23
II.
2.1.
ANÁLISIS DE FOURIER: SERIES, INTEGRALES Y TRANSFORMADAS TRANSFORMADAS DE FOURIER SERIES DE FOURIER
2.1.0. INTRODUCCIÓN La idea de expandir un función en forma de serie trigonométrica para resolver problemas relacionados a la vibración de resorte resorte fue usada por Bernoulli, D’Alembert D’Alembert y Euler en 1750, pero fue Joseph Fourier (1768 – 1830), físico francés, quien desarrolló el método hasta un nivel para casos más generales. Fourier estaba interesado en los problemas de flujo de calor: dada una temperatura inicial en todos los puntos de una región, quería determinar el cambio en la distribución de la temperatura a través del tiempo. En 1807, Fourier Fourier postuló que que una función función arbitraria arbitraria podía ser representada por una Serie Trigonométrica Convergente, Convergente , de la forma
∑ El resultado fue considerado tan sorprendente que encontró la oposición de los grandes matemáticos de su época (Piere (P iere Simon de Laplace, Poisson y Lagrange), pues, consideraban que le faltaba rigor matemático al trabajo de de Fourier. Debido a esta causa, se le encomienda la tarea de completar matemáticamente dicho trabajo a los Matemáticos Alemanes Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet y Georg Friedrich Bernhard Riemann. Por esta razón es hasta el año 1822, cuando se publica su célebre Théorie Analytique de la Chaleur (Teoría Analítica del Calor ), Calor ), el cual se convirtió en un clásico para los métodos modernos de resolución de Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales, sujetas a las condiciones de frontera. Seguidor de la teoría matemática de la conducción del calor. Estableció la ecuación diferencial parcial que gobierna la difusión del calor solucionándolo por el uso de series infinitas de funciones trigonométricas. También puede ser utilizado para resolver problemas relacionados a las vibraciones estructurales, propagación de ondas y difusión. difusión. Introduce la representación de una función arbitraria periódica como como una serie de senos y cosenos, ahora ahora conocidas como las series de Fourier. El trabajo de Fourier provee el ímpetu para más tarde trabajar en series trigonométricas y la teoría de las funciones de variables reales. En la actualidad, el trabajo de Fourier es utilizado en modelar muchos fenómenos físicos y de ingeniería de áreas tan inimaginables en la época de Fourier como lo son la computación y la tomografía asistida por computadoras (CAT), la cual es una técnica moderna de diagnóstico.
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2.1.1. FUNCIONES PERIÓDICAS. SERIES TRIGONOMÉTRICAS.
FUNCIONES PERIÓDICAS
DEFINICIÓN: Una función el dominio de la función
es una “Función periódica con periodo y todo entero :
”, si para toda en en
ONDA SERPENTINA
ANOTACIONES IMPORTANTES: IMPORTANTES:
DEFINICIÓN: El intervalo entre dos replicas sucesivas de la grafica de función denomina “Periodo “Periodo de la función” función ” y lo denotamos por “ ”.
DEFINICIÓN: Se denomina “ frecuencia de la función
se le
” al número de repeticiones por unidad de tiempo “ ” y se escribe como el inverso del periodo
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DEFINICIÓN: El Término “Frecuencia Circular ” se utiliza en las aplicaciones en ingeniería, la
denotamos como “ω” y se define como:
La Frecuencia Circular se mide en radianes por segundos. Es común eliminar el término “circular” y decir simplemente “Frecuencia”
SERIES TRIGONOMÉTRICAS
La representación de una función en la forma de una Serie es una práctica bastante en Matemática y es practicada desde la antigüedad. Las más comunes son las “Series de Potencia”, que tiene la forma:
∑
∑ ∑ ∑ ∑
Donde el “conjunto base” son las funciones de potencia: son:
y las más conocidas
DEFINICIÓN: Las series de funciones de la forma:
Y donde las son constantes reales, se Trigonométricas” . La podemos escribir de forma compacta de la forma:
llaman
“Series
Los se les llama “Coeficientes de la Serie” y el conjunto base de la Serie es el sistema trigonométrico:
26
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
DEFINICIÓN: Al conjunto Funciones en el intervalo entre sí, es decir:
, se le llama “Conjunto Ortogonal de ”, si cualquier par de funciones en el conjunto son ortogonales
RELACIONES DE ORTOGONALIDAD
Sea
; para toda y
enteros y el intervalo
Bajo esta definición el conjunto:
Es un conjunto “Ortogonal de Funciones en el intervalo [
27
2.1.2. SERIES DE FOURIER. COEFICIENTES DE EULER.
SERIES DE FOURIER.
