ESTATICA
Problema 6.11. Armadura Howe: Determine la fuerza en cada uno de los miembros de la armadura Howe para techo mostrada en la figura. 6KN D
6m 6KN
6KN
B
F
6m 3KN
3KN C
A
8m
G
E
8m
Diagrama de cuerpo libre:
8m
H
8m
6KN D
6m 6KN
6KN
B
F
6m 3KN
3KN C
A
G
E
H
FA
FHX
FHY 8m
8m
8m
8m
Aplicando momento en H: ΣMH=0 -FA x 32m + 3KN x 32m+6KN x (24m+16m+8m) = 0 -FA X 32m + 96 KN + 6 KN x 48m = 0 384KN FA x 32m = 96 KN + 288 KN ⇒ FA = 32m
FA = 12 KN
ΣFY=0 - 3KN + 12KN – 6KN x 3 – 3 KN + F H = 0
FH = 12 KN Pagina 1 de 26
ESTATICA
Análisis Nodo A: 3KN FAB
ΣFY=0
6 8
A
6
12KN – 3KN – FAB x
FAC
FAB x
12KN
6 10
10
=0
= 9 KN ⇒ FAB =
10 x9 6
FAB = 15 KN C . ΣFX=0 8 8 15KNx8 FAC - FAB 10 = 0 ⇒ FAC = FAB 10 = 10
FAC = 12 KN T Análisis Nodo C: FCB
FCE
FAC C
Por Teoría se puede decir que este nodo esta bajo condiciones especiales de carga, este conecta tres elementos, dos de los cuales se encuentran en la misma línea y no están sujetos a cargas externas, por tanto F CB=0 y FAC = FCE FAC = FCE = 12 KN T FCB= 0 KN .
Análisis Nodo G: FGF
FGH
FEG G
El análisis de este nodo es idéntico al del nodo C, F GF = 0 y FGH = FEG, entonces podemos decir que por simetría, FAC = FCE = FGH = FEG = 12 KN T = FGF 0 KN .
Análisis Nodo B: FBE
FBD 6
6 8 B
8
ΣFY=0 15KN x
6 8
FBE x
FAB 6KN
6 10
6 10
+ FBE x
+ FBD x
6 10
6 10
- 6 KN + FBD x
6 10
=0
= -3 KN . . . (E1)
ΣFX=0 15KN x
8
- FBE x
8
+ FBD x
8
=0
10 10 10 8 8 - FBE x + FBD x = - 12 KN . . . (E2) 10 10 Pagina 2 de 26
ESTATICA
8 y sumamos a E2 para obtener el FBE 6
Multiplicamos E1 por −
8 + E2: 6
E1 x −
-F
BE
x
- FBE x
8
- FBD x
10 8
10 8 - FBE x + 5
+ FBD x
8
= 4 KN
10 8 10
0
= - 12KN
=-8
5 FBE = 8 x 8
FBE = 5 KN C Sustituimos el valor de FBE en E1 para así obtener el valor de FBD. 5KN x
6 10
+ FBD x
6 10
= - 3 KN ⇒ FBD x
6 10
= -3 KN – 3KN ⇒ FBD = - 6 KN x
10 6
FBD = 10 KN C Análisis Nodo F: Para el análisis de este nodo se puede decir que por simetría,
FBE = FEF = 5KN C . FBD = FDF = 10KN C Análisis Nodo E: ΣFY=0
FED FBE 6
6 FCE
8
8
FEF FEG
6 6 6 - 5KN x 10 + FDE x 10 - 5 x 10 = 0 6 FDE = 10KN x 10
FDE = 6 KN T
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ESTATICA
Problema 6.6: Determine la fuerza en cada uno de los miembros de la armadura mostrada en la figura. 9Kips B 6ft C
A
6ft
D 3Kips 8ft
17,5ft
Diagrama de cuerpo libre: 9.9 Kips B 6ft C
A RAX
6ft
D
RAY
3Kips 8ft
RC
17,5ft
Aplicando momento en A: ΣMA=0 RC x 25,5ft + 3Kips x 6ft -9,9Kips x 8ft = 0 RC x 25,5ft = 79,2 Kips – 18 Kips 61,2 Kips RC x 25,5ft = 61,2 Kips ⇒ RC = 25,5 ft
RC = 2,4 Kips ΣFY=0 RAY + RC – 9,9 Kips = 0 RAY = 9,9 Kips – 2,4 Kips
RAY = 7,5 Kips ΣFX=0 RAX + 3 Kips = 0
RAX= 3 Kips
.
