Apostila de Raciocínio Lógico.pdf

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Raciocínio Lógico Professor de Raciocínio Lógico e Matemática Professor do site de concursos ‘Eu Vou Passar’ www.euvoupassar.com.br Autor do blog blo g ‘Beijo no Papai e na Mamãe’ M amãe’ http://beijonopapaienamamae.blogspot.com

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Todos os direitos reservados ao professor Paulo Henrique e ao site Sou Concurseiro e Vou Passar © Copyright. Proibida a reprodução total ou parcial desta obra


Olá, meu povo! Sejam bem-vindos ao Curso de Raciocínio Lógico, preparatório para concursos da CARREIRA POLICIAL, tendo como base o conteúdo programático do Cespe/UnB. O que vem acontecendo, e o que está sendo cobrado nos editais dessa banca, é a utilização de um conteúdo programático ‘padrão’ quando o assunto é Raciocínio lógico. Por isso, nossos estudos contemplarão EXATAMENTE os assuntos abordados abaixo: Raciocínio Lógico-quantitativo: 1. Estruturas lógicas. 2. Lógica de argumentação: analogias, inferências, deduções e conclusões. 3. Lógica sentencial (ou proposicional): proposições simples e compostas; tabelasverdade; equivalências; leis de De Morgan; diagramas lógicos. 4. Lógica de primeira ordem. 5. Princípios de contagem e probabilidade. 6. Operações com conjuntos. 7. Raciocínio lógico envolvendo problemas aritméticos, geométricos e matriciais. Vamos a algumas considerações: 1) Raciocínio Lógico não é difícil . Para aqueles que não vêem com bons olhos este assunto, podem tirar o cavalinho da chuva. Não precisa ser um “nerd” ou um gênio da matemática (acreditem: não sou nenhum dos dois!) para resolver as questões de RL. Porém, duas coisas são indispensáveis: CONCENTRAÇÃO e EXERCÍCIOS. Quando falo em exercícios, não falo em 1 ou 2. É preciso praticar o raciocínio lógico, pois, com o tempo, a caneta escreverá sozinha, pois a mente já está acostumada ao trabalho. 2) O Raciocínio Lógico não é só para concursos, e sim para a vida . Não adianta também chegar em sala de aula, concentrar-se e fazer os exercícios recomendados. A mente tem que estar “preparada para pensar”. Se alguém não conhece Sodoku ou Kakuro, recomendo-os. São desafios para que você se acostume a sempre pensar com lógica de raciocínio. 3) Não adianta estudar somente na sala de aula. Os alunos que estudam Raciocínio Lógico são iguais a Pokemons: SEMPRE EVOLUINDO! Na sala de aula, aula, você aprende as teorias, comprova em exercícios, tira suas dúvidas. Mas, é em casa que acontece a fixação. Acho que é isso! Então, vamos à luta e bons estudos. PH [email protected] [email protected] http://beijonopapaienamamae.blogspot.com Facebook: Paulo PH Henrique

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Olá, meu povo! Sejam bem-vindos ao Curso de Raciocínio Lógico, preparatório para concursos da CARREIRA POLICIAL, tendo como base o conteúdo programático do Cespe/UnB. O que vem acontecendo, e o que está sendo cobrado nos editais dessa banca, é a utilização de um conteúdo programático ‘padrão’ quando o assunto é Raciocínio lógico. Por isso, nossos estudos contemplarão EXATAMENTE os assuntos abordados abaixo: Raciocínio Lógico-quantitativo: 1. Estruturas lógicas. 2. Lógica de argumentação: analogias, inferências, deduções e conclusões. 3. Lógica sentencial (ou proposicional): proposições simples e compostas; tabelasverdade; equivalências; leis de De Morgan; diagramas lógicos. 4. Lógica de primeira ordem. 5. Princípios de contagem e probabilidade. 6. Operações com conjuntos. 7. Raciocínio lógico envolvendo problemas aritméticos, geométricos e matriciais. Vamos a algumas considerações: 1) Raciocínio Lógico não é difícil . Para aqueles que não vêem com bons olhos este assunto, podem tirar o cavalinho da chuva. Não precisa ser um “nerd” ou um gênio da matemática (acreditem: não sou nenhum dos dois!) para resolver as questões de RL. Porém, duas coisas são indispensáveis: CONCENTRAÇÃO e EXERCÍCIOS. Quando falo em exercícios, não falo em 1 ou 2. É preciso praticar o raciocínio lógico, pois, com o tempo, a caneta escreverá sozinha, pois a mente já está acostumada ao trabalho. 2) O Raciocínio Lógico não é só para concursos, e sim para a vida . Não adianta também chegar em sala de aula, concentrar-se e fazer os exercícios recomendados. A mente tem que estar “preparada para pensar”. Se alguém não conhece Sodoku ou Kakuro, recomendo-os. São desafios para que você se acostume a sempre pensar com lógica de raciocínio. 3) Não adianta estudar somente na sala de aula. Os alunos que estudam Raciocínio Lógico são iguais a Pokemons: SEMPRE EVOLUINDO! Na sala de aula, aula, você aprende as teorias, comprova em exercícios, tira suas dúvidas. Mas, é em casa que acontece a fixação. Acho que é isso! Então, vamos à luta e bons estudos. PH [email protected] [email protected] http://beijonopapaienamamae.blogspot.com Facebook: Paulo PH Henrique

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MÓDULO I – CONCEITOS INICIAIS DE LÓGICA Nesse 1o Módulo, mostraremos os principais conceitos que a m aioria das bancas utilizam em suas provas. Conceitos Conceito s como proposição, proposiçã o, conectivos, conectivo s, tabela-verdade, tabela-v erdade, dentre outros, serão vistos em teoria e exercícios para que esses conceitos sejam bem entendidos.

O Cespe, em algumas provas, tratou esses temas assim: A lógica proposicional trata de argumentações elaboradas por meio de proposições, isto é, de declarações que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas nunca como V e F simultaneamente. simultanea mente. As proposições normalmente são simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto e alguns símbolos lógicos são usados para compor novas proposições. Uma conjunção, proposição simbolizada por A^B, é lida como “A e B” e julgada como V somente quando A e B forem V, e F, nos demais casos. Uma implicação, proposição simbolizada por A B, é lida como “se A, então B”, e julgada como F somente quando A for V e B for F, e V nos demais casos. !

Traduzindo: os itens do Conteúdo Programático tratam da parte inicial da Lógica, o que podemos chamar de CONCEITOS INICIAIS DE LÓGICA. Proposição : uma sentença declarativa, que será expressa por meio de palavras e números. Uma frase em que nós possamos atribuir a ela o valor VERDADEIRO ou FALSO. É comum representar as proposições de forma literal utilizando-se letras minúsculas (p, q, r, s, etc) ou maiúsculas do alfabeto (P, Q, R, S, ECT) Exemplos: Fortaleza é capital do Ceará. (verdade!) 10 = 5 + 5 (verdade!) O gato late. (Falso!) Paulo Henrique é professor. (Também é uma proposição, pois é uma sentença declarativa, mas o valor lógico verdadeiro ou falso é indeterminado, indeterminado, ou seja, ninguém sabe mesmo se esse cara é mesmo professor... :-D). CUIDADO!

O ‘Ser Mau’ pode colocar sentenças que podem gerar dúvidas quanto à valoração lógica (V ou F) de uma proposição. Ex: Existe vida após a morte

Uma proposição é uma sentença que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F) embora não se exija que o julgador seja capaz de decidir qual é a alternativa válida. Assim, sabemos que o exemplo acima É UMA PROPOSIÇÃO, mesmo que não tenhamos a certeza (vai da opinião de cada um) qual seu valor lógico, ok? E se alguém disser: “Feliz ano novo!”, será que isso é uma proposição verdadeira ou falsa? Nenhuma, pois não se trata de uma sentença para a qual se possa atribuir um valor lógico. Concluímos, pois, que... sentenças exclamativas : “Caramba!” ; “Que carro veloz!” sentenças interrogativas : “como é o seu nome?” ; “o jogo foi de quanto?” sentenças imperativas : “Estude mais.” ; “Leia aquele livro”. 3


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... não são consideradas proposições. Somente aquelas primeiras – sentenças declarativas – são proposições, pois podemos atribuir um valor lógico verdadeiro ou falso. Sentenças como “x + 3 = 5”, “Ele é um político”, “x é jogador de futebol” são denominadas sentenças abertas; essas sentenças, como estão, não poderão ser julgadas como V ou F, pois os sujeitos, no caso, são variáveis. Essas expressões tornam-se proposições depois de substituída a variável por elemento determinado, permitindo o julgamento V ou F. Além disso, sentenças que não possuem verbo não podem ser consideradas declarativas, conseqüentemente também não são proposições. ‘O carro é azul’ é uma proposição, porém ‘o carro azul’, por não conter o verbo, não pode ser considerada uma proposição. Exemplo1: Entre as frases apresentadas a seguir, identificadas por letras de A a E, apenas duas são proposições. A: Pedro é marceneiro e Francisco, pedreiro. B: Adriana, você vai para o exterior nessas férias? C: Que jogador fenomenal! D: Todos os presidentes foram homens honrados. E: Não deixe de resolver a prova com a devida atenção.

(Verdadeiro) (Falso) Exemplo2: A seqüência de frases a seguir contém exatamente duas proposições. ! A sede do TRT/ES localiza-se no município de Cariacica. ! Por que existem juízes substitutos? ! Ele é um advogado talentoso. (Verdadeiro)

(Falso)

As proposições podem assumir tanto o valor lógico V ou valor lógico F. São proposições simples. A partir das proposições, podemos definir dois princípios basilares. São eles:

Princípio da Identidade Princípio da nãocontradição Princípio do Terceiro Excluído

Uma proposição verdadeira é sempre verdadeira. Uma proposição falsa é sempre falsa. Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente. Uma proposição só pode ter dois valores verdades, isto é, é verdadeiro (V) ou falso (F), não podendo ter outro valor.

Também temos as proposições compostas. São duas ou mais proposições simples, conectadas entre si. Assim, para dizer que uma proposição composta é verdadeira ou falsa, isso dependerá de duas coisas: " do valor lógico das proposições componentes (simples); 1

Gabarito: V

2

Gabarito: F

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do tipo de conectivo que as une. Exemplo: Carlos fiscaliza a empresa A ! proposição simples "

-

João fiscaliza a empresa B ! proposição simples

-

Carlos fiscaliza a empresa A E João fiscaliza a empresa B ! proposição composta

Nessa sentença, conhecemos o CONECTIVO ou CONECTIVO LÓGICO. É a parte que conecta, que junta duas (ou mais) proposições. Nesse exemplo, temos o conectivo E, também conhecido como CONJUNÇÃO. Temos os seguintes conectivos:

Conectivo E OU SE...ENTÃO ...SE E SOMENTE SE... ...OU ...OU * NÃO

Descrição Símbolo Conjunção ^ Disjunção v " Condicional # Bicondicional Disjunção Exclusiva v Negação ¬ ou ~

O modificador NÃO (Negação) está nesse grupo, porém ele tem características que ‘fogem’ do conceito conectivo! Usa-se o modificador “não”, ou “não e verdade”, para produzir a negação de uma proposição. A partir do conhecimento das proposições simples e do conectivo que ‘liga’ as duas proposições, nós poderemos concluir qual é o valor lógico de uma proposição composta. Para isso, precisamos conhecer a ‘famigerada’ TABELA-VERDADE! Tabela-verdade: é um instrumento eficiente para a especificação de uma composição de proposições. Ao montá-la, conseguiremos visualizar todas as possibilidades de uma determinada proposição composta. Ela mostra o valor resultando quando um operador lógico é usado para agregar duas proposições, formando uma proposição complexa e nova. Montamos assim: Suponha que as duas proposições sejam A (Carlos fiscaliza a empresa A) e B (João fiscaliza a empresa B). Cada uma dessas proposições terá dois possíveis valores-verdade: verdadeiro ou falso. Isso nos dá quatro possíveis combinações. Vejamos um exemplo: Proposição 1

Proposição 2

Resultado

Carlos fiscaliza a empresa A (A)

João fiscaliza a empresa B (B)

A^B

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

IMPORTANTE! Para descobrimos o total de linhas (ou combinações) de uma tabela-verdade, precisamos resolver a seguinte fórmula: 5


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Nº de Linhas = Onde ________________________________. Em uma tabela-verdade para duas proposições, encontramos 4 valores possíveis. Porém, o que acontecerá com uma tabela-verdade com 3 proposições? Encontraremos 8 resultados possíveis. Como? Pela nossa fórmula, o resultado será 2 “elevado” ao número de proposições da questão.

Tabela-verdade com 2 proposições

Tabela-verdade com 3 proposições

Exemplo3: O número de linhas da tabela-verdade da proposição (P ^ Q

!

R) é inferior a 6.

(Verdadeiro) (Falso) Exemplo4: Uma tabela verdade de proposições é construída a partir do número de seus componentes. Quantas combinações possíveis terá a tabela verdade da proposição composta “O dia está bonito então vou passear se e somente se o pneu do carro estiver cheio.”? (A) 1 (B) 3 (C) 6 (D) 8 (E) 12 Exemplo5 (Adaptada): Um provérbio chinês diz que: P2: Se o seu problema tem solução, então não é preciso se preocupar com ele, pois ele logo se resolverá. O número de linhas da tabela verdade correspondente à proposição P2 do texto apresentado é igual a (A) 24. (B) 4. (C) 8. (D) 12. (E) 16. Conectivos: Nada mais é do que a junção entre duas ou mais proposições. Para conhece-los, precisaremos trabalhar com uma proposição composta ‘padrão’: 3

Gabarito: V

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Gabarito: letra D

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Gabarito: letra C

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“_________ Bárbara ganhou uma bola ________ Bárbara ganhou uma bicicleta” Conectivo E

Também chamado de conjunção , foi utilizado no exemplo de tabela-verdade. “Bárbara ganhou um celular ________ Bárbara ganhou um laptop”

IMPORTANTE! Os ‘MANTRAS DO PH’ São frases que definem exatamente como montar a tabela-verdade. Os ‘Mantras do PH’ podem facilitar, num primeiro momento, o entendimento dos valores lógicos de uma proposição composta. Com o tempo (e exercitando bastante), você estará com a tabela-verdade no seu ‘cocuruto’, ok? O ‘MANTRA DO E’: Numa conjunção, para que a proposição composta seja verdadeira, as proposições componentes têm obrigatoriamente que ser verdadeiras. Se não, a proposição composta será falsa.

Conectivo OU

Também chamado de disjunção ou disjunção inclusiva . “Bárbara ganhou um celular ________ Bárbara ganhou um laptop” O ‘MANTRA DO OU’: Numa disjunção, para que a proposição composta seja falsa, as proposições componentes têm obrigatoriamente que ser falsas. Se não, a proposição composta será verdadeira.

Exemplo6 (Adaptada): Um jovem, ao ser flagrado no aeroporto portando certa quantidade de entorpecentes, argumentou com os policiais conforme o esquema a seguir: Premissa 1: Eu não sou traficante, eu sou usuário; Considerando a situação hipotética apresentada acima, julgue o item a seguir.

Se P e Q representam, respectivamente, as proposições “Eu não sou traficante” e “Eu sou usuário”, então a premissa 1 estará corretamente representada por P^Q.

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Gabarito: V

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(Verdadeiro) (Falso) Conectivo SE... ENTÃO

Também chamado condicional . Diferente dos conectivos anteriores, esse requer um pouco mais de atenção. Vamos dar um exemplo para elucidar o caso. Pergunto, então, a vocês: alguém sabe onde eu nasci? Se disserem no Ceará (por favor, não falem da minha cabeça!!!), acertaram. E, se eu nasci no Ceará, então também posso dizer que sou brasileiro. Até aí, tudo bem? Com essas duas proposições simples, vamos montar nossa proposição composta: Se Paulo é cearense, então Paulo é brasileiro. Agora, vamos montar nossa tabela-verdade.

1ª linha 2ª linha 3ª linha 4ª linha

Se sou cearense (1ª proposição verdadeira), posso ser brasileiro (2ª proposição verdadeira)? Lógico que sim. Então, o resultado será verdadeiro. Agora, se sou cearense (1ª proposição verdadeira), posso NÃO ser brasileiro (2ª proposição falsa)? Aí, complicou! Então, o resultado será falso. Se NÃO sou cearense (1ª proposição falsa), posso ser brasileiro (2ª proposição verdadeira)? Verdadeiro, certo? Se NÃO sou cearense (1ª proposição falsa), posso NÃO ser brasileiro (2ª proposição falsa)? Verdadeiro, também.

