1. PENDAHULUAN Sejauh ini teori peluang yang kita bicarakan hanya sebatas pada suatu peristiwa terte tertent ntu u atau atau tent tentan angg ke kemu mung ngki kina nan n terja terjadi diny nya a peris peristi tiwa wa deng dengan an nila nilaii pelu peluan angg terten tertentu. tu. Padah Padahal al masih masih ada nil nilai-n ai-nila ilaii peluan peluangg dari dari perist peristiwa iwa lainny lainnya a yang yang bisa bisa ditent ditentuka ukan. n. NilaiNilai-nil nilai ai peluan peluangg tambah tambahan an yang yang demik demikian ian bisa bisa memben membentuk tuk suatu suatu distribusi yang disebut sebagai distribusi peluang. Sebagai contoh, ketika melempar sebuah dadu, kita bisa menghitung peluang dari seluruh peristiwa yang mungkin yakni munculnya angka 1, 2, 3, , ! dan " yang masing-masing memiliki peluang 1#". $istribusi peluang bisa diturunkan dari peluang logis maupun dari %rekuensi relati% &lihat bab 3'.
Variabel Variabel Acak dan Distribusi Dis tribusi Peluang Peluang (ntuk mudahnya ambil contoh peristiwa tentang seorang ibu yang melahirkan. )ita tahu hanya ada dua kemungkinan jenis kelamin dari peristiwa ini yakni *aki-laki &*' atau Perempuan &P'. +ika peluangnya masing-masing untuk melahirkan * dan P adalah , maka kita dapat menyusun ruang sample dari peristiwa ini sebagai berikut S /*, P0
(ntuk dua orang anak S /**, *P, P*, PP0
(ntuk tiga orang anak S /***, **P, *P*,P**, *PP, P*P, PP*, PPP0
(ntuk empat orang anak, bisa dibuat tabel sebagai berikut TABEL TABEL 1. Jumlah L
1 2 3 +umlah
usunan
PPPP *PPP, P*PP, PP*P, PPP* **PP,*P*P,*PP*, P**P, P*P*, PP** ***P, **P*, *P**, P*** **** 1"
Titik am!el
Peluang L
1 " 1 1,
1#1" ,"2! #1" ,2! "#1" ,3! #1" ,2! 1#1" ,"2!
isalkan jumlah anak laki-laki yang lahir kita sebut sebagai 4ariabel X . $ari 5abel 1. di atas atas dapat dapat diliha dilihatt bahwa bahwa setiap setiap nil nilai ai X &, 1, 2, 3, ' mempunyai hubungan dengan sebuah nilai peluang. aka 4ariabel X yang yang demikian disebut sebagai variabel riabel acak acak biasan biasanya ya dinota dinotasik sikan an dengan dengan huru% huru% kapita kapital, l, sedang sedangkan kan nil nilaiaiacak. 6ariabel nilainya dituliskan dengan huru% kecil. Sebagai contoh, pengukuran tinggi badan buruh merupakan 4ariabel acak X . aka tinggi hasil pengukuran dinyatakan sebagai x 1, x 1, 7, x n. dimana indeks 1, 2, 7, n menyatakan orang ke- i yang diukur tingginya. 0
+ika tabel di atas disusun kembali dalam notasi 4ariabel acak, maka akan diperoleh tabel yang memperlihatkan distribusi peluang 4ariabel X seperti berikut
X
1 2 3
P& X ' ,"2! ,2! ,3! ,2! ,"2! 1,
Sebuah distribusi peluang dikatakan sudah terbentuk, jika semua peluang dari setiap 4ariabel acak berjumlah satu. $engan terbentuknya distribusi peluang seperti tabel di atas, maka notasi baru untuk penulisan peluang kini dapat dituliskan menjadi P & X ' ,"2! 8 P & X 1' ,2! dan seterusnya. 6ariabel acak dapat diklasi%ikasikan ke dalam variabel acak diskrit dan variabel acak kontinu. 6ariabel acak diskrit berhubungan dengan hasil sebuah peristiwa yang ruang sampelnya terhingga dan terhitung. Sedangkan distribusi peluangnya disebut distribusi peluang variabel acak diskrit. (mumnya 4ariabel diskrit berhubungan dengan pencacahan terhadap suatu objek atau ind4idu. 9ontoh lihat tabel 1 di atas. )ita tidak mungkin mengatakan jumlah laki-laki . atau : . ;eberapa contoh 4ariabel diskrit 1. +umlah kesalahan pengetikan 2. +umlah kendaraan yang melewati persimpangan jalan 3. +umlah kecelakaan per minggu 6ariabel acak kontinu dide%inisikan sebagai suatu 4ariabel yang nilai-nilainya berada dalam ruang sample takterhingga. 6ariabel ini bisa mempunyai sebuah harga dimana harga-harga x dibatasi oleh -∞ < X < ∞. 6ariabel acak kontinu dapat diilustrasikan sebagai titik-titik dalam sebuah garis. Pengukuran %isik seperti waktu atau panjang merupakan contoh yang paling mudah dipahami untuk 4ariabel acak kontinu ini. isalkan para buruh di sebuah wilayah akan diukur tinggi badannya. +ika kita menggunakan meteran dengan ketelitian sentimeter, maka tinggi setiap orang bisa kita anggap sebagai titik dalam meteran tersebut. $engan demikian setiap ukuran X akan berhubungan titik-titik yang jumlahnya sangat banyak atau takterhingga. 9ontoh distribusi peluang yang dibahas di atas adalah distribusi peluang yang diturunkan melalaui pendekatan teoritis atau logis. =kan tetapi distribusi peluang juga dapat diturunkan dari pengalaman empiris di lapangan. Secara praktis, distribusi peluang semacam ini bisa diambil dari %rekuensi relati% &lihat bab tentang distribusi %rekuensi' seperti contoh berikut.
