Transformasi geometri
Soal Transformasi
6.
Diketahui fungsi g: sumbu X
V yang didefinisika didefi nisikan n sebagai sebaga i berikut : Apabila P (x,0)
2
maka g (P) = (x,x ) a) Tentukan peta A (3,0) oleh g b) Apakah R (-14,196) c) Apakah g surjektif?
daerah nilai g?
d) Gambarlah daerah nilai g Penyelesaian : a) Peta A ( 3, 0) oleh g g ( P ) = ( X,X 2 ) 2
g( A ) = ( X,X ) g ( 3,0 ) = ( 3, 32 ) g (3,0 ) = ( 3, 9 ) b) ( -14, 196 ) daerah nilai g g ( P ) = ( X,X 2 ) X = -14 X2 = 196 Jadi R ( -14, 196) daerah nilai g c) g ( P ) = ( X,X 2 ) ambil X R maka F ( X) = Y 2
2
F ( X,X ) = ( Y,Y ) Y R maka X R, X adalah prapeta dari Y sehingga g fungsi.
d) Gambar daerah nilai g
7.
T : V V, didefenisikan sebagai berikut : Apabila P (x, y) maka : i. T (P) = (x + 1, y) untuk x > 0 ii. T (P) = (x - 1, y) X < 0 a. Apakah T injektif b. Apakah T suatu transformasi (ii) x < 0
P¶
(i) untuk x > 0
P
P
P¶
X
Penyelesaian Missal
P = (x, y)
B = (x1, y1) 1) Jika B prapeta titik P (x, y) maka T (B) =(x1 + 1, y1) Jadi x1 + 1 = x x1 = x-1 y1 = y
2) Jika B prapeta titik P (x, y) maka T (C) = (x1 - 1, y1)
Jadi x -1 = x x=x+1 y=y T ( (x1 + 1), y1)= ( (x ± 1) + 1, y)
= (x, y) T ((x1 ± 1), y1) = ( (x + 1) ± 1, y) = (x, y) Karena (x1, y1) untuk (i) dan (ii) selalu ada untuk segala (x, y) maka titik B selalu ada sehingga : T(B) untuk (i) dan (ii) = P
Untuk 1) T (P) = (x + 1, y) Jika P sembarang, maka titik di V memiliki prapeta yang berarti bahwa T injektif. Misal
: P (x1, y1) dan Q ( x2, y2) dengan P Q
T (P) T (Q) «.. ? T (P) = (x1 + 1, y1) dan T (Q) = ( x2 + 1, y2) T (P) = T (Q) maka (x1 + 1, y1) = ( x2 + 1, y2) x1 + 1 = x2 + 1 dan y1 = y2 x1 = x2 dan y1 = y2 sehingga P = Q dan berlawanan bahwa P Q jadi T (P) T (Q) dengan demikian T injektif Misal
jika A (x, y) maka kita harus jawab apakah A memiliki prapeta oleh T?
Missal
= B (x1 , y1)
Jika B prapeta titik A (x, y) maka berlaku T (B) = (x1 + 1, y1)
Jadi
Jelas T ( x ± 1, y) = ( (x-1) + 1, y) = (x,y) Karena (x1 , y1) selalu ada untuk segala nilai (x, y) maka B selalu ada sehingga T (B) = A. Karena A sembarang, maka setiap titik di V memiliki prapeta yang berarti bahwa T surjektif, dengan demikian ternyata T suatu tra nsformasi dari V ke V.
Untuk 2) T (P) = (x-1, y)
Missal
P ((x1, y1) dan Q (x2, y2) dengan P Q
T (P) T (Q)«««. ? T (P) = (x1 - 1, y1) dan T (Q) = (x2 - 1, y2) T (P) = T (Q), maka (x1 - 1, y1) = (x2 - 1, y2) x1 - 1 = x2 - 1 dan y1 berarti x1 = x2 dan y1 sehingga P = Q dan berlawanan bahwa P Q jadi T (P) T (Q), dengan kata lain T injektif. Misal
jika A (x, y) maka berlaku T (P) = P1 dan P1 = (x-1, y)
Jelas daerah asal T adalah sebuah bidang V Missal
A = (x, y) maka kita harus jawab a pakah A memiliki prapeta oleh T?
Missalkan
B = (x1 , y1)
Jika B prapeta titik A (x, y) maka haruslah berlaku T (B) = (x1- 1, y1) Jadi x1 - 1 = x x1 = x + 1 y1 = y Jelas T ( x + 1, y) = ((x+ 1) ± 1, y) = ( x, y) Karena (x1 , y1) selalu ada untuk segala nilai (x, y) maka B selalu a da sehingga T (B) = A. Karena A sembarang, maka setiap titik di V memiliki prapeta yang berarti bahwa T surjektif, dengan demikian ternyata T suatu tra nsformasi dari V ke V.
