BAGIAN I PENDAHULUAN
Dalam memecahkan masalah Fisika, ahli Fisika memerlukan bantuan matematika yang sesuai dengan permasalahan yang dihadapi,sebab masalah fisika takkan dapat dipecahkan tanpa bantuan matematika. Betapa besarnya sumbangan matematika dalam memecahkan persoalan fisika tidak dapat diragukan lagi. Dari sekian banyak model matematika yang digunakan dalam menyelesaikan persoalan fisika,salah satu diantaranya adalah Teori Transformasi Laplace. Teori Tr ansfor disebut juga sebagai kalkulus operasional, dewasa ini ansfor masi masi L aplace aplace merupakan bagian penting latar belakang matematika yang diperlukan,tidak saja dalam bidang fisika,tapi juga dalam bidang yang lain. Hal ini disebabkan,disamping ia sendiri menarik minat teoritis yang besar,metode transformasi Laplace memberikan cara-cara yang mudah dan efektif untuk mendapatkan solusi dari berbagai persoalan yang muncul. Dalam tulisan ini akan dibahas khusus tentang penggunaan Transformasi Laplace dalam bidang fisika yang menyangkut: Mekanika,Rangkaian Listrik,penggunaan pada balok,konduksi kalor,dan persamaan gelombang berdimensi satu. Dan juga menyinggung sedikit tentang definisi transformasi Laplace serta kebalikan atau inversnya. A.
Definisi Transformasi Laplace
∫
Transformasi Laplace yang dilambangkan dengan
fungsi
yang dinyatakan dalam bentuk persamaan :
Jika integral ini ada, dan parameter
dari suatu fungsi
adalah
(1) dambil riil. Transformasi Laplace dari
dikatakan ada apabila integral persamaan (1) diatas “konvergen” untuk beberapa harga ;
bila tidak demikian, maka Transformasi Laplacenya tidak ada.
[ ]
Persamaan (1) diatas sering juga ditulis dalam bentuk :
(2)
Menurut hitung diferensial biasa:
1
∫ ∫
(3)
[ ] [ ]
Dalam penulisan digunakan notasi huruf kecil untuk fungsi atau atau untuk transformasi yang merupakan fungsi
atau
dan huruf kapital
Dalam memecahkan beberapa persoalan Dalam
kita dapat menggunakan tabel tentang Transformasi Laplace yang telah tersedia. B.
Kebalikan (Invers) Transformasi Laplace
Bila Transformasi Laplace suatu fungsi
disebut „kebalikan „kebalikan Transformasi Laplace’ dari dari
adalah
yaitu yaitu
maka
dan dan ditulis :
dalam penggunaannya atau pemakaiannya, baik Transformasi Laplace maupun inversnya sering digunakan secara bersama dalam memecahkan suatu persoalan.
2
BAGIAN II PENGGUNAAN TRANSFORMASI LAPLACE DALAM FISIKA
A. Penggunaan Transformasi Laplace pada Mekanika
1. Sebuah massa
yang terikat pada ujung sebuah pegas yang ujung lainya di
bebas diatas suatu bidang licin PQ ( gambar 1 ). Bila
,bergerak
menyatakan perpindahan sesaat
dari m pada saat t dari kedudukan setimbang atau kedudukan diam maka pada m akan bekerja gaya lenting sebesar
– ,dimana
adalah konstanta yang bergantung pada
pegas dan disebut konstanta pegas.
