Dinámica de las estructuras
{0}Tercera edición, 1971.{/0} {0} {/0}
Dinámica de las estructuras
Ray W. Clough
Profesor de Ingeniería Civil
Universidad de California, Berkeley
Joseph Penzien
Ingeniería Civil Internacional
Consultants, Inc.
ó {0}Tercera edicin, 1971.{/0} {0} {/0}
Computadoras y Estructuras, Inc.
1995 University Ave.
Berkeley, CA 94710
EE.UU.
Dinámica de las estructuras
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Datos de la obra en el cat álogo de la Librería del Congreso
Clough, Ray W., (fecha).
Dinámica de las estructuras / Ray W. Clough, Joseph Penzien. pag. cm.
Incluye índice.
1 . dinámica estructural. I. Penzien, Jos é II. Título. AVC
CONTENIDO
1
1-1
{0}1 2{/0 } {1} {/1}
1-3
Prólogo
XV
Lista de símbolos
xvi
Visión general de Din ámicE a structural
1
Objetivo fundamental de An álisis DinámicaEstructural
Tipos de Cargas prescritas
Características esenciales de un problema din ámico
1
......... .2
3
1-4
Los m étodos de discretización
4
Lumped-MasaProcedimiento
4
Losdesplazamientosgeneralizados
5
Elconceptodeelementosfinitos
1-5
7
Formulacióndelasecuacionesdemovimiento
[9]
El equilibrado directa utilizando d ŠAlembertŠsPrincipio
1)
[9]
Principiodedesplazamientosvirtuales
10
Enfoque variacional
10
Organizaci texto del ón
[11
SISTEMAS DE PARTE I solo grado de libertad
....... ...2 An álisid s evibracionelsibres
2-1
1)
Los componentes del sistema b ásico dinámico
La ecuaci ón de movimiento del sistema b ásico dinámico
15
15
[16]
2-3
Eninfluenciadefuerzasgravitacionales
[17]
2-4
En uencia de Soporte de excitaci ón
2-5
Análisisdevibracioneslibresnoamortiguadas
20
2-6
Amortiguadalibredevibraciones
25
[18]
CríticamenteamortiguadoSistemas
[26]
Undercritically con amortiguacióndeSistemas
27]
Overcritically con amortiguacióndeSistemas
[32]
Problemas.
[32]
contr
vi
ÍNDICE
3
3-1
Respuesta a la carga de armónicos
Sistema amortiguado
soluciócomplementaria n
Soluciparticular ón
[33]
[33]
[33]
[33]
Soluci general ón
3-2 1)
3-4
A determinar
[34]
Sistemaconamortiguamientoviscoso
[36]
Respuesta de resonancia
42
Acelerómetrosymedidoresdedesplazamiento
[45]
Elaislamientodevibraciones
46
............................................ 1)
Evaluación de amortiguamiento viscoso-Ratio
Sin vibraciones Método Decay
3-7
Problemas.
52
............................................ 52
Método de resonancia de amplificación
[53]
De media potencia (Ancho de Banda) Método
[54]
é í ú é La p rdida de energ a de resonancia seg n M todo de Ciclo
[56]
Complejo-rigidezdelamortiguador
58
[61]
4
Respuesta a la Periódica Loading
4
Expresiones de Fourier de la serie de Peri ódica Cargando
Forma trigonométrica
sesenta y cinco
sesenta y cinco
sesenta cinco y
Forma exponencial
4-2
RespuestaalacargadelaseriedeFourier
4-3
Análisispreliminardeldominiodelafrecuencia
[66]
6
69
Problemas.
5
[71]
RespuestaalaimpulsivaCargando
73
5-1
LanaturalezageneraldeimpulsivoCargando
5.2
Sine-impulso de onda
5-3
Impulso rectangular
77
5-4
Impulso triangular
78
5-5
ShockoEspectrosdeRespuesta
5-6
Análisis aproximado de respuesta impulsiva-Load
Problemas.
73
[74]
79
[82]
84
6
6-1
Respuesta a la dinámica general Carga: Métodos de Superposición
[87]
AnálisisMedianteeldominiodeltiempo
[87]
FormulacióndeRespuestaIntegral
[87]
La evaluación numérica de Respuesta Integral 89
6-2.
Análisis a trav ésdeldominiodelafrecuencia
7
RespuestaintegraldeFourier
[98]
Transformadas de Fourierdiscretas (DVF)
[100]
CONTENID O
Las transformaciones rápidasdeFourier(FFT)
Evaluación de la respuesta din ámica
6-3
VII.
[102]
106
Relación entre el tiempo y dominio de la frecuencia
Funcionesdetransferencia
109
Problemas.
7
11080 1)
7-3
7-
7-5
109
Respuesta al general la carga din ámica: Paso a paso M étodos
Conceptos generales A trozos m étodo exacto
[111]
[111] [112]
Procedimientos de aproximaci ón numérica Comentarios generales
En segundo lugar Formulaci óndiferenciacentral
116
117
Métodos de integración
12
ProcedimientoEuler-Gauss
Métodos Beta Newmark
12
121
La conversión a una formulación explícita
123
7-5
Formulación incremental para el an álisisnolineal
12
7-7
Resumen del Procedimiento de aceleraci ólineal n
[127]
Problemas.
8
[132]
Sistemas de libertad solo grado de g eneralizado
1
8-1
Comentarios generales sobre los sistemas de un grado de libertad
1
8-2
Propiedades generalizadas: Ensamblajes de cuer pos r ígidos
134
25)
Propiedades generalizadas: Flexibilidad Distribuido
......14 0
25)
Expresiones de las propiedades Sistema Generalizado
75
8-5
Análisis de vibraciones por RayleighŠs Método
149
Selección de la Forma de Rayleigh de la vibraci ón
152
4
25)
MétododeRayleighmejorado
156
Problemas.
16
SISTEMAS II de varios grados de libertad PARTE
[ 9]
Formulación de las ecuaciones de movimiento MDOF
25)
La selecci óndelosgradosdelibertad
9 -2
El equilibrio din ámico-Estado
9-3
Efectos axial-Force
173
Evaluación de matrices estructurales en la propiedad
175
10
25)
169
169
171
Propiedades el ásticas
175
Flexibilidad
175
Rigidez
176
Conceptos básicosestructurales
177
Larigidezdeelementosfinitos
.
VIII.Horar io de finalizaciónCONTENIDO
25)
Propiedades de masa
Lumped-masa de matriz
MatrizconsistenteporMassachusetts
1000100
25)
184
184
18
Propiedades de amortiguación
Pájaros, peces y estrecho
Cargando externa
Pájaros, peces y estrecho
Resultantes estáticas
Lascargasnodalesconsistentes
1)
190
190
La rigidez geom étrica
Aproximaci lineal ón
La rigidez geométrica consistente
191
191
194
1)
Elección de la Propiedad Formulación
196
Problemas.
1
No a mortiguada l ibre d e vi braciones
24.01.201 1 BORRAR
Análisis de vibración Frecuencias
24.01.201 1 BORRAR
25)
Análisis de modo de vibraciFormas ón
204
25)
La flexibilidad de formulaci ón de AnálisisdeVibraciones
[11
11080
11080
Eninfluenciadelasfuerzasaxiales
208
208
Vibraciones libres
carga pandeo de
208
209
Pandeo con excitación armónica
25)
Condicionesdeortogonalidad
Condiciones básicas
Lasrelacionesadicionales
La normalización
1)
211
211
212
214
extensión 215
Problemas.
12
Análisis de dinámica mediante superposición
25)
Coordenadas normales
25)
Las ecuaciones desacopladas de movimiento no amortiguado:
25)
Las ecuaciones de movimiento: desacoplados de amortiguamiento viscoso
25)
Análisis de la respuesta por la modalidad de desplazamiento de superposición
219
219
221
1)
REVISIO N
amortiguamiento viscoso
Complejo-rigidezdelamortiguador
25)
230
Construcción de Matrices proporcionales amortiguamiento viscoso
amortiguacióndeRayleigh
REVISIO N
234-235).
234-235).
AmortiguaciónextendidaRayleigh
Formulacialternativa ón
Construcción de matrices no proporcionales amortiguación
25)
1)
1)
1)
Análisis de la respuesta utilizando las ecuaciones acopladas de Movimiento
Dominio del tiempo
245
245
CONTENID O
Dominio de la frecuencia
25)
ix
246
Relación entre tiempo y frecuencia de dominio
Funciones de transferencia
24
4
Procedimiento práctico para la resolución de ecuaciones acopladas de Movimiento
25
4
Procedimiento de interpolación para la generación de funciones de transferencia
254
Problemas.
[13]
2
Análisis de vibraciones por Matrix iteraci ón
25
25)
Comentarios preliminares
25
25)
Análisis modo fundamental
25)
25)
Prueba de Convergencia
229
4
Análisis de modos superiores
Análisis de segunda Modo
231
231
AnálisisdeterceraysuperiorModos
Análisis de Modo de Alta
25)
Análisis de pandeo por Matrix iteración
25)
La iteraci óninversaelprocedimientopreferido
25)
La iteraci óninversaconloscambios
1)
Temasespecialeseigenproblema
235
236
2
1)
1)
1)
expansióEigenproperty n
1)
Forma simétrica de Matrix dinámico
Análisisdeestructurassinrestricciones
11080
290
Problemas.
14Exterio r
25)
1)
Selección de los grados de libertad din ámicos
Deelementosfinitosgradosdelibertad
Elementosunidimensional
Dosyelementostridimensionales
1)
1)
1)
1)
25)
1)
11080
1)
25)
1)
Las restricciones cinem áticas
1)
ó á La condensaci n est tica
1)
Método de Rayleigh en discretos Coordenadas
1,119,29 8
Rayleigh-Ritz M étodo
299
subespacio iteraci ón
Reduccióndeerroresdetruncamientomodales
1)
1)
Comentarios generales sobre la Reduccióndecoordenadas
modales Aportes
1)
1)
Procedimiento de corrección estática
311
Modo método de aceleración
25)
LosvectoresderivadosdeRitz
1)
314
Comentariospreliminares
derivaci detalles ón
Contenidos X
314
1)
TridiagonalesEcuacionesdemovimiento
1)
La pérdida deortogonalidad
25)
Requerido número de vectores
1)
Problemas.
25)
25)
Análisis de MDOF Respuesta Dinámica: Paso a paso M étodos
25)
Comentariospreliminares
325
Lasecuacionesdelmovimientoincrementales
1)
1)
4
Paso a Paso Integraci ón: Constante Método Promedio Aceleración
1)
Paso a Paso Integraci ón: Lineal Método de aceleración
1)
Estrategias para el An álisisde SistemasAcopladosMDOF
No linealidad localizada
Efectos acoplados tratados como pseudo-Forces
[16]
1)
11080
325
1)
25)
1)
1)
1)
Variacional Formulaci ón de las ecuaciones de movimiento
1)
Coordenadas generalizadas
1)
Principio Hamilton Šs
1)
11080
LagrangeŠsEcuacionesdemovimiento
1)
25)
Derivación de las ecuaciones generales del movimiento para sistemas lineales
1)
25)
LimitacionesymultiplicadoresdeLagrange
1)
Problemas.
17/1/
PARTE III SISTEMAS DE-par ámetros distribuidos
Las 24 horas, 7 días a la
[17]
Ecuaciones difer enciales parc iales de Movi miento
semana , 365 días al año.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS - Conocer la función e importancia del establecimiento de planes de acción en caso de emergencia. Aprender a comprender y elaborar un PAE (Plan de Acci ón de Emergencia) - Profundizar en los pasos de respuesta a la emergencia: entrenamiento previo, evacuación,traslado, conteo y contacto con familiares. - Analizar importancia de la relaci ón que existe entre la organizaci ón y las autoridades as í como con los Las 24 medios de comunicación. - Entender la importancia del horas, 7
25)
11080
entrenamiento y la actualización al momento de crear y seguir un días a la PAE. Palabras clave: plan de acción de emergencia (PAE), OSHA, semana, desastre, emergencia, Planificación, evacuación, rutas de escape, de 365 días planta, Comunicación, Sistema de notificaci ón al año.
Brazo de flexi óCaso n: Primaria
1)
25)
Brazo de flexi ón:IncluyendoEfectosAxial-Force
1)
25)
Brazo de flexi ón: La inclusióndeamortiguamientoviscoso
1)
25)
Brazo de flexi ón: Generalizada excitaciones de soporte
25)
Lasdeformacionesaxiales:noamortiguado
1)
25)
Problemas.
[18]
1)
25)
Análisisdevibracioneslibres noamortiguadas
377
Brazo de flexi ón: Caso Primaria
377
25)
Brazo de flexi ón:IncluyendoEfectosAxial-Force
1)
1)
Brazo de flexi ón: con soporte elásticoDistribuido
11080
1)
Brazo de flexi ón: La ortogonalidad de modo de vibraciónFormas
1)
Las vibraciones libres en la deformaciaxial ón
4
Ortogonalidad de los modos de vibraci axial ón
1)
1)
392
Problemas.
1)
CONTENID O
[19]
4
1)
Análisis de Respuesta Din ámica
Coordenadas normales
Las ecuaciones no acoplados a la flexi ón de movimiento no
xi
25)
1)
400
amortiguado: Caso
1)
Las ecuaciones no acoplados a la flexión de movimiento amortiguado: Caso
1)
1)
Las ecuaciones desacopladas axiales de movimiento no amortiguado: Caso
1)
25)
Análisis de la propagaci ondas de ón
411
Básico Escuadra-Wave-Propagación Ecuación
Elexamendelascondicionesdefrontera
411
1)
DiscontinuidadenPropiedadesdelabarra
1)
Problemas.
1)
PARTE IV AZAR VIBRACIONES
20
Teorp día reobabilidad
1)
Variablealeatoriaindividual
11080
Promedios importantes de una variable aleatoria individual
11080
Unidimensionalpaseoaleatorio
25)
11080
Dos variables aleatorias
Promedios importantes dedos variables aleatorias
1)
1)
1)
25)
442
451
Diagrama de dispersi ón y correlación de dos variables aleatorias
1)
1)
Los ejes principales de la funci ón de probabilidad conjunta Densidad
11080
1)
25)
Rayleigh funci óndedensidaddeprobabilidad
25)
aleatorias m variables
463
Transformaciones lineales de variables aleatorias distribuidas normalmente
465-466).
1)
461
Problemas.
[21]
466
Lopsrocesoasleatorios
25) 2.Definición
1)
Procesos estacionarios y erg ódica
1)
Función de autocorrelaciónparaprocesosestacionarios
25)
11080
471
471
1)
478
Densidad espectral de potencia Funci ón de procesos estacionarios
484
Relación entre la densidad espectral de potencia y Autocorrelación
Funciones
11080
1)
Densidad Espectral de Potencia y autocorrelación Funciones para Derivados
Procesos de
488
11080
490
1)
Los procesos estacionarios gaussianos: una variable independiente
1)
Estacionaria White Noise
1)
Distribución de probabilidad para Maxima
Entre 501 y 1.000 empleados
25)
1)
11080
1)
ÍNDICE
Superposicióndeprocesosestacionarios
1)
Distribución de probabilidad para los valores extremos
1)
Losprocesosnoestacionariosgaussianos
51
Plataforma de Gauss: Dos o m ásvariablesindependientes
1)
xii
Problemas.
[
11080
1)
Respuesta estoc ástica de un grado de libertad lineales Sistemas
51 7/ 2010
Funciones de transferencia
51 7/ 2010
25)
Relación entre la entrada y salida de funciones de autocorrelación
25)
Relación entre la entrada y la salida espectral de potencia
25)
funciones de densidad de
25)
11080
25)
í Caracter sticas de respuesta de los sistemas de banda estrecha
1)
Respuesta no estacionario Mean Square Como resultado de cero inicial
Condiciones
1)
Las predicciones de fatiga para los sistemas de banda estrecha
25)
1)
Problemas.
[23]
11080
1)
Respuesta estoc ásticadesistemaslinealesMDOF
Respuesta dominio del tiempo para sistemas lineales usando los modos normales
1)
1)
25)
Respuesta de frecuencia-dominio para sistemas lineales usando los modos normales 541
25)
ó Modo normal funci n de forzamiento debido al discretos Cargas
5
25)
Modo normal funci ón de forzamiento debido a cargas distribuidas
54
25)
Respuesta de frecuencia-dominio para sistemas lineales que tienen Frecuencia-
Parámetros dependientes y / o Normal Los modos acoplados
Problemas.
5
1)
PARTE V Ingeniería Sísmica
24.
Antecedentes Sismol ógico
25)
Nota introductoria
25)
sismicidad
11080
Fallas s ísmicas Ondas y
11080
Estructura de la Tierra
11080
Placas tect ónicas
555
555
1)
1)
1)
1)
1)
Teoría elástica-RebotedelosTemblores
1)
Medidas del terremoto Tama ño
1)
25
De cam po li bre de m ovimientos del te rreno en su perficie
1)
567
25)
FourieryEspectrosdeRespuesta
1)
25)
FactoresenuirenEspectrosdeRespuesta
1)
11080
Diseñodelosespectrosderespuesta
1)
Estrategia dual de dise ño sísmico
Aceleraciones pico
1)
1)
1108 0
Formas de respuesta del espectro
Uniforme-Peligro sitio especí-cEspectrosdeRespuesta
1)
Dos componentes horizontales del movimiento
597
CONTENID O
11080
diseacelerogramas ño
597
LUNE S 27 598
Espectro de Respuesta Acelerogramas compatibles
LosejesprincipalesdeMovimiento
1)
Las mociones espacialmente correlacionadas
11080
1)
25)
XIII
25)
Determinista t erremoto Re spuesta: Sis temas de r ígido Foundations613
Tipos de excitaci ódel nterremoto
1)
Respuesta a excitaciones r ígido-Suelo
Lumped un grado de libertad elástica Systems, traslacional Excitación
Generalizado-Coordinar un grado de libertad elástica Systems,
11080
1)
traslacional
25)
Excitación
1)
Lumped MDOF elástico Systems, traslacional Excitación
1)
La comparación con ATC-3 Disposiciones del Código recomendados
63
Distribuido-Parámetro elástico Systems, traslacional Excitación
640
Lumped MDOF elástico Systems, excitaciónrotacional
25)
Lumped MDOF elástico Systems, excitación múltiple
1)
Lumped un grado de libertad Sistemas elástico-plástico, traslacional de Excitación
1)
La combinaci ón de respuestas máximasmodales
Respuesta media cuadrada de un modo individual
650
Covarianza de respuesta producida por Dos modos
1)
SRSS y CombinaciónderespuestasmodalesCQC
1)
La combinación de las respuestas de dos componentes de excitación
Problemas.
650
1)
1)
27]
Determinista respuesta al terremoto: La inclusión de sueloestructura
Interacci socióanl
1)
1)
La interacci ón suelo-estructura mediante el análisisdirecto
1)
La interacción cinemática de Conversión de excitación; el efecto Tau 670 $
La inclusión directa de una capa de suelo acotada
25)
AnálisisdelaRespuestaSubestructuraSSI
1)
1)
Sistemas de parámetros concentrados en un grado de libertad Fundación ríMat gido 1)
Sistema General de MDOF con excitación Apoyo Múltiple
Generacióndeimpedanciasdefrontera
1)
1)
1)
Respuesta de es tructuras subterr áneas
Sin tierra del campo mociones debido a ondas que se propagan Plane
1)
Las deformaciones trasiego de las secciones de la Cruz
1)
En general axial y de flexiónDeformaciones
1)
En uencia de Juntas Transversales de deformaciones axiales
[28]
1)
Respuesta es tructural estoc ástico
1)
711
11080
xiv
Modelizacióndemovimientosintensos
711
CONTENIDO
25)
25)
Respuesta estoc ásticadesistemaslineales
711
Sistemasdeungradodelibertad
711
Sistemas MDOF
+39) 0543 712 659
Respuesta de extrema valor de los sistemas no lineales
Sistemasdeungradodelibertad
Sistemas MDOF
1)
1)
1)
11080
Consideraciones en el dise ño
11080
Permisible demanda de ductilidad Versus La ductilidad de la capacidad
1)
Índice
1)
25)
PRÓLOGO
Desde la edición de este primer libro se public ó en 1975, los principales avances se han hecho en el tema "dinámica de las estructuras." Aunque ser ía imposible dar un tratamiento integral de todos esos cambios en esta segunda edición, los que se consideran de significación más práctica están incluidos.
La organización general del material de texto se mantiene sin cambios desde la primera edici ón. Se progresa lógicamente de un tratamiento de sistemas de un solo grado de libertad a la multi-grados de libertad sistemas discretos de parámetros y luego a los sistemas de ntinuous co nita grados de libertad.El concepto de equilibrio de fuerzas, que forma la base del an álisis estático de estructuras, se retiene de forma que el ingeniero con experiencia puede f ácilmente hacer la transici ón a la realizaci ón de un an álisis din ámico. Es esencial, por tanto, que la abolladura de Stu dinámica estructural tiene una s ólida formación en las teor ías de la est ática de las estructuras, incluyendo los métodos de la matriz, y se supone que los lectores de este texto tienen tal preparaci ón.
