Análisis Matemático Matemático III - Guía de Trabajos Prácticos Prácticos - T.P. N o 8 Ecuaciones Diferenciales Diferenciales en Derivadas Parciales Parciales
T. P. N o 8 - EJERCICIOS RESUELTOS Enunciado
B) ECUACION DE LAPLACE (en polares)
11. Distribución de potencial
1 1
0
Resolución Resuelto por: Patricio Alejandro Tula (1º cuatrimestre de 2011) Revisado por: Ariel Burman – Eduardo G. Murmis – Gustavo Gustavo M. Murmis
Para resolver la ecuación de la Laplace vamos a utilizar el método de separación de variables, que parte de suponer que podemos expresar la función como producto de una función que depende sólo de y otra función que depende sólo de . Es decir:
Se ve que y y deben ser distintas de la función nula ya que de lo contrario sería la función nula y eso no cumpliría con las condiciones de contorno del sería problema. El Laplaciano expresado en coordenadas polares es el siguiente:
El problema busca hallar una función que cumpla con
A continuación evaluaremos en la ecuación , a partir de la ecuación :
, entonces:
las distintas derivadas parciales de
′
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′′
′′
Ahora reemplazamos en
:
′′
′
′′
Despejamos diviendo a ambos miembros por ′′
,:
′
′′
′′
′
′′
Separamos de cada lado de la igualdad las funciones de distinta variable: ′′
′
′′
′′
′
′′
Habiendo quedado en (4) el miembro izquierdo de la igualdad dependiendo sólo de y el miembro derecho dependiendo sólo de , para que se cumpla la igualdad entonces ambos miembros deben ser iguales a una misma constante . ′′
′
′′
De aquí se desprenden las siguientes ecuaciones diferenciales: ′′
′′
Operando a partir de la expresión
′
:
′′
′′
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. I IV I
A partir del enunciado del problema pueden deducirse condiciones del contorno que nos ayuden a resolver la ecuación diferencial La primera condición, impuesta por el enunciado, es:
Entonces:
no puede ser la función nula, pues en ese caso también sería una función nula y no cumpliría con la última condición de contorno del enunciado. Entonces se deduce:
A partir de las características del recinto, observamos que al evaluar la función en y en ( ), en realidad se la está evaluando en valores que representan a los mismos puntos del recinto. Adicionalmente sabemos que para lo cual en dichos puntos, las derivadas parciales de deben ser continuas. Esto nos permite enunciar la siguiente condición de contorno:
Operando en forma similar a lo hecho en la condición anterior: ′
De la misma manera que antes y como tendremos: ′
′
no puede ser la función nula,
′
La ecuación junto con las condiciones de contorno y forman un problema de Sturm Liouville simplificado. Por lo tanto, los autovalores ( ) cumplen con . Resolvemos primero el caso . La ecuación diferencial se reduce a:
′′
Integrando dos veces:
A partir de la condición de contorno
,
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IV I IV IV Como
′
, la condición
Concluimos entonces que . Resolvemos el caso La ecuación diferencial
no impone restricciones sobre
, entonces:
es autovalor y está asociado a la autofunción
. es:
′′
La solución de la ecuación anterior es la siguiente:
Utilizando la primera condición de contorno
Para aplicar la segunda condición de contorno
:
, hallamos previamente
′
:
′
Utilizando
Siendo
, resulta lo siguiente:
podemos cancelar
en ambos miembros de la ecuación:
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Las ecuaciones incógnitas y :
y
forman un sistema de dos ecuaciones homogéneo con
Expresado en forma matricial queda:
Dado que se trata de un sistema homogéneo, si hay solución única, ésta es la solución trivial. Para que haya solución diferente de la trivial tiene que ser nulo el determinante de la matriz de los coeficientes. Es decir:
Entonces:
Volviendo a la expresión general de la solución para y obtenemos:
Concluimos que los autovalores son de la forma: las autofunciones y .
, reemplazamos
; y que tendrán asociadas
Finalmente, debido a la tesis del Teorema de Sturm Liouville, podemos afirmar que los autovalores son y que la base ortogonal de autofunciones asociada a dichos autovalores es . Ahora buscaremos la solución de ′′
′
, a partir de la ecuación diferencial (7): ′′
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′
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Primero analizamos el caso , Resolveremos la ecuación diferencial
′′
:
′
′
′
′
′
Integrando en ambos miembros: ′
′
′
′
′
Integrando nuevamente,
′
Notamos en la expresión (16) que, si tendiera a cero, contradiciendo esto al enunciado que plantea que:
A partir de la ecuación (14) sabemos que acotada, entonces nos queda:
no estaría acotada,
es distinta de la función nula y es
Para que quede acotada en la ecuación (16) deberá cumplirse que Finalmente tendremos:
.
Ahora analizamos el caso La solución general de la ecuación diferencial (15) corresponde a la solución general de la ecuación de Euler, con el parámetro menor a cero. ′′
′
Dado que en nuestro caso es
y
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, la solución de la ecuación (15) es:
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A partir de la ecuación (17), , deberá cumplirse que
debe ser acotada. Para que esto suceda cuando .
Quedará entonces como solución general:
Ya tenemos las dos funciones definidas para y . Resta ahora unir las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales (8) y (15) para encontrar la solución general de , tal que: ∞
Siendo:
Reemplazando en la ecuación
los resultados obtenidos
De la misma forma reemplazando en la ecuación y :
Reemplazando
y
en
y
:
los resultados obtenidos
obtenemos:
∞
Para la obtención de los coeficientes, utilizamos la restante condición de contorno que nos presenta el problema:
∞
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Esta ecuación puede interpretarse como el desarrollo en serie de Fourier de la función . Por lo tanto, para obtener los coeficientes de la serie de Fourier se planteará para cada uno:
el coeficiente buscado y la autofunción que acompaña al coeficiente. Entonces el coeficiente lo hallamos haciendo: Siendo
Para
se procederá de igual manera:
Para obtener
hacemos:
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Para los valores pares, es decir cuando
:
Para los valores impares, es decir cuando
:
El resultado final del problema es entonces: ∞
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