A tabela-verdade ficou assim:

Então, se, na hora da prova, tiverem alguma dúvida sobre o conectivo condicional, é só lembrar da frase e montar a tabela-verdade. Ou então: O ‘MANTRA DO SE ... ENTÃO’: Numa condicional, para que a proposição composta seja falsa, a 1ª parte deve ser verdadeira e a 2ª, falsa. Se não, a proposição composta será verdadeira.

As seguintes expressões podem se empregar como equivalentes de "Se p, então q": Se A, B A é condição suficiente para B. B, se A

B é condição necessária para A.

Quando A, B A somente se B. 8


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A implica B

Todo A é B.

Daí, a proposição condicional: “Se chove, então faz frio” poderá também ser dita das seguintes maneiras: ! Se chove, faz frio.

! Chover é condição suficiente para fazer frio.

! Faz frio, se chove.

! Fazer frio é condição necessária para chover.

! Faz frio quando chove.

! Chove somente se faz frio.

! Chover implica fazer frio.

! Toda vez que chove, faz frio.

Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a proposição condicional "Se p então q" corresponderá à inclusão do conjunto p no conjunto q (p está contido em q). IMPORTANTE! A proposição A, que é anunciada pelo uso do “se”, é denominada condição ou antecedente, enquanto a proposição B, apontada pelo “então” é denominada conclusão ou consequente. Exemplo7: — Mário, você não vai tirar férias este ano de novo? Você trabalha demais! — Ah, João, aquele que trabalha com o que gosta está sempre de férias. Considerando o diálogo acima, julgue os itens seguintes, tendo como referência a declaração de Mário.

A declaração de Mário é equivalente a “Se o indivíduo trabalhar com o que gosta, então ele estará sempre de férias”. (Verdadeiro) (Falso) A proposição “Enquanto trabalhar com o que gosta, o indivíduo estará de férias” é uma forma equivalente à declaração de Mário. (Verdadeiro) (Falso) Se as proposições “João trabalha com o que gosta” e “João não está sempre de férias” forem verdadeiras, então a declaração de Mário, quando aplicada a João, será falsa. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo8: Se a proposição condicional “Se o ingresso custa R$ 5,00 e a cidade tem mais de 100.000 habitantes, então o público de uma partida de basquete é superior a 2.000 pessoas” for falsa, então 7

Gabarito: V – V – V

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Gabarito: V

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a proposição “A cidade tem mais de 100.000 habitantes” será verdadeira. (Verdadeiro) (Falso) Conectivo ...SE E SOMENTE SE...

“Bárbara ganhou um celular ________ Bárbara ganhou um laptop” Também chamado de bicondicional, é uma conjunção entre duas condicionais.

O ‘MANTRA DO SE E SOMENTE SE’: Numa bicondicional, para que a proposição composta seja verdadeira, as proposições componentes devem ter valores lógicos iguais. Se não, a proposição composta será falsa.

Assim, ao termos a proposição “Melchiades trabalha se somente se Gionovaldo dorme”, concluímos que, se Melchiades trabalha, então Gionovaldo dorme E se Gionovaldo dorme, então Melchiades trabalha. Ou seja:

A

# B

= (A " B) ^ (B " A)

Exemplo9: A representação simbólica correta da proposição “O homem é semelhante à mulher assim como o rato é semelhante ao elefante” é

(A) P

!

Q.

(B) P.

(C) P ^ Q.

(D) P v Q.

(E) P

"

Q.

Conectivo OU... OU...

“_________ Bárbara ganhou um celular ________ Bárbara ganhou um laptop” Também chamada de disjunção exclusiva , apresenta duas situações mutuamente excludentes! Isso quer dizer que OU acontece uma situação (proposição A) OU acontece a outra (proposição B).

Apenas um detalhe: colocamos esse conectivo apenas como forma de deixar o assunto completo. Porém, o Cespe normalmente não conhece a Disjunção Exclusiva. Isso quer dizer que, para o ‘Ser 9

Gabarito: letra A

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Mau’, tanto faz disjunção como disjunção exclusiva, ok? Uma forma deles falarem falarem em Disjunção Exclusiva é assim: T: “João será aprovado no concurso do TRT ou do TSE, mas não em ambos”. O ‘MANTRA DO OU ... OU’: Numa disjunção exclusiva, para que a proposição composta seja verdadeira, as proposições componentes devem ter valores lógicos diferentes. Se não, a proposição composta será falsa.

Modificador NÃO (negação)

Não é bem um conectivo, porém é muito utilizado para negar as proposições. Se pergunto: qual é a negação da proposição “Renata vai ao médico”. Resposta: “Renata NÃO vai ao médico”. Difícil, não??? Mas, cuidado: caso apareça a expressão “Não é verdade” ou “É falso”, elas têm o mesmo significado de uma negação.

Daí as seguintes frases são equivalentes: 1) Lógica não é fácil. 2) Não é verdade que Lógica é fácil. 3) É falso que Lógica é fácil. CUIDADO!

Em alguns casos, pode aparecer na mesma proposição duas negações. É o que nós chamamos de Dupla Negação. Dizer que: “Não é verdade que Brasil não é o pais do futebol” é o mesmo que “O Brasil é o pais do futebol” pois

~(~(B)) = B Exemplo10: P: Se não há autorização legislativa ou indicação dos recursos financeiros correspondentes, então, não há abertura de créditos suplementares ou de créditos especiais.

Considerando a proposição acima, que tem por base o art. 167, inciso V, da Constituição Federal de 1988, julgue os itens seguintes. Na proposição P, a negação do consequente estaria corretamente expressa por: “Há abertura de créditos suplementares ou há abertura de créditos especiais”. (Verdadeiro) (Falso) Agora que conhecemos todos os conectivos, vale a pena vocês preencherem a tabela abaixo, para que tenham, em um só lugar, os valores lógicos de todos os conectivos! 10

Gabarito: V

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A B A ^ B A v B A " B A # B A v B ~A

Exemplo11: Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos ¬, v, ^ e sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. !

Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir.

Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição (¬ P) v (¬ Q) também é verdadeira. (Verdadeiro) (Falso) Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R (¬ T) é falsa. (Verdadeiro) (Falso) Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição (P ^ R) (¬ Q) é verdadeira. !

!

(Verdadeiro) (Falso) Exemplo12: Considerando as proposições simples p e q e a proposição composta r: pvq p^q, julgue o item abaixo. Considerando todos os possíveis valores lógicos das proposições p e q, é correto afirmar que a proposição r possui 3 valores lógicos F. !

(Verdadeiro) (Falso) Exemplo13: Considerando que x, y e z sejam números naturais tais que x + y = z; que X seja a proposição “x é ímpar”; que Y seja a proposição “y é par”; e que Z seja a proposição “z é ímpar”, julgue os seguintes itens. A proposição X ^ Z Y é verdadeira. (Verdadeiro) (Falso) A proposição Y X ^ Z é verdadeira. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo14: Considerando que o símbolo lógico ^ corresponda à conjunção “e”; v , à disjunção “ou”; !, à condicional “se..., então”; ", à bicondicional “se, e somente se”; ~ corresponda à negação “não”; P, Q e R sejam proposições simples; e S seja a seguinte proposição composta: [P ^ ~(Q v R)] ! [R ^ (P " Q)], julgue o próximo item. "

"

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Gabarito: F – F – V

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Gabarito: F

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Gabarito: V - F

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Gabarito: F - V

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Se Q for uma proposição verdadeira, então, independentemente dos valores lógicos de P e R, a proposição S será sempre verdadeira. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo15: Considere que Ana, Berta e Carla sejam as mães de Ricardo, Roberto e Ronaldo, que possuem 5, 6 e 7 anos de idade. Suponha também que: - o filho de Ana tem 7 anos de idade; - Roberto tem 6 anos de idade; - Carla não é a mãe de Ronaldo nem de Roberto. A partir dessas informações, julgue os próximos itens.

A proposição “Berta é a mãe de Roberto e o filho de Carla tem 6 anos de idade” é verdadeira. (Verdadeiro) (Falso) A proposição “Se Ricardo tem 7 anos de idade, então Ana é a mãe de Ricardo” é verdadeira. (Verdadeiro) (Falso) Proposições Logicamente Equivalentes

Dizemos que duas proposições são logicamente equivalentes (ou simplesmente que são equivalentes) quando são compostas pelas mesmas proposições simples e os resultados de suas tabelasverdade são idênticos. Uma conseqüência prática da equivalência lógica é que ao trocar uma dada proposição por qualquer outra que lhe seja equivalente, estamos apenas mudando a maneira de dizê-la. A equivalência lógica entre duas proposições, p e q, pode ser representada simbolicamente como: p # q, p # q, ou simplesmente por p = q. Começaremos com a descrição de algumas equivalências lógicas básicas, as quais convém conhecermos bem, a fim de as utilizarmos nas soluções de diversas questões. Equivalências Básicas : 1ª) p ^ p = p

2ª) p v p = p

Ex.: Paulo é professor OU é professor = Paulo é professor ! 3ª) p ^ q = q ^ p 4ª) p v q = q v p Ex.: Hector estuda matemática e português = Hector estuda português e matemática

5ª) p q = q p 6ª) p q = (p q) ^ (q p) ! * já comentamos essa regra quando falamos da bicondicional, lembram? (pág. 10) "

"

"

!

!

Exemplo16: Julgue o próximo item, considerando proposição P, a seguir: O desenvolvimento científico do país permanecerá estagnado se, e somente se, não houver investimento em pesquisa acadêmica no Brasil. 15

Gabarito: F - V

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Gabarito: V

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A proposição P é logicamente equivalente a “Se não houver investimento em pesquisa acadêmica no Brasil, então o desenvolvimento científico do país permanecerá estagnado, e se houver investimento em pesquisa acadêmica no Brasil, então o desenvolvimento do país não permanecerá estagnado”. (Verdadeiro) (Falso) Equivalências da Condicional:

As duas equivalências que se seguem são de fundamental importância. Estas equivalências podem ser verificadas, ou seja, demonstradas, por meio da comparação entre as tabelas-verdade. Ficam como exercício para casa estas demonstrações. Porém, a utilização da tabela-verdade será nosso ‘Plano B’. Vamos conhecer 2 regras que facilitarão a vida de vocês na hora da prova! São as seguintes as equivalências da condicional: Inverte e Nega

Se p, então q = Se não q, então não p. ! ___________________________________________ !

___________________________________________

Exemplo: Se chove então me molho = Se não me molho então não chove Troca pelo “OU”

Se p, então q = Não p ou q. ! ___________________________________________ !

___________________________________________

Exemplo: Se estudo então passo no concurso = Não estudo ou passo no concurso Bom, vamos à prova dos nove. E o trabalho agora é de vocês! A tabela-verdade está montada. Provem, realmente, que essas proposições são equivalentes:

P Q ~P ~Q ~Q

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V

V

V

F

F

V

F

F

!

~P ~P v Q


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Exemplo17: A proposição “Se não forneci meus dados bancários a ele, ele não depositou dinheiro em minha conta” é logicamente equivalente a “Se esse empresário depositou dinheiro em minha conta, então eu forneci meus dados bancários a ele”.

(Verdadeiro) (Falso) Exemplo18: A afirmação “Não dirija após ingerir bebidas alcoólicas ou você pode causar um acidente de trânsito” é, do ponto de vista lógico, equivalente à proposição “Se você dirige após ingerir bebidas alcoólicas, então você pode causar um acidente de trânsito”. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo19 (Adaptada): Ser síndico não é fácil. Além das cobranças de uns e da inadimplência de outros, ele está sujeito a passar por desonesto. A esse respeito, um ex-síndico formulou a seguinte proposição: — Logo, se você quiser manter sua fama de honesto, não queira ser síndico. (P3) Com referência à proposição P3 acima, julgue o item a seguir.

A proposição P3 é equivalente a “Se você quiser ser síndico, não queira manter sua fama de honesto”. (Verdadeiro) (Falso) Negação de Proposições Compostas

Para facilitar o nosso trabalho futuramente em questões que iremos resolver, vamos conhecer logo o que acontece com proposições compostas quando negativadas. Daí, conheceremos também quando duas proposições compostas são equivalentes. Para termos duas proposições equivalentes, é necessário que suas tabelas-verdade sejam idênticas. Aqui, a ÚNICA DIFERENÇA é que a proposição apontada está na NEGAÇÃO, ok? Negação de uma proposição disjuntiva: _____________________________ Para negarmos uma proposição no formato de disjunção, faremos o seguinte: 1) Negaremos a primeira; 2) Negaremos a segunda; 3) Trocaremos OU por E. Para provarmos, vamos mostrar a tabela-verdade de ambas. A

B

V

A

B

~(A

B)

A

B

V

V

V

V

F

V

F

F

V

F

V

F

F

F

F

~A

~B

(~A

~B)

Conseguiram enxergar? Agora, toda vez que tivermos uma negação de uma conjunção, só precisaremos negar a primeira e a segunda proposição, e trocarmos OU por E. 17

Gabarito: V

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Gabarito: V

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Gabarito: V

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Agora, responda: qual é a negação de “Bárbara não é bailarina ou Hector é músico”? R: _________________________________________________________________________________ Exemplo20: A negação da proposição “O síndico troca de carro ou reforma seu apartamento” pode ser corretamente expressa por “O síndico não troca de carro nem reforma seu apartamento”.

(Verdadeiro)

(Falso)

Negação de uma proposição conjuntiva: _____________________________

Bem parecida com a anterior. Faremos o seguinte: 1) Negaremos a primeira; 2) Negaremos a segunda; 3) Trocaremos E por OU. (comparem as duas!) Agora, montem a tabela-verdade para corroborar com o afirmado. A

B

V

A

B

~(A

B)

A

B

V

V

V

V

F

V

F

F

V

F

V

F

F

F

F

~A

~B

(~A

~B)

Então, resumindo:

Em qualquer dos dois casos, negam-se as duas, depois é só trocar: se for E, coloca OU; se for OU coloca E. Exemplo21: A negação da proposição “ter inabilidade de lidar com a raiva e apresentar depressão” é “ter habilidade de lidar com a raiva ou não apresentar depressão”.

(Verdadeiro) (Falso) Exemplo22: A negação da proposição “O concurso será regido por este edital e executado pelo CESPE/UnB” estará corretamente simbolizada na forma (¬A) ^ (¬B), isto é, “O concurso não será regido por este edital nem será executado pelo CESPE/UnB”. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo23: A negação da proposição “Não conheço esse empresário nem ouvi falar de sua empresa” pode ser expressa por “Conheço esse empresário e ouvi falar de sua empresa”.

20

Gabarito: V

21

Gabarito: V

22

Gabarito: F

23

Gabarito: F

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(Verdadeiro) (Falso) Negação de uma proposição condicional: _____________________________

Para negarmos uma condicional, basta: 1) Mantermos a primeira; 2) Negarmos a segunda; 3) junta-las com o conectivo E. A

B

V

(A

A

B

V

V

V

V

F

V

F

F

V

F

V

F

F

F

F

!

B)

~(A

!

B)

~B

(A

~B)

Existe uma outra forma de encontrarmos uma equivalência entre ~(A B). Ora, o resultado foi a conjunção (A % ~B). Aí, nós já descobrimos que a negação de uma __________________ será uma conjunção. Então, teremos: !

~(A

!

B) = (A

~B) = ~(~A

B)

Complicou? Então, vamos tentar na prática! Exemplo24 (Adaptada) O exercício da atividade policial exige preparo técnico adequado ao enfrentamento de situações de conflito e, ainda, conhecimento das leis vigentes, incluindo interpretação e forma de aplicação dessas leis nos casos concretos. Sabendo disso, considere como verdadeira a proposição seguinte. P4: Se teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos, então o policial tem informações precisas ao tomar decisões. Com base nessa proposição, julgue o item a seguir.

A negação de P4 é logicamente equivalente à proposição “O policial teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos, mas não tem informações precisas ao tomar decisões”. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo25: A negação da proposição “Se houver corrupção, os níveis de violência crescerão” é equivalente a “Se não houver corrupção, os níveis de violência não crescerão”. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo26: A negação da proposição “Se um trabalhador tinha qualidade de segurado da previdência social ao falecer, então seus dependentes têm direito a pensão” é logicamente equivalente à proposição “Um trabalhador tinha qualidade de segurado da previdência social ao falecer, mas seus dependentes não têm direito a pensão”. (Verdadeiro) (Falso) 24

Gabarito: V

25

Gabarito: F

26

Gabarito: V

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Para finalizar, segue uma tabela que resume todas as regras vistas até agora!