Análisis Nodo A: ΣFY=0
RAY
RAY – TAD x A RAX TAB
8
6 6
8
TAD
6 10
– TAB x
6 10
=0
6 6 - TAD x 10 - TAB x 10 = - 7,5 Kips . . . (E1)
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ESTATICA
ΣFX=0 - RAX + TAD x TAD x
8 10
8 10
- TAB x
- TAB x
8 10
8 10
= 0
= 3 Kips . . . (E2)
8 Multiplicamos E1 por y sumamos a E2 para obtener el TAD 6 8 E1 x + E2: 6
-T
AD
x
8 10
- TAB x
8 10
= - 10 Kips
TAD x 8 - TAB x 8 = 3 Kips 10 10 8 0 - TAB x = - 7 Kips 5 5 TAB = 7 Kips x 8
TAB = 4,375 Kips C Sustituimos el valor de TAB en E1 para así obtener el valor de TAD. 6 6 6 - TAD x - 4,375 Kips x = - 7,5 Kips ⇒ - TAD x = -7,5 Kips + 2,625 Kips 10 10 10 10 TAD = 4,875 Kips x 6 TAD = 8,125 Kips T Análisis Nodo B: ΣFX=0
9,9Kips TAB 6 B
4,375Kips x
8 6 17,5 T BC TBD
- TBC x
17,5 18,5
8 10
– TBC x
17,5 18,5
=0
= 3,5 Kips
- TBC = 3,5 Kips x
18,5 17,5
TBC = 3,7 Kips C ΣFY=0 6 6 + 3,7 Kips x - TBD= 0 10 18,5 TBD = - 9,9 Kips + 2,625 Kips + 1,2 Kips - 9,9 Kips + 4,375 Kips x
TBD = 6,075 Kips C
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ESTATICA
Análisis Nodo C: ΣFX=0 17,5 - TCD x =0 18,5 18,5 17,5 TCD x = 3,5 Kips 18,5 18,5 TCD = 3,5 Kips x 17,5 3,7 Kips x C
TCD
6 6 17,5 17,5 TBC RC
17,5
TCD = 3,7 Kips T
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ESTATICA
Problema 6.7: Determine la fuerza en cada uno de los miembros de la armadura mostrada en la figura. 2,5m B A 3m
C
3m
D
E
480 N
Diagrama de cuerpo libre: FAY 2,5m B
FAX A 3m
C
3m
FDX
D E 480 N
Aplicando momento en A: ΣMA=0 FDX x 6m = 0
FDX = 0 N ΣFY=0 - FAY – 480 N = 0
FAY = 480 N . ΣFX=0 FDX + FAX = 0 FAX = - FDX
FAX = 0 N
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ESTATICA
Análisis Nodo A: Hacemos un triangulo de fuerzas:
FAY
FAB A
FAC
FAB 3 1,25
1,25 480 N
=
3,25
3
FAC
Decimos que: 480
=
3 FAB
=
1,25
FAB
=
FAC
1,25
3,25
FAC
= 160
3,25
FAB= 160 x 1,25
=0
;
F
AC
= 160 x 3,25
FAB = 200 N C FAC = 520 N T Ahora por simetría decimos que,
FAC = FCD = FBC = FCE = 200 N C FAB = FDE = 520 N T Análisis Nodo B: FBE
ΣFY=0 FBE – TBC x
FAB
B 3
FBC 1,25
3 3,25
TBE = 520 N x
= 0 3
3,25
TBE = 480 N C
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ESTATICA