1
TABEL ". $istribusi peluang permintaan
kendaraan model baru Permintaan &unit'
P & permintaan'
1. 2. 3. . !.
,1 ,2! , ,1! ,1 1,
Sumber : hipotetis
$ari tabel di atas paling tidak seorang manajer produksi pabrik kendaraan dapat menentukan perkiraan awal mengenai penjualan mobil model baru katakanlah >ada peluang sebesar ? untuk menjual 3. unit mobil model baru@. eski ini merupakan peluang subjekti%, paling tidak si manajer mempunyai gambaran berapa besar kemungkinan terjualnya mobil model baru tersebut. Pertanyaannya adalah bagaimana sisa persentase yang "? lagi. $engan mempertimbangkan %aktor-%aktor ekonomi, pesaing, rencana dan sur4ei pasar maka peluang tingkat penjualan lainnya dapat ditaksir untuk melengkapi distribusi peluang permintaan seperti yang ditunjukkan pada 5abel 2 di atas. $istribusi ini memberikan gambaran yang lebih lengkap mengenai permintaan dibandingkan dengan hanya mengetahui satu nilai peluang saja. $ata permintaan dalam 5abel 2 dapat digabungkan dengan in%ormasi lain untuk membentuk distribusi peluang laba. +ika setiap mobil yang terjual memberikan kontribusi sebesar A! dan biaya tambahan adalah A12! juta, maka distribusi perolehan laba dapat dibuat seperti yang tersaji pada 5abel .3. berikut. Tabel # . $istribusi peluang laba dari kendaraan model baru +uta dolar P
)ontribusiB ! 1 1! 2 2!
;iaya tetap 12! 12! 12! 12! 12!
Pro%itBB -! -2! 2! ! 12!
&pro%it' .1 .2! . .1! .1
B)ontribusi permintaan × A! 8 BBPro%it kontribusi C biaya tetap
$ari tabel di atas tampak bahwa peluang perusahaan akan mengalami kerugian adalah sebesar ,3! sehingga perusahaan tentunya akan memutuskan untuk tidak memasarkannya meski pada awalnya tampak peluang untuk menjual 3. unit mobil sebesar , &laba A2! juta' cukup menjanjikan. )ita masih memerlukan sebuah taksiran tunggal lagi untuk permintaan mobil di atas. Sebagai contoh diperlukan proses perhitungan untuk menentukan anggaran modal, biaya sticker, dan kontrak jumlah dengan dealer dalam satu nilai dari permintaan yang diharapkan. (mumnya, ukuran terbaik untuk distribusi peluang adalah apa yang disebut sebagai nilai harapan. Nilai ini pada dasarnya berhubungan 2
dengan nilai rata-rata distribusi %rekuensi di mana perhitungannya hampir sama seperti yang pernah dikemukakan dalam bab sebelumnya. Nilai harapan atas permintaan mobil dalam contoh di atas, dapat dihitung dengan menggunakan rumus Nilai harapan E ( X ) =
∑ X • P ( X )
7 &1'
Nilai harapan di atas sebenarnya merupakan nilai rata-rata dari sebuah distribusi peluang. (ntuk data dalam tabel 2, maka nilai harapan permintaan atau rata-rata permintaan dapat dihitung sebagaimana yang disajikan dalam tabel . berikut ini. Tabel $. Perhitungan nilai harapan
Permintaan
P
X.P(X)
&unit' 1. 2. 3. . !.
& permintaan' ,1 ,2! , ,1! ,1
1. !. 12. ". !. E & X ' 2D.
$ari tabel di atas tampak nilai harapan untuk permintaan mobil model baru adalah A2D.. Nilai ini ternyata tidak jauh berbeda dengan perkiraan awal yaitu A3. dan masih dalam toleransi yang dapat dibuat seseorang untuk tujuan praktis.)alau begitu, mengapa kita harus bersusah-susah membuat distribusi peluang yang demikianE +awabannya bukan pada masalah perkiraan tunggal atau nilai harapan, akan tetapi bagaimana kita menggunakan data terbaik dan selengkap mungkin. $alam hal ini terlihat bahwa distribusi peluang memberikan gambaran yang lebih baik tentang laba-rugi , meskipun tidak selamanya ini cocok untuk perhitungan lainnya. Suatu hal yang perlu diperhatikan bahwa peluang dari permintaan mobil bersi%at unik dan tergantung dari kondisi yang ada seperti merek, karakteristik mobil itu sendiri, kondisi ekonomi, harga bahan bakar dan lain sebagainya. (ntuk kasus seperti ini, maka cara yang dapat dilakukan adalah dengan membuat distribusi peluang secara subjekti%. eskipun demikian, sebenarnya banyak peristiwa-peristiwa yang mengikuti pola peluang-peluang tertentu yang dapat dijelaskan melalui pendekatan distribusi peluang secara teoritik. Sesuai dengan perkembangan ilmu statistika, banyak distribusi peluang teoritik yang ditemukan dan dikembangkan. Namun dalam buku ini hanya di bahas tiga macam distribusi peluang yang banyak digunakan dalam pengambilan keputusan manajerial.
