Trabajo N1

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

ASIGNATURA: Estadística Aplicada

GRUPO:

A

“

”

CICLO: III

DOCENTE: Aracelli Poémape INTEGRANTES:

Carrasco Infante Catalino

ESTIMACIONES DE PARÁMETROS

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

Tema:

ESTIMACION DE PARAMETROS

1. Indique si es verdadero o falso, los siguientes enunciados: ENUNCIADO Un parámetro es una medida de resumen de los elementos elemento s de la muestra

VERDADERO

FALSO

Cuando aumentamos el nivel de confianza la amplitud de intervalo disminuye Un estimador es una medida de los elementos de la muestra Cuando disminuimos el nivel de confianza, aumenta la precisión Si se conoce la varianza poblacional, se usa la distribución t de Student, para calcular el nivel de confianza para la media poblacional Si en una investigación se desarrolla un censo, ya no es necesario utilizar intervalos de confianza La estimación de parámetros puede ser puntual o Interválica A partir de los resultados resultados muestrales, se estiman parámetros parámetros A partir de los resultados resultados poblacionales, poblacionales, hallamos hallamos estimadores estimadores Cuando aumentamos el nivel de confianza la precisión del intervalo disminuye Al aumentar la varianza, varianza, la amplitud amplitud del intervalo intervalo disminuye disminuye Al aumentar el tamaño de la muestra, la amplitud del intervalo de confianza disminuye co nfianza para la media poblacional y de algún ejemplo de un posible 2. Defina intervalo de confianza uso de este concepto en su carrera profesional.

3. Defina intervalo de confianza para la proporción poblacional y de algún ejemplo de un posible uso de este concepto en su carrera profesional.

ESTADISTICA APLICADA

1


4. Para llevar a cabo un control de calidad sobre el peso que pueden resistir los suelos de una construcción, realizamos 12 pruebas resultando la resistencia media hasta la rotura de 350( kg/cm2) con desviación típica de 20 ( kg/cm2) a) Si trabajamos con nivel de confianza de 90%. ¿Entre que valores oscila la resistencia media de todos los suelos? SOLUCION Datos:

̅ == 350 12350     ⁄   . =.  20= 90% 90% −∝ 〈  −⁄ √  ;  + −⁄ √ 〉    = % −⁄ = . = . % 〈3501.64 √ 201212 ;350+1.64√ 201212〉 %〈3509.47;350+9.47〉7〉 %〈340.53 ;359.47〉7〉

A un nivel de confianza del 90%, la resistencia media de todos los suelos, se encuentra entre 340.53 y 359.47 ( kg/cm2) b) Si trabajamos con nivel de confianza de 95%. ¿Entre que valores oscila la resistencia media de todos los suelos?

Datos:

SOLUCION

̅ == 350 12350⁄ . =.  20= 95% 95% −∝ 〈  −⁄ √  ;  + −⁄ √ 〉    = % −⁄ = . = . % 〈3501.96 √ 201212 ;350+1.96√ 201212〉 %〈350350  11.11.32 ;35500 + 11.11.32〉 %〈338.68 ;361.32〉2〉 A un nivel de confianza del 95%, la resistencia media de todos los suelos, se encuentra entre 338.68 y 361.32 (kg/cm2)


2


c) Si trabajamos con nivel de confianza de 98%. ¿Entre que valores oscila la resistencia media de todos los suelos?

Datos:

SOLUCION

̅ == 350 12 ⁄ .= 20= 98% −∝ 〈 −⁄  ; +−⁄  〉 √  √   = % −⁄ = . = . % 〈3502.32 √ 2012 ;350+2.32√ 2012〉 %〈35013.395 ;350+13.395〉 %〈336.6 ;363.4〉 A un nivel de confianza del 98%, la resistencia media de todos los suelos, se encuentra entre 336.6 y 363.4 (kg/cm2) d) Si trabajamos con nivel de confianza de 90% y el tamaño de la muestra sería 35¿Entre que valores oscila la resistencia media de todos los suelos?

SOLUCION Datos:

̅ == 350 12 ⁄ .= 35= 90% −∝ 〈 −⁄  ; +−⁄  〉 √  √   = % −⁄ = . = . % 〈3501.64 √ 2035 ;350+1.64√ 2035〉 %〈3505.54 ;350+5.54〉 %〈344.46 ;355.54〉 A un nivel de confianza del 90%, la resistencia media de todos los suelos, se encuentra entre 344.46 y 355.54 (kg/cm2)


3


5. En una constructora se desea estimar el tiempo promedio que se tarda un obrero en desarrollar una tarea específica. Para ello se ha tomado una muestra aleatoria de 85 obreros, encontrando un tiempo promedio muestral de 45 minutos y una desviación estándar muestral de 10.4 minutos. a) Calcule e interprete un intervalo de confianza al 90%, para el tiempo que se demorarían todos los obreros de la constructora. SOLUCION Datos:

̅ == 8545     .= 10.= 90% 4  −∝ 〈 −⁄  ; +−⁄  〉 √  √   = % −⁄ = . = . % 〈451.64 10.√ 854 ;45+1.64 10.√ 854〉 %〈451.85 ;45+1.85〉 %〈43.13 ; 46.85〉

A un nivel de confianza del 90%, para el tiempo que se demorarían de todos los obreros de la constructora, se encuentra entre 43.13 y 46.85 minutos b) Calcule e interprete un intervalo de confianza al 95%, para el tiempo que se demorarían todos los obreros de la constructora.

Datos:

SOLUCION

̅ == 8545     .= 10.= 95% 4  −∝ 〈 −⁄  ; +−⁄  〉 √  √   = % −⁄ = . = . % 〈451.96 10.√ 854 ;45+1.96 10.√ 854〉 %〈452.21 ;45+2.21〉 %〈42.79 ; 47.21〉 A un nivel de confianza del 95%, para el tiempo que se demorarían de todos los obreros de la constructora, se encuentra entre 42.79 y 47.21 minutos ESTADISTICA APLICADA

4


c) Calcule e interprete un intervalo de confianza al 98%, para el tiempo que se demorarían todos los obreros de la constructora.