∑ ∑ ∫ ∫ ∑ ∑ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∑ ∫
TEOREMA DE FOURIER: Una función periódica
que satisface ciertas condiciones, puede expresarse como la suma de un número de funciones “Senos” de diferentes amplitudes, fases y periodos . Es decir, si es una función periódica con periodo “ ”, entonces: Donde los
, constantes y
es la frecuencia de la función
. A esta expresión se le llama “Expansión en Serie de Fourier de la función
Con
” .
A los y que dan los Coeficientes de Fourier se les llama “Formulas de Euler ó Coeficientes de Euler ”.
COEFICIENTES DE EULER.
(a) Si
se integra respecto a “ ” en el intervalo
∫
:
28
∫ ∫ ∑ ∑ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( )∫ ∫ ∫ ∫ ∑ ∑ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (b) Si multiplicamos :
por
e integramos
respecto a “ ” en el intervalo
(c) Si multiplicamos :
por
e integramos
respecto a “ ” en el intervalo
29
∫ ( )∫ ∫ En resumen:
∑ ∑ ∫ ∫ ∫ ∑ ∑ ∫ ∫ ∫
Para una función periódica
de periodo
que puede expresarse como una
Serie de Fourier:
Donde
Para una función periódica de periodo entonces expresarse como una Serie de Fourier
Donde
que puede
30
Ejemplos: (1) Dada la Función Periódica, Diente de Sierra (a) Dibujar la gráfica de en (b) Obtener la expansión en Serie de Fourier de
.
(2) Sea la Función Periódica, (a) Dibujar la gráfica de en (b) Obtener la expansión en Serie de Fourier de
FUNCIÓN CONTINUA A PEDAZOS SOBRE UN INTERVALO
Una función periódica puede estar especificada (definida) a pedazos sobre un periodo, o inclusive, puede que sea continua a pedazos sobre un periodo. Para calcular los “Coeficientes de Fourier ” en tales casos es necesario partir el rango de integración en las “Formulas de Euler ” para que correspondan a las distintas componentes de la función. Por ejemplo para una , definida de por:
31
Los “Coeficientes de Euler” para los “Coeficientes de Fourier”, como la función es periódica se convierten en:
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Ejemplo: (1) Sea la Función Periódica
(a) Dibujar la gráfica de en (b) Obtener la representación en Serie de Fourier de
32
2.1.3. FUNCIONES QUE TIENE UN PERIODO ARBITRARIO “
”
Aunque hasta ahora hemos considerado ejemplos de funciones periódicas con periodo , lo que implica que su frecuencia ,. En la práctica raramente se encuentran funciones con frecuencia unitaria, por lo que pasaremos a considerar funciones de “ periodos arbitrarios ”. Ejemplo:
(1) Una función periódica rango de , por
de periodo
, es decir,
, está definida en el
(a) Dibujar la gráfica de en (b) Obtener la expansión en Serie de Fourier de
2.1.4. FUNCIONES PARES E IMPARES El observar que una función particular posee ciertas propiedades de simetría nos permite decir cuales términos están ausentes en la expansión en Serie de Fourier de la función y como simplificar las expresiones que determinan los términos restantes.
∫ ∫ DEFINICIÓN: Si
es una función par, entonces , para toda “ ” y la gráfica de es simétrica con respecto al eje vertical. Por lo tanto, de la definición de la integración se tiene que
33
∫
(a) (b) (c) (d) (e) (f)
DEFINICIÓN: Si
es una función impar, entonces , para toda “ ” y la gráfica de tiene simetría de cuadrantes opuestos. Por lo tanto, de la definición de la integración se tiene que
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES PARES E IMPARES La suma de dos o más funciones impares es una función impar El producto de dos funciones pares es una función par El producto de dos funciones impares es una función par. El producto de una función impar y una función par es una función impar La derivada de una función par es una función impar . La derivada de una función impar es una función par .
