes, aperiódicos y se comunican entre sí, la cadena es ergódica. ANÁLISIS DE ESTADO TRANSITORIO El comportamiento de una cadena de Markov antes de alcanzar el estado estable se llama comportamiento transitorio. Para su estudio se utiliza las fórmulas dadas anteriormente para Pi j(n). Lección 5: PROBABILIDADES DE ESTADO ESTABLE APLICACIÓN A LA ADMINISTRACIÓN E INGENIERIA Las compras de los consumidores están influidas por la publicidad, el precio y muchos otros factores. Con frecuencia un factor clave es la última compra del consumidor. Si por ejemplo, alguien compra un refrigerador maraca Y y le da un buen servicio, quedará predispuesto a comprar otro refrigerador marca Y. De hecho, una investigación de mercado puede determinar el grado de lealtad a la marca encuestando a los consumidores. En términos de una cadena de Markov, los resultados de la investigación son las probabilidades de transición de seguir con la marca o de cambiar. Ejemplo, cambio de marca, la marca A es la marca de interés y la marca B representa todas las demás marcas. Los clientes son bastante leales, el 12


80% de ellos son clientes que repiten. La oposición conserva el 70% de sus clientes. ¿ Qué información puede obtenerse con el análisis de Markov? Con el análisis de transición puede descubrirse que tan probable es que un cliente cambie después de cierto número de ciclos. Pero el análisis de estado estable es el más útil. ¿Qué interpretación daría usted del promedio a largo plazo de estar en cualquiera de los estados? ¡La de porcentajes de mercado! El promedio a la larga del estado A es el porcentaje de mercado que puede esperar recibir la marca A. Así, conociendo el grado de lealtad a la marca entre los clientes puede predecirse el porcentaje de mercado para el producto o servicio. El desarrollo o cálculo de las probabilidades de estado estable para el ejemplo anterior se realizan a continuación: Matriz de transición (cambio de marca) Marca A Marca B Marca A

0.8

0.2

Marca B

0.3

0.7

Las distribuciones de estado límite o estable representan las proporciones aproximadas de objetos en los diferentes estados de una cadena de Markov, después de un gran número de periodos. La matriz limite L tiene dos renglones idénticos, siendo la suma de sus componentes igual a la unidad. Se calculan utilizando la siguiente expresión: [ x1,x2].P = [ x1,x2] [ x1,x2]. 0.8 0.2 = [ x1,x2] 0.3 0.7 Resultan 2 ecuaciones: 0.8x1+0.3x2= x1 0.2x1+0.7x2= x2 13


Y una tercera ecuación, clave para hallar la solución del sistema es: X1+x2=1 De las dos primeras ecuaciones escogemos 1, pues las dos resultan ser la misma, para trabajarla con la tercera. Utilizamos cualquier método de solución de sistemas de ecuaciones, como reducción, igualación o sustitución. La solución del sistema es: X1= 0.6 X2= 0.4 Lo que significa que la marca A capturará a la larga el 60% del mercado y las otras marcas tendrán el 40%. Esta información puede ser útil en muchas formas. Una de ellas es al evaluar las diferentes estrategias de publicidad. Esta publicidad puede estar dirigida a los clientes actuales en un esfuerzo para incrementar la lealtad a la marca. De otra manera, puede dirigirse a los compradores de otras marcas con el fin de persuadirlos para cambiar. ¿Cómo debe asignarse un presupuesto de publicidad entre estas dos alternativas? El análisis de Markov puede proporcionar una respuesta si se dispone de cierta información adicional. TALLER 1. Dada la cadena de Markov siguiente:

Encuentre las probabilidades de estado estable.

2. Dada la siguiente matriz de tres estados. 14


Encuentre las probabilidades de estado estable.

3. Un gerente de crédito estima que el 95% de aquellos que pagan sus cuentas a tiempo un mes, también lo harán el siguiente mes, sin embargo, de aquellos que se tardan, solo la mitad pagara a tiempo la próxima vez. A la larga ¿Cuál es la proporción de cuentas pagadas a tiempo?

Lección 6: Aplicaciones

PROBLEMA RESUELTO Formúlese como una cadena de Markov el siguiente proceso. El fabricante de dentífrico Brillo controla actualmente 60% del mercado de una ciudad. Datos del año anterior muestran que 88% de consumidores de brillo continúan usándola, mientras que 12% de los usuarios de brillo cambiaron a otras marcas. Además, 85% de los usuarios de la competencia permanecieron leales a estas otras marcas, mientras que 15% restante cambió a brillo. Considerando que estas tendencias continúan, determínese la parte del mercado que corresponde a brillo: a) en 3 años, y b) a largo plazo. Se considera como estado 1 al consumo de brillo y al estado 2 como el consumo de una marca de la competencia. Entonces, p11, probabilidad de que un consumidor de brillo permanezca leal a brillo, es 0.88; p12, la probabilidad de que un consumidor de brillo cambie a otra marca es de 0.12;p21, probabilidad de que el consumidor de otra marca cambie a brillo, es 0.15; p22, probabilidad de que un consumidor de otra marca permanezca leal a la competencia, es 0.85. La matriz estocástica definida por estas probabilidades de transición es: 15


El vector inicial de distribución probabilística es X0 = ( 0.60, 0.40 ), donde los componentes x10 = 0.60 y x20 = 0.40 representan las proporciones de personas inicialmente en los estados 1 y 2, respectivamente. SOLUCIÓN: Las probabilidades para los primeros ciclos se calculan así:

según esto a brillo le corresponde en el primer año 58.8% del mercado, al segundo año 57.9% y al tercer año 57.26%. A largo plazo el proceso sería:

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Las distribuciones de estado límite o estable representan las proporciones aproximadas de objetos en los diferentes estados de una cadena de Markov, después de un gran número de periodos. La matriz limite L tiene dos renglones idénticos, siendo la suma de sus componentes igual a la unidad. Se calculan utilizando la siguiente expresión: [ x1,x2].P = [ x1,x2]

[ x1,x2]. 0.88 0.12 = [ x1,x2] 0.15 0.85 Resultan 2 ecuaciones: 0.88x1+0.15x2= x1 0.12x1+0.85x2= x2 Y una tercera ecuación, clave para hallar la solución del sistema es: X1+x2=1 De las dos primeras ecuaciones escogemos 1, pues las dos resultan ser la misma, para trabajarla con la tercera. Utilizamos cualquier método de solución de sistemas de ecuaciones, como reducción, igualación o sustitución. La solución del sistema es: X1= 0.55 X2= 0.45 Lo que significa que la marca brillo capturará a la larga el 55% del mercado y las otras marcas tendrán el 45%. Esta información puede ser utilizada para realizar campañas de publicidad encaminadas a mantener o mejor subir la fidelidad de los clientes antiguos y a ganar clientes nuevos. 17


PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1. Las uvas del valle de sonoma se clasifican como superiores, regulares o malas. Después de una cosecha superior, las probabilidades de tener durante el siguiente año una cosecha superior, regular o mala son de: 0, 0.8 y 0.2 respectivamente. Después de una cosecha regular, las probabilidades de que la siguiente cosecha sea superior, regular y mala son de 0.2, 0.6 y 0.2. Después de una mala cosecha, las probabilidades de una cosecha superior, regular y mala son de 0.1, 0.8 y 0.1. Determínense las probabilidades de una cosecha superior para cada uno de los siguientes cinco años. si la cosecha más reciente fue regular.

2.Una línea aérea con un vuelo a las 7:15 p.m entre la ciudad de Nueva York y la ciudad de washington,D.C; No desea que el vuelo salga retrasado dos días consecutivos. Si el vuelo sale retrasado un día, la línea aérea realiza un esfuerzo especial al día siguiente para que el vuelo salga a tiempo, y lo logra 90% de las veces. Si el vuelo no salió con retraso el día anterior, la linea aérea no realiza arreglos especiales, y el vuelo parte de acuerdo con lo programado el 60% de las veces. ¿ Que porcentaje de veces parte con retraso el vuelo?.

3. El departamento de comercialización de la marca X hizo una investigación y encontró que, si un cliente compro su marca, existe un 70% de posibilidades de que la compre de nuevo la próxima vez. por otro lado, si la última compra fue de otra marca, entonces se escoge la marca X solo el 20% del tiempo. ¿ Cuál es el porcentaje de mercado que puede pronosticarse a la larga para la marca X?.

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AREA: ESTADÍSTICA

Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería

CIENCIAS BÁSICAS CURSO:

UNIDAD: Cadenas de programación no lineal

Markov,

teoría

de

colas

y

CAPÍTULO: Cadenas de Markov Métodos probabilístico LECCIÓN: cálculo de las probabilidades de transición s

NUMERO DE LA PRÁCTICA NOMBRE DE LA PRÁCTICA NOMBRE DEL SOFTWARE Libre: ______x_____

2 Cadenas de Markov WinQsb Licenciado: _____________

Aspectos Teóricos: Las cadenas de Markov se incluyen dentro de los denominados procesos estocásticos. Dichos estudian el comportamiento de variables aleatorias a lo largo del tiempo X(t,w). Se definen como una colección de variables aleatorias {X(t,w), t  I}, donde X (t,w) puede representar por ejemplo los niveles de inventario al final de la semana t. El interés de los procesos estocásticos es describir el comportamiento de un sistema e operación durante algunos periodos.

Los procesos estocásticos se pueden clasificar atendiendo a dos aspectos: si el espacio de estados posibles de la variable aleatoria contiene valores discretos o continuos y de si los valores del tiempo son discretos o continuos.

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Las cadenas de Markov es un proceso estocástico en el que los valores del tiempo son discretos y los estados posibles de la variable aleatoria contienen valores discretos, es decir, es una cadena estocástica de tiempo discreto. Las cadenas de Markov Consiste en la aplicación de la programación dinámica a un proceso de decisión estocástico, en donde las probabilidades de transición entre estado están descritas por una cadena de Markov. La estructura de recompensas del proceso está descrita por una matriz cuyos elementos individuales son el costo o el beneficio de moverse de un estado a otro. Las matrices de transición y de recompensas dependen de las alternativas de decisión. El objetivo es determinar la política óptima que maximice el ingreso esperado en un número finito o infinito de etapas. Las cadenas de Markov, se clasifican, además, dentro de los procesos estocásticos de Markov, que son aquellos en el que el estado futuro de un proceso es independiente de los estados pasados y solamente depende del estado presente. Por lo tanto las probabilidades de transición entre los estados para los tiempos k-1 y k solamente depende de los estados que la variable adquiere dichos tiempos. La idea es determinar las probabilidades de ocurrencia de eventos que dependen de las probabilidades de ocurrencia del evento anterior y también más importante poder determinar las probabilidades a largo plazo de los eventos. Ejemplo 1: Una copiadora que hoy se encuentra funcionando tiene una probabilidad de que el día de mañana funcione correctamente de 65%. Pero si la copiadora hoy no está funcionando existe un 40% de probabilidades de que mañana funcione. Nos interesa determinar en esta cadena de Markov las probabilidades de encontrar la copiadora funcionando después de 1 o varios días, teniendo en cuenta que como estado inicial vamos a suponer que la copiadora está funcionando hoy. También determinaremos las probabilidades de estado estable que significan las probabilidades de encontrar la copiadora funcionando después de n ciclos que en nuestro caso son días.

