Series de Fourier
"Series de Fourier, Transformadas de Fourier y Aplicaciones", Aplicaciones ", Genaro González
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Series de Fourier Contenido 1. Funciones Periódicas 2. Serie trigonométrica de Fourier 3. Componente de directa, fundamental y armónicos 4. Ortogonalidad de las funciones seno y coseno 5. Cálculo de los coeficien coeficientes tes de la Serie de Fourier 6. Simetrías en señales periódicas 7. Fenómeno de Gibbs 8. Forma Compleja de las Series de Fourier 9. Espectros de frecuencia discreta 10. Potencia y Teorema de Parseval 11. De la serie a la Transformada de Fourier. 12. Obtención de la serie de Fourier usando FFT 13. Espectro de Frecuencia y medidores digitales
Series de Fourier Contenido 1. Funciones Periódicas 2. Serie trigonométrica de Fourier 3. Componente de directa, fundamental y armónicos 4. Ortogonalidad de las funciones seno y coseno 5. Cálculo de los coeficien coeficientes tes de la Serie de Fourier 6. Simetrías en señales periódicas 7. Fenómeno de Gibbs 8. Forma Compleja de las Series de Fourier 9. Espectros de frecuencia discreta 10. Potencia y Teorema de Parseval 11. De la serie a la Transformada de Fourier. 12. Obtención de la serie de Fourier usando FFT 13. Espectro de Frecuencia y medidores digitales
Preámbulo El análisis de Fourier fue introducido en 1822 en la “ Théorie analyitique de la chaleur ” para tratar la solución de problemas de valores en la frontera frontera en la conducción del calor. Más de siglo y medio después las aplicaciones de esta teoría son muy bastas: Sistemas Sistemas Lineales, Comunicaciones, Física moderna, Electrónica, Óptica y por supuesto, Redes Eléctricas entre muchas otras.
Funciones Periódicas Una Función Periódica f(t) cumple la siguiente propiedad para todo valor de t. f(t)=f(t+T)
A la constante mínima para la cual se cumple lo anterior se le llama el periodo de la función
Repitiendo la propiedad se puede obtener: f(t)=f(t+nT), donde n=0,1, 2, 3,...
Funciones Periódicas Ejemplo: ¿Cuál es el período de la función
f(t) cos( 3t ) cos( 4t )?
Solución.- Si f(t) es periódica se debe cumplir:
f(t T) cos( t 3T ) cos( t 4T )
f(t) cos( 3t ) cos( 4t )
Pero como se sabe cos(x+2kp)=cos(x) para cualquier entero k, entonces para que se cumpla la igualdad se requiere que T/3=2k1p, T/4=2k2p Es decir, T = 6k1p = 8k2p Donde k1 y k2 son enteros, El valor mínimo de T se obtiene con k1=4, k2=3, es decir,T=24p
Funciones Periódicas Gráfica de la función
f(t) cos( 3t ) cos( 4t )
3 2
T
f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)
1 ) t ( f 0
-1 -2 -3
24p 0
50
100
150
t
200
Funciones Periódicas Podríamos pensar que cualquier suma de funciones seno y coseno produce una función periódica. Esto no es así, por ejemplo, consideremos la función f(t) = cos(w1t)+cos(w2t). Para que sea periódica se requiere encontrar dos enteros m, n tales que
w1T= 2pm, w2T=2pn De donde
w1 m w2 n
Es decir, la relación w1/ w2 debe ser un número racional.
Funciones Periódicas Ejemplo: la función cos(3t)+cos(p+3)t no es periódica, ya w1 3 es un número racional. que no w2 3 p f(t)=cos(3t)+cos((3+pi)t)
2
1 ) t ( f
0
-1
-2
0
5
10
15
t
20
25
30
Funciones Periódicas Tarea: Encontrar el periodo de las siguientes funciones, si es que son periódicas: 1)
f(t) = sen(nt), donde n es un entero.
2)
f(t)= sen2(2pt)
3)
f(t)= sen(t)+sen(t+p/2)
4)
f(t)= sen(w1t)+cos(w2t)
5)
f(t)= sen(2 t)
Serie Trigonométrica de Fourier Algunas funciones periódicas f(t) de periodo T pueden expresarse por la siguiente serie, llamada Serie Trigonométrica de Fourier f(t) = ½ a0 + a1cos(w0t)+a2cos(2w0t)+... + b1sen(w0t)+b2sen(2w0t)+... Donde w0=2p/T. Es decir,
f ( t ) 12 a 0
[a n cos(nw0 t ) bnsen(nw0 t )] n 1
Serie Trigonométrica de Fourier Es posible escribir de una manera ligeramente diferente la Serie de Fourier, si observamos que el término ancos(nw0t)+bnsen(nw0t) se puede escribir como
w
Podemos encontrar una a n manera más compacta para b n expresar estos coeficientes 2 2 pensando ennun triángulo rectángulo: a n b cos(n 0 t ) sen(n 0 t )
a 2n
b 2n
w
a 2n b 2n
Serie Trigonométrica de Fourier an Cn a 2n b2n
bn
b 2n
b n
n
Con lo cual la expresión queda
an
a 2n a 2n
b 2n
cos n senn
Cn cos n cos(nw0 t ) senn sen(nw0 t )
Cn cos(nw0 t n )
Serie Trigonométrica de Fourier Si además definimos C0=a0/2, la serie de Fourier se puede escribir como
Así,
y
f ( t ) C0
C cos(nw t ) n
n 1
Cn
2
an
b
2 n
1 bn
n tan a n
0
n
Serie Trigonométrica de Fourier Tarea: Definir adecuadamente los coeficientes C0, Cn y n, de manera que la serie de Fourier se pueda escribir como
f ( t ) C0
C sen(nw t ) n
n 1
0
n
Componentes y armónicas Así, una función periódica f(t) se puede escribir como la suma de componentes sinusoidales de diferentes frecuencias wn=nw0.
A la componente sinusoidal de frecuencia nw0: Cncos(nw0t+n) se le llama la enésima armónica de f(t). A la primera armónica (n=1) se le llama la componente fundamental y su periodo es el mismo que el de f(t)
A la frecuencia w0=2pf 0=2p/T se le llama frecuencia angular fundamental .
Componentes y armónicas A la componente de frecuencia cero C0, se le llama componente de corriente directa (cd) y corresponde al valor promedio de f(t) en cada periodo.
Los coeficientes Cn y los ángulos n son respectiva-mente las amplitudes y los ángulos de fase de las armónicas.
