METODO DE LAS DOS FASES.
La desventaja de la técnica M es el posible error de cómputo que podría resultar de asignar un valor muy grande a la constante M. Esta situación podría presentar errores de redondeo en las operaciones de la computadora digital. Para evitar esta difcultad el problema se puede resolver en 2 ases. !"#E $. !ormule un nuevo problema reempla%ando la unción objetivo por la suma de las variables artifciales. La nueva unción objetivo se minimi%a sujeta a las restricciones del problema original. #i el problema tiene un espacio actible el valor mínimo de la unción objetivo óptima ser& cero' lo cual indica que todas las variables artifciales son cero. En este momento pasamos a la ase 2. ( #i el valor mínimo de la unción objetivo óptima es mayor que cero' el problema no tiene solución y termina anot&ndose que no e)isten soluciones actibles !"#E 2. *tilice la solución óptima de la ase $ como solución de inicio para el problema original. En este caso' la unción objetivo original se e)presa en términos de las variables no b&sicas utili%ando las eliminaciones eliminaciones usuales +auss,-ordan. P/0LEM" 1 $ Minimi%ar #ujeto a
Minimi%ar #ujeto a
!"#E 3
Minimi%ar #ujeto a
Minimi%ar #ujeto a
V.B.
Z
X1
X2
S1
S2
R1
R2
Soluci ón
Z
$
4
4
4
4
,$
,$
4
R1
4
2
5
,$
4
$
4
56
R2
4
5
6
4
,$
4
$
64
V.B.
Z
X1
X2
S1
S2
R1
R2
Soluci ón
Z
$
7
8
,$
,$
4
4
86
R1
4
2
5
,$
4
$
4
56
R2
4
5
6
4
,$
4
$
64
V.B.
Z
X1
X2
S1
S2
R1
R2
Soluci ón
Z
$
$92
4
,$
$ 92
4
592
6
R1
4
$92
4
,$
$ 92
$
,$92
6
X2
4
$92
$
4
,$96
4
$96
$4
V.B.
Z
X1
X2
S1
S2
R1
R2
Soluci ón
Z
$
4
4
4
4
,$
,$
4
X1
4
$
4
,2
$
2
,$
$2
X2
4
4
$
$
,295
,$
295
:
!"#E 33.
Minimi%ar
V. Básica
Z
X1
X2
S1
S2
Solución
Z
$
,2444
,744
4
4
4
X1
4
$
4
,2
$
$2
X2
4
4
$
$
,295
:
V. Básica
Z
X1
X2
S1
S2
Solución
Z
$
4
4
,5744
744495
26444
X1
4
$
4
,2
$
$2
X2
4
4
$
$
,295
:
V. Básica
Z
X1
X2
S1
S2
Solución
Z
$
,744495
4
,74495
4
6444
S2
4
$
4
,2
$
$2
X2
4
295
$
,$95
4
$2
P/0LEM" 2.
Ma)imi%ar #ujeto a
!"#E 3. En la !"#E 3 siempre es un problema de minimi%ación.
Minimi%ar #ujeto a
V. Básica
Z
X1
X2
X3
S1
R1
Soluci ón
Z
$
4
4
4
4
,$
4
S1
4
5
6
$
$
4
24
R1
4
5
$
2
4
$
$7
V. Básica
Z
X1
X2
X3
S1
R1
Soluci ón
Z
$
5
$
2
4
,$
$7
S1
4
5
6
$
$
4
24
R1
4
5
$
2
4
$
$7
V. Básica
Z
X1
X2
X3
S1
R1
Soluci ón
Z
$
4
4
4
4
,$
4
S1
4
4
7
X1
4
$
$95
,$ 295
$
,$
7
4
$95
7
"quí termina la ase 3. !"#E 33.
