Investigación de operaciones: Viernes, 05 de Agosto de 2011
Símplex - Método de -las fases. Investigación de Operaciones Tarea dos nº2: Método de las 2 Fases.
Alumno: Gorki Andrés González Canales. EJERCICIO 1 Minimizar S. a Desarrollo.
Primero, pasar la función objetivo de minimizar a maximizar. Ello se logra, multiplicando la función objetivo por menos uno (-1), lo cual deja a l a función objetivo así…
A continuación, se procede a dejar en forma de igualdad las restricciones del problema y a modificar la función objetivo, según corresponda.
Ahora, se procede a eliminar el término “M” de la función objetivo o ecuación cero (0)
Para ello, se realiza la siguiente operación: Ello genera una nueva la cual logra que el término sea cero. Ahora, a la se le aplicará la siguiente operación: Ello genera una nueva que ya no cuenta con el término térmi no Ahora, a la se le multiplica por logrando así, eliminar todos los términos M en la función objetivo o ecuación cero. Entonces, Entonces, nuestro sistema queda así…
Ahora, se está en condiciones de aplicar Símplex. Iteración
0
Variable Básica
Número de Ecuación
Z
0 1 2
Coeficientes
Z
-1 0 0
-7
-4 1 3
1 -1 0
0 1 0
1 0 -1
0 0 1
3 4
1
Lado Derecho
Cociente
¿Mínimo?
-9 3 6
1
MIN
1,5
Solución Básica Factible Inicial. Z
-9
0
0
0
3
0
6
Variable básica entrante: Variable básica saliente:
(1)*(1/3) = N(1) (2)-(N(1)*4) = N(2) (0)+(N(1)*7) = N(0)
Iteración
1
Variable Básica
Número de Ecuación
Z
Z
LD
0 0 -1
1 0 0
1/3 5/3 -5/3
-1/3 4/3 -4/3
1/3 -4/3 7/3
0 -1 1
0 1 0
1 2 -2
Coeficientes Lado Derecho
Cociente
0 0
-2 1
3
1
2
1,2
7/3 1/3
1 0
5/3 4/3 -4/3
-1
Z
0 1
-1 0
0 1
-5/3 -4/3 1/3 -1/3
2
0
0
¿Mínimo?
MIN
Solución Básica Factible. Z
-2
1
0
0
0
0
2
Variable básica entrante: Variable básica saliente:
(2)*(3/5) = N(2) (1)-[N(2)*(1/3)] = N(1) (0)+[N(2)*(5/3)] = N(0)
Iteración
2
Variable Básica
Número de Ecuación
Z
Z
LD
0 0 -1
0 1 0
1 0 0
4/5 -3/5 0
-4/5 3/5 1
-3/5 1/5 0
3/5 -1/5 1
6/5 3/5 0
Coeficientes
Z
0
-1
0
0
0
1
0
1
1 2
0 0
1 0
0 1
Lado Derecho
Cociente
¿Mínimo?
0
-3/5 3/5 1/5 -1/5 4/5 -4/5 -3/5 3/5
3/5 6/5
Reglón cero, no hay más coeficientes negativos. Fin de iteración.1 Solución Básica Factible. Z
0
3/5
6/5
0
0
0
0
Ahora, se quitan las columnas de las variables var iables artificiales y . Iteración
1
Variable Básica
Z
Número de Ecuación
Z
0 1 2
-1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 -3/5 4/5
0 1/5 -3/5
Coeficientes
Lado Derecho
0 0,6 6/5
Si el valor de la Z óptima es cero, se puede continuar , de lo contrario el problema no tiene solución y no se continúa.
