Series de Fourier Conceptos previos Iniciaremos este capítulo con la revisión de algunos conceptos elementales que serán de aplicación en los desarrollos posteriores.
Funciones Pares
Una función y=f(x) es PAR si
Ejemplos: son funciones pares
Como consecuencia inmediata de la definición podemos observar que para todo par de puntos simétricos al origen “-x0” ; “x0” pertenecientes a su dominio, la función toma los mismos valores numéricos y por lo tanto “su gráfica es simétrica respecto al eje de ordenadas”. or denadas”.
Propiedades de las funciones pares Sean f(x) y g(x) dos funciones pares:
Propiedad 1: La suma de dos funciones pares es otra función par: U(x)= f(x) + g(x) es PAR, es decir, U(-x)=U(x) Demostración: U(-x)= f(-x)+g(-x)= f(x)+g(x)=U(x) por lo tanto se cumple que U(-x)=U(x)
Propiedad 2: El producto o cociente de dos funciones pares es otra función par: V(x)= f(x) .g(x) es PAR, es decir, V(-x)=V(x) Demostración: V(x)= f(x) .g(x) = f(-x) f(-x) .g(-x) =V(-x) por por lo tanto se cumple que V(-x)=V(x)
Demuestre que V(x)=f(x)/g(x) es par
Propiedad 3:
esta propiedad de la integral definida de una función par, en un intervalo de integración simétrico respecto del o rigen es evidente, si se tiene en cuenta la simetría de representación abordada anteriormente, el valor de la integral como área.
Funciones impares
Una función y=f(x) es IMPAR si
Ejemplos: son funciones impares
Propiedades de las funciones impares Sean f(x) y g(x) funciones impares:
Propiedad 1: La suma de dos funciones impares es otra función impar: U(x)= f(x) + g(x) es IMPAR, es decir, U(-x)=-U(x) Demostración: U(-x)= f(-x)+g(-x)=- f(x)-g(x)=-( f(x) + g(x) )=-U(x) por lo tanto se cumple que
U(-x)=-U(x)
Propiedad 2: El producto o cociente de dos funciones impares es una función par: V(x)= f(x) .g(x) es PAR, es decir, V(-x)=V(x) Demostración: V(-x)= f(-x) .g(-x) =[- f(x)] .[-g(x)] = f(x) .g(x) =V(x) por lo tanto se cumple que
Demuestre que V(x)=f(x)/g(x) es par
V(-x)=V(x)
Propiedad 3: El producto o cociente de una función par y otra impar da como resultado una función impar. Sean f(x) una función par y g(x)una función impar entonces V(x)= f(x) .g(x) es una función impar Demostración: Sabemos que f(x)=f(-x) y g(-x)=-g(x) V(-x)= f(-x).g(-x)=f(x).[-g(x)]=-[f(x).g(x)]=-V(x) por lo tanto V(x) es impar Demuestre que V(x)=f(x)/g(x) es impar
Propiedad 4: Dado que una función impar toma valores numéricos opuestos para valores opuestos de la variable independiente, su gráfica es una curva simétrica respecto al punto de origen. Ejemplo: f(x)=x3
Como consecuencia de esta propiedad de simetría geométrica resulta evidente que toda
integral definida de una función impar en un intervalo de integración simétrico respecto del origen es nulo. Por lo tanto
.
Funciones Periódicas
Definición: Se dice que una función y=f(x) es periódica y que su período es “p” si se cumple que:
Ejemplos: las funciones trigonométricas, ya que:
En los dos primeros casos el período es 2π y en el tercero es π. Como consecuencia inmediata de la definición observamos que la gráfica de una función periódica se repite en intervalos consecutivos cuya amplitud es “p”.
Representamos la función de período 2π definida por:
Propiedades de las funciones periódicas
Propiedad 1: Si
y
, de modo que “cualquier
múltiplo entero del período, también es período de la misma función” . El período “p” de menor valor se denomina período primitivo de la función.
Hemos visto que tg x= tg(x+π) , son también períodos de la función tangente, primitivo de la función es p= π.
etc., pero el período
Propiedad 2: Si f(x) es una función periódica de período p, f(ax) es otra función de período p/a Demostración: en la función f(a x ) le asignaremos a x el valor x+p/a f(a(x+p/a)) distribuyendo queda f(ax+a.p/a)=f(ax+p) y como
.
incluso para (a.x)
entonces f(a(x+p/a))=f(ax) con lo cual queda demostrado que su período es p/a
Como aplicación a esta propiedad observamos que siendo el período de f(x)=sen x es p=2 π por lo tanto el período de la función f(x)=sen nx será p=2 π/n Como consecuencia las gráficas correspondientes a sen x, sen 2x, sen 3x… se repiten 1,2,3,… veces el período 2 π, como se puede observar.
