IV. DIS DISTRI TRIBUS BUSII TEO TEORIT RITIS IS A. Variab Variabel el Ran Random dom
Variabel Random variabel yang nilai-nilainya ditentukan oleh kesempatan, atau variabel yang bernilai numerik yang didefinis didefinisikan ikan dalam suatu ruang ruang sampel. Variabel Random 1. Variabel Random Diskrit 2. Variabel Random Kontinu
1. Va Vari riab abel el Ra Rand ndom om Di Disk skri ritt Variabel Random Diskrit variabel random yang tidak mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval, atau variabel yang hanya memiliki nilai tertentu. Jika nilai yang mungkin dari variabel random X, yaitu himpunan hasil pemetaan adalah R x, terhingga atau tak terhingga, tetapi terbilang, maka X disebut variabel random diskrit. Dengan demikian, X dapat mengambil nilai dari: x1, x 2, x3, …, xn atau x1, x 2, x 3, …, xn, x n+1, … dengan x R
Contoh: Dua buah kotak masing-masing berisi 4 bola yang bertuliskan angka 1, 2, 3, 4. Dari kotak I dan II masingmasing diambil sebuah bola secara random. Tentukan nilai dari variabel random yang menyatakan jumlah kedua angka pada bola yang terambil! Jawab: Dari pengambilan bola pada kotak I dan II, diperoleh titik sampel 16. Jika Y menyatakan jumlah kedua angka pada bola yang terambil, maka: Y(1,1) = 2 ; Y(1,2) = 3 ; Y(1,3) = 4
dan seterusnya.
Sehingga, daerah hasil dari variabel random Y adalah: R y = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
2. Va Vari riab abel el Ra Rand ndom om Ko Kont ntin inu u Variabel Random Kontinu variabel random yang mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval, atau variabel yang dapat memiliki nilai-nilai pada suatu interval tertentu. Jika nilai yang mungkin dari variabel random X, merupakan semua nilai dalam suatu interval atau banyaknya hasil pemetaan tak terbilang, maka X disebut variabel random kontinu. Misal, daerah dae rah hasil dari variabel random kontinu X adalah: R x = {X : 0 x 1, x bilangan bilangan real} atau
, y bilangan real} R Y = {Y : - y
Contoh: Pada label kawat baja, tertulis diameter 2 0,0005 mm. Tentukan nilai dari variabel random yang menunjukkan diameter kawat tersebut. Jawab: Diameter kawat tidak boleh kurang dari 2 – 0,0005 mm = 1,9995 mm dan tidak boleh lebih dari 2 + 0,0005 mm = 2,0005, sehingga daerah hasil dari variabel random X adalah Rx = {X : 1,9995 x 2,0005, x bilangan real}
B. Pengertian dan Jenis-jenis Distribusi Teoritis 1. Pengertian Distribusi Teoritis Distribusi Teoritis suatu daftar yang disusun berdasarkan probabilitas dari peristiwa-peristiwa bersangkutan. Frekuensi dari distribusi itu diperoleh melalui perhitunganperhitungan, karena itu distribusi teoritis dapat pula diartikan sebagai distribusi yang frekuensinya diperoleh secara matematis. Contoh: Sebuah mata uang logam dengan permukaan I = A dan permukaan II = B dilantunkan sebanyak 3 kali. Buatkan distribusi teoritisnya!
Jawab: Ruang sampel (n) = 8, yaitu S = {AAA, AAB, ABA, BAA, ABB, BBA, BAB, BBB} Jika X merupakan jumlah munculnya permukaan I (A), maka: X = (0, 1, 2, 3} Jika setiap X dicari nilai probabilitasnya, maka distribusi teoritisnya: Tabel: Hasil Pelantunan Sebuah Mata Uang Logam Sebanyak 3 kali X
p(X)
0
0,125
1
0,375
2
0,375
3
0,125
Jumlah
1,000
2. Jenis-jenis Distribusi Teoritis a. Distribusi Teoritis Diskrit suatu distribusi dari semua nilai variabel random diskrit dengan probabilitas terjadinya masing-masing nilai tersebut. Contoh: Di dalam sebuah kotak terdapat 4 bola biru dan 2 bola kuning. Secara acak diambil 3 bola. Tentukan distribusi probabilitas X, jika X menyatakan banyaknya bola kuning yang terambil! Jawab: Jumlah titik sampel Cnr
C63
n! r!(n r)! 6! 3!(6 3!
