UNIVERSID UNIVERSIDAD AD CENTRAL CENTRAL DE VENEZUELA VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ´ ESCUELA DE MATEMATICA
SERIES DE FOURIER
Ram´ on on Bruzual Mari Marise sela la Dom´ıngue ınguezz
Caracas, Venezuela Marzo 2003
Ram´on on Bruzual Correo-E:
[email protected]
Marise Mar isela la Dom´ınguez ıng uez Correo-E:
[email protected]
Laboratorio de Formas en Grupos Centro Cent ro de An´alisis alis is Escuela de Matem´ atica atica Facultad de Ciencias Universidad Central de Venezuela
http://euler.ciens.ucv.ve/~labfg
Pr´ologo ologo
Estas notas fueron escritas especialmente para los Talleres de Formaci´ on on Matem´ atica atica (TForMa (TForMa), ), auspici auspiciadas adas por la Asociaci´ Asociaci´ on Matem´ atica atica Venezolana. Venezolana. Han sido concebidas concebidas como material de estudio para un primer curso de an´ alisis alisis de Fourier. Se estudian los siguientes siguientes temas: Funciones peri´ odicas odicas y series de Fourier. Fourier. Condiciones Condiciones para la convergencia convergencia puntual y en media aritm´etica etica de una serie de Fourier. Convergencia Convergencia en media cuadr´ atica atica de la serie serie de Fourier. ourier. Desigu Desiguald aldad ad de Bessel Bessel,, identid identidad ad de Pa Parsev rseval al y aplica aplicacion ciones. es. Comportam Comportamien iento to de las series series de Fouri Fourier. er. Desarrol Desarrollo lo en serie serie de senos y en serie de cosenos. Aplicaci´ on on a la resoluci´ on de ecuaciones en derivadas parciales. on Los objetivos fundamentales del curso son motivar a los participantes hacia el estudio del an´alisis alisis arm´onico onico y conseguir que apliquen en forma rigurosa los t´opicos opicos que ya han estudiado, tanto para comprender resultados cl´asicos, asicos, como para resolver r esolver problemas sencillos. La noci´on on de integral que usamos es la de Riemann, para un curso de mayor profundidad ser´ ser´ıa necesaria la integral de Lebesgue. Lebesgue . El requisito requisito fundamental fundamental para la lectura de estas notas es un curso avanzado avanzado de c´alculo alculo difer diferenc encia iall e integ integral ral en un unaa variabl ariable. e. M´ as as en detalle detalle:: los participa participante ntess deben dominar dominar las nociones b´ asicas asicas de los siguien siguientes tes temas: temas: c´ alculo diferencial en una variable, integral alculo de Riemann unidimensional, unidimensional, convergencia convergencia uniforme uniforme de sucesiones sucesiones y series de funciones. Es recomendable recomendable que el participante participante posea p osea un m´ınimo de conocimientos conocimientos de algebra ´ lineal y rudimentos de c´ alculo en varias variables. alculo
iii
iv
Finalmente, agradecemos a los organizadores del TForMa la oportunidad de participaci´ on on que nos han brindado.
Ram´on on Bruzual. Marise Mar isela la Dom´ınguez ıng uez.. Marzo 2003.
Contenido Cap´´ıtulo 1. Funciones peri´ Cap odicas y series de Fourier
1
1. Funciones trigonom´etricas
1
2. Polinomios trigonom´etricos
3
3. Per´ Per´ıodo de una funci´ funcion o´n
5
4. Coeficientes de Fourier
6
5. Lema de Riemann-Leb esgue
12
6. Ejercicios adicionales
16
Cap´´ıtulo 2. Cap
Condiciones para la convergencia puntual y en media aritm´etica etica de una serie de Fourier
17
1. Co Cond ndic ici´ i´ on suficiente para la convergencia puntual
17
2. Convergencia de las medias aritm´eticas
20
3. Ejercicios adicionales
24
Cap´´ıtulo 3. Convergencia en media cuadr´ Cap atica de la serie de Fourier
27
1. Medi Mediaa cuad cuadr´ r´ atica
27
2. Ap Apro roxi ximac maci´ i´ on on en media cuadr´ atica
28
3. Desigualdad de Bessel e Identidad de Parseval
29
4. Ap Apli lica caci ci´on o´n a sumaci´on de series num´ericas
31
5. Ejercicios adicionales
32
Cap´ıtulo 4. Comp ortamiento de las series de Fourier
33
1. Fen´ eno´meno de Gibbs
33
2. Integ Integrac raci´ i´ on y derivaci´on de series de Fourier
36
3. Orden de magnitud de los co eficientes de Fourier
40
4. Ejercicios adicionales
41
Cap´´ıtulo 5. Casos m´ Cap as generales
43 v
vi
CONTENIDO
1. Nota Notaci ci´o´n compleja
43
2. Funciones de per´ıo do arbitrario
44
3. Desarrollo en serie de cosenos y en serie de senos
45
4. Ejercicios adicionales
47
Cap´´ıtulo 6. Aplicaci´ Cap on on a la resoluci´ on de ecuaciones en derivadas parciales
49
1. Introd Introduc ucci ci´ o´n
49
2. Ecua Ecuaci ci´ o´n de la cuerda vibrante
50
3. Ecua Ecuaci ci´ o´n del calor
55
Bibliograf´ıa
59
´Indice
61
CAP CA P´ıTUL ıT ULO O 1
Funciones peri´ odicas y series de Fourier odicas 1. Funciones unci ones trig t rigono onom´ m´ etricas etri cas
Se supone que el lector est´ a familiarizado con las propiedades b´ asicas asicas de las funciones trigon tri gonom´ om´etrica etr icas. s. En esta esta secci secci´ on o´n repasare repasaremos mos algunas algunas identid identidades ades y enunci enunciarem aremos os algunos algunos resulta resultados dos b´asicos asicos que ser´an an necesarios m´ as as adelante. Las funciones sen y cos tienen tien en per p er´´ıodo 2π, es decir satisfacen: sen(x sen(x + 2π 2π ) = sen(x sen(x),
cos(x cos(x + 2π 2π) = cos(x cos(x) para todo n´ umero umero real x. Las siguientes siguientes identidades identidades ser´an an utilizadas utilizadas en distintas distintas partes del libro (x e y denotan n´umeros umeros reales). reales). (1.1) (1.2) (1.3) (1.4) (1.5) (1.6) (1.7)
sen(x sen(x
± y) = sen x cos y ± sen y cos x cos(x cos(x ± y ) = cos x cos y sen x sen y 1 − cos(2x cos(2x) sen x = 2
2 1 + cos(2x cos(2x) cos2 x = 2 1 sen x cos y = (sen(x (sen(x 2 1 sen x sen y = (cos(x (cos(x 2 1 cos x cos y = (cos(x (cos(x 2
− y) + sen(x sen(x + y)) − y) − cos(x cos(x + y )) − y) + cos(x cos(x + y)) 1
´ 1. FUNCIONES PERIODICAS ODIC AS Y SERIES SERIES DE FOU FOURIER RIER
2
´ n 1.1. Sean m y n enteros positivos. positivos. Entonces Proposici on o 2π
2π
sen mx sen nxdx =
0
cos mx cos nxdx =
0
2π
0,
si m = n;
π,
si m = n.
sen mx cos nxdx = 0.
0
´ n. Demostraremos Demostraremos que Demostraci on. o 2π
sen mx sen nxdx =
0
0,
si m = n;
π,
si m = n.
Las demostraciones de las igualdades restantes son an´ alogas aloga s y quedar´ queda r´an an como c omo ejercicio. ejer cicio. Supongamos m = n, por la identidad (1.6) tenemos que
1 sen mx sen nx = ( cos((m cos((m 2
cos((m + n)x) ), ), − n)x) − cos((m
por lo tanto, 2π
0
1 sen mx sen nxdx = 2
2π
cos((m cos((m
0
− n)x) dx −
1 sen((m sen((m n)x) = 2 m n =0
− −
2π
1 2
− 0
2π
cos((m cos((m + n)x) dx
0
1 sen((m sen((m + n)x) 2 m+n
2π 0
− 0 = 0.
Supongamos m = n, por la identidad (1.3) tenemos que sen2(mx) mx) =
1
− cos(2mx cos(2mx)) , 2
por lo tanto, 2π
0
1 sen (mx) mx) dx = 2 2
2π
−
(1
0
1 = x 2
cos(2mx)) ) dx − cos(2mx
sen(2mx sen(2mx)) 2m
2π 0
= π.
´ TRICOS 2. POLINOMIOS POLINOMIOS TRIGONOME
3
2. Polinomios Polinomio s trigonom´ trigono m´ etricos etricos
Como es usual usual
R
denotar´a el cuerpo de los n´ umeros umeros reales.
´ n 1.2. Un polinomio trigonom´ etrico etrico es una funci´ on on de Definicion o
αo + P ( P (x) = 2
(1.8)
R
en
R
de la forma
n
αk cos kx + β k sen kx,
k=1
donde αo , α1 , . . . , αn y β 1 , . . . , βn son constantes reales. ´ n 1.3. Si P es un polinomio trigonom´ trigonom´etrico etrico de la forma (1.8), el grado de P Definicion o
es el mayor entero k tal que αk = 0 o´ β k = 0.
´ n 1.4. Sea P un polinomio trigonom´ etrico etrico de la forma (1.8). Entonces Entonces Proposici on o
1 αo = π 1 αk = π 1 β k = π
2π
P ( P (x) dx
0
2π
P ( P (x)cos kxdx para k = 1, . . . , n
0
2π
P ( P (x)sen kxdx para k = 1, . . . , n .
0
´ n. Demostraremos la primera y la segunda igualdad, la demostraci´ on on de Demostraci on. o
la tercera es an´ aloga y la dejaremos como ejercicio. aloga Por la Proposici´ on 1.1 tenemos que, para j = 1, . . . , n, on n, 2π
2π
sen jx sen jx dx =
0
2π
cos jx cos jx dx =
0
2π
0
2π
P ( P (x) dx =
0
sen jx sen jx cos0x cos0x dx = 0,
0
2π
luego
cos jx cos jx cos0x cos0x dx = 0,
0
n
2π
αo dx + α j 2 j =1
2π
cos jx cos jx dx + β j
0
sen jx sen jx dx = πα o .
0
Esto prueba la primera igualdad, a continuaci´ on probaremos la segunda. on Sea k un entero entre 1 y n. Nuevamente, por la Proposici´ on on 1.1 tenemos que, 2π
2π
cos kxdx =
0
cos kx cos0x cos0x dx = 0,
0
2π
0
sen jx sen jx cos kxdx = 0,
´ 1. FUNCIONES PERIODICAS ODIC AS Y SERIES SERIES DE FOU FOURIER RIER
4
2π
cos jx cos jx cos kxdx =
0
para j = 1, . . . , n. n. Luego 2π
0
n
2π
αo P ( P (x)cos kxdx = 2
coskx coskx dx +
0
0,
si j = k;
π,
si j = k,
2π
α j
2π
cos jx cos jx cos kxdx + β j
0
j =1
sen jx sen jx cos kxdx
0
= πα k .
´ n 1.5. Co Como mo cos 0 = 1 tene tenemo moss que que las do doss pri primera merass f´ ormul ormulas as de la Observaci on o
Proposici´on on 1.4 se reducen a 2π
1 αk = π
P ( P (x)cos kxdx para k = 0, . . . , n .
0
´ n 1.6. Sea P un polinomio trigonom´ etrico etrico de la forma (1.8). Entonces Entonces Proposici on o
1 π
2π
0
αo2 (P ( + P (x) ) dx = 2 2
n
αk2 + β k2 .
k=1
´ n. Notemos que Demostraci on. o
αo (P ( P (x) ) = P ( P (x) + 2 2
n
αk P ( P (x)cos kx + β k P ( P (x)sen kx,
k=1
integrando y utilizando la Proposici´ on on 1.4 obtenemos 2π
0
αo (P ( P (x) ) dx = 2 2
n
2π
P ( P (x) dx +
0
αo = πα o + 2 =π
αo + 2
αk
0
k=1
n
2
2π
2π
P ( P (x)cos kxdx + β k
P ( P (x)sen kxdx
0
αk πα k + β k πβ k
k=1 n
k=1
αk2 + β k2
.