Condição Suficiente E Condição Necessária

O Cespe não utiliza esse assunto em suas provas de concurso, porém não custa nada a gente dar uma passada para deixar a mensagem, não é mesmo? O uso das expressões condição suficiente e condição necessária pode ser traduzida como a utilização do conectivo condicional (Se... então). Lembram-se do nosso exemplo da condicional quando estudamos esse conectivo? Vamos ver como fica. Se digo “Paulo ser cearense é condição suficiente para Paulo ser brasileiro”. Resumindo: para Paulo ser brasileiro só precisa ele ser cearense. Captaram??? Agora, se dissermos “Paulo ser brasileiro é condição necessária para Paulo ser cearense”, teremos o mesmo resultado. Ora, é necessário, para Paulo ser cearense, Paulo ser brasileiro. Ou existe cearense não-brasileiro? Só em Sobral (piadinha de cearense...). Usando essa nomenclatura, podemos chegar às seguintes conclusões: " A primeira parte da condicional é uma condição suficiente; " A segunda parte da condicional é uma condição necessária; " Uma condição suficiente gera um resultado necessário. Exemplo27: Considere que: “se o dia está bonito, então não chove”. Desse modo:

(A) não chover é condição necessária para o dia estar bonito. (B) não chover é condição suficiente para o dia estar bonito. 27

Gabarito: letra A

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(C) chover é condição necessária para o dia estar bonito. (D) o dia estar bonito é condição necessária e suficiente para chover. (E) chover é condição necessária para o dia não estar bonito. “PH, pode acontecer de uma proposição aparecer ‘condição suficiente E necessária’?

Tautologia, Contradição e Contingência

Calma que não estou xingando ninguém! Já vimos que uma proposição composta é formada por várias proposições. Os termos acima citados referem-se ao resultado lógico dessas proposições. Assim: Tautologia

Quando todos os valores lógicos de uma tabela-verdade têm como resultado VERDADEIRO

Contradição

Quando todos os valores lógicos de uma tabela-verdade têm como resultado FALSO

Contingência Quando não for tautologia, nem contradição Exemplo28: As proposições para as quais a tabela-verdade contém apenas V são denominadas tautologias, ou logicamente verdadeiras. Se a tabela-verdade contiver apenas F, a proposição é logicamente falsa. Duas proposições A e B são equivalentes se suas tabelas-verdades forem iguais. Tendo como referência as informações apresentadas, julgue o item.

A proposição (A v ¬A) (A ^ ¬A) é logicamente falsa, mas (A ^ ¬A) (A v ¬A) é uma tautologia. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo29: Se A e B são proposições, completando a tabela abaixo, se necessário, conclui-se que a proposição ¬(A v B) ¬A ^ ¬B é uma tautologia. !

!

!

(Verdadeiro) (Falso)

28

Gabarito: V

29

Gabarito: V

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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Exemplo30: Com relação às frases a seguir, identificadas por letras de A a D, todas são proposições simples e mais de uma delas é V.

A: A Lua é um planeta. B: O sistema de governo no Brasil é o parlamentarista. C: Todo número natural é o quadrado de um número real. D: Os conjuntos dos números pares e dos números primos são disjuntos. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo31 (Adaptada): Ao comentar sobre as razões da dor na região lombar que seu paciente sentia, o médico fez as seguintes afirmativas. P1: Além de ser suportado pela estrutura óssea da coluna, seu peso é suportado também por sua estrutura muscular. Tendo como referência a situação acima apresentada, julgue o item seguinte, considerando apenas seus aspectos lógicos. A proposição P1 pode ser corretamente representada pela forma simbólica P ^ Q, em que P e Q são proposições convenientemente escolhidas e o símbolo ^ representa o conectivo lógico denominado conjunção. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo32: Quando o governo e as leis vigentes são incapazes de administrar os conflitos existentes entre as classes dominantes e as chamadas forças populares, ou de impedir o aumento do espaço político dessas forças, as classes dominantes apelam para golpes de Estado. O número de linhas da tabela-verdade correspondente à proposição do texto inicial é igual a (A) 16. (B) 32. (C) 64. (D) 128. (E) 8. Exemplo33 (Adaptada): Ao noticiar que o presidente do país X teria vetado um projeto de lei, um jornalista fez a seguinte afirmação. Se o presidente não tivesse vetado o projeto, o motorista que foi pego dirigindo veículo de categoria diferente daquela para a qual estava habilitado teria cometido infração gravíssima, punida com multa e apreensão do veículo, mas continuaria com a sua habilitação. Em face dessa afirmação, que deve ser considerada como proposição A e limitando-se aos aspectos lógicos inerentes às proposições acima apresentadas, julgue o item seguinte. A proposição A estará corretamente simbolizada por P " Q ^ R, em que os símbolos “ "” e “^” representam, respectivamente, os conectivos lógicos denominados condicional e conjunção. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo34: Considerando que as proposições A, B, B C e [A^B] [C D] sejam V, então a proposição D será, obrigatoriamente, V. !

(Verdadeiro)

!

!

(Falso)

30

Gabarito: F

31

Gabarito: V

32

Gabarito: letra B

33

Gabarito: V

34

Gabarito: V

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Exemplo35: Se as proposições A, B e D forem V, então é possível que as proposições E, C, E C, B E e A^C (¬D) também sejam V. !

!

!

(Verdadeiro) (Falso) Exemplo36 (Adaptada): Com a finalidade de reduzir as despesas mensais com energia elétrica na sua repartição, o gestor mandou instalar, nas áreas de circulação, sensores de presença e de claridade natural que atendem à seguinte especificação: P: A luz permanece acesa se, e somente se, há movimento e não há claridade natural suficiente no recinto. Acerca dessa situação, julgue o item seguinte. A especificação P pode ser corretamente representada por p (q^r), em que p, q e r correspondem a proposições adequadas e os símbolos e ^ representam, respectivamente, a bicondicional e a conjunção. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo37: Considerando que seja falsa a proposição: “Se os manifestantes interromperem a manifestação e repararem os danos cometidos, os ingressos voltarão a ser distribuídos.”, assinale a opção que apresenta uma proposição verdadeira. "

"

(A) Se os ingressos não voltarem a ser distribuídos, então os manifestantes não interromperão a manifestação. (B) Os manifestantes interromperam a manifestação. (C) Os ingressos voltarão a ser distribuídos. (D) Os manifestantes não repararam os danos cometidos. (E) Os ingressos voltarão a ser distribuídos, e os manifestantes repararam os danos cometidos. Exemplo38: Considere as seguintes proposições: A 6 - 1 = 7 ou 6 + 1 > 2 B6+3>8e6-3=4 C 9 ! 3 > 25 ou 6 ! 7 < 45 D 5 + 2 é um número primo e todo número primo é ímpar. Nesse caso, entre essas 4 proposições, apenas duas são F.

(Verdadeiro) (Falso) Exemplo39: A tabela a seguir apresenta as três primeiras colunas da tabela-verdade de uma proposição S construída a partir das proposições P, Q e R.

35

Gabarito: F

36

Gabarito: V

37

Gabarito: letra B

38

Gabarito: V

39

Gabarito: letra D

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Com base na tabela, assinale a opção que apresenta a sequência correta dos elementos constituintes da coluna da tabela-verdade correspondente à proposição lógica S: R " (P ^ Q).

(A) V / F / V / F / F / V / V / V (C) V / F / V / F / F / F / V / V

(B) V / F / V / F / F / V / F / V (D) V / F / F / F / F / V / V / V

(E) V / V / F / F / F / V / V / V Exemplo40: As equipes A, B e C disputaram as finais de um torneio de futebol, jogando cada equipe contra as outras duas uma vez. Sabe-se que a equipe B ganhou da equipe A por 2 !1; a equipe A marcou 3 gols; e cada equipe ficou com saldo de gols zero. As regras do torneio para a classificação final são, nessa ordem: • maior número de vitórias; • maior número de gols feitos; • se as três equipes ficarem empatadas segundo os critérios anteriores, as três serão consideradas campeãs. Se uma equipe for campeã ou 3.a colocada e as outras duas equipes ficarem empatadas segundo os critérios anteriores, será considerada mais bem colocada a equipe vencedora do confronto direto entre as duas. A respeito dessa situação hipotética e considerando que os três critérios listados foram suficientes para definir a classificação final das três equipes, julgue os itens seguintes quanto aos valores lógicos das proposições apresentadas.

Se a equipe B fez 3 gols, então a equipe C foi campeã é uma proposição falsa. (Verdadeiro) (Falso) A equipe B foi campeã e a equipe A ficou em último lugar é uma proposição falsa. (Verdadeiro) (Falso) Se a equipe A foi campeã então a equipe C foi campeã ou 2.a colocada é uma proposição falsa. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo41 (Adaptada): — Mário, você não vai tirar férias este ano de novo? Você trabalha demais! — Ah, João, aquele que trabalha com o que gosta está sempre de férias.

40

Gabarito: F – V – F

41

Gabarito: F

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Considerando o diálogo acima, julgue o item seguinte, tendo como referência a declaração de Mário.

“Se o indivíduo estiver sempre de férias, então ele trabalha com o que gosta” é uma proposição equivalente à declaração de Mário. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo42 (Adaptada) A fim de convencer um cliente a contratar os serviços de cartão prépago, o gerente de uma instituição financeira argumentou com a seguinte proposição: P3: Se uma pessoa carrega muito dinheiro no bolso, então ela corre o risco de ser assaltada. Com base na situação apresentada acima, julgue o item subsequente.

P3 é logicamente equivalente à proposição “Se uma pessoa não carrega muito dinheiro no bolso, então ela não corre o risco de ser assaltada”. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo43: A proposição [(¬P) v Q] ! (R ^ S) é logicamente equivalente a [P ! Q] ! [R ^ S]. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo44: Sabendo-se que duas proposições são ditas equivalentes se suas tabelas-verdade são iguais, é correto afirmar que a proposição “se a criança tomou a primeira dose, então ela tomou a segunda dose” é equivalente à proposição “a criança não tomou a primeira dose ou a criança tomou a segunda dose”. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo45: Os trabalhos de investigação de uma CPI da câmara municipal conduziram à premissa P1 seguinte: P1: Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o prefeito Pérsio não sabia do esquema. Considerando essa situação hipotética, julgue o item seguinte, acerca de proposições lógicas. A premissa P1 é logicamente equivalente à proposição “Se o prefeito Pérsio sabia do esquema, então o vereador Vitor participou do esquema”. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo46: As empresas A e B atuam no segmento de provimento de rede sem fio em uma pequena cidade. Com a finalidade de conquistar novos clientes, a empresa B realizará uma campanha publicitária. Nesse sentido, P1, P2 e P3, a seguir, constituem as proposições de análise da empresa B antes da escolha da estratégia a ser adotada na campanha publicitária. P1: Vamos conquistar clientes que ainda não usam serviços de rede sem fio [estratégia 1] ou vamos lançar uma ofensiva para conquistar clientes da empresa A [estratégia 2]. P2: Se adotarmos a estratégia 1 e se os potenciais clientes que ainda não usam serviços de rede sem fio não possuírem computadores, então não conseguiremos aumentar nossa clien42

Gabarito: F

43

Gabarito: V

44

Gabarito: V

45

Gabarito: V

46

Gabarito: F – V – V – F

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tela. P3: Se adotarmos a estratégia 2 e a empresa A reagir, então não conseguiremos aumentar nossa clientela. A partir dessas informações, julgue os itens a seguir.

Representando-se, respectivamente, por p, q e r as proposições “Adotamos a estratégia 2”, “A empresa A reage” e “Não conseguiremos aumentar nossa clientela”, a proposição P3 estará corretamente simbolizada da seguinte forma: p v q " r. (Verdadeiro) (Falso) A tabela-verdade da proposição P3 contém 8 linhas. (Verdadeiro) (Falso) A negação da proposição P2 estará corretamente enunciada da seguinte forma: “Adotamos a estratégia 1 e os potenciais clientes que ainda não usam serviços de rede sem fio não possuem computadores, mas conseguiremos aumentar nossa clientela”. (Verdadeiro) (Falso) Considerando que a proposição P1 seja verdadeira, é correto afirmar que o emprego, nessa proposição, do conectivo lógico “ou” implica que a empresa B não poderá adotar as estratégias 1 e 2 simultaneamente. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo47: Assinale a opção correspondente à negação correta da proposição “Os ocupantes de cargos em comissão CJ.3 e CJ.4 não têm direito à carteira funcional”. (A) Os ocupantes de cargos em comissão CJ.3 e CJ.4 têm direito à carteira funcional. (B) Os ocupantes de cargos em comissão CJ.3 ou os ocupantes de cargos em comissão CJ.4 têm direito à carteira funcional. (C) Não é o caso de os ocupantes de cargos em comissão CJ.3 e CJ.4 terem direito à carteira funcional. (D) Nem ocupantes de cargos em comissão CJ.3, nem CJ.4 não têm direito à carteira funcional. (E) Os ocupantes de cargos em comissão CJ.3 não têm direito à carteira funcional, mas os ocupantes de cargos em comissão CJ.4 têm direito à carteira funcional. Exemplo48: Assinale a opção correta acerca da negação da proposição “O governo e as leis vigentes são incapazes de administrar os conflitos existentes entre as classes dominantes e as chamadas forças populares, ou de impedir o aumento do espaço político dessas forças.” (A) O governo e as leis vigentes não são capazes de administrar os conflitos existentes entre as classes dominantes e as chamadas forças populares nem de impedir o aumento do espaço político dessas forças. (B) O governo e as leis vigentes não são capazes de administrar os conflitos existentes entre as classes dominantes e as chamadas forças populares, ou de impedir o aumento do espaço político dessas forças. (C) O governo ou as leis vigentes não são incapazes de administrar os conflitos existentes entre as classes dominantes e as chamadas forças populares, nem de impedir o aumento do espaço 47

Gabarito: letra B

48

Gabarito: letra C

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político dessas forças. (D) O governo e as leis vigentes não são incapazes de administrar os conflitos existentes entre as classes dominantes e as chamadas forças populares, ou de impedir o aumento do espaço político dessas forças. (E) O governo e as leis vigentes são capazes de administrar os conflitos existentes entre as classes dominantes e as chamadas forças populares, e de impedir o aumento do espaço político dessas forças. Exemplo49: A negação da proposição “A empresa não entrega o que promete” é “A empresa entrega o que não promete”. (Verdadeiro) (Falso) A negação da proposição “Não apareceram interessados na licitação anterior e ela não pode ser repetida sem prejuízo para a administração” está corretamente expressa por “Apareceram interessados na licitação anterior ou ela pode ser repetida sem prejuízo para a administração”. (Verdadeiro) (Falso) A negação da proposição “O juiz determinou a libertação de um estelionatário e de um ladrão” é expressa na forma “O juiz não determinou a libertação de um estelionatário nem de um ladrão”. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo50 (Adaptada): A fim de convencer um cliente a contratar os serviços de cartão prépago, o gerente de uma instituição financeira argumentou com a seguinte proposição: P5: Se uma pessoa efetua seus pagamentos com débito em conta, então ela corre o risco de perder o controle financeiro. Com base na situação apresentada acima, julgue o item subsequente. A negação da proposição P5 é logicamente equivalente à proposição “Uma pessoa efetua seus pagamentos com débito em conta e não corre o risco de perder o controle financeiro”. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo51: A proposição (P V Q) (Q ^ P) é uma tautologia. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo52: A proposição (A B) (¬A v B) é uma tautologia. !

!

!

(Verdadeiro) (Falso)Exemplo53: Em relação às proposições A: sição composta A B é uma contradição.

e B: 9 é par, a propo-

!

(Verdadeiro) (Falso)

49

Gabarito: F – V – F

50

Gabarito: V

51

Gabarito: F

52

Gabarito: V

53

Gabarito: F

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MÓDULO II – DIAGRAMAS LÓGICOS, ESTRUTURAS LÓGICAS E LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO Chegou a hora de evoluirmos! Tendo como base os conceitos iniciais de lógicas vistos no Módulo passado, estudaremos agora outras situações relacionadas a proposições.

