Pokok Bahasan
Distribusi Normal Luas di Bawah Kurva Normal Hampiran Normal terhadap Binomial Distribusi Gamma dan Eksponensial Distribusi Khi-Kuadrat Distribusi Weibull
Pokok Bahasan
Distribusi Normal Luas di Bawah Kurva Normal Hampiran Normal terhadap Binomial Distribusi Gamma dan Eksponensial Distribusi Khi-Kuadrat Distribusi Weibull
Distribusi Normal Distribusi suatu data dari sebuah sample yang memiliki kurva normal (normal curve) yang berbentuk lonceng. Ditemukan oleh Abraham DeMoivere (1733). Sering disebut distribussi Gauss (Gaussian distribution)
Distribusi Normal Fungsi
Fungsi Penuh peubah acak normal X , dengan rataan (mean) µ dan variansi σ 2 adalah n( x; ; )
1
2
e
( x ) 2 ( 2 2 )
, x
Dengan : 3,14159… dan e=2,71828…
Distribusi Normal Kurva Normal
Distribusi Normal Karakteristik kurva normal 1. Kurva berbentuk genta ( = Md= Mo) 2. Kurva berbentuk simetris 3. Kurva mencapai puncak pada saat X= 4. Luas daerah di bawah kurva adalah 1; ½ di sisi
kanan nilai tengah dan ½ di sisi kiri
Distribusi Normal Jenis jenis distribusi normal
Distribusi kurva normal dengan sama dan berbeda 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 m
Distribusi Normal Jenis jenis distribusi normal
Distribusi kurva normal dengan berbeda dan sama
150
300
450
Distribusi Normal Jenis jenis distribusi normal
Distribusi dengan dan yang berbeda
85
850
Luas Di Bawah Kurva Normal
Luas dibawah kurva normal dengan batas x1=a dan x2 = b
a
b
x
Luas Di Bawah Kurva Normal x 2
P ( x1 < X < x2) = n (x ; , )
dx
x 1
=
1
x 2
e 2
(1 / 2) ( x ) / 2
dx
x 1
Integral di atas tidak dapat diselesaikan secara analitis. Untuk memudahkan perhitungan tersedia tabel normal yang berisikan luas dibawah area kurva normal baku Z
x
Standardize the Normal Distribution Z Normal Distribution
X Standardized Normal Distribution
=1
X
=0 One table!
Z
Obtaining the Probability Standardized Normal Probability Table (Portion) Z
.00
.01
.02
=1
0.0 .0000 .0040 .0080
.0478
0.1 .0398 .0438 .0478 0.2 .0793 .0832 .0871
=0
0.3 .1179 .1217 .1255
Probabilities
.12
Z
Shaded area exaggerated
Example P( X 8) 8
X
Z
5
10
.30
Normal Distribution
Standardized Normal Distribution
= 10
=1 .5000
.3821
.1179
=5
8
X Shaded area exaggerated
=0
.30 Z
Q-function: Tail of Normal Distribution
Q(z) = P(Z > z) = 1 – P[Z < z]
Contoh 1
Diketahui nilai mata kuliah Probabilitas dan Statistika kelas C, berdistribusi normal dengan mean = 55 dan deviasi standar = 15. Tentukan nilai peluang a) 55 ≤ X ≤ 75 b) 60 ≤ X ≤ 80 c) X ≤ 40
Answer 75 55 a) P (55 X 75) P 0 Z
15 20 Z 0 P 15 P 0 Z 1,33 P ( Z 1,33) P ( Z 0) 0,4082 Atau
Z 1
x1
0,4082
75 55 15
1,33
60 55 80 55 b) P (60 x 80) P Z 15 15 P (0,33 Z 1,67) P (0 Z 1,67) P (0 Z 0,33) 0,4525 0,1293 0,3232 atau :
Z 1
Z 2
x1
x2
60 55 15 80 55
15 C A B 0,3232
0,33
; B 0,1293
1,67
; A 0,4525
c)
P ( X 40) P Z
40 55
15 15 P Z 15 P Z 1 0,1587
Contoh 2 Tinggi badan mahasiswa UGM berdistribusi normal dengan rata-rata 165 cm dan deviasi standar 10 cm. Tentukan berapa problabilitas mahasiswa UGM dengan tinggi lebih dari 180 cm? Answer:
P(X>180) Z=X-/ 180-165/102,5 Dengan tabel didapat bahwa peluangnya adalah : 0,9938 Maka besarnya peluangnya adalah 1 - 0,9938 = 0,0062
Contoh 3 Diketahui rata-rata hasil adalah 74 dengan simpangan baku 7. Jika nilai-nilai peserta ujian berdistribusi normal dan 12% peserta nilai tertinggi mendapat nilai A, berapa batas nilai A yang terendah ?
