2016 APUNTES DE
ÁLGEBRA LINEAL
DAMF
[email protected]
Vladimir Acori Flores
Apuntes de
ÁLGEBRA LINEAL con plantilla “D”
Revista digital (http://www.tec-digital.itcr .tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/). .ac.cr/revistamatematica/). Matemática, Educación e Internet. (http://www
Vladimir Acori Flores
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Deparatamento Académico de Matemática y Física
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la ley aplicable o se acuerde por escrito, el software distribuido bajo la Licencia se distribuye “tal y
como está”, sin garantías ni condiciones de ningún tipo , ya sea expresa o implícita. Primera edición, Enero 2016
Índice general
1 Matrices
....................................................... 7
1.1
Matrices. Definición y ejemplos
7
1.2
Tipos de matrices
8
1.3
Aplicaciones de la matrices
11
1.4
Operaciones con matrices
15
1.4.1
Suma y diferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.2
Multiplicación escalar por una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.3
Transposición de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.4
Multiplicación de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5
La matriz inversa
1.5.1
Método directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.2
Método de Gauss–Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6
Rango de una matriz
24
31
1.7 Factorización LU de una matriz
33
1.8
34
Matrices especiales
1.9 Criptografía
36
2 Determinantes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1
Determinantes. Definición y primeros ejemplos
42
2.1.1
Regla de Sarrus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2
Propiedades de los determinantes
46
2.3
Relación entre la inversa y los determinantes
51
3
Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1
Sistemas de ecuaciones lineales
61
3.2
Clasificación de los sistemas lineales
62
3.3
Sistemas lineales Homogéneos
65
3.4
Eliminación de parámetros
68
3.5
Aplicación de los sistemas lineales
70
3.5.1
Línea de regresión por míminos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.5.2
Análisis de redes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.5.3
Matrices estocásticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.5.4
Programación lineal: optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.5.5
Modelo lineal en economía: Método de Leontief . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4
Espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.1 Introducción
89
4.2
Espacio vectorial
90
4.3
Subespacio vectorial
96
4.3.1
Caracterización de subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.4
Combinación lineal y espacio generado
101
4.5
Independencia Lineal
106
4.6
Base de un Espacio Vectorial
109
4.7
Coordenadas respecto de una base
112
4.8
Uso de operaciones elementales para obtener bases
113
4.9
Dimensión de un espacio vectorial
114
4.10
Suma, intersección y suma directa de subespacios
116
4.11
Fórmula de la dimensión
116
Bibliografía
117
Matrices. Definición y ejemplos Tipos de matrices Aplicaciones de la matrices Operaciones con matrices Suma y diferencia Multiplicación escalar por una matriz Transposición de matrices Multiplicación de matrices
La matriz inversa Método directo Método de Gauss–Jordan
Rango de una matriz Factorización LU de una matriz Matrices especiales Criptografía
1 — Matrices
Las matrices son herramientas del álgebra que facilitan el ordenamiento de datos, así como su
manejo. Los conceptos de matriz y todos los relacionados fueron desarrollados basicamente en el siglo XIX por matemáticos ingleses como James Joseph Sylvester (1814-1897) y Arthur Cayley y el irlandés
William Hamilton. Las matrices se encuentran en aquellos ámbitos en los que se trabaja con datos regularmente ordenados y aparecen en situaciones propias de las Ciencias Sociales, Económicas, Biológicas e
Ingenierías.
1.1 Matrices. Definición y ejemplos Una matriz en una tabla rectangular de números reales dispuestas en filas y columnas del siguiente
modo:
A =
a11 a21 .. .
a12 a22 .. .
am1 am2
a13 ··· a1n a23 ··· a2n .. . . . . .. . am3 ··· amn
columnas de la matriz A
→
filas de la matriz A
Abreviandamente se puede expresar A = (ai j ). Cada elemento de la matriz lleva dos subíndices. El primero de ellos “i”, indica la fila en la que se encuentra el elemento, y el segundo, “ j”, la columna. Así el elemento a34 está en la fila 3 y columna 4. Las matrices siempre se representarán con letras
mayúsculas A, B, . . ., etc.
8
Matrices
1.1 (Ejemplos de matrices)
A =
5 −7
−2 3
B =
√
5 6
−14
0 3 9
C =
2 5 3 −3 5 1/2 7 0
2 √ 43 6
De la matrices A , B y C podemos decir lo siguiente 1 A tiene 2 filas y 2 columnas, diremos que su tamaño es 2 × 2. ¿Qué elemento es a22 ?. 2
B tiene 2 filas y 3 columnas, diremos que su tamaño es 2
× 3. ¿Qué elemento es b13?.
3
C tiene 4 filas y 3 columnas, diremos que su tamaño es 4
× 3. ¿Qué elemento es c43? .
Nota En general, si una matriz A tiene m filas y n columnas, diremos que su orden, tamaño o dimensión es m
× n, se lee “m por n”, siempre en primer lugar el número de filas y en segundo
lugar el de columnas.
1.2 Tipos de matrices 1
Se llama matriz nula a la que tiene todos sus elementos cero. Por ejemplo, 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0
2
es una matriz de tamaño 2 × 5. Se llama matriz fila a la que tiene sólo una fila, es decir, su dimensión es 1 × n. Por ejemplo, A =
3
es una matriz fila de tamaño 1 × 4.
−
1 1 0 π
Se llama matriz columna a la que sólo consta de una columna, es decir, su dimensión será
m × 1. Por ejemplo, B =
es una matriz columna de tañano 3 × 1.
5 2 3
1.2 Tipos de matrices 4
9
Una matriz es cuadrada cuando tiene el mismo número de filas que de columnas; es decir, su
dimensión es n × n. Por ejemplo, C =
1 2 3
−2 −3 −5
3 5 8
es una matriz de tamaño 3 × 3, ó simplemente de orden 3.
Dentro de las matrices cuadradas la diagonal principal está formado por los elementos a11 , a22 , a33, . . . , ann
siendo la matriz:
A =
a11 a12 a13 ··· a1n a21 a22 a23 ··· a2n .. .. .. . . . . .. . . . an1 an2 an3 ··· ann
En la matriz C del ejemplo anterior, su diagonal principal estaría formado por: 1, -4, 6. Se llama traza de la matriz a la suma de los elementos de la diagonal principal; es decir, Traza(A) = a11 + a22 + a33 + ··· + ann , y en el caso de C, Traza(C) = 1 − 3 + 8 = 6. La diagonal secundaria está formada por los elementos a1n , a2(n−1) , a3(n−2) , . . . , an1
En la matriz C estaría formada por: 3 , −3, 3. Una clase especial de matrices cuadradas son las matrices triangulares. Definición 1.1 (Matriz triangular superior e inferior) Una matriz es triangular superior, si todos sus elementos por debajo de la diagonal principal
son nulos y triangular inferior si son nulos todos los elementos situados por encima de dicha
diagonal.
10
Matrices
1.2 (Matrices triangulares superior e inferior) La matriz E es triangular superior y la matriz F es triangula inferior.
E =
π
0 0
−9
6 2
5 0
π
F =
1 1 3 5
0 0 −2 0 0 25 7 35
0 0 0 −75
Definición 1.2 (Matriz diagonal) Si una matriz es a la vez triangular superior e inferior, sólo tiene elementos en la diagonal
principal. Una matriz de este tipo se denomina matriz diagonal. 1.3 (Matriz diagonal) La matriz G es diagonal y su traza es Traza (A) = 5 − 1 + 0 + 20 = 24. G =
5 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 20
Definición 1.3 (Matriz Identidad) Una matriz diagonal tiene en su diagonal principal sólo unos, se denomina matriz unidad o
identidad y se suele denotar por I n , donde n es el orden o tamaño de la matriz. 1.4 (Matrices identidades) Son matrices identidad de orden dos, tres y cuatro.
I 2 =
1 0 0 1
I 3 =
1 0 0 0 1 0 0 0 1
I 4 =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Definición 1.4 (Matriz escalar) Una matriz cuadrada se llama escalar si los elementos de la diagonal principal son iguales y
el resto son cero.
1.3 Aplicaciones de la matrices
11
1.5 (Matrices escalares) Son matrices identidad de orden dos, tres y cuatro.
A =
3 0 0 3
B =
−
4 0 0
0 −4 0
− 0 0 4
C =
x 0 0 0
0 x 0 0
0 0 x 0
0 0 0 x
Definición 1.5 (Igualdad de matrices) Dos matrices A = (ai j ) y B = (bi j ) son iguales si son del mismo orden y sus elementos correspondientes son idénticos, es decir A = B si y sólo si ai j = bi j , ∀ 1 ≤ i ≤ m 1 ≤ j ≤ n
1.6 (Matrices que son iguales) Sean las matrices A =
2
3 5 x − 1 −1 0
Se tiene que A = B si x = 4 y z =
tamaño.
B =
2 3
3 5 −1 z + 5
C =
x 1 2 3
−5, sin embargo A = C y B = C, pues son de distinto
1.3 Aplicaciones de la matrices Las matrices se utilizan en el contexto de las ciencias como elementos que sirven para clasificar
valores numéricos atendiendo a criterios y variables. 1.7 (Despliegue de valores en forma de tabla) La matriz siguiente proporciona la distancia entre las ciudades indicadas (en millas terrestres)
Londres Madrid Nueva York Tokio
Londres Madrid Nueva York 0 785 3 ,469 785 0 3,593 3,469 3,593 0 5,959 6,706 6,757
Tokio 5,959 6,706 6,757 0
12
Matrices
1.8 (Producción) Supongamos que un fabricante tiene tres fábricas en cada una de las cuales se manufacturan cuatro productos. Si denotamos por ai j el número de unidades del producto i elaboradas por la
fábrica j en una semana, la matriz siguiente de 3
del fabricante Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3
× 4 nos proporciona la producción semanal
Producto 1 Producto 2 Producto 3 Producto 4 500 650 600 450 250 350 370 470 300 400 200 350
Por ejemplo, en una semana, la fábrica 2 produce 370 unidades del producto 3.
1.9 (Sistema lineal de ecuaciones) El siguiente sistema lineal de cuatro ecuaciones y tres incógnitas, dadas por
− −
2 x − y + 5 z = x − 2 z = x − 2 y + z = 3 y − 3 z =
18 −5 2 0
se le puede asociar las siguientes matrices:
A =
2 1 1 0
−1 0 −2 3
5 2 1 3
X =
x y z
b =
− 18 5 2 0
De tal forma que se tendría la ecuación matricial AX = b. Mas adelante llamaremos A a la
matriz de coeficientes del sistema lineal.
1.10 (Matrices de información) Un empresario importa globos de tres colores: rojo (R), verde (V) y morado (M). Todos ellos
se envasan en paquetes de 5 y 10 unidades, que se venden al precio (en dólares) indicado por
la siguiente tabla:
1.3 Aplicaciones de la matrices
13
Color R Color V Color M
5 unid. 0.12 0.10 0.11
10 unid. 0.09 0.08 0.07
Sabiendo que en un año se venden el siguiente número de paquetes: 5 unid. 10 unid.
Color R Color V 50 000 35 000 52 000 38 000
Color M 48 000 20 000
Resumir la información anterior en 2 matrices A y B , de tamaño respectivo 3
recojan las ventas en un año (A) y los precios (B).
× 2 y 2 × 3 que
Solución: Nos piden que
organicemos la información anterior en dos matrices de tamaño concreto. Si nos fijamos las tablas, es sencillo obtener las matrices: 5u 10u R 50000 52000 A = V 35000 38000 M 48000 20000
R
5u B = 10u
V
M
0,12 0,10 0,11 0,09 0,08 0,07
Estas matrices se denominan matrices de información, y simplemente recogen los datos numéricos del problema en cuestión. 1.11 (Matriz de relación) Las llamadas matrices de relación, indican si ciertos elementos están o no relacionados entre sí. En general, la existencia de relación se expresa con un 1 en la matriz y la ausencia de dicha
relación se expresa con un 0. Estas matrices se utilizan cuando queremos trasladar la información dada por un grafo y expresarla
numericamente. En matemáticas un grafo es una colección cualquiera de puntos conectados por líneas. Existen
muchos tipos de grafos entre las cuales tenemos: Grafo simple Es el grafo que no contiene ciclos, es decir, líneas que unen un punto consigo mismo,
ni líneas paralelas, es decir, líneas que conecten el mismo par de puntos. Grafo dirigido Es el grafo que indica un sentido de recorrido de cada línea, mediante una flecha. Son ejemplos de grafos se presentan en la figura ( 1.1) Algunas matrices se relacionan con los grafos, de entre todas ellas, nos detendremos en la llamada matriz de adyacencia, que está formada por unos y ceros exclusivamente, de tal forma que: un 1 en
14
(a)
Matrices
(b)
(c)
Figura 1.1:
el lugar (i, j ) expresa la posibilidad de ir desde el punto de la fila i hasta el punto de la columna j mediante una línea que los una directamente, un 0 en el lugar ( i, j ) expresa la imposibilidad de ir del
primer punto al segundo mediante una línea que los una directamente. Para el grafo dirigido A
B
D
C
su matriz de adyacencia es A B C D
A B C D
0 1 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0
1 1 0 0
1.4 Operaciones con matrices
15
Ejercicio 1.1 Escribir las correspondientes matrices de adyacencia de los grafos:
Ejercicio 1.2 Dibujar los grafos dirigidos que correspondan a las matrices de adyacencia: A B C
A 0 B 1 C 0
1 0 0 1 1 0
A B C D
A B C D
0 0 1 0 0 1 0 0
0 1 0 1
1 0 1 1
1.4 Operaciones con matrices 1.4.1 Suma y diferencia Dadas la matrices A y B podemos realizar la suma o diferencia de acuerdo a la siguiente regla. Para sumar o restar dos matrices del mismo tamaño, se suman o restan los elementos que se encuentren
en la misma posición, resultando otra matriz de igual tamaño. Definición 1.6 (suma de matrices) Sean A = [ ai j ] y B = [ bi j ] matrices de orden m × n, entonces la suma de A y B es la matriz A + B de orden m × n dada por A + B = [ ai j + bi j ] .
1.12 (Suma de matrices) Sean las matrices A =
A + B =
−
5 6
−7
− − − −
3 8 4
5 + (−1) −6 + 4
y B =
1 3 4 2
5 6
7+3 3+5 8+2 4−6
=
4 −2
entonces,
4 10
8 −2
16
Matrices
Nota Si las matrices tienen diferente tamaño, no se pueden sumar o restar entre sí. Propiedades de la suma (y diferencia) de matrices: Conmutativa: A + B = B + A 2 Asosiativa: A + (B + C) = ( A + B) + C. 3 Elemento neutro: La matriz nula de tamaño correspondiente 1
4
Elemento opuesto de A: La matriz
de A.
−A, que resulta de cambiar de signo a los elementos
1.13 (Opuesto de una matriz) Sea la matriz A =
−
1 3 5
− − − − − − − − − − − −7
9 11
1 3 5
entonces el opuesto de A es A =
1 3 5
A + ( A) =
−
7 9 11
+
1 3 5
7 9 11
7 9 11
pues,
0 0 0 0 0 0
=
Ejercicios 1.1 1.1 Las exportaciones, en millones de dólares, de 3 países A, B, C a otros tres X , Y , Z , en los años 2014 y 2015 viene dada por las matrices: X A A2014 = B
10
Y
6, 5
Z
3,5
12,5 10,8 8,6
C 19,1 11,3 0,9
X
A A2015 = B
C
Y
Z
12,5
8
10,9
7,3
15,4
5
2,6
5,6
9
a.) Calcula y expresa en forma de matriz el total de exportaciones para el conjunto de los dos años. b.) ¿Cuántos millones ha exportado el país B al Z en total? c.) Calcula el incremento de las exportaciones del año 2014 al 2015 con los datos del ejemplo anterior.
1.4 Operaciones con matrices
17
1.2 Calcule x, y, z en la suma:
x − y 2 0
−1
2 y − x z 3
− −
y 0 z z 3 2 2 4 x
+
− −
1 0 2
=
−1
3 5 5 5 1
1.3 Calcular a, b, c para que se cumpla la igualdad:
3−a 4
b −c + 1
−2 6
2
a+b 4 1−c 2 0
+
− =
1 a 2 2 0 6
1.4.2 Multiplicación escalar por una matriz Sea A una matriz cualquiera y r un número real, el producto rA se realiza multiplicando todos los elementos de A por r , resultando otra matriz de igual tamaño. (Evidentemente la misma regla se
sirve para dividir una matriz por un número real). Definición 1.7 (Multiplicación de un escalar por una matriz) Sea la matriz A = [ai j ] de orden m × n y r un escalar, entonces la multiplicación de r por A es la matriz rA de orden m × n dado por r A = [rai j ] .
1.14 (Multiplicación de matriz por un escalar) Sea la matriz A =
2 1 −5 3
r A = −3.
−4 7
y r = −3, entonces
2 1 −5 3
− − 4 7
=
6 15
−3 12 −9 −21
Propiedades de la multiplicación de un escalar por una matriz Distributiva respecto a la suma de matrices: r (A + B) = r A + r B 2 Distributiva respecto a la suma de números: (r + s)A = r A + sA 3 Asosiativa: r (sA) = ( rs)A 4 Elemento neutro, el número 1: 1 A = A 1
18
Matrices
Ejercicios 1.2 1.4 Si A =
− 2 2 0 1
2 0 0 1
y B =
. Hallar la matriz X que verifica la ecuación:
2 · X − 4 · A = B 1.5 Determine las matrices X y Y sabiendo que:
− −
3 X 5Y = X + 3Y =
− 1 8
2 1
2 4 3 0
1.4.3 Transposición de matrices Sea A una matriz cualquiera, se llama matriz transpuesta de A, y se representa por At a la matriz que
resulta de intercambiar las filas por las columnas de A. Definición 1.8 (Transpuesta de una matriz) Sea A una matriz de orden m × n, entonces la transpuesta de A es la matriz At de orden n × m dado por At = [a ji ]
1.15 (Matriz transpuesta) Sea A =
2 1 5 0 −3 2 6 7
, entonces la matriz transpuesta de A es
At =
2 1 5 0
− 3 2 6 7
Nota Si una matriz es cuadrada, su transpuesta tendrá el mismo tamaño. Propiedades de la traspuesta de una matriz 1 2
(At )t = A (A + B)t = At + Bt
1.4 Operaciones con matrices 3 4
19
(r A)t = r At (A B)t = Bt At
·
·
En base a esta nueva operación podemos definir otras dos clases de matrices: matriz simétrica y
antisimétrica. Definición 1.9 (Matriz simétrica) La matriz A es simétrica si At = A.
1.16 (Matriz simétrica) La matriz A =
es simétrica (comprobar).
−
1 x 3
x √ 05
−3 √ 5 −4
Nota En una matriz simétrica sus elementos son simétricos respecto de la diagonal principal. Ejercicio 1.3 ¿Puede ser simétrica una matriz que no sea cuadrada?, ¿por qué? Definición 1.10 (Matriz antisimétrica) La matriz A es antisimétrica si At = −A. 1.17 (Matriz antisimétrica) La matriz B =
es antisimétrica. (Comprobar)
− −
0 2 2 0 3 1
3 −1 0
Nota En una matriz antisimétrica, los elementos de la diagonal principal son siempre nulos (¿por qué?), y los restantes son opuestos respecto a dicha diagonal.
20
Matrices
Ejercicios 1.3
− −
1.6 Dadas la matrices A =
− − − −
1 3 3 1 4 3 1 3 4
1 2 6
y
1 0 1
1 2 0
, calcular 3 At + Bt .
1.7 Obtener X t , ( Y )t que verifiquen los sistemas:
2 X − 3Y = X − Y
=
1 5 4 2
1 0 3 6
,
X + Y =
2 1 3 0
X Y =
6 2 0 3
2 X + Y =
,
X + 2Y =
3 0
1 −2
1 0 −2 4
1.4.4 Multiplicación de matrices Hay que dejar claro ya desde el principio que no todas las matrices pueden multiplicarse. Dos
matrices se pueden multiplicar cuando se cumple la siguiente condición:
·
“ Para multiplicar dos matrices A y B, en ese orden, A B, es condición indispensable que el número de columnas de A sea igual al número de filas de B” .
·
Si no se cumple esta condición, el producto A B no puede realizarse, de modo que esta es una
condición que debemos comprobar previamente a la propia multiplicación. Una vez comprobado que el producto A B se puede realizar, si A es una matriz de orden m
·
×n
y B una matriz de orden n p (observamos que el número de columnas de A que es n es igual al
×
·
número de filas de la matriz B ), entonces el producto de A B da como resultado una matriz C de
orden m × p del siguiente modo:
El elemento que se encuentra en la fila i y la columna j de la matriz C = A B, se obtiene multipli-
·
cando los elementos de la fila i de A por la columna j de B y sumando los resultados. Definición 1.11 (Multiplicación de matrices) Sean las matrices A = [ ai j ] de orden m × n y B = [ bi j ] de orden n × p, entonces el producto de A y B es la matriz C = A · B de orden m × p n
A B = [ci j ] ,
·
ci j = ∑ aik bk j = ai1 b1 j + ai2 b2 j + ··· + ain bn j k =1
1.4 Operaciones con matrices
21
1.18 (Multiplicación de matrices)
Sean las matrices A =
−
−
3 2 1 2 5 3
4 2
y B =
0 1 2 3
−4 −2 0 2
·
− 1 1 2 1
.