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Solución: Utilice el modulo del winqsb titulado: Markov process Luego seleccione file:

Nos dará la opción de elegir new problem, para introducir los datos de un nuevo ejercicio. Luego nos aparece el siguiente pantallazo, en donde vamos a darle un titulo al problema y colocamos también el número de estados, para nuestro ejemplo serán 2(la copiadora funcionando y la copiadora no funcionando) y le damos ok.

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Al darle ok nos dara la opción de introducir los datos del ejercicio, que corrersponden a la matriz de transición. En este caso es: S1: Estado 1, la copiadora funcionando S2: Estado 2, la copiadora no funcionando Matriz de transición S1 S1 S2

0,65 0,40

S2 0,35 0,60

Entonces

Hay que resaltar que se debe colocar las probabilidades iniciales, en nuestro caso las que corresponden al estado 1, según el enunciado del ejercicio. 22


Luego procedemos a resolver utilizando solve and analyse encontramos en la barra superior y elegimos markov process step Obtenemos la siguiente tabla:

que

En esta casilla se coloca el numero de periodos que se quieren proyectar, en este caso colocamos 1. El resultado que obtenemos 0,5625 corresponde a la probabilidad de encontrar funcionando la copiadora al dia siguiente y 0,4375 de no estar funcionando si tenemos en cuenta que la copiadora inicio funcionando. Bastaria con variar este número para calcular las probabilidades de 2,3, 0 más periodos. Asi mismo hallamos la probabilidad de estado estable asignando por ejemplo el valor de 100 o eligiendo la opción steady state, que para nuestro ejemplo nos daria los siguientes resultados:

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Los que indica la flecha, es decir que a la larga la probabilidad de encontrar la copiadora funcionando es de 53,33% y de no estar funcionando de 46,66%. Es de anotar que para el cálculo de estas probabilidades no se necesita de un estado inicial, sea el valor que fuera nos daría a largo plazo el mismo resultado. Ejercicios de aplicación 1. En un pueblo, al 90% de los días soleados le siguen días soleados, y al 80% de los días nublados le siguen días nublados. Con esta información modelar el clima del pueblo como una cadena de Markov. Determinar la probabilidad de tener un día soleado al tercer día si hoy tenemos un día nublado. A largo plazo ¿cuál es la probabilidad de tener días soleados? 2. Un agente comercial realiza su trabajo en tres ciudades A, B y C. Para evitar desplazamientos innecesarios está todo el día en la misma ciudad y allí pernocta, desplazándose a otra ciudad al día siguiente, si no tiene 24


suficiente trabajo. Después de estar trabajando un día en C, la probabilidad de tener que seguir trabajando en ella al día Siguiente es 0,4, la de tener que viajar a B es 0,4 y la de tener que ir a A es 0,2. Si el viajante duerme un día en B, con probabilidad de un 20% tendrá que seguir trabajando en la misma ciudad al día siguiente, en el 60% de los casos viajará a C, mientras que irá a A con probabilidad 0,2. Por último si el agente comercial trabaja todo un día en A, permanecerá en esa misma ciudad, al día siguiente, con una probabilidad 0,1, irá a B con una probabilidad de 0,3 y a C con una probabilidad de 0,6. a) Si hoy el viajante está en C, ¿cuál es la probabilidad de que también tenga que trabajar en C al cabo de cuatro días? b) ¿Cuales son los porcentajes de días en los que el agente comercial está en cada una de las tres ciudades?

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CAPITULO 4: MODELOS DE LÍNEAS DE ESPERA CONCEPTOS GENERALES

Con el objeto de verificar si una situación determinada del sistema de líneas de espera se ajusta o no a un modelo conocido, se requiere de un método para clasificar las líneas de espera. Esa clasificación debe de responder preguntas como las siguientes: 1.-¿ El sistema de líneas de espera tiene un solo punto de servicio o existen varios puntos de servicio en secuencia? 2.-¿Existe solo una instalación de servicio o son múltiples las instalaciones de servicio que pueden atender a una unidad? 3.- ¿ Las unidades que requieren el servicio llegan siguiendo algún patrón o llegan en forma aleatoria? 4.- ¿El tiempo que requieren para el servicio se da en algún patrón de o asume duraciones aleatorias de tiempo? INTRODUCCIÓN En muchas ocasiones en la vida real, un fenómeno muy común es la formación de colas o líneas de espera. Esto suele ocurrir cuando la demanda real de un servicio es superior a la capacidad que existe para dar dicho servicio. Ejemplos reales de esa situación son: los cruces de dos vías de circulación, los semáforos, el peaje de una autopista, los cajeros automáticos, la atención a clientes en un establecimiento comercial, la avería de electrodomésticos u otro tipo de aparatos que deben ser reparados por un servicio técnico, etc todavía más frecuentes, si cabe, son las situaciones de espera en el contexto de la informática, las telecomunicaciones y, en general, las nuevas tecnologías. Así, por ejemplo, los procesos enviados a un servidor para ejecución forman colas de espera mientras no son atendidos, la información solicitada, a través de Internet, a un servidor Web puede recibirse con demora debido a congestión en la red o en el servidor propiamente dicho, podemos recibir la señal de líneas ocupadas si la central de la que depende nuestro teléfono móvil está colapsada en ese momento, etc. JUSTIFICACION La teoría de las colas se ocupa del análisis matemático de los fenómenos de las líneas de espera o colas. Las colas se presentan con frecuencia cuando 26


de solicita un servicio por parte de una serie de clientes y tanto el servicio como los clientes son de tipo probabilístico. La teoría de las colas no pretenden en ningún momento resolver directamente el problema de la espera en colas sino mas bien describe la situación que presenta una cola a través del tiempo y extrae lo que bien se podría llamar las características operacionales de la cola. Alguna de estas características son el número promedio de clientes en la cola, su tiempo de espera en la cola, el porcentaje de tiempo que el despachador esta ocupado, etc. Debido al carácter básico de estas teorías nos limitaremos a hacer una exposición de los modelos mas elementales sin entrar estrictamente a considerar la labor de optimización de los sistemas que representan. OBJETIVOS

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Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el costo global del mismo.



Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo.



Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio.



Hay que prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola: la “paciencia” de los clientes depende del tipo de servicio específico considerado y eso puede hacer que un cliente “abandone” el sistema.

Lección 7: TEORIA DE LÍNEAS DE ESPERA El origen de la Teoría de Colas está en el esfuerzo de Agner Kraup Erlang (Dinamarca, 1878 - 1929) en 1909 para analizar la congestión de tráfico telefónico con el objeto de acatar la demanda incierta de servicios en el sistema telefónico de Copenhague. Sus investigaciones acabaron en una nueva teoría denominada teoría de colas o de líneas de espera. Esta teoría es ahora una herramienta de valor en negocios debido a que un gran número de problemas pueden caracterizarse, como problemas de congestión llegada-salida.

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La teoría de colas es considerada el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera, ya que se presenta, cuando los “clientes” llegan a un “lugar” solicitando un servicio a un “servidor”, el cual tiene una indiscutible capacidad de atención. Si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma la línea de espera. Una línea de espera es considerada una cola y la teoría de colas es una compilación de modelos matemáticos que detallan sistemas de línea de espera particulares o sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre costes del sistema y los tiempos promedio de la línea de espera para un sistema dado. Los sistemas de colas son modelos de sistemas que proporcionan servicio. Como modelo, pueden representar cualquier sistema en donde los trabajos o clientes llegan buscando un servicio de algún tipo y salen después de que dicho servicio haya sido atendido. Podemos modelar los sistemas de este tipo tanto como colas sencillas o como un sistema de colas interconectadas formando una red de colas. En la siguiente figura podemos ver un ejemplo de modelo de colas sencillo. Este modelo puede usarse para representar una situación típica en la cual los clientes llegan, esperan si los servidores están ocupados, son servidos por un servidor disponible y se marchan cuando se obtiene el servicio requerido. El problema es determinar qué capacidad o tasa de servicio proporciona el balance correcto. Esto no es sencillo, ya que un cliente no llega a un horario fijo, es decir, no se sabe con exactitud en que momento llegarán los clientes. También el tiempo de servicio no tiene un horario fijo. Los problemas de “colas” se presentan permanentemente en la vida diaria: un estudio en EEUU concluyó que, por término medio, un ciudadano medio pasa cinco años de su vida esperando en distintas colas, y de ellos casi seis meses parado en los semáforos.

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LECTURA AUTOREGULADA UNA VISITA A DISNEY ¿Qué tan popular es Disney World en Orlando, Florida? Desde que abrió en 1971, 200 millones de personas han visitado Disney World, y esperan en filas Para tener acceso a sus muchas atracciones. Lo administración de Disney Pone mucha atención a la forma en que trata a sus clientes mientras esperan en las colas. En la ciencia de la administración. Las filas se conocen a menudo como colas, y la teoría de colas se aplica a muchas estructuras diferentes- En Disney world, por ejemplo, los visitantes forman una fila para tener acceso al paseo con el Capitán Nemo, mientras que los mismos submarinos del Capitán Nomo hacen cola mientras bajan y suben, a los pasajeros - Qué también atiende las filas y a las personas es algo crítico para el negocio de Disney, Norm Doerges, directora de Epcot (que es parte de Disney World). analiza cómo Epcot fue diseñada. Primero, los investigadores de Disney recolectaron datos acerca del modo en que las personas pasan su tiempo en el parque. ¿Cuánto tiempo esperan en una fila? ¿Cuánto tiempo realmente invierten en las atracciones? ¿Cuánto tiempo pasan comiendo? ¿Cuánto tiempo les lleva decidirse sobre qué hacer a continuación? Segundo, Disney pide a sus clientes su opinión acerca de cuánto tiempo estañan dispuestos a esperar para tener acceso a las diferentes atracciones y servicios. Los diseñadores deo Epcot entonces construyeron un modelo para simular sucesos y el flujo de tráfico en el parque. teniendo en mente la eliminación de las esperas largas. Tomar en consideración las necesidades de los clientes en la etapa de diseño, significa que Epcot podría evitar el hacer cambios caros a gran escala en el parque después de que fuera construido. PREGUNTAS SOBRE EL CASO 1. ¿Cuánto tiempo estaban dispuestos a esperar los clientes de Disney World para tener acceso a las atracciones más populares? ¿Qué factores influyeron en sus decisiones? 2. Comente sobre la forma en que Disney revisa sus colas y con qué frecuencia lo hace. 3. ¿Qué tipos de datos objetivos y subjetivos recaba Disney para su modelo de simulación? Más allá del caso 29


1. ¿Por qué los supermercados no utilizan el sistema de una sola fila que se ve en la mayoría da los bancos? 2 ¿Qué ahorro en costos pueden resultar del uso de un modelo de colas para decidir cuántos servidores controladores, cajeros, etcétera) tener trabajando?

