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22/9/2017

Principio de Arquímedes

PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES Leonardo Vite Terán[a]

RESUMEN El principio de Arquímedes nos indica que “todo cuerpo sumergido dentro de un fluido experimenta una fuerza ascendente llamada empuje, equivalente al peso del fluido desalojado por el cuerpo”. Este principio lo aplicamos cuando nadamos, cuando tiramos un objeto al agua; el objeto se hunde si su peso es mayor que el peso del fluido desalojado (desplazado). El objeto flota cuando su peso es menor o igual al peso del fluido desplazado. Palabras clave: Principio, Empuje, Fluido, fuerza de empuje, flotación, peso real, peso aparente, densidad del líquido, peso específico, peso del fluido desalojado, densidad del cuerpo, densímetro.

ABSTRACT Arquimedes's principle indicates us that " any body plunged inside a fluid experiences an ascending force called push, equivalent to the weight of the fluid removed by the body ". This principle we apply it when we swim, when we throw an object to the water; the object sinks if his weight is major that the weight of the removed (displaced) fluid. The object floats when his weight is minor or equal to the weight of the displaced fluid. Keywords: Principle, Push, Fluid, force of push, flotation, royal weight, apparent weight, density of the liquid, specific weight, weight of the removed fluid, density of the body, densimeter.

PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES “Todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un fluido recibe un empuje hacia arriba (ascendente) igual al peso del fluido que desaloja”. Un pedazo de madera flota en el agua, sin embargo, un pedazo de fierro se hunde. ¿Por qué ocurre esto? Los peces se desplazan en el agua sin flotar ni hundirse, controlando perfectamente su posición. ¿Cómo lo hacen? Todo lo anterior tiene relación con la fuerza de empuje hacia arriba (ascendente), que recibe todo cuerpo que se encuentra sumergido en agua o en cualquier otro fluido. Cuando levantas un objeto sumergido en el agua, te habrás dado cuenta que es mucho más fácil levantarlo que cuando no se encuentra dentro del agua. Esto se debe a que el agua y los demás fluidos ejercen una fuerza hacia arriba sobre todo cuerpo sumergido dentro del fluido, denominada fuerza de flotación o fuerza de empuje (E), esta fuerza es la que hace que un objeto parezca más ligero. A este fenómeno se le llama flotación. El fenómeno de flotación, consiste en la perdida aparente de peso de los objetos sumergidos en un líquido. Esto se debe a que cuando un objeto se encuentra sumergido dentro de un líquido, los líquidos ejercen presión sobre todas las paredes del recipiente que los contiene, así como sobre todo cuerpo sumergido dentro del líquido. Las fuerzas laterales debidas a la presión hidrostática, que actúan sobre el cuerpo se equilibran entre sí, es decir, tienen el mismo valor para la misma profundidad. Esto no sucede para las fuerzas que actúan sobre la parte superior e inferior del cuerpo. Estas dos fuerzas son opuestas, una debido a su peso que lo empuja hacia abajo y la otra, que por la fuerza de empuje, lo empuja hacia arriba. Como la presión aumenta con la profundidad, las fuerzas ejercidas en la parte inferior del objeto son mayores que las ejercidas en la parte superior, la resultante de estas dos fuerzas deberá estar dirigida hacia arriba. Esta resultante es la que conocemos como fuerza de flotación o de empuje que actúa sobre el cuerpo, tendiendo a impedir que el objeto se hunda en el líquido. https://www.uaeh.edu.mx/scige/boletin/prepa4/n3/m4.html

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Al sumergir un objeto dentro de un líquido, el volumen del cuerpo sumergido es igual al volumen de fluido desplazado. Por lo tanto, la fuerza de empuje ρ • V • g, tiene una magnitud igual al peso del líquido desplazado por el objeto sumergido. El empuje que reciben los cuerpos al ser introducidos en un líquido, fue estudiado por el griego Arquímedes, y su principio se expresa como:

“Todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un fluido (líquido o gas) recibe un empuje ascendente, igual al peso del fluido desalojado por el objeto”. El principio de Arquímedes es uno de los descubrimientos más notables que nos legaron los griegos y cuya importancia y utilidad son extraordinarias. La historia cuenta que el rey Hierón ordenó la elaboración de una corona de oro puro, y para comprobar que no había sido engañado, pidió a Arquímedes que le dijera si la corona tenía algún otro metal además del oro, pero sin destruir la corona. Arquímedes fue el primero que estudio el empuje vertical hacia arriba ejercido por los fluidos. Es importante hacer notar que la fuerza de empuje no depende del peso del objeto sumergido, sino solamente del peso del fluido desalojado, es decir, si tenemos diferentes materiales (acero, aluminio, bronce), todos de igual volumen, todos experimentan la misma fuerza de empuje. Si un recipiente sellado de un litro está sumergido en agua hasta la mitad, desplazará medio litro de agua y la fuerza de empuje (o flotación) será igual al peso de medio litro de agua, sin importar qué contenga el recipiente. Si el recipiente está sumergido completamente, la fuerza de flotación será igual al peso de un litro de agua a cualquier profundidad, siempre que el recipiente no se comprima. Esto es porque a cualquier profundidad el recipiente no puede desplazar un volumen de agua mayor a su propio volumen. Para conocer la magnitud de la fuerza de flotación debemos entender la expresión "el volumen del agua desplazado". Si sumergimos completamente un objeto en un recipiente lleno con agua hasta el borde, un poco de agua se derramará, y decimos que el agua es desplazada por el objeto. El volumen del objeto es igual al volumen del agua desplazada (derramada). Como la densidad del agua es de 1 g/cm3 (1000 kg/m3), el número de gramos de masa del agua corresponde al número de centímetros cúbicos de volumen del objeto. Éste es un buen método para determinar el volumen de objetos de forma irregular. Un objeto completamente sumergido siempre desplaza un volumen de líquido igual a su propio volumen. Es decir, el volumen del cuerpo es igual al volumen de líquido desalojado. El que un objeto flote o se hunda en un líquido depende de cómo es la fuerza de flotación comparada con el peso del objeto. El peso a su vez depende de la densidad del objeto. De acuerdo a la magnitud de estas dos fuerzas se tienen los siguientes casos: 1) Si el peso del objeto sumergido es mayor que la fuerza de empuje, el objeto se hundirá. 2) Si el peso del cuerpo es igual a la fuerza de empuje que recibe, el objeto permanecerá flotando en equilibrio (una parte dentro del líquido y otra parte fuera de él). 3) Si el peso del objeto sumergido es menor que la fuerza de empuje que recibe, el objeto flotara en la superficie del líquido. El principio de Arquímedes se aplica a objetos de cualquier densidad. En caso de conocer la densidad del objeto, su comportamiento al estar sumergido dentro de un fluido puede ser: 1) Si el objeto es más denso que el fluido en el cual está sumergido, el objeto se hundirá. 2) Si la densidad del objeto es igual a la del fluido en el cual está sumergido, el objeto no se hundirá ni flotara. 3) Si el objeto es menos denso que el fluido en el cual está sumergido, el objeto flotara en la superficie del fluido. Debido al efecto del empuje, los cuerpos sumergidos en un fluido tienen un peso aparentemente menor a su verdadero peso, y le llamamos peso aparente. El valor de la fuerza de empuje se determina mediante la diferencia del peso real y la del peso aparente, es decir:

Empuje = peso real – peso aparente Como todo cuerpo que sea sumergido en un líquido se ajustara a una profundidad a la cual su peso sea igual al del agua desplazada, el peso del cuerpo está dado por la expresión:

Fcpo = Pcpo = ρcpo • Vcpo • g y el peso del fluido desplazado o fuerza de empuje ejercida por el líquido está dada por la expresión: https://www.uaeh.edu.mx/scige/boletin/prepa4/n3/m4.html

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E = ρliq • Vcpo • g en donde: E = es el empuje Vcpo = el volumen que desplaza el cuerpo ρliq = la densidad del líquido donde se sumerge el cuerpo g = 9.81 m/s2 Como el peso específico (Pe) de la sustancia está dado por:

Pe = ρliq • g Entonces también podemos escribir la expresión:

E = Pe • Vcpo El producto del volumen del cuerpo por la densidad del fluido es igual a la masa del fluido desalojado, correspondiente a un volumen idéntico al que tiene el cuerpo sumergido. El producto de dicha masa por la aceleración de la gravedad nos da su peso. Por lo tanto. También podemos calcular el empuje que sufren los cuerpos que están sumergidos en un fluido usando la expresión:

E = Vcpo • ρliq•g = mlíq • g De acuerdo a todo lo anterior, el empuje que recibe un cuerpo sumergido en un líquido puede determinarse por alguna de las siguientes expresiones: Empuje = Peso del fluido desalojado Empuje = Peso real – peso aparente en el líquido Empuje = (densidad del cuerpo) (volumen del cuerpo sumergido) (gravedad)

E = ρcpo • Vcpo • g Empuje = (Peso específico de la sustancia) (Volumen del líquido desalojado)

E = Pe • Vcpo Empuje = (masa del líquido desplazado) (gravedad)

E = mlíq • g Empuje = (densidad del líquido) (volumen del líquido desalojado) (gravedad)