(a)
(b) Gambar 1
Menurut hukum Hooke yang didasarkan pada eksperimen,yang menyatakan bahwa gaya lenting yang bekerja pada sebuah pegas sebanding dengan regangan atau simpangan pegas dari kedudukan setimbang. Menurut hukum Newton yang menyatakan bahwa gaya total yang bekerja pada m sama dengan perkalian massa dan percepatan. Persamaan geraknya adalah:
–
(5)
Bila sebagai tambahan,terdapat suatu gaya peredam yang sebanding dengan laju
sesaat dari m, persamaan geraknya adalah:
(6)
Atau:
Dimana disebut „konstanta peredam”
Tapi bila ada beberapa gaya luar tertentu demikian persamaan geraknya menjadi:
juga bekerja pada m,dalam keadaan
3
–
Atau:
(7)
Dengan menggunakan Transformasi Laplace untuk memecahkan persamaan (5), (6) atau (7) bergantung syarat-syarat awal yang sesuai dengan kajian fisika,perpindahan X(t) dapat ditemukan. Contoh soal:
Sebuah partikel pada sumbu
bermassa
bergerak
dan ditarik menuju titik asal
dengan suatu gaya yang secara numerik dengan
sama
. Bila ia mula-mula diam di
,carilah kedudukan nya pada setiap saat dengan
menganggap : a. Tidak ada gaya-gaya lain yang bekerja b. Suatu gaya peredam yang secara numerik sama dengan 8 kali kecepatan sesaat bekerja. Penyelesaiaan: a. Bila X >0,gaya total adalah kekiri(yaitu negatif) dan diberikan oleh -8X. Bila X<0,gaya total adalah kekkanan(yaitu positif) dan harus diberikan oleh -8X. karena untuk kedua-duanya gaya total adalah -8x, maka berdasarkan hukum Newton.
(Massa).(Percepatan) = Gaya Total
Atau
Dengan mengambil Transformasi Laplace dan dengan menggunakan syarat-syarat awal
, kita peroleh jika
4
Maka dari tabel invers transformasi Laplace untuk
didapatkan:
Grafik dari gerakan dapat dilihat pada gambar 3 dimana amplitude (pergeseran maksimum dari ) adalah
, perioda adalah dan frekuensi adalah
Gambar 3
.
Gambar 4
b. Bila
dan
disebelah kanan dari
dan bergerak kekanan,maka
gay peredam bergerak kekiri(yaitu negatif) da harus diberikan oleh pula bila
dan
dikiri dan bergerak kekiri sehingga gaya peredam
kekanan (yaitu positif) dan harus diberikan juga oleh adalah
. Begitu
. Gaya peredam juga
untuk keadaan-keadaan
, maka:
(Massa) (Percepatan) = Gaya Total
Atau:
Dengan mengambilkan Transformasi Laplace dari persamaan (2) dan dengan menggunakan syarat-syarat awal:
kita peroleh:
5
} } } Atau:
Maka:
Jadi posisi setiap saat diberikan oleh persamaan:
Grafik dari
terhadap dapat dilihat dalam gambar 4.
2. Misalkan sebuah manik-manik yang mempunyai massa m dibatasi bergerak pada sebuah kawat tanpa gerakan yang terletak dalam sebuh bidang vertikal. Jika partikel tersebut bertolak dari keadaan diam disebarang titik kawat dan jatuh dibawah pengaruh gravitasi bumi,maka waktu turun ke titik terendah kawat tersebut dapat dihitung dengan persamaan lintasan juga dapat ditentukan.
Anggap bahwa manik-manik yang bermassa m bertolak dari keadaan diam dititk koordinat
seperti terliht pada gambar 5. Misalkan titik
dengan
yang mempunyai koordinat
adalah suatu titik perantara dalam gerak tersebut dan misalkan titik terendah kawat
tersebut diambil sebagai titik asal
. misalkan s adalah panjang busur
Dari hukum kekekalan Energi diperoleh:
Dimana
adalah laju sesaat partikel di
.