El tratamiento teórico de las Partes I, II y III es ic determinista en la naturaleza, ya que hace uso de las cargas dinámicas que se integran totalmente prescriben apesar de que pueden ser muy irregular y transitorio con respecto al tiempo.El tratamiento de las vibraciones aleatorias en la Parte IV es sin embargo estoc ástico (al azar) en forma de carga desde los Ings considerados pueden caracterizarse únicamente de manera estadística.Por lo tanto, una comprensión de la teoría b ásica de probabilidad es un requisito esencial para el estudio de este tema. Antes de continuar con este estudio, se recomienda que el estudiante tome un curso completo en la teor ía de la probabilidad; Sin embargo, si esto no se ha hecho, el tratamiento breve de los conceptos de probabilidad dada en el Capítulo 20 puede servir como una preparaci ón mínima.
La soluci ón de un problema t ípico de la din ámica estructural es considerablemente m ás ed complicat que su contraparte estática debido a la adición de la inercia y de amortiguación de las fuerzas elásticas de resistencia y debido a la dependencia del tiempo de todas las cantidades de fuerza.Para situaciones m ás prácticas, la solución por lo general sólo es
posible mediante el uso de un ordenador digital hig h velocidades, que se ha convertido en la herramienta est ándar de la dinamicista estructural.Sin embargo, la mayor parte de los problemas en el texto, que est án destinados para enseñar los fundamentos de la din ámica, son bastante simple en su forma de permitir que sus soluciones para obtener usando una calculadora de mano.Sin embargo, el estudiante de la din ámica de la estruc-turas deber ía haber estudiado previamente las técnicas de codificación inform ática y los procedimientos anal íticos asociados. Dicho fondo permitir á una pronta transición de la din ámica solv-ing proble ms por una calculadora de mano para resolverlos en un ordenador PC con programas especialmente desarrollados para este prop ósito.El programa CAL-91, desarrollado por el profesor EL Wilson, de la Universidad de California, Berkeley, es un programa de este tipo que se ha utilizado muy efectuar vament e en la enseñanza incluso el primer curso en la din ámica de las estructuras.Se anima a los instructores que utilicen este libro para implementar este tipo de soluciones inform áticas PC en sus cursos para que los problemas m ás realistas pueden ser consideradas.
XV
PREFACIO
xvi
Un gran número de ejemplos de problemas se han resuelto en el texto para ayudar al lector en la comprensi ón de la materia sujeto. Para dominar completamente las t écnicas de análisis, es esencial que el estudiante a resolver muchos de los problemas de la tarea que se presentan en la s final de los capítulos.Ellos deben ser asignados sin embargo con moderaci ón ya que los an álisis de respuesta din ámica son notoriamente tiempo. Los autores han encontrado que de uno a cuatro problemas pueden constituir una asignaci ón semanal adecuada, dependiendo de la materia un tipo nd de solución requerida.Sobre esta base, el libro incluye muchos m ás problemas de los que se le pueda asignar una secuencia de un año de cursos sobre din ámica estructural.
El objeto de este texto puede servir como la base de una serie de posgrado es cours.El curso primero podr ía cubrir el material en la parte I y parte de que, en la segunda parte. El alcance total de esta cobertura depender á, por supuesto, de si el curso es del trimestre o semestre de duración. Si la duración del trimestre, la cobertura de material en las artes P I y II es ciente para proporcionar la base de una secuencia de dos cursos de trimestre y un poco de material de la Parte III tambi én podría incluirse en el segundo curso.
En general, ahora se espera que casi todos los estudiantes Masters grados en ingenier ía estructural deberían haber tenido al menos el primer curso b ásico en la dinámica de las estructuras y se recomienda que el avanzado (de cuarto año de nivel) estudiante de grado se proporciona en oportunidad de tomar un curso similar, Aun cuando su cobertura material puede reducirse algo.
El material en la Parte IV puede servir como la materia de un curso b ásico de vibraci ón aleatoria que se necesita en una cabal comprensi ón de las aplicaciones pr ácticas de los m étodos estocásticos en diversos campos tales como la ingenier ía sísmica, ingeniería eólica, y la ingenier ía oce ánica.Muchas de esas aplicaciones se presentan en la Parte V, que trata el tema general de la ingenier ía sísmica. Sin embargo, un curso separado es necesaria para cubrir completamente el material en la Parte V. Los estudiantes de tomar cualquiera de estos dos últimos cursos SH Ould tener una buena formaci ón en análisis dinámico de estructuras determinista y una madurez razonable en matemáticas.
Este libro ha sido escrito para servir no s ólo como un libro de texto para estudiantes de colegios y universidades, sino para servir como un libro de referencia para los ingenieros ticing cas tambi én.Las formulaciones y t écnicas áticos de presentadas pueden servir efectivamente como base para el desarrollo continuo de nuevos programas inform análisis para ser utilizados por el ingeniero de diseño y análisis de estructuras que funcionan en entornos dinámicos.
Para concluir, los autores desean expresar su sincero agradecimiento a las muchas personas (estudiantes, miembros de la facultad, y los ingenieros en ejercicio) que tienen tanto directa como indirectamente contribuyeron con el contenido de este libro. El nu mbre de tales contribuyentes es demasiado grande sin embargo al intentar enumerarlos por su nombre.
Una persona más merecedora de un reconocimiento especial es la Sra Huey-Shu Ni que escribe el texto completo y, con la ayuda de su personal en Dibujo y Servicios de edici ón, Ltd. en Taipei, Taiwán, preparado todas las figuras.Su forma paciente y amable, que siempre estuvo presente durante los muchos a ños de preparaci ón del libro, es para ser admirado. Los autores expresan a ella su profundo reconocimiento y agradecimiento por un trabajo hecho magníficamente.
Ray W. Clough
Joseph Penzien
LISTA DE SÍMBOLOS
A distancia.
Fourier coe ciente, la frecuencia
"Un adimensional
/tutor legal cientes de Fourier cientes, constantes
UN
zona, constante
A 1, A 2
constantes
distancia, número entero
segundo b 0, b n
Coe cientes de Fourier constantes
segundo
do
C
constante
coeficiente de amortiguación
generalizada coeficiente de amortiguaci ón
Copia : amortiguamiento crítico coeficiente
c
ij
amortiguamiento en los coeficientes uir
modo normal generalizada de amortiguación
Cneo coeficientes CQC combinación cuadrática completa
re
factor de la dinámica de cationes Magni
re dinámica de matriz = k discreta DRV deriva del vector Ritz e desplazamiento axial
1
m DFT transformada de Fourier
El módulo, la liberación de energía de E Young E matriz dinámico D
e.
1
valor esperado, media de conjunto
amortiguamiento pérdida de
Ed) energía / ciclo
Ed)
E:-< i
distancia epicentral
la rigidez a la flexi ón
F
la frecuencia cíclica naturales
xvi
xviii
LISTA DE SÍMBOLOS
1)
!
ij
flexibilidad en los coeficientes uir
! I, ! D, F
S
inercial, amortiguación, y la primavera fuerzas, respectivamente
FD
profundidad focal
".1! !#
g
la transformada rápida de Fourier
aceleración de la gravedad
función de impedancia límite
condición geológica
altura, espesor de la chapa, intervalo de tiempo
$
ij
(t), $ %#)
funciones de respuesta de impulso unitario
funciones de respuesta de frecuencia compleja
500H
(o
Hertz (frecuencia en cic&os ' segundo)
Entero
&
impulso, sección transversal momento de inercia
l
matriz de identidad
)
función de impedancia
ij
%i*
(Es decir: 2040, 2045)
+o&o es#o( sor,rendido ue es#s dis,ues#o / o!recer&o #/n ,ron#o. Nos /c/b/mos de conocer0
la eficacia de aislamiento
imaginario
// - 1.5.8 constantes
I,
R
constantes reales
longitud del vector
g:i a
C
$
funciones de onda de estrés
H ij (i!), 3o&/*)
g/l
gg.
módulo de corte, constante compleja
4567. 4'56 4164'16
k, 8
i
número entero, momento de inercia
constantes de resorte
constante de elasticidad generalizada
8
8
rigidez generalizada combinado
9
8
la rigidez compleja
rigideces eficaces
2)
8 c,
d
8
8
ij
rigidez en los coeficientes uir
jj
8
rigidez combinada de coeficientes uir
!g
la rigidez geométrica
!g
la rigidez geométrica generalizada
8
G ij
0#5 $n %& 00')
la rigidez geométrica en coeficientes uir
rigidez generalizada de n-simo modo normal
rigidez complejo de n-simo modo normal
9
0#5 $n %& 00')
A
longitud
A
factor de terremotos de excitación
me
masa, número entero
LISTA DE S ÍMBOLOS
(
MISA
m
en masa en los coeficientes uir
ij
me
de masa generalizada
me
masa uniforme / unidad de longitud
;
la magnitud de Richter, número entero
L
matriz de masa para los modos normales
xix
(*+
de masa generalizada de n-simo modo normal
M (t), M %=
#)
momento interno
>D?F
varios grados de libertad
£M (/0}£F
factor de cationes Magni
MM
0n0
modi escala de Mercalli
número entero, constante
nor#e
número de incrementos de tiempo, el n úmero de grados de libertad,
Entero
n o r t e
Ncr
N%)
N%@
#)
carga axial
carga axial crítica
fuerza axial interna (invariante en el tiempo)
fuerza axial interna (variable en el tiempo)
P#P/ ,e usuario a usuario cargar
,/g
,
ef
carga uniforme / unidad de longitud
carga efectiva
#.C'? Tinni#us bi&/#er/& carga aplicada
Pt.C/innitus ilateral vector de carga en el dominio del tiempo
#.C'? Tinni#us bi&/#er/& carga generalizada
12B,
la función de densidad de probabilidad
, %= ()
función de densidad de probabilidad conjunta
, %7) función de densidad de probabilidad condicional
, %
1=
2=:::=
m)
función de densidad de probabilidad multivariada
PAG
alimentacion
Pi ) vector de carga en el dominio de frecuencia
función de distribución de probabilidad
12B,
P/+ amplitud compleja coe ciente
PA G
n %#)
carga generalizada de n-simo modo normal en el dominio del tiempo
)
carga generalizada de n-simo modo normal en el dominio de frecuencia
n
%i*
PGA
RR-
valor m áximo de aceleración
Probabilidad
(X), %= ) funciones de densidad de probabilidad
o,
xx
i
constantes, las coordenadas generalizadas
LISTA DE SÍMBOLOS
%= #)
carga axial aplicada
Q i %#)
i ª función de fuerza generalizada
r
R R %#)
eceta:
R
xy
%)
..,oru e #odo / / c/mbi/r . #/n ,ron#o como e&&/
Spv
real relación de respuesta
función de autocorrelación
función de correlación cruzada
Mantener la
S1.
respuesta de aceleración espectral absoluta
S/,
respuesta de desplazamiento relativa espectral
Sii
Sij
Radio de giro
%i* )
%(o* )
funciones de densidad de potencia espectral
funciones de densidad espectral cruzada
Spa
respuesta espectral pseudo-aceleración
% = *)
pseudo-velocidad de respuesta espectral
Sv
% = *)
23
respuesta de velocidad relativa espectral
de primer modo de matriz de barrido
SC
condiciones del suelo
un gr/do de &iber#/d
solo grado de libertad
es*
+>
+R++
t, #
i
04
intensidad espectro de Housner
mecanismo de la fuente
raíz cuadrada de la suma de cuadrados
hora
duración del impulso
7
período de vibración, la energía cinética
J
matriz de vectores propios ortonormales
t6
período de n-simo modo normal
P
período de movimiento
TR
transmisibilidad
u21G
ó desplazamiento en direcci n x
+
g
energía de deformación
con#r
( desplazamiento en dirección x
con#r
desplazamiento dinámico
7
desplazamiento total
7
desplazamiento en el dominio del tiempo
,V
H
5 g
g
%#)
desplazamiento del terreno
aceleración del terreno en el dominio del tiempo
H
aceleración del terreno en el dominio de V
g
%i*)
la frecuencia
st
desplazamiento estático
LISTA DE S ÍMBOLOS
xxi
V
)
desplazamiento en dominio de la frecuencia
#)
fuerza cortante interna
78.
V%@
Energía potencial
9#7 / 95A velocidad de la onda aparente
C
V, V p,
s
V
velocidades de las ondas
de libre velocidad de la onda de V ff
campo
V
constante compleja
n
￦2GG@2I@II@
555
K
K
nc
J desplazamiento en dirección x
el trabajo, el peso
el trabajo de las fuerzas no conservativas
n;< el trabajo de carga axial
N
espacio de coordenadas, variable aleatoria
valor de significa
inc=gnit
%#)
incLgni#
(
n
valor cuadrático medio de
proceso aleatorio
espacio de coordenadas, variable aleatoria
espacio de coordenadas
( %#)
proceso aleatorio
variable aleatoria, espacio de coordenadas
%#) generalizarse desplazamiento de n-simo modo normal en el dominio del tiempo
%i*)desplazamiento generalizado de n-simo modo normal en la frecuencia
dominio
J
espacio de coordenadas
n
J %#) generaliza coordinar la respuesta en el dominio M de tiempo, M n, M generalizadas
5
coordenadas
coordinar la respuesta generalizada de dominio de la frecuencia
Z %i*)
, Relación de frecuencia parámetro constante de tiempo adimensional enteros, masa / unidad de área, unidad de peso coherencia
ij
%i*)funciones de
decremento, variación, residual e, v, desplazamientos virtuales log J
virtual 8 9#> trabajo 0' interno
+osotros trabajo virtual somos externo
Avanzar
st? desplazamiento estático P, > #00 Valor mínimo de la carga 0 efectiva >
{
intervalo de tiempo
xxii
LISTA DE SÍMBOLOS
9900intervalo de frecuencia
cepa normales
función de tiempo, con histéresis coef amortiguación longitud de onda ciente
G
factor de carga axial
yo
multiplicador de Lagrange
"n"
n º valor propio
ángulo de fase, pendiente, factor de rotación de la ductilidad
1. El Estado deeraa pagar el ! por ciento de la porcion no federal de los costos de s#eldos y el Condado pagaraa el $ porciento de la porcion no federal de los costos de s#eldo.
covarianzas
el coeficiente de Poisson
+o amortiguamiento relaciones
la amplitud del vector, la masa de volumen / unidad
%& '( ').
ciente de correlación coef
estrés normal
xff
Desviacion Estandar(±)
inc=gnit Varianza hora
ángulo de fase
1. El Estado deeraa pagar el ! por ciento de la porcion no federal de los costos de s#eldos y el Condado pagaraa el $ porciento de la porcion no federal de los costos de s#eldo.
n, n %)
desplazamiento modal
n º forma del modo
matriz de forma modal
+o
"n "
funciones de desplazamiento generalizadas
generalizada vector de desplazamiento
matriz de formas hechas asumidos
9)"n"
#, dn
%)
sin amortiguar las frecuencias naturales circulares
amortiguadas frecuencias circulares naturales
frecuencia circular de funci ón de fuerza armónica
distribución de la carga
capitulo
1
ASPECTOS GENERALES DE Estructural {0/}{1/} {2}DINÁMICA{/2}
1-1 objetivo fundamental de la dinámica estructural ANÁLISIS
El prop ósito principal de este libro es presentar m étodos para el an álisis de las tensiones y de reflexiones á desarrolladas en cualquier tipo dado de la estructura cuando se somete a una carga din mica arbitraria. En un sentido, este
objetivo puede ser considerado como un extensio n de m étodos estándar de análisis estructural, que en general tienen que ver con solamente la carga est ática, para permitir la consideraci ón de la carga din ámica también.En este contexto, la condición de carga est ática puede ser considerada simplemente como una forma especial de l oading din ámico.Sin emargo en el an1lisis de una estructura lineal es con@eniente distinguir entre la est1tica los componentes din1micos de la carga aplicada para e@aluar la respuesta a cada tipo de carga por separado luego superponer los dos componentes de étodos est áticos y din ámicos de an álisis son respuesta para obtener su efecto total .Cuando se tratan thusly, los m fundamentalmente diferentes en carácter.
A los efectos de esta presentaci ón, la dinámica término puede ser de nida simplemente como variable en el tiempo; por lo tanto una carga din ámica es cualquier carga de que su magnitud, dirección, y / o la posici ón varía con el tiempo.Del mismo modo, la respuesta estructural a una carga din ámica, es decir, las tensiones resultantes y DE reflexiones, es también de tiempo varían Ing, o dinámica.
1
2
Dinámica de las estructuras
Dos enfoques b ásicamente diferentes est án disponibles para la evaluaci ón estructural de re-respuesta a las cargas dinámicas: deterministas y no deterministas. La elección del método a utilizar en cada caso depende de c ómo se de ne la carga.Si la variación de momento de la carga se conoce por completo, a pesar de que puede ser altamente oscilatoria o ir-regular en car ácter, se denomina en este documento como una carga dinámica prescrito; y el análisis e ª de la respuesta de cualquier sistema estructural especificado a una carga din ámica prescrita se de ne como un análisis determinista.Por otro lado, si la variaci ón en el tiempo no se conoce completamente, pero puede ser de ne en un sentido estadístico, la carga se te rm ó una carga dinámica al azar; y su correspondiente análisis de la respuesta se de ne como un análisis no determinista.El énfasis principal en este texto se coloca en el desarrollo de m étodos de análisis dinámico determinista; Sin embargo, la cuarta parte est á dedicada a preparar una introducci ón a los métodos de análisis no determinista y la Quinta Parte contiene un cap ítulo que trata de la aplicaci ón de métodos de análisis no determinista en el campo de la ingeniería sísmica.
En general, la respuesta estructural a cualquier carga din ámica se expre sa, b ásicamente, en t érminos de los desplazamientos de la estructura. Por lo tanto, un an álisis determinista conduce directamente al desplazamiento tiempohistoria que corresponden a la historia de carga prescrita; cantidades respuesta relacionada r Othe, tales como tensiones deormaciones ueras internas etc. se otienen generalme nte como una ase secundaria del an1lisis.Por otra parte un
an1lisis no determinista proporc iona s=lo inormaci=n estadBsti ca sore el ng desplaamientos resultadoi de la carga
estadísticamente de Ned; la informaci ón correspondiente sobre las cantidades de respuesta relacionados a continuaci ón, se genera utilizando los procedimientos de an álisis no determinista independientes.
1-2 TIPOS DE CARGAS PRESCRITAS
Casi cualquier tipo de sistema estructural puede ser sometido a una u otra forma de carga din ámica durante su vida útil.Desde un punto de vista anal ítico, es conveniente dividir las cargas prescritas o deterministas en dos categorías básicas, periódicas y no peri ódicas. Algunas formas típicas de cargas y ejemplos de situaciones en las que se podrían desarrollar este tipo de cargas prescritas se muestran en la Fig. 1-1.
Como se indica en esta figura, una carga peri ódica exhibe la misma variación de tiempo sucesivamente para un gran n úmero de ciclos. El m ás simple de carga h peri ódica como la variación sinusoidal se muestra en la Fig. 1-1 una, que se denomina armónico simple; cargas de este tipo son caracter ísticas de efectos desequilibrada-masa en maquinaria rotativa.Otras formas de carga peri ódica, por ejemplo, las causadas por las presiones hidrodinámico géneros ted por una h élice en la popa de un buque o por los efectos de inercia en movimiento alternativo maquinaria, con frecuencia son m ás complejas.Sin embargo, por medio de un an álisis de Fourier cualquier carga periódica se puede representar como la suma de una serie de componentes arm ónicos simples, por lo que, en principio, el análisis de respuesta a cualquier carga peri ódica sigue el mismo procedimiento general.
Ó DESCRIPCI N GENERAL DE Structural Dynamics 3
Periódicas
rotación desequilibrada
"Un
máquina en la construcción
Rotación de la h élice en
+ popa del buque
No PERIODICO
Bomba de presión de la explosión de
C
contruyéndo
Terremoto del agua
#,
Tanque
Cargandohistorias
ejemplost ípicos
Figura 26.
Características y fuentes de cargas din ámicas típicas: (a) armónico simple; (B) compleja; (C) impulsiva; (D) de larga duraci ón.
Cargas no periódicas pueden ser tanto las cargas impulsivas de corta duración o formas generales de larga duración de las cargas.Una explosión o explosi ón es una fuente t ípica de una carga impulsiva; para este tipo de carga de corta duración, formas especiales simplificados de an álisis pueden ser em pleados-. Por otro lado, una, a largo duraci ón de la carga general, como podr ía ser el resultado de un terremoto puede ser tratada completamente generales de análisis dinámico.
únicamente por procedimientos
1-3 características esenciales de un problema din ámico
Un problema estructural din ámica se diferencia de su contraparte de carga est ática en dos aspectos importantes. La diferencia en primer lugar a tener en cuenta, por de nici ón, es la naturaleza variable en el tiempo del problema din ámico. Debido a que tanto la carga y la respuesta var ían con el tiempo, es evidente que un problema din ámico no tiene una solución única, como un problema est ático
4
Dinámica de las estructuras
hace; En cambio, el analista debe establecer una serie de soluciones que corresponden a todas las épocas de interés en la historia de respuesta. As í, un an álisis dinámico es claramente más compleja y requiere mucho tiempo de un análisis estático.