E = ρliq • Vliq • g Conviene recordar que para la aplicación de las fórmulas anteriores, en caso de que el cuerpo este totalmente sumergido, el volumen del cuerpo es igual al volumen de líquido desalojado, y que cuando el cuerpo flota parcialmente en el líquido, el volumen del líquido desalojado es igual solamente al volumen de la parte del cuerpo que se encuentra sumergido. El concepto de empuje nos puede ayudar a determinar la densidad de un cuerpo sólido (ρcpo). Para ello determinamos primero la masa real mr del cuerpo con ayuda de una balanza. Después, sumergimos el objeto en un líquido de densidad conocida (ρliq.c), por ejemplo, el agua y determinamos la masa aparente del objeto ma, , la cual será menor que la anterior. De acuerdo al principio de Arquímedes, esta diferencia se debe al empuje del agua, y por lo tanto la diferencia mr - ma es igual a la masa del agua desalojada por el cuerpo. La densidad del cuerpo está dada por la expresión:

También podemos determinar la densidad de un líquido. Para ello, primero obtenemos la masa aparente ma de un cuerpo de masa mr sumergido en un líquido de densidad conocida (ρliq.c). La diferencia de masa (mr ma) es igual a la masa del volumen de líquido desalojado, por lo tanto: https://www.uaeh.edu.mx/scige/boletin/prepa4/n3/m4.html

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Después se introduce el mismo cuerpo en el líquido problema y hallamos su masa aparente ma2. De nuevo la diferencia de masa mr - ma2 es igual a la masa del volumen de líquido desalojado, por tanto:

Puesto que el volumen debe ser igual en ambas ecuaciones, ya que el cuerpo es el mismo, tenemos que la densidad del líquido problema (desconocido) es:

Algunas de las aplicaciones del principio de Arquímides son: la flotación de los barcos, la flotación de los submarinos, los salvavidas, los densímetros, los globos aerostáticos, los flotadores de las cajas de los inodoros, los peces. Los barcos flotan porque su parte sumergida desaloja un volumen de agua cuyo peso es mayor que el peso del barco. Los materiales con los que está construido un barco son más densos que el agua. Pero como el barco está hueco por dentro, contiene una gran cantidad de aire. Debido a ello la densidad promedio del barco es menor que la del agua. Debido a que, para que un objeto flote, la fuerza de flotación sobre el cuerpo debe ser igual al peso del fluido desplazado, los fluidos más densos ejercen una fuerza de empuje más grande que los menos densos. Por lo anterior, un barco flota más alto en agua salada que en agua dulce porque la primera es ligeramente menos densa. Un submarino normalmente flota. Para un submarino es más fácil variar su peso que su volumen para lograr la densidad deseada. Para ello se deja entrar o salir agua de los tanques de lastre. De manera semejante, un cocodrilo aumenta su densidad promedio cuando traga piedras. Debido al aumento de su densidad (por las piedras tragadas), el cocodrilo puede sumergirse más bajo el agua y se expone menos a su presa. Para que una persona flote en el agua con más facilidad, debe reducir su densidad. Para efectuar lo anterior la persona se coloca un chaleco salvavidas, provocando con ello aumentar su volumen mientras que su peso aumenta muy poco, por lo cual, su densidad se reduce. Un pez normalmente tiene la misma densidad que el agua y puede regularla al extender o comprimir el volumen de una bolsa con la que cuenta. Los peces pueden moverse hacia arriba al aumentar su volumen (lo que disminuye su densidad) y para bajar lo reducen (lo que aumenta su densidad). El densímetro o areómetro consiste en un tubo de vidrio con un tubo lleno de plomo para que flote verticalmente. La parte superior tiene una graduación que indica directamente la densidad del líquido en donde está colocado. Se utiliza para medir la cantidad de alcohol de un vino, para controlar la pureza de la leche, para saber si un acumulador está cargado (la carga depende de la concentración de ácido del líquido del acumulador). TABLA 1 DENSIDAD DE DIFERENTES SUSTANCIAS SUSTANCIA

DENSIDAD (KG/M3)

Agua a 4 ºC 1000 Agua (20 998 ºC) Agua de 1030 mar Aire (0 ºC) 1.30

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DENSIDAD (KG/M3)

Gasolina (20 700 ºC) Glicerina a 1250 0ºC Hielo

920

Helio Mercurio(0 ºC)

0.18

790

Oxigeno

1.43

2700

Oro a 0ºC

19300

8900

Plata a 0ºC

10500

240

Plomo

11400

Aire (20 ºC) 1.20 Alcohol etílico Aluminio a 0ºC Cobre a 0ºC Corcho a

SUSTANCIA

13600

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0ºC

Ahora llevaremos a cabo la solución de algunos problemas aplicando el principio de Arquímides.

