Teoremas de Energía

Análisis estructural 1 Fac. Ingeniería, U.A.Z.

Cálculo de desplazamientos por trabajo virtual Diego Miramontes De León

Resumen Uno Uno de los los méto método doss más más comu comune ness para para calc calcul ular ar los los desp despla laza zami mien ento toss en las las estr estruc uctu tura rass es el de la carg cargaa unit unitar aria ia.. Aunq Aunque ue se pued puedee recu recurr rrir ir dire direct ctam amen ente te a las las expr expres esio ione ness simpl imples es prop propue uest stas as por por el métod étodo, o, es útil til iden identi tifi fica carr que el méto étodo se basa en dos dos prin princcipio ipioss básico icos. Esto Estoss son el concepto de energía y la ley de la conservación de la energía. En el primero se deducen los teo teorema remass de Casti astigl glia ian no y de Enge ngesse sser, mien ientra tras que que con el segund gundo o se form formu ula el métod étodo o de la carga unitaria. Este método se presenta para el caso particular de vigas en flexión y armaduras.

Teoremas de Energía Casti Castigli gliano ano 1879 1879 .- Ener Energí gíaa de defo deform rmac ació ión n elás elásti tica ca rest restri ring ngid idaa a estr estruc uctu tura rass con con diag diagra rama mass lineales de carga-desplazamiento (comportamiento elástico). Engess Engesser er 1889 .- Ener Energí gíaa comp comple leme ment ntar aria ia,, sin sin espe especi cific ficar ar que que la estru estruct ctur uraa teng tengaa un diag diagra rama ma lineal.

Asumiendo el diagrama carga-desplazamiento mostrado :

P P

∆

A P+δ P P L

∆ 0

Fig. 1. 1. Es Estructura sujet jeta a carga rga ax axial

d∆

∆ ∆ + δ∆

Fig. ig. 2. 2. Dia Diag gram rama ca carga-desplazamien iento

El trab trabaj ajo o real realiz izad ado o para para un incr increm emen ento to de ∆ es P•δ∆ y por defi defini nicción ión este tra trabajo es igua iguall al incr increm emen ento to en la ener energí gíaa de defo deform rmac ació ión n elás elásti tica ca.. Ento Entonc nces es el incr increm emen ento to tota totall de la ener energí gíaa elástica U cuando la carga aumenta de 0 a P 1 será : 1

U

=

∆1

∫

Pd ∆

0

Esta integral es igual al área bajo la curva de la línea 0A. De esa misma ecuación puede obtenerse :

∂U = ∂∆

P

Part I del Teorema 1 de Castigliano

Si la energía total es parcialmente derivable con respecto a un desplazamiento, el resultado da la carga debido a ese desplazamiento en su línea de acción.

Puesto que la línea 0A es una recta, las áreas arriba y bajo de ella serán iguales, entonces :

∫

∆1

Pd∆

0

P1

= ∫ ∆dP 0

de donde se deduce que :

∂U =∆ ∂P

Parte II del Teorema 1 de Castigliano

Si la energía total es parcialmente derivable con respecto a una carga aplicada, el resultado da el desplazamiento de esa carga en su línea de acción.

El segundo teorema de la energía elástica o teorema de compatibilidad de Castigliano trata de las relaciones entre la energía de deformación elástica y la acción de una fuerza en una estructura estáticamente indeterminada. En este se establece que la energía elástica total parcialmente derivable con respecto a la carga redundante es igual a la falta inicial de ajuste de dicho elemento. Si no hay falta de ajuste la derivada parcial será igual a cero :

∂U =0 ∂ R Esta ecuación representa una condición para el valor mínimo de la energía de deformación elástica. El incremento en tal energía es, sin embargo, igual al trabajo correspondiente al desplazamiento de las cargas aplicadas. De esta manera, la relación implícita en la ecuación anterior expresa también una condición para el valor mínimo del trabajo realizado (Principio del trabajo mínimo) Como aplicación del segundo teorema, supóngase un marco doblemente empotrado :

2


Pv

Ph

A

H

B V

M

Fig. 3. Estructura estáticamente indeterminada de 3er grado Si las redundantes se consideran las reacciones en B (soporte completamente fijo), según la parte II del teorema se tendrá :

∂U ∂U ∂U = = =0 ∂ H ∂V ∂ M Esto implica que existen tres condiciones de compatibilidad que representan tres ecuaciones para resolver las tres incógnitas.