´ 3. PER´ IODO IODO DE UNA FUNCI FUNCION
5
3. Per´ Per´ıodo ıod o d de e una funci´ on on ´ n 1.7. Sea f : Definicion o
→ R una funci´on. on. Decimos Decimo s que qu e f es peri´ odica odica cuando existe un n´ umero umero real T , T , no nulo, tal que f ( f (x + T ) T ) = f ( f (x) para todo x ∈ R. En este caso se dice R
que T es un per pe r´ıodo ıod o para f . f . ´ n 1.8. Si T es un per pe r´ıodo ıod o para f entonces Observaci on o
±T , ±2T , . . . , ±n T , . . .
tamb mbi´ i´en
son per pe r´ıodos ıo dos para par a f . f . Ejemplo 1.9.
(a) Las funciones sen y cos tienen per´ per´ıodo 2π. (b) La funci´ on on u definida por u(x) = cos(2x cos(2x) tiene tie ne per pe r´ıodo ıo do π . (c) La funci´on on v definida por v (x) = sen(3x sen(3x) tiene tie ne per pe r´ıodo ıo do
√
2π . 3
(d) La funci´ on on f definida por f ( tie ne per pe r´ıodo ıo do f (x) = sen( 2x) tiene
√2π.
(e) La funci´on on g definida por g (x) = 1 + cos(2 cos(2x sen(3x) tiene per´ıodo ıodo 2π. x) + sen(3x (f) La funci´on on h definida por h(x) = 1 + cos(2x cos(2x) + sen(4x sen(4x) tiene tie ne per pe r´ıodo ıo do π . ´ n 1.10. Observaci on o
Es claro que si f : R
→ R es una funci´on on de per pe r´ıodo ıo do T entonces f est´a determinada por
sus valores en un intervalo semi-abierto de longitud T . T . Supongamos que f es una funci´ on a valores reales definida en un intervalo I , de la forma on (a, b] ´o [a, b), entonces f puede ser extendida, en forma natural, a una funci´ on on de per pe r´ıodo ıo do T = b
− a, definida en todo R mediante la siguiente igualdad: f ( f (x + nT ) nT ) = f ( f (x),
para x
∈ I y n ∈ Z.
En particular, particular, cuando se consideran consideran funciones funciones de per´ per´ıodo 2π, es usual definirlas en el intervalo [0, [0, 2π), o en el intervalo [ π, π).
−
´ n 1.11. Sea f : Proposici on o
R
→ R una funci´ on de per´ıodo ıodo T .
Si f es integrable sobre
un intervalo de longitud T entonces f es integrable sobre cualquier intervalo de longitud T y para cualquier a
∈ R se tiene que T a
−a
−
T
f ( f (x) dx =
0
f ( f (x) dx.
´ 1. FUNCIONES PERIODICAS ODIC AS Y SERIES SERIES DE FOU FOURIER RIER
6
´ n. Usando que f ( Demostraci on. o f (u
− T ) T ) = f ( f (u) para todo u ∈ R y haciendo la substi-
tuci´on on u = x + T obtenemos 0
T
f ( f (x) dx =
−a
T
f ( f (u
T a
−
− T ) T ) du =
T
f ( f (u) du =
T a
f ( f (x) dx,
T a
−
−
luego 0
T a
−
f ( f (x) dx =
−a
T a
f ( f (x) dx +
T
T a
f ( f (x) dx +
T a
−
T
=
f ( f (x) dx
0
−a
=
−
−
f ( f (x) dx
0
f ( f (x) dx.
0
Ejercicio 1.12. Sea f :
R
fun ci´on on peri´ pe ri´odica. odica. El per´ per´ıodo fundamental de f se → R una funci´
define como pe r´ıodo ıod o para f . T 0 = inf T > 0 : T es un per
{
}
Probar: (a) Si T 0 = 0 entonces T 0 es un per´ıodo ıodo para f . f .
0 entonces cualquier otro per´ (b) Si T = per´ıodo de f es un m´ ultiplo ultiplo entero de T . 0
0
(c) Si T 0 = 0 y f es continua entonces f es constante. on on no constante con per´ per´ıodo fundamental Ejercicio 1.13. Dar un ejemplo de una funci´ igual a cero. on on f tiene tie ne dos per pe r´ıodos ıo dos T 1 y T 2 tales que T 1/T 2 Ejercicio 1.14. Probar que si una funci´ es irracional entonces el per´ per´ıodo fundamental de f es 0. Dar un ejemplo de una funci´on on no constante const ante con per´ıodos ıod os T 1 y T 2 tales que T 1/T 2 es irracional. 4. Coeficiente Coeficientess de Fourier ourier ´ n 1.15. Sea f : Definicion o
R
→ R una funci´on on de per´ıodo ıod o 2π , integrable en el intervalo
[0, [0, 2π ]. Los coeficientes de Fourier de f son
4. COEFICIENTES DE FOURIER
1 ak = π
(1.9)
1 bk = π
(1.10)
7
2π
f ( f (x)cos kxdx
(k = 0, 1, . . . ),
f ( f (x)sen kxdx
(k = 1, 2, . . . ).
0
2π
0
La serie de Fourier de f es la siguiente suma formal ao + 2
(1.11)
∞
ak cos kx + bk sen kx
k=1
Uno de los objetivos fundamentales de este curso es estudiar la convergencia de la serie de Fourier de una funci´ on. on. Los siguientes ejemplos ejemp los ilustran, ilustr an, a trav´es es de gr´ aficos, el comportamiento de la serie de aficos, Fourier de una funci´ on. on. on on Ejemplo 1.16. Consideremos la funci´
f ( f (x) =
− 1,
si 1, si
0
≤ x ≤ π;
π < x < 2π,
extendida por periodicidad a toda la recta. La serie de Fourier de f es 4 π
sen x sen3x sen3x + + 1 3
···
sen(2k sen(2k + 1)x 1)x + + 2k + 1
···
(verificarlo (verificarlo como ejercicio). ejercicio). Consideremos la suma parcial S 5 de esta serie de Fourier, entonces 4 S 5 (x) = π
sen x sen3x sen3x sen5x sen5x + + 1 3 5
.
Para visualizar el gr´afico afico de S 5 trazamos primero los gr´ aficos aficos de las funciones 4 π
sen3x 3
4
sen5x 5
y
π
.
4 π
sen x 1
,
´ 1. FUNCIONES PERIODICAS ODIC AS Y SERIES SERIES DE FOU FOURIER RIER
8
1
0.5
1
2
3
4
5
1
1
0.5
0.5
1
6
-0.5
-1
2
3
4
5
1
6
-0.5
-0.5
-1
-1
4 sen x 1
4 sen sen 3x 3
π
π
Al trazar el gr´afico afico de la suma obtenemos
1
0.5
2
4
5
6
4
5
6
3
-0.5
-1
Figura 1.1. S 5
Si continuamos hasta S 11 11 obtenemos
1
0.5
1
2
3
3
4
4 sen5x 5
π
1
2
-0.5
-1
Figura 1.2. S 11 11
5
6
4. COEFICIENTES DE FOURIER
9
Estos gr´ a ficos sugieren que la serie de Fourier de f converge a f en cada punto de aficos continuidad. on on Ejemplo 1.17. Consideremos la funci´
g (x) = x para
− π ≤ x < π,
extendida por periodicidad a toda la recta. La serie de Fourier de g es
sen x 2 1
−
sen2x sen2x sen3x sen3x + + 2 3
sen kx + ( 1)k+1 + k
··· −
···
(verificarlo (verificarlo como ejercicio). ejercicio). Consideremos la suma parcial S 3 de esta serie de Fourier, entonces
sen x S 3 (x) = 2 1
−
sen2x sen2x sen3x sen3x + 2 3
.
Para visualizar el gr´afico afico de S 3 trazamos primero los gr´ aficos a ficos de las las funci funcione oness 2 senx sen x, sen2x y − sen2x
-6
-4
2 3
sen3x sen3x. 3
3
3
2
2
2
1
1
1
-2
2 -1
4
6
-6
-4
-2
2
4
-1
6
-6
-4
-2
2
-2
-2
-2
-3
-3
-3
2sen x
− sen2x sen2x
Al trazar el gr´afico afico de la suma obtenemos
4
-1
2 3
sen3x sen3x
6
10
´ 1. FUNCIONES PERIODICAS ODIC AS Y SERIES SERIES DE FOU FOURIER RIER
3 2 1
-6
-4
-2
2
4
6
4
6
-1 -2 -3
Figura 1.3. S 3
Si continuamos hasta S 6 obtenemos
3 2 1
-6
-4
-2
2 -1 -2 -3
Figura 1.4. S 6
Al igual que en el ejemplo anterior, estos gr´aficos aficos sugieren que la serie de Fourier de g converge a g en cada punto de continuidad. En el Cap Cap´´ıtulo 2 daremos daremos condiciones condiciones suficientes suficientes para la convergenc convergencia ia de la serie de Fourier de una funci´ on. on.
4. COEFICIENTES DE FOURIER
´ n 1.18. Sea f : Proposici on o
R
11
un a func fu nci´ i´on on de per´ıod ıodo o 2π , si la serie de Fourier de → R una
[0, 2π] entonces f converge uniformemente a f en [0, 1 π
2π
0
∞ ao2 (f ( + f (x)) dx = ak2 + bk2 . 2 k
2
=1
´ n. Notar que por hip´ otesis otesis f es continua, continua, ya que es l´ımite uniforme uniforme de Demostraci on. o
funciones continuas. Por lo tanto f 2 es integrable en [0, [0, 2π ]. Como ao + f ( f (x) = 2 entonces ao f ( f (x) (f ( + f (x)) = 2 2
y la convergencia es uniforme.
∞
ak cos kx + bk sen kx
k=1
∞
ak f ( f (x)cos kx + bk f ( f (x)sen kx.
k=1
Integrando Integrando obtenemos obtenemos 2π
0
ao (f ( f (x))2 dx = 2
2π
f ( f (x) dx +
0
∞
2π
2π
0
f ( f (x)cos kx dx + bk
ak
0
k=1
Luego
2π
f ( f (x)sen kx dx .
0
∞
ao2 (f ( f (x)) dx = π + 2
2
2
2
ak π + bk π .
k=1
´ n 1.19. El resultado anterior se conoce como Identidad de Parseval y es Observaci on o
v´alida alida en casos m´ as generales, tal como veremos m´as as as adelante (ver Teorema 3.10). ´ n 1.20. Sea f : Proposici on o
R
conti nua de per´ per´ıodo 2π y sean a → R una funci´ on continua
k
y bk
los coeficientes de Fourier de f . Para Para cualquier cualquier entero positivo positivo n
ao2 + 2 k
n
2
2
ak + bk
=1
≤
1 π
2π
(f ( f (x))2 dx.
0
´ n. Consideramos las sumas parciales de la serie de Fourier de f , Demostraci on. o f , esto es
para n
≥ 1 sea ao + S n (x) = 2
(1.12) Tenemos que (f ( f (x))2
n
ak cos kx + bk sen kx.
k=1
− 2f ( ( S (x)) f (x)S (x) + (S n
n
2
= (f ( f (x)
2
− S (x)) ≥ 0 n
´ 1. FUNCIONES PERIODICAS ODIC AS Y SERIES SERIES DE FOU FOURIER RIER
12
y por lo tanto
2π
(f ( f (x))2
− 2f ( ( S (x)) f (x)S (x) + (S n
0
Luego
2π
n
2π
2
(f ( f (x)) dx
0
≥2
2
dx
2π
f ( f (x)S n (x) dx
0
−
≥ 0.
(S n (x))2 dx.
0
Calcularemos las integrales que est´ an an a la derecha de esta expresi´on on Multiplicando (1.12) por f ( 2π , obtenemos f (x) e integrando de 0 a 2π 2π
0
ao f ( f (x)S n (x) dx = 2
n
2π
f ( f (x) dx +
0
2π
2π
0
f ( f (x)S n (x) dx = π
0
f ( f (x)cos kxdx + bk
ak
k=1
luego
2π
f ( f (x)sen kxdx ,
0
n
ao2 + 2
ak2 + bk2
.
k=1
Por la Proposici´ on on 1.6 tenemos que 2π
2
(S n (x)) dx = π
0
por lo tanto 2π
0
(f ( f (x))2 dx
n
ak2 + bk2
,
k=1
− n
2
≥ 2π =π
ao2 + 2
ao + 2
ao2 + 2
2
ak2 + bk2
π
k=1
ao + 2
n
k=1
ak2 + bk2
n
ak2 + bk2
.
k=1
´ n 1.21. El resultado anterior se conoce como Desigualdad de Bessel y es Observaci on o
v´alido alido en casos m´ as generales, tal como veremos m´as as as adelante a delante (ver Prop P roposici´ osici´on on 3.6). 3 .6). 5. Lema de Riemann-L Riemann-Lebesgu ebesgue e
El siguiente resultado, que dejamos como ejercicio, lo necesitaremos para probar el resultado fundamental de esta secci´ on. on. on on integrable en [a, [a, b]. Ejercicio 1.22. Sea f una funci´ Demostrar que para cada ε > 0, existe una funci´on on escalonada h, definida en [a, [a, b], tal que b
| a
f ( f (x)
− h(x) | dx < ε.
