Libro -Investigacion de operaciones 2

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Matemáticas

INVESTIGACIÓN OPERATIVA II TEORÍA Y EJERCICIOS

Lucio Malásquez Ruiz Ciudad Universitaria 2016

Investigación Operativa II – Lucio Lucio Malásquez Ruiz

ÍNDICE 1. Teoría de decisiones ................................................................................ 3 pág. 1.1 Introducció Intro ducción n.................................. ................. .................................. .................................. .................................. ................. 4 pág. 1.2 Definiciones ..................................................................................... 5 pág. 1.3 Tipología de la toma de decisiones................. decisiones.......................... .................. .................. ............... ......7 pág. 1.4 Fases de la toma de decisiones .......................... ................................... ................... .................. ........ 10 pág. 1.5 Decisiones en condiciones de certeza ...................... ............................... ................... ............ .. 11 pág. 1.6 Decisiones en condiciones de rie sgo o incertidumbre incer tidumbre .................. ..................12 12 pág. 1.7 Ejercicios ........................................................................................ 33 pág. 2. Programación Pert - Cpm ..................................................................... 53 pág. 2.1 Programación Pert - Cpm............................................................... 54 pág. 2.2 El Grafo Pert – Cpm en la planificación de proyectos ................... ...................58 58 pág. 2.3 Duración de una actividad ............................................................. 76 pág. 2.4 Costos y duración optima de un proyecto en el sistema Pert-Cpm ......101 pág. 2.5 Ejercicios ...................................................................................... 113 pág. 3. Teoría de Inventarios .......................................................................... 128 pág. 3.1 Introducció Intro ducción n.................................. ................. .................................. .................................. .............................. ............. 129 pág. 3.2 Objetivo del problema de inventarios ............... ........................ .................. ................. ........130 pág. 3.3 Características de los sistemas de inventarios ................... ............................ .........131 pág. 3.4 Ejercicios ...................................................................................... 158 pág. 4. Teoría de Colas .................................................................................... 177 pág. 4.1 Introducció Intro ducción n.................................. ................. .................................. .................................. .............................. ............. 178 pág. 4.2 Costos de los sistemas de colas ................. .......................... .................. ................... ................ ......180 pág. 4.3 Modelos de Colas: Población Infinita I nfinita ......................... .................................. ................. ........183 pág. 4.4 Modelo de Colas: Población finita .................. ........................... .................. .................. ........... ..190 pág. 4.5 Análisis Económico Eco nómico de líneas de espera ...................... ............................... ................ .......195 pág. 4.6 Ejercicios ...................................................................................... 197 pág. 5. Programación Dinámica .................. ........................... .................. .................. .................. .................. ................ .......214 pág. 5.1 Conceptos básicos de programación dinámica .................. ........................... .........215 pág. 5.2 Estrategia básica, ejemplos demostrativos ....................... ................................. ..........218 pág. 5.3 Programación dinámica con variables discretas............... discretas........................ ........... ..226 pág. 5.4 Problemas de cálculo en programación dinámica.................. ....................... .....243 pág. 5.5 Ejercicios ...................................................................................... 250 pág.

2


I. TEORÍA DE DECISIONES

TEMAS       

Introducción ....................................................................................... 4 Pág. Definiciones..................................................... ................................... 5 Pág. Tipología De La Toma De Decisiones .................................................... 7 Pág. Fases De La Toma De Decisiones........................................................ 10 Pág. Decisiones En Condiciones De Certeza ............................................... 11 Pág. Decisiones En Condiciones Condiciones De Riesgo Riesgo E Incertidumbre ...................... 12 Pág. Ejercicios .............................................. ......................................................................................... ........................................... 33 Pág.

3


I

INTRODUCCIÓN La organización fracciona el problema en sus diversas partes, las analiza, estudia por separado y arroja por grupos sus resultados. La Investigación de Operaciones recoge estos resultados y los coordina a todos los niveles. El éxito de cualquier operativo, ya sea militar, comercial, industrial, político social, etc., depende del adecuado uso de los medios que se dispone para ese fin. La Investigación Investigación de Operaciones se aplica a problemas que tienen que ver con la forma de conducir y coordinar las operaciones operaciones o actividades dentro de una organización. El propósito de la Investigación de Operaciones Operaciones es pronosticar las condiciones óptimas de las acciones presentes, futuras y comprenderlas perfectamente para poder modificarlas en vista de mejores resultados. De la experiencia personal, muchas much as decisiones se toman sin hacer referencia al método científico o a los métodos cuantitativos. La costumbre, la tradición, la fe, la intuición, las preferencias, predisposiciones y el factor político, etc., juegan un papel importante en la manera en que se resuelve los problemas. En la búsqueda de soluciones de los problemas debemos responder a las siguientes preguntas: ❖ ❖

¿Cómo debe actuarse al tomar una decisión? ¿Qué debe hacerse para tomar la mejor decisión?

4


II

DEFINICIONES 2.1 DECISIÓN: Decidir es elegir entre diferentes alternativas. Cuando el proceso de selección lo efectuamos, consideramos diferentes criterios que como filtros de opciones nos permite establecer un orden de preferencia de las alternativas. La complejidad del mundo económico actual y de la estructura interna de las empresas hacen cada vez más difíciles las decisiones. Que ya no cabe la decisión intuitiva, la decisión actual ha de ser fruto de una reflexión y de una preparación racional. La decisión se traduce en coordinar un conjunto de actividades cuyas consecuencias se sentirán en el futuro. El decisor decide deci de en base a la intuición y en base al razonamiento. razonamien to. D = d {R, I}

I: Intuición, R: Razón

La Investigación de Operaciones, tiene por misión dar mayor peso a la componente racional de todo acto de decisión, que las decisiones descansen sobre bases racionales. Para aumentar el peso de la componente racional. La Investigación Operativa cuantifica al máximo la información del estado del sistema. No puede haber una decisión totalmente racional, pues quien decide, muchas veces tiene en cuenta el acto de la decisión otros factores como: prestigio p restigio personal, personal, político, etc. El método científico surgió a través del tiempo a partir de la experiencia de muchos científicos (Químicos, Físicos, Biólogos, etc.). Se reconoce a Sir Francis Bacon quien describió formalmente el método científico. La aplicación exhaustiva del método científico, científico, considera: ✓ ✓ ✓

Estar bien informado: Deben conocerse todos lo hecho y relaciones pertinentes. pertinentes. Conocer todas las alternativas: Deben identificarse todas las alternativas de solución. Ser objetivo: Ser optimizador económico. Maximizar los beneficios económicos y minimizar los costos económicos.

5

Investigación Operativa II – Lucio Malásquez Ruiz

2.2 ELEMENTOS DE UN PROBLEMA DE DECISIONES La persona que toma una decisión quiere alcanzar una situación distinta a la de su estado original. Además, escoge de una manera, pensando que esa es la forma adecuada para alcanzar las metas. Su actuación toma la forma concreta de una cierta utilización de sus recursos limitados. Cualquier problema de decisiones independiente del tipo de organización formal o del nivel jerárquico en el cual se presenta, tiene estas características: una persona responsable toma la decisión, considerando sus objetivos.

 

Existe un contexto del problema, factores que están fuera del control de decisor y se dan en el medio ambiente: estados de la naturaleza . Hay un conjunto de alternativas Ai (cursos de acción) viables que considera el decisor en el contexto del problema. Hay un conjunto de valores de las consecuencias rij que resultan de la combinación de las alternativas y de los estados de la naturaleza. Los estados de la naturaleza, cuantifica en términos probabilísticos. Selección del criterio de decisión para determinar cuál es la mejor alternativa.

2.3 MATRIZ DE DECISIONES Formalizamos la presentación del modelo de toma de decisiones con la matriz de decisiones (matriz de consecuencia), donde cada fila representa una alternativa Ai y cada columna representa un estado de la naturaleza :

   

Alternativas

 

Estados de la Naturaleza

Ai/ A1 A2

r11

r12

r21

r22



…………………

r1n r2n

…….

…………………………………..

Am

Rm1

rm2 ………………... rmn

P( )

P(

P(

 

  )

)

P(



)

Debe observarse que las estrategias y estados de la naturaleza, se enumeran de tal forma que sean mutuamente excluyentes y exhaustivos.

6


2.4 DETERMINACIÓN DE LOS ESTADOS DE LA NATURALEZA.

 

Considerar todos los eventos posibles, de omitirse uno de ellos también se omiten sus consecuencias Rij al evaluar las distintas alternativas Ai. Un evento será imposible si el decisor quiere considerarlo. La lista de los eventos considerados debe ser completa, en el sentido de que uno de ellos necesariamente debe ocurrir. Hay que enumerar los eventos de tal manera que sean mutuamente excluyentes.

TIPOLOGÍA DE LA TOMA DE III DECISIONES Los medios necesarios para la toma de decisiones son el juicio y el sentido común. Los procedimientos formales abarcan, organizan, jerarquizar, contar, estimar y una aritmética de la información.

3.1. PRIMERA TIPOLOGÍA. Existe infinidad de problemas de decisiones que los podemos reducir a: 1. Situaciones Programables.

Situaciones bien definidas, repetitivas y para los cuales existe una información adecuada. Existen reglas rutinarias que normalmente guían la administración diaria de los asuntos de las organizaciones comerciales: ▪ ▪ ▪

Nivel de inventario. Colocación de trabajadores. Determinación de horarios de producción, etc.

2. Situaciones No Programables.

No están bien definidos, ocurren esporádicamente y no se tiene información suficiente que ayude a decidir. El decisor es incapaz de aportar reglas para estructurar el problema. Las características de las situaciones no programables son: ➢ ➢ ➢ ➢ ➢

Extensa base de datos. Muchos requerimientos para el manejo de los datos. No hay criterios definidos para elegir la mejor alternativa. No se puede enumerar todas las alternativas. Existe un ambiente dinámico del problema.

7


3.2. SEGUNDA TIPOLOGÍA La clasificación se basa por el grado de información que se encuentra al alcance del decisor con respecto a las probabilidades de ocurrencia de los diversos estados de la naturaleza. 1. Decisiones En Condiciones De Certeza.

El decisor sabe con certeza el estado de la naturaleza y las consecuencias al elegir una de un conjunto de alternativas, conociendo sus preferencias por los resultados. Ejemplos: Tengo un depósito de $100 en una cuenta de ahorro, y sé que por intereses generara $20 en el saldo de la cuenta. 2. Decisiones En Condiciones De Riesgos.

Cuando más de un estado de la naturaleza es relevante, el decisor identifica las alternativas y asigna probabilidades que se conocen o se pueden suponer en cuanto a la ocurrencia de los estados de la naturaleza. Ejemplo: No sabemos si lloverá mañana, pero sabemos que la probabilidad de lluvia es de 0.3. 3. Decisiones En Condiciones De Incertidumbre.

El decisor desconoce la ocurrencia de los estados de la naturaleza y se siente incapaz para estimar o calcular las probabilidades asociando a cada estado de la naturaleza. Para resolver estos problemas se asigna juicios subjetivos de optimismo y pesimismo en cuanto a la ocurrencia de los estados de la naturaleza. Ejemplo: La probabilidad que un demócrata sea presidente dentro de 20 años no se conoce.

EJEMPLO

Venta De Arboles

El personal de cierto convento coloca en el mercado árboles de navidad. Su problema es decidir cuantos árboles se debe producir la siguiente temporada. Se realiza un gasto de $3.5/árbol, se producen en lotes de 100 y se planea venderlos a $8.0 cada uno, se estudian los registros de ventas con otros vendedores, llegando a las siguientes estimaciones para la siguiente temporada. Venta de arboles Probabilidad

100 0.3

200 0.3

300 0.4

SOLUCIÓN:

Modelo de decisión bajo riesgo, se recoge información de los vendedores: Utilidad $4.5/árbol,

Costos $3.5/árbol

Precio $8/árbol

Estados de la Naturaleza. Lotes de 100 árboles; Demandas: 100, 200 y 300

8

Investigación Operativa II – Lucio Malásquez Ruiz ✓ ✓ ✓

01: Vender 100 arboles 02: Vender 200 arboles 03: Vender 300 árboles.

Alternativas: El personal puede producir: 100, 200 y 300. ✓ ✓ ✓

A1: Producir 100 árboles. A2: Producir 200 árboles. A3: Producir 300 árboles.

Matriz de Pagos Las consecuencias se expresan en términos de utilidades ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓

R11=100* (4.5) =450 R12=100* (4.5) =450 R13=100* (4.5) =450 R21=100* (4.5) – 100(3.5) =100 R22=R23=200*(4.5) =900 R31=100* (4.5) – 200* (3.5) =250 R32=200* (4.5) – 100* (3.5) =900 – 350 =550 R33=300* (4.5) = 1350

 

Ai/ A1 A2 A3

  

450 100 -250

450 900 550

450 900 1350

Evaluación de Resultados. ✓ ✓ ✓

Si se ordena 100 unid., hay seguridad de ganancias de $450. Si se ordena 200 unid., las ganancias están en el rango de $100 a $900. Si se ordena 300 unid., la utilidad potencial esta entre $-250 y $1350.

Evaluamos las alternativas, utilizando el criterio del Valor Esperado.

E ( Ai )   RijP ( j ) Luego escogemos el máximo valor esperado: Max {450, 660, 630}=660 El criterio del valor esperado nos dice que debemos seleccionar la alternativa dos, es decir producir 200 árboles para tener una ganancia esperada de $660.

9


FASES DE LA TOMA DE IV DECISIONES El proceso racional de toma de las decisiones, implica las siguientes fases de actividad: 1. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA

Determinar, descubrir y delimitar el problema a estudiar. ✓ ✓

✓ ✓

Definición De Las Necesidades: Determinar las necesidades y a quien se ha de satisfacer. Definición De Objetivos: Elementos que indican hacia donde debe llevar la decisión de que se trata. Estos deberán llevar a metas que sean: Cuantificables, Claros y Reales. De modo que puedan ser comparados con los resultados obtenidos y poder así corregir en casos de desviaciones. Definición De Recursos: Al definir lo recursos con que se cuentan o contara en el futuro se establecen las restricciones básicas del sistema. Definición De Las Condiciones Ambientales: Identificar los factores ambientales relacionados con el problema y emitir juicios acerca de estos a fin de relacionar estos factores con los objetivos.

2. DIAGNÓSTICO DEL PROBLEMA.

Su fin es el de analizar la información recogida y la de describir en detalle la situación actual del sistema, así como la de sus componentes. Este procedimiento permite pronosticar las consecuencias futuras del sistema de seguir actuando como lo hace. La calidad y confiabilidad de los resultados está en función de la idoneidad de la información. 3. BÚSQUEDA DE ALTERNATIVAS.

La predicción (pronostico) permite definir cuáles serán las posibles alternativas a seguir para alcanzar el objetivo propuesto. El proceso de desarrollar alternativas es proporcionar condiciones conducentes al pensamiento creativo con los procesos humanos de inventiva e innovación. Para que las alternativas tengan un significado, es necesario que alguna predicción indique las consecuencias probables que puedan acontecer. 4. EVALUACIÓN DE ALTERNATIVAS.

Dado las predicciones, se evaluarán estos considerando los objetivos fijados, con el cual e están valorando las alternativas y se podrá decidir, cuál de las alternativas es la más conveniente. La evaluación de las alternativas se puede realizar por los

10


métodos: Estimaciones, Corazonadas, La experimentación, Modelos Empíricos, Modelos Teóricos Establecidos.

DECISIONES EN CONDICIONES DE CERTEZA

V

Esta situación se da cuando el decisor conoce el estado de la naturaleza que ocurrirá con absoluta certeza. Por tanto la persona que toma la decisión conoce el conjunto de sus estrategias posibles también conoce los resultados correspondientes a cada una de las estrategias disponibles y conoce sus preferencias por los diversos resultados considerados. Por tanto la matriz de decisiones solamente posee una columna donde se especifica el estado natural pertinente.

EJEMPLO

LA TIENDA SABINO Y ROQUE

El supervisor del Dpto. de modas juveniles, de la sucursal Nápoles dela tienda Sabino y Roque deben decidir cuantos vestidos de un estilo determinado conviene almacenar para atender la demanda de la próxima temporada. Según las normas de fabricante, los vestidos deben adquirirse por lotes de 10 docenas cada uno. El beneficio neto que la tienda obtiene por cada docena vendida es de mil pesos, y los vestidos que no se venden antes de finalizar la temporada, se liquidan a un precio rebajado que ocasiona una pérdida de quinientos pesos por docena. Se conoce exactamente la demanda de este tipo de vestidos, la demanda será de 60 docenas para la temporada de que se trate. Después de unas consultas rápidas con sus vendedores el supervisor del Dpto. considera los cursos de acción siguientes, almacenar 50, 60, 70 docenas. No hay pérdidas porque no hay exceso de inventario. SOLUCIÓN: -

Se tiene conocimiento que en la temporada se ha de vender 60 docenas de vestidos. Estados de la Naturaleza 01: Demanda de 60 docenas.

Norma del fabricante, adquirir lotes de 10 doc. El supervisor considera los cursos de acción; Alternativas:

11


A1: Almacenar 50 docenas A2: Almacenar 60 docenas A3: Almacenar 70 docenas Las consecuencias asociada con cada combinación de estados de la naturaleza y estrategias: Para A1 beneficio neto. No hay exceso de inventario. = 50 doc x 1000/doc = 50 000 Para A2 beneficio neto. No hay exceso de inventario. = 60 doc x 1000/doc = 60 000 Para A3 beneficio neto. No hay exceso de inventario. = 60 doc x 1000/doc – 10 doc x 500/doc = 60 000 – 5 000 = 55 000

r r r

r

Matriz de pagos: Utilidades: ALTERNATIVAS A1 Almacena 50 A1 Almacena 60 A1 Almacena 70

E. NATURALEZA 01: 60 doc 50 000 60 000 55 000

DECISIONES EN CONDICIONES VI DE RIESGO E INCERTIDUMBRE La disponibilidad de información parcial o imperfecta sobre un problema, lleva a dos nuevas categorías de casos de toma de decisiones: 1.- Decisiones con riesgo 2.- Decisiones con incertidumbre En el primer caso el grado de ignorancia se expresa con una función de probabilidad a priori a los distintos estados de la naturaleza usando: ❖ ❖ ❖

Datos pasados Otra información disponible Juicio subjetivo

Mientras en el caso dos, no se dispone de una función de probabilidad, porque no existe información registrada (Histórica), pero podemos asignar probabilidad

12


subjetiva. En ambos casos no se conoce perfectamente el estado que adoptará la naturaleza, pero se asocia a éste una distribución de probabilidad. Los criterios de decisión que se emplean cuando predominan estas condiciones de riesgo-incertidumbre, reflejan los valores personales y las actitudes hacia el riesgo que tienen los responsables de tomar decisiones. El decisor se enfrenta a situaciones que pocas veces sucedieron y en su afán de cuantificar esta incertidumbre, adopta una actitud intermedia entre el pesimismo y el optimismo o algún otro criterio más conveniente, de acuerdo al nivel de aspiración del decisor. La estadística clásica, resuelve problemas (P) de decisión en casos de riesgo R e incertidumbre I, sólo si es posible experimentar E:

En algunas ocasiones, podemos agregar información pasada o de situaciones similares a nuestro caso, con ello podemos ajustar las probabilidades a priori, este ajuste se denomina probabilidad posteriori. Y si no podemos contar con información histórica, debemos hacer un estudio de campo que nos permita ajustar las probabilidades a priori, para este caso llamaremos probabilidades posteriori. Si la experimentación no es factible E, el análisis estadístico (enfoque objetivo) no es útil para resolver los problemas de decisión. En estos casos se requiere otras técnicas y enfoques conocidos. El criterio de optimalidad que se usa para seleccionar entre varias alternativas, será la minimización del costo esperado. Entre los problemas que se consideran están los siguientes: 1.- Siendo la política optima, ¿Cuál es el costo esperado? 2.- ¿Cuál es la decisión que minimice el costo esperado, dado el resultado de un experimento? 3.- Si se lleva a cabo un experimento, ¿valdrá la pena? Es decir, la disminución en el costo esperado será mayor que el costo del experimento.

13


4.- Cuál es la cantidad máxima de dinero que podría gastarse con el fin de eliminar toda incertidumbre.

PROCESO FORMAL DE UN PROBLEMA DE DECISIÓN A= { A1, A2, … , Am }

2.- El conjunto de los estados de la naturaleza: control sobre la ocurrencia de estos eventos.

  , , … 

no se ejerce

3.- Pero la ocurrencia de los estados de la naturaleza el decisor cuantifica en términos probabilísticos objetivos o subjetivos. 4.- Al elegir el decisor una alternativa cualquiera, se conocen o estiman las posibles consecuencias que son a su vez función de los estados de la naturaleza. 5.- Siendo el objetivo del decisor, el de minimizar los costos o maximizar las ganancias, escoge entre los promedios la mejor alternativa, éste lo expresa con la función:



E{ r(Ai , )} que es la que caracteriza a los diferentes métodos y que se dimensionan en términos monetarios o de utilidad.

DECISION SIN EXPERIMENTACION 1. CRITERIOS PARA SITUACIONES DE RIESGO

Si debemos decidir frente a un conjunto de alternativas, y teniendo factores ambientales, que de alguna manera imposibilitan el logro de los objetivos. Tendremos que recurrir a información histórica de los factores exógenos (Estados de la naturaleza) y expresarlos en términos probabilísticos, para luego aplicarlo a un determinado criterio el cual señalará la alternativa a elegir. 1.1 CRITERIO DEL VALOR MONETARIO ESPERADO

Supone que los estados que presenta la naturaleza son variables aleatorias, en muchas situaciones de decisiones bajo riesgo no se dispone de distribuciones de probabilidad en cuanto a la ocurrencia de los estados de la naturaleza. El criterio de valor monetario esperado estipula, que el decisor haciendo uso de la distribución a priori, debe seleccionar aquella estrategia que minimice (maximice) su perdida (ganancia) esperada: Opt E{f(Ai ,

Dónde:

 

)}

Opt: Maximizar beneficios esperado matriz de pagos expresado en ganancias Minimizar Costo esperado matriz de pagos expresado en pérdidas (costos).

14


El decisor asigna probabilidades de ocurrencia de cada estado natural, basándose en datos disponibles sobre la frecuencia relativa con que cada estado se presentó en el pasado. Axiomas básicos de las probabilidades, para asignar probabilidades a los estados de la naturaleza:

   ∪∪  ∪ …..∪ ,  

a. 0<= P( ) <= 1 b. P ( )= P ( ) + P ( ) c. P ( =1 , : Excluyentes Se debe tener cuidado al usar el VME como criterio de decisión cuando las cantidades de dinero involucrados son relativamente grandes, ya que las curvas de utilidad de las personas y de las organizaciones no son lineales. La advertencia sobre el uso del VME es que los resultados (los favorables y desfavorables) con frecuencia tienen consecuencias indeseadas.

EJEMPLO

ELABORACIÓN DE PAN

La Panadería LEONARD prepara todos los días su famoso pan, éste se vende a $1.0 la unidad cuando está recién hecho y cuesta $ 0.50 prepararlo. El pan que no se vende es ofertado a $0.5 la unidad. Aun a ese precio la mitad del pan rematado no se llega a vender y se pierde. La panadería acostumbra vender de 3 a 6 docenas de pan por día, tiene información en cuanto a estas demandas, cuantificados en términos probabilísticos. El problema de la panadería es decidir cuantos panes preparar en un día típico. Demanda/doc Probabilidad

3 0.1

4 0.4

5 0.4

6 0.1

SOLUCIÓN: ✓ ✓ ✓

Estados de la naturaleza, demanda del pan de 3 a 6 docenas. Alternativas, la panadería acostumbra preparar de 3 a 6 docenas. Matriz de decisión: Utilidades.

15


 1, 1:

0.15331122  3618    3618  18  2, 1:   13120.0.5540.5121 2 24 363  39    3924  15  3, 1:   1312 0.5112  366  42 512 1230  0.54230  4, 1:   1312 0.51.512  369  45 612 936  0.54536 Ai | θj A1 = 3 A2=4 A3= 5 A4=6

θ1

=3 18 15 12 9

θ2

=4 18 24 21 18

θ3

=5 18 24 30 27

θ4

=6 18 24 30 36

Teniendo además información probabilística, se utiliza el criterio del VME para hallar la mejor alternativa. La tabla está en función de utilidades: E {f(A1,θj)} = 18(0.1) + 18(0.4) + 18(0.4) + 18(0.1) = 18.0 E {f (A2, θj)} = 15(0.1) + 24(0.4) + 24(0.4) + 24(0.1) = 23.1 E {f (A3, θj)} = 12(0.1) + 21 (0.4) + 30 (0.4) + 30(0.1) = 24.6 E {f (A4, θj)} = 9(0.1) + 18(0.4) + 27(0.4) + 36(0.1) = 22.5 Luego: Max E {f (Ai, θj)} = Max {18, 23.1, 24.6, 22.5} = 24.6 Se debe elegir la tercera alternativa, preparar 5 docenas de pan, con una utilidad esperada de $24.6

16


1.1.1. PREFERENCIAS CON EL VALOR ESPERADO

Se intenta completar el análisis de las decisiones, incorporando los elementos teóricos necesarios para dar validez al criterio del valor esperado. Considerando la tipología de aversión al riesgo, esto conduce a una curva de utilidad:

Dónde: ✓ ✓ ✓

✓ ✓ ✓

K: Capital disponible U (v): Utilidad de capital k Esta curva se ajusta a la expresión:

    

Curva acotada y para c < 0 U (k) = Y K=X

Entonces

    

Conveniencias para alcanzar los objetivos:

  0    0

1. En 1 a representa la distancia al origen en ambas fórmulas. 2. En 1 b determina la pendiente de la curva. 3. En 1 es necesario que c = -1. Entonces:

      

Expresión para un decisor que posee aversión al riesgo. Debemos determinar el valor esperado de 2;

Así el decisor ordenara sus preferencias conforme al valor esperado de sus utilidades. Es decir, siendo k cada uno de los posibles capitales debemos ahora aplicar a cada curso de acción de la matriz de pagos.

17


EJEMPLO

ELABORACION DEL PAN

Matriz de pagos: Utilidades

 \             

A1 = 3 a2 = 4 a3 = 5 a4 = 6

18 15 12 9

18 24 21 18

18 24 30 27

18 24 30 36

Aplicando a cada alternativa la expresión:

     

Ilustrando para la alternativa: A2



15 24 24 24

0.1 0.4 0.4 0.1

1.5 9.6 9.6 2.4

225.0 576.0 576.0 576.0

 22.5 230.4 230.4 57.6

Los valores obtenidos se ordenarán conforme el decisor prefiere al mayor valor esperado siendo: -306 > -517.8 > -536.4 > -616.2 A1 > A2 > A4 > A3 1.2 CRITERIO DE LA UTILIDAD ESPERADA

Utilidad: Es la transformación de los valores monetarios a una escala que refleja las preferencias del tomador de decisiones. La utilidad puede ser usada para racionalizar la inconsistencia que puede resultar al utilizar el valor monetario esperado. Si el decisor actúa con el propósito de satisfacer una serie de supuestos razonables que son los axiomas del comportamiento racional, existe una función de utilidad del decisor que elige como alternativa más apropiada a la que maximice la utilidad esperada. 1.2.1 FUNCION DE UTILIDAD

Función numérica definida sobre los eventos donde el decisor elegirá y asignará una probabilidad a cada evento de acuerdo a su preferencia. Por tanto, la función de utilidad tiene que ser algo muy subjetivo y suficiente flexible para adecuarse a las características personales del decisor. µ: E -----> µ (E)

18


   … Dónde:

0 ≤ µ (E) ≤ 1

1.2.2. UTILIDAD ESPERADA

Es el promedio de las preferencias del decisor:

Dónde:

µ  µ  µ() 0 ≤ ( ) ≤ 1  0 ≤ µ() ≤ 1

El perfil de la curva de utilidad guarda una relación con la aversión, indiferencia o propensión al riesgo de un decisor:

1.2.3 EVALUACIÓN SUBJETIVA DE LAS CONSECUENCIAS MONETARIAS

Las consecuencias monetarias pueden tener una utilidad diferente según el decisor y la situación concreta de la que se trate. Los resultados monetarios obtenidos al escoger una alternativa tal vez dependan: ❖ ❖ ❖ ❖

Del prestigio personal del decisor Del patrimonio financiero del decisor De la posibilidad de una bancarrota De la preferencia o aversión hacia el riesgo, etc.

1.2.4 LOTERIAS Y COMPORTAMIENTO RACIONAL

Podemos representar a la lotería como un experimento aleatorio cuyos resultados se indican con el conjunto de eventos:

   …

19


Donde la probabilidad subjetiva del decisor en cuanto a la ocurrencia del evento ej está dado por: Pj = P (ej)

Donde

∑ Pj = 1

Supuestos: 1. No hay dos premios exactamente iguales 2. Los premios reflejan cierta preferencia del decisor Una lotería se considera como un problema de decisiones donde la naturaleza es la que toma la decisión. Denotamos una lotería de una sola etapa:

  {, (,)…, }

Donde Pj = P (ej) Representación grafica

EJEMPLO

EJEMPLO

Representación gráfica de la lotería L1: 0.30 L1

0.40 0.30

e1 e2 e3

En términos de conjuntos L1 = {(0.30, e1), (0.40, e2), (0.30, e3)}

20


1.2.5 LOTERIA DE DOS ETAPAS

Interpretamos esta lotería de dos etapas, como un problema de decisiones de dos etapas en el que la naturaleza primero decide a que lotería Li de una sola etapa va a parar el jugador y después el premio que obtiene, Proceso: A. Dado el conjunto de eventos: E = {e1, e2,…., en}

De la lotería: Lk = {(P1, e1), (P2, e2),…. (Pj, ej)… (Pn, en)} B. Suponiendo el resultado (Pj, ej) de la lotería Lk, si el decisor decide apostar por segunda vez por un premio del conjunto E anterior: E = {e1, e2,….. en}

Donde la lotería de segunda etapa es:



= {(q1, L1), (q2, L2)…….. (qi, Li)… (q, m)}

C. Representación grafica

21


1.2.6 AXIOMAS DEL COMPORTAMIENTO RACIONAL

Una persona que toma decisiones racionales será aquella cuyo proceso lógico, para la toma de decisiones satisfaga los axiomas: 1. Sean los eventos e1, e2. Se dan las posibilidades: a. ei > ej ei es preferible a ej b. ej > ei ej es preferible a ei c. ej ei es indiferente al decisor d. Si ei > ej y ej > ek ei > ek

~



2. A un decisor racional le es indiferente una lotería de dos etapas y una lotería L de una segunda etapa

∈

3. Para cada evento ej E diferente de e1 y en le es indiferente a un decisor racional tener ej con certeza y jugar en un aloteria que tiene solo dos premios: el premos mas favorable (e1) y menos favorable (en) es decir: L (ej) = {(uj, e1), (1-uj, en)}





4. A un decisor le es indiferente una lotería de una sola etapa L del tipo , donde: = {(p1, L1),(p2, L2),.. (pn, Lm)} 5. Sean dos loterías elementales, de una sola etapa L1, L2. Un decisor puede considerar las posibilidades del axioma 1 para loterías. 1.2.7 MODELO DEL COMPORTAMIENTO RACIONAL

Utilidad: Relacionando los axiomas del comportamiento racional con el problema de determinar la función de utilidad del decisor: 1. Sea el conjunto de eventos Ej. Ej = {e1, e2,. . . en} 2. Si Ej. Es representativo de cualquier lotería, de modo que el premio que se obtenga, será uno y solamente uno. 3. Los eventos de Ej. Son enumerados en orden de preferencia por el decisor racional talque. e1: Evento de mayor preferencia en: Evento de menor preferencia

µj,e1 1,

4. Para cada evento ej, j=2,3,4,…k,…,n-1 el decisor considera lo siguiente: L (ej) = {( ), ( )} Dónde: e1: Premio más favorable En: Premio menos favorable Probabilidad u dado por el decisor para ganar el premio e1, en la lotería L(ej) para que considere con indiferencia las ofertas de jugar a esa lotería y la de recibir con certeza el premio ej

22


5. Sea uj =u para cada premio ej del conjunto Ej. Donde j = 2, 3, …, n-1

≤ ≤

6. Valor de uj 0 uj 1 7. Asociemos el número u1 =1 con el premio e1 de mayor preferencia, y el numero un = 0 con el premio en de menor preferencia.

EJEMPLO

DECISION DE CONTRATOS

El dueño de un pequeño negocio trata de decidir cuál de los dos contratos, que le han ofrecido debe aceptar ya que sus recursos le impiden considerar los dos, o ninguno de los dos. Existe cierto grado de incertidumbre acerca de los resultados finales, el negociante da las posibles consecuencias de cada contrato, asociando a cada evento una probabilidad subjetiva. Las consecuencias dados en ganancias o pérdidas y sus probabilidades de ocurrencias son: CONTRATO A CONTRATO B Resultados Probabilidad Resultados Probabilidad 50,000 0.6 40,000 0.5 30,000 0.35 20,000 0.1 -20,000 0.3 -10,000 0.15 SOLUCIÓN:

Expresando estos eventos en términos de lotería ✓ ✓ ✓

Para A: La = {(0.6, 50,000), (0.1, 20,000), (0.3, -20,000)} Para B: Lb = {(0.5, 40,000), (0.35, 30,000), (0.15, -10,000)} Ningún contrato: Lc = {1,0}

Las tres loterías lo expresamos en una sola lotería donde el conjunto E se ordenan en una secuencia de preferencias: ✓ E = {50,000; 40,000; 30,000; 20,000; 0; -10,000; -20,000} Identificando los eventos: ✓ e1: 50,000 el más favorable ✓ e7: -20,000 el menos favorable Asociando los índices de utilidad a los siguientes premios ✓ u(e1) = 1 de mayor preferencia ✓ u(e7) = 0 de menor preferencia Formulando la lotería de preferencia: ✓ L = {(u(e1), e1), (1-u(e1), e7)}

donde u1 = u(e1) =1

Ahora, el conjunto de premios se reduce

23


E1 = {40.000; 30,000; 20,000; 0; -10,000} ¿Qué valor le da el negociante a u tal que lo haga indiferente entre recibir con certeza el premio de 40,000 de E1 o elegir la lotería de referencia?

Es decir 40,000 1.0 50,000 u 1-u 20,000 El índice de utilidad para e = 40,000 es: u (40,000) = 0.98 Siendo el conjunto de premios: E2 = {30,000; 20,000; 0; -10,000} La misma pregunta anterior para 30,000 30,000 1.0 50,000 u 1-u -20,000 Índice de utilidad: u(30,000) = 0.95 Realizando el mismo procedimiento para los demás u(20,000) = 0.85 u(0.0) = 0.65

u(-10,000) = 0.40

Siendo la funciona de utilidad: ej u(ej)

50,000 1.0

40,000 0.98

30,000 0.95

20,000 0.85

0 0.60

-10,000 0.40

-20,000 0.0

Graficando el comportamiento del negociante:

24


u(ej) 1.0

ej -20

-10

0

10

20

30

40

50

Calculando la utilidad esperada, asociado a cada alternativa: ✓ ✓ ✓

ua = 1(0.6) + 0.85 (0.1) + 0.0(0.3) = 0.685 ub = 0.98 (0.5) + 0.95(0.35) + 0.4(0.15) = 0.883 uc = 0.6 (1) = 0.6

Donde la máxima utilidad es: ✓

Max {0.685, 0.883, 0.6} = 0.883

Se debe elegir la alternativa B. 1.3 ARBOL DE DECISION

Técnica que grafica el grado del riesgo involucrado en una decisión y expresa el orden cronológico de las acciones alternas de que dispone quien toma decisiones. Cualquier situación decisiva se puede describir mediante el árbol de decisión, de una sola etapa. Un árbol de decisión se compone de: 1. Alternativa de decisión; en cada punto de decisión 2. Eventos; Ocurren como resultado de cada alternativa de decisión 3. Probabilidades; De que ocurran los eventos (estados de la naturaleza) posibles como resultado de las decisiones. 4. Resultados, (Expresados en términos económicos) de las posibles como resultados de las decisiones. Un árbol de decisiones se estructura enlazando nodos y ramas: ▪

En el árbol todos los eventos y alternativas están representados por líneas o ramas que emanan de una intersección llamado nodo

25

Investigación Operativa II – Lucio Malásquez Ruiz ▪ ▪

Un nodo de decisión representa el punto donde debe decidirse en elegir una alternativa se representa por un cuadrado Un nodo probabilístico representa situaciones donde se da la incertidumbre en cuanto a la realización de los estados de la naturaleza. Se representa por un circulo

La solución de situaciones de decisiones, utilizando el árbol de decisión contempla dos etapas: Diseño, Análisis. El Diseño se hace cronológicamente de izquierda a derecha y el Análisis en sentido contrario. 1.3.1. EVALUACION DEL ARBOL DE DECISION

A este procedimiento se denomina, podar el árbol. Una vez simplificado, debe calificarse las probabilidades de los estados y evaluarse el árbol de la siguiente manera: 1. Anotar la probabilidad de cada evento en la rama del árbol 2. Avanzando de derecha a izquierda asignar un resultado o resultado esperado a cada nodo. Cuando una sola rama sale de un nodo, el resultado se coloca en el nodo. 3. Al evaluar un nodo de probabilidad con dos o más ramas se calcula el valor esperado y se escribe en el nodo 4. Al evaluar un nodo de decisión con dos o más ramas se asigna el mayor o menor de los resultados esperados en el nodo. 5. Continuar el procedimiento hasta obtener resultados para el nodo inicial.

EJEMPLO

CASO PROTRAC

Se acaba de completar la fase de diseño y prueba del producto para la línea de tractores de casa y jardín de la PROTRAC. La administración desea elegir la alternativa adecuada que se usara en la comercialización y producción de estos artículos. Se tiene tres alternativas: 1. AGRESIVA(A): Gran inversión para un producto eficiente, se tendrá grandes inventarios, gran campaña de publicidad a nivel nacional. 2. BASICA (B): La producción del tractor E-4 se mudará a otra localidad, este producto sufrirá cambios, Se tendrá inventario de los ítems más populares. Las oficinas principales apoyaran la publicidad local.

26


3. CAUTELOSA(C) La capacidad excedente de varias líneas de E-4, se usará para producir los nuevos implementos. La producción se equipará para satisfacer la demanda y la publicidad quedará a discreción del distribuidor. La administración decide clasificar la condición del mercado en fuerte (F) y débil (D), las consecuencias en la matriz de pagos representan ganancias expresados en millones de dólares. Se obtuvieron mediante un estudio de ventas asociados con cada combinación de alternativa y estado de la naturaleza.

Ai\ɵj A: Agresivo B: Básico C: Cauteloso Probabilidad

F 30 20 5 0.45

D -8 7 15 0.55

SOLUCIÓN:

Utilizando el criterio del VME. Los Pagos están expresados en ganancias MAX E { f (Ai, ɵj)} Calculando: E {f (Ai, ɵj)} = 30(0.45) - 8(0.55) = 9.10 E {f (Ai, ɵj)} = 20(0.45) + 7(0.55) = 12.85 E {f (Ai, ɵj)} = 5(0.45) 15(0.55) = 10.50 La alternativa a elegir es la básica con $ 12.85 de ganancia. ARBOL DE DECISIONES

1. DISEÑO: El nodo inicial 1 es un evento en el que debemos elegir, por las alternativas, A, B, C. Cada ramo A, B, y C terminan en los eventos probabilísticos, 2, 3 y 4 respectivamente. En cada nodo 2, 3, y 4 puede ocurrir un estado de la naturaleza F o D.

27


2. ANALISIS Es elegir la mejor alternativa E(A)=30(0.45)-8(0.55)= 9.10 E(B)=20(0.45)+7(0.55)= 12.85 E(c)=5(0.45)+15(0.55)= 10.50

Evaluando los resultados: La matriz de pagos esta expresado en utilidades Max {E (Ai)} = Max {9.10, 12.85, 10.50} = 12.85 La mejor alternativa es la B con $12.85 millones de ganancia 2 CRITERIOS PARA SITUACIONES DE INCERTIDUMBRE

La toma de decisiones en condiciones de incertidumbre completa significa que se

28


desconocen las probabilidades de ocurrencia de los diversos estados de la naturaleza. El carácter de incertidumbre se asocia con el hecho de que se es capaz de estimar o calcular las probabilidades de que se produzcan cada uno de los estados de la naturaleza. Los criterios de decisión que se emplean cuando predominan estas condiciones de incertidumbre, reflejan los valores personales. El decisor se enfrenta a situaciones que pocas veces sucedieron y en su afán de cuantificar esta incertidumbre, adopta una actitud intermedia entre el pesimismo y el optimismo o algún otro criterio más conveniente, de acuerdo al nivel de aspiración del decisor. 2.1 CRITERIO DE MAXIMIN (WALD)

El decisor determina el peor estado posible de cada alternativa y luego escoge la alternativa cuya contingencia más desagradable sea la menos desastrosa. Es decir, elegir lo mejor de lo peor. Maxi min ij r ( Ai , j )

El criterio supone que la naturaleza es malévola y trata de hacer el mayor daño posible al oponente (decisor), no siendo la naturaleza por lo general así. Un inconveniente de este procedimiento es que no toma en cuenta la mayor parte de la información de la matriz de pagos, porque considera los peores resultados de cada alternativa.