Primer teorema de la energía complementaria Para una relación no lineal entre cargadesplazamiento la energía de deformación elástica sigue siendo ∆1

∫ 0

P A

Pd ∆

d P El área a la izquierda de la curva 0A y el eje P es

P1

∫ ∆dP

y se conoce como energía

0

complementaria. Esta tiene las dimensiones que la energía elástica.

∆

mismas

0

d∆

Fig. 4. Diagrama no lineal carga-desplaz. Puesto que

C

=

P1

∫ 0

∆dP ,

∂C =∆ ∂P 3

Si la energía complementaria total es parcialmente derivable con respecto a la carga aplicada, el resultado es el desplazamiento de esa carga sobre su línea de acción . El segundo teorema es similar al segundo teorema de Castigliano donde se remplaza la energía elástica por la energía complementaria :

∂C ∂C = −λ ó = 0 dependiendo si hay falta de ajuste o no. ∂ R ∂ R Teorema de la energía potencial mínima De la parte I del teorema de Castigliano se tiene que esto implica que

∂U = P . Para todos los puntos sin carga ∂∆

∂U = 0 . Por el segundo teorema de Castigliano se llega a un valor similar ∂∆

en el caso de que no haya carencia inicial de ajuste : La carga redundante es tal que da un valor mínimo para la energía elástica. Esto es una condición para un valor mínimo de U y la interpretación física es que la configuración deformada de la estructura es tal que hace mínima la energía de deformación elástica :

Equilibrio Neutro

Equilibrio estable

Inestable Fig. 5. Condiciones para el valor mínimo de la energía de deformación elástica

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Principio de Fuerzas Virtuales

Supóngase una estructura cualquiera en equilibrio sujeta a cargas externas R y esfuerzos internos correspondientes a σ. Bajo estas cargas, la estructura tendrá deformaciones externas r y deformaciones internas ε.

r

σ

ε

R Fig. 6. Estructura en equilibrio

Supóngase ahora que la misma estructura se somete a un conjunto de cargas imaginarias δR. Estas cargas virtuales producirán esfuerzos virtuales δσ. En esta estructura un trabajo imaginario o virtual, δW ocurrirá fuera y dentro de la estructura.

δσ ε A

δR Fig. 7. Estructura sujeta a fuerzas virtuales δR

El trabajo virtual externo está dado por las fuerzas virtuales δR desplazándose en la dirección de las deflexiones reales r . El trabajo virtual interno está dado por los esfuerzos virtuales internos δσ desplazándose en la dirección de las deformaciones internas reales ε. De acuerdo con el principio de fuerzas virtuales : Trabajo virtual externo = trabajo virtual interno : δW e = δW i

Este principio puede usarse para encontrar las deflexiones en puntos dados de una estructura. Supóngase por ejemplo que se quiere encontrar la deflexión hacia abajo del σ ε punto A bajo la carga real R y las deformaciones reales correspondientes ε. Se A escogerá un sistema virtual de fuerzas hacia abajo actuando en A, cuyos esfuerzos internos R rA correspondientes son δσ. Ya que la única fuerza virtual externa es una fuerza aplicada en A, el trabajo virtual externo será Fig. 8. Deflexión en A como punto de interés simplemente el producto de la fuerza virtual por la deflexión real :

δWe = δR•r A El trabajo interno virtual será la integral de los esfuerzos virtuales internos desplazándose las deformaciones internas reales :

5

δWi =

∫ (δs ) • ε ij

ij

dV

v

donde cada esfuerzo virtual realizará su trabajo a través de la deformación real correspondiente. Igualando los trabajos se tiene :

