RAZONAMIENTO MATEMATICO
Resoluc Resolución: ión:
ANALISIS COMBINATORIO COMBINATORIO
R
2 0 1 9 ! 3 2 ! 1 3 ! 1 9 ! 1 4 !1 3 !
DOCENTE: HENRY ARAUJO SALAS
20
R
Concepto.- Es la parte de la matemática que estudia los diversos arreglos o selecciones que se puede realizar con los elementos de un conjunto dado, o con parte de los elementos de dicho conjunto.
Factorial de un número (n!) Definición: El factorial de un número entero no negativo se define como el producto de todos los números que empiezan en el número dado y disminuyen consecutivamente hasta la unidad. Representación: Factorial de “n” n ! n
n 2 . . . . .. 3 2 1 n ! 1 2 3 .. .. . . .. n 2 n 1 n
6
14 8
60
4
7
8
4 7
Rpta.B
7
PROBLEMA 02:
x 9 ! x 7 ! 14 ! x 8 ! x 7 ! a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 6
n
Resoluc Resolución: ión: Factorizando el denominador.
n
0! 1
4! 4 3
2 1
1! 1
5! 5 4
2! 2 1
6! 6 5
4 3 2 1
3! 3 2 1
7! 7 6
5 4 3 2 1
3 2
R
Hallar “x” en:
n
n! n n 1
x 9 ! x 7 ! 14 ! x 8 x 7 ! x 7 ! x 9 ! x 7 ! 14 ! x 7 ! x 8 1 x 9 !
1
x! x x
1 !
100 ! 100 99 !
14 !
9 x 9 x 8 ! x
El único número que no cumple con la definición que se da para factorial de un número, que sin embargo posee factorial.
x 9 x 8 ! 14 !
Es el caso. 0 ! 1
Problemas resueltos
x 8
PROBLEMA 01:
1 4 x
6
Rpta.C
PA RA TIIIII TIIIIIII IIII! Calcular “x” si:
Calcular “R”
R
14 !
2 0 ! 3 !1 3 !
1 2 0 !23 !
1 9 ! 1 4 !
a) 4 3 7
b) 8 4 7
d) 3 1 2
e) N.A
www.academiafleming.com.pe Academia Alexander Fleming
c) 5 7 3
-1-
4!
119 !
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
x !!
5 !
x !!
c) 3
Melgar 208 Santa Catalina 508 Peral 211
289336 220397 212124
Principio Aditivo.- Se aplica cuando las operaciones que vas a realizar, no pueden actuar simultáneamente. El conectivo “o” indica que las operaciones o eventos no pueden actuar simultáneamente y para hallar el número total de maneras simplemente hay que sumar las posibilidades de cada operación.
PERMUTACION (Variación).-
Se aplica cuando nos piden agrupar y ordenar a la vez parte o todos los elementos de un conjunto interesando el orden. Las permutaciones pueden ser:
P. Lineales.- Es un arreglo u ordenación de elementos en línea recta. El número de permutaciones de “n” elementos tomados de “k” en “k” se puede calcular así:
Problema resuelto
Rubí desea cruzar una laguna, para ello puede utilizar 3 botes, 5 lanchas o 2 deslizadores. ¿De cuántas formas podrá cruzar la laguna, utilizando uno de los medios de transporte indicados? Solución: En esta variedad de problemas ; primero preguntémonos que es lo que me piden realizar y con qué vamos realizar lo pedido. En este caso nos dan 3botes, 5 lanchas, 2 deslizadores. Nos piden Cruzar una laguna; ahora nos preguntamos para cruzar la laguna lo haces en bote o en lancha o en deslizador , podemos observar que el conectivo que une es el o por lo tanto es principio de suma. #de maneras de cruzar = 3 + 5 + 2 = 10 maneras
n! n P k (n k)!
Observación: Cuando k = n es una permutación de todos los elementos y se calcula así:
P(n) n!
Problema resuelto
El servicio de inteligencia de cierto país, desea enviar mensajes a sus agentes secretos. Solo quiere utilizar las siguientes letras: V, A, M , P ,I, R, O. Cuántas palabras claves de cinco letras pueden formarse, si ninguna letra puede repetirse?