Problema 6.11. Armadura Howe: Determine la fuerza en cada miembro de la armadura Fink para techo mostrada en la figura. 12Kips 4,5ft
4,5ft
D
12Kips
12Kips
2ft
F
B
6Kips
6Kips
2ft
E
C A
G
6ft 6ft
6ft
Diagrama de cuerpo libre: 12Kips 4,5ft
4,5ft
D
12Kips
12Kips
2ft
F
B
6Kips
6Kips
2ft
E
C
FAX
G
A FAY
6ft
6ft
6ft
FG
Aplicando momento en A: ΣMA=0 -12Kips x (4,5ft + 9ft + 13,5ft) – 6Kips x 18ft + FG x 18ft = 0 FG x 18ft = 12 Kips x 27 ft + 108 Kips 432Kips ⇒ FG = FG x 18ft = 324 Kips + 108 Kips 18ft
FG = 24 Kips ΣFY = 0 - 6Kips – 12Kips x 3 – 6Kips + 24Kips + F AY = 0 FAY = 6 Kips + 36 Kips + 6 Kips – 24 Kips ΣFX = 0
FAY = 24 Kips
⇒ FAX = 0
FAX = 0 Kips Análisis Nodo A: 6Kips FAB
A
2 4,5
FR = 24Kips - 6Kips = 18 Kips Hacemos un triangulo de fuerzas: FAC
FAC FAB
4,5 FR
=
4,92
2
FAY = 24Kips
Pagina 9 de 26
ESTATICA
Decimos que: FAB
=
4,92 FAB
FAC
=
4,92
4,5
FAC 4,5
=
FR 2
=0
=9
FAB= 9 x 4,92
;
F
AC
= 9 x 4,5
FAB = 44,28 Kips C FAC = 40,50 Kips T Ahora, por simetría tenemos que,
FAC = FEG = 40,50 Kips T FAB = FGF = 44,28 Kips C Análisis Nodo B:
ΣFX=0 FAB
44,28Kips x
2 B
FBD
4,5
FBC x
22 4,5 1,5
FBC
1,5 2,5
4,5 4,9
+ FBC x
- FBD x
4,5 4,9
1,5 2,5
- FBD x
4,5 4,9
=0
= - 40,66 Kips . . . (E1)
ΣFY=0
12Kips
2 2 2 -12Kips + 44,28Kips x 4,9 - FBC x 2,5 - FBD x 4,9 = 0 2 2 - FBC x - FBD x = - 6,07 Kips . . . (E2) 2,5 4,9 Despejamos E1 y E2 para dejarla en función de F BC. FBC x
1,5 2,5
= - 40,66 Kips + F BD x
FBC = - 67,77 Kips + FBD x
- FBC x
2 2,5
= FBD x
FBC = - FBD x
5 9,8
2 4,9
11,25 7,35
4,5 4,9
⇒ FBC = - 40,66Kips x
2,5 1,5
+ FBD x
4,5 4,9
x
2,5 1,5
. . . (E1)
- 6,07 Kips ⇒ - FBC = FBD x
2 4,9
x
2,5 2
- 6,07 Kips x
2,5 2
+ 7,58 Kips . . . (E2)
Pagina 10 de 26
ESTATICA
Igualamos Ecuaciones y despejamos F BD, 11,25 5 - 67,77 Kips + FBD x = - FBD x + 7,58 Kips 7,35 9,8 FBD x
11,25 7,35
+ - FBD x
5 9,8
11,25
= 75,35 Kips ⇒ FBD x
+
7,35
FBD x 2,04 = 75,35 Kips ⇒ FBD =
5
= 75,35 Kips
9,8
75,35 Kips 2,04
FBD = 36,93 Kips C Sustituimos FBC en E1 para así obtener el valor de FBC, FBC x 1,5 - 36,93 Kips x 4,5 = - 40,66 Kips 2,5 4,9 1,5 2,5 FBC x = - 40,66 Kips + 33,94 Kips ⇒ FBD = - 6,72 Kips x 2,5 1,5
FBC = 11,2 Kips C Por simetría decimos que,