Lección 8: ANTECEDENTES ANTECEDENTES El origen de la Teoría de Colas está en el esfuerzo de Agner Kraup Erlang (Dinamarca, 1878 - 1929) en 1909 para analizar la congestión de tráfico telefónico con el objetivo de cumplir la demanda incierta de servicios en el sistema telefónico de Copenhague. Sus investigaciones acabaron en una nueva teoría denominada teoría de colas o de líneas de espera. Esta teoría es ahora una herramienta de valor en negocios debido a que un gran número de problemas pueden caracterizarse, como problemas de congestión llegada-salida. En los problemas de formación de cola, a menudo se habla de clientes, tales como personas que esperan la desocupación de líneas telefónicas, la espera de máquinas para ser reparadas y los aviones que esperan aterrizar y estaciones de servicios, tales como mesas en un restaurante, operarios en un taller de reparación, pistas en un aeropuerto, etc. Los problemas de formación de colas a menudo contienen una velocidad variable de llegada de clientes que requieren cierto tipo de servicio, y una velocidad variable de prestación del servicio en la estación de servicio. Cuando se habla de líneas de espera, se refieren a las creadas por clientes o por las estaciones de servicio. Los clientes pueden esperar en cola simplemente porque los medios existentes son inadecuados para satisfacer la demanda de servicio; en este caso, la cola tiende a ser explosiva, es decir, a ser cada vez más larga a medida que transcurre el tiempo. Las estaciones de servicio pueden estar esperando por que los medios existentes son excesivos en relación con la demanda de los clientes; en este caso, las estaciones de servicio podrían permanecer ociosas la mayor parte del tiempo. Los clientes puede que esperen temporalmente, aunque las instalaciones de servicio sean adecuadas, por que los clientes llegados anteriormente están siendo atendidos. Las estaciones de servicio pueden encontrar temporal cuando, aunque las instalaciones sean adecuadas a largo plazo, haya una escasez ocasional de demanda debido a un hecho temporal. Estos dos últimos casos tipifican una situación equilibrada que tiende constantemente hacia el equilibrio, o una 30


situación estable. En la teoría de la formación de colas, generalmente se llama sistema a un grupo de unidades físicas, integradas de tal modo que pueden operar al unísono con una serie de operaciones organizadas. La teoría de la formación de colas busca una solución al problema de la espera prediciendo primero el comportamiento del sistema. Pero una solución al problema de la espera consiste en no solo en minimizar el tiempo que los clientes pasan en el sistema, sino también en minimizar los costos totales de aquellos que solicitan el servicio y de quienes lo prestan. La teoría de colas incluye el estudio matemático de las colas o líneas de espera y provee un gran número de modelos matemáticos para describirlas. Se debe lograr un balance económico entre el costo del servicio y el costo asociado a la espera por ese servicio. La teoría de colas en sí no resuelve este problema, sólo proporciona información para la toma de decisiones.

Lección 9: CARACTERÍSTICAS DE UN SISTEMAS DE COLAS

Población de Clientes: Conjunto de todos los clientes posibles de un sistema de colas Proceso de llegada: La forma en que los clientes de la población llegan a solicitar un servicio Proceso de colas: La forma en que los clientes esperan a que se les dé un servicio Disciplina de colas: La forma en que los clientes son elegidos para proporcionarles un servicio. Proceso de servicio: Forma y rapidez con que son atendidos los clientes Proceso de Salida: Forma en que los productos o los clientes abandonan un sistema de colas Sistema de colas de un paso: Sistema en el cual los productos o los clientes abandonan el sistema después de ser atendidos en un solo centro o estación de trabajo. Red de colas: 31


Sistema en el que un producto puede proceder de una estación de trabajo y pasar a otra antes de abandonar el sistema.

ELEMENTOS EXISTENTES EN UN MODELO DE COLAS 32


Fuente de entrada o población potencial: Es un conjunto de individuos (no necesariamente seres vivos) que pueden llegar a solicitar el servicio en cuestión. Podemos considerarla finita o infinita. Aunque el caso de infinitud no es realista, sí permite (por extraño que parezca) Resolver de forma más sencilla muchas situaciones en las que, en realidad, la población es finita pero muy grande. Dicha suposición de infinitud no resulta restrictiva cuando, aún siendo finita la población potencial, su número de elementos es tan grande que el número de individuos que ya están solicitando el citado servicio prácticamente no afecta a la frecuencia con la que la población potencial genera nuevas peticiones de servicio. Cliente: Es todo individuo de la población potencial que solicita servicio. Suponiendo que los tiempos de llegada de clientes consecutivos son 0

La disciplina FIFO (first in first out), también llamada FCFS (first come first served): según la cual se atiende primero al cliente que antes haya llegado. La disciplina LIFO (last in first out), también conocida como LCFS (last come first served) o pila: que consiste en atender primero al cliente que ha llegado el último. La RSS (random selection of service), o SIRO (service in random order), que selecciona a los clientes de forma aleatoria. Mecanismo de servicio: Es el procedimiento por el cual se da servicio a los clientes que lo solicitan. para determinar totalmente el mecanismo de servicio debemos conocer el número de servidores de dicho mecanismo (si dicho número fuese aleatorio, la distribución de probabilidad del mismo) y la distribución de probabilidad del tiempo que le lleva a cada servidor dar un servicio. En caso de que los servidores tengan distinta destreza para dar el servicio, se debe especificar la distribución del tiempo de servicio para cada uno. La cola: Es el conjunto de clientes que hacen espera, es decir los clientes que ya han solicitado el servicio pero que aún no han pasado al mecanismo de servicio. El sistema de la cola: Es el conjunto formado por la cola y el mecanismo de servicio, junto con la disciplina de la cola, que es lo que nos indica el criterio de qué cliente de la cola elegir para pasar al mecanismo de servicio. Un modelo de sistema de colas debe especificar la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio para cada servidor. La distribución más usada para los tiempos de servicio es la exponencial, aunque es común encontrar la distribución degenerada o determinística (tiempos de servicio constantes) o la distribución Erlang (Gamma).