". D%T&%BU% B%N'(%AL $istribusi peluang binomial merupakan salah satu distribusi peluang diskrit yang banyak menjelaskan mengenai proses bisnis dan %enomena %isika. (ntuk menggunakan distribusi binomial ada empat kondisi yang harus dipenuhi
3
• • • •
Proses atau peristiwa harus dapat dide%inisikan hanya memiliki dua dan hanya dua peristiwa yang saling eksklusi% dan lengkap Peluang terjadinya sebuah peristiwa harus sama untuk setiap percobaan dan tidak boleh berubah-ubah karena waktu dan jumlah percobaan Setiap percobaan harus independen dengan percobaan yang lain. =rtinya sebuah percobaan tidak dapat mempengaruhi percobaan lain +umlah percobaan harus bersi%at diskrit
(ntuk memperjelas kondisi di atas mari kita ambil contoh percobaan pelemparan sebuah dadu. )ita tahu bahwa setiap dadu dilempar akan menghasilkan satu dari enam peristiwa. $ari peristiwa ini kita sebenarnya bisa mende%inisikan hasil yang akan terjadi ke dalam dua peristiwa yang saling eksklusi% misalnya peristiwa >munculnya angka empat@ atau >angka bukan empat@. +elas bahwa peristiwa-peristiwa ini merupakan peristiwa yang saling eksklusi% dan lengkap karena >munculnya angka empat@ dan >bukan angka empat@ akan tercakup dalam pelemparan sebuah dadu. +ika dadu yang dilempar adalah dadu yang fair maka peluang munculnya angka dalam setiap percobaan tidak akan berubah-ubah, karena meskipun kita melemparkannya sebanyak 1. kali tetap saja peluang munculnya angka empat adalah 1#". $adu tidak memiliki memori, artinya dadu ini tidak mengingat apa yang telah terjadi sebelumnya. Peluang munculnya angka empat pada pelemparan dadu pertama kali adalah 1#", demikian pula dengan pelemparan yang kedua dan seterusnya peluangnya adalah tetap 1#". Peluang ini tidak dipengaruhi oleh peristiwa sebelumnya atau dalam istilah teori peluang, peristiwa ini saling independen antara yang satu dengan lainnya.
Parameter Distribusi Bin)mial isalkan kita melakukan sebuah percobaan pelemparan mata uang atau dadu secara berulang-ulang sebanyak n kali. $alam setiap pelemparan mata uang atau dadu kita selalu memiliki peluang p untuk terjadinya sebuah peristiwa katakanlah munculnya >kepala@ pada mata uang atau munculnya >angka > pada pelemparan dadu. $alam percobaan ;ernoulli &orang yang pertama kali melakukan percobaan independensi satu peristiwa dengan peristiwa lain' peluang ini dikatakan pula sebagai peluang sukses dari sebuah peristiwa. Sebaliknya kita dapat menentukan peluang tidak pernah terjadinya suatu peristiwa dalam setiap percobaan atau gagal yaitu q 1 - p. Nilai n dan p yang tidak akan pernah berubah dari satu pelemparan ke pelemparan lain ini, disebut sebagai parameter dari distribusi binomial. $alam percobaan binomial, peluang terjadinya peristiwa sukses tepat sebanyak x kali dari n percobaan dapat didekati oleh %ungsi peluang f ( x )
= P ( X = x ) =
( ) p n x
x
q n − x
=
n! x!( n − x )!
p x q n − x
7&2'
di mana n!= n × ( n − 1) × ( n − 2) × ... × 1 , dan ( ) adalah koe%isien binomial &lihat lampiran dalam bab ini' Fumus &2' di atas merupakan rumus untuk menghitung peluang terjadinya peristiwa sukses tepat sebanyak x kali dari n buah percobaan. n
x
4
Contoh 1. $iketahui bahwa 2? bola lampu yang diproduksi oleh sebuah mesin adalah rusak. Sebuah pemeriksaan dilakukan dengan mengambil bola lampu secara acak. $ari empat bola lampu ini tentukan peluang jumlah yang rusak adalah &a' 1 bola lampu, &b' bola lampu dan &c' kurang dari 2 bola lampu. Jawab Peluang bola lampu rusak adalah p 2? ,2, berarti peluang yang baik adalah q 1 C p ,G. isalkan X adalah 4ariabel acak yang menunjukkan bola lampu yang rusak. aka dengan menggunakan rumus &2' diperoleh &a' P ( X
= 1) =
( )(0,2) 4 1
1
(0,8) 3
=
4! (0,2)1 (0,8) 3 1!×3!
=
0,4096
,8) = 0,4096 &b' P ( X = 0) = ( 0 ( 0, 2) (0 &c' P ( X < 2) = P ( X = 0) + P ( X = 1) = 0,4096 + 0,4096 4
=
0
4
0,8192
Contoh 2. Hitunglah peluang bahwa dalam sebuah keluarga dengan anak akan memiliki &a' paling sedikit satu anak laki-laki, &b' paling sedikit satu anak laki-laki dan paling sedikit satu anak perempuan. =nggaplah peluang melahirkan anak laki-laki dan perempuan adalah sama yaitu . Jawab isalkan X adalah 4ariabel acak yang menunjukkan jumlah anak laki-laki. $ari persoalan di atas dapat kita ketahui bahwa n , p ,! dan q 1 C ,! ,!. $engan menggunakan rumus &2' kita bisa peroleh
&a' P ( X ≥ 1) = P ( X = 1) + P ( X = 2) + P ( X = 3) + P ( X = 4) P ( X
= 1) =
( )(0,5)
P ( X
=
3)
( )(0,5)
=
4 1
4 3
1
3
(0,5) 3
=
(0,5)1
=
1 4 1 4
8 8
P ( X
P ( X
=
4)
=
=
2)
=
( )(0,5)
( )(0,5) 4 4
4 2
4
(0,5) 0
2
(0,5) 2 =
=
3 8
1 16
+adi P &paling sedikit satu anak laki-laki' = P ( X = 1) + P ( X = 2) + P ( X = 3) + P ( X = 4) 1
3
1
1
4
8
4
16
= + + +
=
15 16
9ara lain P ( X ≥ 1)
= 1 − P ( X = 0) = 1 − ( 04 )(0,5) 0 (0,5) 4 = 1 − (0,5) 4 = 15 16
&b' Peluang paling sedikit satu anak laki-laki dan paling sedikit satu anak perempuan P ( X ≥ 1 ∩ P ( X = 4) = 1 − P ( X = 0) − P ( X = 4) =1−
1 16
−
1 16
=
7 8
5
BEBE&APA %*AT D%T&%BU% B%N'(%AL ;eberapa si%at penting dari distribusi binomial adalah sebagai berikut µ = np
Fata-rata 6arians Simpangan ;aku
σ 2 σ
=
= npq npq
Penggunaan dari si%at-si%at penting di atas dapat dilihat dalam contoh berikut ini.