5. LEMA DE RIEMANN-LEBESGUE
Lema 1.23 (Riemann-Lebesgue). Sea f : [a, b]
integrable. Entonces → R una funci´ on integrable.
b
λ
lim →+∞
13
b
)sen(λx)) dx = lim f ( f (x)sen(λx λ→+∞
a
cos(λx f ( f (x) cos( λx)) dx = 0.
a
´ n. Demostraci on. o
Demostraremos Demostraremos que b
lim →+∞
λ
el otro l´ımite es an´alogo. alogo.
)sen(λx)) dx = 0, f ( f (x)sen(λx
a
Consideraremos tres casos. Caso 1: f es la funci´on on caracter´ caracter´ıstica de un intervalo intervalo [c, d] contenido en [a, [a, b], es decir
f ( f (x) =
1, x
∈ [c, d]; x∈ / [c, d].
0,
En este caso b
d
)sen(λx)) dx = f ( f (x)sen(λx
a
−
sen(λx sen(λx)) dx
c
= =
cos(λx cos(λx)) λ
1 (cos(λc (cos(λc)) λ
d c
− cos(λd cos(λd)) ), ),
como la funci´on on coseno es acotada, esta ultima u´ltima expresi´on on tiende a 0 si λ tiende a
∞.
Caso 2: f es una funci´on on escalonada. En este caso f es una combinaci´on on lineal finita de funciones caracter´ caracter´ısticas de intervalos intervalos contenidos en [a, [a, b], por la linealidad de la integral el resultado para este caso se obtiene inmediatamente del caso 1. Caso 3: Caso general, sea f integrable en [a, [a, b]. Sea ε > 0, por el Ejercicio 1.22, existe una funci´ on on escalonada h, definida en [a, [a, b], tal que b
− h(x) | dx < 2ε . Por lo probado en el caso anterior existe λ ∈ R tal que si λ ≥ λ
|
f ( f (x)
a
o
b
a
o
ε sen(λx h(x) sen( λx)) dx < . 2
entonces
´ 1. FUNCIONES PERIODICAS ODIC AS Y SERIES SERIES DE FOU FOURIER RIER
14
Por lo tanto, si λ
≥ λ , tenemos que o
b
b
≤ ≤ | ≤ |
)sen(λx)) dx = f ( f (x)sen(λx
a
( f ( f (x)
a
sen(λx − h(x) + h(x) ) sen( λx)) dx
b
( f ( f (x)
a
sen(λx − h(x) ) sen( λx)) dx
b
( f ( f (x)
b
+
− h(x) )sen(λx )sen(λx)) | dx +
a
b
b
f ( f (x)
a
− h(x) | dx +
ε ε < + = ε. 2 2
)sen(λx)) dx h(x)sen(λx
a
b
)sen(λx)) dx h(x)sen(λx
a
)sen(λx)) dx h(x)sen(λx
a
Corolario 1.24. Sea f :
R
ıod o 2π , integrable en el intervalo → R una funci´ on de per´ıodo
[0, [0, 2π ]. Si ak y bk son sus coeficientes de Fourier, entonces
{ } { }
k
lim a = lim b = 0. →+∞ k k→+∞ k
A continuaci´ on on probaremos una f´ ormula ormula de sumaci´ on y aplicaremos el Lema de Riemannon Lebesgue al c´ alculo alculo de una integral integral definida que no es posible obtener a trav´ trav´es es del Teorema Teorema fundamental del c´ alculo. alculo. ´ n 1.25. Si x Proposici on o
x
∈ R, sen( ) = 0 y n es un n´ umero natural, entonces 2
1 + cos x + cos cos 2x + 2
(1.13)
···
sen n + 12 x + cos nx = . 2sen x2
´ n. Demostraci on. o
x 2sen 2
1 + cos x + cos cos 2x + 2
· · · + cos nx
=
x x = sen + 2 sen sen cos x + 2 2
· · · + 2 sen sen
x cos nx 2
5. LEMA DE RIEMANN-LEBESGUE
15
Por la identidad (1.5) tenemos que, para k = 1, . . . , n, n, x x 2sen cos kx = sen 2 2
kx + sen
1 2
= sen =
x + kx 2 1 +k x k x + sen 2
− − − − sen
1 x + sen 2
k
k+
1 x . 2
Por lo tanto
··· − − · · · − − 2sen
x 2
= sen
x 2
= sen
1 + cos x + cos cos 2x + 2
sen
n+
+ cos nx
3x x + sen 2 2
3x 2
sen
=
+
sen
n
1 x + sen 2
n+
1 x 2
1 x . 2
osito del siguiente ejercicio es calcular el valor de osito Ejercicio 1.26. El prop´ +∞
0
sen t dt. t
(a) Demostrar la convergencia de la integral impropia +∞
0
sen t dt. t
(b) Utilizar el Lema de Riemann-Lebesgue para demostrar que π
lim n→+∞
0
2 t
− sen1
sen
t
1 2
n+
t dt = 0.
2
(c) Utilizar la f´ormula ormula de sumaci´on on (1.13) para demostrar que, para todo entero n se tiene que π
n + 12 t dt = π. sen 2t
sen
0
(d) Utilizar el cambio de variable u = n + 12 t para demostrar que π
lim n→+∞
1 2
+∞
0
sen
n+ t
t
dt =
0
sen t dt. t
≥1
´ 1. FUNCIONES PERIODICAS ODIC AS Y SERIES SERIES DE FOU FOURIER RIER
16
(e) Demostrar que
+∞
0
sen t π dt = . 2 t
6. Ejercicios Ejercicios adicionale adicionaless
(1) Calcular 2π
(a)
(1 + 2 cos cos 3x + cos2 3x) dx. dx.
0
2π
(b)
(1 + 2 cos cos 3x + 4cos 4cos 5x
0
2
− 2sen10x 2sen10x)
dx. dx.
(2) Considerar la funci´ on on f definida por f ( f (x) = x para
− π ≤ x < π,
extendida por periodicidad a toda la recta. (a) Trazar el gr´ afico afico de f . f . (b) Hallar los coeficientes de Fourier. (c) Trazar, en forma aproximada, el gr´ afico de las primeras sumas parciales de la afico serie de Fourier de f . f . (3) Considerar la funci´ on on f definida por f ( f (x) = x2
para
− π ≤ x < π,
extendida por periodicidad a toda la recta. (a) Trazar el gr´ afico afico de f . f . (b) Hallar los coeficientes de Fourier. (c) Trazar, en forma aproximada, el gr´ afico de las primeras sumas parciales de la afico serie de Fourier de f . f .
CAP CA P´ıTUL ıT ULO O 2
Condiciones para la convergencia convergencia puntual y en media aritm´ etica etica de una serie de Fourier 1. Condic Condici´ i´ on suficiente para la convergencia puntual on
Sea f : R
→ R una funci´on on de per pe r´ıodo ıo do 2π, integrable en el intervalo [0, [0, 2π ]. Sea {S } la n
sucesi´on on de sumas parciales de la serie de Fourier de f , f , es decir n
ao + S n (x) = 2
(2.1)
ak cos kx + bk sen kx,
k=1
donde ak y bk son los coeficientes de Fourier de f . f . Si substituimos las f´ormulas ormulas (1.9) y (1.10) en la expresi´ on on (2.1) obtenemos
S n (x) =
1 π
2π
1 + 2 k
f ( f (t)
0
n
cos kt cos kx + sen kt sen kx dt,
=1
de la identidad (1.2) para el coseno de la suma, sigue que S n (x) =
1 π
n
2π
1 + cos( k (t 2 k=1
f ( f (t)
0
− x) )
dt,
por la f´ormula ormula de sumaci´on on obtenida en la Proposici´ on on 1.25 tenemos que 1 S n (x) = 2π
2π
0
sen((n sen((n + 12 )(t )(t x)) f ( f (t) dt. sen( 12 (t x))
−
Si hacemos el cambio de variable τ = t (2.2)
1 S n (x) = 2π
2π
0
−
on 1.11 obtenemos − x y usamos la Proposici´on
sen((n sen((n + 12 )τ ) τ ) f ( f (x + τ ) τ ) dτ. sen( 12 τ ) τ )
´ n 2.1. El n´ ucleo de Dirichlet es la sucesi´on ucleo on de funciones Dn definida por Definicion o
sen((n sen((n + 12 )t) Dn (t) = 2π sen( 12 t) 17
{ }
18
2. CON OND DICIO CIONE NES S PARA LA CONV NVER ERG GENCI NCIA DE UNA SER SERIE DE FOURIER RIER
De la igualdad (2.2) se obtiene que, para f como antes, 2π
(2.3)
S n (x) =
π
f ( f (x + t)Dn (t) dt =
0
f ( f (x + t)Dn (t) dt.
−π
´ n 2.2. De la f´ ormula ormula de sumaci´ on obtenida en la Proposici´ on on on 1.25 se deduce Observaci on o
que Dn (t) =
1 1 + (cos t + cos cos 2t + 2π π
· · · cos nt) nt) .
de esta ultima u´ltima igualdad se obtiene que 2π
Dn (t) dt = 1,
0
0
π
Dn (t) dt =
0
´ n 2.3. Sea I Definicion o
1 Dn (t) dt = . 2 −π
on. ⊂ R un intervalo cerrado y acotado, sea f : I → R una funci´on.
Diremos que f es continua a trozos en I si f tiene una cantidad finita de discontinuidades de salto, es decir si: (i) I se [zo , z1 ], [z1, z2 ], . . . , [z p−1 , z p ] I se puede dividir en una cantidad finita de sub-intervalos [z (zo < z1 <
· · · < z ), tales que f es continua en cada uno de los intervalos (z(z − , z ). (ii) Para cada k = 1, . . . , p − 1, los siguientes l´ımites existen y son finitos k 1
p
lim+ f ( f (x) →zk
x
lim− f ( f (x). →zk
x
(iii) Los siguientes l´ l´ımites existen y son finitos lim f ( f (x) →zo+
x
lim− f ( f (x). →zp
x
k
´ N SUFICIENTE PARA LA CONVERGENCIA PUNTUAL 1. CONDICI CONDICIO
Teorema 2.4. Sea f :
19
ıodo 2π, tal que: → R una funci´ on de per´ıodo
R
(i) f es continua a trozos en [0, [0, 2π]. (ii) Es posible subdividir [0, [0, 2π ], de acuerdo a la Definici´on on 2.3, en sub-intervalos [zk−1 , zk ], de manera que f sea derivable en (zk−1 , zk ) y existen las derivadas laterales
f ( f (zk + h) lim+ h→0 h Entonces, para cada x
− f ( f (z
+
k
)
f ( f (zk + h) lim− h→0 h
− f ( f (z − ) . k
∈ R, la serie de Fourier de f converge a f ( f (x+) + f ( f (x− ) . 2
´ n. Demostraci on. o
Sea x
on de sumas parciales de la serie de ∈ R. Sea {S (x)} la sucesi´on n
Fourier de f , f , entonces π
S n (x) =
f ( f (x + t)Dn (t) dt.
−π
Luego S n (x)
−
π f ( f (x+ ) + f ( f (x− ) = f ( f (x + t)Dn (t) dt 2 −π
− f ( f (x
π
=
0
=
1 2π
+
( f ( f (x + t)
)
Dn (t) dt
0
−
f ( f (x− )
n
Dn (t) dt
−π
0
− −
f ( f (x− ) )Dn (t) dt
( f ( − f ( f (x ) )D (t) dt + f (x + t) − f ( f (x + t) − f ( f (x ) sen n + t dt π
π
0
+
sen( 12 t) 0
1 + 2 π −π Para t
0
π
+
[0, π ] sea ∈ [0,
1 2
f ( f (x + t) f ( f (x− ) sen( 12 t)
sen
n+
1 2
t dt.
f ( f (x + t) f ( f (x+ ) g(t) = , sen( 12 t)
−
claramente g(t) =
f ( f (x + t) f ( f (x+ ) t
−
t sen( 12 t)
,
de las hip´otesis otesis sobre f sigue inmediatamente que existe limt→0 g (t) y que si definimos g (0) como este l´ımite entonces entonc es g es continua a trozos en [0, [0, π ]. Por el Lema de Riemann-Lebesgue (ver Lema 1.23) tenemos que 1 lim n→∞ 2π
π
0
f ( f (x + t) f ( f (x+ ) sen sen( 12 t)
−
n+
1 2
t dt = 0.