Ma)imi%ar
V. Básica
Z
X1
X2
X3
S1
Solución
Z
$
,6
,:
,:
4
4
S1
4
4
7
,$
$
7
X1
4
$
$95
295
4
7
V. Básica
Z
X1
X2
X3
S1
Solución
Z
$
4
,2
4
4
54
S1
4
4
7
,$
$
7
X1
4
$
$95
295
4
7
V. Básica
Z
X1
X2
X3
S1
Solución
Z
$
4
4
,297
297
52
X2
4
4
$
,$97
$97
$
X1
4
$
4
$$9$7
,$9$7
$:95
V. Básica
Z
X1
X2
X3
S1
Solución
Z
$
69$$
4
4
:9$$
5;49$$
X2
4
59$$
$
4
29$$
279$$
X1
4
$79$$
4
$
,79$$
<49$$
METODO DE LAS 2 FASES
La desventaja de la técnica de la gran M es el posible error de computo que podría resultar de asignar un valor muy grande a la constante M. Esta situación podría presentar errores de redondeo en las operaciones de la computadora digital. Para evitar esta difcultad el problema se puede resolver en 2 ases !"#E $ !ormula un nuevo problema reempla%ando la unción objetivo por la suma de las variables artifciales . La nueva unción objetivo se minimi%a sujeta a las restricciones del problema original. #i el problema tiene un espacio actible el valor M3=3M/ de la !/ optima ser& cero ' lo cual indica que todas las variables artifciales son cero. En este momento se >ace la ase 2 #i el valor mínimo de la o optima es mayor que cero el problema no tiene solución y termina anot&ndose que no e)iste unción actible. !"#E *tilice la solución optima de la ase$como solución de inicio para el problema original. En este caso la o original se e)presa en términos de las variables no b&sicas utili%ando las eliminaciones de gauss,jord&n Problema
Ma)imi%ar ?@ 6)$ A6)2A:)5 #ujeto a 5)$A6)2A)5B24 2)5@C$7CD4
ase $ siempre es un problema de minimi%ación min ?@r$ sujeto a 5)$A6)2A)5B24 2)5@C$7CD4
!"#E 2 M3= ?@6$A:2A:5A4#$ ? F6$,:2,:5,4#$@4
El método de las dos fases http://www.mathstools.com/section/main/ Metodo_de_las_Dos_Fases?lang=es
Conceptos y Pincipios !"sicos Partimos de un problema de programación lineal en la forma Minimizar Ctx Sujeto a Ax ≤ b x≥0 Donde como siempre AG Mmxn con rango!A"#m bG $m CG $n %otar lo primero &ue este problema no est' escrito en forma est'ndar !(er sección el algoritmo del Simplex" )a *emos (isto en la sección +lemento pi(ote del Simplex como escribir un problema de programación lineal en la forma est'ndar mediante el uso de las (ariables de *olgura, +l problema es &ue como *emos (isto necesitamos encontrar una submatriz identidad mxm de A para inciar el algoritmo cosa &ue no siempre tenemos una (ez escrito el problema en forma est'ndar, +n ese caso aplicamos el llamado m-dodo de las dos fases &ue consiste en lo siguiente
El método de las dos fases
Fase #
." A/adimos una submatriz identidad a la matrix A a/adiendo m filas mediante (ariables artificiales o sea la matriz A &ueda a*ora con las dimensiones !nm" x m, +sto *ace &ue podamos iniciar el algoritmo, 1" Cambiamos la función objeti(o original por una &ue tiene todo ceros excepto en las 2ltmas m componentes &ue tienen el (alor . !es decir el (ector C#!0 ,, n3(eces ,,, 0 . ,,
m3(eces ,,, ." 4" 5niciamos el algoritmo con este problema pueden darse estos casos6 4a" 7legamos al caso de solución óptima cero6 esto &uiere decir &ue las las (ariables artificiales *an salido de la base en este caso podemos pasar a la fase 1 del m-todo, 4b" 7legamos al caso de solución optima finita distinta de cero6 +l problema original no tiene solución, Fase $
+liminamos las (ariables artificiales 8 continuamos el algoritmo para ello6 ." tomamos la función objeti(o original C 1" 9omamos las m3primeras columnas de la matriz A 4" Continuamos el algoritmo con estos cambios *asta llegar a una de las : posibles salidas del problema,
7a idea de la fase . es eliminar las (ariables artificiales de la base 8 obtener la solución tri(ial para ella ;eremos en esta sección un ejemplo del m-todo de las dos fases 8 como manejar las (ariables artificiales 8 de *olgura,