2
Se reemplaza los coeficientes del reglón cero por los coeficientes de la función objetivo, pero maximizada. Las restricciones quedan tal cual. Iteración
-
Variable Básica
Número de Ecuación
Z
0 1 2
-1 0 0
Z
Coeficientes
1
2
1 0
0 1
0 -3/5 4/5
0 1/5 -3/5
Lado Derecho
0 3/5 6/5
Ahora, se deben de hacer cero las variables de decisión y , y las restricciones quedan igual.2
Z
LD
0
2
3/5
-1/5
-3/5
(0)-(1) =
N(0)
-1
Iteración
Variable Básica
Número de Ecuación
Z
0 1 2
-1 0 0
0 1 0
2 0 1
3/5 -3/5 4/5
-1/5 1/5 -3/5
-3/5 3/5 6/5
-
Z
N(0)-[(2)*2] = N(0)*
Iteración
-
Variable Básica
Z
Coeficientes
Lado Derecho
Z
LD
-1
0
0
-1
1
-3
Número de Ecuación
Z
0 1 2
-1 0 0
0 1 0
0 0 1
-1 -3/5 4/5
1 1/5 -3/5
Coeficientes
Lado Derecho
-3 3/5 6/5
Ahora, se hace Símplex, con el fin de dejar los coeficientes positivos en el reglón cero o ecuación cero. Iteración
0
Variable Básica
Z
Número de Ecuación
Z
0 1 2
-1 0 0
0 1 0
0 0 1
-1 -3/5
1 1/5 -3/5
Coeficientes
4/5
Lado Derecho
-3 3/5 6/5
Cociente
¿Mínimo?
1,5
MIN
Variable básica entrante: Variable básica saliente:
(2)*(1/0,8) = N(2) (1)+[N(2)*0,6)] = N(1) (0)+N(2) = N(0)
2
Z
LD
0 0 -1
0 1 0
5/4 3/4 3/4 5/4
1 0 0
-3/4 -1/4 1/4 1/4
3/2 3/2 -3/2
El paso de hacer cero las variables de decisión, sólo se hace cuando la función objetivo inicial es minimizar. Si es
maximizar, este paso no se realiza.
3
Iteración
1
Variable Básica
Número de Ecuación
Z
Z
0
-1
0
5/4
0
1/4 1/4
-3/2
1
0
1
3/4 3/4
0
-1/4
3/2
2
0
0
5/4
1
-3/4 -3/4
3/2
Coeficientes
Lado Derecho
Cociente
¿Mínimo?
Ya no hay más coeficientes negativos en reglón cero. Fin de iteración. La solución básica factible “FINAL” para este problema es:
Z
3/2
3/2
0
3/2
0
0
0
EJERCICIO 2 Resolver el siguiente problema usando el Método de Dos Fases. Maximizar S. a Desarrollo.
Primero, se transforman las restricciones r estricciones de desigualdad a igualdad, y se modifica la función objetivo, según corresponda. (0) (1) (2) (3) A continuación, se debe de eliminar las variables artificiales y , para luego eliminar el término “M” de la función objetivo. (0)-[M*(2)] => => Nueva ecuación (0)* => Nueva ecuación (0)*-[(3)*M] => ecuación (0)**
(0)** => => Nueva FUNCIÓN FUNCIÓN OBJETIVO. OBJETIVO. Ahora, se pasa a Símplex.
4
Iteración
0
Variable Básica
Número de Ecuación
Z
Coeficientes Lado Derecho
Cociente
0 0 0
-20 12 12
12
0
8
4
Z
0 1 2
1 0 0
-4 1 2
-4 2 3
0 1 0
0 0 1
1 0 0
3
0
2
1
0
0
-1
¿Mínimo?
6
MIN
Solución Básica Factible Inicial. Z
-20
0
0
12
12
0
8
Variable básica entrante: Variable básica saliente:
Ec(3)*1/2 Ec(2)-[NEC(3)*2] Ec(1)-NEC(3) Ec(0)+[NEC(3)*4]
Iteración
1
NEC(3) NEC(2) NEC(1) NEC(0)
Variable Básica
Número de Ecuación
Z
Z
LD
0 0 0 1
1 0 0 0
1/2 2 3/2 -2
0 0 1 0
0 1 0 0
-1/2 1 1/2 -1
0 0 0 0
4 4 8 -4
Coeficientes Lado Derecho
Cociente
0 0
-4 8
5
1
0
4
2
-1/2
0
4
8
Z
0 1
1 0
0 0
-2 3/2
0 1
0 0
-1 ½
2
0
0
2
0
1
3
0
1
1/2
0
0
¿Mínimo?