FBD = FDF = 36,93 Kips C FBC = FEF = 11,2 Kips C Análisis Nodo C:
ΣFY=0 - 11,2 Kips x C
FCD x
FAC
FCE
4 5
2 2,5
- FCD x
4 5
=0
= - 8,96 Kips ⇒ FCD = - 8,96 Kips x
4 FCD = 11,2 Kips T
4 2 FCD
3
1,5 FBC
5
ΣFX=0 3 + 11,2 Kips =0 2,5 5 FCE = 40,50 Kips + 6,72 Kips – 6,72 Kips
- 40,50Kips + FCE - 11,2 Kips x
1,5
FCE = 40,50 Kips T Por simetría decimos que,
FCD = FDE = 11,2 Kips T
Pagina 11 de 26 2
ESTATICA
EJERCICIO 6.1 (PROPUESTO) Con el método de los nodos, determine la fuerza en cada elemento de la armadura mostrada en la figura. Para cada elemento establezca se este se encuentra en tensión o en compresión. 315 N A 3m
B
C 1.25 m
4m
Cuerpo Libre: 315 N A 3m Bx
B C By
+
4m
RC
1.25 m
∑ MB = 0
-315 N * 4 m + RC * 5.25 m = 0 Pagina 12 de 26
ESTATICA
RC = (315 N * 4 m) / 5.25 m
→
RC = 240 N
∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0 By + RC – 315 N = 0
→
By = 315 N – RC
By = 315 N – 240 N
→
By = 75 N
Análisis del Nodo C FCA FCA RC
CA 3
C FCB 1.25 m
FCB
RC
Calculo de CA. CA2 = (3 m)2 + (1.25 m)2 →
CA = 3.25 m
Aplicando la Ley del Seno RC
FCA =
3m
FCB =
3.25 m
1.25 m
FCA = (RC * 3.25 m) / 3m
→
FCA = (240 N * 3.25 m) / 3 m
FCA = 260 N
Pagina 13 de 26
ESTATICA
→
FCB = (RC * 1.25 m) / 3 m
FCB = (240 N * 1.25 m) / 3 m
FCB = 100 N
Análisis del Nodo B.
FBA 5 B
FBx
3 4 FBC
RC
Calculo de Medida BA. 2
2
BA = (3 m) + (4 m)
2
→
BA = 5 m
+ ∑ Fx = 0 FBA * 3/5 m + FBy = 0 FBA = (- FBy * 5 m) / 3 m FBA = -125 N
→
FBA = (-75 N * 5 m) / 3 m
FBA = 125 N
Pagina 14 de 26
ESTATICA
Con el uso del método de los nodos, determine la fuerza en cada uno de los nodos de los elementos de la armadura mostrada . 2000 lb
1000 lb 12 ft
A
B
12 ft
C
8 ft D 6 ft
E 12 ft
6 ft
Solución: Cuerpo Libre: 2000 lb
1000 lb 12 ft
B
Cy 12 ft
Cx
A
C 8 ft D
E RE
6 ft
12 ft
6 ft
+ ΣMc = 0 2.000lb*24 ft + 1.000 lb*12 ft – RE*6 ft = 0 RE= (2.000 lb*24 ft + 1.000*12 ft) / 12 ft → RE = 10.000 lb
Pagina 15 de 26 Sección II-332
ESTATICA
+ ↑ ΣFy = 0 - 2.000 lb – 1.000 lb + 10.000 lb + Cy = 0 Cy = 2.000 lb + 1.000 lb – 10.000 lb
→
Cy = - 7.000 lb
↓
Cy = 7.000 lb
Análisis nodo A 2.000 lb
A 4
FAD
2.000 lb
FAB 5
5
4
FAB
3
3 FAD
Aplicando La Ley del Seno: 2.000 lb _ 4
FAB =
FAD =
3
5
FAB = ( 2.000 lb * 3 ft) / 4 ft
→