SOLUCION

Datos:

̅ == 8545     .= 10.= 98% 4 

−∝ 〈 −⁄ √  ; +−⁄ √ 〉  = % −⁄ = . = . % 〈452.32 10.√ 854 ;45+2.32 10.√ 854〉 %〈452.617 ;45+2.617〉 %〈42.38 ; 47.61〉

A un nivel de confianza del 98%, para el tiempo que se demorarían de todos los obreros de la constructora, se encuentra entre 42.38 y 47.61 minutos d) Realice conclusiones con respecto a los ítems a, b y c.

SOLUCIÓN   

Amplitud al 90%, es 3.72 Amplitud al 95%, es 4.42 Amplitud al 98%, es 5.23

Conclusión: Al aumentar el nivel de confianza, aumenta la amplitud del intervalo y, por tanto, disminuye la precisión


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6. Una agencia de publicidad tiene un registro de datos sobre el tiempo (en minutos) de los anuncios publicitarios por cada 20 minutos en los programas principales de TV. Una muestra aleatoria de 35 de estos registros proporcionó un tiempo medio de publicidad de 3 minutos por cada 20 minutos de publicidad. Suponiendo que el tiempo de anuncios en minutos sigue una distribución normal con una desviación estándar de 1.2 minutos. Determine e interprete: a) Un intervalo de confianza del 99% para el tiempo medio de anuncios publicitarios en los programas principales cada 20 minutos. Datos:

̅ == 335 .= 1.=299% 

SOLUCION

−∝ 〈 −⁄ √  ; +−⁄ √ 〉  = % −⁄ = . = . % 〈32.57 √ 1.325 ;3+2. 5 7 √ 1.325〉 %〈30.52 ;3+0.52〉 %〈2.48 ; 3.52〉

A un nivel de confianza del 99%, para el tiempo medio de anuncios publicitarios en los programas principales cada 20 minutos, se encuentra entre 2.48 y 3.52 minutos

b) Un intervalo de confianza del 90% para el tiempo medio de anuncios publicitarios en los programas principales cada 20 minutos. Datos:

̅ == 335 .= 1.=290% 


SOLUCION

−∝ 〈 −⁄ √  ; +−⁄ √ 〉  = % −⁄ = . = . 6


% 〈3 1.64 √ 1.325 ;3+1. 6 4 √ 1.325〉 %〈30.33 ;3+0.33〉 %〈2.67 ; 3.33〉 A un nivel de confianza del 90%, para el tiempo medio de anuncios publicitarios en los programas principales cada 20 minutos, se encuentra entre 2.67 y 3.33 minutos

c) De qué tamaño debe tomarse una muestra, para tener un 95% de confianza y un margen de error de 0,5 minutos en la estimación. SOLUCION

Datos:

 ==?1.2  . = 95%  = 0.5

−⁄ √  :    ó  = % −⁄ = . = .

−⁄ √  = 0.5 1.96 1.√ 2 = 0.5  1.960.51.2 =   = 2.17 

El tamaño de muestra q debe tomarse, para tener un 95% de confianza y un margen de error de 0,5 minutos en la estimación es de 2.17 minutos


7


7. Una empresa fabrica focos cuya duración tiene una distribución aproximadamente normal con desviación estándar poblacional de 40 horas. Suponga que una muestra de 20 focos tiene una duración promedio de 780 horas. Calcule e interprete un intervalo de confianza del 96% para la duración promedio de todos los focos producidos por esta empresa. Encuentre el intervalo de confianza unilateral superior del 95%. SOLUCION Datos:

̅ == 20780 ℎ .= 40= 96% ℎ

−∝ 〈 −⁄ √  ; +−⁄ √ 〉  = % −⁄ = . = . % 〈7802.054 √ 4020 ;3+2.054 √ 4020〉 %〈78018.372 ;780+18.372〉 %〈761.631 ; 798.369〉

A un nivel de confianza del 96%, la duración promedio de todos los focos producidos por esta empresa, se encuentra entre 761.631 y 798.369 horas

Datos:

̅ == 20780 ℎ .= 40= 95% ℎ

−∝ 〈 +− √ 〉  = % % 〈780+1.64 √ 4020〉 %〈780+14.6686〉 %〈 794.6686〉

A un nivel de confianza del 95%, la duración promedio máxima de todos los focos producidos por esta empresa, es de 794.6686 horas.


8


8. Se encuentra que la concentración promedio de zinc de una muestra de 36 cereales es de 2.6 gramos. Encuentre los intervalos de confianza de 95% y 99% para la concentración media de zinc en el cereal. Suponga que la desviación estándar de la población es 0.3. SOLUCION Datos:

̅ == 2.366  .= 0.=395%

−∝ 〈 −⁄ √  ; +−⁄ √ 〉  = % −⁄ = . = . % 〈2.61.96 √ 0.336 ;3+1. 9 6 √ 0.336〉 %〈2.6 0.098 ;2.6 +0.098〉 %〈2.502 ; 2.698〉

A un nivel de confianza del 95%, la concentración media de zinc en el cereal, se encuentra entre 2.502 y 2.698 gramos

Datos:

̅ == 2.366  .= 0.=399%

−∝ 〈 −⁄ √  ; +−⁄ √ 〉  = % −⁄ = . = . % 〈2.62.57 √ 0.336 ;3+2. 5 7 √ 0.336〉 %〈2.6 0.13 ;2.6 +0.13〉 %〈2.47 ; 2.73〉

A un nivel de confianza del 99%, la concentración media de zinc en el cereal, se encuentra entre 2.47 y 2.73 gramos ESTADISTICA APLICADA

9


9. Los vuelos de una empresa de aviación tienen una duración bimestral aproximadamente distribuida de forma normal con una desviación estándar de 50 horas. Si una muestra de 40 vuelos tiene una duración promedio de 780 horas, encuentre los intervalos de confianza de 96% para la media de la población de todos los vuelos de esta empresa. SOLUCION Datos:

̅ == 40780ℎ .= 50= 96% ℎ

−∝ 〈 −⁄ √  ; +−⁄ √ 〉  = % −⁄ = . = . % 〈7802.054 √ 5040 ;780+2.054 √ 5040〉 %〈763.764 ; 796.236〉

A un nivel de confianza del 96%, la media de la población de todos los vuelos de esta empresa, se encuentra entre 763.764 y 796.236 gramos

10. El número de errores diarios que se cometen al intentar conectar con una determinada red informática se distribuye normalmente con media desconocida. Para intentar conocer dicha media se selecciona una muestra de 10 días; resultando: 2, 3, 4, 5, 4, 3, 5, 2, 4, 1 errores. a) Obtener un intervalo de confianza para la media de errores cometidos diariamente con un nivel de significación del 1%. SOLUCION

Datos:

̅ == 3.103  == 1.%337 . = 99%

− 〈 −⁄ √  ; +−⁄ √ 〉 −⁄ = . = . % 〈3.32.57 1.√ 31370 ; 3.3 +2.57 1.√ 31370 〉 %〈3.3 1.087 ;3.3 +1.087〉 %〈2.213 ; 4.387〉

A un nivel de significación del 1%, la media de errores cometidos diariamente, se encuentra entre 1.461 y 5.139 ESTADISTICA APLICADA

10


b) Obtener un intervalo de confianza para la media de errores cometidos diariamente con un nivel de significación del 5%. SOLUCION

Datos:

̅ == 3.103  == 1.%337 . = 95%

− 〈 −⁄ √  ; +−⁄ √ 〉 −⁄ = . = . % 〈3.31.96 1.√ 31370 ; 3.3 +1.96 1.√ 31370 〉 %〈3.3 0.8287 ;3.3 +0.8287〉 %〈2.471 ; 4.129〉

A un nivel de significación del 5%, la media de errores cometidos diariamente, se encuentra entre 2.471 y 4.129 c) Obtener un intervalo de confianza para la media de errores cometidos diariamente con un nivel de significación del 10%

SOLUCION Datos:

̅ == 3.103  == 10% 1.337 . = 90%

− 〈 −⁄ √  ; +−⁄ √ 〉 −⁄ = . = . % 〈3.31.64 1.√ 31370 ; 3.3 +1.64 1.√ 31370 〉 %〈3.3 0.693 ;3.3 +0.693〉 %〈2.607 ; 3.993〉

A un nivel de significación del 10%, la media de errores cometidos diariamente, se encuentra entre 2.607 y 3.993


11


11. De 1000 mujeres seleccionadas al azar, 823 realizaban alguna tarea remunerada fuera del hogar. Construya un intervalo de confianza del 95% para la tasa de ocupación femenina. SOLUCION

823 = 0.823  = 1000   〈 〉  ;+ ⁄ ⁄ −∝ −  −    . = 95%  = 1000  = % −⁄ = . = . 8 23 0 . 8 2310. 8 23  % 〈0.8231.96 0.82310. ; 7 80+2. 0 54 1000 1000 〉 %〈0.8230.0235 ;0.823+0.0235〉 %〈0.799 ; 0.847〉 Datos:

A un nivel de confianza del 95%, para la tasa de ocupación femenina, se encuentra entre 0.799 y 0.847

12. Se llevaron a cabo estudios para determinar la concentración de monóxido de carbono cerca de las autopistas. La técnica básica usada consistió en tomar muestras de aire en bolsas especiales y después determinar la concentración de monóxido de carbono mediante un espectrofotómetro. Las concentraciones en ppm (partes por millón) en las muestras tomadas durante un periodo de un año fueron: 102.2 100.4 84.7 108.3

98.4 98.6 94.8 105.2

104.1 88.2 105.1 103.2

101 78.8 106.2 99

102.2 83 111.2 98.8

a) Calcule un intervalo de confianza bilateral del 90% para la concentración media de monóxido de carbono. SOLUCION

Datos:

̅ == 98.20 67 .= 8.=690% 89 ESTADISTICA APLICADA

−∝ 〈 −⁄;− √  ; + −⁄ ; − √ 〉  = % −⁄;− = .; = . 12


% 〈98.671.729 8.√ 62890 ;98.67+1.729 8.√ 62890 〉 %〈98.673.359 ; 98.67+3.359〉 %〈95.311 ; 102.029〉 A un nivel de confianza del 90%, la concentración de monóxido de carbono, se encuentra entre 95.311 y 102.029 ppm b) Encuentra el intervalo de confianza unilateral inferior del 99% para la concentración media de monóxido de carbono.

SOLUCION Datos:

̅ == 98.20 67 .= 8.=699% 89

−∝ 〈 −;− √ 〉  = % −;− = .; = . % 〈98.672.539 8.√ 62890 〉 %〈98.674.933〉 %〈103.603〉

A un nivel de confianza del 99%, la concentración mínima de monóxido de carbono es 103.603 ppm

13. Los siguientes datos representan la tarifa mensual en soles para las cuentas de ahorros de los clientes que no cumplen con mantener el saldo mínimo requerido por el banco. Esta información corresponde a una muestra aleatoria de 24 bancos. El ente de control desea estimar la tarifa media mensual para estas cuentas, con el objeto de implementar medidas de protección a los clientes. 25

18

26

20

22

15

18

20

28

20

25

21

30

20

25

25

20

22

30

29

15

18

30

25

Calcule e interprete un intervalo del 98% de confianza para la tarifa promedio de estas cuentas. Encuentre el intervalo de confianza unilateral superior del 90%.


