MODUL 7 APLIKASI TRANFORMASI LAPLACE
Transformasi Laplace dapat digunakan untuk menyelesaikan baik persoalan analisa maupun maupun perancan perancangan gan sistem. sistem. Aplikas Aplikasii Transf Transforma ormasi si Laplace Laplace tersebut tersebut bergantun bergantung g pada sifat-sifat transformasi Laplace, khususnya diferensias, integrasi dan konvolusi. Pada modul ini akan dibahas beberapa contoh aplikasi transformasi Laplace pada sistem linier yaitu dalam menganalisis rangkaian RLC, merancang sistem kendali, menentukan solusi persamaan persamaan diferensial diferensial dan menentukan menentukan kestabilan kestabilan sistem. sistem. Akan tetapi sebelum itu akan diberikan teori dan beberapa definisi tambahan mengenai teorema harga aal dan harga akhir dan beberapa definisi dasar lainnya.
7.1 Teorema Harga Awal dan Harga A!"r !edua !edua teorema teorema fundamen fundamental tal yang akan kita bicarakan bicarakan dikenal dikenal sebagai sebagai teorema teorema harga harga aal aal dan dan harga harga akhir akhir.. Teorema orema terseb tersebut ut akan akan memung memungkin kinkan kan kita kita untuk untuk menghitung f"# $% dan f"&% dengan memeriksa harga-harga batas dari '"s%. (ntuk menurunkan teorema harga aal, maka kita tin)au sekali lagi transformasi Laplace dari turunan, *
df dt = s'"s% + f"#%
~
∫
e − st
df dt
0
dt
kita ambil sekarang s mendekati tak berhingga. engan demikian integral men)adi dua bagian, 0+
∫
lim s'"s% + f"#%/ lim " e s → ~ s → ~
− st
df dt
0−
~
dt +
∫
0+
e−
st
df dt
dt #
maka kita lihat baha integral kedua harus mendekati nol di dalam limit karena integral itu sendiri mendekati nol. 0uga f"#-% bukanlah fungsi dari s, dan itu dapat dipindahkan dipindahkan dari limit kiri, 0+
-f"#-% $ slim → ~ 1s'"s%2
slim →~
∫ df $ lim →
0−
s
~
1f"#$% + f"#-%2
f"#$% + f"#-% dan akhirnya 3 f"#$% slim → ~ 1s'"s%2 atau
lim f (t ) = lim[ sF ( s)]
s → 0 +
PUSAT PEN%EM&AN%AN &AHAN A'AR(UM& A'AR(UM&
s → ~
Tr"e Ma)a Kadar"na* Kadar" na* ST* MT.
SISTEM LINIER
55
4ni adalah pernyataan matematis dari teorema harga aal "initial-value theorem%. Teorema ini mengatakan baha harga aal dari fungsi aktu f"t% dapat diperoleh dari transforma transformasi si Laplace Laplacenya nya '"s% dengan dengan mula-mul mula-mula a mengalik mengalikan an transform transform tersebut tersebut dengan s dan kemudian memasukkan nilai s menu)u tak berhingga. 5ebagai contoh dipilih f"t% cos ω#t, kita lihat baha baha f"#$% 6, sekarang kita hitung hitung
lim[ sF ( s )] lim s → ~
s → ~
s s 2 = 1 2 s ω + 0
7arga ini ternyata cocok dengan f"#$%. Teorema harga akhir tidaklah begitu berguna seperti teorema harga aal, karena banyak fungsi f"t% yang tidak atau tak dapat ditentukan harga akhirnya, misalnya cos ω#t
dan sin sin ω#t. engan cara yang hampir sama dapat diturunkan teorema harga
akhir sebagai berikut 3
lim f (t ) = lim[ sF ( s)]
s → ~
s → 0
5ebagai contoh langsung dari pemakaian teorema ini, kita tin)au fungsi f"t% "6-e-at%u"t%, dengan a 8 #, kita lihat baha f"&% 6. Transformasi dari f"t% adalah 3 '"s%
1
s
−
1
s
+a
=
a s ( s + a)
engan mengalikan mengalikan dengan s dan memasukkan nilai s mendekati nol, kita dapat
lim[ sF ( s)] lim a s →0 s → 0
s + a
=1
ternyata harga ini cocok dengan f"&%.