La segunda y m ás fundamental d istinction entre Prob-blemas est áticas y dinámicas se ilustra en la Fig. 1-2.Si una viga simple es sometida a una carga est ática ,@ como se muestra en la Fig. 1-2 a, sus momentos internos y cizallas y la forma des reflejada dependen s ólo esta carga y pueden ser calculados por los principios establecidos de equilibrio de fuerzas.Por otra parte, si se aplica dinámicamente la carga , (t), como se muestra en la Fig. B 1-2, los cementos Visualizaciones Las resultantes de la viga depende no s ólo de esta carga, sino tambi én de las fuerzas de inercia que se oponen a las aceleraciones que los producen.As í, la corresponden-ing momentos internos y cizallas en el haz debe equilibrar no s ólo la fuerza aplicada externamente , %#)@ sino también las fuerzas de inercia resultantes de las aceleraciones de la viga.
Las fuerzas de inercia que se resisten a las aceleraciones de la estructura de esta forma son la caracter ística distintiva más importante de un problema de din ámica estructural. En general, si las fuerzas de Al Inerti representan una porción significativa de la carga total, equilibrada por las fuerzas el ásticas internas de la estructura, entonces el carácter dinámico del problema debe tenerse en cuenta en su soluci ón.Por otro lado, si los movimientos son tan lento que las fuerzas de inercia son insignificantemente peque ño, el an álisis de la respuesta para cualquier instante de tiempo deseado puede ser hecho por procedimientos de an álisis estructural est áticas a pesar de que la carga y la respuesta puede ser variable en el tiempo.
1-4 MÉTODOS DE DISCRETIZACIÓN
Lumped-Masa Procedimiento
Un análisis del sistema din ámico en la Fig. 1-2 b se hace obviamente complica por el hecho de que las fuerzas de inercia son el resultado de desplazamientos variables en el tiempo estructu rales que a su vez est án en influido por las magnitudes de las fuerzas de inercia.Thi s ciclo cerrado de causa y efecto puede ser atacado directamente s ólo mediante la formulación del problema en t érminos de ecuaciones diferenciales.Además, debido a que la masa de la viga se distribuye
Pt.C/innitus ilateral
p
Las fuerzas de inercia
"Un
+
Figura 26.
Diferencia básica entre las cargas est áticas y dinámicas: (a) la carga estática; (B) la carga dinámica.
DESCRIPCI ÓN GENERAL DE Structural Dynamics
5
continuamente a lo largo de su longitud, los desplazamientos y aceleraciones deben ser de nidas para cada punto a lo largo del eje si las fuerzas de inercia son desconectar completamente definido. En este c aso, el análisis debe ser formulada en términos de ecuaciones diferenciales parciales porque la posici ón a lo largo del lapso de tiempo, as í como deben ser tomadas como variables independientes.
Sin embargo, si se supone la masa de la viga que se concentra en puntos discretos, como se muestra en la Fig. 1-3, el problema se convierte en analítica ed enormemente simplificado debido a las fuerzas de inercia se desarrollan sólo en estos puntos masivos. En este caso, es necesario de nir los desplazamientos y aceleraciones solamente en estos lugares discretos.
ú El nlasmero de componentes de desplazamiento que debe que ser considerado con el fin los efectos de todas fuerzas de inercia significativa de una estructura puede denominarse el de representar número de grados de libertad dinámicos de la estructura.Por ejemplo, si las tres masas en el sistema de la fig. 1-3 son totalmente concentrado y se ven limitados por lo que los puntos de masa correspondientes traducen s ólo en una direcci ón vertical, esto se llama un sistema de tres grados de libertad (DOF 3).Por otro lado, si estas masas no est án totalmente concentrados para que dispongan de inercia de rotaci ón infinita, los desplazamientos giratorios de los tres puntos serán también tienen que ser considerados, en cuyo caso el sistema cuenta con 6 GDL. Si orciones natu dist aiales de la viga son significativo, los desplazamientos de traducción paralelo con el eje del haz tambi én resultará dando al sistema 9 DOF. Más generalmente, si la estructura se puede deformar en el espacio de tres dimensiones, cada masa tendrá 6 DOF; a continuaci ón, el sistema tendrá 18 DOF. Sin embargo, si las masas est án totalmente concentrados para que no inercia de rotación está presente, el sistema de tres dimensiones tendr á entonces 9 DOF. Sobre la base de estas consideraciones, es evidente que un sistema con distribuye de forma continua en masa, como en la Fig. 1-2 b, tiene una noche en el n úmero de grados de libertad.
Los desplazamientos generalizados
La idealización agrupado-masa se ha descrito anteriormente proporciona un medio simple de limitar el número ó á á de grados de libertad que deben ser considerados en la realizaci n de un an lisis din mico de un sistema estructural arbitraria.El procedimiento de formaci ón de grumos es m ás eficaz en el tratamiento de sistemas en los que una gran proporción de la masa total de hecho se concentra en unos pocos puntos discretos.A continuaci ón, la masa de la estructura que soporta estas concentraciones puede ser incluido en los grumos, lo que permite la estructura en s í para ser considerado peso.
Sin embargo, en casos en los que la masa del sistema est á bastante uniformemente distribuida
Pt.C/innitus ilateral
%C) '( #094 .
%C) '( #094.
%C) '( #094.
Figura 26.
idealización de masas concentradas de un simple
ED:
ED:
ED:
viga
6
Dinámica de las estructuras
a lo largo de, un enfoque alternativo para limitar el n úmero de grados de libertad puede ser preferible. Este procedimiento se basa en el supuesto de que la forma reflejada de de la estructura se puede expresar como la suma de una serie de patrones de desplazamiento ed específicos; estos patrones se con@ierten entonces en el desplaamiento coordenadas de la estructura.Un simple eDemplo de este enoue es la representaci=n de la serie trigonomFtrica de la de relei=n de un 6a simple. En este caso la relei=n de orma puede ser epresado como la suma de las contribuciones de onda senoidal ependent ind, como se muestra en la Gig. 9>* o en orma matem1tica
1
n %) b
n
,ec/do A
9)
i n c *g n i t
+o
En general, cualquier forma arbitraria compatible con las condiciones de apoyo prescritos de la viga simple puede ser representado por este en serie infinita de componentes de onda sinusoidal. Las amplitudes de las formas de onda senoidal pueden ser considerados como los TES desplazamiento coordina La del sistema, y el n úmero infinito de grados de libertad del haz real est án representados por la noche en n úmero de t érminos incluidos en la serie.La ventaja de este enfoque es que una buena aproximaci ón a la forma real de la viga se puede lograr ya truncado serie de componentes de onda sinusoidal; por tanto, una aproximación de 3 DOF contendría sólo tres términos de la serie, etc.
7>9
inc=gnit
<
b sen
πx
9900 ¡A
11080
2πxb
2
pecado
¡A
25)
3πx
b3
¡A
pecado
25)
25)
Figura 26.
representación-serie de senos de una simple desviaci ón del rayo.
DESCRIPCI ÓN GENERAL DE Structural Dynamics
7
Este concepto se puede generalizar m ás al reconocer que las form as de onda senoidal usados como los patrones de desplazamiento asumidos eran una elecci ón arbitraria en este ejemplo. En general, cualquier forma n %)@ que son compatibles con las condiciones geom étricas de apoyo reglamentarias y que mantengan la necesaria continuidad de los desplazamientos internos puede ser asumido.Por lo tanto una expresi ón generalizada para los desplazamientos de cualquier estructura unidimensional podría ser writt en
inc*gnit
%)
M
nn
%)
"n"
Para cualquier conjunto asumido las funciones de desplazamiento %)@ la forma resultante de
(1-2)
la estructura depende de los t érminos de amplitud M n+ que se har á referencia a las coordenadas generalizadas como.El número de patrones de forma asumidos repre senta el n úmero de grados de libertad considerados en esta forma de idealización.En general, una mayor precisión se puede lograr en un análisis dinámico para un n úmero dado de GEIESE d de libertad usando el método de la funci ón de forma de idealizaci ón en lugar del enfoque agrupadomasa.Sin embargo, también debe reconocerse que se requiere un mayor esfuerzo de c álculo para cada grado de libertad cuando se emplean
tales coordenadas generalizadas.
El concepto de elementos finitos
Un tercer m étodo o f expresar los desplazamientos de cualquier estructura dada en t érminos de un n úmero finito de desplazamiento discreto coordenadas, que combina ciertas caracter ísticas tanto de la masa concentrada y los procedimientos generalizado coordenada, ahora se ha convertido en popular.Este enfoque, que es la base del método Nite-elemento de an álisis de continua estructural, proporciona una idealizaci ón conveniente y fiable del sistema y es particularmente eficaz en los an álisis digital ordenador.
El tipo de elemento finito-de idealizaci ón es aplicable a estructuras de todo tipo: estructuras enmarcadas, que comprenden los conjuntos de los miembros de una dimensi ón (vigas, columnas, etc.); avión de estr és, estructuras Plate y de tipo concha, que se componen de componentes bidimensionales; y las identificaciones de sol tridimensionales generales.Para simplificar, s ólo el tipo unidimensional de componentes estructurales ser á considerado en la presente discusi ón, pero la extensi ón del conce pto de dos y tres dimensiones elementos estructurales es sencillo.
La etapa primera de la noche-eleme nt idealización de cualquier estructura, por ejemplo, la viga de la figura. 1-5, consiste en dividir en un n úmero apropiado de segmentos o elementos, como se muestra.Sus tama ños son arbitrarias; es decir, pueden ser todos del mismo tama ño o todas diferentes. Los extremos de los padres segm, en las ue est1n interconectados son llamados puntos nodales.Los desplazamientos de estos puntos nodales se convierten entonces en la generalizarse coordenadas de la estructura.
8
Dinámica de las estructuras
un
1
|
d (ej enero : 01)
C
.... .... . .2
3
{
4
5
+
7.
C 25 )
7.
7. 25 )
+
C
990 0
#5)
θ
= (d 3
dx
v) =
1 3
f
6
7
Figura 26.
Típica del haz de elementos finitos coordina.
La forma de reflexi ón de la estructura completa ahora se puede expresar en t
érminos de estos es coordinat
generalizadas por medio de un conjunto apropiado de funciones dis-colocaci ón asumidos, utilizando una expresi ón similar a la ecuación.1) En este caso, sin embargo, las funciones de desplazamiento se denominan funciones de interpolación, ya que de nen las formas producidas por especificado dis nodales colocaciones.Por ejemplo, la Fig. 1-5 se muestran las funciones de interpolaci ón asociados con dos grados de libertad de punto nodal 3, que producen desplazamientos transversales en el plano de la figura. En principio, cada funci ón Interpo-mento podría ser cualquier curva whic h es continua internamente, y que satisface la condici ón de desplazamiento it geom étrica impuesta por el desplazamiento nodal.Para los elementos de una dimensi ón que es c ómodo de usar las formas que se producen por estos mismos desplazamientos nodales en un bea uniforme m.Se muestra m ás adelante en el cap ítulo 10 de que estas funciones de interpolación son polinomios hermitianos c úbicos.
Debido a que las cciones diversión de interpolación utilizados en este procedimiento satisfacen las requerirmentos indicados en el apartado anterior, debe ser evidente que las coordenadas utilizado en el m étodo finito de elementos son sólo formas especiales de coordenadas generalizadas.Las ventajas de este procedimiento especial son los siguientes:
(1) El número deseado de coordenadas generalizadas se puede introducir simplemente dividiendo la estructura en un número apropiado de segmentos.
(2) Dado que las funciones de interpolaci ón elegidos para cada segmento pueden ser id énticos, los cálculos se simplificado.
(3) Las ecuaciones que son desarrollados por este enfoque son en gran parte no acoplada porque cada desplazamiento nodal s ólo afecta a los elem entos vecinos; por lo tanto el proceso de soluci ón es ed enormemente simplificado.
En general, el enfoque infinito de elementos proporciona el procedimiento ciente para expresar la mayor ía de los desplazamientos arbitrarios con guraciones estructurales por medio de un conjunto discreto de coordenadas.
DESCRIPCI ÓN GENERAL DE Structural Dynamics
9
1-5 Formulación de las e cuaciones de movimiento
Como se mencion ó anteriormente, el objetivo principal de un an álisis estructural-dinámica determinista es la evaluación del desplazamiento de tiempo historias de una estructura dada sub-proyectada a una carga variable en el tiempo dado. En la mayor ía de los casos, un an álisis aproximado en volvi-ng s=lo un nImero limitado de grados de liertad proporcionen eactitud cienteJ Por lo tanto el prolema puede ser reducido a la determinaci=n de los tiempos de 6istorias de estos componentes de desplaamiento se>leccionado.as epresiones matem1ticas de nir los ele- displac din1micos se llaman las ecuaciones de movimiento de la estructura, y la soluci ón de estas ecuaciones de movimiento de desplazamiento proporciona los tiempo-historia requeridos.
La formulaci ón de las ecuaciones de movimiento de un sistema din ámico es posiblemente la fase m ás importante, ya veces el más difíciles, de todo el procedimiento de an álisis.En este texto, se emplear án tres métodos diferentes para la formulación de estas ecuaciones, cada uno con ventajas en el estudio de las clases especiales de problemas. El s concepto fundamental asociado con cada uno de estos m étodos se describen en los p árrafos siguientes.
El equilibrado directa usando el principio de D'Alembert
Las ecuaciones de movimiento de cualquier sistema din ámico representan expresiones de la segunda ley de Nueva toneladas de movimiento, lo que indica que la tasa de cambio del momento de cualquier part ícula de masa m es igual a la fuerza que act úa sobre él.Esta relación se puede expresar matem áticamente por la ecuación diferencial
d %eO enero : 51)
Pt.C/innitus ilateral d#
, 7 m e d#
1)
donde p %#) es el vector de la fuerza aplicada y v %#) es el vector de posici ón de la masa de part ículas m./r/ &/ m/(orP/ de &os ,rob&em/s de &/ dinmic/ es#ruc#ur/& se ,uede su,oner ue &/ m/s/ no &o $/ce variar con el tiempo, en cuyo caso la ecuación. (1-3) se puede escribir
, 7
p %#) me#ro
d# 2
m H v %#)
"Un
donde los puntos representan la diferenciación con respecto al tiempo. La ecuación (1-3a), indicat-ción que la fuerza es igual al producto de la masa y la aceleración, también puede escribirse en la forma
p %#)
m H v %#) 0
N
en cuyo caso, el segundo t érmino m H v %#) se llama la fuerza de inercia resistiendo la ACELER-ación de la masa.
El concepto de que una masa se desarrolla una fuerza inercial proporcional a su aceleraci ón y oponi éndose a que se conoce como el principio de D'Alembert.Es un dispositivo muy conveniente en problemas de dinámica estructural, ya que permite que las ecuaciones de movimiento para ser
10
dinámica de las estructuras
expresado como ecuaciones de equilibrio din ámico. La fuerza p %#) se puede considerar para incluir muchos tipos de fuerzas que actúan sobre la masa: fijaciones el ásticas que se oponen a los desplazamientos, las fuerzas viscosas que resisten velocidades y cargas de forma independiente de los ex-terno nidas.As í, si se introduce una fuerza de inercia que se resiste a la aceleración, la ecuaci=n de mo@imiento es simplemente una epresi=n de euilirio de todas las ueras ue actIan sore la masa.En muc6os prolemas sencillos la orma m1s directa con@eniente de ormular las ecuaciones de mo@imiento es por medio de tales euiliraciones directos.
Principio de desplazamientos virtuales
Sin embargo, si el sistema estructural es bastante complejo que implica una serie de puntos de masa interconectadas o cuerpos de tama ño finito, el equilibrado directa de todas las fuerzas que act úan en el sistema puede ser culto dif. Con frecuencia, L a diversas fuerzas involucradas pueden f ácilmente ser expresada en t érminos de los grados de libertad de desplazamiento, pero sus relaciones de equilibrio puede ser oscuro.En este caso, el principio de desplazamientos virtuales se puede utilizar para formular las ecuaciones de movimiento sustituto sa para las relaciones de equilibrio directos.
El principio de desplazamientos virtuales puede expresarse de la siguiente manera. Si un sistema que est
á en
equilibrio bajo la acción de un conjunto de fuerzas aplicadas externamente se somete a un desplazamiento virtual, es decir, un patr ón de desplazamiento compatible con las limitaciones del sistema, el trabajo total realizado por el conjunto de fuerzas será cero.Con este principio, es evidente que la desaparici ón del trabajo realizado durante un desplazamiento virtual es equivalente a una declaraci ón d e equilibrio.Por lo tanto, las ecuaciones de respuesta de un sistema din ámico se pueden establecer por primera identificación de todas las fuerzas que act úan sobre las masas del sistema, incluidas las fuerzas de inercia de nidos de acuerdo con el principio de D'Alembert. Entonces, las ecuaciones de la moti
sobre se
obtienen mediante la introducción de un patr ón separado desplazamiento virtual correspondiente a cada grado de libertad e igualando el trabajo realizado a cero.Una ventaja importante de este enfoque es que las contribuciones del trabajo virtual son cantidades escalares y se pueden añadir algebraicamente, mientras que las fuerzas que act úan sobre la estructura son vectorial y sólo pueden superponerse vectorialmente.
Enfoque variacional
Otra forma de evitar los problemas de establecer las ecuaciones vectoriales de brium equili es hacer uso de cantidades escalares en una forma variacional conocido como el principio de Hamilton.Las fuerzas de inercia y elásticos no est án implicados de forma expl ícita en este principio; En su lugar, se utilizan las variaciones de los é í é tderminos energ a cinescalares, tica y potencial. sobre tiene la ventaja utilizados de tratar solamente con las los cantidades energíde a puramente mientrasEste queformulati las fuerzas y desplazamientos para representar efectos correspondientes en el procedimiento del trabajo virtual son todos vectorial en car ácter, a pesar de que los t érminos de trabajo en sí son escalares.
Es de interés señalar que el principio de Hamilton también se puede aplicar a la est ática
DESCRIPCI ÓN GENERAL DE Structural Dynamics
de problemas. En este caso, se reduce con el principio bien conocido de la energ utilizado Ly en los análisis estáticos.
11
ía potencial m ínima tan amplio
Se ha demostrado que la ecuaci ón de movimiento de un sistema din ámico puede ser formulado por cualquiera de tres procedimientos distintos. El enfoque m ás sencillo es establecer directamente el equilibrio din ámico de todas las fuerzas de la actina G en el sistema, teniendo en cuenta los efectos de la inercia mediante el principio de D'Alembert.En los sistemas más complejos, sin embargo, especialmente los que implican la masa y elasticidad distribuida sobre regiones finitos, una equilibración vectorial directa puede ser culto DIF, y wo rk o formulaciones de energ ía que implican s ólo cantidades escalares puede ser m ás conveniente.La m ás directa de estos procedimientos se basa en el principio de desplazamientos virtuales, en las que se eval úan de forma expl ícita las fuerzas que actúan sobre el sistema, pero los ns equatio de movimiento se derivan de la consideraci ón del trabajo realizado durante los desplazamientos virtuales correspondientes.Por otra parte, la formulaci ón de energía alternativa, que se basa en el principio de Hamilton, no hace uso directo de las fuerzas de inercia o conservadores un nexión en el sistema; los efectos de estas fuerzas est án representadas no por variaciones de las energ ías cin ética y potencial del sistema.Se debe reconocer que los tres procedimientos son completamente equivalentes y conducen a ecuaciones id énticas de movimiento. El método para ser utilizado en cualquier caso dado es en gran parte una cuestión de conveniencia y preferencia personal; la elecci ón generalmente depender á de la naturaleza del sistema dinámico en consideración.
ORGANIZACIÓN 1-6 DEL TEXTO
Este libro, "Dinámica de Estructuras," se ha escrito en cinco partes.Primera Parte presenta un amplio tratamiento del sistema de un solo grado de libertad (un grado de libertad) que tiene coordenadas s ólo un desplazamiento independiente. Este sistema es estudiado en gran detalle por dos razones: (1) t él comportamiento dinámico de muchas estructuras prácticas se pueden expresar en t érminos de una sola coordenada, de modo que este tratamiento SDOF se aplica directamente en esos casos, y (2) la respuesta de estructuras lineales complejas se pueden expresar como la suma de las respuestas o serie fa de los sistemas de un grado de libertad de manera que este mismo tratamiento una vez m ás se aplica a cada sistema en la serie.Por lo tanto, las t écnicas de an álisis SDOF proporcionan la base para el tratamiento de la gran mayoría de los problemas estructurales dinámicos.