EJEMPLO

DECISIÓN DE ADQUIRIR UNA MÁQUINA

El gerente de una empresa está considerando expandir o no la capacidad de la fábrica, comprando una o dos máquinas. Una de las cuales tiene el doble de capacidad y de precio. La capacidad existente de la fábrica no es suficiente para satisfacer la demanda actual. Las ventas por experiencia tienen una alta correlación con las condiciones económicas del país. A: Si las condiciones económicas mejoran en el futuro, la máquina de alta capacidad se requerirá. B: Si las condiciones permanecen estables, la máquina de baja capacidad será la adecuada. C: Si está a la vista una recesión, la capacidad actual bastará. Se tiene la matriz de pagos, que considera el gerente en términos de ganancias (millones de soles):

29




Ai/ A1 A2 A3



2.5 1.6 1.2





-1.0 0.0 0.8

1.5 2.0 1.2

SOLUCIÓN:

Alternativas: ▪ ▪ ▪

A1: Comprar máquina de alta capacidad A2: Comprar máquina de baja capacidad A3: No comprar ninguna máquina

Estados de la naturaleza ▪ ▪ ▪

1:2: 3: {{}1} {  }  0.0    Prosperidad Estabilidad Recesión

Del ejemplo, calculando:

Para i = 1, 2, 3…

Luego:

{}  0.8

Maximin {-1.0, 0.0, 0.8} = 0.8 Elegir la alternativa

2.2. CRITERIO DEL COEFICIENTE DE OPTIMISMO (HURTWITZ)

En lugar de ser completamente pesimista o completamente optimista, el decisor puede tener una actitud intermedia. Para acomodar esta posibilidad Hurtwitz propone una medida llamada COEFICIENTE DE OPTIMISMO C que varía en valor 0 para un pesimismo completo y 1 para un optimismo completo. Si C = 0 la regla coincide con el maximin Si C = 1 la regla coincide con el maximax Si una persona es parcialmente optimista debe asignar pesos apropiados a los resultados máximos y mínimos de cada acto. Este criterio es un promedio ponderado de las reglas maximin y minimax. El valor de Hurtwitz se define:

  { } { }1

30


Para nuestro ejemplo:

            2.2.5000..2251. 0 0 . 7 5  0. 1 25    5 0. 0 0 . 7 5  0. 5 00    1.200..21525, 0.0.500,800.7.9500  0.90.009 Calculando

y

para i = 1, 2, 3

2.5

2.0

1.2

-1.0

0.0

0.8

Si el decisor es cauteloso y pesimista asigna C = 0.25

Luego

2.2. CRITERIO DE LAPLACE

Puesto que no se conoce las probabilidades de ocurrencia de los estados de la naturaleza, se supone que las probabilidades de su realización son las mismas para cada estado. Calculando el valor monetario esperado a cada alternativa y se escoge la que tenga el valor monetario más elevado.

 ∑ ∑1    1,2,3, … ,       2.1.5600..333333 1.2.5000..333333  0.1.000.03.33333  1.0.198999      1.200.3.9331. 2 0 . 3 33 0 . 8 0 . 3 33  1. 0 65 99, 1.198,1.065  1198 Dónde:

y

equiprobables

Para nuestro ejemplo, calculando:

Entonces

Elegir la alternativa

2.2. CRITERIO DE PÉRDIDA DE OPORTUNIDAD (SAVAGE)

La pérdida de oportunidad para cualquier resultado es la diferencia entre el pago real y el que habría obtenido, si el acto óptimo hubiera escogido para el estado de la naturaleza que fue obtenido. La pérdida de oportunidad para una alternativa y un estado particular





está representado por:

,   ∗, ,   1, 2, 3, … ,    1, 2, 3, … ,  









31


∗    ,        1.8,0.9,1.3  0.9 Dónde:

: Alternativa óptima para el estado





La nueva matriz de consistencias, aplicar criterio de: 

Este criterio (de lamentación) es la diferencia entre pago realmente recibido y el que podría haber recibido el decisor, si hubiera conocido por anticipado qué estado de la naturaleza prevalece. \

0.0 0.9 1.3

0.5 0.0 0.8

  ,  

1.8 0.8 0.0

1.8 0.9 1.3

32


VII

EJERCICIOS 1. La compañía Rente un volk’s, S.A., le renta sus vehículos al público a razón de 90 pesos por día; la duración de cada contrato es exactamente un día.

A su vez, el gerente de esta compañía alquila sus unidades a una empresa mayorista, llamada la organización, S.A. El mayorista es el cubre los costos de mantenimiento de cada unidad alquilada de Rente un volk’s, S.A.

El gerente de Rente un volk’s, S.A. se enfrenta diariamente con el problema de decidir cuántos vehículos debe alquilar para atender la demanda de la semana próxima. Si la demanda es menor que el número de unidades disponibles, el gerente pierde el alquiler de 60 pesos por cada unidad alquilada y que no rentó. Si la demanda es mayor que el número de unidades disponibles, el gerente se priva de una ganancia de 30 pesos por unidad que no tuvo disponible. El gerente de Rente un volk’s, S.A. dispone de la distribución de probabilidades para

la demanda aleatoria diaria de sus vehículos: D P(D)

8 .11

9 .16

10 .26

11 .22

12 .13

13 .08

14 .04

Haciendo los supuestos necesarios, se pide esta información: a) Establezca la matriz de los beneficios condicionales. b) Calcule el beneficio esperado de cada estrategia. c) Determine la estrategia más conveniente por medio del uso del criterio VME SOLUCIÓN:

a) MATRIZ DE BENEFICIOS CONDICIONALES.

Alternativas factibles: ✓ A1: Alquílense 8 unidades ✓ A2: Alquílense 9 unidades ✓ A3: Alquílense 10 unidades ✓ A4: Alquílense 11 unidades ✓ A5: Alquílense 12 unidades ✓ A6: Alquílense 13 unidades ✓ A7: Alquílense 14 unidades

33


Cursos de acción

Estados de la naturaleza P(D)=.11 P(D)=.16

P(D)=.26

P(D)=.22

P(D)=.13

P(D)=.08

P(D)=.04

A1= Alquílense 8

D=8 240

D=9 240

D=10 240

D=11 240

D=12 240

D=13 240

D=14 240

A2= Alquílense 9

180

270

270

270

270

270

270

A3= Alquílense 10

120

210

300

300

300

300

300

A4= Alquílense 11

60

150

240

330

330

330

330

A5= Alquílense 12

0

90

180

270

360

360

360

A6= Alquílense 13

-60

30

120

210

300

390

390

A7= Alquílense 14

-120

-30

60

150

240

330

420

b) BENEFICIO ESPERADO ARA CADA ESTRATEGIA. ▪ A1 = Alquílense 8 unidades. E(X)= 240(.11)+ 240(.16)+ 240(.26)+ 240(.22)+ 240(.13)+ 240(.08)+ 240(.04) = 240 pesos. ▪ A2= Alquílense 9 unidades. E(X)= 180(.11)+ 270(.16)+ 270(.26)+ 270(.22)+ 270(.13)+ 270(.08)+ 270(.04) = 260.1 pesos. ▪ A3= Alquílense 10 unidades. E(X)= 120(.11)+ 210(.16)+ 300(.26)+ 300(.22)+ 300(.13)+ 300(.08)+ 300(.04) = 265.8 pesos. ▪ A4= Alquílense 11 unidades. E(X)= 60(.11)+ 150(.16)+ 240(.26)+ 330(.22)+ 330(.13)+ 330(.08)+ 330(.04) = 248.1 pesos. ▪ A5= Alquílense 12 unidades. E(X)= 0(.11)+ 90(.16)+ 180(.26)+ 270(.22)+ 360(.13)+ 360(.08)+ 360(.04) = 210.6 pesos. ▪ A6= Alquílense 13 unidades. E(X)= -60(.11)+ 30(.16)+ 120(.26)+ 210(.22)+ 300(.13)+ 390(.08)+ 390(.04) = 161.4 pesos. ▪ A7= Alquílense 14 unidades. E(X)= -120(.11)+ (-30) x (.16)+ 60(.26)+ 150(.22)+ 240(.13)+ 330(.08)+ 420(.04) = 105 pesos.

34


c) ESTRATEGIA MÁS CONVENIENTE POR MEDIO DEL USO DEL CRITERIO VME

Estrategias Beneficios Esperados A1 = Alquílense 8 240 A2= Alquílense 9 260.1 A3= Alquílense 10 265.8 248.1 A4= Alquílense 11 210.6 A5= Alquílense 12 A6= Alquílense 13 161.4 A7= Alquílense 14 105 Según el criterio VME el gerente debe alquilar 10 unidades porque es la estrategia que le proporciona el beneficio esperado más alto, o sea un beneficio esperado de 265.8 pesos.

2. Cierto tipo de focos para linternas se recibe empacado en lote de 10 unidades. En cada lote, el número de focos defectuoso puede variar de 0 a 10 inclusive. Se dispone de la siguiente distribución de probabilidades asociadas con el número de focos defectuosos:

X

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

p(X)

0.20

0.24

0.21

0.14

0.09

0.05

0.03

0.02

0.01

0.01 0

El comprador tiene estas alternativas: A1: Comprar todos los focos sin inspeccionar el lote; A2: Revisar el lote a un costo fijo de 20 pesos y devolverlo si los focos defectuosos son tan numerosos que impiden obtener una ganancia con la venta del lote; A3: Devolverle el lote al productor y perder entonces 10 pesos por cada lote devuelto. Como el precio del lote es de 100 pesos, se recibe un crédito neto de noventa pesos por cada lote devuelto. Los focos se venden al público a razón de 15 pesos cada uno, y se extiende una garantía adicional con la promesa de devolver 30 pesos al cliente por cada foco defectuoso devuelto. Se pide: a) Que se establezca la matriz de decisiones b) Que se determine la estrategia más conveniente por medio del criterio del VME.

35


SOLUCIÓN:

X p(X)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.20 0.24 0.21 0.14 0.09 0.05 0.03 0.02 0.01 0.01 0

Costo fijo: 20 pesos Perder: 10 pesos / por lote devuelto Costo del lote: 100 pesos • •

Los focos se venden : 15 pesos / cada uno Devolver : 30 pesos / por cada foco

r(Ai,pj)= 0(0)(20)+15(0)(20)=0

r(Ai,pj)= 6(20)(10)+0(20)(15)=1200

r(Ai,pj)= 1(20)(10)+0(20)(15)=200

r(Ai,pj)= 6(20)(10)+1(20)(15)=1500

r(Ai,pj)= 1(20)(10)+1(20)(15)=500

r(Ai,pj)= 6(20)(10)+2(20)(15)=1800

r(Ai,pj)= 2(20)(10)+0(20)(15)=400

r(Ai,pj)= 6(20)(10)+3(20)(15)=2100

r(Ai,pj)= 2(20)(10)+1(20)(15)=700

r(Ai,pj)= 6(20)(10)+4(20)(15)=2400

r(Ai,pj)= 2(20)(10)+2(20)(15)=1000

r(Ai,pj)= 6(20)(10)+5(20)(15)=2700

r(Ai,pj)= 3(20)(10)+0(20)(15)=600

r(Ai,pj)= 7(20)(10)+0(20)(15)=1400

r(Ai,pj)= 3(20)(10)+1(20)(15)=900

r(Ai,pj)= 7(20)(10)+1(20)(15)=1700

r(Ai,pj)= 3(20)(10)+2(20)(15)=1200

r(Ai,pj)= 7(20)(10)+2(20)(15)=2000

r(Ai,pj)= 3(20)(10)+3(20)(15)=1500

r(Ai,pj)= 7(20)(10)+3(20)(15)=2300

r(Ai,pj)= 4(20)(10)+0(20)(15)=800

r(Ai,pj)= 7(20)(10)+4(20)(15)=2600

r(Ai,pj)= 4(20)(10)+1(20)(15)=1100

r(Ai,pj)= 7(20)(10)+5(20)(15)=2900

r(Ai,pj)= 4(20)(10)+2(20)(15)=1400

r(Ai,pj)= 7(20)(10)+6(20)(15)=3200

r(Ai,pj)= 4(20)(10)+3(20)(15)=1700

r(Ai,pj)= 7(20)(10)+7(20)(15)=3500

r(Ai,pj)= 4(20)(10)+4(20)(15)=2000

r(Ai,pj)= 8(20)(10)+0(20)(15)=1600

r(Ai,pj)= 5(20)(10)+0(20)(15)=1000

r(Ai,pj)= 8(20)(10)+1(20)(15)=1900

r(Ai,pj)= 5(20)(10)+1(20)(15)=1300

r(Ai,pj)= 8(20)(10)+2(20)(15)=2200

r(Ai,pj)= 5(20)(10)+2(20)(15)=1600

r(Ai,pj)= 8(20)(10)+3(20)(15)=2500

r(Ai,pj)= 5(20)(10)+3(20)(15)=1900

r(Ai,pj)= 8(20)(10)+4(20)(15)=2800

r(Ai,pj)= 5(20)(10)+4(20)(15)=2200

r(Ai,pj)= 8(20)(10)+5(20)(15)=3100

r(Ai,pj)= 5(20)(10)+5(20)(15)=2500

r(Ai,pj)= 8(20)(10)+6(20)(15)=3400

36


r(Ai,pj)= 8(20)(10)+7(20)(15)=3700 r(Ai,pj)= 8(20)(10)+8(20)(15)=4000 r(Ai,pj)= 9(20)(10)+0(20)(15)=1800 r(Ai,pj)= 9(20)(10)+1(20)(15)=2100 r(Ai,pj)= 9(20)(10)+2(20)(15)=2400 r(Ai,pj)= 9(20)(10)+3(20)(15)=2700 r(Ai,pj)= 9(20)(10)+4(20)(15)=3000 r(Ai,pj)= 9(20)(10)+5(20)(15)=3300 r(Ai,pj)= 9(20)(10)+6(20)(15)=3600 r(Ai,pj)= 9(20)(10)+7(20)(15)=3900 r(Ai,pj)= 9(20)(10)+8(20)(15)=4200 r(Ai,pj)= 9(20)(10)+9(20)(15)=4500 r(Ai,pj)= 10(20)(10)+0(20)(15)=2000 r(Ai,pj)= 10(20)(10)+0(20)(15)=2300 r(Ai,pj)= 10(20)(10)+0(20)(15)=2600 r(Ai,pj)= 10(20)(10)+0(20)(15)=2900 r(Ai,pj)= 10(20)(10)+0(20)(15)=3200 r(Ai,pj)= 10(20)(10)+0(20)(15)=3500 r(Ai,pj)= 10(20)(10)+0(20)(15)=3800 r(Ai,pj)= 10(20)(10)+0(20)(15)=4100 r(Ai,pj)= 10(20)(10)+0(20)(15)=4400 r(Ai,pj)= 10(20)(10)+0(20)(15)=4700 r(Ai,pj)= 10(20)(10)+0(20)(15)=5000

37


a) Matriz de Decisiones Ai/ Pj 0 1 2

0 0 200 400

1 0 500 700

2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 500 500 500 500 500 500 500 500 500 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000

3

600

900

1200 1500 1500 1500 1500 1500 1500 1500 1500

4

800

1100 1400 1700 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000

5

1000 1300 1600 1900 2200 2500 2500 2500 2500 2500 2500

6

1200 1500 1800 2100 2400 2700 2700 2700 2700 2700 2700

7

1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500 3500 3500 3500

8

1600 1900 2200 2500 2800 3100 3400 3700 4000 4000 4000

9

1800 2100 2400 2700 3000 3300 3600 3900 4200 4500 4500

10

2000 2300 2600 2900 3200 3500 3800 4100 4400 4700 5000

B) LA MEJOR ALTERNATIVA USANDO EL CRITERIO DEL VME ✓

✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓

P0= 0*0.20+0*0.24+0*0.21+0*0.14+0*0.9+0*0.5+0*0.3+0*0.2+0*0.01+0*0.0 1+*0*0 = 0 P1=200*0.20+500*0.24+500*0.21+500*0.14+500*0.9+500*0.5+500*0.3+ 500*0.2+500*0.01+500*0.01+*500*0 =1295 P2=400*0.20+700*0.24+1000*0.21+1000*0.14+1000*0.9+1000*0.5+100 0*0.3+1000*0.2+1000*0.01+1000*0.01+1000*0= 2518 P3=600*0.20+900*0.24+1200*0.21+1500*0.14+1500*0.9+1500*0.5+150 0*0.3+1500*0.2+1500*0.01+1500*0.01+1500*0= 3678 P4=800*0.20+1100*0.24+1400*0.21+1700*0.14+1200*0.9+2000*0.5+20 00*0.3+2000*0.2+2000*0.01+2000*0.01+2000*0= 4076 P5=1000*0.20+1300*0.24+1600*0.21+1900*0.14+2200*0.9+2500*0.5+2 500*0.3+2500*0.2+2500*0.01+2500*0.01+2500*0= 4519 P6=1200*0.20+1500*0.24+1800*0.21+2100*0.14+2400*0.9+2700*0.5+2 700*0.3+2700*0.2+2700*0.01+2700*0.01+2700*0= 6186 P7=1400*0.20+1700*0.24+2000*0.21+2300*0.14+2600*0.9+2900*0.5+3 200*0.3+3500*0.2+3500*0.01+3500*0.01+3500*0= 6950 P8=1600*0.20+1900*0.24+2200*0.21+2500*0.14+2800*0.9+3100*0.5+3 400*0.3+3700*0.2+4000*0.01+4000*0.01+4000*0= 7498

38

Investigación Operativa II – Lucio Malásquez Ruiz ✓ ✓

P9=1800*0.20+2100*0.24+2400*0.21+2700*0.14+3000*0.9+3300*0.5+3 600*0.3+3900*0.2+4200*0.01+4500*0.01+4500*0= 8043 P10=2000*0.20+2300*0.24+2600*0.21+2900*0.14+3200*0.9+3500*0.5+ 3800*0.3+4100*0.2+4400*0.01+4700*0.01+5000*0= 8585

Max E{ f(Ai, pj)} = Max {0 ; 1295 ; 2518 ; 3678 ; 4076 ; 4519 ; 6186 ; 6950 ; 7498 ; 8043 ; 8585 } Max = {8585} 3. Cierto detallista tiene suficiente espacio sobre sus estantes para almacenar 4 productos que se descomponen fácilmente y, que si no se venden antes de las 24 horas se vuelven inservibles. El precio de compra unitario es de 25 pesos y el precio unitario de venta es de 50 pesos. Conteste las preguntas siguientes, si se ignoran los gastos fijos del detallista: a) ¿Cuántas unidades debe almacenar el vendedor para maximizar su beneficio neto esperado, si las probabilidades de la demanda para 0,1,2,3,4 unidades son, respectivamente: .10; .30; .40; .10; .10? b) Si no se sabe nada acerca de la demanda aleatoria para ese producto, ¿Cuántas unidades debería el detallista almacenar para minimizar las posibles pérdidas monetarias? SOLUCIÓN: • • • •

Almacenar 4 productos No se venden antes 24 horas Precio de compra unitario = 25 pesos Precio unitario de venta = 50 pesos

A) MATRIZ DE UTILIDADES 0 1 2 3 4 Probabilidad ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪

0 0 25 50 75 100 0.10

25*0 + 50*0 = 0 25*1 + 50*0 = 25 25*1 + 50*1 = 75 25*2 + 50*0 = 50 25*2 + 50*1 = 100 25*2 + 50*2 = 150 25*3 + 50*0 = 75

1 0 75 100 125 150 0.30

2 0 75 150 175 200 0.40 ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪

3 0 75 150 225 250 0.10

4 0 75 150 225 300 0.10

25*3 + 50*1 = 125 25*3 + 50*2 = 175 25*3 + 50*3 = 225 25*4 + 50*0 = 100 25*4 + 50*1 = 150 25*4 + 50*2 = 200 25*4 + 50*3 = 250

39

Investigación Operativa II – Lucio Malásquez Ruiz ▪

25*4 + 50*4 = 300

Probabilidad de los productos: E {0} = 0*0.10 + 0*0.30 + 0* 0.40 + 0*0.10 +0*0.10 = 0 E {1} = 25*0.10 + 75*0.30 + 75* 0.40 +75*0.10 +75*0.10 =70 E {2} = 50*0.10 +100*0.30 +100* 0.40 +100*0.10+100*0.10 =95 E {3} = 75*0.10 + 125*0.30 + 175* 0.40 +225*0.10 +225*0.10 =160 E {4} = 100*0.10 +150*0.30 + 200*0.40 + 250*0.10 +300*0.10 = 190 b) VME: Max E {f (Ai, Ej)} = Max {0; 70; 95; 160; 190} = 190 Se puede almacenar 190 productos dentro del almacén. 4. Cierta organización comercial quiere construir una nueva fábrica en cierta ciudad de la república. La alta gerencia tiene dos alternativas para elegir la capacidad de la planta proyectada: A1: Construir una fábrica con una capacidad de producción anual de 10,000 unidades del producto. A2: Construir con una capacidad de 20,000 unidades. La demanda futura para el producto considerado es aleatoria. El presidente del Consejo de Administración asignó las siguientes probabilidades subjetivas a cuatro niveles posibles de la demanda futura, después de haber consultado a sus especialistas en mercadotecnia: ✓ E1:

la demanda será de 5,000 unidades con P(E1) = .20 ✓ E2: la demanda será de 10,000 unidades con P(E2)= .40 ✓ E3: la demanda será de 20,000 unidades con P(E3)= .30 ✓ E4: la demanda será de 30,000 unidades con P(E4)= .10 Por otra parte, el vicepresidente, encargado de las finanzas de esa empresa, preparó la siguiente matriz de beneficios netos condicionales o pérdidas netas condicionales, en millones de pesos: Alternativas posibles A1 A2

E1 -.20 -.35

Estados naturales E2 E3 .80 .80 .60 1.00

E4 .90 1.20

Supongamos que la producción obtenida puede exceder la capacidad instalada de producción mediante el uso de tiempo extra y de otras consideraciones similares. Se pregunta: ¿De qué tamaño tiene que construirse la fábrica y por qué?

40


SOLUCIÓN:

A1: Construir una fábrica con una capacidad de producción anual de 10,000 unidades del producto. A2: Construir con una capacidad de 20,000 unidades. Alternativas posibles

Estados naturales E1

E2

E3

E4

A1

-.20

.80

.80

.90

A2

-.35

.60

1.00

1.20

Demanda

5000

10,000

20,000

30,000

A1= 5000(-0.20)+10,000(0.80)+20,000(0.80)+30,000(0.90)= 50,000 A2= 5000(-0.20) + 10,000(0.60)+ 20,000(1.00) + 30,000(1.20) = 61,000 La cantidad de producción anual sería de 20,000 unidades porque se tendría ganancias de $61,000 en producción. 3.13.5.3 Suponga que usted se enfrenta a esta lotería: L={(-200,.10),(400,.13),(200,.11),(0,.15), 600,.17)}

(-400,.16),(600,.18),(-

a) Desarrolle su propia función de utilidad u: E-- u(E) Donde E= {e1, e2,…en} 0<=u (e)<=1

B) GRAFIQUE LA FUNCIÓN DE UTILIDAD ENCONTRADA EN (A) Título del gráfico 300 200 100 0 -100

0,1

0,11

0,13

0,15

-200 -300 -400 -500 -600 -700 Indiferencia al riesgo

41


C) ¿CÓMO CARACTERIZA SU ACTITUD HACIA EL RIESGO? Se caracteriza con la indiferencia al riesgo. d) Justifique su respuesta al inciso (c) La curva trazada en la gráfica determina la curva creciente con indiferencia al riesgo. 5. Cierto empresario, dueño de su negocio, se encuentra con esta situación de decisiones: Contrato A

Contrato B

Resultados

Probabilidades

Resultados

Probabilidades

$100,000

.35

$60,000

.30

$120,000

.30

$160,000

.50

-$20,000

.35

-$40,000

.20

Los recursos del empresario son limitados de tal manera que él no puede obtener los dos contratos a la vez. Además, la función de utilidad del empresario es esta: ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪

u(160,000) = 1 u(120,000) = .96 u(100,000) = .94 u(60,000) = .80 u(0) = .60 u(-20,000) = .30 u(-40,000) = .06

Conteste estas preguntas: a) Calcule la utilidad esperada de cada alternativa. b) Usando el criterio de la utilidad esperada, diga cuál contrato debe escoger el empresario. c) ¿Tiene aversión por el riesgo ese empresario? Justifique su respuesta.

SOLUCIÓN:

Conteste estas preguntas: a) Calcule la utilidad esperada de cada alternativa Expresando los eventos en términos de lotería: Contrato A: La = {(0.35; 100,000); (0.30; 120,000); (0.35; -20,000)}

42


Contrato B: Lb= {(0.30; 60,000); (0.50; 160,000); (0.20; -40,000)} Ordenar en una secuencia de alternativas: E = {160,000; 120,000; 100,000; 60,000; -20,000; -40,000} A) E1= 100,000*0.35 + 120,000*0.30+ (-20,000)*0.35 = 64,000 B) E2= 60,000 * 0.30 + 160,000*0.50*(-40,000)*0.20 = 90,000 Los valores reducidos serían: Contrato A = 64,000 Contrato B = 90,000 b) Usando el criterio de la utilidad esperada, diga cuál contrato debe escoger el empresario. Según la función de utilidad Ej

160,000 120,000 100,000 60,000

0

-20,000

-40,000

u(Ej)

1

0.60

0.30

0.06

0.96

0.94

0.80

Calculando la utilidad esperada a cada alternativa u1= 1(0.35) +0.96(0.30)+0.30(0.35) = 0.743 u2= 0.80 (0.30) + 0.50 (1) + 0.20 (0.06) = 0.752 c) ¿Tiene aversión por el riesgo ese empresario? Justifique su respuesta. Máxima utilidad: Max {0.743; 0.752} = 0.752 El empresario tendría de utilidad máxima 0.752 - 75,2% de las ganancias y tendría la utilidad, indiferencia al riesgo. 6. Sea la situación de decisiones siguiente: Se tiene el conjunto de estados naturales, Ej tal que: Ej = {E1, E2, E3} En donde: E1 representa un nivel alto de ventas, E2 representa un nivel medio de ventas, E3 representa un nivel bajo de ventas, También se conoce la siguiente distribución de probabilidades asociada con los elementos del conjunto Ej:

43


Ej p(Ej) CURSOS DE ACCIÓN A1 A2

E1 .30

E2 .60

E3 .10

ESTADOS NATURALES E1

E2

E3

5.000,000 2.500,000

3.000,000 6.000,000

800,000 1.400,000

Considere usted el beneficio condicional como una variable aleatoria y calcule el valor monetario esperado asociado con cada curso de acción. SOLUCIÓN:

Criterio de valor monetario esperado Para saber que alternativa escoger debemos hallar el valor monetario esperado de cada alternativa, que para nuestro caso se viene expresado en la siguiente fórmula:

 =  Ex  X=  ∗pX

E1 = 5.000,000*0.30 + 3.000,000*0.60 + 800,000*0.10 = 3.380,000 E2 = 2.500,000*0.30 + 6.000,000*0.60 + 1.400,000*0.10 = 4.490,000 Estrategias Beneficios esperados A1 3.380,000 A2 4.490,000 Por lo tanto usando VME, obtenemos que la mejor estrategia a elegir sería la alternativa A2 con un beneficio monetario S/. 4.490,000.

7. La vendedora Phyllis Pauley vende periódicos en la esquina de la avenida Kirkwood y la calle Indiana, y todos los días debe determinar cuántos periódicos pedir. Phyllis paga a la compañía $ 20 por cada ejemplar y los vende a $ 25 cada uno. Los periódicos que no se venden al terminar el día no tienen valor alguno. Phyllis sabe que cada día puede vender entre 6 y 10 ejemplares, cada uno con una posibilidad equiprobable. Demuestre cómo se ajusta este problema en el modelo del estado del mundo.

44


SOLUCIÓN:

En este ejemplo, los elementos de S = {6,7, 8, 9, 10} son los valores posibles de la demanda diaria de periódicos. Se sabe que p6 = p7 = p8 = p 9 = p 10 =1/5 y. Phyllis debe elegir una acción (el número de periódicos que debe ordenar cada día) de A = {6, 7, 8, 9, 10}. Si Phyllis compra i ejemplares y la demanda es de j, entonces se compran i ejemplares a un costo de $ 20, y min (i, j) periódicos se venden a $ 25 cada uno.

Para un mejor análisis en la tabla se encuentran los premios para la vendedora de periódicos. Demanda

P e d d i o s

6

7

8

9

30

30

30

35

35

-10

30 35 15

40

40

10 30 35 40

9 -30

-5

20

45

45

-25

0

25

50

6 7 8 10

10

-50

Tabla 1

Ahora analizaremos los cuatro criterios que se pueden usar para elegir una acción. a) CRITERIO MAXIMIN El criterio maximin recomienda ordenar 6 periódicos. Con esto se asegura que Phyllis, sin importar el estado del mundo, obtendrá una ganancia de por lo menos $ 30. El criterio maximin tiene que ver con hacer lo más placentero que se pueda el peor resultado posible. Infortunadamente, elegir una decisión para mitigar el peor caso podría evitar que quien toma la decisión aproveche la buena fortuna. Por ejemplo, si Phyllis sigue el criterio maximin, nunca obtendrá menos de $ 30, pero nunca hará más de $ 30. De la tabla anterior seleccionamos de cada fila el menor de los valores y después de esos seleccionados escogemos el mayor para lo que obtenemos: Periódicos ordenados 6 7 8 9 10

Peor estado 6,7,8,9,10 6 6 6 6

Premio en el peor estado 30 10 -10 -30 -50

Mejor Peor

45


b) CRITERIO MAXIMAX El criterio maximax recomendaría ordenar 10 periódicos. En la mejor situación (cuando la demanda sea de 10 ejemplares), esto produce una ganancia de 500. Por supuesto, tomar una decisión de acuerdo con el criterio maximax deja a Phyllis expuesta a la desastrosa posibilidad de que sólo se vendan 6 ejemplares, en cuyo caso pierde 500. De la tabla 1 seleccionamos de cada fila el mayor de los valores y después de esos seleccionados escogemos el mayor para lo que obtenemos: Periódicos ordenados

Situación que produce mejor resultado 6,7,8,9,10 7,8,9,10 8,9,10 9,10 10

6 7 8 9 10

Premio en el peor estado 30 35 40 45 50

Mejor

c) ARREPENTIMIENTO MINIMAX El criterio maximax recomendaría ordenar 6 o 7 periódicos. En la tabla siguiente se muestra la matriz de costo de oportunidad o de arrepentimiento. Demanda

6 30 – 30 = 0

7

8

9

35 – 30 = 5

40 – 30 = 10

45 – 30 = 15

7

30 – 10 = 20

35 – 35 = 0

30 + 10 = 40

35 – 15 = 20

45 – 35 = 10

8

40 – 35 = 5 40 – 40 = 0

9

30 + 30 = 60

35 + 5 = 40

45 – 45 = 0

10

30 + 50 = 80

35 + 25 = 60

40 – 20 = 20

6 P e d d i o s

40 – 0 = 40

45 – 40 = 5

10 50 – 30 = 20 50 – 35 = 15 50 – 40 = 10

45 – 25 = 20

50 – 45 = 5 50 – 50 = 0

En la siguiente tabla se observan los datos de manera resumida de la tabla anterior. Demanda

P e d di o

6 7 8 9 10

6 0

7

8

9

5

10

15

20

0

10

40

20 40 60

5 0

60 80

20

5 0

40

20

10 20 15 10 5 0

Después de haber obtenido la tabla anterior seleccionamos de cada fila el valor mayor para luego seleccionar el o los valores menores de todos los obtenidos.

Periódicos pedidos 6 7

Arrepentimiento maximo 20 20

46


Menor Mejor

8 9 10

40 60 80

d) CRITERIO DEL VALOR ESPERADO El criterio del valor esperado recomendaría ordenar 6 o 7 periódicos, ver tabla 7. Para calcular la recompensa esperada debemos sumar todos los datos de cada fila y multiplicarlos uno a uno por la probabilidad de que ocurra en este caso 1/5 para después seleccionar el o los mayores. Periódicos perdidos 6 7 8 9 10

Recompensa ordenada (1/5)(30+30+30+30+30) = 30 (1/5)(10+35+35+35+35) = 30 (1/5)(-10+15+40+40+40) = 25 (1/5)(-30-5+20+45+45) = 15 (1/5)(-50-25+0+25+50) = 0

Valor Esperado

8. Una empresa duda entre lanzar al mercado el producto A o el producto B. La decisión dependerá de la reacción de la competencia. Si la competencia no se adelanta, la empresa estima que ganara 15.000 euros con el producto A y 12.000 euros con el producto B. Si la competencia se adelanta, la empresa ganaría 8.000 euros con el producto A y 9.000 euros con el producto B. SOLUCIÓN:

Matriz de decisión

Bajo incertidumbre 1.- Criterio de WALD

Decisión: Según el criterio de WALD se recomienda lanzar el producto B al mercado.

47


2.- Criterio de LAPLACE

Decisión: Según el criterio de LAPLACE se recomienda lanzar el producto A al mercado. 9. Un empresario de espectáculos tiene que organizar un concierto y se le ofrecen las opciones de hacerlo en el Pachencho Romero o en el Belisario Aponte. Los beneficios van a depender de la asistencia del público y ésta a su vez del clima, que puede ser con lluvia, con nubes o soleado. Los resultados esperados si lo organiza en el Pachencho son 10.000, 50.000 y 65.000 Bs si el tiempo es lluvioso, nublado o soleado respectivamente. Si el concierto se realiza en el Belisario, los resultados serían 45.000, 40.000 y 35.000 Bs para cada estado climático. SOLUCIÓN:

Se pide: a) Configurar la matriz de decisión. b) ¿Qué decisión debe tomar el empresario si utiliza el criterio de Laplace? c) Realizar el método de Minimax y hacer una conclusión de ambos métodos.

Formula: Valor Esperado = P(n) * aij + P(n) * aij +… + P(n) * aij(n)

PRIMERO LA MATRIZ: SOLO HACER EL CUADRO Y COLOCAR LOS DATOS DEL EJERCICIO

Sucesos Investigados Estados Estrategias Pachencho Belisario

1

2

3

Lluvioso

Nublado

Soleado

10.000 45.000

50.000 40.000

65.000 35.000

48


SEGUNDO LAPLACE: SACAR LAS PROBABILIDADES EL 33,33 SALE DE 100/N DONDE N ES LA CAMTIDAD DE ESTADOS COMO TENGO 3 SON 100/3 = 33.33 PARA SACARLO EN % ES 33.33 / 100 = 0.33.

Sucesos 1 Investigados Estados Lluvioso Probabilidades 33,33 % = > 0.33 Estrategias Pachencho 10.000 Belisario 45.000 TERCERO:

2

3

Nublado 33,33 % = > 0.33

Soleado 33,33 % = > 0.33

50.000 40.000

65.000 35.000

APLICO LA FORMULA DE VALOR ESPERADO

Formula: Valor Esperado = P(n) * aij + P(n) * aij +… + P(n) * aij(n)

Valor Esperado para Pachencho: 0.33 * 10.000 + 0.33 * 50.000 + 0.33 * 65.000 =

41.250 Valor Esperado para Belisario: 0.33 * 45.000 + 0.33 * 40.000 + 0.33 * 35.000 = 39.600

JUSTIFICACIÓN: Teniendo en cuenta los datos de la matriz de decisión elaborada, la opción más interesante utilizando el criterio de Laplace es la de realizar el concierto en el Pachencho ya que el valor monetario esperado (41.250 Bs) es superior al valor de realizar el concierto en el Belisario.

CUARTO MINIMAX: AQUÍ SOLO DE LA MATRIZ ESCOJO LOS MINIMOS Y LUEGO DE LOS MINIMOS ESCOJO EL MAXIMO

Sucesos Investigados Estados Estrategias Pachencho Belisario

1

2

3

Lluvioso

Nublado

Soleado

10.000 45.000

50.000 40.000

65.000 35.000

MINIMAX

10.000 35.000

49


10. Se quiere elegir la mejor opción para elegir la mejor opción de clientes que toman una bebida…si suponemos Que el coeficiente de optimismo es de 0.7

Alternativas Coca cola Pepsi Coca-cola y Pepsi

Demanda alta 290 450 250

Demanda Baja 200 100 200

Demanda Media 215 380 220

SOLUCIÓN:

Formulas: T(x) = TO * MAX + TP* MIN α:TO

tp: 1-to

Solución: Coca-Cola: 290*0,7 + 200* 0,3 = 263 Pepsi: 450*0,7+ 100* 0,3 = 345 - a elegir Ambos: 250*0,7 + 200* 0,3 = 235 Según este criterio, la alternativa o la opción escogida x los usuarios es la Pepsi.

10. Pedro piensa apostar en el juego Indiana-Purdue, en finales de campeonato. Sin tener más información, cree que ambos equipos tienen probabilidades desiguales de ganar. Si gana la apuesta, ganará 10 000 dólares; si pierde, perderá 11 000 dólares. Antes de apostar puede pagar 1 000 dólares a Roberto por su pronóstico. Roberto predice, el 60% de las veces, que Indiana gana, y 40% de las veces que gana Purdue. Cuando Roberto dice que Indiana va a ganar, Indiana tiene 70% de probabilidades de ganar, y cuando Roberto dice que Purdue va a ganar, Indiana sólo tiene el 20% de probabilidades de ganar. Determinar cómo puede Pedro aumentar sus utilidades totales esperadas al máximo. ¿Cuál es el VEIM y el VEIP?

50


SOLUCIÓN:

Para calcular las cantidades que nos piden es necesario hacer los tres árboles de decisión vistos; estos son: 1º- ÁRBOL PARA CALCULAR EL VALOR ESPERADO CON INFORMACIÓN ORIGINAL (VECIO):

gana apuesta (0.5) apuesta Indiana gana

10.000

-500 pierde apuesta (0,5)

-11.000

-500 gana apuesta (0.5) apuesta Purdue gana

10.000

-500 pierde apuesta (0,5)

-11.000

VECIO=-500$ 2º- ÁRBOL PARA CALCULAR EL VALOR ESPERADO CON INFORMACIÓN MUESTRAL (VECIM): Indiana gana Pedro apuest I. Gana

3700 Purdue gana

Roberto apuesta I.Gana(0,6)

10,000 -11,000

3700 Indiana gana Pedro apuesta P. Gana

-11,000

-4700 Purdue gana

10,000

4540 Indiana gana Pedro apuest I. Gana

5800 Purdue gana

Roberto apuesta P.Gana(0,4)

10,000 -11,000

5800 Indiana gana Pedro apuesta P. Gana

-11,000

-6800 Purdue gana

10,000

VECIM=4.540$ VEDIM= VECIM - VECIO= 4.540-(-500)= 5.040$ Como esta cantidad es mayor que 1.000$, que es lo que le cobra Roberto, pide pronóstico a Roberto.

51


3º- ÁRBOL PARA CALCULAR EL VALOR ESPERADO CON INFORMACIÓN PERFECTA (VECIP):

apostar por Indiana Indiana gana

10.000

10.000 apostar por Purdue

-11.000

10.000 apostar por Indiana Purdue gana

-11.000

10.000 apostar por Purdue

10.000

VECIP=10.000$ VEDIP=VECIP - VECIO=10.000-(-500)= 10.500$

52


II. PROGRAMACIÓN PERT-CPM

TEMAS     

Programación Pert - Cpm ......................................................................54 Pág. El Grafo Pert – Cpm En La Planificación De Proyectos .............................58 Pág. Duración De Una Actividad ...................................................................76 Pág. Costos Y Duración Óptima De Un Proyecto En El Sistema Pert-Cpm ...... 101 Pág. Ejercicios Resueltos ............................................................................113 Pág.