%eo&a en e'tensi(n )a (imos &ue todo problema de programación lineal puede transformarse en uno de la forma est'ndar por ejemplo si tenemos Max!1x. 4x1 :x4" Sujeto a 4x. 1x1 x4 ≤ .0 1x. >x1 4x4 ≤ .> x. ?x1 3 x4 ≥ : x. x1 x4 ≥ 0 Podemos transformarlo en un problema tipo e (arias etapas de la siguiente manera ." Cambiamos de signo a la función objeti(o para tener un problema de minimización Min!31x. 3 4x1 3 :x4" 1" Cambiamos de signo la 2ltima de las restricciones6
4x. 1x1 x4 ≤ .0 1x. >x1 4x4 ≤ .> 3x. 3 ?x1 x4 ≥ 3: 4" 5ntroducimos (ariables de *olgura para &uitar las desigualdades 8 transformarlas en igualdades6 4x. 1x1 x4 x: # .0 1x. >x1 4x4 x> # .> 3x. 3 ?x1 x4 x@ # 3: x. x1 x4 x: x> x@ ≥ 0 :" ) cambiamos de signo la 2ltima de las restricciones 4x. 1x1 x4 x: # .0 1x. >x1 4x4 x> # .> x. ?x1 3 x4 3 x@ # : x. x1 x4 x: x> x@ ≥ 0 )a tenemos el problema en formulación est'ndar lo &ue antes era un problema en 4 dimensiones se nos *a con(ertido en uno de @ dimensiones lo cual no es demasiado importante pues los c'lculos finales ser' el ordenador &u ien los *aga por nosotros, Con estos cambios la matriz A &ueda de la siguiente forma
Como (emos a2n no tenemos una submatriz identidad para comenzar el algoritmo, 7a solución es aplicar el m-todo de las dos fases &ue consiste en lo siguiente6 F)*E # ." A/adimos una (ariable artificial por cada una de nuestras restricciones las cuales no tendr'n incidencia sobre las mismas 4x. 1x1 x4 x: x # .0 1x. >x1 4x4 x> xB # .> x. ?x1 3 x4 3 x@ x?# : x. x1 x4 x: x> x@ x xB x? ≥ 0 7a matriz A &ueda
bs-r(ese &ue a*ora 8a tenemos una submatriz identidad para iniciar el algoritmo del simplex, 1" 5niciamos el algoritmo pero tomamos como (ector de costes cero para todas sus componentes excepto a&uellas &ue corresponden a (ariables artificiales es decir tomamos la función objeti(o Min !x xB x?" Por tanto el ;ector de Costes es Ct # !000000..." 7a idea es obtener una solución en la &ue todas las (ariables artificiales sean cero es decir &ueremos encontrar una solución S0 tal &ue x xB x? # 0 De este modo podremos sacar las (ariables artificiales de la base 8 podemos seguir iternado sin ellas, Cual&uier otra solución &ue obtengamos al final de la primera fase *ar' &ue nuestro problema no tenga solución, F)*E $ Si se *a dado la solución S0 al final de la primera fase eliminamos las (ariables artificiales 8 cambiamos la función objeti(o por la nuestra en nuestro ejemplo (ol(emos a tomar como función objeti(o
Min!31x. 3 4x1 3 :x4" por tanto el (ector de costes es a*ora6 Ct # !31343:000" A*ora aplicamos el algoritmo con este (ector de costes 8 con la matriz A &ue *a8a restado de eliminar las (ariables artificiales en la primemra fase obs-r(ese &ue 8a *emos prescindido de las (ariables artificiales esto es gracias a &ue al finla de la fase . *emos obtenido la solución cero, Debe tenerse en cuenta &ue si obtenemos solución óptima para las (ariables &ue no son originales !(ariables b'sicas" simplemente tenemos &ue eliminarlas de nuestra solución es decir las *acemos cero,
Para este ejemplo tenemos la solución óptima finita obtenida num-ricamente +jecutalo a&u=6 '# = +.+ '$ = +.,-0 ' = .010+++++++++ 7o &ue da una maximización para la fución objeti(o de 2 = #3.1+3$0 +jecuta este ejemplo a&u= +n la pr'ctica el n2mero de iteraciones del algoritmo del simplex est' entre 4m1 8 4m lo cual no est' nada mal si como sabemos de la teor=a el n2mero de puntos extremos es !nm" # nEmE!n3m"E Pedimos disculpas por no tener una notación mejor para n2meros combinatorios,
Cómo resolver un modelo de Programación Lineal con el Método Simplex de 2 Fases Por GEO Tutoriales el 22/03/2013 en Programación Lineal
En el artículo anterior nos referimos a Cómo resolver un modelo de Programación Lineal con el Método Simplex !ual, siendo ésta una alternativa de resolución cuando al llevar un modelo de Programación Lineal a su forma estándar no se dispone de una solución ásica factile inicial! " continuación tomaremos el mismo e#emplo pero aplicaremos una metodología conocida como Método Simplex de 2 Fases $ue como el nomre lo sugiere consiste en una variante del Método Simplex $ue permite aordar esta clase particular de prolemas!