Componentes y armónicas Ejemplo: La función
f(t) cos( 3t ) cos( 4t )
Como ya se mostró tiene un periodo T=24 p, por lo tanto su frecuencia fundamental es w0=1/12 rad/seg. Componente fundamental es de la forma: 0*cos(t/12).
Tercer armónico: cos(3t/12)=cos(t/4)
3
f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)
2 1 ) t ( f0
Cuarto armónico:
-1
Cos(4t/12)=cos(t/3)
-2 -3 0
24p 50
100
t
150
200
Componentes y armónicas Ejemplo: Como puede verse, la función anterior tiene tantas partes positivas como negativas, por lo tanto su componente de cd es cero, en cambio
f(t) 1 cos( 3t ) cos( 4t ) Tiene tantas partes arriba como abajo de 1 por lo tanto, su componente de cd es 1.
3 2 1 ) t ( f0
-1
f(t)=1+cos(t/3)+cos(t/4) -2 -3 0
24p 50
100
t
150
200
Componentes y armónicas Tarea: ¿Cuál es la componente fundamental, las armónicas distintas de cero y la componente de directa de a) f(t) = sen2t b) f(t) = cos2t ? Justifícalo además mostrando la gráfica de las funciones y marcando en ellas el periodo fundamental y la componente de cd.
Ortogonalidad de senos y cosenos Se dice que un conjunto de funciones f k(t) son ortogonales en el intervalo a
0 f m (t)f n (t)dt a r n
b
n para m n
para m
Ortogonalidad de senos y cosenos Ejemplo: las funciones t y t 2 son ortogonales en el intervalo –1< t <1, ya que 1
tt
1
2
1
dt t dt 3
1
t
4 1
4 1
0
Ejemplo: Las funciones sen t y cos t son ortogonales en el intervalo –p/2< t
sen t
p
2
sentcostdt
2
p
0 p
Ortogonalidad de senos y cosenos Tarea: Dar un ejemplo de un par de funciones que sean ortogonales en el intervalo: a)
0
b)
0
Ortogonalidad de senos y cosenos Aunque los ejemplos anteriores se limitaron a un par de funciones, el siguiente es un conjunto de una infinidad de funciones ortogonales en el intervalo -T/2
T/2
sen(mw0 t)
T / 2
mw0
cos(mw0 t)dt
Ya que m es un entero.
T/2
T / 2
2sen (mw0T/2) mw0
2sen (mp) mw0
0
Ortogonalidad de senos y cosenos 2.- f(t)=1 Vs. sen(mw0t):
cos(mw0 t) T / 2 sen(mw0 t)dt mw0 T / 2 T / 2 1 [cos(mw0T/2) - cos(mw0T/2)] 0 mw0 T/2
3.- cos(mw0t) Vs. cos(nw0t):
0 cos(mw0 t)cos(nw0 t)dt T / 2 T / 2 T/2
para m n para m n 0
Ortogonalidad de senos y cosenos 4.- sen(mw0t) Vs. sen(nw0t):
0 sen(mw0 t)sen(nw0 t)dt T / 2 T / 2 T/2
para m n para m n 0
5.- sen(mw0t) Vs. cos(nw0t): T/2
sen(mw0 t)cos(nw0 t)dt 0
T / 2
para cualquier m, n
Ortogonalidad de senos y cosenos Para calcular las integrales de los casos 3, 4 y 5, son útiles las siguientes identidades trigonométricas:
cos A cos B = ½[cos(A+B)+cos(A-B)] sen A sen B = ½[-cos(A+B)+cos(A-B)] sen A cos B = ½[sen(A+B)+sen(A-B)] Además: sen2 = ½ (1-cos2) cos2 = ½ (1+cos2)
Cálculo de los coeficientes de la Serie Dada una función periódica f(t) ¿cómo se obtiene su serie de Fourier?
f ( t ) 12 a 0
[a n cos(nw0 t ) bnsen(nw0 t )]
n 1 Obviamente, el problema se resuelve si sabemos como calcular los coeficientes a0,a1,a2,...,b1,b2,...
Esto se puede resolver considerando la ortogonalidad de las funciones seno y coseno comentada anteriormente.
Cálculo de los coeficientes de la Serie Multiplicando ambos miembros por cos(nw0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos: T/2
an
T2 f ( t ) cos(nw0 t )dt
n
0,1,2,3,...
T / 2
Similarmente, multiplicando por sen(nw0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos: T/2
b n
T2 f ( t )sen (nw0 t )dt n 1,2,3,... T / 2
Similarmente, integrando de –T/2 a T/2, obtenemos: T/2
a0
T2 f ( t )dt T / 2
Cálculo de los coeficientes de la Serie El intervalo de integración no necesita ser simétrico respecto al origen. Como la ortogonalidad de las funciones seno y coseno no sólo se da en el intervalo de –T/2 a T/2, sino en cualquier intervalo que cubra un periodo completo: (de t0 a t0+T, con t0 arbitrario) las fórmulas anteriores pueden calcularse en cualquier intervalo que cumpla este requisito.
Cálculo de los coeficientes de la Serie Ejemplo: Encontrar la Serie de Fourier para la siguiente función de periodo T:
f(t) 1 t ...
-T
/2
0
T
/2
T ...
-1
1 f ( t ) 1
para T2
t0 para 0 t T2
Solución: La expresión para f(t) en –T/2
Cálculo de los coeficientes de la Serie T/2
Coeficientes an:
an
T2 f (t ) cos(nw0 t )dt T / 2
0 T/2 2 T cos(nw0 t )dt cos(nw0 t )dt T / 2 0 0 T/2 1 1 2 T sen(nw0 t ) sen(nw0 t ) nw0 T / 2 nw0 0
0
para n 0
Cálculo de los coeficientes de la Serie Coeficiente a0:
T/2
a0
T2 f (t )dt T / 2
0 T/2 2 T dt dt T / 2 0 0 T/2 2 T t t T / 2 0
0
Cálculo de los coeficientes de la Serie T/2
Coeficientes bn:
bn
T2 f (t )sen(nw0 t )dt T / 2
0 T/2 2 T sen(nw0t )dt sen(nw0t )dt T / 2 0 0 T/2 1 1 T2 cos(nw0 t ) cos(nw0 t ) nw0 T / 2 nw0 0
1 np
(1 cos(np)) (cos(np) 1) 2 np
1 (1) ) n
para n 0
Cálculo de los coeficientes de la Serie Serie de Fourier: Finalmente la Serie de Fourier queda como
f ( t )
4
p
sen(w0t) 13 sen(3w0t) 15 sen(5w0t) ...