FAB = 1.500 LB
FAD = ( 2.000 lb * 5 ft) / 4 ft
→
FAD = 2.500 LB
Análisis nodo D
2.500 lb
FDB
A
FDE
FDE
2.500 lb
3 FDB
5
5 Pagina 16 de 26
ESTATICA
Aplicando La Ley del Seno: 2.500 lb _ 5
FBD
FDE
=
= 5
3
FBD = (2.500 lb * 5 ft) / 5 ft
→
FBD = 2.500 lb
FDE = [(2.500 lb * 3 ft) / 5 ft] * 2
→
FDE = 3.000 lb
Análisis nodo B 1.000 lb
B 4
3
3
FBD = 2.500 lb
FBC 4 FBE
+ ↑ ΣFy = 0 -1.000 lb - (4/5) * 2.500 lb – (4/5) FBE = 0 FBE = 5 [ -1.000 L - (4/5) * 2.500 lb] / 4 FBE = 3.750 lb
→
FBE = - 3.750 lb
↑
+ → ΣFX = 0 FBC – 1.500 lb – 2.500 Lb * 3/5 – 3.750 * 3/5 = 0 FBC = 1.500 lb + 2.500 Lb * 3/5 + 3.750 * 3/5
→
FBC = 5250 lb
Pagina 17 de 26
ESTATICA
Análisis nodo E FBE = 3.750 lb
FEC 5
4
5
3
FED = 3.000 lb
4 3
E
RE = 10.000 lb + → ΣFx = 0 3.000 lb + 3.750 lb * 3/5 + FEC * 3/5 = 0 (-3.000 lb - 3.750 lb * 3/5) 5 FEC =
→
FEC = -8.750 lb
←
FEC = 8.750 lb
3
Análisis nodo C Cy = 7.000 lb
FCE = 8.750 lb
C 4
3
Cx = 0
FCE = 8.750 lb ΣFx = - 5.250 lb + 8.750 lb * 3/5 = - 5.250 lb + 5.250 lb = 0 ΣFy = - 7.000 lb + 8.750 lb * 3/5 = - 7.000 lb + 7.000 lb = 0
Con los valores de FCE y FCB se pueden determinar las reacciones Cx y Cy considerando el equilibrio de este nodo.
Pagina 18 de 26
ESTATICA
Aplicando La Ley del Seno: 2.500 lb _ 5
FBD
FDE
=
= 5
3
FBD = (2.500 lb * 5 ft) / 5 ft
→
FBD = 2.500 lb
FDE = [(2.500 lb * 3 ft) / 5 ft] * 2
→
FDE = 3.000 lb
Análisis nodo B 1.000 lb
B 4
3
3
FBD = 2.500 lb
FBC 4 FBE
+ ↑ ΣFy = 0 -1.000 lb - (4/5) * 2.500 lb – (4/5) FBE = 0 FBE = 5 [ -1.000 L - (4/5) * 2.500 lb] / 4 FBE = 3.750 lb
→
FBE = - 3.750 lb
↑
+ → ΣFX = 0 FBC – 1.500 lb – 2.500 Lb * 3/5 – 3.750 * 3/5 = 0 FBC = 1.500 lb + 2.500 Lb * 3/5 + 3.750 * 3/5
→
FBC = 5250 lb
Pagina 17 de 26
ESTATICA
+↑ ∑ Fy = 0 Fby + RC - 2,4 k N = 0
→
Fby = - 3.36 kN + 2.4 kN → Fby = 0.96 kN
Fby = - RC + 2,4 k N Fby = - 0.96 kN
↓
+ → ∑ Fx = 0 Fbx - 1,8 k N = 0 →
Fbx = 1,8 k N
Análisis del Nodo D. 2.4 kN FDA FDA
2.4 kN
DA 2m
D FDC
.2.1 m
FDC
Calculo de CA. DA2 = (2 m)2 + (2.1 m)2 →
DA = 2.9 m
Aplicando la Ley del Seno 2.4 kN
FDA =
2m
FDC =
2.9 m
2.1 m
FDA = 2.4 kN * 2.9 m / 2 m
→
FDA = 3.48 kN
FDC = 2.4 kN * 2.1 m / 2 m
→
FDC = 2.52 kN
Pagina 20 de 26
ESTATICA
Análisis del Nodo B.
