DISTRIBUSI PELUANG TEORITIS (DISTRIBUSI KEMUNGKINAN TEORITIS)
Pengertian Distribusi Peluang Teoritis atau Distribusi kemungkinan Teoritis, adalah merupakan distribusi (tingkat penyebaran) dari suatu kejadian yang dapat diharapkan berdasarkan pertimbangan-pertimbangan teoritis. Misalnya
:
Diantara pelem[aran suatu buah mata uang koin sebanyak 200 X dan hasilnya adalah : -
Tampak huruf (H)
= 120 kali (frekuensi sebenarnya)
-
Tampak gambar (G) = 80 kali (frekuensi sebenarnya) sebenarnya)
Tentu kita mengharapkan bobot yang seimbang, yaitu kejadian tampak huruf (H) = 100 kali dan nampak gambar (G) = 100 kali, yang merupakan frekuensi yang diharapkan. Kedua jenis frekuensi tersebut, jika kita buat tabel, menjadi sebagai berikut : Peristiwa
Frekuensi Sebenarnya
Frekuensi Yang Diharapkan
H
120
100
G
80
100
Contoh kejadian selanjutnya mengenai pelemparan 3 buah mata uang. Pelemparan 3 buah mata uang yang di toss sekaligus, maka kejadian peluangnya adalah : HHH, HHG, HGH, GHH, HGG, GHH, GHG, GGH, GGG. Tabel peluangnya peluangnya adalah sebagai berikut Nampak Gambar (G)
Frekuensi Ynag Diharapkan
0
1/8
1 ( nampak 1 G)
3/8
2 ( nampak 2 G)
3/8
3 (nampak 3 G)
1/8
Secara umum, frekuensi yang diharapkan dinyatakan dengan notasi P(X) dan peristiwa itu sendiri sendiri dinyatakan dinyatakan dengan X, sehingga sehingga tabel diatas diatas menjadi menjadi
:
X
P(X)
0G
1/8
1G
3/8
2G
3/8
3G
1/8
Distribusi Kemungkinan Teoritis terbagi menjadi
:
1. Variabel Random Distrit Nilai kemungkinan dari seluruh event = -
Distribusi Binomial
-
Distribusi Poisson
-
Distribusi Multinomial
-
Distribusi Hipergeometik
∑ ( )
2. Variabel Random Kontinu Nilai kemungkinan dari seluruh event =
I.
-
Distribusi Normal
-
Distribusi t
-
Distribusi Fisher
-
Distribusi Chi-square
∫ ( )
DISTRIBUSI BINOMIAL
Ciri-ciri suatu peristiwa adalah Distribusi Binomial, Jika : a. Probabilitasnya independent b. Hasil percobaan (outcomesnya) adalah sukses dan gagal. Jika peliang untuk sukses dari suatu kejadian dinyatakan sebagai p. Maka peluang suatu kejadian akan gagal dinyatakan dengan q atau (1-p). Jika p = sukses; maka q = gagal = (1-p) Maka p (sukses) = () =
()
c. Jumlah percobaan tertentu d.