En la siguiente figura se muestran: la componente fundamental y los armónicos 3, 5 y 7 así como la suma parcial de estos primeros cuatro términos de la serie para w0=p, es decir, T=2:
Cálculo de los coeficientes de la Serie 1.5
Componentes de la Serie de Fourier
1 s0.5 e t n e n o 0 p m o C
-0.5
Suma fundamental tercer armónico quinto armónico septimo armónico
-1 -1.5 -1
-0.5
0
t
0.5
1
Cálculo de los coeficientes de la Serie Tarea: Encontrar la serie de Fourier para la siguiente señal senoidal rectificada de media onda de periodo 2p.
Senoidal rectificada de media onda 1 0.8 0.6 ) t ( f 0.4 0.2 0 -0.2
-6
-4
-2
0
t
2
4
6
Funciones Pares e Impares Una función (periódica o no) se dice función par (o con simetría par) si su gráfica es simétrica respecto al eje vertical, es decir decir,, la función funció n f(t) es par si f(t) = f(-t)
f(t)
t
Funciones Pares e Impares En forma similar, una función f(t) se dice función impar o con simetría impar, si su gráfica es simétrica respecto al origen, es decir, si cumple lo siguiente: -f(t) = f(-t)
f(t)
t
Funciones Pares e Impares Ejemplo: ¿Las siguientes funciones son pares o impares? f(t) = t+1/t g(t) = 1/(t2+1), Solución: Como f(-t) = -t-1/t = -f(t), por lo tanto f(t) es función impar. Como g(-t)=1/((-t)2+1) = 1/(t2+1)=g(t), por lo tanto g(t) es función par.
Funciones Pares e Impares Ejemplo: ¿La función h(t)=f(1+t2) es par o impar?, donde f es una función arbitraria. Solución: Sea g(t)= 1+t2, Entonces h(t)=f(g(t)) Por lo tanto h(-t) = f(g(-t)), Pero g(-t)=1+(-t)2 = 1+t2=g(t), finalmente h(-t)=f(g(t))=h(t), por lo tanto h(t) es función par, sin importar como sea f(t).
Funciones Pares e Impares Ejemplo: De acuerdo al ejemplo anterior, todas las siguientes funciones son pares: h(t) = sen (1+t2) h(t) = exp(1+t2)+5/ (1+t2) h(t) = cos (2+t2)+1 h(t) = (10+t2)-(1+t2)1/2 etc... Ya que todas tienen la forma f(1+t2)
Funciones Pares e Impares Como la función sen(nw0t) es una función impar para todo n0 y la función cos(nw0t) es una función par para todo n, es de esperar que:
Si f(t) es par, su serie de Fourier no contendrá términos seno, por lo tanto bn= 0 para todo n
Si f(t) es impar, su serie de Fourier no contendrá términos coseno, por lo tanto an= 0 para todo n
Funciones Pares e Impares Por ejemplo, la señal cuadrada, ya analizada en un ejemplo previo:
f(t)
1
...
-T
/2
0
T
/2
T ...
t
-1 Es una función impar, por ello su serie de Fourier no contiene términos coseno:
f ( t )
4
p
sen(w0t) 13 sen(3w0t) 15 sen(5w0t) ...
Simetría de Media Onda Una función periodica de periodo T se dice simétrica de media onda, si cumple la propiedad
Es decir, si en su gráfica las partes negativas son un reflejo de las positivas pero desplazadas medio periodo:
f (t
1 T) 2
f (t ) f(t)
t
Simetría de Cuarto de Onda Si una función tiene simetría de media onda y además es función par o impar, se dice que tiene simetría de cuarto de onda par o impar
Ejemplo: Función con simetría impar de cuarto de onda:
f(t)
t
Simetría de Cuarto de Onda Ejemplo: Función con simetría par de cuarto de onda:
f(t)
t
Simetría de Cuarto de Onda Tarea: ¿Qué tipo de simetría tiene la siguiente señal de voltaje producida por un triac controlado por fase?
f(t)
t
Simetrías y Coeficientes de Fourier
Simetría
Funciones en la serie
Coeficientes T/2
Ninguna
an
2 T
f (t) cos(nw t)dt 0
T/2
bn
2 T
T / 2
f (t)sen(nw t)dt 0
T / 2
únicamente cosenos
T/2
Par
an
T4 f (t) cos(nw0t)dt
Senos y cosenos
bn=0
0
T/2
Impar
an=0
bn
4 T
f (t)sen(nw t)dt 0
únicamente senos
0
media onda
n par 0 n par Senos y 0 T/2 T/2 cosenos an 4 bn 4 ( ) cos( ) f t n t dt n impar w0 f (t )sen(n w0 t)dt n impar T T impares 0 0
Simetrías y Coeficientes de Fourier Simetría
Funciones en la serie
Coeficientes
T/2
Ninguna
an
2 T
T/2
f (t) cos(nw0 t)dt
bn
T / 2
2 T
f (t)sen(nw0 t)dt
T / 2
an=0 (n par) ¼ de onda par
T/4
an
T8 f (t) cos(nw0 t)dt
bn=0
0
Senos y cosenos
Sólo cosenos impares
(n impar )
bn=0 (n par) ¼ de onda impar
an=0
bn
T/4
Sólo
0
senos impares
T8 f (t)sen(nw0 t)dt
(n impar )
Simetrías y Coeficientes de Fourier Por ejemplo, la señal cuadrada, ya analizada en un ejemplo previo:
1 ...
-T
/2
f(t)
0
T
/2
T ...
t
-1 Es una función con simetría de ¼ de onda impar, por ello su serie de Fourier sólo contiene términos seno de frecuencia impar:
f ( t )
4
p
sen(w0t) 13 sen(3w0t) 15 sen(5w0t) ...