δR•r A = ∫ (δσij) • εij dV v

Si δR es una fuerza unitaria, entonces : r A =

∫ (δσ ) • ε ij

ij

dV

v

Para utilizar este procedimiento en estructuras reales, se requiere calcular el trabajo virtual interno para varios tipos de estructuras, por ejemplo : Elemento barra .- Considérese una deformación uniforme real con el desplazamiento correspondiente v donde A y E permanecen constantes :

P

ε=v/L

σ L

P

La deformación real se asocia con el esfuerzo real σ y con la carga real P por :

v

σ=P/A ε = σ / E = P / AE

Fig. 9. Barra sujeta a carga axial

entonces v / L = P / AE, v = PL / AE

Supóngase que el elemento se somete a esfuerzos δP :

δP

correspondientes a una fuerza virtual

δσ = δP / A

δσ L

δσ

δP El trabajo virtual será δWi =

v

∫ (δσ) • ε dV v

Ya que el área es constante Fig. 10. Barra sujeta a carga virtual δP

δWi = A ∫ (δσ) • ε dx L

substituyendo δσ = δP / A y ε = v / L

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δWi = A ∫ (δP / A) • (v / L) dx = A (δP / A) (v / L) L

∫ dx = (δP) v L

δWi = Producto de la fuerza virtual P y la deformación real interna ε. Pero la deformación interna real se puede expresar en términos de la fuerza interna real : v = PL / AE entonces δWi = (δP) (PL / AE) = (fuerzas virtuales) (desplazamientos reales)

Si se tienen varios miembros (i.e. armaduras) el trabajo virtual interno total será la suma del trabajo hecho en cada miembro :

δWi =

∑ ( δP ) (P L / A E ) i

i

i

i

i

Elemento viga (deformación por flexión) Considérese una rebanada de longitud dx sujeta a deformaciones reales por flexión : ε(y)

σ

σ=My/I y

M

y

ε = σ / E = M y / EI

dx

Fig. 11. Elemento diferencial de viga Supóngase ahora que esta rebanada se somete a esfuerzos virtuales momento virtual δM : ε(y)

δσ correspondientes a un

δσ y

δM

δσ = (δM) y / I dx

Fig. 12. Sección sujeta a momento virtual δM

δWi = ∫ (δσ) • ε dV = v

∫ (δM y / I) • (M y / EI) v

Ya que δM, M, E e I son constantes

7

dV

δWi =

∫ (δM / I) • (M / EI) ( ∫ y

2

L

δWi =

dA) dx

A

∫ (δM / I) • (M / EI) I dx L

Para una rebanada de longitud dx

δWi = (δM) • (M / EI) dx

= Producto del momento virtual interno y la curvatura real interna

Para el miembro completo, δW se obtiene integrando la cantidad anterior a lo largo de la longitud :

δWi =

∫ (δM

) • (M(x) / EI(x)) dx = [fuerzas virtuales (momentos)] [deformaciones reales ( φ)]

(x)

L

Para estructuras que no tienen tangentes de referencia explícitas, el principio de los trabajos virtuales es mucho más fácil que el de área de momentos.

Estructuras planas cargadas fuera del plano (retículas) Considérese una rebanada de long dx sujeta a deformaciones por torsión :

T

θ

Asumiendo que la sección es libre de torcerse

θ = T / GJ G = módulo de cortante = E / 2(1 + ν) J = Rigidez a torsión (St. Venant) ν = Coeficiente de Poisson

dx Fig. 13. Elemento diferencial a torsión

Supóngase ahora que esta rebanada está sujeta a una torsión virtual δT. El trabajo interno está dado por :

δWi

=

∫ (δT

(x)

) • (T(x) / GJ(x)) dx = [esfuerzos virtuales (torsión)] [deformaciones reales

L

(distorsión por unidad de longitud)]

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Cálculo de deflexiones en vigas por trabajo virtual Supóngase una viga sujeta a las cargas P 1 y P2 que producen esfuerzos internos y por lo tanto una compresión S en cualquier fibra del área transversal dA.

dL dx

El trabajo externo es : ½ P1 ∆1 + ½ P2 ∆2

1)

La energía total almacenada es : ½ Σ S dL

2)

S

S

∆1

Por la ley de la conservación de la energía (principio de trabajo virtual) : ½ P1 ∆1 + ½ P2 ∆2 = ½ Σ S dL 3)