53


I

PROGRAMACIÓN PERT - CPM Desde su aparición, las técnicas del camino critico han sufrido una acelerada evolución, consecuencia de ello han aparecido diversos procedimientos en la soluciones, costos, recursos, etc., procedimientos que han sido resumidos por Thomas V.Sobczak en la Fig. 1.4 PERT/ COST PERT II AMPSWSPAC SR LESS FASE II

PERT

LESS

PACT CRITICAL PATH PLANNING

SCANS

CPM

MAN SCHEDULING TECHNIQUES

SCANS FASE II

CPM COST

CPM MANO DE OBRA

CPM RECURSOS

54


PERT= Program Evaluation and Review Technique. CPM= Critical Path Method RAMPS = Resource Allocation and Manpower Scheduling LESS = Least Cost Estimating and Scheduling PACT = Production Analysis Control Technique SCANS = Scheduling, Control, and Automation by Network Systems. Como cada una de las técnicas de dirección descritas presentan ventajas y limitaciones en la planificación de proyectos, en la actualidad, tanto el PERT y el CPM, se les trata como una sola técnica combinada, por tener ambas los mismos fundamentos: empleo de una lógica secuencial y el uso de grafos para representar el desarrollo de un proyecto; de esta forma se ha logrado ampliar y mejorar el campo de aplicaciones en las gestiones administrativas. Con el fin de alcanzar lograr los objetivos con éxito, la programación PERT- CPM, básicamente se empleará en la planeación, programación y control de los problemas de producción (fabricación) por unidades, donde lo más importante es la determinación y control de la variable tiempo. BASES DEL NUEVO METODO DE PLANEACIÓN, PROGRAMACIÓN Y CONTROL El método Pert-Cpm está sustentado en las siguientes bases: 1.- Dentro de la planificación, considera separada la planeación y la programación. 2.- Descompone la etapa de la planeación en dos fases: - Determinación de las actividades componentes para desarrollar el proyecto. - Presenta la secuencia lógica de ejecución de las actividades componentes del proyecto. 3.- Representación de un plan de trabajo mediante una gráfica de nudos y flechas. 4.- El método Pert considera la duración de una actividad como una variable aleatoria y estimación de tres duraciones para cada actividad: optimista, más probable y pesimista; mediante las cuales se ajusta a una distribución conveniente de densidad de probabilidad para la duración de la actividad considerada. 5.- Analiza la forma de cómo aumenta el costo de una actividad al reducir su duración. 6.- Analiza los recursos requeridos para cada duración posible de cada actividad. 7.- Métodos pertinentes de la rama de las matemáticas conocidos con el nombre de “Programación Lineal”.

8.- El método Pert se apoya en la estadística y el método Cpm en la experiencia.

55


FUNDAMENTO DE LA REPRESENTACIÓN GRAFICA DE UN PROYECTO. Como ya hemos indicado, la Programación Pert-Cpm usa el grafo para representar el desarrollo de un proyecto específico. La finalidad de un grafo Pert-Cpm esquematizado, es representar la lógica del proyecto entero y desarrollar los detalles del proyecto de acuerdo a las exigencias y restricciones técnicas.

Fig.1.11 REPRESENTACIÓN DE UN PROYECTO MEDIANTE UNA RED DE ACTIVIDADES (NUDO)

(NUDO)

SUCESO [Evento hecho Acontecimiento]

(FLECHA)

ACTIVIDAD [Tarea, Trabajo + Operación, Proceso] +

(NUDO)

SUCESO [Evento, Hecho, Acontecimiento]

Fig. 1.12 ELEMENTOS DEL GRAFO PERT- CPM

Las tareas, trabajos, operaciones o procesos son considerados como actividades. Gráficamente cada actividad está compuesta de dos partes básicas ▪

La primera, la ejecución del trabajo, está representado por una flecha orientada con sentido de izquierda a derecha. o Se entiende que la actividad es un símbolo del trabajo en proceso de ejecución, requiriendo para ello el consumo de tiempo y recursos.

56

Investigación Operativa II – Lucio Malásquez Ruiz ▪

La segunda, son los sucesos y generalmente se representan con dos círculos, elipses o rectángulos que se colocan en los extremos de las flechas. o Un suceso es un instante específico del tiempo y sirve como punto de control, describiendo el momento de comienzo o término de una actividad y ello no consume tiempo. Algunas consideraciones para esquematizar el Grafo Pert-Cpm. o

▪

El grafo comienza en un único suceso inicial y no tiene actividades que la preceden. Una actividad no puede empezar hasta que todas las actividades precedentes hayan sido terminadas. Una actividad debe estar terminada para que sus subsiguientes pueden comenzar. La longitud de la flecha no representa cantidad de tiempo. La dirección de la flecha no tiene sentido vectorial, es solamente una proyección del tiempo, como el tiempo es irreversible, la orientación de la flecha, es siempre de izquierda a derecha. Tampoco es preciso que la flecha sea una línea recta, puede dibujarse en curva. El grafo termina en un único suceso final y no tiene actividades que la subsigan.

▪ ▪ ▪ ▪

▪ ▪

VENTAJAS QUE OFRECE LA TECNICA DE MALLAS PERT-CPM. 1° Es un método nuevo que se emplea en la planificación de proyectos. 2° Permite la planeación, programación y control de los recursos disponibles. 3° En forma clara muestra el plan para la realización de un proyecto específico. 4° Sirve de guía para el refinamiento de un proyecto. 5° Es un medio para evaluar estrategias o planes alternativos de acción. 6° Permite la simulación de las alternativas de operación. 7° Es un medio de evitar la omisión de actividades que pertenecen a un proyecto. 8° Es un medio de deslindar responsabilidades en la ejecución de las diferentes actividades que intervienen en el proyecto. 9° Proporciona a la dirección las siguientes informaciones: 9°1 Qué trabajos serán necesarios primero y cuándo se deben de realizar los problemas de financiación y los acopios de materiales. 9°2 Qué trabajos hay y cuántos serán requeridos en cada momento. 9°3 Cuál es la situación del proyecto que está en marcha en relación con la fecha programada para su terminación. 9°4 Cuáles son las actividades críticas y cuánto tiempo de holgura permite si hay demora. 9°5 Cuáles son las actividades no críticas y cuánto tiempo de holgura permite si hay demora. 9°6 Si el proyecto está retrasado, dónde se puede reforzar la marcha para contrarrestar la demora y qué costo produce. 9°7 Cómo es la planificación y programación de un proyecto con costo mínimo y duración óptima. 10° Nos permite mejorar la capacidad de conducción y controlar el desarrollo del proyecto debido a la correcta interpretación de los resultados. 10°1 Cómo evitar los “tiempos muertos” y “cuellos de botellas” en la

maquinarias y mano de obra. 10°2 Cómo coordinar eficientemente un cierto número de sub-contratistas. 10°3 Cómo hacer uso de horas extraordinarias en el momento adecuado.

57


10°4 Cómo conocer y disminuir las posibles perturbaciones del desarrollo del proyecto.

II

EL GRAFO PERT – CPM EN LA PLANIFICACIÓN DE PROYECTOS Como ya se ha visto, cada una de las actividades de un proyecto se representa mediante flechas orientadas, las que se enlazan entre sí formando una malla o red y cuyo sentido indica el desarrollo del proyecto a lo largo del tiempo. 2.1 MALLA O RED DE FLECHAS Es la representación reticular de las actividades que comprenden la realización de un proyecto específico. La malla o red de flechas orientadas, sirve al programador para representar gráficamente el desarrollo general de la Obra. La técnica de “planificación por mallas” ordena todos los itinerarios de traba joactividades, operaciones o procesos – cuyas terminaciones sucesivas son necesarias para la realización del proyecto, de tal forma que su ordenación en el tiempo corresponde a las necesidades técnicas planeadas de antemano. Concretamente: Cada proyecto en particular, consta de una serie de actividades de distintas naturalezas, donde algunas dependen unas de otras y otras que son independientes. ELEMENTOS DE UNA MALLA El elemento básico del grafo PERT-CPM es la flecha, que comienza y finaliza en nudos, los cuales representan los sucesos de inicio y terminación de la actividad a la que representa. a) Nudo

flecha

b) Suceso o actividad

c) Suceso inicia la actividad

Nudo

suceso

Suceso final

58


d)

i

Aij

j

Fig. II1: Representación de un elemento de una malla Pert- Cpm Con el propósito de facilitar la identificación y cálculos en la red y evitar confusiones, toda actividad llevará un nombre y todo suceso un número.

TIEMPO DE PREPARACION (TP) Y RESTRICCIONES EXTERNAS Generalmente en los modelos de red para proyectos, hay un tiempo de preparación antes de la etapa de ejecución del mismo. En este tiempo se realiza una serie de actividades restrictivas que condicionan la puesta en marcha del proyecto y entre las que se mencionan: ✓ ✓ ✓ ✓

Gestiones para obtener autorizaciones y licencias. Gestiones financieras Espera de la última decisión para lanzar el proyecto. Mejora de las condiciones ambientales.

El tiempo de preparación (TP) se representa con una flecha de línea sinuosa (  ) con tiempo de duración cero. Fig II.2.

En el diagrama se interpreta: el suceso O marca la iniciación del proyecto y el suceso 1 marca la iniciación de la ejecución física del proyecto.

ACTIVIDADES FICTICIAS (FIC) La correcta enumeración de los sucesos, permite identificar las diferentes actividades mediante los sucesos de inicio (i) y de terminación (j). Para que cada actividad pueda ser identificada por una combinación única de sucesos de inicio y de terminación, es necesario incluir en la elaboración de la red, las llamadas Actividades Ficticias (FIC) que no consumen trabajo, tiempo o recursos, sino que sirven para dar consistencia a las interrelaciones de las actividades en circunstancias especiales. En teoría de grafos PERT-CPM, a las Actividades Ficticias se la representa por una flecha de trazo discontinuo (---------- ) Fig. II.3.

59


2 A

Fic. 1

B

1

0

5

4

C 3

Fic. 2

BUENA

A

0

1

3

2

B

C MALA En Esta Red Existen Tres Actividades Con La Misma Codificación Fig. II.3: USO DE ACTIVIDADES FICTICIAS

2.2 REGLAS BASICAS PARA ELABORAR UNA RED O CADENA DE FLECHAS Para lograr una correcta representación gráfica de las dependencias internas en un diagrama de mallas, se deberá tener en cuenta las siguientes reglas: 1. La colocación de dos flechas una a continuación de la otra, según la figura, indica que la actividad A debe estar concluido para que se inicie la actividad B. A

B

Fig. II.4: REGLA 1

2. La disposición de las flechas, según la figura, indica que la actividad A debe estar concluido para que puedan iniciarse las actividades B y C. B A

C

60


Fig. II.5: REGLA

3. La disposición de las flechas, según la figura, indica que la actividad A y B deben estar concluidas antes de iniciarse la actividad C. A

C B

Fig. II.6: REGLA

4. La longitud y la forma de representar las flechas con a voluntad del programador, lo cual quiere decir que las 4 figuras que se muestran son equivalentes 1

2

3

4

61


Fig. II.7: REGLA 4

5. Cuando dos o más cadenas están programadas en paralelo y existen prioridades, es necesario introducir actividades ficticias para expresar correlaciones de tiempo. A

B

C

A

C

B

D

D

Fig. II.8: REGLA 5 La figura expresa que la actividad C

Al indicar que la actividad D depende

solo puede iniciarse al concluir A y B,

de A, esto no es cierto, pues también

pero que D depende tan solo de B.

depende de B.

6. Se debe evitar la conexión de dos nudos mediante dos o más flechas ficticias. A Fic. 1

A

D B

D

B

C

C

Incorrecto

Fic. 2

Correcto

Fig. II.9: REGLA 6

7. Una actividad no debe conducir a un suceso que es previo al inicio de la actividad. E D C A

B

Incorrecto

Fig. II.10: REGLA 7

62


8. Si el inicio de una actividad no depende de la culminación de un proceso complejo, sino tan sólo de un parte del mismo, hay que descomponerla a ésta de manera racional según criterios tecnológicos. Proyecto “Libro A”

ESCRIBIR CAPT.

ESCRIBIR CAPT.

I

ESCRIBIR CAPT.

III

II

Fig. II.11: REGLA 8

9. En la programación Pert-Cpm, normalmente, los proyectos tienen un nudo de inicio y uno de terminación. Esta exigencia se logrará cumplir siempre si introducimos actividades ficticias.

INICIAL

FINAL

Fig. II.12: REGLA 9

10. Los proyectos pueden presentarse con diferentes grados de sintetización B1

B4 C

B2 A B3

B5

63


RED PRINCIPAL B

C

A

RED SECUNDARIA

B1

B4 B2

B3

B5

Fig. II.13: REGLA 10

ENUMERACIÓN DE LOS SUCESOS A fin de poder identificar las actividades componentes del proyecto y facilitar los cálculos en el ordenador es conveniente asignar números naturales a cada uno de los sucesos desde el inicial hasta el final. Fig. II. 14. Para una correcta numeración secuencial se deberá observar: a) El orden numérico de los sucesos ha de ser creciente en el sentido de las flechas y de arriba hacia abajo. b) En la numeración de los sucesos, se debe utilizar una serie progresiva de razón mayor que la unidad, para poder intercalar sucesos, de ser preciso sin alterar la numeración fundamental.

3 B A 1

D

C 2

E 4

5

Fig. II.14: ENUMERACION DE LOS SUCESOS

64


De esta forma, todas las actividades estarán entonces identificadas únicamente por su suceso inicial y final. Actividad A = (1,2) Actividad B = (2,3) Actividad C = (2,4) Actividad D = (3,4) Actividad E = (4,5) Generalizando en una malla de n sucesos, los sucesos de inicio y terminación serán: i

i

ii

i

j

Fig. II.15: GENERALIZACIÓN DE LA ENUMERACIÓN DE LOS SUCESOS i= 1, 2, 3, 4, 5, 6………. (n-1) j= 2, 3, 4, 5, 6 ,7..………. n

De tal forma que siempre: i < j

Fig. II.15

TRAZADO DEL GRAFO Para comenzar a dar forma a un grafo Pert-Cpm y plantearnos de las relaciones lógicas de precedencia, debemos formularnos las siguientes preguntas: 1º ¿Qué sucesos y actividades deben efectuarse inmediatamente antes de que tenga lugar este suceso? 2º ¿Qué sucesos y actividades se pueden realizar en paralelo? 3º ¿Qué sucesos y actividades pueden efectuarse inmediatamente después de este suceso? Inicialmente el grafo debe esbozarse con lápiz para poder borrar varias veces e ir mejorándolo en sucesivos tanteos. Las siguientes indicaciones orientativas facilitan el procedimiento: a) En lo posible las flechas deben ser rectas. b) Evitar en lo posible que las flechas se crucen. c) Evitar en lo posible que las longitudes de las flechas sean desproporcionadas unas con otras. d) Evitar en lo posible que las flechas tengan los ángulos entre ellas pequeños. e) Evitar el desorden en la numeración, procurando hacer esta de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo.

65


f) Evitar las flechas ficticias que no sean necesarias.

PROCEDIMIENTO PARA ESTABLECER LOS GRAFOS El replanteo de la red debe hacerse de una forma lógica y secuencial según las relaciones de precedencia entre las actividades. Así, si tenemos una serie de actividades que forman parte de un proyecto específico, existirán interdependencias de actividades entre sí y además, existir otras condiciones limitantes que pueden intervenir en la realización de cada una de ellas.

PROBLEMA Nº 1 Un proyecto consta de 8 actividades las que están interrelacionadas conforme se indica. Actividades Precedencia (depende de…) A B C A D F E B, C F A G E H D, G Esboce el grafo Pert-Cpm correspondiente. SOLUCIÓN: Cada uno de los pasos está graficado en la Fig. II. 16.

1º SUCESO

A

INICIAL

A, B NO DEPENDEN DE NINGUNA OTRA ACTIVIDAD B

2º A

C C DEPENDE DE A B

66


3º A

E DEPENDE DE B Y C C B

E

4º F A C F DEPENDE DE E B

E

5º F A D C D DEPENDE DE F

B

E

6º F A

D C B

G DEPENDE DE E E G

67


7º

F D

C

H G

B

H DEPENDE DE D Y G

8º F A

D

C

G

E

B

TERMINA EN UN UNICO SUCESO

Fig. II.16: METODOLOGIA PARA ESBOZAR UNA RED Una vez formada la red, debe verificarse que no existan incongruencias en las relaciones de precedencia.

PROBLEMA Nº 2 Se tiene una serie de actividades de un proyecto, las que están interrelacionadas según las relaciones de precedencia que se indica: Actividades

Precedencia

A

-

B

A

C

A

D

B

E

C

F

D,E

68


SOLUCIÓN:

D

B A

E

C

PROBLEMA Nº 3 Dada una serie de actividades componentes de un proyecto, trace el grafo correspondiente.

Actividades

Precedencia

R

-

A

-

B

A, R

C

A

D

B

E

C

T

D, E

SOLUCIÓN: B D

R

T E C

69


PROBLEMA Nº 4 Dada una serie de actividades de un proyecto y sabiendo que la actividad A precede a las actividades B, C, D y estas a E grafique la red de actividades. SOLUCIÓN

B A

C

PROBLEMA Nº 5 Las actividades de un proyecto están correlacionadas según las relaciones de precedencia que se indica. Grafique la red de flechas. Actividades

Precedencia

A

-

B

-

C

-

D

A

E

C

F

B, D

G

E, F

SOLUCIÓN

70


PROBLEMA Nº 6 Nombre las actividades, enumere los sucesos y explique las relaciones de precedencia de las actividades de la siguiente red. SOLUCIÓN

PROBLEMA Nº 7 Un proyecto consta de 10 actividades, conforme se indica. Grafique la red de flechas. Actividades

Precedencia

A

-

B

-

C

A

D

A

E

C, D

F

B, E

G

E

H

C, D

I

C, D

J

C, D

K

F, G, H, I, J

SOLUCIÓN J C

I D

H

K

A

71


G

E

B

F

PROBLEMA Nº 8 Con los datos de precedencia de las actividades de un proyecto, determine la red correspondiente. Actividades

Precedencia

A

-

B

-

C

-

D

C

E

A

F

B, D, E

G

B, D, E

H

B, D, E

I

H

J

A, F

L

G, I, J

SOLUCIÓN E A

G

B C

J

F

D

H

L

I

72


PROBLEMA Nº 9 Con los datos de precedencia que se indica, determine la red de actividades. Actividades

Precedencia

A

-

B

A

C

A

D

A

E

C

F

C

G

E

H

D, F, G

I

B, H

SOLUCIÓN

E C

G

F

H

D

I

A B

PROBLEMA Nº 10 Haga una red de actividades, si las relaciones entre las actividades son las siguientes. a) A es la primera actividad del proyecto. b) B, C, L son actividades que se desarrollan simultáneamente y dependen de la realización de A. c) D, E se desarrollan en paralelo y dependen de la realización de C, M. d) F sigue a H y precede a G. e) H, I, M deben iniciarse después de la terminación de B.

73


f) O sigue a H y precede a Z. g) D, G, I, L, O deben estar terminadas antes de iniciar Z que es la última actividad del proyecto. h) E también es una actividad final. SOLUCIÓN F

B

G

O

I M

Z

L

A

C

D

E

PROBLEMA Nº 11 Supongamos que tenemos seis actividades bien definidas componentes de un proyecto: A, B, C, D, E, F; siendo las relaciones de precedencia las siguientes: a) b) c) d)

A y B pueden empezar simultáneamente después de la actividad TP. Las actividades C, D pueden empezar solamente cuando termina A. Al terminar la actividad B, solo puede comenzar E. Antes de empezar la actividad F, deben estar terminadas C, D, E.

Bosqueje el diagrama de actividades. SOLUCIÓN C A D TP

F B

E

74


PROBLEMA Nº 12 Teniendo presente las siguientes relaciones de precedencia de un proyecto, diagrame la red de flechas. a) A, X son las primeras actividades que siguen a “Tiempo de Preparación” del proyecto. b) B, C dependen de la realización de A. c) G debe comenzar después que ha terminado D, E. d) Al terminar C deben comenzar simultáneamente E, F, O. e) D debe comenzar al terminar B, C, X pero dependerá solo de B, X. f) H debe continuar a F. g) I, J dependen de la realización de G,H,O. h) Al terminar I deben comenzar en forma simultánea K, L. i) M solo comenzara al terminar J, K. j) N es la última actividad del proyecto dependiendo de la terminación de L, M. SOLUCION

75


DURACIÓN DE UNA ACTIVIDAD

III

Cada actividad depende del tiempo calculado para su realización. La estimación de los tiempos de duración se basa algunas veces en los datos experimentales y otras veces en el cálculo ponderado de probabilidades. Duración de una actividad según el CPM.

 ⇒ 

i

j

Duración de una actividad según el PERT. i

 ⇒  

j

Se observa que el CPM utilizara los tiempos determinísticos, es deci r la “duración mas probable” mientras que el PERT utiliza las tres duraciones que dan lugar a la duración

promedia. Fig. III. 1. DURACION OPTIMISTA (a) Optimistic Time: Expresa el tiempo mínimo que sería necesario para realizar la actividad. El cálculo de este tiempo considera ideales todas las circunstancias que han de concurrir en la realización de la actividad, pensando que todo va a salir bien, en perfecto cronometraje y sin que se produzcan fallas que puedan afectar a su duración. Por estos motivos, este tiempo es de apreciación poco realista. DURACION MÁS PROBABLE (m) Most Likely Time: Es aquel que se estima como justamente el necesario para realizar la actividad en condiciones normales de trabajo con el empleo de los recursos determinados de antemano. Este cálculo de duración normal viene apoyado por la experiencia o la

76


estadística. Generalmente tiene en cuenta los retrasos naturales que suelen producirse por causas especiales o imprevistos.

DURACION PESIMISTA (b) Pessimistic Time: Es el tiempo máximo que puede estimarse para que se efectúe la actividad en condiciones desfavorables sin que lleguen a admitirse en esta ponderación causas de fuerza mayor o riesgo catastrófico, incontrolables en el orden lógico. Obsérvese que tij o Teij significa “duración de la actividad”, que cuando toma valores

definidos, servirán para determinar; cuando comenzar o cuando terminar la realización de la actividad. Es necesario expresar las duraciones de cada actividad, en unidades de tiempo, pudiendo ser: horas, días, semanas, etc. Una vez elegida la unidad de tiempo, todas las actividades estarán referidas a la misma base. La programación del desarrollo del proyecto podrá ser correlacionado a fechas calendario de realización.

1. LOS TIEMPOS PARA COMEZAR Y TERMINAR UNA ACTIVIDAD La determinación de cuando comenzar y/o terminar cada actividad y los cálculos en la red, están apoyados en el PERT.

COMIENZO

i

ti

TERMINO



j

t

Fig.III.2: LOS TIEMPOS PARA COMENZAR Y TERMINAR

77


El cuadro que resume los diversos nombres que adoptan estas terminaciones.

OPTIMISTA t0

COMENZAR t0i Inicio más lejano.

Fecha más temprana. Fecha mínima esperada. Lo más pronto posible

TERMINAR t0 Terminación más próxima.

PERT-CPM

TIEMPOS

PESIMISTA t* Fecha más tardía. Fecha máxima esperada (TL). Lo más tarde posible

COMENZAR t* i Inicio más próximo.

TERMINAR t* j Terminación más lejana.

CUADRO III.1: LOS TIEMPOS PARA COMENZAR Y TERMINAR UNA ACTIVIDAD

SIMBOLOGIA. - Adoptaremos una simbología que facilita la realización de los cálculos en la red. Fig. III.3

n to

tx

Fig. III.3: SIMBOLOGIA a) Los sucesos se representan por un circulo, el que estará dividido en tres campos: ➢ En el campo superior se enumerará el número del suceso

78

Investigación Operativa II – Lucio Malásquez Ruiz ➢ ➢

En el campo izquierdo inferior se colocara el tiempo optimista t° (t°) En el campo derecho inferior se colocara el tiempo pesimista t +- (t+)

b) La actividad se representará:

Aij

i ti +

ti 0

j t j+

t j0

tij

Fig. III.4: LA ACTIVIDAD CON SUS DURACION Y LOS TIEMPOS PARA COMENZAR Y TERMINAR Es decir, en toda actividad; tanto el suceso inicial y final, llevaran los tiempos optimistas y pesimistas para comenzar y terminar. Fig. III.4. c) Los tiempos optimistas para comenzar y terminar una actividad:

Aij

i ti 0

j t j0

tij

Fig. III.5: IDENTIFICACION DE LOS TIEMPOS OPTIMISTAS PARA COMENZAR Y TERMINAR UNA ACTIVIDAD. d) Los tiempos pesimistas para comenzar y terminar una actividad:

Aij

i ti +

j t j+

tij

Fig. III.6: IDENTIFICACION DE LOS TIEMPOS PESIMISTAS PARA COMENZAR Y TERMINAR UNA ACTIVIDAD. COMO ENCONTRAR LOS TIEMPOS PARA COMENZAR Y TERMINAR UNA ACTIVIDAD Para comprender la metodología de cálculo, tomemos como ejemplo el siguiente diagrama de flechas. 15 2

5

8

6

0 1

TP

5

7

12 4

7

15

3 3

19

6

17

7

79


Fig. III.7: RED CON DURACIONES DE LAS ACTVIDADES

CALCULO DE LOS TIEMPOS OPTIMISTAS EN LA RED (LO MÁS PRONTO POSIBLE) (Earliest Expected Time). La red propuesta deberá ser trasladada a otra red de cálculo, considerando los tres campos de cada suceso y para ello se seguirán las siguientes reglas: 1° Considerar siempre que la primera actividad debe comenzar en cero. 2° Cuando en un suceso termina una actividad, se empleara la fórmula:

        [  ]

3° Cuando en un suceso termina varias actividades se empleara la fórmula:

4° El valor del último tiempo optimista, marcara la duración del proyecto. Los cálculos están resumidos en la Fig.

Fig. III.8: RED DE CALCULOS CON LOS TIEMPOS OPTIMISTAS CALCULO DE LOS TIEMPOS PESIMISTAS EN LA RED (LO MÁS TARDE PERMISIBLE) (Lastest Ocurrence Time) Se irá retrocediendo de suceso en suceso siguiendo las siguientes reglas: 1° Se comienza desde la duración del proyecto, es decir se partirá del valor del último suceso; determinado con los cálculos de los tiempos optimistas.

  +     ú 

2° Cuando del suceso comienza una sola actividad, la determinación se hará con la fórmula:

80


+  +   +   [+  ]

3° Cuando del suceso comienzan varias actividades, la formula será:

4° El valor en el primer suceso será el comienzo del proyecto.

Fig. III.9: RED DE CALCULOS CON LOS TIEMPOS PESIMISTAS

2. DETERMINACION DE LA RUTA CRÍTICA La determinación de la ruta crítica puede ser planteada mediante las holguras del PERT o los tiempos colgantes del CPM. CALCULO DE LAS HOLGURAS EN EL PERT El PERT considera dos tipos de Holguras de Tiempo: Holguras de Suceso y Holgura de Actividad. HOLGURAS DE SUCESO (HS) Es la diferencia entre el tiempo pesimista y el tiempo optimista de un mismo suceso. Fig. III10.

n tno

tnx

  +  

n = número del suceso

SUCESO

81


Fig. III.10: DATOS PARA DETERMINAR LAS HOLGURAS DE SUCESO

HOLGURAS DE ACTIVIDAD (HA) Es la diferencia entre el tiempo pesimista de terminación y la sumatoria del tiempo optimista de inicio y su duración. Fig. III.11.

Aij

i ti 0

j t j+

tij

  +  (  )

Fig. III.11: DATOS PARA DETERMINAR LAS HOLGURAS DE ACTIVIDAD

En la programación de un proyecto, no nos pueden decir la fecha exacta de terminación de una actividad, pero si nos pueden decir el “tiempo más probable” en que la actividad se

puede terminar según experiencias anteriores y a juicio de los recursos actuales disponibles. DURACIONES DE UNA ACTIVIDAD Duración Optimista (a). Periodo de tiempo más corto que exigirá la terminación de una actividad. Duración Pesimista (b). Periodo de tiempo más largo que exigirá la terminación de una actividad. Duración “Más Probable” (m). Estimación más realista del tiempo que llevara la realización

de una actividad. DURACION MEDIA DE UNA ACTIVIDAD (Tiempo Esperado o duración Prevista) Te. Esta duración será determinada en base a las tres duraciones con la fórmula propuesta por la Distribución Beta

Te 

a  4m  b

6

Certeza del valor Te. El valor de Te en la distribución de Beta (se comporta como mediana), divide al área de probabilidades en dos partes del 50% aproximadamente y su ubicación respecto a la moda m nos induce a deducir lo siguiente: Cuando la duración media ( Te ) calculada es mayor que la duración más probable (m) esta tiende a la duración optimista a, dando lugar a una distribución simétrica a la izquierda; o sea am es menor que mb (am < mb).

82


La duración más probable m, siempre coincide con la moda de la distribución. Cuando la duración media ( Te ) calculada es menor que la duración más probable (m) esta tiende a la duración pesimista b, dando a lugar a una distribución asimétrica a la derecha; o sea que am es mayor que mb. Cuando la duración media ( Te ) calculada es igual a la duración más probable m, dará a lugar a una distribución simétrica.

83


Calculo de la incertidumbre de Te. La medida adecuada de expresar la incertidumbre de Te es la varianza de la distribución de probabilidades. 2  ) ( LA VARIANZA

Indica el riesgo de no acertar el empleo del valor de la Duración Prevista Te. Su valor se determina con la fórmula de la Distribución Beta.

( )  ( 2

ba

6

)2

Cuando el valor de la varianza es mayor, mayor es el riesgo de no acertar el valor de Te.

84


Se observa en la figura que la varianza de A es mayor que la de B, lo que quiere decir que él Te dé A es menos certero que el de B. Con algunos ejemplos despejaremos dudas respecto a la incertidumbre del empleo del valor de Te.

Se observa que Te tiene los mismos valores en las diferentes curvas, pero su grado de certeza es diferente. Hemos expuesto que el modelo Pert hace uso de las tres duraciones: optimista, m ás probable y pesimista para determinar la “duración prevista” Te para cada actividad y a la vez poder

calcular su grado de certeza al ser empelado en el proyecto.

85


DETERMINACION DE LA PROBABILIDAD DE TERMINAR EL PROYECTO ACTIVIDAD A EN EL SUCESO n

(T P )

O LA

ij

Como la duración de cada actividad del proyecto tiene su Te con un grado de incertidumbre en su utilización y además cada actividad puede tener su propia forma de distribución de probabilidades, sin embargo, la duración del proyecto, sigue una distribución de forma normal. DURACION DEL PROYECTO ( T P ) El valor de la duración del proyecto es determinar por la duración de la Ruta Critica (r.c.).

TP T j

 (Te )r.c.  (t 0i )n

Referido a la terminación de la actividad

Aij

en el suceso n.

La duración media Te, era aquella duración de la actividad que dividía a la función de distribución en dos partes iguales, es decir que el 50% del área situada debajo de la curva de densidad de probabilidad (en la función Beta) quedaba a la izquierda de Te y el otro 50% a la derecha. Por eso había una probabilidad de 0.5 de que el proyecto sea terminado en el plazo mínimo del suceso final.

86


Siempre la duración del proyecto determinado en base a los Te de la Ruta Crítica, tiene una probabilidad de cumplirse de 50%. DURACION PROPUESTA O TIEMPO EXIGIBLE

(T L )

Es el plazo de término programado o el plazo límite que se exige para terminar el proyecto o terminar con la realización de la actividad Su valor puede ser mayor o menor que técnicas o exigencias del contrato.

T P

Aij

.

0 ( t j )n , dependiendo de las imposiciones o

MARGEN DE TIEMPO (M). Cuantificación del tiempo con el que se podrá “jugar” en la terminación del proyecto o la actividad

Aij

. Su valor puede ser positivo o negativo.

M

 T L  TP  TL   (Te)r.c.

Referido a la duración del proyecto.

M

 T L  (t 0 j )n


Aij

en el suceso n.

DESVIACION NORMALIZADA O FACTOR DE PROBABILIDAD (Z). Permitir medir la “seguridad que tenemos de estar en la posibilidad del éxito”.

El valor de Z puede ser positivo o negativo y estará correlacion ado con el “% de probabilidad” que se encuentra en la Tabla de Distribución Normal.

El valor de Z se obtendrá con las siguientes ecuaciones:

Z 

T L  TP 2





r.c.

TL  TP

r.c.



Referido a la duración del proyecto, donde: 

2

r.c. = Sumatoria de las varianzas de las actividades de la Ruta Crítica. Z 

T L

 (t 0 j )n 

2 n



TL

 (t 0 j ) n

 n

87



Aij

en el suceso n.

Dónde: 2

= Sumatoria de las varianzas de las actividades que conforman el camino más largo para llegar al suceso n. 

n

PROBLEMA Nº 1 Las actividades de un proyecto y sus duraciones respectivas están reportadas en el siguiente cuadro; se pide: 1.1 La duración del proyecto. 1.2 ¿Cuál es la probabilidad de terminar el proyecto en 52 días? 1.3 Si queremos tener una probabilidad de 97% en la terminación del proyecto, determine

T

la duración exigible, L . 1.4 ¿Cuál es la probabilidad de que el proyecto esté terminado entre 3 días antes y 3 días después de la Fecha Esperada Media,

T P

?

TABLA DE LA FUNCIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL -Z

PROBABILIDAD Pr%

+Z

PROBABILIDAD Pr%

-3.0 -2.9 -2.8 -2.7 -2.6 -2.5 -2.4 -2.3 -2.2 -2.1 -2.0 -1.9 -1.8 -1.7 -1.6 -1.5 -1.4 -1.3

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.5 0.8 1.1 1.4 1.8 2.3 2.9 3.6 4.5 5.5 6.7 8.1 9.7

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

50.5 53.4 57.9 61.8 65.5 69.1 72.6 75.8 78.8 81.6 84.1 86.4 87.5 90.3 91.9 93.3 94.5 95.5

88


-1.2 -1.1 -1.0 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0

11.5 13.8 15.9 18.4 21.2 24.2 27.4 30.6 34.5 38.2 42.0 46.0 50.5

1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0

96.4 97.1 97.7 98.2 98.6 98.9 99.2 99.4 99.5 99.6 99.7 99.8 99.9



La experiencia ha demostrado que la función de distribución de probabilidad de de un proyecto formado por un gran número de actividades, es aproximadamente la de una distribución normal. ¿Cuál es la probabilidad de terminar el proyecto en 52 días? Si queremos tener una probabilidad de 97% en la terminación del proyecto. Determinar la duración exigible. Actividades i 1 1 1 2 2 3 3 3 4 4

j 2 3 7 4 5 5 6 7 8 10

a 4 3 1 5 7 12 7 3 8 11

Duraciones m 6 5 2 6 10 14 1 4 9 15

b 9 12 2 10 11 20 12 9 13 16

89


8 9 9 9 10 10 11

5 6 7 8 9 10

10 4 5 2 4 1 4

12 4 7 2 8 3 7

18 4 11 7 10 3 8

SOLUCIÓN Proponemos los siguientes pasos en la solución del problema a) A partir de las duraciones se determinarán los Te y holguras para cada actividad b) En una red de cálculo se determinarán los tiempos optimistas y pesimistas para comenzar y terminar cada actividad c) Se determinarán las holguras de cada actividad d) Se determina la Ruta Crítica y duración media del proyecto Te e) Se calcula la Varianza total C 2r.Cde las actividades de la Ruta Critica f) Se analiza la probabilidad de terminar el proyecto en función de la Curva de Distribución Normal LOS VALORES DE

  Y

Actividades

i

j

1 1 1 2 2 3 3 3 4 4 5 5 6 7 8 9 10

2 3 7 4 5 5 6 7 8 10 8 9 9 9 10 10 11

Te 6.166 5.5833 1.333 6.5 7.666 14.666 9.833 4.666 9.5 14.5 12.666 4 7.333 2.833 7.666 2.666 6.666



0.604 2.25 0.027 0.594 0.444 1.776 0.694 1 0.694 0.694 1.776 0 1 0.694 1 0.11 0.433

En la red de cálculo se determinan: Tiempos optimistas y pesimistas, para comenzar y terminar cada actividad. Las holguras de actividad y Ruta Critica

90


La duración y la varianza de la Ruta Crítica:

1.1 la duración del proyecto es

T P

La varianza de la Ruta Crítica es 

2

 47.497 = días

r.c  7.245

91


La probabilidad de que el plan tenga éxito, para esta duración prevista 1.2 la probabilidad si el contrato fija un plazo de 52 días Z 

T L

es de 50%

es:

 T P



Z 

T L

T P

2

rc

52  47.497 7.245

Z  1.672949194

Entrando en l atabla de la distribución normal de probabilidades, para Z = 1.67, la probabilidad de finalizar el proyecto de finalizar el proyecto antes d 52 días es de 95%. 1.3 Si queremos tener una probabilidad de 97% en la terminación del proyecto, la manera de calcular será así: Entrando en la tabla de distribución se procederá a la inversa; se determina a que valor de Z corresponde a una probabilidad de 97%.

Se encuentra así, que Z vale 1.88. De la fórmula de la desviación normalizada se despeja T L

Z 

T L  T P r.c.



T L

 TP  Z r.c

92


=47.497+1.88

7.245 =

52.554

= 47.497 + 1.88 (2.691653767) El nuevo valor será entonces de 52.554 días, lo que significa que tomando aproximadamente 52.6 días, hay un 97% de probabilidad de realizar un proyecto. La probabilidad de que el proyecto esté terminado entre 3 días antes y 3 días después de la fecha esperada, se calculara así. Se calcula las desviaciones normalizadas (Z)

Para cada una de las restricciones.

Entrando en la tabla de Distribución de Gauss, con Z = 1.11, se halla que la probabilidad es de 86.6% (0.866). Pero este valor es de

, o sea que es el valor de la integral siguiente:

Y está representado por el área de la figura. Pero según lo pedido: 0.866 – 0.500 = 0.366 ;

y el área total será: 0.366 x 2 = 0.732

93


Es decir que la probabilidad de cumplir con las restricciones de 3 días antes y 3 días después de la fecha esperada, es 73.2%.

PROBLEMA Nº 2 Para construir una obra de ingeniería necesitamos la realización de las siguientes actividades: A, B, C, D, E, las que están relacionadas entre sí de la siguiente forma: La actividad A precede a las actividades B, D. La actividad B y C preceden a la actividad E. Las actividades tienen las siguientes estimaciones en la duración:

Se pide hallar: a) El camino crítico y la duración del proyecto. b) La probabilidad de que el proyecto termine en 38 UT. c) Tiempo necesario para tener una probabilidad de 99.5% de terminarlo en el pazo previsto. SOLUCIÓN: Se determina dos Te y las holguras de cada actividad, y posteriormente se hacen los cálculos de cuando comenzar y terminar cada actividad.

94


El camino crítico y su varianza.

Actividad

Duración

C

23.8

E

9.5 ------------

   √ 10.25

= 33.3

La duración de proyecto La desviación tipo

σrc.

Varianza 8.0 2.25 -----------= 10.25

= 33.3 UT

=

= 3.2 UT



Para visualizar la probabilidad de obtener el plazo de determinación, representaremos la distribución teórica que suponemos normal con una media igual al tiempo esperado obtenido = 33 UT. Como hemos obtenido una desviación tipo σrc. = 3, con estos valores podremos dibujar la siguiente curva.



95


En la escala de abscisas, hemos tomado las UT, de las ordenadas no representa interés ya que la probabilidad está ligada al área encerrada por la curva. El área total de la curva cubre todas las duraciones posibles, representando por lo tanto el 100%. El área rayada representa la probabilidad de que la duración total sea inferior a 33 UT, que es el 50%, ya que la distribución normal es simétrica, siendo así cualquiera que sea la desviación tipo. 2.2 La probabilidad de que el proyecto termine en 38 UT. Calculemos la desviación normalizada por la fórmula: Z=

√−. −..  .. =

=

= 1.468

En la Tabla de Distribución Normal, nos da para z = 1.468, una probabilidad de 92.5% de terminar en el plazo previsto. 2.3 El tiempo necesario para tener una probabilidad de 99.5%.

Calculemos la desviación normalizada (Z) para una probabilidad de 99.5%. En la tabla de distribución Normal se encuentra que Z = 2.6

96


El tiempo exigible o presupuesto

    σrc



será:

33.3 + 2.6 x 3.2 = 41.62 UT.