Primero comprobamos que se puede realizar el producto A B, pues el número de columnas de A es 4 y el número de filas de B también es 4, y el resultado, según lo dicho será una matriz
de tamaño 2 × 3, es decir 2 filas y 3 columnas:
−
3 2 1 2 5 3
− · 4 2
0 1 2 3
−4 −2 0 2
− 1 1 2 1
=
Solución: Sólo falta completar los elementos de la matriz producto. Para ello, seguimos la regla
anterior: El elemento de la fila 1 columna 1 de A B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de A
·
por la columna 1 de B y sumar, es decir:
−3 · 0 + 2 · 1 + 1 · 2 + 4 · 3 = 0 + 2 + 2 + 12 = 16 El elemento de la fila 1 y columna 2 de A · B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de
A y la columna 2 de B y sumar :
−3 ·−4 + 2 ·−2 + 1 · 0 + 4 · 2 = 12 − 4 + 0 + 8 = 16 El elemento de la fila 1 y columna 3 de A · B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de
A y la columna 3 de B y sumar :
3 · 1 + 2 · 1 + 1 · 2 + 4 ·−1 = −3 + 2 + 2 − 4 = −3 El elemento de la fila 2 y columna 1 de A B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 2 de
A y la columna 1 de B y sumar :
·
2 · 0 + 5 · 1 + 3 · 2 + −2 · 3 = 0 + 5 + 6 − 6 = 5 El elemento de la fila 2 y columna 2 de A B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 2 de
A y la columna 2 de B y sumar :
·
2 ·−4 + 5 ·−2 + 3 · 0 + −2 · 2 = −8 − 10 + 0 − 4 = −22
22
Matrices
El elemento de la fila 2 y columna 3 de A B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 2 de
·
A y la columna 3 de B y sumar :
2 · 1 + 5 · 1 + 3 · 2 + −2 ·−1 = 2 + 5 + 6 + 2 = 15 Luego se tiene: A B =
·
16 5
−3
16 −22
15
Propiedades de la multiplicación de matrices Asosiativa: A · (B · C) = ( A · B) · C 2 Distributiva respecto a al suma: 1
A (B + C) = A B + A C
·
· · (A + B) · C = A · C + B · C 3
Elemento neutro: la matriz identidad correspondiente, si A es m × n: A In = A
· Im · A = A 4
En general el producto de matrices no es conmutativo: A B = B A
· ·
Pueden verse ejemplos en los ejercicios anteriores. La siguiente propiedad es muy interesante. 5
El producto de dos matrices no nulos A y B pude dar lugar a una matriz nula, por
ejemplo
2 1 3 0 2 1
· − 5 2 4
=
0 0
se dice que el conjunto de las matrices con la operación producto tiene divisores de
cero, hay matrices no nulas cuyo producto es nulo. Ejercicio 1.4 Una empresa distribuidora de accesorios de oficina tiene una carga lista para ser enviada. La carga consiste en 700 cajas de lapiceros, 500 de plumones, 200 de borradores, 100 de
fólderes y 50 de perforadoras. Los precios de mercado por caja cotizados para los distintos tipos de accesorios de oficina en diversos países están dados en la matriz A , donde las filas representan ordenadamente los países de Perú, Ecuador, Colombia, Venezuela, Uruguay, Brasil y Argentina, y
1.4 Operaciones con matrices
23
las columnas son para lapiceros, plumones, borradores, fólderes y perforadoras, respectivamente
A =
2 3 3 5 2 3 2
3 3 3 2 2 5 5
4 4 2 2 5 5 6
2 4 4 5 2 5 7
6 6 3 5 4 4 6
el costo (en dólares) del transporte es T =
C =
700 500 200 100 50
150 250 250 300 450 350 350
t
(los países estan en el mismo orden que la matriz A). Interpretar 1 AC y AC − T, 0 0 0 1 0 0 0 (AC − T) 2 Por métodos matriciales, encontrar el lugar a donde es conveniente enviar la mercancía.
Ejercicios 1.4 1.8 Si A = ¿Coinciden?
−
1 −2
3 6
, B=
3 2
− 5 1
·
·
. Calcular si es posible A B y B A.
1.9 Calcular todos los productos posibles entre las matrices: A =
1 2 0 1 1 2
−3 1 3
Además calcule A 2 y A3 .
B =
2 1 3
C =
2 1 0 3 4 5
1.10 Para las matrices A =
1 4
−1
2 0 3
B =
0 −1
3 4 −2 3
− C =
2 3 0 5 4 1 1 0 0
1 −2 −3
D =
3 1 2
Calcular : A + B, 3A − 4B, A · B, A · D, B · C, C · D, At · C, Dt · At , Bt · A, Dt · D, (D · Dt ) At .
24
Matrices
1.11 Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden, ¿son ciertas las propiedades siguientes, que son ciertas para las operaciones con números reales? a.) (A + B)2 = A2 + B2 + 2 · A · B b.) (A − B)2 = A2 + B2 − 2 · A · B c.) (A + B) · (A − B) = A2 − B2 1.12 Determinar el valor de a y b de la matriz A = 1.13 ¿Qué matrices conmutan con la matriz
2 a
1 2 0 1
− 1 b
para que A2 = A.
?
1.5 La matriz inversa Sabemos ya multiplicar matrices y hemos visto algunas de las propiedades de esta operación. Recordemos, en primer lugar, que no siempre es posible efectuar la multiplicación de dos matrices, y en segundo lugar, que aunque sea posible hacer esta multiplicación, en general no es conmutativo, es
decir A · B es diferente de B · A.
En el caso particular de que tratemos con matrices cuadradas del mismo orden A y B , es claro que
·
·
podemos efectuar los productos A B y B A, que darán como resultado otra matriz del mismo orden,
aunque, como ya se ha dicho, las matrices resultantes serán, en general, distintas. Sabemos también que el elemento neutro del producto de matrices es la matriz identidad I n . Por analogía con el caso de los números reales, podemos plantearnos la siguiente cuestión: si tenemos
un número real, por ejemplo 3, podemos interesarnos en buscar el inverso del 3 para el producto, es
decir un número real x tal que 3 · x = 1, el producto de 3 por x sea igual al elemento neutro, 1. Evidentemente, en el caso de los número reales es bién fácil despejar x para obtener, en nuestro caso, que x = 31 , es decir, el inverso de un número real es otro número que multiplicado por él da el elemento neutro, el 1. Todo número real , salvo el 0, tiene inverso. Trasladando esto a las matrices podemos plantear si dada una matriz cuadrada A de orden n, cualesquiera, existe su inversa X para el producto de matrices, tal que A X = In
·
es decir, el producto de A por su inversa produce el elemento neutro matricial, la matriz identidad In .
Sin embargo, hay algunas diferencias con respecto al caso de los números reales
1.5 La matriz inversa 1
25
No podemos despejar; la matriz X de modo que X =
de matrices. 2
I n , porque no hemos definido la división A
No todas las matrices cuadradas no nulas tienen matriz inversa (sea lo que sea, por analogía
con los números). Definamos, en primer lugar el término de matriz inversa. Definición 1.12 (Matriz inversa) Sea A una matriz cuadrada de orden n, se dice que A es invertible (o que posee inversa o que es no singular o que es regular), si existe otra matriz del mismo orden, denominada matriz
inversa de A y representada por A −1 y tal que: A A−1 = In
y A−1 · A = In
·
Nota
Si A no tiene inversa, se dice que es singular o no invertible y si una matriz tiene inversa,
dicha matriz inversa es única (sólo hay una).
Para calcular la matriz inversa podemos seguir dos vías: método directo y Gauus-Jordan.
1.5.1
Método directo Este método consiste en determinar A−1 planteando un sistema de ecuaciones. Aplicamos este método en el siguiente ejemplo. 1.19 (Matriz inversible) Determinar la inversa de la matriz A =
1 2
− 3 4
.
Solución: Se busca una matriz de igual tamaño (orden 2) tal que A A−1 = I 2 y A −1 A = I2 , es
·
decir A−1 =
x z y t
entonces se cumple A A−1 = I2
· − · − − 1 2
3 4
x z y t
=
1 0 0 1
x 3 y z 3t 2 x + 4 y 2 z + 4t
=
1 0 0 1
·
26
Matrices
por igualdad de matrices, se tiene el sistema de ecuaciones
−−
x + 2 z y + 2t x + 3 z y + 3t
= 1 = 0 = 0 = 1
resolviendo el sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas, se tiene x =
2 1 3 1 y = − z = t = 5 5 10 10
Por lo tanto, la matriz inversa es A−1 =
− 2 5
3 10
1 5
1 10
.
También se puede expresar sacando factor común A−1 =
1 · 10
4 3 −2 1
.
Se puede comprobar que también se cumple que A−1 · A = I 2 , luego A es invertible, tiene inversa. Nota Si el sistema de ecuaciones no tiene solución, la matriz no tiene inversa. Veamos esto con el siguiente ejemplo. 1.20 (Matriz singular) Determinar la inversa de la matriz A =
Solución: Procediendo del mismo modo que
3 6 5 10
el ejemplo anterior, se tiene A A−1 = I2
3 6 5 10
· · x z y t
=
1 0 0 1
3 x + 6 y 3 z + 6t 5 x + 10 y 5 z + 10t
=
1 0 0 1
igualando matrices, se tiene el sistema de ecuaciones
3 x + 6 y 5 x + 10 y 3 z + 6t 5 z + 10t
= 1 = 0 = 0 = 1
1.5 La matriz inversa De 5 x + 10 y = 0 se tiene x =
27
−2 y, reemplazando en la primera ecuación −6 y + 6 y = 1, es decir
0 = 1 (imposible). El sistema de ecuaciones no tiene solución. Por lo tanto, la matriz A no tiene inversa es singular. El método directo se suele emplear para encontrar para matrices de orden 2, si la matriz es de mayor
orden se hace difícil aplicar éste método, por ejemplo si la matriz es de orden 4, se tendría que
resolver una sistema de 16 ecuaciones con 16 incógnitas.
1.5.2 Método de Gauss–Jordan Este método consiste en hacer transformaciones elementales en las filas de una matriz para llegar a obtener la matriz identidad. Realizando estas mismas transformaciones con la matriz identidad
llegamos a la matriz A−1 . Definición 1.13 (Transformación elemental en una matriz) Llamamos transformación elemental en una matriz a: 1 Multiplicar o dividir una fila por un número real distinto de cero. 2 Sumar o restar a una fila otra multiplicada por un número real no nulo. 3 Intercambiar filas.
Definición 1.14 (Matriz escalonanda y matriz reducida por filas) Una matriz A de orden m × n se llama escalonada o reducida por filas si: 1 Todas las filas nulas, si las hay, deben estar al final de la matriz. 2 Por cada fila que no es completamente nula, el primer elemento no nulo es 1 (denominado 1 principal). 3
Para dos filas consecutivas (no nulas) el 1 principal del renglón superior está más a la
izquierda que el 1 principal del renglón inmediato inferior.
Nota Una matriz escalonada por filas está en la forma escalonada reducida si toda columna con un 1 principal tiene ceros en todas las posiciones por arriba y por debajo del 1 principal.
28
Matrices
1.21 (Matrices escalonadas y reducidas) Sean las matrices A =
B =
0 2 0 1 0 0 0 0 0 0
7 1 0 0
−1
−
5 0 3 0 2
5 −1 1 0
C =
1 5 2 0
D =
1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0
0 1 0 0
3 −2 0 0
0 0 1 0
− 0 1 2 0
Son matrices escalonadas A y B, C y D son matrices escalonadas reducidas. Las siguientes matrices no están en la forma escalonada. E =
0 5 0 0 3 1 0 0 1
3 −1 0
F =
1 0 0
−1 0 1
3 0 2
1 0 −4
El procedimiento para obtener A −1 por el método de Gauss–Jordan es el siguiente: 1 Se escribir la matriz aumentada ( A|In ). 2
3
Se utiliza operaciones elementales fila para poner la matriz A a su forma escalonada reducida
por filas. Se decide si A es invertible: a) Si la forma escalonada reducida por filas de A es la matriz identidad I , entonces A −1 es la que se obtiene a la derecha de la barra vertical. b) Si la reducción de A conduce a una fila de ceros ala izquierda de la bara vertical, entonces A no es invertible. 1.22 (Matriz inversa)
Determinar la matriz inversa de A =
1 2
− 3 4
Solución: Aplicando el método de Gauss–Jordan, consideremos la matriz A de orden 2 y la matriz
identidad del mismo orden (A In ) =
|
1 2
−3
1 0 4 0 1
Hacemos la matriz triangular superior (es decir, hacemos ceros por debajo de la diagonal principal) usando transformaciones elementales fila: La mejor forma de realizar esto es hacer cero los elementos
1.5 La matriz inversa
29
por debajo de la diagonal en la primera columna usando la fila 1. Luego, hacer cero los elementos
por debajo de la diagonal en la segunda columna usando la fila 2, y así sucesivamente. En nuestro caso, en la fila 2: multiplicamos por 2 a la fila 1 y restamos con la fila 2, y se obtiene (A In ) =
|
1 2
−3
1 0 4 0 1
F 2 : 2F 1 − F 2
−−−−−−−−→
1 2
−3 −10
1 2
0 −1
Una vez hecha la matriz triangular superior, se hace la matriz triangular inferior, haciendo ceros a los elementos por encima de la diagonal. El proceso es parecida a la anterior. Hacer cero los elementos por encima de la diagonal en la última columna usando la última fila. Luego, hacer cero los elementos por encima de la diagonal en la penúltima columna usando la penúltima fila, y así
sucesivamente. En nuestro caso, en la fila1: multiplicamos por 10 a la fila 1 y restamos la fila 2 multiplicada por 3, y
se obtiene (A In ) =
|
1 2
−3 −10
1 2
0 −1
F 1 : 10F 1 − 3F 2
−−−−−−−−−−→
10 0
0 4 −10 2
3 −1
Ya tenemos una matriz diagonal. Lo único que falta es dividir a cada fila entre el número adecuado para obtener unos en la diagonal, es decir para obtener la matriz identidad en la parte izquierda:
multiplicamos por
1 10
( A I 2 ) =
|
a la fila 1 y multiplicamos por − 101 a la fila 2, y se obtiene
10 0
0 4 −10 2
3 −1
− −−−−−−−−−−−→ F 1 :
F 1 , F : 10 2
F 2 10
1 0
4 10
3 10
0 1
− 210
1 10
Una vez que se tiene la matriz identidad en la parte izquierda, la parte derecha es la matriz inversa de A−1 , es decir
llegamos a
| − − · − I2 A−1
4 10
1 0
=
2 10
0 1
3 10 1 10
Es decir, la matriz inversa de A es
A−1 =
4 10
3 10
2 10
1 10
=
4 3 2 1
1 10
1.23 (Matriz inversa de orden 3) Determinar la matriz inversa de B =
2 1 3
−1 1 −1 −2 2
1
30
Matrices
Solución: Siguiendo los pasos anteriores, calculamos B −1
(B I3 ) =
|
2 1 3
− −−−−−−−→ − − − − − − − − −−−−−−−−−→ − − − − − − −−−−−−−−−−→ − − − − − −−−→ − − |
−1 1 −1 −2 2
por el método de Guss-Jordan.
1 0 0 0 1 0 1 0 0 1
F 1 : F 1
F 2
F 3 : 2F 2 + F 3 F 1 : 6F 1 F 2 : 18F 2
1 1 3
F 3 5F 3
1 F 6 1 1 F 18 1 1 F 18 1
1 0 0
0 1 2
0 1 0
6 0 0
3 1 2 0 1 0
3 2 18
1 0 1 0 0 1
1 1 5
1 2 7
0 0 1
0 0 1 18 0 7 0 18 5
1 1 7
1 5 1
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 6 7 18 5 18
1 6 1 18 7 18
1 6 5 18 1 18
= I3 B−1
luego, B−1 =
−
1 6 7 18 5 18
− −
1 6 1 18 7 18
−
1 6 5 18 1 18
· − =
1 18
3 7 5
3 −1 −7
3 5 −1
Propiedades de la matriz inversa 1 2 3 4
A −1
es única.
(A−1 )−1 = A (A B)−1 = B−1 A−1 (r A)−1 = 1r A−1
·
·
·
Veamos 1. Sean E1 y E2 matrices inversas de A, entonces se tiene AE1 = I , E1 A = I y AE2 , E1 A = I .
Por otro lado E1 = IE1 = ( AE2 ) E1 = ( E2 A) E1 = E2 (AE1 ) = E2 I = E2 .
1.6 Rango de una matriz
31
Ejercicios 1.5 1.14 Calcular por el método de Gauss–Jordan la inversa de las matrices:
A =
1 3 2
−2 2 −1
− − − − 3 4 0
7 2 3 1 0 1 2 1 3
B =
C =
1 2 3 1
2 6 7 1
3 4 7 8 8 12 1 1
3 0 0 1.15 Dada la matriz diagonal D = 0 5 0 . ¿Cómo calcularías de forma rápida de 0 0 7 inversa de una matriz diagonal cualquiera? a b 1.16 Sea la matriz A = . Demostrar que la inversa de A está dado por c d A−1 =
d · ad − bc −c
1
b a
1.6 Rango de una matriz Un concepto muy importante relacionado con las matrices es el de rango. El concepto de rango se encuentra ligado al de independencia lineal de filas o columnas de una matriz, pero no se introducirá
de esta manera porque se requieren de conceptos que no conocemos. Basta saber que se define el rango de una matriz como el número máximo de filas o columnas
linealmente independientes. Sin embargo, el cálculo del rango de una matriz lo abordaremos desde otra perspectiva, utilizando el
método de Gauss. Supongamos que tenemos una matriz cualquiera A a la que le aplicamos el método de Gauss con el fin de simplificarla lo más posible (es decir, consiguiendo que tenga el mayor número de ceros
posible), realizando operaciones elementales en filas. Definición 1.15 (Rango de un matriz) El rango de la matriz A es el número de filas no nulas de la matriz tras aplicarle en método de
Gauss y lo representaremos por Ran (A).
32
Matrices
1.24 (Rango de una matriz) Calcular el rango de las siguientes matrices A=
− 1 1 5 5
B=
2 1 1
−1
1 1 2 2 1
− C=
Solución: Haciendo operaciones elementales fila a la
A =
1 1 5 5
1 2 3 1 1 1
1 −2 2
− D=
matriz A obtenemos
F 2 : 5F 1 − F 2
−−−−−−−−→
1 1 0 1
Como A tiene una fila no nula, entonces Ran (A) = 1. Haciendo operaciones elementales fila en la matriz B obtenemos
B =
−
2 1 1
−1
1 1 2 2 1
−−−−−−−→ − − − −−−−−−−→ −−−−→ F 1 : F 1
F 2
F 2 : F 1 F 2 F 3 : F 1 + F 2
F 2 :
1 3 F 1
−2 −1
1 0 0
−2
1 0 0
−2
1 2 3 0 1 0
Como B tiene dos filas no nulas, entonces Ran (B) = 2. Haciendo operaciones elementales fila en la matriz C obtenemos
C =
−
1 2 3 1 1 3
1 −2 2
− −−−−−−−−→ − −−−−−−−→ − −−−−→ F 2 : 3F 1 F 2 F 3 : F 1 + F 3
F 3 : F 2
F 2 : 51 F 1 F 3 : 51 F 3
Como C tiene tres filas no nulas, entonces Ran (C) = 3.
F 3
1 0 0
− −
1 1 1
2 1
1 3 0 1 1 0
−
1 2 1 0 5 8 0 5 3 1 2 1 0 5 8 0 0 5 2 1 0
1 8 5
1
3 6
4 −8
− 5 10
1.7 Factorización LU de una matriz
33
Haciendo operaciones elementales fila en la matriz D obtenemos D =
1 −2
3 −6
− 4 8
F 2 : 2F 1 + F 2
−−−−−−−−→
−
1 3 0 0
4 0
Como D tiene una fila no nula, entonces Ran (D) = 1.
1.7 Factorización LU de una matriz Se mostrará la forma de escribir una matriz cuadrada como el producto de una matriz triangular inferior (con diagonal principal de unos) por una matriz triangular superior. Esta factorización se
aplica para resolver sistemas lineales por computadora. Definición 1.16 (Factorización LU ) Sea la matriz A cuadrada de orden n. Si A = LU donde L es una matriz triangular inferior y U es una matriz triangular superior, se dice que es una factorización LU de A.
1.25 (Factorización LU ) Son ejemplos de factorización LU de matrices cuadradas. A =
B =
1 0 3
− −
2 3 12 8
−2
0 1 2 −5 3
=
1 0 6 1
2 0
1 0 0 0 1 0 3 1 1
=
3 10
= LU
1 0 0
2 0 1 2 0 1
3 7 5 −4
−1
= LU
1.26 (Determinación LU de una matriz)
Determine la factorización LU de la matriz A =
−
2 4 2 0
6 2 1 −2 0 5 2
.
Solución: Si A = LU, entonces A se puede escribir como
A =
−
2 4 2 0
3 7 5 −4
−1
6 2 1 −2 0 5 2
=
1 a b c
0 1 d e
0 0 1 f
0 0 0 1
2 0 0 0
3 x 0 0
−1
6 y z r s 0 t
= LU
34
Matrices
multiplicando e igualando las matrices, se tiene
2 3 2a 3a + x 2b 3b + dx 2c 3c + ex
−1 −a + y
6 6a + z −b + dy + r 6b + zd + s −c + ey + r f 6c + ez + f s + t
se tienen las igualdades
2a = 4 ⇒ a = 2
2b = −2 ⇒ b = −1
3a + x = 7 ⇒ x = 1
2c = 0 ⇒ c = 0
3b + dx = 5 ⇒ d = 8
3c + ex = −4 ⇒ e = −4 −c + ey + r f = 5 ⇒ f = − 35 72 6c + ez + f s + t = 5 ⇒ t = 5
−a + y = 2 ⇒ y = 4 −b + dy + r = −2 ⇒ r = −35 6a + z = 1 ⇒ z = −11 6b + zd + s = −2 ⇒ s = 94 luego,
−
2 4 2 0
3 7 5 −4
−1
6 2 1 −2 0 5 2
=
−
1 2 1 0
0 1 8 −4
0 0 0 0 1 0 − 35 1
2 0 0 0
3 1 0 0
−1
6 4 −11 −35 94 72 0 5
Ejercicio 1.5 hola
1.8 Matrices especiales En algunos ejemplos y ejercicios se consideran algunas matrices especiales del tipo, Definición 1.17 (Matrices especiales) Sea la matriz A , entonces k 1 Matriz nilpotente: A = A , k ∈ N, K ≥ 2 2 2 Matriz involutiva: A = I −1 = At 3 Matriz ortogonal: A 2 4 Matriz idempotente: A = A
Ejercicio 1.6 Mostrar que la matriz es nilpotente
2 −1
6 −3
.
1.8 Matrices especiales
35
Ejercicio 1.7 Mostrar que la matriz es idempotente
− 5 8 −3 5
.