Rata-rata =
e. Standar deviasi =
Contoh Soal: Dari setiap 100 unit barang yang diproduksi oleh mesin 1, diperkirakan akan gagal sebesar 15%. Seorang menajer dari perusahaan itu ingin mengetahui kebenaran atas perkiraan tersebut dan kemudian diambil sempel sebanyak 10 buah unit barang yang dihasilkan dari produk mesin 1 unit dileliti. Berapakan probabilitasnya dari 10 unit barang tersebut, akan berada dalam kondisi: a. Rusak sebanyak 6 buah b. Sedikitnya ada sebanyak 7 buah yang rusak c. Tidak ada satupun yang baik JAWABAN
:
Sampel (n)
= 10
p (rusak)
= 0,15 (sebanyak 15%)
q (baik)
= 1- p = 1 - 0,15
= 0,85
a. Kondisi rusak sebanyak 6 buah, p (x=6), maka : p (x=6)= () () () () () () () () p (x=6)= () () () p (x=6)= p (x=6)= p (x=6)=
p (x=6)=
p (x=6)= = 0,00 Jadi, probabilitas dari 10 unit barang tersebut akan berada dalam kondisi rusak sebanyak 6 buah adalah 0,00 b. p (x ) = p (x=7) + p (x=8) + p (x=9) + p(x=10)
p (x=7)= () ()() () () () () () p (x=7) = ()
p (x=7) =
p (x=7) =
p (x=7) =
() ()
p (x=7) = = 0,00 p (x=8)= () ()() p (x=7) =
() () () () () p (x=8) = () () () p (x=8) = p (x=8) = p (x=8) =
p (x=8) =
p (x=8) = = 0,00
p (x=9)= () ()() () () () () () p (x=9) = () () () p (x=9) = p (x=9) = p (x=9) =
p (x=9) =
p (x=9) = = 0,00
p (x=10)
= () ()()
p (x=10)
=
p (x=10) p (x=10) p (x=10) p (x=10)
() () () () () = () () = = =
=
p (x=10)
= 0,00 p (x ) = p (x=7) + p (x=8) + p (x=9) + p(x=10) =
0,00
+
0,00
+
0,00 + 0,00 = 1,360495447 = 0,0001360495447 c. p (x=10) p (x=10)
= () ()()
p (x=10)
=
p (x=10)
() () () () () = () () = = =
p (x=10)
=
p (x=10) p (x=10) p (x=10)
= 0,00
II. DISTRIBUSI POISSON
Distribusi ditemukan oleh Posion. Cri-ciri distribusi Poisson adalah
:
a. Probabilitas (p) 0,01 b. n 50 c.
Rata-ratanya :
d. standar devinisi :
Rumus distribusi Possion p (X=x) =
:
Contoh Soal : Probabilitas bahwa akan terdapat telur yang pecah dalam sebuah keranjang telur diperkirakan sebanyak 0,7%. Apabila diambil sempel sebanyak 1
keranjang yang ber isi 200 butir telur untuk penelitian di atas, berapa kemungkinan-nya akan terdapat :
a. 3 butir telur yang rusak ? Jawaban : p = 0,7% = 0,007
= n.p = (200). (0,007) = 1,4 Ditanyakan
:
()() p(X=3) = () =
= 0,1128 b. Paling banyak 2 butur yang rusak ? p(x2)? p(x2) = p(x=0) + p(x=1) + p(x=2) ()() () = = 0, 247 ()() () p(x=1) = = = 0, 3458 ()() () p(x=2) = = = 0, 24206
p(x=0) =
p(x2) = p(x=0) + p(x=1) + p(x=2) = 0, 247 + 0, 3458 + 0, 24206 = 0,83486 c. paling sedikit 2 butir yang rusak p(x2) ? p(x2)= p(x=2) + p(x=3) + p(x=4) + p(x=5) … p(x=200) p(x2) = 1- p(x2) = 1- p(x2) = 1- p(x=0) + p(x=1) = 1- 0,247 + 0,3458 = 1,0988
III. DISTRIBUSI NORMAL
Distribusi normal sangat memegang peranan dalam statistika, khususnya pada saat melakukan analisis data, pengujian hipotesis dan lainlain. Karena hamper semua data penelitian dengan pengambilan sampel yang cukup memadai akan mempunyi distribusi distribusi normalnya adalah
nomal. Persamaan
:
(̅) () √
1. Nilai X dapat dikonversikan ke dalam nilai standar (nilai baku) yaitu : ̅
2. Grafik distribusi normal selalu berada diatas sumbu x dan tidak pernah memotong sumbu x tersebut 3. Bentuknya simetris terhadap rata-rata
Contoh: Dari hasil pengamatan terhadap 500 buah kopi, menunjukan bahwa ratarata diameter buah kopi tersebut 15,1 mm dengan standar deviasi sebesar 15,0. Dengan asumsi biji kopi yang diamati tersebut memiliki diameter berdistribusi normal, diantara biji-biji tersebut: a. Berapa yang memiliki diameter antara 12,0 mm sampai dengan 15,5 mm ? b. Berapa biji kopi yang memiliki diameter setidaknya 15,5 mm ? c. Berapa biji kopi yang memiliki diameter paling tinggi 12,8 mm ? JAWABAN:
N = 500; = 15,1 mm dan
= 15,0 mm
a. Nilai probabilitas biji kopi yang memiliki diameter antara 12,0 s/d 15,1 mm adalah : P (12,00 X 15,5) =
Z
= p(-0,026
= Z-0,21-0 + Z0-0,27 = 0,0832 + 0,008 = 0,0912
Jadi jumlah biji kopi yang memiliki diameter adntara 12,0 mm s/d 15,5 mm adalah sebanyak (0,0912 x 500) = 45,6 = 46 buah. b. ? c. ?