Utilizando las propiedades de las funciones pares e impares y como intervalo
“
ES UNA FUNCIÓN PERIODICA PAR, DE PERIODO
∫ ∫ ] [ ∫ ∫ ∫ [ ] ∫ ”
∫
34
“
∫ ∫
ES UNA FUNCIÓN PERIODICA IMPAR, DE PERIODO
”
∫ ∫ [ ] ∫ Ejemplos:
(1) Una función periódica , por
de periodo
, está definida dentro del periodo
(a) Dibujar la gráfica de en (b) Encuentre la representación en Serie de Fourier de
(2) Una función periódica , ;
con periodo
, está definida como:
(a) Dibujar la gráfica de en (b) Encuentre la representación en Serie de Fourier de
35
2.1.5.
DESARROLLO DE MEDIO SOBRE UN INTERVALO FINITO)
RANGO (FUNCIONES
DEFINIDAS
Una función que no es periódica no puede tener una representación en Serie de Fourier que converja a ella para todo valor de “ ”. Sin embargo, podemos obtener una expansión en Serie de ” que esté definida sólo en un intervalo Fourier que represente a una función “no periódica finito . Esta destreza se utiliza con frecuencia resolver problemas con valores en la frontera que involucran “Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales ”, como: Las consideraciones de Flujo de Calor a lo largo de una barra o las vibraciones de un resorte. Para este fin es posible hacer representaciones en Serie de Fourier de una función validas en el intervalo :
(1) Series de Fourier que consisten de términos de Senos y Cosenos (Series ni pares ni impares) llamadas “SERIES DE RECORRIDO COMPLETO”. (2) Series de Fourier que consisten de solamente de términos Cosenos, (Series Pares), llamadas “SERIES DE MEDIO RECORRIDO EN COSENOS”. (3) Series de Fourier que consisten solamente de términos de Senos (Series Impares), llamadas “SERIES DE MEDIO RECORRIDO EN SENOS”.
SERIES DE RECORRIDO COMPLETO (FUNCIÓN DEFINIDA EN
): Supongamos que la
función está definida en el intervalo finito . Para obtener una representación en Serie de Fourier de Recorrido Completo de (serie de senos y cosenos), se define una nueva ” de la función función, que es una extensión periódica, denotada “ por:
36
∑ ∑ ∫ ∫ ∫
ω
Ejemplo:
ω
(1) Sea la función , válida en el intervalo finito . ”. (a) Dibuje la gráfica de “ (b) Defina una extensión periódica de recorrido completo de y dibuje la gráfica de la extensión periódica “ ” en el intervalo . (c) Encuentre la “Expansión en Serie de Fourier de Recorrido Completo” de .
{ ∑ ∫ ∑
SERIES DE MEDIO RECORRIDO EN COSENOS (FUNCIONES PARES, DEFINIDA EN
):
En vez de desarrollar la extensión periódica , es posible formular una extensión periódica que sea “ par ” de manera que la Serie de Fourier solo conste de términos Cosenos (incluyendo a 0). Para una función f(t) que esté definida sólo en un intervalo finito 0 ≤ t ≤ τ, su extensión periódica par, denotada por “F(t)” , se define por:
37
{
Ejemplo: (1) Sea la función , válida en el intervalo finito . ”. (a) Dibuje la gráfica de “ (b) Defina una extensión periódica par de “medio recorrido en Cosenos” de y dibuje la gráfica de la extensión periódica “ ” en el intervalo . (c) Encuentre la “Expansión en Serie de Fourier de Medio Recorrido en Cosenos” de .
{
SERIES DE MEDIO RECORRIDO EN SENOS (FUNCIONES IMPARES, DEFINDA en
):
En vez de desarrollar la extensión periódica , de recorrido completo ó la extensión periódica par , es posible formular una extensión periódica que sea “impar ” de manera que la Serie de Fourier solo conste de términos Senos. Para una función que esté definida sólo en un intervalo finito , su extensión periódica impar, denotada por “ ” , se define por:
38
∑ ∫ ∑
Ejemplo:
{
(1) Sea la función , válida en el intervalo finito . (a) Dibuje la gráfica de “ ”. (b) Defina una extensión periódica impar de “medio recorrido en Senos” de dibuje la gráfica de la extensión periódica “ ” en el intervalo . (c) Encuentre la “Expansión en Serie de Fourier de Medio Recorrido en Senos” de
y .