Contoh 3. Peluang rusaknya sebuah bola lampu adalah ,1. =pabila diambil bola lampu, berapa diharapkan dijumpai bola lampu yang rusak dan berapa 4ariansnya. Ja+ab
µ = np σ
2
= ( 400)(0,1) = 40 buah bola lampu.
= npq =
(400)(0,1)(0,9)
=
36
(ntuk mempermudah perhitungan, telah tersedia tabel binomial untuk berbagai nilai n, x dan p. &lihat lampiran'.
#. D%T&%BU% P'%'N $i dunia nyata banyak peristiwa terjadi secara acak dengan perkataan lain jarang sekali kita dapat memprediksi secara tepat kapan sebuah peristiwa akan terjadi atau berapa banyak peristiwa akan terjadi secara bersamaan. isalnya saja peristiwa terjadinya kecelakaan di jalan tol, kegagalan dalam proses produksi berteknologi tinggi seperti mobil, pesanan melalui telepon, atau kecelakaan pesawat ulang alik. 9ontoh lain yang dapat menggambarkan situasi ini secara tepat adalah peluruhan Iat radioakti%. 5idak ada seorang pun yang dapat memperkirakan kapan atom akan luruh berikutnya atau kapan peristiwanya akan terjadi. Peristiwa-peristiwa yang terjadi secara acak dan langka dalam dimensi waktu dan ruang seperti ini, dalam jangka pendek memang sangat sulit untuk diprediksi. Namun yang mengejutkan, untuk jangka waktu yang panjang peristiwa-peristiwa ini mempunyai kesamaan bahwa kesemuanya dapat diprediksi secara akurat. Salah satu distribusi peluang yang dapat menjelaskan secara tepat peristiwa-peristiwa seperti adalah apa yang dikenal sebagai distribusi Poisson. $istribusi Poisson merupakan distribusi peluang diskrit yang cukup memegang peranan penting dalam ilmu manajemen. $istribusi ini ditemukan oleh S.$. Poisson di awal abad ke 1D. Seperti distribusi binomial, distribusi Poisson juga termasuk ke dalam proses ;ernoulli, akan tetapi tidak ada konsep yang membedakan secara jelas dalam percobaan Poisson. Jlehkarenanya syarat-syarat untuk menggunakan distribusi ini tidak berbeda jauh dengan distribusi binomial, diantaranya •
Proses yang diamati harus berbentuk >dua-peristiwa@ atau proses ;ernoulli 6
• •
Harus ada bilangan rata-rata dari peristiwa tertentu per pengamatan#pengukuran baik waktu maupun ruang, yang tidak berubah selama terjadinya proses Proses haruslah bersi%at kontinu artinya tidak ada percobaan tunggal
(ntuk memperjelas kita lihat contoh berikut. isalkan dalam proses pembuatan bahan pakaian atau tekstil kadang-kadang ditemukan kain yang cacat &goresan atau sobek'. +adi dalam bahan pakaian ini hanya bisa dijumpai dua kejadian yaitu cacat atau tidak &proses ;ernoulli'. Sudah barang tentu yang dapat dihitung adalah jumlah cacat sedangkan yang tidak cacat adalah mustahil untuk dihitung demikian pula dengan jumlah peristiwa terjadinya cacat. Jlehkarenanya tidak ada istilah peluang kain cacat untuk hal seperti ini, akan tetapi yang ada hanyalah rata-rata cacat per unit area, misalnya saja 3 cacat per meter persegi. Sebagai gambaran kita lihat contoh secara 4isual berikut ini. B
B B
B
B
BB B
B
=nggaplah tanda B merupakan cacat yang terdapat setiap meter persegi kain. aka yang dapat kita hitung dari kain yang diproduksi adalah rata-rata cacat yang ditemukan dalam setiap ukuran luas. )arena tidak adanya percobaan yang jelas dalam proses Poisson, maka dalam distribusi ini tidak ada parameter n dan p seperti distribusi binomial. Kang ada hanyalah satu parameter &baca lambda' yaitu rata-rata jumlah kejadian per satuan ukuran seperti jarak, area atau 4olume.$engan adanya nilai rata-rata kejadian ini, maka jumlah kejadian yang aktual atau sesungguhnya merupakan 4ariabel acak, katakanlah X . )ita ambil contoh proses pembuatan kain di atas, X , berarti tidak ada cacat, X 1 terdapat 1 cacat, X 2 terdapat 2 cacat dan seterusnya. 9ontoh distribusi peluang Poisson untuk pembuatan kain dengan λ 3 diberikan dalam 5abel ! berikut. Tabel , $istribusi peluang Poisson untuk λ 3 X
P & X
X
P & X λ3'
1 2 3 ! "
3' .DG .1D .22 22 .1"G .1G .!
