Rangkaian Seri RLC Tanpa Sumber (Source Free)
{0 Comments} Comments} Posted by angga by angga pradana in Rangkaian RLC Orde 2
Bagikan
Gambar 1 (a) Rangkaian RLC seri yang mirip dengan (b)
rangkaian paralel RLC. Paramemter dan elemen yang menyusun kedua rangkaian ini adalah identik Sekarang kita akan menghitung respon alami dari rangkaian yang tersusun atas resistor ideal, induktor ideal, dan kapasitor ideal yang dihubungkan secara seri. Resistor ideal dapat direpresentasikan dengan sebuah resistor yang terhubung seri dengan rangkaian LC atau RLC; ia digunakan sebagai simbol rugirugi ohmic atau rugi-rugi yang timbul pada bahan inti induktor yang bersifat fer romagnetik; atau resistor ini merupakan representasi dari divais elektronik yang menyerap energi. Rangkaian seri RLC merupakan kembaran dari rangkaian paralel RLC, dan dalam analisa kedua rangkaian ini terdapat beberapa kemiripan. Gambar 1a menunjukkan rangkaian RLC seri. Dengan menerapkan hukum Kirchoff tegangan (KVL) pada loop tunggal rangkaian RLC seri te rsebut, diperoleh persamaan integral-diferensial berikut ini:
dan mari kita bandingkan dengan persamaan diferensial-integral yang diperoleh dari rangkaian RLC seri yang ada pada gambar 1b
Bila kedua persamaan integral-derivatif di atas dideferensialkan satu kali, maka diperoleh persamaan diferensial orde dua dengan bentuk yang hampir mirip :
persamaan 30
persamaan 31 Semua pembahasan yang telah kita lakukan pada persamaan RLC paralel paralel dapat langsung diterapkan dan berlaku juga untuk persamaan RLC seri; kondisi awal (initial condition) tegangan kapasitor ekivalen dengan initial condition arus induktor dan begitu juga dengan initial conditon arus induktor ekivalen dengan tegangan kapasitor; respon tegangan juga menjadi respon arus. Ingat bahwa dalam rangkaian paralel, tegangan tiap komponen adalah sama, sedangkan untuk rangkaian seri, arus tiap komponen adalah sama (jadi kita ganti v(t) yang kita gunakan pada pembahasan rangkaian paralel dengan i(t) pada pembahasan rangkaian seri ini). Oleh karena itu karakteristik tiga macam kondisi (over damped, c ritically damped, dan under damped) antara rangkaian seri RLC sama dengan rangkaian paralel RLC. Penjelasan Singkat Untuk Respon rangkaian RLC seri
Penjelasan singkat dari rangkaian seri RLC ini dapat dipahami dengan mudah setelah anda membaca respon dari rangkaian paralel RLC, untuk rangkaian RLC se ri pada gambar 1a, bila rangkaian tersebut bersifat teredam berlebih (overdamped) maka s1t
i(t) = A 1e + A2e
s2t
dimana
oleh karena itu
Apabila rangkaian bersifat teredam kritis (critically damped) maka bentuk persamaannya menjadi -αt
i(t) = e (A1t + A2) sedangkan untuk respon redaman kurang (underdamped) bentuk persamaannya adalah
-αt
i(t) = e (B1cosωdt + B2sinωdt) dimana nilai ω d adalah
Berikut ini rangkuman respon alami rangkaian RLC (tanpa sumber)
Tabel 1 Rangkuman persamaan respon rangkaian RLC seri dan paralel
Ini adalah bukti bahwa kita menggunakan parameter-parameter yang identik seperti saat menganlisa rangkaian paralel RLC, yaitu α, ω 0, dan ωd. Semakin besar nilai α (konstanta redaman) sedangkan nilai ω0 dibuat tetap dalam rangkaian paralel RLC atau se ri RLC, maka respon rangkaiannya cenderung bersifat redaman berlebih (over damped). Yang perlu kita perhatikan hanyalah rumus untuk menghitung α, untuk rangkaian paralel RLC rumusnya α = 1/2RC sedangkan untuk rangkaian seri RLC rumusnya α = R/2L; sehingga nilai α dapat ditingkatkan yaitu dengan cara menaikkan menaikk an resistansi R untuk rangkaian seri RLC atau menurunkan nilai resistansi R untuk rangkaian paralel RLC. Persamaan-persamaan penting untuk rangkaian RLC paralel dan seri dirangkum pada tabel 1 . Contoh Kasus 1
Ada rangkaian seri RLC pada gambar 2 dimana nilai L = 1 H, dan R = 2 kΩ, C = 1/401 μF, nilai awal i(0) = 2 mA, dan vc(0) = 2 V, hitunglah i(t) dan gambarkan grafiknya saat t > 0.