Fenómeno de Gibbs Si la serie de Fourier para una función f(t) se trunca para lograr una aproximación en suma finita de senos y cosenos , es natural pensar que a medida que agreguemos más armónicos, la sumatoria se aproximará más a f(t). Esto se cumple excepto en las discontinuidades de f(t), en donde el error de la suma finita no tiende a cero a medida que agregamos armónicos. Por ejemplo, consideremos el tren de pulsos anterior:
Fenómeno de Gibbs 1.5
Serie con 1 armónico
1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -1
-0.5
0
0.5
1
Fenómeno de Gibbs 1.5
Serie con 3 armónicos
1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -1
-0.5
0
0.5
1
Fenómeno de Gibbs 1.5
Serie con 5 armónicos
1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -1
-0.5
0
0.5
1
Fenómeno de Gibbs 1.5
Serie con 7 armónicos
1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -1
-0.5
0
0.5
1
Fenómeno de Gibbs 1.5
Serie Se rie con 13 1 3 armónico armónicos s
1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -1
-0.5
0
0.5
1
Fenómeno de Gibbs 1.5
Serie Se rie con 50 5 0 armónico armónicos s
1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -1
-0.5
0
0.5
1
Fenómeno de Gibbs 1.5
Serie con 100 armónicos
1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -1
-0.5
0
0.5
1
Forma Compleja de la Serie de Fourier Consideremos la serie de Fourier para una función periódica f(t), con periodo T=2p/w0.
f ( t ) 12 a 0
[a n cos(nw0 t ) bnsen(nw0 t )] n 1
Es posible obtener una forma alternativa usando las fórmulas de Euler:
jnw0 t
jnw0 t
0
0
cos(nw0 t ) (e
e ) jnw t jnw t 1 sen (nw0 t ) 2 j (e e ) 1 2
Donde
j
1
Forma Compleja de la Serie de Fourier Sustituyendo
f ( t ) a 0 1 2
[a
1 n 2
jnw0 t
(e
e
jnw0 t
) b
1 n 2 j
jnw0 t
(e
e
jnw0 t
)]
n 1
Y usando el hecho de que 1/j=-j
f ( t ) a 0 1 2
[
1 2
jnw0 t
(a n jb n )e
1 2
(a n jb n )e
jnw0 t
]
n 1
Y definiendo:
c0 12 a 0 , cn 12 (a n jb n ), cn 12 (a n jb n ) Lo cual es congruente con la fórmula para bn, ya que b-n=-bn, ya que la función seno es impar.
Forma Compleja de la Serie de Fourier La serie se puede escribir como
f ( t ) c0
(c e
jnw0 t
n
cn e
jnw0 t
)
n 1
O bien,
Es decir,
f ( t ) c0
c n e jnw t
jnw0 t
cn e
0
n 1
f ( t )
n 1
c e
jnw0 t
n
n
Forma Compleja de la Serie de Fourier A la expresión obtenida
f ( t )
c e
jnw0 t
n
n
Se le llama forma compleja de la serie de Fourier y sus coeficientes cn pueden obtenerse a partir de los coeficientes an, bn como ya se dijo, o bien: T
cn Para n=0, 1, 2, 3, ...
T1 f (t )e jnw t dt 0
0
Forma Compleja de la Serie de Fourier Los coeficientes cn son números complejos, y también se pueden escribir en forma polar:
cn
c n
Obviamente,
cn Donde
1 2
a
j n
cn e
c cn e
2 n
* n
b
2 n
jn
b n
n arctan(
,
an
Para todo n0, Para n=0, c0 es un número real:
c0
12 a 0
)
Forma Compleja de la Serie de Fourier Ejemplo. Encontrar la forma compleja de la serie de Fourier para la función ya tratada:
1 ...
-T/ 2
f(t)
0
T/ 2
T ...
t
-1 Solución 1. Como ya se calcularon los coeficientes de la forma trigonométrica (an y bn): an=0 para todo n y
b n
n2p [1 (1) n ]
para todo n
Forma Compleja de la Serie de Fourier Podemos calcular los coeficientes cn de:
cn
1 2
[a n jb n ] cn
j
1 np
j
1 2 2 np
[1 (1) ] n
[1 (1) ] n
Entonces la Serie Compleja de Fourier queda
f ( t ) p j(... e 2
1 5
j5w0 t
jw0 t
e
1 3
1 3
e
j3w0 t
j3w0 t
e
1 5
e
jw0 t
j5w0 t
e
...)
Forma Compleja de la Serie de Fourier Solución 2. También podemos calcular los coeficientes cn mediante la integral
T
cn
T1 f (t )e jnw t dt 0
0
T/ 2
1 T
T
( e
jnw0 t
dt
0
1 T
(
1 jnwo
e
e
jnw0 t
dt)
T/2
jnw0 t
T/2
1 jnwo
e
jnw0 t
0
T
) T/2
jn1w T [(e jnw T / 2 1) (e jnw T e jnw T / 2 )] 0
o
0
0
Forma Compleja de la Serie de Fourier Como
w0T=2p y además
cn
e
j
cos jsen
jn1w T [(1) n 1) (1 (1)n )] o
j nw T [1 (1) 2
n
o
j
1 np
]
[1 (1) ]
Lo cual coincide con el resultado ya obtenido.
n
Forma Compleja de la Serie de Fourier Tarea: Calcular los coeficientes cn para la siguiente función de periodo 2p. a) A partir de los coeficientes an,bn b) Directamente de la integral
Senoidal rectificada de media onda 1 0.8 ) 0.6 t ( f
0.4 0.2 0
-0.2
-6
-4
-2
0
t
2
4
6
Espectros de Frecuencia Discreta A la gráfica de la magnitud de los coeficientes cn contra la frecuencia angular w de la componente correspondiente se le llama el espectro de amplitud de f(t). A la gráfica del ángulo de fase espectro de fase de f(t).
n de los coeficientes cn contra w, se le llama el
Como n sólo toma valores enteros, la frecuencia angular w=nw0 es una variable discreta y los espectros mencionados son gráficas discretas.
Espectros de Frecuencia Discreta Dada una función periódica f(t), le corresponde una y sólo una serie de Fourier, es decir, decir, le corresponde un conjunto único de coeficientes cn. Por ello, los coeficientes cn especifican a f(t) en el dominio de la frecuencia de la misma manera que f(t) especifica la función en el dominio del tiempo.
Espectros de Frecuencia Discreta Ejemplo. Para la función ya analizada:
1 Se encontró que
...
-T
f(t)
0
/2
T
/2
T ...
t
-1
Por lo tanto,
cn
j
1 np
cn
[1 (1) ]
1 np
[1 (1) ] n
n
Espectros de Frecuencia Discreta El espectro de amplitud se muestra a continuación 0.7
Espectro de Amplitud de f(t)
0.6
0.5 n C0.4
0.3 0.2 0.1 0 -30
-20
-10
0
n
10
20
30
Frecuencia negativa (?) Observación : El eje horizontal es Frecuencia un eje de frecuencia,
(n=número de armónico = múltiplo de w0).
Espectros de Frecuencia Discreta Tarea. Dibujar el espectro de amplitud para la función senoidal rectificada de ½ onda.