Ejercicios 1.6 1.17 Dar un ejemplo de cada una de los siguientes tipos de matrices. a.) De orden 1 × 3. b.) De orden 3 × 1. c.) Cuadrada de orden 3. d.) Diagonal y escalar de orden 4. e.) Triangular superior y triangular inferior de orden 4. f.) Simétrica y antisimétrica de orden 4. 1.18 Determinar, si existe, la matriz A = [ai j ] cuadrada de orden 2, definida por: si i = 1 ⇒ 18 30 . ai j = x y si i = 2 ⇒ ai j = y, y ∈ R tal que AAt = 30 50 1.19 ¿Verdadero o falso? Cuando es falso, proporcione un contraejemplo. a) Si las columnas 1 y 3 de B son los mismos, entonces las columnas 1 y 3 son los mismos en AB. b) Si las filas 1 y 3 de B son los mismos, entonces las filas 1 y 3 son los mismos en AB. c) Si las filas 1 y 3 de A son los mismos, entonces las filas 1 y 3 son los mismos en AB. 2 0 1.20 Sea la matriz A = −1 1 Demostrar que todas las matrices de orden 2 × 2, tales que AB = BA, son de la forma a 0 b−a b
donde a, b ∈ R.
0 1 0 1.21 Sea la matriz A = 1 0 k . k 2 4 a.) Para que valores de k la matriz es inversible. b.) Para k = 1. Calcular A−1 si existe. 1.22 Calcular la inversa de la matriz M, si existe.
M =
2 3 0 0 0
1 −2 0 0 0
0 0 5 0 0
0 0 0 −9 2
0 0 0 −3 1
36
Matrices
1.23 Calcular la inversa de la matriz M, si existe.
M =
− − −
1 0 5 3 9 1
0 1 4 7 6 2
0 0 1 0 2 4
0 0 0 1 5 7
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
1.24 Utilizar matrices particionadas para calcular la inversa de
A =
1 0 3 1
0 1 5 2
−2 5 3 3
− 1 3 3 3
B =
−
1 6 5 3 2
2 2 2 0 0
1 4 −1 0 0
3 −2 0 1 0
0 2 0 0 −1
1.25 (El problema de Fibonacci) Tres hombres poseen una sola pila de dinero, y sus aportaciones son 1, 31 y 61 . Cada uno toma algo de dinero de la pila, hasta que no queda nada.
A continuación el primer hombre regresa 21 de lo que tomó, el segundo 31 y el tercero 61 . Cuando el total que regresaron se divide por igual entre ellos, se descubreque cada hombre posee lo que corresponde por su aportación. ¿Cuánto dinero había en la pila original, y cuánto
tomó cada uno? 1.26 (Cuadrados mágicos) Un cuadrado mágico de tamaño n es una matriz de orden n × n cuyos elementos consisten en todos los enteros entre 1 y n2 , de tal forma que las sumas de los elementos de cada fila, columna o diagonal son iguales. La suma de los elementos de n(n2 +1)
cualquier fila, columna o diagonal de un cuadrado mágico de tamaño n es 2 . 1. Probar que no existe un cuadrado mágico de tamaño 2. 2. Determine el cuadrado mágico de tamaño 3 cuya primera fila es el vector (1, 9, 5)
1.9 Criptografía Muchas empresas se interesan por enviar mensajes codificados que sean difíciles de descifrar por otros, si son interceptados, pero que se decodifiquen facilmente por quienes la reciban. Existen muchas formas de codificar un mensaje, y éstas en su mayoría utilizan teoría de números o temas de
álgebra lineal. Un criptograma es un mensaje escrito de acuerdo a un código secreto (kryptos que significa oculto ).
1.9 Criptografía
37
Emplearemos matrices invertibles para codificar un mensaje. Para codificar un mensaje primero asignemos a cada letra del alfabeto un número (el número cero
representará un espacio en blanco), de la forma
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 – A B C D E F G H I J K L M N O 19 20 21 22 23 24 25 26 S T U V W X Y Z
16 17 18 P Q R
1.27 (Mensaje codificado) Sea la matriz M, que sólo la conocen quienes trasmiten y reciben el siguiente mensaje
codificado por los números 29 20 -24 4 19 14 -30 -20 35 -17 7 29 -10 16 25 14 13 -7
M =
Decodifique el mensaje.
− −
1 1 1
−1
2 1 1 2 −2
.
Ejercicios 1.1 1.27 Una empresa tiene tres librerías: A, B y C , y cada una de ellas tiene libros de ficción, de viajes y de deportes. Las cantidades de libros se tabulan como sigue: f iccion via jes de portes
A B C
300 280 80
280 125 130
99 210 195
Suponga que las entregas a cada librería están representadas por E. Calcule las existencias
actualizadas. E =
¿Cuántos libros de viaje tiene la librería B?
25 46 11 25 56 33 29 36 40
38
Matrices
1.28 Una empresa embotelladora de agua tiena tres marcas: M 1 , M 2 y M 3 , y se entregan a cuatro tiendas: A, B, C y y D. Las tiendas se abastecen, en centenares de botellas, de acuerdo a la siguiente tabla M 1 M 2 M 3 A 9 5 4 B 12 7 6 C 5 6 3 D 7,2 5,3 3,6
Actualice el inventario cuando se hacen las entregas D.
D =
2 3 0,8 0,7 3 2 4 0,9 1 3,5 1,9 1,9
¿Cuántas botellas de la marca M 2 tiene la tienda C ? 1.29 Suponga que las distancias, distancias, en millas, entre las ciudades A, B y C se se expresan como sigue A
B
C
25 A 0 50 25 B 50 50 0 38 C 25 2 5 38 0
Se desea trazar un mapa cuya escala sea tal que 1 pulgada en el papel corresponda a 8 millas de
distancia real, ¿cuál es la matriz de las distancias del mapa? 1.30 La empresa Ali’s tiene tres tiendas de departamentos. Cada una vende camisas, pantalones y zapatos, cuyos precios se dan en la siguiente tabla. Calcule los valores de los artículos, si en las
tres tiendas se ofrece un descuento del 125% Camis Cam isas as Pan antalon talones es Zapatos
1 2 3
75 120 60
50 30 45
40 35 25
1.31 Se tienen dos tiendas T 1 y T 2 que reciben diariamente Laptos ( L) y Dvd ( D) de dos fabricantes f 1 y f 2 . Las ventas se representan por la matriz L
D
f 1 25 2 5 40 f 2 3355 50
1.9 Criptografía
39
El precio en dólares, por aparato en cada tienda, está representada por la matriz
T 1
T 2
L 600 150 D 550 550 160
a) Determine los ingresos ingresos de la segunda tienda al vender vender todos los aparatos que provienen provienen de la segunda tienda. b) Si A y B representan las matrices anteriores, calcule e interprete el producto AB. abastecidos idos semanalmente semanalmente por dos fábricas de ropas f 1 y f 2 , con 1.32 Dos tiendas T 1 y T 2 son abastec pantalones ( p) y sacos (s), de acuerdo con p
s
f 1 40 4 0 25 f 2 5500 40
El precio en dólares, por artículo, es el siguient siguientee
T 1
T 2
8 0 110 p 80 s 250 320
Si A y B son las matrices de esas tablas, calcule e interpreteel producto AB.
Determinantes. Definición y primeros ejemplos Regla de Sarrus
Propiedades de los determinantes Relación entre la inversa y los determinantes
2 — Determinantes
Estudiaremos un nuevo concepto, determinante asociada a una matriz. Este concepto nos permitirá
simplificar operaciones matriciales para el cálculo del rango y de la inversa de una matriz. Historicamente, los determinantes precedían a las matrices, un hecho curioso a la luz de la forma como se enseña el álgebra lineal en la actualidad, con las matrices antes que los determinantes. No obstante, los determinantes surgen independientemente de las matrices en la solución de muchos problemas prácticos, y la teoría de los determinantes estaba bien desarrollada casi dos siglos antes
de que a las matrices se les otorgara un valor de estudio como tal. a11 a12 Recuerde que el determinante de la matriz A = de orden 2 es a21 a22
det (A) = a11 · a22 − a12 · a21 Esta expresión se encontró por primera vez cuando se determinaron formas para calcular la inversa
de una matriz. En particular, se encontró que
A−1 =
a11 a12 a21 a22
−1
=
1 a11 · a22 − a12 · a21
a22 −a21
−a12 a11
.
El estudio de los determinantes se remonta al siglo XV , cuando matemáticos de renombre realizan trabajos referidos a ese tema y antes de la formalización del álgebra de matrices. Sin embargo, fue en el año 1772 cuando Valdermonde publicó el primer trarado donde estudió en forma sistemática
los determinantes.
42
2.1
Determinantes
Determinantes. Definición y primeros ejemplos Definición 2.1 (Determinante de una matriz de orden 2 × 2) El determinante de la matriz A =
a11 a12 a21 a22
de orden 2 × 2, es el número real dado por
det (A) = a11 · a22 − a12 · a21.
(2.1)
Nota Emplearemos la notación det (A), |A| indistintamente para denotar el determinante de la matriz A. No confundir las barras
|·| con la notación de valor absoluto de un número real.
2.1 (Determinante de una matriz de orden 2) Calcular determinantes de orden 2 es muy fácil, veamos
|A| = |B| = |B| =
− −
5 1
− − − − −
−3 2
= (5)(2)
( 1)( 3) = 13
−
3 3 = ( 3)(5) (6)(3) = −3 6 5
9 6 = (9)(4) (6)(36) = 0 6 4
Nota El determinante de una matriz puede ser positivo, negativo o cero. El determinante de una matriz de orden 1 × 1 es el elemento de la matriz.
Para determinar el determinante de una matriz de orden mayor que 2 es necesario introducir algunos
conceptos previos de menores y cofactores. Definición 2.2 (Menor complementario) Sea A una matriz cuadrada de orden n, el menor complementario de un elemento ai j de A, es el determinante que se obtiene al suprimir la fila i y la columna j y se denota por Mi j . 2.2 (Menores complementarios de una matriz)
Para la matriz A =
y columna 3.
−
2 5 7
−5
4 3 −5 −5 6
. Calcular los menores complementarios de la fila 1
2.1 Determinantes. Definición y primeros ejemplos Solución: Los menores complementarios de la
43
fila 1 son:
Menor complementario de 2: M11 = Menor complementario de -5: M12 = Menor complementario de 4: M13 = Los menores complementarios de la columna 3 son: Menor complementario de 4 : M13 = Menor complementario de -5: M23 = Menor complementario de 6: M33 =
− − −
3 5 5 7 5 7
− − −5 6
= 18
− 25 = −7
5 = −30 + 35 = 5 6 3 = 25 − 21 = 4 5
− − − −− − − − − 5 7
2 7
3 = 25 21 = 4 5
5 = 10 + 35 = 25 5
2 5
5 = 6 25 = −19 3
Ejercicio 2.1 Determinar los menores complementarios restantes de la matriz anterior.
Ligado a este concepto de menor complementario se encuentra el de cofactor de una matriz. Definición 2.3 (Cofactor de una matriz) Sea A una matriz cuadrada de orden n, se define el cofactor Ci j de un elemento ai j de A como el número Ci j = ( −1)i+ j · Mi j . Es decir, el cofactor de un elemento de la matriz es el menor complementario correspondiente acompañado de un signo mas o menos dependiendo de la fila y columna en la que se encuentra el
elemento en cuestión. 2.3 (Cofactor de una matriz) Determinar los cofactores de la matriz A =
−
2 3 1
0 −5 2
2 1 −3
44
Determinantes
Solución: Los cofactores de la fila 1 son
− − − − − − − −
C11 = (
−1)1+1 · M11 = +
C12 = (
−1)1+2 · M12 =
C13 = (
−1)1+3 · M13 = +
continuando con el mismo patrón, se tiene
5 2
1 = 15 2 = 13 3
3 1
1 = 9 1 = −10 3
3 1
5 = 6 + 5 = 11 2
C21 = 4
C22 = 4
C23 = 4
C31 = 10
C32 = 8
C33 = 10
En general, se puede saber si el signo del menor complementario y del cofactor coinciden o no, basta aplicar la siguiente regla gráfica, por ejemplo para matrices 3
matrices:
− − − − − − − − − − − − +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
× 3, 4 × 4 y 5 × 5 basta fijarse en la
− − − − − − − − − − +
+
+
+
+
+
+
+
+
−
+
+
+
+
−
donde + significa que el cofactor coincide con el menor complementario y el
signo contrario.
− indica que tienen
Una vez conocidos estos conceptos podemos definir el determinante para una matriz de orden mayor
que dos. Definición 2.4 (Determinante de orden n) Para una matriz A cuadrada de orden n se define su determinante como la suma del producto de los elementos de una línea cualquiera de la matriz (fila o columna) elegida, por sus
correspondientes cofactores. det (A) =
a11, n
si n = 1
∑ a1k C1k , si n > 1
(2.2)
k =1
Nota Se puede demostrar, aunque dicha demostración excede los contenidos del curso, que el valor de el determinante no depende de la fila o columna elegida para calcularlo.
2.1 Determinantes. Definición y primeros ejemplos
45
2.4 (Determinante de una matriz de orden 3) Calcular el determinante de A =
Solución: Eligiendo la fila 1 y
−
= 1
1 0
= 9.
0 −3
−
2 −1 0
6 0 −3
aplicando la definición
det (A) = a11 C11 − a12 C12 + a13C13
− ·
1 5 7
− · −
5 7
2
0 −3 + 6 ·
−
5 7
−1 0
= (3
− 0) − 2(−15 − 0) + 6(0 − 7)
Eligiendo la columna 3 y aplicando la definición det (A) = a13C13 − a23 C23 + a33 C33 = 6
· −
5 7
= 9.
−1 − 0 · 1 −7 0
−
2 0
− · 3
1 5
2 −1 = 6(0 − 7) − 0(0 + 14) − 3(−1 − 10)
Notamos que si elegimos cualquier fila o columna y desarrollamos los cofactores, el determinante es
el mismo. Nota En general, si elegimos una fila o columna que tiene más elementos nulos, necesitaremos menos cofactores.
La definición de determinante de una matriz es bastante tedioso y se hace muy pesada a medida que aumenta el orden de la matriz, sin embargo existen técnicas y propiedades que simplificarán estos
cálculos, y una de esas técnicas es la que se conoce con el nombre de regla de Sarrus.
2.1.1 Regla de Sarrus Una manera más fácil de calcular el determinante de una matriz cuadrada de orden 3, es aplicar la
regla de Sarrus. Que enunciamos a continuación. Regla de Sarrus Sea A matriz cuadrada de orden 3. El determinante de A por la regla de Sarrus, se hace restando dos expresiones obtenidas del siguiente modo: debajo de la tercera fila horizontal se repiten las dos primeras filas horizontales conservando su orden, se trazan 3 diagonales de derecha a izquierda y de izquierda a derecha, luego se multiplican entre sí, a los números que hay en las diagonales trazadas de izquierda a derecha con su propio signo y se restan el
46
Determinantes
producto de los números que hay en las diagonales trazadas de derecha a izquierda.
2.5 (Determinante por regla de Sarrus) Calcular el determinante de la matriz A =
5 3 1
−9
6 7 2 −4 8
Solución: Aplicando la regla de Sarrus, se tiene
5 3 det (A) = 1 5 3
−9 7 −4 −9 7
6 2 8 = (5)(7)(8) + (3)(−4)(6) + (1)(−9)(2) 6 2 = 280
−
− 72 − 18 − 42 − 40 − 216
2.2 Propiedades de los determinantes
−
= 190 + 214 = 404.
Algunas propiedades importantes que tienen los determinantes, y que se enuncian sin demostración
son: 2
Si una matriz tiene fila (o columna) de ceros, el determinante es cero. Si una matriz tiene dos filas (o columnas) iguales o proporcionales, su determinante es cero.
3
Si permutamos dos filas (o columnas) de una matriz cuadrada, su determinante cambia de
4
signo. El determinante de una matriz es igual al de su transpuesta.
1
|A| =
At
Esta propiedad permite intercambiar operaciones elementales filas y columnas en el proceso
del cálculo de los determinantes. 5
El determinante es lineal en filas y columnas, es decir si los elementos de una fila o columna
se escriben como la suma de dos o más términos, el determinante es igual a la suma de dos o
más determinantes. 6
Si multiplicamos todos los elementos de una fila (o columna) de un determinante por un
número, el determinante queda multiplicado por dicho número. 7
Si a la fila (o columna) de una matriz se le suma otra fila (o columna) multiplicada por un
número, el determinante no cambia. Esta propiedad permite utilizar un método más sencillo para calcular determinantes de orden
mayor que 3.
(6)(7)(1) + (2)( 4)(5) + (8)( 9)(3)
−
2.2 Propiedades de los determinantes 8
47
Para una matriz A de orden n, se tiene:
|r · A| = r n ·|A| 9
|A · B| = |A|·|B|
Si A tiene matriz inversa, A−1 , se verifica que:
A−1 =
1
|A|
Si la matriz A es de orden n, entonces las siguientes propiedades son equivalentes: a) det (A) = 0. b) A no es inversible. c) Ran (A) < n. d ) Al menos una fila (o columna) de la matriz A se puede poner como combinación lineal del resto de las filas (o columnas). Veamos algunos ejemplos aplicando las propiedades de determinantes. 10
2.6 (Filas o columnas de cero o proporcionales ) Empleando las propiedades para determinantes se tienen
−− −
− − −
a b c det (A) = 0 0 0 = 0 m n p
pues la fila 2 es nula
a b 0 det (B) = x y 0 = 0 m n 0
pues la columna 3 es nula
det (C) =
det (D) =
1 3 4
−3
1 5 0
−2
9 3
7 −6
2 6 =0 1
3 9 =0 12
pues fila 2 proporcional a la fila1: F 2 = −3F 1
pues: F 3 = 10F 1 + 2F 2
2.7 (Determinante de la transpuesta de una matriz) Calcular el determinante de la matriz A =
2 5 1
−3
5 7 1 −2 3
.
48
Determinantes
| | y |At | por la regla de Sarrus, se tiene 2 −3 5 |A| = 5 7 1 = 3. 1 −2 3
Solución: Calculando por separado A
− At =
Vemos que |A| = |At |.
−
2 5 3 7 5 1
1 2 = 3. 3
2.8 (Intercambiando filas o columnas) Calcular el determinante de la matriz A =
Solución: Es fácil ver que det (A) =
−
3 7 det (A) = 5 1 =
3 7 5 1
−33.
intercambiando fila 1 por fila 2: F 1 ↔ F 2
5 1 3 7
= (35
.
el determinante cambia de signo
− − 3) = −33.
2.9 (Linealidad de la determinante) Calcular el determinante de la matriz A =
Solución: Se tiene que det (A) =
det (A) = =
2 2 1
=( 2
1 1 2
1 2 + 1 3
2 4
1 −3
.
−10, si expresamos la fila 2 como una suma se tiene
− − − −
1+3
1 2
− − 1) + (−4 − 3) = −10.
por propiedades de determinante calculando los determinantes y sumando
2.2 Propiedades de los determinantes
49
2.10 (Factorizando fila o columna) Calcular el determinante de la matriz A =
Solución: Vemos que det (A) =
det (A) =
− −
− 2 8
1 8
= 2(1
.
−46. Podemos fatorizar 2 de la fila 1, entonces
− −
2( 1) 2(3) 8 1
= 2
6 −1
factorizando 2 de la fila 1
3 1
calculando el determinante
− 24) = −46.
Si factorizamos 2 columna 1, se tiene det (A) =
− −
2( 1) 2(4)
= 2
= 2(1
1 4
− − 6 1
factorizando 2 de la columna 1
6 1
calculando el determinante
− 24) = −46.
2.11 (Usando operaciones fila)
Calcular el determinante de la matriz A =
−
2 1 1 3
1 3 4 −2
3 2 −4 1
−2 −4 2 3
.
Solución: Una estrategia para tener en cuenta en caso de determinantes de orden mayor que 4,
incluso de orden 3 si la matriz es compleja, es el método de hacer ceros (la fila o columna que eliges),
pues el determinante no cambiará al hacer operaciones elementales filas (o columnas), como indica
las propiedades de determinantes, siendo cuidadosos en aplicar dicha propiedad. Apliquemos este comentario al ejemplo
50
det (A) =
=
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − 2 1 1 3 2 5 9 7
1 3 4 2
1 0 0 0
3 2 4 1
2 4 2 3
3 7 16 7
2 2 10 1
5 9 7
= ( 1)
7 16 7
9 7 = ( 1) 61 54 7 7 = ( 1)( 1) = 9(54)
2 10 1
0 0 1
9 7 61 54
Determinantes
operaciones fila: F 2 − 3F 1 ,F 3 − 4F 1 , F 4 + 2F 1
en la columna 2 aplicamos la definición de determinante
operaciones fila: F 1 + 2F 3 , F 2 + 10F 3
en la columna 3 aplicamos la definición de determinante
desarrollando el determinante de orden 2
− 61(7) = 59
2.12 (Determinante del producto de un escalar por una matriz)
3 −7 Si la matriz A = tiene det (A) = 39. Calcular |(−3)A|. 6 −1 Solución: Primero calculamos la matriz ( −3)A y después calculamos su determinante
−3A = (−3)
3 6
−7 −1
− =
9 21 −18 3
.
Luego,
|(−3)A| =
− −
9 21 = (−9)(3) − (−18)(21) = 351 por definición de determinante 18 3
|(−3)A| = (−3)2 |A| = 9(39) = 351
por propiedades de determinante
2.3 Relación entre la inversa y los determinantes
51
2.13 (Determinante del producto de matrices)
−
−
3 2 5 y B = con determinantes det (A) = −22 y −7 1 4 det (A) = 13. Calcular det (AB). Solución: Podemos calcular det (AB), multiplicando las matrices AB y luego calculando su determinante, y aplicando las propiedades Sean las matrices A =
1 5
AB =
1 5
3 −7
2 1
5 4
5 3
=
7 −53
Luego,
|AB| = 53
7 −53 = (5)(−53) − (3)(7) = −286
determinante de orden 2
|AB| = |A|·|B| = (−22)(13) = −286
producto de determinantes
2.14 (Determinante de la inversa de una matriz)
− − − − −
Sean la matriz A =
7 2 1 3
con determinante det (A) = 19. Calcular A−1 .