13


SOLUCION Datos:

̅ == 22.24 792 .= 4.=698% 15

−∝ 〈 −⁄;− √  ; + −⁄ ; − √ 〉  = % −⁄;− = .; = . % 〈22.7922.4998 4.√ 62154 ;22.792+2.4998 4.√ 62154 〉 %〈22.7922.355 ; 22.792+2.355〉 %〈20.437 ; 25.147〉

A un nivel de confianza del 98%, la tarifa promedio de estas cuentas, se encuentra entre 20.437 y 25.147

SOLUCION Datos:

̅ == 22.24 792 .= 4.=690% 15

−∝ 〈 +−;− √ 〉  = % −;− = .; = . % 〈22.792+1.3194.√ 62154 〉 %〈22.792+1.243〉 %〈24.035〉

A un nivel de confianza del 90%, la tarifa promedio máxima de estas cuentas es de 24.035

14. En una encuesta de CPI, se pidió a 1500 adultos que contestaran un cuestionario acerca de sus ideas sobre el estado general interno del Perú. A la pregunta: ¿Cree usted que todo va bien con el Perú en la actualidad? 562 adultos contestaron que Sí. a) ¿Cuál es la estimación puntual de la proporción de adultos que creen que las cosas van bien en el Perú ESTADISTICA APLICADA

14


SOLUCION Datos:

  == 1500    562 

 =  562  = 1500  = 0.375

La estimación puntual de la proporción de adultos que creen que las cosas van bien en el Perú es 0.375 b) ¿Cuál es el intervalo de confianza de 90% para la proporción de adultos que creen que todo va bien en el Perú?

SOLUCION Datos:

.= 0.=390% 75  = 1500

−∝ 〈−⁄   ;+−⁄   〉  = % −⁄ = . = . 3 75 0 . 3 7510. 3 75  % 〈0.3751.64 0.37510. ; 0 . 3 75+1. 6 4 1500 1500 〉 %〈0.3750.0205 ;0.375+0.0205〉 %〈0.354 ; 0.396〉

A un nivel de confianza del 90%, la proporción de adultos que creen que todo va bien en el Perú, se encuentra entre 0.354 y 0.396 c) ¿Cuál es el intervalo de confianza de 95% para la proporción de adultos que creen que todo va bien en el Perú?

SOLUCION Datos:

.= 0.=395% 75  = 1500  〈  ;+ 〉 −∝ −⁄  −⁄  ESTADISTICA APLICADA

15


 = % −⁄ = . = . 3 75 0 . 3 7510. 3 75  % 〈0.3751.96 0.37510. ; 0 . 3 75+1. 9 6 1500 1500 〉 %〈0.3750.0245 ;0.375+0.0245〉 %〈0.351 ; 0.399〉 A un nivel de confianza del 95%, la proporción de adultos que creen que todo va bien en el Perú, se encuentra entre 0.351 y 0.399 d) ¿Cuál es el intervalo de confianza de 98% para la proporción de adultos que creen que todo va bien en el Perú?

SOLUCION Datos:

.= 0.=398% 75   〈  ;+ ⁄ ⁄ −∝ −  −   = 1500   〉  = % −⁄ = . = . 3 75 0 . 3 7510. 3 75  % 〈0.3752.32 0.37510. ; 0 . 3 75+2. 3 2 1500 1500 〉 %〈0.3750.029 ;0.375+0.029〉 %〈0.346 ; 0.404〉 A un nivel de confianza del 98%, la proporción de adultos que creen que todo va bien en el Perú, se encuentra entre 0.346 y 0.404 e) Qué concluye con respecto a los ítems b, c y d.

SOLUCIÓN   

Amplitud al 90%, es 0.042 Amplitud al 95%, es 0.048 Amplitud al 98%, es 0.058



16


15. Un fabricante de reproductores de discos compactos utiliza un conjunto de pruebas amplias para evaluar la función eléctrica de su producto. Todos los reproductores de discos compactos deben pasar todas las pruebas antes de venderse. Una muestra aleatoria de 500 reproductores tiene como resultado 15 que fallan en una o más pruebas. Encuentre un intervalo de confianza de 90% para la proporción de los reproductores de discos compactos de la población que no pasarían todas las pruebas. SOLUCION Datos:

.= 0.=090% 3   〈  ;+ ⁄ ⁄ −∝ −  −   = 500   〉  = % −⁄ = . = . 0 3 0 . 0 310. 0 3  % 〈0.031.64 0.0310. ; 0 . 0 3+1. 6 4 500 500 〉 %〈0.030.012 ;0.03+0.012〉 %〈0.018 ; 0.042〉 A un nivel de confianza del 90%, la proporción de los reproductores de discos compactos de la población que no pasarían las pruebas, se encuentra entre 0.018 y 0.042

16. Un comerciante mayorista compra latas de conserva de atún de la marca A. Según la indicación de la etiqueta el peso aproximado promedio por lata es onzas. Se supone que la población de los pesos es normal con onzas. Si de un envío reciente el comerciante escoge al azar 30 latas y encuentra que el peso promedio es de 18.5 onzas:

 =2

a) Determine el intervalo de confianza al 90% para el peso promedio de todas las latas de conserva.

Datos:

SOLUCION

̅ == 18.30 5  .= 2= 90% −∝ 〈 −⁄ √  ; +−⁄ √ 〉  = % −⁄ = . = . ESTADISTICA APLICADA

17


% 〈18.51.64 √ 230 ;18.5+1.64 √ 230〉 %〈18.5 0.598 ;18.5 +0.598〉 %〈17.902 ;19.098〉 A un nivel de confianza del 90%, el peso promedio de todas las latas de conserva, se encuentra entre 17.902 y 19.098 onzas. b) Determine el intervalo de confianza al 95% para el peso promedio de todas las latas de conserva. SOLUCION Datos:

̅ == 18.30 5  .= 2= 95% −∝ 〈 −⁄ √  ; +−⁄ √ 〉  = % −⁄ = . = . % 〈18.51.96 √ 230 ;18.5+1.96 √ 230〉 %〈18.5 0.7157 ;18.5 +0.7157〉 %〈17.784 ;19.216〉

A un nivel de confianza del 95%, el peso promedio de todas las latas de conserva, se encuentra entre 17.784 y 19.216 onzas. c) Qué se concluye en función de los ítems a y b.

