Materi 9 Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegipanjang Persegipanjang
Sekarang perhatikan suatu himpunan S tertutup dan terbatas di bidang (gambar1). Kelilingi S oleh suatu persegipanjang R dengan sisi-sisinya sejajar sumbu-sumbu koordinat (gambar 2). Andaikan f(x,y) terdefinisi pada S dan didefinisikan (atau definisikan ulang, jika perlu) f(x,y) = 0 pada bagian R di luar S (gambar 3). Kita katakan bahwa f dapat diintegralkan pada S jia ia dapat diintegralkan pada R dan tuliskan
( , ) = ∬ ( ( , ) ∬ ( Kita nyatakan bahwa integral lipat-dua pada himpunan S yang umum adalah (1) linear, (2) aditif pada himpunan-himpunan yang bersekutu hanya pada kurva-kurva mulus, dan (3) memenuhi sifat pembandingan. (lihat pada materi 7)
Perhitungan Integral Lipat-Dua Atas Himpunan-Himpunan Umum
Himpunan dengan dengan batas-batas melengkung dapat menjadi sangat rumit. Untuk tujuan kita, sudah cukup untuk meninjau apa yang disebut himpunan x sederhana dan himpunan y sederhana (dan gabungan terhingga himpunan yang demikian). Suatu himpunan S adalah y sederhana (gambar 4) jika terdapat fungsi-sungsi kontinu Ø2 pada [a , b] sedemikian sehingga S = {(x , y): a ≤ x ≤ b ,
Ø dan 1
Ø (x) ≤ y ≤ Ø (x) } 1
2
Suatu himpunan S adalah x sederhana (gmabar5) jika terdapat fungsi-fungsi fungsi-fungsi kontinu ψ 1 dan ψ2 pada [c , d] sedemikian sehingga S = {(x , y): ψ 1(y) ≤ x ≤ ψ 2(y) , c ≤ y ≤ d } Perhatikan bahwa setiap garis tegak memotong suatu himpunan y sederhana dalam satu ruasgaris. Hal yang sama berlaku untuk himpunan x sederhana dengan garis-garis mendatar. Gambar 6 memperlihatkan suatu himpunan yang bukan x sederhana maupun y sederhana. Sekarang andaikan kita ingin menghitung integral lipat-dua dari suatu fungsi f(x,y) atau suatu himpunan S yang y sederhana. Kita lingkungi S dalam suatu persegipanjang R (gambar 7) dan membuat f(x,y) = 0 di luar S. Maka
∬ ( , ) = ∬ ( , ) = ∫ ∫ (, ) =
∫ ∫∅∅()() (, )
Secara ringkas :
∬ ( , ) = ∫ ∫∅∅()() (, ) Dalam integral sebelah dalam, x dipertahankan tetap ; jadi pengintegralan itu adalah sepanjang garis tebal dari gambar 7. Pengintegralan ini menghasilkan luas A(x) dari penampang yang diperlihatkan dalam gambar 8. Akhirnya, A(x) diintegralkan mulai dari a sampai b. Jika himpunan S adalah x sederhana (gmabar 5), penalaran serupa menuju ke rumus
() (, ) ∬ ( , ) = ∫ ∫() Jika himpunan S bukan x sedrhana maupun y sederhana (gambar 6), biasanya ia dapat dipandang sebagai suatu gabungan potongan-potongan yang mempunyai salah satu di antara sifat ini. Sebagai contoh anulus dalam gambar 9 tidak sedrhana dalam arah lainnya, tetapiia merupakan gabungan dua himpunan y sederhana yaitu S 1 dan S 2. Integral pada potongan potongan ini dapat dihitung dan ditambahkan bersama untuk memperoleh integral atas S. Contoh-Contoh
Untuk pekerjaan awal, kita hitung dua integral lipat, dengan batas-batas pada tanda integral sebelah dalam berupa peubah. Contoh 1
Hitung integral lipat :
∫3 ∫− (4 + 10)
Penyelesaian : Pertama kita melaksanakan pengintegralan sebelah dalam te rhadap y, yang secara sementara memikirkan x sebagai suatu konstanta, dan mendapatkan
∫3 ∫− (4 + 10) = ∫3[4+5]− =
∫3[(43 + 5 ) (4 + 5 ) ]
=
∫3(5 + 43 )
=
[ + 3 3 ]3
= 3393
3
Perhatikan dalam integral lipat bahwa integral sebelah luar selalu mempunyai batas-bata konstanta. Contoh 2
Gunakan pengintegralan lipat-dua untuk menentukan volume bidang empat (tetrahedron) yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang 3x + 6y + 4z – 12 = 0. Penyelesaian : Nyatakan daerah segitiga di bidang yang membentuk alas bidang empat sebagai S (gambar
3
10). Kita mencari volue benda pejal di bawah permukaan z = (4 – x – 2y) dan di atas daerah S. Bidangyang diberikan memotong bidang xy di garis x + 2 y – 4 = 0, yang ruasnya termasuk
batas dari S. Karena persamaan ini dapat dituliskan sebagai y = 2 – x dan x = 4 – 2y, S dapat dipikirkan sebagai himpunan y sederhana
S = {(x , y): 0 ≤ x ≤ 4 , 0 ≤ y ≤ 2 – x } Atau sebagai himpunan x sederhana
–
S = {(x , y): 0 ≤ x ≤ 4 2y , 0 ≤ y ≤ 2} Kita akan memperlakukan S sebagai suatu himpunan y sederhana ; hasil akhir akan sama denga cara yang lain, sebagaimana dapat anda bolehkan. Volume V dari benda pejal adalah V=
∬ 3 (4 2)
Dalam menuliskan ini sebagai sebuah integral lipat, kita tetapkan x dan integralkan sepanjang garis (gambar 10) mulai dari y = 0 ke y = 2 – x/2, kemudian integralkan hasil tersebut dari garis x = 0 ke x = 4. Jadi, V=
∫ ∫− / 3 (4 2)
3 −( = ∫ [ ∫ 4 2 )] 3 −/ = ∫ [4 ] = . . . .. . . .. . =..........
3 (16 ) 8 + ∫ 3 = [164 + 3 ] 3 =
=4 Coba hitung dengan memikirkan S sebagai himpunan x sederhana. V=
∫ ∫− 3 (4 2)
=..... =..... =.... = 4
Latihan
Dalam soal 1 – 4, hitung masing-masing integral lipat 1.
∫ ∫3
2.
∫ ∫−
3.
∫−3 ∫3( + )
4.
∫−3 ∫( 3)
Untuk soal 5 – 6 , hitung integral lipat-dua yang diberikan dengan mengubahnya ke suatu integral lipat. 5.
∬
6.
∬ (+)
; S adalah daerah yang dibatasi oleh y = x2 dan y = 1 ; S adalah segitiga dengan titik-titik sudut (0 , 0) , (0 , 4) dan (1 , 4).
Pada soal 7 – 8, buatlah sketsa benda pejal yang ditunjukkan. Kemudian tentukan volumenya dengan suatu pengintegralan lipat. 7. Caturtira (bidang empat) yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang z = 6 – 2x – 3y. 8. Caturtira yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang 3x + 4y + z – 12 = 0