Principio Multiplicativo.-
Llamado también Principio Fundamental del Análisis Combinatorio, se aplica cuando las operaciones que vas a realizar actúan simultáneamente (en forma conjunta). El conectivo “y” indica que las operaciones o eventos se realizan simultáneamente y para hallar el número total de maneras simplemente hay que multiplicar las posibilidades de cada operación.
Problema resuelto
Jessica dispone de 7 faldas, 5 blusas y 3 pares de zapatos, todos de diferentes colores entre sí. ¿De cuántas maneras puede vestirse?
los posibles mensajes que s e podrá enviar estará dado por todo los ordenamientos que se podrá realizar con esas 7 letras (V,A,M,P,I,R,O) pero ordenadas de 5 en 5, las posibles ordenaciones son halladas con una permutación.
P 5
7! (7 5)!
7! 2!
2! x3 x4 x5 x6 x7 2!
2520
Por tanto la cantidad MENSAJES:2520
Para que Jesica se pueda vestir tiene que escoger una falda y una blusa y un par zapatos Como podemos observar que se debe usar el conect ivo (Y) que me indica que debemos de multiplicar las cantidades
P. Circular.- Es un arreglo u ordenación de elementos alrededor de un objeto. El número de permutaciones circulares de “n” elementos se puede calcular así.
Pc (n)
#maneras de vestir = 7 x 5 x 3 = 105
Academia Alexander Fleming
Solución
7
Solución:
www.academiafleming.com.pe
; 0 k n
-2-
(n 1)!
Melgar 208 Santa Catalina 508 Peral 211
289336 220397 212124
Problema resuelto
Jorge, su novia y los 3 hermanos de su novia se sientan alrededor de una fogata. ¿De cuántas
Problema resuelto
Calcular el número de permutaciones diferentes que pueden formarse con las letras de la palabra AUTODIDACTA, tomados todas a la vez.
maneras diferentes pueden hacerlo si Jorge y Solución: La palabra contiene 11 letras, de las cuales 3 son A, 2 son T, 2 son D y el resto diferentes. Por tanto, el número de permutaciones diferentes es:
su novia desean estar juntos? Solución:
PR(11; 3, 2, 2,1,1,1,1)
11!
3! 2 ! 2 ! 1! 1! 1!
11x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4
H1
4
H3
COMBINACION.H2 Primero ordenamos por separado y luego todos juntos en forma circular:
La pareja y 2
x
Se aplica cuando nos piden seleccionar o forma grupos de personas parte o todos los elementos disponibles de un conjunto. En una combinación “NO interesa el orden” de los elementos”. El número de combinaciones de “n” elementos tomados de “k” en “k” se puede calcular así:
Todos juntos circular
P4
n
Ck
= 2 x (4-1)! = 12 maneras
Existen 12 maneras.
P. con Repetición.- Es un arreglo u ordenación de elementos no todos diferentes. (Algunos elementos se repiten). El número de permutaciones de “n” elementos con repetición se calcula así:
n Pk1,k 2 ,k 3 ,...,kr
n! k1!.k 2 !.k 3 !.....kr !
Donde: n = Número total de elementos ki = Número de elementos repetidos de cada tipo
www.academiafleming.com.pe Academia Alexander Fleming
-3-
n! ; k! (n k )!
0 k n
Problema resuelto
De 14 hombres. ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse 2 personas? a) 366 b) 364 c) 324 d) 346 e) N.A. Solución: Interesa seleccionar 11 hombres de 14, s e trata entonces de una combinación (solo la combinación selecciona o elije):
C
14 11
C
14 11
14 ! 11! 3 !
14
13
11! 3
12 2
11! 1
364
Melgar 208 Santa Catalina 508 Peral 211
289336 220397 212124
Problema resuelto
7 hombres y 5 mujeres se van a formar comités mixtos de 6 personas. ¿De cuantas maneras pueden formarse si en el comité hay dos mujeres? a) 520 b) 340 c) 220 d) 720 e) 640
1.- Anita este verano va a disfrutar de sus vacaciones a ICA y en su equipaje lleva las siguientes prendas de vestir: 5 vestidos, 8 faldas, 8 blusas (3 del mismo color y modelo) y 10 pares de calzados (2 del mismo color y modelo). De cuántas maneras diferentes podrá combinar dichas prendas de vestir, de tal modo que al vestirse lo puede hacer de 2 maneras: 1º) Vestido y un par de calzados. 2º) Blusa, falda y un par de calzados.