La probabilidad de cumplir con el plazo en 99.5% es 41.62 UT.

PROBLEMA Nº 3 Las actividades, duraciones optimistas, más probable y pesimista de un proyecto son las reportadas en el siguiente cuadro:

Las relaciones de precedencia entre las actividades son:

3.1 Dibuje el grafo Pert-Cpm, calcule el camino crítico, holguras de actividades y flotantes libres de las actividades. 3.2 La posibilidad de que el proyecto termine en 30 UT. 3.3 Tiempo necesario para tener una probabilidad de 99% de terminar el proyecto.

97


SOLUCIÓN Se calcula los Te de las actividades, se traza el grafo de cálculo y en ella se determina los tiempos optimistas y pesimistas para comenzar y terminar cada actividad





A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

2.8

3.8

10.5

2

4

2.3

4

6.6

6.2

3.6

Existen 2 caminos críticos, los cuales tienen por duración y varianza:

La duración de los caminos críticos es 23 UT y las desviaciones tipo σrc1

= 2.43 y σrc2 = 2.55.

98


En proyectos donde existan más de un camino crítico para determinar el aquella que tenga una desviación tipo con mayor valor.



, se tomará

3.2 La probabilidad de que el proyecto termine en 30 UT.

Luego, la probabilidad será 99.65% (caso más desfavorable). Obsérvese que se ha tomado la desviación tipo con mayor incertidumbre, es decir la que tiene un valor numérico más alto.

99


3.3 El tiempo necesario para terminar el proyecto en 99%. En la tabla de Distribución Normal, para 99% el valor de Z = 2.35

Se tomará el tiempo exigible más desfavorable (mayor tiempo necesario para terminar el proyecto).



= 29 UT

100


COSTOS Y DURACIÓN ÓPTIMA IV DE UN PROYECTO EN EL SISTEMA PERT-CPM Planteado el grafo de actividades y la estimación de cada duración, se procederá a la evaluación de la duración y el costo óptimo del proyecto. El análisis detallado de las implicancias de los premios y/o castigos (en dinero) sobre el plazo contractual, es lo que determina que la culminación del proyecto se mantenga en el plazo previsto o se tenga que proceder a su aceleración. El Sistema PERT-CPM/COSTOS, nos presenta una técnica de cálculo de cómo determinar el costo de un proyecto conociendo las limitaciones en la aceleración de las actividades y las posibles alternativas en las variaciones de los costos directos, mediante la combinación denominada “duración óptima – costo mínimo”. El planteamiento del cálculo de este sistema, considera que el costo total es el resultado de la sumatoria de un costo directo que crece a medida que se acorta la duración y un costo indirecto que aumenta proporcionalmente con el tiempo de ejecución.

1. COSTOS En cualquier tipo de empresa, los gastos generales son clasificados en directos e indirectos. ▪

COSTO DIRECTO (CD).Este costo está representado por el calor de los insumos consumidos directamente en realizar la actividad (producción): materiales, equipos, jornales de la mano de obra. Por la forma del desarrollo de la actividad, el costo directo puede ser: costo normal o costo tope.

▪

COSTO NORMAL (CN).Es el costo de una actividad realizada en condiciones normales de trabajo. Este costo es la estimación basada en la duración normal (tN) de ejecución de la actividad.

▪

COSTO TOPE (CT).Es el mayor de los costos de una actividad, cuando ya es imposible lograr una disminución en la duración de su ejecución.

▪

COSTO INDIRECTO (CI).Son aquellas derivadas de la estructura organizativa de la obra u empresa: administración, gastos generales (sueldo de empleados, financiación, licencias, seguros, publicidad, etc.)

101


Los costos indirectos son directamente proporcionales al tiempo. Gráficamente se representa por una receta que puede nacer del origen del sistema de coordenadas: costos versus tiempo. Fig.V.1.

Fig. V.1: VISUALIZACIÓN DEL COSTO INDIRECTO COSTO TOTAL (CT).Los costos totales son iguales a la suma de los costos directos y los costos indirectos. MULTAS Y PREMIOS En la contratación para la ejecución de proyectos se señala el pago de multas en unidades monetarias por cada unidad de tiempo de retraso en la entrega de la obra a partir del plazo contractual. La gráfica de multas es una recta que nace en el punto correspondiente al plazo contractual y se extiende con pendiente m. En algunos contratos se especifica el pago de premios en favor del contratista por la entrega anticipada de la obra a razón de unidades monetarias por cada unidad de tiempo adelantado en la entrega. La gráfica de la recta de premios pasa el punto que señala el plazo contractual y se extiende con pendiente p. Fig. V.2.

Fig. V.2: VISUALIZACIÓN DE PREMIOS Y MULTAS

102


La grafica de los resultados de las alternativas de operación para las condiciones, nos reporta una curva. A medida que aumentamos los turnos, se aumentan los costos de operación, pero siempre habrá un tope donde por más que podamos incrementar el costo, ya no se puede disminuir la duración de la actividad, a esta duración se la conoce como “duración tope” de símbolo t ij y el costo de esta duración se denomina “costo -tope” Cij. El Costo Tope, es el costo directo más elevado de la actividad cuando la duración ya no se puede acortar más. El costo más bajo de la realización de la actividad está relacionado con el punto de duración Normal tNij; más allá de esta duración sería irreal, pues dará lugar a más tiempo, consecuentemente más costoso. Entre la duración Tope y la duración Normal, existe una gama continua de posibles duraciones (visualizados en los puntos de aceleración). En la práctica, para facilitar el cálculo de la pendiente de costos-duraciones, se sustituye la curva por una línea recta.

Fig. V.5: VISUALIZACIÓN DE LA PENDIENTE DE COSTOS PENDIENTE DE COSTOS DIRECTOS DE UNA ACTIVIDAD ( ΔIJ) La determinación de la pendiente de costos, reporta el incremento del costo directo por la unidad de tiempo. La pendiente de costos se determina por la fórmula:

∆   

103


Para el ejemplo propuesto, determinemos su pendiente de costos. Duración Normal tN = 10 días Costo Normal CN = 54,400 UM Duración Tope tT = 4 días Costo Tope CT = 67,840 UM

 8 40   ∆ 54,410067, 04í  2,240 /í

Lo que quiere decir, que al disminuir en un día el trabajo, el costo directo aumenta 2,240 UM. V.3 ACELERACIÓN DE UN PROYECTO EN FUNCIÓN DEL COSTO Para acelerar o reducir la duración de un proyecto o actividad, se puede utilizar diversos procedimientos de operación entre los que se encuentra: a) b) c) d)

Sobretiempo del personal existente. Asignar más personas a las tareas. Uso de maquinaria más sofisticada. Uso de tecnología más avanzada o empleo de nuevas estrategias de ejecución. e) Trabajar con diferentes horarios. f) Usar personal con más experiencia, con mayores salarios. g) Incentivar con premios al personal. CRITERIO DE ELECCIÓN DE ACTIVIDADES PARA EL ACORTAMIENTO DE LA DURACIÓN DEL PROYECTO Para plantear la aceleración del proyecto, se deberá tener en cuenta los siguientes criterios básicos: 1° La reducción de tiempos deberá comprender a las actividades que pertenecen a las rutas críticas. 2° Elegir – por prioridades – entre estas actividades, las que tienen menor incremento de costo por unidad de tiempo. El problema del trazado de la Curva de Costo Directo Total Mínimo del proyecto, se hará por el método de las “comprensiones sucesivas de las duraciones de las actividades”, puntos que serán valorados por la secuencia de un número necesario

de programaciones.

104


Fig. V.6: VISUALIZACIÓN DEL COSTO DIRECTO TOTAL MÍNIMO DEL PROYECTO

PROCEDIMIENTO SISTEMÁTICO PARA TRAZAR LA CURVA DEL COSTO TOTAL MÍNIMO DEL PROYECTO Consideraciones preliminares: 1. Trazar la Red PERT-CPM en base a las relaciones de precedencia y/o restricciones técnicas que existieran para cada actividad. 2. Determinar la Duración Normal y el Costo Directo Normal para cada actividad. 3. Determinar la Duración Tope y el Costo Directo Tope para cada actividad componente de la Red. 4. Determinar la Pendiente de Costos Directos para cada actividad. Determinación de Puntos de Aceleración. 5. En una Red de Cálculo, se determina la Duración Normal del Proyecto en base a las Duraciones Normales. Luego se obtiene el Costo Total Normal (sumatoria de los Costos Normales de todas las actividades existentes). De esta manera se obtiene el Punto PN, 1er. punto de la Curva de Aceleración. 6. En una Red de Cálculo, se determina la Duración Tope del Proyecto en base a las Duraciones Topes. Con este paso determinamos el tiempo, hasta cuánto podemos acelerar el Proyecto. 7. Determinación de otros puntos de la Curva de Aceleración: 7.1. En una Red PERT-CPM se determina todos los caminos (o rutas) que existen y sus duraciones; para ello todas las actividades se deben desarrollar normalmente. 7.2. Se comienza a “comprimir” la Red, teniendo presente que ésta “comprensión”, sólo se harán en las actividades que pertenecen a la

Ruta Crítica. 7.3. Se elegirán entre las actividades críticas, las que presentan menor incremento de Costo Directo por Unidad de Tiempo. 7.4. Obsérvese que las duraciones de los caminos normales determinados en el ítem 7.1., se tabularán en forma decreciente, para posteriormente en cada comprensión se tratará de alcanzar el valor de la duración de cada camino del ítem 7.1. 7.5. En cada comprensión se determinará la duración y su correspondiente costo. 8. Trazar la Curva de Costos Directos Totales Mínimos.

105


PROBLEMA Nº 1

Dado el grafo de actividades de un proyecto, detallando: actividades, duraciones normales, duraciones topes de realización y sus costos respectivos, determine la Curva de Costos Directos.

ACTIVIDADES i 0 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 6

DURACIONES

∆

COSTO DIRECTO UM

j

SIMB.

tn

tt

Cn

Ct

1 2 3 4 4 6 4 5 5 6 6 7

TP A B C D E F G H I J K

0 8 10 12 9 20 15 16 13 5 7 5

0 4 7 9 6 10 10 12 5 5 5 3

0,000 600,000 900,000 1.200,000 200,000 2.200,000 750,000 320,000 2.800,000 600,000 150,000 450,000

0,000 1.000,000 1.400,000 1.500,000 750,000 2.500,000 1.400,000 850,000 3.200,000 600,000 1.000,000 750,000

0,000 100,000 166,667 100,000 183,334 30,000 130,000 132,500 50,000 425,000 150,000

Las duraciones son reportadas en meses. SOLUCIÓN:

Los Caminos de la Red. Analicemos los posibles caminos con sus duraciones normales en el grafo correspondiente. Es decir: C 7 > 5 0

C 3 > 4 2

C 8 > 3 8

C 5 > 3 7

C 6 > 3 5

C 1 > 3 3

C 2 > 2 7

C 4 > 2 2

106


El camino más largo con duración “todo normal” es el Camino 7, que p or

definición es el Camino Crítico. PRIMERA PROGRAMACIÓN: CON DURACIONES “TODO NORMAL” Para verificar la Ruta Crítica, hagamos los cálculos en la siguiente red y resumamos los valores en el Cuadro N°1.

En esta primera programación se tiene un costo directo total mínimo con duración más larga. SEGUNDA PROGRAMACIÓN: CON ACELERACIÓN DE LAS ACTIVIDADES DE LA RUTA CRÍTICA Como ya conocemos la duración normal y la duración tope, los puntos intermedios de la curva, podrán ser determinadas por el método de las “comprensiones sucesivas de las duraciones de las actividades”. ✓ ✓

¿Cuál de las actividades debe ser reducido? ¿En qué cantidad se debe reducir la actividad elegida?

Para contestar a la primera pregunta, analicemos las actividades que están en la Ruta Crítica con duraciones “todo normal”.

0 1 3 4 5 6

Actividades Ruta Crítica -

1 3 4 5 6 7

TP B F H J K

Variación Duración 0/0 10/7 15/10 13/5 7/5 5/3

∆

0 166,667 130,000 50,000 425,000 150,000

107


La actividad que tiene menor pendiente de costo directo es la H (4-5), ésta se puede reducir hasta 5 semanas, si la reducimos hasta su tope, tendremos que la duración del proyecto es igual al Camino 3 (42 semanas).

Los cálculos de esta programación están resumidos en el Cuadro N° 3. TERCERA PROGRAMACIÓN: CON ACELERACIÓN DE LAS ACTIVIDADES DE LA RUTA CRÍTICA. En cada programación debemos obtener para la duración considerada, el menor costo directo para el proyecto y esto se conseguirá “jugando” con los valores de

duraciones y costos de las actividades.

0 1 3 4 5 6


1 3 4 5 6 7

TP B F H J K

Variación Duración 0/0 10/7 15/10 13/5 7/5 5/3

∆

0 166,667 130,000 50,000 425,000 150,000

La actividad H ya ha sido reducido a su tope, la actividad F es la que sigue con menor pendiente de costo, pudiendo ser reducida hasta 10, por ahora sólo vamos a reducirlo hasta 11 semanas, obteniendo que la duración del proyecto es igual al Camino 8 (38 sem.). Se observa que ha aparecido otra actividad crítica (3-5).

108


Los cálculos de esta programación están resumidos en el Cuadro N° 4.

CUARTA PROGRAMACIÓN: CON ACELERACIÓN DE LAS ACTIVIDADES DE LA RUTA CRÍTICA. Analicemos las actividades críticas:

∆

Actividades Variación Ruta Crítica Duración 0 1 TP 0/0 0 1 3 B 10/7 166,667 3 4 F 15/10 130,000 3 5 G 16/12 132,500 4 5 H 13/5 50,000 5 6 J 7/5 425,000 6 7 K 5/3 150,000 La actividad F sólo puede ser reducido en 1 semana para llegar a su tope y necesariamente la actividad G también tendrá que ser reducido en 1 semana, obteniendo que la duración del proyecto es igual al del Camino N° 5 (37 sem.) Los cálculos de esta programación están resumidos en el Cuadro N° 5.

109


QUINTA PROGRAMACIÓN: CON ACELERACIÓN DE LAS ACTIVIDADES DE LA RUTA CRÍTICA. Analicemos las actividades críticas:

0 1 3 3 4 5 6


1 3 4 5 5 6 7

TP B F G H J K

Variación Duración 0/0 10/7 15/10 16/12 13/5 7/5 5/3

∆

0 166,667 130,000 132,500 50,000 425,000 150,000

Las actividades F y H ya han llegado a su tope, la actividad K es la que sigue con el menor pendiente de costos directos, reduciéndola hasta su tope, tendremos que la duración del proyecto es 35 semanas igual al del Camino 6. Los cálculos de esta programación están resumidos en el Cuadro N° 6.

SEXTA PROGRAMACIÓN: CON ACELERACIÓN DE LAS ACTIVIDADES DE LA RUTA CRÍTICA. Analicemos las actividades críticas:

0 1 3 3 4 5 6


1 3 4 5 5 6 7

TP B F G H J K

Variación Duración 0/0 10/7 15/10 16/12 13/5 7/5 5/3

∆

0 166,667 130,000 132,500 50,000 425,000 150,000

110


Las actividades F, H y K ya han llegado a su tope, la actividad B es la que sigue con el menor pendiente de costos directos, vamos a reducirla hasta 8 semanas, obteniendo así que la duración del proyecto es igual al del Camino 1. Los cálculos de esta programación están resumidos en el Cuadro N° 7.

SEPTIMA PROGRAMACIÓN: CON ACELERACIÓN DE LAS ACTIVIDADES DE LA RUTA CRÍTICA. Se procederá de la misma forma que en las programaciones anteriores: Actividades Variación Ruta Crítica Duración 0 1 TP 0/0 1 3 B 10/7 3 4 F 15/10 3 5 G 16/12 4 5 H 13/5 5 6 J 7/5 6 7 K 5/3 Vamos a reducir la actividad B hasta su tope de 7 semanas.

∆

0 166,667 130,000 132,500 50,000 425,000 150,000

Los cálculos de esta programación están resumidos en el Cuadro N° 8.

111


OCTAVA PROGRAMACIÓN: CON ACELERACIÓN DE LAS ACTIVIDADES DE LA RUTA CRÍTICA. Las actividades B y F han llegado a su tope, lo que impide reducir a las actividades críticas A y D. La única actividad crítica que se puede reducir es la J, si a esta la reducimos a 6 semanas, dará lugar a la aparición de una nueva actividad crítica (E). Los resultados de esta programación están resumidos en el Cuadro N° 9.

NOVENA PROGRAMACIÓN: CON ACELERACIÓN DE LAS ACTIVIDADES DE LA RUTA CRÍTICA. La actividad crítica J aún se puede reducir en 1 semana para llegar a su tope, procediendo así, consecutivamente la actividad E también debe ser reducida en 1 semana. Con esta programación hemos llegado a la duración tope del proyecto, tal como fue calcula con la Segunda Programación. Los cálculos de esta programación están resumidos en el Cuadro N° 10.

112


EJERCICIOS RESUELTOS

V

PROBLEMA Nº 1 Proyecto “pagar las facturas” actividades: ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓

Examinar las facturas Poner en el correo Poner dirección en los sobres Elaborar los cheques Colocar las estampillas Insertar los cheques en los sobres

Hallar el diagrama de red del proyecto o dibujar el diagrama lógico de actividades. SOLUCIÓN:

A B C D E F

Actividades Examinar las facturas Poner en el correo Poner dirección en los sobres Elaborar los cheques Colocar las estampillas Insertar los cheques en los sobres

A A C D B,E

DIAGRAMA DE RED DEL PROYECTO “PAGAR LAS FACTURAS”

113


PROBLEMA Nº 2

A continuación, se dan lo datos de tiempo y costo de un proyecto y costo de un proyecto. Determine el diagrama lógico del proyecto Act.

Precedentes A B E C D H F G K

A A B B E C,D E,D H,F,G

Normal Tiempo 5 8 6 2 6 5 7 5 8

Costo S/. 5000 6000 3000 1000 5000 2000 18000 1000 15000

Ruptura Tiempo 5 3 5 2 2 4 3 3 8

Costo S/. 5000 1800 4500 1000 9000 3000 20000 4000 15000

SOLUCIÓN:

114


PROBLEMA Nº 3

Con datos del problema 2. Determine la duración del proyecto y la ruta crítica.

Actividad A B E C D H F G K

Nodo Inicio 0,5 5,13 5,11 13;15 13;19 11;26 19;26 19;24 26;34

Nodo Fin 0,5 5,13 15;21 17;19 13;19 21;26 19;26 21;26 26;34

Ruta Crítica: A-B-D-F-K

115



Nodo Inicio 0;5 5;8 5;10 8;10 8;10 10;14 10;13 10;13 14;22

Nodo Fin 0;5 6;9 5;10 9;11 9;11 10;14 11;14 11;14 14;22

Ruta Crítica: A – E – H – K

PROBLEMA Nº 4

Con los datos del problema 2. Determine el programa óptimo aplicando CPM. Actividad A B E C D H F G K

Precedentes A A B B E C,D E,D H,F,G

DM 5 8 6 2 6 5 7 5 8

CM 5000 6000 3000 1000 5000 2000 18000 1000 15000 56,000

DT 5 3 5 2 2 4 3 3 8

CT 5000 1800 4500 1000 9000 3000 20000 4000 15000 63,300

Ci,j 0 -840 1500 0 1000 1000 500 1500 0

,    ,  50005000 55  0 ,  1800836000  840 ,  45003000 65  1500 116


,  10001000 22  0 ,  90005000 62  1000 ,  30002000 54  1000 ,  200007318000  500 ,  40001000 53  1500 ,  1500015000 88  0 PROGRAMACIÓN NORMAL: RUTA CRÍTICA: A-B-D-F-K 1) DN = 34 días C= $ 56,000 2) PROGRAMACIÓN RUPTURA: RUTA CRÍTICA: A-E-H-K DN = 22 días C= 56,000 + (34-22) C= 56,012

117


PROBLEMA Nº 5

El jefe de mantenimiento de una fábrica desea reconstruir una máquina herramienta durante el periodo de vacaciones. Deben efectuarse las siguientes operaciones:        

Desmontar la máquina Llevar la máquina al taller de reparaciones Encargar las piezas que van a sustituirse Quitar la antigua fundación de la máquina Reparar las piezas de la máquina Construir la nueva fundación de la máquina Llevar las piezas de la máquina a la fábrica Montar la máquina

Determinar el diagrama lógico de actividades. SOLUCIÓN:

A B

ACTIVIDADES Desmontar la máquina Llevar la máquina al taller de reparaciones

A

C

Encargar las piezas que van a sustituirse

A

D

Quitar la antigua fundación de la máquina

B,C

E F

Reparar las piezas de la máquina Construir la nueva fundación de la máquina

C D

G

Llevar las piezas de la máquina a la fábrica

E

H

Montar la máquina

F, G

118


PROBLEMA Nº 6

Determinar el Diagrama Lógico de actividad Tiempo Actividad A B C D E F G H K

T 2 10 7 15 5 6 3 6 3

Depende de N 4 14 10 18 7 8 5 8 5

A B B B C E, F F D, G, H

SOLUCIÓN

119


PROBLEMA Nº 7

Con la tabla anterior (6) determine la duración del proyecto y la ruta crítica.


Nodo Inicio 0;2 2;12 12;17 12;19 12;27 25;31 19;25 25;28 31;34

Nodo Fin 0;2 2;12 26;31 12;19 16;31 25;31 19;25 28;31 31;34

Ruta Crítica: A-B-C-F-H-K

120


B) DIAGRAMA DEL TIEMPO TOPE


Nodo Inicio 0;4 4;18 18;25 18;28 18;36 36;44 28;36 36;41 44;49

Nodo Fin 0,4 4;18 37;44 18;28 26;44 36;44 28;36 39;44 44;49

Ruta Crítica: A-B-C-F-H-K

PROBLEMA Nº 8

Teniendo la siguiente información, determine el programa óptimo aplicando CPM. Actividad 1-2 1-3 1-4 2-3 2-4 3-4

Días DN 8 4 12 3 9 8

DT 5 2 7 2 6 5

$ CM 150 160 380 90 250 200

CT 280 300 520 200 480 360

Ci,j 43.33 70 28 110 76.66 53.33

121


122


PROBLEMA Nº 9

Tomando la información del problema 8. Grafique la relación de tiempo- costo.

Actividad 1-2 1-3 1-4 2-3 2-4 3-4

Inicio del nodo 0;8 0;4 0;12 8;11 8;17 11;19

Fin del nodo 0;8 7;11 7;19 8;11 10;19 11;19

Ruta Crítica:1-2 ; 2-3; 3-4 RUTA TIEMPO TOPE

Actividad 1-2 1-3 1-4

Inicio del nodo 0;5 0;2 0;7

Fin del nodo 0;5 5;7 0;7

123


2-3 2-4 3-4

5;7 5;11 7;12

5;7 6;12 7;12

Ruta Crítica: 1-2; 2-3; 3-4; 1-4

PROBLEMA Nº 10

Es necesario efectuar en forma periódicamente el trabajo de mantenimiento descrito en la tabla, en cuanto a los intercambiadores de calor de una refinería. A B C D E F G H I J

ACTIVIDAD Desmantelar las conexiones de tuberías. Desmantelar el cabezal envolvente y tapa flotante. Quitar el as de tubos

PRECEDEN -

H 14

A

22

B

10

Limpiar los pernos Limpiar el cabezal y la tapa flotante del frente. Limpiar el as de tubos

B B

16 12

C

10

C F,G

6 8

D,E,H

24

I

16

Limpiar la carcaza Volver a colocar los as de los tubos Preparar la prueba de presión de la carcaza Preparar la prueba de presión de los tubos y ensamblar

124


PROBLEMA Nº 11

Se dan las actividades y requerimientos de secuencia, para completar un informe de investigación. Determinar la ruta crítica. A B C D E F G H I J K L M

ACTIVIDAD Investigación bibliográfica Planteamiento de la hipótesis. Estudio preliminar de factibilidad. Propuesta formal Análisis de campo Informe de avance Investigación formal Recolección de datos

PRECEDEN -

H 6

-

5

B

2

C A,D D A,D E

2 2 1 6 5

Análisis de datos Conclusiones Manuscrito inicial Ejemplar final Preparación de la presentación oral

G,H I G J,K L

6 2 4 3 1

125


PROBLEMA Nº 12

El PC institute está preparando un revolucionario taller de terapia. El gerente del instituto preocupado por los costos, recurre al PERT/CPM. Los datos se dan en la tabla. Los costos indirectos tienen un monto de $500/ semana. ACTIVIDAD A Investigación del taller B Elección de grupos de clientes potenciales C Diseño de taller D Preparación del material para el taller E Preparación del material para el taller F Envío por correo de la publicidad acerca del taller G Procesamiento de solicitudes H Taller de terapia

PRECEDEN -

DURAC. DIAS 12

TIEMPO D REDUCCION 9

COSTO TOTAL NORMAL $ 4200

COSTO TOAL CON REDUC. 200

-

7

5

3000

400

A A

10 4

7 3

2600 1000

200 100

C

11

6

3400

300

B, D

8

6

1400

100

F

7

5

1000

100

E,G

3

2

1300

400

126


127


III. TEORÍA DE INVENTARIOS

TEMAS    

Introducción .......................................................................................129 Pág. Objetivo Del Problema De Inventarios ................................................. 130 Pág. Características De Los Sistemas De Inventarios .................................... 131 Pág. Ejercicios ............................................................................................ 158 Pág.

128


I

INTRODUCCIÓN La administración del inventario tiene fuerte impacto en toda el área de la empresa, particularmente: ✓

Producción, Mercadotecnia y Finanzas.

Los inventarios son necesarios para el desarrollo de los negocios y ellos representan ciertos costos que deben ser minimizados para maximizar las ganancias que tiene la empresa. Definición: Cantidad almacenada de artículos que se utilizan para facilitar la producción o para satisfacer las demandas del consumidor. También, Conjunto de artículos, mercancías y otros recursos económicos que son almacenados o se mantiene inactivo en un instante del tiempo. Problema de Inventario: En cualquier negocio los inventarios son una Fuente continua de problemas de administración cuando se busca una política de los inventarios, para tomar decisiones en base a los siguientes interrogantes:  

Que cantidad se debe pedir. Cuanto se debe pedir

La decisión de cuanto ordenar implicar la selección de una cantidad de pedido que signifique un equilibrio entre: ▪ ▪

Mantener inventarios reducidos y hacer pedidos frecuentes. Mantener inventarios numerosos y hacer pedidos poco frecuentes.

La primera opción puede dar como resultado costos altos de pedidos. La segunda puede dar como resultado costos altos de conservación:

129


II

OBJETIVO DEL PROBLEMA DE INVENTARIOS Con el objeto de lograr un equilibrio entre: ✓ ✓

Que cantidad pedir Cuanto pedir

Se desarrolla un modelo matemático que muestra el costo total del inventario. El objetivo es minimizar el costo total; real o esperado del inventario. Sin embargo, si el inventario afecta la demanda, el objetivo puede ser maximizar las utilidades real o esperada. Dentro de la empresa existen diferentes objetivos de inventario: El departamento Financiero prefiere mantener los inventarios en un nivel bajo para conservar el capital. El departamento de Mercadotecnia se inclina por tener niveles altos de inventarios para reforzar las ventas. El departamento de Producción desea inventarios adecuados para una producción eficiente y niveles de empleo homogéneo. FUNCION DE LOS INVENTARIOS 1. Inventario de tránsito o de conducto: Están formados por suministros para cubrir retardos en el manejo y el tránsito. 2. Inventario de tamaño lote: Pedido por lote, por ser más económicos fluctuaciones inciertas de la demanda. 3. Inventario de seguridad: Inventarios para prevenir faltantes debido a fluctuaciones inciertas de la demanda. 4. Inventarios estacionales: Son diseñados para cumplir más económicamente satisfacer fluctuaciones en la demanda. 5. Inventarios de desacople: Tienen cómo función desunir funciones.

130


CARACTERÍSCATICAS DE LOS III SISTEMAS DE INVENTARIOS 1. COSTOS DE INVENTARIOS A. Costo de pedido: costo asociados con el reabastecimiento del inventario, estos varían con el número de pedidos. B. Costo de mantenimiento: costos asociados por mantener un nivel dado de inventarios disponibles. Comprenden: a. Costo de oportunidad, costo de almacenamiento. b. Deterioro del producto u obsolescencia. c. Impuestos, depreciación y seguros. C. Costo de agotamiento: costo de penalización en que incurre, cuando se queda sin mercancía, cuando esta se necesita. D. Precio compra: precio de pedido, en él se asegura descuentos en cantidades o cuando la producción en grandes lotes, se traduce en la reducción de costos de producción. 2. DEMANDA Desde el punto de vista del conocimiento de información de la demanda este puede ser: Determinístico o probabilístico A. Determinístico: Determinístico: las cantidades pedidas sobre los periodos subsiguientes se conocen con certeza. B. Probabilístico: La Probabilístico: La demanda sobre un periodo dado de tiempo es incierta y se puede describir en términos de una distribución. También la podemos clasificar considerando el factor tiempo en: A. Estático: la Estático: la demanda sobre periodos iguales de tiempo es constante. B. Dinámico: La Dinámico: La demanda varía en cada periodo de tiempo.

131


3. CICLO DE PEDIDO: Un ciclo de pedido es el periodo de tiempo entre la colocación de dos pedidos sucesivos. A. Revisión continua: continua: El registro de nivel de inventario se monitorea continuamente hasta un nuevo pedido. B. Revisión periódica: periódica: Los pedidos se colocan en intervalos regulares de tiempo.

132


4. TIEMPO DE ANTICIPACION: Tiempo entre la colación y la recepción. Puede ser constante o variable, como también puede ser determinístico o probabilístico.

5. EXISTENCIAS DE SEGURIDAD: Sirven de amortiguador para absorber las variaciones de la demanda y del tiempo de anticipación.

133


MODELO DE COMPRA: SIN DEFICIT Se supone lo siguiente 1. La demanda D se efectúa a una tasa constante 2. La tasa de remplazo es instantáneo. 3. Todos los coeficientes de costo, son constantes: C1. Costo unitario/periodo. C2. Costo de ordenar la compra. C3. Costo de mantenimiento/unidad. Suposición: Q = Im

Dónde: ▪ ▪ ▪ ▪ ▪

Im: Inventario máximo. Q: Cantidad económica pedido. t : Tiempo entre pedido. T: Tiempo planeado anual. D: Demanda del articulo unidades/año. unidades/año.

Calculando: Costo Total = Costo Unitario + Costo de Ordenar la + Costo de Mantener el/periodo /periodo compra/periodo compra/periodo inventario/periodo Costo Total = Costo Total * Numero de periodos /año /periodo /año

Dónde: ▪ ▪ ▪ ▪

C1*Q : Costo de Q unidades / periodo. C2 : Costo de ordenar la compra/periodo. Q/2 : Inventario promedio por periodo. C3 t (Q/2) : Costo de mantenimiento del inventario por periodo.

134


Entonces Costo total / periodo

∝

Cp = C1Q + C2 + C3t(Q/2)

1

Tiempo del periodo: t = Q/D Periodos / años o número de pedidos/año: Remplazando valores en: 1

∝

N = D/Q

Cp = C1Q + C2 + C3(Q/D) (Q/2) Costo total por año: C = N * Cp C = (D/Q){C1Q + C2 + C3(Q2/2D)} C = C1D + C2(D/Q) + C3(Q/2)

α2

OBS: También considerar: C = C2(D/Q) + C3(Q/2) Deseamos conocer la cantidad económica a pedir en el periodo dado. Derivando α2 dC/dQ = -C2 D/Q2 + C3/2 = 0 Luego Q2 = 2C2D/C3 Entonces

Q=

 2/

135


EJEMPLO Nº 1

La demanda de un artículo partículas es de 18 000 unidades / año. El costo de almacenamiento/unidad es de $1.20 por año y el costo de ordenar una compra es de $400, No se permite faltantes y la tasa de remplazo es instantánea. Costo unitario $1. Calcular. a. Cantidad optima pedida. b. Costo total/año. c. Número de pedidos por año. d. Tiempo entre pedidos. e. L = 7dias. SOLUCIÓN

Datos: D = 18 000/año

C1 = $1

C2 = $400

C3 = 1.2 /año

Año: 360 días

 2/  2∗400∗18000/120

a. Q = = Q = = 3464 b. C = C1D + C2(D/Q) + C3(Q/2) = 1(18000) + 400(18000/3464) + 1.2(3464/2) = 22157 c. N = D/Q = 18000/3464 = 5.2 pedidos/año d. t = 1/N = Q/D = 3464/18000 = 0.192 años Si año 360 días, entonces t = 0.192 * 360 ≈ 69 d ías.

MODIFICACION DE LOS PERIODOS DE TIEMPO En el modelo anterior, se planifico sobre la base de 1 año. Lo fundamental con respecto a las unidades de tiempo es la consistencia. Si los datos están dados por mes: Demanda / mes = 18000 /12 = 1500 unid/mes Costo de almacenamiento 1.20/12 = $0.10 unid/mes Q=Q= Costo total por mes

 2/  2∗15000∗400∗/0.1 = Q =

= 3465

= 1(18000/12) + 400(18000/12)/3465 + (1.2/12)(3465/2) = $ 1864.4 También: C= 22157

entonces

22157/12 = $1846.4/mes

136


ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD La política optima de la CEP deberá aprovecharse en el futuro o no dependiendo del realismo de las hipótesis. El modelo de la CEP no es más que una representación electiva de la realidad; una abstracción y una aproximación. Que tan sensibles son los resultados del modelo en cuanto a los resultados y los datos. Se puede comparar la sensibilidad de los costos totales C de cualquier sistema operativo, con los costos totales C* de un sistema óptimo de inventarios usando la relación: K=

∗ ∗ ∗

= ½[ + ]

Donde K: Medida de sensibilidad

Desviación de la variable de decisión: Q = k.Q* Dónde: ✓ ✓

✓

K = 1, entonces Q = Q* K > 1, entonces Q > Q * K < 1, entonces Q < Q *

Intervalo administrativo de operación  

QS = (1 + X)Q* QI = (1 - X)Q*

Donde ▪ ▪ ▪

X Qs Qi

: Tasa de desviación : Cantidad superior : Cantidad inferior

EJEMPLO Nº 2

La empresa Thompson tiene un contrato con el departamento de defensa por 150,000 rodamientos al año. La Thompson ordena a un proveedor el metal para los rodamientos en lotes de 40,000 unidades. Cuesta $40 colocar un pedido y los costos de manejo se calculan 20% del costo del producto $0.15. La Thompson desea conocer: a. b. c. d.

La cantidad optima a ordenar El porcentaje de variación de la cantidad pedida, con respecto al óptimo. Cuanto le cuesta esta variación Calcular el intervalo de operación para una tasa de 15%

137


SOLUCIÓN

Datos: D = 150,000 C1 = $0.15 Q = 40,000 C2 = $40

C3 = 0.15 x = 0.15

Año de 360 días

 2/  2∗40∗150,000/0,03 ,,  ,,

a. Cantidad optima a pedir Q* = =

∗

= 20,000

b. Comparando la cantidad optima Q*, con la real Q = ½[

] = 0.5 (0.5+2.0) = 1.25

La cantidad pedida 40,000 se desvía de la óptima 20,000 en 100%. c. Pero los costos solo son el 25% más elevado que el óptimo. Los costos suplementarios (marginales) de la cantidad ordenada no optima: Costos Marginales = 0.25C* = 0.25 [C2 + C3 ]

∗  ,,

,

= 0.25 [40* + 0.03* ] = 0.25 (300+300) = $150.00 d. Intervalo de operación del lote: QS = 1.15 (20,000) = 23,000 Q1 = 0.85 (20,000) = 17,000

MODELO DE COMPRA: CON DEFICIT Se considera las suposiciones del modelo anterior, pero se incurre en demandas postergadas. Los costos de déficit son ocasionados por el agotamiento de existencias durante un periodo de tiempo y no por perdidas de ventas.

138


Donde     

S t1 t2 S/2 C4

: Unidades agotadas / periodo : Tiempo de existencias : Tiempo de faltantes : Promedio de unidades agotados : Costo de déficit de unidad/ periodo

Inventario máximo: Im = Q – S Por semejanza de triángulos t1 =

∗ − =

y

t2 =

∗

Costo Total = Costo Unitario + Costo de Ordenarla + Costo de Mantener el + Costo de Déficit /periodo

/periodo

compra/periodo

inventario/periodo

/periodo

Cp = C1Q + C2 + C3t1(Im/2) + C4t2(S/2) Remplazando valores: = C1Q + C2 + C3{(Q - S)2/2D} + C4(S2/2D) Costo total/año: C = N * C p C = C1D + C2(D/Q) + C3(Q - S)2/2Q + C4(S2/2Q) Derivando C con respeto a Q y S. Resolviendo para estos valores Q= S=

   +     + 

139


EJEMPLO Nº 3

Considerando los datos del problema anterior, donde el costo de déficit/año es $5 / unidad SOLUCIÓN

D = 18000 / año C1 = 1.0

C2 = 400.00

C3 = 1.20 / año

a. Cantidad optima Q=

 .  +.    ∗∗ . . .    ∗∗  . .+.

= 3464(1.113) = 3855.43

b. Número de unidades agotadas S=

= 1697.05 (0.4399) = 747

c. Costo total / año C = 1*18000 + 400(18000/3855) + 1.2 (3855-747)2/2*3855 + 5(747)2/2*3855 = 21732.94 d. Número de pedidos / año N = D/Q = 18000/3855 = 4.67 pedidos por año e. Tiempo entre pedidos t = 1/N = Q/D = 3855/18000 = 0.214 años Para t = 0.214 (360) ≈ 62 días

f. Tiempo de existencias t1 = (Q - S) = (3855 - 747)/18000 = 0.172 Para t1 = 0.172 (360) ≈ 62 días g. Tiempo de faltantes t2 = S/D = 747/18000 = 0.0415 Para t2 = 0.0415(360) ≈ 15 días

140


MODELO DE MANUFACTURACION SIN FALTANTES Las suposiciones de este modelo son similares al de compra sin faltantes, excepto que la tasa de remplazo es infinita y mayor que la tasa de demanda. El procedimiento para hallar Q es el mismo, pero se remplaza el costo de ordenar la compra C2 por el costo de organizar una tanda de producción:

Dónde:     

C2: Costo de tanda de producción R: Tasa de manufacturación t1: Tiempo de facturación t2: Tiempo de existencias Im/2: Inventario promedio por periodo

Tiempo entre tandas de producción / periodo: t = t1 + t2 = Q / D Inventario máximo/periodo está dado por el tiempo de manufacturación t 1 multiplicado por la tasa de acumulación R – D. Im = t1 (R – D) El tiempo de manufacturación t1, tiempo para fabricar Q unidades. Q = t1*R

Dónde: t1 = Q/R

Costo por periodo: Cp = C1Q + C2 + C3 t (Im/2) Remplazando valores Cp = C1Q + C2 + C3 (Q2/2D) (1-D/R) Costo anual

141


C = N*Cp = C1D + C2 (D/Q) + C3 (Q/2) (1 – D/R) Derivando con respecto a Q, dC/dQ = 0 Donde Q=

 −

EJEMPLO Nº 4

La demanda de un artículo de una determinada Cía. es 18000 unidades/año y la Cía. puede producir ese artículo a una tasa de 3000/mes. El costo de una unidad/mes $0.15 y el costo/unidad $2. SOLUCIÓN

D = 18000 unid/año

C1 = 2

Año: 360 días

R = 3000 unid/mes = 3000(12) = 36000 = 0.15 (12) = 1.8

C2 = 500

C3 = 0.15 unid/mes

 .−   

a. Cantidad optima Q=

= 4472

b. Costo total anual C = 2(18000) + 500(18000/4472) + 1.8 (4472/2) (1 – 18000/36000) = 40025 c. Inventario máximo Im = 4472 (1-18000/36000) = 2236 d. Número de pedidos por año N = D/Q = 18000/442 = 4.03 pedidos/año e. Tiempo entre tandas de producción t = Q/D = 4472/18000 = 0.2484 f. Tiempo de manufacturación t1 = Q/R = 4472/36000 = 0.124 Para = 0.124(360) ≈ 45 días g. Tiempo de existencias t2 = Im/D = 2236/18000 = 0.124 Para = 0.124(360) ≈ 45 días

142


MODELO DE MANUFACTURA CON DEFICIT Se consideran las suposiciones del modelo de manufacturación sin déficit y se adiciona el costo de faltantes.