20
2. CON OND DICIO CIONE NES S PARA LA CONV NVER ERG GENCI NCIA DE UNA SER SERIE DE FOURIER RIER
De manera completamente an´ aloga aloga se prueba que 0 1 f ( f (x + t) f ( f (x− ) lim sen 1 n→∞ 2π sen( ) t −π 2
Por lo tanto
−
n+
1 2
t dt = 0.
f ( f (x+ ) + f ( f (x− ) lim S n (x) = . n→∞ 2
´ n 2.5. Notar que si f satisface las hip´ otesis del Teorema 2.4 entonces su otesis Observaci on o
serie de Fourier converge puntualmente a f en cada punto de continuidad. otesis del Teorema anterior y todos sus coeficientes Corolario 2.6. Si f satisface las hip´ de Fourier son iguales a cero entonces f es nula, salvo en una cantidad finita de puntos. otesis del Teorema anterior y los coeficientes Corolario 2.7. Si f y g satisfacen las hip´ de Fourier de f son iguales a los de g entonces f = g , salvo en una cantidad finita de puntos. Ejercicio 2.8. Demostrar que
−
π =2 1 2
1 1 + 3 5
−
1 + 7
···
.
Indicaci´on: on: Considerar la serie de Fourier de la funci´ on on f ( f (x) = x para
− π ≤ x < π.
2. Convergencia Convergencia de las medias aritm´ eticas eticas ´ n 2.9. Sea λ0 , λ1 , . . . una sucesi´ on o n de n´ u meross reales. umero reales. La sucesi sucesi´ on o´n de las Definicion o
medias de d e Cesaro, Cesar o, o medias aritm´ ar itm´eticas, eticas, de la sucesi´ on on λn es la sucesi´on on ξn definida por ξn =
{ }
+ λn λ0 + λ1 + . n+1
···
{ }
Ejercicio 2.10.
(1) Demostrar que si limn→+∞ λn = L entonces la sucesi´ on de las medias de Cesaro de on tamb i´en en converge conve rge a L. {λ } tambi´ n
(2) Dar un ejemplo de una sucesi´ on on λn tal que existe
{ }
lim n→+∞
+ λn λ0 + λ1 + , n+1
pero sin embargo no existe limn→+∞ λn .
···
´ TICAS 2. CONVERG CONVERGENCI ENCIA A DE LAS MEDIAS MEDIAS ARITM ARITME
21
Es muy natural preguntarse qu´e ocurre con las medias de Cesaro de las sumas parciales parciales de la serie de Fourier de una funci´ on. on. A contin continuaci uaci´ o´n veremos algunos resultados en esta on direcci´on. on. Al igual que en la Secci´on on anterior sea f : R
→ R una funci´on on de per pe r´ıodo ıo do 2π , integrable
en el intervalo [0, [0, 2π ] y sea S n la sucesi´on on de sumas parciales de la serie de Fourier de f . f .
{ }
Consideremos sus medias de Cesaro (2.4)
σn (x) =
S 0 (x) + S 1(x) + n+1
· · · + S (x) n
Por la f´ormula ormula (2.3) tenemos que π
D0 (t) + D1(t) + σn (x) = f ( f (x + t) n+1 −π
(2.5)
· · · + D (t) n
dt.
´ n 2.11. El n´ ucleo de Fejer es la sucesi´ ucleo on on de funciones K n definida por Definicion o
{ }
(2.6)
D0 (t) + D1 (t) + n+1
K n (t) =
· · · + D (t) , n
donde Dn es el n´ ucleo ucleo de Dirichlet.
{ }
´ n 2.12. Claramente Observaci on o π
(2.7)
σn (x) =
f ( f (x + t)K n (t) dt.
−π
´ n 2.13. Sea K n el n´ ucleo ucleo de Fejer. Entonces: Entonces: Proposici on o
{ }
π
(a)
K n (t) dt = 1,
−π
1 (b) K n (t) = 2π(n + 1) (c) K n (t)
≥ 0.
2
sen
(n+1)t 2
sen
t
2
,
22
2. CON OND DICIO CIONE NES S PARA LA CONV NVER ERG GENCI NCIA DE UNA SER SERIE DE FOURIER RIER
´ n. Demostraci on. o π
(a) Es inmediato, ya que −π Dk (t) dt = 1, para k = 0, 1, 2, . . . (b) Usando las identidades (1.3) y (1.6), obtenemos que, para k = 0, . . . , n, n, sen((k sen((k + 12 )t) sen( 12 t) sen((k sen((k + 12 )t) = Dk (t) = 2π sen( 12 t) 2π sen2 ( 12 t) 1 = 2π
cos kt
− cos(k cos(k + 1)t 1)t 1 − cos t
,
de donde,
D0(t) + D1 (t) + Dn (t) n+1 1 1 cos(n cos(n + 1)t 1)t = 2π (n + 1) 1 cos t
···
K n (t) =
=
1 2π (n + 1)
− − sen
(n+1)t 2
sen
t
2
.
2
(c) Sigue inmediatamente de (b).
Teorema 2.14 (Fejer). Sea f :
R
fu nci´ ´ on on contin cont inua ua de per´ıodo ıodo 2π, sea {σ } la → R una funci n
sucesi´ on de las medias de Cesaro de las sumas parciales de la serie de Fourier de f . Entonces
{σ } converge uniformemente a f en R. n
´ n. Claramente f es uniformemente continua y acotada en el intervalo Demostraci on. o
[ π, π]. Por la periodicidad f es uniformemente continua y acotada en todo R.
−
Sea M > 0 tal que f ( f (x)
| ≤ M para todo x ∈ R. Dado ε > 0, sea δ > 0 tal que |f ( f (x) − f ( f (x )| < si x, x ∈ R y |x − x | < δ . Sea x ∈ R, por la f´ormula ormula (2.7) y por (b) de la Proposici´ on on 2.13, tenemos que |
ε
2
´ TICAS 2. CONVERG CONVERGENCI ENCIA A DE LAS MEDIAS MEDIAS ARITM ARITME
π
|σ (x) − f ( f (x) n
| ≤ | | | | ≤ ≤ =
( f ( f (x + t)
−π
− f ( f (x) )K (t) dt n
π
f ( f (x + t)
− f ( f (x) |K (t) dt
f ( f (x + t)
− f ( f (x) |K (t) dt
−π
n
23
δ
=
−δ
n
π
+
f ( f (x + t)
δ
−δ
+
− f ( f (x) |K (t) dt n
f ( f (x + t)
− f ( f (x) |K (t) dt n
−π
π −δ ε δ 2M 2M K n (t) dt + 2M K n (t) dt + 2M K n (t) dt 2 −δ δ −π −δ π 2M 1 2M 1 ε π + K n (t) dt + dt dt 2 −π 2π(n + 1) δ sen2( 2t ) 2π(n + 1) −π sen2 ( 2t ) π 2M 1 ε = + dt. 2 π (n + 1) δ sen2 ( 2t )
La funci´ on on sen
x
2
es creciente para 0
≤ x ≤ π. Luego 1 1 ≤ , sen ( ) sen ( ) 2 t 2
para δ
2 δ 2
≤ t ≤ π. Por lo tanto π
δ
1 dt sen2 ( 2t )
≤ (π − δ) sen1( ) ≤ senπ( 2 δ 2
. 2 δ) 2
Como 1 lim = 0, n→∞ n + 1 existe un entero positivo N o tal que, si n
≥ N entonces o
2M ε < . 2 (n + 1) 1) sen sen2 ( δ2 ) Tenemos que si n
≥ N entonces o
|σ (x) − f ( f (x)| < ε n
para todo x
∈ R.
Como ejercicio demostrar los siguientes resultados.
24
2. CON OND DICIO CIONE NES S PARA LA CONV NVER ERG GENCI NCIA DE UNA SER SERIE DE FOURIER RIER
Corolario 2.15. Sea f :
R
conti nua de per´ per´ıodo 2π . Si x ∈ R y existe → R una funci´ on continua
limn→+∞ S n (x) entonces n
lim S (x) = f ( f (x). →+∞ n
on continua a vaTeorema 2.16 (Teorema de aproximaci´ on on de Weierstrass). Toda funci´ lores reales, definida en un intervalo cerrado y acotado puede ser aproximada uniformemente por polinomios.
Indicaci´on: on: (A) (A) Con Consi side dera rarr prim primer eroo el caso caso en que que f est´a defin definid idaa en un interv terval aloo [a, b] y 0 < a < b < 2π . (i) Demostrar que en este caso f se puede extender a una funci´ on on continua g con dominio [0, [0, 2π], tal que g (0) = g (2π (2π ). (ii)) Demostrar que g tiene una extensi´ on on continua y de d e per p er´´ıodo ıod o 2π 2π definida en todo R.
(iii) Utilizar el Teorema de Fejer para demostrar que g puede ser aproximada uniformemente por polinomios trigonom´etricos etricos en R. (iv) Utilizar el Teorema de Taylor para demostrar que g se puede aproximar uniformemente por polinomios en el intervalo [a, [a, b]. (B) Obtener el caso general a partir del anterior. 3. Ejercicios Ejercicios adicionale adicionaless
(1) Sea f : R
→ R una funci´on on continua, de per pe r´ıodo ıod o 2π . Demostrar que si 2π
)cos(kx)) dx = 0 f ( f (x)cos(kx
para k = 0, 1, . . . ,
)sen(kx)) dx = 0 f ( f (x)sen(kx
para k = 1, 2, . . .
0
2π
0
entonces f ( f (x) = 0 para todo x
∈ R.
(2) Demostrar que
1 1 π2 = 1+ 2 + 2 + . 8 3 5 Indicaci´on: on: Ver el Ejercicio 2 de la Secci´on on 6 del Cap Cap´´ıtulo 1
···
3. EJERCICIOS ADICIONALES
(3) Sea [a, [a, b]
25
on ⊂ R un intervalo cerrado y acotado y sea f : [a, b] → R una funci´on
continua. Demostrar que si b
xk f ( f (x) dx = 0
para k = 0, 1, 2, . . .
a
entonces f ( f (x) = 0 para todo x
∈ [a, b].
Indicaci´on: on: Utilizar el teorema de aproximaci´ on on de Weierstrass.
26
2. CON OND DICIO CIONE NES S PARA LA CONV NVER ERG GENCI NCIA DE UNA SER SERIE DE FOURIER RIER
CAP CA P´ıTUL ıT ULO O 3
Convergencia Convergencia en media cuadr´ atica atica de la serie de Fourier 1. Media Medi a cuadr c uadr´ ´ atica atic a ´ n 3.1. Si f : R Definicion o
→ R es una funci´on on de per pe r´ıodo ıo do 2π, continua a trozos, se define f
Ejercicio 3.2. Sea f :
1 π
=
2
2π
(f ( f (x) )2 dx
0
1 2
.
→ R un unaa func fu nci´ i´on on de p er´ıodo ıo do 2π , continua a trozos. Demostrar que para cada ε > 0 existe g : R → R, continua y de per´ıodo ıodo 2π tal que f − g < ε. R
2
´ n 3.3 (Desigualdad de Cauchy-Schwartz). Si f, g : Proposici on o
R
→ R son funciones de
per´ pe r´ıodo od o 2π y continuas a trozos entonces 2π
2π
f ( f (x) g(x) dx
0
≤
(f ( f (x) )2 dx
0
´ n. Sea λ Demostraci on. o
( f ( f (x)
0
de donde, 0
2
(g(x) )2 dx
0
2π
2π
2π
1 2
.
∈ R, entonces
1 2
(f ( f (x) ) dx
− λg( λg (x) )
2
dx
≥ 0,
2π
− 2λ
f ( f (x)g (x) dx + λ
0
2
2π
(g (x) )2 dx
0
≥ 0.
La expresi´on on de la izquierda es un polinomio de grado 2 en la variable λ, por lo tanto su discriminante es menor o igual que cero, es decir 2π
4
0
2
2π
−
f ( f (x) g (x) dx
4
2
(f ( f (x) ) dx
0
2π
0
2
(g (x) ) dx
≤
0.