7.+ F,ng-" Pem"nda! Transfer Function # H-# 'ungsi Pemindah adalah perbandingan keluaran9output dalam bentuk transformasi Laplace dengan masukan9input dalambentuk fungsi Laplace )uga. 5ecara matematis 'ungsi Pemindah dapat ditulis 3
H ( s ) =
F o ( s ) F i ( s )
7./ Re-0on Im0,l- !#
PUSAT PEN%EM&AN%AN &AHAN A'AR(UM& A'AR(UM&
Tr"e Ma)a Kadar"na* Kadar" na* ST* MT.
SISTEM LINIER
56
Respon impuls adalah respon atau fungsi keluaran dalam fungsi t, )ika masukannya adalah impuls satuan 1 δ"t%2.
7.2 H,3,ngan Re-0on Im0,l- dan F,ng-" Pem"nda! !ita lihat pada persamaan 7"s%, )ika inputnya impuls satuan 1 δ"t%2, maka 'i"s% 6 sehingga 7"s% ' o"s% artinya keluarannya adalah 'ungsi pemindah 7"s%, sedangkan menurut definisi )ika masukannya adalah impuls satuan, maka keluarannya dalam fungsi t adalah respons impuls h"t%. :aka dapat diambil kesimpulan fungsi pemindah 7"s% transform Laplace dari respons impuls h"t% dan sebaliknya respons impuls h"t% adalah inverse transform Laplace dari 7"s% atau dapat digambarkan 3
4 h"t%
7"s% 4(1
7.5 Tran-6orma-" La0lae 0ada Anal"-a Ranga"an RLC (ntuk (ntuk perhitun perhitungan gan rangkaia rangkaian n linier linier mengguna menggunakan kan transforma transformasi si Laplace Laplace biasany biasanya a induktor dan kapasitor langsung dibuat rangkaian penggantinya sehingga tidak lagi mulai dari persamaan diferensial.
7.5.1 7.5.1
RelaRela-"" E"8ale E"8alen n ,n, ,n, Re-"- Re-"-or or dalam dalam Doma Doma"n "n -
!arakteristik tegangan arus dalam domain s suatu resistor, R adalah3 ;R"s% R 4 R"s% R
7.5.2
V R ( s ) I R ( s )
Rela-" E"8alen ,n, Ind,or dalam Doma"n -
Persamaan untuk 4nduktor "dalam diferensial% 3 v
= L
di dt
0ika persamaan tersebut di transformasikan dalam bentuk Laplace akan men)adi 3 ;"s%
L1s4"s% + i"#%2 sL 4"s% + Li"#%
Persamaan untuk 4nduktor "dalam integral% 3
PUSAT PEN%EM&AN%AN &AHAN A'AR(UM& A'AR(UM&
Tr"e Ma)a Kadar"na* Kadar" na* ST* MT.
SISTEM LINIER
57
=
i
1
~
v (t ) d (t ) + i (0) L ∫ 0
0ika persamaan tersebut di transform Laplace akan men)adi 3
I ( s ) =
+
i (0)
V ( s ) +
i (0)
L
1
I ( s ) =
7.5.3
1 V ( s )
sL
s
s
s
Rela-" E"8alen ,n, Ka0a-"or dalam Doma"n -
Persamaan untuk !apasitor "dalam integral% 3 v
= 1 ∫ 0 i (t ) d (t ) + v (0) ~
c
0ika persamaan tersebut di transformasikan dalam bentuk Laplace akan men)adi 3
V ( s ) = V ( s ) =
1 I ( s )
+
v ( 0)
I ( s ) +
v ( 0)
C s 1
sC
s s
Persamaan untuk !apasitor "dalam diferensial% 3 i = c
dv dt
0ika persamaan tersebut di transform Laplace akan men)adi 3 4"s% C1s;"s% + v"#%2 sC ;"s% + Cv"#%
Cono! -oal9 Tin)au rangkaian yang ditun)ukan pada gambar <.6 "a%, dengan 4 L"#-% 6, vC"#-% = dan >"t% u"t%. Rangkaian ekivalen dalam domain s ditun)ukkan pada gambar <.6 "b%.