Potencia y Teorema de Parseval El promedio o valor medio de una señal cualquiera f(t) en un periodo dado (T) se puede calcular como la altura de un rectángulo que tenga la misma área que el área bajo la curva de f(t)
T
Area
f(t)
f (t )dt 0
1 Area=Th
h=Altura promedio
t T
Potencia y Teorema de Parseval De acuerdo a lo anterior, si la función periódica f(t) representa una señal de voltaje o corriente, la potencia promedio entregada a una carga resistiva de 1 ohm en un periodo está dada por
Si f(t) es periódica, también lo será [f(t)]2 y el promedio en un periodo será el promedio en cualquier otro periodo. T/2 1 T
[f ( t )]2 dt
T / 2
Potencia y Teorema de Parseval El teorema de Parseval nos permite calcular la integral de [f(t)]2 mediante los coeficientes com-plejos cn de Fourier de la función periódica f(t):
O bien, en términos de los coeficientes an, bn:
T/2
1 T
[f (t)] dt c
T / 2
[f ( t )]2 dt 14 a 02 12
T / 2
n
n
T/2 1 T
2
2
n 1
(a 2n b 2n )
Potencia y Teorema de Parseval Una consecuencia importante del teorema de Parseval es el siguiente resultado: El valor cuadrático medio de una función periódica f(t) es igual a la suma de los valores cuadráticos medios de sus armónicos, es decir,
Donde Cn es la amplitud del armónico n-ésimo y C0 es la componente de directa. 2
T/2
1 T
[f (t)] dt C 2
T / 2
2 0
n 1
Cn
2
Potencia y Teorema de Parseval Para aclarar el resultado anterior es conveniente encontrar la relación entre los coeficientes complejos cn de la serie
f ( t )
c e
jnw0 t
Y los coeficientes reales Cn de la serie n
f ( t ) C0
n
C cos(nw t ) n
0
n
Donde Cn es la amplitud del armónico n-ésimo y C0 es la componente de n 1 directa.
Potencia y Teorema de Parseval Por un lado
Cn
Mientras que Entonces,
cn cn
1 2
a 2n b 2n ,
1 2
a
2 n
b
2 n
Por lo tanto,
cn
Cn
2
1 4
C
2 n
Además, para el armónico Su valor rms es , por lo tanto suf valor medio (t )cuadrático C cos( n es n
Cn /C0, 2su valor rms es Para la componente de directa 2 cuadrático medio será C02. C /2 n
n
w0 t n )
C0, por lo tanto su valor
Potencia y Teorema de Parseval Ejemplo. Calcular el valor cuadrático medio de la función f(t):
1 Solución. ... Del teorema de Parseval
-T
f(t)
0
/2
T
-1
T ...
/2
T/2
y del ejemplo anterior 1 T
[f (t)] dt c
cn
c
n
2 n
1 np
n
[1 (1) ] n
1 1 1 2 1 ... p 9 25 49 8
2
2
T / 2
sustituyendo
t
n
Potencia y Teorema de Parseval La serie numérica obtenida converge a
1
Por lo tanto,
Como era de esperarse. T/2 1 T
1 9
1 25
1 49
[f (t)] dt c
2
2
T / 2
n
n
... 1.2337
8
p
2
(1.2337) 1
Potencia y Teorema de Parseval Tarea. Calcular el valor cuadrático medio para la señal senoidal rectificada de media onda de periodo 2p.
De la Serie a la Transformada de Fourier La serie de Fourier nos permite obtener una representación en el dominio de la frecuencia para funciones periódicas f(t). ¿Es posible extender de alguna manera las series de Fourier para obtener el dominio de la frecuencia de funciones no periódicas? Consideremos la siguiente función periodica de periodo T
De la Serie a la Transformada de Fourier Tren de pulsos de amplitud 1, ancho p y periodo T:
1
f(t) p
...
-T
-T/ 2 -p
0 f ( t ) 1 0
0 p
/2
/2
T/ 2
p t 2 2 p p t 2 2 p T t 2 2
T
T ...
t
De la Serie a la Transformada de Fourier Los coeficientes de la Serie Compleja de Fourier en este caso resultan puramente reales:
) El espectro de frecuencia correspondiente p sen( nw0 lo 2 obtenemos cwn 0. ( T ) graficando cn contra w=n p (nw0 2 ) p
(en este caso)
De la Serie a la Transformada de Fourier Espectro del tren de pulsos para p=1, T=2
0.6
0.4 n
c
0.2
0
-0.2
-60
-40
-20
0
20
40
60 w=nw
0
De la Serie a la Transformada de Fourier Si el periodo del tren de pulsos aumenta: 1.5
p=1, T=2
1
) t ( f
0.5 0 -20
-10
1.5
t
0
10
20
10
20
p=1, T=5 1
) t ( f
0.5 0 -20
-10
0
t
1.5
p=1, T=10
1
) t ( f
0.5 0 -20
-10
0
t
10
20
0
t
10
20
1.5
p=1, T=20 1
) t ( f
0.5 0 -20
-10
De la Serie a la Transformada de Fourier En el límite cuando T, la función deja de ser periódica:
1.5 ) 1 t ( f ¿Qué pasa
p=1, T=
con los coeficientes de la serie de Fourier?
0.5 0 -20
-10
0
t
10
20
De la Serie a la Transformada de Fourier 0.6 0.4
n
p=1, T=2
c
0.2 0 -0.2
-50
0
w=nw0
50
0.3
p=1, T=5
0.2 0.1
0 -0.1
-50
0
50
0.15
p=1, T=10
0.1 0.05 0 -0.05
-50
0.06
p=1, T=20
0.04 0.02 0 -0.02
0
50
De la Serie a la Transformada de Fourier Si hace T muy grande (T): El espectro se vuelve ¡continuo!