20
titik sampel
Banyaknya cara mendapatkan bola kuning C2x Banyaknya cara mendapatkan bola biru C34x Distribusi probabilitasnya: p(X x) f(x)
C2x C34x C63
Untuk X = 0 p(X 0)
C02C340 C
6 3
0, 2
Untuk X = 1 p(X 1)
C12 C341 C63
0, 6
Untuk X = 2 p(X 2)
C22 C342 C63
0, 2
, x 0,1, 2
b. Distribusi Teoritis Kontinu suatu distribusi dari semua nilai variabel random kontinu dengan probabilitas terjadinya masing-masing nilai tersebut. Misalkan X adalah variabel random kontinu dari ruang sampel S. Suatu fungsi f dikatakan merupakan fungsi probabilitas variabel random kontinue X, jika memenuhi syarat: - f(x) 0, x R -
f(x)dx 1
- p(a X b) =
b
f(x)dx a
Distribusi probabilitas dari variabel random kontinu disebut juga densitas atau fungsi densitas (fungsi kepadatan)
Contoh: Suatu variabel random kontinu X yang memiliki nilai antara X =1 dan X = 3 memiliki fungsi densitas yang 2(1 x) dinyatakan: f (x) 21
Tentukan nilai p(X 2) Jawab: p(X 2) p(1 X 2) 2
2(1 x)
1
21
dx 2
1 (2x x 2 ) 21 1
5 21
C. Nilai Harapan (Rata-rata Hitung) Distribusi Teoritis 1. Untuk Distribusi Probabilitas Diskrit E(X) = = ∑ {x.f(x)} atau E(X) = = ∑ {x.p(x)}
2. Untuk Distribusi Probabilitas Kontinu
E(X) μ
x . f(x)dx 1
Contoh 1: Sekelompok ahli sebuah perusahaan terdiri atas 4 orang ahli manajemen dan 3 orang ahli akuntansi. Akan dibentuk suatu komisi yang terdiri atas 3 orang (komisi tiga). Jika anggota komisi tiga diambil secara acak dari ke 7 ahli tersebut, tentukan nilai harapan (rata-rata hitung) banyaknya ahli manajemen yang dapat duduk dalam komisi tiga tersebut.
Jawab: Misalkan X : banyaknya ahli manajemen dalam komisi tiga Maka X = 0, 1, 2, 3 p(X x) f(x)
p(X 0) f(0)
p(X 1) f(1) p(X 2) f(2) p(X 3) f(3)
C4x C33x C37 C04 C330 C70 C14 C331 C17 C42 C332 C
7 2
C34 C333 7 3
C
, x 0,1, 2, 3
1 35
12
18
4
35
35
35
0,029 0,343 0,514 0,114
E(X) = = ∑ {x. f(x)} = 0.f(0) + 1.f(1) + 2.f(2) + 3.f(3) 18
4
= 0 35 + 1 35 + 2 35 + 3 35 1
12
= 1,714
Contoh 2: Misalkan X adalah variabel random yang menyatakan lamanya masa pakai sebuah tabung gas dalam jam. Fungsi probabilitasnya adalah: 25.000 f(x) ; x 100 2 x
Tentukan rata-rata masa pemakaian tabung gas tersebut! Jawab:
E(X)
μ
x . f(x)dx
100
x.
25.000 x
100
3
25.000
25.000
x2
x
dx
dx 100
250 0 250
Jadi rata-rata masa pakai tabung gas tersebut 250 jam
D. Varians dan Simpangan Baku Distribusi Teoritis Varians 2
Var (X) = σ = E(X 2) – (E(X))2 atau 2
Var (X) = σ = ∑ (x – )2. p(x) Simpangan Baku (Standar Deviasi) σ
Var(X)
Contoh : Dari contoh 1 di atas hitunglah besarnya varians dan simpangan bakunya!
Jawab: X
(x - )
(x - )2
p(X)
(x - )2.p(X)
0
-1.714
2.9388
0.029
0.0840
1
-0.714
0.5102
0.343
0.1749
2
0.286
0.0816
0.514
0.0420
3
1.286
1.6531
0.114
0.1889
Jumlah
variansnya 2
Var (X) = σ = ∑ (x – )2. p(x) = 0,4898 Simpangan Baku σ
Var(X)
0,4898
0,6999
0.4898
E. Distribusi Binomial 1. Pengertian dan Ciri-ciri Distribusi Binomial suatu distribusi teoritis Distribusi Binomial yang menggunakan variabel random diskrit yang terdiri dari dua kejadian yang independen Ciri-ciri Distribusi Binomial: 1. Setiap percobaan hanya memiliki dua peristiwa, seperti ya-tidak, sukses-gagal. 2. Probabilitas satu peristiwa adalah tetap, tidak berubah untuk setiap percobaan. 3. Percobaan bersifat independen 4. Jumlah atau banyaknya percobaan yang merupakan komponen percobaan binomial harus tertentu.