Pendekatan Distribusi Binomial Terhadap Distribusi Normal
Table pendekatan distribusi binomial terhadap distribusi normal, adalah sebagai berikut : Tanda
Nilai
-0,5 +0,5
Distribusi binomial mendekati distribusi normal dengan rata-rata dan simpanan baku
= n.p
.
Pendekatan ini akan makin baik jika n.p lebih besar dari lima. Rumus yang digunakan adalah : z =
√
Contoh: Sebuah mesin pembuat skrup menghasilkan yang rusak sebanyak 10%. Dari sebuah sempel berukuran 400 yang diambil dari proses yang sedang berjalan, mak tentukan peluangnya : a. Yang rusak paling bannyak 30 buah b. Yang rusak antara 30 dan 50 buah, dan c. 55 atau lebih akan rusak JAWABAN:
a. Diketahui :
= 0,1 x 400 buah = 400 buah √ = 6 buah Ditanyakan : p(X 30) = ? Gunakan rumus z = p(X30)=
√
= -1,58
p(X30)= p(z-1,58) = luas dari 0 s/d
- luas dari – 1,58 z 0
=n0,5 – 0,4429 = 0,0571 (luas daerah yang diarsir) Lias daerah yang diarsir adalah 0,5 – 0,4429 = 0,0571. Jadi peluangnya teedapat yang rusak paling banyak 30 buah adalah 0,0571. b. ? c. ?
Soal-soal Distribusi Peluang Teoritis
1. Seorang penjual mengatakan banyak 25% dari seluruh baranag dagangannya rusak akibat truk yang membawa barang itu mengalami kecelakaan. Jika seseorang membeli barang dagangan itu sebanyak 10 buah, maka tentukanlah: a. Probabiilitas orang itu akan mendapat 5 barang yang cacat b. Probabilitas orang itu memperoleh paling banyak 3 barang yang cacat c. Rata-rata dan simpangan baku barang yang cacat 2. Dari cacatan pejabat bank yang memberikan pinjaman kredit bagi pembeli rumah sederhana diketahu bahwa terdapat 30% debitur yang menunggak cicilan rumah. Jika diambil sample acak sebesar 15 debitur dari bang tersebut: a. Berapa probabilitas paling banyak terdapat 5 debitur yang menunggak cicilan rumah b. Berapa probabilitas minimum terdapat 12 debitur yang tidak menunggak cicilan rumah 3. Seorang pengusaha sepatu memproduksi 2000 pasang sepatu dan ternyata 2 pasang separtu diantaranya tidak memenuhi standar mutu. Pengusaha itu mendapat pesanan sebanyak 3000 pasang sepatu dari pak Togar yang akan menjualnya kembali. Berapakah probabilitasnya : a. Pak Togar mendapat paling banyak 2 pasang sepatu yang tidak memenuhi standar mutu b. Pak Togar mendapat lebih dari 3 pasang sepatu yang tidak memenuhi standar mutu
4. Menurut hasil sutu studi, bahwa rata-rata 1 orang dari 1000 orang sarjana ekonomi yang tinggal dikota-kota tertentu di Indonesia akan mengirim wesel untuk minta berlangganan. Bila setiap kota tersebut masing – masing dikirim 100 surat untuk berlangganan dengan prangko kepada sarjana ekonomi di kota-kota twersebut berapakah probabilitas lembaga studi itu untuk meneriamkembali surat permintaan berlangganan sebanyak 0,1,2,3,4 dan 5 dari masing-masing kota tersebut ? 5. Dari 200 mahasiswa yang mengikuti ujian kalkulus disuatu Universitas, diperoleh data bahwa nilai rata-rata adalah 60 dan standar deviasinya adalah 10. Bila distribusi nilai menyebar secara normal, berapa : a. Persen yang mendapat nilai A, jika nilai A
80
b. Persen yang mendapat nilai C, jika nilai C terletak pada interval 56 C 68 c. Persen yang mendapat nilai E, jika nilai E 45
