Razones Trigonométricas de Ángulos Agudos

Prof. Gilberto Espinoza Chávez

Trigonometría 5º 

Definimos con respecto a :

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Resolución de problemas - Resu Resuel elve venn prob proble lema mass que involucran razones trigon trigonomét ométric ricas as de ángulos agudos.

DEFINICIÓN La razón trigonométrica de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como el cociente que se obtiene al dividir las medidas de las longitudes de dos de los lados del triángulo rectángulo con respecto a uno de los ángulos agudos.

b

A

a

α

c

Catetos (con respecto a ) Hipotenusa (H)

CO H

a b

Coseno de

cos

CA H

c b

Tangente de

tg

Cotangente de

ctg

CA CO

c a

Secante de

sec

H CA

b c

Cosecante de

csc

H CO

b a

1 3

Por ejemplo: sen

CO CA

csc = 3

Siempre  y cuando: α=β

cos α  . sec α  =1

ELEMENTOS: Cateto opuesto (C.O.)

a

Cateto Cateto ad acente C.A.

c

tg α  . ctg α  =1

NOTA: 1. En un triángulo rectángulo hipotenusa > catetos

b

Entonces 0 < sen < 1 0 < cos < 1

Cumpliéndose: (Teorema de Pitágoras):

(agudo)

b2 = a2 + c2

β

c

a

inversas  senα  . csc α  =1

B m ∢ CAB

a c

I N V E R S A S

α

Razones trigonométricas recíprocas:

Sea el triángulo rectángulo ABC recto en B. C

sen

Seno de

sec > 1 2

2. sen 3.

sen sen

≠

csc > 1 Senα

2

b

Razones trigonométricas de ángulos complementarios senα = cosβ tgα = ctgβ secα = cscβ

Siempre y cuando: α

+ β = 90º

(Complementarios)

Prof. Gilberto Espinoza Chávez

Trigonometría 5º 

EJERCICIOS EJERCICIOS DE DE APLICACIÓN APLICACIÓN

APLICACIÓN 1. En un triángulo rectángulo ABC recto en B reducir:

1. En un triángulo ABC recto en C simplificar: E = a . ctgA – c . senB a) 0

E = senA secC + cosC cscA

Solución:

C Del gráfico: b

A

a

E=1+1

B

c

a b x b a

E

a b x b a

a) 1

cateto adyacente hipotenusa

debe estar dentro de un triángulo rectángulo.

3

Por Pitágoras: 2

2

3

=

2

1

+

 BC  =2

2

BC 

2

d) 3

e) -1

c) 3

+

d) 4

e) 5 3

B

2

4x + 2 A

1

C

7x + 1 ctg α  2

a) 2 b) 3/2 c) 5 d)

B Piden: tg α  =

c) 0

5. Del gráfico hallar:  E  = 3 (tg θ  + tg β )

C 2

b) 2

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Solución:

α

b) 2

4. Del gráfico calcular “x”. Si: tgB =

3

A

e) 1/2

=

1

3

d) b

3. En un triángulo rectángulo ABC recto en B se cumple que: 2tgA = cscC. Calcular:  E  2 senA 3tgC 

E=2

2. Si: es un ángulo agudo tal que cosα  = . Calcular tg .

1

c) a

2. En un triángulo rectángulo ABC recto en B reducir: E = (secA - senC)ctgA - cosC

a) 1

Del dato: cosα  =

b) 1/3

2

m 2m 3

α

θ

β

e) 15 2 2 1

⇒

2 2

Tener en cuenta las páginas 141 y 142 del libro del alumno del MED/Santillana 

6. Si: sec x = 7 . Calcular:  E  tg 2 x 42  senx a) 10 b) 12 c) 14 d) 18 e) 20 7. En un triángulo ABC recto en A se cumple tgB = 0,75; además: a – b = 6 m Hallar su perímetro. =

+

Prof. Gilberto Espinoza Chávez

a) 12 m

b) 24 m

Trigonometría 5º 

c) 36 m

d) 42 m

e) 45 m 14. Determina el valor de “x”: Si  sen(12 x + 8) . csc(14 x − 4) = 1

8. En un triángulo ABC recto en C se cumple 3senA = 2senB. Calcular:  E  = 13 senA +6tgB a) 7 b) 9 c) 11 d) 13 e) 15 9. Si:  senα  = a)

5

b)

2 3

15. Determina el valor de “x”: Si además  x + y = 25º

c)

5

5

d)

2

5 5

e)

2 5

11. Si: tg

−

5º ) . ctg ( 4 y

−

3x

+

30º )

=

cos( x

20º ) . sec(6 x

+

 y

+

b

+

40º ) . ctg (3a

+

 y

+

y

b

−

−

60º )

=

1

Halla el valor de

“x”

x+y

x-y

β

19. Si se cumple que:

tg ( a

+

−

60º )

=

1

Además a + b = 70º.