Solución: Podemos calcular A−1 , determinando primero la inversa de la matriz A y luego
calculando su determinante, y aplicando las propiedades. A−1 =
Luego,
3 1 2 = 19 1 1 1 = A−1 = A 19
A−1
||
1 19
3 1
2 7
2 1 1 = 2 (21 2) = 19 19 7
.
determinante de la inversa propiedad
2.3 Relación entre la inversa y los determinantes Existe una estrecha relación entre la inversa de una matriz cuadrada, su determinante y la matriz
adjunta.
52
Determinantes
Definición 2.5 (Matriz adjunta) Sea A una matriz cuadrada de orden n, la matriz adjunta de A, adj (A), se obtiene al trasponer
la matriz A y reemplazar cada elemento de At por su correspondiente cofactor. Veamos el siguiente ejemplo para ilustrar esta definición. 2.15 (Adjunta de una matriz Sea la matriz A =
1 2 1 3 5 1 5 2 0
, calcular:
a) adj (A) b) A · adj (A), adj (A) · A 1 c) Mostrar que adj (A) = A−1
|A|
d) ¿Cómo se relacionan |adj (A) | con | A|? Solución: a) Calculando los cofactores de los elementos de la matriz A, C 11 = −2
C 12 = 2
C 31 = −3
C 32 = 2
C 21 = 2
C 22 = −5
luego, adj (A) =
C 13 = −19
− −
2 2 3
5 −5 2
t
C 23 = 8
C 33 = −1
− − −
−19
Las demás preguntas se dejan para el lector.
8 1
=
2 5 19
2 −5 8
− −3 2 1
.
Una de las propiedades de determinantes nos dice que una matriz cuadrada tiene inversa si su
determinante es no nulo. Del ejemplo anterior, si se multiplica una matriz cuadrada A por su matriz adjunta se obtenía una
matriz paricular: la matriz diagonal. La siguiente definición muestra la relación que existe entre el determinante de una matriz, su matriz
adjunta y su inversa. Definición 2.6 (Inversa de una matriz) = 0 y se cumple Sea A una matriz cuadrada de orden n. La matriz A es invertible si det (A) 1 A−1 = adj (A) (2.3) det (A)
2.3 Relación entre la inversa y los determinantes
53
Veamos el siguiente ejemplo empleando esta definición. 2.16 (Inversa por determinante y adjunta)
− − − −
1 6 1 Sea A = 4 8 −1 . Determinar si A es invertible y, de ser así, calcular A −1 . 2 2 0 Solución: En primer lugar calculemos la determinante de la matriz 1 6 det (A) = 4 8 2 2
− − − −
1 1 6 1 = 0 1 = 5 1 4 0 = 10 − 28 = −18 0 2 2 0
luego A es invertible. Ahora calculemos adj (A), 2 2 14
2 2 5
− −
2 −2 10
adj (A) = Por la definición anterior, A−1 =
1 −18
2 2 8
8 10 16
−14 5 −16
t
=
2 2 8
− =
1 9 1 9 4 9
2 −2 10
−14
− 19
7 9 5 18 8 9
−
1 9 5 9
5 −16
−
.
.
2.17 (Inversa que depende de x)
1 2 3 Dada la matriz A = 2 5 6 7 x x a) Calcular los valores de x para los cuales la matriz es regular. b) Calcular la inversa. c) Para x = 20 calcular la inversa de A . Solución: a) Calculamos el determinante de la matriz por propiedades
1 2 3 1 2 3 = x − 21 det (A) = 2 5 6 = 0 1 0 7 x x 0 x − 14 x − 21 Para que A sea invertible, es condición necesaria y suficiente que A = x
= 21. x
| |
− 21 = 0, luego
54
Determinantes
b) Calculamos la inversa por la adjunta,
−
C 11 = +
5 6 = − x C 12 = x x
C 21 =
2 3 = x x x
C 31 = +
− −
C 22 = +
2 3 = −3 C 32 = 5 6
−
2 6 2 5 = −2( x − 21) C 13 = + = 2 x − 35 7 x 7 x 1 3 = x − 21 7 x
C 23 =
1 3 = 0 2 6
C 33 = +
1 2 = 14 − x 7 x 1 2 = 1 2 5
luego,
− | | − − −−
t
x −2( x − 21) 2 x − 35 1 A−1 = x x − 21 14 − x A 3 0 1 x x 3 − x 21 x − 21 x − 21 A−1 = 2 1 0 2 x − 35 14 − x 1 x − 21 x − 21 x − 21
=
1 x − 21
− − − − x
x
2( x 21) x − 21 2 x 35 14 − x
−3 0 1
siempre que x = 21. c) Para x = 20 reeemplazando en b) , se tiene A−1 =
− −
20 2 5
−20
3 1 0 6 −1
2 1 −3 Ejercicio 2.2 Dada la matriz A = 1 x 6 3 1 −2 a) Calcular los valores de x para los cuales la matriz es regular. b) Calcular la inversa. c) Para x = 51 calcular la inversa de A .
2.3 Relación entre la inversa y los determinantes
55
Ejercicios 2.1 2.1 Calcular det (E), si E =
a2 ab ab b2
ab a2 b2 ab
1. Para a = 2 y b = 3, calcular det (E) 2. Para que valores de a y b, det (E) = 1 2.2 Por propiedades, calcular 1 2 4 5 −5 5 −1 4
b2 ab ab a2
ab b2 a2 ab
3 3 2 1
.
− 4 2 0 1
2.3 Calcular el determinante de las siguientes matrices:
A =
1 1 1 1
1 2 4 x
1 1 3 4 9 16 x2 x3
2.4 Calcular det (M), si
B =
M =
2.5 Calcular det (D), si
D =
a 0 0 0 0 b
x − y − z 2 y 2 z
x 1 1 1
1 x 1 1
1 1 x 1
1 1 1 x
0 a 0 0 b 0
0 0 a b 0 0
0 0 b a 0 0
0 b 0 0 a 0
b 0 0 0 0 a
2 x − x + y − z 2 z
= 0. Resolver la ecuación 2.6 Para a, b, c, d
C =
2 x 2 y − x − y + z
a + x x x x x b + x x x = 0 x x c + x x x x x d + x
x 1 1 1
1 x 1 1
1 1 x 1
1 1 1 x2
56
Determinantes
2.7 Calcular la siguiente suma
20 1 1 1 ∑ 1 2 3 k =1 1 4 k 2
2.8 Calcular el determinante
a
b
c
a+b b+c c+a b+c c+a a+b
2.9 Si f (0) = −3 y f (1) = f (−1). Calcular a y b.
−
f ( x) =
a 1 0 0
b x −1 0
−2a
3b 0 0 x 0 −1 x
2.10 Calcular el determinante de la matriz 1 1 1 1
2.11 Calcular
x 1 2 4
x2 x3 1 1 3 4 9 16
47 26 12 1 2 3 119 68 33 + 4 5 6 191 110 54 7 8 9
2.12 Determinar el valor de x para que se cumpla la siguiente propiedad: el determinante de la matriz 2 B es 160, donde 3 1 x B = x + 1 4 2 x 2 − x2 1
2.13 Demostrar sin calcular las siguientes igualdades
1 a2 a3 bc a a2 1 b2 b3 = ca b b2 1 c2 c3 ab c c2
1 6 9 1 1 1 1 6 9 1 8 2 + 5 6 8 = 1 8 2 0 4 1 4 9 2 1 9 5
2.3 Relación entre la inversa y los determinantes
57
2.14 Calcular el valor de las siguientes determinantes
√
√ −−
5+3 2
3 5 3
−
1 1 0
1 0 2 3 −1 0
2 1 0 4
−1
3 2 −1 −1 2 3 −1
4 0 5 2
2.15 Sean A y A matrices cuadradas de orden 3 con det (A) = 3 y det (B) = 5. Calcular los siguientes determinantes:
e) (B · A)t f) (Bt · At · B)t
c) 21 · B d) |A · B|
a) |2A| b) |B · At |
2.16 Sean A y B matrices de orden n con det (A) = −2 y det (B) = 3. Calcule los determinantes indicados:
a) det (AB) b) det A2
c) det B−1 A d) det (2A)
e) det 3Bt f) det AAt
2.17 Calcular los siguientes determinantes:
1 a b+c 1 b c+a 1 c a+b
1 1 1 1
2 3 4 5
22 32 42 52
23 33 43 53
−
a a a a
1 −1 a a
2 4 2 a
3 1 8 3
0 1 1 1 1
1 0 1 1 1
2.18 Demostrar sin desarrollar que los siguientes determinantes son nulos
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 0
0 2 4 6 12 15 18 21 7 8 9 10 1 a b c 1 3 5 7 1 1 1 1 12 13 14 15 1 b c a , , , 10 12 14 16 0 3 6 9 17 18 19 20 1 c a b 21 23 25 27 1 2 3 4 21 23 24 25 1 2a − b 2b − c 2c − a
2.19 Justificar mediante propiedades de los determinantes la igualdad:
3 4 2 3 4 342 1 0 5 = 1 0 105 2 7 0 2 7 270
58
Determinantes
2.20 Resolver las siguientes ecuaciones:
1 − x 2 2 = 0 2 1 − x 2 2 2 1 − x
x + 2 6 1 4 x + 4 3 = 0 1 3 2
−
2 − x 0 3 0 1 2 − x 0 3 = 0 0 0 2 − x 0 0 0 1 2 − x
1 3 x−5 = 0 4 2 + x x −3 1 1
2 −8 3 −3 0 x 1 17 1
4 3 2 −5
0 1 = 0 3 0
1 1 3 x − 6 4 x + 4 = 0 3 1 −1
2.21 Demostrar, sin calcularlo, que el siguiente determinante es múltiplo de 11:
5 3 5 9
0 0 6 3
9 8 5 6
3 0 4 1
2.22 Indicar las propiedades de los determinantes que permiten escribir las siguientes igualdades: 2 8 2 8 1 4 = = 8 1. 24 100 0 4 0 1 5 30 20 1 6 4 1 6 4 2. 6 9 12 = 15 2 3 4 = 15 2 3 4 1 −3 0 1 −3 0 2 3 4 x y z 2.23 Sabiendo que: 5 0 3 = 1. Calcular sin desarrollar: 1 1 1
5 x 5 y 5 z 1 0 3/ 2 , 1 1 1
x y z 2 x + 5 2 y 2 z + 3 x + 1 y + 1 z + 1
2.3 Relación entre la inversa y los determinantes
59
a b c 2.24 Sabiendo que d e f = 5 , calcular: g h i
− −
a −b −c 2d 2e 2 f , g −h −i
a + 5c 3b c d + 5 f 3e f − 3c , 2i g + 10i 6h
d e f g h i a b c d
b c d − 3a e − 3b f − 3c 2g 2h 2i
2.25 Demostrar de la forma más sencilla posible que:
a2 ab b2 2a a + b 2b = (a − b)3 , 1 1 1
2.26 Evaluar −2 λ − 1 −1 1. λ − 2 0 2 λ − 3 0 0
− −
2. det (λ I3 − A), donde A =
1 0 2 0 0 0
b+c b c 0 c b = 2 c 0 a a c+a c a b a+b b a 0
1 −1 1
2.27 Una matriz cuadrada A se llama nilpotente si Am = 0 para algún m > 1. (La palabra nilpotente proviene del latín nil , que significa “nada”, y potere que significa “tener poder”.
En consecuencia una matriz nilpotente es aquella que vuelve “nada”, [esto es: la matriz cero] cuando se eleva a alguna potencia). Encuentre todos los posibles valores de det (A) si A es
nilpotente. 2.28 Demuestre que det (AB) = det (BA). 2.29 Si B es invertible, demuestre que det B−1 AB = det (A). 2.30 Si A es idempotente (esto es A 2 = A), encuentre todos los posibles valores de det (A). 2.31 Demuestre que si A es de orden n × n, siendo A una matriz antisimétrica, esto es (At = −A) y n es impar, entonces det (A) = 0.
Sistemas de ecuaciones lineales Clasificación de los sistemas lineales Sistemas lineales Homogéneos Eliminación de parámetros Aplicación de los sistemas lineales Línea de regresión por míminos cuadrados Análisis de redes Matrices estocásticas Programación lineal: optimización Modelo lineal en economía: Método de
Leontief
3 — Sistemas de ecuaciones lineales
Los sistemas de ecuaciones lineales son una parte importante del álgebra lineal y su aplicación es muy variada, ya que muchos problemas de ingeniería y de otras ciencias involucran la resolución de
sistemas de ecuaciones, y la mayoría son lineales. En este capítulo se estudiarán técnicas de resolución y análisis de los sistemas de ecuaciones lineales
que son herramientas fundamentales para el estudio de temas del álgebra lineal.
3.1
Sistemas de ecuaciones lineales Un sistema lineal de m ecuaciones y n incógnitas tiene la forma: a11 x1 + a12 x2 + ··· + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ··· + a2n xn = b2
···
am1 x1 + am2 x2 + ··· + amn xn = bm
con ai j , b j ∈ R, que se puede expresar en forma matricial como:
ó también como:
a11 a21 .. . am1
a12 ··· a1n a22 ··· a2n .. . . . . .. . am2 ··· amn
.
Ax = b
con A ∈ M m×n , x ∈ M n×1 y b ∈ M m×1 .
x1 x2 .. . xn
=
b1 b2 .. . bm
Sistemas de ecuaciones lineales
62
Las matrices A M m×n y A = (A b) M m×(n+1) se llaman respectivamente, matriz de los coeficien-
∈
| ∈
tes y matriz ampliada. Observación: 1 2
3 4
Cuando b = 0 el sistema se llama homogéneo. Se llama solución del sistema Ax = b a cualquier vector x◦ = ( x1◦ , x◦2 , . . . , x◦n )t M n×1 , que verifica Ax◦ = b.
∈
Resolver un sistema lineal es hallar todas sus soluciones. Dos sistemas se llaman equivalentes si tienen las misma soluciones.
3.2 Clasificación de los sistemas lineales Según el número de soluciones, los sistemas lineales se clasifican en: 1 Sistema incompatible ⇐⇒ No tiene soluciones. 2 Sistema compatible determinado ⇐⇒ Tiene única solución. 3 Sistema compatible indeterminado ⇐⇒ Tiene infinitas soluciones. Teorema 3.1 (Sistemas lineales equivalentes) Si ( Ar br ) es la matriz que se obtiene después de aplicar un número finito de operaciones
|
elementales a la matriz (A|b), los sistemas Ax = b y A r x = br son equivalentes. Teorema 3.2 (Teorema de Rouché–Frobenius) Sea Ax = b un sistema de m ecuaciones y n incógnitas, entonces: 1 Si rango A = rango ( A|b), el sistema es incompatible. 2 Si rango A = rango ( A|b) = n, el sistema es compatible determinado. 3 Si rango A = rango ( A|b) = k < n, el sistema es compatible indeterminado y su solución depende de (n − k ) parámetros. Veamos algunos ejemplos que ilustrarán la aplicación de los teoremas. 3.1 (Sistema compatible indeterminado) Resolver el sistema de 3 ecuaciones y 5 incógnitas:
= x1 + x2 + x4 x1 + x2 + x3 + 2 x4 + x5 = = x1 + x2 + x4 + x5
−1 0 −1
3.2 Clasificación de los sistemas lineales Solución: Escribiendo la matriz ampliada y
(A b) =
|
63
aplicando el método de Gauss–Jordan, se tiene
− −−−−→ − − − −−−−→
1 1 0 1 0 1 1 1 2 1 1 1 0 1 1
−1
F 2 F 3
0 1
F 2
−
F 1 F 1
1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1
−1
F 3
1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1
1 1 0
1 0
Como Ran (Ar ) = Ran (Ar br ) = 3 < 5 = n, por el teorema de Rouché–Frobenius el sistema es
|
compatible indeterminado (infinitas soluciones) y depende de (5-3=2) dos parámetros, es decir:
∈
x1 + x2 + x4 = x3 + x4 + x5 = = x5
Si hacemos x2 = α y x4 = β , donde α , β
x1 x2 x3 x4 x5
R
−1 1 0
se tiene la solución
= = = = =
−1 − α − β
α
1 − β
β
0
o en forma de vector x◦ = ( −1 − α − β , α , 1 − β , β , 0)t . Como solución particular podemos tomar α = 3 y β = −5 entonces x◦ = ( 1, 3, 6, −5, 0). 3.2 (Sistema incompatible) Resolver el sistema de 3 ecuaciones y 4 incónitas:
x1 − 2 x2 + x3 + 2 x4 = 1 = 2 x1 + x2 − x3 + x4 x1 + 7 x2 − 5 x3 − x4 = 3
Solución: Escribiendo la matriz ampliada y
( A b) =
|
1 1 1
−2
1 1 −1 7 −5
2 1 1 2 −1 3
aplicándole el método de Gauss–Jordan, nos da
− − −−−−→ − −−−−−→ F 2 F 1 F 3 F 1
1 0 0
−2
1 3 −2 9 −6
F 3 3F 2
1 0 0
−2
1 3 −2 0 0
−
2 1 −1 1 −3 2 2 −1 0
1 1 1
Sistemas de ecuaciones lineales
64
Como Ran (Ar ) = 2 = Ran (Ar br ) = 3, por el teorema de Rouché–Frobenius el sistema es incom-
|
patible (no tiene solución).
3.3 (Sistema compatible determinado) Resolver el sistema de 4 ecuaciones y 4 incónitas:
x1 + x2 + x3 + x4 x1 + x2 + x3 − x4 x1 + x2 − x3 + x4 x1 − x2 + x3 + x4
Solución: Escribiendo la matriz ampliada y
(A b) =
|
1 1 1 1
1 1 1 −1
1 1 −1 1
1 −1 1 1
0 4 −4 2
= = = =
0 4 −4 2
aplicándole el método de Gauss–Jordan, nos da
−−−−→ − − −−−−→ ↔ −−−−−→ F 2 − F 1 F 3 − F 1 F 4 − F 1 1 F 2 2 1 F 2 3 1 F 2 4
F 2
F 4
1 0 0 0
1 0 0 −2
1 0 −2 0
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 0 0 0
1 1 0 0
1 0 1 0
1 0 0 1
1 −2 0 0
0 4 −4 2
− − − − 0 2 2 1
0 1 2 2
Como Ran (Ar ) = Ran (Ar br ) = 4 = n, por el teorema de Rouché–Frobenius el sistema es compati-
|
ble determinado (tiene una única solución), el cual es
reemplazando las soluciones x2 =
se tiene x1 = 1, resultando
x1 + x2 + x3 + x4 x4 x3 x2
= = = =
0 −2 2 −1
−1, x3 = 2 y x4 = −2 en la primera ecuación x1 − 1 + 2 − 2 = 0
x1 = 1 x2 = −1 x3 = 2 x4 = −2
o en forma de vector x◦ = ( 1, −1, 2, −2).
3.3 Sistemas lineales Homogéneos
65
Ejercicio 3.1 Discutir y hallar la solución del sistema de 3 ecuaciones y 5 incógnitas
= 1 x1 + x2 − 2 x3 + x4 + 3 x5 2 x1 − x2 + 2 x3 + 2 x4 + 6 x5 = 2 3 x1 + 2 x2 − 4 x3 − 3 x4 − 9 x5 = 3
Respuesta: x◦ = ( 1, 2α , α , −3β , β )
Ejercicio 3.2 Discutir y hallar la solución del sistema de 4 ecuaciones y 3 incógnitas
Respuesta: x◦ = ( 1, 0, 1)
x1 + 2 x2 + x3 3 x1 + x2 − 2 x3 4 x1 − 3 x2 − x3 2 x1 + 4 x2 + 2 x3
= = = =
2 1 3 4
Ejercicio 3.3 Discutir y hallar la solución del sistema de 3 ecuaciones y 4 incógnitas
Respuesta: es incompatible.
= 5 x1 + x2 + 2 x3 + x4 2 x1 + 3 x2 − x3 − 2 x4 = 2 = 7 4 x1 + 5 x2 + 3 x3
3.3 Sistemas lineales Homogéneos Puesto que Ran (A) = Ran (A 0), el sistema lineal homogéneo Ax = 0, de m ecuaciones y n incógni-
|
tas, siempre es compatible. 1 Si Ran (A) = n, el sistema homogéneo es compatible determinado y la única solución es la trivial x1 = x2 = . . . = xn = 0. 2 Si Ran (A) = k < n, el sistema homogéneo es compatible indeterminado y su solución depende de (n − k ) parámetros. Los siguientes ejemplos mostrarán estos resultados. 3.4 (Solución compatible indeterminado) Resolver el sistema lineal homogéneo de 3 ecuaciones y 3 incógnitas:
2 x + 3 y − z = 0 = 0 x − y + z x + 9 y − 5 z = 0
Sistemas de ecuaciones lineales
66
Solución: Considerando la matriz de coeficientes (no es necesario considerar la columna de los
términos independientes pues son todos nulos) y aplicándole el método de Gauss-Jordan, se tiene (A) =
2 1 1
3 −1 9
−−−−−→ ↔ − − − −−−−−→ − −−−−−→ −1 1 5
F 2
F 1
F 2 2F 1 F 3 F 1
2F 2
F 3
1 2 1
−1
1 1 0 5 0 10 1 1 0 5 0 0
− − −
1 3 −1 9 −5 1 3 6
1 3 0
Como Ran (A) = 2 < n = 3, por el teorema de Rouché–Frobenius el sistema es compatible indeter-
minado (tiene una infitas soluciones), que depende de (3-2=1) un parámetro; es decir,
si z = α ∈ R entonces obtenemos
o también
x − y + z = 0 5 y − 3 z = 0
x = y = z =
− 25α
x = y = z =
−2α
3α 5
α
3α 5α
Ejercicio 3.4 Resolver el sistema lineal homogéneo de 4 ecuaciones y 5 incógnitas
− − − − − −− −− − −
x y + z 4t + 2u 2 x y + z t u 3 x y z + 3t + u x y + z 5t + 5u
Respuesta: x◦ = ( 6α , 0,
−4α , +3α , 5α ), α ∈ R.
= = = =
0 0 0 0
3.3 Sistemas lineales Homogéneos
67
Ejercicio 3.5 Resolver el sistema lineal homogéneo de 3 ecuaciones y 3 incógnitas
−
= 0 x + y + z = 0 x + y − z 3 x + 2 y − 2 z = 0
Respuesta: La trivial.