A 1ª parte desse módulo falará de um outro tipo de proposição sem que utilizemos os ‘famosos’ conectivos. Agora, veremos proposições que utilizam os termos Todo, algum e nenhum. Essa parte nós chamamos de LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM. A lógica de primeira ordem também trata de argumentações elaboradas por meio de proposições da lógica proposicional, mas admite proposições que expressem quantificações do tipo “todo”, “algum”, “nenhum” etc. Também utilizaremos esses conceitos quando estudarmos, um pouco mais a frente, a parte de DIAGRAMAS LÓGICOS. Vejamos alguns exemplos de proposições: (1) Todo cearense é brasileiro (2) Algum rondoniense (não) é casado (3) Nenhum estudante é professor (4) Há pelo menos um policial honesto TODO, ALGUM E NENHUM Como também são proposições, podemos ter equivalências e negações! Preenchendo a tabela abaixo, fica muito fácil a resolução de questões. Vamos preenchê-la:

Proposição Equivalência Todo Paulo é bonito Nenhum Paulo é feio Algum Paulo é modesto Algum Paulo não é metido

Negação

Sabendo esta tabela, conseguiremos resolver tranquilamente as questões que aparecerem. Exemplo54: Assinale a opção que apresenta uma proposição logicamente equivalente à negação da proposição “Todo ser humano é responsável pelo bem que não faz”.

(A) Todo ser humano não é responsável pelo bem que não faz. (B) Algum ser humano não é responsável pelo bem que não faz. (C) Todo ser humano é responsável pelo bem que faz. (D) Todo ser humano é responsável pelo mal que não faz. (E) Algum ser humano não é responsável pelo bem que faz. Exemplo55: A negação da proposição “Toda pessoa pobre é violenta” é equivalente a “Existe alguma pessoa pobre que não é violenta”. (Verdadeiro)

(Falso)

54

Gabarito: letra B

55

Gabarito: V

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Aqui, vale uma observação : algumas questões trazem mais de um conceito para que consigamos resolve-las. Muitas delas envolvem os Conceitos Iniciais, com os que acabamos de ver. Vejam exemplos: Exemplo56: Considere que seja verdadeira a seguinte proposição: “Se todos os triângulos são isósceles, então existe um círculo de raio R”. Nesse caso, também é verdadeira a proposição “Se nenhum dos círculos é de raio R, então existe um triângulo que não é isósceles”.

(Verdadeiro) (Falso) Exemplo57: A proposição “Se todo diretor é excêntrico e algum excêntrico é mau ator, então algum diretor é mau ator” é logicamente equivalente à proposição “Algum diretor não é excêntrico ou todo excêntrico é bom ator ou algum diretor é mau ator”. (Verdadeiro) (Falso)

DIAGRAMAS LÓGICOS Outra forma de trabalhar com as proposições Todo, Algum e Nenhum é quando temos que desenhar figuras (diagramas de Venn) e, analisando-as, tirarmos conclusões. Esse assunto também será visto na parte de LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO. Vejamos como desenhar cada proposição:

Todo A é B

Nenhum A é B

Algum A é B

Algum A não é B

Exemplo58: É válido o seguinte argumento: Todo cachorro é verde, e tudo que é verde é vegetal, logo todo cachorro é vegetal.

(Verdadeiro) (Falso) 56

Gabarito: V

57

Gabarito: V

58

Gabarito: V

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O grande segredo desse tipo de questão é saber desenhar cada uma das proposições (aqui, começaremos a chamá-las de premissas) e depois tentar ‘juntá-las’ em um diagrama só: Premissa 1

Premissa 2

Conclusão

Exemplo59: Considere que proposições P, Q e R, listadas abaixo, sejam verdadeiras. P: Todo sistema operacional Linux é um tipo de Unix. Q: O sistema operacional MacOS Leopard é um tipo de Unix. R: Nenhuma versão do sistema operacional Microsoft Windows é do tipo Unix. Julgue os itens seguintes, tendo como referência as proposições P, Q e R.

É possível inferir que o sistema operacional MacOS Leopard é uma versão de Microsoft Windows. (Verdadeiro) (Falso) A partir da veracidade das proposições P e Q, é possível inferir que o sistema operacional MacOs Leopard pode ser um Linux. (Verdadeiro) (Falso) Alguma versão do sistema operacional Windows pode ser do tipo Linux. (Verdadeiro) (Falso) Aguardem que veremos mais questões com esse assunto quando estudarmos LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO, ok? ESTRUTURAS LÓGICAS

Bom, pessoal, as questões referentes a este assunto começam com um conjunto de afirmações, chamadas de premissas , formadas por proposições simples ou compostas, finalizando com uma conclusão válida, que será a própria resposta procurada. A melhor maneira de estudarmos esse assunto é verificando certos “elementos” que aparecem nas questões. Descobrindo esses “elementos”, seguiremos um caminho específico para chegarmos à solução da questão. Trabalhando com Proposições Simples e Conjunções 1) consideram-se todas as premissas verdadeiras; 2) procura-se, dentro das premissas, uma proposição que apresente uma única forma de ser verdadeira. Só há duas maneiras: proposição simples ou utilização de uma conjunção. 59

28

Gabarito: F – V - F


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Exemplo60: Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não estudo. Ora, não velejo. Assim,

(A) estudo e fumo. (B) não fumo e surfo. (C) não velejo e não fumo. (D) estudo e não fumo. (E) fumo e surfo. Em toda questão de Estrutura Lógica, a 1ª coisa que precisamos fazer é traduzir as nossas premissas em símbolos. Assim, teremos que: Su = surfo

Es = Estudo

Fu = Fumo

Ve = Velejo

Agora, as nossas premissas viraram: P1: Surfo ou estudo = Su v Es P2: Fumo ou não surfo = Fu v ~Su P3: Velejo ou não estudo = Ve v ~Es P4: Não Velejo = ~Ve Agora, precisamos nos perguntar: dentre as premissas, há alguma proposição simples ou que utilize conjunção? Sim, temos a 4ª premissa (proposição simples). Com isso, ~Ve tem que ser verdadeiro, então Ve é falso. Se V é falso, então, a 3ª premissa ficará F v ~Es. A única maneira desta premissa ser verdadeira é ~Es sendo verdadeira. Logo, Es será falso. Passamos agora para a premissa n° 1, ficando Su v F. Mesma idéia: para ser verdadeira, Su será Verdadeiro. Por último, temos a 2ª premissa como Fu v F. Então, Fu será verdadeiro. Pronto, conseguimos encontrar o valor lógico de cada premissa, ficando: Su = V

Es = F

Fu = V

Ve = F

Surfo

Não estudo

Fumo

Não velejo

A única alternativa que contempla ambas as proposições (notem que cada item tem uma conjunção e que, para ser verdade, ambas as proposições têm que ser verdadeiras) é a letra E. Com o tempo e a resolução de mais questões, vocês conseguirão automaticamente ‘pular etapas’, tornando a resolução mais rápida! Exemplo61: Uma dedução lógica é uma sequência finita de proposições na qual algumas proposições, denominadas premissas, são supostas verdadeiras, e as demais proposições, chamadas conclusões, são também verdadeiras por consequência das premissas e de conclusões previamente obtidas. Considere as quatro proposições a seguir. A: Se Abel não mora em Vitória, então Beto mora em Serra. 60

Gabarito: letra E

61

Gabarito: F – F

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B: Se Carlos mora em Serra ou em Vila Velha, então Abel mora em Vitória. C: Se Danilo não mora em Vitória, então Carlos mora em Vila Velha. D: Beto mora em Linhares. Sabendo que cada um dos rapazes mora em uma cidade diferente, considerando as proposições A, B, C e D como premissas de uma dedução lógica, julgue os itens que se seguem.

Carlos não mora em Vila Velha. (Verdadeiro) (Falso) Danilo mora em Vitória. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo62: Considere que as seguintes afirmações sejam verdadeiras: • Se é noite e não chove, então Paulo vai ao cinema. • Se não faz frio ou Paulo vai ao cinema, então Márcia vai ao cinema. Considerando que, em determinada noite, Márcia não foi ao cinema, é correto afirmar que, nessa noite, (A) não fez frio, Paulo não foi ao cinema e choveu. (B) fez frio, Paulo foi ao cinema e choveu. (C) fez frio, Paulo não foi ao cinema e choveu. (D) fez frio, Paulo não foi ao cinema e não choveu. (E) não fez frio, Paulo foi ao cinema e não choveu. Bom, mas, e se não tivermos uma proposição simples ou uma conjunção, o que fazer? Trabalhando com Disjunções Exclusivas Até hoje, o Cespe não cobrou essa forma de Estruturas Lógicas. Porém, o conceito é bem tranqüilo. Vocês verão que a resolução fica bem fácil com algumas dicas, ok? No exemplo que veremos a seguir, todas as premissas tem como conectivo uma disjunção exclusiva ('OU … OU'). Assim, a interpretação pode ser: 1) após montarmos as premissas, escolher uma proposição e atribuirmos a ela um valor lógico (pode ser tanto V como F); 2) a partir daí, é encontrar o valor lógico das outras premissas; 3) ao final, testar para verificar se todas as premissas estão verdadeiras. Exemplo63: Ricardo, Rogério e Renato são irmãos. Um deles é médico, outro é professor, e o outro é músico. Sabe-se que: 1) ou Ricardo é médico, ou Renato é médico, 2) ou Ricardo é professor, ou Rogério é músico; 3) ou Renato é músico, ou Rogério é músico, 4) ou Rogério é professor, ou Renato é professor. Portanto, as profissões de Ricardo, Rogério e Renato são, respectivamente,

(A) professor, médico, músico. (B) médico, professor, músico. 62

Gabarito: letra C

63

Gabarito: letra E

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(C) professor, músico, médico. (D) músico, médico, professor. (E) médico, músico, professor. Temos as premissas: P1: ou Ricardo é médico, ou Renato é médico P2: ou Ricardo é professor, ou Rogério é músico P3: ou Renato é músico, ou Rogério é músico P4: ou Rogério é professor, ou Renato é professor Agora, definimos um valor lógico para uma das proposições simples. Notem que temos a mesma proposição em duas premissas. Então, diremos que Rogério é músico é VERDADEIRO. Lembram-se da disjunção exclusiva? Se um dos termos é verdadeiro, o outro, obrigatoriamente, será falso. Além disso, se Rogério é músico, não poderá ser professor (P4). Logo, Renato é professor. Se Renato é professor, não pode ser médico (P1). Logo, Ricardo é médico. Encontramos todos os valores lógicos das proposições. Agora, iremos conferir se há alguma contradição: V F P1: ou Ricardo é médico, ou Renato é médico F V P2: ou Ricardo é professor, ou Rogério é músico F V P3: ou Renato é músico, ou Rogério é músico F V P4: ou Rogério é professor, ou Renato é professor Nenhuma contradição! Então, as profissões terão que ser, nesta ordem, MÉDICO, MÚSICO, PROFESSOR. Alternativa E. Até hoje, TODAS as questões que foram cobradas nessa forma (todas disjunções exclusivas) trouxeram uma proposição repetida. No caso acima, ‘Rogério é músico’. Quando isso acontecer, faça essa proposição VERDADEIRA, ok? Exemplo64: Três amigos, Fábio, Hugo e Mário torcem, cada um, por um time diferente. Um deles é flamenguista, outro é vascaíno, e outro é botafoguense. As afirmativas a seguir são todas verdadeiras: I. ou Fábio é vascaíno ou Mário é vascaíno. II. ou Fábio é botafoguense ou Hugo é flamenguista. III. ou Mário é flamenguista ou Hugo é flamenguista. IV. ou Hugo é botafoguense ou Mário é botafoguense. Os times de Fábio, Hugo e Mário são, respectivamente:

(A) Botafogo, Vasco e Flamengo. (C) Botafogo, Flamengo e Vasco. 64

31

(B) Vasco, Botafogo e Flamengo. (D) Flamengo, Vasco e Botafogo.

Gabarito: letra E


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(E) Vasco, Flamengo e Botafogo. Resumindo: Caminho normal ! escolhe uma das proposições e atribui um valor lógico. Ao final, testa para ver se todas as premissas estão verdadeiras. Atalho ! procura uma proposição repetida. Atribui valor lógico V para ela. Ao final, testa para ver se todas as premissas estão verdadeiras.

Agora, se não temos uma proposição simples, ou uma conjunção, ou até mesmo proposições com disjunção exclusiva, o que fazer??? Trabalhando com Condicionais e Disjunções 1) consideram-se todas as premissas verdadeiras; 2) atribui-se um valor lógico (V ou F) para uma das proposições simples: 2.1) procurem a proposição que mais vezes aparece entre as premissas; 2.2) caso tenhamos proposições com condicional ( ), uma saída é atribuir o valor lógico F para a 2ª parte da proposição; !

3) substitui-se o valor lógico nas outras premissas, observando se não haverá nenhuma contradição. Exemplo65: A formação das escalas na divisão dos trabalhos da semana obedece às seguintes proposições: 1.

Carlos fiscaliza a empresa A e João não fiscaliza a empresa B.

2.

João fiscaliza a empresa B ou Maria não fiscaliza a empresa D.

3.

Augusto fiscaliza a empresa D se e somente se Maria não fiscaliza a empresa B.

Com base nas proposições acima, considerando que cada funcionário deve fiscalizar apenas uma empresa e que todas as empresas devem ser fiscalizadas, então nessa semana:

(A) Carlos não fiscaliza a empresa A (B) Augusto fiscaliza a empresa D. (C) Maria fiscaliza a empresa B. (D) Maria fiscaliza a empresa C. (E) João fiscaliza a empresa C. Exemplo66: Considere as sentenças apresentada a seguir. G O preço do combustível automotivo é alto M Os motores dos veículos são econômicos I Há inflação geral de preços C O preço da cesta básica é estável Admitindo que os valores lógicos das proposições compostas (Mv¬G) (C^¬I), I (¬C^G), G M e ¬CvM são verdadeiros, assinale a opção correta, considerando que, nessas proposições, os !

65

Gabarito: letra C

66

Gabarito: letra A

32


!

!

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símbolos v e ^ representam os conectivos “ou” e “e”, respectivamente, e o símbolo ¬ denota o modificador negação.

(A) os motores dos veículos são econômicos e não há inflação geral de preços. (B) o preço da cesta básica não é estável e há inflação geral de preços. (C) o preço do combustível automotivo é alto e os motores dos veículos não são econômicos. (D) os motores dos veículos são econômicos e o preço da cesta básica não é estável. (E) o preço da cesta básica é estável e o preço do combustível automotivo é alto. LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO

Nosso próximo assunto terá muito a ver com as duas parte que até agora vimos. Porém, acrescentaremos novas dicas para facilitar a resolução das questões. Argumento nada mais é do que um conjunto de proposições (premissas), associadas a uma conclusão. Pode ser: - válido, quando a conclusão é conseqüência obrigatória das premissas; - inválido , a verdade das premissas não é suficiente para garantir a verdade da conclusão. A diferença é que, agora, trabalharemos com representações gráficas para determinarmos se teremos um argumento válido ou inválido. Silogismo é todo o argumento que consiste em duas premissas e uma conclusão. Podemos ter 2 formas de cobrar esse assunto:

1) Se o argumento apresentar proposições categóricas (todo, nenhum, ou al gum), vamos resolver as questões utilizando os conceitos de Diagramas Lógicos. 2) Se o argumento apresentar os conectivos (proposições simples ou compostas), podemos utilizar os conceitos das Estruturas Lógicas ou pela nossa ‘amiga’ Tabela-Verdade. Vejamos um exemplo:

Exemplo67: Considerando como premissas as proposições “Nenhum universitário é analista judiciário” e “Todo analista judiciário faz curso de informática”, e como conclusão a proposição “Nenhum universitário faz curso de informática”, então o raciocínio formado por essas proposições é correto.

(Verdadeiro) (Falso) O 1º passo é desenharmos as duas premissas. Depois, ESQUEÇAM O QUE A QUESTÃO FALA SOBRE A CONCLUSÃO! Tentem montar a conclusão apenas analisando os diagramas Lógicos, ok? Premissa 1

67

33

Premissa 2

Conclusão

Gabarito:F


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Exemplo68: A argumentação “Se lógica é fácil, então Sócrates foi mico de circo. Lógica não é fácil. Sócrates não foi mico de circo” é válida e tem a forma •P

!

Q

• ¬P • ¬Q

(Verdadeiro) (Falso) Conforme falamos, uma das formas de solucionarmos é utilizando a Tabela-Verdade! Porém, cuidado: muitas proposições podem tornar a tabela-verdade muito trabalhosa! P

Q

V

V

V

P

~P

~Q

V

F

F

F

F

F

V

F

V

V

V

F

F

F

V

V

V

!