E"emplo Método Simplex de 2 Fases
Para llevar el prolema a la forma estándar agregamos las variales de e%ceso no negativas &' ( &) para la primera ( segunda restricción, respectivamente! El prolema $ueda como sigue*
+aemos $ue las variales &' ( &) no tienen la estructura de la identidad para utiliarlas como variales ásicas ( en consecuencia no provee un punto de partida válido para realiar las iteraciones! #$ué podemos %acer&! -na alternativa es aplicar el Método Simplex !ual pero tamién podemos utiliar el Método Simplex de 2 Fases! Para ello agregaremos 2 variales artificiales no negativas $ue llamaremos &. ( & una para cada restricción $ue nos permitirá tener una solución ásica factile inicial! Luego, el método en su ase minimia la suma de las variales au%iliares en este caso 2 variales! En consecuencia, el prolema de la ase $ueda definido por*
4onstruimos la tala inicial de la ase 1*
Para utiliar &. ( & como variales ásicas necesitamos llevar sus costos reducidos a cero! Para ello realiamos operaciones fila multiplicando la fila 1 por 51 ( luego sumando a la fila 3! 6epetimos el procedimiento multiplicando por 51 la fila 2 ( sumando a la fila 3! La tala actualiada corresponde a*
4ontinuando con las iteraciones del 7étodo +imple% ingresamos la variale &3 a la ase criterio* variale no ásica con costo reducido más negativo ( realiamos el mínimo cuociente* Min'()*+ ,)2)2-.()* 889 el pivote se encuentra en la fila 1 por tanto de#a la ase la variale ásica &. variale ásica asociada a la fila 1! +e realia una iteración del 7étodo +imple% ( se actualia la tala*
":ora las variales no ásicas con costo reducido negativo son &1 ( &'! ;acemos entrar a la ase a la variale &1 ( calculamos el mínimo cuociente* Min'()*)()2+ ()(-.( 889 el pivote esta en la fila 1 ( por tanto la variale %3 de#a la ase! En este punto es importante destacar un aspecto* “es una situación inusual (pero no por ello incorrecto) que una variable que en una iteración previa haya ingresado a
la base, deje ésta inmediatamente en la iteración posterior” ! +i ien este es el caso al cual nos enfrentamos continuaremos con las iteraciones del 7étodo +imple%* IM!"#$%#&' El lector podrá identificar $ue la variale no ásica con costo reducido más negativo en la tala anterior es &2 ( por tanto dic:a variale deería ser la $ue ingrese a la ase!
involuntaria se
omitió dic:a situación ( se
incorporó a la ase la variale &1 como se muestra en la tala a continuación! El efecto de esta decisión sólo tiene $ue ver con la rapide de convergencia del 7étodo +imple% ( no afecta en asoluto los resultados finales! Esto se puede corroorar revisando tanto este artículo como el $ue trata sore Criterios para la /apide0 de Convergencia del Método Simplex!
Para seguir con las iteraciones podemos seleccionar tanto la variale &2 como &' como variale $ue ingresan a la ase amas con similar costo reducido negativo! En este caso optaremos por la variale &2 ( calculamos el mínimo cuociente* Min'()2)()2+ ()2)(-.()2 889 & de#a la ase! "ctualiamos la tala oteniendo lo siguiente*
>uscamos a:ora llevar a cero el costo reducido a cero para las variales &1 ( &2 variales ásicas al finaliar la ase ! Para ello desarrollamos operaciones fila multiplicando la fila 1 por 51 ( luego sumando a la fila 3 tamién multiplicamos por 51 la fila 2 ( sumando a la fila 3!
inalmente se logra conservar la estructura de variales ásicas para las variales &1 ( &2 ( las variales no ásicas tienen costos reducidos ma(ores o iguales a cero! En consecuencia estamos frente a la solución óptima del prolema con 1(.()* ( 12.()2! ?e recomendamos verificar $ue la solución alcanada es similar a la otenida a través del Método Simplex !ual pero evidentemente con un esfuero en la resolución distinto!