Ejercicio 3.6 Resolver el sistema lineal de 3 ecuaciones y 4 incógnitas
Respuesta: x◦ = ( α ,
= 0 7 x − y + z − t 15 x + 3 y − z + t = 0 4 x − 2 y + 7 z − 5t = 0
3 x − y + z + t 2 x + y + z + 2t 3 x − y + z + 4t 5 x + y − z + t
−11α , 32α , 50α ).
Ejercicios 3.1 3.1 Resolver:
= = = =
0 −2 −3 6
3.2 Calcular a y b para que el sistema de ecuaciones:
= 0 x − 2 y + 3 z − t 2 x + 4 y + 5 z + 3t = 0
y
x + 6 y + 2 z − at = 0 x − by + z − 6t = 0
tenga las mismas soluciones. 3.3 Describir todas las soluciones del sistema:
= 1 x + y2 − z 2 x + y + az = 0
para todos los valores del número real a. 3.4 Discutir según el valor del parámetro a el caracter del sistema de ecuaciones lineales siguiente y resolverlo en los casos de que sea compatible:
x − y + z 2 x + y + 3 z x + 2 y + az 3 x + 4 z
= = = =
3 9 6 3a2
= x + ay + z 0 −2 ax + y + (a + 1) z = = a+1 x + y + z
Sistemas de ecuaciones lineales
68
3.5 Estudiar el siguiente sistema lineal según los valores del parámetro α :
3.4
(α 2) x y + z = 0 x + (2α 1) y α z = 0 = 0 x + α y z
− − − − −
Eliminación de parámetros Eliminar parámetros en:
x1 = b1 + a11 λ 1 + a12λ 2 + ··· + a1r λr x2 = b2 + a21 λ 2 + a22λ 2 + ··· + a2r λr .. . xn = bn + an1 λ 1 + an2 λ 2 + ··· + anr λr
es equivalente a encontrar un sistema del que sea solución, y esto es equivalente a obtener los valores
( x1 , x2 , . . . , xn ) para los que el sistema:
a11λ 1 + a12 λ 2 + ··· + a1r λr = x1 − b1 a21λ 2 + a22 λ 2 + ··· + a2r λr = x2 − b2 .. . an1 λ 1 + an2 λ 2 + ··· + anr λr = xn − bn
es compatible, es decir, que se verifica:
rango
a11 a12 ··· a1r a21 a22 ··· a2r .. .. . . . . .. . . an1 an2 ··· anr
Veamos esto con el siguiente ejemplo.
= rango
a11 a12 ··· a1r x1 − b1 a21 a22 ··· a2r x2 − b2 .. .. . . . .. . .. . . . an1 an2 ··· anr xn − bn
3.5 (Eliminación de parámetros) Eliminar los parámetros α , β ∈ R en la ecuación:
x y z t
= = = =
α + 2β
−
α β
1 + β α + β
−1
3.4 Eliminación de parámetros
69
Solución: Escribimos sistema de la forma
α + 2β = x α β β
−
α + β
= y = z 1 = t + 1
−
éste sistema debe tener solución (compatible), entonces se debe cumplir que
rango
−− −−−−−−−→ − − −−−−−−−−→ 1 1 0 1
− 2 1 1 1
= rango
1 1 0 1
2 −1 1 1
x y z−1 t + 1
aplicándole el método de Gauss–Jordan a la segunda matriz, se tiene
1 1 0 1
2 −1 1 1
x y z−1 t + 1
F 2 : F 1 F 2 F 4 : F 1 F 4
F 3 : 3F 3 F 2 F 4 : 3F 4 F 2
1 0 0 0
2 3 1 1
1 0 0 0
2 x 3 y 0 − x + y + 3 z − 3 0 2 x + y − 3t − 3
x x − y z−1 x − t − 1
para que las dos matrices tengan el mismo rango, consideramos en la tercera columna, los elementos
de la tercera y cuarta fila nulos, es decir
x − y − 3 z + 3 = 0 2 x + y − 3t − 3 = 0
Ejercicio 3.7 Eliminar los parámetros α , β , γ ∈ R en la ecuación:
Respuesta: x + 2 z − t + 2 = 0
x y z t
= 1 + α + 2β γ = α β + γ 1 β + γ = = 1 + α + γ
− − −−
−
Sistemas de ecuaciones lineales
70
∈ R en la ecuación: Ejercicio 3.8 Eliminar los parámetros parámetros α , β , γ ∈
x y z t u
= = = = =
+ 2β α +
−
α β
− γ
3β
+ γ β + + 2γ α β +
−
= 0, x − 2 z + 3t − u = 0 Respuesta: 3 x − 3 y − 4 z + 3t =
3.5 Aplicación de los sistemas lineales Podría esperarse que un problema de la vida real que involucre álgebra lineal tuviera sólo una solución, o quizá ninguna. El propósito de esta sección es mostrar cómo pueden surgir, de manera
natural, sistemas lineales con muchas soluciones. Las aplicaciones que se presentan aquí tienen que
ver con economía, química y flujo de redes.
3.5.1 Línea de regresión por míminos cuadrados De todos los modelos lineales posibles para una serie de puntos, el modelo de mejor ajuste se define como el único que minimiza la suma del cuadrado del error. Este modelo se llama línea de regresión de mínimos cuadrados y el procedimiento para determinarlo se llama método de mínimos cuadrados.
Definición 3.1 (Ajuste lineal por mínimos cuadrados) Dado un conjunto de n puntos ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , . . . , ( xn , yn ) del plano, se llama ajuste lineal por mínimos cuadrados a la función f ( x) = ax + b donde los coeficientes se obtienen a partir de la solución del sistema normal asociado a Ax = B, donde
A =
x1 x2 .. .
1 1 .. .
xn 1
x =
a b
B =
y1 y2 .. . yn
El sistema normal es At Ax = At B. Si la matriz cuadrada At A es no singular, la matriz de las
incógnitas x se puede calcular con
x = At A
−1 At B
3.5 Aplicación de los sistemas lineales
71
3.6 (Línea de regres regresión ión por minimos minimos cuadra cuadrados) dos) Determinar Determinar la línea de regresión regresión por mínimos mínimos cuadrados para los puntos ( 5, 10), ( 1, 8),
−
(3, 6), (7, 4), (5, 5).
−
Solución: Identificando las matrices
A =
Esto significa que
At A =
At B =
− −
− −
5 1
5 1
5 1 3 7 5
1 1 1 1 1
x =
−1
3 5 7 1 1 1 1
−1
3 5 7 1 1 1 1
a b
10 8 6 4 5
B =
− − 5 1 3 7 5
10 8 6 4 5
1 1 1 1 1
=
=
109 9 9 5
13 33
luego, calculando (At A)−1, para encontrar la matriz de los coeficientes, se tiene
=
−1 At B
x = At A
1 464
1 2 15 2
− −
5 9 −9 109
13 33
=
Por lo tanto, la recta de regresión de mínimos cuadrados es 1 15 y = − x + 2 2
Ejercicio 3.9 Un empresario de combustible desea saber la demanda de cierto tipo de gasolina como una función de su precio. Las ventas diarias (en galones) y para tres diferentes precios de
Sistemas de ecuaciones lineales
72
producto se muestran en la tabla Precio $ Dema emanda nda
3.00 3.25 3.50 4500 375 3750 3300 300
a) Determine la recta de regresión de mínimos mínimos cuadrados para estos datos. datos. b) Estime la demanda cuando el precio es $3.40
3.5.2 Análisis de redes Las redes compuestas de ramas y nodos se utilizan como modelos en campos muy variados como : la economía, el análisis análisis del tránsito tránsito vehicular, vehicular, ingeniería ingeniería eléctrica, los planeadores planeadores urbanos, etc. Para muchas redes, los sistemas de ecuaciones involucran cientos e incluso miles de variables y
ecuaciones. Una red consiste en un conjunto de puntos llamados nodos (uniones), con líneas o arcos denominados ramas que conectan conectan a algunos algunos o todos los nodos. nodos. La dirección dirección del flujo se indica indica en cada arco y la
cantidad (tasa) de flujo se muestra o se denota por medio de una variable. variable. En estos modelos asumimos el supuesto básico del flujo de redes: el flujo que entra a la red es el mismo que sale de la red, y que el flujo entrante en un nodo es igual al flujo saliente del nodo. Por ejemplo, en la figura (3.1 (3.1)) se muestran 50 unidades y x2 unidades que fluyen hacia el nodo a través de arcos y x1 unidades denota el flujo que sale del nodo por el arco. Como el flujo se conserva en
cada nodo, se cumple que 50 + x2 = x1 .
Figura 3.1:
De manera similar, el flujo en cada nodo se describe por medio de una ecuación lineal y el problema del análisis de redes se reduce a determinar el flujo presente en cada arco cuando se conoce cierta
información parcial, parcial, como las entradas de una red. Ilustremos este procedimiento en el siguiente ejemplo.
3.5 Aplicación de los sistemas lineales
73
3.7 (Flujo de agua) Fluye agua por un acueducto (en miles de metros cúbicos por hora) como se muestra en la
figura. a) Resuelva este sistema para el caudal representado por xi , i = 1, 2, . . . 7. b) Calcule el flujo de agua cuando x6 = x7 = 0. c) Determine el caudal del agua cuando x5 = 1000 y x6 = 0. 600
A
x1
x3
600
x2
B x4
D
E
x6
C
500
F
500
x5 x7
Solución: La siguiente tabla describe el flujo de los acueductos (nodos) y los flujos desconocidos
en los arcos. En cada intersección, se establece el flujo entrante igual al flujo saliente. También se
Intersección Flujo entrante A 600 B x1 C x2 + x5 D x3 + x6 E x4 + x7 F 500
= = = = = =
Flujo saliente x1 + x3 x2 + x4 500 600 x6 x5 + x7
comprueba que el flujo total entrante a la red (600 + 500) es igual al flujo total saliente (500 + 600)
a la red. Reescribiendo la tabla en un sistema de 6 ecuaciones y 7 incógnitas, se tiene
x1 x1
x3
−
x2 x2
+ x5
x3 x4 x5
= = = + x6 = x6 + x7 = + x7 =
−
600 0 500 600 0 500
Sistemas de ecuaciones lineales
74
La matriz aumentada de este sistema es
1 1 0 0 0 0
0 −1 1 0 0 0
1 0 0 1 0 0
0 −1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1
0 0 0 1 −1 0
0 0 0 0 1 1
600 0 500 600 0 500
Aplicando el método de Gauss–Jordan, se tiene 1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 1 0 0 0
−1
0 −1 0 1 1 0
0 1 −1 0 0
0 0 600 0 500 0
Como Ran (Ar br ) = 5 < 7 = n, por el teorema de Rouche–Frobenius el sistema es compatible
|
indeterminando y depende de 2 parámetros, es decir
= 0 = 0 = 600 = 0 = 500
x1 − x6 x2 − x7 x3 − x6 x4 − x6 + x7 x5 + x7
Consideremos a x6 = α y x7 = β variables libres, α , β ∈ R, entonces
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
b) Si x6 = 0y x7 = 0, entonces
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
= α = β = 600 + α = α β = 500 β = α = β
−
−
= 0 = 0 = 600 = 0 = 500 = 0 = 0
3.5 Aplicación de los sistemas lineales
75
x3 = 600 y x5 = 500 serían los flujos mínimos. ¿Qué significa un flujo igual a cero? c) Si x5 = 1000 y x6 = 0, se tiene
= 0 = 500 = 600 = 500 = 1000 = 0 = 500
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
−
−
¿Qué significan los número negativos en x2 y x7 ? Ejercicio 3.10 El flujo de tráfico (en vehículos por hora) a través de una red de calles se muestra en la figura. a) Resuelva este sistema para xi , i = 1, 2, . . . , 5. b) Encuentre el flujo vehicular cuando x2 = 200 y x3 = 50. c) Encuentre el flujo vehicular cuando x2 = 150 y x3 = 0. 400
A
x3
x2
200
x1
C
x5
250
B
x4
350
D
3.5.3 Matrices estocásticas Muchos tipos de aplicaciones implican un conjunto finitos de estados S 1 , S 2 , . . . , S n de una pobla-
{
}
ción. Por ejemplo, los habitantes de una cuidad pueden vivir en el centro o la periferia. Los electores pueden votar por el candidato A, candidato B, o cualquier ottro candidato. Los consumidores de
bebidas gageosas pueden comprar Inca Kola, Kola Real o cualquier otra marca. La probabilidad de que un miembro de la población cambie del j-ésismo estado al i-ésimo estado es representada por un número p i j donde 0
≤ pi j ≤ 1. Una probabilidad de pi j = 0 significa que el
miembro no cambia del estado j-ésimo al i-ésimo mientras que una probabilidad p i j = 1 significa
Sistemas de ecuaciones lineales
76
que el miembro cambia del estado j-ésimo al i-ésimo.
S 1 S 2 P = . .. S n
S 1
S 2
p11 p21 .. .
p12 p22 .. .
pn1
pn2
··· ··· ··· ···
S n p1n p2n .. . pnn
P se llama matriz de probabilidad de transición , pues proporciona las probabilidades de cada
posible tipo de transición (o cambio) dentro de la población. En cada transición, cada miembro dado debe permanecer en un estado cualquiera o cambiar a otro. Para probabilidades, esto significa que la suma de los elementos en cualquier columna de P es 1. Por
ejemplo, en la columna uno tenemos: p 1 + p2 + ··· + pn = 1. Definición 3.2 (matriz estocástica) Una matriz P de orden n se denomina estocástica, si cada elemento es un número entre 0 y 1 y cada columna de P suma en total 1. El siguiente ejemplo muestra el uso de la matriz estocástica para medir las preferencias de un
consumidor. 3.8 (Modelo de preferencia de un consumidor) Una población de 10 000 personas se agrupa de la forma: 5 000 no fumadores, 2 500 fumadores de un paquete o menos por día y 2 500 fumadores de más de un paquete al día. Durante algún mes existe 5% de probabiliadad de que un no fumador pueda comenzar a fumar un
paquete o menos por día y 2% de probabilidad de que un no fumador comience a fumar más de un paquete al día. Para fumadores que fuman un paquete o menos al día, existe 10% de probabilidad de que dejen de hacerlo y 10% probabiliada de que incrementen la cantidad.
Para fumadores que fuman más de un paquete al día, existe 5% de probabilidad de que dejen de hacerlo y 10 % de probabilidad de que disminuyan a un paquete o menos al día. ¿Cuántas
personas estarán en cada uno de los grupos en un mes? ¿en dos meses? ¿en tres meses? Solución: Identifiquemos los estados:
NF : no fumador 5000 F 1 : fumador de un paquete al día 2500 F 2 : fumador de más de unn paquete al día 2500
3.5 Aplicación de los sistemas lineales
77
La matriz que representa las probabilidades de transición es NF
F 1
F 2
NF 0,93 0,10 0,05 P = F 1 0,05 0,80 0,10 F 2 0,02 0,10 0,85
la matriz de estado que representa la población actual en los tres estados es
X =
5000 2500 2500
para obtener la matriz de estado que representa las poblaciones en los estados después de un mes,
multiplicamos P por X para obtener
PX =
0,93 0,10 0,05 0,05 0,80 0,10 0,02 0,10 0,85
5000 2500 2500
=
5025 2500 2475
Después de un mes, se tiene 5 025 no fumadores, 2 500 fumadores de un paquete al día y 2 475
fumadores de más de un paquete al día. Como la matriz de probabilidades de transición es la misma del primer mes al segundo mes, el
número de personas agrupadas después de dos meses es P2 X =
5047 2498,75 2454,25
5066,30 2496,76 2436,93
.
.
El número de personas agrupadas después de tres meses es P3 X =
Ejercicio 3.11 Un investigador médico estudia la dispersión de un virus en una población de 1000 ratones de laboratorio. Durante alguna semana existe 80% de probabilidad de que un ratón infectado supere el virus y durante la misma semana existe 10 % de probabilidad de que un ratón
sano se infecte. cien ratones son infectados con el virus. ¿Cuántos se infectarán esta semana? ¿ y
en dos semanas? Respuesta Próximo mes: 350 personas. En dos meses: 475 personas.
Sistemas de ecuaciones lineales
78
3.5.4 Programación lineal: optimización Los problemas que involucran la optimización (máximizar o minimizar) de una función llamada función objetivo, cuyas variables se encuentran sujetas a determinadas limitaciones denominadas restricciones. Si las restricciones y la función objetivo son lineales, el problema se denomina de
programación lineal. Definición 3.3 (Programación lineal ) Un problema de programación lineal es: maximizar (o minimizar) sujeta a
Siendo además,
f ( x1 , x2 , . . . , xn ) = c1 x1 + c2 x2 + ··· + cn xn ,
a11 x1 + a12 x2 + ··· + a1n xn ≤ b1 a21 x1 + a22 x2 + ··· + a2n xn ≤ b2 .. . am1 x1 + am2 x2 + ··· + amn xn ≤ bm x1 , x2 , . . . , xn ≥ 0
c j ∈ R,
j = 1, 2, . . . , n
ai j ∈ R, i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n bi ∈ R, i = 1, 2, . . . , n
La función f recibe el nombre de función objetivo del problema de programación lineal, y el conjunto de m desigualdades lineales con n incógnitas se denomina restricciones del problema.
Toda n-upla ( x1 , x2 , . . . , xn ) que satisface las m desigualdades se denomina solución factible. El siguiente ejemplo plantea un problema de programación lineal con dos variables el cual se resuelve
por el método gráfico. 3.9 (Problema de minimización) Un pequeño generador de electricidad utiliza dos clases de combustible: con alto contenido de azufre ( M ) y con bajo contenido de azufre ( N ). Por cada hora de uso del generador, un galón de combustible del tipo M emite 5 unidades de bióxido de azufre, genera 4 kilovatios y cuesta 50 centavos, mientras que un galón tipo N emite 3 unidades de bióxido de azufre, genera 4
kilovatios y cuesta 60 centavos. La oficina de protección ambiental insiste en que la máxima cantidad de bióxido de azufre que puede emitirse por hora es de 15 unidades. Suponga que
deben generarse por lo menos 16 kilovatios por hora. ¿Cuántos galones de M y cuántos de N
deben utilizarse por hora , de tal manera que el costo del combustible utilizado sea mínimo?
3.5 Aplicación de los sistemas lineales Solución: La siguiente tabla es un resumen de
Generador M N Disponible
79
los hechos descritos
Bióxido de Azufre 5 3 15
Kilovatios Costo 4 50 4 60 16
Sea x la cantidad de galones de combustible tipo M y y la cantidad de galones de combustible tipo N .
Buscamos minimizar la ecuación z = f ( x, y) = 50 x + 60 y sujeta a
≥
5 x + 3 y ≤ 15 4 x + 4 y ≥ 16 x 0, y ≥ 0
La figura (3.2) muestra un polígono convexo R dado por las desigualdades anteriores. Los puntos de
esquina de R son
3 5 , B = (0, 4) C = (0, 5) 2 2 Los valores de la función objetiva z = f ( x, y) = 50 x + 60 y en los puntos de esquina son A =
3 5 + 60 = 225 2 2 f ( B) = 50(0) + 60(4) = 240 f ( A) = 50
f (c) = 50(0) + 60(5) = 300
Entonces el mínimo de f sobre R ocurre en el punto A = 32 , 52 . Es decir, si cuando se tiene 23 de
galones de M y 25 de galones de N a un costo mímino de 225 centavos.
Figura 3.2:
80
Sistemas de ecuaciones lineales
Ejercicio 3.12 Una compañía aérea desea ofertar para una determinada ruta, a lo más 2500 pasajes de tipo A y tipo B. La ganancia correspondiente a cada pasaje de tipo A es de 25 dólares, mientras que la ganancia de tipo B es de 20 dólares. El número de pasaje tipo A no puede exceder 2100 y del tipo B , debe ser, la tercera parte de las de tipo A que se oferten. Calcular cuántos pasajes se deben ofertar para que la ganancia sea máxima. Respuesta: 2100 de tipo A y 400 de tipo B, haciendo una ganancia máxima de 60500.
Ejercicio 3.13 La Academia de ciencias Gauss prepara un viaje para 275 de sus integrantes. Una empresa de transporte tiene 6 buses de 25 asientos y 9 buses de 40 asientos, pero solo disponen
de 8 conductores. Calcular cuántos buses de cada tipo se deben alquilar para que el viaje resulte
económico. a) Cuando alquiler de cada bus grande cuesta 50 soles y del pequeño 30 soles. b) Cuando alquiler de cada bus grande cuesta 38 soles y del pequeño 40 soles. Respuesta: a) 3 buses pequeños y 5 buses grandes, haciendo un costo mínimo de 340 soles. b) 0 buses pequeños y 6.88 buses grandes, haciendo un costo mínimo de 275 soles. Como no se puede
alquilar 6.88 buses tomamos 7 buses grandes y 0 pequeños haciendo un costo de 280 soles.
3.5.5 Modelo lineal en economía: Método de Leontief
Este modelo matemático desarrollado por el economista estadounidense Wassily W. Leontief (1906-
1999), premio Nobel por su trabajo en economía en 1973. Al generar un modelo matemático, Leontief suposo que un sistema económico–productivo está
formado por n industrias diferentes, cada uno de los cuales frábrica un solo producto. Suponga que un sistema económico tiene n industrias diferentes I 1 , I 2 , . . . , I n , cada una de las cuales tiene requerimientos de entrada (materias primas, transporte, etc.) y una salida (producto terminado). En la producción de cada unidad de salida, una industria puede utilizar las salidas de otras industrias, incluyéndose a sí misma. Por ejemplo, el servicio eléctrico utiliza las salidas de otras industrias
como: carbón, agua, petróleo, incluso su propia electricidad. Sea d i j la fracción de insumos que necesita la empresa j para producir cada una de sus unidades, y que son elaboradas por la empresa i. Se llamará xi a la cantidad total de unidades de producción de la
industria i, y ei la demanda externa de la industria i. Si ei = 0 el sistema económico es cerrado , es decir sólo vende sus productos a las industrias dentro del sistema y si ei = 0 el sistema económico
es abierto cuando las industrias dentro del sistema venden sus productos a grupos no productores
como gobiernos o instituciones de caridad.