Lo mismo ocurre con las funciones cosenoidales para cos x, cos 2x, cos 3x, ya que conocemos su gráfica. Propiedad 3: Si f(x) es una función periódica de período p y b≠0, entonces f(x/b) es otra función periódica cuyo período es p.b.
Demostración:
Propiedad 4: La suma de funciones periódicas de igual período es otra función periódica del mismo período. Sean f(x) y g(x) tales que:
entonces
Entonces se cumplirá: h(x+p)= f(x+p)+g(x+p)=f(x)+g(x)=h(x) Por lo tanto
Propiedad 5: Supongamos la función:
h(x+p)=h(x)
es una suma de funciones periódicas; la primera de las cuales (sen x) tiene período p=2 π; la segunda (sen 2x) tiene un período primitivo p= π y la tercera p=2 π/3 pero considerando la propiedad 2, ambas admiten también período p=2 π.
En consecuencia f(x) tiene por período p=2 π. Por ser de suma importancia para interpretar algunos de los desarrollos en serie de Fourier construiremos su gráfica correspondiente. Para ello recordemos que en la función y=A.sen x, el coeficiente A es la “amplitud” de onda de modo que
Integrales definidas de funciones periódicas
Sea f(x) una función periódica de período p; f(x)=f(x+ p)
. Si f(x) es integrable en un intervalo de amplitud igual
al período p, entonces es integrable sobre cualquier intervalo de
es constante, cualquiera sea el valor de
(en el gráfico “p” aparece como “T”) .
Demostración:
a
. Además se verifica que:
y siempre que la longitud del intervalo de integración sea p
(1)
Analicemos la segunda integral, del segundo miembro: ; se hacemos x=t+p
Si p=x
t=0;
si x=a+p
t=a ,
dx=dt, además
reemplazando
, reemplazando en (1) por lo tanto
Fórmulas de posterior aplicación
Verificamos las siguientes expresiones, donde m y n son número enteros.
Fórmula 1: Fórmula 2:
es nula por ser sen nx una función impar.
Fórmula 3:
por lo tanto, dado que el integrando es el producto de dos
funciones, una par (cos nx) y una impar (sen mx) , la resultante será otra función impar y como los límites de integración son simétricos, la integral es nula.
Fórmula 4:
a) Primer caso
=0
b) Segundo caso si m=n
Fórmula 5:
a. Primer caso
=0 por ser m±n
ϵ
Z, por lo tanto la integral es nula
b. Segundo caso si m=n
Fórmula 6: Desarrollando:
Reemplazando en cada término la siguiente expresión del coseno:
Sumando el segundo miembro, como los términos de una progresión geométrica, de razón q= número de términos es (2n+1) y el primer témino es
, resulta que:
Multiplicando numerador y denominador por la misma expresión
obtenemos:
Dividiendo y multiplicando por 2i tendremos:
con lo que queda demostrado.
Fórmula 7: Si a la igualdad
se la integra entre -π y π
, cuyo
En el primer miembro tendremos:
en consecuencia tendremos:
De la misma manera que el caso 6, se demuestra:
Funciones continuas por tramos en [a,b], entonces se verificará que :
Demostración: Supondremos primero que la función f(x) es continua en (a,b). Llamemos:
(1) haciendo
Por lo tanto:
(2)
llamando M al máximo valor de la función f(x) en (a,b);
y considerando que
Para λ > K1 es
siendo
Para λ > K2 es
por ser f(x) continua en (a,b)
En consecuencia:
i
Este teorema puede extenderse a funciones seccionalmente continuas en un intervalo (a,b), es decir a funciones que tengan un número finito de discontinuidades finitas en (a,b).
Series de Fourier
En numerosos problemas prácticos de física, ingeniería y otras ciencias, aparecen funciones periódicas cuya transformación en suma de funciones periódicas más simples como lo son sen nx y cos nx nos permite el estudio de las mismas. Este desarrollo se denomina “Serie de Fourier” en honor al físico francés Jean Baptiste Fourier. Veamos algunos ejemplos de funciones periódicas de aplicación práctica.