Costo/periodo CP = C1Q + C2 +C3 (t1 + t2) (Im/2) + C4 (t3 + t4) (S/2) Se deben determine los valores de t 1, t2, t3, t4 y Im en función de Q y S Donde     

t1 + t2 = Im (1/(R -D) + 1/D) t1 + t4 = Q/R t3 + t4 = S (1/D + 1/(R -D)) t2 + t3 = (Im + S) /D Im = Q (1- 1/D) – S

Costo por periodo

  −  

CP = C1Q + C2 + [Q (1- ) - S]2( Costo total anual

) (Im/2) +

 −   (

)

C = N * Cp = (D/Q) Cp

 

C = C1D + C2 + C = C1D + C2 +

  −/  −/     [Q (1- ) - S]2(

[QA - S]2( ) +

)+

(

)

( )

Dónde: A = 1 – D/R

Se desconocen los valores de Q y S. Derivando C con respecto a Q y S desarrollando: DC/dQ = 0 y dC/dS = 0

143


Dónde: S=

+     +      −  Q (1 – D/R)

Q=

EJEMPLO Nº 5

Considerando los datos del problema anterior, donde el costo/unidad agotada es $20 por año SOLUCIÓN

D = 18000 und/año

C1 = 2

C4 = 20 /año

R = 3000 und/mes = 3000(12) = 36000

C2 = 500

Año: 360 días

C3 = 0.15 und/mes = 0.15 (12) = 1.8 a. Cantidad optima a pedir Q=

 .  +    .∗∗  − 

..∗ +

= 4669

b. Número de unidades agotadas S=

(1 – 18000/36000) = 38551*0.5 = 192.75 ≈ 193

c. Costo total anual C = 2*18000 +

 ∗ ∗ .    ∗.  −  ∗ . ∗∗. +

+

= 39855.16

d. Inventario máximo Im = 4669 (1- 18000/36000) – 193 = 2142 e. Tiempo entre tandas de producción t = 4669/18000 = 0.269 año = 0.259(360) ≈ 93 días.

f. Tiempo de manufacturación t1 + t4 = Q/R = 4669/36000 = 0.129 = 0.129(360) ≈ 46 días

g. Tiempo de existencias t1 + t2 = 85.67 días h. Tiempo de faltantes t3 + t4 = 7.71 días

144


i.

Numero de periodos N = D/Q = 18000/4669 = 3.86

MODELO DE LOTE ECONOMICO El enfoque común para desarrollar los modelos de inventarios es obtener una expresión matemática para los costos totales y después buscar el mínimo. El tiempo de entrega es constante por tanto no ocurren faltantes. Se omite el costo de compra, ya que es constante. Suposiciones: 1. 2. 3. 4.

Demanda de uniforme (constante y continua). El reabastecimiento se recibe todo junto. Tiempo de entrega constante. Todos los costos son constantes.

Con este modelo se determina: 1. Cantidad fija de orden. 2. Punto de reorden; cuando se debe hacer el pedido. Costo total de inventario = costo de ordenar + costo de conservación =

C2 (D / Q)

+

C3 (Q / 2)

Dónde: dC/dQ = 0 Entonces:

Q j



2* D * C 2 C 3

I (t )  38 Como el tiempo de entrega es constante, entonces el punto de reorden: R = L * D/365 L: Tiempo de entrega en días.

145


EJEMPLO Nº 6

Un fabricante necesita 2000 partes pequeñas durante el próximo año. El costo de las unidades es de $5 cada una. Se tienen disponibles en la localidad con un tiempo de entrega de 1 semana, peo el costo de ordenar para el fabricante es de $5 por orden. El costo de conservación es de $1.50 al año por almacenamiento. Determinar: a. b. c. d. e.

Cuántas unidades debe ordenar. El punto de reorden. Costo total anual. Numero de órdenes. Días entre órdenes.

SOLUCIÓN     

D = 2000 und. /año. C2 = $5 / orden. C3 = $1.5. L=7 Año: 365 días. a. Q 

2*2000*5 1.5

 115.47  115

b. R = 7(2000)/365 = 38.65 unid. c. C = 2000 (5) / 115.47 + 115.47 (1.5) / 2 = 173.2 d. N = 2000 / 115 = 17.39 ordenes e. t = 1 / N = 0.058 t = 365 (0.058) = 21.17 Luego: CEP = 115 si I (t )



38

146


CEP CON DESCUENTOS POR CANTIDAD Ocurren descuentos por cantidad en numerosos negocios e industrias en las que los proveedores ofrecen incentivos para obtener cantidades grandes de pedidos, ofreciendo menores costos de compra cuando se solicitan los artículos en lotes o cantidades grandes. Observando que las mayores cantidades de pedido dan como resultado mayores costos de tenencia del inventario, debe prepararse un análisis completo de los costos antes de hacer una recomendación final sobre la política de pedidos o inventarios. ALGORITMO: PASO 1: para cada categoría j de descuento, calcular

Q J 

2* D * C 2 C 3

Considerando el costo unitario C1 de la categoría j, dónde: C3 = I * C1 I = Tasa de costo de tenencia anual. PASO 2: Considerar lo siguiente: -

Las cantidades Q j que están dentro del intervalo, respetar.

-

Las cantidades Q j mayores a la cota superior del intervalo, descartar del análisis.

-

Las cantidades Q j menores a la cota inferior del intervalo, ajustar el Q j a esta cota.

PASO 3: Para cada

Q j permitido, calcular: D

Q C  C1D  C2  C3 Q 2

C  C1D  C2

D Q

 C3

Q 2

La cantidad de pedido que arroje el costo total mínimo, es la cantidad óptima de pedido.

147


EJEMPLO Nº 7

La Cia LST proveedor de la zapatería ILY está considerando descuentos al costo unitario por cantidad de su artículo.

TAMAÑO DE PEDIDO

DESCUENTOS

Unidades

%

(0 - 250) (250 - 1000) (1000 - mas)

0 10 25

Dónde: D = 10 000 anual

C2 = 9

I = 10%

COSTO UNITARIO C1 20 18 15

Año = 360 días.

¿Cuál es la cantidad que debe permitir la zapatería? SOLUCIÓN

PASO 1 Calculando Qj, para j=1, 2,3 Q1



2(10,000)9 0.10(20)

Donde C3 = I * C1

 300  250

No es factible

Si es factible

Q3



2(10,000)9 0.10(15)

 346  1000

Si es factible

PASO 2 Manteniendo el valor de Q2

Q2 = 316

[250,1000]

Ajustando el valor de Q3 = 346 < 1000

Sea Q3 = 1000

PASO 3 Calculando el costo total anual para Q2 y Q3 CEP con descuentos por cantidad, factibles

148


La cantidad a pedir es de 1000 unidades con descuento de 25%, con costo de: C = 15(10,000) + 9(10,000/1,000) + 1.5 (1000/2) = 150,840

149


MODELO DE PRODUCTOS MULTIPLES Unas variedades de ítems se producen en una base cíclica y utilizando en su producción el mismo equipo. Para evitar los conflictos de programación en la producción se ha desarrollado un procedimiento para determinar lotes de producción cíclicos. Determinando independientemente la cantidad económica Q para cada producto en una situación: Manufacturación sin demandas postergadas Considerando la situación donde se tiene cinco productos diferentes y deseamos producirlos en el mismo equipo o proceso.

Dónde: ✓ ✓ ✓ ✓ ✓

D: Demanda anual. d: Tasa de demanda (und/día). r: Tasa de producción (und/día) C2: Costo del lote de producción. C3: Costo anual de mantenimiento de inventario.

Resolviendo esta situación: Cantidad económica a pedir

Q

2C2 D d C 3 (1  ) r

150


D Q d C  C2 ( )  C 3 ( )(1  ) 2 Q r Numero de periodos y su duración: N = D/Q y t1 = Q/r

Se observa: 1. Ciclo de producción es de 26.64 días. 2. Columna 7; número de días para consumir los lotes de cada producto a tasas de demandas dadas. 3. Columna 5; número de días para producir los lotes de cada producto a las tasas de producción dadas. Se concluye, el número de días de consumo (columna 7) para un ítem es menor que el número de días del ciclo de producción 26.64 o también si es mayor, originándose conflicto en la programación de la producción. PLANEAMIENTO Suposiciones: ✓ ✓ ✓

Manufacturación sin demandas postergadas. Producción de múltiples artículos que utilizan la misma instalación de producción. Producción cíclica, producción de n artículos.

El objetivo es determinar una longitud de ciclo que minice los costos de mantenimiento del inventario y los costos de tanda de producción.

151


FORMULACION La función del costo total anual; para los N productos por lote es la suma de los costos de mantenimiento del inventario más los costos de la tanda de producción.

C 

N



C2i Di

i 1

Qi

N

 i 1

C3i Qi

2

(1 

d i r i

)

Como N = D1/Q1 Reemplazando: N

1

N

d i C  N C2i  C3i (1  ) r i 2 N i 1 i 1





El costo total anual está en función de la variable de decisión N (Numero de ciclos de producción). La longitud de ciclo N al menor costo se determina: dC / dN = 0 Numero óptimo del ciclo de producción.

d

C3 Di (1  i ) r i

i

N 

2C 2i

Como Q1 = D1/N Costo óptimo de los N ciclos

C

 2C3 Di (1  i

d i r i

)C2i

152


SOLUCIÓN

Determinación del ciclo óptimo de producción para los cinco productos Ítem C2 1 20

di/ri

1-di/ri

C3iDi

C3iDi(1-di/ri)

0.16

0.84

1000

840

2 15

0.40

0.60

5000

3000

3 25

0.10

0.90

3750

3375

4 10

0.08

0.92

8000

7360

5 15

0.20

0.80

6250

5000 $19575

$85.0 Numero de ciclos/años

N 

19575 2 x85

 10.73  11

Cada ítem se produce 11 veces al año de los 235 días disponibles.

PROBLEMA Nº 1

La demanda de un artículo partículas es de 18 000 unidades / año. El costo de almacenamiento es de S/1.20 por año y el costo de ordenar una compra es de S/400. No se permiten faltantes y la tasa de reemplazo es instantánea. Costo unitario S/1. Calcular: a. b. c. d.

Cantidad optima pedida. Costo total/año. Número de pedidos por año. Tiempo entre pedidos.

153


SOLUCIÓN

Datos: Demanda (D) = 18 000/año Costo Unitario (C1) = S/1.00 Costo de ordenar (C2) = S/400 Costo de mantenimiento (C 3) = S/1.20

✓ ✓ ✓ ✓

a) Cantidad óptima pedida:

   ∗∗ .   . .     . N  .

Q=

= Q =

= 3464.1016 unidades.

b) Costo total/año:

C = C1D + C2

+ C3

C = 1(18000) + 400

+ 1.2

= 22156.9219

C =22157 soles.

c) Número de pedidos por año:

N=

=

= 5.196 pedidos/año

d) Tiempo entre pedidos:

t=

=

=

= 0.192 años

Si un año tiene 360 días, entonces t = 0.192 * 360 ≈ 69 días. Gráfica

154


Verificación en DECISOR

PROBLEMA Nº 2

Considerando los datos del problema anterior, donde el costo de déficit/año es de S/5.00 por unidad. SOLUCIÓN

Datos: Demanda (D) = 18000 / año Costo Unitario (C1) = S/1.00 Costo de ordenar (C2) = S/400 Costo de mantenimiento (C 3) = S/1.20 Costo de déficit (C4) = S/5.00

✓ ✓ ✓ ✓ ✓


Q=

 .  +     +   ∗∗ .  *

=Q=

*

= 3857.4603

unidades.

b) Costo total/año: Cantidad de unidades agotadas:

   +      ..+

S=

*

=

*

= 746.6052 unidades.

155


Entonces:

 −      .  −.       .     .   ..   .  N  . 

C = C1 D + C2

+ C3

+ C4

+ 1.2

C = 1(18000) + 400

+5

C = 21733.0261 soles.

c) Número de pedidos por año: N=

=



t=

=

=

= 0.2143 años

Si un año tiene 360 días, entonces t = 0. 2143 * 360 ≈ 77 días. Gráfica

156



157


EJERCICIOS

IV

PROBLEMA Nº 1

La demanda de un artículo partículas es de 18 000 unidades / año. El costo de almacenamiento es de S/1.20 por año y el costo de ordenar una compra es de S/400. No se permiten faltantes y la tasa de reemplazo es instantánea. Costo unitario S/1. Calcular: a) b) c) d)

Cantidad optima pedida. Costo total/año. Número de pedidos por año. Tiempo entre pedidos.

SOLUCIÓN:

Datos: ✓ ✓ ✓ ✓

Demanda (D) = 18 000/año Costo Unitario (C1) = S/1.00 Costo de ordenar (C2) = S/400 Costo de mantenimiento (C 3) = S/1.20


Q=

   ∗∗ .   . .    = Q =

= 3464.1016 unidades.

b) Costo total/año:

C = C1D + C2

+ C3

C = 1(18000) + 400

+ 1.2

= 22156.9219

C =22157 soles.

158


c) Número de pedidos por año:

 . N  .

N=

=



t=

=

=

= 0.192 años

Si un año tiene 360 días, entonces t = 0.192 * 360 ≈ 69 días. Gráfica


159


PROBLEMA Nº 2

Considerando los datos del problema anterior, donde el costo de déficit/año es de S/5.00 por unidad. SOLUCIÓN

Datos: ✓ ✓ ✓ ✓ ✓

Demanda (D) = 18000 / año Costo Unitario (C1) = S/1.00 Costo de ordenar (C2) = S/400 Costo de mantenimiento (C 3) = S/1.20 Costo de déficit (C4) = S/5.00


Q=

 .  +     +   ∗∗ .  *

=Q=

*

= 3857.4603

unidades.

b) Costo total/año: Cantidad de unidades agotadas:

   +      ..+  − . −.     .     .   .. 

S=

*

=

*

= 746.6052 unidades.

Entonces:

C = C1 D + C2

+ C3

+ C4

+ 1.2

C = 1(18000) + 400

+5

C = 21733.0261 soles.

c) Número de pedidos por año: N=

 .  =


160



t=

N  .  =

=

= 0.2143 años

Si un año tiene 360 días, entonces t = 0. 2143 * 360 ≈ 77 días.

Gráfica


161


PROBLEMA Nº 3

Compra de componentes. Factory, Built, Home Inc. (F.B.H) compra components de paneles de una planta cercana al Oeste de New Cork a s/. 5.00 por unidad, se espera usar aproximadamente 4000 unidades durante el año próximo F.B.H. Calcular que sus costos son de S/. 30.00 para colocar una orden de S/. 1.50 por unidad anual para mantener y almacenar. D= 4000

C1= s/. 5.00 C2= s/. 30.00

C3= s/. 1.50

Determinar: a) Cuál es la cantidad económica de pedido Q=

 ..   . =

= 400.00

b) Cuantas ordenes por año deben ser colocadas



N = = 10 c) Cuál es el costo por pedido

 

C = C1.D +C2. + C3. = 20600.00 d) Cuál es el tiempo entre pedido

 

t = = = 0.1 Si año 360 entonces 360x(t) = 36 días

162


PROBLEMA Nº 4

La demanda anual de rollo de cierto cable de diámetro específico especial por la CIA Lanier, es de 45000 rollos. A la empresa le cuesta S/. 160.00 la inversión o puesta en marcha de ordenado el pedido, el costo mensual de mantener este artículo es S/. 2.00 y el costo unitario S/. 1.00 D = 45000

C1= S/.1.00 C2 = S/. 160.00

C3 = S/. 24.00 año

MODELO DE COMPRA SIN DEFICIT D=4500 Q=774.60 6.20

6.20

a) ¿Cuál es la cantidad optima? Q=

     =

= 774.60

b) ¿Cuál es el tiempo entre pedidos?

t=

  =

= 0.0172

Si año = 360xt = 6.20 días

163


c) ¿Cuál es el costo total anual?

 .   . 

C= 1x45000 + 160x

+ 24x

= 63590.32

e) ¿Cuál es el número de pedidos? N=

 .

= 58.09

PROBLEMA Nº 5

Una compañía ensambladora de computadoras, compra partes y componentes a una importadora a S/. 8.00 por unidad. Como ha aumentado los requerimientos de computadoras, se espera usar aproximadamente 6500 unidades durante el próximo año de dicho componente. La compañía ha estimado que sus costos son de S/. 45.00 para colocar un orden y S/. 0.50 por unidad mensual, para mantener y almacenar y no se permite faltantes. D = 6500

C1 = S/. 8.00 C2 = S/. 45.00

C3 = S/. 0.50 (mes) = S/. 6 (año)

MODELO DE COMPRA SIN DEFICIT D=6500 Q=312.25 17.29

17.29

164


a) ¿Cuál es la cantidad más económica de pedido? Q=

 

= 312.25

b) ¿Cuantas ordenes por año deben ser colocadas? N=

 .

= 20.82

c) ¿Cuál es el costo por pedido? Costo por pedido =

 . .  = 2588

d) ¿Cuál es el costo total anual? C = 8*6500 + 45*

+ 6*

= 53873.50

e) ¿Cuál es el tiempo entre pedidos? t=

.

= 0.048

Si año = 360 entonces 360x0.048 = 17.29 días

165


PROBLEMA Nº 6

Si la demanda de un artículo es uniforme de d e 9,000 unidades por año, el costo de ordenar S/. 2.50 por orden y el costo por conservación es S/. 2.00 por unidad por año. a) b) c) d)

Encuentre el tamaño del lote económico. ¿Cuántas órdenes se harán en un año? Si cada unidad cuesta S/. 7.00. ¿Cuál es el EOQ por orden? ¿Cuál es el costo de inventario anual?

Datos: ✓ ✓ ✓

D=9,000 C2=2.50 C3=2.00

a) Tamaño del lote económico:

   22   22.22.529000  150 /     9150000  60 /ñ       7150  C 63000 630C00D15150C0 15QD150 0 C63300 6330Q2 0 7x97x9000000  2.2.5x5x9000150  2x 1502

b) Número de órdenes por año:

c) Si C1 = S/. 7.00

1050

d) Costo del Inventario Anual:

166


PROBLEMA Nº 7

En los Supermercados METRO, uno de sus productos de mayor demanda son las Cocinas MADE, la cual se ha estimado una demanda de 1,200 cocinas para el presente año y es constante. El costo de hacer una orden de d e perdido a la fábrica es S/. 5,000 y el costo de una cocina es de S/. 320.00 se sabe que el costo de mantener es de 10% de su costo. Determinar: a) Costo total/año. b) Número de pedido/año. c) Tiempo entre pedidos.

Datos: ✓ ✓ ✓ ✓ ✓

D=1200 C2=5000 C1=320 C3=10%(5000) =500 Año=360 días

C  CD  C QD  1C200 Q2 154.92  320x1200 320x1200 500  5000x0x154.92 500x 2  384000 38729.6738730  461459.67     154.120092  7.75 /ñ

a) Costo total/año:

b) Número de pedido/año:

167


  1    0.1292 ≈ 46.476 í

c) Tiempo entre pedidos:

168


PROBLEMA Nº 8

Mc Bruger para su principal producto tiene una demanda de 2500 pizzas por mes. El costo fijo de hacer una orden de pedido es de S/. 20 por mes. Cuesta S/. 0.003 por día por almacenar pizzas. El costo unitario de cada pizza es de S/. 10. Se sabe además que es costo por demandas es de S/. 5 soles por año. Determinar:

    2500 1 12 2  30000   10.00 ,  5. 0020201212  240.00,   0.00303360360  1.08,    22      222401.0380000  1.1.0585  4026.58    22       22240530000  1. 1. 1.08508  715.25                  2   2     3 0000 1162. 1 162. 3 7715. 2 5 5 715. 2 5   1030000240 1. 0 8 5     4026. 5 8 2 4026. 4 026. 5 8 8 2 4026. 4 026. 5 8 8  3035576.24 a) Cantidad óptima

b) Número de unidades agotadas

c) Costo total por año

d) Número de pedidos por año

    4026.3000058  7.45 363600  360360 1  48.32  360.  360360    39.39.736 

e) Tiempo entre pedidos

f) Tiempo de existencias

169


g) Tiempo de faltantes

360.  360360  8.583 

Gráfica

 4026.40, 58  9,   49,   715.25,25,   74949  343  170


PROBLEMA Nº 9

La compañía manufacturera ACE tiene un contrato para suministrar refrigeradoras al año a una tasa mensual uniforme de 335 refrigeradoras, cuya demanda es de 3500 unidades por año. El costo de operación es de S/. 50 por unidad, el costo del almacenamiento es de S/. 6 y el costo de preparación de una partida de producción es de S/. 160.

  3500,   3351212  4020   50.00   160.00,   6    21    261160350040203500  1201.28       21    503503505000 161600 1201. 35002861201.2 2 81 35004020  175932.34        1    1201 1201..28 11 35004020  155.389 350028  2.914     1201. 363600  360360 1  123.560  360  360360   3603601201.402028  107.577  360  360360    360360155.3500389  15.98383 

a) ¿De cuántas unidades es el lote de producción?

b) ¿Cuál es el costo de las partidas de producción por año?

c)

¿Con qué frecuencia se debe detener el proceso de producción?

d) ¿Cuál es la duración de las existencias?

171


Gráfica

  312437216 ,,  124 4020,   3500,   108   ,         1201.28   3   ñ 172


PROBLEMA Nº 10

La empresa de zapatos BATA S.A tiene la capacidad de producir 60 000 pares de zapatos del modelo ABC por año, la demanda de este artículo es 15,000 unidades por año, teniendo un costo unitario de $8 por par de zapato, el costo de tenencia de una unidad es el 5% del costo unitario por mes, siendo el costo de compra de $150 el costo de faltantes es de $2/artículo/año. Calcular: a. b. c. d. e.

La cantidad óptima que debe comprarse El número de unidades agotadas El número de tandas de producción La duración del periodo de inventario El costo total anual

Solución

Datos:

   8. 0 0 ,   150. 0 0 ,   8 0 . 0 5 1 2  4. 8 ,       2.00    21  ×     ×15000 4 . 8 2. 0     2×150 ×  2061. 5 5 15000 2. 0 4.81 6000    3354.10 ×1.095  3674.23     1   4.4.8822061.551 15000 60000  1091.409   1   0.75      1   2061.550.751091.409  454.7535 D = 1500, P = 60000,

a. La cantidad optima de unidades que deben manufacturarse

b. El número de unidades agotadas

c. El número de tandas de producción

d. La duración del periodo de inventario

173


    2061.1500055  7.276 360  3601  49.477 360    360  3602061.6000055   12.369       1          2     2 1      1 5000 2 061. 5 5 0 . 7 5 1091. 4 09   815000 1501091.2061.409554.1 8 22061.55  0.175 222061.55 0.75  122182.820  e. El costo total anual.

     1  15000  2061.550.751091.409  454.7535     2061.1 55  7.276 360  360   49. 4 77  360    360  360.   12.369

174


PROBLEMA Nº 11

La siguiente tabla proporciona la demanda de un artículo para los primeros 12 meses de un año. Ene Feb Marzo Abr Mayo Jun Jul Ago Set Oct Nov Dic Mes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Demanda 20 40 40 60 40 60 80 60 40 40 80 80 80 80 80 80 Caso 1 a) En el año se hacen 6 pedidos de 80 unidades cada uno, se reciben 1° enero, 1°Marzo, 1° Mayo, 1°Julio, 1° Setiembre, 1° Noviembre. b) El costo de mantener una unidad de artículo en inventario durante un mes es S/15. c) El costo por cada orden de pedido es S/80 d) El costo por demanda postergada es S/10 Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Total

Cantidad Recibida 80 80 80 80 80 80 480

Inventario Inicial 80 60 100 60 80 40 60 60 140 60 80 40

Demanda 20 40 40 60 40 60 80 60 40 40 480

Inventario Final 60 20 60 0 40 60 60 60 40 400

Demanda Postergada 20 20

C2= 80 C3= 15 C4= 10 C1= C2 + C3 + C4 Caso 1: C2: 80(6) = 480 C3: 400(15) = 6000

175


C4: 20(10) = 200 C1 = C2 + C3+ C4 = 6680 Caso 2 a) Al año se hacen 12 pedidos de 40 unidades cada uno. b) Con los mismos costos del caso 1 Determinar la política optima Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Total

Cantidad Recibida 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 480

Inventario Inicial 40 60 60 60 40 40 20 60 100 60 40 40 860

Demanda 20 40 40 60 40 60 80 60 40 40 480

Inventario Final 20 20 20 20 60 20 160

Demanda Postergada 20 20

Caso 2: C2: 80(12) = 960 C3: 160(15) = 2400 C4: 200 C1 = C2 + C3+ C4 = 3560 

La política óptima del Caso 2 es mejor.

176


IV. TEORÍA DE COLAS

TEMAS      

Introducción .......................................................................................178 Pág. Costos De Los Sistemas De Colas ......................................................... 180 Pág. Modelo De Colas: Población Infinita .................................................... 183 Pág. Modelo De Colas: Población Finita ...................................................... 190 Pág. Análisis Económico De Líneas De Espera .............................................. 195 Pág. Ejercicios ............................................................................................ 197 Pág.

177


I

INTRODUCCIÓN Para un Ingeniero Informático es interesante saber que una de las herramientas matemáticas más poderosas para realizar análisis cuantitativos de las redes de ordenadores es la teoría de colas. Esta técnica se desarrolló primeramente para analizar el comportamiento estadístico de los sistemas, de conmutación telefónica, sin embargo, desde entonces, también ha sido aplicada para resolver muchos problemas de redes. Se pueden utilizar sistemas de colas para modelar procesos en los cuales los clientes van llegando, esperan su turno para recibir el servicio, reciben el servicio y luego se marchan. Ejemplos de sistemas de colas se encuentran en las cajas registradoras de los supermercados, en las ventanillas de las entidades bancarias, en las salas de espera de los consultorios médicos, etc. Los sistemas de colas pueden definirse mediante cinco componentes: 1. 2. 3. 4. 5.

La función de densidad de probabilidad del tiempo entre llegadas. La función de densidad de probabilidad del tiempo de servicio. El número de servidores. La disciplina de ordenamiento en las colas. El tamaño máximo de las colas.

La densidad de probabilidad del tiempo entre llegadas describe el intervalo de tiempo entre llegadas consecutivas. Podríamos imaginarnos que contratáramos a alguna persona (por ejemplo, a un estudiante de ingeniería informática) para observar la llegada de los clientes. A cada llegada de un nuevo cliente, el observador registraría el tiempo transcurrido desde que ocurrió la llegada del anterior cliente.

Esquema de un sistema de colas Después de que hubiese transcurrido un tiempo suficientemente largo de estar registrando los intervalos de tiempo entre llegadas consecutivas, estos datos podrían clasificarse y agruparse. La densidad de probabilidad de estas muestras caracteriza el proceso de llegada.

178


Cada cliente requiere cierta cantidad de tiempo, el que precise el servidor para realizar el servicio que este cliente demanda. El tiempo de servicio requerido por cada cliente es tiempo de trabajo activo para el servidor y varía entre un cliente y otro. Por ejemplo, en la caja de un supermercado un cliente puede presentar un carro lleno de artículos y el siguiente puede traer únicamente una lata de refresco. Por eso, para analizar un sistema de colas, además de conocer la densidad de probabilidad de los tiempos entre llegadas, debe conocerse también la función de densidad de probabilidad del tiempo empleado en prestar servicio. La cantidad de servidores se explica a través de los ejemplos siguientes: muchos bancos, por ejemplo, tienen una sola cola larga para todos sus clientes y, cada vez que uno de los cajeros se libera, el cliente que se encuentre primero en la cola se dirige a la caja que ha quedado libre. A este sistema se le denomina sistema de cola multiservidor. En otros bancos, cada cajero o cajera, tiene su propia cola particular. En este caso tendremos un conjunto de colas independientes en un solo servidor, y no un sistema multiservidor. La disciplina de una cola describe el orden según el cual los clientes van siendo atendidos. Los supermercados utilizan el método de servir primero al cliente que ha llegado antes. En las salas de urgencia de los hospitales se utiliza, más a menudo, el criterio de atender primero al que está más grave. El primero en ser atendido no es el que haya llegado antes. En una oficina, ante la fotocopiadora, es frecuente que primero se despache al que tenga menor trabajo, esto es, entra primero el que tenga que hacer menos fotocopias. La capacidad de la cola es el número de clientes máximo que puede contener. No todos los sistemas de colas poseen una capacidad ilimitada de recepción de clientes. Cuando hay demasiados clientes que quieren hacer cola, pero solo existe un numero finito de lugares de espera, algunos de estos clientes pueden no ser admitidos en la cola. En resumen: Las colas o líneas de espera son situaciones bastantes corrientes. Clientes esperando servicio en un banco, alumnos que esperan matricularse, productos en una línea de producción esperando ser procesados. Los sistemas que se caracterizan por elementos que tienen que esperar para recibir un servicio se llaman Fenómenos de Espera. Las colas se pueden caracterizar por los momentos de llegada de los clientes y por los momentos de salida de estos, cuando ya han recibido el servicio solicitado. Las llegadas suelen describirse por medio de una distribución de probabilidad para los intervalos de tiempo entre las llegadas de dos clientes consecutivos. Igualmente, los tiempos empleados en prestar cada servicio siguen también una cierta distribución de probabilidad. Además, un sistema de espera soporta dos costes: el de dar servicio y el de tener elementos esperado.

179


II

COSTOS DE LOS SISTEMAS DE COLAS Un sistema de colas puede dividirse en sus dos componentes de mayor importancia, la cola y la instalación de servicio. Las llegadas son las unidades que entran en el sistema para recibir el servicio. Los elementos que llegan se unen primero a la cola, salvo que no haya línea de espera en ese instante. En ese caso se dice que la cola esta vacía. Desde la cola, las llegadas van a la instalación de servicio de acuerdo con la disciplina de la cola, es decir, de acuerdo con la regla de decidir cuál de las llegadas se sirve después del que está actualmente recibiendo servicio. Que el primero en llegar sea el primero en ser servido es una regla común, pero podría servirse con prioridades, o siguiendo alguna otra regla. Una vez que se completa el servicio, las llegadas se convierten en salidas. Ambas componentes del sistema tienen costos asociados que deben considerarse. ✓

de

COSTO DE ESPERA Esperar significa desperdicio de algún recurso activo que bien se podría aprovechar en otra cosa. El coste medio de una cola por unidad de tiempo está dado por CxL , donde C es el costo de espera por cliente y unidad de tiempo y L=Numero promedio de clientes en la cola.

✓

COSTO DE SERVICIO Este costo es el que está asociado a la compra de las instalaciones de servicio, así como los gastos de ponerlas en uso como pueden ser los gastos de mantenimiento y personal.

✓

SISTEMA DE COSTO MÍNIMO Aquí hay que tomar en cuenta que tasas bajas de servicio normalmente darán lugar a largas colas y costos de espera muy altos. Conforme aumenta el servicio disminuyen los costos de espera, pero aumenta el costo de servicio. Entonces el propósito es encontrar el balance adecuado para que el costo total sea el mínimo.

180


ESTRUCTURAS TIPICAS Las llegadas pueden ser de personas, cartas, carros, incendios, ensambles intermedios en una fábrica, etc. En la siguiente tabla se muestran algunos ejemplos de varios sistemas de colas.

TERMINOLOGIA     

Características físicas: Servidor: Elemento que presta el servicio solicitado por los clientes. Cola: Elementos esperando recibir servicio. Sistema: Incluye cola, servidor y el elemento que está siendo servido. Cadena: Número de líneas de cola del sistema. Los sistemas de colas son mono o multicadenas. En los casos más simples el número de cadenas es el número de servidores en paralelo.

EJEMPLO Nº1

APLICANDO LA DISTRIBUCION POISSON

En un sistema se procesan un promedio de 60 órdenes de cliente por hora. Calcular las probabilidades que se pueden procesar un pedido en medio minuto o menos, en 1 minuto o menos y en 2 minutos o menos. SOLUCIÓN

Trabajando con minutos: Promedio de atenciones: µ= 60/60 = 1 servicio/minuto. Calculando ✓ ✓ ✓

P (Tiempo de servicio ≤0.5 min) = 1 – e-1 (0.5)= 1 – 0.3935 P (Tiempo de servicio ≤1.0 min) = 1 – e-1 (1.0)= 1 – 0.6321 P (Tiempo de servicio ≤2.0 min) = 1 – e-1 (2.0)= 1 – 0.8647

Así, hay una probabilidad de 0.6321 e que se procese un pedido en 1 minuto o menos.

181


OBS: Dado µ= 0.10 servicio/minuto Esto significa que hay en promedio 0.1 servicios por minuto. Es decir el tiempo medio o promedio de servicio es 10, ya que: 1/µ = 1/0.10 = 10 NOTABLE DE KENDALL – LEE PARA SISTEMAS DE COLAS Para representar los sistemas de colas, KENDALL invento la siguiente notación. Cada sistema de colas se representa con seis características. a/b/c/d/e/f Donde los símbolos a, b, c, d, e y f representan elementos básicos del modelo en la forma: a) b) c) d) e) f)

Distribución de llegadas. Distribución del tiempo de servicio. Número de servidores paralelos. Disciplina de servicio. Número máximo admitido en el sistema. Tamaño de la fuente de llamadas.

La notación estándar reemplaza los símbolos a y b llegadas y servicios por los códigos siguientes: ▪ ▪ ▪ ▪ ▪

M: Distribución de Poisson para los arribos o una distribución exponencial para los tiempos de servicios. D: Numero de arribos o tiempo de servicio es determinista o constante. Ek: Distribución de Erlang o Gamma de la distribución de tiempo entre arribos o de servicios para el parámetro K. Gl: Distribución de arribos empíricos. G: Distribución general con media y varianza conocidos para el numero de arribos.

DISCIPLINAS DE SERVICIO: ✓ ✓ ✓

FIFO: Primero en llegar, primero en ser servido. LIFO: Último en llegar, primero en ser servido. SEOA: Servicio en orden aleatorio.

Los parámetros e y f, deben ser asignados con los valores siguientes: ∞: Tamaño de la cola es infinito.

N: Tamaño de la cola es acotado.

182


MODELO DE COLAS: III POBLACIÓN INFINITA Elementos de un problema de colas, caso de un servidor: 1. Arribos • • • •

Los arribos ingresan al sistema aleatoriamente. Los arribos vienen de una población infinita. No se permiten arribos simultáneos. Los arribos tienen una distribución de Poisson, la población de una llegada en cualquier instante de tiempo es la misma que en cualquier otro momento.

2. Cola El tamaño de servicio es aleatorio. Los arribos no pueden cambiar lugares en la cola. 3. Servidor El tiempo de servicio es aleatorio. Pueden haber interrumpido en el servicio. Disciplina de servicio: Primero en arribar, primero en ser servido. Tiene una distribución exponencial. 4. Salida No se permite que las unidades que salen vuelvan a ingresar al sistema. • •

• • • •

•

ARRIBOS  COLA  SERVICIO  SALIDA SISTEMA A. MODELO DE UN SERVIDOR Y UN COLA Según la notación Kendall: M/M/I/FIFO/∞/∞

Consideraciones que se deben conocer para el estudio de sistemas de colas. ¿Puede atender la atención de servicio las demandas de los clientes?, debemos averiguarlo comparando la tasa de arribos y la tasa de servicios. 1. Si λ > µ, la cola aumenta sin límite. 2. Si λ = µ, no esta tan claro que la cola aumentara sin límites. 3. Si λ < µ, el sistema es funcional, y las expresiones a usar son validad. Si esto se cumple, se tiene la siguiente información: λ : Tasa de arribos; arribos, unidades/periodos de tiempo. 1/λ : Media del tiempo entre arribos. µ : Tasas de servicios; unidades/periodo de tiempo.

183


1/µ: Media del tiempo de servicio. Factor de utilización: ρ = λ/µ Si µ > λ, las siguientes expresiones son válidas: Probabilidad de que un cliente este siendo servido en cualquier tiempo: Pn >0, Pn > 1 – P0 = 1- (1-ρ) = ρ Probabilidad que la estación de servicio este ociosa: P0 = 1 – ρ Probabilidad de tener un cliente en el sistema: P1 = ρ0 Probabilidad de tener dos clientes en el sistema: P2 = ρP1 = ρ2P0 Generalizando: Probabilidad de tener clientes en el sistema: Pn = ρnP0 = ρn(1-ρ)

n ≥ 0

Numero esperado de clientes en el sistema: Ls =

∑∞=   ∑ 1 ∑  ∑  ∑ −  ρ−   −  − −  −  − =

ρn =

(1-ρ)

ρn =

(1-ρ) ρ

ρn+1

La serie es convergente:

ρn-1 =

Luego:

, donde 0 < ρ < 1

Ls = (1-ρ)

=

Numero esperado de clientes en la cola: Lq = Ls – ρ =

– ρ

Tiempo promedio de espera de una unidad en la cola: Si la frecuencia media de servicio es µ, y el tiempo esperado para prestar servicio es 1/ µ. Esto significa que una llegada al azar puede esperar encontrar n clientes en el sistema y cada uno de ellos requiere un promedio 1/ µ unidades de tiempo para ser servidos. Wq = Ls

 −   −   −    −  =

Tiempo promedio de espera de una unidad en el Sistema: Ws = Wq

=

Probabilidad de que la cola exceda a n: P(L>n) =

n+1

184


RELACIONES PARA LOS MODELOS DE COLAS Es posible determinar W q, Ws, Lq, Ls, a partir de una de estas relaciones. Para cualquier sistema de colas, sin importar las distribuciones de arribos, servicio y numero de servidores. Dos de las expresiones generales, a alas que se denominan ecuaciones de flujo de Little son:

λW

λ

Ls = y Lq = Wq s Otra expresión general: Ws = Wq + 1/

µ

RESTAURANT BURGER DONE

EJEMPLO Nº 1

Este negocio vende hamburguesa, queso, hamburguesas, papas fritas, refrescos y leche malteada, así como también artículos espaciales y postres. Aunque el administrador pretende dar un servicio inmediato a todos los clientes, en ocasiones llegan más de los que el personal puede atender. La operación actual de la Burger Done, con una sola caja de pago, un empleado recibe el pedido, determina su costo total, recibe el dinero del cliente y después surte el pedido. Luego al siguiente de la cola. Los datos de arribo al restaurant siguen una distribución de Poisson con una tasa promedio de 45 clientes/hora. El proceso de recepción y surtido de órdenes por el único empleado sigue una distribución exponencial con una tasa promedio de 60 servicios/hora. SOLUCIÓN

Datos: λ = 45 clientes/hr. y

µ

µ

= 60 servicios/hr., donde > λ.

Estudiando el comportamiento del sistema en minutos: 1. Promedio de arribos/minuto λ = 45/60 = 0.75 arribos/min Entonces 1/ λ = 1.33 minutos/arribo 2. Promedio de los servicios/minuto µ = 60/60 = 1 servicios/min. Entonces 1/ = 1 minuto/servicio 3. Se cumple = 1> λ = 0.75 Porcentaje de utilización del servicio: Ρ = (0.75/1)*100 = 75%

µ

µ

Probabilidad que un cliente que arriba al sistema lo encuentra vacío: P0 = 1- 0.75/1 = 0.25 Numero promedio de clientes en la cola Lq =

.−.  ..

= 2.25 clientes

185


Numero promedio de clientes en el sistema de colas Ls =

.−. .−. −.

= 3 clientes

Tiempo promedio de espera de un cliente en la cola: Wq =

= 3 minutos

Tiempo promedio de espera de un cliente en el sistema de colas Ws =

= 4 minutos

MEJORAMIENTO DE LA OPERACIÓN DE SERVICIO El administrador de Burger Done es consciente de que se puede mejorar el sistema. Esto lo podemos hacer utilizando cualquiera de las alternativas: 1. Aumentar la tasa promedio de servicio µ, haciendo un cambio creativo en el diseño o utilizando una nueva tecnología. 2. Añadiendo servicios de manera que sea posible atender a más unidades a la vez.

EJEMPLO Nº 2

RESTAURANT BURGER DONE

Si se considera la alternativa 1: donde el servidor registra y cobra el pedido, luego el cliente selecciona su pedido el cual se encuentra listo en el aparador para ser recogido. Mediante esta modalidad la tasa promedio de servicio es µ = 75 clientes/hora. SOLUCIÓN

Datos λ:

45 clientes/hr.

µ: 75 clientes/hr.