SOLUCIÓN  

Amplitud al 90%, es 1.196 Amplitud al 95%, es 1.432



18


d) Si el comerciante no conoce la desviación estándar poblacional y encuentra que s = 2.0 onzas, construya un intervalo de confianza de al 90%. SOLUCION Datos:



̅ == 18.30 5  .= 2.=090%  −∝ 〈 −⁄  ; +−⁄  〉 √  √   = % −⁄ = . = . % 〈18.51.64 √ 2.300 ;18.5+1.64 √ 2.300〉 %〈18.5 0.598 ;18.5 +0.598〉 %〈17.902 ;19.08〉

A un nivel de confianza del 90%, el peso promedio de todas las latas de conserva, se encuentra entre 17.902 y 19.08 onzas.

  =2

e) ¿Cuánto debió ser el tamaño de muestra si al estimar a se quiere un error no superior a 0.98 con confianza del 95%? Use . SOLUCION Datos:

 =?≤ 0.98 .= 2= 95%

−⁄ √  :    ó  = % −⁄ = . = .

1.96 √ 2 ≤ 0.98 3.√ 92 ≤ 0.98  ≥ 16

El tamaño de muestra que debe tomarse, para tener un 95% de confianza y un error no superior a 0.98 tiene que ser

 ≥ 16


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17. En un estudio de 300 accidentes de automóvil en una ciudad específica, 60 tuvieron consecuencias fatales. Con base en esta muestra, construya un intervalo del 95% de confianza para aproximar la proporción de todos los accidentes automovilísticos que en esa ciudad tienen consecuencias fatales. SOLUCION Datos:

.= 0.=295%   〈  ;+ −∝ −⁄  −⁄  〉  = 300  = % −⁄ = . = .  2 0 . 2 10. 2   % 〈0.21.96 0.210. ;0. 2 +1. 9 6 300 300 〉 %〈0.2 0.045 ;0.2 +0.045〉 %〈0.155 ; 0.245〉 A un nivel de confianza del 95%, la proporción de todos los accidentes automovilísticos que en esa ciudad tienen consecuencias fatales, se encuentra entre 0.155 y 0.245

18. Se ha tomado una muestra aleatoria de 200 personas, a cada persona se le consultó sobre su principal fuente de información de noticia, 100 dijeron que esa fuente es los noticieros de televisión. Determine un intervalo de confianza de 95% para la proporción de las personas en la población que considera a la televisión como su principal fuente de información noticiario. Encuentre un intervalo de confianza unilateral inferior del 95%. SOLUCION

.= 0.=595% −∝ 〈−⁄  〉  ;+−⁄    = 200  = % −⁄ = . = .  5 0 . 5 10. 5   % 〈0.51.96 0.510. ;0. 5 +1. 9 6 200 200 〉 % = 〈0.5 0.069 ;0.5 +0.069〉 %〈0.431 ; 0.569〉 Datos:

A un nivel de confianza del 95%, la proporción de las personas en la población que considera a la televisión como su principal fuente de información noticiero, se encuentra entre 0.431 y 0.569 ESTADISTICA APLICADA

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19. Dada la serie histórica de caudales medios anuales (m3/s) de un río, que corresponde a un registro de 38 años:

a) Hallar e interpretar un intervalo de confianza al 95%, para el caudal medio de todos los años de la existencia del río.

SOLUCION Datos:

̅ == 3892.3ñ24 ñ .= 43.= 95% 577 ñ − 〈 −⁄ √  ; +−⁄ √ 〉  = % −⁄ = . = . % 〈92.3241.96 43.√ 35877 ;92.324+1.96 43.√ 35877〉 %〈92.32413.855 ;92.324+13.855〉 %〈78.469 ; 106.179〉 A un nivel de confianza del 95%, el caudal medio de todos los años de existencia del rio, se encuentra entre 78.469 y 106.179 años b) Hallar e interpretar un intervalo de confianza al 97%, para el caudal medio de todos los años de la existencia del río.

SOLUCION Datos:

̅ == 92.38 3ñ24 .= 43.= 97% 577 ESTADISTICA APLICADA

21


− 〈 −⁄ √  ; +−⁄ √ 〉  = % −⁄ = . = . % 〈92.3242.17043.√ 35877 ;92.324+2.170 43.√ 35877〉 %〈92.32415.334 ;92.324+15.334〉 %〈76.983 ; 107.665〉 A un nivel de confianza del 97%, el caudal medio de todos los años de existencia del rio, se encuentra entre 76.983 y 107.665 años c) Hallar e interpretar un intervalo de confianza al 99%, para el caudal medio de todos los años de la existencia del río.

SOLUCION Datos:

̅ == 92.38 3ñ24 .= 43.= 99% 577

− 〈 −⁄ √  ; +−⁄ √ 〉  = % −⁄ = . = . % 〈92.3242.57 43.√ 35877 ;92.324+2.57 43.√ 35877〉 %〈92.32418.168 ;92.324+18.168〉 %〈74.156 ; 110.492〉

A un nivel de confianza del 99%, el caudal medio de todos los años de existencia del rio, se encuentra entre 74.156 y 110.492 años

20. Para una muestra de 81 habitantes de cierta población se obtuvo una estatura media de 167 cm. Por estudios anteriores se sabe que la desviación estándar de la altura de la población es de 8 cm. Construye un intervalo de confianza para la estatura media de la población al 95% SOLUCION


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Datos:

̅ == 167 81 .= 8 = 95%

−∝ 〈 −⁄ √  ; +−⁄ √ 〉  = % −⁄ = . = . % 〈1671.96 √ 881 ;167+1.96√ 881〉 %〈1671.742 ;167+1.742〉 %〈165.258 ;168.742〉

A un nivel de confianza del 95%, la estatura media de la población, se encuentra entre 165.258 y 168.742 cm

OTROS EJERCICIOS POR DESARROLLAR. Estimados estudiantes desarrollar los siguientes ejercicios del libro de WALPOLE MYERS, MYERS YE (Código: 519.5 WALP).