27
´ ICA DE LA SERIE 3. CONVERGENCIA EN MEDIA CUADRATICA AT SERIE DE FO FOURI URIER ER
28
Como ejercicio establecer el siguiente resultado. ´ n 3.4. Si f, g : Proposici on o
funcio nes de per´ per´ıodo 2π y continuas a trozos → R son funciones
R
entonces
(i) f
= 0 si y s´ olo si f es nula, salvo en una cantidad finita de puntos. (ii) f + g ≤ f + g , (iii) Si λ ∈ R, entonces λ f = |λ|f 2
2
2
2
2
2
2. Aproximac Aproximaci´ i´ on on en media medi a cuadr´ cuad r´ atica atic a
Sea f : R
on de per pe r´ıodo ıod o 2π, continua a trozos y sea → R una funci´on ao + S n (x) = 2
n
ak cos kx + bk sen kx
k=1
la sucesi´on on de sumas parciales de su serie de Fourier. Sea N un entero positivo y sea P un polinomio p olinomio trigonom´ trigo nom´etrico etrico de la forma (1.8) de grado gr ado N , N , es decir αo + P ( P (x) = 2 Entonces 1 π
2π
(f ( f (x)
0
−
2π
1 P ( P (x) )2 dx = π
N
αk cos kx + β k sen kx.
k=1
2
(f ( f (x) ) dx
0
−
2 π
2π
0
1 f ( f (x)P ( P (x) dx + π
2π
(P ( P (x) )2 dx.
0
Por la Proposici´ on on 1.6 tenemos que 1 π
2π
0
αo2 (P ( + P (x) ) dx = 2 2
N
αk2 + β k2 ,
k=1
por otra parte
1 π
2π
f ( f (x)P ( P (x) dx =
0
αo 1 = 2 π
2π
f ( f (x) dx +
0
N
N
1 αk π
2π
k=1
αo ao = + αk ak + β k bk . 2 k=1
0
1 f ( f (x)cos kxdx + β k π
2π
0
f ( f (x)sen kxdx
3. DESIGUALDAD DE BESSEL E IDENTIDAD DE PARSEVAL
29
Luego 1 π (3.1)
2π
(f ( f (x)
1 = π
0
2
− P ( P (x) )
dx =
2
(f ( f (x) ) dx
0
= f
2 2
− − N
2π
+
( ao
−α ) o
Teorema 3.5. Sea f :
2
αk ak + β k bk
=1
N
2
2
αo ao + 2 k
+
( bk αk )2 + (b
(ak
− β ) k
k=1
2
αo2 + + 2
N
− 2
αk2 + β k2
k=1 N
ao + ak2 + bk2 2 k=1
→ R una funci´ on de per´ıodo ıodo 2π , continua a trozos, sea N un entero positivo y sea P un polinomio trigonom´ etrico etrico de grado N . Sea Sea {S } la sucesi´ on de R
n
sumas parciales de la serie de Fourier de f . Entonces Entonces
f − S ≤ f − P N N 2
2
y hay igualdad si y s´ olo si P = S N N . ´ n. De la f´ ormula (3.1) sigue inmediatamente el resultado. ormula Demostraci on. o
3. Desiguald Desigualdad ad de Bessel Bessel e Identidad Identidad de Parsev Parseval ´ n 3.6 (Desigualdad de Bessel). Sea f : Proposici on o
R
ıod o 2π , → R una funci´ on de per´ıodo
continua a trozos y sean ak y bk sus coeficientes coeficientes de Fourier. Entonces N
ao2 + ak2 + bk2 2 k=1
2 2
≤ f
para todo entero positivo N . ´ n. Sea S n Demostraci on. o
{ } la sucesi´on on de sumas parciales de la serie de Fourier de f , f ,
considerando la f´ ormula ormula (3.1) con P = S N N , obtenemos
− N
f
2 2
ao2 + ak2 + bk2 2 k =1
1 = π
2π
0
(f ( f (x)
2
− S (x) ) N N
dx
≥ 0.
´ ICA DE LA SERIE 3. CONVERGENCIA EN MEDIA CUADRATICA AT SERIE DE FO FOURI URIER ER
30
Corolario 3.7. Sea f :
R
ıod o 2π , continua a trozos y sean a → R una funci´ on de per´ıodo
k
y bk sus coeficien oeficientes tes de Fourier. Entonces Entonces la serie
∞
ak2 + bk2
k=1
es convergente Teorema 3.8. Sea f :
R
ıodo o 2π , continua a trozos y sea {S } → R una funci´ on de per´ıod n
la sucesi´ on de sumas parciales de la serie de Fourier de f . Entonces Entonces
n
lim f →+∞
− S
n 2
= 0.
´ n. Supongamos primero que f es contin continua. ua. Sea σn Demostraci on. o
o n de las { } la sucesi´on
medias de Cesaro de las sumas parciales de la serie de Fourier de f . Teorema ma 2.14 f . Por el Teore
{σ } converge uniformemente a f en R, por lo tanto n
2π
lim f n→+∞
−σ
Por el Teorema 3.5 f
n 2
= lim n→+∞
(f ( f (x)
0
− σ (x) ) n
2
dx
1 2
= 0.
− S ≤ f − σ , para cada n ∈ N, luego n 2
n 2
n
lim f →+∞
− S
n 2
= 0.
Sea f continua a trozos y de per´ per´ıodo 2π. Dado ε > 0 existe g continua y de per´ıodo ıod o 2π (ver Ejercicio 3.2) tal que
f − g
2
ε < . 2
Sea S g,n la sucesi´on on de sumas parciales de la serie de Fourier de g , por lo que acabamos g,n
{ }
de probar, existe un entero positivo N o tal que si n
g − S
g,n g,n 2
Por el Teorema 3.5 tenemos que, para cada n
≥ N entonces o
ε < . 2
∈ N,
f − S ≤ f − S . n 2
g,n g,n 2
´ ´ ´ RICAS 4. APLICACI APLICACION A SUMAC SUMACI ION DE SERIES SERIES NUME
Sea n
31
≥ N , entonces o
f − S ≤ f − S ≤ f − g + g − S n 2
g,n g,n 2
2
<
g,n g,n 2
ε ε + = ε. 2 2
´ n 3.9. Se puede probar que el resultado anterior vale para cualquier funci´ on on Observaci on o
de cuadrado integrable, no necesariamente continua a trozos. Teorema 3.10 (Identidad de Parseval). Sea f :
R
ıod o 2π , → R una funci´ on de per´ıodo
continua a trozos y sean ak y bk sus coeficientes coeficientes de Fourier. Entonces
∞ ao2 + ak2 + bk2 = f 22 . 2 k
=1
´ n. Sea S n (x) la sucesi´ on de sumas parciales de la serie de Fourier de f , on Demostraci on. o f ,
{
}
considerando la f´ ormula ormula (3.1) con P = S n , obtenemos
− f
2 2
2
n
ao + ak2 + bk2 2 k=1
1 = π
2π
(f ( f (x)
0
− S (x) ) n
2
dx = f
2
− S . n 2
Tomando Tomand o l´ımite ımit e cuando cua ndo n tiende a infinito y usando el Teorema 3.8 tenemos que lim n→∞
− f
2 2
2
ao + 2
n
ak2 + bk2
k=1
= 0.
4. Aplica Aplicaci´ ci´ on on a sumaci´ on on de series seri es num´ ericas eri cas Ejemplo 3.11. Vamos a ver como la identidad de Parseval nos permite establecer que
1 1 1 1+ 2 + 2 + 2 + 2 3 4
···
π2 = . 6
Consideremos la funci´on on f ( f (x) = x para extendida por periodicidad a toda la recta.
− π ≤ x < π,
32
´ ICA DE LA SERIE 3. CONVERGENCIA EN MEDIA CUADRATICA AT SERIE DE FO FOURI URIER ER
Su serie de Fourier es (ver Ejemplo 1.17)
sen x sen2x sen2x sen3x sen3x sen(k sen(k)x 2 + + + ( 1)k+1 + 1 2 3 k Al aplicar la identidad de Parseval obtenemos
−
··· −
1 1 1 4 1+ 2 + 2 + 2 + 2 3 4
1 π 2 = x dx π −π π 1 x3 2 = = π2, π 3 −π 3
···
de donde se obtiene el resultado.
5. Ejercicios Ejercicios adicionale adicionaless
(1) Demostrar que 1+
···
1 1 1 + + + 24 34 44
4
π · · · = 90 .
(2) Hallar el valor de 1+
1 1 1 + + + 26 36 46
··· .
1+
1 1 1 + + + 28 38 48
··· .
(3) Hallar el valor de
.
CAP CA P´ıTUL ıT ULO O 4
Comportamiento de las series de Fourier 1. Fen´ omeno omeno de Gibbs
La convergencia de la serie de Fourier de una funci´ on on en las cercan´ cercan´ıas de una discontinuidad de salto muestra ciertas car´ acter´ acter´ısticas muy particulares particu lares que fueron estudiadas por el matem´atico atico J. N. Gibbs alrededor del a˜ no no 1899. Sea f una funci´ on on de per´ıodo ıod o 2π y sea S n la sucesi´on on de sumas parciales de su serie
{ }
de Fouri Fourier. er. Gibbs Gibbs observ´ observo´ lo siguien siguiente: te: en un entorn entornoo de una discon discontin tinuid uidad ad de salto salto S n siempre difiere de f en un valor que es aproximadamente igual al 9% del tama˜ no no del salto. Esta propiedad se conoce como fen´ omeno omeno de Gibbs. Vamos a ilustrar el fen´ omeno omeno de Gibbs a trav´ trav´es es de un ejemplo muy sencillo, sencillo, para m´ as informaci´on on y detalles se pueden consultar los textos [1] y [2]. En lo que resta de esta secci´ on on f ser´a la funci´on on definida por 1 f ( f (x) = (π 2
− x)
(0
≤ x < 2π),
extendida por periodicidad a toda la recta. Si representamos gr´ aficamente aficamente a esta funci´ on on obtenemos: 2 1.5 1 0.5
-10
-5
5 -0.5 -1 -1.5 -2
afico afico de f Figura 4.1. gr´
33
10
34
4. COMPORTAMIENTO DE LAS SERIES DE FOURIER
Se observa que f tiene una discontinuidad de salto en los puntos 0,
±2π, ±4π , . . . .
Ejercicio 4.1. Demostrar que la serie de Fourier de f es igual a
∞
k=1
Sea
sen kx . k n
S n (x) =
k=1
sen kx . k
Si superponemos los gr´ aficos aficos de S 5 y S 9 con el gr´afico afico de f obtenemos 2 1.5 1 0.5
-10
-5
5
10
5
10
-0.5 -1 -1.5 -2
Figura 4.2. S 5 2 1.5 1 0.5 -10
-5 -0.5 -1 -1.5 -2
Figura 4.3. S 9
En las gr´aficas aficas se observa claramente un salto de altura similar alrededor de cada discontinuidad.
´ MENO DE GIBBS 1. FENO
35
Si consideramos consideramos S 19 19, obtenemos 2 1.5 1 0.5 -5
-10
5
10
-0.5 -1 -1.5 -2
Figura 4.4. S 19 19
A trav´es es de los siguientes ejercicios e jercicios vamos a formalizar lo que observamos en los gr´ aficos. Demostrar que Ejercicio 4.2. Demostrar lim S n n→∞ Indicaci´on: on: Identificar S n
π n
π
π = n
0
sen t dt. t
con una suma de Riemann para la integral
Demostrar que Ejercicio 4.3. Demostrar π
0
sen t dt t
≈ 1, 85
Indicaci´on: on: Usar el desarrollo de Taylor de la funci´on on sen. Luego S n
π n
−
π
+
f (0 f (0 )
sen t dt f (0 f (0+ ) t 0 π sen t π = dt 2 t 0 π 1, 85 0, 28 0, 09π. 09π. 2
≈ ≈
−
−
− ≈
Por otro lado, la altura del salto de f en 0 es f (0 f (0+)
− f (0 f (0− ) = π,
≈
π sen t t 0
dt. dt.
36
4. COMPORTAMIENTO DE LAS SERIES DE FOURIER
por lo tanto, para n bastante bastante grande, S n
π n
−
f (0 f (0+ )
9 (f (0 )). ≈ 100 f (0 ) − f (0 f (0− )). +
En conclusi´ on, a la derecha de 0, las sumas parciales S n difieren del valor de f en aproon, ximadamente un 9% del valor del salto.