Entonces 1/ λ = 1.33 minutos/arribo Donde µ = 1.25 servicios/min. Entonces 1/ µ = 0.8 minuto/servicio

Se cumple: 1.25 = µ serv/min. > λ = 0.75 arrb/min. Característica de operación en minutos: Probabilidad que el sistema este desocupado: Po = 1 – λ/ µ = 1 0 (0.75 /1.25) = 1- 0.6 = 0.40 También

186


P0 =

  =       ∑! + !  . = 0.40

✓ ✓ ✓ ✓

Promedio del número de clientes en la cola : 0.900 clientes Promedio del número de clientes en el sistema : 1.500 clientes Tiempo promedio de espera en la cola : 1.200 min. Tiempo promedio de espera en el sistema : 2.000 min

B. MODELO DE COLA MULTISERVICIO Se pueden deducir expresiones semejantes para un problema de cola multicanal siempre y cuando se suponga una población infinita. Estas ecuaciones son más generales que las anteriores, ellas pueden reducirse al caso de canal simple haciendo k =1. Las características de operación de las líneas de espera de canales múltiples pueden aplicarse solo a situaciones donde kµ > λ. La tasa promedio de servicio del sistema con k servidores es kµ el factor de utilización del sistema. Según la notación de Kendall: M/M/K/FIFO/∞/∞

Características de operación: LA probabilidad P0 de hallar vacío de sistema es:

       ∑ +      !  !   La probabilidad de P clientes en el sistema:  P    P = !  P    Si n>k P = k!  Numero promedio de unidades en la cola:     L = −!−P Numero promedio de unidades en el sistema de colas:      L = −!−P +  Tiempo promedio de espera de una unidad en la cola:     W = −!−P P0 =

n

Si n≤k

n

n

q

s

o

o

q

o

187


Tiempo promedio de espera de una unidad en el sistema de colas: Ws = TABLA:

   −!−  Po +

Valores de P0 para líneas de espera de canales múltiples con llegadas según Poisson y tiempos de servicio exponencial. RAZON λ/µ 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 2.20 EJEMPLO Nº 3

2 0.8605 0.8182 0.7778 0.7391 0.7021 0.6667 0.6327 0.6000 0.5686 0.5385 0.5094 0.4815 0.4545 0.4286 0.4035 0.3793 0.3559 0.3333 0.2500 0.1765 0.1111 0.0526

NÚMERO DE CANALES (K) 3 4 0.8607 0.8607 0.8182 0.8182 0.7778 0.7778 0.7391 0.7391 0.7021 0.7021 0.6667 0.6667 0.6327 0.6327 0.6061 0.6065 0.5763 0.5769 0.5479 0.5487 0.5209 0.5219 0.4952 0.4965 0.4706 0.4722 0.4472 0.4491 0.4248 0.4271 0.4035 0.4062 0.3831 0.3863 0.3636 0.3673 0.2941 0.3002 0.2360 0.2449 0.1872 0.1993 0.1460 0.1616 0.1111 0.1304 0.0815 0.1046

5 0.8607 0.8182 0.7778 0.7391 0.7021 0.6667 0.6327 0.6065 0.5769 0.5488 0.5220 0.4966 0.4724 0.4493 0.4274 0.4065 0.3867 0.3678 0.3011 0.2463 0.2014 0.1646 0.1343 0.1094

RESTAURANTE BRUGER DONE

Ampliando el sistema del Restaurante de Burger Done; mantenimiento la tasa de servicio para dos servidores k=2 y una sola cola. SOLUCIÓN

Recordando: Promedio del número de arribos/minuto λ = 0.75 Media del tiempo entre arribos: 1/ λ = 1.33 minutos Promedio del número de servicios/minuto µ = 1

188


Media del tiempo de servicio: 1/ µ = 1 minutos Se cumple k µ = 2(1) > λ = 0.75 Numero promedio de clientes en la cola: Lq =

.−∗!∗−..

(0.4545) = 0.1227 clientes

Numero promedio de clientes en el sistema: Ls = Lq + λ/µ = 0.1227 + 0.75 = 0.8727 clientes Tiempo promedio de un cliente en la cola Wq

=

Lq/λ

=

0.1227/0.75

=

0.16

minutos

Tiempo promedio de un cliente en el sistema: Ws = Wq + 1/ µ = 0.16 + 1 = 1.16 minutos

189


MODELO DE COLAS: IV POBLACIÓN FINITA En algunos casos, el número de clientes potenciales es tan pequeño, que el arribo de un cliente para ser atendido o la terminación de un servicio afecta la probabilidad de futuras llegadas. Como regla empírica, si la población es menor que 30 deben usarse las ecuaciones correspondientes a una población finita. Por ejemplo, si un operador atiende tres máquinas y cada una requiere atención a intervalos aleatorios, las maquinas (clientes) provienen de una población finita. A. MODELO DE COLA SIMPLE La probabilidad P0 de hallar vacío el sistema es: P0 =

 M!  −! 

 ∑

,

P0 =

 ∑!!

La probabilidad Pn de hallar n clientes en el sistema Pn =

P0 n= 0,1,…..

Numero esperado de clientes en el sistema: Ls =

− P−∗∗∗ -

Po

En esta expresión se observa, que no es necesario p<1 , es decir que el sistema sigue estable cuando λ ≥ µ. Numero esperado de clientes en la cola: Lq = Ls – (1 – P0) Tiempo promedio de espera de un cliente en la cola:

 ̅  ̅ 

Wq = Lq/ ,

λ *

(1 – P(M))

Tiempo promedio de un cliente en el sistema: Ws = Wq + 1/µ

190


EJEMPLO Nº 1

REPARACION DE MAQUINAS

UN MECANICO ATIENDE CUATRO MAQUINAS. Para cada máquina, el tiempo medio entre requerimiento de servicio es de 10 horas y se supone que tiene una distribución exponencial. El tiempo de reparación tiende a seguir la misma distribución y tiene un tiempo medio de 2 horas. Cuando una maquina queda en reparación, el tiempo perdido tiene un valor de $20/hora. El servicio del mecánico cuesta $50/hora. SOLUCIÓN

Mecánico (k = 1) que atiende cuatro máquinas: M =4 X1: Arribos Media del tiempo entre arribos: E(X1) = 1/λ1 = 0 hrs. Promedio del número de arribos/hrs. λ1 = 0.10 X2: Servicio: Media del tiempo de servicio. E(X2) = 1/λ2 = 2 hrs. Promedio del número de arribos/hrs. λ2 = 0.50 a. Probabilidad que el sistema este vacío o probabilidad de que no haya maquinas malogradas: P0 = 1/1.2496 = 0.80025 b. Número esperado de máquinas que no funcionan(malogrados) en el sistema de cola: Ls = 0.2/0.8 – 5*0.00032/0.99968 = 0.25 – 0.0016 = 0.248 c. Número esperado de máquinas que esperan servicio: Lq = 0.248 – 0.19975 = 0.04825 d. Numero esperado de máquinas que funcionan en el sistema: M – Ls = 4 – 0.28 = 3.752

!! ..

 ̅  0.11 0.0307296

e. Tiempo promedio de espera de una maquina en la cola: P4 =

(0.80025) = 0.0307296, = 0.096926 Wq = 0.04825/0.096926 0.4825

f. Tiempo promedio de una maquina en el sistema de colas: Ws = 0.4825 + 1/0.5 = 2.4978 g. Costo total/hora = costo total de espera + costo total de servicio: Ct = 20(2.4825)0.10 + 50(1) = 54.965

191


MEJORAMIENTO DE LA OPERACIÓN DE SERVICIO ¿Sería deseable tener dos mecánicos para cada uno tienda solo dos máquinas? Considerando este caso responde a las preguntas de a) a i). SOLUCIÓN:

Considerando que tienen dos máquinas con las mismas características, cada mecánico atiende dos máquinas.

∑. . - ∗.

a. Probabilidad que no haya maquinas malogradas: P0 =

= 1/1.240 = 0.08064516

b. Numero esperado de máquinas en el sistema de colas (maquinas que no funcionan): Ls =

−. −.

= 0.25 – 0.024/0.992 = 0.2258

c. Número de máquinas que esperan servicio: Lq = 0.2258 – 0.194 = 0.0322 d. Numero de máquinas que funcionan en el sistema: M – Ls = 2 – 0.2258 = .7742

 ̅

e. Tiempo promedio de espera de una máquina en la cola: P2 = 2!/0! *(0.2)2(0.806) = 0. 06448, = 0.1 (1-0.06448) = 0.093552 Wq = Lq/ = 0.0322/0.093552 = 0.322

 ̅

f. Tiempo promedio de espera de una maquina en el sistema de cola: Ws = 0.322 + 1/0.5 = 2.322 g. Coso total/hora = Costo total de espera + costo total de servicio: Costo total/hora = C qWsλ + Csk Ct = 20(2.322)0.10 + 50(1) = 54.644 Por los dos sistemas Ct = 2*54.965 = 109.288 Luego: 109.288 > 54.965. No se justifica emplear dos hombres.

192


B. MODELO DE COLA MULTISERVICIO Se supone que el número k de servicios es mayor que 1, por tanto 1 M. Probabilidad de hallar vacío el sistema: P0 =

 !  !    ∑ ∑     +    !!   !!  M!     M−!!  M!      M−!k!k 

Probabilidad de hallar n clientes en el sistema: Pn = P0

Donde 0≤n
Pn = P0

Donde k ≤ n ≤ M

∑==+   ∑=+ 

Numero esperado de clientes en la cola: Lq =

Pn

Numero esperado de clientes en el sistema:

Pn

Ls =

 ̅

 ̅   

Tiempo promedio de espera de un cliente en la cola: Wq= Lq/ Donde:



Tiempo promedio de espera de un cliente en el sistema: Ws =

EJEMPLO Nº 2

REPARACION DE MAQUINAS

Población: M = 4 máquinas, Numero de mecánicos K =2 Arribos: λ1 = 0.10 hrs y Servicio λ2 = 0.50 hrs λ

= 0.10 hrs

µ = 0.50 hrs

Características de operación:

  !  .  !  .     ∑ ∑     +      !! .  !! .

a. Probabilidad que no haya maquinas malogradas: P0

=

0.4778

½.0928

=

193


!!! 0.2 !!! 0.2 !!! 0.2 !!! 0.2 !!! 0.2

Calculando las probabilidades: ✓ n=0 = 1 ✓

n=1

✓

n=2

✓

n=3

✓

n=4

= 0.8 => P1 = 0.4778*0.8 = 0.38224 = 0.24 => P= 0.4778*0.24 = 0.11467

= 0.048 => P1 = 0.4778*0.048 = 0.02293 = 0.0048 => P1 = 0.4778*0.0048 = 0.0.00229

b. Numero esperado de máquinas que se noe3 separaran en la cola: Lq = (3-2)P3 + (4-2)P4 = 0.02751 c.

Numero esperado de máquinas que no funcionan(malogradas) en el sistema: Ls =

∑= 

Ls =0*P0 + 1 *P1 + 2*P2+ 3*P3+4*P4 d. Número esperado de máquinas que funcionen en el sistema = 4 – 0.6895 = 3.3105 e. Tiempo promedio de espera de una máquina en la cola: Wq = Lq/λ W20.02751/0.331 0 0.0831 donde λ = 0.10(4 – 0.68953 = 0.33 f. Tiempo promedio de espera de una maquina en el sistema. Ws = Ls/λ Ws =0.6895/0.3310 =2.083 g. Costo total/hora = Costo total de espera + costo total de servicio: Costo total/hora = Cq Wsλ + Csk = 20*2.083*0.1+50*2 = 104.166

194


ANÁLISIS ECONÓMICO DE VI LÍNEAS DE ESPERA Con mucha frecuencia, las decisiones sobre el diseño de líneas de espera, como la determinación del número de canales, se basa en una evaluación subjetiva de las características de la cola. La naturaleza de los costos de servicios influye en el método para encontrar el sistema de menor costo. Pueden utilizarse los modelos que se presentaron anteriormente para determinar el número de servidores que es posible emplear para satisfacer las metas de desempeño de las líneas de espera que fijan los administradores. Con objeto de realizar un análisis económico de un sistema de línea de espera y el de ofrecer el servicio. EVALUACION DEL SISTEMA CUANDO SE CONOCE EL COSTO DE ESPERA: Cuando los costos de servicio cambian en forma escalonada, se usa la técnica de prueba y error para encontrar el Sistema de menos costo. Se calcula el costo total para una tasa de servicio, después para la siguiente y así sucesivamente. Esto se continúa hasta que se encuentra un límite inferior o un mínimo tal, que al aumentar o disminuir las tasas de servicio de costo total más altos. Con una Buena selección de las tasas que se van a examinar, casi siempre puede encontrarse el mínimo en tres o cuatro pruebas.

EJEMPLO Nº 1

TAMANO DE UNA VRIGADA

Se tiene un muelle de carga y descarga de camiones, se desea saber cuántos miembros debe tener la brigada para atender a los mineros. El muelle tiene espacio solo para un camión, pero el tiempo de carga o descarga puede reducirse aumentando el tamaño de la brigada. Las llegadas tienen distribución Poisson y los tiempos de servicio una distribución exponencial, la tasa promedio de servicio es un camión/hora para un cargar, los cargadores adicionales aumentan la tasa de servicio proporcionalmente. Los camiones llegan con una tasa de dos/horas en promedio y que el costo de espera es de $20/hora por camión. Si se paga $5/hora a cada miembro de la brigada. ¿Cuál es el mejor tamaño de la muestra?

195


SOLUCIÓN

Datos: λ = 2 camiones/hor. Entonces 1/λ = 0.5hr/camión µ = 1 camión/hora/camión

Entonces 1/µ= 1 hr/camión

Cq = costo de espera $20/hora/camión. Cs = Costo por servicio $5/hora/persona K = Número de personas en la brigada. Para una brigada de 4 personas: ✓ ✓

− −

Ls = = 1 camión Ct = 20(1) + 4(5) = $40

Para una brigada de 5 personas: ✓ ✓

Ls = = = 0.67 camiones Ct = 20(0.67) + 5(5) = $38.33

Para una brigada de 6 personas ✓ ✓

−

Ls = = = 0.5 camiones Ct = 20(0.5) + 6(5) = $40

Este costo es mayor que el de la brigada 5. Entonces el tamaño de la abrigada es de 5 personas. Observando el gráfico.

También: Costo total/hora = C QWSλ+CSK

196


EVALUACION DEL SISTEMA CON COSTOS DE ESPERA DESCONOCIDOS Existen muchas situaciones en las que se prefiere no dar un valor monetario al costo de espera, porque no se tiene una forma razonable de estimar este costo. ¿Cuál es el costo de espera de un cliente en un banco, supermercado o restaurant? ¿También es realmente lineal el costo de espera?, preguntas difíciles de contestar. Pero se cuenta con otro método que no requiere datos explícitos de este costo. En lugar de estimar el costo de espera, el administrador puede especificar un promedio mínimo de tiempo de espera en la cola(o para L q, la longitud de la línea en la cola). Con este límite superior puede encontrarse la tasa de servicios necesaria para cualquier tasa de llegada dada. Aunque este método no proporciona un Sistema optimo, se da un diseño que está de acuerdo con las especificaciones de la administración.

197


EJERCICIOS

VII

PROBLEMA Nº 1

Mac Donald’s de San Borja, en su operación es con una sola caja de pago, un empleado recibe el pedido, determina su costo total, recibe el dinero del cliente y después surte el pedido. Luego al siguiente de la cola. Los datos del arribo del restante siguen una distribución de Poisson con una tasa promedio de 60 clientes/hora. El proceso de recepción y surtido de órdenes por el único empleado sigue una distribución exponencial con una tasa promedio de 75 servicios/hora. MODELO M/ M/1 ʎ = 60Clientes/hora =

ʎ 

= 1 min/arribo



= 1 cliente (arribos)/min

µ = 75 Servicios/hora



= 1.25 servicios/min  = 0.8 min/servicios

ρ =

ʎ . =

= 0.8 < 1

CLIENTES

COLA

ʎ    ʎ   −ʎ −  −ʎʎ −  −ʎ

SERVICIO

SALIDA

a) Porcentaje de utilización del servicio ρ (100)

= ρ =

=

= 0.8*100 = 80% es utilizado

b) Probabilidad que un cliente que arribe al sistema lo encuentre vacío Po = 1- ρ = 1- 0.8 = 0.2 c) Número de clientes en la cola =

d) e)

=

=

=

=

= 3.2

 3

clientes que hacen cola

= 4 clientes en el sistema de los cuales 3 están en la cola

= 0.0533 horas = 3.2 min

 Cada

cliente espera 3.2 min en la

cola

198


f)

 −ʎ =

= 0.0.0667 horas = 4 min

 Cada

cliente espera 4 min en el

sistema

PROBLEMA Nº 2

En un servidor de la universidad se mandan programas de ordenador para ser ejecutados. Los programas llegan al servidor con una tasa de 10 por minuto. El tiempo medio de ejecución de cada programa es de 5 segundos y tanto los tiempos entre llegadas como los tiempos de ejecución se distribuyen exponencialmente. El sistema es M/M/1 a) ¿Qué proporción de tiempo está el servidor desocupado? b) ¿Cuál es el tiempo esperado total de salida de un programa? c) ¿Cuál es el número medio de programas esperando en la cola del sistema? PROGRAMAS

COLA

SERVIDOR

EJECUTADOS

SOLUCIÓN

El sistema es M/M/1 con λ = 10 trabajos por minuto y µ = 12 trabajos por minuto. Se asumirá que el sistema es abierto y que la capacidad es infinita. Como ρ = 10/12 < 1, el sistema alcanzara el estado estacionario y se pueden usar las formulas obtenidas en clase.

199


a) El servidor estará desocupado 1 − 5/6 = 1/6 del total, esto es, 10 segundos cada minuto (ya que el ordenador está ocupado 5 × 10 = 50 segundos por minuto). b) Tiempo medio total es W = 1 /µ (1 −ρ) = 1 /12(1−5/6) = 1/2 minuto por programa. c) El número medio de programas esperando en la cola es Lq = ρ * ρ / 1−ρ = 4.16 trabajos

PROBLEMA Nº 3

Los trabajadores de una fábrica tienen que llevar su trabajo al departamento de control de calidad antes de que el producto llegue al final del proceso de producción. Hay un gran número de empleados y las llegadas son aproximadamente de 20 por hora, siguiendo un proceso de Poisson. El tiempo para inspeccionar una pieza sigue una distribución exponencial de media 4 minutos. Calcula el número medio de trabajadores en el control de calidad si hay: ▪ ▪

2 inspectores. 3 inspectores.

200


SOLUCIÓN

a) Sistema M/M/2 con λ = 20 y µ = 15. Entonces L = 2.4 empleados.

b) Sistema M/M/3 con λ = 20 y µ = 15. Entonces L = 1.47 empleados.

201


PROBLEMA Nº 4

PETROPERÚ estudia la utilización de la gasolinera. La gasolinera tiene 6 bombas, 4 para gasolina NOVA, 1 para gasolina EXTRA y otra para DIESEL. Las llegadas de autobuses que cargan DIESEL muestran una distribución que se aproxima a la de Poisson, mientras que el servicio muestra una distribución exponencial. El promedio de llegadas a la bomba de DIESEL es de 5 autobuses por hora, mientras que los servicios promedios en esa bomba son de 7 por hora. Sólo se puede dar servicio en esa bomba a un autobús a la vez, y se sirve a los autobuses en el orden en que llegan a la bomba. Encuentre todos los parámetros que describen cuantitativamente a esta bomba DIESEL, para que posteriormente se pueda tomar una decisión acerca de la instalación de otras bombas DIESEL en este lugar.

  5  /ℎ 7/ℎ

  1  1   1 57  0.2857 ≈ 28.5%

a. Probabilidad de encontrar la bomba DIESEL vacía:

b. La probabilidad de encontrar un autobús cargando y otros dos esperando en cola:

 5     0.71041   03644  0.2857   −  −  1.7857  1.8

c. El número esperado de autobuses haciendo cola:

Autobuses esperando en la cola.

d. El número promedio de autobuses en el sistema (esperando en la cola y en el taller):

     7 55  2.5   µ  7755  0.3571 horas ≈ 22 minutos     1  0.5 ℎ ≈ 30 

e. El tiempo promedio de espera en la cola para recibir servicio:

f. El tiempo promedio en el sistema:

202


PROBLEMA Nº 5

Suponga que en una estación con un solo servidor llegan en promedio 45 clientes por hora, se tiene capacidad para atender en promedio a 60 clientes por hora. Se sabe que los clientes esperan en promedio 3 minutos en la cola. λ=

45 clientes/hora (media de llegada de los clientes) = 45/60 clientes/minutos.

µ= 60 clientes/hora (media de servicio a los clientes) = 60/60 clientes/minutos. Wq = 3 minutos (tiempo promedio de espera de un cliente en la cola) a. Tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema. b.

    1  3  11  4

Es decir, en promedio un cliente pasa 4 minutos en el Sistema: distribuidos así 3 minutos pasa esperando en la cola + 1 minutos en servicio.

203


c. Número promedio de clientes en la cola, para calcular el número de clientes en la cola (Lq), usaremos la fórmula siguiente:

      0.75   3  2.25 

Al operar resulta:

Es decir, los cálculos nos muestran que en la cola puede haber más de dos clientes en la cola. d. Número promedio de clientes en el Sistema en un momento dado, para calcular cual es el número de clientes en la cola (Ls). Lo podemos hacer con la fórmula:

Al operar resulta:

      0.75   4  3 

Es decir, en promedio hay tres clientes en el sistema, como se nos ha dicho que solo hay un servidor, sabemos que solo un cliente puede estar en servicio, por lo que los demás deben estar en la cola. Esto indica que hay dos clientes en espera.

204


PROBLEMA Nº 6

Suponga un restaurante de comidas rápidas al cual llegan en promedio 100 clientes por hora. Se tiene capacidad para atender en promedio a 150 clientes por hora Se sabe que los clientes esperan en promedio 2 minutos en la cola Calcule las medidas de desempeño del sistema. λ=

100 clientes/hora (media de llegada de los clientes)= 100/60 clientes/minutos

µ= 150 clientes/hora (media de servicio a los clientes) = 150/60 clientes/minutos= Wq = 2 minutos (tiempo promedio de espera de un cliente en la cola) a. ¿Cuál es la probabilidad que el sistema este ocioso? Para conocer cuál es la probabilidad de que el sistema este ocioso, primero conoceremos, cual es la probabilidad que esté ocupado o factor de utilización del sistema.

100/ℎ /ℎ  0.66 ≈ 66.7%     150

Este porcentaje representa tiempo que el sistema está ocupado. Es decir (1- ρ) representa el tiempo ocioso del sistema, es decir 1- 0.667= 0.333 = 33.3% el sistema permanece ocioso. b. ¿Cuál es la probabilidad que un cliente llegue y tenga que esperar, porque el sistema está ocupado? La probabilidad que un cliente llegue y tenga que esperar es suponer que estará como primer cliente en la cola. Usaremos la fórmula:

     1  ;   1,:

205


    100 100   1 22. 2%1 150150  10.6670.667  0.222

Es decir existe un 22.2% de posibilidad que haya un cliente en la cola esperando ser atendido. c. ¿Cuál es el número promedio de clientes en la cola? Ahora requerimos calcular el número de clientes en la línea de espera.

      1.667   2   3.334  ≈ 4 

Es decir existe la posibilidad de llegar a tener un promedio de 4 clientes en la línea de espera.

d. ¿Cuál es la probabilidad que hayan 10 clientes en la cola? La probabilidad de que hayan 10 clientes en la cola, como hemos visto existe un promedio de tener hasta 4 clientes en la cola que hayan más de 4 las probabilidades serán muy pequeñas, para ese cálculo haremos uso de la fórmula que usamos en el inciso b de este mismo ejemplo.

    100 100   1 0.0058  1 0.51508%150  10.6670.667

El resultado es muy cercano a cero. Es decir es muy remoto o poco probable que pueda haber 10 clientes en la línea de espera.

206


PROBLEMA Nº 7

El restaurante Burger King vende, hamburguesas, papas fritas, refrescos, etc. Aunque el administrador pretende dar un servicio inmediato a todos los clientes en ocasiones llegan más de los que el personal puede atender. La operación actual de Burger King es con dos cajas de pago dos empleados recibe el pedido, determina su coste total, recibe el dinero del cliente y hace el pedido. Luego el siguiente de la cola. Los datos de arribo del restaurante siguen una distribución de Poisson con una tasa promedio de 45 clientes/hora. El proceso de recepción y surtido de órdenes por 2 empleados sigue una distribución exponencial con una tasa promedio de 60 servicios/hora. Determinar: Modelo M/M/S a) Probabilidad de hallar el sistema vacío

ʎ    =

=

= 0.75 arribos/minutos = 1 servicios/minutos

Según la tabla para s=2 servicios P0 = 0.4545

b) Numero promedio de clientes en la cola Lq =

ʎ−ʎ! −ʎ  .−.! −. .

. P0 =

.

. (0.4545) = 0.1227 Clientes

c) Numero promedio de clientes en el sistema

ʎ

Ls = Lq + = 0.1227 + 0.75 = 0.8727: Clientes

207


d) Tiempo promedio de un cliente en la cola Wq =

ʎ ..  =

= 0.16

e) Tiempo promedio de un cliente en el sistema

Ws = Wq + = 0.16 +1 = 1.16 min

PROBLEMA Nº 8 Movies ‘Edu’ es un establecimiento establecimiento típico de renta de videos y de DVD para clientes que

acostumbran ver películas en casa. Durante la noche los clientes llegan a una tasa promedio de 1.25clientes/minutos, el encargado del establecimiento puede tener una tasa promedio de 2servicios/minuto. Los datos siguen una distribución de Poisson y tiempos de servicios exponenciales. Modelo M/M/1 CLIENTES

COLA

SERVICIO

SALIDA

a) Probabilidad que establecimiento se encuentre sin clientes

 ʎʎ

 ʎ .

= 2 = 1.25

 

P0 = 1 - = 1 -

>

= 0.375

b) Numero promedio de clientes en la cola Lq =

ʎ−ʎ .−. .. =

=

= 1.047 clientes

c) Cual es el tiempo promedio que espera un cliente para que comience c omience el servicio

208


Wq =

ʎ−ʎ .−.   =

= = 0.8333 minutos

d) Cual es el tiempo promedio de un cliente en el sistema Ws = Wq + = 0.8333 +

= 1.333 minutos

PROBLEMA Nº 9 Una compañía de taxis atiende atiende al Centro de Lima. La compañía posee 4 taxis. Las llamadas llegan a las despachadoras a una tasa de 16 clientes/horas. El tiempo promedio por viaje es 12 minutos. Las llamadas llegan de acuerdo con una distribución de Poisson y el tiempo de viaje exponencial. M/4: Determinar: M/ M

λ=

16 llamadas/hora

µ= 5 viajes/hora SERVICIO

SERVICIO CLIENTES

SALIDA

COLA SERVICIO

SERVICIO

209


a. Probabilidad que el sistema esté vacío.

  ∑=− !! 1!!     ∑= 3.!!2 14!4! 4 4   ⋯ 

             3. 2 3. 2 = 3!3!  0!0!  1!1!  2!2!  3!3!  1  3.2  2  6

= 1 + 3.2 + 5.12 + 5.4613 = 14.7813 = … (i)

!!     34!4!.2  43.4 2  4.369 0.48  4.369695  21.845… Ahora (i) y (ii) en ( α)

1 845  0.0273   14.781321. +    1  1 3. 2 143.2     1 1 .      4  1 . 4     3 . 43.   55.924241.1.56256250.0.0273273  2.3855  2.386

b. Numero de promedio de clientes en la cola.

c. Tiempo promedio de espera en la cola (Wq)

    2.16386  0.1491 210


PROBLEMA Nº 10

Un lavacarro puede atender atender un auto cada 5 minutos y la tasa media de llegadas es de 9 autos por hora. Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1. Además, la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema, la probabilidad de tener una cola de más de 3 clientes y la probabilidad de esperar más de 30 minutos en la cola y en el sistema SOLUCIÓN:

Se conoce la siguiente información: ✓ λ= ✓

9 clientes/hora (media (media de servicio a los clientes) = 0.15 clientes/minutos clientes/minutos µ= 0.2 clientes/minutos (media (media de llegada de los los clientes) CLIENTES

COLA

SERVICIO

SALIDA

a) Vamos calcular el factor de desempeño del sistema calculando ρ.

    0.0.1250 /ℎ /ℎ  0.75  75%

211


El sistema está ocupado el 75% del tiempo. Ósea pasa un 25% ocioso. Es decir, la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema es cuando el sistema está vacío y eso puede ocurrir con una probabilidad del 25%. Su cálculo puede hacerse hacerse directamente directamente con la fórmula: fórmula :

b) La probabilidad de tener tener una cola de más de 3 clientes clientes

La probabilidad que haya más de tres clientes en el Sistema, implica que debemos conocer la Probabilidad que haya cero, uno, dos y tres clientes. La diferencia con 1, será la probabilidad que hayan más de tres. P(Ls>3) =1 – (P0 (P0 + P1 + P2 + P3) = 1- (0.25+0.1875+0.1406+0.1055) =1 – 0.6836=0.3164 0.6836=0.3164 c)

La probabilidad probabilidad de esperar más de 30 minutos minutos en la cola.

Primero calcularemos calcularemos el tiempo promedio que un cliente espera en la cola. Minutos (es el tiempo promedio prome dio que el cliente tiene que esperar en la cola) Ahora vamos a calcular tiempo (t) de espera sea mayor de 30 minutos. Vamos aplicar esta ecuación para calcular la probabilidad

212


= (0.75) (0.2231) =0.167=16.7% (COMO PUEDE VER LA PROBABILIDAD ES BAJA) d) La probabilidad de esperar más de 30 minutos en el Sistema. Vamos aplicar esta ecuación para calcular dicha probabilidad. 0.2231= =22.3% (COMO PUEDE VER LA PROBABILIDAD ES BAJA, pero es más alta que la probabilidad de que el tiempo promedio que un cliente espere más de 30 minutos en la cola).

213


V. PROGRAMACIÓN DINAMICA

TEMAS     

Conceptos Básicos De Programación Dinámica .................................... 215 Pág. Estrategia Básica. Ejemplos Demostrativos .......................................... 218 Pág. Programación Dinámica Con Variables Discretas ................................. 226 Pág. Problemas De Cálculo En Programación Dinámica ............................... 243 Pág. Ejercicios ............................................................................................ 250 Pág.

214


CONCEPTOS BÁSICOS DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA

I

Como ya quedase dicho, las llamadas programaciones constituyen uno de los grandes capítulos de las Técnicas de Optimización. Su aplicación se restringe a problemas que se pueden formular bajo una estructura específica, para la cual se desarrolla una estrategia de optimización sumamente eficiente. La más antigua de estas técnicas es la Programación Lineal, cuyos conceptos y algoritmos operativos básicos datan de las décadas del 40 y 50; fundados, principalmente, en los trabajos de Dantzig y el grupo de la Rand Corp. En este caso las exigencias se refieren al tipo de ecuaciones que definen el problema: tanto la función objetivo como las relaciones de diseño y restricciones deben ser lineales y las variables no negativas, esto es j  n

mín j  n

con

 c j x j

j 1

 aij x j  bi

i  1..m

j 1

x j

 0  j

Con este tipo de exigencias se encuentran distintos tipos de programaciones: cuadrática, geométrica, etc. La que ha de ocupar la atención de este capítulo no pertenece a las técnicas que requieren funcionalidades determinadas en la formulación del problema.

rN

S N+1

r N-1

S N-1

SN

dN

r2

S3

d N-1

S1

S2

d2

Fig. 5.1.1

r1

d1

Programación Dinámica es una técnica de optimización que se aplica exclusivamente a sistemas cuyos diagramas de flujo de información son seriados multietapas , entendiendo por seriados aquellos diagramas donde en toda etapa las variables que ingresan a ella son de decisión o provienen solo de la etapa que la precede de acuerdo al flujo de información, tal como el que se muestra

en la figura 5.1.1.

215


Allí se ha buscado representar con flecha entera gruesa conjuntos de variables, por ejemplo dN debe entenderse como un vector de componentes d n1, dn2,... Las variables individuales, como todas las ri, por ejemplo, se indican con una media flecha fina. Estas variables ri representan el aporte que realiza en forma individual cada etapa a la función objetivo del sistema. En definitiva, el problema puede ser formulado como sigue

 N  N r * FO N  opt   r i    i i 1  i 1 con f ( S i 1 , S i , d i )  0 g ( S i 1 , S i , d i )  0 r i  r i ( S i 1 , S i , d i )

i  1.. N

Donde fi y g i deben tomarse como vectores de funciones de componentes f i1, fi2, ..., gi1, gi2, ... Resulta importante aclarar que, en todo el capítulo, al hacerse referencia a las variables de estado de una etapa, esto es, que abandonan esa etapa, solo se han de considerar, salvo expresa mención en contrario, las que se conectan con otra etapa, lo que de modo alguno quiere decir que sean las únicas que existan. Son las que interesan desde el punto de vista de Programación Dinámica, que es algo muy distinto, pero al momento de calcular los aportes a la función objetivo deben tenerse en cuenta, como es obvio, todas las variables, sean o no de interconexión. Volviendo al diagrama de flujo de la figura 5.1.1, la particular estructura que presenta permite inferir rápidamente que las consecuencias de cualquier decisión que se tome en cualquier etapa se pueden proyectar solo hacia adelante en el flujo de información, en rigor, en forma directa, a la etapa siguiente y, a través de ésta, a las restantes. Esto es típico, por ejemplo, en todo proceso que se desarrolla a lo largo del tiempo1, donde las acciones que se toman en el presente solo han de tener consecuencias en el futuro. La situación presente, en tanto, es la resultante de las decisiones del pasado, inmodificable, por cierto, ante la cual, en consecuencia, solo cabe aceptar la realidad y determinar el curso a seguir, en aras de alcanzar el mejor futuro posible.

216


Esta dinámica se repite en sistemas seriados multietapas, donde un "presente" en particular es el valor que toman las variables de interconexión que ingresan a una etapa k cualquiera ("estado" del sistema a la entrada de la misma2), en tanto que el "futuro" lo constituye el subdiagrama que comienza en la etapa k y concluye con la final. Para un determinado estado S k+1, v.g. Sk+1j, existe un conjunto de decisiones (podría decirse "en el futuro") d kj,...,dlj que logran un valor óptimo para el conjunto de aportes parciales r1,...,rk. Dado que al fijarse dkj queda perfectamente determinado Skj y que, con esto, se tiene una situación, para las últimas k-1 etapas, equivalente por completo a lo anterior, se puede poner que

i  N  FOk ( S k 1 )  opt   r i   opt r k  FOk 1 ( S k )  i  k  d d ..d  k

1

5.1.1

k

Donde ahora Sk+1 tiene un valor genérico y las d k,...,d1 que logran el óptimo de FOk (y éste mismo) resultan ser funciones de ese valor. Cuando lo anterior es cierto para cualquier valor de k entre 1 y N se tiene el óptimo para el sistema, según lo expresa el llamado principio de optimalidad de Bellman3 por el que se establece que la política óptima d N*,...,d 1* para un sistema de N etapas debe ser tal que el subconjunto de decisiones para las k últimas etapas d k*,...,d 1* resulta óptimo para el estado S k+1, para todo k entre 1 y N.

La expresión 5.1.1, asimismo, establece la estructura fundamental de la estrategia de optimización por Programación Dinámica, como podrá verse en seguida.

217


II

ESTRATEGIA BÁSICA. EJEMPLOS DEMOSTRATIVOS En la exposición de la estrategia o algoritmo básico de Programación Dinámica, para una mayor claridad en la exposición, se admitirá que en el diagrama de flujo general de la figura 5.1.1 hay solo una variable de interconexión y una de decisión por etapa. Esto permite que, en la determinación del estado a la entrada de cada etapa, se logre la mayor simplicidad de tratamiento pues basta con fijar el valor de una sola variable. Otro tanto ocurre con la búsqueda de los óptimos parciales (esbozada en 5-1-1), la que se ha de efectuar, también, sobre una variable. De modo alguno esto resta generalidad al tratamiento. Si se incrementase en uno o más puntos del diagrama el número de variables de interconexión habría de crecer la complejidad en la determinación del estado a la entrada de la etapa, o etapas, correspondientes, pero el concepto de estado ha de seguir siendo singular, con independencia de cuantas variables lo determinan. En forma análoga, si las modificaciones ocurriesen sobre las variables de decisión, sería cuestión de elegir, en cada caso, la metodología de optimización que mejor se ajuste al número de variables y tipo de problema particular. Hecha esta aclaración es posible, ahora, entrar de lleno en el proceso de análisis que se desprende del principio de Bellman. De acuerdo a 5.1.1 se deberá comenzar por la última etapa, la número 1 en el diagrama (la numeración elegida obedece a que el proceso de análisis "transcurre" en sentido inverso al flujo de información), donde deberá encontrarse FO1 ( S 2 )  opt r 1 ( S 2 , S 1, d 1 )  opt r 1 ( S 2 , S 1S 2 , d 1 , d 1 ) d 1

d k

218


r1

Si se admite que el paso de optimización indicado solo puede ser llevado a cabo en forma numérica (de hecho, la única vía de ataque siempre posible) habrá que determinar el óptimo de r1 para varios valores de S2, de modo de disponer, en forma tabulada, las funciones F1 (S2) y d1*(S2).

a

S 22 S 32

S '2

d*1

d1

b

r*1

c

S2

S2

Lo anterior se muestra en la figura 5.2.1, donde, en la parte a de la misma, se representa la búsqueda de los óptimos de r 1 (máximo, en este caso) para distintos valores de S2, mientras que en b y c las relaciones F1(S2) y d1*(S2) (En ambas figuras se han extrapolado los resultados para obtener lo indicado con las curvas gruesas).

Figura 5.2.1

En la segunda fase de optimización deben considerarse las dos últimas etapas y encontrar FO 2 ( S 3 )  ( r 2

 r1 )*  opt  r 2 ( S 3 , S 2 , d 2 )  FO1 ( S 2 ) d 2

 opt  r 2 ( S 3 , S 2 ( S 3 , d 2 ), d 2 )  FO 1 ( S 2 ( S 3 , d 2 )) d 2

La cuestión es, en esencia, la misma que antes: debe buscarse el óptimo de r 1+ r2 para distintos valores de S3, obteniendo, asimismo, los respectivos d 2*. a

r 2 + r 1*

La única diferencia radica en que, dado un valor de S3, para obtener el correspondiente a cada d2 en la función a optimizar, al resultado del cálculo de r2 debe agregarse el valor de FO1 que corresponda al S3 elegido. (Esto se muestra en la figura 5.2.2.a donde la ordenada está constituida por dos partes, r2 y r1*).

r 1* S33 r 2

S32 S31

d2

b d2*

S3

c

(r 2 + r 1)*

S3

Figura 5.2.2

219


El valor de FO1 surge interpolando en la tabla obtenida en la etapa anterior, para lo que debe tenerse en cuenta el estado a la salida (S 2) que resulta de la combinación de la entrada (S 3) y la decisión (d2).Todo esto se ha de repetir en el análisis de las etapas 3,4,..,N-1. r N + (r N-1 +…+r 1)*

Para la última etapa, en cambio, lo usual es que el estado a la entrada de la misma se encuentre perfectamente determinado (Si no lo estuviera, el tratamiento que sigue deberá efectuarse para cada uno de los posibles valores). FO N ( S N 1 )  opt r N  FO N 1 ( S N ) d N

Figura 5.2.3 Con esto, la búsqueda de se reduce a una única búsqueda sobre dN para determinar el óptimo de la función objetivo total, tal como se indica en la figura 5.2.3. opt r N ( S N (d N ), d N )  FO N 1 ( S N (d N ) d N

A partir del valor encontrado de dN* es posible el cálculo de S N* y con ésta, a través de la tabla respectiva, determinar d N-1* y así, siguiendo ahora el sentido del flujo de información, hasta lograr d 1*. Resumiendo: la estrategia que plantea Programación Dinámica consta de dos fases, una, primera, por la cual se han de obtener los óptimos parciales de las k últimas etapas y las decisiones óptimas de las mismas en función del estado a la entrada al subsistema; la otra fase, siguiendo el flujo de la información, permite obtener los valores de los estados y decisiones óptimas para todas y cada una de las etapas que componen el sistema.

Tal vez resulte conveniente fijar estos conceptos a través del análisis de algunos ejemplos sencillos.