EJEMPLO 1 Una esfera de cierto material es sumergida en agua, su masa aparente resultó ser de 91.3 g. Su masa real (en el aire) es de 100 g. a) ¿Cuál es la densidad de dicha esfera? b) Después sumergimos la misma esfera en otro líquido de densidad desconocida ρliq.d, y se encuentra que la masa aparente de la esfera es de 93.04 g. ¿Cuál es la densidad de este líquido? Datos: mr = 100 g = 0.100 kg ma = 91.3 g = 0.0913 kg ρagua = 1000 kg/m3 ρliq.d = 1000 kg/m3 a )Fórmula:

Sustitución y resultado:

De acuerdo a la tabla de densidades, deducimos que la esfera es de plomo, cuya densidad es de 11400 kg/m3 b) Datos: mr = 100 g = 0.100 kg ma = 91.3 g = 0.0913 kg ρagua = 1000 kg/m3 ma2 = 93.04 g = 0.09304 kg Fórmula:

Sustitución:

EJEMPLO 2 Un cubo de madera tiene una masa de 10 kg y mide 30 cm por cada lado, se mantiene sumergido bajo el agua. a) ¿Qué empuje recibe el cubo de madera? b) ¿Qué fuerza se necesita para mantener sumergido el cubo? https://www.uaeh.edu.mx/scige/boletin/prepa4/n3/m4.html

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Datos: m = 10 kg Arista = 30 cm. Densidad del agua = 1000 kg/m3 Fórmulas: V=l•l•l E=ρ•V•g Sustitución: a) V = (0.30 m)(0.30 m)(0.30 m) = 0.027m3 E = (1000 kg/m3) (0.027 m3) (9.81 m/s2) = 264,87 N b) Para mantener sumergido el bloque, debe de estar equilibrada la fuerza de empuje con la fuerza para mantener sumergido el cubo más el peso del cubo, de acuerdo a lo anterior: E = F + mg, por lo cual, la fuerza necesaria para mantener sumergido el cubo es: F = E – m • g = (264.87 N) – (10 kg) (9.81 m/s2) = 255.06 N

EJEMPLO 3 El cubo de un cierto material mide 20 cm. por cada lado, tiene una masa de 7.2 kg. a) ¿Flotará dentro del agua? b) Y si flota, ¿cuál es la altura del cubo que se sale por encima de la superficie del agua? Solución: a) El volumen del cubo es V = (0.20m) (0.20m)(0.20m)= 0.008 m3, por lo tanto su densidad es: ρ = m/V = (7.2 kg) / 0.008 m3 = 900 kg/m3 Como la densidad del agua es de 1000 kg/m3, entonces la densidad del agua es mayor que la del cubo, por lo cual el cubo flotará. b) recordando que todo cuerpo que sea sumergido en un líquido se ajustara a una profundidad a la cual su peso sea igual al del agua desplazada, como el peso del objeto está dado por la expresión:

Fcpo = Pcpo = ρcpo • Vcpo • g y el peso del fluido desplazado o fuerza de empuje es:

Ecpo = ρliq • Vliq • g Igualando ambas expresiones tenemos que:

ρcpo • Vcpo • g = ρliq • Vliq • g por lo cual:


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Por lo anterior: Vliq = (0.90) Vcpo, por lo cual, el volumen del líquido desplazado es del 0.90 del volumen del cubo, o sea, el 90% del cubo está sumergido. Lo anterior significa que el 10% del volumen del cubo esta fuera del agua, o sea: Vsobresale = (0.10) Vcpo = (0.10) (0.008 m3) = 0.0008 m3 El área de cada lado del cubo tiene un valor de: (0.20 m) (0.20 m) = 0.04 m3por lo tanto, lo que sobresale (h) el cubo es: h = (Vsobresale) / A = (0.0008m3) / (0.04 m2) = 0.02 m = 2 cm.

EJEMPLO 4 La corona de una reina tiene una masa de 1.30 kg. Pero cuando se determina la masa mientras está totalmente sumergida en agua, su masa aparente es de 1.14 kg. ¿Es de oro macizo la corona? Solución: Los datos que nos dan son: la masa real y la masa aparente del objeto, sabemos la densidad del “supuesto” material de la corona, la cual es de 19300 kg/m3, además de la densidad del fluido “agua” (1000 kg/m3). Por lo tanto para dar la respuesta, hay que demostrar que la densidad del cuerpo es o no de 19300 kg/m3. Usando la fórmula:

para determinar la densidad del cuerpo, y sustituyendo los valores de masa real, masa aparente y densidad del agua, en la fórmula anterior tenemos que la densidad del cuerpo es:

Con el resultado de que la densidad del cuerpo es de 8125 Kg./m3 de acuerdo a los valores de masa obtenidos, observamos que no coincide con la densidad del oro (19300 Kg./m3); por lo anterior concluimos que la corona no es de oro macizo.


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