39
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
Las extensiones periódicas Par y Impar son de periodo , que representa dos veces la longitud del intervalo sobre la cual está definida , sin embargo, las Series de Fourier resultantes están basadas sólo en la función , y por esta razón se les llaman “Expansión en Serie de Fourier de medio recorrido de . Cabe señalar el hecho de que las tres (3) representaciones en Serie de completo; de medio recorrido en Cosenos; de medio representativas de la función solo dentro del intervalo tres (3) series convergen a tres (3) funciones diferentes
Fourier: de recorrido recorrido en Senos, son , fuera de este intervalo las (t) respectivamente.
Ejemplo: (Problema 6, del libro Matemáticas Avanzadas para Ingeniería de Glyn James, Pagina 305) 1. Una función periódica
de periodo
está definida dentro del dominio
por:
Dibuje la gráfica de “ ” para en ambos casos donde: (a) es una función par. (b) es una función impar. (c) Encuentre la “Expansión en Serie de Fourier” que representa la función par para todo valor de “ ” y úsela para probar que:
PROPIEDAD DE LINEALIDAD
son funciones periódicas de periodo “ ”; TEOREMA: si , donde y son constantes arbitrarias, entonces tiene expansión en Serie de Fourier, donde los coeficientes son las sumas de los coeficientes de las expansiones en serie de Fourier de multiplicadas por respectivamente:
ω
ω
ω
ω
40
∑ ∑
ω
ω
Ejemplo:
(1) Supongamos que son funciones periódicas de periodo , definidas . (a) Determine la expansión en Serie de Fourier de ambas funciones y utilice el teorema de linealidad para confirmar que la expansión obtenida , dentro del intervalo .
2.1.6. CONVERGENCIA DE LAS SERIES DE FOURIER
LAS CONDICIONES DE DIRICHLET
Si es una función periódica, acotada que en cualquier periodo tiene: (a) Un número finitos de máximos y mínimos aislados. (b) Un número finito de puntos discontinuidad finita.
Entonces la “expansión en Serie de Fourier de converge a en todos los puntos donde es continua” y “al promedio de los límites por la derecha y por la izquierda de en los puntos donde es discontinua (es decir, al promedio de la discontinuidad )”
Estas condiciones son suficientes para asegurar que una expansión en Serie de Fourier de existe. Sin embargo, no son condiciones necesarias para la convergencia y no se puede concluir que una representación en Serie de Fourier no existe si no se satisfacen estas condiciones. De hecho. Las condiciones necesarias en para la existencia de una Serie de Fourier convergente no se conocen aún.
Otro punto importante en las aplicaciones prácticas es la razón de convergencia de una Serie de Fourier, que esto es una indicación de cuántos términos de la expansión deben considerarse para obtener una aproximación realista de la función que representa y que viene determinada por los coeficientes y de la Serie de Fourier y la manera en que estos decrecen conforme “ ” crece: (a) Si
es solo continua a pedazos, entonces los coeficientes
Serie de Fourier (b) Si
decrecen conforme .
y
de la representación en
es continua en todos lados pero tiene primeras derivadas discontinuas, entonces los
coeficientes
y
de la representación en Serie de Fourier
decrecen conforme
.
41
(c) Si y todas sus derivadas hasta de orden son continuas pero derivada es discontinua, entonces los coeficientes y de la representación en Serie de
Fourier
decrecen conforme
.
Ejemplo: La “Onda Cuadrada”:
Tiene como expansión en Serie de Fourier:
∑
2.1.7. INTEGRACION Y DERIVACION DE SERIES DE FOURIER En algunas aplicaciones de ingeniería, surge el problema de derivar e integrar una serie de Fourier . Los efector suavizantes del proceso de integración tienden a eliminar discontinuidades, mientras que el proceso de derivación tiene el efecto opuesto, por lo que es más probable la posibilidad de integrar una Serie de Fourier que realizar su derivación. Estos problemas del Análisis Matemático no serán examinados en este curso, pero, daremos dos teoremas útiles para dichas operaciones término a término de las Series de Fourier.