Ejemplo 1: Rectificador de media onda La corriente eléctrica con la que se alimenta el sistema eléctrico Argentino posee un voltaje senoidal dado por la ecuación V=E. sen ωt donde E es su tensión máxima y 2π/ω su período . Si pudiésemos ver con un osciloscopio la onda obtendríamos un seno con frecuencia de 50 Hz (período de 20 mS).
Si se aplica a través de un rectificador de media onda, que anula sus valores negativos de la onda (presente
en la gran mayoría de electrodomésticos) se obtiene la función definida de l a siguiente forma:
cuya gráfica es
Ejemplo2: Frecuentemente para obtener la rectificación de la onda completa se emplean dispositivos combinados que producen la inversión de la porción negativa de la onda y se produce la onda de la siguiente gráfica:
Estos rectificadores de media onda o de onda completa son dispositivos que see emplean en l a ingeniería electromecánica o electrónica con el fin de transformar intensidades o voltajes de una corriente alternada en intensidad o voltaje de una corriente continua.
Ejemplo 3: Otra onda que aparece frecuentemente es la llamada “dientes de sierra”
Series de Fourier para funciones de período 2π
Sea una función f(x) de período p=2π, que además es continua o seccionalmente continua con un número finito de discontinuidades finitas en ´[- π,π] y supongamos puede ser desarrollada en una serie de Fourier de la forma:
Donde a0,an, y bn son los coeficientes cuya determinación estudiaremos. Este desarrollo de la función esn una suma de infinitas funciones simples senoidales y cosenoidales recibe el nombre de “Serie de Fourier”. Para determinar los coeficientes partimos del supuesto de que el desarrollo existe y la serie converge hacia los valores de la función. Con posterioridad estudiaremos en qué condiciones se verifica dicha convergencia.
Supongamos su desarrollo de la forma:
Integrando ambos miembros entre los límites –π y π se obtiene:
Conforme a lo demostrado anteriormente las integrales que aparecen dentro del paréntesis son nulas, resultando:
de donde
Multiplicamos ambos miembros del desarrollo por
Todas las integrales del segundo miembro son nulas con la excepción de la integral
Por lo tanto
de donde
Multiplicando ambos miembros del desarrollo por
De acuerdo a lo demostrado anteriormente todas las integrales del segundo miembro son nulas exceptuando :
de donde
Las fórmulas obtenidas para la determinación de los coeficientes a 0,an, y bn se les da, el nombre de “ Fórmulas de Euler”, para la determinación de los coeficientes de Fourier de la serie:
Condiciones de Dirichlet Si una función f(x):
está definida arbitrariamente en el intervalo (- ,
pertenecientes al intervalo
excepto posiblemente en un número finito de puntos
es periódica de período p=2
, fuera de ese intervalo, es decir f(x)=f(x+2
es continua en (- ,
posee un número finito de máximos o mínimos en el intervalo (- ,
, a lo sumo tiene un número finito de disco ntinuidades de primera especie (saltos)
entonces f(x) puede ser desarrollada por la serie de Fourier cuyos coeficientes han sido determinados anteriormente por las fórmulas de Euler. Esta serie converge uniformemente hacia los valores de la función f(x), si x es un “punto de
continuidad” y hacia el promedio
si x0 es un punto de discontinuidad, entendiéndose por :
Las condiciones expresadas son “suficientes” pero no “necesarias”. No existen condiciones necesarias y suficientes, tampoco lo es suficientes ser continuas en (- ,
.
Fórmula de Dirichlet Para sumas parciales de una Serie de Fourier
Donde
por la Fórmula 6 mostrada anteriormente en Fórmulas de posterior aplicación Haciendo: t-x = s t=s+x y para un x 0 fijo dt=ds
Y también
Sustituyendo estos valores:
Como el integrando tiene un período 2 , podemos reemplazar el intervalo intervalo de longitud 2
en particular
por cualquier otro
, por lo tanto la sumatoria será:
Convergencia de la serie de Fourier
Sea f(x) continua por tramos en
con período 2
y se supone que:
entonces el desarrollo de la serie de Fourier para f(x) converge
a f(x0) en cada x 0, donde f(x) tenga una derivada por la derecha y por la izquierda.