Lección 10: MEDIDAS DE RENDIMIENTO MEDIDAS DE RENDIMIENTO PARA EVALUAR UN SISTEMA DE COLAS Valor numérico que se utiliza para evaluar los meritos de un sistema de colas en estado estable. 34


CONDICIONES: 1. Población de clientes infinita. 2. un proceso de colas que consiste en una sola línea de espera de capacidad infinita, con una disciplinas de colas de primero en entrar primero en salir. FIFO. 3. un proceso de servicio que consiste en un solo servidor que atiende a los clientes de acuerdo con una distribución infinita. FORMULAS:



Taza de Llegada: número promedio de llegad por unidad de tiempo (λ).



Taza de Servicio: número promedio de clientes atendidos por unidad de tiempo (μ).



Utilización: probabilidad de hallar el sistema ocupado.

U=p p=λ/μ Probabilidad de que hayan clientes en el sistema o que el sistema este ocioso. Po = 1-p Probabilidad de que hayan clientes en el sistema. Pn = pn *po Número Promedio en Filas: número promedio de clientes que se encuentran esperando en la fila para su atención. Lq = λ2 / μ (μ-λ) Número Promedio en el Sistema: número promedio de clientes que se encuentran en el sistema. L = λ (μ-λ) Tiempo Promedio en la Cola: tiempo promedio de un cliente que llega tiene que esperar en la cola antes de ser atendidos. Wq = λ / μ (μ-λ) tiempo Promedio en el Sistema: tiempo promedio que un cliente invierte desde su llegada hasta su salida. 35


Wq = 1 (μ-λ)

FÓRMULAS PARA CALCULAR LAS MEDIDAS DE RENDIMINTO DE UN SISTEMAS DE COLAS M/M/1

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Lección 11: ANÁLISIS DE COSTOS 37


ANALISIS DE COSTOS DEL SISTEMA DE COLAS Al analizar los méritos de contratar personal de reparación adicional en Bavaria , usted debería identificar dos componentes importantes:

Para seguir adelante, necesita ahora conocer el costo por hora de cada Miembro del personal de reparación (denotado con C8) y el costo por hora de Una máquina fuera de operación (denotado por CW), que es el costo de una hora de producción perdida. Suponga que el departamento de contabilidad le informa que cada reparador le cuesta a la compañía $50 por hora, incluyendo impuestos, prestaciones, etc. El costo de una hora de producción perdida deberá incluir costos explícitos, como la contabilidad de ganancias no obtenidas, y costos implícitos, como la perdida de voluntad por parte del cliente si no se cumple con la fecha limite de la entrega. Estos costos implícitos son difíciles de estimar. Sin embargo suponga que el departamento de contabilidad estima que la compañía pierde $ 100 por cada hora que una máquina esté fuera de operación. Ahora ya puede calcular un costo total para cada uno de los tamaños de personal. Para un personal de siete reparadores, el número esperado de máquinas en el sistema es 12.0973, de modo que:

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Realizando cálculos parecidos para cada uno de los tamaños de personal restantes se tiene como resultado los costos por hora de cada alternativa que presentamos en la siguiente tabla: Costos por hora para diferentes tamaños de personal de reparación de la empresa Bavaria

De los resultados, usted puede ver que la alternativa que tiene menor costo por hora, $ 1128.63, es tener un total de nueve reparadores. En consecuencia, su recomendación a la gerencia de producción de la empresa X, es contratar a dos reparadores adicionales. Estor dos nuevos empleados tendrán un costo de $100 por hora, pero este costo adicional está más que justificado por los ahorros que se tendrán con menos máquinas fuera de 39


operación. La recomendación reducirá el costo por hora de $ 1559.73 a $ 1128.63, un ahorro de aproximadamente $ 430 por hora, mayor que la cantidad que cubre sus honorarios. CARACTERÍSTICAS CLAVES En resumen, para evaluar un sistema de colas en el que controla el número de servidores o su tasa de servicio, se necesitan las siguientes estimaciones de costos y medidas de rendimiento: 

El costo por servidor por unidad de tiempo (C8).



El costo por unidad de tiempo por cliente esperando en el sistema (Cw).



El número promedio de clientes en el sistema (L).

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EJEMPLO DESARROLLADO La Concesión Neiva – Bogotá, tiene unas estaciones para el pesado de camiones cerca de sus peajes, para verificar que el peso de los vehículos cumpla con las regulaciones viales. La administración de la Concesión está considerando mejorar la calidad del servicio en sus estaciones de pesado y ha seleccionado una de sus estaciones como modelo a estudiar antes de instrumentar los cambios. La administración desea analizar y entender el desempeño del sistema actual durante las horas pico, cuando llega a la báscula el mayor número de camiones, suponiendo que el sistema puede desempeñarse bien durante este periodo, el servicio en cualquier otro momento será aún mejor. Para estimar las tasas promedio de llegada y de servicio en la estación, los datos disponibles que la gerencia determina para los valores son: λ = número promedio de camiones que llegan por hora = 60 μ = número de camiones que pueden ser pesados por hora = 66 El valor de μ = 66 es mayor que el de λ = 60, de modo que es posible hacer el análisis de estado estable de este sistema. Solución: La intensidad de tráfico es: p = λ / μ = 60 / 66 = 0.9091 Mientras más cerca esté p de 1, más cargado estará el sistema, lo cual tiene como resultados colas más larga y tiempos de espera más grandes. En términos de p, λ y μ las medidas de rendimiento, para el problema de la concesión, se calculan de la siguiente manera: 1. Probabilidad de que no hayan clientes en el sistema (Po): Po = 1 – p= 1 – 0.9091= 0.0909 Este valor indica que aproximadamente 9% del tiempo un camión que llega no tiene que esperar a que se le proporcione el servicio porque la estación de pesado está vacía. Dicho de otra manera aproximadamente 91% del tiempo un camión que llega tiene que esperar. 2. Número promedio en la fila (Lq): Lq = p2/ 1 – p= (0.9091)2 / 1 – 0.9091= 9.0909 En promedio la estación de pesado puede esperar tener aproximadamente nueve camiones esperando para obtener el servicio (sin incluir al que se 41