penyelesaiaan selanjutnya:
6
Atau dengan menggunakan kenyataan bahwa s berkurang jika waktu t bertambah,
Waktu t seluruhnya yang diperlukan oleh manik-manik untuk bergerak dari P ke Q diberikan oleh:
Bila bentuk kurva tersebut diketahui maka panjang busur daat dinyatakan dalam y dan didapatkan:
Dan
Jadi
Selanjutnya akan ditentukan bentuk yang dipunyai kawat jika waktu yang diperlukan untuk
mencapai titik terendah adalah sebuah konstanta,yaitu tidak tergantung dari kedudukan awal. Dalam kasus ini kita harus mencari
Dimana
dari:
adalah sebuah konstanta. Persamaan integral jenis konvolusi ini adalah kasus
khusus” persamaan integral ” dan dapat dituliskan sebagai:
Dengan mengambil Transformasi Laplace dan dengan memperhatikan bahwa
[ ]
Kita peroleh:
7
√ √ Transformasi laplace diberikan oleh:
Karena :
Maka kita peroleh:
Jika kita misalkan:
Maka:
() √ ()
Karena lerengnya harus positif. Dengan mengintegralkan, maka dari persamaan terakhir diatas kita dapatkan:
Dengan memisalkan
, persamaan ini dapat ditulis:
8
Jadi persamaan parameter kurva yang diperlukan adalah:
Karena kurva tersebut harus lewat melalui titik
maka kita peroleh
maka dengan memisalkan :
Persamaan parameter tersebut adalah: (
Persamaan parameter ini merupakan sebuah sikloit.
B. Penggunaan Transformasi Laplace dalam RANGKAIAN LISTRIK
1. Suatu rangakaian listrik sederhana terdiri atas elemen-elemen rangakaian yang dihubungkan seri dengan suatu saklar s.
a. Sebuh generator atau bateray dengan tegangan gerak elektrik b. Sebuah resistor dengan resistance
c. Sebuah induktor yang mempunyai induktans
d. Sebuh kapasitor yang mempunyai kapasitans
Elemen-elemen rangkaian tersebut seperti terlihat pada gambar 6 .
9
Apabila saklar
ditutup, muatan
aliran muatan yang diberikan oleh
akan mengalir ke plat-plat kapasitor. Laju
Persoalan yang penting adalah menentukan muatan-muatan pada kapasitor dan arus-arus sebagai fungsi-fungsi dari waktu. Untuk itu terlebih dahulu kita mendefinisikan „penurunan potensial” atau „penurunan tegangan‟ antara ujung-ujung rangkaian. a) Penurunan tegangan antara ujung-ujung sebuah resistor
b) Penurunan tegangan antara ujung-ujung sebuah induktor
c) Penurunan tegangan antara ujung-ujung sebuah kapasitor
d) Penurunan tegangan antara ujung-ujung sebuah generator
Persamaan diferensial dapat diperoleh dengan menggunakan hukum-hukum kirchoff berikut: 1.
Jumlah aljabar dari arus-arus yang mengalir menuju suatu titik cabang sama dengan nol
2.
Jumlah aljabar dari penurunan-penurunan potensial/tegangan sekeliling sebarang simpul
tertutup sama dengan nol.
Untuk rangkaian sederhana dari gambar 6 penerapan hukum ini pada khususnya sederhana (hukum 1 dalam hal ini tidak perlu). Kita dapatkan persamaan untuk menentukan
yaitu:
(8)
Dengan memperhatikan analogi dari persamaan (8) dengan persamaan (7) akan terlihat
bahwa “massa (m)” bersesuaian dngan “induktans L” dengan
dan
“
bersesuaian dengan dengan
dengan “
10
Contoh Soal: 1.
Sebuah induktor
sebuah resitor
dihubungkan seri dan tegangan rangkaian adalah
. Pada
dan sebuah
kapasistor
muatan pada kapasitor dan arus dalam
. Carilah muatan dan arus pada setiap saat
. Rangkaian seperti gambar 7 .
( )
jika E =
Penyelesaiaan : Misalkan
Karena
Jika
Dengan
dan muatan dan arus sesaat pada saat . Dari
diperoleh:
maka:
, maka persamaan diatas menjadi :
syarat-syarat
awal
dan
dengan
mengambil
Transformasi laplace,didapatkan :
Atau:
11
Jadi :
Dan
yaitu:
Untuk
yang besar, suku-suku dari
dan
yang mengandung
dapat
diabaikan dan suku-suku ini disebut suku-suku fana (transient terms) atau bagia fana (transient part ) dari solusi. Suku-suku lainnya disebut suku-suku keadaan tunak (steady state term) atau bagian keadaan tunak (steady state part) dari solusi. 2. Sebuah tegangan periodik
dalam bentuk sebuah “gelombang segi panjang” seperti
dalam gambar 8a diterapkan kepada rangakaian listrik gambar 8b. dengan menganggap bahwa arus adalah nol pada waktu
Gambar 8a
, tentukan arus sebarang waktu kemudian.
gambar 8b.