G D 1 11 12
21" .G1 .2 .G .2 .1
Sumber hipotetis
$ari tabel di atas dapat kita baca bahwa peluang tidak ditemuinya cacat per m eter persegi adalah ,DG, peluang ditemuinya satu cacat adalah ,1D dan seterusnya. $istribusi binomial mempunyai batas atas bagi 4ariabel acaknya artinya x tidak bisa melebihi n, sedangkan dalam distribusi Poisson nilai n tidak terhingga artinya secara teoritis x tidak mempunyai batas atas. $alam prakteknya, seseorang biasanya mengabaikan hal yang demikian dan umumnya akan mengambil nilai X yang memiliki peluang lebih kecil dari ,1 seperti yang ditunjukkan dalam 5abel !. Sedangkan 7
secara 4isual, distribusi peluang dari peristiwa kain cacat di atas dapat dilihat dalam Lambar 1. $ari gambar ini jelas bahwa peluang terjadinya peristiwa semakin mendekati nol untuk jumlah cacat yang semakin banyak. $alam proses jangka panjang, distribusi Poisson dapat dijelaskan dalam bentuk %ungsi distribusi peluang sebagai berikut P ( X = c)
=
e − λ λ c c!
7&3'
di mana e adalah bilangan eksponensial 2,1G2G, c adalah bilangan bulat positi%, sedangkan λ tidak harus bilangan bulat asalkan tidak negati%. (ntuk menghitung nilai-nilai peluang distribusi Poisson dalam &3' sudah barang tentu cukup melelahkan dan rumit apalagi jika X M 1. Jleh karena itu untuk mempermudah perhitungan telah tersedia tabel peluang Poisson untuk berbagai nilai λ yang dapat dilihat dalam buku-buku statistika lanjutan. P ( X )
0.25
0.21
0.16
0.12
0.08
0.04
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
-ambar 1 $istribusi peluang Poisson untuk λ 3
Contoh 4. ;erdasarkan pengalaman tahun lalu, sebuah perusahaan sewa kendaraan menerima pesanan rata-rata ", kendaraan per hari. Pertanyaannya adalah berapa kendaraan harus dioperasikanE Jawab isalkan 4ariabel acak X adalah jumlah kendaraan yang dipesan dalam sehari. aka dengan menggunakan rumus &3' diperoleh P ( X = 0)
P ( X = 1)
= =
e −6,7 (6,7) 0 0! e
−6, 7
1
(6,7) 1!
= e −6,7 = 0,00123 = 6,7 × e −6, 7 = 0,00825 8
P ( X = 2)
=
e −6, 7 (6,7) 2 2!
=
e −6, 7
× (6,7) 2 2!
= 0,02763
$ari perhitungan di atas dapat kita lihat bahwa peluang tidak adanya orang yang menyewa kendaraan adalah 1 hari dalam 1 kesempatan &,1', atau peluang 1 orang menyewa adalah G hari dalam 1 &,G2!', dan hanya 2G hari dari 1 kesempatan 2 orang akan menyewa &,2"3'. Perhitungan ini dapat kita lanjutkan dengan menggunakan tabel Poisson, sehingga diperoleh distribusi peluangnya sebagai berikut X
P & X λ",
1 2 3 ! "
.123 ,G2! ,2"3 ,"1 ,133! ,13GD ,1!"! ,1G2
P & X ≤ c'
X
P & X λ",
,133 ,DG ,311 ,DGG1 ,221" ,3G"! ,D!3 ,"332
G D 1 11 12 13 1 1!
,123D ,D22D ,"1G3 ,3"! ,213 ,1G ,!1D ,232
'
P & X ≤ c'
' ,"2G ,G!D! ,D21 ,D!D" ,DGD ,DDD3 ,DD"11 ,DDG3
=pa yang dapat diman%aatkan oleh seorang manajer dari tabel di atas. (ntuk mempermudah perhitungan selanjutnya, dalam tabel tersebut ditambahkan pula satu kolom yang memperlihatkan peluang kumulati% hingga mendekati nilai 1. )olom ini nanti digunakan untuk melihat peluang 4ariabel acak X hingga mencapai sesuatu nilai atau P & X ≤ c'. $engan adanya tabel di atas, maka dasar untuk pengambilan keputusan manajerial sudah lengkap. Seandainya manajer memutuskan untuk memenuhi permintaan sekitar DG? sepanjang harinya, maka dia akan membutuhkan 12 kendaraan karena P & X ≤ !' ,DG.
&atarata dan im!angan Baku Seperti distribusi peluang lainnya, distribusi Poisson juga memiliki rata-rata, 4arians dan simpangan baku dengan mengambil bentuk µ = λ
σ 2 σ
= λ
=
λ
Pendekatan P)iss)n ke Bin)mial =pabila jumlah pengamatan, n, sangat besar untuk tabel binomial, maka distribusi ini bisa didekati oleh distribusi Poisson jika nilai p cukup kecil. )aidah yang umum sudah diterima dalam pendekatan ini adalah np
≤
5
9
Sebagai gambaran kita ambil contoh sebagai berikut. isalkan kita ingin menghitung peluang menyalanya tepat DG buah dari 1 bola lampu jika peluang setiap bola lampu menyala adalah ,DD. $alam hal ini yang ingin dihitung adalah 98 n 100 , p 0,99 ) . Namun tabel binomial tidak menyediakan perhitungan P ( x hingga n 1. Secara sepintas masalah ini tidak dapat didekati oleh Poisson karena np DD yang ternyata lebih besar dari !. =kan tetapi jumlah bola lampu tepat menyala &sukses' sebesar DG sebenarnya sama dengan 2 bola lampu tidak menyala &gagal' dan peluang sukses yang ,DD adalah sama dengan peluang gagal sebesar ,1. $engan demikian peluangnya dapat dinyatakan dalam bentuk P ( x 2 n 100, p 0,01) . )arena np hanya 1, maka pendekatan Poisson bisa dilakukan. (ntuk mengubah distribusi binomial ke dalam Poisson hanya diperlukan substitusi rata-rata binomial np ke dalam rata-rata Poisson λ atau =
=
=
=
=
=
µ = λ = n. p
Contoh 5. Sepuluh persen peralatan yang dihasilkan dari sebuah proses produksi ditemukan cacat. Hitunglah peluang bahwa dalam 1 peralatan yang diambil secara acak dua diantarannya cacat dengan menggunakan &a' pendekatan binomial, &b' pendekatan Poisson ke ;inomial. Jawab a' Peluang peralatan cacat adalah p ,1. isalkan menunjukkan jumlah peralatan yang cacat dari 1 peralatan yang dipilih. $engan menggunakan distribusi binomial, maka P ( X
b'
=
2)
=
( )(0,1) 10 2
2
(0 ,9) 8
=
0,1937
)ita punya λ n.p &1'&,1' 1. ;erdasarkan rumus distribusi Poisson P ( X = c)
P ( X = 2)
=
=
λ c e − λ c!