está pesando) Cuando ya se ha determinado un valor para Lq se pueden calcular los valores de Wq , W, y L , así: 3. Tiempo promedio de espera en la cola (Wq ) Wq = Lq / μ= 9.0909 / 60= 0.1515 Este valor indica, que en promedio un camión tiene que esperar 0.1515 horas, aproximadamente 9 minutos, en la fila, antes de que empiece el proceso de pesado. 4. Tiempo promedio de espera en el sistema (W) W = Wq + 1 / λ= 0.1515 + 1 / 66= 0.1667 Este valor indica, que en promedio, un camión invierte 0.1667 horas, 10 minutos, desde que llega hasta que sale. 5 Número promedio en el sistema ( L ) L = λ * W= 60 * 0.1667= 10 Este valor indica, que en promedio, existe un total de 10 camiones en la estación de pesado, ya sea en la báscula o esperando ser atendidos. 6 Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar ( Pw ) : pw = 1 – Po = p= 0.9091 Este valor, como se estableció en el paso 1, indica que aproximadamente 91% del tiempo un camión que llegue tiene que esperar. 7 Probabilidad de que haya n clientes en el sistema ( Pn ) : Pn = p n * Po Al utilizar esta fórmula se obtienen las siguientes probabilidades: n pn 0 0.0909 1 0.0826 2 0.0759 3 0.0684 . . . . Esta tabla proporciona la distribución de probabilidad para el número de camiones que se encuentran en el sistema. Los números que aparecen en la tabla se pueden utilizar para responder una pregunta como: ¿Cuál es la probabilidad de que no hayan más de tres camiones en el sistema?, en este caso, la respuesta de 0.3169 se obtiene mediante la suma de las primeras cuatro probabilidades de la tabla, para n = 0, 1, 2 y 3. 42


8 Utilización ( U ) : U = p= 0.9091 Este valor indica que aproximadamente 91% del tiempo las instalaciones de pesado están en uso (un camión está siendo pesado). De manera equivalente, aproximadamente 9% del tiempo la estación está sin funcionar, sin que haya camiones que se estén pesando.

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CAPITULO 5 PROGRAMACIÓN NO LINEAL

Lección 12: Conceptos generales INTRODUCCIÓN Una suposición importante de programación lineal es que todas sus funciones Función objetivo y funciones de restricción son lineales. Aunque, en esencia, esta suposición se cumple para muchos problemas prácticos, es frecuente que no sea así. De hecho, muchos economistas han encontrado que cierto grado de no linealidad es la regla, y no la excepción, en los problemas de planeación económica, por lo cual, muchas veces es necesario manejar problemas de programación no lineal de una manera general, el problema de programación no lineal consiste en encontrar x = ( x1,x2,....xn ) para maximizar f(x), sujeta a: g(x) bi, para i= 1, 2,3....m y x 0 en donde f(x) y las g(x) son funciones dadas de n variables de decisión. No se dispone de un algoritmo que resuelva todos los problemas específicos que se ajustan a este formato. Sin embargo, se han hecho grandes logros en lo que se refiere a algunos casos especiales, haciendo algunas suposiciones sobre las funciones, y la investigación sigue muy activa. En este caso se destaca el estudio de optimización en una variable sin restricciones de la forma: Optimizar z = f(x) Donde f es función no lineal de x y la optimización se realiza en (-∞, ∞). Si la búsqueda se circunscribe a un sub. Intervalo finito [a, b] el problema es de optimización no lineal restringida y se transforma a optimizar z = f(x) con la condición a x b. Optimización no lineal multivariable Es el caso análogo al anterior, pero en el caso en que la función f es de más de una variable, es decir: Optimizar z = f(X) donde X = [x1, x2, ..., xn]T Si existen las restricciones Gi(X) = 0 Es un problema no lineal multivariable restringido. Ejemplo Una Compañía desea construir una planta que recibirá suministros desde tres ciudades A, B, C, tomando como origen la ciudad A, B tiene 44


coordenadas (300 km. al Este,400 Km. al Norte), y C tiene coordenadas (700 Km. al Este, 300 Km. al norte) respecto de A. La posición de la planta debe estar en un punto tal que la distancia a los puntos A, B y C sea la mínima. sean x1 y x2 las coordenadas desconocidas de la planta respecto de A. Utilizando la fórmula de la distancia, debe minimizarse la suma de las distancias

No hay restricciones en cuanto a las coordenadas de la planta ni condiciones de no negatividad, puesto que un valor negativo de x1 significa que la planta se localiza al Oeste del punto A. La ecuación es un programa matemático no lineal in restricciones. Veamos ahora algunos casos de programación no lineal comunes de encontrar:

Lección 13: PROGRAMACIÓN CUADRÁTICA Es un caso particular de programación matemática no lineal. Un programa Matemático en el cual cada restricción gi es lineal pero el objetivo es cuadrático se Conoce como programa cuadrático, es decir f(x1,x2,..,xn) = S i=1,nS j=1,n cijxixj + S i=1,ndixi Ejemplo Minimizar z = x12+X22 Con las condiciones x1 - x2 = 3 X2 3 Donde ambas restricciones son lineales, con n = 2 (dos variables) c11 = 1; c12 = c21 = 0; c22 = 1 y d1 = d2 = 0. Lección 14: MULTIPLICADORES DE LAGRANGE -CONDICIONES KUNH TUCKER MULTIPLICADORES DE LAGRANGE. 45


Se pueden utilizar los multiplicadores de Lagrange para resolver los problemas no lineales en los cuales las restricciones son igualdades. Consideramos los del tipo siguiente: max(o min) z= f(x1,x2,.....xn..) s.a g1( x1,x2,.....xn..)= b1 g2( x1,x2,.....xn..)= b2 gm( x1,x2,.....xn..)= bm para resolverlo, asociamos un multiplicador L1 con la i-esima restricción y fórmamos el lagrangiano.

Lección 15: TÉCNICA DEL GRADIENTE

TÉCNICAS DE GRADIENTE. En este punto se desarrolla un método para optimizar funciones continuas que son dos veces diferenciables. La idea general es generar puntos sucesivos comenzando en un punto inicial dado, en la dirección del aumento más rápido maximización) de la función. Está técnica se conoce como método del gradiente porque el gradiente de la función en un punto es lo que indica la tasa más rápida de aumento.

Lección 16: MÉTODO DE NEWTON- RAPHSON EL MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON. Una desventaja de utilizar la condición necesaria f(x)= 0 para determinar puntos estacionarios es la dificultad de resolver numéricamente las ecuaciones simultáneas resultantes. El método de Newton-Raphson es un procedimiento iterativo para resolver ecuaciones simultáneas no lineales. Aunque el método se presenta en este contexto, realmente es parte de los 46


métodos conocidos como métodos de gradiente numéricamente funciones no restringidas, irrestrictas.

para

optimizar

fi (X) =0, i=1, 2, ..., m se Xk un punto dado. Entonces por el desarrollo de Taylor fi(X)= fi (Xk ) + fi(Xk) (X-Xk) , i= 1, 2, ...., m Por consiguiente, las condiciones originales pueden aproximarse por fi (Xk) + fi (Xk) (X-Xk) = 0 , i= 1, 2, ...., m Estas ecuaciones pueden escribirse en notación matricial como Ak + Bk (X X k) = 0 Bajo la hipótesis de que todas las fi(X) son independientes Bk necesariamente es no singular. Por consiguiente, la última ecuación proporciona X = X k -Bk-1Ak La idea del método es comenzar desde un punto inicial X0. Utilizando la ecuación anterior, siempre puede determinarse un nuevo punto X k+1a partir de Xk. El procedimiento finaliza con Xm como la solución cuando Xm = Xm-1 .

ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD

TALLER En los siguientes ejercicios identifique y describa los siguientes aspectos del escenario de colas: a. Los clientes y los servidores b. La población de clientes y su tamaño c. El proceso de llegada y los parámetros adecuados para la distribución de llegadas d. El proceso y la disciplina de colas e. Proceso de servicios y los parámetros adecuados para la distribución tiempo - servicio

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1. La división de mantenimiento de las Empresas Públicas de Neiva está tratando de decidir cuántos reparadores necesita tener para proporcionar un nivel aceptable de servicios a sus clientes. Las quejas llegan a un centro de servicios de acuerdo con una distribución exponencial, con una tasa promedio de 20 llamadas al día. El tiempo que tarda un técnico reparador en llegar al lugar donde se le llamó, resolver el problema y regresar también sigue una distribución exponencial, con un promedio de 3 horas y 30 minutos. 2. El gerente del Supermercado La Sexta desea determinar el número mínimo de cajeros que necesita para atender a los clientes que llegan a la hora del almuerzo. El tiempo promedio entre la llegada de dos clientes es de 2 minutos, pero el tiempo real entre llegadas sigue una distribución exponencial. Cada cajero puede atender un promedio de 12 clientes por hora, pero el tiempo de atención a cada cliente varía de acuerdo a una distribución exponencial. 3. El portaaviones de Aires tiene un complemento de 80 aviones. Después de operaciones de rutina, los aeroplanos son llevados de la cubierta de vuelo a una cubierta inferior, dos a la vez. El recorrido en elevador de una cubierta a otra dura 20 segundos y se necesitan diez segundos para cargar y descargar una aeronave del elevador. Los elevadores llegan al elevador de la cubierta de vuelo cada 30 segundos.

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FUENTES DOCUMENTALES DE LA UNIDAD 2 BIBLIOGRAFÍA ● Álvarez A. Jorge Investigación de Operaciones. Programación Lineal. Editorial. U.N.I.Lima 1995. ● Prawda W. Juan Métodos y Modelos de Investigación de Operaciones. Tomo I: Modelos Deterministicos. Editorial Limusa. Quinta Edición. México 2001. ● Taha Hamdy A. Investigación de Operaciones. Una Introducción. Editorial Prentice Hall. Séptima Edición. México 2000. ● Instituto Tecnológico de “Introducción a la Investigación de Operaciones”. Sonora, México. Abril 2007

● Programa Nacional de TIC, “Capítulo 8: Programación Ministerio de Educación y Ciencia, España. Set. 2007

Lineal”.

● Dr. Ing. Franco Bellini M, “Curso de Investigación de Operaciones”. Universidad Santa Maria. Caracas – Venezuela. Ago.2005

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Lectura Unidad 2 Metodos Probabilisticos

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