2. Rumus Probabilitas Distribusi Binomial Secara umum rumus dari probabilitas binomial suatu peristiwa dituliskan:
p(X x) Cnx . px . qnx dimana: x = banyaknya peristiwa sukses n = banyaknya percobaan p = probabilitas peristiwa sukses q = 1 – p = probabilitas peristiwa gagal
Contoh: Berdasarkan pengalaman sebuah perusahaan operator telpon selular bahwa setiap terjadi panggilan telpon sebanyak 1450 secara bersamaan akan terjadi kegagalan panggil sebanyak 145 panggilan. Jika terjadi panggilan telpon sebanyak 5 secara bersamaan, berapakah probabilitas akan terjadi: 1. 0, 1, 2, 3, 4, 5 panggilan gagal 2. Paling banyak 2 panggilan gagal 3. Paling sedikit 3 panggilan gagal. Jawab: Diketahui: n = 5 p
145 1450
0,1
q=1–p = 1 – 0,1 = 0,9 n x n x p(X x) Cx . p . q
1. Probabilitas akan terjadi 0, 1, 2, 3, 4, 5 panggilan gagal:
p(X 0) C0 . (0,1) (0,9)
5 0
0,5905
p(X 1) C15 . (0,1)1 (0,9)51
0,3280
p(X 2) C52 . (0,1)2 (0,9)52
0,0729
p(X 3) C53 . (0,1)3 (0,9)53
0,0081
5
0
p(X 4) C54 . (0,1)4 (0,9)54
0,0005 p(X 5) C55 . (0,1)5 (0,9)55 0,0000 2. Paling banyak 2 panggilan gagal: p(x 2) = p(X = 0) + p(X = 1) + p(X = 2) = 0,5905 + 0,3280 + 0,0729 = 0,9914
3. Paling sedikit 3 panggilan gagal: p(x 3) = p(X = 3) + p(X = 4) + p(X = 5) = 1 – p(x 2) = 1 – 0,9914 = 0,0086
3. Rata-rata, Varians dan Standar Deviasi Distribusi Binomial a. Rata-rata b. Varians c. Standar Deviasi
= n.p 2
= n.p.q =
n.p.q
= 5 x 0,1 = 0,5 2
= 5 x 0,1 x 0,9 = 0,45 =
0,45
0 , 67
F. Distribusi Poisson 1. Pengertian dan Ciri-ciri Distribusi Poisson Distribusi Poisson
suatu distribusi nilai-nilai bagi suatu variabel randon X (X diskrit) yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu tertentu atau disuatu daerah tertentu.
Ciri-ciri Distribusi Poisson: 1. Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu atau suatu daerah tertentu tidak tergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada interval waktu atau daerah lain yang terpisah. 2. Probabilitas terjadinya hasil percobaan selama suatu interval waktu yang singkat atau dalam daerah yang kecil, sebanding dengan panjang interval waktu atau besarnya daerah tersebut dan tidak tergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi di luar interval waktu atau daerah tersebut. 3. Probabilitas lebih dari satu hasil percobaan yang terjadi dalam interval waktu yang singkat atau dalam daerah yang kecil dapat diabaikan.
2. Rumus Probabilitas Distribusi Poisson Probabilitas suatu peristiwa yang berdistribusi Poisson dirumuskan: p (X
x)
μ
x
.e μ x!
dimana: = rata-rata terjadinya suatu peristiwa e = bilangan alam = 2,71828 x = 0, 1, 2, 3, …, n Probabilitas terjadinya suatu kedatangan yang mengikuti berdistribusi Poisson dirumuskan: p (X x)
(μ.t) x .e u.t x!