Demostración:
Primer caso: Suponemos f(x) continua en x 0, por lo tanto
– Además como las derivadas existen a ambos lados de
, será entonces:
partiendo de esta hipótesis, demostraremos que :
Por la fórmula de Dirichlet: (1)
(2)
Si restamos (1) y (2) obtendremos:
multiplicando y dividiendo por s,
Llamemos g(s) al primer factor del integrando
Por ser f(x) continua, es g(s) continua Para
existen los límites por la derecha y por la izquierda de g(s) en s=0, por lo que g(s) es seccionalmente
continua en el período
.
Aplicando el lema de Rieman-Lebesgue ya visto, es:
por lo tanto:
Segundo caso: Cuando x0 es un punto de discontinuidad de f(x).
Demostración:
, converge a
por lo tanto
(1)
Además por descomposición de la Fórmula 7 en Fórmulas de posterior aplicación, por ser un integrando par:
Por lo tanto multiplicando la primera integral por
tendremos:
Y sumando ambas igualdades obtenemos otra igualdad: (2)
Restando (1)-(2) tenemos:
es continua en el intervalo [-π,0]
para
para
Aplicando el teorema de Rieman-Lebesgue, ambas integrales tenderán a cero cuando
y entonces:
Desarrollo en Serie de Fourier de funciones pares
Si f(x)es par se cumple que f(x)=f(-x); sabemos también que cos nx es par y sen nx es impar. Como el producto de dos funciones pares es otra función par, entoces f(x).cos nx es una función par y el el desarrollo de Fourier los coeficientes de los términos cosenoidales toman la forma siguiente:
De la misma manera:
En cambio por ser el producto f(x). sen nx una función impar, se tendrá:
Los coeficientes de los términos sinusoidales serán todos nulos, por lo tanto el desarrollo de la serie de Fourier se reduce, resultando así:
donde sus coeficientes serán
Desarrollo en Serie de Fourier de funciones impares
Si f(x) es impar entonces
Por lo tanto :
y
por ser los integrandos funciones impares, por lo cual el desarrollo de la serie de Fourier para funciones impares quedaría:
donde
Desarrollo en serie de Fourier para funciones de período 2L
Sea f(x) una función periódica de período 2L, es decir,
condiciones necesarias para poder ser desarrollada en Serie de Fourier. Si hacemos
Demostraremos en primer lugar que la nueva función
. Supongamos que f(x) cumple las .t entonces
es también una función periódica de período 2π.
ya que la función f(x) tiene período 2L y podemos escribir:
, queda sí demostrado que
2π. En esas condiciones,
es una función periódica de período
puede ser desarrollada en serie de Fourier de la forma conocida: (1)
Donde los coeficientes a 0,an, y bn están dados por la fórmula de Euler:
Haciendo el cambio de variable correspondiente Además sabemos que
de donde
y
, también los límites de integración:
cuando cuando
reemplazando en (1) todas las expresiones encontradas:
Los coeficientes serán:
Ejemplo 1: Desarrollar en Serie de Fourier la forma simétrica de una onda rectangular dada por:
Siendo
la onda ilustra el siguiente gráfico, simétrica al eje y
Por tratarse de una función par la serie de Fourier es un desarrollo reducido de términos cosenoidales ya que b n=0. siendo
y
Cálculo de a 0:
Cálculo de a n:
ya que sen n.0=sen n.π=0 esto indica que
...
donde todos los términos de orden par se anulan y los de orden impar son alternadamente positivos y negativos, tomando
factor común:
a) Función Original
b) Serie de Fourier n=3
c)
Serie de Fourier n=6
Ejemplo 2: Desarrollar en serie de Fourier la forma antisimétrica de una onda rectangular:
siendo f(x)=f(x+2)
Ilustramos la onda en el siguiente gráfico, simétrica respecto del origen. Por tratarse de una función impar del
desarrollo de la serie, como vimos anteriormente, se reduce a una suma de términos senoidales, mientras que a0=an=0
y solo debemos calcular b n.
término general del coeficiente b n
Si n es par
Si n es impar
Como vemos el factor
entonces:
es común a todos los términos, por lo tanto el desarrollo en serie de Fourier será:
a) Función Original
b) Serie de Fourier n=3
Autor: Ing. Leopoldo De Urrutia Responsable de edición en formato electrónico: Prof. Bibiana Altamirano Gráficos: Ing. Luciano Curie
c)
Serie de Fourier n=6
