PROF. HÉCTOR R. MALLMA ALVARADO
ARITMÉTICA
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A B Prof. Héctor R. MALLMA ALVARADO
RELACIONES DE CONJUNTOS. PROPIEDADES
B ⊂A
SUBCONJUNTO:
Se lee: B incluido en A Un conjunto es llamado subc njunto cuando está contenido en otro; es deci r, cuando todos sus elementos pertenecen al el tro conjunto. SUPERCONJUNTO: Un conjunto es llamado superc onjunto cuando contiene a otro u otros dentro d e sí.
B. NO INCLUSIÓN ( ⊄ ) Un conjunto no está incluido en otro conjunto o no es subconjunto de o tro conjunto, si al menos un elemento no pertenece o no se encuentra dentro del otro c njunto. Fig. 1:
A
A
1
B
2 B
4
3
B
Superconjunto
5
A
Se lee: B no incluido en A Fig. 2:
Subconjunto
A
¡¡¡Observa!!! B
A={1;2;3;4;5} y B={3;4} Como podrás ver, todos los lementos de B pertenecen también al con junto A.
Estos dos conjuntos son disjuntos.
B
A
INCLUSIÓN ( ⊂ ) Y NO INCLUSI N ( ⊄ ) Se lee: B no incluido en A
A. INCLUSIÓN ( ⊂ ): Un conjunto está incluido o es subconjunto de otro conjunto, si todos us elementos pertenecen, o están contenidos, en el otro conjunto.
A
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Recuerda qu los símbolos de ⊂ y ⊄ se usan de conjunto a conjunto y no de conjunto a elemento o de elemento a c njunto.
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INCLUSIÓN: Propiedades. Subconjunto propio. INCLUSIÓN: Propiedades. En la inclusión de conjuntos podemos destacar tres propiedades importantes que enseguida veremos:
conjunto incluido A tiene menos elementos que el conjunto que incluye. Es por eso que al conjunto incluido A se le llama subconjunto propio de B. Gráficamente un subconjunto propio se verá así:
Todo conjunto es subconjunto de sí
B A
mismo: A ⊂ A Hemos definido que un conjunto está incluido en otro si todos sus elementos pertenecen al otro conjunto. Con mucha más razón, todos los elementos del conjunto A pertenecen al mismo conjunto A. Es reflexivo.
.4
.1 .2
.5 .3
A subconjunto propio de B
A A
CASOS ESPECIALES
El conjunto vacío es subconjunto de
Hay conjuntos que tienen como elementos otros conjuntos. Estos conjuntos están “funcionando” como elementos.
todos los conjuntos: ∅ ⊂ A El conjunto vacío se representa así ∅ y está incluido en cualquier conjunto.
Conjunto Familia: Es aquel conjunto que todos sus elementos son conjuntos.
A ∅
Ejemplo: Si un conjunto está incluido en otro y éste en un tercero, entonces el primero conjunto está incluido en el tercer conjunto. Es transitivo. A⊂ B ∧ B⊂ C ⇒ A⊂ C
B
C
A
A = {{1},{2},{3;4}, ∅ }
Podemos afirmar: {1} ∈ A {2} ∈ A {3;4} ∈ A
∅ ∈A
Conjunto que no es familia: Es aquel conjunto que tiene algunos elementos que son conjuntos y otros que no lo son. Ejemplo:
B={1; 2; {3}, {4;5}}
CONVERTIR UN ELEMENTO EN CONJUNTO
SUBCONJUNTO PROPIO. Si observas los siguientes conjuntos con mucha atención:
Para convertir un elemento en conjunto se le aumenta un par de llaves; si es conjunto que está funcionando como elemento se le aumenta otro par de llaves. Del conjunto B={1; 2; {3}, {4;5}}
A={1;2;3} y B={1;2;3;4;5}, te darás cuenta que A ⊂ B . Además, te darás cuenta que el
Conjuntos obtenidos: {1}, {2}, {{3}}, {{4;5}}
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EJERCICIOS:
1.
.1
C .5
.3
7.
En el siguiente gráfico, observa los conjuntos y completa usando los símbolos
.2
.9
.4
.6
.8
∈ ∉ ⊂ o ⊄ según corresponda: ,
.7
2 ⊂A 5∈A 8∉A {5} ∈ A 7 ∈A
( ( ( ( (
) ) ) ) )
Dado el conjunto: A = {{1}; 3; 5; {2; 4}; 7} Señalar la afirmación falsa: a) b) c) d) e)
4.
{1} ∈ A {3} ∈ A {5} ⊂ A {2;4} ∈ A 7 ∈A
( ( ( ( (
) ) ) ) )
Dado el conjunto: M = {{2}; {3}; 4; {5;6}} Señalar la afirmación falsa: a) b) c) d) e)
5.
,
Marca V ó F según corresponda: A = {2; 3; {5}; {6;7}; 8} a) b) c) d) e)
3.
De acuerdo al diagrama, la afirmación correcta es: A) Q = {1; 2; 3; 7} B) P ⊂ Q C) Q ⊂ P D) P = {3; 7}
U
.0 B
2.
6.
En el siguiente gráfico observa los conjuntos y completa el cuadro usando los símbolos de ∈ , ∉ , ⊂ o ⊄ según corresponda. A
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2 ∈M {{3}} ⊂ M {4} ⊂ M {5;6} ⊂ M {5;6} ∈ M
Si
( ( ( ( (
) ) ) ) )
8.
A)
2
A
B)
1
B
C)
6
C
D)
4;5
A
E)
B
A
F)
3
C
G)
A
U
H)
B
C
I)
C
U
J)
7
U
K)
{6;8}
C
¿Qué conjuntos están incluidos en A?
A = {letras de la palabra aseo} B = {letras de la palabra poesía},
el conjunto de letras de A que no pertenecen a B es: A) {a}
B) {e}
C) {p}
D) {i}
E) φ
A) B, C y D D) C y D
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B) Sólo C E) D y B
C) Sólo D
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