∆2

∆

Igualmente si se aplica una carga unitaria en cualquier punto :

P1

P2

½ 1(δ) = ½ Σ U dL

Fig. 14a. Viga sujeta a sistema de cargas P i

dL

4)

Si se agrega gradualmente P1 y P2 (figura 14b), el trabajo externo es :

dx ½ P1 ∆1 + ½ P2 ∆2 + 1(∆)

U

U

δ1

La energía interna adicional almacenada es ½ Σ S dL + Σ U dL 6)

δ2

δ

5)

Entonces el trabajo total externo en la figura 14c) es : ½ P1 ∆1 + ½ P2 ∆2 + ½ 1(δ) + 1(∆)

7)

1 Y la energía total interna es :

Fig. 14b. Viga bajo carga unitaria

½ Σ U dL + ½ Σ S dL +

Σ U dL

8)

Nuevamente por la ley de la conservación de la energía :

δ1+∆1 δ+∆ δ2+∆2

½ P1 ∆1 + ½ P2 ∆2 + ½ 1 (δ) + 1(∆) = ½ Σ U dL + ½ Σ S dL + Σ U dL 9)

P1

P2

restando 3) y 4) de 9) :

1

1(∆) = Σ U dL 10)

Fig. 14c. Viga sujeta a carga unitaria y P i

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La ecuación 10) se puede aplicar para encontrar la deflexión o rotación en cualquier punto de una estructura, donde dL puede ser provocada por cargas aplicadas, cambios de temperatura, errores de fabricación o asentamientos de los apoyos. Deflexiones en vigas (∆ = Σ U dL)

Supóngase que el momento producido por las cargas es M en cualquier fibra y el momento debido a la carga unitaria es m. El esfuerzo debido a 1 es (m y / I) y la fuerza u será : U = (m y / I) dA

11)

además S / dA es el esfuerzo provocado por las cargas en la fibra estudiada. Por la ley de comportamiento lineal (Hooke) : f = εE, entonces :

ε = f / E = (S / dA) (1 / E)

12)

de modo que la deformación en la fibra será : dL = ε dx = (S / dA) (1 / E) dx

13)

además por Navier : S = (M y / I) dA y substituyendo en la ecuación anterior : dL = (M y / EI) dx

14)

Si se substituye 14) y 11) en 10) :

∆ = S ( m y / I) dA (M y / EI) dx = ∆=

L

∫ 0

Mmdx EI 2

A

∫ 0

y2 dA =

L

∫ 0

L

A

0

0

∫ ∫

Mmy 2 dAdx 2

EI

Mmdx

15)

16)

EI

Si en lugar de una carga unitaria se aplica un par unitario se obtendrá el giro : L

θ = ∫ 0

Mmdx

17)

EI

donde m es el momento en cualquier sección, correspondiente a un par unitario en el punto de la viga descargada donde se quiere determinar la rotación.

Procedimiento general para el cálculo de deformaciones en armaduras Para el caso de una barra sujeta solo a carga axial, se dedujo que si la carga virtual es unitaria, el trabajo interno da como resultado el desplazamiento en el punto y en la dirección en la que se aplica dicha carga :

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r A =

∫ (δσ ) • ε ij

ij

dV

v

entonces di = δWi =

∑ ( δP ) (P L / A E ) = ∑ ( P ) P i

i

i

i

i

i

i

o

(Li / AiEi)

donde Po representa las fuerzas en las barras debidas al sistema de carga real y P i representa las fuerzas en las barras debidas a la carga unitaria. Usualmente se disponen los cálculos en forma tabular.

Bibliografía de referencia Chu-Kia Wang, Statically indeterminate structures, I.S.E., 1953 Yuan-Yu Hsieh, Teoría elemental de estructuras, PHH, 1970 White, Gergely & Sexsmith, Estructuras estáticamente indeterminadas, Vol. 2, Limusa 1972 J.S. Kinney, Análisis de estructuras indeterminadas, CECSA, 1960 A. Ghali & A. Neville, Análisis estructural, Diana

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