Gambar 2 Rangkaian sederhana RLC seri tanpa sumber dengan se jumlah
energi awal yang tersimpan dalam kapasitor dan induktor saat t = 0. -1
Kita dapatkan nilai α = R/2L = 1000 s dan ω0 = 1/√(LC) = 20.025 rad/s. Karena α < ω0, maka rangkaiannya bersifat redaman kurang (underdamped), oleh karena itu kita harus menghitung nilai ω d = 2 2 √(ω0 – α )dan nilainya adalah ω d = 20 000 rad/s. r ad/s. Maka kita bisa tuliskan persamaan i(t) dalam bentuk respon redaman kurang (underdamped) i(t) = e
-1000t
(B1 cos 20000t + B2 sin 20000t)
Sekarang kita akan menghitung dua konstanta B 1 dan B2 dengan memanfaatkan nilai awalnya (initial condition) yaitu i(0) = 2 mA, lalu kita subsitusikan ini ke persamaan i(t) pada saat t = 0, 0
i(0) = e (B1 cos 0 + B2 sin 0) = 0.002 A B1 = 0.002 Nilai B1 sudah kita dapatkan, selanjutnya kita hitung B 2 dengan cara mencari initial condition untuk turunan dari persamaan i(t). Kita diferensialkan dulu i(t) menjadi
lalu kita subsitusikan t = 0 ke turunan i(t), dan ingat hubungan antara arus dengan tegangan pada kapasitor :
untuk menghitung vL (0), kita gunakan hukum Kirchoff tegangan (KVL) pada loop tunggal rangkaian seri tersebut menghasilkan vL(0) – (0) – v vc(0) + vR(0) = 0 vL(0) = vc(0) – (0) – i(0) i(0) R
maka di peroleh nilai B 2 = 0
Jadi, respon dari i(t) adalah i(t) = 2e
-1000t
cos 20000t mA saat t > 0
Untuk mendapatkan gambar grafik yang bagus, kita akan memecah persamaan itu ke dalam dua bentuk -1000t -1000t gambar yaitu gambar fungsi eksponensial yang kembar 2e dan -2e , gambar grafiknya ditunjukkan dengan garis putus-putus dalam gambar 3. Lalu kita gambar fungsi sinusnya dengan titik bantu saat 20000 t = 0, π/2, π, dan seterusnya. Atau nilai t = 0.07854k ms, dimana k = 0,1,2, … amplitudo dari gelombang sinus ini tidak tetap, tetapi semakin lama semakin mengecil dibatasi oleh fungsi -1000t -1000t redaman dari eksponensial 2e untuk membatasi amplitudo positif dan -2e untuk membatasi amplitudo negatif.
Gambar 3 Respon arus pada
contoh rangkaian RLC seri gambar 2 yang bersifat redaman kurang (underdamped). Grafik dari i(t) ditunjukkan oleh garis merah sedangkan garis putus-putus adalah garis bantuan yang berasal dari fungsi eksponensial. Sebagai contoh terakhir, kita akan membahas contoh rangkaian RLC seri dengan sumber dependent (tidak bebas). Apabila tidak ada arus atau tegangan yang ditanyakan dalam soal yang mengontrol sumber tidak bebas (dependent) tersebut, maka kita bisa menyederhanakannya ke dalam rangkaian ekivalen Theveninnya yang tersambung ke kapasitor dan induktor. Lalu kita cari persamaan diferensialintegralnya, lalu mendiferensialkannya untuk mendapatkan persamaan diferensial orde dua. Contoh kasus 2
Tentukanlah nilai v c(t) dalam rangkaian pada gambar 4a, saat t > 0.