12
Penyelesaian:
Persamaan differensial untuk arus
dalam rangkaian seperti yang digambarkan pada
gambar 8b tersebut adalah:
Dengan mengambil Transformasi Laplace dan dengan menggunakan entri 135 dalam tabel Transformasi Laplace khusus (spiegel R Murray,1990:253) didapatkan:
̃ ̃ ̃ [] } Atau:
Dimana
Fungsi
mempunyai sebuah kutub sederhana di
mempunyai sebuah kutub sederhana di dimana
.
Nilai
adalah berhingga. Jadi
bukanlah
, dan
dengan
sebuah
kutub
karena
adalah sebuah singularitas yang
dapat dihilangkan.
Seterusnya kita hitung residu dari
Residu di
Residu di
di kutub-kutub tersebut, yaitu:
adalah:
adalah
13
} } } ∑ ∑ [ ] ∑ [ ] ] ∑ [[ ]
Maka jumlah residu adalah:
Dengan demikian dari persamaan
terlebih dahulu dapat kita peroleh, yaitu:
Ini dapat juga ditulis dalam bentuk:
14
Di mana :
c. Penggunaan Transformasi Laplace Pada BALOK
Andaikan sebuah balok yang ujung-ujungnya
dan
berimpit dengan
( seperti terlihat pada gambar 9 ). Andaikan pula bahwa suatu beban vertikal
yang diberikan oleh
persatuan panjang, bekerja secara transversal pada batang.
Maka sumbu balok memiliki penyimpangan transversal
pada titik
yang
memenuhi persamaan differensial:
Penyimpangan tranfersal ini disebut juga kurva penyimpangan atau kurva elastisk. Besaran
disebut kekakuan bengkokan ( flexural rigidity ) dari balok dan disini kia akan menggapnya konstan. ( sebenarnya E adalah modulus elastik Young untuk
batang dan I adalah momen inersia dari suatu penampang balok terhadap sumbuhnya). Besaran-besaran
dan
masing-masing disebut
“momen lentur” (bending moment) dan “pergeseran vertikal” (vertikal shear) di . Syarat-syarat batas yang berhubungan dengan persamaan differensial pada persamaan (1) di atas bergntung pada cara bagaimana balok ditopang. Yang biasanya adalah berikut ini: 1. Ujung dijepit, built-in atau tetap :
2. Ujung bersendi (dihubungkan dengan engsel) atau sekedar didukung
3. Ujung bebas
Dengan menggunakan transformasi Laplace penyimpangan dapat dihitung.
15
Contoh Soal
Sebuah balok yang ujung-ujungnya di jepit di
dan
(seperti gambar
10). Suatu beban Po yang terpusat bekerja secara tegak kebawah pada titik
carilah penyimpangan yang dihasilkan.
.
Penyelesaian : Bila sebuah balok mengalami suatu beban Po yang terpusat pada titik x =
, maka beban
ini dapat dinyatakan oleh W(x) = Po
,
(atau funsi delta dirac atau fungsi impuls). Maka
persamaan
differensial
untuk
penyimpangan dan syarat-syarat batas yang bersangkutan diberikan oleh:
[]
Dengan mengambil Tranformasi Laplace, kita peroleh jika:
Dengan mengambil Kita dapatkan:
Inverskan, kita peroleh :
16
Atau yang setara dengan:
( )
Dari kedua syarat terakhir, kita cari besarnya C1 dan C2 :
Jadi penyimpangan yang dikehendaki ialah :
Atau:
d.