PUSAT PEN%EM&AN%AN &AHAN A'AR(UM& A'AR(UM&
Tr"e Ma)a Kadar"na* Kadar" na* ST* MT.
SISTEM LINIER
58
?ambar <.6 Rangkaian RLC 'awa39 Persamaan pada node 63
Y ( s) − 1 / s − 2 − sY ( s ) − Y (s) = 0 2 + s
2−
atau, Y ( s)
=
2 s 2
s ( s 1
3 s
1 3 s
+ +
2
+ 6 s + 1 + 3 s + 3) (5 s) / 3 + 5
( s + 1,5)
2
+(
3/2
)
2
s + 1,5
5
3 ( s + 1,5) 2
+(
3 / 2) 2
5
+
3/2
3 ( s + 1,5) 2
+(
3 / 2) 2
maka, y (t )
3 3 2 1 5 3 exp − t = 1 + 3 3 2
=
1
u (t ) +
5
exp −
3
3 t sin 2 3 2 1 3 3 cos t + sin t u (t ) 2 2 3
t cos
3
t u (t ) +
5
exp −
3 2
t u (t )
7.: Tran-6orma-" La0lae 0ada S"-em Kendal"
PUSAT PEN%EM&AN%AN &AHAN A'AR(UM& A'AR(UM&
Tr"e Ma)a Kadar"na* Kadar" na* ST* MT.
SISTEM LINIER
59
Aplikasi transformasi Laplace banyak di)umpai dalam sistem kendali. @anyak persoalan praktis yang dapat diformulasikan sebagai persoalan kendali9pengaturan. 5ebagai contoh, tun)au sistem yang ditun)ukkan pada gambar <.=.
?ambar <.= 5istem !endali
5ub sistem sistem pertam pertama a diseb disebut ut sebag sebagai ai plant plant yang yang memili memiliki ki fungsi fungsi transf transfer er 7"s%. 7"s%. 5ubsistem kedua disebut kontroler didesain untuk memperoleh performansi sistem tert terten entu tu.. 4npu 4nputt sist sistem em ters terseb ebut ut adal adalah ah siny sinyal al refe refere rens nsii r"t% r"t%,, seda sedang ngka kan n "t% "t% menggamb menggambarkan arkan gangguan gangguan atau noise noise dalam dalam sistem. sistem. Perbeda Perbedaan an antara antara referens referensii dan output output disebut disebut galat galat atau error, error, e"t%r"t%-y e"t%r"t%-y"t%. "t%. 5inyal 5inyal galat galat ini dikenakan dikenakan pada kontroler, yang berfungsi mamaksa sinyal galat men)adi nol untuk t ∞.
!ondisi ini menyebabkan output sistem mengikuti sinyal referensi r"t%. Performansi sistem )enis ini disebut pen)e)akan "tracking%. :isalkan sistem LT4 memiliki fungsi transfer3 H ( s )
=
N ( s) D( s )
0ika input r"t% A u"t% dan sinyal gangguan "t% @ u"t% dimana A dan @ adalah konstanta. :aka dengan menggunakan sifat superposisi dapat ditun)ukkan baha.
Y ( s ) =
=
H c ( s ) H ( s ) 1 + H C ( s ) H ( s )
R( s ) +
H ( s ) 1 + H C ( s ) H ( s )
W ( s )
H ( s )[ H C ( s ) A + B] s[1 + H C ( s ) H ( s )]
4ngin didesain 7 C "s% sedemikian hingga r"t% men)e)aki y"t% yaitu3
lim y (t ) t →∞
= A
:isalkan 7c"s% c"s%9c"s%, maka 3
PUSAT PEN%EM&AN%AN &AHAN A'AR(UM& A'AR(UM&
Tr"e Ma)a Kadar"na* Kadar" na* ST* MT.