De la Serie a la Transformada de Fourier El razonamiento anterior nos lleva a reconsiderar la expresión de una función f(t) no periódica en el dominio de la frecuencia, no como una suma de armónicos de frecuencia nw0, sino como una función continua de la frecuencia w. Así, la serie Al cambiar la variable discreta nw0 (cuando T) por la variable continua w, se transforma en una integral de la siguiente manera:
f ( t )
c e
jnw0 t
n
n
De la Serie a la Transformada de Fourier T/2
Como
cn
La serie queda
T1
f ( t )e
T / 2
jnw0 t
dt
1 T/2 jnw t jnw t f ( t ) T f ( t )e dt e n T / 2
0
O bien,
cuando T, nw0w y w se convierte en T /sumatoria 2 0dw y la jnw0 t jnw0 t 1 f ( t ) f ( t )e dt 0e 2p n T / 2
w
jwt jwt 1 f ( t ) 2 p f ( t )e dt e dw
0
De la Serie a la Transformada de Fourier Es decir,
Donde
f ( t )
1 2p
F(w)e
jwt
dw
Identidad de Fourier
Estas expresiones nos permiten calcular la expresión F( wTransformada ) (dominio de la jwt frecuencia) a partir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa
F(w)
f (t)e
dt
De Fourier
De la Serie a la Transformada de Fourier Notación: A la función F(w) se le llama transformada de Fourier de f(t) y se denota por F , es decir
En forma similar, a la expresión qu enos permite obtener f(t) a partir de F(w) se denota por F –1 ,es decir le llama transformada inversa de Fourier y se
F [f ( t )]
F(w)
f ( t )e jwt dt
1 F [F(
w)] f (t )
1 2p
F(w)e
jwt
dw
De la Serie a la Transformada de Fourier Ejemplo. Calcular F(w) para el pulso rectangular f(t) siguiente
1
f(t)
Solución. La expresión en el dominio del tiempo de la función es
t -p
/2
0 f ( t ) 1 0
0
p
/2
t p
p 2
p t 2 2 p t 2
De la Serie a la Transformada de Fourier Integrando
F(w)
p / 2
f ( t )e jwt dt
1 jw
Usando la fórmula de Euler
e jwt dt
p / 2
e
jwt
p / 2
p / 2
jw p / 2 jw p / 2 1 Obsérvese que el resultado es igual al obtenido para cn cuando T , pero jw
(e
e
)
multiplicado por T.
F(w) p
sen(w p / 2)
w p / 2
De la Serie a la Transformada de Fourier En forma Gráfica
) w ( F1
F(w) con p=1
0.5 0 -50
0
50
w
De la Serie a la Transformada de Fourier Tarea. Calcular la Transformada de Fourier de la función escalón unitario u(t):
u(t) 1 Graficar U(w)=F [u(t)] ¿Qué rango de frecuencias contiene U(w)? ¿Cuál es la frecuencia predominante? 0
t
La Transformada Rápida de Fourier Cuando la función f(t) está dada por una lista de N valores f(t1), f(t2), ...f(tN) se dice que está discretizada o muestreada, entonces la integral que define la Transformada de Fourier:
F(w) f ( t )e jwt dt Se convierte en la sumatoria
F(n )
N
f (t k 1
)e
k
j 2 Npn ( k 1)
, para1 n N
(Donde k es la frecuencia discreta) Llamada Transformada Discreta de Fourier
La Transformada Rápida de Fourier La Transformada Discreta de Fourier (DFT) requiere el cálculo de N funciones exponenciales para obtener F(n), lo cual resulta un esfuerzo de cálculo enorme para N grande. Se han desarrollado métodos que permiten ahorrar cálculos y evaluar de manera rápida la Transformada discreta, a estos métodos se les llama Transformada Rápida de Fourier (FFT)
La FFT y la Serie de Fourier Podemos hacer uso de la FFT para calcular los coeficientes cn y c-n de la Serie compleja de Fourier como sigue:
Ejemplo: Sea f(t) el tren de pulsos de ancho p y periodo T.
1
f(t) p
...
-T
-T
/2
-p
0
/2
T p
/2
/2
T ...
t
La FFT y la Serie de Fourier La versión muestreada f(k) de f(t) sólo puede tomar un número finito de puntos. Tomemos por ejemplo N=32 puntos cuidando que cubran el intervalo de 0 a T (con p=1, T=2):
32 muestras de f(t), de 0 a T
1.5
) k ( f
1
0.5
0
0
1
k
2
La FFT y la Serie de Fourier Para obtener estas 32 muestras usando Matlab se puede hacer lo siguiente:
k=0:31 f=[(k<8)|(k>23)] Plot(k,f,’o’)
La FFT y la Serie de Fourier Con los 32 puntos f(k) calculamos F(n) mediante la FFT, por ejemplo, en Matlab:
F=fft(f)/N; Con lo que obtenemos 32 valores complejos de F(n). Estos valores son los coeficientes de la serie compleja ordenados como sigue:
n
1
F(n) c0
2
3
4
c1
c2
c3
...
16
17
18
19
...
32
... c15 c-16 c-15 c-14 ...
c-1
La FFT y la Serie de Fourier Podemos graficar el espectro de amplitud reordenando previamente F(n) como sigue
aux=F; F(1:16)=aux(17:32); F(17:32)=aux(1:16); F(n) queda:
1 ... 13 14 15 16 n Y para graficar el espectro de amplitud:
F(n) c-16
Obteniéndose:
...
17
18
19
...
32
c-3 c-2 c-1 c0 c1 c2 stem(abs(F))
c3
... c15
La FFT y la Serie de Fourier 0.6 ) n ( F | |
Espectro de Amplitud |F(n)| Para el tren de pulsos p=1, T=2
0.4
0.2 Si deseamos una escala horizontal en unidades de frecuencia (rad/seg):
0
0
10
20
30
n
La FFT y la Serie de Fourier w0=2*pi/T; n=-16:15; w=n*w0; Stem(w,abs(F)) Espectro de Amplitud |F(n)|
0.6
para el tren de pulsos, p=1,T=2
| ) w ( F |
0.4
Obteniendo: 0.2
0
-50
0
50
w
La FFT y la Serie de Fourier También podemos obtener los coeficientes de la forma trigonométrica, recordando que:
Podemos obtener
cn 12 (a n jb n ), cn 12 (a n jb n )
Para el ejemplo se obtiene: a0=0.5, an=bn=0 (para n par), además para n impar:
a0
n
an
1
c0 , 3
an
2 Re(cn ), 5
7
9
b 2 Im(cn )
11
13
15
0.6346 -0.2060 0.1169 -0.0762 0.0513 -0.0334 0.0190 -0.0062
bn -0.0625 0.0625 -0.0625 0.0625 -0.0625 0.0625 -0.0625 0.0625
La FFT y la Serie de Fourier Como el tren de pulsos es una función par, se esperaba que b n=0; (el resultado obtenido es erróneo para bn, pero el error disminuye para N grande):
1
a0 0.5
Coeficientes bn Coeficientes an 0
-0.5
0
10
20
30
La FFT y la Serie de Fourier Tarea: Usar el siguiente código para generar 128 puntos de una función periódica con frecuencia fundamental w0=120p (60 hertz) y dos armónicos impares en el intervalo [0,T]: N=128; w0=120*pi; T=1/60; t=0:T/(N-1):T; f=sin(w0*t)+0.2*sin(3*w0*t)+0.1*sin(11*w0*t);
Usando una función periódica diferente a la subrayada: a) Graficar la función. b) Obtener y graficar el espectro de amplitud de la señal usando la función FFT
Medidores Digitales La FFT ha hecho posible el desarrollo de equipo electrónico digital con la capacidad de cálculo de espectros de frecuencia para señales del mundo real, por ejemplo: 1) Osciloscopio digital Fuke 123 ($ 18,600.00 M.N. ) 2) Osc. digital Tektronix THS720P ($3,796 dls) 3) Power Platform PP-4300
Medidores Digitales El Fluke 123 scope meter
Medidores Digitales Tektronix THS720P (osciloscopio digital)
Medidores Digitales Analizador de potencia PP-4300 Es un equipo especializado en monitoreo de la calidad de la energía: permite medición de 4 señales simultáneas (para sistemas trifásicos)
Serie trigonométrica de Fourier Algunas funciones periódicas f(t) de periodo T pueden expresarse por la siguiente serie, llamada serie trigonométrica de Fourier f(t) = ½ a0 + a1cos( w0 t) + a2 cos(2 w0 t) + ... + b1sen( w0 t) + b2 sen(2 w 0 t) + ... Donde w 0 = 2 p /T se denomina frecuencia fundamental.