answer
A P ( X x A ) 0,5 0,12
P ( X x A ) 0,38 see table.. Z 1,175 Z A X A
x A
Z A
(1,175)7 74
82,225
Hampiran Normal Terhadap Binomial
Persamaan distribusi binomial b(x;n,p) Review : = simpangan x Z = rataan Distribusi Normal : 2 npq = np dan dengan q= (1-p)
Hampiran normal paling berguna dalam perhitungan dengan nilai n yang besar Ex: peluang yang tepat diberikan oleh 9
P (7 X 9)
b( x;15;0,4) x 7
9
6
x 0
x 0
b( x;15;0,4) b( x;15;0,4)
0,9662 0,60989 0,3564
( see table)
Untuk hampiran normal : x1= 6,5 dan x2 = 9,5
Selanjutnya =P(Z<1,85)-P(Z<0,26) =0,9678 – 0,6026 =0,3652 Hasil ini mendekati dengan hasil yang sebenarnya
Soal latihan Peluang seorang mahasiswa sembuh dari hepatitis A adalah 0,4. Bila ada 100 mahasiswa yang terkena penyakit ini, berapa peluang bahwa kurang dari 30 mhs yang sembuh. 2. Saat UM UGM terdapat 200 soal pilihan ganda dengan 4 pilihan dan hanya 1 pilihan yang benar. Seorang siswa mengerjakan soal tanpa membaca soal sedikitpun, berapa peluang siswa tadi menjawab 25 sampai 30 soal dengan benar untuk 80 dari 200 soal??? 1.
Penyelesaian : Misal : peubah binomial X menyatakan banyaknya penderita yang sembuh, Karena n = 100 maka µ = np = 100 x 0,4 = 40 Dan
Untuk mendapatkan peluang yang dicari digunakan x= 29,5
Peluang < 30 pasien yang sembuh dari 100 pasien : P(X<30) ≈ P(Z < ─ 2.14) = 0,0162
Distribusi Gamma
Fungsi gamma didefinisikan sebagai:
( ) x
1 x
e
dx
0
Untuk 1 (1)
Jadi (1) 1
0
x x 1 e dx e 0
Sifat penting fungsi gamma : ( 12 )
Jika di integralkan per bagian (parsial) dengan x 1
x
dan dv
e
dx
1 2 1 u x du ( )x dx Diperoleh
v
e x dv e xdx
Maka
( )
1
x
e x dx
0
u dv
0
uv
v du
0
x 1e x e x ( 1)x 2dx 0
0
( 1) e x x 2dx
; untuk 1
0
Jadi diperoleh
( 1)
( ) ( 1)( 1)
Dengan formula (rumus) berulang diperoleh ( ) ( 1)( 1) ( 1) ( 1) ( 2) ( 2)
( 1)( 2)( 2) ( 1)( 2) ( 2) ( 3) ( 3)
( 1)( 2)( 3)( 3) :
: dan seterusnya Jika
dengan bilangan n bulat positif, maka
n
(n) (n 1)(n 2)(n 3).........1.(1)
;karena (1) 1
(n) (n 1)(n 2)(n 3).........1 (n 1)! atau
(n) (n 1)!