Halla el valor de “a” 20. Si se cumple que:

6 xy

cos( x

+

30º ) . sec(3 y

+

x

−

10º )

=

1

Halla el valor de

“y”

5 ; determine tgθ 8

21. Si  senθ  . cos θ  .tg θ  . csc θ  .ctg θ   22. Si

θ

=

tg θ  . sec θ  . cos θ  .ctg θ  .senθ   =

9

Halla  senθ 

15 48

Halla cos θ 

60

23. Siendo tg ( x + 10º ) = ctg ( x − 40º ) Halla el valor de “x” α

12. Si  senθ  =

7 4

.Calcular:

b) 2/3

c) 5/3

1;

17. Si se cumple que:  sen(2 x + 5º ) . csc 21º = 1 Halla el valor de “x” 18. Si se cumple que:

a) 0,4 b) 0,5 c) 0,6 d) 0,8 e) 1

a) 1/3

3 y

3

10. Del gráfico, calcular ctg 2β a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 8

+

16. Determina el valor de “x”: Si cos(5 x + 10º ) . sec(7 x − 4º ) = 1

donde “α” es agudo. Calcule: ctg

2

tg ( 2 x

E

3 sec

d) 7/3

24. Si  sen(3 x − 20º ) . sec(2 x + 95º ) = 1 Halla el valor de “x” 7 tg

e) 1

13. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º) tgA = 4tgC. Si el mayor lado mide 8 5 m. ¿Cuál es el área del triángulo? a) 16 cm2 b) 32 c) 64 d) 8 e) 128

25. Siendo tg (

 x

26. Siendo  sen(2

+

 x

 y

+

+

60º ) .tg (  x

 y

−

10º ) −1

y

+

20º ) . sec(  x

−

−

y

+

=

50º )

0

−

Halla el valor de “x”

1 =0

Halla el valor de “x”

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Trigonometría 5º 

 sen(2 x) . sec(4 y) = 1 27. Si:  Halla el valor de “y”  x −  y = 15

44. Si

1 sec( 4 x

+ 8)

 sen(12 x

=

Papiro de Ahmes

2.

Plimpton 322

3.

Escritura cuneiforme

29. Si tg (3 x − 15º ) − ctg (2 x − 25º ) = 0 Hallen el valor de “x”

4.

Escritura Hieratica

30. Si sec(8 x + 9º ) − csc(7 x + 6º ) = 0 Hallen el valor de “x”

5.

Terna pitagórica

6.

Hiparco de Nicea

7.

Andrew Wiles

8.

Claudio Ptolomeo

9.

Francois Viete

28. Si

tg (

4

α  

α  

3

3

−

además

31. Si

 x

) .tg ( −

 y

−

3kx 4

)

=

1

Halla el valor de “k”

10 º

=

cos 65º ). sec( x

− 15º

) = 0 Hallen

el valor de “x”

32. Si  sen(5 x − 30º ) = cos(2 x + 15º ) Hallen el valor de “x” 33. Si tg (2 x − 5º ).tg (3x − 5º ) = 1 Hallen el valor de “x” 34. Si cos( x − 2 y + 16º ) = sec(3 y +  x + 6º ); además  x − y = 22 Hallen el valor de “x” e “y”

11. Isaac Newton 12. Johann Muller Regiomontano

36. Si csc( x −  y + 8º ) = sec(2 x + y − 14º ) Hallen el valor de “x” e “y”

13. John Napier

37. Si

14. Leonhard Euler

sec(2 x + 10º ) = csc( x + 20º ) Hallen

el valor de “x”

38. Si  sen(2 x + 50º ). sec(80º −3x) =1 Hallen el valor de “x” sec(

2 x

2

+

4 x

6 x

) − csc( x

+ 3º ) = 0

Hallen el valor de “x”

40. Si  senx − cos 3x = 0 Hallen el valor de “x” 41. Si

tg (5 x

2

+

3º ) = ctg (6 x

18º ) Hallen

+

el valor de “x”

42. Si sec(3 x + 8º ) − csc(2 x − 3º ) = 0 Hallen el valor de “x” 43. Si  sen( x 2

+

el valor de “x”

10. Georges Joachim Rheticus

35. Si tg (2 x − 14º ) = ctg ( x − 22º ) Hallen el valor de “x”

39. Si

2º ) Hallen

Investigar /bibliografía/aportes a la trigonometría/obras/gráficos. 1.

3kx

+

6º ) −

1 sec 5 x

=

0 Hallen el valor de “x”

15. Richard lawrence Taylor 16. Último teorema de Fermat Presentar por escrito en papel A5 o en la mitad de una hoja A4. Tipo libro. Presentación: 10 de julio del 2013.