3.5 Aplicación de los sistemas lineales
81
La matriz de los coeficientes d i j se llama matriz de entrada–salida. I 1 I 1 I 2 D = . .. I n
I 2
d 11 d 12 d 21 d 22 .. .. . . d n1 d n2
··· ··· ··· ···
I n d 1n d 2n .. . d nn
las filas I 1 , I 2 , . . . , I n representan al usuario (salida) y las columnas I 1 , I 2 , . . . , I n representan al proveedor (entrada). Los valores de d i j deben satisfacer 0
≤ d i j ≤ 1 y la suma de los elementos en cada
columna deden ser menor o igual a 1. i) d 12 = 0,5: significa que 0.5 unidades del producto de la Industria 1 deben emplearse para producir una unidad del producto de la Industria 2. ii) d 44 = 0,15: entonces 0.15 unidades de la Industria 4 son requeridas para producir una unidad de su propio producto. Por ejemplo, si para producir una unidad de electricidad (un millón $) se consumen $ 250 de carbón:
d electricidad
carbón =
250 = 0,00025 1000000
Si la producción de electricidad es xi , la industria del carbón deberá producir, para satisfacer al sector
de electricidad d electricidad
carbón xe = 0,00025 xe
Cada sector deberá producir para satisfacer las demandas internas (a sí mismo y a los demás sectores)
y la externa. Planteando el equilibrio del sistema, se tiene producción de cada industria = consumo interno + demanda externa El sector 1 deberá producir x1 = d 11 x1 + d 12 x2 + ··· + d 1n xn + e1
El sector o empresa i deberá producir xi = d 11 x1 + d 12 x2 + ··· + d ii xi + ··· d 1n xn + ei
Al aplicar el equilibrio encada sector, se tendrá el sistema de n ecuaciones lineales
x1 = d 11 x1 + d 12 x2 + ··· + d 1n xn + e1 x2 = d 21 x1 + d 22 x2 + ··· + d 2n xn + e2 .. . xn = d n1 x1 + d n2 x2 + ··· + d nn xn + en
Sistemas de ecuaciones lineales
82
La forma matricial de este sistema es X = DX + E
donde X se llama matriz de salida y E es la matriz de demanda externa. Veamos toda esta teoría en el siguiente ejemplo. 3.10 Un sistema compuesto de dos industrias: carbón y acero, tienen los siguientes requerimientos
de entrada. a) Para producir 1.00 $ de ganancia a la salida, la industria del carbón necesita 0.10 $ de su producto y 0.80$ de acero. b) Para producir 1.00 $ de ganancia a la salida, la industria del acero necesita 0.10 $ de su producto y 0.20$ de carbón. Determine D, la matriz de entrada–salida para este sistema. Después, resuelva para la matriz X en la ecuación X = DX + E, donde la demanda externa es E =
Solución: La matriz de
10000 20000
.
entrada–salida es carbon acero D =
carbon acero
0,10 0,80
0,20 0,10
Como la matriz de demanda externa es
carbon 10000 E = acero 20000
La matriz de salidad X, se calcula resolviendo la ecuación matricial X = DX + E X = (I
Donde (I
− D) = − −
9 10 4 5
1 5 9 10
,
− D)−1 · E (I
− D)−1 =
18 13 16 13
4 13 18 13
Así la matriz de salida es
X =
18 13 16 13
4 13 18 13
10000 20000
=
20000 40000
.
3.5 Aplicación de los sistemas lineales
83
Ejercicio 3.14 Un sistema tiene dos industrias, con los siguientes requerimientos de entrada a) Para producir 1.00$ de ganancia a la salida, la industria A necesita 0.30$ de su propio producto y 0.40$ del producto de la industria B. b) Para producir 1.00$ de ganancia a la salida, la industria B necesita 0.20$ de su propio producto y 0.40$ del producto de la industria A. Determine D la matriz de entrada–salida para este sistema. Después, resuelva para la matriz X en
la ecuación X = DX + E, donde la demanda externa es E =
50000 30000
.
Ejercicio 3.15 Una pequeña comunidad incluye un granjero, un panadero y un sastre y tiene la matriz D de entrada–salida y la matriz E de demanda externa mostrada Gran jero Panadero Sastre Gran jero D = Panadero Sastre
0,40 0,30 0,20
0,50 0,00 0,20
0,50 0,30 0,00
y E =
Resuelva para la matriz X de salida en la ecuación X = DX + E.
1000 1000 1000
Ejercicios 3.2 3.6 Resolver el sistema de ecuaciones siguientes e indicar en cada caso si son incompatibles, compatibles determinados o compatibles indeterminados:
(a)
(b)
− − − − −− − −
x 2 y + 4 z = 0 3 x + y 2 z = 0 x 5 y + 4 z = 0 x 2 y + z = 1 3 x y 2 z = 4 4 x + 3 y + z = 2
(c)
(d)
2 x + 3 y + z = 0 x + 3 y = 3 x + y + 3 z = 5 ax + y + z = 1 x + ay + z = a x + y + az = a2
(e)
x + y − z = 1 3 x + ay + az = 5 x + ay = 5
3.7 Indique si los sistemas de ecuaciones son compatibles o incompatibles:
Sistemas de ecuaciones lineales
84
(a)
(b)
− − − − − − −− −−
x + 3 y + z 4t = 1 2 x 6 y 2 z + 8t = 0 x + y + z + t = 1 2 x y z t = 0 x + 2 y + z t = 1 3 x + y 2t = 1 6 x + 2 y 4t = 1
(c)
(d)
x + y + z = 0 2 x + y + z = 0 3 x + 2 y + 2 z = 0 x + 2 y − z = 2 x − y + z = 1 2 x + y = 3 3 y − 2 z = 1
3.8 Resolver los siguientes sistemas lineales de ecuaciones:
(a)
(b)
(c)
x − y − z = 6 x + y − z = 2 x + y + z = 12 2 x − 5 y + 3 z = −12 3 x + 2 y − 5 z = 1 7 x − 4 y + 2 z = 0 x − 2 y + z = −4 3 x + y − 5 z = 1 3 x + 3 y − 2 z = 4
(d)
(e)
(f)
x + y − z = 3 x + y = 4 3 x + 3 y − 2 z = 7 x + y − z = −5 x + y = −2 3 x + 3 y − 2 z = −12 x + y − z = 1 x + y = 2 3 x + 3 y − 2 z = 4
(g)
(h)
(i)
x + y = 1 2 x + 3 y = 0 x − y = 3 x + y = 1 2 x + 3 y = 4 x − y = 2 x + y = 2 2 x + 3 y = −2 x − y = 14
3.9 Encontrar un sistema homogéneo de dos ecuaciones y cuatro incógnitas tal que x = 1, y = 3, z = −2, t = −1, x = 3, y = −1, z = 2, t = −2
sean soluciones. Encontrar la solución general de este sistema de ecuaciones. 3.10 Considere las matrices A =
1 3 4
−1
2 2 1 1 3
B =
2 5 4 6 5 7 8 10 11
(a) Analizar si la matriz A es regular. (b) Resolver la ecuación matricial AX = B. (c) Encontrar una matriz C tal que la ecuación AX = C no tenga soluciones. 3.11 Estudiar el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro a:
3.5 Aplicación de los sistemas lineales
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
(g)
85
ax + y − z = 1 x − 2 y + z = 1 3 x + 4 y − 2 z = 2 (a − 1) x + (a − 1) y = a ax + (a + 1) y = a + 1 x − y + z = 0 −2 x + ay − 4 z = 0 (a + 1) x − 3 y + (2a + 2) z = 0 x + y = 1 ay + z = 0 x + (a + 1) y + az = a + 1 2 x + y − 2 z = 2 2 x + y + az = 0 x + ay + z = 1 ax + y + (a + 1) z = a x + y + z = a + 1 (a − 2) x − y + z = 0 x + (2a − 1) y − az = 0 x + ay − z = 0
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
− − − − − − − − −
x 2 y + az = a x + 4 y + a2 z = 6a x 8 y + a2 z = −4 x + ay z = −2 2 y + z = 5 x 5 y + 2 z = 7 x + 3 y z = 1 − a x y + z = 3 2 x + y + 3 z = 9 x + 2 y + az = 6 3 x + 4 z = 3a2 x + by + az = 1 ax + by + z = 1 x + aby + z = b ax + y + z = 3 x + y + 2 z = 1 5 x + 2 y + 3 z = 4 x z = b
3.12 Calcular a y b para que los sistemas lineales de ecuaciones
x − 2 y + 3 z − t = 0 2 x + 4 y + 5 z + 3t = 0
x + 6 y + 2 z + at = 0 x − by + 4 z − 6t = 0
sean equivalentes. 3.13 Encuentre el patrón de flujo general de la red que se muestra en la figura (??). Suponiendo que todos los flujos son no negativos, ¿cuál es el máximo valor posible para x3 ? 40
A
x1
x3
B
x4
x2
60
C
3.14 Encuentre el patrón de flujo general de la red que se muestra en la figura. Si el flujo
Sistemas de ecuaciones lineales
86
debe ir en la dirección indicada, ¿cuáles osn los flujos mínimos en los arcos denotados por
x2 , x3 , x4 y x5 ?
80
20
30
A
C
x2 x5
x1
100
x6
B x3 x4 E
60
D
30
90
50
3.15 Considere el siguiente diagrama de una malla de calles de un sentido con vehículos que entran y salen de las intersecciones. Las flechas a lo largo de las calles indican la dirección del flujo del tráfico. Sea xi el número de vehículos por hora que circulan por la calle i. Suponiendo que el tráfico que entra a una intersección también sale, establezca un sistema de ecuaciones
que describa el diagrama del flujo de tráfico. a) Encuentre el patrón de flujo general del tráfico. b) Suponga que la calle de A a C necesita cerrarse; es decir, x 3 = 0. ¿Puede cerrarse también la calle de A a D ( x5 = 0) sin modificar los sentidos del tránsito?. Si no se puede cerrar ¿cuál es la cantidad más pequeña de vehículos que debe admitir esta calle
(de A a D)? 200
200 300 100
x1
B
200 x2
x3
A x5
C
200
x4
100
D
100
3.5 Aplicación de los sistemas lineales
87
3.16
a) Encuentre el patrón general en la red de calles principales que se muestra en la figura (las tasas de flujo se dan en automóviles por minuto). b) Describa el patrón de tráfico general cuando se cierra el camino cuyo flujo es x4 . c) Cuando x4 = 0, ¿cuál es el valor mínimo de x1 ? 200 B x1
40
x2 x3
A
C
x4
D
100
x5
60 3.17 El flujo a través de una red se muestra en la figura 300
B x4 x1
x2 A x5
x6 C
x1
100 a) Resuelva el sistema para xi , i = 1, . . . , 6. b) Determine el flujo cuando x3 = 100, x5 = 50 y x6 = 50.
D
200
Introducción Espacio vectorial Subespacio vectorial Caracterización de subespacios
Combinación lineal y espacio generado Independencia Lineal Base de un Espacio Vectorial Coordenadas respecto de una base Uso de operaciones elementales para obtener bases Dimensión de un espacio vectorial Suma, intersección y suma directa de subespacios Fórmula de la dimensión Bibliografía
4 — Espacio vectorial
4.1 Introducción Empleamos espacios vectoriales para desarrollan códigos que detectan y corrigen errores en la transmisión de información en forma digital, por ejemplo los dispositivos utilizados hoy en día como
son las computadoras, teléfonos celulares, redes de comunicación emplean alguno de estos tipos de
codificación. El estudio de los espacios vectoriales no es demasiado diferente del estudio del espacio Rn , porque 2 y R3 para visualizar muchos conceptos generales. Se puede sumar dos vectores en R2 . En la suma, los vectores en R2 obedecen las leyes conmutativas y asosiativa. Si v R2 , entonces v + 0 = v y v +( v) = 0. Se puede multiplicar vectores
es posible usar la experiencia geométrica adquirida con
en R2
∈
por escalares y obtener las leyes distributivas. En
R
R3
−
se cumplen las mismas propiedades.
Los conjuntos R2 y R3 junto con las operaciones de suma de vectores y multiplicación por un escalar se denominan espacios vectoriales. Se puede decir, de forma intuitiva, que un espacio vectorial es un
conjunto de objetos con dos operaciones que obedecen las reglas que acaban de describirse. En éste capítulo se tendrá un cambio, en apariencia grande, del mundo concreto de la solución de ecuaciones y del manejo sencillo de los vectores que se visualizaban, al mundo abstracto de los espacios vectoriales arbitrarios. Existe una ventaja en este cambio. Una vez que, en términos generales, se establecen los hechos sobre los espacios vectoriales, se pueden aplicar estos hechos a todos los espacios de esta naturaleza. De otro modo, tendría que probarse cada hecho una y otra vez
para cada nuevo espacio vectorial que nos encontráramos (y existe un sin fín de ellos).
Espacio vectorial
90
4.2 Espacio vectorial Definición 4.1 (Espacio vectorial) Un espacio vectorial sobre un cuerpo (real o complejo) es un conjunto V = / 0 sobre el cual se
definen dos operaciones: suma (+) y producto (·) , tal que 1 Suma + : V V
×
(u, v)
2
−→ −→
V u+v
verificando las siguientes propiedades: i) Cerradura bajo la suma: u + v ∈ V , para todo u, v ∈ V . ii) Conmutativa: u + v = v + u, para todo u, v ∈ V . iii) Asociativa: (u + v) + w = u + (v + w), para todo u , v,w ∈ V . iv) Elemento neutro: Existe 0 ∈ V tal que u + 0 = u, para todo u ∈ V . v) Elemento opuesto: Para todo u ∈ V existe −u ∈ V tal que u + (−u) = 0. Producto por un escalar
· : R × V −→ (λ , u) −→
V λ u
·
verificando las siguientes propiedades: vi) Cerradura bajo la multiplicación: λ · u ∈ V , para todo u ∈ V y λ ∈ R un escalar. vii) 1 · u = u, para todo u ∈ V . viii) λ · (µ · u) = ( λ µ ) · u, para todo λ , µ ∈ R y para todo u ∈ V . ix) (λ + µ ) · u = λ · u + µ · u, para todo λ , µ R y para todo u ∈ V x) λ · (u + v) = λ · u + λ · v, para todo λ ∈ R y para todo u, v ∈ V . A los elementos de un espacio vectorial se les llamará vectores y a los elementos del cuerpo real se
les llamará escalares. Un espacio vectorial real es un espacio vectorial sobre el cuerpo R. Nota En lo que sigue de este capítulo, siempre que no haya confusión se omitirá el punto (·) en la operación producto por un escalar; es decir, λ · u = λ u.
Los siguientes ejemplos muestran si un conjunto es o no un espacio vectorial. 4.1 (El espacio Rn ) El conjunto Rn = x = ( x1 , x2 , . . . , xn ) : xi
{
∈ R, i = 1, . . . , n} con las operaciones de suma y
4.2 Espacio vectorial
91
multiplicación por un escalar, definidas como x + y = ( x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn )
λ x = (λ x1 , λ x2 , . . . , λ xn )
es un espacio vectorial. 4.2 (Espacio vectorial trivial) Sea V = {0}. Es decir, V tiene un único elemento el número 0. Como 0 + 0 = 1 · 0 = 0 + (0 + 0) = 0 · (0 + 0) = ( 0 + 0) · 0 = 0 + (−0) = 0, se ve que V es un espacio vectorial, llamado espacio vectorial trivial. 4.3 (Conjunto que no es un espacio vectorial) Sea V = 2 . Es decir, V tiene un único elemento el 2. Este no es un espacio vectorial, pues
{}
falla en la cerradura; es decir, 2 + 2 = 4 ∈/ V , también no cumple muchos axiomas sin embargo, con sólo demostrar que no cumple al menos
uno de los diez axiomas queda probado que V no es un espacio vectorial. 4.4 (Una recta en R2 que pasa por el origen es un espacio vectorial) Sea V = ( x, y) : y = mx, m
{
∈ R}, este conjunto consiste en todos los puntos que están sobre
la recta y = mx que pasa por el origen y tiene pendiente m. Para verificar que V es un espacio
vectorial se pueden verificar cada uno de los axiomas. 1 Sea x = ( x1 , y1 ) y y = ( x2 , y2 ) que están en V . Entonces y1 = mx1 , y2 = mx2 , x + y = ( x1 , y1 ) + ( x2 , y2 ) = ( x1 , mx1 ) + ( x2 , mx2 ) = ( x1 + x2 , mx1 + mx2 )
= ( x1 + x2 , m( x1 + x2 )) 2
∈ V
Suponga que x = ( x, y) ∈ V , entonces y = mx y
−x = −( x, y) = −( x, mx) = (− x, m(− x)) ∈ V de manera que −x = −( x, y) ∈ V y ( x, mx) + (− x, m(− x)) = ( x − x, m( x − x)) = (0, 0) = 0 Entonces V es un espacio vectorial.
Espacio vectorial
92
4.5 (Una recta que no pasa por el origen no es un espacio vectorial) Sea V = ( x, y) : y = x + 2 ; es decir, V es el conjunto de puntos que están sobre la recta
{
}
y = x + 2. V no es un espacio vectorial pues no se cumple la cerradura bajo la suma, veamos esto. Supongamos que x = ( x1 , y1 ), y = ( x2 , y2 ) ∈ V , entonces y1 = x1 + 2 y y2 = x2 + 2 x + y = ( x1 , y1 ) + ( x2 , y2 ) = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) = ( x1 + x2 , ( x1 + x2 ) + 4) / V .
∈
por ejemplo, (1, 3)
∈ V y (−1, 1) ∈ V , pero (1, 3) + (−1, 1) = (0, 4) ∈/ V pues 4 = 0 + 2.
Una forma más sencilla de comprobar que V no es un espacio vectorial es observar que 0 = ( 0, 0) / V porque 0 = 0 + 2.
∈
4.6 (Un plano de R3 que pasa por el origen constituye un espacio vectorial) Sea V = ( x, y, z) : ax + by + cz = 0 ; es decir, V es el conjunto de puntos en R3 que esta en
{
}
el plano con vector normal (a, b, c) y que pasa por el origen. Supongamos que x = ( x1 , y1 , z1 ) ∈ V y y = ( x2 , y2 , z2 ) ∈ V , entonces x + y = ( x1 , y1 , z1 ) + ( x2 , y2 , z2 ) = ( x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 )
∈ V ,
pues a( x1 + x2 ) + b( y1 + y2 ) + c( z1 + z2 ) = ( ax1 + by1 + cz1 ) + (ax2 + by2 + cz2 ) = 0 + 0 = 0. Por lo tanto, el axioma i) se cumple. El resto de los axiomas se verifican facilmente. De este modo, el conjunto de todos los puntos que se encuentran en un plano
3 que pasa por el
R
origen es un espacio vectorial.
4.7 (El espacio vectorial Pn ) Sea V = Pn =
n
k ∑ ak x : n ∈ N, ak ∈ R
k =1
; es decir, V es el conjunto de polinomios con
coeficientes reales de grado menor o igual a n . Si p
∈ Pn y q ∈ Pn, entonces la suma de
p( x) + q( x) y la multiplicación por un escalar λ p( x) están definidas de la manera usual:
p( x) + q( x) = an xn + an−1 xn−1 + ··· + a1 x + a0 + bn xn + bn−1 xn−1 + ··· + b1 x + b0 = (an + bn ) xn + (an−1 + bn−1 ) xn−1 +
··· + (a1 + b1) x + (a0 + b0)
4.2 Espacio vectorial
93
λ ( p( x)) = λ an xn + an−1 xn−1 +
··· + a1 x + a0 = (λ an ) xn + (λ an−1 ) xn−1 + ··· + (λ a1 ) x + (λ a0 )
Es obvio que la suma de dos polinomios de grado menor o igual a n es otro polinomio de grado menor o igual a n , luego se cumple el axioma i ). Si se define el polinomio 0 =
0 xn + 0 xn−1 + ··· + 0 x + 0, entonces 0 ∈ Pn y el axioma iv) se cumple. Por último, sea − p( x) = −an xn − an−1 xn−1 −···− a1 x − a0, entonces p ( x) + (− p( x)) = 0 ∈ V y el axioma v) se cumple. El resto de los axiomas se verifica facilmente, con lo que Pn es un espacio vectorial real.
4.8 (Los espacios vectoriales C [0, 1] y C [a, b]) Sea V = C [0, 1] el conjunto de funciones continuas de valores reales definidas en el intervalo
[0, 1]. Se define ( f + g)( x) = f ( x) + g( x)
(λ f )( x) = λ [ f ( x)]
Como la suma de funciones continuas es continua, el axioma i) se cumple, el resto de los axiomas se verifican facilmente con 0 = la función cero y ( f )( x) =
−
− f ( x). Del mismo
modo, C [a, b], el conjunto de funciones de valores reales definidas y continuas en [a, b], es un
espacio vectorial.
4.9 (El espacio vectorial M mn ) Si V = M mn , denota el conjunto de matrices de orden m
× n con componentes reales, entonces
con la suma de matrices y multiplicación por un escalar usuales, se verifica que M mn es un
espacio vectorial cuyo neutro aditivo es la matriz de ceros de dimensiones m × n.
4.10 (El conjunto de matrices invertibles no es un espacio vectorial) Sea S 3 =
{ matrices invertibles de 3 × 3}, se define la suma A ⊕ B = AB. Si A y B son inver-
tibles, entonces AB es invertible y el axioma i ) se cumple. El axioma iii ) es la propiedad asociativa para la mutiplicación de matrices; los axiomas iv) y v) se satisfacen con 0 = I 3 y
− A = A−1. Sim embargo, AB = BA en general y al axioma ii) no se cumple y por lo tanto S 3 no es un espacio vectorial.