FBA 2.5 FBx
B
2
1.5 FBC
RC
+↑ ∑ Fy = 0 Fby - FAB * (2/2.5) m = 0
→
FAB = (0.96 kN * 2.5 m )/ 2 m
FAB = 1.2 kN
+ → ∑ Fx = 0
Fbx + FBC + FAB * (1.5/2.5) m = 0 FBC = - Fbx – FAB * (1.5/2.5) m FBC = - 1.8 kN – 1.2 kN * (1.5/2.5) m
→
FBC = - 2.52 kN
FBC = 2.52 kN ←
Pagina 21 de 26
ESTATICA
Análisis del Nodo C. FCA
FCB
B
FCD
RC
+↑ ∑ Fy = 0 RC + FAC = 0
→
FAC = - RC
→
FAC = - 3.36 kN
FAC = 3.36 kN ↓
Pagina 22 de 26
ESTATICA
EJERCICIO 6.5 (PROPUESTO) Con el método de los nodos, determine la fuerza en cada elemento de la armadura mostrada en la figura. Para cada elemento establezca se este se encuentra en tensión o en compresión. 6 KN
A 3 KN
3 KN 1,5 m
C
B
D E
1m
2m
2m
1m
Cuerpo Libre 6 kN
A 3 kN
3 kN 1.5 m C
B Fcx
1m
D Fcy 2m
RD 2m
E
1m
+ ∑ MC = 0 3 k N * 1 m – 6 kN * 2 m + RD * 4 m - 3 kN * 5 m = 0 RD = (6 k N * 2 m + 3 kN * 5 m - 3 kN * 1 m) / 4 m
→
RD = 6 k N Pagina 23 de 26
ESTATICA
+↑ ∑ Fy = 0 FCy + RD - 3 k N – 6 Kn – 3 kN = 0 →
→ FCy = 6 k N
FCy = 3 k N + 6 Kn + 3 kN - 6 k N
+ → ∑ Fx = 0
Calculo de medidas. AE2 = (1.5 m)2 + (3 m)2
→
AE = 3.35 m
→
AD = 2.5 m
AE = AB = 3.35 M AD2 = (1.5 m)2 + (2 m)2
AD = AC = 2.5 M
Análisis del Nodo E.
3 kN FEA FEA 3 kN
3.35 m 1.5 m
E FED FED
3m
Pagina 24 de 26
ESTATICA
Aplicando la Ley del Seno 3 kN
FEA
FED
=
=
1.5 m
3.35 m
3m
FEA = 3 kN * 3.35 m / 1.5 m
→
FEA = 6.7 kN
FED = 3 kN * 3 m / 1.5 m
→
FED = 6.0 kN
Análisis del Nodo D.
FDA 1.5 FDC
2.5 2 D
FDE
RD +↑ ∑ Fy = 0 RD + FDA * (1.5 / 2.5) m = 0
→
FDA = (- RD * 2.5 m) / 1.5 m
FDA = (- 6kN * 2.5 m) / 1.5 m
→
FDA = - 10 k N
→
FDC = - 2 kN
FDA = 10 k N ↓
+ → ∑ Fx = 0 - FDC + FDA * (2 / 2.5) m + FDE = 0 FDC = - 10 kN * (2 / 2.5) m + 6 kN FDC = 2 kN ← Pagina 25 de 26
ESTATICA
Nota: Como la estructura es simétrica entonces tenemos que: FEA =FBA=6.7 kN FDA = FCA = - 10 k N FEC = FCB = 6 kN
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