Sistemas de la segunda parte se trata de par ámetros discretos de varios grados de libertad (MDOF), es decir, sistemas para los cuales sus respuestas din ámicas pueden expresarse en t érminos de un n úmero limitado de coordenadas de desplazamiento.Para el análisis de los sistemas linealmente elásticas, se presentan los procedimientos para la evaluación de sus ropiedades p en un estado libre de vibraciones, es decir, para evaluar formas de los modos normales y las frecuencias correspondientes.Entonces, dos m étodos generales para el c álculo de las respuestas din ámicas de estos sistemas para arbitrariamente se dan cargas especificada: (1) haciendo uso de superposici ón mode- en el que la respuesta total se expresa como la suma de las respuestas individuales en los diversos modos normales de vibraci ón, cada uno de los cuales se puede determinar mediante procedimientos de an álisis del sistema de SDOF, y
12
dinámica de las estructuras
(2) resolver directamente las ecuaciones de movimiento MDOF en su forma srcinal, acoplada. Por último, la formulación variacional del problema estructural din ámico se presenta y paso a paso las t écnicas de integración numérica se formulan para resolver urgentemente ctly tanto un grado de libertad y las ecuaciones de movimiento que representan MDOF ya sea sistemas lineales o no lineales.
Linealmente sistemas dinámicos que tienen propiedades elásticas distribuidos de forma continua se consideran en la tercera parte.Tales sistemas tienen un n úmero finito de grados de libertad que requieren que sus ecuaciones de movimiento escribirse en forma de ecuaciones diferenciales parciales. Sin embargo, se sh propietario que el procedimiento de modo de superposici ón es todav ía aplicable a estos sistemas y que las soluciones pr ácticas se puede obtener teniendo en cuenta s ólo un número limitado de los modos m ás bajos de la vibración.
Cuarta parte cubre el tema general de las vibraciones aleatorias de Li cerca de los sistemas de un grado de libertad y MDOF.Dado que las cargas consideradas pueden caracterizarse s ólo en un sentido estad ístico, las respuestas correspondientes se caracterizan de manera similar. Para proporcionar una base para el tratamiento de estos sistemas, se dan introducciones a la teor ía de la probabilidad y procesos estocásticos.
ingeniería sísmica, con un enfoque especial en la respuesta estructural y perfor-mance, es el tema de la quinta parte. Se da una muy breve reseña de sismología sobre las causas y características de los terremotos, junto con un an álisis de los movimientos del suelo que producen.Los métodos se dan a continuación, para evaluar la respuesta de las estructuras de estos movimientos utilizando procedimientos tanto deterministas y no deterministas.
PARTE
l SISTEMAS solo grado de libertad
capitulo
.. .. .2 ..... Analysis DE LIBRE
VIBRACIONES
2-1 COMPONENTES DEL SISTEMA din ámica básica
Las propiedades físicas esenciales de cualquier sistema hanical estructural o mec el ástico lineal sometido a una fuente externa de excitaci ón o la carga dinámica son su masa, las propiedades el ásticas (exibilidad o rigidez), y el mecanismo de pérdida de energía o de amortiguación.En el modelo más simple de un sistema de SDOF, cada una de estas propiedades se supone a concentrarse en un único elemento físico.Un bosquejo de un sistema de este tipo se muestra en la Fig. 2-1 a.
Toda la masa m de este sistema está incluido en el bloque r ígido que es con-tensado por los rodillos de modo que puede moverse s ólo en la traducci ón sencilla; por lo tanto, la única de coordenadas de desplazamiento %#) por completo de ne su posici ón.La resistencia elástica al desplazamiento es proporcionada por el resorte pesar tless de rigidez 8@ mientras que el mecanismo de p érdida de energ ía est á representado por el amortiguador c.;/ c/rg/ dinmic/ e#ern/ ,roducciLn de &/ res,ues#/ de es#e sis#em/ es &/ !uerJ/ , @ariale en el tiempo (t).
7
7
C
f
me
D
estirar
(t)
Pt.C/innitus ilateral
f
S
Pt.C/innitus ilateral
(T)
k
"Un
+
Figura 26.
Sistema de un grado de libertad idealizada: (a) los componentes básicos; (B) las fuerzas en equilibrio.
15
16
dinámica de las estructuras
2-2 ecuación de movimiento del sistema b ásico DINÁMICO
La ecuaci ón de movimiento para el sencillo sistema de la Fig. 2-1 a es más fácilmente para-formularse expresando directamente el equilibrio de todas las fuerzas que act úan sobre la masa usando el principio de D'Alembert.Como se muestra en la Fig. 2-1 b, las fuerzas que actúan en la direcci ón del grado de desplazamiento de la libertad se la carga , %#) y las tres fuerzas de resistencia que resultan de la moci ón, es decir, la fuerza de inercia ! %#)@ la fuerza de amortiguaci ón F aplicada , %#)@ y la fuerza de resorte ! simplemente una expresión del equilibrio de estas fuerzas como dado por
! I %#) ! , %#) !
S
%#) , %#)
S
I
(t).;/ ecu/ciLn de movimiento es
25)
Cada una de las fuerzas representadas en el lado izquierdo de esta ecuaci ón es una funci ón del desplazamiento %#) o uno de sus derivados de tiempo.El sentido positivo de estas fuerzas ha sido elegido deliberadamente para que se corresponda con el sentido negativo de desplazamiento de manera que se oponen a una carga aplicada positivo.
ó De conformidad con el principio de D'Alembert, la fuerza de inercia es el producto de la masa y la aceleraci n
! I %#) H m %#)
"Un
Suponiendo un mecanismo de amortiguamiento viscoso, la fuerza de amortiguaci ón es el producto de la amortiguación c constante y la velocidad
!
,
%#) CV %#)
N
ú á Por ltimo, la fuerza el stica es el producto de la rigidez del resorte y el desplazamiento
!
S
%#) 8 %#)
C
Cuando las ecuaciones. (2-2) se introducen en la ecuación. (2-1), la ecuación de movimiento para este sistema de un grado de libertad se encuentra para ser
m H %#) c %#) 8 %#) , %#)
25)
Establecer un procedimiento de formulaci ón alternativa, es instructivo para desarrollar esta misma ecuaci ón de movimiento por un enfoque de trabajo virtual. Si se da la masa un desplazamiento virtual compatible con las limitaciones del sistema, el trabajo total realizado por el sistema de equilibrio de fuerzas en la Fig. 2-1 b debe ser igual a cero, como se muestra por
! I %#) ! , %#) !
S
%#) , %#) 5
11080
en la que los signos negativos resultan del hecho de que las fuerzas asociadas act úan opuesto al sentido del desplazamiento virtual. Sustituyendo las Ecs. (2-2) en la Ec. (2-4) y factorizar conduce a
25)
H m %#) c %#) 8 %#) , %#) 5
AN ÁLISIS DE VIBRACIONES LIBRES
17
Desde es distinto de cero, la cantidad soporte en esta ecuaci ón debe ser igual a cero, dando as í a la misma ecuación de movimiento como se muestra por la ecuaci ón.11080 Mientras que una formulación del trabajo virtual no tiene ninguna ventaja de este sistema simple, ser á encontrado muy útil para los tipos m ás generales de los sistemas de un grado de libertad tratados posteriormente.
2-3 Influencia de las fuerzas gravitacionales
Consideremos ahora el sistema mostrado en la Fig. 2-2 a, que es el sistema de la fig. 2-1 una gira a través de I5 de modo que la fuerza de la gravedad act úa en la dirección del desplazamiento.En este caso, el sistema de fuerzas que act úan en la direcci ón del grado de desplazamiento de la libertad es ese conjunto se muestra en la Fig. 2-2 b.Usando las ecuaciones. (2-2), el equilibrio de estas fuerzas est á dada por
m H %#) c %#) 8 %#) , %#) K
25)
donde K es el peso del bloque r ígido.
Sin embargo, si el desplazamiento total %#) se expresa como la suma del desplazamiento est ático S st causada por el peso K más la dinámica de desplazamiento adicional %#) como se muestra en la Fig. 2-2 c, es decir,
%#) S st con#r%#)
25)
ó á a continuaci n, la fuerza del resorte est dada por
!
S
%#) 8 %#) 8 S st 8
con#r %#)
25)
La introducción de la ecuación. (2-8) (2-6) en los rendimientos
H m %#) c %#) 8 S st 8
C
k
con#r %T) , %#) K
1)
me
￦#''#5KKK5000
7
Pt.C/- innitus ilateral
"Un
f
S
(T) f
D
(t)
estirar
￦#''#5KKK5000
7
Pt.C/- innitus ilateral
+
f
S
(T) f
D
(t)
estirar
Estático ￦233,259,995,0 00
∆
st
=
desplazamiento
1)
Pt.C/innitus ilateral
7
C
Figura 26.
Influencia de la gravedad en el equilibrio del grado de libertad.
18
dinámica de las estructuras
y observando que 8 S st Conduce a K
m H %#) c %#) 8 %#) , %#)
11080
Ahora diferenciando la Ec. (2-7) y observando que S st no varía con el tiempo, es
/r# e
H
evidente que H %#) %#) y %#) %#) de modo que la ecuación. (2-10) puede escribirse
H
/r# e
11080
m %#) c %#) 8 %#) , %#)
La comparaci ón de las ecuaciones. (2-11) y (2-3) demuestra que la ecuaci ón de movimiento ex-presiona con referencia a la posición de equilibrio estático del sistema dinámico no se ve afectada por las fuerzas de gravedad. Por esta razón, los desplazamientos en todos los futuros discus-siones Wil l ser referenciados desde la posici ón de equilibrio estático y se denotar án %#) (es decir, sin la barra superior); los desplazamientos que se determinan representarán respuesta dinámica.Por lo tanto, el total de reflexiones, las tensiones, etc. se obtienen sumando las cantidades corres encharcamiento estáticas a los resultados del an álisis dinámico.
2-4 INFLUENCIA DE SOPORTE DE EXCITACI ÓN
Esfuerzos dinámicos y de reflexiones pueden ser inducidas en una estructura no s ólo por una carga aplicada variable en el tiempo, como se indica en las Figs. 2-1 y 2-2, pero tambi én por los movimientos de sus puntos de apoyo.Ejemplos importantes de tales excitaci ón son los movimientos de los cimientos de un edificio causado por un terremoto o movimientos del soporte de base de una pieza del equipo debido a las vibraciones del edificio en el que se aloja. Un modelo
e d simpliicado del problema terremoto-excitación se muestra en la Fig. 2-3, en el que el
movimiento horizontal del suelo causada por el evento est á indicada por el desplazamiento estructura con respecto al eje de referencia fijo.
g
%#) de la base de la
La viga horizontal en este marco se supone que es r ígida y que incluya toda la masa en movimiento de la estructura. ón vertical (axial), y la resistencia al
Las columnas verticales se supone que son sin peso y inextensible en la direcci
desplazamiento de la viga proporcionada por cada columna est á representada por su constante d e resorte 8 2.AsP ,ues@ &/ m/s/ #iene un so&o gr/do de &iber#/d@ (t), que se asocia con exure columna; el amortiguador c proporciona una
resistencia a la velocidad proporcional al movimiento en esta coordenada.
Como se muestra en la Fig. 2-3 b, el equilibrio de fuerzas para este sistema se puede escribir
como
! I %#) !
,
%#) !
S
%#) 5
1)
en el que la amortiguación y las fuerzas el ásticas pueden expresarse como en las ecuaciones. 25) Sin embargo, la fuerza de inercia en este caso se da por
! %#) m H
l
-
%#)
25)
ANÁLISIS DE VIBRACIONES LIBRES
v
t
19
(t)
7 E ej
me
F ix e d re fe r en c e
k
k
25)
. . . . . . . . . .2
v
g
25)
C
(t)
"Un
.. .. .. .. .. 2
estirar
f
f
S
(T)
f
D
(T)
25)
S
(T)
1)
.... .... . .2
..... ..... 2
+
Figura 26.
Influencia de la excitaci ón de apoyo en el equilibrio del grado de libertad: (a) el movimiento del sistema;(B) fuerzas de equilibrio.
donde t %#) representa el desplazamiento total de la masa del eje de referencia fijo.Sustituyendo la inercia, de amortiguación, y las fuerzas el ásticas en la ecuaci ón. (2-12) los rendimientos
m H
-
%#) c %#) 8 %#) 5
11080
Antes de esta ecuación se puede resolver, todas las fuerzas se expresan en t érminos de una sola variable, que se puede lograr haciendo notar que el movimiento total de la masa se puede expresar como la suma del movimiento del suelo y que debido a la distorsión de columna, es decir, ,
t
%#) %#)
g
%#)
1)
Expresando la fuerza de inercia en t érminos de los dos componentes de aceleraci ón obtenidos por doble diferenciación de la ecuación. (2-15) y sustituyendo el resultado en la ecuaci ón. (2-14) los rendimientos
H m %#) m H
g
%#) c %#) 8 %#) 5
25)
o, ya que la aceleraci ón del suelo representa la entrada din ámica especificado a la estructura, la misma ecuaci ón de movimiento puede más convenientemente ser escrito
H m %#) c %#) 8 %#) m H
g
%#) , eff %#)
11080
En esta ecuación, , eff %#) denota la carga efectiva de apoyo de excitaci ón; en otras palabras, las deformaciones estructurales causados por aceleración del suelo H g %#) son exactamente los mismos que los que ser ía producida por una carga externa , %#) igual a m H g (t).E& signo neg/#io en es#e e!ec#i/ c/rg/ de de!iniciLn indic/ ue &/ !uerJ/ e!ec#i/ se o,one /& sen#ido de &/ /ce&er/ciLn de& sue&o. En &/ ,rc#ic/@ es#o #iene ,oc/ signi!ic/ciLn en &/ medid/ en
20
dinámica de las estructuras
como el ingeniero es por lo general s ólo está interesado en el valor absoluto máximo de (t); en este caso, el signo menos puede ser retirado de la expresión de carga eficaz.
Una forma alternativa de la ecuación de movimiento se puede obtener mediante el uso de la ecuaci ón. (2-15) y la expresión de la ecuaci ón. (2-14) en t érminos de derivados, dando
t
%#) y sus derivados, en lugar de en t érminos de %#) y sus
m H
-
t
t
%#) c %#) 8 %#) CV g %#) 8
g
%#)
25)
ó ó En esta formulaci n, la carga efectiva que se muestra en el lado derecho de la ecuaci n depende de la velocidad y el desplazamiento del movimiento s ísmico, y la respuesta obtenida mediante la resoluci ón de la ecuaci ón es el desplazamiento total de la masa de un NCE refere fijo en lugar de desplazamiento relativo a la base móvil.Soluciones rara vez se obtienen de esta manera, sin embargo, porque el movimiento terremoto generalmente se mide en t érminos de las aceleraciones y el registro s ísmico tendría que ser integrada una vez y dos veces para evaluar las contribuciones efectivas de carga debido a la velocidad y el desplazamiento de la tierra.
2-5 ANÁLISIS DE VIBRACIONES no amortiguado GRATIS
Se ha demostrado en las secciones anteriores que la ecuaci ón de movimiento de un sistema simple de masa y resorte con amortiguación se puede expresar como
m H %#) c %#) 8 %#) , %#)
1)
en la que %#) representa la respuesta dinámica (es decir, el desplazamiento desde la posición de equilibrio estático) y , %#) representa la carga efectiva que act úa sobre el sistema, ya sea aplicados directamente o como resultado de movimientos de apoyo.
La solución de la ecuaci ón. (2-19) se obtiene considerando rst forma homog énea con el lado derecho igual a cero, es decir,
25)
H m %#) c %#) 8 %#) 5
Movimientos que tienen lugar sin la fuerza aplicada se denominan vibraciones libres, y es la respuesta libre de la vibración del sistema que ahora se examina.
La respuesta libre de vibraciones que se obtiene como la soluci ón de la ecuaci ón. (2-20) se puede expresar de la siguiente forma:
11080
%#) e, %s#)
donde es una constante compleja arbitraria y e, %s#) e a menudo será conveniente utilizar números complejos
st
denota la función exponencial.En las discusiones posteriores
AN ÁLISIS DE VIBRACIONES LIBRES
21
en la expresi ón de las cargas din ámicas y respuestas; por lo tanto es útil ahora que brie y revisar el concepto de número complejo.
Teniendo en cuenta RST constante compleja @ esto puede representarse como un vector representa gráficamente en el plano complejo, como se muestra en la Fig. 2-4.Este sketc h demuestra que el vector se puede expresar en términos de sus componentes cartesianos real e imaginaria:
"Un RiI
o, alternativamente, que puede ser expresada en coordenadas polares utilizando su valor absoluta (la longitud del á vector) y su ngulo, medido en sentido contrario de lo real eje:
N
e, %i)
Además, a partir de las relaciones trigonom étricas que se muestran en el dibujo, est á claro que la ecuación. (2-22a) también puede escribirse
C i cos ,ec/do
El uso de esta expresión y observando que cos sen
#5) por i
.. .. .. .. .. 2
y el ,ec/do cos tiene el efecto de girar
es fácil demostrar que la multiplicación de un vector
en sentido antihorario en el plano complejo a través de un ángulo de
radianes o 90 grados.
.... .... . .2
Del mismo modo se puede ver que la multiplicaci ón por i gira el vector I5 en sentido horario.Ahora igualando la ecuación. (2-22c) a la ecuaci ón. (2-22b), y tambi én señalar que un componente imaginario negati@o estaría asociado á é con un ngulo de vector negativo, conduce a la par de ecuaciones que sirven para transformar de trigonom trica a las funciones exponenciales de Euler: ) e, %i) cos i ,ec/do
"Un e, %i) cos
es en
Además, las Ecs. (2-23a) puede resolverse simultáneamente para obtener la forma inversa de ecuaciones de Euler:
G=G
R
+iGI o
25)
G = G exp (i
)
. e, %i) e, %i)
N
y o
(o
,ec/do ,ec/r
e, %i)
E,osiciL n
.... .... Solo estoy sorprendido que estés dispuesto a ofrecerlo tan pronto. Nos acabamos de conocer"
. .2
25)
G
25)
iG i G
I
= g sen θ
Ινφορµαχ
25)
R
)
G
R
= G cos θ
Figura 26.
representación constante compleja en el plano complejo.
22
dinámica de las estructuras
Para deducir una expresión respuesta sin vibraciones, la Ec. (2-21) se sustituye en la ecuaci conduce a
%ms
2
cs 8) e, %s#) 5
y después de dividir por m e, %s#) y la introducción de la notaci ón
..
...
8
25)
ón. (2-20), que
m e
... . .2
esta expresión se convierte
C
23
"#5)
1)
m e
Los dos valores de s que satisfacen esta expresi ón cuadrática dependen del valor de c con respecto a los valores de 8 y m= Así, el tipo de movimiento dado por la ecuación. (2-21) depende de la cantidad de amortiguación en el sistema.
Considerando ahora el sistema no amortiguado para los que c 0, es evidente que los dos valores de s dado por la solución de la Ec. (2-25) son
LMesN
1)
Por lo tanto la respuesta total incluye dos términos de la forma de la ecuación. (2-21), como sigue:
%#)
1
e, %i*#)
2
e, %i*#)
1)
en el que los dos términos exponenciales son el resultado de los dos valores de s@ y los complejos constantes
2
1
y
representan el (todavía) amplitudes arbitrarias de los t érminos de vibración correspondientes.
Ahora establecemos la relación entre estas constantes mediante la expresi ón de cada uno de ellos en t érminos de sus componentes real e imaginaria:
11R
i1
=
I
22 R
i2
I
y mediante la transformación de los términos exponenciales al formulario utilizando las ecuaciones trigonométricas. (2-23a), de modo que la ecuación. (2-27) se convierte
%#)
1 R
i
cos*# i sen*#
1 I
2 R
i
cos*# i sen*>
2 I
o después de simplificar
%#) %
1R
2 R)
cos*# %
1
2 I I)
e& ,ec/do*>
Tiberio %
1I
2 I)
cos*# %
1
R 2 R)
,ec/do*
25)
AN ÁLISIS DE VIBRACIONES LIBRES
23
Sin embargo, esta respuesta sin vibraciones debe ser real, por lo que el t érmino imaginario (que se muestra entre corchetes) debe ser cero para todos los valores de #@ y esta condici ón requiere que
1
I
A partir de este se ve que
1
2I
1
y
2
I
1 R
2 R
R
son un par conjugado complejo:
RiI
2
RiI
y con estos Eq. (2-27) se convierte finalmente
%#) %
R
i I) e, %i*#) e, %
R
I) %i*#)
11080
La respuesta dada por el término de la primera ecuación. (2-29), se representa en la Fig. 2-5 como un vector que representa el complejo constante
1
que gira en la direcci ón hacia la izquierda con la velocidad /ngu&/r*;
También se muestran sus constantes reales e imaginarios. Ser á sin ted que el vector de respuesta resultante %
R
i
I ) E, %i*#) conduce vector R e, %i*#) por el ángulo de fase; Por otra parte, es evidente que la respuesta también se puede expresar en t érminos de valor absoluto, @ y el ángulo combinado %*T5E& e/men de& segundo #rmino de &/ ecu/ciLn. %2-2I) mues#r/ ue &/ res,ues#/ /soci/d/ / e&&/ es com,&e#/men#e eui/&en#e / &/ ue se mues#r/ en &/ Fig. 2- ece,#o ue e& ec#or resu&#/n#e e, (o%*# )W está girando en la dirección de las agujas del reloj y el ángulo de fase por la que se conduce la e, componente también está en la dirección hacia la derecha.