Espacio vectorial
94
4.11 (Un semiplano de R2 puede no formar un espacio vectorial)
≥ 0}; es el conjunto de puntos de R2 en el semiplano derecho (el primer y cuarto cuadrante). Si x1 ≥ 0 y x 2 ≥ 0, entonces x 1 + x2 ≥ 0; así, ( x1 , y1 ) ∈ V y ( x2 , y2 ) ∈ V , entonces ( x1 + x2 , y1 + y2 ) ∈ V . Sin embargo, V no es un espacio vectorial ya que el vector (1, −2) ∈ V , pero no tiene inverso en V , pues −(1, −2) = ( −1, 2) ∈ / V . Sea V = ( x, y) : x
{
Como sugieren estos ejemplos, existen diferentes tipos de espacios vectoriales y muchas clases de conjuntos que no son espacios vectoriales. A continuación se mencionan algunos resultados sobre
espacios vectoriales. Teorema 4.1 (Propiedades) Si V es un espacio vectorial y para todo u ∈ V , λ ∈ R se tiene: 1 2 3 4
λ 0 = 0
· 0 · u = 0 Si λ · u = 0, entonces λ = 0 o u = 0 (−1) · u = −u
Ejercicios 4.1 4.1 En R2 se definen las siguientes operaciones ( x1 , y1 ) + ( x2 , y2 ) = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) α ( x, y) = (α x, y)
¿Es un espacio vectorial?. 4.2 En los siguientes ejercicios, determine si el conjunto dado V es cerrado bajo las operaciones ⊕ y . a.) El conjunto de todos los pares ordenados de números reales ( x, y), donde x > 0 y y > 0: ( x1 , y1 )
⊕ ( x2, y2) = ( x1 + x2, y1 + y2) k ( x, y) = ( kx, ky)
b.) Sea V el conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales de la forma (0, y, z): (0, y1 , z1 )
⊕ (0, y2, z2) = (0, y1 + y2, z1 + z2) k (0, y, z) = (0, 0, kz)
4.2 Espacio vectorial
95
c.) Sea V el conjunto de todos los polinomios de la forma ax2 + bx + c, donde a, b, c ∈ R y b = a + 1:
a1 x2 + b1 x + c1
⊕
a2 x2 + b2 x + c2 = (a1 + a2 ) x2 + (b1 + b2 ) x + (c1 + c2 )
k ax2 + bx + c = (ka) x2 + (kb) x + (kc)
4.3 En los siguientes ejercicios, determine si el conjunto dado V junto a las operaciones dadas, es un espacio vectorial. Si no lo es, enumere las propiedades de la definición (??) que no se cumplen. a.) El conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales ( x, y, z) con las operaciones ( x1 , y1 , z1 )
⊕ ( x2, y2, z2) = ( x1, y1 + y2, z2) k ( x, y, z) = (kx, ky, kz)
b.) El conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales ( x, y, z) con las operaciones ( x1 , y1 , z1 )
⊕ ( x2, y2, z2) = ( x1 + x2, x2 + y2, z1 + z2) k ( x, y, z) = ( x, 1, z)
c.) El conjunto de todas las ternas ordenadas de la forma (0, 0, z) con las operaciones (0, 0, z1 )
⊕ (0, 0, z2) = (0, 0, z1 + z2) k (0, 0, z) = ( 0, 0, kz)
4.4 Sea V el conjunto de todos los pares ordenados de números reales ( x, y) con las operaciones ( x, y) + ( x , y ) = ( x + x , y + y )
k ( x, y) = (0, 0)
¿Es un espacio vectorial?. 4.5 Sea V el conjunto de todos los pares ordenados de números reales ( x, y) con las operaciones ( x, y) + ( x , y ) = ( x + x , y + y )
k ( x, y) = (kx, 0)
¿Es un espacio vectorial?.
Espacio vectorial
96
4.6 Sea V el conjunto de todos los números reales. Definimos u ⊕ v = 2u − v y k u = k u. ¿Es un espacio vectorial?. 4.7 Sea el conjunto V = { x ∈ R : x < 0} con las operaciones u + v = uv,
λ u = uλ
·
¿Es V un espacio vectorial?
4.3 Subespacio vectorial Definición 4.2 (Subespacio vectorial) Un subespacio vectorial de un espacio vectorial V es cualquier subconjunto S
que es un espacio vectorial con las mismas operaciones definidas sobre V .
⊂ V no vacío
Se puede decir que el subespacio S hereda las operaciones del espacio vectorial V .
4.3.1 Caracterización de subespacios El siguiente teorema da un resultado que hace relativamente sencillo determinar si un subconjunto S
de V es en realidad un subespacio de V . Teorema 4.2 (Caracterización de subespacios) = S ⊂ V , entonces Si V es un espacio vectorial y 0/ S es un subespacio vectorial de V
⇐⇒
u+v
λ u
∈ S
∈ S
, para todo u, v , para todo λ
∈ S
∈ R y para todo u ∈ S
Este teorema demuestra que para probar si S es o no un subespacio vectorial de V , es suficiente
verificar que
u + v y λ u están en S cuando u y v están en S y λ es un escalar.
Hay un hecho que por su importancia merece ser mencionado en forma explícita:
Todo subespacio de un espacio vectorial V contiene al 0 .
4.3 Subespacio vectorial
97
Este hecho con frecuencia se utiliza para averiguar, si un subconjunto de V en particular no es un subespacio de V . Es decir, si un subconjunto no contiene al 0, entonces no es un subespacio. Note
que el vector cero del subespacio vectorial S es el mismo que el vector cero del espacio vectorial V .
= S ⊂ V , entonces Corolario 4.1 Si V es un espacio vectorial y 0/
S es subespacio vectorial de V ⇐⇒ λ u + µ v ∈ S , para todo escalar λ , µ y para todo u, v ∈ S .
A continuación se presentan algunos ejemplos de subespacios. 4.12 (El subespacio trivial)
{ }
En todo espacio vectorial el conjunto 0 es el subespacio vectorial llamado subespacio trivial, pues
0 + 0 = 0
y λ 0 = 0, λ ∈ R
4.13 (Un espacio vectorial es un subespacio de sí mismo) En todo espacio vectorial V , se tiene que V es un subespacio de sí mismo, pues V
⊂ V ;
llamado subespacio trivial.
Los dos primeros ejemplos muestran que todo espacio vectorial V contiene dos subespacios vectoriale
{0} y V (que coinciden si V = {0}) llamados triviales. Es más interesante encontrar otros subespacios. Los subespacios distintos de {0} y V se denominan subespacios propios. 4.14 (Un subespacio propio de R2 ) Sea S = ( x, y) : y = mx es un subespacio propio de
{
}
2 . Es decir, un conjunto de puntos que
R
se encuentran sobre la recta y = mx que pasa por el origen con pendiente m, es el único tipo
de subespacio propio de R2 .
4.15 (Un subespacios propio de R3) Sea S = ( x, y, z) : x = at , y = bt , z = ct ; a , b, c, t 3
{
∈ R}. Entonces S consiste en los vectores
que se encuentran sobre una recta que pasa por origen. Veamos que S es un subespacio de R3 , sea u = (at 1 , bt 1 , ct 1 ) ∈ S y v = (at 2 , bt 2 , ct 2 ) ∈ S , entonces R
u + v = (a(t 1 + t 2 ), b(t 1 + t 2 ), c(t 1 + t 2 ))
λ u = (a(λ t1 ), b(λ t1 ), c(λ t 1 ))
∈ S
∈ S
Espacio vectorial
98
Así, S es un subespacio de R2 .
4.16 (Subespacio propio de R3) Sea S = {( x, y, z) : ax + by + cz = 0; a , b, c ∈ R}. Entonces S es el conjunto de puntos en R3 que está en el plano con vector normal (a, b, c) y que pasa por el origen. Veamos que S es un subespacio de R3 , sea u = ( x1 , y1 , z1 ) ∈ S y v = ( x2 , y2 , z2 ) ∈ S , entonces u + v = ( x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 )
∈ S
pues, a( x1 + x2 ) + b( y1 + y2 ) + c( z1 + z2 ) = (ax1 + by1 + cz1 ) +(ax2 + by2 + cz2 ) = 0 + 0 = 0.
λ u = ( λ x1 , λ y1 , λ z1 )
∈ S
pues, a(λ x1 ) + b(λ y1 ) + c(λ z1 ) = λ (ax1 + by1 + cz1 = 0) = λ (0) = 0. Así, S es un subespacio de R3 . Nota Los conjuntos de vectores que se encuentran sobre rectas y planos que pasan por el origen son los únicos subespacios propios de R3 .
Antes de analizar más ejemplos, es importante notar que no todo espacio vectorial tiene subespacios propios.
4.17 (Un subespacio propio de M m×n ) Sea M 3×2 el espacio vectorial de matrices de orden 3
× 2 con componentes reales y sea
S = { A ∈ M 3×2 : a32 = 0}. Por la definición de suma de matrices y multiplicación por un escalar, es obvio que los dos axiomas de cerradura se cumplen de manera que S es un subespacio.
4.18 (Un subconjunto que no es subespacio propio de M n×n ) Sea M n×n el espacio vectorial de las matrices de orden n y sea S = A M n×n : A es invertible .
{ ∈
Entonces S no es subespacio, pues la matriz cero de orden n × n no pertenece a S .
}
4.19 (Subespacios propios de Pn ) Pn es el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a n, y si tenemos 0 ≤ m < n, entonces Pm es un subespacio propio de Pn .
4.3 Subespacio vectorial
99
4.20 (Subespacio de las matrices simétricas) Sea S = A M n×n : A es simétrica el conjunto de las matrices simétricas de orden n
{ ∈
}
×n
con las operaciones de suma de matrices y multiplicación de un escalar por una matriz es un
subespacio vectorial del espacio de las matrices de orden n × n. = / S 0
pues 0 ∈ S
( A + B)t = At + Bt = A + B
A ∈ S y B ∈ S
∈S (λ A)t = λ At = λ A ∈ S
A ∈ S y λ ∈ R
Las siguientes definiciones son importantes sobre la intersección, unión y suma de subespacios
vectoriales. Definición 4.3 (Intersección, unión y suma de subespacios) Sea V un espacio vectorial y S y T subespacios vectoriales de V , se definen: S ∩ T = {v : v ∈ S ∧ v ∈ T }
Intersección de los subespacios S y T
S ∪ T = {v : v ∈ S ∨ v ∈ T }
Unión de los subespacios S y T
S + T = {w = u + v : u ∈ S ∧ v ∈ T }
Suma de los subespacios S y T
Si además en S + T se cumple que S T = 0 se dice que la suma es directa y se escribe
∩
S ⊕ T .
{}
4.21 (Intersección de dos subespacios en R3 es un subespacio) En R3 sea S 1 = ( x, y, z) : x y + 2 z = 0 y S 2 = ( x, y, z) : 2 x + y + 3 z = 0 . Entonces S 1 y
{
−
}
{
}
S 2 consisten en vectores que se encuentran sobre los planos que pasan por el origen y son subespacios de R3 . S 1 ∩ S 2 es la intersección de los dos planos que se calculan al resolver las dos ecuaciones; x − y + 2 z = 0
2 x + y + 3 z = 0 Todas las soluciones del sistema homogéneo están dadas por
−
se obtienen las ecuaciones paramétricas de la recta L en R3 : x =
5 z, 1 z, z . Haciendo z = 3t , 3 3
−5t , y = t , z = 3t . Como se
observó en ejercicios anteriores, el conjunto de vectores sobre la recta L que pasan por el
origen constituye un subespacio de
R3 .
Espacio vectorial
100
4.22 (Unión de subespacios no es un subespacio) No es necesariamente cierto que si S 1 y S 2 son subespacios de V , la S 1
∪ S 2 es un subespacio de V (puede o no serlo). Por ejemplo, sean S 1 = {( x, y) : y = 3 x} y S 2 = {( x, y) : y = 5 x} dos subespacios de R2 , pero S 1 ∪ S 2 no es un subespacio. Veamos esto, si ( −1, −3) ∈ S 1 y (2, 10) ∈ S 2 , de manera que ( −1, −3), (2, 10) ∈ S 1 ∪ S 2 . Pero ( −1, −3) + (2, 10) = (1, 7) ∈ / ∈ S 1 y (1, 7) ∈/ S 2. Así, S 1 ∪ S 2 no es cerrado bajo la suma y por lo tanto S 1 ∪ S 2 porque (1, 7) / no es un subespacio.
4.23 (Suma de subespacios es un subespacio) Sean los subespacios vectoriales de
2
R
S 1 = {r (3, 1) : r ∈ R}
S 2 = {t (−2, 3) : t ∈ R}
vemos que S 1 y S 2 son rectas que pasan por el origen, entonces S 1 + S 2 = {w = u + v : u ∈ S 1 ∧ v ∈ S 2 } como R2
⊂ S 1 + S 2 y S 1 + S 2 ⊂ R2, entonces R2 = S 1 + S 2. Si ( x, y) ∈ R2 entonces se puede
escribir de manera única
( x, y) = r (3, 1) + t ( 2, 3)
−
bastará con resolver el sistema lineal
x = 3r − 2t y = r + 3t
escalonando la matriz del sistema y reduciéndola, se tiene ( x, y) =
3 x + 2 y 3 y − x (3, 1) + (−2, 3) 11 11
Veamos que se tiene S 1 ∩ S 2 = {0}. En efecto, sea u ∈ S ∩ T entonces u = (3r , r ),
u = (
−2t , 3t )
3r + 2t = 0 r − 3t = 0
pues u ∈ S 1 y u ∈ S 2 , igualando vectores resolviendo el sistema de ecuaciones
r = t = 0
luego u = (0, 0), entonces {(0, 0)} ⊂ S 1 ∩ S 2 . Por lo tanto, S 1 ∩ S 2 = {0}. Así, R2 = S 1 ⊕ S 2 . El siguiente teorema da resultados sobre operaciones con subespacios.
4.4 Combinación lineal y espacio generado
101
Teorema 4.3 (Intersección y suma de subespacios es subespacio) Sea V un espacio vectorial y S y T dos subespacios vectoriales de V . Entonces 1 S ∩ T es un subespacio vectorial de V . 2 S + T es un subespacio vectorial de V . Ejercicios 4.2 4.8 Indicar si son verdaderas o falsas. a.) El conjunto de vectores de la forma ( x, 1, z) es un subespacio de R3 . b.) El conjunto de vectores de la forma (2 x, 2 y, 0) es un subespacio de R3 . c.) El conjunto de matrices diagonales 3 × 3 es un subespacio de M 33 . d.) El conjunto de matrices triangulares superiores de 3 × 3 es un subespacio de M 33. . e.) El conjunto de matrices triangulares inferiores de 3 × 3 es un subespacio de M 33 .. f.) El conjunto de polinomios de grado 3 es un subespacio de P4 . 4.9 ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos del espacio vectorial M nn son subespacios? a.) El conjunto de todas las matrices singulares de n × n. b.) El conjunto de todas las matrices simétricas de n × n. c.) El conjunto de todas las matrices de n × n cuyo determinante es 1. 4.10 Sean u = (2, 0, 3, −4) y v = (4, 2, −5, 1) dos vectores en R4 y sea W el subconjunto de 4 R que consta de todos los vectores de la forma a u + bv, donde a y b son números reales cualesquiera. Proporcione un argumento que demuestre que W es un subespacio de R4 .
4.4 Combinación lineal y espacio generado Se ha visto que todo vector v = (2, −3, 5) en R3 se puede escribir de la forma (2, 3, 5) = 2i
−
− 3 j + 5k
Espacio vectorial
102
y decimos que v es una combinación lineal de los vectores i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) y k = ( 0, 0, 1).
Podemos ser más generales y dar la siguiente definición. Definición 4.4 (Combinación lineal) Sea V un espacio vectorial. Se dice que v ∈ V es combinacion lineal de los vectores {v1 , v2, . . . , vn} ⊂ V , si existen escalares α 1, α 2, . . . , α n ∈ R tales que n
v = ∑ α i vi = α 1 v1 + α 2 v2 + i=1
··· + α nvn
4.24 (Combinación lineal en R3) En
3 , el vector v =
R
(1, 2, 3) es combinación lineal de v1 = (1, 1, 1), v2 = (2, 4, 0), v3 =
(0, 0, 1).
En efecto, se plantea la ecuación vectorial (1, 2, 3) = α (1, 1, 1) + β (2, 4, 0) + γ (0, 0, 1)
que equivalen al sistema de ecuaciones, y cuyas soluciones se indican
⇒
α + 2β = 1 α + 4β = 2
=
α + γ = 3
α =
0
β =
1 2
γ =
3
Luego v = 0 v1 + 12 v2 + 3v3 , y el vector v es combinación lineal de v1 , v2 , v3 (y también de
{
{v1, v2}).
}
4.25 (Combinación lineal en M 23 )
− −
3 2 8 1 9 3 0 1 y A2 = −2 3
En M 23 , el vector (matriz) A =
ces) A1 =
−
1 0 4 1 1 5
es combinación lineal de los vectores (matri-
−2 −6
pues,
A = 3 A1 + 2 A2
−
3 2 8 −1 9 3
− = 3
1 0 4 1 1 5
+2
0 1 −2 3
− 2 −6
.
4.4 Combinación lineal y espacio generado
103
4.26 Averiguar si A =
− 1 0 2 4
Solución: Planteamos la
−
1 0 2 4
es combinación lineal de A1 =
1 1 2 2
y A2 =
3 2 3 5
.
siguiente ecuación matricial
⇒ = α
1 1 2 2
3 2 3 5
+ β
=
α + 3β = α + 2β =
−1
2α + 3β = 2α + 5β =
0 2 4
Este sistema es incompatible, luego A no es combinación lineal de { A1 , A2 }. 4.27 (Combinaciones lineales Pn ) En Pn todo polinomio se puede escribir como una combinación lineal de los “monomios”
1, x, x2 , . . . , xn
Definición 4.5 (Conjunto generador) Sea V un espacio vectorial. Se dice que el conjunto de vectores {v1 , v2 , . . . , vn } ⊂ V generan a V si todo vector en V se puede escribir como una combinación lineal de los mismos. Es decir, para todo v ∈ V existen escalares α 1 , α 2 , . . . , α n tales que v = α 1 v1 + α 2 v2 +
··· + α nvn
4.28 (Conjunto de vectores que generan R2 y R3 ) Los vectores i = (1, 0) y j = (0, 1) generan
2 y i =
R
(1, 0, 0), j = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1)
generan R3 .
4.29 (Cuatro vectores que generan M 22 )
El vector (matriz),
a b c d
a b c d
= a
se puede escribir de la forma,
1 0 0 0
+b
0 1 0 0
+c
0 0 1 0
+ d
0 0 0 1
Espacio vectorial
104
entonces los vectores
1 0 0 0
,
0 1 0 0
,
0 0 1 0
,
0 0 0 1
generan M 22. Lema 4.2 —(Espacio generado por un conjunto de vectores). Si V es un espacio vectorial y A = {v1 , v2 , . . . , vn }, entonces L( A) =
m
∑ α i vi :
i=1
α i
∈R
es un subespacio vectorial de V , que se llama subespacio generado por A . El conjunto A se
llama sistema de generadores de L( A).
4.30 Sea V = R3 y A = {v1 = ( 1, 0, 1), v2 = ( 1, 1, −1)}, entonces L( A) = {v = α v1 + β v2 : α , β ∈ R} = {v = (α + β , β , α − β )}
las ecuaciones
x = α + β β y = z = α − β se llaman ecuaciones paramétricas de L ( A). Las ecuaciones paramétricas son útiles para obtener, dándo valores reales a los parámetros α y β y obtener los diferentes vectores de L( A). Por ejemplo, para α = −1 y β = 2 se obtiene el vector v = (1, 2, −3) ∈ L( A). Eliminando parámetros en las ecuaciones paramétricas, se obtiene x − 2 y − z = 0 que se llaman ecuaciones implícitas de L( A). Las ecuaciones implícitas son útiles para comprobar
si un determinado vector pertenece a L ( A) (el vector debe verificar todas las ecuaciones). Por ejemplo, el vector (1, 3, 7)
= 0. 2 − 2(−1) − 5
−
∈ L( A) pues 1 − 2(−3) − 7 = 0, y el vector ( 2, −1, 5) ∈/ L( A) pues
4.31 En R4 , las ecuaciones paramétricas e implícitas del subespacio generado por A = {v1 = ( 1, −1, 1, −1), v2 = ( 1, 2, −1, 3)}
4.4 Combinación lineal y espacio generado
105
son respectivamente,
Propiedades:
x y z t
= = = =
α + β
−α + 2β α − β −α + 3β
=
⇒
x − 2 y − 3 z = 0 x + 4 y − 3t = 0
Si A y B son dos subconjuntos finitos de un espacio vectorial V , entonces 1 Si A ⊂ B entonces L( A) ⊂ L( B). 2 Si A ⊂ L( B) si y sólo si L( A) ⊂ L( B). 3 Si L( A) = L( B) si y sólo si A ⊂ L( B) y B ⊂ L( A). Proposición 4.1 Sea V un espacio vectorial y {v1 , v2, . . . , vm−1}, entonces
{v1, v2, . . . , vm} ⊂ V .
Si vm es combinación lineal
L ({v1 , v2 , . . . , vm }) = L ({v1 , v2 , . . . , vm−1 })
Ejercicios 4.3 4.11 En R3 , determinar si los vectores v = (−1, 1, 3) y u = (1, 2, 2) son combinación lineal de los vectores v1 = ( −1, 0, 2) y v 2 = ( −1, 2, 4). 4.12 ¿Cuáles de los siguientes vectores son combinación lineal de los vectores A1 =
a) b)
1 0
− 1 3
A2 =
,
− − 3 3
1 1 0 2
,
5 1 1 9
c)
2 2
d )
A3 =
2 2 −1 1
?
− − 3 3
1 2
1 0 2 1
4.13 Determine si el vector p ( x) pertenece a L( A) = { p1 ( x), p2 ( x), p3 ( x)}, donde p1 ( x) = x2 − x,
p2 ( x) = x2 − 2 x + 1,
p3 ( x) = − x2 + 1.
Espacio vectorial
106
a) p( x) = 3 x2 − 3 x + 1
c) p( x) = x + 1
b) p( x) = x2 − x + 1
d ) p( x) = 2 x2 − x − 1
4.14 Sea L( A) = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}. Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas de L( A). Determine un elemento de L( A) y si (1, 0, 1) ∈ L( A). 4.15 Sea L( A) = {(0, 0, 1), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}. Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas de L( A). Determine un elemento de L( A) y si (1, 1, 1) ∈ L( A). 4.16 ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores generan a) A = {(1, 2), (−1, 1)}
b) A = {(1, 3), (2, −3), (0, 3)}
2?