MIN
Solución Básica Factible. Z
-4
4
0
8
4
0
0
Variable básica entrante: Variable básica saliente:
Ec(2)*(1/2) Ec(0)+[NEC(2)*2] Ec(0)+[NEC(2)*2] Ec(1)-[NEC(2)*(3/2)] Ec(1)-[NEC(2)*(3/2)] EC(3)-[NEC(2)*(1/2)]
Iteración
NEC(2) NEC(0) NEC(1) NEC(3)
Variable Básica
Número de Ecuación
Z
0 1 2 3
2
Z
LD
0 1 0 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 0 1 0
0,5 1 -0,75 -0,25
0,5 0 -0,25 -0,75
0 0 0 0
2 0 5 3
Coeficientes
Z
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 -3/4 -1/4 1/2 1/2 -1/4 -3/4
Lado Derecho
0 0 0 0
0 5 2 3
Reglón cero, no hay más coeficientes negativos. Fin de iteración. Solución Básica Factible. Z
0
3
2
5
0
0
0
5
Ahora, se eliminan las columnas de las variables artificiales y . Iteración
Variable Básica
Z
-
Número de Ecuación
Z
0 1 2 3
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
0 -1/4 1/2 -3/4
Coeficientes
Lado Derecho
0 5 2 3
Ahora, se reemplazan los coeficientes del reglón cero, por los coeficientes de la función objetivo original. Iteración
Variable Básica
0 1 2 3
Z
-
Número de Ecuación
Coeficientes
Lado Derecho
Z
1
-3
-2
0
0
0
0 0 0
0 0 1
0 1 0
1 0 0
-1/4 1/2 -3/4
5 2 3
Ahora, se utiliza símplex. Iteración
Variable Básica
Número de Ecuación
Z
0 1 2 3
1 0 0 0
-3 0 0
-2 0 1 0
0 1 0 0
0 -1/4 1/2 -3/4
Z
0
Variable básica entrante:
Variable Básica
Z
1
1
Lado Derecho
0 5 2 3
Cociente
¿Mínimo?
3
MIN
Variable básica saliente:
Ec(0)+[Ec(3)*3] Ec(0)+[Ec(3)*3]
Iteración
Coeficientes
NEC(0)
Z
LD
1
0
-2
0
-9/4
9
Número de Ecuación
Z
0 1 2 3
1 0 0 0
0 0 0 1
-2 0
0 1 0 0
-9/4 -1/4 1/2 -3/4
Coeficientes
1 0
Lado Derecho
9 5 2 3
Cociente
¿Mínimo?
2
MIN
Variable básica entrante: Variable básica saliente:
Ec(0)+[Ec(2)*2] Ec(0)+[Ec(2)*2]
Iteración
Variable Básica
Z
2
NEC(0)
Z
LD
1
0
0
0
-5/4
13
Número de Ecuación
Z
0 1 2 3
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
-5/4 -1/4
Coeficientes
6
1/2 -3/4
Lado Derecho
13 5 2 3
Cociente
¿Mínimo?
4
MIN
Variable básica entrante: Variable básica saliente:
Ec(2)*2 Ec(0)+[NEC(2*(5/4)] Ec(0)+[NEC(2*(5/4)] Ec(1)+[NEC(2)*(1/4)] Ec(1)+[NEC(2)*(1/4)] Ec(3)+[NEC(2)+(3/4)] Ec(3)+[NEC(2)+(3/4)]
Iteración
Variable Básica
NEC(2) NEC(0) NEC(1) NEC(3)
LD
0 1 0 0
0 0 0 1
2 5/2 1/2 3/2
0 0 1 0
1 0 0 0
4 18 6 6
Número de Ecuación
Z
0 1 2 3
1 0 0 0
0 0 0 1
5/2 1/2 2 3/2
0 1 0 0
0 0 1 0
Z
3
Z
Coeficientes
Lado Derecho
18 6 4 6
Ya no hay más coeficientes negativos en reglón cero. Fin de iteración. La solución básica factible “FINAL” para este problema es: Z
18
6
0
6
0
4
0
7