2. Integrac Integraci´ i´ on on y derivaci´ on de series de Fourier on
Necesitaremos el siguiente resultado, que dejamos como ejercicio. Ejercicio 4.4. Sea I
continua a trozos. Sea xo
⊂ R un intervalo cerrado y acotado y sea f : I → R una funci´on on ∈ I y sea F : I → R definida por x
F ( F (x) =
f ( f (t) dt.
xo
Demostrar que F es continua en I y que F posee derivadas laterales en cada punto de I . En general, una serie infinita puede ser integrada t´ermino ermino a t´ermino, ermino, solamente cuando es uniformemente uniformemente convergen convergente. te. Sin embargo para series de Fourier la integraci´ integraci´ on t´ermi er mino no a t´ermino ermin o es posible, po sible, m´ as precisamente, se tiene. as Teorema 4.5. Sea f :
R
un a func fu nci´ i´on on de per´ıod ıodo o 2π, continua a trozos en [0, → R una [0, 2π ],
con serie de Fourier
ao + 2 Entonces, para a, b b
a
∞
ak cos kx + bk sen kx.
k=1
∈ R, se cumple
ao f ( f (t) dt = (b 2
− a) +
∞
ak (sen kb
− sen ka) ka ) − b (cos kb − cos ka) ka) . k
k
k=1
´ n. Sea F la funci´ on on definida por Demostraci on. o x
F ( F (x) =
f ( f (t)
0
−
ao 2
dt.
´ ´ N DE SERIES DE FOURIER 2. INTEGRACI INTEGRACION Y DERIV DERIVACIO
37
Por el Ejercicio 4.4, F es continua y posee derivadas laterales en cada punto de la recta, m´ as as a´un, un, por la Proposici´on on 1.11 x+2π
ao 2
− − − −
2π ) = F ( F (x + 2π
f ( f (t)
0
x
=
x+2π
ao 2
f ( f (t)
0
dt
dt +
−
x
2π
= F ( F (x) +
f ( f (t)
ao 2
f ( f (t)
0
ao 2
dt
dt
2π
= F ( F (x) +
f ( f (t) dt
πa o
0
= F ( F (x). Por lo tanto F tiene tie ne per pe r´ıodo ıo do 2π . Por el Teorema 2.4 la serie de Fourier de F converge a F en cada punto de la recta, es decir, si Ak y Bk son los coeficientes de Fourier de F , F , tenemos que, para cada x ∞ Ao + F ( F (x) = Ak cos kx + Bk sen kx. 2 k
∈R
=1
Calculemos Ak y Bk . Integrando por partes obtenemos que, para k 1 Ak = π
2π
)cos(kx)) dx F ( F (x)cos(kx
0
1 sen kx = F ( F (x) π k =
≥1
− bk ,
2π 0
−
1 kπ
2π
f ( f (x)
0
−
ao 2
sen kxdx
k
de manera an´ aloga aloga se obtiene Bk = Por lo tanto Ao + F ( F (x) = 2 de donde x
(4.1)
0
∞
ak . k
ak sen kx
k
cos kx
k
k=1
ao x Ao + + f ( f (t) dt = 2 2
−b
∞
k=1
ak sen kx
−b k
k
,
cos kx
.
Para obtener el resultado evaluamos la f´ ormula ormula anterior en x = b, en x = a y restamos.
38
4. COMPORTAMIENTO DE LAS SERIES DE FOURIER
´ n 4.6. Notar que en el Teorema anterior no se supone la convergencia de la Observaci on o
serie de Fourier de f . f . ´ n 4.7. Es importante destacar que la conclusi´ on del Teorema anterior se on Observaci on o
puede expresar de la siguiente manera b
b
f ( f (t) dt =
a
a
∞
ao dt + 2
b
ak
b
cos ktdt + bk
a
k=1
sen ktdt,
a
es decir, decir , la serie se puede integrar integr ar t´ermino ermin o a t´ermino. ermino . Corolario 4.8. Si f :
R
ıodo o 2π , continua a trozos en [0, [0, 2π ], → R es una funci´ on de per´ıod
con serie de Fourier
ao + 2 entonces la serie
∞
ak cos kx + bk sen kx,
k=1
∞
k=1
converge.
bk k
´ n. Substituir x = 0 en la f´ ormula ormula (4.1). Demostraci on. o
´ n 4.9. Notar que de la f´ Observaci on o ormula ormula (4.1) sigue que
Ao = 2
∞
k=1
bk . k
Ejercicio 4.10.
(i) Demostrar que la serie
∞
k=2
converge para todo x
∈ R.
sen kx ln k
(ii) Demostrar que no existe ninguna funci´ on on continua continua a trozos y de per´ per´ıodo 2π cuya serie de Fourier sea
∞
k=2
sen kx . ln k
Ejercicio 4.11. Demostrar que
x = 2 para
−π < x < π.
∞
− k=1
( 1)k+1
sen kx k
´ ´ N DE SERIES DE FOURIER 2. INTEGRACI INTEGRACION Y DERIV DERIVACIO
Teorema 4.12. Sea f :
R
39
ıod o 2π, continua a trozos en [0, [0, 2π ], → R una funci´ on de per´ıodo
con serie de Fourier
ao + 2 Entonces, para
−π < x < π,
x
0
f ( f (t) dt =
∞
bk + k
∞
ak cos kx + bk sen kx.
k=1
∞
− k=1
k=1
(ak + ( 1)k+1 ao )sen kx bk cos kx + (a . k
−
´ n. Para obtener el resultado basta substituir el valor de Ao /2 (ver ObserDemostraci on. o
vaci´on on 4.9) y el desarrollo de x/2 ormula ormula 4.1. x/2 (ver Ejercicio 4.11) en la f´
Teorema 4.13. Sea f :
R
→ R una funci´ fun ci´on on diferenci dif erenciabl able, e, de per´ per´ıodo 2π con serie de
Fourier
ao + 2
∞
ak cos kx + bk sen kx.
k=1
Si f es continua a trozos, entonces la serie de Fourier de f es
∞
k(bk cos kx
k=1
−a
k
sen kx) kx ),
es decir, la serie de Fourier de f se obtiene obtien e derivando deriva ndo t´ ermino ermino a t´ ermino ermino la serie de Fourier de f . ´ n. Sean ak y bk los coeficientes de Fourier de f . Entonces Demostraci on. o 2π
1 ao = π
1 ak = π
f (x) dx = f (2 f (2π π)
0
0, − f (0) f (0) = 0,
2π
f (x)cos kxdx
0
1 1 = [f ( f (x)cos kx] kx ]20π + k π π
2π
f ( f (x)sen kxdx
0
= kb k . De igual manera se obtiene bk =
−ka . k
40
4. COMPORTAMIENTO DE LAS SERIES DE FOURIER
3. Orden Orden de magnitud magnitud de los coeficiente coeficientess de Fourier ourier Teorema 4.14. Si f :
R
→ R es una funci´ on de per´ıodo ıodo 2π , diferenciable, con serie de
Fourier
ao + 2 y f es continua a trozos, entonces
∞
ak cos kx + bk sen kx,
k=1
lim k ak = lim k bk = 0. k→∞ →∞
k
´ n. El resultado sigue del Teorema 4.13 y del Corolario 1.24 aplicado a f . Demostraci on. o
Corolario 4.15. Si f :
ıodo o 2π , p veces diferenciable, con → R es una funci´ on de per´ıod
R
serie de Fourier
ao + 2 y f ( p) es continua a trozos, entonces
∞
ak cos kx + bk sen kx,
k=1
lim k p ak = lim k p bk = 0. k→∞ k→∞ Corolario 4.16. Si f :
R
ıodo 2π , dos veces diferenciable, → R es una funci´ on de per´ıodo
con serie de Fourier
ao + 2
∞
ak cos kx + bk sen kx,
k=1
y f (2) es continua a trozos, entonces la serie de Fourier de f converge uniformemente a f en R. ´ n. Por el Corolario 4.15 tenemos que Demostraci on. o
lim k 2 ak = lim k 2 bk = 0. k→∞ k→∞ De lo anterior se deduce f´ acilmente acilmente que ∞ y ak <
| k=1
| ∞
∞
| |
bk <
k=1
Del teorema M n de Weierstrass sigue que la serie ∞ ak cos kx + bk sen kx
k=1
∞.
4. EJERCICIOS ADICIONALES
41
converge absoluta y uniformemente en R. De lo anterior y el Corolario 2.15 se obtiene el resultado.
4. Ejercicios Ejercicios adicionale adicionaless
(1) (1) Par Parti tien endo do del del desa desarr rrol ollo lo en seri seriee de Fouri ourier er de la func funci´ i´ on f ( f (x) =
x
2
para 2
−π < x < π (Ejercicio 4.11), hallar h allar el desarrollo de Fourier de la funci´ func i´on on f ( f (x) = x para −π < x < π. π. (2) Sea f : R → R una funci´ on on de per pe r´ıodo ıo do 2π, tres veces diferenciable. diferenciable. Demostrar Demostrar que si
f (3) es continua a trozos, entonces la serie de Fourier de f converge uniformemente a f en R. ¿Puede generalizar el resultado anterior?
42
4. COMPORTAMIENTO DE LAS SERIES DE FOURIER
CAP CA P´ıTUL ıT ULO O 5
Casos Cas os m´ as as genera gen erales les 1. Notaci Notaci´ on o ´n compleja
Muchas Muchas de las operaciones con funciones funciones trigonom´ trigonom´etricas etricas se simplifican simplifican al pasar a los n´umeros umeros complejos, usando la f´ ormula ormula de Euler eiθ = cos θ + i sen θ.
(5.1)
De la f´ormula ormula de Euler se obtiene 1 cos θ = (eiθ + e−iθ ) 2 1 sen θ = (eiθ e−iθ ) 2i
(5.2)
−
ormula ormula de sumaci´on on que aparece en la Proposici´ on o n 1.25 a Ejercicio 5.1. Deducir la f´ partir de la f´ormula ormula para la suma de una progresi´on on geom´etrica etrica y de la igualdad 1 + cos x + cos cos 2x + 2
n
1 + cos nx = eikx 2 k −n =
···
A continuaci´on on enunciamos algunos resultados que pueden ser verificados sin mayores dificultades por el estudiante familiarizado con el manejo de n´ umeros complejos. complejos. Si en un polinomio trigonom´etrico etrico de la forma αo + P ( P (x) = 2
n
αk cos kx + β k sen kx,
k=1
hacemos la substituci´ on on 1 cos kx = (eikx + e−ikx ) 2
sen kx =
obtenemos n
P ( P (x) =
k= n
−
43
γ k eikx ,
1 ikx (e 2i
ikx
− e−
),
´ 5. CASOS MAS GENERAL GENERALES ES
44
donde los n´ umeros umeros complejos γ k est´an a n relacionados con los n´ umeros umeros αo , αk y β k por la ecuaciones 1 γ o = αo , 2 1 γ k = (αk iβ k ), 2 1 γ −k = (αk + iβ k ), 2
−
para k = 1, . . . , n . Tambi´en en se tiene tie ne que αk = γ k + γ −k , β k = i(γ k
Si f : R
− γ − ). k
→ R es una funci´on on de per pe r´ıodo ıo do 2π, integrable en el intervalo [0, [0, 2π ], entonces su
serie de Fourier es igual a +∞
ck eikx ,
k=
−∞
donde 1 ck = 2π
2π
f ( f (x)e−ikx dx.
0
En este caso la identidad de d e Parseval Parseval queda as´ as´ı: 1 2π
2π
2
(f ( f (x)) dx =
0
+∞
| |
ck 2 .
k=
−∞
2. Funciones de per p er´ ´ıodo ıod o arbitrario ar bitrario
Sea f : R
on de per pe r´ıodo ıod o 2T (T > 0), si definimos ϕ : R → R por → R una funci´on ϕ(x) = f
Tx , π
entonces ϕ tiene tie ne per pe r´ıodo ıo do 2π. Este cambio de variable permite trasladar, en forma muy natural y sencilla, sencilla, los resultados resultados que hemos h emos obtenido ob tenido para funciones de per p er´´ıodo 2π a funcio f unciones nes de per´ıodo ıod o 2T 2T ..