R
c) A = {(0, 0), (1, 1), (−3, −3)} d ) A = {(2, 4), (−1, 2)}
4.17 ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores generan a) A = {(1, −1, 2), (0, 1, 1)}
3?
R
c) A = {(2, 2, 3), (−1, −2, 1), (0, 1, 0)}
b) A = {(1, 2, −1), (6, 3, 0), (4, −1, 2), (2, −5, 4)} d ) A = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1)}
4.18 ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de polinomios generan P2 ?
a) A = x2 + 1, x2 + x, x + 1
b) A = x2 + 1, x − 1, x2 + 2
c) A = x2 + 2, 2 x2 − x + 1, x + 2, x2 + x + 4
d ) A = x2 + x − 1, x2 − 1
4.5 Independencia Lineal En el estudio del álgebra lineal, una de las ideas centrales es la de dependencia e independencia lineal de vectores. En esta sección mostraremos su relación con la teoría de sistemas homogéneos de
ecuaciones y determinantes. Antes de definir independencia lineal de vectores veamos el siguiente ejemplo: ¿existe alguna relación especial entre los vectores v1 = ( 2, 3) y v2 = ( 4, 6)?. Por supuesto, vemos que v2 = 2v1 ,
o escribiendo de otra manera
−
2v1 − v2 = 0
−
(4.1)
es decir, el vector cero se puede escribir como una combinación no trivial de v1 y v2 (los coeficinetes en la combinación lineal no son ambos cero). ¿Qué tienen de especial los vectores v 1 = ( 1, 2, 3), v2 = (
−
−1, 2, −4) y v3 = ( −1, 4, 6)?. La respuesta a simple vista es difícil, pero es sencillo verificar
4.5 Independencia Lineal
107
que v3 = 2v1 + 3v2 o escribiendo de la forma 2v1 + 3v2 − v3 = 0
(4.2)
se ha escrito el vector cero como una combinación lineal de v 1 , v 2 y v3 . Vemos que los dos vectores en la ecuación (4.1) y los tres vectores en la ecuación (4.2) tienen una relación más cercana que un par arbitrario de dos vectores o una terna arbitraria de tres vectores. En cada caso, se dice que los
vectores son linealmente dependientes . Definición 4.6 (Dependencia e independencia lineal) Sea V un espacio vectorial. El conjunto de vectores {v1 , v2 , . . . , vn } ⊂ V es linealmente = 0, tales que dependiente si y sólo si existen escalares α 1 , α 2 , . . . , α n con algún α i n
∑ α i v = α 1 v1 + α 2 v2 + ··· + α n vn = 0
(4.3)
i=1
En caso contrario, se dice que el conjunto de vectores v1 , v2 , . . . , vn es linealmente inde-
{
pendiente.
}
Para saber si un conjunto de vectores v1 , v2 , . . . , vn es linealmente dependiente ( L. D) o indepen-
diente ( L. I ), se plantea la ecuación
{
}
n
∑ α i v = 0
i=1
y se estudian sus soluciones. Si admite alguna solución no nula el conjunto de vectores es L. D, y si
sólo admite la solución nula es L. I . 4.32 (Determinación de la dependencia o independencia de tres vectores en R4) En R4 , determine si los vectores v 1 = ( 1, 0, 1, 2), v 2 = ( 1, 1, 0, 1) y v 3 = ( 2, , 1, 1, 1) son
−
L. I o L. D.
−
Solución: Se plantea la ecuación vectorial
α v1 + β v2 + γ v3 = 0 α (1, 0, 1, 2) + β (1, 1, 0, 1) + γ (2, , 1, 1, 1) = 0
−
−
que equivale al sistema de cuatro ecuaciones y tres incógnitas,
α + β + 2γ = 0 β + γ = 0
= 0 α + β + 2γ = 0
−α − γ
Espacio vectorial
108
cuyas soluciones son α = β = γ = 0. Por lo tanto v 1 , v2 y v 3 son L. I . 4.33 (Determinación de la dependencia lineal de tres vectores en R4 ) Determinar si los vectores v 1 = (1, 1, 1, 1), v 2 = (1, 2, 1, 0) y v 3 = (1, 0, 3, 2) son L . I o
−
L. D.
−
Solución: Se plantea la ecuación vectorial
α v1 + β v2 + γ v3 = 0 α (1, 1, 1, 1) + β (1, 2, 1, 0) + γ (1, 0, 3, 2) = 0
−
−
que equivale al sistema de cuatro ecuaciones y tres incógnitas,
−
α + β + γ = 0 α + 2β = 0
= 0 α + +2γ = 0
α + β
− 3γ
−2t , β = t y γ = t con t ∈ R, que admite soluciones no nulas. Por ejemplo, para t = −1: 2v1 − v2 − v3 = 0. Luego {v1 , v2 , v3 } son linealmente dependientes. cuyas soluciones son α =
Ejercicio 4.1 En R4 , determinar si los vectores son linealmente independientes v1 = ( 1, 1, 2, 4), v2 = ( 2, −1, −5, 2), v 3 = ( 1, −1, 4, 0) y v 4 = ( 2, 1, 1, 6).
Ejercicio 4.2 En R3 . Hallar los valores de x , para los cuales los vectores v1 = ( x, 1 − x, x), v2 = ( 2 x, 2 x − 1, x + 2) y v 3 = ( −2 x, x, − x) son linealmente independientes.
Propiedades: En un espacio vectorial se cumplen las siguientes propiedades: 1 Si v es linealmente dependiente si y sólo si v = 0 . 2 Si 0 ∈ A ⊂ V entonces A es linealmente dependiente. 3 Si {u, v} son linealmente dependiente si y sólo si u = λ v (son proporcionales). 4 Si A es linealmente independiente y B ⊂ A entonces B es linealmente independiente. 5 Si A es linealmente dependiente y A ⊂ B entonces B es linealmente dependiente. 6 Si A es linealmente dependiente si y sólo si existe v ∈ A que es combinación lineal de A −{v}. 7 Si A es linealmente independiente si y sólo si no existe v ∈ A que sea combinación lineal de A −{v}.
4.6 Base de un Espacio Vectorial
109
Ejercicios 4.4 4.19 Estudiar la dependencia e independencia lineal de los conjuntos de vectores siguientes: a.) A = {(2, −3, 1), (3, −1, 5), (1, −4, 3)} b.) A = {(4, −5, 2, 6), (2, 2, −1, 3), (6, −3, 3, 9), (4, −1, 5, 6)} c.) A = {(1, 0, 0, 2, 5), (0, 1, 0, 3, 4), (0, 0, 1, 4, 7), (2, −3, 4, 11, 12)} 4.20 Comprobar que los vectores u1 = (1, 7, −1, 0), u2 = (2, 13, 0, 1), u3 = (3, 17, 4, 2) y u 4 = (3, 15, 7, 2) de R4 son linealmente dependientes y que cada uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los tres. 4.21 Compruebe que los vectores (2, 3, −1, 5), (6, 1, 1, 3), (−3, 5, −1, 9) y (0, 2, −1, 3) son
linealmente dependientes pero el tercer vector no se puede expresar como combinación lineal
de las tres. ¿Es esto una contradicción? 4.22 Determine los valores de a y b para que los vectores (0, 1, a, 1) , (2, 1, 5, b) y (1, 2, 1, 0) son linealmente independientes. 4.23 Calcular a y b de manera que los vectores u1 = (1, 2, 0, a), u2 = (3, 2, b, −1) y u3 = (2, 7, a, −3) son linealmente dependientes, y exprese el tercer vector como una combinación lineal de los dos anteriores.
4.6 Base de un Espacio Vectorial 2 cualquier vector se puede escribir como combinación lineal de los vectores i = (1, 0) y j = (0, 1). En R3 cualquier vector se escribe en téminos de i = ( 1, 0, 0), j = (0, 1, 0) y k = ( 0, 0, 1).
En
R
Ahora vamos ageneralizar esta idea. Definición 4.7 (Base) Un conjunto finito de vectores {v1 , v2 , . . . , vn } es una base para un espacio vectorial V si 1 {v1 , v2 , . . . , vn } es linealmente independiente. 2 {v1 , v2 , . . . , vn } genera V . Como cualquier conjunto de n vectores L. I en Rn genera Rn , entonces
Espacio vectorial
110
Todo conjunto de n vectores linealmente independientes en
n
R
es una base de Rn .
4.34 (Base canónica para Rn ) En Rn , B = {e1 = ( 1, 0, 0, . . . , 0), e2 = ( 0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = ( 0, 0, 0, . . . , 1)}
constituye una base. Esta base se denomina base canónica de
n.
R
4.35 (Base canónica para Pn ) los polinomios 1, x, x2 , x3 , x4 son linealmente independientes en P4 y generan P4 , así
1, x, x2 , x3 , x4 es una base para P4 . En general
B = 1, x, x2 , . . . , xn
constituyen una base para Pn y se llama la base canónica para Pn .
4.36 (Base canónica para M mn (R)) En M mn (R),
B = E 1 =
1 0 .. .
0 0 .. .
··· ···
0 0 .. .
0 0
···
0
, E 2 =
0 0 .. .
1 0 .. .
··· ···
0 0 .. .
0 0
···
0
constituye una base canónica para M mn (R).
, . . . , E mn =
0 0 .. .
0 0 .. .
··· ···
0 0 .. .
0 0
···
1
4.37 (Una base para el subespacio de R3) Hallar una base para el conjunto de vectores que se encuentran en el plano P =
{( x, y, z) : x − 2 y + 3 z = 0}. Solución: Se observa que P es un espacio vectorial. Para encontrar una base, primero tomemos y y z
arbitrariamente y si ( x, y, z) ∈ P, entonces x = 2 y − 3 z. Así, los vectores en P tienen la forma ( x, y, z) = (2 y
− 3 z, y, z) = y(2, 1, 0) − z(3, 0, −1)
4.6 Base de un Espacio Vectorial
111
lo que muestra que (2, 1, 0) y (3, 0, 1) generan a P. Como es evidente que estos dos vectores son
−
L. I (porque uno no es múltiplo del otro). Por lo tanto, forman una base para P.
Teorema 4.4 (Teorema de la base) Todo espacio vectorial V = {0} (o subespacio vectorial) con un sistema de generadores finito posee al menos una base.
Teorema 4.5 Si v1 , v2 , . . . , vn es un base de V y si v
∈ V , entonces existe un conjunto único de escalares α 1 , α 2 , . . . , α n tales que v = α 1 v1 + α 2 v2 + ··· + α n vn . {
}
Teorema 4.6 (Teorema del cardinal o de la dimensión) Si {u1 , u2 , . . . , um } y {v1 , v2 , . . . , vn } son bases de un espacio vectorial V , entonces m = n. Es decir, para un espacio vectorial particular V , todas sus bases tienen el mismo número de vectores.
Ejercicios 4.5 4.24 ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores son bases para a.) B = {(1, 3), (1, −1)}
R2 ?
b.) B = {(0, 0), (1, 2), (2, 4)} c.) B = {(1, 1), (2, −3), (3, 2)} d.) B = {(1, 3), (−2, 6)} 4.25 ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores son bases para R2 ? a.) B = x3 + 2 x2 + 3 x, 2 x3 + 1, 6 x3 + 8 x2 + 6 x + 4, x3 + 2 x2 + x + 1
−
b.) B = x3 + x2 + 1, x3 − 1, x3 + x2 + x
c.) B = x3 + x2 + x + 1, x3 + 2 x2 + x + 3, 2 x3 + x2 + 3 x + 2, x3 + x2 + 2 x + 2
d.) B = x3 x, x3 + x2 + 1, x − 1
Espacio vectorial
112
4.26 Determine una base para el subespacio L( A) de M 22. A =
− 1 0 0 1
,
0 1 1 0
1 1 1 1
,
,
1 1
1 −1
.
4.27 Sea S el subespacio de R4 generado por los vectores (1, 0, 1, 2),
( 2, 2, 0, a2
(2, 1, a + 3, 6),
−
− a), (−1, 3, 2, 4)
calcular la dimensión de S en función del parámetro a. 4.28 ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores son bases para a.) S 1 = {(1, −1, 1, 0), (1, 1, 0, 1), (2, 0, 1, 1)}
R
2?
b.) S 1 = {(2, 3, −1), (1, 2, 2), (1, 1, −3)} c.) S 1 = {(1, 1, 1), (−2, 1, 2), (−1, 2, 3)} d.) S 1 = {(1, −2, −2), (1, −1, −2), (1, 0, −1)} e.) S 1 = {(1, −1, 1, −1, 1), (1, 1, 0, 0, 3), (3, 1, 1, −1, 7)} 4.29 Encuentre una base del subespacio de a.) 2 x + 3 y − z = 0
3 , definidas por
R
sus ecuaciones implícitas:
b.) x + 2 y + z = 0, x + y − z = 0 c.) 3 x + 2 y + 5 z = 0, − x + 3 y + z = 0, 2 x + 5 y + 6 z = 0 d.) x + y + 2 z = 0, 4 x + 5 y + 8 z = 0, 6 x + 7 y + 13 z = 0 4.30 Determine todos los valores de a para los cuales {(a2 , 0, 1), (0, a, 2), (1, 0, 1)} es una base para R3 .
4.7 Coordenadas respecto de una base Si B = {v1 , v2 , . . . , vn } es una base del espacio vectorial V , entonces para todo v ∈ V se tiene que n
v = x1 v1 +
··· + xnvn = ∑ xivi. i=1
4.8 Uso de operaciones elementales para obtener bases
113
Definición 4.8 (Coordenadas) Se llaman coordenadas de v respecto de la base B a la n-upla ( x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , y se indica V = ( x1 , . . . , xn ) B
Teorema 4.7 (Unicidad de las coordenadas) En un espacio vectorial, las coordenadas de un vector respecto de una base finita son únicas.
4.8 Uso de operaciones elementales para obtener bases Sea V = Rn y A = v1 , v2 , . . . , vn
{
} ⊂ V . Si se representa también por A la matriz cuyas filas son los
vectores de A, y Ar es una matriz reducida de A, entonces una base de L ( A) está formada por los
vectores correspondientes a las filas no nulas de A r . Si la matriz reducida que se considera es la
escalonada, la base que se obtiene es la más sencilla posible. Todo lo anterior es igualmente válido cuando V es un espacio vectorial arbitrario con base finita, y sus vectores vienen expresados por sus coordenadas respecto de dicha base. 4.38 Sea A = v1 = ( 1, 3, 4), v2 = ( 2, 1, 1), v3 = ( 3, 2, 5), v4 = ( 5, 15, 20)
{
−
}⊂ R3. Hallar una base
de L( A), las coordenadas del vector v = ( 2, 1, 1) respecto de dicha base y las ecuaciones
−
paramétricas e implícitas de L( A) (en dicha base).
4.39
Sea A = p1 = 1 x3 , p2 = x x3 , p3 = 1 x, p4 = 1 + x
− 2 x3 ⊂ P3(R). Hallar una base para L ( A), las coordenadas del polinomio p = −1 + 2 x − x3 respecto de dicha base y las −
−
−
ecuaciones paramétricas e implícitas de L( A).
4.40 Hallar una base del subespacio generado en M 2×2 (R) por A =
1 0
− − − − − − − 1 1
,
0 0 1 1
las coordenadas del vector M =
implícitas de L( A).
2 3
,
2 −2
2 2
2 2
,
3 3 5 3
,
1 1 3 11
en dicha base y las ecuaciones paramétricas e
Espacio vectorial
114
Ejercicios 4.6 4.31 ¿Para que valores de a el conjunto B = {(a, 1, 0), (1, a, 1), (0, 1, a)} es base de R3 . Para a = 2, calcular las coordenadas del vector v = (−1, 1, 3) respecto de dicha base?
4.32 En P3 (R) se considera la base B = 1, 1 − x, (1 − x)2 , (1 − x)3 . Hallar las coordenadas del polinomio p ( x) = 2 − 3 x + x2 + 2 x3 respecto de dicha base. 4.33 Calcule el vector de coordenadas de v con respecto a la base (ordenada) dada B. a.) En R3 , B = {(1, −1, 0), (0, 1, 0), (1, 0, 2)}, v = (2, −1, −2).
b.) En P2 (R), B = x2 − x + 1, x + 1, x2 + 1 , v = 4 x2 − 2 x + 3. 4.34 Calcule el vector v si el vector de coordenadas (v) B está dado con respecto a la base B. a.) En R2 , B = {(2, 1), (−1, 1)}, (v) B = ( 1, 2). b.) En R3 , B = {(0, 1, −1), (1, 0, 0), (1, 1, 1)}, (v) B = ( −1, 1, 2).
c.) En P1 (R), B = x2 + 1, x + 1, x2 + x , (v) B = ( 3, −1, −2). d.) En
M 22 (R),
B
=
(v) B = ( 2, 1, 1, 3).
− 1 0 1 0
,
2 2 0 1
−
,
1 2 −1 3
,
0 0 2 3
,
4.9 Dimensión de un espacio vectorial Definición 4.9 (Dimensión) La dimensión de un espacio vectorial V = 0 es el cardinal de vectores en todas las bases.
{ }
Con frecuencia se escribe dim V para la dimensión de V .
{}
{}
Como el conjunto 0 es linealmente dependiente, es natural decir que el espacio vectorial 0 tiene
dimensión cero.
4.41 (Dimensión de Rn ) Como n vectores linealmente independientes en
n
R
son una base, entonces
dim Rn = n.
4.9 Dimensión de un espacio vectorial
115
4.42 (Dimensión de Pn )
Como los monomios 1, x, x2 , . . . , xn constituyen una base en Pn , entonces dim Pn = n + 1.
4.43 (Dimensión de M mn ) En M mn se la matriz E i j la matriz de m
× n con un uno en la posición i j y cero en otra parte,
así {E i j } forman una base para M mn . Luego,
dim M mn = mn.
Teorema 4.8 Sea S un subespacio de un espacio vectorial de dimensión finita V . Entonces S tiene dimensión finita y dim S ≤ dim V . Teorema 4.9 (Teorema de extensión de la base) Sea V = {0} un espacio vectorial de dimensión n y A = {v1 , v2 , . . . , vr } ⊂ V un conjunto linealmente independiente de r < n vectores. Entonces existen {vr +1 , . . . , vn } ⊂ V tales que {v1 , v2, . . . , vr , vr +1, . . . , vn } es base de V .
Ejercicios 4.7 4.35 Sea S = {(1, 1, 0, −1), (0, 1, 2, 1), (1, 0, 1, −1), (1, 1, −6, −3), (−1, −5, 1, 0)}. Determine una base para el subespacio de R4 , W = L(S ). ¿Cuál es la dim W ? 4.36 En P3 , se considera el siguiente subconjunto
S = x3 + x2 − 2 x + 1, x2 + 1, x3 − 2 x, 2 x3 + 3 x2 − 4 x + 3
Determine una base para el subespacio W = L(S ). ¿Cuál es la dimensión de W ?.
Espacio vectorial
116
4.10 Suma, intersección y suma directa de subespacios Teorema 4.10 (Suma e intersección) Sean S y T dos subespacios vectoriales de V . La intersección y suma se definen como S ∩ T = {v : v ∈ S y v ∈ T }
S + T = {u + v : u ∈ S y v ∈ T }
respectivamente. Como se vio en secciones anteriores S ∩ T y S + T son subespacios vectoriales. Definición 4.10 (Suma directa) Sean S y T dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial V . Se dice que S + T es la suma directa de S y T , representada por S ⊕ T , si es única la expresión de cada vector de la suma como un vector de S más otro de T . Teorema 4.11 (Caracterización de la suma directa) Sean S y T dos subespacios vectoriales de V . Entonces La suma de S y T es directa ⇐⇒ S ∩ T = {0}
4.11 Fórmula de la dimensión Teorema 4.12 Sean S y T subespacios vectoriales de un espacio vectorial V de dimensión finita. Entonces dim (S ∩ T ) + dim (S + T ) = dim S + dim T . 4.44 En R4 se consideran los subespacios vectoriales S = L ({(1, 0, −1, 2), (0, 1, 1, 0)})
y T = L ({(1, 0, 1, −1), (0, 1, −1, 3)}) .
Hallar una base para S + T , la dimensión para S ∩ T y una base para S ∩ T . Ejercicios 4.8 4.37 Determine si el conjunto dado es una base para el espacio vectorial a que se refiere. a.) En P2 , A = P1 = −2 − 11 x + 7 x2 , p2 = −5 − x − 5 x2 .
4.11 Fórmula de la dimensión
117
b.) En P2 , A = P1 = −3 x, p2 = 1 + x2 , p3 = x2 − 5 .
c.) En P2 , A = P1 = x2 − 1, p2 = x2 + 2, P3 = x2 − 3 .
d.) En P2 , A = P1 = 10 − x − 10 x2 , p2 = −23 + 14 x + 53 x2 , P3 = −1 + 4 x + 11 x2 . e.) En M 22, A = f.) En M 22, A =
− − − −− 3 1 3 2 , , 0 0 0 0 1 0 2 1 , , 3 1 1 4
5 1 0 1 , 0 6 0 7 6 1 7 2 , 5 8 1 0
,
0 1 0 0
g.) S = {( x, y) : 2 x + 3 y = 0}, A = {(3, −6), (6, −4), (−6, 4)} h.) Encuentre una base en
R3
para el conjunto de vectores en el plano 3 x − 2 y + 5 z = 0.
i.) Encuentre una base en R3 para el conjunto de vectores en la recta x = 2, y = −2t , z = 3t . j.) Demuestre que los únicos subespacios propios en R2 son rectas que pasan por el origen. 4.38 En R4 se consideran los subespacios vectoriales S = L({(1, 0, 1, 1), (1, −1, −1, 0), (0, 1, 2, 1)})
T = {( x, y, z, t ) : x − z − t = 0, y + z = 0},
hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas de una base de S + T y de S ∩ T . 4.39 En R4 se consideran los subespacios vectoriales S = L({(1, 0, 2, −1), (0, −1, 2, 0), (2, −1, 6, −2)})
T = L({(1, −1, 4, −1), (1, 0, 0, 1), (−1, −2, 2, 1)}),
demuestra que dim (S + T ) = 3 y que dim (S ∩ T ) = 2.