R
%i*#)
Los dos vectores de contra-rotación de i e, %*# )W Y e, (o%*# )W Que representan la respuesta total sin vibraciones dada por la ecuaci ón. (2-29) se muestran en la Fig. 2-6;
Solo estoy sorprendido que estés dispuesto a ofrecerlo tan pronto. Nos acabamos de conocer"
(G
R
+ iG
I)
exp (i ω t)
25)
G = exp [i (ω θ t +)]
25)
donde G =
O..... O..... N N
E
l
04 G
R
exp (i ω t)
θ = ángulo de fase
04 R
iG
I
exp (i ω t)
Solo estoy sorprendido que estés dispuesto a ofrecerlo tan pronto. Nos acabamos de conocer"
Exp (G
R
+ i G I) (i ω t)
1)
G = exp [i (ω θ t +)]
Ινφορµα χ
25)
G R exp (i ω t)
2 cos (G ω t
)
04 R
04 G R exp (i − ω t)
1)
(G
R
− iG
I)
exp (− yo ω t)
25)
G = exp [− i (ω θ t +)]
Figura 26.
Representación de la primer término de la ecuación. 25)
Figura 26.
respuesta total sin vibraciones.
24
dinámica de las estructuras
es evidente aquí que los componentes imaginarios de los dos vectores se anulan entre sí dejando sólo el movimiento vibratorio de bienes
11080
%#) 2 cos %*T5
Una alternativa para esta expresi ón movimiento real puede derivarse mediante la aplicaci ón de la ecuaci ón de Euler transformación. (2-23a) a la ecuaci ón. (2-29), con el resultado de
%#) A cos*sen X # *>
en la que A 2
R
y X 2 I./os
25)
valores de estos dos constantes se p#eden determinar a partir de las condiciones
y &/ velocidad %5) en el tiempo # 5 cuando la vibración libre se puso en marcha.Sustituyendo estos en Eq. (2-31) y su derivada en el tiempo primero, respectivamente, es f ácil demostrar que %5) iniciales+ es decir+ el despla0amiento
@ V.
%5) A 2 R
X I 2
25)
Por lo tanto la ecuación. (2-31) se convierte
%#) %5) cos*T5 @ V. ,ec/do ,ec/r>
11080
Esta solución representa un movimiento arm ónico simple (MAS) y es Retrato del yed gr áficamente en la Fig. 27.La c/n#id/d*@ ue 6emos identiicado pre@iamente como la @elocidad angular %medido en radianes por unidad de tiempo) de los @ectores de rotaci=n en el plano compleDo tamiFn se conoce como la recuencia circular.a recuencia cBclica usua refiere LLY a medida que la frecuencia de movimiento, se da por
G.5.5 55
11080
..... ..... 2
su recíproco
.... .... 1
. .2 T5
!
7
...... . . . .2
1)
04 .
7.
7.
04
#5)
M
Figura 26.
respuesta de vibración libre no amortiguada.
7.
ANÁLISIS DE VIBRACIONES LIBRES
25
Es el tiempo necesario para completar un ciclo y que se llama el periodo del movimiento. Por lo general, para los sistemas estructurales y mec ánicas del período T se mide en segundos y la frecuencia se mide en ciclos por segundo, comúnmente conocida como Hertz (Hz).
El movimiento representado por la ecuación. (2-33) y se representa en la figura. 2-7 puede ser tambi én
i n t erp ret a d o érm en t i n o s d e u n p a rd evec t o res , %5 )
y
g i ra n d o en s en t i d o a n t i h o ra ri o en
el plano complejo con velocidad /ngu&/r*@ como se muestra en la Fig. 2-8.El uso de las relaciones indicadas anteriormente entre las constantes de libre de vibraciones y las condiciones iniciales, se puede observar que la Fig. 2-8 es equivalente a la Fig. 2-5, pero con el doble tud ampli y con un ángulo de fase negativa que se correspondan con las condiciones iniciales positivos.En consecuencia, la amplitud 2G, y como se muestra por la ecuación. (230) la vibración libre puede ser expresado como
%#) cos %*T5
en el que la amplitud es dada por
y %5) o
. . . . . . . . . . 2
con#r
J
Humira
y el ángulo de fase por
Canela
@ V.
@ V.
2-6 AMORTIGUADO GRATIS VIBRACIONES
25)
25)
1)
Si la amortiguación está presente en el sistema, la solución de la ecuación. (2-25), que de ne la
respuesta es
C
23
%C) G> 251 r .
C
%C) G> 251 .
.. .. .. .. .. 2
......
. . . .2
11080
Tres tipos de movimiento est án representados por esta expresi ón, en función de si la cantidad bajo el signo de ra íz cuadrada es positiva, negativa o cero. Es conveniente analizar primero el caso en que el t érmino radical se desvanece, que se llama el crítico-d condición amplificado.
Solo estoy sorprendido que estés dispuesto a ofrecerlo tan pronto. Nos acabamos de conocer"
7.
25)
25)
0 4 04
R
04
7.
11080
25)
Figura 26.
Rotación de representación vectorial de la vibración libre no amortiguada.
26
dinámica de las estructuras
Críticamente amortiguado Sistemas
Si el t érmino radical en la ecuaci ón. (2-39) se fija igual a cero, es evidente que c 2m *; Por lo tanto, el valor crítico de la coeficiente de amortiguación, c c+ es
0/T C''/C''( > 9'/#
1)
A continuación, los dos valores de s dado por la Ec. (2-39) son los mismos, es decir,
Copia :
39s 3#s
%C) G> 251. 2)
25)
La solución de la ecuación. (2-20) en este caso especial debe ahora ser de la forma
%#) e, % 1 2 #) %*#)
11080
en la que el segundo término debe contener # desde las dos raíces de la ecuación. (2-25) son idénticos.Debido a que el término exponencial e, % *#) es una función real, las constantes 1 y 2 también debe ser real.
Usando las condiciones inicial %5) y (0), estas constantes pueden ser evaluados
o ue le acredita a:
VT
@ V.#) %5)#
C/duc.:"Y=#)
25)
la cual es presentada gráficamente en la Fig. 2-9 para valores positivos de %5) y (0).Teng/ en cuen#/ ue es#/ res,ues#/ &ibre de un sis#em/ crP#ic/men#e /mor#igu/do no inc&u(e osci&/ciLn /&rededor de &/ ,osiciLn cero-de re!&eiLn= En su &ug/r@ sim,&emen#e ue&e / cero /sin#L#ic/men#e de /cuerdo con e& #rmino e,onenci/& de &/ ecu/ciLn. 1) +in emb/rgo@ un so&o cero-dis, lacement cruce se producir ía si las señales de la velocidad inicial y el desplazamiento eran diferentes uno del otro.A muy útil de definici ón de la
condición de amortiguamiento cr ítico descrito anteriormente es que representa la cantidad m ás peque ña de amortiguación para los que no se produce la oscilaci ón en la respuesta libre de vibraciones.
7
.
7.
7.
04
Figura 26.
respuesta libre de vibraciones, con amortiguamiento crítico.
ANÁLISIS DE VIBRACIONES LIBRES
27
Undercritically con amortiguación de Sistemas
Si la amortiguaci ón es menor que crítico, es decir, si c
C
Copia :
C
1)
%C) G> 251 .
La introducción de la ecuación. (2-44) en la Ec. (2-39) conduce a
23o,.
25)
donde
#,
p
#5)
11080
es la frecuencia de la vibraci ón libre del sistema amortiguado. Haciendo uso de la ecuaci ón. (2-21) y los dos valores ó de s dado por la ecuaci n. (2-45), la respuesta sin vibraciones se convierte
%#)
1
e, %i*, #)
en el que las constantes de decir,
1 R
I
i y
1 2
y
2
e, %i*, #) e, %*#)
1)
2
deben ser pares conjugados complejos para la respuesta %#) a ser real, es
R
i I similar a la no amortiguada caso que se muestra por la ecuación.11080
La respuesta dada por la ecuación. (2-47) pueden ser representados por vectores en el plano complejo similares a los mostrados en la Fig. 2-6 para el caso no amortiguado; la única diferencia es que la frecuencia circular /mor#igu/do*, debe ser sustituida por la frecuencia circul ar no /mor#igu/d/* y las magnitudes de los vectores deben ser forzados a decaer exponencialmente con el tiempo de acuerdo con el exterior plazo de los soportes, e, % *T5
Siguiendo el mismo procedimiento que se utiliza para llegar a la ecuaci ón. (2-31), la Ec. (2-47) también puede expresarse en la forma trigonométrica eui valente
%#) A cos*, sen X # * , # e, %*#)
donde A 2 conduce a
R
25)
y X 2 I.2sando las condiciones iniciales %5) y (0), las constantes A y X se pueden evaluar
@ V.
@ V.
%#) %5) cos* Gec6a:
'9/ 05/#09'.
,.
,ec/do ,ec/r, # e, %*#)
25)
Alternativamente, esta respuesta se puede escribir en la forma
%#) cos %* , #) e, %*#)
25)
28
dinámica de las estructuras
en el cual
990 0 @ V.
... ... ... .2
@ V.
7.
,.
11080
@ V. con#r
Canela
,7
1)
Tenga en cuenta que para valores bajos de amortiguaci ón que son típicas de la mayor ía de las estructuras prácticas, <25"@ la proporción de !recuenci/*#, según lo dado por la Ec. (2-46) es casi igual a la unidad. La relación entre la relación de coeficiente de amortiguamiento y la frecuencia se puede representar gr áficamente como un círculo de radio unidad como se muestra en la Fig. 2-10.
Un gr áfico de la respuesta de un sistema amortiguado undercritically-sometido a un desplazamiento inicial %5) pero a partir de zer o la velocidad se muestra en la Fig. 2-11.Es de inter és señalar que el sistema subamortiguado oscila alrededor de la posici ón neutra, con una frecuencia circular cons#/n#e*#, a representaci=n de rotaci=n> @ector de la ecuaci=n. %#>*V) es eui@alente a la Gig. #>4 ecepto ue* se sustituye ,or*, y las longitudes de los vectores disminuyen exponencialmente a medida que la respuesta amortigua.
D.
1)
1
Círculo
Figura 26.
0
Relación entre la relaci ón de frecuencia y factor de amortiguamiento.
1
7
e.
M
.
7. 7.
D.
7. 7.
25)
3
25)
7. D.
7.
D.
M
..... ..... 2
25)
D.
Figura 26.
4
1)
D.
respuesta libre de vibraciones del sistema de amortiguaci ón undercritically.
AN ÁLISIS DE VIBRACIONES LIBRES
29
Las verdaderas características de amortiguación de los sistemas estructurales típicos son muy complejas y dif culto de nir. Sin embargo, es pr áctica común para expresar la amortiguación de tales sistemas reales en términos de relaciones de amortiguación viscosos equivalentes que muestran las tasas de descomposici ón similares bajo condiciones de libre vibración.Por lo tanto, ahora vamos a relacionar con m ás detalle la relaci ón de amortiguamiento viscoso para la respuesta sin vibraciones se muestra en la Fig. 2-11.
Considere dos picos positivos sucesivos, tales como
... ... ... .2
a veces n
n
y
n1
que se producen
... ... ... .2
y respectivamente. Utilizando la ecuaci ón. (2-50), la relación de estos dos
y %n 1)
,.
,.
Los valores viene dada por
sucesivo
n 1
e, n %2*"2D
11080
Tomando el logaritmo natural %&n) de ambos lados de esta ecuaci ón y sus#i#u(endo*
1
2@
se obtiene el llamado decremento logarítmico de amortiguación, de Ned por
P, > #000
En
..... ..... 2
n
n
p
1
990 0
1)
Para valores bajos de amortiguamiento, la ecuaci ón. (2-54), se puede aproximar por
:
1)
2)
:
Representa "aproximadamente igual", por donde el símbolo lo tanto,
n
n 1
:
E, %) e, %2) 1 2
9900
25)
1)
ciente exactitud se obtiene mediante la retención de s ólo los dos primeros términos en desarrollo en serie de Taylor en el lado derecho, en cuyo caso
:n
n
1
25)
2
n 1
Para ilustrar la exactitud de la ecuaci ón. (2-57), la relación entre el valor exacto de como dado por la ecuaci ón. (2ó 54) el valor aproximado por laelEc. (2-57) se representa en obta funciined n del en la Fig. 2-12. Estepara gráfico permite a uno paradado corregir factor de amortiguamiento porvalor el m éaproximado todo aproximado.
Exacto
#5)
aproimadamente
1108 0
0.75
Figura 26.
0,50 0
15) ---
factor de correcci ón de relación de amortiguación que debe aplicarse a
Aproximadamente
30.
re d u ce p e ak cy cl es to
P o r
am p l tiu d
N o
Dinámica de las estructuras
Resultado obtenido de la ecuaci ón. 25)
6
5
4
3
[2
1
990 0
0,05
0.10
0.15
factor de amortiguamiento
0.20
Figura 26.
Coeficiente de amortiguamiento en funci ón del n úmero de ciclos necesarios para reducir la amplitud de pico de 50 por ciento.
Para los sistemas ligeramente amortiguadas, una mayor precisi ón en la evaluaci ón del factor de amortiguamiento se puede obtener considerando los picos de respuesta que son varios ciclos de diferencia, dicen los ciclos m= entonces
%C) G> 251.
n
E n n p m
9)
11080
que puede ser simplificado para la baja amortiguación a una relación aproximada equivalente a la ecuaci ón. 1)
:
n
n
11080
m
2mn
m
Cuando se observan vibraciones libres amortiguadas experimentalmente, un m étodo conveniente para estimar el coeficiente de amortiguamiento es contar el n úmero de ciclos necesarios para dar una reducci ón de 50 por ciento en la amplitud. La relación para ser utilizado en este caso se presenta el gr áfico camente en la Fig. 2-13.Como regla r ápida, es conveniente recordar que para porcentajes de amortiguamiento crítico igual a 10, 5 y 2,5, las amplitudes correspondientes se reducen en un 50 por ciento aproximadamente en uno, dos y cuatro ciclos, respectivamente.
Ejemplo E2-1. Un edificio de un piso es idealizado como una viga rígida sup-portado por columnas sin peso,
como se muestra en la Fig. E2-1. Con el fin de evaluar las propiedades din ámicas de esta estructura, se realiza una prueba libre de vibraci ón, en el que el sistema de techo (r ígido girde r) se desplaza lateralmente por un gato hidráulico y luego se libera de repente.Durante la operaci ón de elevación, se observa que una fuerza de 25 8i,s I= 52 8gW se requiere para desplazar la viga doce ( ein#e en 5: 5B cm].Des,us la liberación instantánea de este desplazamiento inicial, la m áxima desplazar-ment en el columpio primera vuelta es í solamente doce ( diecisis en 5: S5 cmW y el per odo de este ciclo de desplazamiento es T 51:S5 sec.
A partir de estos datos, las siguientes propiedades de comportamiento dinámico se disuadir-minadas:
ANÁLISIS DE VIBRACIONES LIBRES
31
Peso W = mg
contr
p = fuerza de hinca
C
k
25)
... ... ... .2
k
11080
. . . . . . . . . .2
Figura E2-1
Prueba de vibración de un edificio sencillo.
(1) A partir del peso de la viga:
T5 . . .. .. ..
23
￦2GG@2I@II@
555
5secg
.. 2
Z
Por lo tanto
115B 5
.... .... .2 .
￦2GG@2I@II@
555
.. .. .. .. .. 2
25 GB 1= I25 8i,s B5: I 15
G
8gW
Z 5: 5SI 1)
donde la aceleración de la gravedad se toma como g GB en
(2) la frecuencia de la vibraci ón no amortiguada de:
1 1 G.5.5 55
7 115B
553J
2
seg
F
# r/d S:SB seg
(3 propiedades de amortiguación:
5:2 5
decremento logarítmico:
115B5
&n
115B5
:
.. .. .. .. .. 2
Coeficiente de amortiguamiento:
115B5
2) Coeficiente de amortiguación: C
0/T C''/C''( > 9'/##5)
1)
1)
1: BS 8i,s en sec
2B2: I 8g seg cmW
la frecuencia amortiguada: :
#,
P W 00009#5)
(4 ) Amplitud despu és de seis ciclos:
S
7.
7.
32
7.
7.
1G'1,u&g.
1Scm
dinámica de las estructuras
Overcritically con amortiguación de Sistemas
A pesar de que es muy inusual en condiciones normales cuenten con sistemas estructurales amortiguadas overcritically-, que a veces ocurren como sistemas mec ánicos; por lo tanto, es útil para llevar a cabo el an álisis de la respuesta de un sistema amortiguado overcritically-para hacer esta presentación completa.En este caso tiene c c [ 1@ es conveniente para escribir la ecuaci ón. (2-39) en la forma
p
23
9)
2)9
1)
en el cual
p
1)
c
2)9900
La sustitución de los dos valores de s dado por la ecuación. (2-60) en la Ec. (2-21) y la simplificaci ón de los cables, finalmente, a
%#) A sen$*# 9 X cos$*# 9W e, %*#)
25)
en la que el constantes reales A y X se pueden evaluar usando las condiciones inicial %5) y (0).+e mues#r/ !ci&men#e de &/ !orm/ de &/ ecu/ciLn. %2-2) ue &/ res,ues#/ de un/ sistema amortiguado overcritically-es similar al movimiento de un sistema cr íticamente amortiguado como se muestra en la Fig. 2-9; sin embargo, el rendimiento asintótico a la posici ón cero de desplazamiento es m ás lento dependiendo de la cantidad de ó amortiguaci n.
PROBLEMAS
11080 El peso K del edificio de la Fig. E2-1 es 255 8i,s y el edificio se pone en sin vibraciones mediante la
liberación de ella (en el tiempo # 0) a partir de un desplazamiento de 1:25 en.+i e& des,&/J/mien#o mimo en e& co&um,io de re#orno es 5:B en en el tiempo # 5:S seg@ determinar:
(A) la rigidez del resorte 8 lateral (b) el coeficiente de amortiguamiento
(C) la amortiguación coe ciente C
2
1) Suponga que la masa y la rigidez de la estructura de la fig. 2-1 una son como sigue: m 2 seg 8i,s en, 8 S5 8i,s en.+i e& sis#em/ se ,one en ibr/ciLn &ibre con las condiciones inicial %5) 5: y
%5) : en sec, determinar el desplazamiento y la velocidad en # 1: 5 seg@ suponiendo:
(A) c 5 (sistema no amortiguado) (b) c 2: B sec 8i,s en
2
1) Suponga que la masa y la rigidez del sistema de la Fig. 2-1 una son me#ro 8i,s sec en y 8 25 8i,s en@ y que est á no amortiguada.Si el desplazamiento inicial es %5) 1: B en@ y el desplazamiento en # 1: 2 seg es también 1: B en@ determinar:
(A) el desplazamiento en # 2: S sec (b) la amplitud de la vibración libre
capitulo
3 DE LA DIRECCIÓN A armónica CARGANDO
3-1 SISTEMA no amortiguado
solución complementaria
Suponga que el sistema de la Fig. 2-1 se somete a una onda sinusoidal que tiene una movimiento
,
o
, armónicamente carga variable %#) de la forma de
amplitud y la frecuencia circu&/r* como se muestra por la ecuaci ón de
H m %#) c %#) 8 %#) ! ,ec/do
o
>
11080
Antes de considerar este caso viscoso amortiguado, es instructivo examinar el comportamiento de un sistema no amortiguado controlado por
H m %#) 8 %#) !
o
,ec/do
>
1)
que tiene una soluci ón complementaria de la forma libre de la vibración de la ecuación. 25)
c
%#) A cos*sen X # *>
1)
Solución particular
La solución general debe incluir tambi én la solución particular que depende de la forma de la carga din ámica. En este caso de la carga de arm ónicos, es razonable suponer que el movimiento correspondiente es arm ónico y en fase con la carga; Por lo tanto, la solución de p articular es
p
%#) C
,ec/do
[33]
34
dinámica de las estructuras
>
11080
en el que la amplitud C se va a evaluar.
Sustituyendo la Ec. (3-4) en la Ec. (3-2) da
11080 2
C
,ec/d # 8 C ,ec/do*# , me o
o
,ec/do*
>
Dividiendo por e& ,ec/do *# (que es distinto de cero en general) y por 8 y observando que 8 m *
2@
se obtiene
después de algún reordenamiento
,
1
'
C
8
990 0 yo
25)
en el que se de ne como la relaci ón de la frecuencia de la carga aplicada a la frecuencia de la vibraci ón libre natural, es decir,
1)
11080
Solución general
La soluci ón general de la ecuaci ón. (3-2) se obtiene de forma mediante la combinaci ón de las soluciones ó comple-mentarios y particulares y haciendo uso de la ecuaci n. (3-6); por lo tanto, se obtiene
,
1
'
C*digo ISI34 %#)
c
%#)
p
%#) A cos*sen X # *T5 8
-'!