Solución: Punto En este caso tenemos que escoger 2 mujeres y 4 hombres. Las mujeres pueden escogerse de
C
7 4
5
C2
maneras y los hombres de
maneras, a su vez cada uno de los gru-
pos conformados por mujeres puede asociarse con cada uno de los grupos formados por hombres, entonces. 5
Nro de comite s= C 2
C
a) 435 b) 432 c) 477 d) 376 e) 396
7 4
Nro de com ites= 720
COMBINACIONES CON REPETICIÓN,Una combinación con repetición de “n” elementos de orden “r”, son todas las agrupaciones de un número “r” de elementos con repetición de un conjunto de “n” objetos.
k CR n
k n 1
C n
Problema resuelto
¿De cuantas maneras diferentes se puede comprar 7 lapiceros si solo existe 3 colores y de la misma marca y modelo? Solución: Estamos frente a una combinación(porque vamos a seleccionar ) con repetición(como solo hay 3 colores va tener que repetirse colores)
3 7
CR
3 7 1
C 7
9
C 7
www.academiafleming.com.pe Academia Alexander Fleming
9! 7!.2!
a) 12 b) 24 c) 36 d) 48 e) 72 02. Diez niños son ubicados en una misma fila de modo que 3 niños siempre están juntos. ¿De cuántas maneras se puede hacer?
K= número de elementos diferentes N= se quiere formar grupos de N elementos
02. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar en una fila de 5 butacas, 3 hombres y 2 mujeres de modo que las mu jeres no estén juntas?
a) 7! b) 8! c) 6x(7!) d) 6x(8!) e) 7x(8!) 03. ¿Cuántos números de 3 cifras significativas existen, tales que en su escritura aparezca la cifra 3 por lo menos una vez? a) 120 b) 240 c) 217 d) 127 e) 712
36
-4-
Melgar 208 Santa Catalina 508 Peral 211
289336 220397 212124
(en marcha) de 5 asientos, sabiendo que sólo 3 de ellos saben manejar y que dos personas no viajarán en dicho auto?
04. Se tiene 9 bolas numeradas del 1 al 9. ¿De cuántas formas diferentes, se pueden ordenar 3 bolas escogidas de las anteriores, de modo que al sumar los valores indicados en cada una, se obtenga siempre 9?
a) 1080 b) 1440 c) 360 d) 2160 e) 540
a) 16 b) 18 c) 24 d) 30 e) 36 05. Se tiene n vasos diferentes, de ellos deben ser llenados con limonada y los restantes con chicha, logrando obtenerse 28 formas de servido diferentes. ¿De cuántas maneras distintas se podría realizar el llenado si hubiera un vaso más y el servido sea 6 con limonada, 1 con gaseosa y el resto con chicha? a) 240 b) 250 c) 252 d) 280 e) 272 06. En una juguetería se quiere ordenar en una vitrina 6 juguetes diferentes, disponiendo de 9 juguetes. ¿De cuántas maneras diferentes se puede hacer? a) 6! b) 7! c) 4x(7!) d) 6x(7!) e) 12x(7!) 07. En una caja hay 3 corbatas americanas, 4 corbatas inglesas y 5 corbatas nacionales. Determinar de cuántas maneras diferentes puede elegirse 3 corbatas de modo que haya una de cada tipo: americana, inglesa y nacional. a) 12! b) 5! c) 4! d) 5! / 2 e) 12! / 2
Academia Alexander Fleming
a) 4 b) 6 c) 12 d) 24 e) 36 11. Con 6 hombres y 4 mujeres ¿Cuántos comités de 4 personas, se pueden formar de modo que: a) Hayan 2 hombres y 2 mujeres b) Siempre esté Patricia en el grupo c) Haya al menos 3 mujeres d) Haya al menos 1 hombre a) 60; 84; 25; 210 b) 90; 84; 24; 210 c) 60; 84; 25; 209 d) 90; 84; 25; 210 e) 90; 84; 25; 209 12. En una reunión hay 10 hombres y 5 mujeres, se van a formar grupos de 3 personas ¿Cuántos grupos diferentes se formarán si siempre debe haber por lo menos 2 mujeres en el grupo? a) 100 b) 50 c) 10 d) 110 e) 120 13. Se deben seleccionar 2 personas para ocupar los cargos de Director y SubDirector de un grupo de 5 personas igualmente capacitadas ¿De cuántas maneras se pueden ocupar dichos cargos?
09. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden acomodar 7 personas en un automóvil www.academiafleming.com.pe
10. De cuántas maneras se puede representar al número 10 como suma indicada de 3 sumandos enteros positivos y diferentes entre si?
-5-
a) 10 Melgar 208 Santa Catalina 508 Peral 211
289336 220397 212124
b) 20 c) 30 d) 24 e) 56
c) 256 d) 110 e) 23
14. Se tienen 12 puntos coplanares, no situados 3 de ellos en línea recta ¿De cuántas maneras pueden formarse triángulos teniendo a un punto determinado como vértice?
18. Una compañía desea ascender a tres de sus quince empleados de confianza para los cargos de gerente de ventas, finanzas y control de calidad. ¿Cuántas opciones distintas se tiene para efectuar estos ascensos? a) 455 b) 1365 c) 2730 d) 1050 e) 2100
a) 55 b) 45 c) 110 d) 220 e) 90 15. En una oficina hay 4 escritorios que pueden ser ocupados, cada uno, hasta por 2 personas. Si hay 3 secretarias ¿De cuántas maneras pueden sentarse? a) 24 b) 42 c) 56 d) 60 e) 72
19. ¿Cuántas comisiones integradas por un varón y una dama pueden formarse con cinco varones y ocho damas, si cierto varón trabaja exclusivamente con dos damas, las cuales tampoco pueden formar otras comisiones? a) 13 b) 18 c) 21 d) 24 e) 26
16. Seis amigos: Alex, Geovana, Rommel, Jesica, César y Noemí deciden brindar alrededor de una fogata circular ¿De cuántas maneras diferentes se podrían sentar si: César y Geovana tienen que sentarse juntos Alex tiene que estar a la diestra de Noemí? (Dar como respuesta la suma de ambos resultados) a) 70 b) 64 c) 72 d) 62 e) 54 17. Un ladrón quiere abrir una caja fuerte cuya clave consta de cuatro dígitos. Solamente sabe que los dígitos posibles son: 1; 3; 5 y 7. ¿Cuál es el número máximo de “combinaciones” erradas que podría intentar?
20. Se desea distribuir a 8 personas en dos grupos de 3 y 4 personas cada uno, de modo que cada grupo haga su fogata y sus integrantes se sienten alrededor de ellas. Calcule de cuántas formas se podrán ubicar. a) 17860 b) 5760 c) 5860 d) 840 e) 3360
Permutación:
es una técnica de conteo para acomodar, ordenar.
Combinación: es
una técnica de conteo que selecciona, agrupa.
a) 255 b) 279 www.academiafleming.com.pe Academia Alexander Fleming
-6-
Melgar 208 Santa Catalina 508 Peral 211
289336 220397 212124
e) 20
1.
2.
3.
¿De cuántas maneras diferentes pueden distribuirse entre 8 personas, 3 medallas de oro, 3 de plata y 2 de bronce, si a cada persona le toca una medalla? a) 480 b) 470 c) 650 d) 560 e) 360 En un video juego se emplea PASSWORD (código de entrada) que está formado por 6 letras seguida por una cifra. Calcule cuántos PASSWORDS se pueden formar, si se disponen de 3 letras A, 2 letras N y una letra I; tal que terminen en un dígito impar. a) 2 100 b) 420 c) 300 d) 1 420 e) 2 420 Se tienen 4 libros de aritmética y 3 libros de álgebra. ¿De cuántas formas se podrán ubicar en un estante donde sólo entran 5 libros y deben estar alternados? a) 144 b) 216 c) 72 d) 24 e) 256
4.
Un club tiene 15 miembros, 10 hombres y 5 mujeres. ¿Cuántos comités de 8 miembros se pueden formar, si cada comité debe tener 3 mujeres? a) 2 400 b) 2 430 c) 2 620 d) 2 520 e) 2 420
5.
¿Cuál es el máximo número de maneras distintas de matricular a 3 niños en 5 colegios disponibles, de todas las formas posibles? a) 120 b) 125 c) 60 d) 243
www.academiafleming.com.pe Academia Alexander Fleming
6.