Gambar 4 (a) Sebuah rangkaian
RLC yang berisikan sumber dependent (tidak bebas) (b) Rangkaian yang diguanakan untuk mencari resistansi thevenin dari gambar 5a Karena kita hanya ingin menghitung vc(t), sedangkan sumber dependen dalam rangkaian itu tidak dikontrol oleh nilai v c(t), maka kita bisa menyederhanakan rangkaian RLC tersebut dengan teorema Thevenin. Karena pada saat t > 0, t idak ada sumber independen (bebas) yang aktif, maka rangkaian pengganti Theveninnya hanya berupa sebuah resistor ekivalen Thevenin (tanpa sumber teganagn Thevenin). Resistansi ekivalen Thevenin ini akan tersambung secara seri dengan induktor dan kapasitor saat t > 0. Karena pada saat t > 0 tidak ada sumber independen yang aktif, maka untuk mendapatkan resistansi Theveninnya kita harus menggunakan sumber sebagai bantuan. Dalam kasus ini kita akan menggunakan sumber arus independen 1 A sepeti ditunjukkan pada gambar 4b. Dari rangkaian tersebut, dengan menggunakan hukum Kirchoff tegangan (KVL), kita dapatkan nilai v test vtest + i (9Ω) + i (2 Ω) – 3i – 3i = 0 vtest = (9Ω) (1 A) + (2 Ω) (1 A) + 3 (1 A) = 8 V -1
Jadi, Req = vtest/1A = 8V/1A = 8 Ω, sehingga nilai α = R/2L = 8Ω/2(5H) = 0.8 s dan ω0 = 1/√(LC) = 1/√(5H)(0.002F) = 10 rad/s, karena α < ω0 maka rangkaian ini bersifat redaman kurang (underdamped) 2 2 dengan nilai ωd = √((ω0 – α ) = 9.968 rad/s dan bentuk pe rsamaan responnya adalah: -0.8t
vC(t) = e
(B1 cos 9.968t + B2 sin9.968t)
persamaan 32
Kita akan menghitung nilai konstanta B 1 dan B2 dengan terlebih dahulu mencari nilai awal (initial condition) yaitu nilai saat t < 0, perhatikan bahwa saat t < 0 (t = 0 -), karena keberadaan kapasitor yang pada saat itu mengalami open circuit maka i L(0 ) = 0. Dengan menggunakan hukum Ohm, i(0 ) = 10V/2Ω = 5A, sehingga
-
-
vC(0) = vC(0 ) = 10 – 10 – 3i(0 3i(0 ) = 10 – 10 – 15 15 = -5 V Subsitusikan nilai v C(0) ini ke persamaan 32, maka nilai B 1 = -5. Untuk mendapatkan nilai B2, kita diferensialkan/turunkan persamaan 32, lalu subsitusikan t = 0 untuk mendapatkan dv(0)/dt menghasilkan
Dari rangkaiannya kita bisa lihat bahwa pada saat t = 0, arus i(t) sama dengan arus kapasitor ic(t) karena terangkai se ri, maka arus i(t) dapat dituliskan
Subsitusikan persamaan ini ke persamaan 33 4 + 9.968B2 = 0 B2 = -0.4013 sehingga persamaan respon vC(t) adalah vC(t) = -e
-0.8t
(5 cos 9.968t + 0.4013 sin9.968t) Volt, t > 0
Grafik dari vC(t) ditunjukkan pada gambar 7 berikut ini
Gambar
Bentuk grafik dari respon vC(t) 7 Bentuk