λ 2 e −λ 2!
2
=
(1) (2,71828) 2.1
−1
= 0,1839
$. D%T&%BU% (ULT%N'( erupakan perluasan dari distribusi ;inomial. isalkan sebuah eksperimen menghasilkan peristiwa-peristiwa E 1, E 2, ..., E k dengan peluang masing-masing adalah P&E 1' π 1, P&E 2' π 2, ..., P&E k' π k, dimana π 1 O π 2 O ... O π k 1. +ika dalam eksperimen ini dilakukan sebanyak N kali, maka peluang akan terdapat 1 peristiwa E 1, 2 peristiwa E 2 , ..., k peristiwa E k dapat ditentukan oleh menggunakan distribusi multinom sebagai berikut
10
p( x1 , x2 ,..., xk )
N !
x1 x 2 1 π 2
π
=
x1! x2 !... xk !
x
...π k k
... &'
$imana x 1 O x 2 O ... O x k N 8
π 1 O π 2 O
... O
π k
1 8 < π i < 1 8 i 1, 2, ..., k
(ntuk distribusi multinom ekspektasi dari masing-masing peristiwa E 1, E 2, ..., E k adalah " π1, " π2, ..., " πk. Sedangkan 4ariansnya adalah " π1&1 C π1', " π2&1 C π2', ..., " πk&1 C πk'.
Contoh 6
$ua dadu dilempar sebanyak " kali. ;erapa peluang mendapatkan jumlah bilangan yang muncul sebesar atau 11 sebanyak 2 kali, bilangan yang sama pada kedua sebanyak sekali dan kemungkinan lainnya 3 kali. Jawab
isalkan
E 1 peristiwa jumlah yang muncul atau 11 E 2 peristiwa bilangan yang sama pada kedua dadu E 3 peristiwa lainnya selain peristiwa di atas
$ari penjelasan sebelumnya &lihat pengantar peluang' kita tahu bahwa titik sampel untuk pelemparan 2 buah dadu adalah 3". (ntuk peristiwa E 1 dapat ditentukan kemungkinan jumlah munculnya sebanyak " titik dan muncul 11 sebanyak 2 titik. aka P&E 1' π 1 "#3" O 2#3" G#3" 2#D. (ntuk peristiwa E 2 jumlah yang mungkin adalah " titik. +adi P& E 2' π 2 "#3" 1#". Sedangkan peristiwa E 3 adalah peristiwa selain kedua peristiwa ini, sehingga P& E 3' π 3 1 C 2#D C 1#" 11#1G. (ntuk persoalan ini N ", x 1 2 , x 2 1, dan x 3 3. Lunakan rumus ! N ! x π 1 x1! x2 !... xk !
p ( x1 , x2 ,..., xk )
=
p ( x1
x3
=
2, x2
= 1,
1
=
3)
=
6!
2!1!3! p( x1 = 2, x2 = 1, x3 = 3) = 0,1127
x 2
π 2
...π k x
k
(2 / 9) 2 (1 / 6)1 (11 / 18) 3
Contoh 7
Sebuah kotak berisikan 3 barang yang dihasilkan oleh mesin =, barang oleh mesin ; dan ! barang oleh mesin 9. Qdentitas barang adalah sama kecuali berdasarkan kategori mesin. Sebuah barang diambil secara acak dari kotak tersebut kemudian dicatat identitas mesinnya dan disimpan kembali kedalam kotak. +ika " barang diambil dengan cara yang demikian, tentukan peluang diantara ke enam barang tersebut diperoleh 1 dari mesin =, 2 dari mesin ; dan 3 dari mesin 9. Jawab 11
isal = peristiwa terambilnya barang dari mesin =. ; peristiwa terambilnya barang dari mesin ;. 9 perisitiwa terambilnya barang dari mesin 9. +elas P&=' 3#12 8 P&;' #12 8 P&9' !#12 " " 8 x 1 1 , x 2 2, dan x 3 3 $engan rumus &' maka diperoleh p( x1
= 1, x 2 =
p ( x1
= 1, x 2 =
2, x3
=
3)
=
6!
1!2!3! 2, x3 = 3) = 0,1206
(3 / 12)1 (4 / 12) 2 (5 / 12) 3
,. D%T&%BU% H%PE&-E'(ET&%/ 9iri-ciri percobaan hipergeometri . Sampel acak berukuran n diambil dari populasi berukuran " !. k dari " objek dikategorikan sebagai sukses dan " # k dikategorikan gagal.
isalkan ada sebuah populasi berukuran " yang diantaranya terdapat k buah termasuk kategori tertentu &sukses'. $ari populasi tersebut diambil sebuah sampel acak berukuran n. ;erapa peluang dalam sampel tersebut terdapat x buah termasuk kategori tertentu tersebutE (ntuk menjawabnya dapat diperoleh dari distribusi hipergeometrik yang berbentuk
k N −k x n− x P ( X = x) = p( x) = N n
... &!'