#5) 567
En esta ecuación, los valores de A y X dependen de las condiciones con las que se inici ó la respuesta.Para el sistema partiendo del reposo, es decir, %5) %5) 0, es fácil demostrar que
,
1
'
0Un
N
8
#5) yo
11080
en cuyo caso la respuesta de la ecuación. (3-8) se convierte
,
VT
'
1
25)
#5)
8
donde ,
o
C*digo ISI34 567tsin8t)
8 st es el desplazamiento que se produce por la carga ,
o
aplicada estáticamente y 1 %1 2) es el
factor de cationes Magni (MF) que representa el efecto de amplificaci ón de la carga aplicada arm ónicamente.En esta ecuación, el ,ec/do *# representa el componente de respuesta a la frecuencia de la carga aplicada; se llama la respuesta de estado estacionario y es dir cesados directamente relacionado con la carga.tambi én ,ec/do *# es la componente de respuesta a la frecuencia de vibraci ón natural y es el efecto de libre vibraci ón controlada por las condiciones iniciales.Ya
se denomina la respuesta transitoria.Para ue este sistema no amortiguado 6ipotFtica sin emargo este tFrmino no amortiguar pero continuar1 ininitamente inde. que en un caso práctico, la amortiguación hará que el último término a desaparecer con el tiempo,
RESPUESTA A LA CARGA ARM ÓNICA
35
Ratio de respuesta - Una medida conveniente de la en influencia de la carga din ámica se proporciona por la relación de la respuesta de desplazamiento din ámico para el desplazamiento producido por aplicaci ón est ática de carga ,
o+ es
decir,
VT
R %#)
VT
!
o
st 8
25)
De la ecuaci ón. (3-10), es evidente que la relaci ón de respuesta resultante de la carga de onda sinusoidal de un sistema no amortiguado partiendo del reposo se
1 R %#)
9)
C*digo ISI34 567tsin8t)
11080
Es informativo para examinar este comportamiento de respuesta con m ás detalle por referencia a la Fig. 3-1.Figura 3-1 a representa el componente de estado estacionario de la respuesta mientras que la Fig. 3-1 b representa la denominada respuesta transitoria.En este ejemplo, se supone que 2 3, es decir, la frecuencia de carga aplicado es de dos tercios de la libre de vibraciones frecuencia.La respuesta total R (t), es decir, la suma de los dos tipos de respuesta, se muestra en la Fig. 3-1 c.Dos puntos son de inter és: (1) la tendencia de los dos componentes
R
p
(T)
£M (/0}£F
"Un
M
P
+
R
s
(T)
( %/0TG
+
M
. . . . . . . . . .2
04
=
R (t)
C
M
.... .... . .2
proporción de frecuencia
=
1)
3
Figura 26.
Relación de respuesta producida por la excitación de onda sinusoidal a partir de las condiciones iniciales de reposo:(a) el estado de equilibrio; (B) transitoria; (C) total en I (t).
36
dinámica de las estructuras
para entrar en fase y luego fuera de fase de nuevo, causando un efecto de "latido" en la respuesta total; y (2) la pendiente cero de la respuesta total en el momento # 0, lo que demuestra que la velocidad inicial de la respuesta transitoria es sólo ciente para cancelar la velocidad inicial de la respuesta de estado estacionario; por lo tanto, se satisface la it especificado condici ón inicial %5) 0.
3-2 SISTEMA CON amortiguamiento viscoso
Volviendo a la ecuaci ón de movimiento de división por m@ y observando que c m 2 *
incluyendo amortiguamiento viscoso, Eq. (3-1), conduce a
Cas i
1) ,ec/d o ,ec/r >
VT VT7 me
La solución complementaria de esta ecuaci ón es la respuesta amortiguada sin vibraciones dada por la ecuaci ón. (248), es decir,
c
%#) A cos*, sen X # * Gec6a:
'9/ 05/#09'.
C/duc.: "Y= #)
4
La solución particular a la ecuaci ón. (3-13) es de la forma
p
cos
%#)
1
#
2
sen*>
11080
en el que se requiere el t érmino coseno, as í como el t érmino sine porque, en general, la respuesta de un sistema amortiguado no está en fase con la carga.
Sustituyendo la Ec. (3-15) en la Ec. (3-13) y la separaci ón de los m últiplos de cos *# desde los m últiplos de ,ec/do *# conduce a
O.....NO.....N#5) O.....N.(
. . . . . . . . . . 2
. . . . . . . . . . 2
Cas i
C*digo
O..... HO40#* N
ISI34 -'! 2) .....*
me
567
11080
Con el fin de satisfacer esta ecuaci ón para todos los valores de #@ es necesario que cada una de las dos cantidades soporte de cuadrados igual a cero; por lo tanto, se obtiene
gg.
1)
. . . . . . . . . .2
O.....N O.....N 2)
Casi
8
en la que es la relaci ón de frecuencia dada por la ecuaci ón. 25) Resolviendo estas dos ecuaciones simult áneamente rendimientos
Cas
....... ...
i
2
1
#5)
8
25)
9)
,
'
O..... N8
9)
RESPUESTA A LA CARGA ARM ÓNICA
37
La introducción de estas expresiones en la ecuaci ón. (3-15) y la combinaci ón de los resultados con la soluci ón complementario de la ecuación. (3-14), se obtiene la respuesta total en la forma
%#) A cos ,*
Gec6a: '9/ 05/#09'.
C/duc .: sen X* > "Y= #)
1
,.
.... ....
. .2
'
8
#5)
,ec/do ,ec/r# 2cos*>
Humira
yo
11080
El t érmino primera en el lado derecho de esta ecuaci ón representa la respuesta transitoria, que amortigua a cabo de acuerdo con e, % *t), mien#r/s ue e& segundo #rmino re,resen#/ &/ res,ues#/ /rmLnic/ de es#/do es#/cion/rio@ ue con#inu/r in!ini#/men#e inde.;/s cons#/n#es A y X se pueden evaluar por cualquier condiciones iniciales dadas, %5) y (0).+in emb/rgo@ ya que la respuesta transitoria amortigua r ápidamente, por lo general es de poco interés; Por lo tanto, la evaluación de las constantes A y X no se llevará a cabo aquí.
En estado estable arm ónica Respuesta - De gran inter és, sin embargo, es la respuesta arm ónica de estado estacionario propuesta por el segundo t érmino de la ecuaci ón.25)
,
1
... ... ... .2
'
,ec/do ,ec/r#
p
%#) 8
#5)
Humira 2cos*>
yo
25)
Este comportamiento de desplazamiento en estado estacionario se puede interpretar f ácilmente por el trazado de dos correspondientes vectores en rotación en el plano complejo, como se muestra en la Fig. 3-2, donde sus componentes a lo largo del eje real son id énticos a los dos t érminos de la ecuaci ón. 25) El verdadero mponent co del vector resultante, i i e, %*# )W@ Da la respuesta en estado estacionario en forma
p
%#) sin %
11080
#)
que tiene una amplitud
Cas i
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. 2
. 2
2
115B
990 0
y
8 5
) 115B5
11080
o
Solo estoy sorprendido que estés dispuesto a ofrecerlo tan pronto. Nos acabamos de conocer"
R
11080
Cas i
9900
0 4
1)
Cas i
. . . . . . . . . .2
)
1)
1)
25)
k
.. .. .. .. .. . . . . . . . . . .2 2
−[
Ινφορµα χ
exp (i ω t)]
.... .... . .2
9)
1)
25)
990 0 #5) )
1)
k
0 4
i exp [i (
25)
t)]
9)
Figura 26.
El estado estacionario respuesta de desplazamiento.
38
i exp (i ω t)]
−[
dinámica de las estructuras
y un ángulo de fase, por el que la respuesta est á por detrás de la carga aplicada
9)
..... ..... 2
Canela
9)
1)
Se debe entender que este ángulo de fase está limitada al rango de 5 << 180.
La relación de la amplitud de la respuesta arm ónica resultante al desplazamiento estática que sería producida por la fuerza de ,
o
se llamará el catión Magni dinámico
e& factor D= así
D %1 2)
2
%2)
2192
(3-24) , o 8
Se ve que tanto la din ámica Magni factor de catión D y el ángulo de fase var ían con la relación de frecuencia y el factor de amortiguamiento.Parcelas de D vs. y vs. se muestra en las Figs. 3-3 y 3-4, respectivamente, para valores discretos de coeficiente de amortiguamiento,.
En este punto es instructivo para resolver la respuesta armónica de estado estacionario una vez m ás el uso de una forma exponencial de la solución.Considere el caso general de arm ónicos
4
3
#,
1
9)
180.8
U A H + - O F a es
$ 270,000.9 0
9)
inc=gnit
9)
#5)
#5)
9900 Figura 26.
1
2
25)
3
Variación del factor de ampliación dinámico
con amortiguación y la frecuencia.
inc=gnit
9900
9900
9)
Figura 26.
1
2
Relación de frecuencias, β
3
Variación del ángulo de fase con
amortiguamiento y la frecuencia.
RESPUESTA A LA CARGA ARM ÓNICA
39
la carga expresada en forma exponencial:
Cas i i e, % T5
VT VT7
25)
me
donde es un ángulo de fase arbitraria en la funci ón de carga de armónicos. Al tratar con cargas armónicas general Y COMPLETEL, especialmente para el caso de carga peri=dica donde la ecitaci=n se epresa como una serie de tFrminos arm=nicos es esencial de nir el 1ngulo de ase de entrada para cada arm=nicoJ sin emargo esto por lo general se lle@a a cao m1s con@enientemente mediante la expresión de la entrada en forma de n úmero complejo en lugar de por el ángulo de amplitud y fase.En este cap ítulo sólo se considerará un único término de carga armónica; por lo tanto, su ángulo de fase se toma arbitrariamente como cero por simplicidad, por lo que no tiene que ser yo ncluded en la expresi ón de carga.
La solución particular de la ecuaci ón. (3-25) y sus derivados primeros y segundos de tiempo son
p
%#) e, %i*#)
%#) i e, %i*#)
p
H
p
1)
2
%#) e, %i*#)
donde es una constante compleja.Para evaluar @ sustituir las ecuaciones. (3-26) en la Ec. (3-25), en modo 2
alguno la cantidad de e, %i*#) común a cada t érmino, 8 sustituto! para m( ,/r/*=!, Y resolver para produciendo
Cas i
Cas i
1
..... *
o
8
o
8
25)
9900
Sustituyendo este valor complejo de en la primera de las ecuaciones. (3-26) y el trazado de los dos vectores resultantes en el plano complejo, se obtiene la representaci ón se muestra en la Fig. 3-5.Tenga en cuenta que estos dos vectores y su resultante, junto con el ángulo de fase
Solo estoy sorprendido que estés dispuesto a ofrecerlo tan pronto. Nos acabamos de conocer"
p
9) 11080
0
1)
1)
k
exp (i ω t)
#5)
11080
04 R
1108 0
ρ exp [i (ω t
)]
25)
04
Cas
9900
25)
Figura 26.
i 25)
k
40
1)
[ − i exp i ω t]
respuesta en estado estacionario mediante amortiguamiento viscoso.
9900
dinámica de las estructuras
son idénticas a las cantidades correspondientes en la Fig. 3-2, excepto que ahora el conjunto de vectores se ha girado en sentido antihorario a trav és de 90 grados. Esta diferencia en las figuras corresponde a la diferencia de ángulo de fase entre las excitaciones arm ónicas i %,
m) e, %i*#) y
o
m) e, %%i*#) la producción de los resultados de
las Figs. 3-2 y 3-5, respectivamente.Tenga en cuenta que %, T5
:
m) sen *# es la parte real de i %,
o
:
m) e, %i*
Es de interés tener en cuenta el equilibrio de fuerzas que act úan sobre la masa bajo el estado de equilibrio por encima de la condici ón de armónicos por el que la respuesta total, como se muestra en la Fig. 3-5, es
p
%#) e, i % T5
11080
que tiene una amplitud dada por la ec. 4 equilibrio de fuerzas requiere que la suma de la inercia, de amortiguación, y fuerzas de resorte es igual a la carga aplicada
11080
, %#) !
o
e, %i*#)
Utilizando la ecuación. (3-28), estas fuerzas son
I
!
,
p
%#) c
p
%#) ic i e, % T5
!
S
p
%#) 8
p
%#) 8 e, i % T5
p
%#) m H
p
%#) m
2
!
e, i % T5
25)
que junto con la carga aplicada se muestran como vectores en el plano complejo de la Fig. 3-6. Tambi én se muestra el polígono cerrado de fuerzas necesarias para el equilibrio de acuerdo con la Ec. 25) Tenga en cuenta que aunque los, amortiguamiento y las fuerzas inerciales de primavera como
en O87 en las ecuaciones. (3-30) est án en fase con la
aceleración, velocidad y desplazamiento
Solo estoy sorprendido que estés dispuesto a ofrecerlo tan pronto. Nos acabamos de conocer"
2)
f
Dp
115B5
W Wr ic ep i (w t - q
)Y
2)
p (t) W f
o
ep (i w t)
1)
Peso >#000 o
R
2)
f
Ip
W-
1)
#
Mw
r ep Z yo (W t - )!
1)
f
"Un
Figura 26.
Sp
W r ep i (w t - q )Y
Solo estoy sorprendido que estés dispuesto a ofrecerlo tan pronto. Nos acabamos de conocer"
f Sp
f Dp
Pt.C/innitus ilateral
1)
Peso >#000 f
o
Ip
R
f
Ip
#
+
Dp
#
Sp
- $ (t) W 0
ueras arm=nicas en estado estacionario utiliando amortiguamiento @iscoso: %a) epresentaci=n plano compleDoJ %[) oligar a c errar la representaci=n poligonal.
RESPUESTA A LA CARGA ARM ÓNICA
41
movimientos, respectivamente, que en realidad se oponen a sus movimientos correspondientes de acuerdo con la Convención de signos de la Fig. B 2-1 que fue aprobado en la ecuación.25)
Ejemplo E3-1. Una máquina de armónicos de carga port átil proporciona un medio efectivo para la evaluaci ón de las propiedades din ámicas de las estructuras sobre el terreno.Al operar la m áquina en dos frecuencias diferentes y midiendo la relación de amplitud y fase de respuesta estructural resultante en cada caso, es posible determinar la masa, de amortiguación, y la rigidez de una estructura SDOF.En una prueba de este tipo en un
edificio de una sola planta, el agitador se hizo funcionar a fre-cuencias de*1 1 r/d s@ (*2 2 r/d seg, con una amplitud de fuerza de 55 &b 22: B 8gW en cada caso.La resp Onse amplitudes y las relaciones de fase medido en los dos casos eran
1
1
9'/94pulg.
115B5
9*cm
.
2)
pecado
2)
pecar
.. .. .. .. .. 2
9'/94pulg.
9*cm
.
115B5
.. .. .. ..
pecado pecar
.. 2
2)
1)
Para evaluar las propiedades din ámicas de estos datos, es conveniente volver a escribir la ecuaci ón. (322) como
9) ,
1
1
,
'
'
"Un
%$)
.
9900
%$)
donde la funci ón trigonométrica se ha derivado de la ecuaci ón. 1) Con m ás de cationes simplificaci ón algebraica esto se convierte
!$2 me#ro
,
o
cos
A continuación, la introducción de los dos conjuntos de datos de prueba conduce a la ecuaci ón matricial
. . . . . . . . .
990 0
. 2
1 1W
;"
"
9)
8
9) &b
me#ro
;
9)
55
"
;
G
9)
que puede ser resuelto para dar
8 155 15
G
m 12B: &b seg en
!OC(
&b en
2
22:I 8g seg
2
cmW
Y en consecuencia.
K mg SI: 15
42
G
&ibr/s 22: 15
G
8gW
dinámica de las estructuras
La frecuencia natural está dada por
8
r m 2: I r/d 9 ) \ e sec -
Para determinar el coeficiente de amortiguación, dos expresiones para cos se pueden derivar de las ecuaciones. (a) y (3-23).La equiparación de éstos y despejando el amortiguamiento relación conduce a
,
Así, con los datos de la primera prueba
o
,ec/do
o
e& ,ec/do 2 8c c8
1= 12 &b sec en 255: I 8g sec cmW
2)
Cc
2)
15
9 )
y el mismo resultado (dentro de la precisión de ingeniería) viene dada por los datos de la segunda prueba. Por tanto, el coeficiente de amortiguamiento es
C
%8)
1)
9900
2)
3-3 respuesta resonante
De la ecuación. (3-12), es evidente que la amplitud de la respuesta de estado estacionario de un sistema no amortiguado tiende hacia en nidad como la relación de frecuencia aproxima a la unidad; esta tendencia se puede ver en la Fig. 3-3 para el caso de 0./r/ /&ores b/Oos de /mor#igu/ciLn@ se obser/ en es#/ mism/ !igur/ ue &/ /m,&i#ud mim/ res,ues#/ de es#/do es#/cion/rio se ,roduce / un/ re&/ciLn de !recuenci/ &iger/men#e menor ue &/ unid/d. Aun /sP@ &/ condiciLn ue resu&#/ cu/ndo &/ re&/ciLn de !recuenci/ es igu/& / &/ unid/d@ es decir@ cu/ndo e& !reuenc y de la carga aplicada es igual a la frecuencia de vibraci ón
natural no amortiguada, se llama resonancia.De la ecuaci ón. (3-24) se ve que el factor de cationes Magni din ámico bajo esta condición % 1) es
1
#,
1) .. .. .. .. .. 2
Para hallar el valor m áximo o pico del factor de cationes Magni din ámico, uno debe ser diferente-renciar la ecuación. (3-24) con respecto a y resolver la expresión resultante para la obtenci ón de p
op
(que da valores reales positivos para la amortiguaci ón de las proporciones < 1 de la relación de frecuencias de nuevo en la ecuaci ón. (3-24) dando
115B 5
1
PW 399d 0000 (AXN 9 9)
1),.
,
2)@ y luego sustituir este valor
11080
RESPUESTA A LA CARGA ARM ÓNICA
43
Para valores típicos de amortiguamiento estructural, por ejemplo < Doce ( diez, la diferencia entre la Ec. (3-33) y la á ó ñ m s simple ecuaci n. (3-31) es peque o, siendo la diferencia de la mitad de 1 por ciento para 5:15 y 2 por ciento para veinte. doce (
Para una comprensión más completa de la naturaleza de la respuesta de resonancia de una estructura para ADing lo arm ónico, es necesario tener en cuenta la ecuaci ón de respuesta general. (3-19), que incluye el t érmino transitorio, así como el t érmino de estado estacionario.En la frecuencia de excitaci ón resonante % 1)@ esta ecuación se convierte
,
.>
11080
'
... ... ... 8 .2
%#) %A cos*, sen X # * , #) e, %*#)
Suponiendo que el sistema parte del reposo %5) %5) 0], las constantes son
, 1
0Un
'
%8)
,
N
'
8 1),.
,
1
'
8
p
..
#5)
11080
.. .. .. .. 2
Por lo tanto la ecuación. (3-34) se convierte
1
,
'
VT
.2. . . . . . . . .
#5)
8
,ec/do ,ec/rCos # , 8,
# e, %*# ) cos*>
1)
p
Para las cantidades de amortiguación que se espera en los sistemas estructurales, el t érmino unidad; en este caso, esta ecuación se puede escribir en la forma aproximada
VT
!
o
R %#) 8
1
.. .. .. .. .. n e, %*T5 2
.# e, %*#) sen*A
11080
p
1
2
es casi igual a la
Para la amortiguaci ón de cero, esta ecuaci ón aproximada es indeterminado; pero cuando se aplica la regla de L'hospital, la relaci ón de respuesta para el sistema no amortiguado se encuentra para ser
:1
. . . . . . . . .. R %#) 2 ,ec/do ,ec/rT5# cos*#)
11080
Los gráficos de estas ecuaciones se muestran en la Fig. 3-7. Tenga en cuenta que e& ,ec/do ,orue &os #rminos ue con#iene*T contribuyen poco a la respuesta, los valores m áximos en esta Gure acumulan linealmente para el caso no amortiguado, el cambio en una cantidad en cada ciclo; Sin embargo, se acumulan de acuerdo con %1 2) e, % *#) 1W para el caso amortiguado.Esta funci ón envolvente de este último se representa frente a la frecuencia en la Fig. 3-8 para los valores discretos de amortiguaci ón. Se ve que la tasa de acumulaci ón hacia el nivel de estado estacionario 1 2 aumenta con la amortiguaci ón y que la acumulación de casi el estado estable nivel se produce en un número relativamente pequeño de ciclos de valores de amortiguaci ón en el intervalo pr áctico de inter és; por ejemplo, 14 ciclos trae la respuesta muy cerca del nivel de estado estacionario para un caso que tiene de 5 por ciento de amortiguación crítica.
[44
(t )
R e sp o n esr a it o ,
R
Dinámica de las estructuras
R (t)
#5)
t
R (t)
1 11080
9)
t
sistema amortiguado
sistema no amortiguado
Figura 26.
Respuesta a la carga de resonancia β = 1 para las condiciones iniciales de reposo.
R e s p o n se ra ti o e n v el o p e
1
11080
9) 9900
#5)
9900
1 25)
9900
Número de ciclos, Hz
0
..... ..... 2
4
9)
9)
6
8
9)
10
9)
9)
12
9)
9)
11080
Duración de la carga,
04
Figura 26.
Tasa de acumulación de respuesta resonante desde el reposo.