220


En el primero de ellos -la extracción en tres etapas de un soluto con agregados parciales de solvente de extracción presentado en capítulos anteriores- es posible encontrar expresiones funcionales tanto para FOi*(Si+1) como para di*(Si+1); en cambio, en el segundo - una red de intercambio térmico con división de corrientes, similar a la vista en el capítulo de ordenamiento de cálculo - debe acudirse a la solución numérica planteada como estrategia general.

PROBLEMA Nº 1

En el problema de extracción en tres etapas en equilibrio que se representa en la figura 5.2.4 se admitirá: a) la inmiscibilidad del solvente de extracción y b) una relación de equilibrio lineal yi=k xi, con lo que, además de ésta, la otra ecuación para cada etapa es qx i 1

 qx i  W i y i

W 3

q

W 2

x 4

W 1

x 3 3

x 2

x 1

2

y 3

1

y 2

y 1

Fig. 5.2.4

Se busca maximizar la diferencia venta de soluto extraído y gasto de solvente de extracción, siendo C la relación de costo de este último al precio de venta del primero. Con esto, la función objetivo tendrá la forma Máx B = q(x4 - x1) - C

Wi.

Los datos del problema serán el caudal q y la fracción x4.

W3 q

La figura 5.2.5 muestra el diagrama de flujo de información correspondiente, el que, como puede apreciarse, reúne los requerimientos exigidos para la aplicación de Programación Dinámica.

X4

W1

W2 q y3

3

q y2

2 X’3

X3

y1

1 X’2

X2

X1

Fig. 5.2.5

221


En las etapas 2 y 3 se ha añadido una ecuación (x i = x i’ ) a fin de clarificar el uso de la técnica, al evitar que una misma variable, xi, aparezca, en puntos sucesivos del diagrama, como de decisión y de estado interconectando etapas (Esto sólo por razones didácticas, ya que el tratamiento podría haberse realizado sin recurrir a este artificio). Para el primer paso de optimización se puede considerar



máx r1 x1



W 1

q( x 4



q

' x 2



x 1 )





CW 1



x 1

kx 1

Con lo cual

  x2'  C r 1  q  x4  x1  p  1 , p   x1  k    r 1  1  px2' x1 2  0  x1*  px2'  x1

5  2 1

 q  x4  p  2 px2'    Como se puede apreciar, las relaciones 5-2-1 concluyen por determinar sendas expresiones analíticas para el óptimo parcial y la decisión de la etapa, FO 1 y x1*, en función del estado a la entrada de la misma x2’. Estas expresiones corresponden a las curvas estimadas en la figura 5.2.1 b y c. FO1 ( x2' )  r 1*

Debe hacerse notar que debe verificarse la naturaleza del punto estacionario determinado, lo que, en este caso, resulta inmediato ya que  2 r 1 /  x 2 1   2 px 2' x 13  0 Para el segundo paso deben considerarse las dos últimas etapas buscando máx r 2

 FO1   FO1  CW 2 

x3'  x2 FO1  Cq kx2

  x3'   q  x4  p 2    2  x2    



px2 



222


Esto lleva a (Se deja a cargo del lector el verificar que la derivada segunda es igual a 3/2x3 < 0). Antes de pasar al tercer, y último, paso de optimización conviene hacer notar que, hasta ahora, las funciones objetivos parciales dependían tanto de la decisión en la etapa inicial del respectivo subdiagrama como del estado a la entrada de la misma. ( r 2  FO1 )  px 3' x 2 2  p / x 2  0  x 2*  3 px 3' 2  x 2 '

FO 2 ( x 3 )  ( r1

 r 2 )*  q  x 4  2 p  3 3 p 2 x 3'   

Al tratar el conjunto de las tres etapas la entrada al sistema está fija (x 4 es un



má x r 3  FO 2  FO 2  CW 3 x 3

( r 3  FO 2 )  x 3

  q  x 4  3 p  3 3 p 2 x 3

 p



 2  px 4 x 3  3 ( p / x 3 ) 2  0



x 4 



x 3 

*

3



x 3  4 px 4

3



FO 3  ( r 3  r 2  r1 )*  q x 4  3 p  4 4 p x 4    

dato), por lo que x3* no será ya función de la misma sino simplemente un valor único (Adviértase el abandono de la utilización de la derivada parcial en la determinación del punto estacionario). Conviene recordar esto dado que, en la formulación del problema, se ha omitido el darle valores numéricos a los datos y podría aparecer como que se Reiteran las situaciones anteriores. Se trata, entonces, de encontrar y ahora conocido x3* surgen de inmediato x2* y x1*, en la segunda fase de la estrategia de Programación Dinámica, siguiendo el flujo de la información: x3'*  x3*

 4 px43

x*2



px4

 x2'*

x1*

 4 p 3 x4 Ae

Ac

180

100

A

V

A1

540

T3 240

W4

500

T4

1-r

W3

W2

200

320

280

r

T1

320

T22

T21

140

W1

A3 A2

Figura 5.2.6

223


PROBLEMA Nº 2

El otro ejemplo al que se hizo referencia es un esquema con una única división de corrientes para resolver el problema de síntesis de redes de intercambio térmico similar al visto al considerar el acápite 4 del tema métodos de optimización, esquema que se muestra en la figura 5.2.6. Las ecuaciones que definían el modelo matemático del problema eran: ✓

Calentador 15

657,5 q v =

15 13 ✓

 

104 ln

13

10 4 ( 500 - T 3 )

540 - T 3 

 = 200 Ac 

40

Intercambiador 1 2 10 4 ( 480 - T 4 ) =

ln ✓

480 - T 3 T 4 - 240

15 4 10 ( T 3 - 240 ) 13

= 150 A1

 1 - 13  - 4  2 15  10

13 4 10 ( 320 - T1 ) 9

1 9  T - 320 ln 4 = 150 A2  -  10-4 280 - T 1  2 13 

T 4  320 ; T 1  280

Intercambiador 3 f

ln ✓

T 4  480 ; T 3  480

Intercambiador 2 2 10 4 ( T 4 - 280 ) =

✓

T 3  240

15 9

10 4 ( 320 - T 21 ) =

320 - T 1 T 21 - 140

= 150 A3

13 9

10 4 ( T 1 - 140 )

 9 9  -4  15 f - 13  10  

T 1  140

T 21  140

Enfriador 80 q a = ( 1 - f )

15 9

10 4 ( 320 - T 22 )

T 22  320

224


ln

✓

140 = 150 A e T 22 - 100

  

9 10 - 4 1   15 ( 1 - f ) q a 

Mezclador f T 21 + ( 1 - f) T 22 = 200

0  f  1

y la función objetivo FO = 39

 A0,65 + 3,6 q v + 0,24 q a

A 1 A 2 A c

A 3 q a q V

A e

La estrategia de cálculo para este problema determina como variables de decisión a T1 y al factor de fraccionamiento f.

T 22

T 3 T 4

T 21

T '1 T 1

f

El diagrama de flujo resultante se indica en la figura 5.2.7 (Otra vez se ha recurrido al artificio de introducir una variable de conexión, T1’ = T1)

Fig. 5.2.7

Por las características del diagrama queda claro que es aplicable Programación Dinámica, aunque la naturaleza matemática de las ecuaciones hace imposible una solución analítica como en el problema anterior. Habrá que buscar mín r 1  39( Ae0.65  A30.65 )  0,24 q a para distintos valores f

de T1’, lo que dará lugar a una tabla donde han de figurar los respectivos FO 1, necesarios para el siguiente paso de optimización, y de f *, requeridos para la segunda fase de la técnica. Una vez realizado esto habrá que proceder a resolver un único problema: mín r 2 T 1

 FO1  39( A c0 .65  A10 .65  A 20 .65 )  3 ,6 q v  FO1

Puede advertirse que ahora se está, en principio, frente a dos problemas de una variable en lugar de uno de dos, que fuera la forma como se resolvió anteriormente. Esta reducción de la dimensionalidad de los problemas parciales, un aspecto fundamental de Programación Dinámica, se logra a costa de resolver reiteradamente cada uno de estos subproblemas (Recuérdense las figuras 5.1.1a

225


y 5.1.2a). De aquí la nota de prevención en principio expresada más arriba, ya que estas reiteraciones pueden llegar a anular los efectos derivados del menor número de variables de decisión por problema y, aún, a resultar perjudiciales, cuestión sobre la cual se ha de volver más adelante. Retomando el problema planteado; la generación de la tabla requiere la adopción de una serie de valores de T 1’. Para ello debe considerarse que existe un límite superior implícito sobre T 1, que surge del umbral de necesidad de refrigeración en el enfriador, equipo complementario del intercambiador 3 . Estos umbrales se pueden calcular mediante la Tabla del Problema, utilizando una aproximación mínima nula. Los consumos de servicios auxiliares que así se determinen constituirán un mínimo de índole termodinámica, ya que los intercambios que se propongan sobre el Pinch deberían realizarse en equipos con área infinita. Para el problema, el umbral de refrigeración es del orden de 63 10 4, lo que arroja un valor máximo de 2351, aproximadamente, para T 1. En la construcción de la tabla, se ha tomado como límite superior 234,5 y 174,5 como el mínimo, con un total de 7 valores igualmente espaciados. Se estima, a priori, que el valor óptimo de T1 se ha de ubicar más cerca del límite superior que a la inversa, como un modo de ahorrar en el consumo de servicios auxiliares, más significativos en costo que la amortización de los equipos. La tabla siguiente muestra los valores encontrados en el primer paso de optimización T1’ 174,5

f* 0,300

184,5

0,373

194,5

0,445

204,5

0,514

214,5

0,582

224,5

0,649

234,5

0,715

FO1 5578, 46 5183, 54 4786, 64 4389, 10 3992, 01 3596, 33 3202, 98

Como resultado del segundo paso se encuentra el valor óptimo de T 1, 230,501 y de la función objetivo global 9015 $/año, valores totalmente coincidentes con los encontrados en anterior oportunidad. El valor de f * surge por interpolación en la tabla anterior, resultando ser 0,688, igual que antes.

226


PROGRAMACIÓN DINÁMICA III CON VARIABLES DISCRETAS Hasta aquí se han considerado problemas cuya formulación se estructuraba sobre variables esencialmente continuas (caudales, concentraciones, temperaturas). Hay otro grupo de problemas, de gran importancia práctica, donde a las variables solo se les permite adoptar ciertos y determinados valores, esto es, poseen, o tienen definido, un comportamiento discreto. En este punto se suele utilizar lo que en la literatura se denomina diagramas de rutas, aludiendo a la situación que pude observarse sobre cualquier mapa vial, donde aparecen las ciudades vinculadas entre sí por una red caminera. 10

7 14

7

2

10

5

7

11

2 3

4

10

9

2

7

8

5

0

4

9

10

0

2

2

9

13

9

3

Allí aparecen una serie de nodos (las ciudades) vinculadas por arcos o líneas de unión (los tramos carreteros). Sobre cada uno de este tramo aparece una cifra que representaría la distancia a cubrir.

9 2

En la parte superior de la figura 5.3.1 se esquematiza, en una forma extremadamente simple, lo que podría ser un mapa de ese tipo.

3

0

Se podría plantear como trasladarse de una cualquiera de las localidades del "extremo este" a otra cualquiera del otro extremo, avanzando siempre en dirección oeste y de modo tal que el viaje resulte lo más corto posible.

Fig. 5.3.1

En adelante se adoptará un sistema de ejes coordenados para ubicar los nodos, correspondiendo la fila 1, columna 1 al extremo superior izquierdo y la fila 3, columna 4 al inferior derecho, nodos n 1,1 y n3,4 respectivamente4. Puede verse que en cada columna hay un número finito de nodos, tres en este caso, así como que, ubicado en un nodo, para avanzar a la columna siguiente, es posible elegir alguno de los, como máximo tres, arcos que salen del mismo.

227


En la parte inferior de la figura 5.3.1 se muestra un diagrama de flujo de información que podría asociarse al "mapa" simplificado de arriba. Para ello, bastaría admitir que todos los estados (inicial, intermedios y final) pueden tomar solo tres valores, los que corresponden a las filas 1,2 y 3 respectivamente, y que las decisiones en las etapas han de incrementar en uno la columna, manteniendo, incrementando o disminuyendo en uno el valor de la fila, siempre que el estado al que se arribe sea uno permitido. Esta equivalencia entre un diagrama de rutas y otro de flujo de información posee, como se ha de ver más adelante, un real interés práctico, que supera a la actual circunstancia de servir como justificación teórica para el uso de una determinada técnica. La aplicación de la estrategia de Programación Dinámica -el diagrama lo permite- debe comenzar analizando el aporte en la última etapa, esto en las transiciones que vinculan las "ciudades" de la columna 3 con las de la 4. El óptimo de este aporte, menor trayecto, dependerá, como ya se ha visto, del estado a la entrada de la etapa. Puesto en los términos del mapa carretero simplificado, si uno se encontrase en el nodo 1,3 podría trasladarse al 1,4, recorriendo una distancia 9, o al nodo 2,4, ubicado a una distancia 2. La decisión óptima, en consecuencia, será esta última lo que genera un aporte de 2 a la distancia total a recorrer. Si la posición fuese, en cambio, el nodo 2,3 lo mejor sería trasladarse al 1,4 con un aporte de 2. Para el 3,3 debe el viaje debe concluirse en el nodo 3,4, con un recorrido parcial de 3. En la figura se han indicado las decisiones óptimas, así como los aportes a la distancia total que corresponda, esto dentro de los círculos que marcan los nodos. Al pasar a considerar las dos últimas etapas el recorrido hasta la final resulta de la suma del aporte de la transición de que se trate y la distancia óptima a recorrer desde la "ciudad" a que se llega hasta el final. Así, por ejemplo, si se estuviese en el nodo 1,2 y se tomara la decisión de mantenerse en la fila, habría que cubrir una distancia de 10 para llegar a 1,3 y de allí, se sabe, 2 hasta el final, lo que hace un total de 12. En cambio, si uno se trasladara al nodo 2,3 el recorrido sería de 5 + 2 = 7, obviamente, mejor que lo anterior. De esta forma se alcanzan los estados iniciales, columna 1, encontrándose que el menor recorrido total corresponde al nodo 2,1 con un valor de 11 y que las decisiones óptimas -segunda fase de la técnica- marcan el camino n2,1 - n2,2 - n1,3 - n2,4.

228


Hay un caso de optimización de diagramas de rutas de gran importancia práctica, pues en él se basan todas las técnicas de planificación de tareas, cronogramas de ejecución de obras, etc. que se explicitan en métodos como PERT o CPM5. En este tipo de problemas se encuentran fijos tanto el estado inicial, la entrada al sistema, como el final, a la salida de la última etapa. Un caso como éste se muestra en la figura 5.3.2, donde se ha colocado, junto al diagrama de rutas, el de flujo de información del que podría provenir. 10 14

2 5

2

9 2 7 28

3 16

9 9

0

7

10

9 9 2 18

9

El que exista un único nodo inicial y sólo otro final (la entrada y la salida están fijas) es perfectamente entendible si ese diagrama de rutas está representando un conjunto de tareas en las que se ha subdividido un determinado trabajo (limpiar el terreno, poner los cimientos, ... para construir una casa), donde, necesariamente, ha de existir un momento en el que pone en marcha el programa de trabajo y otro donde todo ha concluido. Cada arco en el diagrama debe entenderse como una tarea, siendo su duración el valor que se encuentra sobre el mismo. Cada nodo indica el momento en que concluye una tarea o está en condiciones de comenzar otra.

Fig. 5.3.2

De aquí que en el diagrama se esté indicando, también, la relación que existe entre las distintas tareas del programa: cuales son las que deben estar concluidas antes de poder comenzar con cada una. Para este caso la función objetivo que se plantea es el menor tiempo en el que el programa puede estar concluido, respetando, claro está, las relaciones entre las tareas que lo componen. Esto último significa que deberá buscarse el camino más largo, el de mayor duración, ya que permitirá que las restantes tareas, las que no se encuentran sobre el camino crítico , pueden concluirse sin inconvenientes. De la misma forma que antes es posible ir determinando los máximos parciales que corresponden a cada estado, esto es, cuanto tiempo ha de transcurrir, aún, desde ese punto hasta que el programa se encuentre concluido.

229


Por ejemplo, resulta inmediato que las tareas que concluyen en el nodo 1,3 deberán estar terminadas 2 unidades de tiempo antes que el programa global, así como que las que lo hacen en el 2,3 lo deberán estar 9 unidades antes. Para determinar el valor correspondiente al nodo 1,2 (es decir, para las tareas que allí terminan) ha de tenerse en cuenta que por una vía, la que pasa por n 1,3, el lapso sería 12 (10 + 2), mientras que por otro circuito, el que se conecta con n2,3, el valor es 14 (5 + 9) y será esto último lo que deba considerarse como fecha de terminación del nodo para permitir que ambas ramas terminen en tiempo. Al llegar al estado inicial, se tendrá el tiempo total y, pasando a la segunda fase de la técnica, la posibilidad de determinar el conjunto de tareas que determinan este tiempo, integrando el camino crítico. Este concepto de criticidad aparece en virtud de que una demora en la ejecución de cualquiera de estas tareas determinará la correspondiente prolongación del tiempo total de completamiento del programa. En la figura 5.3.2 se han indicado, como siempre, en el interior de los nodos, el valor del máximo parcial, encontrándose que el tiempo mínimo de ejecución es 28 y el camino crítico está determinado por la secuencia n 2,1 - n3,2 - n2,3 - n2,4. Adicionalmente a lo anterior pueden determinarse un conjunto de parámetros de suma importancia en la planificación de un trabajo. 10

9

19

5

9

En la figura 5.3.3 se muestra la resolución del mismo problema, pero ejecutando las operaciones en sentido inverso al anterior (Se estaría siguiendo el sentido del flujo de la información).

2

2 7

0

3

7

9

19

7

10

9

9 10

28

Con esto es posible determinar la fecha más temprana fp en la que puede comenzar una tarea cualquiera, siendo ésta el valor que se encuentra en el nodo donde la tarea comienza.

2

14

Fig. 5.3.3

Así, cualquiera de las que lo hacen en el 1,3 no podrán empezar antes de la fecha 19 (max[ 9 + 10;7 + 2] = 19 O tiempo en que se encuentra concluida la tarea que determinan los nodos 2,2 y 1,3).

A partir de haber "fechado" los nodos, calculando el lapso hasta la terminación, lf (fig. 5.3.2), así como la fecha temprana o próxima, fp (fig. 5.3.3) se pueden determinar, para cada tarea, lo que se conoce con el nombre de fecha tardía ft, plazo último para concluirla sin que se retrase el conjunto y, en relación con ésta, el margen de flotación m, que representa el mayor lapso de demora admisible.

230


fpt  fpi, j

; ft t  DT  lf k ,l

;

mt  ft t  ( fpt  d t )

Para una tarea t que comienza en n i,j y termina en n k,l será Correspondiendo el subíndice t a la tarea y los dobles a los nodos. Con d t se indica la duración de la tarea y con DT la del programa total. En la tabla se muestran los valores de fp, ft y m para cada una de las tareas del ejemplo. Puede notarse que para las que componen el camino crítico el margen de flotación es nulo, indicando que no puede registrarse el menor retraso en las mismas, sin que ello determine una demora en el tiempo total de ejecución del programa. Tarea de

2,1

1,2

2,2

3,2

Duración a

3,3

Fecha

próxima

tardía

Margen

1,2

9

0

14

5

2,2

7

0

12

5

2,3

10

0

10

0

1,3

10

9

26

7

2,3

5

9

19

5

1,3

2

7

26

17

2,3

3

7

19

9

3,3

7

7

19

5

2,3

9

10

19

0

3,3

2

10

19

7

2

19

28

7

9

19

28

0

9

14

28

5

1,3 2,3

Fecha

2,4

No se puede terminar este acápite sin advertir que, primero, los casos reales que son abordados mediante PERT o CPM presentan diagramas (grafos en la terminología técnica) totalmente irregulares lo que, sin embargo, no invalida la aplicación de todo lo visto 6 y, segundo, que, si bien la técnica básica es la expuesta, se abordan otras cuestiones tales como costos, asignación de recursos, duraciones indeterminadas, etc., cuyo tratamiento escapa a la intención de esta obra.

231


DIAGRAMA DE RUTAS IV EQUIVALENTES Del mismo modo en que antes se vinculaba un diagrama de flujo de información a uno de rutas es posible realizar la operación inversa, generando un diagrama de rutas equivalente, sobre el que será factible la aplicación de las técnicas ya vistas, resolviendo el problema original en forma aproximada. En la figura 5.4.1 se esquematiza una etapa genérica de un diagrama de flujo de información. Uno de rutas con el que estuviese vinculado tendría determinados valores para los estados Si+1 y Si. Si por un momento se omite la consideración del estado a la entrada de la etapa -para quien actúa, en todos los casos, como un dato del problema- un diagrama de rutas con el que estuviese vinculado el de información, debería tener fijados un cierto número de posibles estados S i los que, conectados con los correspondientes a Si+1, han de generar las rutas o transiciones posibles. Para fijar un estado en Si es preciso darle valores a todas las variables que lo definen, reiterando que en tal definición solo se incluyen las que interconectan etapas. Tales valores pueden ser fijados dentro de ciertos márgenes razonables o habrán de surgir por cálculos en la etapa. En la primera de las alternativas, fijar valores para las variables de salida, admitiendo siempre que el estado a la entrada es un dato conocido, ha de ser necesaria una inversión del flujo de información, transformando en variables de estado tantas decisiones como salidas se pretenda fijar. Fig. 5.4.1

232


Hay, pues, tres casos por analizar: a) Si < di

b) Si = di

c) Si > di

que se muestran en la fig. 5.4.2 a

b

r i

c

r i

r i d i

i

S i +1

S i

S i +1

i

S i

S i +1

i Si - d i

S i

d i - S i

d i

d i

Fig. 5.4.2

Debe aclararse que en los esquemas se ha tomado d i como el número de variables que definen la decisión d i y Si la cantidad de las que determinan el estado Si. Puede verse que sólo en los casos a y b es posible fijar completamente la salida, mientras que en el caso c algunas de las variables que la determinan surgen por cálculo. A su vez, en el caso a, quedan aún variables de decisión por determinar, ya que la modificación del sentido del flujo de información no alcanza a invertirlas a todas. En este último caso, para lograr establecer el aporte sobre una transición cualquiera -desde un determinado Si+1 a un dado Si -, se requiere conocer los valores de las variables de decisión que han quedado libres, lo que significa un problema de optimización para definir tal aporte. Este problema, obviamente, tiene una dimensionalidad menor que la que le corresponde a la etapa (Se ha reducido en Si variables). El otro caso interesante es el c, donde se puede fijar sólo parte del estado a la salida y el resto debe ser calculado. En este cálculo participa el estado a la entrada de la etapa y, en consecuencia, aunque permanezcan invariables los valores fijados para la salida, al cambiar el estado S i+1, habrán de generarse diferentes estados Si, por la modificación de las componentes que surgen por cálculo7.

7

Podría decirse que se está en condiciones de fijar, por ejemplo, la latitud del punto de destino, pero la longitud depende de aquella y del cual sea el punto de origen.

233


En la circunstancia descripta el diagrama de rutas aparecerá con ramificaciones divergentes, originadas en cada uno de los valores elegidos para el estado Si+1. En la figura 5.4.3 puede apreciarse la transformación de un diagrama de flujo de información en otro de rutas equivalente. 21 31

11 22

40 21 32

12 22

Se ha supuesto que se dan dos valores a cada una de las variables que participan en la definición de los estados interetapas, variables que aparecen "tachadas" en el diagrama de flujo de información. Los valores se indican mediante dos dígitos en el interior de los nodos que representan los estados.

Fig.5.4.3

Además, se han marcado con un punto las transiciones sobre las cuales el cálculo del aporte a la función objetivo requiere de un proceso de optimización. Puede advertirse que en los tramos que corresponden a la etapa 2 aparecen repetidos los valores fijados de la variable de salida, un par para cada valor del estado S3. Como quedase dicho, esta ramificación aparece toda vez que resulta imposible fijar la totalidad de las variables que determinan el estado S2. Merece un comentario final lo que sucede al aplicar esta metodología en la última etapa. Allí las variables de salida no se interconectan con nada y, por consiguiente, no existe un estado, tal como se ha expuesto para los restantes casos. No se requiere, necesariamente, invertir el flujo de información ni tiene importancia cuántas variables definen el estado y cuántas la decisión. No obstante, por conveniencia en el cálculo, se ha de mantener en la última etapa el concepto de estado a la salida, fijando valores (discretizando) para las variables que se hayan elegido, en el número corresponda, estén éstas integradas al estado de salida o a la decisión. Por todo lo dicho resulta claro que las transiciones en este punto nunca podrán presentarse en un esquema ramificado. La precisión que se puede alcanzar por esta vía depende, como es obvio, de la cantidad de estados intermedios que se generan. Si bien cuando el problema está formulado en términos de variables continuas el número posible para los mismos es infinito, no resulta conveniente, en aras de una mayor exactitud, aplicar la estrategia expuesta sobre un número grande de estados intermedios. En su lugar, es más efectivo proceder a una primera búsqueda que permita acotar un ámbito donde reiterar el procedimiento y, así, todas las veces que resulte necesario.

234


T '1

T21

datos T1

f 169.5

5.88

160

5.79 8.96

5.86

inic

200 3.49

6.55

3.21 234.5

260

El ejemplo 5.1, ya resuelto mediante el procedimiento riguroso, puede servir para fijar las ideas antes expuestas. En la figura 5.4.4 se esquematiza la estructura básica del diagrama de rutas equivalente. Al igual que antes, para la variable T 1’ se ha adoptado el rango 169,5-234,5.

Fig. 5.4.4

En la última etapa se ha preferido utilizar la variable T 21 en lugar del factor de fraccionamiento f, por ser más sencillo acotar, en forma efectiva, los límites de variación, elegidos, para el caso, 160 y 260. La tabla siguiente muestra los resultados obtenidos para 6 valores en cada uno de los estados. T1

’

T21 160

180

200

220

240

260

r 2+r 1*

r 2>

169.5

182.5

195.5

208.5

221.5

234.5

8960

8058

7193

6398

5761

6553

5879

5397

4912

4429

3954

3489

(0,160)

(0,230)

(0,301)

(0,371)

(0,441)

(0,512)

5816

5313

4805

4298

3793

3294

(0,183)

(0,263)

(0,344)

(0,424)

(0,505)

(0,585)

5786

5274

4757

4239*

3722*

3209*

(0,213)

(0,307)

(0,401)

(0,424)

(0,589)

(0,682)

5775*

5263*

4750*

4242

3755

3445

(0,256)

(0,368)

(0,481)

(0,594)

(0,706)

(0,819)

5785

5297

4857

NF

NF

NF

(0,320)

(0,460)

(0,601)

5856

5877

NF

NF

NF

NF

(0,426)

(0,614)

14735

13321

11943

10637

9483*

9762

235


En la primera fila y columna de la tabla figuran los valores de los distintos estados. En la segunda fila los aportes sobre las transiciones entre el nodo inicial y los correspondientes a T1’. De las filas tercera a octava se encuentran los aportes de la última etapa y, entre paréntesis, el valor de f *. Con la sigla NF se marca el hecho que la transición correspondiente no resulta posible (T22 o f exceden los límites establecidos). La lectura de una columna, considerando desde la tercera a la octava fila, permite decidir, para el respectivo valor de T1’, cual es la mejor elección en la última etapa; por ejemplo: para T1’=182,5 resulta lo más adecuado T21 = 220 o, lo que es equivalente, f = 0,368. Puede notarse que las transiciones óptimas para cada estado se indican con un asterisco. En la última fila se muestra el resultado, r 2 + r1*, para las distintas decisiones posibles en la primera etapa. El menor de todos ellos representa el óptimo global, 9483 $/año, aproximadamente un 5% superior al valor encontrado anteriormente. Las decisiones óptimas serían T1 = 221,5 y f = 0,589. Pero aún sería posible ajustar este resultado. De la inspección de la tabla surge una zona, a la que se ha recuadrado, donde, evidentemente, se encuentra el óptimo del problema. Si se amplía la búsqueda en dicha zona, agregando dos nuevos valores de T ',1’, 215 y 228, y otros dos de T21, 190 y 2108, se encuentra el óptimo para T1= 228, f=0,693 y un costo de 9076 $/año, apenas un 0,66% superior al valor exacto.

236


PROGRAMACIÓN DINÁMICAEN SISTEMAS RAMIFICADOS

V

Hasta el momento sólo se han considerado, para la aplicación de las técnicas de Programación Dinámica, solo aquellos problemas cuyos diagramas de flujo de información cumpliesen estrictamente las características de seriados multietapas, tal como fuera definido al iniciar el tratamiento del tema. Cabría preguntarse si son ellos los únicos sobre los que puede ser aplicada la técnica o si resulta posible adecuar los diagramas, de modo tal que pueda hacérselo. La respuesta que Programación Dinámica extiende su aplicación, en forma directa, a problemas cuyos diagramas de flujo de información son algo más complejos que lo vistos, así como resulta posible usarla en otros, adaptando el respectivo diagrama. Algunos de ellos serán vistos en este capítulo; como ser los sistemas ramificados, donde existen, en algún sector del flujo de información, al menos dos ramas o vías independientes, que surgen de un punto común (sistemas divergentes) o concurren a uno determinado (sistemas convergentes). Los diagramas con reciclo de información será otro caso a considerar. A S kA N

k+1

k S k+1

S

S kB d N

d k+1

Fig. 5.5.1

d k

B

En la figura 5.5.1 se muestra la estructura básica de un sistema ramificado divergente, donde puede apreciarse la existencia de dos ramas, A y B, que se separan a partir de la etapa k. Cada una de ellas está constituida por un sistema seriado multietapas como el que se indicara al principio de este capítulo (Por simplicidad, esto no se ha indicado en el dibujo).

237


Si se omite por un momento la particular estructura del diagrama, considerando cada una de las ramas por separado, puede plantears FO A ( S kA )  opt subsist A FO B ( S kB )  opt subsist B 

Luego, evidentemente, es posible plantear FOk ( S k 1 )  opt r k  FO A ( S kA )  FO B ( S kB ) d k

con lo que, en consecuencia, la metodología a aplicar es esencialmente la misma que la ya vista, con la única particularidad de que deben resolverse la totalidad de las ramas antes del tratamiento de la etapa donde se produce la divergencia.

d M M

La figura 5.5.2 presenta otro caso de sistema ramificado: aquí hay dos ramas que convergen en un punto del diagrama y, a d N+1 partir de allí, este presenta un flujo unificado. N+1

S Me

Comparado con el caso anterior, el tratamiento reviste una mayor complejidad.

S N+1

N

k

k+1

1

S k+1

S Ne d N

d k+1

S 1 d k

d 1

Fig. 5.5.2

Hasta la etapa k, incluida, no existe problema alguno porque, de hecho, esa porción del diagrama no tiene ninguna alteración. En ese punto se dispondría de FOk ( S k 1 , S N 1 )  opt r k  FOk 1 ( S k ) , d k

donde puede apreciarse que el óptimo parcial depende de estados sobre los que no se puede actuar en forma simultánea, ya que la decisión d k+1 puede modificar a Sk+1 pero no a S N+1 y, a la inversa, dN+1. La solución a esto es instrumentar un tratamiento secuencial, resolviendo, por ejemplo, las etapas N, N-1,...k...1 como si fuesen la última etapa de la rama M...N+1. Ello significa que habrá que resolver, para distintos valores del estado SN+1 es decir que para lograr transformar el subdiagrama constituido por las etapas FOk 1 (S N 1, S k  2 )  opt r k 1  FOk (S N 1, S k 1 ) d k

  FO N ( S N 1 )  opt r N  FO N 1 (S N 1 , S N ) d N

N...k...1 en la última de la secuencia M...N+1 habrá que optimizar al primero, considerando al estado SN+1 como un dato, tantas veces como valores se establezcan para el mismo.

238


Una vez que lo anterior ha sido completado -sin duda, el paso computacionalmente más engorroso- el procedimiento continúa con la obtención de FO N 1 ( S N  2 )  opt r N 1  FO N ( S N 1 ), de acuerdo a lo visto. d N 1

Si se cumple que Si+1 + di > Si y Si+1 < Si ; i = M...N+1 es posible aplicar otra vía de solución: invertir por completo el sentido del flujo de información en la rama superior, con lo que el sistema, ahora, será divergente a partir de la etapa k. En el caso de querer aplicar esta estrategia para un diagrama donde existen más de dos ramas que convergen en un punto, la condición anterior deberá verificarse, al menos, para todas ellas menos una. Otro de los casos donde es posible aplicar Programación Dinámica es sobre sistemas que presentan una derivación paralela ( bypass), como el que se muestra en la figura 5.5.3. La respuesta general a esta situación es modificar el diagrama, mediante la creación de variables interetapas, de forma que se elimine la rama lateral, como se muestra a la derecha de la figura. Esto significa el crecimiento de la dimensionalidad en los estados, cuestión que, como se verá, aumenta la dificultad en la aplicación de la técnica. k 1

k m

S jk

S kp l 1

j

l n

S jl

j p

S jk S jl

S lp

e 1

S kp e x

p S lp

Fig. 5.5.3

k 1

k m

S jk

j

S kp

l 1

l n

p S lp

S jl

Fig. 5.5.4

Por esta razón se suele acudir al artificio de modificar el diagrama, mediante un corte de la derivación lateral, de modo de obtener un sistema divergente. Esto se logra adoptando el estado Skp como una decisión e invirtiendo el flujo de información, con la salvedad de mantener el carácter divergente requerido para el nuevo diagrama (Se debe privilegiar la inversión de las decisiones por sobre los estados, lo que en la figura se representa en el cambio de sentido en d km).

Debe advertirse que la vía de solución expuesta requiere el sostenimiento de S kp a lo largo del proceso de optimización de ambas ramas divergentes generadas; esto es, en la etapa p se tiene FO p(Slp, Skp) y en ese momento se asigna el subesquema ya tratado a la rama l1...ln, manejando Skp como un dato (Numéricamente, habrá que resolver para varios valores de S kp).Al final se tendrá FOl1(Sjl, Skp), punto en el cual se comienza el tratamiento de la rama k, comenzando por la etapa km, dejando a S kp como dato hasta obtener FOk1(Sjk,Skp).

239


Es recién en este punto, al tratar la etapa donde se produce la divergencia, cuando se ha de producir la optimización con respecto a S kp. El último tipo de diagrama de flujo de información anómalo donde se ha de considerar la aplicación de Programación Dinámica serán aquellos donde existen reciclos de información, como el que se muestra en la figura 5.5.5 La única posibilidad que existe de aplicar la técnica es a través de la eliminación del reciclo, lo que implica una modificación sustancial del diagrama de flujo. En la parte derecha de la figura 5.5.5 se esquematiza el procedimiento. El estado Skj se transforma en decisión simultáneamente en las etapas j1 y kr, lo que obliga a invertir el flujo en la rama superior.

k r

k 1

S kj

k r S jk

j 1

k 1

S kj

j p

S jk j 1

S j+1

j p

S j+1

Fig. 5.5.5 La elección de S kj no es arbitraria, ya que se busca que el sistema ramificado resultante sea divergente (Lo es en la etapa j p), por su mayor simplicidad en el tratamiento posterior. De aquí que la inversión a la que se hiciese referencia deberá privilegiar, otra vez y por la misma razón que antes, las decisiones por sobre los estados. El procedimiento a seguir en la optimización del esquema modificado presenta la particularidad de que, por actuar Skj en dos puntos diferentes del mismo, el tratamiento de la rama k1...kr deberá hacerse manteniendo a Skj como un dato; más aún, esta caracterización se ha de prolongar hasta el momento de considerar la etapa j1, punto en el cual, recién, se podrá tratar a Skj como una decisión. El estudio de las técnicas de optimización es importante no sólo por la posibilidad de resolver problemas que presentan determinadas características sino -lo que tal vez sea más importante- porque su conocimiento permite estructurar los problemas de forma tal que puedan ser utilizadas determinadas técnicas. En la figura 5.5.6 se muestra la estructura de la red de intercambio analizada en el capítulo de ordenamiento de cálculo.

240


Como se vio, en aquella oportunidad, el número de grados de libertad para esta red es 3 y una de las alternativas era considerar, como variables de decisión, a la temperatura T1 y a los factores de fraccionamiento f1 y f2. Este problema de tres variables puede ser resuelto mediante Programación Dinámica, con una importante reducción en la complejidad de los cálculos

Fig. 5.5.6

(Debe advertirse que se ha omitido, en razón de tratarse del mismo problema ya visto, el detalle de las ecuaciones que definen el modelo matemático del sistema). A c q V

A 1

C

A 2

f 1

1

A 3

2

3 T 42

T 41 m1

E

T 21

m2

C-1-2-m1 T' 1 T'' 1 T 1

A E

f 2

f 1 3-E-m2 f 2

q E T 22

En la parte superior de la figura 5.5.7 se muestra el diagrama de flujo de información del problema. Los bloques E, C, 1, 2 y 3 se corresponden con los equipos de intercambio térmico, mientras que m1 y m2 representan los puntos de mezcla de las corrientes 4 y 2 (La parte superior de la figura 5.5.7 es equivalente a la 3.2.10). Puede verse, en este diagrama, que existen dos grandes segmentos, cada cual con uno de los factores f como variable de decisión exclusiva y compartiendo ambos a T 1.

Fig. 5.5.7

La circunstancia apuntada conduce a pensar en la posibilidad de reestructurar el flujo de información bajo la forma de un sistema ramificado divergente, como se muestra en la parte inferior de la figura (Nótese que se ha recurrido al artificio de crear una etapa de interconexión y dos variables adicionales, T1’ y T1”, ambas, lógicamente, iguales a T 1). El planteo, ahora, es sencillo: hay que obtener el mínimo de cada una de las ramas, FOc..m1(T1’) y FO3..m2(T1”), operando sobre el correspondiente factor de fraccionamiento, para luego considerar la suma mínima de ambos factores, ya que la etapa de interconexión no efectúa aporte alguno a la función objetivo, tal como se indica en la tabla siguiente:

241


T1’= T1”

f1*

FOc..m1

f2*

FO3..m2

174, 5

0,545

8689,6

0,300

5578,5

184, 5

0,575

8009,5

0,373

5183,5

194, 5

0,605

7356,7

0,445

4786,6

204, 5

0,635

6748,6

0,514

4389,1

214, 5

0,665

6224,3

0,582

3992,0

224, 5

0,696

5907,3

0,649

3596,3

234, 5

0,734

7611,6

0,715

3203,0

El óptimo para el sistema se encuentra para T 1=228,7, f1=0,710, f2=0,676, con un costo de 9384 $/año.

242


PROBLEMAS DE CÁLCULO EN VI PROGRAMACIÓN DINÁMICA Hasta ahora se han podido apreciar las ventajas de Programación Dinámica, al reducir la dimensionalidad de los problemas y, consecuentemente, la complejidad numérica de su tratamiento. Pero esto no es gratuito: tal reducción exige resolver, repetidamente, cada uno de los subproblemas que genera la estrategia de optimización. Si el número de veces que hay que repetir la solución de los problemas es muy grande, aun cuando el número de grados de libertad de cada uno, esto es, su dimensionalidad, sea pequeño, bien podría suceder que resultase más sencillo "olvidar" la estructura del diagrama de flujo de información, no aplicar Programación Dinámica y resolver el caso por búsqueda simultánea, entendiendo por esto el uso de cualquier técnica que aborde el tratamiento conjunto de las variables de decisión. Para lograr enfocar la cuestión desde un punto de vista analítico se requiere contar con algún tipo de funcionalidad que vincule la dimensionalidad de un problema con la dificultad de optimizarlo. Tales expresiones son, en rigor, de dudosa generalidad para los métodos más difundidos. Resulta posible, en cambio, establecer una cota superior a esta dificultad: basta con tomar un método ineficiente de optimización, para el que sea posible encontrar una funcionalidad del tipo buscado. Un método que reúne estas características es el número de oro extendido a multivariables, donde el número de cálculos a realizar para obtener el óptimo de una función de t variables puede expresarse bajo la forma b t, siendo b una constante que depende de la exactitud deseada.

rN

S

r N -1

S

N +1

dN

S

N

d N -1

r

N -1

S

r

2

S1

S2

3

d2

1

Volviendo al esquema general de la figura 5.1.1, supóngase que todas las etapas tienen decisiones y estados de interconexión definidos por D y S variables, respectivamente, estando fijo el estado a la entrada al sistema.

d1

243


Supóngase, también, que en la búsqueda de FOi(Si+1) se consideran a valores para cada una de las variables que integran el estado Si+1.Esto dará aS problemas con D variables de decisión para cada una de las etapas, salvo para el último paso de optimización, donde ha de existir uno solo, en virtud de estar fijo el estado a la entrada del sistema. Con esto, la cota superior para las dificultades de cálculo inherentes a la estrategia de optimización por Programación Dinámica ΦPD y búsqueda

 PD  b D ( N  1)a S  1 ;  BS  b ND simultánea ΦBS han de ser siendo la relación entre ambos  PD  b  D( N 1) ( N  1)a S  1  BS y la dificultad relativa aumenta (Programación Dinámica resulta menos atractiva frente a búsqueda simultánea) con el incremento del número de variables de interconexión mientras que disminuye con el aumento del número de variables de decisión por etapas o la cantidad de éstas. 