3. Fabrica de làmparas (Mètodo de las 2 Fases) Una compañía de fabrica vende dos modelos de lámparas L1 y L2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 2 horas. Para el modelo L1 y de hrs para el modelo L2! y de horas de trabajo de má"uina para el modelo L2. #e dispone para el trabajo manual de $ horas al mes y de $% horas. Para el modelo L2& sabiendo "ue el beneficio por unidad es de 2%%% y '%% pesos para L1 y L2& respectivamente& planificar la producción para obtener el má(imo beneficio.
)inimi*ar
#ujeto a+
)inimi*ar
#ujeto a+
,-# /
)inimi*ar
#ujeto a+
)inimi*ar
#ujeto a+
4.!.
2
5#
5$
*#
*$
6 #
6 $
*ol7ci(n
2
.
0
0
0
0
3.
3.
0
6 #
0
1
4
3.
0
.
0
4@
6 $
0
4
@
0
3.
0
.
@0
4.!.
2
5#
5$
*#
*$
6 #
6 $
*ol7ci(n
2
.
>
?
3.
3.
0
0
?@
6 #
0
1
4
3.
0
.
0
4@
6 $
0
4
@
0
3.
0
.
@0
4.!.
2
5#
5$
*#
*$
6 #
6 $
*ol7ci(n
2
.
.1
0
3.
. 1
0
41
@
6 #
0
.1
0
3.
. 1
.
3.1
@
5$
0
.1
.
0
3.@
0
.@
.0
4.!.
2
5#
5$
*#
*$
6 #
6 $
*ol7ci(n
2
.
0
0
0
0
3.
3.
0
5#
0
.
0
31
.
1
3.
.1
5$
0
0
.
.
314
3.
14
:
,-# //.
)inimi*ar
4. !"sica
2
5#
5$
*#
*$
2
.
31000
3>00
0
0
5#
0
.
0
31
.
5$
0
0
.
.
314
4. !"sica
2
5#
5$
*#
*$
2
.
0
0
34>00
>0004
5#
0
.
0
31
.
5$
0
0
.
.
314
4. !"sica
2
5#
5$
*#
*$
2
.
3>0004
0
3>004
0
*$
0
.
0
31
.
5$
0
14
.
3.4
0
n la varible 01 se aota por completo el recurso de horas manuales mientras "ue en las horas de ma"uina sobran 12& siendo "ue tienen horas sobra se recomendaría eliminarlas para tener un costo mas bajo& la anancia total fue de $%%% pesos.
3.2. Pstelerìa el Globo y sus pastelillos (Mètodo de las 2 Fases) *na pastelería cuenta con dos tipos pastelillos los cuales pasan por dos procesos' se tienen los siguientes datos
&1* <=mero de pastelillos de c:ocolate a preparar! &2* <=mero de pastelillos de vainilla a preparar!
7a% @ 8 2&1 A &2
s!a 10&1 A 10&2 B C 10&1 A )&2
D1
&1, &2 D 0
Est4ndar5
7in @ 8 52&1 5 &2 A &) 7in &) s!a!
10&1 A 10&2 A &3 10&1 A )&2
8C 5&' A&) 8 1
&1, &2, &3, &', &) D 0 Para la primera fase, tomamos la forma estandar e identificamos las variales ásicas ( no ásicas, o de entrada ( salida! 6ealiamos auss5Fordan para ir :aciendo las iteraciones con las variales!
F6SE 7
4uando se encuentra una solución factile, el valor mínimo de la función o#etivo optima será cero, lo cual indica $ue todas las variales artificiales son iguales a cero, en este momento pasamos a*
F6SE 77 +e utilia la solución óptima de la "+E , ( se realian las iteraciones, :asta llegar a la solución óptima!
#olución se obtendr& un benefcio de H; I%@;J' se utili%ar& 89$4 del proceso uno para los pastelillos y 897 del proceso 2 para los pastelillos.