Distribusi Gamma Contoh Gambar Distribusi Gamma 2 . 1
0 . 1
8 . 0
) x ( f
6 . 0
4 . 0
2 . 0
0 . 0
0
2
4
6 x
8
10
Distribusi Gamma fungsi-fungsi
Perubah acak kontinu X berdistribusi gamma dengan parameter dan , jika fungsi kepadatan probabilitasnya :
1 x 1e x f G ( x; ; ) ( ) 0
x 0 yg lain
Sedangkan fungsi distribusi kumulatif Gamma adalah : x
F G ( x; ; ) P ( X x)
1
( )
0
1
t e
t
dt
Distribusi Gamma Statistik Deskriptif
Mean (Nilai harapan)
x
E ( X )
Varians
x2
2
Kemencengan (skewness)
1
2 3
4
Keruncingan (kurtosis)
2
4
6
3
Distribusi Gamma Distribusi Gamma Standar
Ketika β = 1, diperoleh suatu distribusi gamma standar. Maka jika X adalah variabel acak kontinu dari distribusi gamma standar, fungsi kepadatan probabilitasnya adalah :
x 1e x f G ( x; ) ( ) 0
x 0 yg lain
Sedangkan fungsi distribusi kumulatif gamma standar : x
F G ( x; ) P ( X x)
t 1e t
( ) dt 0
Distribusi Gamma Distribusi Gamma Standar
Untuk sebuah sebuah variabel acak kontinu X yang memiliki distribusi gamma dengan parameter α dan β berlaku hubungan :
x
P ( X x) F G ( x; , ) F G ( ; )
Distribusi Gamma Contoh Soal
Misal variabel acak kontinu X menyatakan ketahanan suatu bantalan peluru (dalam ribuan jam) yang diberi pembebanan dinamik pada suatu putaran kerja tertentu mengikuti suatu distribusi gamma dengan α = 8 dan β = 15. Berapakah probabilitas sebuah bantalan peluru dapat digunakan selama 60 ribu sampai 120 ribu jam dengan pembebanan dinamik pada putaran kerja tersebut? Sebutkan juga statistik deskriptif distribusi gamma-nya.
Distribusi Gamma Jawaban
P (60 X 120) P ( X 120) P ( X 60)
F G (120;8,15) F G (60;8,15) F G (120 / 15;8) F G (60 / 15;8) F G (8;8) F G (4;8) 0,5470 0,0511 0,4959
Mean Varians
: :
Kemencengan :
Keruncingan
x
E ( X ) 8.15 120
2 (8)(15) 2 1800 x 42,43 x2
1
2 3
4
4 / 8 0,5
: 2 4 6 3 3,75
Distribusi Eksponensial
Perubah acak kontinu X terdistribusi eksponensial dengan parameter, , jika fungsi padatnya berbentuk : 1 x e ; x 0 f(x) ; x yanglain 0 dengan 0 Distribusi gamma yang khusus dengan 1 disebut distribusi Eksponensial Rata-rata dan variansi distribusi eksponensial :
dan 2
2
Khi kuadrat
Distribusi ini adalah kasus spesial dari distribusi gamma :
1 x 1 x e f(x) ( ) 0
; x yanglain
Lalu disubstitusi dengan :
; x0
v2
Menjadi :
dan 2 ;v bilangan bulat positif v 1 x 1 x2 e 2 f(x) 2v / 2 ( v / 2) 0
; x
0
; x yanglain
dengan v bilangan bulat positif
Khi kuadrat
Parameter V merupakan derajat kebebasan
Rataan distribusi chi kuadrat :
v
Variansi distribusi chi kuadrat :
2
2v
Distribusi Weibull
Perubah acak kontinu X terdistribusi Weibull dengan parameter dan , jika fungsi padatnya berbentuk:
x 1e ( x / ) f W ( x; ) 0
x 0
yang lain
Fungsi distribusi kumulatif Weibull : x
F W ( x; , ) P ( X x)
0
1
t e
(t / )
dt 1 e
( x / )
Distribusi Weibull Contoh gambar Distribusi Weibull
0 . 2
5 . 1
) x ( f
0 . 1
5 . 0
0 . 0
0.0
0.5
1.0
1.5 x
2.0
2.5
Distribusi Weibull Mean dan Varians
Rata-rata : Variansi :
x
1 E ( X ) 1
2 2 1 2 2 x 1 1
Seperti distribusi gamma dan eksponensial, distribusi weibull juga dipakai pada persoalan keandalan dan pengujian panjang umur misal misal panjang umur suatu komponen, diukur dari suatu waktu tertentu sampai rusak.
Distribusi Weibull Contoh Soal
Waktu sampai gagal bekerjanya sebuah pelat gesek (dalam jam) pada sebuah kopling dapat dimodelkan dengan baik sebagai sebuah variabel acak Weibull dengan α = 0,5 dan β = 5000. Hitunglah waktu sampaigagal rata-rata dari pelat gesek tersebut dan hitunglah probabilitas pelat gesek tersebut akan mampu bekerja sekurang-kurangnya 6000 jam.