Con 4 futbolistas y 8 nadadores, ¿cuántos grupos pueden formarse de 6 integrantes cada uno, de tal manera que en cada grupo entre cuando menos un futbolista? a) 696 b) 869 c) 896 d) 224 e) 600
7.
En un corral hay 10 jaulas diferentes y se han comprado 10 aves: 3 gallinas, 4 pavos y 3 patos. ¿De cuántas maneras distintas se puede colocar un ave en una jaula, de modo que se diferencien en su especie? a) 6! b) 7! c) 6x7! d) 4 200 e) 2 400
8.
¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar 9 personas alrededor de una mesa redonda con 5 asientos, si quedan 4 de pie? a) 3 000 b) 3 200 c) 3 024 d) 1 024 e) 1 200
9.
¿De cuántas maneras diferentes pueden ordenarse en un estante 6 libros de aritmética, 2 de historia y 4 de lógica?; si los libros de la misma materia siempre están juntos y además: I. No hay diferencia entre los libros de la misma materia II. Los libros de la misma materia son diferentes. a) 6; 12! b) 6; 10! c) 24; 12! d) 6; 48 e) 6; 288x6!
10.
-7-
De un grupo de 9 personas se quiere escoger un grupo de 7 para abordar un bote con 6 remos y con un timón. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar, sabiendo que de las 9 personas sólo 3 pueden llevar el timón? a) 6! x (72) Melgar 208 Santa Catalina 508 Peral 211
289336 220397 212124
b) 9! x (42) c) 6! x (84) d) 9! x 6! e) 6! x 3!
11.
12.
13.
14.
Se tiene tres cocheras de autos con capacidad para más de cuatro autos cada una; luego llegan 2 autos azules y 2 de color verde iguales. * Sea n el número de maneras en que se pueden distribuir en las cocheras. * Sea m el número de maneras en que se pueden distribuir en las cocheras, de tal manera que dos autos del mismo color no deben estar en la misma cochera. Calcule m + n. a) 81 b) 36 c) 117 d) 9 e) 172
16.
Juan, Manuel, Carlos y 5 amigos más participan en una carrera. ¿De cuántas maneras diferentes pueden llegar a la meta, de tal manera que Carlos llegue antes que Manuel y este llegue antes que Juan? (observación: considere en este caso que no hay empates).
17. Un árbitro ante el reclamo de 5 jugadores al cobrar un penal; muestra 3 tarjetas amarillas y 2 rojas. De cuántas maneras podrá mostrar dicho castigo. a) 8 b) 2 c) 10 d) 16 e) 6
En una caja se tiene 2 fichas rojas, 4 fichas blancas, 3 azules, 1 verde y 1 negra. ¿De cuántas maneras diferentes se les puede ordenar si se colocan una a continuación de otra? I. En forma de línea recta. II. En forma de círculo. Dé como respuesta la suma. a) 138 600 b) 12 600 c) 142 400 d) 150 200 e) 151 200
18. Cuántos
sonidos distintos pueden producirse con 7 teclas de un piano; si sólo se tocan 3 de ellas simultáneamente? a) 180 b) 200 c) 190 d) 210 e) 144
En una reunión se encuentran 5 hombres y 6 mujeres. ¿De cuántas maneras se pueden acomodar alrededor de una mesa sólo a 3 hombres y 3 mujeres, de manera que las mujeres no se sienten juntas? a) 4 800 b) 1 800 c) 24 000 d) 600 e) 2 400
Academia Alexander Fleming
¿De cuántas formas diferentes se pueden sentar en fila 4 hombres y 4 mujeres, si Jorge (que es uno de ellos) se quiere sentar junto y entre Alejandra y Flor (que son dos de ellas)? Además personas del mismo sexo no están juntos. a) 720 b) 360 c) 5!x2 d) 8! e) 144
a) 6 720 b) 4 360 c) 1 532 d) 1 236 e) 1 538
Calcula el número total de palabras diferentes que se pueden formar con todas las letras a la vez de la palabra KATTII, de manera que vocales iguales estén juntas. a) 120 b) 160 c) 24 d) 60 e) 30
www.academiafleming.com.pe
15.
-8-
1D 6C 11C 16A
2C 7D 12D 17C
3B 8C 13E 18D
4D 9E 14E
Melgar 208 Santa Catalina 508 Peral 211
5B 10C 15E
289336 220397 212124