Lo anterior puede tomarse como una consideración de tipo general; la tendencia que se verifica al aplicar la técnica. Pero aún resulta posible, frente a un caso concreto, moverse dentro de los extremos que se han examinado; esto es, utilizar Programación Dinámica sobre un diagrama se han agrupado etapas, para ser optimizadas en forma conjunta. Esto puede ser comprendido mejor mediante el análisis de un ejemplo simple, para el cual se tomará a=b=8 en la correspondiente expresión de Φ (Esto último implica una reducción del intervalo de incertidumbre menor al 5% en cada variable en el método del número de oro extendido a n dimensiones).Dichos valores serán utilizados en todo el análisis que sigue. En la figura 5.6.1 (a) se muestra un hipotético diagrama de flujo de información, donde se han indicado sólo las variables que componen las decisiones y los estados de interconexión, en virtud de constituir ellas los únicos elementos a tener en cuenta. Fig. 5.6.1

Nótese que aquí no hay constancia en el número de variables por etapa, lo que obliga a un análisis caso por caso.

244


Si el problema fuese resuelto por Programación Dinámica, sin efectuar ninguna modificación en el diagrama, la cota superior de la dificultad de cálculo sería Φ1-2-3 =

82 81 + 83 82 + 80 82 = 83 + 85 + 82

Donde cada uno de los monomios se compone por el producto de 8 Si+1 y 8Di Si la solución se encara a través de una búsqueda simultánea, lo que , esquemáticamente, se indica en 5.6.1 (b) como una etapa única -se ignora, en absoluto, la existencia de subsistemas-, el grado de dificultad asociado sería Φ[12-3]=85 Pero estas dos no son las únicas estructuras posibles. Existe la alternativa de apelar a estrategias mixtas: agrupar, por ejemplo, solo las dos primeras etapas, o las dos últimas, como se indica en 5.6.1 (c) y (d). Para estos casos se tendrá Φ1-[2-3] =

82 81 + 84 = 83 + 84

Φ [1-2]-3 =

83 83 + 82 = 86 + 82

lo que lleva a la conclusión de que la mejor estrategia resulta de considerar en forma conjunta las etapas 2 y 3, agrupamiento que ha de formar parte de un diagrama seriado con la etapa 1. Resulta obvia la imposibilidad de efectuar este análisis en detalle para todos los casos, donde, con seguridad, habrá que vérselas con diagramas de flujo, y alternativas, por ende, de mayor complejidad. Sería deseable contar con un criterio simple, que no se viese afectado por las características estructurales del flujo de la información. Es posible contar con tal criterio, al menos en lo que concierne al agrupamiento de etapas. En la figura 5.6.2 (a) se esquematiza un segmento, etapas i y j, del diagrama de flujo genérico. Allí S i y di indican el número de variables que componen el estado y la decisión de la etapa, respectivamente. Para estas dos etapas solamente, las estrategias posibles son tratarlas en forma separada o agruparlas. Fig. 5.6.2

Este análisis focalizado puede efectuarse, y sus conclusiones son válidas para cuando se considera el segmento dentro del sistema total, por la estructura matemática (suma de monomios) que posee la expresión que permite el cálculo del grado de dificultad.

245


Volviendo al esquema, si las etapas se tratan en forma separada o conjunta, se tendrá, como dificultad relativa de la primera con respecto a la segunda

.. j  i..  8 S  d  8 S   d i

j

i 1

i

. j  i .  8 S   d  d i 1

i

j

  rel  8S  S   d  8 y queda claro que esta dificultad relativa es mayor que 1 (conviene el agrupamiento) toda vez que Si - Si+1 di. i

i 1

d j

i

Debe tenerse en cuenta que en la expresión anterior se consideran la totalidad de las variables que componen el estado a la entrada a la etapa pero solo las variables que integran el estado que la interconecta con quien se analiza el agrupamiento. Lo anterior es particularmente importante cuando se consideran los puntos de divergencia en un sistema ramificado. En la parte b de la figura 5.6.2 se presenta el caso de una etapa sin decisión. Aquí es posible ensayar cuatro estrategias: el tratamiento del diagrama tal como está, la búsqueda simultánea en todo el segmento o agrupar la etapa j con la k o la i. Los grados de dificultad para cada alternativa serán9

..k  j i..  8S  d    8S   d j

i

i 1

i

k  j i   8S   d  d i 1

i

j

 k . j i   8S  d  8S   d k  j i  8S  d  8S   d con lo que, como puede verse, siempre resulta conveniente el agrupamiento de j con una etapa contigua, por lo menos para eliminar el estado de interconexión definido por el mayor número de variables, S i o S j, con independencia de que convenga el tratamiento unificado de las tres etapas, lo que puede analizarse, luego, con el criterio expuesto anteriormente. j

i

k

k

i 1

i 1

i

i

El último caso de agrupamiento a considerar es el de pequeños reciclos. Ya se ha visto que es posible aplicar Programación Dinámica a este tipo de diagramas, aunque resulte bastante engorroso hacerlo. De aquí que se pudiera pensar en un tratamiento conjunto de las etapas que se encuentran involucradas en un reciclo de información.

246


No resulta posible un tratamiento generalizado como en el caso anterior, por lo que se recurrirá a un enfoque de tipo heurístico. En la figura 5.6.3 se muestra un sector de un diagrama de flujo donde aparece un reciclo, donde se supondrá que cada estado y decisión, que interesan en el análisis del reciclo, se componen de una sola variable.

Fig. 5.6.3

Como ya quedó visto, la solución por programación dinámica exige el manejo de la variable de reciclo como una decisión en suspenso, un dato, lo que lleva a invertir el flujo en la etapa 1, que quedaría sin decisión y, consecuentemente, se agrupará con la 2.

La dificultad relativa del tratamiento por separado de las, ahora, N-1 etapas con respecto al enfoque simultáneo será

 rel

 81 ( N  2)811  81    N   8  

donde se ha tenido en cuenta la búsqueda para un solo valor del estado a la entrada de la etapa N, en razón de ser algo común para ambas estrategias. La expresión anterior resulta ser menor que la unidad para N mayor o igual que 4, por lo que, extendiendo el criterio a otros diagramas de flujo de información, se puede plantear que reciclos con menos de cuatro variables involucradas en las decisiones deben ser resueltos por búsqueda simultánea. Estos criterios de agrupamiento de etapas deben constituir un paso previo a la optimización efectiva del sistema, el que, en definitiva, debería realizarse de acuerdo al siguiente esquema: 1.- Formulación matemática del problema 2.- Determinación de una estrategia de cálculo 3.- Construcción del diagrama de flujo de información 4.- Análisis de agrupamiento de etapas en el diagrama. 5.- Optimización efectiva del sistema. En el desarrollo de la estrategia mixta, que presupone el quinto y último paso, está implícita la selección del o de los métodos que resulten más adecuados para llevar a cabo el proceso de optimización.

247


PROBLEMA Nº 1

Encuentre el camino más corto desde el nodo 1 hasta el nodo 10 en la red mostrada en la figura siguiente: 2

5 8

1

3

6

10 9

4

7

Descomponemos en etapas:

2

2

5

5

8 1

3

3

6

6

10

9 4

4

7

7

Etapa 4: d(x4,x5) X4 8 9

X5= 10 3 4

f4 (X4) 3 4

Solución Óptima X5* 10 10

248


Etapa 3: X3 5 6 7

d(x3,x4)+f4(x4) X4= 8 1+3=4 6+3=9 3+3=6

X4= 9 3+4=7 3+4=7 3+4=7

f3(x3) 4 7 6

X4* 8 9 8

Etapa 2: min{d(x2,x3)+f3(x3)} X

X3=5

X3=6

X3=7

2

f2( x2 ) 11

X 3

2

7+4 =11

4+7 =11

6+6 =12

3

0+4 =4 6+4 =10

0+7 =7 6+7 =13

0+6 =6 5+6 =11

4

* 5 , 6 5

10

5

X2= 3

X2=4

f1( x1 ) 8

X

4

Etapa 1: min{d(x1,x2)+f2(x2)} X

X2=2

1

1

2+11 =13

4+4 =8

3+10 =13

3

* 3

249


VII

EJERCICIOS

PROBLEMA Nº 1

El grupo empresarial DELOSI quiere asignar a 3 fábricas distintas, 4 operadores de maquinaria que son indistintos. Para ello se sabe la eficiencia expresada en producción adicional por persona asignada a cada fábrica, la cual se expresa en la siguiente tabla. N° de obreros 0 1 2 3 4

1 0 35 60 70 80

Fábrica 2 0 30 50 80 95

3 0 40 55 75 90

¿Cuál es la asignación que maximiza las medidas de eficiencia? SOLUCIÓN: Definamos: Nº de etapas: k (1, 2, 3) fabricas a los que se deben asignar los operadores. Estados: N° de operadores disponibles en cada etapa. (0, 1, 2, 3, 4) S1 = 4 S2 = S1-X1 S3 = S2-X2 Xn:

Número de operadores asignados a la fabrican.

La ecuación recursiva para hallar el beneficio optimo acumulado de producción seria: fn(Sn,Xn) = Pn(Xn) + f(n+1)*(Sn-Xn) Como en la etapa final es en la etapa 3, entonces f*(4) =0 (no hay operarios por asignar)

250


•

ETAPA 3:

S3

f3(S3) = P3(X3) + f*(4)

f3*(S3)

X3*

0 1 2 3 4

0 40 55 75 90

0 40 55 75 90

0 1 2 3 4

•

ETAPA 2 Gráficamente: Si tengo 2 operadores disponibles p.e.:

2

S2\X2 0 1 2 3 4 •

0

= P2(0) + f3*(2) =0+55= 55

1

= P2(1) + f3*(1) =30+40= 70

2

= P2(2) + f3*(0) =50+0= 50

f2(S2,X2) = P2(X2) + f3*(S2-X2) 0 1 2 3 0 0+40 30+0 0+55 30+40=70 50+0=55 =55 0+75 30+55 50+40 40+0 0+90 30+75 50+55 80+40

4

95+0

f2*(S2)

X2*

0 40

0 0

70

1

90 120

2 3

ETAPA 3 En el estado inicial se dispone de todos los operadores, por ello el S1 = 4, es único, entonces:

4

0

= P1(0) + f2*(4) = 55

3

= P1(3) + f2*(1) = 70

4

= P1(4) + f2*(0) = 50

251


S1\X1 4

•

f2(S2,X2) = P2(X2) + f2*(S1-X1) 0 1 2 3 0+120 35+90 60+70 70+40

4 80+0

f3*(S3)

X1*

130

2

Por lo tanto, la asignación optima será: X1*= 2 X2*= 1 X1*= 1

S2 = S1 – X1 = 4 – 2 = 2 S3= S2 – X2 = 2 – 1 = 1

 

Por lo tanto, se asignara 2 operadores a la fábrica 1, 1 operador a la fábrica 2, 1 operador a la fábrica 3.

PROBLEMA Nº 2

PROBLEMA DEL CAMINO MÍNIMO

Se tiene una lista de ciudades con sus respectivas distancias en kilómetros, se nos pide encontrar el camino mínimo o el camino con menor longitud entre la ciudad 1 y la 8. Xn: ciudades que se pueden visitar dn: ciudad que se decide visitar rn: distancia en kilómetros E2

E3

E1

9 2 7

5

7

8

9

3

1 8

15

5

10

7

6

14

14

8

5 4 7

Identificamos 3 etapas. Etapa 1 X1 5 6 7

d1 8 8 8

r1 15 7 14

d1* 8 8 8

r1* 15 7 14

252


Etapa 2 X2 2 3 4 Etapa 3

5 9+15=24 8+15=23

X3 1

2 7+17=24

6 10+7=17 7+7=14 14+7=21 3 9+14=23

7 5+14=19

d2* 6 6 7

5+14=19 4 8+19=27

r2* 17 14 19

d3* 3

r3* 23

SOLUCIÓN:

Entonces la solución sería: 1

3 7

PROBLEMA Nº 3

+

6 7

+

8 9

=

23 km

PLANIFICACIÓN DE LA GENERACIÓN

Existe un coste adicional de 15 S/ por año si se construye al menos un generador. No se pueden instalar más de 3000 MW de generación en ningún año. Se parte de un sistema eléctrico sin ningún generador instalado.

253


SOLUCIÓN:

254


La solución óptima en potencia a instalar en cada año: 1999 2000 2001 2002 2003 2004

3000 3000 0 0 2000 0

Coste total = 15 + 150 + 15 + 165 + 15 + 90 = 450

PROBLEMA Nº 4

Cierto estudiante desea destinar los siete días de la semana próxima a estudiar cuatro cursos. Necesita al menos un día para cada curso y el puntaje que puede lograr se da en la siguiente tabla: ¿Cuantos días debe estudiar cada curso para lograr un puntaje?

255


256


PROBLEMA Nº 5

Una compañía ha recibido un pedido para surtir un solo artículo muy especial y de una calidad tan rigurosa que es posible que el fabricante tenga que producir más de un artículo para obtener uno aceptable. La probabilidad estimada para que sea aceptable es 1/3 y de que sea defectuoso sin posibilidad de reparación 2/3. Por lo tanto la probabilidad de producir cero artículos aceptables en un lote de tamaño L es (2/3)L. Los costos marginales de producción son de $ 100 por artículo, incluso si es defectuoso (los artículos en exceso no tienen valor). El costo de preparación es $ 200, cada vez que se monte el proceso de producción de este artículo, el cual puede hacerlo como máximo 3 veces. Si no se ha obtenido un artículo aceptable al final de la tercera serie de producción, el costo por ventas perdidas y de penalización será de $ 1500. El objetivo es determinar la política referente al tamaño del lote para las series de producción de manera de minimizar el costo total esperado. SOLUCIÓN:

✓ ✓ ✓

Etapas: Series de producción (1, 2, 3). Variables de decisión: Xn: Son el tamaño del lote producción en la etapa n. Estados: Sn: puede suceder que, Sn =0 si el articulo aceptable se logró en la etapa anterior. o Sn =1 que significa que en la etapa anterior no se logró el articulo aceptable. f*n (Sn) = Mín. fn(Sn,Xn) Xn = 0, 1,..., L

(tamaño del lote, costo marginal)

Dónde: f*n (0) = 0 y S = 0 , cuando se ha obtenido en la etapa anterior un artículo aceptable, por lo tanto f*n (0) = 0, en esta etapa no es necesario que se incurra en gastos adicionales. (Prob. de 0 art. acept.

( prob de 1 art. Acept.)

f*n (Sn,Xn) = K + Xn + (2/3)Xn fn + 1 (1) + ( 1- (2/3)Xn) fn + 1 (0)

257


Dónde: (1- (2/3)Xn) fn + 1 (0) = 0

costo marginal

Luego f*n (1,Xn) = K + Xn + (2/3)Xn f*n + 1 (1). Considerando $ 100 como unidad monetaria y definiendo 0 Si Xn = 0 K= 2 Si Xn

0

(costo de preparación)

(ETAPA ANTERIOR NO SE LOGRO ART. ACEPTABLE) f*4 (1) = 15, que es el costo de no obtener un artículo aceptable y perder la venta. f*4 (0)

SI SE LOGRO ART.ACEPT.

Luego, para n = 3 tendríamos: f3(1, X3) = K + X3 + (2/3)X3 15 S3 /X3 0

1

2

3

4

5

f*3(1)

X*3

0

0

1

15 13 10 2/3 9 4/9 8 26/27 8 79/81 8 26/27 4

Para n = 2: F2(1, X2) = K + X2 + (2/3)X2 8 26/27 S2 /X2 0 1

0

1

2

3

4

f*2(1)

X*2

0 8 26/27

8 79/81

7 239/243

7 478/729

7 7 3 1685/2187 478/729

Para n = 1 S1 /X1 1

f1(1, X1) = K + X1 + (2/3)X1 7 478/729 0 1 2 3 4 f*1(1) X*1 7.655 8.1 7.4 7.27 7.51 7.27 3

258


Luego la solución del problema es la siguiente: En la primera serie de producción deben fabricarse 3 artículos, si se obtiene un artículo aceptable, X2 = X3 = 0. Si son defectuosos en la segunda se debe fabricar 3 artículos, si se obtiene un artículo aceptable X 3 = 0. Si son defectuosos en la tercera serie de producción deben fabricarse 4 artículos, todo con un costo esperado de $ 727.

PROBLEMA Nº 6

Una empresa ha contratado a tres personas para tres tareas, el máximo número de personas asignadas por tarea son 2. La utilidad de los trabajadores en cada tarea es: Se nos pide a cuantas personas se debe asignar a cada tarea para maximizar la utilidad. Tabla de 0 Utilidades personas TAREA A 0 0 TAREA B TAREA C 0

1 persona 3 4 5

2 personas 8 5 7

SOLUCIÓN:

1.- DEFINICIÓN DEL PROBLEMA: Las Etapas: Son la asignación de trabajadores a cada tarea. 1° Etapa (n=1) Asignación de trabajadores a la TAREA A. 2° Etapa (n=2) Asignación de trabajadores a la TAREA B. 3° Etapa (n=3) Asignación de trabajadores a la TAREA C. Los Estados: Número de trabajadores que todavía se pueden asignar en una etapa. ✓ ✓ ✓ ✓

en=0, No hay trabajadores disponibles en la tarea n. en=1, Hay un trabajador disponible en la tarea n. en=2, Hay dos trabajadores disponibles en la tarea n. en=3, Hay tres trabajadores disponibles en la tarea n.

Las Variables de Decisión: Número de trabajadores a asignar en cada Tarea. ▪ ▪ ▪

Xn=0, Asignar cero trabajadores en la tarea n. Xn=1, Asignar un trabajador en tarea n. Xn=2, Asignar dos trabajadores en tarea n.

259


2.- FASE DE ANÁLISIS: Se utilizará la siguiente tabla: Número de Etapa

Variables de Decisión

Personas 0 personas 1 persona 2 personas Óptimas

Rendimiento Óptimo

0 personas o d a t s E

1 persona 2 personas 3 personas

Análisis Etapa 3: Para el caso de que dispongamos de 0 personas para asignar a la tarea “C” el beneficio (ver tabla de utilidades para la tarea “C”) es “0”, por otro lado, es imposible asignar 1

o 2 personas si se dispone de 0 personas. Para el caso de que dispongamos de 1 persona para asignar a la tarea “C”, la variable de decisión puede tomar el valor “0” ó “1” y los beneficios (Ver tabla de utilidades para la tarea “C”) serán “0” y “5” respectivamente, por otro lado si se dispone tan sólo de 1 persona para asignar es imposible asignar “2”.

De la misma manera se rellena el resto del cuadro.


Etapa 3

0 personas 1 persona

o d a t s E

Personas Óptimas 2 personas

0 personas 0

-

-

0

5

-

2 personas 0

5

7

3 personas 0

5

7

1 persona

Rendimiento Óptimo

260


La siguiente fase del análisis implica hacer la siguiente pregunta: ¿Cuál es el beneficio cantidad óptimos para la etapa “3”?


Etapa 3


Rendimiento Óptimo

2 personas

0 personas 0

-

-

0

0

0

5

-

1

5

2 personas 0

5

7

2

7

3 personas 0

5

7

2

7

1 persona o d a t s E

Personas Óptimas

Conociendo ello se ha finalizado el análisis de la etapa 3. Análisis Etapa 2: Para esta etapa se considerará la recursividad, es decir la información de las etapas posteriores. Para el caso que en la Etapa 2 se disponga de 0 personas para asignar a la tarea “B” el beneficio (ver la tabla de utilidades para la tarea “B”) es “0” pero debemos de

considerar la información de la etapa posterior (Etapa 3) , como en la etapa 2 tenemos 0 personas disponibles para asignar en la etapa 3 también se contará con 0 personas (lo óptimo será que la variable de decisión tome el valor “0”, como se puede observar en la tabla anterior, con un beneficio igual a 0). En el caso de que se disponga de 1 persona para la realización de la tarea “B”: Primer escenario: Si se decide asignar “0” personas en la tarea “B”, seguiríamos teniend o

la persona para asignarla en la etapa 3 esto quiere decir que debemos considerar el beneficio que nos reporta la asignación de “0” personas en la tarea “B” (ver tabla de utilidades para la tarea “B”) y el beneficio de asignar 1 persona a la tarea “C”

(considérese la cantidad óptima y el beneficio óptimo). Segundo escenario: Si se decide asignar “1” persona en la tarea “B”, contaríamos con “0”

personas para la asignación a la tarea 3 esto quiere decir que debemos de considerar el beneficio de asignar “1” persona a la tarea “B” (ver tabla de utilidades para la tarea “B”) y el beneficio de asignar 0 personas en la tarea”C” (considérese la cantidad óptima

y el beneficio óptimo).

261


Y de esta manera se completa el cuadro: Variables de Decisión

Etapa 2

0 personas 1 persona 0 personas 0+0 o d a t s E

Personas Óptimas 2 personas

-

-

0+5

4+0

-

2 personas 0+7

4+5

5+0

3 personas 0+7

4+7

5+5

1 persona

Rendimiento Óptimo

La siguiente fase del análisis implica hacer la siguiente pregunta: ¿Cuál es el beneficio cantidad óptimos para la etapa “2”? Variables de Decisión

Etapa 2


o d a t s E

Personas Óptimas

Rendimiento Óptimo

2 personas

0 personas 0

-

-

0

0

1 persona

5

4

-

0

5

2 personas 7

9

5

1

9

3 personas 7

11

10

1

11

Podemos Observar que en el caso de que se disponga de 1 persona en la etapa 2 lo óptimo es asignar 0 personas para su realización, ya que reporta un mayor beneficio de igual manera cuando se dispone de 2 personas lo óptimo es asignar 1 persona para la realización, en el caso en el que se dispone de 3 personas el tratamiento es el mismo y lo óptimo sería asignar 1 persona. Con ello se finalizó la etapa 2.

262


Análisis Etapa 1: La etapa se caracteriza por tener la disponibilidad de las 3 personas ya que es el inicio del proceso, al igual que en la etapa 2 debemos de considerar las etapas posteriores que se resumen en la tabla anterior. Como se dispone de tres personas para la realización de la tarea “A” tendremos tres

escenarios en total: 

Primer escenario: si se d ecide asignar “0” personas para la tarea “A” se seguiría disponiendo de 3 personas para la realización de la tarea “B” esto quiere decir que debemos considerar el beneficio que nos reporta la asignación de “0” personas en la tarea “A” (ver tabla de utilidades para la tarea “A”) y el beneficio de asignar 3 persona a la tarea “B” (considérese la cantidad óptima y el beneficio

óptimo). 

Segundo escenario: si se decide asignar “1” persona para la tarea “A” se seguiría disponiendo de 2 personas para la realización de la tarea “B” esto quiere decir que debemos considerar el beneficio que nos reporta la asignación de “1” personas en la tarea “A” (ver tabla de utilidades para la tarea “A”) y el beneficio de asignar 2 persona a la tarea “B” (considérese la cantidad óptima y el beneficio

óptimo). 

Tercer escenario: si se decide asignar “2” persona para la tarea “A” nos quedaría 1 persona para la realización de la tarea “B” esto quiere decir que debemos considerar el beneficio que nos reporta la asignación de “2” personas en la tarea “A” (ver tabla de utilidades para la tarea “A”) y el beneficio de asignar 1 persona a la tarea “B” (considérese la cantidad óptima y el beneficio óptimo).

Estos tres escenarios posibles se muestran en la siguiente tabla: Variables de Decisión Etapa 1 Estado

3 personas


2 personas

0+11

8+5

3+9

Personas Óptimas

Rendimiento Óptimo

Personas Óptimas

Rendimiento Óptimo

La siguiente fase del análisis implica hacer la siguiente pregunta: ¿Cuál es el beneficio cantidad óptimos para la etapa “1”?

Variables de Decisión Etapa 1 0 personas 1 persona

2 personas

263


Estado 3 personas

11

12

13

2

13

Con ello finaliza el análisis de la etapa 1 y la Fase de análisis del problema. 3.- FASE DE DECISIÓN: La fase de decisión hace referencia a escoger las cantidades óptimas para la maximización de beneficios, mostramos los cuadros resúmenes. Variables de Decisión

Etapa 1 Estado 3 personas


Personas 2 personas Óptimas

Rendimiento Óptimo

11

13

13

12

2

Como el proceso en la fase de análisis fue recursivo el rendimiento óptimo de todo el proceso se expresa en la Primera etapa, es decir la utilidad máxima es igual a 13, ahora tendremos que definir las cantidades óptimas que nos permiten alcanzar dicho rendimiento óptimo. En la etapa 1 se dispone de los tres trabajadores pero lo más óptimo es asignar a la tarea “A” 2 trabajadores, por lo que tan sólo dispondríamos de 1 trabajador para las

etapas 2 y 3.


Etapa 2

o d a t s E



Rendimiento Óptimo

0 personas 0

-

-

0

0

1 persona

5

4

-

0

5

2 personas 7

9

5

1

9

3 personas 7

11

10

1

11

En la Etapa 2 se dispone de 1 trabajador, pero lo más óptimo es no asignar ningún trabajador para la realización de la tarea “B”, por lo que seguiríamos contando con 1 trabajador para la tercera etapa.

264



Etapa 3


o d a t s E


Rendimiento Óptimo

0 personas 5

-

-

0

0

1 persona

0

5

-

1

5

2 personas 0

5

7

2

7

3 personas 0

5

7

2

7

En la etapa 3 se dispone de 1 trabajador y lo óptimo es asignar 1 trabajador para la realización de la tarea “C”.

Finalmente, la solución se puede expresar en la siguiente tabla: . Utilidad Máxima

13

Tarea A

2

Tarea B

0

Tarea C

1

PROBLEMA Nº 7

Un dueño de tres supermercados tiene 5 cargas de fresas frescas. Su problema es destinar las fresas a cada supermercado, ya que cada uno de las fresas tiene distinto valor. El ingreso en los supermercados, según la asignación de cargas se indica a continuación: Cargamentos / destino

Supermercado 1

Supermercado 2

Supermercado 3

0

0

0

0

1

5

6

4

2

9

11

9

3

14

15

13

4

17

19

18

5

21

22

20

El no asignar las cargas de fresas a un supermercado tiene valor asociado de cero dólares al horizonte, porque se perderán.

265


¿Cuál es el máximo o ingreso posible y cuál es la asignación que para ello? 

Función Objetivo -> máxima ganancia



V. Decisión -> xi = 0,1,2,3,4,5



S.A. -> x1 + x2 + x3 <= 5

Etapas -> número de etapas de decisión Etapa 3: S \ X3

0

1

2

3

4

5

F3

X3

0

0

-

-

-

-

-

0

0

1

0

-

-

-

-

4

1

2

0

4

9

-

-

-

9

2

3

0

4

9

13

-

-

13

3

4

0

4

9

13

18

-

18

4

5

0

4

9

13

18

20

20

5

Etapa 2 S\X2

0

1

2

3

4

5

F2

X2

0

0+0=0

-

-

-

-

-

0

0

1

0+1=1

6+0=6

-

-

-

-

6

1

2

0+9=9

6+4=10

11+0=11

-

-

-

11

2

3

0+13=13

6+9=15

11+4=15

15+0=15

-

-

15

1;2;3

4

0+18=18

6+13=19

11+9=20

15+4=19

19+0=19

-

20

2

5

0+20=20

6+18=24

11+13=24

15+9=24

19+4=23

22+0=22

24

1;2;3

0

1

2

3

4

5

F1

X1

0+24=24

5+20=25

6+15=21

14+11=25

17+6=23

21+0=21

25

1;3

Etapa 1 S\X1 5

266


SOLUCIÓN ÓPTIMA: SUPERMERCADO 1

SUPERMERCADO 2

SUPERMERCADO 3

1 3

2 2

2 0

PROBLEMA Nº 8

Suponga que hay 30 cerillas sobre una mesa. Yo empiezo eligiendo 1,2, ó 3 cerillas. Luego mi contrincante debe recoger 1,2, ó 3 cerillas. Continuamos así hasta que la última cerilla es recogida. El jugador que toma la última cerilla es el perdedor. ¿Puedo estar seguro de mi victoria? Si es así ¿Cómo puedo hacerlo? Utilice el concepto de recursión hacia atrás. SOLUCIÓN:

Total, de cerillas = 30 Actividad A B A B A B A B A B A B a b a b

1 2,3,4 5 6,7,8 9 10,11,12 13 14,15,16 17 18,19,20 21 22,23,24 25 26,27,28 29 30

Puede estar seguro el juego si empieza “a” el juego.

267


PROBLEMA Nº 9

Un estudiante está llevando 3 cursos este semestre, y la fecha de los exámenes se acerca. Él debe de planificar el tiempo que dedicará al estudio de cada curso de manera que minimice la probabilidad de reprobar los cursos. La tabla muestra la probabilidad de reprobar un curso dado el número de horas que ha dedicado al estudio de cada curso. Horas 0 1 2 3 4

Cálculo 0,80 0,70 0,65 0,62 0,60

Estadística 0,75 0,70 0,67 0,65 0,65

Optimización 0,90 0,70 0,60 0,55 0,50

Determine el número de horas que se debe dedicar de forma que minimice la probabilidad de reprobar el curso, dado que dispone de 15 horas. Qué pasa si el estudiante está a un día de los exámenes y dispone solo de 4 horas de estudio. SOLUCIÓN: X0

X3= 4

Calculo

R3

X1

X2

Estatal

R2

Optimización

R1

Probabilidad total = r1(X1, D1) . r2(X2, D2) . r3(X3, D3) .

268


Etapa 1: D1

0

0 1 2 3 4

0,9 -

1 2 r1(X1, D1) .1 0,7 0,6 -

3

4

0,55 -

0,50

g1(x1) 0,9 0,7 0,6 0,55 0,50

D1* 0 1 2 3 4

Etapa 2: D 2

0

1

2

3

4

R2(X2, D2) . g(X2 – D2) 0

0,75*0,9 = 0,675 0,75*0,7 = 0,525 0,75*0,6=0,4 5 0,75*0,55=0, 4125 0,75*0,50=0, 775

1 2 3 4

-

-

-

0,70*0,9=0, 163 0,70*0,7= 0,67*0,9=0, 0,49 603 0,70*0,6=0, 0,67*0,7=0, 0,63*0,9=0, 42 469 585 0,70*0,55 0,67*0,60 0,65*0,7 =0,395 =0,402 =0,455

0,65* 0,9 =0,58 5

g2(x2 D2 ) * 0,67 0 5 0,52 0 5 0,45 0 0,41 25 0,37 5

0

g3(x 3) 0,28 8

D3 * 1

0

Etapa 3: D 3

0

1

2

3

4

R3(X3, D3) . g(X3 – D3) 0

0,8*0,375= 0,3 •

0,7*0,412 5= 0,288

0,65*0,45=0, 0,62*0,52 29 5= 0,3255

0,6*0,6 75 = 0,405

Cálculo = 1, Estadística = 0, Optimista= 3

269


PROBLEMA Nº 10

Encuentre el camino más corto desde el nodo 1 hasta el nodo 10 en la red mostrada en la figura siguiente: 2

5 8

1

3

6

10 9

4

7

Descomponemos en etapas:

2

2

5

5

8 3

1

3

8 10

6

6

9 9 4

4

7

7

Etapa 4: X4 8 9

d(x4,x5) X5= 10 3 4

f4 (X4) 3 4

Solución ptima X5* 10 10

270


Etapa 3: d(x3,x4)+f4(x4) X4= 8 1+3=4 6+3=9 3+3=6

X3 5 6 7

X4= 9 3+4=7 3+4=7 3+4=7

f3(x3) 4 7 6

X4* 8 9 8

Etapa 2: min{d(x2,x3)+f3(x3)} X2 2 3 4

X3=5 7+4=11 0+4=4 6+4=10

X3=6 4+7=11 0+7=7 6+7=13

X3=7 6+6=12 0+6=6 5+6=11

f2(x2) 11 4 10

X3* 5,6 5 5

X2=3 4+4=8

X2=4 3+10=13

f1(x1) 8

X3* 3

Etapa 1: min{d(x1,x2)+f2(x2)} X1 1

X2=2 2+11=13

PROBLEMA Nº 11

Jenny necesita aprobar por lo menos una de las 3 materias que está cursando este semestre para graduarse en la universidad. Los cursos que toma son Francés, Alemán y estadística. El horario tan apretado de las actividades extracurriculares de Jenny solo le permite 4 horas de estudio a la semana. La probabilidad de que Jenny apruebe todos los cursos depende de la cantidad de horas que ella ocupa en estudiar (ver tabla). Determine cuantas horas por semana debe estudiar Jenny.

Hrs. Estudio x semana 0 1 2 3 4

PROBABILIDAD DE APROBAR CURSO Francés Alemán Estadística 0.20 0.30 0.35 0.38 0.40

0.25 0.30 0.33 0.35 0.38

0.10 0.30 0.40 0.44 0.50

271


SOLUCIÓN:

Etapas: hay 3 etapas ✓ ✓ ✓

✓ ✓

Variables de decisión: xk= número de horas de estudio asignadas en cada curso. Variables de estado: yk = número de horas de estudio disponibles. Función de transformación: Función de recursión = Condición de borde= ▪

+  á ∗++   1   1

Etapa 3 y3 0 1 2 3 4

0 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1

1 0.3 0.3 0.3 0.3

2 0.4 0.4 0.4

3 0.44 0.44

4 0.5

f3(y3) 0.1 0.3 0.4 0.44 0.5

x3* 0 1 2 3 4

Etapa 2 y2

0 0.25*0.1 = 0.025 0.25*0.3 = 0.075 0.25*0.4= 0.1 0.25*0.44= 0.11 0.25*0.5= 0.125

0 1 2 3 4

1 -

2 -

3 -

4 -

f2(y2) x2* 0.025

0.3*0.1= 0.03 0.075 0.3*0.3= 0.3*0.1= 0.09 0.033 0.1 0.3*0.4= 0.33*0.3= 0.35*0.1= 0.12 0.099 0.035 0.12 0.3*0.44= 0.33*0.4= 0.35*0.3= 0.38*0.1= 0.132 0.132 0.105 0.038 0.132

0 0 0 1 1 ó 2

Etapa 1 y1 4

0 1 0.2*0.132= 0.3*0.12= 0.0264 0.036

2 0.35*0.1= 0.035

3 4 f1(y1) x1* 0.38*0.07= 0.4*0.025= 0.0285 0.01 0.036 1

Por lo tanto:   

X1= 1, debe estudiar 1 hora de francés. X2= 1, debe estudiar 1 hora de alemán. X3= 2, debe estudiar 1 hora de estadística.

272


PROBLEMA Nº 12

Se tiene el siguiente diagrama con las distancias en kilómetros y los caminos para ir de una ciudad a otra, Determinar la ruta más corta para ir de la ciudad 1 a la 12 y realizar el diagrama de las ciudades que debería visitar. Solución: Etapas: n=4 (E1, E2, E3, E4) Xn: todas las ciudades que puede visitar Dn: ciudad que se decide visitar Rn: distancia en Km

273


274


PROBLEMA Nº 13

Un estudiante debe elegir diez cursos optativos de cuatro departamentos diferentes. Debe seleccionar al menos un curso de cada departamento. Su objetivo es “repartir” sus diez cursos en los cuatro departamentos, de tal manera que maximice sus “conocimientos” en

los cuatro campos. Comprende que si toma un cierto número de cursos en un departamento, su experiencia sobre la materia no aumentara apreciablemente porque el material será demasiado complicado para que lo comprenda o porque los cursos se repiten. Por consiguiente, mide su capacidad de aprendizaje como una función del número de cursos que toma en cada departamento en una escala de 100 puntos y produce el diagrama siguiente. (Se supone que los agrupamientos de cursos satisfacen los prerrequisitos para cada departamento.) Formule el problema como un modelo de programación dinámica utilizando las ecuaciones recursivas de avance y de retroceso. Número de cursos Departamento I II III IV

1 25 20 40 10

2 50 70 60 20

3 60 90 80 30

4 80 100 100 40

5 100 100 100 50

6 100 100 100 60

7 100 100 100 70

8 100 100 100 80

9 100 100 100 90

10 100 100 100 100

SOLUCIÓN:

Datos: ✓ ✓ ✓

Total de cursos a seleccionar:10 Objetivo: Maximizar conocimientos Restricción: debe seleccionar al menos un curso por departamento

Definiendo etapas: ▪ ▪ ▪ ▪

Etapa 1: Etapa 2: Etapa 3: Etapa 4:

Departamento IV Departamento III Departamento II Departamento I

275


ETAPA 1

Departamento IV

En esta etapa solo se toma los beneficios alcanzado, al elegir cuantos cursos se quiere llevar en el departamento IV, pues no hay etapa anterior. 1 2 3 4 5 6 7

1 10 10 10 10 10 10 10

ETAPA 2

2 20 20 20 20 20 20

3 30 30 30 30 30

4 40 40 40 40

5 50 50 50

6 60 60

7 70

F(Xi) 10 20 30 40 50 60 70

Xi 1 2 3 4 5 6 7

Departamento III

En esta etapa ya se empieza a acumular los beneficios alcanzados tomando en cuenta la elección de los cursos en este departamento y en el anterior. 2 3 4 5 6 7 8

1 50 60 70 80 90 100 110

ETAPA 3

2 70 80 90 100 110 120

3 90 100 110 120 130

4 110 120 130 140

5 110 120 130

6 110 120

7 110

F(Xi) 50 70 90 110 120 130 140

Xi 1 2 3 4 4 4 4

Departamento II

Se toma en cuenta los beneficios de la primera segundo y tercera etapa, de manera acumulativa, hasta el momento el beneficio máximo es 210. Estos cuadros se han realizado tomando en cuenta el grafico inicial, en el cual se puede observar que la cantidad máxima de cursos disponibles 7, y la cantidad mínima es 3, pues se necesita como mínimo I en el departamento I, I en el departamento II, I en el departamento III. 3 4 5 6 7 8 9

1 70 90 110 130 140 150 160

2 120 140 160 180 190 200

3 120 140 160 180 190

4 150 170 190 210

5 150 170 190

6 150 170

7 150

F(Xi) 70 120 140 160 180 190 210

Xi 1 2 2 2 2 2o4 4

276


ETAPA 4

Departamento I

Aquí se obtiene el beneficio máximo, teniendo en cuenta todas las restricciones anteriores. 10

1 236

2 240

3 240

4 240

5 240

6 240

7 170

F(Xi) 240

Xi 2,3,4 o5

Haciendo un análisis hacia atrás, vemos que existen 5 alternativas distintas que dan el mayor grado de satisfacción. DEPARTAMEN ALTERNATI ALTERNATI ALTERNATI ALTERNATI ALTERNATI TOS VA 1 VA 2 VA 3 VA 4 VA 5 I 2 2 3 4 5 II 2 4 2 2 2 III 4 3 4 3 2 IV 2 1 1 1 1 PUNTAJE 240 240 240 240 240 TOTAL Dando como resultado un puntaje máximo de 240 y para este resultado existen 5 alternativas distintas, mostradas en la tabla anterior.

PROBLEMA Nº 14

Cierto estudiante desea destinar los 7 días de la semana próxima a estudiar cuatro cursos. Necesita al menos un día para cada curso y el puntaje que puede lograr se da en la siguiente tabla. ¿Cuántos días debe dedicar a cada curso para lograr el mayor puntaje posible? Y ¿Cuál sería ese puntaje? Días Curso 1 13 1 2 15 3 16 4 17 ❖ ❖ ❖

Curso 2 15 15 16 19

Curso 3 12 12 17 18

Curso 4 16 16 19 19

Etapas: Curso 1, Curso 2, Curso 3 y Curso 4. Estados: 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Alternativas: 1, 2, 3 y 4.

277

Libro -Investigacion de operaciones 2

Recommend Documents