Penggunaan Transformasi Laplace pada KONDUKSI KALOR
Persamaan konduksi kalor berdimensi satu adalah:
Disini
adalah temperature dalam sebuah benda padat dikedudukan pada waktu .
konstanta k yang dinamakan difusifitas, sama dengan jenis , dan massa jenis
, dimana konduktivitas k, kalor
dianggap konstan. Banyaknya kalor persatuan luas persatuan
waktu yang dihantarkan melalui sebuah bidang di berikan oleh : menggunakan Transformasi laplace temperatur
dengan
di seberang waktu kemudian dapat
dihitung.
17
Contoh Soal:
Sebuah benda padat semi tak terhingga
temperature
( gambar 11) Mula-mula Berada pada nol.
Pada
waktu
,
sebuah
temperature konstan U0 > 0 diterapkan dan dipertahnkan
pada
muka
.
Carilah
temperature diseberang titik benda padat tersebut pada seberang waktu t kemudian
Penyelesaian
|| Persamaan untuk penentuan temperature waktu adalah :
di sebarang titik dan pada sebarang
Syarat-syarat awal yang dipenuhi :
Dimana keadaan ini menyatakan persyaratan bahwa temperature tersebut dibatasi untuk semua dan .
Denganmengambil transformasi Laplace kita mendapatkan :
Dimana :
Dan
diharuskan terbatas.
Denganmemecahkan persamaan (1) kita mendapatkan :
Maka kita harus memilih
agar
terbatas untuk
dan kita memperoleh :
18
Dari persamaan (2) untuk
√ √ √ , didapatkan :
Sehingga persamaan kita menjadi :
Akhirnya kita dapatkan :
Persamaan ini menyatakan temperatur di sebarang titik benda padat tersebut pada sebarang waktu kemudian
E.
Penggunaan
.
Transformasi
Laplace
pada
PERSAMAAN
GELOMBANG
BERDIMENSI SATU
Persamaan gelombang berdimensi satu dinyatakan oleh persamaan :
Persamaan ini dapat diterapkan pada getaran transversal yang kecil dari sebuah tali fleksibel yang tegang, yang mula-mula diletakkan pada sumbu (gambar 12)
dan dibuat bergerak
19
Variable
adalah pergeseran sebarang titik x dari tali pada waktu t. konstanta
dimana
adalah tegangan dalam tali (konstan) dan adalah massa per satuan
panjang tali yang juga konstan.
Contoh soal
Sebuah tali panjang tak berhingga yang salah satu ujungnya berada di diam pada sumbu
ujung
getaran periodik saat
, mula-mula
kemudian diberikan simpangan transversal berbentuk
. Carilah simpangan tali pada sebarang titik untuk setiap
.
Penyelesaian
Gambar 13
Jika y(x,t) adalah simpangan transversal tali untuk sebarang titik tali pada setiap saat t,
| |
maka persoalan nilai batas dan syarat awal tersebut adalah :
||
Dimana kondisi terakhir menunjukkan bahwa pergeseran tersebut dibatasi. Karena simpangan tali berhingga, maka :
Dengan mengambil transformasi Laplace dari kedua belah ruas persamaan (1) terhadap variable
dengan menggunakan syarat awal (2) kita peroleh
persamaan differensial biasa :
Atau
20
||
Sedangkan transformasi Laplace dari syarat batas (2) adalah :
Pemecahan umum persamaan differensial tersebut adalah :
Persyaratan keterhinggaan dalam (4) untuk
mengharuskan kita memilih
. Dari
persyaratan pertama (4), pemecahan khusus bagi persamaan differensial biasa (3) diberikan oleh :
Dengan mengambil transformasi Laplace Invers dari
dalam (15) dengan menggunakan
rumus invers kompleks, kita peroleh pemecahan syarat awal dan syarat betas bersangkutan :
Secara fisis ini berarti bahwa sebuah titik Setelah itu titik
dari tali akan tetap diam sampai waktu
tersebut mengalami gerak yang identik dengan gerak ujung
terbelakang waktunya selama
.
tetapi
. konstanta adalah laju penjarahan gelombang.
21