SISTEM LINIER
60
Y ( s )
=
N ( s )[ Nc ( s ) A + Dc( s ) B ] s[ D ( s ) Dc( s ) + N ( s ) Nc ( s )]
engan menggunakan teorema harga akhir
lim y (t ) t → ∞
= lim s →0 y (t ) Agar, lim t →∞
sY ( s ) = lim s → 0
N ( s ){ Nc ( s ) A + Dc ( s ) B} D ( s ) Dc ( s ) + N ( s ) Nc ( s )
y (t )
= A
D( s ) = 0 maka harus dipenuhi lim s →0 atau c"s% memiliki Bero di s#
7.7 Tran-6orma-" Tran-6orma-" La0lae Un, Menen,an Sol,-" Per-amaan D"6eren-"al Prosed Prosedur ur untuk untuk menye menyeles lesaik aikan an suatu suatu P dengan dengan mengg mengguna unakan kan trans transfor formas masii Laplace adalah sebagai berikut 3 6. engan engan kondisi kondisi mula yang yang diketahui diketahui,, ambil transforma transformasi si Laplace Laplace kedua sisi sisi dari persamaan diferensial =. 5elesaika 5elesaikan n persama persamaan an al)abar al)abar untuk "s% D. Ambil Ambil inver invers-ny s-nya a untuk untuk memperol memperoleh eh y"t%
Cono!9 5elesaikan P 3 yE"t% $ FyG"t% $ Hy"t% e>p"-t%I yG"#% 6, y"#% = 6. Ambil Ambil TL kedua kedua sisi sisi mengh menghasi asilka lkan n3 ( s 2Y ( s ) − 2 s − 1) + 5( sY ( s ) − 2) + 6Y ( s )
=
1
s + 1
=. ise isele lesa saik ikan an untu untuk k "s% "s% Y ( s )
=
=
1
+ 13 s + 12 ( s + 1)( s 2 + 5 s + 6) 2 s 2
2( s + 1)
+
6 ( s + 2)
−
9 2( s + 3)
D. Ambil Ambil inve invers rs dari dari "s%, "s%, yaitu yaitu £-1"s%/ diperoleh I y (t )
1 9 = exp(−t ) + 6 exp(−2t ) − exp(−3t ) u (t ) 2 2
7.; Tran-6orma-" Tran-6orma-" La0lae Un, Menen,an Sa3"l"a- dalam Doma"n 5uatu fungsi transfer 7"s% selalu dapat ditulis dalam bentuk perkalian
PUSAT PEN%EM&AN%AN &AHAN A'AR(UM& A'AR(UM&
Tr"e Ma)a Kadar"na* Kadar" na* ST* MT.
SISTEM LINIER
61
H ( s ) =
N ( s) D( s )
N ( s )
=
( s + s1 )( s + s 2 )...( s + s N )
ilai s yang men)adikan men)adikan 7"s% disebut JpoleE. JpoleE. 0adi pole dari 7"s% 7"s% di atas adalah s -s6, s -s=, K, s -s Persamaan di atas dapat pula ditulis sebagai berikut 3 H ( s)
=
A1 s
+ s1
+
A2
( s + s2 )
+ ... +
A N s
+ s
N
5ecara umum, pole dapat berbentuk kompleks, yaitu3 sk σk $ )ωk Respon impuls dari sistem dapat ditulis ")ika tidak ada pole yang berulang9multiple pole% h"t% A6 e>p"-s6t% $ A= e>p"-s=t% $ K $ A e>p"-st% atau secara umum,
h(t ) =
N
∑ A
exp( − s k t )
k
k =1
0ika sk σk $ )ωk, maka 3
h(t ) =
N
∑ A exp(− k
t ) exp(− jω k )
σ k
k =1
0elas baha agar stabil @4@, maka sistem tersebut harus memiliki pole yang bagian riilnya negative, atau pole-polenya pole-polenya terletak di sebelah kiri bidang s.
PUSAT PEN%EM&AN%AN &AHAN A'AR(UM& A'AR(UM&
Tr"e Ma)a Kadar"na* Kadar" na* ST* MT.
SISTEM LINIER
62