Q

O que nos interessa na tabela é a parte onde as premissas são V (3ª e 4ª linhas). Daí, para que o argumento seja válido, a conclusão, nessas duas linhas, deverá ser V. Como na 3ª linha, não é, então o argumento é inválido . Perceberam algo conhecido no Exemplo 02? São os conectivos que vimos nos módulos anteriores. Assim, também poderemos utilizar algumas das dicas já mostradas anteriormente. Ficou entendido??? Agora, precisamos praticar um pouco mais sobre esse assunto. Vejamos mais questões... Exemplo69: Suponha que um argumento tenha como premissas as seguintes proposições. Alguns participantes da PREVIC são servidores da União. Alguns professores universitários são servidores da União.

Nesse caso, se a conclusão for “Alguns participantes da PREVIC são professores universitários”, então essas três proposições constituirão um argumento válido. 68

Gabarito:F

69

Gabarito: F

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(Verdadeiro) (Falso) Exemplo70: Suponha que as proposições “Edu tem um laptop ou ele tem um celular” e “Edu ter um celular é condição necessária para Edu ter um laptop” sejam verdadeiras. Nesse caso, considerando essas proposições como premissas e a proposição “Edu tem um laptop” como conclusão de um argumento, então esse argumento é válido. (Verdadeiro) (Falso) A NOVA ‘CARA’ DO CESPE

Ultimamente, o Cespe tem cobrado um tipo de questão que, anteriormente, não era comum aparecer em provas de concurso. Ela utiliza os conceitos já estudados aqui, como Lógica de argumentação e Estruturas Lógicas, porém, do jeito que a questão é montada, precisamos conhecer uma nova forma de resolvê-las, mais rápida e bem mais tranquila! Vamos ver um exemplo: Exemplo71: (Adaptada) Um jovem, ao ser flagrado no aeroporto portando certa quantidade de entorpecentes, argumentou com os policiais conforme o esquema a seguir: Premissa 1: Eu não sou traficante, eu sou usuário; Premissa 2: Se eu fosse traficante, estaria levando uma grande quantidade de droga e a teria escondido; Premissa 3: Como sou usuário e não levo uma grande quantidade, não escondi a droga. Conclusão: Se eu estivesse levando uma grande quantidade, não seria usuário. Considerando a situação hipotética apresentada acima, julgue os itens a seguir.

Sob o ponto de vista lógico, a argumentação do jovem constitui argumentação válida. (Verdadeiro) (Falso) Notem que a questão fala de premissas e conclusão, ou seja, o mesmo conceito que utilizamos em Lógica de Argumentação. Porém: Problema 1: a conclusão traz uma condicional. Além disso, essa condicional é formada por 3 proposições simples; Problema 2: dentre as 3 premissas temos TAMBÉM condicionais e, juntas, trazem 5 proposições simples. Pela resolução ‘padrão’, teríamos que montar uma tabela-verdade enorme, com várias proposições, o que, com o pouco tempo de prova, seria inviável. Por isso, vamos conhecer a técnica do ‘Erra pra dar Certo’. É assim: 1. como a conclusão é uma condicional, sabemos que, para que ela seja VERDADEIRA, é preciso que: ___ " ___ ou ___ " ___ ou ___ " ___ 2. então, é muito mais simples imaginarmos que a condicional será falsa (___ estamos imaginando que a CONCLUSÃO É FALSA!!! 70

Gabarito: F

71

Gabarito:F

35


" ___).

Ou seja,

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3. Sabendo os valores lógicos das proposições simples que formam a conclusão, nós substituiremos esses valores nas premissas, encontrando o valor lógico de cada uma das proposições. 4. Daí: 4.1. se, encontrando os valores das proposições, eu deduzo que as premissas são verdadeiras, então meu argumento será INVÁLIDO , já que parti da ideia que minha conclusão será FALSA. 4.2. se, encontrando os valores das proposições, eu deduzo que NEM TODAS as premissas são verdadeiras, então meu argumento será VÁLIDO. Ou seja, se eu tiver uma conclusão FALSA, não consigo encontrar premissas VERDADEIRAS. Logo, a minha conclusão NÃO poderá ser falsa, tornando meu argumento válido. Vamos fazer na prática:

Mais exemplos desse??? Vocês verão que o que muda é a ‘perfumaria’, isto é, o conceito é o mesmo, o que muda é como a questão está escrita. Exemplo72: (Adaptada) A fim de convencer um cliente a contratar os serviços de cartão prépago, o gerente de uma instituição financeira argumentou com as seguintes proposições: P1: Se uma pessoa não possui conta-corrente nem cartão pré-pago, então ela efetua seus pagamentos em dinheiro. P2: Se uma pessoa efetua seus pagamentos em dinheiro, então ela carrega muito dinheiro no bolso. P3: Se uma pessoa carrega muito dinheiro no bolso, então ela corre o risco de ser assaltada. Com base na situação apresentada acima, julgue o item subsequente.

O argumento composto pelas premissas P1, P2 e P3 e pela conclusão “Se uma pessoa possui conta-corrente ou cartão pré-pago, então ela não corre o risco de ser assaltada” é um argumento válido. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo73: (Adaptada) O exercício da atividade policial exige preparo técnico adequado ao enfrentamento de situações de conflito e, ainda, conhecimento das leis vigentes, incluindo interpretação e forma de aplicação dessas leis nos casos concretos. Sabendo disso, considere como verdadeiras as proposições seguintes. P1: Se se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões, então o policial toma decisões ruins. P2: Se não tem informações precisas ao tomar decisões, então o policial toma decisões ruins. 72

Gabarito:F

73

Gabarito:V

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P3: Se está em situação de estresse e não teve treinamento adequado, o policial se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões. P4: Se teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos, então o policial tem informações precisas ao tomar decisões. Com base nessas proposições, julgue o item a seguir.

Considerando que P1, P2, P3 e P4 sejam as premissas de um argumento cuja conclusão seja “Se o policial está em situação de estresse e não toma decisões ruins, então teve treinamento adequado”, é correto afirmar que esse argumento é válido. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo74: Ao comentar a respeito da qualidade dos serviços prestados por uma empresa, um cliente fez as seguintes afirmações: P1: Se for bom e rápido, não será barato. P2: Se for bom e barato, não será rápido. P3: Se for rápido e barato, não será bom. Com base nessas informações, julgue os item seguinte.

Um argumento que tenha P1 e P2 como premissas e P3 como conclusão será um argumento válido. (Verdadeiro) (Falso)

74

37

Gabarito: V


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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Exemplo75: A negação da afirmação Todas as famílias da rua B são preferenciais é Nenhuma família da rua B é preferencial.

(Verdadeiro) (Falso) Se A for a proposição “Todos os policiais são honestos”, então a proposição ¬A estará enunciada corretamente por “Nenhum policial é honesto”. (Verdadeiro) (Falso) A negação da proposição “Todo ator sabe cantar e dançar” é equivalente a “Existe ator que não sabe cantar ou que não sabe dançar”. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo76: Nos diagramas acima, estão representados dois conjuntos de pessoas que possuem o diploma do curso superior de direito, dois conjuntos de juízes e dois elementos desses conjuntos: Mara e Jonas. Julgue os itens subseqüentes tendo como referência esses diagramas e o texto.

A proposição “Mara é formada em direito e é juíza” é verdadeira. (Verdadeiro) (Falso) A proposição “Se Jonas não é um juiz, então Mara e Jonas são formados em direito” é falsa. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo77: Considere o diagrama abaixo.

Esse diagrama é uma prova de que o argumento a seguir é válido, ou seja, as proposições I e II são premissas e a proposição III é uma conclusão, pois é verdadeira por consequência das premissas.

I Nenhum analista administrativo é dançarino. II Todos os dançarinos são ágeis. III Logo, nenhum analista administrativo é ágil. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo78: A sequência de proposições a seguir constitui uma dedução correta. 75

Gabarito: F – F – V

76

Gabarito: F – F

77

Gabarito: F

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Se Carlos não estudou, então ele fracassou na prova de Física. Se Carlos jogou futebol, então ele não estudou. Carlos não fracassou na prova de Física. Carlos não jogou futebol.

(Verdadeiro) (Falso) Exemplo79: Considere que cada uma das proposições seguintes tenha valor lógico V. I Tânia estava no escritório ou Jorge foi ao centro da cidade. II Manuel declarou o imposto de renda na data correta e Carla não pagou o condomínio. III Jorge não foi ao centro da cidade. A partir dessas proposições, é correto afirmar que a proposição:

“Carla pagou o condomínio” tem valor lógico F. (Verdadeiro) (Falso) “Manuel declarou o imposto de renda na data correta e Jorge foi ao centro da cidade” tem valor lógico V. (Verdadeiro) (Falso) “Tânia não estava no escritório” tem, obrigatoriamente, valor lógico V. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo80: Ao investigar um assalto, a polícia levantou três proposições acerca das características dos possíveis responsáveis pelo delito: os envolvidos conheciam a vítima (p), os envolvidos já tinham passagem pela polícia (q) e os envolvidos tinham conhecimento de que a vítima transportava valores no dia do crime (r). A partir dessas proposições e avançando nas investigações, a polícia chegou a quatro suspeitos e aos seguintes argumentos (o símbolo lógico ¬ indica negação): I se p ou ¬ q ou r, então o suspeito 1 participou do crime; II se p ou ¬ r, então o suspeito 2 participou do crime; III se q ou r, então o suspeito 3 não participou do crime; IV o suspeito 4 participou do crime se, e somente se, p e ¬ q. Ao final da investigação, a polícia verificou a veracidade ou não das hipóteses p, q e r e, seguindo os argumentos I, II, III e IV, todos válidos, conseguiu identificar o(s) suspeito(s) participante(s) do crime. Se o suspeito 1 não participou do crime, então: (A) apenas o suspeito 2 participou do crime. (B) apenas o suspeito 3 participou do crime. (C) os suspeitos 2 e 3 participaram do crime. (D) os suspeitos 2 e 4 participaram do crime. (E) os suspeitos 2, 3 e 4 participaram do crime. 78

Gabarito: V

79

Gabarito:V – F – F

80

Gabarito: letra A

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Exemplo81: Suponha que a proposição “Se Josué foi aprovado no concurso e mudou de cidade, então Josué mudou de emprego” seja uma premissa de um argumento. Se a proposição “Josué não mudou de emprego” for outra premissa desse argumento, uma conclusão que garante sua validade é expressa pela proposição:

(A) Josué foi aprovado no concurso e não mudou de cidade. (B) Josué não foi aprovado no concurso e mudou de cidade. (C) Josué não foi aprovado no concurso ou não mudou de cidade. (D) Se Josué não mudou de emprego, então Josué não mudou de cidade. (E) Se Josué não mudou de emprego, então Josué não foi aprovado no concurso. Exemplo82: (Adaptada) Verificando a regularidade da aquisição de dispositivos sensores de presença e movimento para instalação em uma repartição pública, os fiscais constataram que os proprietários das empresas participantes da licitação eram parentes. Diante dessa constatação, o gestor argumentou da seguinte maneira: P: As empresas participantes do certame foram convidadas formalmente ou tomaram conhecimento da licitação pela imprensa oficial. Q: Os proprietários das empresas convidadas formalmente não eram parentes. R: Se os proprietários das empresas convidadas formalmente não eram parentes e os proprietários das empresas participantes da licitação eram parentes, então as empresas participantes não foram convidadas formalmente. Conclusão: As empresas participantes tomaram conhecimento da licitação pela imprensa oficial. A partir das informações acima apresentadas, julgue o item a seguir.

Incluindo entre as premissas a constatação da equipe de fiscalização, o argumento do gestor será um argumento válido. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo83: (Adaptada) Ser síndico não é fácil. Além das cobranças de uns e da inadimplência de outros, ele está sujeito a passar por desonesto. A esse respeito, um ex-síndico formulou as seguintes proposições: — Se o síndico troca de carro ou reforma seu apartamento, dizem que ele usou dinheiro do condomínio em benefício próprio. (P1) — Se dizem que o síndico usou dinheiro do condomínio em benefício próprio, ele fica com fama de desonesto. (P2) — Logo, se você quiser manter sua fama de honesto, não queira ser síndico. (P3) Com referência às proposições P1, P2 e P3 acima, julgue o item a seguir. Considerando que P1 e P2 sejam as premissas de um argumento de que P3 seja a conclusão, é correto afirmar que, do ponto de vista lógico, o texto acima constitui um argumento válido. (Verdadeiro) (Falso) 81

Gabarito: letra C

82

Gabarito: F

83

Gabarito:F

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Exemplo84: O cenário político de uma pequena cidade tem sido movimentado por denúncias a respeito da existência de um esquema de compra de votos dos vereadores. A dúvida quanto a esse esquema persiste em três pontos, correspondentes às proposições P, Q e R, abaixo: P: O vereador Vitor não participou do esquema; Q: O prefeito Pérsio sabia do esquema; R: O chefe de gabinete do prefeito foi o mentor do esquema. Os trabalhos de investigação de uma CPI da câmara municipal conduziram às premissas P1, P2 e P3 seguintes: P1: Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o prefeito Pérsio não sabia do esquema. P2: Ou o chefe de gabinete foi o mentor do esquema, ou o prefeito Pérsio sabia do esquema, mas não ambos. P3: Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o chefe de gabinete não foi o mentor do esquema. Considerando essa situação hipotética, julgue o item seguinte, acerca de proposições lógicas.

Das premissas P1, P2 e P3, é correto afirmar que “O chefe de gabinete foi o mentor do esquema ou o vereador Vitor participou do esquema”. (Verdadeiro) (Falso)

84

41

Gabarito: V


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MÓDULO III – PRINCÍPIOS DE CONTAGEM E PROBABILIDADE Começaremos agora a parte do conteúdo envolvendo matemática. São dois temas diferentes: Contagem e Probabilidade.

ANÁLISE COMBINATÓRIA

A Análise Combinatória é a parte da Matemática que estuda o número de maneiras que um acontecimento pode ocorrer, sem que haja a necessidade de desenvolvermos todas as possibilidades. Ex: quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1 a 5? De quantas maneiras podemos formar uma comissão de 3 pessoas tendo 15 estudantes? Logo, a Análise Combinatória trata de problemas de contagem e podem ter as seguintes situações: Arranjo ! devemos organizar os elementos de um conjunto diferenciando-se entre si pela ordem Combinação ! não há diferença entre os elementos se a ordem for alterada. Permutação ! os elementos serão encontrados apenas trocando-os de lugares, de posição.

Para facilitar nosso entendimento sobre esse assunto, vamos imaginar que precisaremos decidir quem ganhou uma partida. Como foi empate, jogaremos uma moeda. Aí, pergunto: de quantas maneiras a moeda poderá cair? Ora, LÓGICO: cara ou coroa (2 possibilidades). Assim, fica simples. Porém, se imaginarmos jogar 3 vezes a mesma moeda, quantos resultados poderemos encontrar? Para isso, iremos conhecer a árvore de possibilidades ou diagrama de árvore:

Assim, conseguiremos descobrir quantas e quais são as possibilidades no lançamento de quatro moedas. A ideia da AC é descobrirmos quantas possibilidades poderão ocorrer em um determinado evento, sem utilizarmos a árvore. A nossa árvore é baseada em um princípio: Princípio Fundamental da Contagem . Consiste em dividirmos o nosso evento em etapas e descobrirmos qual o número de resultados possíveis. Um acontecimento pode ocorrer em várias etapas sucessivas e independentes de tal modo que: P1 é o número de possibilidades da 1ª etapa; P2 é o número de possibilidades da 2ª etapa; . Pk é o número de possibilidades da “k-ésima” etapa, então: (P1 x P2 x ... x Pk) é o número total de possibilidades do acontecimento ocorrer. 42


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Exemplo85: Supondo que André, Bruna, Cláudio, Leila e Roberto sejam, não necessariamente nesta ordem, os cinco primeiros classificados em um concurso, julgue os itens seguintes.

Existem 120 possibilidades distintas para essa classificação. (Verdadeiro) (Falso) Com André em primeiro lugar, existem 20 possibilidades distintas para a classificação. (Verdadeiro) (Falso) O número de possibilidades distintas para a classificação com um homem em último lugar é 144. (Verdadeiro) (Falso) Alguns editais trazem em seu Conteúdo Programático o seguinte tópico: contagem: princípio aditivo e multiplicativo. E o que quer dizer isso? No PRINCÍPIO ADITIVO, temos subconjuntos do evento completo independentes entre si, ou seja, não tem elementos em comum. Assim, para encontrar o total de possibilidades, devemos SOMAR os subconjuntos; O PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO é exatamente a conceito inicial do PFC, ou seja, temos 'etapas' do evento, sendo que cada uma delas é calculada separadamente. Ao final, para termos o total de possibilidades, devemos MULTIPLICAR o valor encontrado em cada uma das 'etapas'. Exemplo86: Considere que, em um edifício residencial, haja uma caixa de correspondência para cada um de seus 79 apartamentos e em cada uma delas tenha sido instalada uma fechadura eletrônica com código de 2 dígitos distintos, formados com algarismos de 0 a 9. Então, de todos os códigos assim formados, 11 deles não precisaram ser utilizados.