f (t ) 12 a0
[a n 1
n
cos(nw 0t ) bn sen(nw 0t )] 115
Se dice que las funciones del conjunto {f k (t)} son o r t o g o n a l e s en el intervalo a < t < b si dos funciones cualesquiera f m(t), f n(t) de dicho conjunto cumplen:
0 para m n a f m(t)f n(t)dt r n para m n b
Ejemplo: Demostrar que las funciones sen t y cos t son ortogonales en el intervalo –p < t
sent cos tdt
π
2
sen t 2
π
0
π
116
Funciones Pares e Impares f(t)
Una función es par si su gráfica es simétrica respecto al eje vertical, es decir f(t) = f(-t)
t
f(t)
t
una función es i m p a r si su gráfica es simétrica respecto al origen, es decir, -f(t) = f(-t)
117
¿Cómo calcular los coeficientes de la serie?
f (t ) a0 1 2
a0
2
[a
n
cos(nw 0t ) bn sen(nw 0t )]
n 1
T / 2
f (t )dt
T T / 2
T / 2
an
T 2
f (t ) cos(n
w
0
t )dt n 1, 2, 3,...
T / 2 T / 2
bn
T 2
f (t ) sen(nw 0t )dt n 1, 2, 3,...
T / 2
118
Encontrar la serie de Fourier para la función de onda cuadrada de periodo T : f(t) 1 t ...
-T/
2
0
T/ 2
T ...
-1
La expresión para f(t) en –T / 2 < t < T / 2 es:
1 para T 2 t 0 f (t ) T para t 1 0 2
w 0 = 2 p/T 119
Coeficiente a0: T / 2
1 para T 2 t 0 f (t ) T 1 0 para t 2
a0
T 1 f (t )dt T / 2
T / 2 0 0 T / 2 2 t 0 a0 T 2 dt dt T t T / 2 0 0 T / 2
120
Coeficientes an: 1 para T 2 t 0 f (t ) T 1 0 para t 2
T / 2
an
T 2 f (t ) cos(nw 0t )dt T / 2
0 T / 2 2 an T 1 cos(nw 0t )dt 1 cos(nw 0t )dt 0 T / 2 0 T / 2 1 1 T 2 sen(nw 0t ) sen(nw 0t ) 0 nw 0 nw 0 T / 2 0
para n 0
121
Coeficientes bn:
T / 2
1 para T 2 t 0 f (t ) T 1 0 para t 2
bn
T 2 f (t ) sen(nw 0t )dt T / 2
0 T / 2 2 bn T 1 sen(nw 0t )dt 1 sen(nw 0t )dt 0 T / 2 0 T / 2 1 1 2 T cos(nw 0t ) cos(nw 0t ) nw 0 nw 0 T / 2 0
1
np 2
np
1 cos(np ) cos(np ) 1
1 (1) ) n
para n 0 122
Finalmente, la serie de Fourier queda como f (t ) f (t )
4
p 4
sen(w t ) 0
sen(3w 0t ) 15 sen(5w 0t ) ...
1 3
1
sen(2n 1)w t ) 2n 1 p 0
n 1
En la siguiente figura se muestran: la componente fundamental y los armónicos 3, 5 y 7, así como la suma parcial de estos primeros cuatro términos de la serie para
w0 = p w 0 = 2 p/T , es decir, T = 2: 123
f (t )
4
sen(w t ) p 0
sen(3w 0t ) 15 sen(5w 0t ) ...
1 3
Componentes de la Serie de Fourier
1.5 1 0.5
s e t n e n o p m o C
0
-0.5 Suma
-1
fundamental tercer armónico quinto armónico séptimo armónico
-1.5
-1
-0.5java applet (http://www.falstad.com/fourier/) 0 0.5 Fourier series t
124 1
Nota: Para expresarse como serie de Fourier f(t), no necesita estar centrada en el origen. Simplemente debemos tomar el intervalo, donde está definida, como el periodo de la serie. La ortogonalidad de las funciones seno y coseno no sólo se da en el intervalo de –T/2 a T/2, sino en cualquier intervalo que cubra un periodo completo: de t0 a t0 + T, con t0 arbitrario, con el mismo resultado.
125
f(t)
Habíamos calculado los coeficientes para:
1 t
1 para T / 2 t 0 f (t ) 1 para 0 t T / 2
...
-T
/2
0
T
/2
T ...
-1
Si los calculamos para la misma función desplazada tienen que ser los mismos:
f(t) 1
1 para 0 t T / 2 f (t ) 1 para T / 2 t T
...
-T
/2
0
T
/2
T ...
-1 126
t
De hecho si repetimos para cualquier intervalo de longitud el periodo T de la función, será lo mismo:
a0
f(t)
1 t
...
t0
T / 2
T
t 0 T
T / 2
0
t 0
-1
t0 +T
...
T 1 f (t )dt T 2 f (t )dt T 2 f (t )dt T 2 f (t )dt T
T / 2
an
T 2 f (t ) cos(nw 0t )dt ... T 2 f (t ) cos(nw 0t )dt T / 2
T
T / 2
bn
T 2 f (t ) sen(nw 0t )dt ... T 2 f (t ) sen(nw 0t )dt T / 2
T
127
Calcular la serie de Fourier de la función periódica:
f (t ) 1 cos(3t ) de periodo T
2p 3
Como la función sen(nw 0 t) es una función impar para todo n y la función cos(nw 0 t) es una función par para todo n, es de esperar que: •
Si f(t) es par, su serie de Fourier no contendrá términos seno, por lo tanto bn= 0 para todo n.