= tingkat kedatangan rata-rata per satuan waktu t = banyaknya satuan waktu x = banyaknya kedatangan dalam t satuan waktu
Contoh 1: Dalam sebuah majalah yang terdiri dari 120 halaman terdapat 72 kata yang salah cetak dan berdistribusi secara acak dalam halaman-halaman majalah tersebut. Hitung probabilitas, seandainya sebuah halaman majalah tersebut dibuka terdapat: a. 0, 1, 2, 3 kata salah cetak b. Paling banyak 2 kata salah cetak c. Paling sedikit 3 kata salah cetak! Jawab: Diketahui: n = 72 p
1 120
= n.p = 72 x
1 120
= 0,6
p (X
x)
μ
x
.e μ x!
a. 0, 1, 2, 3 kata salah cetak p(X 0)
0,60 (2,71828)0,6 0! 1(2,71828)0,6 1 1(0,5488)
2! 0,36(2,71828) 0,6 2 0,36(0,5488)
2 0,0988
0,61 (2,71828)0,6 1! 0,6(2,71828) 1 0,6(0,5488)
1 0,3293
1 0,5488 p(X 1)
p(X 2)
0,6 2 (2,71828) 0,6
0,6
p(X 3)
0,63 (2,71828)0,6 3! 0,216(2,71828)0,6 6 0,216(0,5488)
6 0,0198
b. Paling banyak 2 kata salah cetak p(x 2) = p(X = 0) + p(X = 1) + p(X = 2) = 0,5488 + 0,3293 + 0,0988 = 0.9769 c. Paling sedikit 3 kata salah cetak p(x 3) = p(X = 3) + p(X = 4) + p(X = 5) + … + p(X = 72) = 1 – p(x 2) = 1 – 0,9769 = 0,0231 Contoh 2: Ruang gawat darurat sebuah rumah sakit memiliki tingkat kedatangan rata-rata pasien sebanyak 4 orang perhari. Kedatangan pasien mengikuti proses Poisson. Ditanyakan: a. Berapa probabilitas kedatangan 2 pasien per hari? b. Berapa probabilitas kedatangan 2 pasien siang saja?
Jawab: Diketahui: t = 1 = 4 x= 2 p (X x)
(μ.t) x .e u.t x!
a. probabilitas kedatangan 2 pasien per hari p(X 2)
(4 x 1) 2 (2,71828) 4 x 1 2! 16(2,71828) 4 2 16(0,0183)
2 0,1465
b. probabilitas kedatangan 2 pasien siang saja t = 12 24 p(X 2)
4 x 12
(4 x 12 ) 2 (2,71828) 2! 4(2,71828)2 2 4(0,1353)
2 0,2707
3. Rata-rata, Varians dan Standar Deviasi Distribusi Poisson a. Rata-rata b. Varians c. Standar Deviasi
= n.p 2 = n.p
= n.p.
G. Distribusi Normal 1. Pengertian dan Ciri-ciri Distribusi Normal Distribusi Normal suatu distribusi teoritis dari variabel random kontinu. Distribusi Normal memiliki fungsi sebagai berikut:
1
f(x) σ
2π
1 x μ
e
2
σ
2
Dimana: x = nilai data = 3,1416 = simpangan baku (standar deviasi) = rata-rata x e = 2,71828
Distribusi normal merupakan distribusi yang simetris dan berbentuk genta atau lonceng. Pada bentuk tersebut ditunjukkan hubungan ordinat pada rata-rata dengan berbagai ordinat pada berbagai jarak simpangan baku yang diukur dari rata-rata. Dalam bentuk diagram atau kurva (kurva normal) distribusi normal dapat digambarkan:
-3σ
-2σ
-1 σ
μ
1σ
2σ
3σ
Kurva Normal
dipengaruhi oleh rata-rata ( ) dan simpangan baku ( )
Jika dan besar kurvanya makin rendah (platikurtik) Jika dan kecil kurvanya makin tinggi (leptokurtik) Dari bentuk kurva distribusi normal dapat diketahui sifat-sifat distribusi normal: 1. Distribusi normal berbentuk genta atau lonceng dengan satu puncak (unimodal). 2. Rata-rata () terletak di tengah-tengah. 3. Nilai rata-rata sama dengan median sama dengan modus yang memberikan pola simetris. 4.Ujung-ujung sisi kurvanya sejajar dengan sumbu horisontal dan tidak akan pernah berpotongan sumbu tersebut. 5. Data sebagian besar ada ditengah-tengah dan sebagian kecil ada di tepi.
Jika sebuah kejadian berdistriusi normal maka kejadian itu: 1. kira-kira 68,27% dari kasus ada dalam daerah satu simpangan baku sekitar rata-rata, yaitu antara - baku dan + , 2. kira-kira 95,45% dari kasus ada dalam daerah satu simpangan baku sekitar rata-rata, yaitu antara - 2 baku dan + 2, 3. kira-kira 99,73% dari kasus ada dalam daerah satu simpangan baku sekitar rata-rata, yaitu antara - 3 baku dan + 3
68,27% 95,45% 99,73%
-3σ
-2σ
-1 σ
μ
1σ
2σ
3σ
2. Distribusi Normal Standar Distribusi normal
memiliki jenis yang banyak sekali akibat pengaruh rata-rata dan simpangan baku. Akan tetapi untuk mencari probabilitas suatu interval dari variabel random kontinu dapat dipermudah dengan menggunakan bantuan distribusi normal standar.