(Verdadeiro) (Falso) Exemplo87: Para ir de sua residência ao local de trabalho e voltar para casa, João passa por um terminal de passageiros. Os meios de transporte entre sua casa e o terminal são: metrô, ônibus e lotação. Entre o terminal e o local de trabalho, João pode se deslocar utilizando metrô, ônibus, lotação ou moto. Nessas condições, julgue os itens seguintes. A quantidade de maneiras distintas disponíveis para João realizar o trajeto de casa ao local de trabalho é igual a 7. (Verdadeiro) (Falso) Se algum dia João decidir não usar a lotação, tampouco utilizar, para o retorno, o mesmo tipo de transporte usado entre os trechos de ida, então ele terá 12 maneiras diferentes para organizar todos os trajetos de ida e volta. (Verdadeiro) (Falso) Já conhecemos o princípio da contagem. Agora, iremos conhecer os dois primeiros tipos de análise combinatória: Arranjo e Combinação (vamos deixar a permutação para daqui a pouco).

ARRANJO X COMBINAÇÃO Esses tipos de AC se confundem muito nas questões de RL. Sempre há a pergunta: qual dos dois 85

Gabarito: V – F – F

86

Gabarito: V

87

Gabarito: F – V

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devo usar? Veremos, através de exemplos, como escolheremos a correta. Próximo passo: resolver utilizando o método escolhido! Exemplo: Quantas maneiras podem ser encontradas com as vogais A, E, I, O e U para formar as letras para placas em um carro, escolhendo letras distintas? Tipo: _______________________________ Exemplo: Utilizando apenas cebola, tomate, cenoura, alface e pepino, de quantas formas poderemos fazer uma salada, utilizando apenas 3 ingredientes? Tipo: _______________________________

A ideia principal que devemos ter em mente para diferenciar ARRANJO de COMBINAÇÃO é:

A ORDEM IMPORTA??? Se NOVO RESULTADO, ______________________! Se MESMO RESULTADO, _____________________! Ou seja, se eu escolher um resultado qualquer e mudar a ORDEM desse resultado, terei um NOVO resultado ou será o MESMO? Agora que já decidimos qual tipo iremos usar, está na hora de resolver as questões. Para isso, teremos que usar uma fórmula para cada tipo. Arranjo

44


Combinação

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n é o número de elementos do conjunto todo e p é o número de elementos do grupo que queremos formar.

FATORIAL Aqui, vale apenas uma recordação! O fatorial de um número n é sempre o produto de todos os seus antecessores, incluindo si próprio e excluindo o zero. A representação é feita pelo número fatorial seguido do sinal de exclamação. Se quisermos encontrar o fatorial de 7, temos que:

7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 840 Pronto! Fechamos agora com chave de ouro o que precisamos saber sobre Arranjo e Combinação. Cabe agora a vocês resolverem questões, começando pelos dois exemplos: Exemplo

Exemplo

Exemplo88: Considere que a secretaria de saneamento de um estado tenha destinado recursos para melhorar a qualidade da água de 20 municípios: 11 deles com menos de 10 mil habitantes e os outros 9, com mais de 10 mil habitantes. Para o início das obras, a secretaria escolherá 4 dos municípios com menos de 10 mil habitantes e 2 dos municípios com mais de 10 mil habitantes. Nesse caso, a quantidade de possibilidades diferentes de escolha da secretaria será inferior a 10 mil.

(Verdadeiro) (Falso) Exemplo89: De um grupo de 5 homens e 3 mulheres será formada uma comissão de 5 pessoas e, nessa comissão, deverá haver pelo menos uma mulher. Nessa situação, há 55 maneiras distintas de se formar essa comissão. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo90: No concurso de loterias denominado miniquina, o apostador pode marcar 5, 6 ou 7 dezenas em uma cartela que possui as dezenas de 01 a 15. Nesse concurso, o prêmio principal é dado ao apostador que marcar em sua cartela as cinco dezenas sorteadas aleatoriamente em uma urna. Com relação ao concurso hipotético acima apresentado, julgue o item subsequente. 88

Gabarito: F

89

Gabarito: V

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Gabarito: V

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Considere que o cálculo do valor a ser pago pela aposta seja feito mediante a multiplicação do valor de uma aposta de 5 dezenas, que é fixo, pela quantidade de jogos de cinco dezenas que é possível fazer com as dezenas que o apostador marcar em sua cartela. Considere, ainda, que um jogo de 5 dezenas custe R$ 3,00. Em face dessa situação, é correto afirmar que o apostador deverá pagar, caso marque 7 dezenas em sua cartela, mais de R$ 60,00. (Verdadeiro) (Falso)

PERMUTAÇÃO Sabe por que deixei Permutação para depois? Porque Permutação é tão-somente um caso particular do Arranjo! Quando estivermos em uma questão de Arranjo e observarmos que o n é igual ao p, então estaremos diante de uma questão de Permutação. E como calculá-lo? A fórmula da Permutação é a mais simples de todas:

Outra forma de encontrarmos questões de Permutação é quando aparecer a palavra ANAGRAMA. Anagrama é qualquer ordenação formada com as letras de uma palavra, tendo ou não significado. O conceito é o mesmo: Falou em ANAGRAMA, falou em PERMUTAÇÃO, ok? Vejamos um exemplo: Exemplo91: Supondo que André, Bruna, Cláudio, Leila e Roberto sejam, não necessariamente nesta ordem, os cinco primeiros classificados em um concurso, julgue os itens seguintes.

Existem 120 possibilidades distintas para essa classificação. (Verdadeiro) (Falso) Com Bruna, Leila e Roberto classificados em posições consecutivas, existem 36 possibilidades distintas para classificação. (Verdadeiro)

(Falso)

Já tínhamos resolvido essa questão, não é mesmo? Pois é, podemos resolver também por Permutação. Se temos 5 pessoas para 5 lugares na classificação, então P5 = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120. No 2º item, precisamos conhecer a ‘Técnica da Liga’!

TÉCNICA DA ‘LIGA’ A Técnica da ‘Liga’ é uma forma de resolver tipos de questões bem específicas relacionadas a permutação. Essas questões trazem, normalmente, a mesma situação: a necessidade de JUNTAR um determinado grupo. Coloquei abaixo algumas situações para formarmos o conceito da técnica. Depois, veremos algumas questões de prova, ok? Guardem a palavra HECTOR (meu filho). Com base nela, vamos ver: SITUAÇÃO 1) Quantos anagramas poderemos formar? 91

46

Gabarito: V – V


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SITUAÇÃO 2) Quantos anagramas poderemos ter se as vogais ficarem juntas? Passo 1: LIGA Passo 2: Olho ‘pra fora’ Passo 3: olho ‘pra dentro’

SITUAÇÃO 3) Quantos anagramas poderemos ter se as vogais ficarem juntas e as consoantes ficarem juntas?

Agora, ficou fácil resolvermos a questão! Vamos ver?

Exemplo92: Com as letras que formam o nome da capital RIO BRANCO, pode-se formar diversos anagramas — anagrama é qualquer palavra, com significado ou não, que pode ser formada a partir das letras fornecidas. Com base nessas informações, julgue os seguintes itens.

A quantidade de anagramas que é possível formar com as letras de RIO BRANCO é superior a 360.000. (Verdadeiro) (Falso) A quantidade de anagramas que é possível formar com as letras de RIO BRANCO de modo que as letras R, I, e O fiquem juntas e nesta ordem é inferior a 5.000. 92

47

Gabarito: V – F


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(Verdadeiro)

(Falso)

PROBABILIDADE

O Estudo desta parte do módulo é apenas entender que, quando falamos de probabilidade , falamos de divisão . Divisão entre os resultados que nos interessam e os resultados possíveis. Assim:

Exemplo93: Cartões numerados seqüencialmente de 1 a 10 são colocados em uma urna, completamente misturados. Três cartões são retirados ao acaso, um de cada vez, e uma vez retirado o cartão não é devolvido à urna. Com base nessas informações, se o primeiro cartão for o número 7 e o segundo for o número 10, então a probabilidade de o terceiro cartão ser um número menor do que 5 é igual a 1/2.

(Verdadeiro) (Falso) Na questão acima, precisamos saber: Qual é o evento em análise? _______________________________________________ Quantos serão os resultados possíveis? ________________________________________ Quantos serão os resultados que satisfazem a EXIGÊNCIA do evento? ________________________ Respondendo essas perguntas, conseguimos responder a questão.

Bem, como falamos em evento, precisamos conhecer 2 conceitos bem simples usados na Probabilidade. 1) Evento certo: é um evento com 100% de certeza de acontecer. Ex: probabilidade de obtermos um valor menor que 7 no lançamento de um dado. 2) Evento impossível: é um evento que nunca acontecerá Ex: probabilidade de o Genus ser campeão brasileiro da Série A. Exemplo94: Um juiz deve analisar 12 processos de reclamações trabalhistas, sendo 4 de médicos, 5 de professores e 3 de bancários. Considere que, inicialmente, o juiz selecione aleatoriamente um grupo de 3 processos para serem analisados. Com base nessas informações, a probabilidade de que, nesse grupo, todos os processos sejam de bancários é inferior a 0,005.

(Verdadeiro)

(Falso)

Probabilidade de A “E” B => P (A e B) => Regra do “E” 93

Gabarito: V

94

Gabarito: V

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Sabendo que A e B são dois eventos, podemos dizer que a probabilidade de ocorrer um evento A E ocorrer um evento B é dada pelo PRODUTO da probabilidade de A pela probabilidade de B. Fica assim:

P (A e B) = P (A

B) = P (A) . P (B)

É exatamente por esta regra que devemos resolver a questão acima;

Agora, veremos mais 2 conceitos: 3) Situações excludentes: uma exclui a outra e juntas somam 1 (ou 100%). Ex.: jogar uma moeda ! a probabilidade de dar cara e dar coroa são excludentes, já que uma exclui a outra e juntas somam 100% 4) Situações independentes: um não influi no outro, e, se quisermos encontrar a probabilidade de ambas ocorrerem, só precisamos multiplica-las. Exemplo95: Maria tem dez anos de idade e já se decidiu: quer ser ou advogada ou bióloga ou veterinária, quer estudar ou na UFMG ou na USP ou na UFRJ, e, depois de formada, quer trabalhar ou em Brasília ou em Florianópolis ou em Porto Alegre. Com base nessa situação hipotética e considerando que os eventos sejam independentes e tenham a mesma probabilidade, a probabilidade de Maria vir a ser advogada, formar-se na USP e trabalhar em Brasília será

(A) superior a 0 e inferior a 0,003. (C) superior a 0,006 e inferior a 0,01. (E) superior a 0,04 e inferior a 0,08.

(B) superior a 0,003 e inferior a 0,006. (D) superior a 0,01 e inferior a 0,04.

Cabe aqui uma observação: vocês irão encontrar questões com mais de um assunto exigido. Um dos mais comuns é envolver probabilidade e conjuntos. Vamos ver! Exemplo96: Considerando que Ana e Carlos candidataram-se a empregos em uma empresa e sabendo que a probabilidade de Ana ser contratada é igual a 2/3 e que a probabilidade de ambos serem contratados é 1/6, julgue os itens subseqüentes.

A probabilidade de Ana ser contratada e de Carlos não ser contratado é igual a 1/2. (Verdadeiro) (Falso) Se um dos dois for contratado, a probabilidade de que seja Carlos será igual a 1/2. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo97: Uma pesquisa a respeito da viabilidade de utilização dos sistemas de processamento de dados A e B, com 10 analistas, produziu o seguinte resultado: 2 especialistas foram 95

Gabarito: letra D

96

Gabarito: V – V

97

Gabarito: V – V – F

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favoráveis à utilização dos 2 sistemas; 5, favoráveis à utilização do sistema B; 9, favoráveis à utilização do sistema A ou do sistema B; e o restante foi favorável à não utilização dos 2 sistemas. Sabendo que a decisão acerca da utilização ou não desses sistemas baseia-se unicamente nas opiniões desses analistas, julgue os próximos itens.

A probabilidade de o sistema A ser utilizado é superior a 0,5. (Verdadeiro) (Falso) A probabilidade de que nenhum dos sistemas seja utilizado é igual a 0,1. (Verdadeiro) (Falso) A probabilidade de que apenas o sistema B seja utilizado é inferior a 0,2. (Verdadeiro) (Falso) Probabilidade de A “OU” B => P (A ou B) => Regra do “OU” Sabendo que A e B são dois eventos, podemos dizer que a probabilidade de ocorrer um evento A OU ocorrer um evento B é dada pela SOMA da probabilidade de A com probabilidade de B, DIMINUINDO da probabilidade de ambas ocorrerem juntas. Fica assim:

P (A ou B) = P (A U B) = P (A) + P (B) – P(A

B)

Exemplo98: Se, em um concurso público com o total de 145 vagas, 4.140 inscritos concorrerem a 46 vagas para o cargo de técnico e 7.920 inscritos concorrerem para o cargo de analista, com provas para esses cargos em horários distintos, de forma que um indivíduo possa se inscrever para os dois cargos, então a probabilidade de que um candidato inscrito para os dois cargos obtenha uma vaga de técnico ou de analista será inferior a 0,025.

(Verdadeiro)

(Falso)

Probabilidade Condicional Tipo bem específico de probabilidade que CONDICIONA um evento A acontecer já tendo acontecido um evento B, ou seja, a questão pedirá a probabilidade de um determinado evento B sabendo que JÁ ACONTECEU um outro evento A, ok? Digamos que, em uma urna, tenhamos 20 bolas: 12 vermelhas, numeradas de 1 a 12; e 8 pretas, numeradas de 1 a 8. Apenas um detalhe: essa 2 cores juntas são muito bonitas, não??? :o) Voltando ao exemplo, digamos que já tirei uma bola vermelha, então quero saber a probabilidade de a bola ter o número 4. Isso é Probabilidade Condicional, ok?

98

50

Gabarito: V


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P (A cond B) = P(A B) P(B) No exemplo dado, o evento A é tirar uma bola com número 4 e o evento B é tirar uma bola vermelha. Assim:

Exemplo99: A probabilidade de se obter um número menor que 5 no lançamento de um dado, sabendo que o dado não é defeituoso e que o resultado é um número ímpar, é igual a 2/3.

(Verdadeiro)

(Falso)

Probabilidade Binomial Outro exemplo de probabilidade muita tranquila de identificar! Vejamos um caso: Digamos que eu jogue 5 vezes uma moeda ‘não viciada’ e queira saber a probabilidade de 3 serem caras, ok? Nós concluimos que: 1. são SEMPRE 2 eventos mutuamente excludentes; 2. a questão pede uma quantidade ‘x’de acontecer um determinado evento. Esse 2 itens definem bem como saber da Probabilidade Binomial. Temos a fórmula:

O Cespe nunca utilizou tal conceito, porém não custa nada ficarmos de olho, não???

99

51

Gabarito: V


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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Exemplo100: Os 8 assistentes administrativos de uma instituição serão designados para realizar as seguintes tarefas: organizar os 4 armários da instituição, que são numerados de 1 a 4; redigir diversos documentos; e inventariar os bens materiais da instituição. A partir dessa situação, julgue o item a seguir.