•
Si f(t) es impar, su serie de Fourier no contendrá términos coseno, por lo tanto an= 0 para todo n. 129
Por ejemplo, la señal cuadrada, que hemos analizado: f(t) 1
...
-T/ 2
0
T/ 2
T ...
t
-1
Es una función impar, por ello su serie de Fourier no contiene términos coseno: f (t )
4
sen(w t ) p 0
sen(3w 0t ) 15 sen(5w 0t ) ...
1 3
130
Simetría de media onda Una función periodica de periodo T se dice s im é tr ic a d e m ed ia o n d a , si cumple la propiedad
f (t 12 T ) f (t ) Es decir, si en su gráfica las partes negativas son un reflejo de las positivas pero desplazadas medio periodo: f(t)
t 131
Simetrías y Coeficientes de Fourier Simetría
Funciones en la serie
Coeficientes T/2
Ninguna
an
2 T
f (t) cos(nw t)dt 0
T/2
bn
2 T
T / 2
f (t)sen(nw t)dt 0
T / 2
únicamente cosenos
T/2
Par
an
4 T
senos y cosenos
f (t) cos(nw t)dt
bn= 0
0
0
T/2
Impar
an= 0
bn
4 T
f (t)sen(nw t)dt 0
únicamente senos
0
Media onda
0 n par 0 n par Senos y T/2 T/2 cosenos an 4 bn 4 f ( t ) cos(nw 0 t )dt n impar f (t)sen(n w0 t)dt n impar impares T T 0 0
132
133
134
135
Consideremos la serie de Fourier para una función periódica f(t), con periodo T = 2 p / w 0 . f (t ) 12 a0
[a
n
cos(nw 0t ) bn sen(nw 0t )]
n 1
Es posible obtener una forma alternativa usando las fórmulas de Euler:
cos(nw 0t ) (e 1 2
sen(nw 0t )
1 2i
inw 0t
(e
e
inw 0t
inw 0t
e
)
inw 0t
) 136
Sustituyendo: f (t ) 12 a0
n 1
[an 12 (e
inw 0t
e inw t ) bn 21i (einw t e inw t )] 0
0
0
Y usando el hecho de que 1/i = -i :
f (t ) 12 a0
n 1
[ 12 (an
ibn )einw t 12 (an ibn )e inw t ] 0
0
Y definiendo: c0 12 a0 , cn 12 (an ibn ), cn 12 (an ibn )
f (t )
cn e
n
inw 0t
w
0
2p T 137
A la expresión obtenida
f (t )
c e
inw 0t
n
n
se le llama forma compleja de la serie de y sus coeficientes c n pueden obtenerse a Fourier partir de los coeficientes an, bn como ya se dijo, o bien: T
cn
1 T
f (t )e
inw 0t
dt
0
Para n = 0, 1, 2, 3, ... 138
Ejemplo. Encontrar la forma compleja de la serie de Fourier para la función ya tratada: f(t) 1 t ...
-T/ 2
0
T/ 2
T ...
-1
Solución 1. Como ya se calcularon los coeficientes de la forma trigonométrica (a n y bn), que eran an= 0 para todo n y bn
2
np
[1 (1) ] para todo n n
139
0
cn
12 [an ibn ]
cn
cn
12 [i
i np
2 np
[1 (1) n ] ] i n1p [1 (1) n ]
[1 (1) ] n
para n par 0 C n 2i np para n impar
Entonces la serie 2i in compleja de Fourier f (t ) e n p n queda:
f (t ) i(... e 2 p
1 5
e
i 5w 0t
iw 0t
e
e 1 3
1 3
i 3w 0t
i 3w 0t
e
e 1 5
0t
w
n impar
iw 0t
i 5w 0t
...) 140
Solución 2. También podemos calcular los coeficientes c n mediante la integral: T
cn
1 T
f (t )e
inw 0t
dt
0
1
T / 2
1e T 0
T
inw 0t
dt
1e
T / 2
dt
inw 0t
T / 2 T 1 in t in t w w in1w e in1w e T 0 T / 2 0
0
o
1
inw oT
o
(e
inw 0T / 2
1) (e
inw 0T
e
inw 0T / 2
)
141
Como
w0T = 2p y :
cn
e i cos isen 0
e inp 1 cos np isennp 1
1
inp
1
n
(e
inp
1) (ein 2p einp )
1
0 in 2p inp e e cos 2np isen 2np cos np isennp 1 1n 1
cn
0
in1w T [(1) n 1) (1 (1)n )] o
i
2 nw oT
[1 (1) ] n
i n1p [1 (1)n ]
que coincide con el resultado ya obtenido.
142
Calcular la serie de Fourier de la función de Heaviside, usando la forma compleja,
0 , H ( x) 1 ,
1 x 0 0 x 1
143
La función impulso o delta de Dirac
(t )
if t 0 (t ) 0 if t 0
t
(t ) f 3(t ) f 2(t ) f 1(t ) t
Podemos pensar en la delta de Dirac como el límite de una serie de funciones:
f m(t)
m
p
e
( mt ) 2 144
Propiedades de la función
(t )
t
(t ) dt 1
(t a) f (t ) dt (t a) f (a) dt f (a)
exp(iwt ) d t 2p (w
exp[i(w w ')t ] dt 2p (w w '
145
Calcular la serie de Fourier de (x):
c
x
j
ip jx
c j
e
j
c0
1
1
e 2
1
1
e 2
ip jx
( x)dx
1
ip 0 x
( x)dx
1
c0
1
1
( x)dx 2 1
c0
1 2
146
Calcular la serie de Fourier de (x):
c
x
ip jx
j
c j
e
j
1
1
ip jx
C e 2 0
j 0
x
2
( x)dx
1
1 ( x)dx c j 2 1 2
función delta vale 0
1
e 2
ip jx
1
Para todas las x ≠ 0 la
x
1
1
1
2
1
2
(eip jx eip jx)
j 0
cos(p jx ) j 0
147
12
10
8
6
4
2
0
-2
-4 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
148
12
10
8
6
4
2
0
-2
-4 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
149
12
10
8
6
4
2
0
-2
-4 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
150
12
10
8
6
4
2
0
-2
-4 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
151
12
10
8
6
4
2
0
-2
-4 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
152
12
10
8
6
4
2
0
-2
-4 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
153
12
10
8
6
4
2
0
-2
-4 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
154
12
10
8
6
4
2
0
-2
-4 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
155
12
10
8
6
4
2
0
-2
-4 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
156