3. DESARROLLO EN SERIE DE COSENOS Y EN SERIE DE SENOS
45
Una funci´on on de per´ıodo ıod o 2T , [0, 2T ], T , integrable en el intervalo [0, T ], tiene una serie de Fourier (generalizada) de la forma
∞
ao + 2 donde
ak cos
k=1
kπx kπ x T
1 T kπx kπ x ak = f ( f (x)cos T −T T
+ bk sen
dx
kπx kπ x , T
(k = 0, 1, . . . ),
1 T kπx kπ x (k = 1, 2, . . . ). bk = f ( f (x)sen dx T −T T Los resultados sobre convergencia, integraci´ on, on, diferenciabili diferenciabilidad, dad, etc... se extienden en forma completamente natural a funciones de per p er´´ıodo 2T con el tipo de expansi´on on que acabamos de se˜ nalar. nalar. ormula ormula de Parseval Parseval para p ara funciones de per´ per´ıodo 2T . Ejercicio 5.2. Escribir la f´ T . 3. Desar Desarrol rollo lo en serie serie de coseno cosenoss y en serie de senos ´ n 5.3. Sea I Definicion o
⊂ R un intrevalo intrevalo sim´etrico etrico con respecto al origen y sea f : I → R
un unaa func fu nci´ i´on. on . Se dice que f es par si para ra tod todo x f ( f (x) = f ( f ( x) pa
−
∈ I
y se dice que f es impar si f ( f (x) =
−f ( f (−x)
parra tod pa todo x
∈ I.
on on de per´ıodo ıod o 2T , [0, 2T ], Ejercicio 5.4. Sea f una funci´ T , integrable en el intervalo [0, T ], con serie de Fourier
∞
ao + 2
ak cos
k=1
kπx kπ x T
+ bk sen
kπx kπ x . T
Demostrar que si f es par entonces
bk = 0 para k = 1, . . . , n , y adem´as as 2 ak = T
T
0
f ( f (x)cos
kπx kπ x T
dx
(k = 0, 1, . . . ).
´ 5. CASOS MAS GENERAL GENERALES ES
46
Demostrar que si f es impar entonces ak = 0 para k = 0, . . . , n , y adem´as as 2 bk = T
T
kπx kπ x T
f ( f (x)sen
0
dx
(k = 1, 2, . . . ).
Supongamos que tenemos una funci´ on on f , [0, T ], f , definida en un intervalo de la forma [0, T ], donde T > 0. Si definimos
∈ [0, [0, T ] T ], si x ∈ [−T , 0], 0], f ( f (−x) entonces g es una extensi´ on on par de f al intervalo [−T , T ]. fun ci´on on g tiene una extensi´ on on T ]. La funci´ g (x) =
f ( f (x)
si x
de per pe r´ıodo ıo do 2T a toda la recta. recta. La expansi expansi´ on o´n de Fourier de g es lo que se conoce como el desarrollo en serie de cosenos de f . f . Si definimos
−
∈ [0, [0, T ] T ], si x ∈ [−T , 0], 0], f ( f (−x) entonces h es una extensi´ extension o´n impar de f al intervalo [−T , T ]. f unci ci´´on on h tiene una extensi´ on on T ]. La fun de per pe r´ıodo ıo do 2T a toda la recta (m´ as as precisamente la restricci´on on de h al intervalo [−T , T )). T )). h(x) =
f ( f (x)
si x
La expansi´ on on de Fourier de h es lo que se conoce como el desarrollo en serie de senos de f . f . Del Ejercicio 5.4 sigue que si f : [0, [0, T ] T ]
on integr integrable able,, entonc entonces es su → R es una funci´on
desarrollo en serie de cosenos es ao + 2
∞
ak cos
k=1
kπx kπ x , T
donde 2 ak = T
T
0
f ( f (x)cos
kπx kπ x T
dx
(k = 0, 1, . . . ).
4. EJERCICIOS ADICIONALES
47
Su desarrollo en serie de senos es
∞
bk sen
k=1
donde 2 bk = T
T
f ( f (x)sen
0
kπx kπ x T
kπx kπ x , T
(k = 1, 2, . . . ).
dx
El lector no debe encontrar dificultad en extender los resultados sobre convergencia, integraci´ on, diferenciabilidad, etc. a los desarrollos en serie de cosenos y en serie de senos. on,
4. Ejercicios Ejercicios adicionale adicionaless
(1) Demostrar que 1 1 1 + + + 12 32 32 52 52 72 Indicaci´on: on: Desarrollar f ( f (x) = sen x, 0
π2 8 = . 16 x π en serie de cosenos.
− ··· ≤ ≤
(2) Desarrollar la funci´on on f ( f (x) = x, 0 < x < 2, en serie de cosenos y en serie de senos. (3) Demostrar que, para 0 π2 x) = 6
(a) x(π
−
(b) x(π
− x) = π8
≤ x ≤ π, se cumplen las siguientes igualdades:
−
··· ···
cos2x cos2x cos4x cos4x cos6x cos6x + + + 12 22 32
sen x sen3x sen3x sen5x sen5x + + + 13 33 53
(4) Utilizar el ejercicio anterior para demostrar que (a)
∞
n=1
(b)
∞
n=1
(c)
1 π2 = . 6 n2
− − ∞
n=1
( 1)n−1 π2 = . 12 n2
( 1)n−1 π3 = . (2n (2n 1)3 32
−
.
.
´ 5. CASOS MAS GENERAL GENERALES ES
48
(5) Demostrar que 1 1 + 13 33
1 53
− −
1 1 1 + + 73 93 113
−···
√
3π 3 2 = . 16
CAP CA P´ıTUL ıT ULO O 6
Aplicaci´ on on a la resoluci´ on de ecuaciones en derivadas parciales on 1. Introducc Introducci´ i´ on on
La idea b´asica asica de las series de Fourier Fourier es que, una amplia variedad variedad de funciones funciones peri´ p eri´ odicas se puede expresar como una suma de funciones funciones trigonom´ trigonom´etricas etricas simples, (senos y cosenos) con un per´ıodo ıodo com´ comun. u´n. Esta idea aparece en forma natural en el estudio de fen´ omenos ome nos astron ast ron´´omicos omi cos peri´ pe ri´odicos odi cos.. Ya los Babilonios usaban una forma primitiva de series de Fourier para la predicci´ on o n de eventos relacionados con los astros. La historia m´as as reciente de las series de Fourier comienza con D’Alembert en el a˜ no 1747, quien estudiaba el problema de la descripci´ on on de la oscilaci´on on de una cuerda de viol´ viol´ın, para lo cual deb´ deb´ıa resolver la ecuaci´ on en derivadas parciales on ∂ 2 u ∂ 2 u = , ∂x 2 ∂t 2 con ciertas condiciones de borde. La contribuci´ on de Fourier comienza en el a˜ on no 1807, cuando estudia el problema de la no transmisi´on on del calor, que est´ a asociado a la ecuaci´ on on ∂ 2 u ∂u = . ∂x 2 ∂t eorie Analytique Analytiq ue de la Chaleur Chaleu r (1822) aparece un intento serio de demostraci´ En su libro Th´eorie on on
de que toda funci´ on on peri´odica odica y suave a trozos puede ser expresada como una serie trigonom´etrica. etrica. Las pruebas rigurosas y precisas pre cisas de este hecho fueron fuer on dadas d adas despu´es es por p or Dirichlet (1829) y por Riemann (1867). A continuaci´on on vamos a considerar la ecuaci´ on de la cuerda vibrante y la ecuaci´ on on on del calor en dos situaciones particularmente sencillas y veremos c´ omo omo el m´etodo etodo de separaci´ on on de variables, variabl es, combinado co mbinado con el m´etodo eto do de expans e xpansi´ i´ on on en series trigonom´etricas, etricas, permite hallar la soluci´on on de estas ecuaciones. 49
´ ´ 6. APLICACION A LA RESOL RESOLUCI UCION DE ECUACIONES ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES PARCIALES
50
2. Ecuaci Ecuaci´ o on ´n de la cuerda vibrante 2.1. Planteam Planteamien iento to del problema. problema.
Conside Consideremo remoss una cuerda cuerda de longitu longitud d L, que que se encue encuen ntra tra fija fija en sus extr extrem emos os.. Si esta cuerda cuerda realiza realiza un movim movimien iento to de vibraci vibraci´ on o´n en un plano plano,, enton entonces ces este este movi movimi mien ento to se puede describir mediante una funci´ on on de dos variables u(x, t) de la siguiente manera: Sea xu el plano en el que vibra la cuerda, supongamos que la posici´on o n de equilibrio de la cuerda queda a lo largo del eje x. La fu funci´ cion o´n u(x, t) tiene por dominio el conjunto afico de la funci´ on on x → u(x, t) es la forma {(x, t) : 0 ≤ x ≤ L, t ≥ 0} y para cada t ≥ 0 el gr´afico de la cuerda en el instante t. La siguiente figura nos ilustra esta situaci´ on. on. u u = u( u(x, x,t) t) 0
L
x
Figura 6.1.
Supongamos que se cumplen las siguientes condiciones ideales: (a) La amplitud amplitud de la cuerda es peque˜ na y cada punto de la misma se mueve solamente en direcci´ on on vertical. (b) Todas las fuerzas de fricci´ on, tanto internas como externas, pueden despreciarse. on, (c) La masa de la cuerda, por unidad de longitud, es peque˜ na na en relaci´ on on con la tensi´on on en la misma, por lo que la fuerza de gravedad puede ser despreciada. Entonces la funci´ on on u, que describe el movimiento de la cuerda, satisface la ecuaci´on on en derivadas parciales (6.1)
1 ∂ 2 u ∂ 2 u = 2 2, ∂x 2 a ∂t
donde a es una constante positiva, que depende de la tensi´ on on y otras otr as caract car acter´ er´ıstica ıst icass f´ısicas ısic as de la cuerda.
´ N DE LA CUERDA VIBRANTE 2. ECUACI ECUACIO
51
Como aplicaci´on on de lo que hemos estudiado de series de Fourier, vamos a resolver la ecuaci´on on (6.1) sujeta a las condiciones de borde:
(6.2)
(0, t) = u(L, t) = 0, u(0,
t
≥0
u(x, 0) = f ( f (x), ∂u (x, 0) = g (x), ∂t
donde f y g se suponen funciones conocidas. La interpretaci´ on on f´ısica ısica es sencilla: tal como se˜ nalamos nalamo s anteriormente anterio rmente la funci´on on u(x, t) describe el movimiento de una cuerda ideal de longitud L, cuya posici´on on de equilibrio coincide con el eje x y cuyos extremos se encuentran fijos en x = 0 y en x = L. Suponemos que la forma inicial inicial de la cuerda es conocida y est´a dada por el gr´ afico de f , f , tambi´ tambi´en en supondremos conocida la velocidad velocidad inicial inicial de cada punto de la cuerda y que est´ a dada por g . 2.2. Separaci´ Separaci´ on on de variables.
Vamos a comenzar por buscar soluciones no triviales de la ecuaci´ on on (6.1) que tengan la forma u(x, t) = ψ(x)φ(t) y que satisfagan (0, t) = u(L, t) = 0 t u(0,
≥ 0.
En este caso tendremos que ∂ 2u = ψ (x)φ(t) 2 ∂x
∂ 2 u = ψ (x)φ (t). 2 ∂t
Substituyendo en (6.1) obtenemos ψ (x)φ(t) =
1 ψ (x)φ (t), 2 a
por lo tanto 1 φ (t) ψ (x) = 2 , ψ (x) a φ(t)
(6.3)
siempre que ψ (x)φ(t) = 0. El primer primer miembro miembro de la ecuaci´ ecuaci´ on on (6.3) s´ olo olo depende de x y el
segundo miembro s´ olo olo depende de t, por lo tanto cada uno de los miembros de esta ecuaci´ on on
´ ´ 6. APLICACION A LA RESOL RESOLUCI UCION DE ECUACIONES ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES PARCIALES
52
tiene tiene que ser constant constante. e. Si llamamos llamamos λ a esta constante, obtenemos que la ecuaci´ on on (6.3) equivale al par de ecuaciones diferenciales ordinarias ψ (x)
− λψ( λψ(x) = 0, φ (t) − λa φ(t) = 0.
(6.4)
2
Analicemos primero la ecuaci´ on on ψ (x)
(6.5)
Como u(0, (0, t) = u(L, t) = 0 para para t
− λψ( λψ(x) = 0.
≥ 0, se debe cumplir que ψ(0) = ψ(L) = 0.