O número de maneiras distintas de se escolherem 4 assistentes para organizar os armários, sendo um para cada armário, é igual a 1.680. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo101: Um medidor de consumo de água, ou hidrômetro, de determinado fabricante possui 6 marcadores numéricos que representam as unidades, as dezenas, as centenas, as unidades de milhar, as dezenas de milhar e as centenas de milhar. Devido às condições tecnológicas, cada marcador pode apresentar dois tipos de defeito de fabricação: ficar travado em determinado marcador, impedindo a movimentação dos marcadores relativos às ordens superiores à do marcador defeituoso; ou saltar determinados dígitos. De acordo com as informações apresentadas nessa situação hipotética, julgue os próximos itens. Se o marcador das unidades de milhar de um dos medidores travar, então esse medidor poderá exibir um total de 1.001 leituras distintas. (Verdadeiro) (Falso) Se um dos medidores tiver seu marcador das dezenas de milhar travado ou saltar os dígitos ímpares no marcador das unidades e os números 2, 7 e 8 no marcador das centenas, então haverá 356.500 leituras distintas que poderão ser exibidas por esse medidor. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo102: Considerando uma corrida de Formula 1 com a participação de 22 carros e 22 pilotos igualmente competitivos, julgue o item a seguir. Se sete carros quebrarem durante a corrida e seus pilotos forem obrigados a abandoná -la antes da bandeirada final, entã o a quantidade de maneiras diferentes de se formar a dupla dos primeiros classificados será inferior a 200. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo103: Considere a seguinte situação hipotética. O número de comissões constituídas por 4 pessoas que é possível obter de um grupo de 5 pilotos e 6 co-pilotos, incluindo, pelo menos, 2 pilotos, é superior a 210. (Verdadeiro) (Falso) Em um voo em que haja 8 lugares disponíveis e 12 pessoas que desejem embarcar, o número de maneiras distintas de ocupação dos assentos para o voo sair lotado será superior a 500. (Verdadeiro) (Falso)

100

Gabarito: V

101

Gabarito: F - V

102

Gabarito: F

103

Gabarito: V - F

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Exemplo104: Dez policiais federais — dois delegados, dois peritos, dois escrivães e quatro agentes — foram designados para cumprir mandado de busca e apreensão em duas localidades próximas à superintendência regional. O grupo será dividido em duas equipes. Para tanto, exige-se que cada uma seja composta, necessariamente, por um delegado, um perito, um escrivão e dois agentes. Considerando essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem.

Se todos os policiais em questão estiverem habilitados a dirigir, então, formadas as equipes, a quantidade de maneiras distintas de se organizar uma equipe dentro de um veículo com cinco lugares — motorista e mais quatro passageiros — será superior a 100. (Verdadeiro) (Falso) Há mais de 50 maneiras diferentes de compor as referidas equipes. (Verdadeiro) (Falso) Se cinco dos citados policiais forem escolhidos, aleatoriamente e independentemente dos cargos, então a probabilidade de que esses escolhidos constituam uma equipe com a exigência inicial será superior a 20%. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo105: Uma unidade policial, com 12 agentes, vai preparar equipes de educação para o trânsito para, no período carnavalesco, conscientizar motoristas de que atitudes imprudentes como desrespeito à sinalização, excesso de velocidade, ultrapassagens indevidas e a condução de veículo por indivíduo alcoolizado têm um potencial ofensivo tão perigoso quanto o de uma arma de fogo. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes. Existem 12!/(3!)4 maneiras de se montar quatro equipes, cada uma delas com 3 agentes. (Verdadeiro) (Falso) Se cada equipe for formada por 3 agentes, então, a partir dos 12 agentes da unidade, a quantidade de maneiras diferentes de se formar essas equipes será superior a 200. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo106: Sabendo que um anagrama é qualquer ordenação formada com as letras de uma palavra, tendo ou não significado, então, com a palavra CORREGEDOR será possível formar 151.200 anagramas distintos. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo107: Considerando que o anagrama da palavra ALARME seja uma permutação de letras dessa palavra, tendo ou não significado na linguagem comum, a quantidade de anagramas distintos dessa palavra que começam por vogal é 360. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo108: Considerando que: um anagrama de uma palavra é uma permutação das letras dessa palavra, tendo ou não significado na linguagem comum, " seja a quantidade de ana104

Gabarito: V – F – F

105

Gabarito: V – V

106

Gabarito: V

107

Gabarito: F

108

Gabarito: V

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gramas possíveis de se formar com a palavra AEROPORTO, # seja a quantidade de anagramas começando por consoante e terminando por vogal possíveis de se formar com a palavra TURBINA; e sabendo que 9! = 362.880 e 5! = 120, então " = 21 #.

(Verdadeiro) (Falso) Exemplo109: Acerca dos princípios e das técnicas de contagem, julgue os itens subsequentes. Considere que uma unidade do DETRAN disponha de 10 servidores para atendimento ao público, dos quais exatamente 7 devem estar disponíveis, disponíveis, de fato, por dia e os outros três devem permanecer de prontidão para eventualidades. Nessas condições, o número de dias em que podem ser escalados grupos diferentes de servidores para o atendimento atendimento será inferior a 100. (Verdadeiro) (Falso) Considerando-se Considerando-se que, no estado do Espírito Santo, as placas dos automóveis variem de MOX 0001 a MTZ 9999, é correto concluir que o número total de automóveis que podem ser licenciados nesse estado é igual a 162.000. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo110: As entrevistas e as análises dos currículos dos candidatos Carlos e Sérgio, realizadas pelo setor de recursos humanos de uma empresa, revelaram que a probabilidade de Sérgio ser contratado é igual a 1/2; que a probabilidade de apenas Carlos ser contratado é igual a 1/4; que a probabilidade de Carlos não ser contratado é igual a 7/12. Nessa situação hipotética, a probabilidade de

os dois candidatos serem contratados é igual a 1/6. (Verdadeiro) (Falso) nenhum dos dois candidatos ser contratado é igual a 1/3. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo111: No concurso de loterias denominado miniquina, o apostador pode marcar 5, 6 ou 7 dezenas em uma cartela que possui as dezenas de 01 a 15. Nesse concurso, o prêmio principal é dado ao apostador que marcar em sua cartela as cinco dezenas sorteadas aleatoriamente em uma urna. Com relação ao concurso hipotético acima apresentado, julgue os itens subsequentes.

Caso um apostador marque 5 dezenas em sua cartela, a chance de ele acertar exatamente uma dezena entre as 5 sorteadas será superior a 30%. (Verdadeiro) (Falso) Se um apostador marcar apenas 5 dezenas em sua cartela, a probabilidade de ele ganhar o prêmio principal com essa cartela será superior a 1/3.000. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo112: Considerando que, dos 10 postos de combustíveis de determinada cidade, exatamente dois deles cometam a infração de vender gasolina adulterada, e que sejam escolhidos ao acaso alguns desses postos para serem fiscalizados, julgue os itens seguintes. 109

Gabarito: F – F

110

Gabarito: V – F

111

Gabarito: V – F

112

Gabarito: F – V – F – V

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Cinco é a menor quantidade de postos que devem ser escolhidos para serem fiscalizados de modo que, com certeza, um deles seja infrator. (Verdadeiro) (Falso) Há mais de 15 maneiras distintas de se escolher dois postos, de modo que exatamente um deles seja infrator. (Verdadeiro) (Falso) Se dois postos forem escolhidos aleatoriamente, a probabilidade de esses dois postos serem os infratores será inferior a 2%. (Verdadeiro) (Falso) Há menos de 30 maneiras diferentes diferentes de se escolher quatro postos, de modo que dois deles sejam os infratores. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo113: Em uma blitz, de 150 veículos parados, 60 foram flagrados com extintor de incêndio com data de validade vencida. Além disso, em 45 veículos, o motorista estava sem o documento de habilitação para dirigir. O total de veículos em pelo menos uma dessas duas situações foi de 90. Acerca dessa situação, julgue os itens seguintes. Selecionando-se aleatoriamente um dos veículos parados na blitz, a probabilidade de ser escolhido um em que o motorista estivesse sem documento de habilitação para dirigir seria inferior a 25%. (Verdadeiro) (Falso) O número de veículos que não apresentaram as irregularidades irregularidades mencionadas foi superior a 50. (Verdadeiro) (Falso) O número de veículos flagrados simultaneamente nas duas situações foi inferior a 20. (Verdadeiro) (Falso)

113

55

Gabarito: F – V – V


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MÓDULO IV – OUTROS ASSUNTOS O último Módulo trará os assuntos finais do nosso conteúdo programático: Operações com Con juntos e Raciocínio lógico envolvendo envolve ndo problemas problema s aritméticos, aritmét icos, geométricos geométr icos e matriciais. matricia is. Além disso, falaremos de questões que tem aparecido com uma certa freqüência nas provas do Cespe, porém não constam expressam e xpressamente ente no conteúdo co nteúdo programát pro gramático. ico.

OPERAÇÕES COM CONJUNTOS

De forma bem simples, para iniciarmos nossos estudos sobre conjuntos, falaremos de alguns conceitos: Conjunto : representa uma coleção de objetos. O conjunto de todos os cearenses. " O conjunto de todos os números naturais. Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z. "

Elemento : é um dos componentes de um conjunto.

Paulo Henrique é um elemento do conjunto dos cearenses. " 1 é um elemento do conjunto dos números naturais. Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c, ..., z. "

Relações de pertinência : é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto. (pertence), (não pertence) "

2 ' {0, 1, 2, 5}

"

4 ( {0, 1, 2, 5}

Relações de inclusão : relacionam um conjunto com outro conjunto. ) (está "

{2, 7} + {0, 1, 2, 5}

"

{0, 1, 2, 5} * {2, 5}

contido), * (contém),

+ (não está

contido)

Subconjunto : diz-se que A é subconjunto de B se todo elemento de A é também elemento de B. " "

56

{2} é subconjunto de {0, 1, 2, 5} {0, 1, 2} é subconjunto de {0, 1, 2, 5}


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Conjunto das partes de um conjunto: chama-se conjunto das partes de um conjunto A, denotado por P(A), o conjunto cujos elementos são todos partes de A, isto é: P(A)={x | x ) A}. O número de subconjuntos de um conjunto A é dado por 2n, em que n é o número de elementos de A.

Importante! O símbolo de qualquer conjunto.

Ø representa

o conjunto vazio. Este é sempre subconjunto

Operações com conjuntos: dados os conjuntos A, B e o conjunto-universo S, denomina-se:

Operações União ( , )

A {x | x

Interseção ( & )

B = A ou x

A

Diferença simétrica entre dois conjuntos

A–B= {x | x A e x (A

B}

B =

{x | x A e x

Diferença ( – )

Exemplos {1, 2, 3} {2, 5, 8}

B) – (A

= {1, 2, 3, 5, 8} {1, 2, 3}

B}

{2, 5, 8}

= {2} {1, 2, 3} – {2, 5, 8}

B} B)

= {1, 3} {1, 2, 3} – {2, 5, 8} = {1, 3, 5, 8}

Conjuntos numéricos fundamentais: Entendemos por conjunto numérico, qualquer conjunto cujos elementos são números. Existem infinitos conjuntos numéricos, entre os quais, os chamados conjuntos numéricos fundamentais, a saber:

Números naturais Números inteiros Números racionais

N = {0,1,2,3,4,5,6,... } Z = {..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,... } Q = {x | x = p/q com p ' Z , q ' Z e q ! 0}

Exemplos: 2/3, -3/7, 0,001=1/1000, 0,75=3/4, 0,333... = 1/3 Números irracionais I = {x | x é uma dízima não periódica} Exemplos: " = 3,1415926... , # 3 = 1,73205080... Números reais R = { x | x é racional ou x é irracional}. Número de elementos da união de dois conjuntos: Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A seja n(A) e o número de elementos de B seja n(B). O número de elementos de um conjunto é também conhecido com cardinal do conjunto . Representando o número de elementos da interseção por n(A & B) e o número de elementos da união por n(A , B) , podemos escrever a seguinte fórmula: n(A , B) = n(A) + n(B) - n(A & B)

Pronto! Isso é o bastante! Como já falamos anteriormente, as questões do Cespe trazem a parte de Conjuntos ligada a outros assuntos. Você precisa primeiro desenvolver as OPERAÇÕES COM CONJUNTOS e depois adentrar em um outro assunto, como probabilidade, proposições, etc. Vejamos isso na prática! 57


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Exemplo114: Uma pesquisa a respeito da viabilidade de utilização dos sistemas de processamento de dados A e B, com 10 analistas, produziu o seguinte resultado: 2 especialistas foram favoráveis à utilização dos 2 sistemas; 5, favoráveis à utilização do sistema B; 9, favoráveis à utilização do sistema A ou do sistema B; e o restante foi favorável à não utilização dos 2 sistemas. Sabendo que a decisão acerca da utilização ou não desses sistemas baseia-se unicamente nas opiniões desses analistas, julgue os próximos itens.

A probabilidade de o sistema A ser utilizado é superior a 0,5. (Verdadeiro) (Falso) A probabilidade de que nenhum dos sistemas seja utilizado é igual a 0,1. (Verdadeiro) (Falso) A probabilidade de que apenas o sistema B seja utilizado é inferior a 0,2. (Verdadeiro) (Falso) Dica de Resolução:

Sempre comece pela intersecção!

Exemplo115: O prefeito de certo município encomendou uma pesquisa para avaliar a adesão da população local às campanhas de vacinação. Uma das perguntas feitas aos pais questionava quais doses entre as três doses da vacina tetravalente seus filhos tinham tomado, considerando que cada dose pode ser tomada independentemente da outra. O resultado da pesquisa, que obteve informações advindas de 480 crianças, apontou que: •

120 crianças tomaram as três doses;

•

130 tomaram a primeira e a segunda dose;

•

150 tomaram a segunda e a terceira dose;

•

170 tomaram a primeira e a terceira dose;

•

270 tomaram a primeira dose;

•

220 tomaram a segunda dose;

•

50 não tomaram nenhuma das três doses.

114

Gabarito: V - V - F

115

Gabarito: F

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Outra pergunta dessa mesma enquete era referente à vacina BCG, cuja dose é única. De acordo com os dados acima, julgue os itens que se seguem.

Na situação considerada, mais de 80 crianças tomaram apenas a terceira dose da vacina tetravalente. (Verdadeiro) (Falso) Prestem atenção! Em alguns casos, a banca busca apenas entendimentos lógicos a respeito de conjuntos. Vejamos um exemplo: Exemplo116: Para cada x = 0, 1, 2, 3 ou 4, a partir de um conjunto E de pessoas, Ex corresponde ao conjunto de indivíduos do conjunto E que são clientes de pelo menos x operadoras de telefonia móvel e Nx, à quantidade de elementos de Ex. Considerando essas informações, julgue os itens que se seguem.

Se x e y forem elementos do conjunto {0, 1, 2, 3, 4} e x $ y, então, Ey será um subconjunto de Ex. (Verdadeiro)

(Falso)

RACIOCÍNIO LÓGICO ENVOLVENDO PROBLEMAS ARITMÉTICOS, GEOMÉTRICOS E MATRICIAIS Aqui, o que vai valer é conhecer o estilo da banca. Teoricamente, esses assuntos abordam temas variados, como regra de três e Teorema de Pitágoras. Por causa dessa variedade, fizemos um apanhado dos principais tópicos abordados em provas anteriores da banca e vamos comentá-los, aplicando nossos conhecimentos diretamente no que a questão pede, e aproveitaremos e faremos um resumo teórico, ok? Problemas Aritméticos Exemplo117: Um cliente contratou os serviços de cartão pré-pago de uma financeira e, em seguida, viajou. Esse cliente gastou metade do limite do cartão com hospedagem, 1/3 com combustível e 1/9 com alimentação. Nesse caso,

o cliente gastou todo o limite do cartão contratado com hospedagem, combustível e alimentação. (Verdadeiro) (Falso) se o gasto do cliente com hospedagem utilizando o cartão pré-pago atingiu o montante de R$ 1.500,00, então, nesse cartão, o seu gasto com combustível foi de R$ 1.000,00. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo118: Da herança recebida por uma família, 2/5 foram entregues à mãe, 1/3 ao pai e o restante foi distribuído entre os três filhos. Do que coube aos filhos, o mais velho recebeu 2/5, o do meio recebeu 1/3 e o caçula ficou com o restante. Considerando as informações acima apresentadas, julgue os itens seguintes.

116

Gabarito: V

117

Gabarito: F - V

118

Gabarito: F - V

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Com base na figura abaixo, que representa um círculo divido em 8 partes congruentes, e considerando as proposições P: “Cada parte hachurada no círculo corresponde a uma parte da herança que coube à mãe, ao pai ou aos três filhos.” e Q: “Os filhos receberam a maior parte da herança.”, é correto afirmar que a proposição P Q é falsa. (Verdadeiro) (Falso) Considere as seguintes proposições: P: A mãe recebeu R$ 31.500,00; Q: Os três filhos receberam, juntos, R$ 21.000,00. Nesse caso, é correto afirmar que a proposição P Q é verdadeira. (Verdadeiro) (Falso) "

!