$engan x , 1, ..., n
Contoh
12
Sekelompok mahasiswa terdiri dari ! orang dan 3 diantaranya lahir pada tanggal 1 =gustus. $ari kelompok tersebut dipilih ! orang secara acak. ;erapakah peluang bahwa diantara ! orang tersebut a. tidak terdapat yang lahir pada tanggal 1 =gustus b. terdapat tidak lebih dari 1 orang yang lahir pada tanggal 1 =gustus Jawab
a. isal X adalah banyak mahasiswa di antara n ! yang lahir pada tanggal 1 =gustus $ari persoalan diatas dapat kita katakan " !, $ 3. aka peluang kelima mahasiswa tidak lahir pada tanggal 1 =gustus adalah
k N −k x n− x P ( X = x) = p( x) = N n
3 50−3 0 5 = 0,724 P ( X = 0) = p (0) = 50 5 b. 5idak lebih dari 1 orang yang lahir tanggal 1 =gustus mengandung arti bahwa nilai-nilai hanya dan 1. $ari soal a' kita sudah hitung p&', jadi tinggal menghitung p&1' yaitu
3 50−3 1 4 = 0,253 P ( X = 1) = p (1) = 50 5 +adi peluang dari kelima mahasiswa paling banyak 1 mahasiswa lahir pada tanggal 1 =gustus adalah ,2 O ,2!3 ,D. Contoh !
Sebuah panitia yang terdiri dari ! orang diambil secara acak dari 3 perempuan dan ! laki-laki. 5entukanlah distribusi peluang bagi banyaknya perempuan dalam panitia tersebut. Jawab
isal " adalah banyaknya perempuan yang duduk dalam kepanitiaan. aka distribusi hipergeometriknya adalah untuk X , 1, 2, 3. Nilai berarti tidak ada perempuan dalam kepanitian tersebut. 13
3 5 1 0 5 = P ( X = 0) = p(0) = 8 56 5 3 5 15 1 4 = P ( X = 1) = p(1) = 8 56 5 3 5 30 2 3 = P ( X = 2) = p(2) = 8 56 5 3 5 10 3 2 = P ( X = 3) = p(3) = 8 56 5 Parameter Distribusi Hi!erge)metrik Fata-rata
µ =
6arians
2
σ
nk N N − n
=
k k • n • 1 − N − 1 N N
Pendekatan Bin)mial terhada! Hi!erge)metrik +ika n relati% kecil dibandingkan dengan " &n <<< " ' , maka peluang setiap pengambilan objek akan berubah menjadi kecil sekali, maka distribusi hipergeometrik dapat didekati oleh distribusi binomal dengan mengambil p k#" . $engan demikian rata-rata dan 4arians hipergeomterik dapat didekati menggunakan rumus µ = np = 2
σ
nk N
= npq = n •
k k 1 − N N
Contoh 1# Perusahaan 5elepon melaporkan bahwa diantara ! pemasang tilpun baru, menggunakan telpon tanpa kabel. ;ila 1 di antara pemasang baru tersebut diambil secara acak, berapa peluang tepat ada 3 orang yang menggunakan telpon dengan kabel. Jawab 14
5erlihat bahwa ukuran populasi " ! relatip sangat besar dibandingkan dengan sampel n 1, maka dapat digunakan pendekatan distribusi binomial. Peluang pemasang menggunakan kabel dengan telepon adalah ,2. $engan demikian peluang tepat ada 3 orang yang menggunakan kabel adalah P ( X
=
3)
=
( 103 )(0,2)3 (0,8) 7 =
=
10! 0, 230,87 3!(7 )!
0, 2013
LAT%HAN 1. Sebuah mesin pembuat bola lampu menghasilkan 2? cacat produk. +ika bola lampu diambil secara acak, hitunglah peluang a. b.
2 bola lampu cacat *ebih dari 1 bola lampu yang cacat 15
c.
)urang dari 2 bola lampu yang cacat
%. +ika peluang seseorang menderita akibat penyuntikan sejenis serum adalah ,1,
tentukanlah peluang bahwa dari 2 orang yang disuntik a. b.
5epat tiga orang menderita *ebih dari dua orang menderita
&. Suatu ujian terdiri atas 1! pertanyaan pilihan berganda masing-masing dengan
kemungkinan jawaban dan hanya satu yang benar. ;erapa peluang seseorang yang menjawab secara menebak-nebak saja memperoleh ! sampai 1 jawaban yang benarE '. $i sebuah desa di daerah +awa 5imur, secara rata-rata dilanda " kali puting
belitung per tahun. Hitunglah peluang di suatu tahun tertentu desa tersebut akan dilanda a. )urang dari puting beliung b. " sampai G puting beliung c. *ebih dari puting beliung . Seorang sekertaris rata-rata melakukan 2 kesalahan ketik per halaman. ;erapa
peluang bahwa pada halaman berikutnya dia membuat a. atau lebih kesalahan b. 5idak satu pun kesalahan c. )urang dari kesalahan . Secara rata-rata 1 diantara 1 orang membuat kesalahan menulis angka dalam
membuat laporan pajak pendapatannya. ;ila 1. %ormulir diambil secara acak dan diperiksa berapa peluang terdapat kurang dari %ormulir yang mengandung kesalahan. *. Hitunglah peluang mendapat dua bilangan 1, satu bilangan 2, satu bilangan 3, dua
bilangan , tiga bilangan ! dan satu bilangan ", bila sebuah dadu seimbang dilemparkan 1 kali. +. $alam teori genetika, suatu persilangan kelinci percobaan akan menghasilkan
keturunan warna merah, hitam dan putih dalam perbandingan G . Hitunglah peluang bahwa di antara G keturunan semacam ini ada ! yang berwarna merah, 2 hitam dan 1 putih.