RESPUESTA A LA CARGA ARM ÓNICA
45
3-4 acelerómetros y medidores de desplazamiento
En este punto es conveniente analizar los principios fundamentales en que se basa el funcionamiento de una importante clase de dispositivos de medici ón din ámica. Estos son instrumentos s ísmicos, que consisten esencialmente de un oscilador amortiguado viscoso tal como se muestra en la Fig. 3-9.El sistema est á montado en un alojamiento que puede estar unido a la superficie donde el movimiento se va a medir. La respuesta se mide en términos del movimiento %#) de la masa con respecto a la carcasa.
La ecuación de movimiento para este sistema ya se ha mostrado en la ecuación. (2-17) a
ser H m %#) c %#) 8 %#) m H
donde H
g
g
%#) , eff %#)
%#) es la aceleración vertical del soporte de la vivienda.Teniendo en cuenta un armónico
soporte para la aceleraci ón de la forma H g %#) H g 5 ,ec/do *t, de modo ue , eff %#) H m 5 g ,ec/do *t, &/ dinmic/ /m,&i#ud de &/ res,ues#/ de es#/do es#/cion/rio de moimien#o %#) viene dada por la ec.1)
(Es decir: 2040, 2045)
H m 5g
D.
11080
8
en la que D dada por la ec. (3-24) se presenta gráficamente en la Fig. 3-3.El examen de esta figura muestra que, para un coeficiente de amortiguamiento 5: 7, el valor de D es casi constante sobre el rango de frecuencia 5 << 5: 6.AsP@ es c&/ro / ,/r#ir de &/ ecu/ciLn. %G-GI) ue &/ res,ues#/ indic/d/ por este instrumento es casi directamente proporcional
a la amplitud de soporte-aceleraci ón para las frecuencias aplicadas de hasta aproximadamente seis d écimas p
la frecuencia natural del instrumento %* 3.# $mJPor lo tanto este tipo de instrumento cuand o est1 deida mente amortiguado ser@ir1 eicamente como un aceler=metro para recuencias relati@amente aDasJ su gama de aplicailidad se ampliar1 mediante el aumento de su recuencia natural en relaci=n con la recuencia de ecitaci=n es decir mediante el
aumento de la rigidez del muelle y / o la disminución de la masa.Calibración de un aceler ómetro se lleva a cabo fácilmente colocando primero el instrumento con su eje de sensibilidad verticalmente y luego
t v (T)
k
Salida proporcional a
me
desplazamiento relativa v (t)
C
t
(T) = v (t) + v (t)
v
g
v ¨
g
(T) = v
¨ g 0
pecado
t (Movimiento de entrada de la base)
Figura 26.
Diagrama esquemático de un sismómetro típico.
46
dinámica de las estructuras
D .
3
2 . . . . . . . . .
9 9 0 0
#5) 1
#5) 2 5 )
6
..... ..... 2
a m p li tu d
1
9)
1 )
. . . . . . . . . . 2
4
D.
1
9)
....... . . .2
R e s p u set a
1
9)
0
1
Relación de frecuencias, β
Figura 26.
Respuesta de sismómetro al desplazamiento de base armónica.
2
3
girando el instrumento al rev és y registrando el cambio resultante de la respuesta que corresponde a una aceleraci ón el doble que la de la gravedad.
Consideremos ahora la respuesta del instrumento se ha descrito anteriormente se somete a un soporte de desplazamiento
g
Har-mónico %#)
5 g
y la carga efectiva es , ef m* 5 res,ues#/-des,&/J/mien#o re&/#io es
,ec/do *T5En es#e c/so@ H
g
g
2
%#) *
5 g
,ec/do *>
,ec/do *T5De /cuerdo con &/ Ec. %G-22)@ &/ /m,&i#ud de &/
m e
7O
D5
g
2
D
25)
8
2
2
Una gr áfica de la función de respuesta D se presenta en la Fig. 3-10.En este caso, es evidente que D es esencialmente constante en relaciones de !recuenci/[ 1 para un coeficiente de amortiguamiento 5: 5.or &o #/n#o@ &/ res,ues#/ un ins#rumen#o,/r/ /decu/d/men#e /mor#igu/d/ es de esenci/&men#e ,ro,orcion/& &/ /m,&i#ud de b/se dededes,&/J/mien#o &os moimien#os de so,or#e /&#/ !recuenci/= es decir@ / ue serir como un medidor de des,&/J/mien#o en &/ mediciLn de dic$os moimien#os. +u g/m/ de /,&ic/bi&id/d ,/r/ T3 es el prop ósito se ampliar á mediante la reducci ón de la frecuencia natural, es decir, mediante la reducción de la rigidez del resorte y / o el aumento de la masa.
AISLAMIENTO 3-5 VIBRACIONES
Aunque el tema de aislamiento de vibraci ón es demasiado amplia para ser discutido thor-a fondo aqu í, los principios básicos involucrados se presentar án en que se refieren a dos tipos de problemas: (1) prevenci ón de vibraciones perjudiciales en estructuras de soporte debido a las fuerzas oscilatorias producidas por operativo equipo y (2) la prevención de vibraciones perjudiciales en instrumentos sensibles debido a las vibraciones de sus estructuras de soporte.
RESPUESTA A LA CARGA ARM ÓNICA
25)
p (t) = f
o
pecado
ωt
7
me
C k
k
1)
1)
47
... ... ... .2
...... . . . .2
Figura 26.
f=f
S
F
+
D
sistema de vibración-aislamiento de un grado de libertad (carga aplicada).
La situación RST se ilustra en la Fig. 3-11, donde una m áquina rotativa produce una fuerza vertical oscilatorio , o ,ec/do *# debido al desbalance en sus piezas giratorias.Si la m áquina está montada sobre un sistema de soporte de muelle-amortiguador SDOF como se muestra, su estado de equilibrio de respuesta relativa de desplazamiento está dado por
Cas i
p
%#) 8
D sen %*#)
25)
donde D es de nida por la Ec.1) Este resultado supone, por supuesto, que el movimiento de la ayuda inducida por el total de la fuerza de reacci ón F %#) es insignificante en comparaci ón con el movimiento del sistema con respecto al soporte.
Utilizando la ecuación. (3-41) y su derivada en el tiempo primero, las fuerzas de reacci amortiguación y se vuelven
!
S
%#) 8 %#) !
o
ón del resorte de
D sin %*T5
1)
c, D o8
!
,
%#) CV %#)
.#) 2,
8
o
D cos %*#)
Puesto que estas dos fuerzas son I5 fuera de fase entre sí, es evidente que la amplitud de la fuerza de reacci ón de base total está dada por
! max %#) ! S, máx %#)
2
! D, max %#) 2W
9 1
2
m
o
D1
%2)
2
i912
(3-43)
Por lo tanto, la relaci ón de la fuerza de base m áxima a la amplitud de la fuerza aplicada, que se conoce como la transmisibilidad (TR) del sistema de soporte, se convierte
! max
%re)
%#)
#T Z90 p.Y Casi /#T 9900
TR
11080
El segundo tipo de situaci ón en la que el aislamiento de vibraciones es importante es ilus trado en Fig. 3-12, en el que el soporte arm relativa de desplazamiento en estado estacionario
p %#) sen %
48
5g
dinámica de las estructuras
v
v
me
t
t
(T)
(T) = v (t) + v (t)
2
ónico movimiento g %#) obliga a una respuesta
D #)
1)
g
k
v
C
25)
1)
Figura 26.
1)
k
g
(T) = v g 0 pecado ω t
Un grado de libertad del sistema de vibración-aislamiento (apoyo
..... ..... 2
......... .2
excitación).
3
9)
1
25 )
9) 5
1
f
max
.. .. .. .. .. 2
25 )
9)
4
9)
Casi
1
1)
990 0
TR
3
v
t
max
9)
7O
1
0
1)
0
1
9) .2......... Relación de frecuencias, β
Figura 26.
3
relación de las vibraciones de transmisibilidad (aplicado carga o soporte de excitaci ón).
de acuerdo con las Ecs. (3-21) y (3-40). La adici ón de este movimiento vectorialmente al soporte de movimiento %#) 5 g ,ec/do *t, &/ res,ues#/ #o#/& de es#/do es#/cion/rio de &/ m/s/ m está dado por
g
P W 00009
t
%#)
5g
1 %2)
2
D sen %*T5
en el que el ángulo de fase es de ning ún inter és particular en la presente discusi ón. Por lo tanto, si la transmisibilidad en esta situación se de ne como la relaci ón de la amplitud de movimiento total de la masa a la corresp onding amplitud de base de movimiento, se ve que esta expresión para transmisibilidad es id éntica a la dada por la ecuación. (3-44), es decir,
Nota
H
t
max
t
max
TR
que esta transmisibilidad
H
g
máx
porque H
t
max
%re)
7O
15 ,.W
relación también se aplica a la
2
t
max y H
máx
g
7O
11080
relación de aceleración
Puesto que las relaciones de transmisibilidad dadas por las ecuaciones. (3-44) y (3-47) son id énticos, la relación común expresa la transmisibilidad de los sistemas de vibraci ón-aislamiento para ambas situaciones descritas anteriormente. Esta relación se representa como una funci ón de la frecuencia r atio
RESPUESTA A LA CARGA ARM ÓNICA
49
en la Fig. 3-13 para valores discretos de amortiguaci ón. Tenga en cuenta que todas las curvas pasan por el mismo , punto en una relación de frecuencia de 2.Es eiden#e ue debido / es#/ c/r/c#erPs#ic/@ e& /umen#o de &/ , /mor#igu/ciLn cu/ndo < 2 aumenta la eficacia del sistema de vibraci ón-aislamiento, al tiempo que aumenta la , amortiguación cu/ndo[ 2 disminuye la eficacia.Dado que los valores de transmisibilidad de[ 2 son , generalmente mucho más bajos que los de < 2@ uno debe tomar ventaja de operar en el rango de frecuencia m ás alta cuando es práctico hacerlo.Esto no siempre es posible, sin embargo, porque en muchos casos el sistema debe , operar por debajo 2 para algunos intervalos de tiempo, y en algunos casos incluso operar cerca de la condición resonante 1.E& siguien#e eOem,&o i&us#r/ es#/ condiciLn:
Ejemplo E3-2. De exiones a veces desarrollan en vigas de puentes de hormig ón debido a la fluencia, y si el
puente se compone de una larga serie de tramos id énticos, estas deformaciones ser án causar una excitación ó í arm nica en un veh culo que viaja por el puente a velocidad constante.Por supuesto, los muelles y amortiguadores de los coches est án destinados t o proporcionar un sistema de vibraci ón-aislamiento que limitará los movimientos verticales transmitidas desde el camino de los ocupantes.
Figura E3-1 muestra un modelo altamente idealizada de este tipo de sistema, en la que el peso del vehículo es S= 555 &b 1= B1S 8gW y su rigidez del resorte es de nida por una prueba que demostr ó que la adición de 155 &b S:G 8gW causó una de reflejo de 5:5B en 5: 25G cm].E& ,uen#e ,ro &e es# re,resen#/do ,or un/ cur/ sinusoid/& ue #iene un/ &ongi#ud de ond/ %+AN ig/) de S5 ,ie 12: 2 mW y una amplitud (individual) de 1: 2 en 5G:5 cm].A ,/r#ir de es#os d/#os ue se dese/ ,/r/ ,redecir e& es#/do de eui&ibrio er#ic/& de movimientos en el coche cuando se viaja a una velocidad de S m,$ 2: S 8m hr], suponiendo que la amortiguación es 40 por ciento de cr ítico.
La transmisibilidad para este caso se da por la ecuaci ón. (3-47); de ah í el ampli-tud de movimiento vertical es
990 0
t
max
7O
W = 4,000 lb
v (T)
t
k
9900 9900
Velocidad = 45 mph
k
C
1)
.. .. .. .. .. 2
s u p erfi c i e d el p u en t e
. .. . . .. . ..2
9'/94 pulg.
8>G9
Figura E3-1
idealizada veh ículo que viaja a trav és de una cubierta del puente desigual.
50
dinámica de las estructuras
Cuando el coche está viajando a S m,$ !# sec, el período de excitación es
m2
T
p
!# s 5: 5 seg
mientras que el periodo natural del veh ículo es
.. .. .. .. .. 2
T5
￦2GG@2I@II@
555
23
Zg
5secg
Por lo tanto T -p 5: 2 5: 5 5: 944, y con 5: S es la amplitud de la respuesta
t
max 1: 2 %1: S2) 1:I en 5:55 cmW
También es de interés observar que si no hubiera amortiguación en el veh ículo % 5)@ la amplitud sería
1
1)
#5)
5: 2 1'2 ,u&g.'.G cm.
t
max
7O
Esto está m ás allá del rango de resorte, por supuesto, y por lo tanto tiene poco significado, pero demuestra la importante función de los amortiguadores en la limitaci ón de los movimientos resultantes de la ondulaci ón de la superficie de la carretera.
Al dise ñar un sistema de vibraci ón-aislamiento que operará en frecuencias por encima del valor cr ítico
,
representados por 2@ es conveniente expresar el comportamiento del sistema SDOF en t érminos de eficacia de aislamiento (IE) en lugar de transmisibilidad.Esta cantidad se de ne por
IE 1 TRW
11080
en el que IE 1 representa el aislamiento completo accesible s ólo como*1 y el IE 5 representa la ausencia de
,
aislamiento que tiene lugar en 2./r/ &os /&ores de / con#inu/ciLn este valor crítico, de amplificación del movimiento de la masa se lleva a cabo; Por lo tanto, el aislamiento de vibraci ón real sólo puede tener lugar cuando
,
el sistema funciona a valores de mayor que 2.En es#e c/so e& sis#em/ de /is&/mien#o debe #ener #/n ,oco como se/ ,osib&e de /mor#igu/ciLn.
Para la pequeña amortiguación, la transmisibilidad dada por la ecuaci ón. (3-44) o la ec. (3-47), despu és de la sustitución de la ecuación. (3-24), se puede expresar por la relación aproximada
:
.
25)
en cuyo caso la eficacia de aislamiento se convierte
%Es decir: #0*0 #0*5)9)
25)
RESPUESTA A LA CARGA ARM ÓNICA
La solución de esta relación para
2
2
2@
51
se obtiene su forma inversa
%2 IE) %1 E)
1)
9)9)#: 9>99J (arcos2
2
* %K 8g) * %S st g), donde g es la aceleración de la Tomando nota de que gravedad y S st es la estática de reflexión producida por el peso muerto
K en su montaje primavera, la Ec. (3-51) se puede expresar en la forma
1 ..por<# g .
(Es
e todo va a camia r. tan pronto como ella
G.5.5 55
. . . . . . . . . .2
. . . . . . . . . 2
S
2
s t?
1
decir: 2040, 2045 )
5
25)
(Es d ecir:2040, 2045)
yo
Frecuencia ! mide en hercios %cic&os seg), como se deriva de esta expresi ón, se representa frente a la est ática de reflexi ón S st en la Fig. 3-14 para valores discretos de aislamiento La eficiencia IE. Conociendo la frecuencia de impresionado de excitaci ón !@ se puede determinar directamente a partir de las curvas en esta figura el apoyo-pad de reflexi ón S st requiere para alcanzar cualquier nivel deseado de vibraci ón aislamiento La eficiencia (IE), suponiendo, por supuesto, que el sistema de aislamiento tiene poca amortiguaci ón.Es evidente que cualquier sistema de aislamiento debe ser ve ry flexible para ser eficaz.
Deflexión estática ∆ st cm
#. 9.
1)
1)
25)
(Es decir: 2040, 2045)
40 5 0 0 H z
35
0.98
1)
1)
1)
.
' .0 V 5 .0 0 0
96
30.
.
F re c u en ica
[94]
25
.
90
20
.
85
.
E n t ard a
80
.
75 p ag511
15
0,65
.
[50]
10 0
5
9)
0,05 0.10 0.15 0.20
0.25 0,30
0.35 0.40 0. 45 0,50 1108 0 0,60
Deflexión estática ∆ st, en
Figura 26.
Vibración-aislamiento tabla de diseño.
Ejemplo
e.
Una máquina de movimiento alternativo de pesaje 25= 555 &b I= 52 8gW
es conocida
52
una fuerza armónica orientado verticalmente de la amplitud
el desarrollarla.
dinámica de las estructuras
55 &b 22: B 8gW en su velocidad de funcionamiento de S5 3J. Con el fin de limitar las vi-braciones excitados en el edificio en el que esta m áquina se va a instalar, que debe ser apoyado por un resorte en cada esquina de su base rectangular.El de-firmante quiere saber lo que la rigidez de soporte se requiere de eac h primavera para limitar la fuerza armónica total transmitida desde la m áquina hasta que el edificio
9 l %0.* $g)
La transmisibilidad en este caso es TR B5 55 doce ( dieciséis, que corre-ponde a una La eficiencia aislamiento de IE 1 TR 0:84.De &/ Fig. G-1S ,/r/ ! S5 3J y el IE 0:84, uno de NDS que S st es aproximadamente 5: 5S en 5: 11Scm]; Por lo tanto, la rigidez 8 requerida de cada muelle es
￦2GG@2I@II@
555
%8)
st?
25
111 8i,s en 1I= B2G 8g 2) cmW
3-6 EVALUACIÓN DE LA RELACI ÓN viscoso de amortiguaci ón
En la discusi ón anterior de la respuesta dinámica de los sistemas de un grado de libertad, se ha supuesto que las propiedades físicas consistentes en masa, rigidez y amortiguamiento viscoso son conocidos. Mientras que en la mayoría de los casos, la masa y la rigidez pueden ser evaluados con bastante facilidad U SO simples consideraciones físicas o expresiones generalizadas como se discuti ó en el Cap ítulo 8, normalmente no es factible determinar el coeficiente de amortiguación por medios similares debido a que los mecanismos b ásicos de la pérdida í í á de a en la mayor a depélos sistemas pr íacticos rara vezmson plenamente que entenONU.De es probable que los energ mecanismos reales de rdida de energ son mucho ás complicada la fuerza de hecho, amortiguaci ón viscosa sencilla (velocidad proporcional) que se ha asumido en la formulaci ón de la ecuaci ón de un grado de libertad de movimiento. Pero generalmente es posible determinar una propiedad de amortiguaci ón viscoso equivalente apropiado por m étodos experimentales.Un breve tratamiento de los m étodos comúnmente usados para este propósito se presenta en las siguientes secciones:
Sin vibraciones Método Decay
Este es el método más simple y más fre utilizado consiguiente de Nding la relaci ón viscoso de amortiguaci ón a través de mediciones experimentales.Cuando el sistema ha sido puesto en vibraci ón libre por cualquier medio, el coeficiente de amortiguamiento puede determinarse a partir de la relaci ón de dos desplazamientos de pico medidos en m ciclos consecutiv e.Como se muestra en el cap ítulo 2, el coeficiente de amortiguamiento puede ser evaluada utilizando
me
%C) G> 251. "#,
:
me
1)
%C) G> 251 .
donde m &n % n n m) representa el decremento logarítmico sobre ciclos y m*3] las frecuencias circulares no amortiguado y amortiguadas, respectivamente.para baja
3] 3] re son
RESPUESTA A LA CARGA ARM ÓNICA
53
Los valores de amortiguaci ón, la relación aproximada de la ecuaci ón. (3-53) se puede utilizar, que es s ólo un 2 por ciento en el error cuando 5: 2.Un/ en#/O/ im,or#/n#e de es#e m#odo &ibre de ibr/ciLn es ue e& eui,o de ins#rumen#/ciLn ( reuisi#os son mPnimos= &/s ibr/ciones se ,ueden inici/r ,or cu/&uier m#odo conenien#e ( sL&o &/s /m,&i#udes re&/#i/s de des,&/J/mien#o necesi#/n ser medidos. +i &/ /mor#igu/ciLn i es realmente de la forma viscosa lineal como se supon ía anteriormente, cualquier conjunto de m ciclos consecutivos producirá el mismo coeficiente de amortiguamiento a trav és del uso de la ecuaci ón.11080 Desafortunadamente, sin embargo, el coeficiente de amortiguamiento así obtenido a menudo se encuentra que es de amplitud dependiente, es decir, m ciclos consecutivos en la parte anterior de la respuesta de alta amplitud sin vibraciones rendirán un coeficiente de amortiguamiento diferente de m ciclos consecutivos en una etapa posterior de respuesta mucho menor.Por lo general, se encuentra en tales casos que la amortiguaci ón ses relación decrea con amplitud decreciente de la respuesta libre de vibraciones.Se debe tener precauci ón en el uso de estas relaciones de amortiguación dependiente de la amplitud para predecir la respuesta dinámica.
Método de resonancia de amplificación
Este método de determinación de la relación viscoso de amortiguación se basa en la medición de las amplitudes de estado estacionario de respuesta de desplazamiento relativo producido por cargas arm ónicas separadas de amplitud , o en valores discretos de frecuencia de eci#/ciLn* en un amplio rango i ncluding la frecuencia natural.Trazado de estas amplitudes medidas de la frecuencia proporciona una curva de respuesta en frecuencia del tipo mostrado en la Fig. 3-15.
Desde el pico de la curva de respuesta en frecuencia de una estructura t ípica amortiguado baja es bastante estrecha, i es generalmente necesario acortar los intervalos de las frecuencias discretas
9) ρm a p li tu d ,
9)
r sep u e tas A rm ó n i co
9)
0
9) (ama
9900
(ama 25)
11080
#5)
#5)
Figura 26.