Problemas Geométricos Exemplo119:

A figura acima ilustra uma quadra de basquete correspondente a um retângulo com 28 m de comprimento e 15 m de largura. O círculo central tem diâmetro de 3,6 m, e o ponto O, seu centro, coincide com o centro do retângulo. O ponto A está sobre o círculo central, no ponto de interseção deste com a reta que une o centro da quadra com o vértice B, conforme apresentado na figura. Durante a partida, um jogador marca pontos para sua equipe se, depois de arremessar a bola, acertá-la no cesto que fica no campo adversário. Dependendo da distância do arremesso e da circunstância da partida, um acerto da bola no cesto pode valer 1, 2 ou 3 pontos. Com base nessas informações e tomando 15,88 como valor aproximado de os itens seguintes.

$ 252,25,

julgue

O comprimento do segmento AB é superior a 14,2 m. 119

60

Gabarito: F - V


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(Verdadeiro) (Falso) Se um time acertar a bola no cesto adversário 22 vezes, marcar um total de 42 pontos e o número de acertos de 2 pontos for o triplo do número de acertos de 3 pontos, então o número de acertos de 1 ponto será maior que 5. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo120: Sabe-se que as semiretas R e S são perpendiculares entre si e possuem a mesma origem e que sobre elas são marcados 5 pontos, 3 deles pertencentes à semireta R e 1 desses 3 pontos pertencente também à semireta S. Sabe-se, ainda, que, em cada semireta, a distância entre pontos adjacentes é de 6 cm. Julgue os que se seguem, acerca dos triângulos que têm vértices nesses pontos. A proposição “Entre todos os triângulos formados a partir desses 5 pontos, o de menor perímetro tém área superior a 16 cm 2” é falsa. (Verdadeiro) (Falso) A proposição “Se um triângulo formado a partir desses 5 pontos é isósceles, então esse triângulo tem um ângulo reto” é verdadeira. (Verdadeiro) (Falso) É verdadeira a seguinte proposição: “A quantidade de triângulos distintos que podem ser formados a partir desses 5 pontos é igual a 10”. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo121: Considere que as retas r e s sejam paralelas e que a distância entre elas é de 2 cm; que, na reta r, sejam marcados 4 pontos, de forma que a distância de qualquer um deles ao mais próximo seja de 5 cm; que, na reta s, sejam marcados 5 pontos, de forma que a distância de qualquer um deles ao mais próximo seja de 3 cm. Com base nessas informações e considerando, ainda, as áreas dos triângulos de vértices nos pontos marcados nas retas r e s, é correto afirmar que a menor área é igual a 5 cm 2. (Verdadeiro) (Falso) a maior área é igual a 15 cm2. (Verdadeiro) (Falso) Problemas Matriciais Exemplo122: Com referência às matrizes X e Y mostradas abaixo, em que x e y são números reais adequados, julgue os próximos itens.

120

Gabarito: F - V - F

121

Gabarito: F - V

122

Gabarito: F - V

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Se A for o conjunto dos números reais y para os quais a matriz Y seja inversível e se P for a proposição “y é um número real e y 2 > 6”, então A será o conjunto dos números reais y para os quais a proposição P é verdadeira. (Verdadeiro) (Falso) A proposição “Se x é um número natural e x ! 1, então, para esse valor de x, a matriz X é inversível” é verdadeira. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo123: Com relação à álgebra linear, julgue o item abaixo. Se uma matriz quadrada A = (aij) tem dimensão 3 % 3 e é tal que a ij = 1, se i $ j e aij = i - j, se i > j, então o determinante de A é um número estritamente positivo. (Verdadeiro) (Falso) OUTRAS QUESTÕES DE PROVA

Nas últimas provas do Cespe, tem aparecido 2 tipos de questões que, usualmente, não são cobradas pela banca: Associação Lógica e Verdades e Mentiras. Mas, sem stress! Com uma ‘pitada’ de lógica e as dicas do PH, resolveremos tranquilamente essas questões. Exemplo124: Uma equipe de 10 profissionais, composta por 2 juízes, 4 promotores e 4 defensores públicos, atuou durante quatro dias em julgamentos de processos em determinado tribunal. A cada dia atuaram 1 juiz, 1 promotor e 1 defensor público. Na escala de trabalho, consta que Gerson, Marta e Júlia atuaram na segunda-feira; Luíza, Paula e Carlos atuaram na terça-feira; Bianca e Adalberto atuaram na quarta-feira; Luiz e Diogo atuaram na quintafeira. Nessa situação, sabendo que Edna é defensora Pública e atuou na quarta ou na quinta-feira, que a juíza Marta atuou em 2 dias, que Gerson e Bianca são promotores e que 3 promotores são do sexo masculino, julgue os itens seguintes.

Diogo e Carlos são promotores. (Verdadeiro) (Falso) Os 2 juízes são do sexo feminino. (Verdadeiro) (Falso) Adalberto e Paula são defensores públicos. (Verdadeiro) (Falso)

123

Gabarito: F - V

124

Gabarito: V - F - V

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Exemplo125: João, Paulo e Mário, servidores do governo federal, trabalham um no Ministério da Defesa, outro no Ministério de Minas e Energia e outro no Ministério da Justiça. Um é advogado, outro é administrador e outro é contador. Eles farão pós-graduação em suas áreas de trabalho e um irá para a UnB, outro para a UNICAMP e outro para a USP. Sabe-se que: • o advogado irá estudar na UnB e não trabalha no Ministério da Defesa; • Mário é contador e não trabalha no ministério da Defesa; • Paulo irá estudar na UNICAMP e não trabalha no Ministério da Justiça; • o servidor do Ministério de Minas e Energia irá estudar na USP. Com base nessas informações hipotéticas, assinale a opção correta.

(A) O servidor do Ministério de Minas e Energia é contador. (B) Mário vai estudar na UnB. (C) O administrador trabalha no Ministério da Justiça. (D) João trabalha no Ministério da Defesa. (E) Paulo é advogado. Exemplo126: Considere que João e Pedro morem em uma cidade onde cada um dos moradores ou sempre fala a verdade ou sempre mente e João tenha feito a seguinte afirmação a respeito dos dois: “Pelo menos um de nós dois é mentiroso”. Nesse caso, a proposição “João e Pedro são mentirosos” é V. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo127: O casal Cássio e Cássia tem as seguintes peculiaridades: tudo o que Cássio diz às quartas, quintas e sextas-feiras é mentira, sendo verdade o que é dito por ele nos outros dias da semana; tudo o que Cássia diz aos domingos, segundas e terças-feiras é mentira, sendo verdade o que é dito por ela nos outros dias da semana. A respeito das peculiaridades desse casal, julgue os itens subsecutivos. Se, em certo dia, ambos disserem “Amanhã é meu dia de mentir”, então essa afirmação terá sido feita em uma terça-feira. (Verdadeiro) (Falso) Na terça-feira, Cássia disse que iria ao supermercado no sábado e na quarta-feira, que compraria arroz no sábado. Nesse caso, a proposição “Se Cássia for ao supermercado no sábado, então comprará arroz” é verdadeira. (Verdadeiro) (Falso) Se, em uma sexta-feira, Cássio disser a Cássia: “Se eu te amasse, eu não iria embora”, será correto concluir que Cássio não ama Cássia. (Verdadeiro) (Falso)

125

Gabarito: letra A

126

Gabarito: F

127

Gabarito: letra A

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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Exemplo128: Considerando que os conjuntos A, B e C tenham, respectivamente, 19, 28 e 31 elementos; o conjunto A # B # C tenha 4 elementos e os conjuntos A # B, A # C e B # C tenham, respectivamente, 11, 7 e 13 elementos, é correto afirmar que

o conjunto C – A U B tem menos de 18 elementos. (Verdadeiro) (Falso) o conjunto A U B tem mais de 38 elementos. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo129: Para cada subconjunto A de S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, defina P(A) como o produto dos elementos de A e adote a convenção P(Ø) = 1. Com base nessa situação, julgue os itens a seguir. Se A = {1, 3, 4, 6}, então P(A) = 72. (Verdadeiro) (Falso) Se A e B são subconjuntos de S e A  B, então P(A) $ P(B). (Verdadeiro)

(Falso)

Se A  S e se algum elemento de A é um número ímpar, então P(A) será, necessariamente, um número ímpar. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo130: Em uma página da Polícia Federal, na Internet, é possível denunciar crimes contra os direitos humanos. Esses crimes incluem o tráfico de pessoas — aliciamento de homens, mulheres e crianças para exploração sexual — e a pornografia infantil — envolvimento de menores de 18 anos de idade em atividades sexuais explícitas, reais ou simuladas, ou exibição dos órgãos genitais do menor para fins sexuais. Com referência a essa situação hipotética e considerando que, após a análise de 100 denúncias, tenha-se constatado que 30 delas se enquadravam como tráfico de pessoas e como pornografia infantil; outras 30 não se enquadravam em nenhum desses dois crimes e que, em relação a 60 dessas denúncias, havia apenas a certeza de que se tratava de pornografia infantil, julgue os itens subsequentes, acerca dessas 100 denúncias analisadas. Dez denúncias foram classificadas apenas como crime de tráfico de pessoas. (Verdadeiro) (Falso) Os crimes de tráfico de pessoas foram mais denunciados que os de pornografia infantil. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo131: Dos 420 detentos de um presídio, verificou-se que 210 foram condenados por roubo, 140, por homicídio e 140, por outros crimes. Verificou-se, também, que alguns estavam presos por roubo e homicídio. Acerca dessa situação, julgue os itens seguintes.

128

Gabarito: V - F

129

Gabarito: V - F

130

Gabarito: V - F

131

Gabarito: V - F - F

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A quantidade de maneiras distintas de se selecionarem dois detentos entre os condenados por outros crimes, que não roubo ou homicídio, para participarem de um programa destinado à ressocialização de detentos é inferior a 10.000. (Verdadeiro) (Falso) Menos de 60 dos detentos estavam presos por terem sido condenados por roubo e homicídio. (Verdadeiro) (Falso) Selecionando-se ao acaso dois detentos desse presídio, a probabilidade de que ambos tenham sido condenados por roubo ou ambos por homicídio será superior a 1/6. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo132: Os 100 empregados de uma empresa foram consultados a fim de subsidiar a efetivação de convênios com um plano de saúde e com um banco privado, que poderia conferir aos empregados dessa empresa empréstimos consignados com desconto em folha de pagamentos, e o resultado da consulta foi o seguinte: 47 empregados aderiram apenas ao plano de saúde; 41 aderiram ao convênio com o banco privado; os demais empregados não aderiram a nenhum dos 2 convênios. Considerando que a decisão da empresa será tomada com base no resultado dessa consulta, julgue os itens a seguir. A proposição “A probabilidade de a empresa não contratar nenhum dos 2 convênios é igual a 2/25” é falsa. (Verdadeiro) (Falso) A proposição “Se 15 empregados disseram que aderiram aos dois convênios, então a probabilidade de a empresa contratar apenas um dos convênios será igual a 18/25” é verdadeira. (Verdadeiro) (Falso) A proposição “Se 23 empregados responderam que aderiram aos dois convênios com o banco privado, então a probabilidade de a empresa contratar os dois convênios será igual a 9/50” é verdadeira. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo133: Para cada x = 0, 1, 2, 3 ou 4, a partir de um conjunto E de pessoas, Ex corresponde ao conjunto de indivíduos do conjunto E que são clientes de pelo menos x operadoras de telefonia móvel e Nx, à quantidade de elementos de Ex. Considerando essas informações, julgue os itens que se seguem. Para cada x do conjunto {0, 1, 2, 3, 4}, tem-se que N4 & Nx. (Verdadeiro) (Falso) A menor quantidade possível de pessoas que devem ser selecionadas no conjunto E, de forma que se tenha certeza de que, entre elas, pelo menos uma seja cliente de alguma operadora de telefonia móvel, é igual a N0 – N1 + 1. (Verdadeiro) (Falso)

132

Gabarito: V - F - V

133

Gabarito: F - V

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Exemplo134: Um freguês pagou uma despesa de R$ 9,63 na padaria com uma nota de R$ 10,00 e recebeu o seu troco em moedas de 1, 5, 10 e 25 centavos de real. Considerando-se que no caixa da padaria havia quantidade suficiente dessas moedas para dar o troco, é correto concluir que o número de maneiras distintas que o caixa da padaria poderia dar o troco ao freguês é igual a

(A) 24. (B) 30. (C) 10. (D) 12. (E) 15. Exemplo135: Em um colar, com pérolas de dois tamanhos diferentes, as pérolas foram arran jadas de maneira que, quando o colar estiver fechado, será repetido o seguinte padrão: uma pérola grande, seguida de duas pequenas. Além disso, para aumentar o valor do colar, foi adicionado um pequeno separador de ouro entre uma pérola grande e uma pequena. Os preços de cada separador de ouro, de cada pérola pequena e de cada pérola grande são R$ 50,00, R$ 100,00 e R$ 150,00, respectivamente. Considerando que, no colar, foram utilizados 30 separadores de ouro, então o seu custo total, em reais, com os separadores e as pérolas, é (A) superior a 5.800 e inferior a 6.800. (B) superior a 6.800 e inferior a 7.800. (C) superior a 7.800 e inferior a 8.800. (D) superior a 8.800. (E) inferior a 5.800,00. Exemplo136: Em uma circunferência com raio de 5 cm, são marcados n pontos, igualmente espaçados. A respeito dessa situação, julgue os próximos itens. Se n = 4, então a área do polígono convexo que tem vértices nesses pontos é igual a 60 cm2. (Verdadeiro) (Falso) Se forem iguais as quantidades de triângulos distintos e de quadriláteros convexos distintos que se podem formar a partir desses n pontos, então n > 8. (Verdadeiro) (Falso) Se n = 6, então o polígono convexo que tem vértices nesses pontos em perímetro inferior a 32 cm. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo137: A partir das matrizes quadradas M e N, de ordem 2 x 2, considere as seguintes proposições: A 1: det [3M] = 1; A2: det N = 3. Nesse caso, considerando B como sendo a proposição “det [M x N -1] = 1/27”, então o argumento que contém A 1 e A2 como premissas, supostas verdadeiras, e B como conclusão, é um argumento válido. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo138: Considere as seguintes proposições: A: Se M é uma matriz quadrada e o determinante de M (det M) é diferente de zero, então a matriz transposta de M, M T, é inversível. B: Se M e N são matrizes quadradas de mesma ordem e det [MxN] = 0, então nenhuma dessas matrizes é inversível. 134

Gabarito: letra A

135

Gabarito: letra A

136

Gabarito: F - F - V

137

Gabarito: V

138

Gabarito: F

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C: Se M e N são matrizes quadradas de mesma ordem e det [MxN] = 1, então uma matriz é, necessariamente, a matriz inversa da outra. D: se M é uma matriz quadrada qualquer, então det (2xM] = 2 x det M.

Nesse caso, é correto afirmar que apenas duas dessas proposições são V. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo139: As atividades de manutenção, operação e instalação de sistemas na área de informática de um escritório são desenvolvidas por Edson, Humberto e Danilo; cada um é responsável por uma única atividade. Os seus salários são: R$ 2.300,00, R$ 2.400,00 e R$ 2.500,00. Sabe-se que o responsável pela instalação de sistemas, que é irmão de Danilo, não tem o maior salário; Edson é o operador de sistemas; o responsável pela manutenção tem o menor salário. Danilo é o operador de sistemas. (Verdadeiro) (Falso) O salário do instalador de sistemas é igual a R$ 2.400,00. (Verdadeiro) (Falso) Edson tem o maior salário. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo140: O quadro de pessoal de uma empresa conta com 7 analistas: 2 da área de contabilidade e 5, de arquivologia. Em 4 dias consecutivos, desses 7 analistas, estiveram presentes aos trabalhos: no dia 1: Bárbara, Diogo, Marta e Sandra; no dia 2: Diogo, Fernando, Hélio e Sandra; no dia 3: Bárbara, Célio, Diogo e Hélio; no dia 4: Célio, Fernando, Marta e Sandra. Sabendo que, em cada um desses 4 dias, dos presentes, 1 era analista de contabilidade e 3, de arquivologia; que cada um dos analistas de contabilidade esteve presente em apenas 2 dias; e que Fernando é analista de arquivologia, julgue os itens seguintes. Todas as mulheres são analistas de arquivologia. (Verdadeiro) (Falso) Célio é analista de arquivologia. (Verdadeiro) (Falso) Hélio é analista de contabilidade. (Verdadeiro) (Falso) Exemplo141: A tabela apresentada abaixo possui uma regra de formação, e células em branco que devem ser preenchidas de acordo com essa regra.

139

Gabarito: F - V - V

140

Gabarito: F - V - V

141

Gabarito: letra C

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Apostila de Raciocínio Lógico.pdf

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