INTEGRACIÓN DE LAS SERIES DE FORIER
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TEOREMA: Una expansión en Serie de Fourier de una función periódica
que satisface las condiciones de Dirichlet, puede integrarse término a término, y la serie integrada converge a la integral de la función .
∑ ∑ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
De acuerdo con el Teorema, si satisface las condiciones de Dirichlet en el intervalo y tiene expansión en Serie de Fourier:
Entonces para
∫ Ejemplo: 1.
∑ ∑
Obtener la expansión en Serie de Fourier de la función e integrar la Serie término a término. Por resultado anterior, la expansión en Serie de Fourier de
es:
43
– ∫ ∫ ∫ ∑ – –
Integrando entre los límites
y obtenemos:
El lado derecho puede tomarse como la expansión en Serie de Fourier de la función:
Ejemplo: La “Onda Cuadrada”:
Tiene como expansión en Serie de Fourier:
Ahora necesitamos integrar entre los límites
considerar por separado los valores de “ ” entre
y . Ya que
es discontinua en
y
:
, debemos
44
– ∫ ∫ ( )
CASO I: Intervalo
45
–
CASO II: Intervalo
∫ ∫ ( )
46
– || || ∑ ∑ ∑ ∑
Tomando junto los dos resultados para ambos intervalos
y
Tiene expansión en Serie de Fourier:
DERIVACIÓN DE LAS SERIES DE FOURIER TEOREMA: Si
es una función periódica que satisface las condiciones de Dirichlet, entonces su derivada siempre que exista. Puede encontrarse por derivación término a término de la Serie de Fourier de si y sólo si la función . Es continua en todas partes y la función tiene expansión en Serie de Fourier, es decir, satisface las condiciones de Dirichlet.
De acuerdo con el Teorema, si la expansión en Serie de Fourier de es derivable término a término entonces debe ser periódica en os puntos extremos de un periodo, pues, debe ser continua en todas partes: Si
es continua en todas partes y tiene una expansión en Serie de Fourier:
Luego por el Teorema Fourier es:
satisface las condiciones requeridas, su expansión en Serie de
Ejemplo: La función periódica . Obtener la expansión en Serie de Fourier de y derivar la expansión término a término. De acuerdo a un ejemplo precedente, la expansión en Serie de Fourier de es:
47
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
Como es continua dentro y en los extremos del intervalo condiciones del Teorema y lo aplicamos:
La que coincide con la expansión en Serie de Fourier de
resuelta con anterioridad.
, luego cumple con las
2.1.8. FORMA COMPLEJA DE LAS SERIES DE FOURIER Una alternativa a la forma Trigonométrica de la serie de Fourier hasta ahora considerada es la forma “Compleja ó Exponencial ”. Como resultado de las propiedades de la función exponencial, esta forma es matemáticamente más fácil de manipular. Se utiliza ampliamente en problemas de ingeniería. Nos provee una transición más suave de la Serie de Fourier de señales periódicas a la consideración de la Transformada de Fourier para el tratamiento de señales no periódicas.
ANOTACIONES IMPORTANTES:
√ ;
48
Si una función
tiene una expansión en Serie de Fourier en “Forma Trigonométrica” :
49
Su expansión en “Forma Compleja o Exponencial” es:
∑
Necesitamos ahora poder calcular los “Coeficientes Complejos
”
50
∑ ∫
En resumen, la “forma compleja o exponencial de la expansión en Serie de Fourier una función periódica de periodo es
Donde
Para pasar de la forma compleja a la forma trigonométrica tenemos que:
Ejemplos:
(1) Sea la función periódica definida por
(a) Dibujar la gráfica de , válida de (b) Obtener la Forma Compleja de la expansión en Serie de Fou rier de la función (c) Pasar la expansión en Serie de Fourier de la Forma Compleja a la Forma Trigonométrica.
51
(2) La función “diente de sierra” definida por
(d) Dibujar la gráfica de , válida de (e) Obtener la Forma Compleja de la expansión en Serie de Fou rier de la función (f) Pasar la expansión en Serie de Fourier de la Forma Compleja a la Forma Trigonométrica.