9.2. Una empresa de material eléctrico fabrica bombillas que tiene una duración distribuida de forma aproximadamente normal, con una desviación estándar de 40 horas, si una muestra de 30 bombillas tiene una duración promedio de 780 horas, calcule un intervalo de confianza del 90% para la media de la población de todas las bombillas producidas por esta empresa. Datos:

̅ == 78030 ℎ .= 40= 90% ℎ

SOLUCION

−∝ 〈 −⁄ √  ; +−⁄ √ 〉  = % −⁄ = . = . % 〈7801.64 √ 4030 ;780+1.64√ 4030〉 %〈78011.977 ;780+11.977〉 %〈768.023 ;791.977〉

A un nivel de confianza del 90%, la media de toda la población de todas las bombillas producidas por esta empresa, se encuentra entre 768.023 y 791.977 horas ESTADISTICA APLICADA

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9.11. Una maquina produce piezas metálicas de forma cilíndrica. Se toma una muestra de las piezas y los diámetros son 1.01, 0.97, 1.03, 1.04, 0.99, 0.98, 0.99, 1.01 y 1.03 centímetros. Calcule un intervalo de confianza del 99%para la media del diámetro de las piezas que se manufacturan con esta máquina. Suponga una distribución aproximadamente normal. Datos:

̅ == 1.9 006 .= =2.899%44

SOLUCION

−∝ 〈 −⁄ √  ; +−⁄ √ 〉  = % −⁄ = . = . % 〈1.0062.57 2.√ 8944 ;1.006+2.57 2.√ 8944〉 %〈1.0062.436 ;1.006+2.436〉 %〈2.175 ;4.187〉

A un nivel de confianza del 99%, la media del diámetro de las piezas que se manufacturan con esta máquina, se encuentra entre -2.175 y 4.187

9.13. En un estudio para determinar la dureza de Rockwell en la cabeza de alfileres para costura se toma una muestra aleatoria de 12. Se toman mediciones de la dureza de Rockwell para cada una de las 12 cabezas y se obtiene un valor promedio de 48.50, con una desviación estándar muestral de 1.5. Suponga que las mediciones se distribuyen de forma normal y con base en esto construya un intervalo de confianza de 90% para la dureza media de Rockwell. SOLUCION

Datos:

̅ == 78.12 50 .= 1.=590%


−∝ 〈 −⁄ √  ; +−⁄ √ 〉  = % −⁄ = . = . % 〈18.501.64 √ 1.152 ;780+1.64 √ 1.152〉 24


%〈18.500.71 ;18.50+0.71〉 %〈17.79 ; 19.21〉 A un nivel de confianza del 90%, la dureza media de Rockwell, se encuentra entre 17.79 y 19.21

9.14. Se registran las siguientes mediciones del tiempo de secado, en horas, de cierta marca de pintura vinílica: 3.4

2.5

4.8

2.9

3.6

2.8

3.3

5.6

3.7

2.8

4.4

4.0

5.2

3.0

4.8

Suponga que las mediciones representan una muestra aleatoria de una población normal y con base en esto calcule el intervalo de predicción del 95% para el tiempo de secado de la siguiente prueba de pintura.

SOLUCION Datos:

̅ == 3.15787 .= 0.=995% 7 −∝ 〈 −⁄;− √  ; + −⁄ ; − √ 〉  = % −⁄;− = .; = . % 〈3.7872.145 0.√ 1957 ;3.787+2.145 0.√ 1957〉 %〈3.7870.537; 3.787+0.537〉 %〈3.25 ;4.324〉 A un nivel de confianza del 95%, el tiempo de secado de la siguiente prueba de pintura, se encuentra entre 3.25 y 4.324


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TAREA Los estudiantes revisaran los libros de Walpole y Devore desarrollaran: 1. 5 EJERCICIOS DE INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA. Libro Jay L. Devore (página 268) 12. Una muestra aleatoria de 110 relámpagos en cierta región dieron por resultado una duración de eco de radar promedio muestral de 0.81 segundos y una desviación estándar muestral de 0.34 segundos (“Lightn ing Strikes to an Airplane in a Thunderstorm”, J. of Aircraft, 1984: 607-611). Calcule un intervalo de confianza de 99% (bilateral) para la duración de eco promedio verdadera e interprete el intervalo resultante. SOLUCION



Datos:

̅ == 0.11081  .= 0.=399% 4 

−∝ 〈 −⁄ √  ; +−⁄ √ 〉  = % −⁄ = . = . % 〈0.812.57 √ 01.3104 ;0.81+2.57 √ 01.3104 〉 %〈0.810.083 ;0.81+0.083〉 %〈0.727 ; 0.893〉

A un nivel de confianza del 99%, la duración de eco promedio verdadera, se encuentra entre 0.727 y 0.893 segundos

13. El artículo “Gas Cooking, Kitchen Ventilation, and Exposure to Combustion Products” (Indoor Air, 2006: 65-73) reportó que para una muestra de 50 cocinas con estufas de gas monitoreadas durante una semana, el nivel de CO2 medio muestral (ppm) fue de 654.16 y la desviación estándar muestral fue de 164.43. a. Calcule e interprete un intervalo de confianza de 95% (bilateral) para un nivel de CO2 promedio verdadero en la población de todas las casas de la cual se seleccionó la muestra.

SOLUCION Datos:

̅ == 50654.16  .= 164. 4 3 = 95% ESTADISTICA APLICADA

26


−∝ 〈 −⁄ √  ; +−⁄ √ 〉  = % −⁄ = . = . % 〈654.161.96 164.√ 5043 ;654.16+1.96 164.√ 5043〉 %〈654.1645.578 ;654.16+45.578〉 %〈608.582 ; 699.738〉 A un nivel de confianza del 95%, el nivel de CO2 promedio verdadero en la población de todas las casas de la cual se seleccionó las muestras, se encuentra entre 608.582 y 699.738 ppm b. Suponga que el investigador había hecho una suposición preliminar de 175 para el valor de la S antes de recopilar los datos. ¿Qué tamaño de muestra sería necesario para obtener un ancho de intervalo de 50 ppm para un nivel de confianza de 95%?