Consideraremos tres casos: λ > 0, λ = 0 y λ < 0. Si λ > 0 entonces la soluci´ soluc i´on on general de la ecuaci´ e cuaci´ on on (6.5) es √ √ ψ (x) = C 1 e λx + C 2e− λx , donde C 1 y C 2 son son constan constantes tes real reales. es. Es f´ a cil verificar que si se satisface la condici´on acil on olo olo obtenemos la soluci´on on ψ (0) = ψ (L) = 0 entonces C 1 = C 2 = 0. Luego, en este caso, s´ trivial. Si λ = 0 entonces la soluci´ soluc i´on on general de la ecuaci´ e cuaci´ on on (6.5) es ψ (x) = C 1 + C 2 x, donde C 1 y C 2 son constantes reales. Al igual que en el caso previo, es f´ acil acil verificar que si se satisface la condici´ on on ψ (0) = ψ (L) = 0 entonces C 1 = C 2 = 0. Luego, en este caso, s´ olo olo obtenemos la soluci´ on on trivial. Si λ < 0 entonces la soluci´ soluc i´on on general de la ecuaci´ e cuaci´ on on (6.5) es (6.6)
ψ (x) = C 1 cos(
√− ) + sen(√− ) λ x) x C λ x) x, 2
donde C 1 y C 2 son constantes reales. Como ψ(0) = 0 tiene que ser C 1 = 0. Como ψ(L) = 0
√−λ L) = 0, por lo tanto para que la soluci´on on no sea trivial se debe
tiene que ser C 2 sen( cumplir
√−
sen(
λ L) L) = 0,
de donde (6.7) para alg´ un un entero positivo k.
λ=
−
k2π2 , L2
´ N DE LA CUERDA VIBRANTE 2. ECUACI ECUACIO
53
De la soluci´on on general (6.6) obtenemos que, para cada entero positivo k, la funci´on on ψk definida por
kπ x , L donde γ k es una constante real, es una soluci´ on on de la ecuaci´ on on (6.5). ψk (x) = γ k sen
Reemplazando el valor de λ, dado en (6.7), en la segunda ecuaci´ on on de (6.4) obtenemos k2 π2 2 φ (t) + 2 a φ(t) = 0. L La soluci´on on general de esta ecuaci´on on es φk (t) = αk cos
kπ at + β k sen L
kπ at , L
donde αk y β k son constantes reales. En conclusi´ conclusi´ on, para cada entero positivo k, tenemos una soluci´on on, on de la ecuaci´ on on (6.1) de la forma
kπ kπ uk (x, t) = Ak cos at + Bk sen at L L donde Ak y Bk son constantes reales.
sen
kπ x , L
Supongamos que la soluci´ on on de la ecuaci´ on on (6.1) que satisface satisface las condiciones condiciones (6.2), se puede expresar en la forma (6.8)
u(x, t) =
∞
uk (x, t)
k=1
y supongam sup ongamos os tambi´en en que es posible pos ible derivar la serie t´ermino ermin o a t´ermino. ermin o. Entonces Entonc es tendr´ıamos ıamos que
∞
uk (x, 0) = f ( f (x)
k=1
y que
∞
k=1
es decir
∞
(6.9)
∂u k (x, 0) = g (x), ∂t
Ak sen
k=1
(6.10)
∞
k=1
kπ aBk sen L
kπ x L
= f ( f (x)
kπ x L
= g (x)
De la f´ormula ormula para el desarro desarrollo llo en serie serie de senos senos de una funci´ funci´ on on (ver (ver Secci´ Secci´ on 3 del Cap´´ıtulo 5), obtenemos Cap obte nemos
´ ´ 6. APLICACION A LA RESOL RESOLUCI UCION DE ECUACIONES ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES PARCIALES
54
2 Ak = L
L
f ( f (x)sen
0
L
2 Bk = kπa kπ a
kπx kπ x L
kπx kπ x L
g (x)sen
0
dx
dx.
2.3. Validez de la soluci´ on. on.
Los resultados sobre convergencia y diferenciaci´ on on t´ermino erm ino a t´ermino erm ino de series ser ies de Fourier, Fourie r, que hemos establecido en la Secci´ on on 2 del Cap Cap´´ıtulo ıtulo 4, se pueden pueden extende extenderr a series series de dos variables ariables de la forma (6.8) y se puede probar que, bajo ciertas hip´otesis otesis sobre las funciones on on de la ecuaci´on on (6.1). M´ as precisamente se puede as f y g, la serie (6.8) converge a una soluci´ probar el siguiente resultado (los detalles se pueden encontrar en [4]). umero real positivo y sean f, g : [0, [0, L] Teorema 6.1. Sea L un n´
→ R funciones tales
que
(i) f , f y f son continuas en [0, [0, L] y f (0) f (0) = f (0) = f ( f (L) = f (L) = 0. (ii) g y g son continuas en [0, [0, L] y g (0) = g (L) = 0. Para k
≥ 1 sean
2 Ak = L
L
2 Bk = kπa kπ a
f ( f (x)sen
0
L
kπx kπ x L
g (x)sen
0
kπx kπ x L
dx
dx.
Entonces la serie
u(x, t) =
∞
k=1
kπ Ak cos at + Bk sen L
kπ at L
sen
converge uniforme y absolutamente a una soluci´ on de la ecuaci´ on
1 ∂ 2 u ∂ 2 u = 2 2, ∂x 2 a ∂t
kπ x L
´ N DEL CALOR 3. ECUACI ECUACIO
55
con condiciones de borde
(0, t) = u(L, t) = 0, u(0,
t
≥ 0,
u(x, 0) = f ( f (x), ∂u (x, 0) = g (x). ∂t 3. Ecuaci Ecuaci´ on o ´n del calor
3.1. Planteam Planteamien iento to del problema. problema.
Consideremos una barra homog´enea enea de longitud L, delgada y aislada en forma tal que su calor no puede perderse p erderse a trav´ trav´es es de su superficie. Supongamos adem´ as que la temperatura de la barra es constante en cada una de sus secciones transversales. Entonces la temperatura en la barra barr a se puede describir mediante una funci´on on u(x, t), donde 0
≤ x ≤ L y t ≥ 0.
Se puede probar que la funci´ on on u(x, t) satisface la ecuaci´on on ∂ 2 u 2 ∂u = a , ∂x 2 ∂t
(6.11)
donde a es una constante positiva que depende de la naturaleza del material. Vamos a resolver la ecuaci´ on (6.11) sujeta a las condiciones de borde on
(6.12)
(0, t) = u(L, t) = 0, u(0,
t
≥0
u(x, 0) = f ( f (x),
donde f es una funci´ on que se supone conocida. on La interpretaci´ interpretaci´ on on f´ısica ısica es la siguie siguient nte: e: Vamos a describi describirr la distri distribuci buci´ on o´n de temperatura en un barra, cuyos extremos se mantienen a temperatura constante igual a 0 y cuya distribuci´on on inicial de temperatura temperat ura est´ a dada por la funci´on on f . f . 3.2. Separaci´ Separaci´ on on de variables.
Al igual que en el ejemplo anterior comenzamos buscando soluciones no triviales de la ecuaci´on on (6.11) que tengan la forma u(x, t) = ψ(x)φ(t) y que satisfagan (0, t) = u(L, t) = 0 t u(0,
≥ 0.
´ ´ 6. APLICACION A LA RESOL RESOLUCI UCION DE ECUACIONES ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES PARCIALES
56
En este caso tendremos que ∂ 2 u = ψ (x)φ(t) 2 ∂x
∂u = ψ (x)φ (t). ∂t
Substituyendo en (6.11) obtenemos ψ (x)φ(t) = a2 ψ (x)φ (t), por lo tanto
ψ (x) 2 φ (t) =a , ψ (x) φ(t)
(6.13) siempre que ψ (x)φ(t) = 0.
Al igual que en el ejemplo de la cuerda se prueba que cada uno de los miembros de esta ecuaci´on on tiene que ser constante. Si llamamos λ a esta constante, obtenemos que la ecuaci´ on on (6.13) equivale al par de ecuaciones diferenciales ordinarias ψ (x)
− λψ( λψ (x) = 0, λ φ (t) − φ(t) = 0. a
(6.14)
2
Con consideraciones similares a las correspondientes al caso de la cuerda se obtiene que para que la soluci´on on no sea trivial debe ser λ < 0 y que ψ tiene la forma (6.15)
ψ (x) = C 1 cos(
√− ) + sen(√− ) λ x) x C λ x) x, 2
donde C 1 y C 2 son constantes reales. Como ψ(0) = 0 tiene que ser C 1 = 0. Como ψ(L) = 0
√ tiene que ser C sen( −λ L) L) = 0, luego 2
√−
sen(
λ L) L) = 0,
de donde (6.16)
λ=
−
k2π2 , L2
para alg´ un un entero positivo k. De la soluci´on on general (6.15) obtenemos que, para cada entero positivo k, la funci´on on ψk definida por ψk (x) = γ k sen
kπ x , L
donde γ k es una constante real, es una soluci´ on on de la primera ecuaci´ on on de (6.14).
´ N DEL CALOR 3. ECUACI ECUACIO
57
Reemplazando el valor de λ, dado en (6.16), en la segunda ecuaci´ on on de (6.14) obtenemos k2 π2 φ (t) + 2 2 φ(t) = 0. La La soluci´on on general de esta ecuaci´on on es φk (t) = αk exp
k2π2 t L 2 a2
−
donde αk es una constante real. En conclusi´ on, para cada entero positivo k, tenemos una soluci´on on, on de la ecuaci´ on on (6.11) de la forma uk (x, t) = Ak exp donde Ak es una constante real.
k2π2 kπ sen t x , L2 a2 L
−
Supongamos que la soluci´ on on de la ecuaci´ on (6.11) que satisface las condiciones (6.12), se on puede expresar en la forma (6.17)
u(x, t) =
∞
uk (x, t)
k=1
Entonces Entonc es tendr´ıamos ıamos que
∞
uk (x, 0) = f ( f (x),
k=1
es decir (6.18)
∞
Ak sen
k=1
kπ x L
= f ( f (x)
De la f´ormula ormula para el desarro desarrollo llo en serie serie de senos senos de una funci´ funci´ on on (ver (ver Secci´ Secci´ on 3 del Cap´´ıtulo 5), obtenemos Cap obte nemos
(6.19)
2 Ak = L
L
0
f ( f (x)sen
kπx kπ x L
dx.
Al igual que en el caso de la cuerda se puede probar que, si los coeficientes Ak se definen mediante la f´ ormula ormula (6.19) y f satisface ciertas condiciones, la serie (6.17) converge a una soluci´on on de la ecuaci´on on (6.11), que satisface las condiciones de borde b orde (6.12) (ver [4] para m´as as detalles).
58
´ ´ 6. APLICACION A LA RESOL RESOLUCI UCION DE ECUACIONES ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES PARCIALES
Bibl Bi blio iogr gra af´ıa [1] R. Courant y F. John. Introduction to Calculus and Analysis, Volume I. Wiley, 1965. 33 [2] H. Dym y H.P. McKean. Fourier Series and Integrals. Academic Press 1972. 33 [3] J. Fourier. es por p or A. Freeman. Cambridge University Fourier. The Analytical Theory of Heat. Traducido al ingl´es Press, 1878. Reimpreso por Dover, 1955. Obra Original: Th´ eorie eorie Analytique de la Chaleur, 1822. [4] D. Kreider, R. Kuller, D. Otsberg y F. Perkins. Introducci´ on al An´ alisis Lineal, Parte 2 . Fondo Educativo Interamericano, 1971. 54, 57 [5] M. Spiegel. An´ alisis de Fourier. Serie Schaum. McGraw-Hill, 1977. [6] G. Tolstov. Fourier Series. Dover, 1976.
59
60
´ Indice
Bessel, desigualdad de, 12, 29
polinomio poli nomio trigonom´ trigon om´etrico, etrico, 3 grado, 3
Cauchy-Schwartz, desigualdad de, 27 Cesaro, 20
Riemann-Lebesgue, Lema de, 12
derivaci´on on de series de Fourier, 36
separaci´ on on de variables, 51, 55
Dirichlet, N´ ucleo ucleo de, 17
serie de cosenos, 46 serie de senos, 47
ecuaci´ on on de la cuerda, 50 Weierstrass, Teorema de, 24
ecuaci´ on on del calor, 55 Fejer N´ ucleo ucleo de , 21 Teorema de, 22 Fourier coeficientes de, 6 serie de , 7 funci´on on continua a trozos, 18 impar, 45 par, 45 peri´odica, odica, 5 Gibbs, Fen´omeno omeno de, 33 integraci´ on de series de Fourier, 36 on Parseval, Identidad de, 11, 31 per pe r´ıodo ıo do,, 5 fundamental, 6
61