Lampiran 1 $ Tabel /)e0isien Bin)mial " ( 1 2
N
0
1 1 1
)
(
N
1
1 2
) (
N
2
1
)
(
N
3
-
)
(
N
4
-
) (
N
5
-
)
(
N
6
-
)
(
N
7
-
)
(
N
8
-
)
(
N
9
)
(
N 10
)
16
3
1 1
3
3 "
1
1
-
-
-
-
-
! " G D
1 1 1 1 1
! " G D
1 1! 21 2G 3"
1 2 3! !" G
! 1! 3! 12"
1 " 21 !" 12"
1 2G G
1 G 3"
1 D
1
1 11 12 13 1
1 1 1 1 1
1 11 12 13 1
! !! "" G D1
12 1"! 22 2G" 3"
21 33 D! 1! 11
2!2 "2 D2 12G 22
21 "2 D2 11" 33
12 33 D2 11" 332
! 1"! D! 12G 33
1 !! 22 1! 22
1! 1" 1 1G 1D
1 1 1 1 1
1! 1" 1 1G 1D
1! 12 13" 1!3 11
!! !" "G G1" D"D
13"! 1G2 23G 3" 3G"
33 3"G "1GG G!"G 11"2G
!! GG 123" 1G!" 2132
"3! 11 1DG 31G2 !3GG
"3! 12G 231 3!G !!G
!! 11 231 G"2 D23G
2
1
2
1D
11
G!
1!!
3G"
!2
12!D
1"D"
Bebera!a nilai !eluang P)iss)n P ( X = c)
=
λ c e − λ c!
" 1 " # $ , 2 3
.1
.".
.#
.$
.,
.2
.3
.4
.5
1.
.DG .D! .! .2 . . . .
.G1G .1"3 .1" .11 .11 .1 . .
.G .2222 .333 .33 .2 . . .
."3 .2"G1 .!3" .2 . .1 . .
.""! .333 .!G .12" .1" .2 . .
.!GG .32D3 .DGG .1DG .3 . . .
.D"" .3" .121 .2G .! . . .
.D3 .3!D! .13G .3G3 . .12 . .
."" .3"!D .1" .D .111 .2 . .
.3"D .3"D .1G3D ."13 .1!3 .31 .! .1
" 1.1
1.".
1.#
1.$
1.,
1.2
1.3
1.4
1.5
".
1 " # $
.332D .3""2 .21 .3G .23
.312 .3"1 .21"D .G" .2"
.22! .3!3 .233 .DDG .32
.2"" .3!2 .21 .112G .3D!
.2231 .33 .2!1 .12!! .1
.21D .323 .2!G .13G .!!1
.1G2 .31" .2" .1D" ."3"
.1"!3 .2D! .2"G .1" .23
.1D" .2G2 .2 .11 .G12
.13!3 .2 .2 .1G .D2
, 2 3 4 5
.! .G .1 . .
."2 .12 .2 . .
.G .1G .3 .1 .
.111 .2" .! .1 .
.11 .3! .G .1 .
.1" . .11 .2 .
.21" ."1 .1! .3 .1
.2" .G .2 .! .1
.3D .DG .2 ." .1
.3"1 .12 .3 .D .2
" 1 " # $
".1
".".
".#
".$
".,
".2
".3
".4
".5
#.
.122! .2!2 .2 .1GD .DD2
.11G .23G .2"G1 .1D"" .1G2
.13 .23" .2"!2 .233 .11"D
.D .21 .2"13 .2D .12!
.G21 .2!2 .2!"! .213G .133"
.3 .1D31 .2!1 .21" .11
."2 .1G1! .2! .22! .1GG
."G .13 .23G .222! .1!!
.!! .13D" .231 .223 .1"22
.DG .1D .22 .22 .1"G 17
, 2 3 4 5
.1 .1" . .11 .1
." .1 .!! .1! .
.!3G .2" ."G .1D .!
."2 .21 .G3 .2! .
.""G .2G .DD .31 .D
.3! .31D .11G .3G .11
.G .3"2 .13D . .1
.G2 . .1"3 .! .1G
.D .!! .1GG ."G .22
.1G .! .21" .G1 .2
1 11 1"
.1 . .
.1 . .
.1 . .
.2 . .
.2 . .
.3 .1 .
. .1 .
.! .1 .
." .2 .
.G .2 .1
#.1
#.".
#.#
#.$
#.,
#.2
#.3
#.4
#.5
$.
1 " # $
.! .13D .21"! .223 .13
.G .13 .2G .222" .1G1
.3"D .121 .2G .22D .1G23
.33 .113! .1D2D .21G" .1G!G
.32 .1! .1G! .21!G .1GGG
.23 .DG .11 .212! .1D12
.2 .D1! .1"D2 .2G .1D31
.22 .G! .1"1! .2" .1D
.22 .GD .1!3D .21 .1D!1
.1G3 .33 .1"! .1D! .1D!
, 2 3 4 5
.1! .!!! .2" .D! .33
.11 ."G .2G .111 .
.123 .""2 .312 .12D .
.12" .1" .3G .1G .!"
.1322 .1 .3G! .1"D .""
.13 .G2" .2! .1D1 ."
.12D .GG1 ."" .21! .GD
.1 .D3" .!G .21 .12
.1!22 .DGD .!!1 .2"D .11"
.1!"3 .12 .!D! .2DG .132
1 11 1" 1# 1$
.1 .3 .1 . .
.13 . .1 . .
.1" .! .1 . .
.1D ." .2 . .
.23 . .2 .1 .
.2G .D .3 .1 .
.33 .11 .3 .1 .
.3D .13 . .1 .
.! .1" .! .2 .
.!3 .1D ." .2 .1
"
18