SOLUCION Datos:

 ==?175 . = 95%  = 50 

−∝ 〈 −⁄ √  ; +−⁄ √ 〉  = % −⁄ = . = . % 〈  1.96175√  ;  + 1.96175√  〉 % 〈  343√  ;  + 343√  〉  = ( + 343√  ) (  343√  ) = 50  = 188.2384  = 188

A un nivel de confianza del 95%, el tamaño de muestra sería necesario para obtener un ancho de intervalo de 50 ppm es 188 cocinas ESTADISTICA APLICADA

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Libro Jay L. Devore (página 269) 16. El tiempo desde la carga hasta el vaciado (min) de un acero al carbono en un tipo de horno Siemens-Martin se determinó para cada hornada en una muestra de tamaño 46 y el resultado fue un tiempo medio muestral de 382.1 y una desviación estándar muestral de 31.5. Calcule un límite de confianza superior de 95% para el tiempo de carga a vaciado promedio verdadero. SOLUCION Datos:

̅ == 382. 46 1 .= 31.= 95% 5

−∝ 〈 −⁄ √  ; +−⁄ √ 〉  = % −⁄ = . = . % 〈382.11.96 31.√ 465 ;382.1+1.96 31.√ 465〉 %〈382.1 9.103 ;382.1 +9.103〉 %〈372.997 ; 391.203〉

A un nivel de confianza del 95%, el tiempo de carga a vaciado promedio verdadero, se encuentra entre 372.997y 391.203

Libro Walpole (página 286) 9.12. El consumo regular de cereales preendulzados contribuye a la caída de los dientes, a las enfermedades cardiacas y a otras enfermedades degenerativas, según estudios realizados por el doctor W. H. Bowen del Instituto Nacional de Salud y el doctor J. Yudben, profesor de nutrición y dietética de la Uni versidad de Londres. En una muestra aleatoria de 20 porciones sencillas similares del cereal Alpha-Bits, el contenido promedio de azúcar fue de 11.3 gramos con una desviación estándar de 2.45 gramos. Suponiendo que el contenido de azúcar está distribuido normalmente, construya unintervalo de confianza de 95% para el contenido medio de azúcar para porciones sencillas de AlphaBits. SOLUCION Datos:

̅ == 11.20 3  .= 2.=495% 5  ESTADISTICA APLICADA

28


−∝ 〈 −⁄ √  ; +−⁄ √ 〉  = % −⁄ = . = . % 〈11.31.96 2.√ 2405 ;11.3+1.96 2.√ 2405〉 %〈11.3 1.074 ;11.3 +1.074〉 %〈10.226 ; 12.374〉 A un nivel de confianza del 95%, el contenido medio de azúcar para porciones sencillas de Alpha-Bits, se encuentra entre 10.226 y 12.374 gramos

9.14. Una muestra aleatoria de 10 barras de chocolate energético de cierta marca tiene, en promedio, 230 calorías con una desviación estándar de 15 calorías. Construya un intervalo de confianza de 99% para el contenido medio de calorías real de esta marca de barras de chocolate energético. Suponga que la distribución de las calorías es aproximadamente normal SOLUCION Datos:

̅ == 23010  .= 15= 99%  −∝ 〈 −⁄  ; +−⁄  〉 √  √   = % −⁄ = . = . % 〈2302.57 √ 1510 ;230+2.57√ 1510〉 %〈23012.19 ;230+12.19〉 %〈217.81 ; 242.19〉 A un nivel de confianza del 99%, el contenido medio de calorías real de esta marca de barras de chocolate energético, se encuentra entre 217.81 y 242.19 calorías


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2. 5 EJERCICIOS DE INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA Libro Walpole (página 310)



9.72 Una muestra aleatoria de 20 estudiantes obtuvo una media de = 72 y una varianza de s2 = 16 en un examen universitario de colocación en matemáticas. Suponga que las calificaciones se distribuyen normalmente y construya un intervalo de confianza de 98% para σ2. SOLUCION Datos:

= =2016 . = =7298%

     −∝ 〈 −⁄;− ≤  ≤ ⁄;−〉  = % −⁄;− = .; = . ⁄;− = .; = .  20116  % 〈20116 ≤  ≤ 36.19 7.63 〉 %〈8.4 ≤  ≤ 39.84〉 %〈8.4; 39.84〉

A un nivel de confianza del 98%, la variabilidad de calificaciones de todos los estudiantes, se encuentra entre 8.4 y 39.84

Libro Jay L. Devore (página 280) 44. Se determinó la cantidad de expansión lateral (mils) con una muestra de n = 9 soldaduras de arco de gas metálico de energía pulsante utilizadas en tanques de almacenamiento de buques LNG. La desviación estándar muestral resultante fue s=2.81 mils. Suponiendo normalidad, obtenga un intervalo de confianza de 95% para y para





SOLUCION Datos:

 == 2.9 81 .  ==7.895% 96

     −∝ 〈 −⁄;− ≤  ≤ ⁄;−〉  = % −⁄;− = .; = . ⁄;− = .; = .  8 96 9 17. 8 96  % 〈917. ≤  ≤ 17.53 2.18 〉


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%〈3.6 ≤  ≤ 28.98〉 %〈3.6 ; 28.98〉 A un nivel de confianza del 95%, la variabilidad de soldaduras de arco de gas metálico de energía pulsante utilizadas en tanques de almacenamiento de buques LNG, se encuentra entre 3.6 y 28.98



Ahora hallamos un intervalo de confianza de 95% para : En este caso solo sacamos la raíz cuadrada

%〈3.6 ; 28.98〉 %〈. ; . 〉 Libro Walpole (página 310) 9.73 El consumo regular de cereales preendulzados contribuye a la caída de los dientes, a las enfermedades cardiacas y a otras enfermedades degenerativas, según estudios realizados por el doctor W. H. Bowen del Instituto Nacional de Salud y el doctor J. Yudben, profesor de nutrición y dietética de la Un versidad de Londres. En una muestra aleatoria de 20 porciones sencillas similares del cereal Alpha-Bits, el contenido promedio de azúcar fue de 11.3 gramos con una desviación estándar de 2.45 gramos. Suponiendo que el contenido de azúcar está distribuido normalmente, Construya un intervalo de confianza de 95% para σ2. SOLUCION Datos:

 == 202.45 .  ==6.95% 0025

     〈 −∝ −⁄;− ≤  ≤ ⁄;−〉  = % −⁄;− = .; = . ⁄;− = .; = .  0 025 1916. 0 025  % 〈1916. ≤  ≤ 32.85 8.9 〉 %〈3.29 ≤  ≤ 12.81〉 %〈3.29 ; 12.81〉

A un nivel de confianza del 95%, la variabilidad del contenido de azúcar, se encuentra entre 3.29 y 12.81

9.74 Una máquina produce piezas metálicas de forma cilíndrica. Se toma una muestra de las piezas y los diámetros son 1.01, 0.97, 1.03, 1.04, 0.99, 0.98, 0.99, 1.01 y 1.03 centímetros. Construya un intervalo de confianza de 99% para σ2 ESTADISTICA APLICADA

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SOLUCION Datos:

̅ == 1.9 006 .= 2.=899% 44  = 8.088

     −∝ 〈 −⁄;− ≤  ≤ ⁄;−〉  = % −⁄;− = .; = . ⁄;− = .; = .  0 88 918. 0 88  % 〈918. ≤  ≤ 21.95 1.34 〉 %〈2.95 ≤  ≤ 48.29〉 %〈2.95 ; 48.29〉

A un nivel de confianza del 99%, la variabilidad de los diámetros de todas las piezas que produce una máquina, se encuentra entre 2.95 y 48.29 cm

9.75 Una muestra aleatoria de 10 barras de chocolate energético de cierta marca tiene, en promedio, 230 calorías con una desviación estándar de 15 calorías. Construya un intervalo de confianza de 99% para σ. Suponga que la distribució n de las calorías es aproximadamente normal. SOLUCION Datos:

̅ == 23010 .= 15= 99%  = 225

     −∝ 〈 −⁄;− ≤  ≤ ⁄;−〉  = % −⁄;− = .; = . ⁄;− = .; = .  101225  % 〈101225 ≤  ≤ 23.59 1.73 〉 %〈85.84 ≤  ≤ 1170.52〉 %〈9.26 ; 34.21〉

A un nivel de confianza del 99%, la variabilidad de las barras de chocolate energético de cierta marca, se encuentra entre 9.26 y 34.21 calorías


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3. 5 EJERCICIOS DE INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN. Libro Jay L. Devore (página 269) 21. Se seleccionó una muestra aleatoria de 539 familias de unaciudad del medio oeste y se determinó que 133 de éstas poseían por lo menos un arma de fuego (“The Social Determinants of Gun Ownership: Self-Protection in an Urban Environment”, Criminology , 1997: 629-640). Utilizando un nivel de confianza de 95%, calcule un límite de confianza inferior para la proporción de todas las familias en esta ciudad que poseen por lo menos un arma de fuego. SOLUCION

.= 0.=295% 47 −∝ 〈−⁄  〉  ;+−⁄    = 539  = % −⁄ = . = . 2 47 0 . 2 4710. 2 47  % 〈0.2471.96 0.24710. ; 0 . 2 47+1. 9 6 539 539 〉 % = 〈0.2470.036 ;0.247+0.036〉 %〈0.211 ; 0.283〉 Datos:

A un nivel de confianza del 95%, el límite de confianza inferior para la proporción de todas las familias en esta ciudad que poseen por lo menos un arma de fuego es 0.211

19. El artículo “Limited Yie ld Estimation for Visual Defect Sources” (IEEE Trans. on Semiconductor Manuf., 1997: 17-23) reportó que, en un estudio de un proceso de inspección de obleas particular, 356 troqueles fueron examinados por una sonda de inspección y 201 de éstos pasaron la prueba. Suponiendo un proceso estable, calcule un intervalo de confianza (bilateral) de 95% para la proporción de todos los troqueles que pasan la prueba. SOLUCION

.= 0.=595% 65 −∝ 〈−⁄  〉  ;+−⁄    = 356  = % −⁄ = . = . 5 65 0 . 5 6510. 5 65  % 〈0.5651.96 0.56510. ; 0 . 5 65+1. 9 6 356 356 〉 Datos:


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% = 〈0.5650.051 ;0.565+0.051〉 %〈0.514 ; 0.616〉 A un nivel de confianza del 95%, la proporción de todos los troqueles que pasan la prueba, se encuentra entre 0.514 y 0.616

20. La Prensa Asociada (9 de octubre de 2002) reportó que en una encuesta de 4722 jóvenes estadounidenses de 6 a 19 años de edad, 15% sufría de problemas serios de sobrepeso (un índice de masa corporal de por lo menos 30; este índice mide el peso con respecto a la estatura). Calcule e interprete un intervalo de confianza utilizando un nivel de confianza de 99% para la proporción de todos los jóvenes estadounidenses con un problema de sobrepeso serio. SOLUCION Datos:

.  = 15%4772 = 708 = 99%  == 0.472215 −∝ 〈−⁄   ;+−⁄   〉  = % −⁄ = . = . 1 5 0 . 1 510. 1 5  % 〈0.152.57 0.1510. ; 0 . 1 5+2. 5 7 4722 4722 〉 % = 〈0.150.013 ;0.15+0.013〉 %〈0.137 ; 0.163〉 A un nivel de confianza del 95%, la proporción de todos los jóvenes estadounidenses con un problema de sobrepeso serio, se encuentra entre 0.137 y 0.163

Libro Walpole (página 304) 9.53. En una muestra aleatoria de 1000 viviendas en cierta ciudad, se encuentra que 228 se calientan con petróleo. Encuentre el intervalo de confianza de 99% para la proporción de viviendas en esta ciudad que se calientan con petróleo. SOLUCION Datos:

.= 0.=299% 28  = 1000

−∝ 〈−⁄   ;+−⁄   〉


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Trabajo N1

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