Distribusi normal standar distribusi normal yang memiliki = 0 dan = 1. Bentuk fungsinya: f(Z)
1 2π
e
1 2
Z2
Bentuk kurva distribusi normal standar:
0,4
f(x)
0,3 0,2 0,1
-3
-2
-1
0
1
2
3
Dari bentuk kurva distribusi normal standar dapat diketahui sifat-sifat distribusi tersebut, yaitu: 1. kurva simetris terhadap sumbu Y 1 1 2. mempunyai titik tertinggi (0, 2 ) dengan 2π =0,4 3. cekung ke bawah untuk interval X = -1 sampai X=1 dan cekung ke atas untuk nilai X di luar interval tersebut. π
4. meluas dan melebar tanpa batas ke kiri dan ke kanan serta mendekati sumbu X secara cepat begitu bergerak dari X = 0 ke kiri maupun ke kanan. 5. luas seluruh daerah di bawah kurva dan di atas sumbu X sebesar 1 unit. Untuk mengubah distribusi normal umum menjadi distribusi normal standar, digunakan transpormasi Z (standard units). Bentuk rumusnya adalah:
Z
X μ σ
dimana: Z = variabel normal standar X = nilai variabel random = rata-rata variabel random = simpangan baku variabel random.
Contoh: Berat badan bayi yang baru lahir mempunyai rata-rata 3.750 gram dengan simpangan baku 325 gram. Jika berat badan bayi tersebut berdistribusi normal, maka hitunglah: 1. Berapa persen bayi yang beratnya 4500 gram atau lebih? 2. Berapa jumlah bayi yang beratnya 3.500 sampai dengan 4.500 gram, jika ada 10.000 bayi? 3. Berapa jumlah bayi yang beratnya lebih kecil atau sama dengan 4.000 gram, jika semuanya ada 1.000 bayi? 4. Berapa jumlah bayi yang beratnya 4250 gram jika ada 2.500 bayi? 5. Berapa berat badan bayi tertinggi dari 10% berat badan bayi terendah?
Jawab: Diketahui: X = berat badan bayi (gram) = 3.750 gram = 325 gram Z
X
μ σ
1. Persentase bayi yang beratnya 4500 gram atau lebih X 4.500 Z
4.500
750
3.750
325 325 2,31
0,4896
0 3.750
2,31 4.500
Luas daerah = 0,50 – 0,4896 = 0,0104 Jadi ada 1,04% bayi yang beratnya 4.500 gram atau lebih.
2. Jumlah bayi yang beratnya 3.500 sampai dengan 4.500 gram, jika ada 10.000 bayi 3.500 X 4.500 X1 = 3.500 ; X2 = 4.500
Z1
Z2
3.500
3.750
325 250 325 0,77 4.500
3.750
325
4 9 7 2 ,
0
0,4896
750 325 2 ,31
- 0,77 0 3.500 3.500 3.750
2,31
4.500
Luas daerah = 0,2794 + 0,4896 = 0,7690 Jadi jumlah bayi yang beratnya 3.500 s/d 4.500 gram jika ada 10.000 bayi = 0,7690 x 10.000 = 7.690 bayi
3. Jumlah bayi yang beratnya lebih kecil atau sama dengan 4.000 gram, jika semuanya ada 1.000 bayi X 4.000
Z
4.000
250
3.750
325 325 0,77
0,50 3.500
4 9 7 2 ,
0
0 0,77
4.000
Luas daerah = 0,50 + 0,2794 = 0,7794 Jadi jumlah bayi yang beratnya 4.000 gram, jika ada 1.000 bayi = 0,7794 x 1.000 = 779 bayi
4. Jumlah bayi yang beratnya 4.250 gram, jika ada 2.500 bayi X = 4.250 X1 = 4.249,5 ; X 2 = 4.250,5
Z1
4.249,5
499,5
4.250,5
500,5
3.750
325
325 1,53 Z2
3.750
325
325 1,54
0,4370 0,4382 3.500
0
1,53 1,54
Luas daerah = 0,4382 – 0,4370 = 0,0012 Jadi jumlah bayi yang beratnya 4250 gram jika ada 2.500 bayi = 0,0012 x 2.500 = 3 bayi