... ... ... .2
9)
curva de respuesta en frecuencia de forma moderada
Relación de frecuencias, β
54
sistema amortiguado.
dinámica de las estructuras
en la zona del pico con el fin de obtener una buena resolución de su forma. Como se muestra por las ecuaciones. (332) y (3-33), el factor de cationes real dinámica máxima Magni
D max max
5
se produce a la frecuencia de excitaci ón
115B 5
9900
y se le da
... ... ...
por D
2)
1
.2
; sin embargo, para la amortiguación de valores en el intervalo práctico de
máximo
:
interés, se puede utilizar la relación aproximada D
máximo
p
#, El
p
factor de amortiguamiento puede ser determinada a partir de los datos experimentales usando
:
(ama
1)
Este m étodo de determinación de la relaci ón de amortiguación sólo requiere instrumentación simple de medir las amplitudes de respuesta din ámica en valores discretos de frecuencia y equipo de carga din ámica bastante simple; Sin embargo, obtener el desplazamiento est ático 5 puede prese nt un problema porque el sistema t ípico de carga armónica no puede producir una carga en la frecuencia cero.Como se ha se ñalado anteriormente, el coeficiente de amortiguamiento para los sistemas pr ácticos es a menudo amplitud dependiente. En este caso, el valor de obtenerse a través de la ecuación. (3-54) depende de la amplitud d e , o de la carga aplicada arm ónica.Esta dependencia debe ser tomado en consideración cuando se especifica un valor apropiado para los prop ósitos de análisis dinámico.
De media potencia (Ancho de Banda) M étodo
Es evidente a partir de la ecuación. (3-22), en el que %, o 8) 5@ de que la funci ón de la curva de respuest a en frecuencia se muestra en la Fig. 3-15 tiene una forma que es controlado por la cantidad de amortiguaci ón en el sistema; Por lo tanto, es posible derivar el factor de amortiguamiento de muchas propiedades diferentes de la curva.Uno de los m ás conveniente de éstas es el método de media potencia o anchura de banda por el que el coeficiente de amortiguamiento se determina a partir de las frecuencias a las que la amplitud de la respuesta se reduce al nivel 1 pico
,
2 veces su valor de
(ama La relación de frecuencia de control se obtiene por ajuste de la amplitud de la respuesta en la ecuaci ón. (3-22) igual a 1
2 veces su valor m áximo dado por la ecuación. (3-33), es decir, mediante el establecimiento de
P#P/ ,e usuario a usuario
Elevando al cuadrado ambos lados de esta ecuación y resolviendo la ecuación cuadrática resultante para
p
2
da
#5)
que, para valores pequeños de amortiguación en el intervalo práctico de interés, se obtiene la
relaciones de frecuencia
25)
:
P W 00009
Restando
1
de
2@ se
obtiene
:
P W 00009
11080
1)
RESPUESTA A LA CARGA ARM ÓNICA
mientras que la adición de
1
y
2
55
da
. . . . . . . . . .2
#5) 2)
:
2)
11080
Combinando las ecuaciones. (3-58) y (359) los rendimientos
... ... ... .2
'.0V5.00 0 '.0V5.000
1
1)
.. .. .. ..
'.0V5.00 0 '.0V5.000
.. 2 #5)
donde !
1
y !
2
son las frecuencias a las que las amplitudes de respuesta igual 1
,
2
veces la amplitud m áxima.El uso de cualquiera de la ecuaci ón. (3-58) o la ec. (3-60) en la evaluaci ón del factor de
amortiguamiento se ilustra en la Fig. 3-15, donde una l ínea horizontal se ha elaborado a trav és de la curva en 1 2 veces su valor m áximo.Es evidente que este m étodo de obt aining el coeficiente de amortiguamiento evita la necesidad de obtener el desplazamiento estático 5= Sin embargo, sí requiere que se obtiene la curva de respuesta en frecuencia con precisión en su apogeo y en el nivel máximo 2 p.
Para aclarar por qu é el método anterior se denomina com únmente como el m étodo de media potencia, considere la entrada de potencia promediado en el tiempo proporcionada por la carga aplicada, que debe ser igual a la tasa media correspondiente de la disipación de energ ía causada por la fuerza de amortiguaci ón F , %#) CV (t).X/Oo &/ condiciLn de /rmLnicos en es#/do es#/cion/rio / !recuenci/* donde la amplitud de respuesta de desplazamiento es, la tasa media de disipaci ón de energía es
990 0
9900
C
.. .. .. .. .. Pavg 2 =
7 d# c
5
. . . . . . . . . . 2
2
=
%#) d#
2
#5)
m*
5
lo que demuestra que la potencia de entrada media correspondiente es proporcional a el
1
de
2
pico
,
2@ las entradas de potencia media en relaciones de frecuencia
..
..
.. .. .. .. 2
.. .. .. .. 2
P
.....
1
y
2
2;
2
por lo tanto, desde son
P
.....
PW 00009
1
pico
Top
... ... ... .2
2
PW 00009
Top
pico
... ... ... .2
25)
donde el pico viene dada por la Ec.11080 Mientras que la entrada de energ ía promedio en de la entrada de potencia pico y la potencia de entrada media en 2 es algo
1
es algo menor que la mitad
mayor, el valor medio de estas dos entradas promediados est á muy cerca de la mitad de la entrada de potencia de pico media.
Ejemplo E3-4. Los datos de un ensayo de respuesta en frecuencia de un sistema de SDOF se han trazado en la
Fig. E3-2.Se muestran los datos pertinentes para la evaluación del factor de amortiguamiento. La secuencia de pasos en el an álisis después de la curva se representó fueron los siguientes:
(1) Determinar la respuesta del pico : 15
56
2
en
1S: S 15
2
cm].
dinámica de las estructuras
6
9'/94 Respuesta de pico = 5,67 × 10 pulg.
9 )
5
9 )
#5 )
Posición
*
4
en
e n 25)
'.0V5.00
990
am p li tu d ,
0
0
3
f
.. . .. . .. . .2
1
R e sp u e tas
1)
... ... ... .2
'.0V5.00 1) 0
f
res
.
f
1 )
9)
11080
0,87
25)
9900
.
1)
11080
.... ....
f . .2
#5)
25)
2
1
0
[16]
17
18
19
20
21
Emocionante frecuencia f, Hz
22
23
24.
25
Figura E3-2
experimento de respuesta en frecuencia para determinar coeficiente de amortiguamiento.
(2)
Construir una línea horizontal a 1
,
2 veces el nivel de pico.
(3) Determine las dos frecuencias a las que esta l ínea horizontal corta la curva de re-respuesta; ! 19:55, !2 25:S2 Hz.
(4)
El coeficiente de amortiguamiento es dada por
F
2
!
1
5: 522 !2 !1
mostrando 2,2 por ciento de amortiguación crítica en el sistema.
1
La pérdida de energía de resonancia según Método de Ciclo
Si instrumentación est á disponible para medir la relaci ón de fase entre la fuerza de entrada y la respuesta de desplazamiento resultante, el coeficiente de amortiguamiento puede ser evaluada a partir de una prueba de arm ónicos en estado estacionario realizado solamente en la resonancia:
8
9900Este procedimiento implica el
estalecimiento de la resonancia mediante el aDuste de la recuencia de entrada 6asta ue la respuesta de desplaamiento es I5 fuera de fase con la carga aplicada.Como se muestra en la Fig. 3-6 para 90, la carga aplicada es equilibrar exactamente la fuerza de amortiguaci ón de manera tha t si la relación entre la carga aplicada y el desplazamiento resultante se representa durante un ciclo de carga como se muestra en la Fig. 3-16, el resultado se puede interpretar como la fuerza de amortiguaci ón vs. diagrama de desplazamientos.Si el sistema verdaderamente posee visco lineal nos amortiguación, este diagrama será una elipse como se muestra por la l ínea de trazos en esta figura.En
RESPUESTA A LA CARGA ARM ÓNICA
f
D
(= P en la resonancia)
Elipse (amortiguamiento viscoso)
(Área equivalente =
Zona
D.
#,
Casi
contr
Figura 26.
57
amortiguamiento real y equivalente
7elocidad m1ima:
de energía por ciclo.
este caso, TH E ratio de amortiguación se puede dete rmined directamente de la fuerza de amortiguación m áxima y la velocidad ma ximo utilizando la re lación
V \ ;&
'
C max 2 m* max 2 m*
. . . . . . . . . .2
1)
399 d (AX N
o
Casi %C) G> 251. . . . . . . . . . .2
25)
Si la amortiguación no es de la forma viscoso lineal previamente asumido pero es de una forma viscosa no lineal, la forma de el diagrama de fuerza aplicada / desplazamiento obtenido por el procedimiento anterior no será el íptica; más bien, será de una forma diferente como ilus trado por la l ínea continua en la Fig. 316.En este caso, la respuesta de %#) será un armónico distorsionada, a pesar de que la carga aplicada se mantiene
un arm ónico puro.Sin embargo, la entrada de energ ía por ciclo, que es igual a la p érdida de energ ía por ciclo de amortiguación E ,+ puede b e obtenida como el área bajo la / diagrama de fuerza aplicada desplazamiento.Esto permite que uno para evaluar una relaci ón de amortiguamiento viscoso equivalente para la correspondiente amplitud de desplazamiento, que cuando se utiliza en la forma viscosa lineal se disipar á la misma cantidad de energía por ciclo como en el caso experimental real.Este factor de amortiguamiento equivalente se asocia con un diagrama de fuerza aplicada / desplazamiento elíptica tiene la misma área uso de la ecuación. (3-61), esta equiv alence
E,
como el diagrama nonelliptical medido.Haciendo
la energBa que requiere
Ed)P avg %2 *)% eq m*#5)
11080
o
eq E, %2
m*
2 2)
E,
%2
8 2)
25)
Esta última forma de la ecuación. (3-66) es más conveniente aquí porque la rigidez de la estructura se puede medir por la misma instrumentación usada para obtener la pérdida de energía por ciclo, simplemente haciendo funcionar el sistema muy lentamente en condiciones esencialmente est áticos. El diagrama de fuerza-desplazamiento est ática obtenida de esta manera ser á de la forma mostrada en la Fig. 3-17, si la estructura es linealmente elástico. La rigidez se obtiene como la pendiente de la curva de l ínea recta.
58
dinámica de las estructuras
GS90
1
k
k
Zona
= f
S máx
..porque todo va a cambiar. tan pronto como ella
contr
7elocidad m1ima:
Figura 26.
rigidez el ástica y energ ía de deformación.
3-7 COMPL EX-RIGIDEZ DAM PING
La amortiguación de la forma viscosa lineal descrito anteriormente se usa com únmente, ya que conduce a una forma conveniente de la ecuación de movimiento. Tiene una grave deficiencia de, sin embargo; como se ve desde la Ec. (3-61), la p érdida de energía por ciclo
Ed)
)
Pavg
2m*
. . . . . . . . . .2
25)
a una amplitud fija es dependiente de la frecuencia de excitación (o respuesta)!.Esta dependencia está en desacuerdo con una gran cantidad de evidencia que indica que la prueba t que la pérdida de energía por ciclo es esencialmente independiente de la frecuencia.Por tanto, es deseable para modelar la fuerza de amortiguación con el fin de eliminar esta dependencia de la frecuencia. Esto se puede lograr mediante el uso de la forma llamada "hist éresis" de amortiguación en lugar de visco nos amortiguación.amortiguamiento de histéresis puede ser de ne como una fuerza de amortiguación proporcional a la amplitud de desplazamiento pero en fase con la velocidad, y para el caso de movimiento armónico puede ser expresado como
!
,
%#) i 8V %#)
25)
donde es el factor de amortiguamiento de hist éresis que de ne la fuerza de amortiguaci ón en funci ón de la fuerza de rigidez elástica, y la constante imaginaria i pone la fuerza en fase con la velocidad.Es conveniente combinar la resistencia elástica y la amortiguación en el
9
complejo rigidez de ne como 8
9
1)
8 8 %1 i)
que conduce a la siguiente ecuación vibración forzada armónico de movimiento:
9
H m %#) 8 %#) !
o
e, %i*#)
1)
La solución particular (o estado de equilibrio) de la ecuación. (3-70) es
p
%#) e, %i*#)
1)
RESPUESTA A LA CARGA ARM ÓNICA
en la que es una constante compleja, y la aceleración correspondiente está dada por
59
H
p
%#)
2
e, %i*#)
La sustitución de estas expresiones en la ecuación. (370) se obtiene
me
2
9
8 e, %i*]T.;.?.^
e, %i*#)
de que el valor de se encuentra para ser
,
,
'
1
'
..... * me
8
8
o
8
o en una forma m ás conveniente complejo
RA>? ,
o
o
"
;
9)
%1 2) (o yo
8
25)
1)
9900
Sustituyendo esto en la ecuaci ón. (3-71) finalmente da la siguiente expresión para la respuesta de estado estacionario con amortiguación de histéresis
Cas i
1)
o
con#rT5
p
e, %i*#)
"
8
1)
#5)
1)
;
Esta respuesta se representa gr áficamente por sus dos vectores ortogonales representados gr áficamente en el plano complejo de la fig. 3-18. La resultante de estos dos vectores da la respuesta en t érminos de un vector de una sola amplitud, es decir,
Solo estoy sorprendido que estés dispuesto a ofrecerlo tan pronto. Nos acabamos de
p
%#)
E, (o>
11080
conocer"
p
990 9 0 ) 1)
0
25)
25)
k
1) #5)
exp (i ω t)
#5)
25)
04 R
1)
Ινφορµα χ
25)
1)
ρ exp [i ω t
1)
]
9)
04
Cas i
1)
Figura 26.
1)
El estado estacionario respuesta de
25)
k
60
11080
11080 9)
desplazamiento utilizando
i exp (i ω t)]
[−
990 0
amortiguación rigidez complejo.
dinámica de las estructuras
en el cual
Cas i
. . . . . . . . . . 2) 2 2
8
. . . . . . . . . . 2
#5)
11080
)
y el ángulo de fase de respuesta es
Canela
"
;
1)
1)
9)
La comparación de estas tres ecuaciones con las ecuaciones. (3-28), (3-22), y (3-23), respectivamente, es evidente que la respuesta de estado estacionario proporcionada por amortiguamiento de hist éresis es id éntica a la de amortiguación si el factor de amortiguamiento de histéresis tiene el valor viscoso
1)
2)
En este caso, la p érdida de energ ía por ciclo a una amplitud fija es dependiente de la frecuencia de eci#/ciLn* exactamente como en el caso de amortiguamiento viscoso. Como se ver á posteriormente, esta dependencia de la frecuencia se puede quitar haciendo que la frecuencia de factor de presa de ping hist éresis independiente.De este modo, es conveniente utilizar la ecuaci ón. (3-78) y la adopción de un factor determinado en la resonancia para los que 1; por lo tanto el factor de amortiguamiento de hist éresis recomendada es 2, y el complejo de rigidez coef ciente dada por la ecuación. (3-69) se convierte
9)
1)
8 8 1 i 2W
A continuación, como se muestra por las ecuaciones. (3-76) y (3-77), el ángulo de amplitud de la respuesta y la fase, respectivamente, son
1)
P W 9900 0000 9
9)
1)
8
1)
Canela
#5)
1)
Esta respuesta con amortiguamiento de histéresis es id éntica a la respuesta de amortiguamiento viscoso si el sistema es excitado a la resonancia % 1).+in emb/rgo@ cu/ndo 1@ las dos amplitudes difieren de acuerdo con las Ecs. (3-22) y (3-80) y los ángulos de fase correspondientes difieren de acuerdo con las Ecs. (3-23) y (3-81).
Cuando el complejo de la rigidez se de ne, de acuerdo con la Ec. (3-69) y cuando 2, se da la componente de la fuerza de amortiguación bajo excitación armónica de estado estacionario
por
!
,
%#) 2 i 8
e, %i*Tiberio
11080
y la p érdida de energ ía por ciclo de amortiguaci ón,
E ,+
se puede obtener medi ante la
integración de la pérdida de potencia instan-táneo
P%#)
8
!
,
%#)
p
%#) 2
2
e, %i*>
o
25)
RESPUESTA A LA CARGA ARM ÓNICA
61
más de un ciclo, con el resultado final
%C) G> 251. D
......
. . . .2
.. .. .. .. .. 2
1)
,.
Es evidente que esta p érdida de energía por ciclo en amplitud fija es independiente de la frecuencia de excitaci ón, por lo que es consistente con el comportamiento independiente de la frecuencia dese/d/*= por esta raz ón, se recomienda que esta forma de hist éresis de amortiguaci ón (amortiguación rigidez complejo) ser utilizado en la mayoría de los casos para los prop ósitos generales de an álisis de respuesta de arm ónicos.
PROBLEMAS
3.1 Considere la estructura b ásica de la fig. 2-1 una con cero amortiguación y sometidos a excitación armónica
en la relación de frecuencia 5: 8.nc&u(endo #/n#o en es#/do es#/cion/rio ( &os e!ec#os #r/nsi#orios@ re,resen#/r gr!ic/men#e &/ re&/ciLn de res,ues#/ R (t).E/&u/r &/ res,ues#/ / incremen#os*S# B5 y continuar el análisis de 10 incrementos.
3.2 Considere el sistema básico de la figura. 2-1 una con las siguientes propiedades: me#ro 2 8i,s seg
2
#5)a partir de "en reposo" condiciones determinar el @alor de la relaci=n de respuesta R %#) después de y 8 25 8i,s en.+i es#e sis#em/ se some#e / reson/n#es carga armónica %* cuatro ciclos %*t 8), suponiendo:
(A) c 5 [Ec uso.1)
(B) c 5: sec 8i,s en [utilizar la Ec. (3-37)] (c) c 2: 5 sec 8i,s
en [utilizar la Ec.25)
3.3 Considere la misma estructura del veh ículo y el puente del Ejemplo E3-2, excepto con los tramos de viga
reducido a ; G pieDe#ermin/r:
(A) la velocidad del vehículo requerida para inducir resonancia en el sistema de resorte vehículo. (B) la
amplitud total de movimiento vertical, max
t
en la resonancia.
(C) la amplitud total de movimiento vertical max
t
a la velocidad de S mph.
3.4 Una consola de control que contiene delicada instrumentaci ón es que se encuentra en la suelo de un laboratorio de prueba donde se ha determinado que la losa de suelo est á vibrando verticalmente con una
amplitud de 5:5G en al 25 3J. Si el peso de la consola es B55 &b@ determinar la rigidez del sistema de aislamiento de vibración necesaria para reducir la amplitud vertical de movimiento de la consola a 5: 55 en.
1) Una m áquina de tamizado pesa = 55 &b@ y cuando se opera a plena capacidad, que ejerce
una fuerza
armónica en sus soportes de 55 &b amplitud a las 12 3J. Después de montar la m áquina en los aisladores de vibración de tipo resorte, se encontr ó que la fuerza arm ónica ejercida sobre los soportes se había reducido a un 5 &b amplitud.Determinar la rigidez del resorte 8 del sistema de aislamiento.
62
dinámica de las estructuras
25) La estructura de la fig. P3-1 una puede ser idealizada por el sistema equivalente de la figura. B P3-1.Con á ó ó el fin de determinar los valores de c y 8 para este modelo matem tico, la columna de hormig n se someti a una prueba de carga de arm ónicos, como se muestra en la Fig. C P3-1.Cuando se opera a una frecuencia de prueba de* 15 r/d s, la reflexión (histéresis) la curva de la fuerza de la Fig. Se obtuvo P3-1 d.De estos datos:
(A) determinar la constante k.
(B) suponiendo un mecanismo de amortiguamiento viscoso, determinar la aparente razón de amortiguamiento viscoso y amortiguación coe ciente c.
(C) suponiendo un mecanismo de amortiguamiento de hist éresis, determinar la hys- aparente
Rígida masa m
C
k
me
1 puntal
Concreta
Columna
+
"
Pt.C/innitus ilateral
Un
ED
= 26 lb en ⋅
9'/94 pulg.
V0.94ls.
7
25)
p (t) = p t
0
pecado ω
contr
ES
Concreta
9'/94 pulg.
Columna
C
= 29 lb en ⋅
#,
FIGURA P3-1
factor de amortiguación teretic.
1) Supongamos que la prueba del problema. 3-6 se repitieron, utilizando una frecuencia de prueba * 25 r/ds
seg, y que se encontró la curva de reflexi ón de-force (Fig. P3-1 d) estar sin alterar.En este caso
(A) determinar los valores de amortiguación y c aparente viscoso. (B) determinar la aparente factor de amortiguamiento de histéresis. (C) Sobre la base de estas dos pruebas %* 3] 3] 3] 25 r/d seg), el tipo de amortiguación mecanismo parece más razonable - viscoso o de histéresis?
RESPUESTA A LA CARGA ARM ÓNICA
63
1) Si el amortiguamiento del sistema del problema. 3-6 realidad fueron proporcionados por una viscosa
amortiguador como se indica en la figura. P3-1 b, ¿cu ál sería el valor de en* 25 r/d seg?
E,
obtenida en un ensayo realizado
